Решения заданий 1 тура по математике

Задания по математике
для проведения олимпиады вузов Росрыболовства
среди учащихся 9 классов 2012-13 уч. год
I тур.
Задача 1. Учёный кот написал на листке число 2000. Тридцать три морских
витязя передают листок друг другу. Каждый из них прибавил к числу или
отнял от него 1. Может ли в результате получиться число 2012?
Решение:
После того, как листок побывает у морского витязя, написанное на нём число
будет изменять свою чётность. Это значит, что после 33 изменений, число
станет нечётным. Таким образом, в результате не может получиться число
2012.
Ответ: Нет.
Задача 2.
2
Уравнение x  bx  c  2 имеет 3 корня. Сколько корней имеет
уравнение x 2  bx  c  2 ?
Решение:
2
Уравнение x  bx  c  2 имеет 3 корня, если графики функций
у=‫׀‬х2+bx+c‫ ׀‬и у=2 имеют 3 точки пересечения. Графическая иллюстрация
такой ситуации имеет вид:
у
2
1
0
х
Значит, уравнение x 2  bx  c  2 имеет один корень.
у
0
-1
х
-2
Ответ: 1.
Задача 3. Решить неравенство x 2  y 2  2 y  1 .
Решение:
Преобразуем неравенство к виду: х2 +(у-1)2 ≤ 0 . Это неравенство имеет
только одно решение х=0; у=1.
Ответ: х=0; у=1.
Задача 4. 80% всех учеников гимназии изучают или английский, или
французский, или оба этих языка. При этом 20% учеников гимназии,
изучающих английский язык, изучают также и французский язык, а 25%
учеников гимназии, изучающих французский язык, изучают также и
английский язык. Сколько % всех учащихся гимназии одновременно изучают
и английский и французский языки?
Решение:
Пусть u – число всех учеников гимназии, х – число учащихся, изучающих
английский язык, у – число учащихся, изучающих французский язык. Тогда
0,2х=0,25у или у=0,8х.
Всего учащихся, изучающих английский или французский языки
х+у-0,2х=1,6х.
Это количество составляет 80% всех учеников гимназии, то есть 1,6х=0,8 u.
Значит, u=2х.
0,2х
Таким образом,
∙ 100%=10% всех учащихся гимназии одновременно
2х
изучают и английский и французский языки.
Ответ: 10%.
Задача 5. В треугольнике АВС продолжение медианы АD пересекает
описанную вокруг треугольника окружность в точке Е. Найти длину стороны
ВС, если АD=9, DЕ=4.
Решение:
По свойству пересекающихся хорд АD· DЕ= ВD2.
Отсюда находим ВD=6. ВС=12.
A
B
D
C
E
Ответ: 12.
Задания по математике
для проведения олимпиады вузов Росрыболовства
среди учащихся 10 классов 2012-13 уч. год
I тур.
Задача 1. 80% всех учеников гимназии изучают или английский, или
французский, или оба этих языка. При этом 20% учеников гимназии,
изучающих английский язык, изучают также и французский язык, а 25%
учеников гимназии, изучающих французский язык, изучают также и
английский язык. Сколько % всех учащихся гимназии одновременно изучают
и английский и французский языки?
Решение:
Пусть u – число всех учеников гимназии, х – число учащихся, изучающих
английский язык, у – число учащихся, изучающих французский язык. Тогда
0,2х=0,25у или у=0,8х.
Всего учащихся, изучающих английский или французский языки
х+у-0,2х=1,6х.
Это количество составляет 80% всех учеников гимназии, то есть 1,6х=0,8 u.
Значит, u=2х.
0,2х
Таким образом,
∙ 100%=10% всех учащихся гимназии одновременно
2х
изучают и английский и французский языки.
Ответ: 10%.
Задача 2. Построить график функции
y  4 sin 4 x  2 cos 2 x  3  4 cos 4 x  2 cos 2 x  3.
Решение:
Преобразуем правую часть функции
у=√4𝑠𝑖𝑛4 𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 3 +
√4𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 3=√4𝑠𝑖𝑛4 𝑥 + 4𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 1 + √4𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 + 4𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 1=
√(2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 1)2 +√(2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 1)2 =2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 1+2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 1=4.
Таким образом, график функции – прямая у=4.
У
4
0
Х
Задача 3. Найти все значения параметра а, при которых неравенство
x 2  4 x  a  5 верно для всех x  0; 3 .
Решение:
2
Данное неравенство равносильно системе {𝑥 2 − 4𝑥 + 𝑎 − 5 ≤ 0.
𝑥 − 4𝑥 + 𝑎 + 5 ≥ 0
Найдём значения параметра а, при которых первое неравенство системы
выполняется для всех x∈ [0; 3].
Рассмотрим функцию f(x)=x2─4x + a ─ 5. Первое неравенство системы
𝑓(0) ≤ 0
𝑎≤5
выполняется для всех x∈ [0; 3], если {
, то есть {
или a≤5.
𝑓(3) ≤ 0
𝑎≤8
Второе неравенство системы выполняется для всех х из указанного
интервала, если дискрименант квадратного трёхчлена D≤0, так как вершина
параболы f(x)=x2─4x + a +5 принадлежит указанному интервалу.
D=16-4(a+5) ≤ 0. ⟹ a ≥ - 1.
Решение системы: [−1; 5].
Ответ: [−1; 5].
Задача 4. Какова вероятность, что при случайном расположении в ряд
карточек, на которых написаны буквы а, а, а, н, н, с, получится слово
«ананас»?
Решение:
Множество всех исходов такого опыта – число перестановок из шести
элементов, среди которых есть повторяющиеся: а три раза, н два раза. Число
таких исходов равно
6!
𝑁=
= 60.
3! ∙ 2!
Благоприятный для опыта результат один : расположение букв в слово
1
«ананас». Поэтому вероятность равна .
Ответ:
1
60
.
60
Задача 5. В треугольнике АВС продолжение медианы АD пересекает
описанную вокруг треугольника окружность в точке Е. Найти длину стороны
ВС, если АD=9, DЕ=4.
Решение:
По свойству пересекающихся хорд АD· DЕ= ВD2.
Отсюда находим ВD=6. ВС=12.
A
B
D
C
E
Ответ: 12.
Задания по математике
для проведения олимпиады вузов Росрыболовства
среди учащихся 11 классов 2012-13 уч. год
I тур.
Задача 1. В два различных сосуда налиты растворы соли. В первый сосуд
налито 5 кг, а во второй - 20 кг. При испарении воды процентное
содержание соли в первом сосуде увеличилось в р раз, а во втором сосуде
увеличилось в q раз. Известно, что р q=9. Какое наибольшее количество
воды могло при этом испариться из обоих сосудов вместе?
Решение:
Пусть в первом сосуде было х кг соли, а во втором - у кг соли.
Тогда процентное содержание соли в первом и во втором сосудах:
у
х
5
∙ 100 и
∙ 100, соответственно. Если из первого сосуда испарилось m кг воды, а из
второго испарилось n кг воды, тогда процентное содержание соли в первом и
х
у
во втором сосудах станет:
∙ 100 = 20хр,
∙ 100 =5у q,
20
5−m
20−𝑛
5
соответственно. Отсюда находим m=5 − , n=20 −
р
20
𝑞
= 20 −
20р
9
.
Из обоих сосудов вместе испаряется f=m+n воды. Рассмотрим функцию
5
20р
f (р) = 25− −
, р> 0. Исследуем её на экстремум.
р
9
Найдём критические точки:f ´(р) =
5
р2
−
20
9
3
= 0. Отсюда находим, что р = .
2
3
При переходе через точку р = производная изменяет знак с «+» на «−»,
2
следовательно, это точка максимума. Так как на множестве р> 0 функция
имеет одну точку экстремума−точку максимума, то в этой точке функция
3
1
достигает своего наибольшего значения. f ( ) = 18 (кг).
2
3
1
Ответ: 18 кг.
3
 x 0,5logy x  y ,

