МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Н. А. Агапов ПРИКЛАДНАЯ ОПТИКА Рекомендовано в качестве учебного пособия Редакционно-издательским советом Томского политехнического университета Издательство Томского политехнического университета 2024 УДК 535.8(075.8) ББК 22.34я73 А23 Агапов Н. А. А23 Прикладная оптика: учебное пособие / Н.А. Агапов; Томский политехнический университет. – 2-е изд. – Томск : Изд-во Томского политехнического университета, 2024. – 370 с. В учебном пособии представлены основные законы геометрической оптики, векторно-матричные методы расчета хода луча через систему поверхностей с осевой симметрией, матричные методы описания свойств оптических систем в параксиальной области, ограничение пучков лучей в центрированной оптической системе, устройство и принцип работы основных типов оптических систем, элементы теории аберраций. Пособие предназначено для студентов направления 12.04.02 «Оптотехника» инженерной школы новых производственных технологий Томского политехнического университета и других направлений, связанных с разработкой и проектированием оптико-электронных систем. УДК 535.8(075.8) ББК 22.34я73 Рецензенты Кандидат технических наук, профессор кафедры наносистем и оптотехники Сибирского государственного университета геосистем и технологий Т.Н. Хацевич Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией газовых лазеров Института сильноточной электроники Сибирского отделения Российской академии наук В.Ф. Лосев © ФГАОУ ВО НИ ТПУ, 2017 © Агапов Н.А., 2024 © Оформление. Издательство Томского политехнического университета, 2024 2 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ................................................................................................. 8 1. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ ..... 10 1.1. Экспериментальные законы геометрической оптики ............... 10 1.1.1. Закон прямолинейного распространения света ............... 10 1.1.2. Закон независимости световых пучков............................. 12 1.1.3. Что такое луч ....................................................................... 13 1.1.4. Закон отражения света ........................................................ 15 1.1.5. Закон преломления.............................................................. 15 1.2. Полное внутреннее отражение .................................................... 19 1.3. Явления отражения и преломления света с точки зрения волновой теории..................................................................................... 21 1.4. Закон преломления с точки зрения принципа Ферма ............... 23 2. ЗАКОН ПРЕЛОМЛЕНИЯ В ВЕКТОРНОЙ ФОРМЕ ............... 25 3. РАСЧЕТ ХОДА ЛУЧЕЙ ЧЕРЕЗ СИСТЕМУ ПОВЕРХНОСТЕЙ С ОСЕВОЙ СИММЕТРИЕЙ .................................................................... 30 3.1. Ход луча через одну поверхность ............................................... 30 3.2. Ход луча через систему поверхностей ....................................... 40 3.2.1. Ход луча через одну поверхность ..................................... 45 3.2.2. Перемещение луча в меридиональном сечении .............. 46 4. ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ............ 47 4.1. Параксиальное приближение ...................................................... 47 4.2. Одна поверхность ......................................................................... 48 4.2.1. Преломление на поверхности ............................................ 48 4.2.2. Преломление в меридиональном сечении ........................ 51 4.2.3. Отражение на поверхности ................................................ 53 4.2.4. Отражение в меридиональном сечении ............................ 55 4.2.5. Перемещение луча .............................................................. 56 4.3. Правило знаков ............................................................................. 57 4.4. Система поверхностей ................................................................. 58 4.5. Матричное описание свойств ОС ............................................... 59 4.6. Система плоских поверхностей .................................................. 67 4.7. Тонкая система сферических преломляющих поверхностей ...... ........................................................................................................ 68 4.8. Тонкая линза в воздухе ................................................................ 71 4.9. Главные точки ............................................................................... 72 4.10. Узловые точки............................................................................ 76 4.11. Матрица преобразования лучей между фокальными плоскостями............................................................................................ 78 3 4.12. Матрица преобразования лучей между сопряженными плоскостями, положение которых задано относительно главных плоскостей .............................................................................................. 80 4.13. Матрица преобразования лучей между сопряженными плоскостями, положение которых задано относительно фокальных плоскостей .......................................................................... 82 4.14. Матрица преобразования лучей между сопряженными плоскостями, положение которых задано относительно узловых плоскостей .............................................................................................. 83 4.15. Выводы ....................................................................................... 85 4.16. Гауссова оптика для частных типов оптических систем ...... 86 4.16.1. Одна поверхность................................................................ 87 4.16.1.1. Преломляющая поверхность ........................................ 87 4.16.1.2. Отражающая поверхность ............................................ 88 4.16.2. Тонкая линза ........................................................................ 89 4.16.3. Система из двух тонких линз в воздухе ........................... 90 4.16.4. Толстая линза в воздухе ..................................................... 91 4.16.4.1. Кардинальные элементы толстой линзы ..................... 91 4.16.4.2. Расчет двояковыпуклой линзы с равными радиусами ........................................................................................ 93 4.16.4.3. Кардинальные элементы толстой двояковогнутой линзы ......................................................................................... 94 4.16.4.4. Кардинальные элементы толстой двояковыпуклой линзы ....................................................................................... 105 4.16.4.5. Кардинальные элементы плосковыпуклой линзы ......... ....................................................................................... 120 4.16.4.6. Кардинальные элементы плосковогнутой линзы ........... ....................................................................................... 122 4.16.4.7. Кардинальные элементы линзы–мениска ................. 124 4.16.4.8. Кардинальные элементы концентрического мениска ....................................................................................... 137 4.16.4.9. Кардинальные элементы концентрической двояковыпуклой линзы ................................................................ 139 4.17. Примеры оптических систем.................................................. 142 4.17.1. Расчет кардинальных элементов телескопической системы .............................................................................. 142 4.17.2. Расчет кардинальных элементов микроскопа ................ 143 4.18. Линейное увеличение системы поверхностей...................... 146 4.19. Инвариант Лагранжа–Гельмгольца ....................................... 149 5. РАСЧЕТ ХОДА ЛУЧЕЙ ЧЕРЕЗ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА .......................................................................... 151 4 5.1. Декартовые поверхности ........................................................... 154 5.1.1. Декартовые отражающие поверхности........................... 154 5.1.1.1. Эллипсоид....................................................................... 157 5.1.1.2. Параболоид ..................................................................... 158 5.1.1.3. Гиперболоид ................................................................... 158 5.1.1.4. Зеркальные оптические системы ................................. 159 5.1.2. Декартовые преломляющие поверхности ...................... 162 5.2. Отражение от плоского зеркала ................................................ 170 5.3. Преломление лучей плоской поверхностью ............................ 171 5.4. Прохождение лучей через плоскопараллельную пластину, расположенную в воздухе ................................................................... 173 5.5. Преломление луча сферой ......................................................... 175 5.5.1. Апланатические точки ...................................................... 178 5.5.2. Апланатические сферы ..................................................... 180 5.5.3. Апланатическая линза ...................................................... 181 6. ГЛАЗ.................................................................................................. 183 6.1. Общие сведения .......................................................................... 183 6.2. Оптическая система глаза .......................................................... 189 6.2.1. Модель эмметропического глаза ..................................... 190 6.2.2. Схематичный нормальный глаз по Гульстранду ........... 190 6.2.3. Вклад роговицы в общую оптическую силу глаза ........ 192 6.3. Поле зрения глаза ....................................................................... 192 6.4. Угловое разрешение глаза ......................................................... 193 6.5. Адаптация глаза .......................................................................... 195 6.6. Недостатки оптической системы глаза и их коррекция ......... 196 6.6.1. Миопия ............................................................................... 197 6.6.2. Гиперметропия .................................................................. 198 6.6.3. Компенсация аметропии глаза в оптическом визуальном приборе ......................................................................... 199 6.7. Глубина изображаемого пространства при наблюдении невооруженным глазом ....................................................................... 200 6.8. Стереоскопическое зрение. ....................................................... 205 6.9. Спектральная чувствительность глаза ..................................... 209 7. ОГРАНИЧЕНИЕ ПУЧКОВ ЛУЧЕЙ В ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ........................................................................................... 213 7.1. Апертурная диафрагма............................................................... 213 7.2. Полевая диафрагма ..................................................................... 219 7.3. Виньетирующая диафрагма ....................................................... 222 8. ФОТООБЪЕКТИВ ......................................................................... 227 8.1. Диафрагмы фотообъектива........................................................ 227 5 8.2. Основные характеристики фотообъектива .............................. 229 8.2.1. Заднее фокусное расстояние ............................................ 229 8.2.2. Относительное отверстие ................................................. 229 8.2.3. Линейное и угловое поле фотообъектива ....................... 232 8.3. Геометрическая глубина пространства, изображаемого фотообъективом ................................................................................... 232 9. ВИЗУАЛЬНЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ ........................... 242 9.1. Лупа .............................................................................................. 242 9.1.1. Принцип работы и видимое увеличение ........................ 242 9.1.2. Диафрагмы лупы совместно с глазом. Линейное поле ....... ............................................................................................. 245 9.1.3. Геометрическая глубина изображаемого пространства глаза совместно с лупой .................................................................. 251 9.1.4. Аккомодационная глубина изображаемого пространства глаза совместно с лупой в воздухе ......................... 257 9.1.5. Разрешающая способность глаза совместно с лупой .......... ............................................................................................. 258 9.1.6. Основные типы луп........................................................... 258 9.2. Микроскоп ................................................................................... 260 9.2.1. Диафрагмы микроскопа.................................................... 261 9.2.2. Основные характеристики микроскопа .......................... 263 9.2.2.1. Видимое увеличение ..................................................... 264 9.2.2.2. Линейное поле микроскопа в пространстве предметов ....................................................................................... 