Тема урока : Взаимное расположение прямой и окружности Выполнила: Астафьева Анастасия Сергеевна Класс: 8 Предмет : геометрия Формы организации деятельности обучающихся : фронтальная, парная, индивидуальная Тип урока : ознакомление с новым материалом Цели урока Образовательные : сформировать понятия: касательной к окружности, секущей ; установить взаимосвязь между взаимным расположением прямой и окружности и расстоянием до прямой; формировать представление о свойстве касательной к окружности и его доказательстве; формировать умение решать задачи на определение взаимного расположения прямой и окружности базового уровня. Воспитательные : воспитывать ответсвенность математической речи, гуманизм и взаимоуважение. ,усидчивость,культуру Развивающие : развивать математическую память, логическое мышление, внимание, умение работать в парах и группе, умение излагать свои мысли, формулировать вопросы, познавательный интерес. Универсальные учебные действия Личностные : быть готовым действовать в условиях неопределённости; повышать уровень своей компетентности через практическую деятельность, в том числе обучаться учиться у других людей; приобретать в совместной деятельности новые знания, навыки и компетенции. Метапредметные: анализировать и систематизировать информацию; преобразовывать информацию из одной формы представления в другую; выявлять избыточность или недостаточность информации; быть готовым представлять результаты задачи; распределять и обсуждать процесс и результат совместной работы. Регулятивные : вносить коррективы в деятельность на основе новых обстоятельств, найденных ошибок, выявленных трудностей. Коммуникативные: сопоставлять свои рассуждения с суждениями других обучающихся; в корректной форме формулировать свои возражения. Планируемые результаты: Обучающиеся умеют формулировать определения касательной, секущей Обучающиеся применяют свойство касательной при решении геометрических задач базового уровня Учебный комплект: Геометрия.7 – 9-е классы:базовый уровень : учеб.для общеобразоват.учреждений /Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев [и др.]. – 14-е изд.,перераб. – Москва : Просвещение, 2023. – 416. : ил. Средства обучения: компьютер, доска, чертежные инструменты, раздаточные материалы. Организационный этап Деятельность учителя Деятельность ученика - Ребята, добрый день. Рассаживаются за парты Занимайте свои места, и Показывают тетради мы начинаем наш урок с домашним заданием проверки наличия домашнего задания. Приготовьте, пожалуйста, тетради. Примечание с Актуализация знаний -Ознакомьтесь с чертежом. (Вид доски 1) Сейчас мы проверим, как вы подготовили теоретическую часть домашнего задания. Дайте определение выделенному элементу на рисунке. Диаметр – хорда, проходящая через центр окружности. Окружность – геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, называемой центром окружности. Радиус – отрезок, соединяющий центр окружности и любой Давайте вспомним, что такое расстояние между двумя прямыми? точкой, лежащей на этой окружности. Хорда – отрезок, соединяющий две точки на окружности. Расстояние между двумя прямыми – это длина перпендикуляра к этим прямым. Мотивационный этап - Сегодня на уроке мы продолжим работать с геометрической фигурой, которую в древней Греции считали «самой простой из всех кривых», модель которой изобретали одновременно по всему миру, что поспособствовало развитию транспорта и торговли. Мы уже знаем, какие существуют элементы в окружности, но сможем ли мы ответить на вопрос, какие возможны варианты расположения прямой и окружности? Пока мы не можем ответить на этот вопрос, поэтому сегодня наш урок будет посвящен данной проблеме. Как вы думаете, какие цели сегодня мы можем перед собой поставить? Запишем тему урока «Взаимное расположение прямой и окружности на плоскости» Высказывают