09-02-03_Lineinaja_funkcija_na_vypuklom_mnogougolnike

Тема 2. Линейные неравенства
09-02-03. Линейная функция на выпуклом многоугольнике
Теория
3.1.** Мы изучали числовые функции от одной независимой переменной. На практике
зависимость между величинами не всегда удается выразить в виде функций от одной
переменной.
Пример 1. Площадь S прямоугольника зависит от длин a и b его сторон, то есть
зависит от двух переменных. Эта зависимость может быть записана в виде:
S  f (a b) где f (a b)  a  b
Пример 2. Объем V цилиндра зависит от его высоты h и радиуса основания r , то
есть тоже зависит от двух переменных. Эта зависимость может быть записана в виде:
V  V (r h)   r 2h
3.2.** Рассмотрим некоторые линейные функции f ( x y ) от двух переменных x и y
вида
f ( x y )  ax  by где a и b — фиксированные числа.
Естественной областью определения линейной функции f ( x y )  ax  by является
множество всех пар чисел ( x y ) . Это множество удобно представлять как множество всех
точек M ( x y ) координатной плоскости.
Для линейной функции всю область определения можно разбить на такие
подмножества, что для пар чисел ( x y ) из одного подмножества значения линейной
функции одинаковы.
Пример 3. Пусть f ( x y )  x  2 y .
Эта функция принимает значение 1 для таких пар чисел ( x y ) , что x  2 y  1 .
Получаем линейное уравнение с двумя неизвестными. Мы знаем, что множество решений
этого уравнения можно представить графиком линейной функции y  12 x  12 (рисунок 1),
то есть прямой l в координатной плоскости. Следовательно, для каждой точки прямой l
соответствующее значение линейной функции f ( x y )  x  2 y равно 1.
Аналогично для любого числа m можно найти множество точек координатной
плоскости, для которых f ( x y )  m . Этим множеством является прямая y  12 x  12 ,
которая параллельна прямой l (рисунок 2).
На всей плоскости линейная функция f ( x y )  x  2 y не ограничена, то есть ее
значения могут быть сколь угодно большими по абсолютной величине. Например, при
x  1020 и y  0 получаем f ( x y )  1020 .
3.3.** Обычно линейная функция не ограничена на всей плоскости, как например,
f ( x y )  x  2 y . Однако, если мы возьмем некоторую многоугольную область K
(рисунок 3) и будем рассматривать значения линейной функции f ( x y )  x  2 y только
для точек из этой области, то f ( x y ) может принимать только такие значения m , для
которых прямая x  2 y  m пересекает указанную область. В нашем примере пересекают
область K только такие прямые, которые проходят в полосе между прямыми x  2 y  3 и
x  2 y  1 . Следовательно, прямая x  2 y  m имеет непустое пересечение с областью K ,
если 1  m  3 (рисунок 4). Это значит, что для точек области K функция
f ( x y )  x  2 y принимает значения из отрезка [-1;3]. Поэтому наименьшее значение,
которое может принимать функция f ( x y )  x  2 y , равно -1.
Это значение иногда называют минимальным значением функции f ( x y )  x  2 y на
области K .
Минимальное значение функции f ( x y )  x  2 y на области K получается тогда,
когда пара чисел ( x y ) является координатами точки A (рисунок 4). Поэтому точку A
обычно называют точкой минимума линейной функции f ( x y )  x  2 y на заданной
области K .
Аналогично, наибольшее значение, которое может принимать функция
f ( x y )  x  2 y на области K , равно 3. Это значение иногда называют максимальным
значением функции f ( x y )  x  2 y . Точку B (рисунок 4), для координат которой
линейная функция принимает максимальное значение, обычно называют точкой
максимума линейной функции f ( x y )  x  2 y на заданной области K .
3.4.** Обычно выпуклую многоугольную область можно задать системой линейных
неравенств.
Пример 4. Пусть вершины четырехугольной области ABCD имеют координаты
A(1 0) , B(01) , C (3 2) , D(2 0) (рисунок 5).
Уравнение прямой AB имеет вид x  y  1  0 . Подставляя в выражение x  y  1
вместо x и y координаты точки C , получим 3  2 1  0 . Поэтому область ABCD лежит
в полуплоскости, представляющей решения линейного неравенства x  y  1  0 .
Аналогично получаем:
1) уравнение прямой BC имеет вид x  3 y  3  0 , а область ABCD лежит в
полуплоскости x  3 y  3  0 ;
2) уравнение прямой CD имеет вид 2 x  y  4  0 , а область ABCD лежит в
полуплоскости 2 x  y  4  0 ;
3) уравнение прямой AD имеет вид y  0 , а область ABCD лежит в полуплоскости
y  0.
Следовательно, четырехугольная область ABCD совпадает с множеством решений
системы неравенств:
 x  y  1  0
 x  3 y  3  0