265 9.2.2.3. Числовая апертура ......................................................... 266 9.2.2.4. Разрешающая способность ........................................... 267 9.2.3. Дифракционная глубина изображаемого пространства ............................................................................................. 273 9.2.4. Геометрическая глубина изображаемого пространства микроскопа совместно с глазом ...................................................... 277 9.2.5. Аккомодационная глубина изображаемого пространства микроскопа совместно с глазом .............................. 277 9.2.6. Осветительная система микроскопа ............................... 278 9.2.6.1. Освещение прозрачных объектов. ............................... 278 9.2.6.2. Освещение непрозрачных объектов ............................ 281 9.2.7. Объективы и окуляры микроскопа.................................. 283 9.2.7.1. Объективы микроскопа ................................................. 283 9.2.7.2. Окуляры .......................................................................... 286 9.3. Телескопические системы ......................................................... 288 9.3.1. Телескопическая система Кеплера .................................. 289 9.3.1.1. Диафрагмы зрительной трубы Кеплера ...................... 290 6 9.3.1.2. Увеличение и разрешающая способность телескопической системы Кеплера ............................................. 294 9.3.2. Телескопическая система Галилея .................................. 297 9.3.3. Зрительные трубы с линзовыми оборачивающими системами .......................................................................................... 302 9.3.4. Схемы с призменными оборачивающими системами ........ ............................................................................................. 305 9.3.5. Схемы с линзовыми и призменными оборачивающими системами .......................................................... 308 9.3.6. Дискретное изменение увеличения ................................. 309 9.3.7. Непрерывное изменение увеличения .............................. 318 9.3.8. Объективы и окуляры зрительных труб ......................... 321 9.3.8.1. Объективы телескопических систем ........................... 321 9.3.8.2. Окуляры телескопических систем ............................... 323 10. ХРОМАТИЧЕСКИЕ АБЕРРАЦИИ. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ325 10.1. Хроматическая аберрация положения .................................. 328 10.2. Хроматическая аберрация положения для тонкой линзы в воздухе ............................................................................................... 328 10.3. Расчет двухлинзового ахроматического объектива ............. 330 10.4. Хроматическая разность сферических аберраций ............... 334 10.5. Хроматическая аберрация увеличения ................................. 335 11. МОНОХРОМАТИЧЕСКИЕ АБЕРРАЦИИ. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ............................................................................................ 337 11.1. Теория аберраций третьего порядка ...................................... 337 11.2. Фигуры изображения точки при наличии различных аберраций третьего порядка ............................................................... 344 11.2.1. Сферическая аберрация .................................................... 344 11.2.2. Аберрация кома ................................................................. 346 11.2.3. Астигматизм и кривизна поверхности изображения .......... ............................................................................................. 349 11.2.4. Дисторсия ........................................................................... 359 11.3. Анаберрационные поверхности ............................................. 361 11.3.1. Преломляющие поверхности ........................................... 361 11.3.2. Отражающие поверхности ............................................... 364 ЗАКЛЮЧЕНИЕ ..................................................................................... 367 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ................................................................... 368 7 ВВЕДЕНИЕ В учебном пособии излагаются традиционные вопросы, изучаемые обычно в рамках прикладной оптики. В первом разделе обсуждаются основные законы геометрической оптики, понятие луча с точки зрения геометрической и физической оптики. Выводится закон преломления, исходя из принципов Гюйгенса и Ферма, что говорит о справедливости как волновой, так и лучевой модели светового излучения. В разделах 2 – 6 излагаются базовые положения матричной оптики, развитой в монографии М. Герцбергера «Современная геометрическая оптика» 1 . Во втором разделе закон преломления преобразуется к векторной форме, поскольку в обычном виде, известном со школьной скамьи, он не пригоден для расчета хода луча через произвольную поверхность в любой заданной точке падения. В третьем разделе приводится вывод формул по расчету хода лучей через произвольную преломляющую (отражающую) поверхность с осевой симметрией и через центрированную систему поверхностей. Отдельно записан алгоритм расчета хода лучей, который, по сути, представляет собой закон преломления в развернутом виде. В четвертом и пятом разделах излагаются основные понятия и законы параксиальной оптики. В отличие от большинства курсов по теории идеальной оптической системы, формулы параксиальной оптики получены из точных формул по расчету хода луча за счет пренебрежения всеми членами второго порядка. Такой подход является более логичным и позволяет провести не только полный математический анализ, но и глубоко понять физический смысл вводимых величин и понятий. В шестом разделе из общих формул, выведенных в третьем разделе, получены формулы по расчету хода луча через поверхности второго порядка с осевой симметрией. К поверхностям второго порядка относятся сфера, плоскость (как частный случай сферы с радиусом кривизны, равным бесконечности), эллипсоид, параболоид и гиперболоид. С использованием полученных формул доказано, что отражающие эллипсоид, параболоид и гиперболоид являются декартовыми 8 поверхностями, т. Е. имеют по одной паре сопряженных без аберраций точек. Преломляющие эллипсоид и гиперболоид при некоторых условиях также являются декартовыми поверхностями, причем одна из анаберрационных точек находится в бесконечности. Приведены конструкции некоторых зеркальных и линзовых систем с использованием свойств декартовых поверхностей. В любой оптической системе имеются диафрагмы. Это оправы, в которые заключены оптические элементы, и диафрагмы специального назначения. Влияние этих диафрагм на ход пучков лучей и на изображение необходимо учитывать. В седьмом разделе рассмотрены вопросы ограничения пучков лучей в оптических системах диафрагмами и приведена классификация диафрагм по функциональному назначению. Восьмой и девятый разделы посвящены изучению типовых оптических систем. В восьмом разделе рассмотрен фотообъектив, его основные параметры и диафрагмы. В девятом разделе – визуальные оптические приборы: лупа, микроскоп, телескоп. Описаны основные характеристики визуальных приборов, расположение и назначение диафрагм, рассмотрены вопросы глубины изображаемого пространства и разрешающей способности. В десятом разделе приведены необходимые сведения из теории хроматических аберраций, методы ахроматизации оптических систем на примере расчета двухлинзового тонкого ахроматического объектива. В одиннадцатом разделе достаточно подробно рассмотрены монохроматические аберрации Зейделя третьего порядка: сферическая аберрация, аберрация кома, астигматизм и кривизна поля изображения, дисторсия. Поскольку данная книга является учебным пособием, многие математические выводы приведены достаточно подробно. Книга иллюстрирована большим количеством рисунков, облегчающих восприятие материала. В списке литературы приведены источники, которыми автор наиболее активно пользовался при подготовке рукописи пособия. Все основные обозначения и определения взяты автором из соответствующих ГОСТов, приведенных в списке литературы. 9 1. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ 1.1. Экспериментальные законы геометрической оптики Наиболее простые оптические явления, такие, например, как образование теней и полутеней, формирование изображений в оптических системах, можно объяснить с помощью геометрической оптики [5–8], в основе которой лежат четыре закона, установленные опытным путем, а именно: 1) закон прямолинейного распространения света; 2) закон независимости световых пучков; 3) закон отражения света; 4) закон преломления света. Но в природе существует достаточно много оптических явлений, которые невозможно объяснить с позиций геометрической оптики. Например, дифракция и интерференция. Понять причину возникновения этих явлений возможно лишь с учетом физической природы света, представлением света как электромагнитной волны. Раздел оптики, который занимается изучением оптических явлений с учетом электромагнитной природы света, называется физической оптикой. В основе физической оптики лежат дифференциальные уравнения Максвелла, описывающие распространение электромагнитных волн в среде, свойства которой задаются соответствующими величинами. Физическая оптика является более общим разделом оптики, позволяющим математически вывести все законы геометрической оптики и, кроме того, определить границы их применимости. Использование законов вне области их применимости может привести к ошибочным результатам. 1.1.1. Закон прямолинейного распространения света Согласно закону прямолинейного распространения, свет в прозрачной однородной изотропной среде распространяется по прямым линиям. Среда, показатель преломления которой одинаков во всех точках, называется однородной. Если показатель преломления среды в данной точке не зависит от направления распространения света, то говорят, что среда является изотропной. Экспериментально убедиться в справедливости закона прямолинейного распространения света можно с помощью простого опыта, схематично изображенного на рис. 1.1, а. 10 Установим на оптической скамье точечный источник света S , непрозрачный объект AB в форме, например, плоского круглого диска и экран для наблюдения тени CD от диска, расположенный на небольшом расстоянии от объекта. Если произвести точное измерение расстояний между источником, объектом и тенью, диаметров объекта и тени, то расчетным путем можно установить, что объект и тень видны из точки S под одним углом с точностью до ошибки измерений, что и является доказательством прямолинейного распространения света. Протяженный источник можно представить, как бесконечное множество точечных источников света, от каждого из которых объект отбрасывает тень на экран. В результате на экране образуется область плавного перехода от освещенной части к тени (рис. 1.1, б). Поэтому для получения доказательства прямолинейности распространения света необходимо использовать точечный источник для того, чтобы максимально уменьшить ширину области полутени. а) экран освещается точечным источником света S б) экран освещается протяженным источником света S Рис. 1.1. Прямолинейное распространение света Примечание. Однако ситуация изменится, если экран удалять от объекта. Край тени начинает терять резкость, возникает переходная область, в которой освещенность меняется непрерывно и не монотонно. Кроме того, если источник 11 света монохроматический, то можно увидеть узкие темные и светлые полосы, параллельные краю геометрической тени. Эти полосы называются дифракционными. В этом случае невозможно точно определить край тени и, следовательно, ответ на вопрос о прямолинейности распространения света становится неопределенным (с точки зрения геометрической оптики). Аналогичное явление возникает и в том случае, если предмет AB представляет собой апертуру (диафрагму). Можно было бы ожидать, что при уменьшении диаметра апертуры размер светового кружка на экране будет уменьшаться. На самом деле это происходит до известного предела, а при дальнейшем уменьшении отверстия размер светового кружка растет. При диаметре отверстия порядка 10–3 мм и точечном источнике света получается практически равномерная освещенность экрана, т. е. сама диафрагма становится точечным источником, излучающим волну со сферическим фронтом. С точки зрения геометрической оптики здесь происходит явное нарушение первого закона. Однако, это не так. Просто данное явление (дифракция на отверстии или на диске) выходит за границы применимости законов геометрической оптики. Но дифрагированная сферическая волна уже подчиняется закону прямолинейного распространения света. 