Планиметрия. Медианы, биссектрисы, высоты треугольника. Задание №1 ЕГЭ. 1. Сумма двух углов треугольника и внешнего угла к третьему равна третий угол. Ответ дайте в градусах. . Найдите этот 2. В треугольнике ABC угол C равен , AD и BE — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах. 3. В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и . Найдите меньший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах. 4. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла, равен . Найдите больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах. 5. В треугольнике угол равен , угол равен — биссектриса, — такая точка на , что Найдите угол . Ответ дайте в градусах. , . 6. В треугольнике ABC угол A равен , угол B равен . AD, BE и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах. Медианы. 1. Теорема. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. 2. Обратная теорема. Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный. Приём удвоения медианы. 1 mc 2a 2 2b 2 c 2 2 3. Формула нахождения медианы треугольника . 2 2 2 2 2(mb mc ) ma 4. Формула нахождения стороны треугольника mc 3 5. Теорема. Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника. 6. Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершины. 7. Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делят треугольник на 6 равновеликих треугольников. Центры описанных окружностей этих шести треугольников лежат на одной окружности, которая называется окружностью Ламуна. 8. Теорема. Медиана делит пополам любой отрезок, параллельный стороне, к которой проведена эта медиана. 9. Теорема. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников. Из отрезков, образующих медианы, можно составить треугольник, площадь которого будет равна 3/4 от всего треугольника. Длины медиан удовлетворяют неравенству треугольника. Биссектрисы. 10. Теорема. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим его сторонам. 11. Теорема. Каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины. Высоты. Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую содержащую противоположную сторону. В зависимости от типа треугольника высота может содержаться внутри треугольника (для остроугольного треугольника), совпадать с его Задачи для решения на уроке. 1. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разбивает его на два треугольника с периметрами 8 и 9. Найдите стороны треугольника. 2. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведены высота СН и медиана СЕ. Площади треугольников АВС и СНЕ равны соответственно 10 и 3. Найдите АВ. 3. Найти гипотенузу прямоугольного треугольника с острым углом 150, если известно, что высота треугольника, опущенная на гипотенузу, равна 1. 4. Через основание биссектрисы АD равнобедренного треугольника АВС проведен перпендикуляр к этой биссектрисе, пересекающий прямую АС в точкеЕ. Найдите длину отрезка АЕ, если известно, что СD = 4. 5. Найти площадь треугольника и его третью сторону, если две его стороны равны 1 и 15 , а медиана, проведенная к третьей стороне, равна 2. 6. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной 4, проведена медиана к боковой стороне. Найти основание треугольника, если медиана равна 3. 7. Медиана AD и высота СЕ равнобедренного треугольника АВС с основанием АС пересекаются в точке Р. Найдите площадь треугольника АВС, если СР = 5, РЕ = 2. 8. Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC = 3MB. а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. б) Найдите сумму квадратов медиан AA1 и CC1, если известно, что AC = 12. 9. Медианы треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите длину медианы, проведенной к стороне ВС, если угол ВАС = 470, угол ВМС = 1330, а сторона ВС = 4 3. 10. В треугольнике АВС АА1 , ВВ1 – медианы, пересекающиеся в точке М , АА1 = 9, ВВ1 =15, угол АМВ = 1200. Найдите АВ. 11. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 96. Найдите стороны треугольника ABC . 12. Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC относится к длине стороны AB как 9:7. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM. 13. Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 40:1, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 12. 14. Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12. Найдите расстояние между точками пересечения медиан и биссектрис этого треугольника. 15. Две стороны треугольника 6 см и 3 см. Найти третью сторону, если полусумма высот, проведенных к данным сторонам, равна третьей высоте. (10.032) 16. Точка на гипотенузе, равноудаленная от катетов, делит гипотенузу на отрезки 30 и 40 см. Найдите катеты этого треугольника. (10.049) 17. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 20, а основание 5 см. Найдите биссектрису угла при основании треугольника. (10.077) 18. Найдите биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с катетами 18 см и 24 см. (10.079) 19. На каждой из медиан равностороннего треугольника взяли точку, делящую медиану в отношении 3 : 1, считая от вершины. Во сколько раз площадь треугольника с вершинами в этих точках меньше площади исходного треугольника? (10.086) 20. Длины медиан, проведенных к катетам прямоугольного треугольника, равны 52 и 73 . Найдите гипотенузу. (10.215) 21. Стороны треугольника равны 6 см и 8 см. Медианы, проведенные к этим сторонам, взаимно перпендикулярны. Найдите третью сторону. (10.221) 22. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 360, а биссектриса угла при основании равна 20 . Найдите стороны этого треугольника. (10.236) 23. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 18 см, а основание 12 см. К боковым сторонам проведены высоты. Найдите длину отрезка, соединяющего основания высот. (10.240) 24. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 12 см, а основание 8 см. К боковым сторонам проведены биссектрисы. Найдите длину отрезка, соединяющего основания биссектрис углов при основании. (10.242) 25. Медианы треугольника равны 5, 52 и 73 . Докажите, что треугольник прямоугольный. (10.263) 26. Высоты треугольника равны 12, 15 и 20 см. Докажите, что треугольник прямоугольный и найдите его площадь.(10.269) 27. В треугольнике АВС ВС = 15, АС = 14, АВ = 13. Найдите площадь треугольника, заключенного между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины В. (10.317) 28. Найдите биссектрисы треугольника со сторонами 18, 15 и 12 см. (10.268). 29. В треугольнике АВС медиана АМ и биссектриса ВL пересекаются в точке К, причем МL = 3; LК : КВ = 1 : 3. Найдите АС. (ДВИ МГУ 2024). Домашнее задание. 1. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна m и делит прямой угол в отношении 1 : 2. Найдите стороны треугольника. 2. В треугольнике АВС к стороне АС проведены высота ВК и медиана МВ, причем АМ = МВ. Найдите косинус угла КВМ, если АВ = 1, ВС = 2. 3. В треугольнике АВС известно, что АВ = с, АС = b (b > с), АD – биссектриса. Через точку D проведена прямая, перендикулярная АD и пересекающая АС в точке Е. Найдите АЕ. 4. Стороны треугольника равны 11,12 и 13. Найдите медиану, проведенную к большей стороне. 5. В треугольнике АВС АВ = 2, АС = 4, медиана АМ = 7 . Найдите угол ВАС. 6. Найдите площадь треугольника, медианы которого равны 3, 4 и 5. 7. Медиана АМ и высота CD прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВС, если СО = 9, OD = 5. 8. Найдите отношение двух сторон треугольника, если его медиана, выходящая из их общей вершины, образует с этими сторонами углы 900 и 300 . 9. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 84. Найдите стороны треугольника ABC. 10. Периметр прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С равен 72, а разность длин медианы СМ и высоты СК равна 7. Найдите гипотенузу треугольника.
