Связное пространство

Реферат на тему:
Связное пространство
План:
Введение




1 Связанные определения
2 Свойства
3 Примеры
4 Вариации и обобщения
Введение
Множество A связно, а множество B несвязно.
Связное пространство — топологическое пространство, которое невозможно разбить на
два непустых непересекающихся открытых подмножества.
1. Связанные определения



Каждое связное подмножество пространства X содержится в некотором
максимальном связном подмножестве. Такие максимальные связные подмножества
называются компонентами связности (связными компонентами, компонентами)
пространства X.
o Пространство, в котором каждая компонента связности состоит из одной
точки, называется вполне не связным. Примером могут служить любые
пространства с дискретной топологией, пространство рациональных
чисел на числовой прямой и канторово множество.
Если существует база топологии пространства X, состоящая из связных открытых
множеств, тогда топология пространства X и само пространство X (в этой
топологии) называются локально связными.
Связное компактное Хаусдорфово пространство называется континуумом.
2. Свойства











В связном пространстве каждое подмножество (кроме пустого подмножества и
всего пространства) имеет непустую границу.
o Подмножества с пустой границей являются одновременно открытыми и
замкнутыми подмножествами, и называются открыто-замкнутыми
подмножествами. В связном пространстве все открыто-замкнутые
подмножества тривиальны — либо пусты, либо совпадают со всем
пространстовм.
Образ связного множества при непрерывном отображении — связен.
Связность пространства — свойство топологическое, то есть инвариантное
относительно гомеоморфизмов.
Замыкание связного множества A связно.
o Более того, всякое «промежуточное» подмножество B (
) тоже
связно. Другими словами, если связное подмножество A плотно в B, то
множество B тоже связно.
Пусть {Aα} — семейство связных множеств, каждое из которых имеет непустое
пересечение со связным множеством A. Тогда множество
тоже связно.
(То есть если к связному множеству подклеивать произвольное семейство связных
множеств, объединение всегда будет оставаться связным.)
Декартово произведение связных пространств связно. Если хоть один из
множителей несвязен, декартово произведение будет несвязным.
Каждая компонента пространства X является замкнутым множеством. Различные
компоненты пространства X не имеют общих точек. Компоненты связности
подмножества A пространства X — это максимальные связные подмножества
множества A.
Непрерывное отображение из связного пространства во вполне не связное сводится
к отображению в одну точку.
Локально связные пространства не обязаны быть связными, а связные — не
обязаны быть локально связными.
В локально связном пространстве, компоненты связности открыты.
Любое линейно связное пространство связно.
o
Обратное неверно; например замыкание графика функции
связно, но
линейно не связно (это множество содержит отрезок [ − 1,1] на оси
ординат).
3. Примеры



Псевдодуга — пример вполне линейно несвязного континуума
Веер Кнастера — Куратовского — пример такого связного подмножества
плоскости, что удаление из него одной точки делает его вполне несвязным
Множество Мандельброта — пример связного множества
4. Вариации и обобщения

Линейно связное пространство