1.1.2. Закон независимости световых пучков Закон независимости световых пучков состоит в том, что распространение всякого светового пучка в среде совершенно не зависит от того, есть в ней другие пучки или нет. Представим, что два пучка, созданные двумя независимыми источниками света, пересекаются гдето в пространстве. В общей зоне (в области пересечения) световое поле будет представлять собой суперпозицию полей световых пучков, но вне области пересечения каждый из пучков сохранит свои индивидуальные особенности, обусловленные источником света. Закон независимости световых пучков дополняется утверждением о совместном действии световых пучков при их наложении друг на друга на поверхности объекта. Оно состоит в том, что освещенность экрана, создаваемая несколькими световыми пучками, равна сумме освещенностей, создаваемых каждым пучком в отдельности. Примечание. Нарушение справедливости этого утверждения происходит при интерференции света, т. Е. при взаимодействии когерентных пучков, поскольку в этом случае складываются не освещенности, а комплексные амплитуды взаимодействующих волн. 12 1.1.3. Что такое луч На основании законов прямолинейного распространения и независимости световых пучков можно ввести понятие светового луча как бесконечно тонкой световой трубки бесконечной длины. Можно ли реально воспроизвести световой луч? Казалось бы, это просто: достаточно пропустить свет от бесконечно удаленного источника пренебрежимо малых размеров через отверстие в непрозрачном экране. Уменьшая диаметр отверстия до бесконечно малой величины, получим бесконечно тонкую световую трубку, т. е., луч. Однако, этого, как было сказано выше, не произойдет: вследствие дифракции происходит уширение пучка, т. е. увеличение диаметра световой трубки по мере удаления от отверстия. И это уширение тем больше, чем меньше диаметр отверстия. Лучом можно считать ту часть световой трубки, уширение которой много меньше диаметра отверстия. В этом случае длина луча, как показано в физической оптике, не превышает некоторого значения l, определяемого формулой: l D 2 , где D – диаметр диафрагмы, – длина волны. Таким образом, создать физическую модель луча невозможно, но можно создать математическую модель. Расходимость пучка, дифрагированного на круглом отверстии, определяется выражением: 2 = 2 D , где – угол дифракционной расходимости. Если длину волны излучения устремить к нулю → 0, а диаметр отверстия принять бесконечно малым, но не равным нулю, то из отверстия выйдет бесконечно тонкий световой пучок (световая трубка) с нулевой расходимостью, т. е. с бесконечно малым диаметром на бесконечной длине. Такая световая трубка и будет представлять собой модель светового луча на качественном уровне. Тогда любой световой пучок можно представить как совокупность лучей. Более точное и математически обоснованное представление о световых лучах можно получить из волновой оптики, если в уравнениях Максвелла совершить предельный переход: → 0. Раздел оптики, в котором полагают → 0 и волны излучения моделируются пучками световых лучей, называется геометрической оптикой, поскольку в этом приближении оптические законы можно сформулировать на языке геометрии. Рассмотрим общий подход к математической формулировке понятия луча. 13 Зададим в пространстве гармоническую волну общего вида: −it −k ( r ) E ( r , t ) = E0 ( r ) e 0 (1.1) , −it −k0 ( r ) H (r , t ) = H0 (r ) e где ( r ) – эйконал, или оптическая длина пути, k0 – волновое число для вакуума. Если выражения (1.1) подставить в уравнения Максвелла и совершить предельный переход k0 → (т. е. 0 → 0) , то получим уравнение вида ( grad )2 = n2 , (1.2) где n – показатель преломления. Уравнение (1.2) называется уравнением эйконала. Поверхности ( r ) = const (1.3) называются геометрическими волновыми фронтами или поверхностями постоянной фазы. Уравнение (1.2) можно записать в векторной форме: grad = n s , (1.4) где s= grad . grad (1.5) В электромагнитной теории Максвелла вводится понятие вектора Пойнтинга c (1.6) S= E H , 4 который имеет смысл плотности потока энергии электромагнитного поля. В однородной изотропной среде направление усредненного по времени вектора Пойнтинга совпадает с нормалью s к геометрическому волновому фронту. Учитывая это обстоятельство, определим геометрические световые лучи как линии, ортогональные к поверхности постоянной фазы. Эти линии имеют направление, которое в каждой точке совпадает с направлением усредненного по времени вектора Пойнтинга. Таким образом, в математическом смысле луч есть линия, прямая в однородном изотропном пространстве, ортогональная волновому фронту и совпадающая по направлению с усредненным по времени вектором Пойнтинга. 14 В рамках физической оптики показано, что геометрические лучи обладают свойствами плоской волны: • законы преломления и отражения, установленные для плоской волны, падающей на плоскую границу раздела двух сред, остаются справедливыми и для лучей; • с каждым лучом можно связать состояние поляризации и исследовать его изменение вдоль луча, используя формулы Френеля, полученные для плоской волны; • луч света, падающий на границу раздела двух сред (и не обязательно плоскую), разделяется на два луча – отраженный и преломленный. Для построения изображения и исследования его качества в оптических системах во многих случаях достаточно воспользоваться лучевой моделью светового излучения. Более того, для расчета дифракционного кружка рассеяния (т. е. при учете волновых свойств излучения) в реальной оптической системе необходимо знать волновые аберрации, которые определяются из расчета хода лучей через оптическую систему. Так же и при расчете интерференционной картины: разность хода рассчитывается на основе лучевой модели. 1.1.4. Закон отражения света Рис. 1.2. Отражение света Определив понятие светового луча, можно сформулировать закон отражения: падающий и отраженный лучи лежат в одной плоскости с нормалью к границе раздела в точке падения (эта плоскость называется плоскостью падения), причем угол падения равен углу отражения (рис. 1.2): = . (1.7) 1.1.5. Закон преломления Еще в 150 г. Нашей эры Клавдий Птолемей составил таблицу углов отклонения света в воде для целого ряда углов падения из воздуха (от 10° до 80° с шагом 10°). Приято считать, что древние греки никогда не ставили опытов. Но, не зная закона, такую таблицу можно было 15 составить только на основании эксперимента. Однако надо отметить, что данные таблицы слишком хорошо ложатся на параболу (подчиняются квадратичной интерполяционной формуле), поэтому, они не могли быть результатом независимых измерений; скорее всего, это ряд чисел, интерполированных по немногим измеренным точкам. Спустя столетия, в 1621 г., закон преломления был установлен экспериментально голландским ученым Снеллиусом и опубликован только после его смерти. Позднее Декарт в 1637 г. опубликовал этот же закон, не ссылаясь на Снеллиуса. Знал ли Декарт работы Снеллиуса – этот вопрос остался открытым, хотя и был предметом многочисленных дискуссий. Согласно закону Снеллиуса, преломленный луч лежит в плоскости падения, причем отношение синуса угла падения (рис. 1.3) к синусу угла преломления для рассматриваемых сред зависит только от длины волны света, но не зависит от угла падения, т. е. sin (1.8) = n21. sin Постоянная величина n21 называется относительным показателем преломления или коэффициентом преломления второй среды относительно первой. Для воды n21 = 1,33. Таблицы Птолемея удивительно согласуются с законом Снеллиуса (1.8). Что такое показатель преломления? Из уравнений Максвелла следует, что Рис. 1.3. Преломление света скорость света V в среде определяется выражением c (1.9) V= , n где величина n = называется абсолютным показателем преломления (здесь – диэлектрическая проницаемость, – магнитная проницаемость), т. е. скорость света зависит от того, в какой среде он распространяется. Исходя из формулы (1.9), абсолютный показатель преломления можно определить как отношение скорости света в вакууме к скорости света в среде: 16 c . (1.10) V Зная скорость света в воздухе, по формуле (1.10) можно рассчитать абсолютный показатель преломления воздуха (то есть, относительно вакуума): c nвозд./вак. = , (1.11) cвозд. n= где nвозд./вак. – показатель преломления воздуха относительно вакуума, cвозд. – скорость света в вакууме. Экспериментальное определение показателей преломления веществ относительно вакуума – довольно сложная задача. Кроме того, подавляющее большинство оптических приборов работает в воздухе, поэтому показатели преломления оптических сред измеряют относительно воздуха. Дать определение относительному показателю преломления среды относительно воздуха можно по аналогии с абсолютным показателем (формула 1.10): c nср./возд. = возд. , (1.12) V где nср./возд. – показатель преломления среды относительно воздуха, V – скорость света в среде. При необходимости можно рассчитать точное значение показателя преломления среды относительно вакуума, пользуясь формулами (1.11)–(1.12) и зная значение показателя преломления среды относительно воздуха. Из (1.11) находим c cвозд. = nвозд./вак. и подставляем в (1.12): nср./возд. = c nвозд./вак. V = nср./вак. nвозд./вак. , отсюда: nср./вак. = nвозд./вак. nср./возд. (1.13) Показатель преломления воздуха относительно вакуума можно вычислить по эмпирической формуле: 17 nвозд./вак. = 1 + 2,9155 10−9 H , (1.14) t 1+ 273 где nвозд./вак. – показатель преломления воздуха относительно вакуума; H – атмосферное давление в Па; t– температура воздуха в градусах по Цельсию. Поскольку H = 101325 Па – нормальное давление, соответствующее 760 мм рт. ст., то выражение (1.14) можно преобразовать: P H nвозд./вак. = 1 + 2,9155 10−9 101325 , 760 1 + t 273 или P 1 nвозд./вак. = 1 + 0,0002954 , (1.15) 760 1 + t 273 где Р – атмосферное давление в мм рт. Ст. При t = 20 и P = 760 мм рт. Ст. имеем nвозд./вак. = 1,0002752 1,0003 . При расчете оптических систем в большинстве случаев пока- затель преломления воздуха принимается равным единице. Пример. Пусть nср./возд. = 1,5 , тогда nср./вак. = 1,0003 1,5 = 1,50045. Если луч света переходит из первой среды во вторую, то относительный показатель преломления n21 второй среды относительно первой можно также определить по аналогии с абсолютным показателем преломления (1.10): как отношение скоростей – скорости света в первой среде к скорости света во второй среде, то есть: 1 cвозд. c n 2/возд. V2 n 2/вак. V V V n21 = 1 = 2 = 2 = = = . (1.16) c n 1/вак. V2 1 cвозд. n 1/возд. V1 V1 V1 С учетом соотношения (1.16) закон преломления можно записать в виде: n 1 sin = n 2 sin , (1.17) где n 1 и n 2 – либо относительные, либо абсолютные показатели 18 преломления сред. Следствием основных законов геометрической оптики является правило, которое называют еще законом обратимости хода лучей: путь светового луча не изменяется при изменении направления его распространения на прямо противоположное. 1.2. Полное внутреннее отражение Из закона (1.8) можно получить интересное следствие. Если свет падает из более плотной среды в менее плотную, то n21 1. Из (1.8) найдем: sin = sin , n21 откуда видно, что sin 1, если n21 sin 1, чего не может быть по определению. Физически это означает, что преломленного луча не возникает, а свет отражается полностью. Это явление называется полным внутренним отражением. Угол = m , при котором наступает это явление, называется предельным углом полного внутреннего отражения. Угол m определяется из условия sin = sin m = 1, n21 откуда следует, что = 90 (рис.1.4) и sin m = n 21. (1.18) Примечание. Из формул Френеля следует, что при полном внутреннем отражении весь падающий свет отражается обратно в первую среду. Но, тем не менее, электромагнитное поле во второй среде не равно нулю, отсутствует лишь поток энергии через границу. Возникает неоднородная волна, которая распространяется вдоль поверхности раздела в плоскости падения и меняется экспоненци- Рис. 1.4. Полное внутреннее ально с изменением расстояния от этой поотражение верхности. Эффективная глубина проникновения волны во вторую среду порядка . Поскольку потоки энергии падающей и отраженной волны равны, то это означает, что неоднородная волна движется вдоль поверхности раздела и затем возвращается в первую среду. Места входа энергии во вторую среду и ее возвращения в первую несколько смещены друг относительно друга. Проникновение волны во вторую среду было доказано 19 экспериментально. Кроме того, при полном внутреннем отражении разность фаз между компонентами электрического поля E и E⊥ меняется, что приводит к изменению состояния поляризации: линейно поляризованный свет становится поляризованным эллиптически. Это свойство можно использовать (как было доказано еще Френелем) для преобразования линейно поляризованного света в циркулярно поляризованный. Полное внутреннее отражение обуславливает возникновение миражей, когда земная поверхность сильно нагрета. Например, если шоссе сильно нагрето, то температура воздуха максимальна у поверхности шоссе и убывает при удалении от поверхности. Следовательно, показатель преломления воздуха минимален вблизи поверхности шоссе и возрастает при удалении от поверхности. Вследствие этого лучи, идущие под достаточно малым углом к поверхности шоссе, испытывают полное внутреннее отражение. Можно увидеть достаточно далеко идущую впереди машину в перевернутом состоянии (точнее, зеркальное изображение). Аналогично, зеркальное изображение облака от шоссе приведет к возникновению впечатления о наличии лужи на поверхности разогретого шоссе. Полное внутреннее отражение применяется в конструкции отражательных призм. Из них простейшей является прямоугольная равнобедренная призма (рис. 1.5). Пример. Для часто применяемого стекла К8 имеем: 1 sin m = , тогда отсюда nD = 1,5163, nD m 4116. Поскольку m 45 , то выполняется условие полного внутреннего отражения. В результате прямоугольная отражательная призма от- Рис. 1.5. Отражательная призма клоняет световые лучи, падающие ортогонально на боковую грань призмы, на 90° относительно их первоначального направления. 