Беседина Антонина Николаевна, учитель математики МБОУ «Тростенецкая СОШ»

Технология проблемного обучения на уроках математики
Беседина Антонина Николаевна,
учитель математики
МБОУ «Тростенецкая СОШ»
В условиях современного общества предъявляются все более высокие
требования к ученику как к личности, способной самостоятельно решать
проблемы разного уровня. Возникает необходимость формирования у детей
активной жизненной позиции, устойчивой мотивации к образованию и
самообразованию, критичности мышления.
В этом плане традиционная система обучения имеет значительные
недостатки по сравнению с проблемным обучением.
Сегодня под проблемным обучением понимается такая организация
учебных занятий, которая предполагает создание под руководством учителя
проблемных ситуаций и активную самостоятельную деятельность учащихся
по их разрешению, в результате чего и происходит творческое овладение
знаниями, умениями, навыками (ЗУН).
Исследования ученых свидетельствуют о том, что учащиеся удерживают в
памяти: - 10% от того, что они читают; - 26% от того, что они слышат; - 30%
от того, что они видят; - 50% от того, что они видят и слышат; - 70% от того,
что они обсуждают с другими; - 80% от того, что основано на личном опыте;
- 90 % от того, что они говорят (проговаривают) в то время, как делают; 95% от того, чему они обучаются сами.
Учитель осуществляет проблемное
обучение, если не даёт
информацию в готовом виде, а организовывает работу так, что ребята сами
открывают новое знание. От учителя
требуется лишь правильное
использование всех тех ресурсов, которые скрыты в курсе преподаваемого
предмета.
Главные цели проблемного обучения:
• развитие мышления и способностей учащихся, развитие творческих
умений;
• усвоение учащимися знаний и умений, добытых в ходе активного
поиска и самостоятельного решения проблем, в результате эти знания,
умения более прочные, чем при традиционном обучении;
• воспитание активной творческой личности учащегося, умеющего
видеть, ставить и разрешать нестандартные проблемы.
Десять способов создания проблемной ситуации (по М.И. Махмутову)
• Побуждение учащихся к теоретическому объяснению явлений, фактов,
внешнего несоответствия между ними.
• Использование учебных и жизненных ситуаций, возникающих при
выполнении учащимися практических заданий в школе, дома или на
производстве, в ходе наблюдений за природой.
• Постановка учебных практических заданий на объяснение явления или
поиск путей его практического применения.
• Побуждение учащихся к анализу фактов и явлений действительности,
порождающему противоречия между житейскими представлениями и
научными понятиями об этих фактах.
• Выдвижение предположений (гипотез), формулировка выводов и их
опытная проверка.
• Побуждение
учащихся
к
сравнению,
сопоставлению
и
противопоставлению фактов, явлений, правил, действий, в результате
которых возникает проблемная ситуация.
• Побуждение учащихся к предварительному обобщению новых фактов.
• Ознакомление учащихся с фактами, носящими как будто бы
необъяснимый характер и приведшими в истории науки к постановке
учебной проблемы.
• Организация межпредметных связей.
• Варьирование задачи, переформулировка вопроса.
Данная технология позволяет:
- активизировать познавательную деятельность учащихся на уроке, что
позволяет справляться с большим объемом учебного материала;
- сформировать стойкую учебную мотивацию, а учение с увлечением – это
яркий пример здоровьесбережения;
- использовать полученные навыки организации самостоятельной работы
для получения новых знаний из разных источников информации;
- повысить самооценку учащихся, т. к. при решении проблемы
выслушиваются и принимаются во внимание любые мнения.
В своей работе:
1.Применяю сочетание традиционного объяснения с созданием проблемных
ситуаций, включая учащихся в процесс постановки и решения проблем.
2.Целенаправленно организую систему проблемных ситуаций при
объяснении нового материала, решении задач, в результате чего усвоение
знаний происходит в процессе самостоятельной поисковой деятельности.
Приведу примеры проблемных заданий, которые я использую на уроках.
1. При изучении систем счисления можно предложить такое задание.
Известно, что если два натуральных числа имеют разное количество
разрядов, то больше то число, у которого разрядов больше. Однако
неравенство 101< 15 может быть верным. Как такое может быть?
2. Тема «Проценты».