xy  y
Задача 2. Решить систему уравнений 
 1  log x1 3  4 x 2 .
log x1
x


Решение:
Область допустимых значений переменных для данной системы
х>0
уравнений: {у > 0.
у≠1

Преобразуем уравнения системы на множестве допустимых значений
переменных.
√х ∙ хlogу х = √у
.
{ху+у
= (х + 1) ∙ (з + 4х2 )
х
Прологарифмируем первое уравнение по основанию у.
1
1
2
(log у х) + log у х =
2
2
{
у
(х + 1) ( − 3 − 4х2 ) = 0
х
1
Отсюда находим, log у х = −1; или log у х = . Так как х≠ −1, система
2
равносильна совокупности двух систем:
1
у=
у = х2
х
или {у
.
{у
− 3 − 4х2 = 0
− 3 − 4х2 = 0
х
х
1
Первая система имеет решение (с учётом ОДЗ) х= ; у=2. Вторая система не
2
имеет решений.
1
Ответ: х= ; у=2.
2
Задача 3. Найти все значения параметра а, при которых неравенство
x 2  4 x  a  5 верно для всех x  0; 3 .
Решение:
2
Данное неравенство равносильно системе {𝑥 2 − 4𝑥 + 𝑎 − 5 ≤ 0.
𝑥 − 4𝑥 + 𝑎 + 5 ≥ 0
Найдём значения параметра а, при которых первое неравенство системы
выполняется для всех x∈ [0; 3].
Рассмотрим функцию f(x)=x2─4x + a ─ 5. Первое неравенство системы
𝑓(0) ≤ 0
𝑎≤5
выполняется для всех x∈ [0; 3], если {
, то есть {
или a≤5.
𝑓(3) ≤ 0
𝑎≤8
Второе неравенство системы выполняется для всех х из указанного
интервала, если дискрименант квадратного трёхчлена D≤0, так как вершина
параболы f(x)=x2─4x + a +5 принадлежит указанному интервалу.
D=16-4(a+5) ≤ 0. ⟹ a ≥ - 1.
Решение системы: [−1; 5].
Ответ: [−1; 5].
Задача 4. Какова вероятность, что при случайном расположении в ряд
карточек, на которых написаны буквы а, а, а, н, н, с, получится слово
«ананас»?
Решение:
Множество всех исходов такого опыта – число перестановок из шести
элементов, среди которых есть повторяющиеся: а три раза, н два раза. Число
таких исходов равно
6!
𝑁=
= 60.
3! ∙ 2!
Благоприятный для опыта результат один : расположение букв в слово
1
«ананас». Поэтому вероятность равна .
Ответ:
1
60
.
60
Задача 5. В каком отношении делит объём куба плоскость, проходящая
через центры трёх смежных граней куба?
Решение:
D1
С1
B1
А1

K

M
D
С
L
А
В
Так как все кубы подобны друг другу, будем считать, что ребро куба равно 1.
Обозначим середины смежных граней куба АА1В1В, В1ВСС1, АВСD,
соответственно – M, K, L. Отрезок MK – средняя линия в треугольнике
АВ1С, поэтому секущая плоскость пересекает основание АВСD по отрезку
1
АС. Секущая плоскость отсекает пирамиду АВСВ1, объем которой равен .
5
Объём оставшейся части куба равен . Следовательно, плоскость,
6
проходящая через центры трёх смежных граней куба, делит объём куба в
отношении 5:1( или 1:5).
Ответ: 5:1( или 1:5).
6