20 1.3. Явления отражения и преломления света с точки зрения волновой теории Рассмотрим явления отражения и преломления света с точки зрения волновой теории Гюйгенса. Представим, что плоская волна падает на плоскую границу раздела двух сред (рис. 1.6, а). а – преломление б – отражение Рис. 1.6. Преломление и отражение плоской волны Пусть угол между фронтом волны и границей раздела равен . Выберем на падающем фронте две точки: в качестве первой удобно выбрать точку А пересечения падающего фронта с границей раздела сред в момент времени t1 = t0 , а в качестве второй – любую произвольную точку B на падающем фронте. Построим через точки A и B лучи, как нормали к падающему фронту. В момент времени t1 = t0 в точке А возникнут и начнут распространяться вторичные сферические волны 21 Гюйгенса: одна в первую среду, другая – во вторую. По мере дальнейшего распространения волны точка пересечения падающего фронта с границей раздела побежит от точки А вправо и в каждый момент времени на границе раздела в точке пересечения с волной будут рождаться вторичные сферические волны. Согласно принципу Гюйгенса, от наложения таких вторичных волн в первой среде образуется отраженная (см. рис. 1.6, б), а во второй среде – преломленная волна (см. рис. 1.6, а). В некоторый момент времени t2 = t0 + t точка В падающего фронта достигает точки G границы раздела. И в этот же момент времени в точке G начнут зарождаться вторичные сферические волны, радиусы которых будут равны нулю. Радиус вторичной сферической волны, распространяющейся из точки А во вторую среду, за время t достигнет значения, равного AF = V2 t (рис. 1.6, а), а волны, распространяющейся в первую среду, значения, равного AF = V1 t (рис. 1.6, б), где V1 – скорость света в первой среде; V2 – скорость света во второй среде. Если среда однородная и изотропная, то огибающая FDG вторичных волн во второй среде является плоскостью (или прямой линией в плоскости падения) и представляет собой волновой фронт преломленной волны. Обозначим – угол между преломленным фронтом и границей раздела сред. Аналогично строится и волновой фронт отраженной волны. Из построения (рис. 1.6,а) следует, что угол падения луча BG равен , а угол преломления равен . Определив положение преломленного волнового фронта, построим лучи преломленной волны как нормали к преломленному волновому фронту. Луч AF , очевидно, будет проходить через точку касания преломленного фронта и вторичной сферической волны, распространяющейся из точки A. Рассмотрим треугольники ABG и AFG . Оба треугольника прямоугольные с общей гипотенузой AG . В треугольнике ABG катет AB представляет собой фронт падающей волны в момент времени t1 = t0 . В треугольнике AFG катет FG – фронт преломленной волны в момент времени t2 = t0 + t . Из треугольников ABG и AFG находим гипотенузу AG (рис. 1.6, а): BG AF . (1.19) AG = = sin sin Так как 22 BG = V1 t, AF = V2 t, то, подставляя (1.20) и (1.21) в (1.19), получим: V t V2 t , AG = 1 = sin sin откуда: V1 V = 2 . sin sin С учетом (1.9) находим: sin n 2 = . sin n1 (1.20) (1.21) (1.22) (1.23) Выражение (1.20) представляет собой закон преломления. Вторичные сферические волны распространяются в первой среде с той же скоростью V1 , что и падающая волна, то есть, V2 = V1 . Тогда выражение (1.22) для отражения (рис. 1.6, б) примет вид: V t V1 t . AG = 1 = sin sin Из (1.24) получаем: sin = sin , откуда следует, что = . (1.24) (1.25) (1.26) Выражение (1.26) представляет собой закон отражения. 1.4. Закон преломления с точки зрения принципа Ферма Зададим в среде с показателем преломления n произвольную точку A, расположенную на высоте h относительно границы раздела, а в среде с показателем преломления n – произвольную точку A , расположенную на высоте h относительно границы раздела (рис. 1.7). Представим теперь, что из точки A выходит произвольный луч, падающий на границу раздела сред в некоторую точку О. Зададимся вопросом, где должна находиться точка падения О, чтобы после преломления на границе раздела луч прошел через точку A . Согласно принципу Ферма [8], луч, вышедший из точки А, пройдет через заданную точку A только в одном случае: если время, затраченное лучом на прохождение пути АО A будет наименьшим по сравнению со всеми другими 23 возможными траекториями, соединяющими точки А и A . Рис. 1.7. Преломление света на границе раздела двух сред Пусть x – неизвестная величина, задающая положение точки падения О (рис. 1.7). Определим время t распространения луча из точки А в точку A как функцию x. Из рис. 1.7 находим: L1 = x 2 + h 2 – длина пути АО, L 2 = h 2 + ( a − x ) – длина пути О A . 2 Тогда: t1 = t2 = L1 V1 – время хода луча от точки A до точки падения O, L2 – время хода луча от точки падения O до точки A, V2 h2 + ( a − x ) x2 + h2 + . V1 V2 2 t ( x ) = t1 + t2 = Найдем экстремум функции t ( x ) : −(a − x) dt x sin sin = + = − = 0, dx V x 2 + h 2 V ( a − x )2 + h2 V1 V2 1 2 отсюда: c sin V1 n n = = = . sin V2 c n n Выражение (1.27) представляет собой закон преломления. 24 (1.27) 2. ЗАКОН ПРЕЛОМЛЕНИЯ В ВЕКТОРНОЙ ФОРМЕ Рассмотрим преломление (отражение) луча на одной поверхности [1]. Все расчеты будем проводить в декартовой системе координат, определенной началом координат O и правой тройкой базисных единичных векторов i , j , k (рис. 2.1). В центрированной оптической системе с осевой сим- Рис. 2.1. Система координат метрией оптическую ось совместим с координатной осью Oz. Сформулируем закон преломления в виде: Падающий и преломленный лучи лежат в одной плоскости с нормалью к преломляющей поверхности в точке падения, а углы падения и преломления лучей связаны уравнением (2.1) n sin = n sin , где n и n – показатели преломления первой и второй сред. Пусть o – единичный вектор, перпендикулярный к преломляющей поверхности в точке падения и направленный вправо (всегда). Тогда угол определяется как угол между направлением нормали o в точке падения и направлением падающего луча, а угол – как угол между направлением нормали o в точке падения и направлением преломленного луча (рис. 2.2). Углы и отсчитываются по кратчайшему пути. Рис. 2.2. Преломление. Луч падает на поверхность слева направо При падении луча на поверхность слева направо (рис. 2.2) углы и могут принимать значения от 0 до 900, а при падении справа налево 25 (рис. 2.3.) – от 90 до 180. И в том, и в другом случае углы падения и преломления лежат в одной четверти, и sin и sin – величины положительные. Но косинусы углов и положительны в первой четверти и отрицательны во второй. Поведение знаков синусов и косинусов углов и при преломлении математически можно описать следующим образом: sign ( sin ) = sign ( sin ) = +1 , sign ( cos ) = sign ( cos ) . (2.2) Рис. 2.3. Преломление. Луч падает на поверхность справа налево Закон отражения можно сформировать следующим образом: падающий и отраженный лучи лежат в одной плоскости с нормалью к отражающей поверхности в точке падения, и эта нормаль делит угол между лучами на две равные части. Этот закон можно рассматривать как частный случай закона преломления. Если в уравнении (2.1) положить n = n (поскольку луч отражается в ту же среду, из которой упал) то получим (2.3) sin = sin . При отражении углы падения и отражения лежат в разных четвертях. При падении луча на поверхность слева направо (рис. 2.4) угол падения лежит в первой четверти (то есть sin 0 , cos 0 ), а угол отражения – во второй ( sin 0 , cos 0 ). При падении луча справа налево (рис. 2.5) – наоборот: угол отражения лежит в первой четверти ( sin 0 , cos 0 ), а угол падения – во второй ( sin 0 , cos 0 ). Поведение знаков синусов и косинусов углов и при отражении математически можно описать следующим образом: sign ( sin ) = sign ( sin ) = +1 , sign ( cos ) = −sign ( cos ) . 26 (2.4) Рис. 2.4. Отражение. Луч падает слева направо Рис. 2.5. Отражение. Луч распространяется справа налево Введем величины и , определяемые следующим образом: = sign ( cos ) , = sign ( cos ) . (2.5) Очевидно, что для преломления при ходе луча слева направо (рис. 2.2) = +1 и = +1; для преломления при ходе луча справа налево (рис. 2.3) = −1 и = −1. То есть, для преломления согласно (2.2) всегда = . Для отражения при ходе луча слева направо (рис. 2.4) = +1 и = −1; для отражения при ходе луча справа налево (рис. 2.5) = −1 и = +1. То есть, для отражения согласно (2.4) всегда = −. В соответствии с ГОСТ 7427-76 (приложение 2, п. 14) направление хода луча слева направо считается положительным, а справа налево – отрицательным. Поэтому, согласно принятым обозначениям для положительного хода луча = +1 и = +1, а для отрицательного хода луча 27 = −1 и = −1. Согласно закону отражения = − , тогда cos = cos ( − ) = − cos . (2.6) (2.7) Очевидно, что решение (2.6) удовлетворяет уравнению (2.3). Зададим направление падающего луча вектором s , длина которого численно равна показателю преломления среды, из которой падает луч: s = n. Аналогично введем вектор s , направление которого совпадает с направлением преломленного луча, а его длина численно равна показателю преломления среды, в которую преломляется луч: s = n. Тогда на основании принятых обозначений и определения векторного произведения можно записать: s o = s o sin = n sin , (2.8) s o = s o sin = n sin . (2.9) Поскольку правые части выражений (2.8) и (2.9) согласно закону преломления равны, то равны и левые, т. е., равны модули векторов s o и s o : s o = s o . (2.10) Согласно закону преломления, векторы s , s и o лежат в одной плоскости – плоскости падения. Поэтому векторы s o и s o , ортогональные плоскости падения, параллельны и, значит, с учетом (2.10), равны. Тогда закон преломления можно записать в виде: (2.11) s o = s o . Перепишем уравнение (2.11) в виде: ( s − s ) o = 0 . (2.12) Из уравнения (2.12) следует, что векторы ( s − s ) и o коллине- арны, так как синус угла между векторами ( s − s ) и o должен быть равен нулю. В этом случае вектор ( s − s ) должен отличаться от вектора o лишь некоторым скалярным множителем Г , т. е.: 28 ( s − s ) = Г o , (2.13) или s = s + Г o, где Г – величина, называемая постоянной отклонения и пока не известная. Для ее определения умножим (2.13) скалярно на o : ( s − s ) o = Г o o = Г , или (2.14) Г = s o − s o = n cos − n cos . Выражение (2.14) не позволяет рассчитать значение Г , поскольку в него входит неизвестная величина . Чтобы от нее избавиться, проведем некоторые преобразования первого слагаемого в выражении (2.14) с учетом (2.1) и (2.5): s o = n cos = n cos = n 1 − sin 2 = = n2 − ( n sin ) = n2 − n 2 sin 2 = 2 = n2 − n 2 + n 2 cos 2 = n2 − n 2 + ( s o ) . 2 (2.15) Таким образом, для преломления Г = n2 − n 2 + ( s o ) − ( s o ) , 2 (2.16) (2.17) s = s + Г o. Для отражения (рис. 2.4 и 2.5) n = n и тогда из (2.14) с учетом (2.7) получим: Г = n cos − n cos = n cos − n cos = = −n cos − n cos = −2 n cos = −2 ( s o ) . Таким образом, для отражения Г = −2 ( s o ) , s = s − 2 ( s o ) o . (2.18) (2.19) В дальнейшем для упрощения работы со знаками примем следующее правило: при математическом моделировании оптическая система всегда располагается относительно предмета так, чтобы в пространстве предметов направление хода луча было положительным (слева направо, т. е. = +1 ). 29 3. РАСЧЕТ ХОДА ЛУЧЕЙ ЧЕРЕЗ СИСТЕМУ ПОВЕРХНОСТЕЙ С ОСЕВОЙ СИММЕТРИЕЙ 3.1. Ход луча через одну поверхность У преломляющих (отражающих) поверхностей с осевой симметрией оптическая ось совпадает с осью симметрии. При расчете хода луча через поверхность [1] удобно размещать декартовую систему координат таким образом, чтобы начало координат О совпадало с точкой пересечения оптической оси с поверхностью (с вершиной поверхности), а ось z системы координат совпадала с оптической осью. Очевидно, координатная плоскость xOy будет проходить касательно к вершине поверхности (рис. 3.1). В оптической системе, состоящей из нескольких поверхностей, такая система координат размещается на каждой поверхности. Рис. 3.1. Геометрические величины, используемые при расчете хода луча В оптических системах с осевой симметрией можно выделить три типа лучей: • Осевой луч. Это единственный луч, который проходит через вершины всех поверхностей и всегда является коллинеарным с единичным базисным вектором k . • Меридиональные лучи. Плоскость, содержащая оптическую ось системы и точку предмета, называется меридиональной. Луч, 30 выходящий из точки предмета и лежащий в меридиональной плоскости, называется меридиональным лучом. Так как в силу осевой симметрии нормаль к поверхности в точке падения луча пересекает оптическую ось (т. е. лежит в меридиональной плоскости), то преломленный (или отраженный) луч также лежит в меридиональной плоскости. Отсюда следует, что любой меридиональный луч, выходящий из заданной точки предмета, после прохождения через центрированную оптическую систему поверхностей с осевой симметрией остается лежащим в той же меридиональной плоскости. • Косые лучи. Лучи, не лежащие в меридиональной плоскости, называются косыми. Точки пересечения косых лучей с меридиональной плоскостью называются сопряженными точками сечения. Зададим падающий на поверхность луч направляющим вектором s ( , , ) и вектором A( x, y, 0) , проведенным из начала координат O в точку (называемую начальной) пересечения луча с координатной плоскостью xOy (рис. 3.1): s ( , , ) = i + j + k , s = n , A( x, y ) = i x + j y , где = n cos , – угол между вектором s и осью ox , = n cos , – угол между вектором s и осью oy , = n cos , – угол между вектором s и осью oz . ( ) Пусть a x , y , z – вектор, проведенный из начала координат O в точку падения M луча на поверхность: ( ) a x , y , z = i x + j y + k z Проведем через точку M плоскость Q, ортогональную к оптической оси. Обозначим: B – точка пересечения плоскости Q с оптической осью, ( ) A x , y , 0 – вектор, проведенный из точки B в точку M. Очевидно, что тогда можно записать: ( ) ( ) a x , y , z = A x , y + z k . Пусть s ( , , ) – направляющий вектор преломленного (отраженного) луча, A ( x , y ) – вектор, задающий точку (называемую 31 конечной) пересечения преломленного (отраженного) луча с координатной плоскостью xOy: s ( , , ) = i + j + k , s = n , A ( x, y ) = i x + j y , где = n cos , – угол между вектором s и осью ox , = n cos , – угол между вектором s и осью oy , = n cos , – угол между вектором s и осью oz . Расчет хода луча заключается в определении векторов A ( x, y) и s ( , , ). Уравнение поверхности в системе координат x y z задано. Для того чтобы применить закон преломления в векторной форме (3.1) s = s + Г o необходимо найти вектор нормали o в точке М падения луча на поверхность, а для этого необходимо определить координаты точки М, т. е. век- ( ) тор a x , y , z . Из векторного треугольника (рис. 3.1) находим: a = A + l s . (3.2) Распишем (3.2) по координатам: x = x + l , (3.3) y = y + l , (3.4) z = 0 + l . (3.5) z l= . (3.6) Из (3.5) находим: Подставим (3.6) в (3.3) и (3.4): x = x + z , y = y + z . (3.7-1) (3.7-2) Удобно ввести векторы: P ( X , Y ) = A , где X = x, Y = y, (3.8) P X , Y = A , где X = x , Y = y . (3.9) ( ) Представим вектор s в виде 32 s = S + k , где S = i + j . Умножим выражения (3.7) на : (3.10) x = x + z , y = y + z . Полученные выражения с учетом обозначений (3.8) – (3.10) можно представить в виде вектора: (3.11) P = P + z S . В выражении (3.11) переменные z, x , y являются неизвестными величиной. Приведем (3.11) к скалярному виду, для этого возведем его в квадрат и преобразуем: ( ) 2 P2 = P + z S , ( ) X 2+ Y 2= P 2+ 2 z P S + z 2 S 2, ( ) 2 x 2+ 2 y 2= P 2+ 2 z P S + z 2 S 2, ( 2 u 2= P 2+ 2 z P S + z 2 S 2, ) (3.12) 2 u = x 2+ y 2, (3.13) где тогда величины z и u определяются как совместное решение уравнения (3.12) и уравнения поверхности, заданного в виде: ( ) F u , z = 0. (3.14) Уравнения (3.12) и (3.14) можно решить приближенно или точно в зависимости от вида уравнения поверхности. Решений может быть несколько, но из всех решений следует выбирать то значение z , которое имеет наименьшую абсолютную величину. Координаты x*, y* определяются из выражений (3.7). В оптической системе, обладающей осевой симметрией, вектор нормали к поверхности пересекает оптическую ось в точке, называемой центром сагиттальной кривизны. Зная координаты x , y , z точки M встречи луча с поверхностью, можно найти вектор нормали o . Из векторного треугольника (рис. 1) находим: ( t − z ) k = A + rs o, или 33 −rs o = A − ( t − z ) k , (3.15) где t – расстояние от вершины поверхности до сагиттального центра кривизны C, rs – сагиттальный радиус кривизны (расстояние вдоль нормали от точки M падения луча на поверхность до сагиттального центра кривизны C, sign ( rs ) = sign ( t ) ). Величины rs и t пока неизвестны. Чтобы их найти, проведем некоторые преобразования. Умножим (3.15) на и преобразуем: − rs o = A − ( t − z ) k , или − rs o = P − ( t − z ) k . (3.16) Для нахождения неизвестных величин rs и t воспользуемся тем фактом, ( ) что векторы o и grad F u , z коллинеарны, так как оба являются нормалями к поверхности в одной точке М. По определению F F F grad F = i + j+ k, z x y перейдем к переменным u*, z: F u F u F grad F = i + j + k = z u x u y = или F F F F x i + y j + k = A + k, z z u u ( ) ( ) grad F u , z = Fu A + F z k . (3.17) Поделим обе части уравнения (3.17) на Fu : 1 F grad F = A + z k . Fu Fu Умножим выражения (3.15) и (3.18) векторно на o , получим: 0 = − A o + ( t − z ) k o , F 0 = A o + z k o . Fu Сложим полученные уравнения: 34 (3.18) F ( t − z ) + z k o = 0 . Fu Для всех точек поверхности (кроме вершины и плоскости) k o 0 , поэтому: (t − z ) + Fz = 0, Fu откуда находим: t − z =− Fz Fu * . (3.19) Определив из (3.19) величину t, несложно из (3.15) найти и значение rs. Для этого возведем (3.15) в квадрат: rs2 = A2 + ( t − z ) . 2 (3.20) В правой части (3.20) стоят все известные величины, что позволяет рассчитать rs. Из (3.15) находим: 1 t−z (3.21) o = − A + k, rs rs или t−z x y . o x = − , o y = − , oz = rs rs rs (3.22) Выражения (3.22) определяют компоненты вектора нормали o . Подставим (3.22) в закон преломления (3.1): Г x Г = + Г ox = − = − x , rs rs (3.23-1) à y à = + à o y = − = − y , rs rs (3.23-2) = + Г o z = + Г t−z Г = + (t − z ) . rs rs (3.23-3) Обозначим = Г , rs 35 (3.24) тогда уравнения (3.23) можно записать в виде: или с учетом (3.11): S = S − P , (3.25-1) = 1 + ( t − z ) , (3.25-2) ( ) S = S − P + z S = − P + ( 1− z ) S . (3.26) Преломленный луч может быть задан направляющим вектором S и вектором P = A , соответствующим точке встречи луча с поверхностью. Однако более удобно вычислять вектор P = A, соответствующий точке пересечения преломленного луча с координатной плоскостью xOy. Найдем вектор P. Для преломленного луча можно записать (рис. 3.1): (3.27) a = A + l s '. Путем преобразований, подобных (3.2–3.7), получим выражение (3.28) P = P + z S , аналогичное (3.11). Здесь: P = A , P = A. (3.29) P = P − z S . (3.30) Из (3.28) находим: Поскольку P P A = = , то отсюда можно выразить P . Подставим в (3.30) выражения (3.31), (3.25) и (3.11): P = P = (3.31) 1 + ( t − z ) P − z ( S − P ) = P − z S + z P = = P + t P − z P − z S + z P = = P + z S + t ( P + z S ) − z S = (1 + t ) P + t z S , окончательно: 36 P = (1 + t ) P + t z S . (3.32) Выразим промежуточную переменную (3.24) явно через известные величины: 1 = = n 2 − n 2 + ( o s ) 2 − ( o s ) = rs rs = = 1 sign ( rs ) 2 rs2 ( n 2 − n 2 ) + 2 rs2 ( o s ) 2 − rs ( o s ) = 2 rs 2 1 sign ( rs ) 2 rs2 ( n 2 − n 2 ) + 2 rs2 ( o s ) 2 − rs ( o s ) = 2 rs 2 = q − q , R (3.33) где = sign ( ) , R = 2 r 2s , или с учетом (3.20): R = 2 A 2 + ( t − z ) 2 = P 2 + 2 ( t − z ) = 2 ( = P + zS ) + 2 ( t − z )2 , 2 (3.34) x y t−z q = rs ( o s ) = r s − + rs − + r s = r r r s s s ( ) ( ) = − x − y + 2 ( t − z ) = − P S + 2 ( t − z ) = ( ) = − P + z S S + 2 ( t − z ) . (3.35) Далее находим: ( ) q = sign ( rs ) 2 r 2s n2 − n 2 + 2 rs2 ( o s ) = ( 2 ) = sign ( rs ) R n2 − n 2 + q 2 . (3.36) Для преломления = +1, поэтому ( ) q = sign ( rs ) R n2 − n 2 + q 2 – для преломления. (3.37) При отражении n = n, поэтому, с учетом (2.18), находим: = −2 ( o s ) ( rs ) Г 2q = = − . 2 rs R ( rs ) 37 (3.38) Сравнивая (3.38) и (3.33), находим, что q = −q – для отражения. Очевидно, что: (3.39) ( ) sign r s = sign ( t ) . (3.40) = 1 + t , = t z, (3.41-1) = −, = 1 − z, (3.41-2) Введем обозначения: Q= – матрица преломления (отражения). (3.41-3) Тогда с учетом обозначений (3.41) преобразования (3.32) и (3.26) можно записать в виде: P = P + S , (3.42-1) S = P + S , (3.42-2) или в матричной форме: P P (3.43) = Q . S S Рассчитаем детерминант матрицы Q с учетом выражений (3.41): det Q = − = (1 + t ) (1 − z ) + t z = 1 + ( t − z ). (3.44) Сравнивая (3.25-2) и (3.44), находим: = detQ . (3.45) Сводка формул Задано: Система координат совмещена с вершиной поверхности; A ( x, y ) – вектор, задающий начальную точку падающего луча; s ( , , ) – направляющий вектор падающего луча; ( ) F u , z = 0 – уравнение поверхности с осевой симметрией; n – показатель преломления среды перед поверхностью; n – показатель преломления среды после поверхности. Расчет: P = A, 38 находим координаты u*, z точки встречи луча с поверхностью, решая совместно систему уравнений: 2 2 2 2 2 u = P + 2 z P S + z S (3.46-1) F ( u , z ) = 0 , далее вычисляем: F F (3.46-2) , Fu = , Fz = z u ( t−z=− ( ) F Fz , t=z− z , Fu* Fu* ) (3.46-3) R = P + z S 2+ 2 ( t − z ) , ( 2 ) q = − P + z S S + 2 ( t − z ) , ( ) q 2= n 2− n 2 R + q 2 , ( ) (3.46-4) (3.46-5) (3.46-6) sign r s = sign ( t ) , (3.46-7) q = sign ( rs ) q2 – для преломления, (3.46-8) q = −q – для отражения, (3.46-9) = q − q , R = 1 + t , = t z, = − , = 1 − z, (3.46-10) (3.46-11) (3.46-12) Q= – матрица преломления (отражения), (3.46-13) det Q = 1 + ( t − z ) , (3.46-14) P P = Q , S S = detQ . 39 (3.46-15) (3.46-16) 3.2. Ход луча через систему поверхностей Рассмотрим ход лучей через несколько поверхностей, образующих осесимметричную систему. Основные обозначения приведены на рис. 3.2. Рис. 3.2. Ход косого луча через систему поверхностей Пусть: s 1 , A1 – начальные данные для луча, падающего на первую поверхность; s 2 , A 2 – начальные данные для луча, падающего на вторую поверхность. Очевидно, что в соответствии с принятыми обозначениями s2 = s1. Из векторных треугольников O1 N1 N2 и O1O2 N2 можно записать: A1 + l1 s1 = d1 k + A 2 , или с учетом (3.10) A1 + l1 S1 + l1 1 k = d1 k + A 2 , отсюда l1 1 = d 1, (3.47) A1 + l1 S1 = A 2 . (3.48) Из (3.47) находим: 40 l1 = d1 1 . (3.49) Подставим (3.49) в (3.48), получим: A 2 = A1 + d1 S1 . (3.50) Или с учетом принятых обозначений: P2 = P1 + d1 S1 . (3.51) 1 Окончательно: P2 = P1 + d 1 S1, (3.52) S 2 = S1 , (3.53) 2 = 1 . (3.54) Уравнения (3.52) и (3.53) можно представить в виде: P2 1 d 1 P1 . = S 0 1 S 2 1 (3.55) Согласно (3.46-15) для преломления на первой поверхности можно записать: P1 1 1 P1 = , S S 1 1 1 1 (3.56) где 1 = 1 +1 t1, 1 = 1 t1 z1, 1 = −1, 1 = 1 − 1 z1. (3.57) Обозначим: 1 d1 T1 = , 0 1 (3.58) T1 – матрица перемещения луча между первой и второй поверхностью, 1 Q1 = 1 (3.59) , 1 1 Q1 – матрица преломления (отражения) луча на первой поверхности. Тогда: 41 P1 P2 = T1 , S1 S2 (3.60) P1 P1 = Q1 . S1 S1 (3.61) Подставим (3.61) в (3.60): P2 P1 = T1 Q 1 . (3.62) S2 S1 Для луча, преломленного на второй поверхности, можно записать: P2 P2 = Q2 , S 2 S2 где Q 2 – матрица преломления луча на второй поверхности, (3.63) 2 Q2 = 2 . 2 2 Подставим (3.62) в (3.63): P2 P1 = Q 2 T1 Q 1 . (3.64) S 2 S1 Рассчитаем параметры луча, падающего на третью поверхность, с учетом (3.64): P3 P2 P1 = T 2 = T 2 Q 2 T1 Q 1 , S3 S 2 S1 и т. д. Для системы из k поверхностей можно записать: Pk = Q k T k −1 Q k −1 S k (3.65) P1 P1 T1 Q 1 = M , S1 S1 (3.66) A B T1 Q1 = , C D (3.67) где M = Q k Tk −1 Q k −1 M – матрица преобразования лучей системой поверхностей. Запишем цепочку преобразований параметра : 42 1 = detQ1 1 , 2 = 1 = det Q1 1, 2 = det Q 2 2 = det Q 2 det Q1 1 , и т. д. Для системы из k поверхностей получим: k k = 1 det Qi = 1 det M . (3.68) i =1 Очевидно, что для каждого луча своя матрица. Матрицу преобразования лучей можно найти между любой парой плоскостей, например, между плоскостью предмета ОП и плоскостью изображения (либо любой другой заданной плоскостью) ОП . Положение плоскостей задается с помощью расстояний s и s (рис. 3.3). Расстояния s и s отсчитываются соответственно от вершины первой и последней поверхности системы. Рис. 3.3. Преобразование луча между плоскостями O и O Обозначим: A = ( x, y ) , s = ( , , ) – параметры луча в плоскости ОП , A = ( x, y) , s = ( , , ) – параметры луча в плоскости ОП . Тогда можно записать: P 1 s A B 1 −s P A + C s B + D s 1 −s P = C D 0 1 = C 0 1 = 0 1 D S S S A + C s − s ( A + C s ) + ( B + D s ) P A B P = = , D − C s C S C D S 43 где A = A + C s, C = C, B = −s ( A + C s ) + ( B + D s ) , D = D − C s. (3.69) P = A P + B S , (3.70) S = C P + D S , (3.71) Таким образом: и согласно (3.68) k = Qi . (3.72) i =1 Выражения (3.67) можно представить в матричной форме: P A B P = , C D S S (3.73) Рассмотрим случай B = 0. Тогда из (3.67-1) следует, что P = A P, а это означает, что векторы P и P являются коллинеар- ными, а значит, коллинеарными являются и векторы A и A Действительно, выражение P = A P с учетом принятых обозначений можно представить в виде: A = A A , откуда A = A A = A . (74) Из последнего выражения видно, что векторы A и A отличаются друг от друга только скалярным множителем, то есть, они коллинеарны. Кроме того, начала обоих векторов лежат на одной оси O z , следовательно, векторы A и A лежат в одной меридиональной плоскости. Две точки, лежащие на одном луче и в одной меридиональной плоскости, называются сопряженными точками сечения. Поэтому, уравнение (3.70) определяет конечную точку, сопряженную с начальной. Из условия B = 0 получаем: − s ( A + C s ) + ( B + D s) = 0 или s ( D − C s ) + ( B − A s ) = 0, отсюда s = − B−s A , D − s C 44 (3.75) или s= B + D s . A + C s (3.76) Подставим (3.75) в (3.69): B − A s A D − A C s − C B + A C s A D − B C A= A + C − = . = D − C s D − C s D − C s Таким образом, для системы поверхностей имеем: если B = 0, то начальная и конечная точки сопряжены, лежат в одной меридиональной плоскости и определяются выражениями: AD − B C A= (3.77) D − C s , P = A P и согласно (3.71) и (3.69): S = C P + ( D − C s ) S . (3.78) 3.2.1. Ход луча через одну поверхность Запишем соотношения (3.66) и (3.67) для одной поверхности. Очевидно, что в этом случае: A = , B = , (3.79) C = , D = v. С учетом (3.74), (3.46-11) и (3.46-12) получим: A D − B C = v − = (1 + t ) (1 − z ) − t z ( − ) = = 1 + t − z − 2 t z + 2t z = 1 + t − z. Итак: A D − B C = 1 + (t − z ). Далее, с учетом (3.74) и (3.46-12), находим: D − C s = v − s = (1 − z ) − ( − ) s = 1 + ( s − z ). С учетом (3.80) и (3.81) найдем из (3.77) A и P : 1 + ( t − z ) A= , 1 + ( s − z ) P = A P = 1 + ( t − z ) P. 1+ (s − z) 45 (3.80) (3.81) (3.82) (3.83) Из (3.78) находим с учетом (3.79), (3.46-12) и (3.81): S = C P + ( D − C s ) S = P + ( v − s ) S = − P + (1 + s − z ) S . Из (3.75) с учетом (3.79), (3.46-11) и (3.46-12) находим: t z − (1 + t ) s s + t ( s − z ) −s s = − =− = . −s 1− z + s 1+ (s − z) Таким образом, для одной поверхности и сопряженных точек сечения окончательно имеем: 1 + ( t − z ) P = P, (3.84) 1+ (s − z) S = − P + 1 + ( s − z ) S , (3.85) = Q . (3.86) s + t ( s − z ) . 