В конкурсе участвовали два класса. Из 5 класса – 50% учащихся, а из 6 40%. При подсчете оказалось, что количество участников из каждого класса
одинаково. Почему?
3. Тема «Свойства деления»
Коле дали задание найти значение выражения
(37 + 34·5) : (45·3 – 135) .
Он сказал, что найти значение этого выражения нельзя. Прав ли он?
4. В легенде рассказывается, что, когда один из помощников Магомета –
мудрец Хозрат Али садился на коня, подошедший человек спросил его:
- Какое число делится без остатка на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?
Мудрец ответил:
- Умножь число дней в неделе на число дней в месяце (считая, что в
месяце 30 дней) и на число месяцев в году.
Прав ли Хозрат Али? Почему?
Если ученик воспринимает задачу как проблему и самостоятельно ее
решает, то это есть главнейшее условие развития его мыслительных
способностей.
Типология проблемных задач может быть следующей:
1. Задачи с несформулированным вопросом.
Пример. Шоколад стоит 45 руб., коробка конфет 90 руб. Задайте все
возможные вопросы по условию данной задачи.
2. Задачи с недостающими данными.
Пример. Из двух пунктов вышли одновременно навстречу друг другу два
пешехода. Скорость одного пешехода равна 6 км/ч, а скорость другого – на 1
км/ч больше. Какое расстояние будет между пешеходами через 2 часа?
Учащимся задаются вопросы:
Почему нельзя дать ответ на вопрос задачи?
Чего не хватает?
Что нужно добавить?
Докажи, что теперь задачу точно можно будет решить?
А можно ли что-нибудь извлечь даже из имеющихся данных?
Какое заключение можно сделать из анализа того, что дано?
3. Задачи с излишними данными.
Масса 11 ящиков яблок 4 ц 62 кг, а масса 18 ящиков груш 6 ц 12 кг. В
магазин привезли 20 ящика яблок и 6 ящиков груш. На сколько килограммов
масса одного ящика яблок больше массы одного ящика груш.
4. Задачи с несколькими решениями.
Пример. За три дня в магазине продано 1280 кг яблок. В первый день
продали 25% всех яблок, а во второй день – 45% всех яблок. Сколько
килограммов яблок продали в третий день? Решите задачу несколькими
способами. Какой из них наиболее простой.
5. Задачи с меняющимся содержанием.
Пример. Исходная задача. Туристы прошли за день 20 км, что составило
40% намеченного маршрута. Какова длина маршрута?
Второй вариант. Туристы прошли за день 20 км, и им осталось пройти
60% намеченного маршрута. Какова длина маршрута?
6. Задачи на доказательство.
7. Задачи на соображение, логическое рассуждение.
Создание проблемных ситуаций
Проблемная задача №1.
Длина аквариума 80 см, ширина 45 см, а высота 55 см. Сколько воды надо
влить в этот аквариум, чтобы уровень воды был ниже верхнего края
аквариума на 10 см?
Проблема: не знают понятие объема и формулу для нахождения объема
параллелепипеда.
Учащиеся выбирают необходимую им информацию, используя текст
учебника. Обсуждают решение задачи, делают вывод, записывают формулу в
тетради.
Проблемная задача №2.
Длина плавательного бассейна 200 м, а ширина 50 м. В бассейн
налили 2 000 000 л воды. Можно ли плыть в этом бассейне?
Проблема: несоответствие единиц измерения.
Учащиеся ищут пути решения задачи, используя повествование учителя о
единицах измерения объемов.
Создание проблемных ситуаций через выполнение практических
заданий
Изучение темы “Площадь треугольника” (геометрия 8 класс)
Задача: «Три маляра должны покрасить фронтон дома в форме
прямоугольного треугольника со сторонами 3м и 4 м. Хватит ли им 1 банки
краски, если на ней написано: площадь покрытия 10г/кв.м.?»
Переведем задачу на математический язык:
«Найдите площадь S прямоугольного треугольника, если один из катетов
3 м, а другой – 4 м». Отдельные ученики догадались - зная формулу
площади прямоугольника, смогут решить эту задачу.
Первая проблемная ситуация.
«Как вычислить площадь прямоугольного треугольника, зная формулу
для нахождения площади прямоугольника?»