свои Спрашиваю учеников, которые хотят предположения ответить на вопросы Пересекаться, касаться, не пересекаться Узнать, как могут располагаться прямая и окружность относительно друг друга. Выявить некоторую закономерность, которая позволит определять взаимное расположения прямой и окружности. Рассмотрим возможное случаи расположения окружности и прямой. Постройте три отдельных окружности с радиусом 4, так, чтобы у вас еще осталось место для краткого пояснения к каждому чертежу. На первом рисунке постройте прямую a так, чтобы она с окружностью не имела общих точек. На втором рисунке постройте прямую b так, чтобы она имела с окружностью одну точку пересечения. На третьем рисунке постройте прямую c так, чтобы она имела с окружностью две общие точки. Давайте попробуем сформулировать определения для прямых во втором и третьем случае. Сейчас предлагаю вам открыть 42 параграф учебника и ознакомиться с определениями, указанными в нем. Секущая – прямая, имеющая с окружностью две общие точки Касательная – прямая, имеющая одну общую точку с окружностью Кто готов ответить, на каком чертеже проиллюстрировано первое определение? Второе? -Давайте вместе построим чертеж, на котором зафиксируем изученную классификацию. Предлагаю вам выполнить следующее задание. На Ознакомление с новым материалом Делают чертежи в тетради. Учитель и класс выполняют построения одновременно. (Вид доски 2 дополняется во время объяснения учителем) Выполняют задание учителя Поднимают руки, высказывают предположения отвечают, свои -На третьем чертеже -На втором чертеже Ученики записывают в две группы номера чертежей, под которыми изображены касательные и секущие Чертят одновременно с учителем в тетради Чертежи либо выводятся на экран либо выдаются как карточки. Устная проверка по поднятой руке. представленном чертеже необходимо найти касательные и секущие. -Перечислите номера, под 1,6,8 которыми изображены секущие. -Перечислите номера, под 3,4 которыми изображены касательные. Для того, чтобы выявить некоторую закономерность, которая поможет нам с легкостью определять взаимное расположение прямой и окружности, выполним следующие построения. Обозначим за m – расстояние от центра окружности до прямой (нарисуем ее зеленым цветом), r – радиус окружности. На первом рисунке проведем из центра окружности перпендикуляр к прямой 𝑎. Этот отрезок, как мы знаем, и будет являться расстоянием от центра окружности до прямой, поэтому его мы обозначаем буквой 𝑚. По возможности, карандашом другого цвета отметьте радиус. На втором построим перпендикуляр к прямой b .Это и будет отрезок 𝑚 Проводим радиус второй окружности. Для третьего случая также построим перпендикуляр к данной прямой 𝑚 и радиус окружности. Что мы можем сказать о расстоянии от центра окружности до прямой в каждом случае? Какую закономерность можно выделить между Длина перпендикуляра различается, в зависимости от взаимного расположения прямой и окружности. Если прямая является секущей к окружности, то расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса данной окружности. Опрос по желанию Если прямая является касательной к окружности, то расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности. Приложение 1 Если прямая и окружность не имеют общих точек, то расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности. 1.𝑚 > 𝑟 2.𝑚 = 𝑟 3.