1+ (s − z) (3.87) s = 3.2.2. Перемещение луча в меридиональном сечении Исторически так сложилось, что меридиональным сечением считают координатную плоскость yoz. Если луч лежит в этой плоскости, то (рис. 3.2): x1 = 0 , (3.88) 2 = 1 = n2 cos 1 = 0 , так как 1 = 900 . (3.89) 2 = 1 = n2 cos 1 , 2 = 1 = n 2 cos 1 . С учетом (3.88) – (3.89) выражение (3.50) примет вид: n cos 1 0 x 2 = x1 + d 1 2 = 0 + d1 = 0, n2 cos 1 cos 1 y 2 = y1 + d 1 n2 cos 1 cos 1 = y1 + d 1 , n2 cos 1 cos 1 (3.90) (3.91) (3.92) где 1 – угол между вектором s1 и осью oy , 1 – угол между вектором s1 и осью oz . 46 4. ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 4.1. Параксиальное приближение Рассмотрим распространение лучей в приосевой (параксиальной) области. В этой области величинами второго порядка малости можно пренебречь [1], т. е., положим: A2 = P2 = A2 = P2 = P S = A S = P S = A S = S 2 = 0 , (4.1) Для расчета хода луча в параксиальном приближении через одну поверхность необходимо вычислить матричные элементы , , , по формулам (3.46-11) и (3.46-12), в которые входят промежуточные переменные , t , z . Рассчитаем эти переменные, используя приближения (4.1). Находим: A2 = x2 + y 2 = 2 u* = 0, откуда u = 0. (4.2) Тогда с учетом (4.2) уравнение поверхности примет вид: ( ) F u , z = F ( z ) = 0. Уравнение (4.3) выполняется только в случае, если z = 0. (4.3) (4.4) Поскольку по определению s 2 = S 2 + 2 = n2 и согласно (4.1) S 2 = 0, то: 2 = n 2 , откуда = n . Какой выбрать знак? По определению = n cos , где – это угол между вектором s и осью oz . При ходе луча слева направо cos 0 , при ходе луча справа налево cos 0 , то есть sign ( cos ) = , поэтому можно записать: = n Далее из формулы (3.20) с учетом (4.1) и (4.4) находим: (4.5) rs2 = A2 + ( t − z ) = t 2 , 2 откуда t = rs ( t и rs имеют одинаковые знаки). При z = 0 центр кривизны лежит на оси oz , сагиттальный радиус становится радиусом кривизны линии при вершине и представляет собой величину постоянную. Поэтому обозначим: (4.6) t = rs = r = const , где r – радиус кривизны при вершине (значение сагиттального радиуса 47 кривизны в приосевой области). Из (4.6) следует, что в параксиальной области любая поверхность вида (4.3) представляет собой сферу с радиусом кривизны r. Для расчета величины при преломлении воспользуемся выражениями (3.24) и (2.16): n 2− n 2+ ( o s ) − ( o s ) Г = = . rs rs 2 (4.7) Вычислим с учетом (3.22), (4.1), (4.5) и (4.6) по отдельности члены выражения, стоящего в числителе (4.7): ( ) A S t − z r −0 x y t−z + = 0 = = n . (4.8) ( o s ) = − − + = − rs rs rs rs rs r0 Далее с учетом (4.8) находим: n 2 − n 2 + ( o s )2 = n 2 − n 2 + n 2 = n. Подставим (4.5), (4.6), (4.8) и (4.9) в (4.7), получим: Г n − n = = . rs n r (4.9) (4.10) Для расчета величины при отражении воспользуемся выражениями (2.18) и (3.24) с учетом результатов (4.5), (4.6) и (4.8): −2 ( o s ) Г 2n 2 = = =− = − – для отражения. (4.11) rs rs nr r Выражение (4.11) можно получить из (4.10), если для отражения положить: = −, n = n. (4.12) Таким образом, величина и для преломления, и для отражения рассчитывается по формуле (4.10), но при отражении полагают (4.12). Выражение (4.10) справедливо как для положительного направления хода луча, так и для отрицательного. 4.2. Одна поверхность 4.2.1. Преломление на поверхности Подставим полученные результаты (4.4), (4.6) и (4.10) в выражения (3.46-11) и (3.46-12) для расчета элементов матрицы преобразования лучей преломляющей поверхностью (рис. 4.1): 48 Рис. 4.1. Преломляющая поверхность =1+ t =1+ n − n n + n − n n , r = = n r n n = t z = 0, n − n = − = − , = 1 − z = 1. n r Окончательно: n , = 0, n (4.13-1) n − n , = 1. n r (4.13-2) = =− Подставим (4.13), (4.10), (4.4) – (4.6) в выражения (3.42) и (3.25-2), получим: n P = P + S = P, (4.14-1) n S = P + S = − n − n P+S, n r (4.14-2) n − n n = 1 + ( t − z ) = 1 + r = n = n , n r n т. е., из последнего выражения следует, что = n. (4.15) Из (4.15) следует, что sign = . Поскольку z = 0, то: (4.16) P = P + z S = P. Учитывая (4.5), (4.15) и то, что P = A и P = A, преобразуем выражения (4.14): n A = n n A, n 49 отсюда A = A ; n − n n − n n A + S = − A + S = −Ф A + S , nr r или окончательно: S = −Ф A + S , где (4.17) S = − (4.18) n − n , (4.19) r или, при = (для преломления): n − n Ф = – оптическая сила преломляющей поверхности. (4.20) r Формула (4.19) справедлива как для преломления, так и для отражения при положительном и отрицательном направлении хода луча. Из (4.16) следует: Ф= A = A, отсюда с учетом (4.17) можно записать: (4.21) A = A = A. Выражения (4.17) и (4.18) можно записать в матричной форме: A 1 0 A (4.22) = . − Ф 1 S S Формула (4.22) справедлива и для хода луча в отрицательном направлении ( = = −1) . В этом случае нумерация сред и поверхностей осуществляется в направлении хода луча (т. е., справа налево). Рассмотрим произвольный луч, пересекающий опорные плоскости O и O соответственно в точках B и B . Положение опорных плоскостей задано соответствующими расстояниями s и s, правило знаков для которых (и других величин, используемых при расчете хода параксиального луча) определено в ГОСТ 7427-76 (приложение 2, п. 15, 16). Для того, чтобы точки B и B стали сопряженными точками сечения, необходимо, чтобы расстояния s и s удовлетворяли выражению (3.87). Преобразуем выражение (3.87) к параксиальной области. Для этого подставим (4.4), (4.6) и (4.10) в (3.87), получим: 50 n − n n r s s s + t ( s − z ) n r n , s = = = n − n n − n 1+ (s − z) 1+ s 1+ s n r n r s+ преобразуем последнее выражение: n − n n 1 s + s s = s , n r n s s 1 n − n 1 n + = n, s n r s n после простых преобразований получим: n n (4.23) − = Ф, s s где Ф определяется выражением (4.19). Для преломления = и выражение (4.23) примет вид: n n n − n − = . (4.24) s s r В выражение (4.24) не входят параметры луча, откуда следует, что точки пересечения любого произвольного луча с плоскостями O и O являются сопряженными точками сечения, то есть, лежат в одной меридиональной плоскости. Если из точки B выходит пучок лучей, то пересекутся ли все эти лучи после преломления в точке B , из выражения (4.24) неясно. Формула (4.24), называемая формулой отрезков (Гаусса), связывает сопряженные отрезки s и s для одной преломляющей поверхности и справедлива как для положительного, так и для отрицательного направления хода луча. Расстояние s называется передним отрезком, расстояние s – задним отрезком. Согласно (4.19), и величина, и знак оптической силы преломляющей поверхности сохраняются при изменении направления хода луча. 4.2.2. Преломление в меридиональном сечении Запишем выражения (4.21) и (4.22) для меридионального сечения yOz [1, 2]: y = y = y , x = x = x = 0, = −Ф x + = 0, так как в меридиональном сечении = 0 и x = 0, = −Ф y + . 51 Окончательно имеем: y = y , = −Ф y + . (4.25) Для удобства вместо направляющих косинусов и введем углы и (рис. 4.2) и правило знаков для них согласно ГОСТ 7427-76: 0, 0 – если для совмещения с оптической осью луч необходимо повернуть вокруг вершины угла по кратчайшему пути по часовой стрелке; 0, 0 – если для совмещения с оптической осью луч необходимо повернуть вокруг вершины угла по кратчайшему пути против часовой стрелки. Рис. 4.2. Основные обозначения По определению в параксиальной области углы и по модулю всегда меньше , так как измеряются по кратчайшему пути, поэтому с 2 учетом сформулированного правила знаков и направления хода луча можно записать, для удобства сменив обозначения: = n cos = n cos + = − n sin = V , (4.26-1) 2 = n cos = n cos + = − n sin = V , (4.26-2) 2 = n cos = n cos , = n cos = n cos . (4.26-3) В параксиальной области sin , sin , поэтому: V = − n sin − n , V = − n sin − n . C учетом (4.27) уравнения (4.25) можно записать в виде: 52 (4.27) y = y, V = −Ф y + V . Таким образом, для преломления окончательно имеем: y 1 0 y y = = R V −Ф 1 V V , 1 0 R= – матрица преломления. −Ф 1 (4.28) (4.29) (4.30) (4.31) 4.2.3. Отражение на поверхности Рассмотрим отражающую поверхность. Выберем в пространстве предметов произвольную опорную плоскость O , произвольную току B на ней и луч (в общем случае – косой), выходящий из этой точки и падающий на отражающую поверхность. С учетом (4.4), (4.6) (4.11) запишем элементы матрицы преобразования лучей для отражающей поверхности (рис. 4.3): = 1 + t = −1, = t z = 0, (4.32-1) 2 = − = , = 1 − z = 1. r (4.32-2) Рис. 4.3. Отражение Рассчитаем расстояние s до плоскости O , в которой находится сопряженная точка сечения B . Для этого подставим (4.4), (4.6) и (4.11) в (3.81), получим: 2 r s s + t ( s − z ) −s r s = = = , 2 2 1+ (s − z) 1− s 1− s r r s− 53 или после преобразований 1 1 2 (4.33) + = – для отражения. s s r Выражение (4.33) не содержит параметров падающего луча. Это означает, что точка пересечения произвольного падающего на отражающую поверхность луча с плоскостью ОП и точка пересечения того же луча с плоскостью O после отражения от зеркала являются сопряженными точками сечения. Подставим (4.32), (4.5) в выражения (3.42) и (3.25-2), получим: Р = Р + S = − P, (4.34-1) 2 S = P + S = P + S , (4.34-2) r 2 = 1 + ( t − z ) = (1 + t ) = n 1 − r = − n, r т. е., из последнего выражения следует = − n. (4.35) Поскольку z = 0, то: (4.36) P = P + z S = P. Учитывая (4.5), (4.35) и то, что P = A и P = A, преобразуем выражения (4.34): − n A = − n A, отсюда A = A, (4.37-1) а выражение (4.34-2) запишем в виде 2n S = − − A + S = −Ф A + S , r (4.37-2) где 2 n – оптическая сила отражающей поверхности. (4.38) r Из (4.36) с учетом (4.37-1) следует: Ф=− A = A = A. Выражения (4.37) можно записать в матричной форме: 54 (4.39) A 1 0 A (4.40) = . − Ф 1 S S Формула (4.40) справедлива и для хода луча в отрицательном направлении ( = − = −1) . В этом случае нумерация сред и поверхностей осуществляется в направлении хода луча (т. е. справа налево). Выражение (4.38) можно получить из (4.19), полагая для отражения = − и n ' = n . Поэтому выражение (4.19) можно считать общим выражением для расчета оптической силы преломляющей (отражающей) поверхности с учетом направления хода луча. В оптической системе нумерация сред и поверхностей осуществляется по ходу луча (ГОСТ 7427–76, приложение 2, п. 8). Знак направления хода луча: слева направо – положительный, справа налево – отрицательный. 4.2.4. Отражение в меридиональном сечении Преобразуем выражения (4.37) и (4.39) для меридионального сечения: x = x = x = 0, y = y = y , = −Ф x + = 0, т. к. x = 0 и = 0, = −Ф y + . (4.41-1) (4.41-2) (4.41-3) Так же, как и при преломлении, в параксиальной области можно записать: − n = V , − n = V . (4.42) С учетом обозначений (4.42) выражения (4.41) примут вид: (4.43-1) y = y, V = −Ф y + V , (4.43-2) или в матричной форме: y 1 0 y = = R V −Ф 1 V , 1 0 R= – матрица отражения. −Ф 1 (4.44) (4.45) Преобразование (4.44) справедливо для луча, распространяющегося как в положительном направлении, так и в отрицательном. 55 4.2.5. Перемещение луча Рассмотрим перемещение луча в среде с показателем преломления n между двумя опорными плоскостями ОП и ОП (рис.4.4). Знак расстояния d совпадает со знаком направления хода луча: d 0, если луч распространяется в положительном направлении, т. е. от ОП к ОП , и d 0, если луч распространяется в отрицательном направлении, т. е. от ОП к ОП. Рис. 4.4. Перемещение луча Согласно (3.90) и (3.91) для перемещения луча между двумя плоскостями в меридиональном сечении yOz можно записать: n cos y = y + d . (4.46-1) n cos = , = . (4.46-2) С учетом (4.26-1) и (4.26-3) выражение (4.46-1) примет вид: n ( − sin ) n cos y = y + d = y + d = y+d = y − d tg . (4.47) n cos n ( cos ) Запишем выражения (4.46-1) и (4.46-2) с учетом (4.5), (4.26-1) и (4.26-2) в параксиальной области в меридиональной плоскости yOz: d (4.48-1) y = y + V , n (4.48-2) V =V. Или в матричной форме: d y 1 y y (4.49) n = T , V = V V 0 1 1 T = 0 d n – матрица перемещения. 1 56 (4.50) Преобразование (4.49) справедливо для луча, распространяющегося как в положительном направлении, так и в отрицательном. 4.3. Правило знаков Проиллюстрируем правило знаков для углов и отрезков, изложенное в ГОСТ 7427–76. Для графического построения хода луча используются три линии: оптическая ось, нормаль к поверхности, луч. Для численного расчета хода луча в параксиальной области применяются определенные углы между указанными линиями (рис. 4.5). Рис. 4.5. Иллюстрация правила знаков: A – точка предмета, A – точка изображения, C – центр кривизны преломляющей сферы Присвоим каждой из линий свой приоритет. Принято считать, что наивысшим приоритетом обладает оптическая ось. Следующим по значимости приоритетом обладает нормаль к поверхности и низшим приоритетом – луч. Все углы, изображенные на рис. 4.5, измеряются по кратчайшему пути, т. е. по модулю всегда меньше / 2. Линия низшего приоритета вращается вокруг вершины угла до совмещения с линией более высокого приоритета по кратчайшему пути. Если вращение происходит по часовой стрелке, то угол меньше нуля; при вращении против часовой стрелки угол больше нуля. Если отрезок расположен слева от точки отчета, то его длина считается отрицательной, если справа – то положительной. На рис. 4.5 точкой отсчета является вершина O преломляющей поверхности. 