Дети предлагают: достроить данный треугольник до прямоугольника
(если прямоугольный треугольник достроим до прямоугольника, то мы
получим два равных треугольника, которые равны по двум катетам).
Вычисляют
площадь прямоугольника, а затем находят
площадь
прямоугольного треугольника.
Вторая проблемная ситуация: всегда ли можем использовать получившуюся
формулу, если треугольники бывают разной формы?
Задача: «Найти площадь любого треугольника».
При помощи наводящих вопросов ученики находят способ. Они
предлагают достроить треугольник до параллелограмма.
• Доказываем, что полученные 2 треугольника равны по 3-му признаку
равенства треугольников.
• Вспоминаем формулу площади параллелограмма;
• Выводим формулу площади любого треугольника ;
• Отвечаем на вопрос задачи: площадь любого треугольника равна
половине произведения его основания на высоту.
Создание проблемных ситуаций через решение задач на внимание и
сравнение
Тема «Сумма углов треугольника» (7 класс):
1) Построить треугольник по трем заданным углам:
• ∟А=90°, ∟B=60°, ∟С=45°;
• ∟А=50°, ∟B=60°, ∟С=70°.
2) Два угла треугольника равны 118º и 62º. Найти величину третьего угла.
Создание проблемных ситуаций через умышленно допущенные
учителем ошибки
Тема «Линейные уравнения с одной переменной» (6 класс)
Решаю быстро уравнение:
(3х + 7) × 2 – 3 = 17
6х + 14 – 3 = 17
6х = 17 – 14 – 3
6х = 0
х=0
При проверке ответ не сходится. Проблемная ситуация. Ищем ошибку.
Дети решают проблему.
Создание проблемных ситуаций через противоречие нового материала
старому, уже известному
Тема «Формулы сокращённого умножения» (7 класс)
Вычисляем
(2 × 5)²= 2² × 5² = 100, (2 × 5)²=10² = 100
(3 × 4)²= 3² × 4² = 9 × 16 = 144, (3 × 4)²= 12² = 144
(10 : 2)² = 10² : 2² = 100 : 4 = 25, (10 : 2)² = 5² = 25
(3 + 4)² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, ( 3 + 4)² =7² = 49.
Проблемная ситуация создана. Почему разные результаты?
( 3 +4)² ≠ 3² + 4²
Рассмотрим несколько уроков математики, где были использованы
приемы и методы проблемного обучения.
Урок №1. Тема: «Координатная плоскость» (6 класс)
В начале урока учитель демонстрирует классу хорошо знакомые
предметы, например, шахматную доску, глобус, билет в театр. Учащимся
предлагается ответить на вопрос: «Что объединяет все эти предметы?».
Затем учитель предлагает попробовать провести параллель между
объектами в географии и математике.
 Как описать положение точки на плоскости? – Ввести координаты на
плоскости.
 Какова же тема урока? - Координаты на плоскости. (На доске
появляется тема урока)
 Географические координаты (широта и долгота) – это воображаемые
окружности на поверхности земного шара. Что можно взять на
плоскости вместо окружностей? – Прямые.
 Сколько прямых и каково их взаимное расположение? – Две
пересекающиеся прямые.
В заключение диалога учитель подводит итог: «Наверное, таким же
образом рассуждал ещё один великий француз – Рене Декарт, когда
предложил использовать две взаимно перпендикулярные прямые для
введения координат на плоскости. С тех пор математики всего мира так и
говорят – декартова система координат». (На слайде демонстрируется
портрет Декарта)
Далее на уроке рассматриваются типовые задачи (нахождение координат
точки и построение точки по заданным координатам) и выполняется задание
«Рисуем по координатам».
В качестве домашнего задания можно предложить учащимся творческую
работу «Зашифруй рисунок», а также привести примеры из повседневной
жизни, где мы встречаемся с координатами на плоскости (артиллерия,
домашний адрес).
Урок № 2. Тема: «Теорема Виета» (8 класс)
Урок начинается с исторической зарисовки (на слайде – портрет
Франсуа Виета).
XVI век. Франция. Адвокат и советник короля Генриха III Франсуа Виет,
будучи выдающимся математиком, сумел раскрыть ключ шифра,
состоявшего из 500 знаков, с помощью которого враги короля вели переписку
с испанским двором. Но среди математиков Виет известен своей теоремой
о свойствах корней квадратного уравнения.