𝑚 < 𝑑 -В случае, если прямая и окружность не имеют общих точек, расстояние от прямой до центра окружности больше радиуса данной окружности. -В случае, если прямая и окружность имеют единственную общую точку, расстояние от данной прямой до расстоянием от центра окружности до прямой и радиусом в случае, когда прямая является секущей? В случае, если прямая является касательной к окружности? центра окружности равно радиусу окружности. -В случае, если прямая с окружностью имеет две общие точки, расстояние от центра Правильные итоговые результаты окружности до прямой меньше ученики записывают в тетрадь. радиуса. Приложение 1 В случае, если прямая и Расстояние от центра окружность не имеют окружности до прямой больше общих точек? радиуса окружности Расстояние от центра Предлагаю вам выполнить окружности до прямой равно следующее задание. радиусу окружности Каждый получит карточку, Расстояние от центра (прил 1) в которой окружности до прямой меньше необходимо установить радиуса окружности соответствие между - прямой угол длиной радиуса и Иначе расстояние от центра перпендикуляра в каждом окружности до касательной не случае взаимного будет равно радиусу расположения прямой и окружности. Давайте проверим Опрос по поднятой руке полученные результаты. На первом рисунке прямая Расстояние от центра является секущей, окружности до прямой меньше следовательно… радиуса. На втором рисунке прямая Расстояние от центра является касательной, окружности до прямой равно следовательно… радиусу. На третьем рисунке Расстояние от центра прямая и окружность не окружности до прямой больше имеют общих точек, радиуса следовательно… Если ваши ответы отличаются – найдите ошибку и исправьте ее самостоятельно. При необходимости – поднимите руку, я подойду и помогу вам. - Давайте порассуждаем: Прямой угол. Иначе касательная Высказывают свои предположения и какой угол образовывается будет иметь с окружностью две пытаются их обосновать. между касательной к общие точки, то есть будет окружности и радиусом, секущей. проведенным в точку касания? Почему? Оформим наши рассуждения в виде теоремы. После ее доказательства, я попрошу одного из вас провести доказательство этого же утверждения, но на другом рисунке. (вид доски 2) Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенного в точку касания. Используем метод доказательства от противного. Предположим, что радиус не перпендикулярен касательной в точке касания. Тогда радиус является наклонной к прямой. При этом, перпендикуляр, проведенный из центра окружности к прямой меньше наклонной, тогда расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса. Следовательно, прямая и окружность будут иметь две точки пересечения, что противоречит условию – нам дана касательная. Поэтому, наше предположение неверно, значит радиус перпендикулярен касательной в точке касания. Теорема доказана. Эту теорему мы будем активно использовать уже сегодня при решении задач. Кто может сформулировать план, по которому мы доказывали теорему? Сейчас я попрошу одного из вас доказать данную теорему на другом чертеже. (Вид доски 3) Устная проверка План 1.Формулируем утверждение, противоречащее тому, что следует доказать. 2.Замечаем, что тогда прямая будет являться наклонной. 3.Если прямая является наклонной, то она имеет две точки пересечения с окружностью. 4.Замечаем, что такая прямая – секущая по определению. 5.Получаем противоречие с исходными данными. 6.Делаем вывод, что сформулированное нами утверждение не верно, из чего следует, что касательная и радиус перпендикулярны в точке касания. -Доказательство 1.Используем метод от противного, предполагая, что утверждение теоремы неверно. 2. Выясняем взаимосвязь между радиусом и расстоянием до прямой, которая является наклонной. 3. Приходим к выводу, что наша прямая – секущая, так как расстояние до прямой меньше радиуса, следовательно всегда будет две общие точки с окружностью. 4. Сталкиваемся с противоречием с условием теоремы, что завершает доказательство. После доказательства теоремы учителем, выбираю одного ученика, который попробует проговорить с пояснениями все пройденные при доказательстве этапы. Динамическая пауза Предлагаю вам встать и выполнить следующие задания. Если на экране появляется верное утверждение – делайте шаг вперед. Если неверное – шаг назад. 