Лекция_6

ЛЕКЦИЯ 6
Тема: Основные понятия дискретной математики.
Теория вероятности.
План:
1.Основные понятия комбинаторики
2.Теория вероятностей
2.1.Случайные события и операции над ними
2.2.Определение вероятности события
2.3.Основные теоремы вычисления вероятности
1. Основные понятия комбинаторики
Комбинаторикой называется область математики, в которой
изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем
или иным условиям, можно составить из заданных объектов.
Оп р ед ел е ни е 1 : . Отличающиеся друг от друга порядком наборы,
составленные из всех элементов данного конечного множества, называются
перестановками этого множества.
Пример 1. Множество, состоящее из трех элементов {1,2,3}, имеет
следующие перестановки: (1,2,3), (1,3,2), (2,3,1), (2,1,3), (3,2,1), (3,1,2). Число
всех перестановок множества из п элементов обозначается Рn.
Теорема 1: (о числе перестановок). Число перестановок Рп
определяется по формуле
Рп = п!
где п! = 1 • 2 • 3 •... • n.
Задача: Сколькими различными маршрутами можно навестить
больного по 5 адресам?
Ре ше н ие . Занумеруем адреса цифрами от 1 до 5. Каждому маршруту
можно сопоставить один из наборов, состоящих из этих пяти цифр,
например, (2,5,3,4,1). Такой набор означает, что сначала выбирается второй
адрес, затем пятый, третий, четвертый и первый. Всего различных
маршрутов, т. е. отличающихся порядком наборов пяти цифр будет 5! = 120.
Определение 2: Упорядоченные наборы, состоящие из k различных
элементов, выбранных из данных n элементов, называются размещениями из
n элементов по k.
Размещения могут отличаться друг от друга как элементами, так и
порядком.
Пример 2. Различными размещениями множества из трех элементов
{1,2,3} по два будут наборы (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2).
Число всех размещений из n элементов по k обозначается Ank .
23
При k = п число размещений совпадает с числом перестановок.
Теорема 2 (о числе размещений). Число размещении из п элементов по
k определяется по формуле
Ank  nn 1...n  k 1 
n!
(n  k )!
Задача. Студентам надо сдать 4 экзамена за 8 дней. Сколькими
способами можно составить расписание сдачи экзаменов
Решение. Занумеруем дни сдачи экзаменов цифрами 1,2,.. .,8.
Составлять различные расписания можно следующим образом. Сначала
выберем дни для сдачи экзаменов, например, (2,4,5,7), а затем порядок
сдачи экзаменов. Таким образом, нужно составить различные наборы
четырех чисел из восьми, которые отличаются друг от друга не только элементами, но и порядком. Таких наборов 4: 8*7*6*5 = 1680.
О п р е д е л е н и е 3: Неупорядоченные наборы, состоящие из k
элементов, взятых из данных п элементов, называются сочетаниями
из n элементов по k.
Сочетания отличаются друг от друга только элементами.
Пример 3. Для множества {1,2,3} сочетаниями по 2 элемента
являются {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.
Cnk
Число всех сочетаний из п элементов по k обозначается
Теорема 3 (о числе сочетаний). Число сочетаний из п элементов по k
определяется по формуле
Cnk
Ank
n!


Pk k!(n  k )!
Задача. В хоккейном турнире участвуют 6 команд. Каждая команда
должна сыграть с каждой одну игру. Сколько игр сыграно в турнире?
Решение. Различные пары команд образуют сочетания из 6 по 2,
поскольку порядок среди двух команд, играющих в одной игре, нам
6!
безразличен. Следовательно, число игр будет равно C 2 
 15
6
2!(6  2)!
2. Теория вероятностей
Теория вероятностей - это математическая
закономерности массовых случайных событий.
наука,
изучающая
24
2.1.Случайные события и операции над ними
Случайным называется событие наступление, которого нельзя
гарантировать.
Рассмотрим основные понятия теории вероятности:
Испытанием называется совокупность условий, при котором может
произойти данное случайное событие.
Событие – это факт, который при осуществлении определенных
условий может произойти или нет. События обозначают большими
латинскими буквами А, В, С…
Опр: Событие, всегда осуществляющееся при проведении испытания,
называют достоверным событием.
Опр: Когда событие не может произойти в результате испытания, его
называют невозможным.
Опр: Под случайным событием, связанным с некоторым опытом,
понимается всякое событие, которое при осуществлении этого опыта либо
происходит, либо не происходит.
Опр: События называются несовместными, если в результате данного
испытания появление одного из них исключает появление другого.
Опр: События называются совместными, если в результате данного
испытания появление одного из них не исключает появление другого.
Опр: События называются равновозможными, если нет основания
считать, что одно из них происходит чаще, чем другое.
События образуют полную группу событий, если в результате
испытания обязательно произойдет, хотя бы одно из них и любые два из них
несовместны.
События, входящие в полную группу попарно несовместных и
равновозможных событий, называются исходами, или элементарными
событиями.
Частным случаем событий, образующих полную группу, являются
противоположные события.
Опр: Два несовместных события А и A (не А) называются
противоположными, если в результате испытания одно из них должно
обязательно произойти.