Далее учащимся предлагаются задания:
1) Запишите данные уравнения в тетрадь и подчеркните те из них, которые
имеют общее отличие от остальных. Укажите это отличие.
а) - 5х 2 - 6х + 1 = 0; б) 6d 2 - 5d – 1 = 0;
в) х 2 - 5х + 6 = 0;
г) 7х 2 - 6х + 2 = 0; д) z 2 + 8z + 15 = 0;
е) t 2 - 3t – 4 = 0.
После выполнения этого задания даем определение приведенного
квадратного уравнения, записываем его в общем виде, вводим обозначение
коэффициентов.
2) Решите приведенные квадратные уравнения и найдите сумму и
произведение корней.
На доске записываем только условие приведенного квадратного
уравнения, сумму и произведение корней:
а) х 2 - 5х + 6 = 0
Ответ:
х 1 + х 2 = 5,
х1 · х 2 = 6
б) z 2 + 8z + 15 = 0
Ответ:
z 1 + z 2 = - 8,
z 1 · z 2 = 15
в) t 2 - 3t – 4 = 0
Ответ:
t 1 + t 2 = 3,
t1 · t 2 = - 4
3) Сравните полученные числа и коэффициенты. Что интересного вы
заметили?
Запишите это свойство для уравнения х 2 + px + q = 0.
х 2 + px + q = 0
х 1 + х 2 = - p,
х1 · х 2 = q
Далее учитель подводит итог работы: именно эту зависимость для любого
квадратного уравнения и увидел Франсуа Виет.
ax 2 + bx + c = 0 | : a
x2 +
b
c
x+ =0
a
a
Теорема Виета для квадратного уравнения общего вида:
х1 + х 2 = х1 · х 2 =
b
,
a
c
a
Звучат стихи Александра Гуревича, посвященные теореме Виета:
По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого?
Умножишь ты корни – и дробь уж готова,
В числителе «с», в знаменателе «а».
А сумма корней тоже дроби равна,
Хоть с минусом дробь эта, что за беда?
В числителе «b», в знаменателе «а»!
Урок № 3. Тема: «Сумма n-первых членов арифметической прогрессии»
(9 класс)
Начать урок можно с исторической зарисовки о детстве великого
математика Карла Гаусса.
Рассказывают, что в начальной школе, где учился мальчик Карл Гаусс,
ставший потом знаменитым математиком, учитель, чтобы занять класс
на продолжительное время самостоятельной работой, дал детям задание вычислить сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. Но маленький Гаусс
это задание выполнил почти моментально. Он увидел, что…
На доске:
1 + 2 + 3 + …+ 98 + 99 + 100 = (1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51) =
101·50 = 5050
Подводящий диалог:
 Что собой представляет последовательность чисел 1, 2, …, 100? Арифметическую прогрессию, первый член которой равен 1, n-член
равен 100, а разность равна 1.
 Что требуется
найти? - Сумму 100 первых членов. (Вводим
обозначение. На доске: S n - сумма n-первых членов арифметической
прогрессии).
 Какова будет тема урока? - Сумма n-первых членов арифметической
прогрессии.
На доске появляется тема урока и условие задачи:
Дано: (a n ) – арифметическая прогрессия,
а 1 = 1, а n = 100, n = 100
Найти: S n .
 Попробуйте связать числа 101 и 50 с данными «нашей задачи». Что
интересного вы заметили? - 101 = а 1 + а n , 50 =
n
.
2
 Запишите формулу
прогрессии.
S n = (а 1 + а n )·
суммы
n-первых
членов
арифметической
а а
n
= 1 n ·n
2
2
Урок № 4. Тема: «Сумма n-первых членов геометрической прогрессии»
(9 класс)
Учитель начинает урок с индийской легенды об изобретателе шахмат.
Рассказывают, что индийский царь Шерам рассмеялся, услышав, какую
награду попросил у него изобретатель шахмат: за первую клетку
шахматной доски 1 зерно, за вторую – 2, за третью – 4, за четвертую – 8, и
так до 64 клетки. Царь приказал немедленно выдать столь «ничтожную»
по его мнению, награду, взяв зерно из кладовых дворца. Каково же было его
удивление, когда на следующее утро он узнал, что в кладовых дворца нет
требуемого количества зерен. Не оказалось его и во всем царстве Шерама!