57 4.4. Система поверхностей Рассмотрим оптическую систему, состоящую из k сферических поверхностей (рис. 4.6). На основании полученных результатов можно записать матрицу M преобразования лучей между опорными плоскостями ОП1 и ОПk, проходящими через вершины крайних поверхностей (аналогично 3.64): A B M = R k Tk −1 Rk −1 T1 R1 = (4.51) , C D и преобразование параметров луча (аналогично 3.63) y y (4.52) = M V V . Рис. 4.6. Система поверхностей Как известно из свойств матриц, детерминант произведения матриц равен произведению детерминантов матриц: (4.53) det M = det R k det Tk −1 det T1 det R1 = 1, поскольку детерминанты сомножителей равны единице. На основании (4.51) можно сформулировать общее правило: матрица преобразования лучей между любой заданной парой опорных плоскостей определяется как последовательное произведение матриц преломления и перемещения в обратном порядке. Для расчета оптической силы i-ой преломляющей (отражающей) поверхности в системе с отражающими поверхностями (т. е. в системе, где меняется знак направления хода луча) следует пользоваться общим выражением (4.19): Фi = i +1 ni +1 − i ni . ri 58 (4.54) 4.5. Матричное описание свойств ОС Разместим в пространстве предметов и в пространстве изображений соответственно опорные плоскости ОП и ОП (рис. 4.7). Пусть s – расстояние от вершины передней поверхности оптической системы до плоскости ОП, s – расстояние от вершины задней поверхности до плоскости ОП . Положим, что через точку A плоскости ОП проходит луч с параметрами (y, V). После преломления системой данный луч пересечет плоскость ОП в точке A и будет иметь параметры ( y ,V ) . Рис. 4.7. Преобразование луча оптической системой Запишем матрицу преобразования параметров луча между опорными плоскостями ОП и ОП согласно общему правилу – произведение матриц преломления и перемещения в обратном порядке: 1 M = 0 s A n C 1 s B 1 − A B . (4.55) n = C D D 0 1 Тогда параметры луча в плоскости ОП определятся из уравнения: y y A B y (4.56) = M , V V = C D V где s C, n s s s B = − A + C + B + D, n n n A = A+ (4.57) (4.58) C = C, (4.59) s D = D − C. n (4.60) 1. Положим B = 0, тогда согласно (4.56): 59 y = A y , (4.61-1) V = C y + D V . (4.61-2) Из (4.61-1) следует, что y не зависит от V, т. е. все лучи, вышедшие из точки A, соберутся в точке A с координатой y. Это означает, что точка A является изображением точки A. Из (4.61-1) находим: y (4.62) A = =. y Величина называется линейным увеличением оптической системы. Плоскости ОП и OП в этом случае называются сопряженными. Если плоскость предметов и плоскость изображений находятся на конечном расстоянии, то оптическая система называется проекционной (рис. 4.8). Рис. 4.8. Проекционная система Из (4.61) следует, что если y = 0, то y = 0, (4.63-1) V = D V ; (4.63-2) из (4.63-2) находим: V (4.63-3) =. V Величина называется угловым увеличением оптической системы. При n = n, = с учетом (4.27) для углового увеличения получим (рис. 4.9): = . Поскольку M = A D − B C = 1, то при B = 0 получаем, что A D = 1. D= Из условия A D = 1 с учетом (4.62) и (4.63-3) следует 60 = 1 y V = = . y V (4.64) Рис. 4.9. К определению углового увеличения Из (4.64) можно получить выражение, называемое условием синусов Аббе y V = y V , или с учетом (4.27): y n sin = y n sin . В выражении (4.58) положим B = 0 : s s s s (4.65) − A− C + B + D = 0, n n n n отсюда s B − A s n =− , (4.66) s n D − C n или же: s B+ D s n = . (4.67) n A + s C n При четном числе отражений = +1, при нечетном числе отражений = −1. Отрезки s и s сопряжены; отрезок s называется передним отрезком, отрезок s – задним отрезком. 2. Положим: B = 0 и s → −. Обозначим значение s при s → − как sF. Тогда из (4.66) следует: 61 B 1 s −nA sF A = lim − =− . D 1 s→− n C − C s n (4.68) Из (4.68) находим: sF = − n A . C (4.69) Подставим (4.68) в (4.57): s A A = A + F C = A − C = 0. n C Подставим (4.70) в (4.61-1): (4.70) y = A y = 0. (4.71) Из (4.71) следует, что y = 0 при s → −. и любом заданном конечном значении y . Это значит, что все лучи от бесконечно удаленного точечного источника света, расположенного на конечном расстоянии от оптической оси, сходятся в осевой точке F , называемой задним фокусом. Расстояние sF от вершины последней поверхности до фокуса F называется задним фокальным отрезком. Плоскость OП в этом случае называется задней фокальной плоскостью (рис. 4.10). Рис. 4.10. Система типа объектив Поскольку A D = 1 при B = 0 , то 1 1 D = = = . A 0 По определению V D= , V откуда следует, что D = только при V = 0 , а это означает, что лучи, 62 выходящие из точки предмета, расположенной в бесконечности и на оси (поскольку D рассчитывается для точки на оси), падают на оптическую систему параллельно оптической оси. А теперь представим, что точка A находится на бесконечном расстоянии от системы, но видна из вершины первой поверхности под малым (параксиальным) углом . Но даже в этом случае ее координата y равна бесконечности: y = s tg = , так как s = − . Как в этом случае рассчитать величину изображения y ? Значение y из выражения (4.611) определить невозможно, поскольку имеется неопределенность: умножение нуля на бесконечность ( A = 0 , y = ). Что бы разрешить эту неопределенность, положим, что y и s имеют конечные значения. Тогда из уравнения (4.61-2) найдем: 1 (4.72) y = (V − D V ). C Подставим (4.72) в уравнение (4.61-1) и получим: 1 1 (4.73-1) y = ( A V − A D V ) = ( A V − V ) , C C поскольку A D = 1. Так как A = 0 при s → −, то из (4.73-1) для s → − получим: V y = − . (4.73-2) C Из (4.73-2) следует: если на систему падает пучок параллельных лучей (V = const), то преломленные системой лучи сходятся в задней фокальной плоскости в одной точке с координатой y ; при V = 0 (рис. 4.10) все лучи сходятся в заднем фокусе F ( y = 0 ). На основании (4.37-2) также можно утверждать: если из точки предмета, расположенной в бесконечности и на бесконечном расстоянии от оптической оси, выходит гомоцентрический расходящийся пучок лучей, то на систему падает пучок параллельных лучей. Каковы практические критерии бесконечности? • Точка находится в бесконечности, если расходимость пучка, входящего в оптическую систему, не превышает дифракционной. 63 Если две точки в предметной плоскости ОП, расположенной в бесконечности, не разрешаются фотоприемником, то расстояние между ними конечное. Оптическая система, по отношению к которой предмет находится в бесконечности, а изображение в задней фокальной плоскости, называется объективом. 3. Положим B = 0 и s → +. Обозначим значение s при s → + как sF . Тогда из (4.67) следует: • D B + D sF = lim s n = , n ( s)→+ A + C C s n или D . (4.74) C Расстояние sF называется передним фокальным отрезком (рис. sF = n 4.11). Опорная плоскость ОП, расположенная на расстоянии sF от вершины передней поверхности системы и сопряженная в пространстве изображений с бесконечностью ( s → + ), называется передней фокальной плоскостью. Точка пересечения передней фокальной плоскости с оптической осью называется передним фокусом и обозначается буквой F (рис. 4.11). Рис. 4.11. Микроскоп Подставим (4.74) в (4.60): s D D = D − F C = D − C = 0. n C C учетом (4.75) выражения (4.61) примут вид: 64 (4.75) y = A y , V = C y. (4.76-1) (4.76-2) Поскольку D = 0, то A → (из условия A D = 1), поэтому для любого конечного значения у величина y → . В этом случае определяется угловое положение V изображения из (4.76-2). Из (4.76-2) также следует: V не зависит от V, то есть все лучи, вышедшие из точки, расположенной в передней фокальной плоскости с координатой у, преобразуются в параллельный пучок: V = const при заданном значении y. Оптическая система, по отношению к которой предмет находится в передней фокальной плоскости, а изображение в бесконечности, называется микроскопом. Если y = 0, то согласно (4.76-2) V = 0 (рис. 4.12). Рис. 4.12. К определению переднего фокуса 4. Полагаем B = 0 и C = 0, тогда из (4.55) следует: y = A y , (4.77-1) V = D V . (4.77-2) Из (4.77-2) следует: если V=const, то V = const, т. е. пучок параллельных лучей преобразуется системой в пучок параллельных лучей (рис. 4.13). Рис. 4.13. Телескопическая система Такие системы, преобразующие пучки параллельных лучей в пучки 65 параллельных лучей, называются телескопическими. Из (4.77-2) находим: V D= – угловое увеличение. (4.78-1) V Угловое увеличение телескопической системы обозначается символом ГТ. При n = n и = = +1 из (4.78-1) с учетом (4.27) получим: (4.78-2) ГТ = D = . Поскольку C = C = 0, то из (4.57) и (4.60) находим: s (4.79) A = A + C = A, n s (4.80) D = D − C = D . n Как видим, А = А и не зависит от s и s, т. е. линейное увеличение телескопической системы для любой пары сопряженных плоскостей есть величина постоянная. Поскольку плоскости ОП и ОП сопряжены ( B = 0) , то A D = A D = 1. Обозначим T = A = A . Тогда, очевидно, D = D = 1 βT = T и тоже есть величина постоянная для любой пары сопряженных плоскостей. Из условия B = 0 находим: s s − A+ B + D = 0, n n или s s T2 − = T B. n n С учетом принятых обозначений уравнения (4.77) примут вид: y = T y, (4.81) (4.82) (4.83) V = T V . Выражение (4.82) показывает, что точки у и y сопряжены с телескопическим увеличением Т (см. рис. 4.13); выражение (4.83) показывает, что пучок параллельных лучей преобразуется в пучок параллельных лучей с угловым увеличением T = 1 T . 66 4.6. Система плоских поверхностей Так как для всех плоских поверхностей ri = , то согласно (4.20) Фi = 0, и тогда: 1 0 1 0 Ri = = – единичная матрица. − Ф 1 0 1 i Согласно принятому правилу, для системы преломляющих поверхностей (рис. 4.14) 1 = +1 = i+1 для i = 1, , k . Тогда матрица (4.51) примет вид: M = Tk −1 Т k −2 A B 1 Т1 = = C D 0 k −1 d i =1 i +1 n i . 1 (4.84) Рис. 4.14. Система плоских поверхностей Запишем уравнение, связывающее параметры падающего и преломленного лучей: y A B y V = C D V , или k −1 di , n i =1 i +1 y = y + V V =V. (4.85-1) (4.85-2) Для системы плоских поверхностей выражение (4.85-2) справедливо и для реальных лучей (т.е., для больших значений ). Действительно, согласно закону преломления можно записать: n1 sin 1 = n2 sin 2 = ... = nk +1 sin k +1 или V = V1 = V2 = ... = Vk +1 = V . 67 Если n1 = nk +1, то = , т. е. преломленный луч параллелен падающему лучу. 4.7. Тонкая система сферических преломляющих поверхностей Систему поверхностей считают тонкой, если расстояния между вершинами поверхностей много меньше диаметра поверхностей. В этом случае примерно можно положить, что все di = 0 ( i = 1, 2, , k − 1 ). Это означает, что вершины всех сферических поверхностей совпадают. Тогда 1 0 Ti = , i = 1, 2, 0 1 , k − 1 – единичная матрица. Согласно принятому правилу, для системы преломляющих поверхностей (рис. 4.15) 1 = +1 = i+1 для i = 1, ..., k . Рис. 4.15. Тонкая система сферических поверхностей Тогда матрица (4.51) примет вид: 1 M = Rk Rk −1 R1 = k − Фi i =1 0 1 0 = , 1 −Ф 1 (4.86) где n −n Ф = i+1 i . ri i =1 K (4.87) Величина Ф называется оптической силой тонкой системы преломляющих поверхностей и вычисляется как сумма оптических сил преломляющих поверхностей системы. 