2.1. практика Тождественые преобразования

2.1. Тождественные преобразования выражений
1. Определить ОДЗ алгебраических выражений:
a) E ( x )  6 x  x 2  2 x 3 ;
a
d
b) E (a, b, c, d ) 
;
 2
b  c b c  c 2b
x 2  7 x  12
c) E ( x ) 
;
x2  2x  3
(b  c )( a  c )
d) E ( a , b, c, d ) 
.
ab  cd  cb  ad
a3
b3
c3


d)
;
a  ba  c  b  c b  a  c  a c  b
a 2b2
a 2c2
c 2b2


e)
;
a  c b  c  a  bc  b b  a c  a 
yz
zx
x y
f)
;


x  y x  z   y  x  y  z  z  x z  y 
mm3
g)
;
2
m  m  6 m
2. Определить, являются ли выражения A и B тождественно
равными на множестве M.
a 3
2a
,
, M  a:a  3 .
A
B

2
2
a

3
 a  3

 3
2
a


3. Упростить выражения:

a)
2b  2 b 2  4
b 4 b2
2

;
 3 mn 2  3 m 2 n
mn 
1
3


2
n

b)  3 2
;
2
2
2  6
6
3
3
3
3
m

n
m

2
mn

n
m

n


2
 4 bc 3  4 a 2 bc 4


  bc  3

bc


a

c


c)
;
bc  3
 a 1
1   a 1 1
a  1  1 a  1
  
 


h) 
;
2
a
2
a

1
a

1

1
a

1

1

 

2
2
ab   ab

 a b
 a : 2
i)  a 
;

2
a b a  b

 a b
x 1
1
: 2
j) 
;
1 x  x x  x
k)
ab
2
3
1
3
1
3
a a b b
2
3

ab
2
3
1
3
1
3
2
3

2
3
2
3
1
3
1
3
a b
;
a a b b
a b
2
a  2a  3
l) 4 1  2a  a 2 a 2  1a  1 : 4
;
a 1
a2  4  a  2
m) 3
;
a  2a 2  5a  6
b  c c  a a  b b  c c  a a  b 



n)
.
b  c c  a a  b b  c c  a a  b 
4. Разложить на множители:
a) x  y  y  z z  x   xyz ;
b) x 3  y 3  z 3  3xyz ;
c) x 8  x 7  x 6  x 5  x 4  x 3  x 2  x  1;
d) x 4  x 2  1 ;
3
3
3
e) x  y    y  z   z  x  ;
f) x 5  x  1 .
5. Избавиться от иррациональности в знаменателе:
1
a)
;
1 2  3
1
b)
;
3 5 7
1
c)
;
1  3 2  23 4
9
d)
;
10  15  14  21
7
e) 12
.
5  12 3
6. Доказать, что приведенные выражения представляют
собой целые числа. Вычислить эти числа.
24 8  2
a)
4
8
2 1 
2 1
4
8
b) 3 9  80  3 9  80 ;
c)
20 7  53  20 7  53 ;
d) 3 26  15 3  3 .
2 1
;
7.
a) Вычислить x 2  y 2  z 2 , если x  y  z  1 ,
1 1 1
   0.
x y z
b) Доказать, что равенство xyz  1 влечет
1
1
1


 1.
1  x  xy 1  y  yz 1  z  zx
c) Доказать, что если x  y  z  0 , то
2
x 4  y 4  z 4  2xy  yz  xz  .
d) Доказать, что для любых трех последовательных членов
геометрической прогрессии выполняется равенство
a12  a22  a32  a1  a2  a3 a1  a2  a3  .
e) Доказать, что, если
x1  x2  x3  y1  y2  y3  x1 y1  x2 y2  x3 y3  0 , и не все
числа x j , j  1,3 и yi , i  1,3 равны нулю, то x j ,
x12
y12
2
 2
 .
2
2
2
2
2
x1  x2  x3 y1  y 2  y3 3
вариант
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Задание 4
Задание 5
Задание 6
Задание 7
Задание 8
1a
1b
1c
1d
1a
1b
1c
1d
1a
1b
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3a
3b
3c
3d
3e
3f
3g
3h
3i
3j
3k
3l
3m
3n
3a
3b
3c
3d
3e
3f
4a
4b
4c
4d
4e
4f
4c
4d
4e
4f
5a
5b
5c
5d
5e
5a
5b
5c
5d
5e
6a
6b
6c
6d
6a
6b
6c
6d
6c
6d
7a
7b
7c
7d
7e
7a
7b
7c
7d
7e