2 x  y  41  0
 y  0
3.5.** На практике для получения точек максимума и минимума линейной функции,
заданной на многоугольной области, находят вершины многоугольника, вычисляют в них
значения данной функции f ( x y )  ax  by и выбирают те вершины, в которых значения
функции f ( x y ) будут наибольшим и наименьшим.
Пример 5. Найдем максимум и минимум функции f ( x y )  y  2 x при условии, что x
и y удовлетворяют систему неравенств
 x  y  1

 x  y  1
 y  1  0

Сначала находим множество решений данной системы неравенств. Для этого
перепишем систему в виде
 y   x  1

 y  x  1
 y  1

Следовательно, множество решений есть пересечение полуплоскостей: нижней
полуплоскости относительно прямой y   x  1 , нижней полуплоскости относительно
прямой y  x  1 и верхней полуплоскости относительно прямой y  1 (рисунок 6).
Мы видим, что множество решений изображается треугольной областью с вершинами
A(01) , B(1 0) и C (21) . Функция f ( x y )  y  2 x принимает в этих точках
соответственно значения -1, -2 и -5. Поэтому максимум функции f ( x y )  y  2 x на
треугольнике равен -1 в вершине C (21) , а минимум равен -5 в вершине (0,-1).
Это видно и из рисунка 6. Действительно, положим y  2 x  b . Тогда будем иметь
функцию y  2 x  b от одного переменного x . Ее графиком является прямая с угловым
коэффициентом 2, отсекающая на оси Oy отрезок b . Число b является в то же время
значением функции f ( x y )  y  2 x . Перемещая прямую y  2 x  b параллельно прямой
y  2 x , мы должны найти наибольшее и наименьшее значение для b , при которых прямая
y  2 x  b все еще имеет с треугольником хотя бы одну общую точку. В итоге получаем,
что наибольшее значение для b будет достигаться в том случае, когда прямая y  2 x  b
пройдет через вершину (0;-1), а наименьшее — когда прямая пройдет через вершину (2;1).
3.6.** Задачи на нахождение минимального и максимального значений линейной
функции, заданной на многоугольной области, часто встречаются в экономике.
Пример 6. Макаронная фабрика выпускает вермишель и макароны, расходуя на 1 кг
вермишели 0,25 кг муки высшего сорта и 0,4 кг муки первого сорта, а на 1 кг макарон —
0,5 кг муки высшего сорта и 0,4 кг муки первого сорта. При этом стоимость 1 кг
вермишели составляет 23 от стоимости 1 кг макарон. Сколько продукции должна
произвести фабрика из 500 кг муки высшего сорта и 600 кг муки первого сорта, чтобы
получить максимальную прибыль?
Пусть x — число килограммов вермишели и y — число килограммов макарон,
намеченных к выпуску. Тогда должны выполняться неравенства:
0 25 x  0 5 yle500 ,
0 4 x  0 4 y  600 ,
x0,
y  0.
Принимаем стоимость 1 кг макарон за 1. Тогда стоимость 1 кг вермишели будет 23 .
Обозначая стоимость всей продукции через b , получим
2
b  y   x
3
Таким образом, мы должны найти значения x и y , которые удовлетворяют
выписанной системе из четырех неравенств и при которых достигается максимум
функции f ( x y)  y  23 x .
Перепишем систему неравенств в виде
 y   12 x  1000