1. Диаметр – хорда, проходящая через центр окружности 2. Хорда – отрезок, соединяющий любые две точки, лежащие внутри окружности 3. Радиус – отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности 4. Окружность – геометрическое место точек плоскости, расстояние между которыми одинаковое 5. Касательная и секущая не могут пересекаться 6. Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания Выполняют упражнения Верно Неверно Верно Неверно Неверно Верно предложенные Первичное осмысление и закрепление Занимайте свои места, мы приступаем к решению задач по нашей теме. Дано: 𝑂𝐶 − радиус окружности, равный 5. 𝐴𝐵 − касательная. Отрезок 𝐴𝐶 = 12 Требуется найти:𝑂𝐴 Решение: Рассмотрим треугольник AOC, образованный пересечением радиуса и отрезка касательной. Можем ли ответить на вопрос, какого вида данный треугольник? Почему мы можем сделать такой вывод? Верно. Тогда в прямоугольном треугольнике AOC нам известны два катета. Какая теорема поможет нам найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике, зная длины катетов? Правильно! Запишем теорему Пифагора для треугольника AOC : 𝑂𝐶 2 + 𝐶𝐴2 = 𝑂𝐴2 Подставляем известные нам данные, получаем: 25 + 144 = 𝑂𝐴2 169 = 𝑂𝐴2 Извлекаем квадратный корень из 169, получаем 𝑂𝐴 = 13. Записываем ответ. Ответ: 13 Записывают условие в тетрадь, делают чертеж. Да, это треугольник. прямоугольный Потому что по доказанной теореме касательная перпендикулярна радиусу в точке касания, значит отрезок OC перпендикулярен отрезку CA Теорема Пифагора Сейчас я предлагаю вам Пересаживаются в соответствии с новыми парами самостоятельно разделиться по парам и выполнить следующие задания. Обязательно подпишите свою карточку и проконтролируете, чтобы это сделал ваш товарищ. На каждую группу 2 одинаковые карточки, чтобы после любой ученик мог поменяться с другим и проверить чужую работу самостоятельно Первые два номера совпадают в каждой карточке. Задача одна из представленных в приложении 2. Карточки с задачами 4\5 – для успевающих обучающихся. 1.Установить соответствии между чертежом и одним из случаев расположения прямой и окружности 2. Скорректировать неточности в определении. Секущая – прямая, имеющая с окружностью хотя бы 1 общую точку. Касательная – прямая, имеющая с окружностью не более 1 общей точки. 3. Решить задачу, используя факты, связанные с доказанной теоремой. 4. Заполнить пропуски в доказательстве теоремы, приведенной на уроке. Если в написанном определении будет неточность или ошибка, исправить ее и нарисовать контрпример, то есть на чертеже опровергнуть истинность написанного утверждения. №1. Секущая – 1,2 Касательная – 3,4 Если обучающийся заканчивает раньше - проверяю его работу. При успешном выполнении работы - либо даю карточку 4\5 ,либо предлагаю ему помочь одноклассникам, у которых №2. Секущая – прямая, возникли затруднения при решении имеющая с окружностью две какого-либо пункта. общие точки. Задания из номера три выполняются по Касательная – прямая, имеющая готовому чертежу. единственную общую точку с окружностью. №3. 1.Пользуемся тем, что касательная перпендикулярна радиусу, проведенного в точку касания. Следовательно, образуется прямоугольный треугольник KLO с углом в 60 градусов. Угол KLO равен 30 градусам. Катет KO, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы KL .KL = 12.Ответ: 12 2.Треугольник OMN – прямоугольный, так как касательная MN перпендикулярна радиусу OM в точке касания. Запишем теорему Пифагора для треугольника OMN : 𝑂𝑁 2 = 𝑂𝑀2 + 𝑀𝑁 2 122 + 𝑀𝑁 2 = 152 𝑀𝑁 2 = 152 − 122 𝑀𝑁 2 = (15 − 12)(15 + 12) 𝑀𝑁 2 = 3 ∙ 27 𝑀𝑁 = 9 Ответ: 9 3.