Операции над событиями
Суммой двух событий А и В называют событие С=А+В,
заключающееся в наступлении события А, или события В, или события А и В
одновременно.
Например, два стрелка производят по одному выстрелу. Событие Апопадание в мишень первым стрелком, событие В- попадание в мишень
25
вторым стрелком. Событие С=А+В- попадание при выстреле первым
стрелком, или вторым, или первым и вторым.
Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в
осуществлении хотя бы одного из этих событий. Событие А+В+С
заключается в осуществлении одного из следующих событий: А, В, С, А и В,
А и С, В и С, А и В и С.
Произведением двух событий А и В называют С=АВ
совместном осуществлении (совмещении) этих событий.
состоящее в
Разностью двух событий А и В (А-В) называется событие, состоящее
из исходов, входящих в А, но не входящих в В.
2.2.Определение вероятности события
Случайные события реализуются с различной возможностью. Одни
чаще, другие реже. Для количественной оценки возможностей реализации
события вводится понятие вероятности события.
Вероятность события – это число, характеризующее степень
возможности появления событий при многократном повторении события.
Вероятность является одним из основных понятий тории вероятности.
Существует несколько определений этого понятия.
26
Классическое определение вероятности
Р (А)=
m
, где
n
m – число благоприятных исходов, n – число всех
исходов.
Свойства вероятности
1. Р(А)= 0, если А – невозможное событие
2. Р(А)=1, если А – достоверное событие
3. Вероятность случайного события: 0  P( A)  1
Статистическое определение вероятности
Относительной частотой случайного события называют отношение
числа появлений этого события к общему числу проведенных
экспериментов:
W ( A) 
NA
N
где А – случайное событие по отношению к некоторому испытанию,
N раз проведено испытание и при этом событие А наступило в NA
случаях.
Опыт с равносильными исходами
Опыт
с равновероятными исходами: не существует никаких
объективных оснований считать, что одно из событий является более
возможным, чем другое.
Говорят, что события равновероятны и вероятность каждого из
события равна 1/n.
2.3.Основные теоремы вычисления вероятности
Зная вероятности одних событий, можно вычислить вероятности
других событий, если они связаны между собой.
Теорема сложения
Теорема: Вероятность наступления одного из двух несовместных
событий А и В равна сумме вероятностей этих событий P(A+B)=P(A)+P(B)
Пример: в ящике находятся 20 шаров: 5 из них синих, 10 красных и 5
черных. Найти вероятность того, что при одном извлечении появится
цветной шар.
Теорема: Вероятность суммы конечного числа попарно независимых
событий А1, А2, …,Аn равна суме вероятностей этих событий:
27
Следствие 1. Если события А1, А2, …, Аn образуют полную группу, то
сумма вероятностей их равна единице:
Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна
единице:
p ( A)  P( A)  1
Теорема: Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных
событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их
совместного наступления:
Теорема умножения вероятностей
Событие А называют независимым от события В, если вероятность
осуществления события А не зависит от того, осуществилось ли событие В
или нет.
Событие А называют зависимым от события В, если вероятность
осуществления события А зависит от того, осуществилось ли событие В или
нет. (условная вероятность р(А/В))
Теорема: Вероятность произведения двух независимых событий
называют произведение вероятностей этих событий:
P(AB)=P(A)*P(B)
Пример: Медицинская сестра обслуживает в палате двух больных.
Вероятность того, что в течении часа внимания сестры потребует первый
больной равна 0,2, второй больной = 0,3.Найти вероятность того, что в
течение часа все больные потребуют внимания медсестры.
Теорема: Вероятность произведения двух зависимых событий А и В
равна произведению одного их них на условную вероятность второго,
вычисленную при условии, что первое событие осуществилось:
Формула полной вероятности
Формула полной вероятности является обобщением терем умножения
и сложения вероятностей. Формула применяется для решения задач на
определение вероятности события, которое может произойти с одним из
несовместных событий, образующих полную группу.
Теорема: Вероятность события А, которое может наступить только
при условии появления одного из событий Н1, Н2, …Нn , образующих
полную группу попарно несовместных событий, равна сумме произведений
28
вероятностей каждого из событий Н1, Н2, …Нn на соответствующую
условную вероятность события А:
Контрольные вопросы для закрепления:
1. Какая область математики называется комбинаторикой.
2. Какие
наборы
множеств
называются
перестановками,
размещениями, сочетаниями.
3. Что изучает теория вероятности?
4. Какое событие называется достоверным, случайным, невозможным
5. Приведите примеры совместных и несовместных событий.
6. Какие события называются противоположными.
7. Какие операции над событиями можно совершать, охарактеризуйте
каждую операцию.
8. Дайте определение вероятности события.
9. Назовите основные теоремы вычисления вероятности.
Литература:
1. Омельченко В.П., Демидова А.А. Математика: Компьютерные
технологии в медицине. – Ростов н/Д:Феникс, 2008. -588 с. Ил.-(Среднее
профессиональное образование)
2. Теория
вероятности
[электронный
ресурс]:
URL:
http://www.nuru.ru/teorver.htm
29