 y   x  1500
 x  0 y  0

Множество ее решений изображается выпуклым четырехугольником, ограниченным
прямыми y   12 x  1000 , y   x  1500 , x  0 и y  0 (рисунок 7).
Наибольшее значение для b мы получим, перемещая прямую y   23 x  b
параллельно прямой y   23 x в положение, когда она пройдет через точку A (рисунок 8),
то есть через вершину четырехугольника, являющуюся точкой пересечения прямых
y   12 x  1000 и y   x  1500 .
Решая систему уравнений
 y   12 x  1000

 y   x  1500
получим ответ  x  1000 и y  500.
Контрольные вопросы
1.** Что называется точкой максимума и точкой минимума линейной функции
d ( x y )  ax  by
на выпуклом многоугольнике?
2.** Какими неравенствами можно задать треугольник с вершинами (0;0), (4;1) и
(4,7)?
Задачи и упражнения
1.** Найдите минимум функции f ( x y)  y  12 x при условии, что x и y
удовлетворяют системе неравенств
 x  y  1
 x  y  1  0


 y  x  1
 y  x  1  0
2.** Найдите максимум и минимум функции f ( x y)  y  12 x при условии, что x и y
удовлетворяют системе неравенств
 y  x,

 y  x  1,
 y  2 x  3.

3.** Найдите максимум и минимум функции f ( x y )  y  3x при условии, что x и y
удовлетворяют системе неравенств
 x  y  0

 y  2 x  0
 x  1

4.** Найдите максимум и минимум функции f ( x y )  x  y при условии, что x и y
удовлетворяют неравенствам
0  x  1

0  y  1
 x  y  1

5.** Найти максимум и минимум функции f ( x y )  2 x  y на правильном
шестиугольнике со стороной длины 1, расположенном так, что его центр находится в
начале координат, а ось ординат проходит через середины двух противоположных сторон.
Ответы и указания
Задача 1 . Найдите минимум функции f ( x y)  y  12 x при условии, что x и y
удовлетворяют системе неравенств

 x  y  1
 x  y  1  0


 y  x  1
 y  x  1  0
Указание. Заданное множество — это квадрат с вершинами (1 0) , (01) , (1 0) , (01) .
Минимум достигается в точке (01) и равен f (01)  1 .
Задача 2  . Найдите максимум и минимум функции f ( x y)  y  12 x при условии, что x и
y удовлетворяют системе неравенств
 y  x

 y  x  1
 y  2 x  3

Указание. Заданное множество — треугольник с вершинами (21) , (11) ,
 12  12  .
max f ( x y)  f (11)  32 , min f ( x y )  f (21)  0 .
Задача 3  . Найдите максимум и минимум функции f ( x y )  y  3x при условии, что x и
y удовлетворяют системе неравенств
 x  y  0

 y  2 x  0
 x  1

Указание. Заданное множество — треугольник с вершинами (11) , (1 2) , (0 0) .
max f ( x y )  f (1 2)  5 , min f ( x y )  f (0 0)  0 .
Задача 4  . Найдите максимум и минимум функции f ( x y )  x  y при условии, что x и
y удовлетворяют неравенствам
0  x  1

0  y  1
 x  y  1

Указание. Заданное множество — треугольник с вершинами (1 0) , (11) , (01) . Максимум
в точке (11) и равен 2. Минимум в каждой точке гипотенузы этого равнобедренного
прямоугольного треугольника и равен 1.
Задача 5  . Найти максимум и минимум функции f ( x y )  2 x  y на правильном
шестиугольнике со стороной длины 1, расположенном так, что его центр находится в
начале координат, а ось ординат проходит через середины двух противоположных
сторон.
Указание. Шестиугольник с вершинами (1 0) , 12  23 ,  12  23 , (1 0) ,  12  23 и


1
2

3
2
 



 . Прямые параллельны прямой y  2 x . Наибольшее значение в точке (1 0) и
равно 2. Наименьшее значение в точке (1 0) и равно 2 .