Треугольник ABO – прямоугольный, так как касательная AB перпендикулярна радиусу OB в точке касания. Запишем теорему Пифагора для треугольника ABO: 𝑂𝐴2 = 𝑂𝐵 2 + 𝐵𝐴2 𝑂𝐴2 = 64 + 225 𝑂𝐴2 = 289 𝑂𝐴 = 17 Ответ: 17 4. Треугольник 𝑂𝐴𝐵 прямоугольный, так как касательная AB перпендикулярна радиусу OA в точке касания. Заметим, что радиус окружности равен 3 см, следовательно отрезок OA=3. Запишем теорему Пифагора для треугольника OAB : 𝑂𝐵 2 = 𝐴𝐵 2 + 𝑂𝐴2 25 = 9 + 𝐴𝐵 2 𝐴𝐵 = 4 Ответ: 4 5.Треугольник AOB – прямоугольный, так как касательная AB перпендикулярна радиусу OA в точке касания. Заметим, что радиус данной окружности равен 5, следовательно отрезок OA=5. Запишем теорему Пифагора для треугольника AOB : 𝑂𝐵 2 = 𝑂𝐴2 + 𝐴𝐵 2 𝑂𝐵 2 = 25 + 144 𝑂𝐵 = 13 Ответ: 13 №4. Не перпендикулярны Наклонная И наклонной Наклонная 𝑂𝐴 > 𝑂𝐵 Длина перпендикуляра Меньше радиуса Не перпендикулярны Теперь, когда вы закончили с выполнением данного задания, поменяйтесь своей карточкой с любым одноклассником. Проверьте полученные работы самостоятельно. В случае возникновения трудностей попросите помощи товарища, или поднимите руку, чтобы я вам помогла. После проверки подпишите, кто осуществлял проверку. Теперь приступим к работе с последней карточкой. Я буду называть человека, который прочитает и закончит фразу. Правильные ответы записывайте в карточку. Этот материал остается у вас. Прямая является касательной Прямая является секущей А) Ложно, нужно добавить : две общие точки Б)Верно В) Ложно, расстояние от центра окружности строго меньше. Закончите фразу, чтобы получилось верное высказывание. Окружность и прямая имеют одну общую точку, если________________________ Вставьте пропущенные слова. Окружность и прямая имеют две общие точки, если _________________________ Установите истинность или ложность следующих утверждений: А) Прямая а является секущей по отношению к окружности, если она имеет с окружностью общие точки.____________________________ _ Б) Прямая а является секущей по отношению к окружности, если она пересекает окружность в двух точках.___________________________ ___ В) Прямая а является секущей по отношению к окружности, если расстояние от центра окружности до данной прямой не больше радиуса._____________________ Рефлексия и подведение итогов Давайте подведем итоги урока. Поднимают руки, задают Поднимите руки те, кто сможет вопросы, отвечают на ответить на вопрос: какие вопросы товарищей. возможны случаи расположения прямой и окружности? Поднимите руки те, кому кажется, что он не очень хорошо понял материал. Поднимите руки те, кому понравилось работать в паре и группе. Домашнее задание В случае, если ученик поднимает руку на втором вопросе, учитель просит озвучить его вопрос и отвечает на него, либо предлагает кому-то из ребят, которые усвоили тему, ответить на вопрос одноклассника. После урока, можно уточнить у обучающегося, что именно ему не понравилось в группе\паре и в следующий раз предложить ему либо другую пару\группу, либо индивидуальное задание Параграф 42, №344 Записывают домашнее Обязательно знание теории по задание теме нашего урока. - До свидания -До свидания, ребята. Приложение 3 Приложение 1 Приложение 2 Задачи для номера 3 ко второму приложению (1-2) 3 4 5 Для пункта с пропусками (выделенное пропущено) Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что радиус OA и прямая a не перпендикулярны. Опустим из точки O на прямую a перпендикуляр OB. Тогда OA — наклонная, проведенная из точки O на прямую a. По свойству перпендикуляра и наклонной, любая наклонная больше перпендикуляра. Значит, OA>OB. Получается, расстояние от точки O до прямой a — длина перпендикуляра OB — меньше радиуса. Из этого следует, что прямая a и окружность имеют две общие(ую) точки(у). Противоречие получили, так как предположили, что радиус OA и касательная a не перпендикулярны. Значит, касательная перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания: Что и требовалось доказать. Приложение 3 (домашние задачи) Приложение 4 1.𝑚 > 𝑟 2.𝑚 = 𝑟 3.𝑚 < 𝑑 Вид доски 1 Вид доски 2 Вид доски 3