А мудрецы, которым царь велел исчислить требуемое количество зерен,
утверждали, что если бы
удалось засеять пшеницей площадь всей
поверхности Земли, считая и моря, и океаны, и горы, и пустыни, и получить
удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за пять Шерам смог бы
рассчитаться с просителем. Как вы считает – стоило ли ему смеяться?
Какое же количество зерен потребовал изобретатель шахмат?
Попробуйте и вы ответить на этот вопрос! (Учащимся дается 5 минут на
решение задачи.)
Побуждающий диалог:
 Вы смогли выполнить задание? В чем затруднение? – Нет. Очень долго
считать.
 Давайте «переведем» содержание задачи на язык математики, чтобы
понять какую формулу мы хотим получить. – Число зерен, которые
потребовал мудрец за каждую клетку, образуют геометрическую
прогрессию, в которой всего 64 члена (по числу клеток шахматной
доски), первый член равен 1, а знаменатель 2. Нужно найти сумму nпервых членов.
 Какова же тема урока? - Формула суммы n-первых членов
геометрической прогрессии.
На доске появляется тема урока и условие задачи.
Дано: (b n ) – геометрическая прогрессия,
b 1 = 1, b n = 2 63 , q = 2, n = 64
Найти: S n
Далее учащиеся под руководством учителя выводят формулу суммы nпервых членов геометрической прогрессии.
Урок № 6. Тема: «Построение треугольника по трем элементам» (7
класс)
В начале урока учитель объясняет способы построения треугольников
по трем элементам.
Затем учащимся предлагается ответить на вопрос: «Всегда ли можно
построить треугольник по указанным трем элементам?»
Чаще всего учащиеся, опираясь на описанный учителем ход
построения, дают положительный ответ.
Тогда целесообразно предложить им построить треугольник по трем
сторонам с заведомо невозможными длинами сторон. Тем самым учитель
создает проблемную ситуацию с удивлением и затруднением (между
необходимостью и невозможностью выполнить задание).
Затем учитель ведет побуждающий диалог от проблемной ситуации:
 Побуждение к осознанию противоречия:
«Вы смогли выполнить задание? В чем затруднение?» - «Нет.
Окружности не пересекаются»
«Почему они не пересекаются? А когда пересекутся?»
 Побуждение к выдвижению гипотез: «Какие есть гипотезы?» «Дело в длинах сторон. Одна сторона много больше двух других
(равна двум другим)».
 Побуждение к устной проверке гипотезы: «Согласны с этой
гипотезой? Почему?» - «Потому что для любого треугольника
верно свойство: длина большей стороны меньше суммы длин
двух других сторон».
Сегодня мы являемся свидетелями процесса перехода от «школы
объяснения» к «школе развития». Важнейшей характеристикой новой школы
является проблемное обучение. Совершенно очевидно, что ЗУНы не могут
быть единственной педагогической целью: школа должна всемерно развивать
познавательные и творческие возможности. Значит, все должно быть подругому: и психологическая атмосфера занятий, и учебное содержание, и
методика преподавания.
1. Селевко Г. К. Современные образовательные технологии: Учеб.
пособие – М.: Народное образование, 1998 г.
2. Махмутов М. И. Организация проблемного обучения в школе. Кн.
для учителя.- М.: Просвещение, 1977г.
3. Мельникова Е.Л. Проблемный урок или как открывать знания с
учениками. – М., 2002.
4. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Кн. для учащихся
7-9 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1990. – 224с.: ил. – ISBN 5-09001290-3
5. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника
математики:Пособие для учащихся 5-6 кл. сред. шк. –
М.:Просвещение, 1989. – 287 с.: ил. – ISBN 5 -09-000412-9
6. Орехова О. Ю. Применение проблемного обучения на уроках
математики. / О. Ю. Орехова // Учебно-методический кабинет –
[Электронный
ресурс]
–
Режим
доступа:
http://pedkopilka.ru/uchiteljam-predmetnikam/matematika/primenenieproblemnogo-obuchenija-na-urokah-matematiki.html