Практическая работа №6

Практическая работа №6
Критерий 𝝌𝟐
Цель работы: овладеть практическими навыками проверки сложной статистической
гипотезы по критерию χ2 - Пирсона в среде ЭТ MS Excel.
Формирование исходных данных к заданиям
Условия заданий, входящих в работу, одинаковы для всех студентов, однако
числовые данные зависят от личного шифра студента, выполняющего работу.
Для того чтобы получить свои личные числовые данные, необходимо взять две
цифры номера фамилии студента в списке учебной группы. Номер фамилии
определяется двузначным числом: 01, 02, 03, …, 30 (М - первая цифра, N – вторая) и
выбрать из табл. 1 параметр m, а из табл. 2 параметр n. Эти два числа m и n и нужно
подставлять в условия задания.
Таблица 1 - Выбор параметра m
M
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
m
4
3
5
1
3
2
4
2
1
5
Таблица 2 - Выбор параметра n
N
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
n
3
2
1
4
5
3
1
5
2
4
1 Задания к работе
Выборка X объёмом К = 100 измерений в виде последовательности
равноотстоящих вариант задана таблицей:
Xi
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
Mxi
5
13
20 + (m+n)
30 – (m+n)
17
10
5
где Xi – результаты измерений, Nxi – частоты, с которыми встречаются значения Xi,
∑7𝑖=1 𝑁𝑥𝑖 = 100, Xi = 0,2*m + (i-1)*0,3*n.
1. По критерию χ2 - Пирсона проверить сложную гипотезу о нормальном
распределении генеральной совокупности при уровне значимости α = 0, 05 для
эмпирического распределения:
1.1 Распределение задано в виде последовательности равноотстоящих
вариант и соответствующих им частот;
1.2 Распределение задано в виде последовательности интервалов
одинаковой длины и соответствующих им частот;
1
1.2.1 Построить гистограмму относительных частот эмпирического
распределения.
2 Порядок выполнения работы
2.1 Проверяем гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности,
когда распределение задано в виде последовательности равноотстоящих вариант и
соответствующих им частот:
2.1.1. Вычисляем теоретические (выравнивающие) частоты:
𝑛ℎ
𝑓𝑒𝑖 =
× 𝜑(𝑢𝑖 ),
𝜎в
где n – объём выборки, h – шаг (разность между двумя соседними вариантами),
𝑥 −𝑥̅ в
𝑢𝑖 = 𝑖
𝜎в
,
𝜑(𝑢𝑖 ) =
1
√2𝜋
1 2
× 𝑒 −2𝑢𝑖 .
Для расчета функции Гаусса (𝜑(𝑢𝑖 ) используют статистическую функцию
НОРМ.РАСП(ui;0;1;0).
2.1.2. Сравниваем эмпирические (наблюдаемые) и теоретические частоты с
помощью критерия Пирсона. Для этого:
 Составляют расчетную таблицу (см. рис.1), по которой находят
наблюдаемые значения критерия
2
𝜒набл.
= ∑𝑚
𝑖=1
(𝑓𝑜𝑖 −𝑓𝑒𝑖 )2
𝑓𝑒𝑖
,
где 𝑓𝑜𝑖 − соответствующая наблюдаемая частота;
𝑓𝑒𝑖 − соответствующая выравнивающая (теоретическая)частота.
 С помощью статистической функции ХИ2.ОБР.ПХ(α;k) (ХИ2ОБР(α;k)
2 (𝛼;
) находим критическую точку 𝜒кр.
𝑘) правосторонней критической
области.
2
2 (𝛼;
 Если 𝜒набл
< 𝜒кр.
𝑘) – нет оснований отвергнуть гипотезу о
нормальном распределении генеральной совокупности.
2
2 (𝛼;
 Если 𝜒набл
≥ 𝜒кр.
𝑘) – гипотезу отвергаем. Другими словами,
эмпирические и теоретические частоты различаются значимо.
 Значимость выполненных расчетов подтверждаем расчетом Р-значения
2
2
с помощью функции ХИ2.РАСП.ПХ(𝜒набл.
; 𝑘) (ХИ2РАСП (𝜒набл.
; 𝑘)).
2
Рис. 1. Расчетная таблица проверки гипотезы о нормальном распределении для
равноотстоящих вариант.
2.2 Проверяем гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности,
когда распределение задано в виде последовательности интервалов одинаковой
длины и соответствующих им частот:
2.2.1 Распределение, заданное в виде последовательности равноотстоящих
вариант, преобразуем в распределение, заданное в виде последовательности
интервалов одинаковой длины. Левая граница первого интервала равна -∞. Правая
граница последнего интервала равна ∞.
2.2.2 Составляем расчетную таблицу (рис.2):
 Для первого интервала левым концом является минус бесконечность, а
интегральная вероятность равна нулю. Правым концом значение равное
 Для последнего интервала правым концом является плюс
бесконечность с интегральной вероятностью единица. Левым концом
значение равное
 Нормальную вероятность Pi - вероятность попадания X в интервал,
рассчитываем по формуле
(пр)
𝑃𝑖 = 𝐹(𝑥𝑖
л)
) − 𝐹(𝑥(𝑖 ),
3
где F(X) - интегральная функция нормального распределения, для расчета которой
используем функцию НОРМ.РАСП ().
 Находим наблюдаемые значения критерия
2
𝜒набл.
= ∑𝑚
𝑖=1
(𝑓𝑜𝑖 −𝑓𝑒𝑖 )2
𝑓𝑒𝑖
,
где 𝑓𝑜𝑖 − соответствующая наблюдаемая частота;
𝑓𝑒𝑖 − соответствующая выравнивающая (теоретическая)частота.
Рис.2. Расчетная таблица проверки гипотезы о нормальном распределении для
интервалов одинаковой величины.
2.3 Строим гистограмму инструментом "Обычная гистограмма с группировкой".
4