68 Запишем уравнения, связывающие параметры падающего и преломленного лучей: y = y, (4.88-1) (4.88-2) V = −Ф y + V . Таким образом, для тонкой системы преломляющих поверхностей y = y, все di = 0, на всех поверхностях zi = 0 . Поэтому такую систему можно условно изобразить в виде отрезка прямой линии (рис. 4.16) со стрелками на концах вовне, если система преломляющих поверхностей собирающая, или вовнутрь, если система поверхностей рассеивающая. Точка пересечения отрезка с оптической осью ( y = 0 ) совпадает с вершинами всех поверхностей. Если y = 0, то y = 0 и V = V согласно (4.88). При n = n получим = , т. е. луч проходит через осевую точку системы преломляющих поверхностей, не меняя направления. Рис. 4.16. Условное обозначение тонкой системы преломляющих поверхностей Разместим в пространстве предметов опорную плоскость ОП (плоскость предметов), а в пространстве изображений – плоскость ОП (рис. 4.17). Рис. 4.17. Тонкая система преломляющих поверхностей 69 Вычислим матрицу преобразования лучей между плоскостями ОП и ОП : a a 1 0 1 1 − = A M = n n −Ф 1 C 0 1 0 1 B , D где a a a a (4.89-1) Ф , B = − 1 − Ф + , n n n n a C = −Ф, D = 1 + Ф . (4.89-2) n Выберем в плоскости ОП некоторую точку В с координатой y и произвольный луч, выходящий из точки В и имеющий направляющий косинус V. После преломления линзой луч пересечет плоскость OП в точке B с координатой y . Запишем преобразование параметров луча между плоскостями ОП и OП с учетом (4.89-2): y A B y (4.90) . V = V − D A =1− Положим B = 0, что означает, что точки В и B сопряжены. Тогда из (4.89-1) следует: a a a − 1 − Ф + = 0 , n n n или после преобразований n n − = Ф. a a (4.91) Подставим (4.91) в выражение для A из (4.89-1): A =1− a n n n a − = = . n a a n a Выражение (4.91) можно представить иначе: a a n = . a n 1 + Ф n Из (4.90) следует: 70 (4.91-1) (4.92) y = A y = y , (4.93) (4.94) V = − y + D V , Положим y = 0 (при B = 0 ), тогда из (4.93) и (4.94) получим: y = 0 (4.95) (4.96) V = D V . Согласно (4.95), лучи из осевой точки предмета приходят в осевую точку изображения. Из (4.96) с учетом (4.27) находим: V n D= = = – угловое увеличение тонкой системы. (4.97) V n Поскольку A D = 1 при B = 0 , то 1 1 = . A Продифференцируем по а выражение (4.92): D= (4.98) 1 a a 1 Ф 1 + 2 Ф − 2 Ф − 1 da a n n n , = n + =n n = 2 2 2 n da 1 + a Ф n a a a 1 + Ф 1 + Ф 1 + Ф n n n n отсюда с учетом (4.89-2) и (4.98) получим da n 1 n 1 n 2 = = = = . da n D 2 n 2 n (4.99-1) где – величина, называемая продольным увеличением. Из (4.99-1) находим: n (4.99-2) da = da = 2 da . n 4.8. Тонкая линза в воздухе Представим, что тонкая система состоит из двух сферических преломляющих поверхностей ( k = 2 ), между которыми расположена среда с показателем преломления n 2 . Такая система называется тонкой линзой. Рассмотрим случай, когда тонкая линза расположена в воздухе, то есть n = n1 = 1 и n = nk +1 = n 3 = 1 . Тогда для нее согласно (4.87) можно записать: 71 Ф = Ф1 + Ф2 = 1 1 n2 −1 1− n2 + = n2 −1 − , r1 r2 r1 r2 ( ) (4.100) где Ф – оптическая сила тонкой линзы. Поскольку n1 = n 3 = 1 , то уравнение (4.91) c учетом (4.100) примет вид: 1 1 1 1 − = Ф = n2 −1 − r1 r2 a a ( ) (4.101-1) или a . (4.101-2) 1+ a Ф При n1 = n 3 = 1 луч BHH B (рис. 4.17) пройдет через линзу, не меa = няя направления. Тогда, из подобия треугольников ABH и ABH , можно записать: a y (4.102) = =. a y Тот же результат можно получить из (4.91-1). Из (4.97) для линзы в воздухе находим угловое увеличение (4.103) D = = , а из (4.99) – продольное увеличение: = 2 . (4.104) 4.9. Главные точки Запишем матрицу преобразования лучей оптической системой (ОС) между опорными плоскостями ОП и ОП (рис. 4.18): s s 1 A B 1 − A B M= , n n = C D C D 1 0 1 1 где s (4.105) A = A+ C, n s s s B = − A + C + B + D, (4.106) n n n 72 C =C, (4.107) s (4.108) D = D − C. n Рассмотрим сопряженные плоскости, для которых линейное увеличение равно единице, т. е: B = 0 , A = 1 = . (4.109) Рис. 4.18. Центрированная ОС Плоскости, сопряженные с линейным увеличением, равным единице, называются главными плоскостями. Расстояния до плоскостей ОП и ОП , сопряженных с увеличением, равным единице, будем обозначать соответственно sH и sH . Тогда: sH A = A+ C = 1, n отсюда A −1 (4.110) sH = − n . C Главная плоскость ОП , расположенная в пространстве изображений на расстоянии s = sH от вершины задней поверхности, называется задней главной плоскостью оптической системы (рис. 4.19), H – обозначение задней главной плоскости. Рис. 4.19. Главные плоскости и точки ОС 73 Так как A D − B C = 1, то в силу условия (4.109) D = 1, т. е.: s D − H C = 1, n отсюда D −1 (4.111) sH = n . C Главная плоскость ОП, расположенная в пространстве предметов на расстоянии s = sH от вершины передней поверхности, называется передней главной плоскостью оптической системы (рис. 4.19), Н – обозначение передней главной плоскости. Точки пересечения передней и задней главной плоскости с оптической осью обозначаются соответственно Н и H и называются передней и задней главными точками. Найдем расстояния f и f между главными и соответствующими фокальными плоскостями (рис. 4.20) с учетом (4.110), (4.111), (4.69) и (4.74): D D −1 n (4.112-1) f = sF − sH = n − n = , C C C A A −1 n (4.112-2) f = sF − sH = − n + n =− , C C C то есть f 1 f 1 = , =− , n C n C или f f (4.113) + = 0. n n Рис. 4.20. Фокусные расстояния ОС 74 Если n = n и = +1, то из (4.113) следует, что f = − f . Расстояние f от передней главной точки до переднего фокуса F называется передним фокусным расстоянием (рис. 4.20). Расстояние f от задней главной точки до заднего фокуса F называется задним фокусным расстоянием (рис. 4.20). Значение матричного элемента C = C не зависит от положения опорных плоскостей, т. е., от расстояний s и s, а зависит только от конструктивных параметров оптической системы. Значит, это характеристика, зависящая только от конструктивных параметров оптической системы. Обозначим: n n (4.114) Ф = −С = − = f f и назовем величину Ф оптической силой системы. Начальные и конечные данные луча связаны соотношением (4.56): y A y (4.115) . V = C D V Так как для главных плоскостей А = D = 1 , B = 0 , C = −Ф , то из (4.115) следует: y = A y = y , (4.116-1) V = C y + D V = C y + V . Из (4.116-1) и (4.116-2) при y = 0 имеем: y = 0, V = V (4.116-2) (4.116-3) откуда следует, что • падающий луч, проходящий через переднюю главную точку ОС, выходит из ОС через заднюю главную точку; • оптические направляющие косинусы падающего и преломленного ОС луча равны; • если n = n и = +1, то = . Таким образом, матрица M преобразования лучей между главными плоскостями имеет вид: 1 0 M = (4.117) . − Ф 1 75 4.10. Узловые точки Рассмотрим сопряженные плоскости ОП и ОП , для которых n (4.118-1) A= = , n B =0. (4.118-2) Расстояния до плоскостей ОП и ОП , сопряженных с увеличением, определяемым выражением (4.118-1), будем обозначать соответственно sN и sN . Подставим (4.118) в (4.105): sN n A+ C = , n n откуда находим: n A − n (4.119) sN = − . C Так как A D = 1, то с учетом (4.108) и (4.118-1) получим: s 1 n D= = = D − N C, A n n отсюда n D − n (4.120) sN = . C Плоскости, сопряженные с увеличением, определяемым выражением (4.118-1), называются узловыми. Узловая плоскость, расположенная в пространстве предметов на расстоянии s = sN от вершины передней поверхности, называется передней узловой плоскостью (рис. 4.21), N – обозначение передней узловой плоскости. Рис. 4.21. Расстояния между узловыми и фокальными плоскостями 76 Узловая плоскость, расположенная в пространстве изображений на расстоянии s = sN от вершины задней поверхности, называется задней узловой плоскостью (рис. 4.21), N – обозначение задней узловой плоскости. N и N – точки пересечения передней и задней узловых плоскостей с оптической осью соответственно называются передней и задней узловыми точками. Найдем расстояния FN и FN между узловыми и соответствующими фокальными плоскостями с учетом (4.69), (4.74), (4.119), (4.120) и (4.114): D n D − n n (4.121) FN = sF − sN = n − = = − f , C C C A n A − n n F N = sF − sN = − n + = − = − f . (4.122) C C C Таким образом, получили: (4.123) FN = − f , FN – расстояние от передней узловой точки до переднего фокуса, (4.124) F N = − f , F N – расстояние от задней узловой точки до заднего фокуса. Преобразование параметров луча в узловых плоскостях имеет вид: n (4.125-1) y = A y = y, n n (4.125-2) V = C y + D V = C y + V . n Линейное увеличение в узловых плоскостях равно: n = . (4.126) n Положим y = 0, тогда, согласно (4.125), n V , y = 0 и V = n или с учетом обозначений (4.27): n − n = − n , n но поскольку мы положили, что в пространстве предметов = +1 , то: 77 (4.127) = . Из выражения (4.127) следует, что луч, входящий в систему через переднюю узловую точку N, выходит из системы через заднюю узловую точку N коллинеарно с падающим лучом (рис. 4.22). Рис. 4.22. Узловые точки ОС В частном случае при n = n и = +1 получим: V n = = = 1, V n т. е. угловое увеличение в узловых плоскостях в этом случае равно единице. Таким образом, матрица преобразования M лучей между узловыми плоскостями имеет вид: n 0 n M = . (4.128) n −Ф n 4.11. Матрица преобразования лучей между фокальными плоскостями Рассмотрим матрицу преобразования лучей между фокальными плоскостями. Для этого совместим опорные плоскости ОП и ОП соответственно с передней и задней фокальными плоскостями и положим s = sF и s = sF (рис. 4.23). Рис. 4.23. Преобразование между фокальными плоскостями 78 Запишем матрицу преобразования между плоскостями ОП и ОП с учетом (4.69) и (4.74): sF s 1 A B 1 − F A B M= , n n = C D C D 1 1 0 1 где sF A A = A+ C = A + − C = 0 , (4.129) n C s sF sF В = − F A+ C + B + D = n n n B C − A D 1 A = B + − D = =− C C C (4.130) C =C, (4.131) s D D = D − F C = D − C = 0. n C (4.132) В (4.130) учтено, что M = A D − B C = 1. Таким образом, для преобразования луча между фокальными плоскостями с учетом (4.129)–(4.132) получили матрицу: 1 0 − M= C , C 0 (4.133) тогда: 1 V , C (4.134-1) V = C y. (4.134-2) y = − Рассмотрим несколько случаев. • Представим, что на оптическую систему падает пучок параллельных лучей. Это значит, что для всех лучей V = V0 = const 1 V0 – не зависит от y, т. е., C пучок параллельных лучей, падающих на оптическую систему, после (рис. 4.24). Тогда согласно (4.134-1) y0 = − 79 преломления системой соберется в задней фокальной плоскости в одной точке с координатой y0 . Рис. 4.24. Преобразование пучка параллельных лучей Представим, что из точки предмета с координатой y = y0 = const выходит пучок лучей с оптическими направляющими косинусами Vi (рис. 4.25). Тогда согласно (4.134-2) V0 = C y0 = const, т. е., все лучи, вышедшие из точки, расположенной в передней фокальной плоскости оптической системы, после преломления системой будут параллельны друг другу. Координаты точек пересечения лучей с задней фокальной плоскостью определятся выражением (4.134-1): 1 yi = − Vi . C • Рис. 4.25. Преобразование гомоцентрического пучка лучей 4.12. Матрица преобразования лучей между сопряженными плоскостями, положение которых задано относительно главных плоскостей Запишем матрицу преобразования лучей между сопряженными плоскостями, положение которых задано относительно главных плоскостей (рис. 4.26): a a 1 1 0 1 − A B , M= n n = −Ф 1 C D 0 1 0 1 где 80 a a a Ф , B = − 1 − Ф + , n n n n a C = −Ф , D = 1 + Ф . n A = 1− a (4.135) Рис. 4.26. Положение сопряженных плоскостей задано относительно главных плоскостей a a a a − + Ф + = 0, n n n n отсюда n n n' n − =Ф= =− . a a f f Выражение (4.136) называется формулой отрезков (Гаусса). Подставим (4.114) в (4.135): a a n a A =1− Ф =1− =1− , n n f f (4.136) (4.137) B = 0, (4.138) C = C = −Ф, (4.139) a a n a D =1+ Ф =1+ − =1− . n n f f (4.140) Таким образом, матрица преобразования лучей между сопряженными плоскостями, положение которых задано относительно главных плоскостей, с учетом (4.137) – (4.140) имеет вид: a 1 − 0 f . (4.141) M = a 1− −Ф f Примечание. Из (4.136) находим: 81 a a n . = a n 1 + Ф n Продифференцируем последнее выражение по a, получим: n da = 2 da = da , n где – продольное увеличение. Подставим из (4.136) в (4.137), получим: a a n n A =1− − = n . a n a a n 4.13. Матрица преобразования лучей между сопряженными плоскостями, положение которых задано относительно фокальных плоскостей Зададим положение опорных плоскостей относительно соответствующих фокальных плоскостей с помощью расстояний z и z (рис. 4.27) и запишем матрицу преобразования лучей: z 1 z A B 1 0 − 1 − M = , n C n = C D 1 C 0 0 1 0 где A= z z z 1 z C , B = − C − , C = C , D = − C . (4.142) n n n C n Рис. 4.27. Положение сопряженных плоскостей задано относительно фокальных плоскостей (5.10) Положим B = 0, тогда: 82 z z 1 − ( −Ф ) + = 0 , n n Ф отсюда (4.143) z z = f f . Выражение (4.143) называется формулой Ньютона. Из условия А D = 1 получаем то же самое выражение. Подставим (4.114) в (4.142): A= z z n z ( −Ф ) = − =− , B =0, n n f' f z z n z C = −Ф, D = − ( −Ф ) = − = − . n n f f Таким образом, матрица преобразования лучей между сопряженными плоскостями, положение которых задано относительно фокальных плоскостей (рис. 4.27), имеет вид: z − f 0 . (4.144) M = z −Ф − f 4.14. Матрица преобразования лучей между сопряженными плоскостями, положение которых задано относительно узловых плоскостей Запишем матрицу преобразования лучей между сопряженными плоскостями ОП и ОП , положение которых задано относительно узловых плоскостей соответствующими расстояниями aN и aN (рис. 4.28): 1 M = 0 n aN n n 1 −Ф 1 − aN A n = n C 1 0 n 0 B , D где aN n − Ф, n n a n aN a B = − N − Ф + N , n n n n A= C = −Ф, 83 (4.145-1) (4.145-2) (4.145-3) D= n aN + Ф. n n (4.145-4) Рис. 4.28. Положение сопряженных плоскостей задано относительно узловых плоскостей Положим B = 0 и преобразуем (4.145-2) с учетом (4.114), тогда: − aN a aN a + N Ф + N = 0 n n n n n n , aN aN n n n n − = Ф = =− . aN aN f f (4.146) Подставим (4.114) в (4.145-1) и (4.145-3): a a a n n n n A= − N Ф = − N = − N , B = 0, n n n n f n f n aN n aN n n aN C = −Ф, D = + Ф = − = − . n n n n f n f Таким образом, матрица преобразования лучей между сопряженными плоскостями, положение которых задано относительно узловых плоскостей, имеет вид: aN n 0 n − f . (4.147) M = n aN −Ф − n f При n = n и = +1 матрица (4.147) совпадает с матрицей преобразования между плоскостями, заданными относительно главных плоскостей. 84 4.15. Выводы Рассмотрим случай, когда оптическая система находится в воздухе (или n = n). Тогда оптическая система обладает следующими свойствами: 1. Матрица преобразования лучей оптической системой между главными плоскостями (4.117) совпадает с матрицей преобразования лучей тонкой системой (4.86) и имеет вид: 0 1 M = . −Ф 1 2. Луч, падающий на ОC и пересекающий переднюю главную плоскость в точке с координатой y , после преломления оптической системой пересекает заднюю главную плоскость в точке с координатой y = y . Таким свойством обладает и тонкая система. 3. Луч, падающий на оптическую систему через переднюю главную точку, выходит из оптической системы через заднюю главную точку, причем V = V (4.116-3). Таким же свойством обладает тонкая система (4.88-2 при y=0). 4. Формула (4.136) для сопряженных отрезков a и a, измеряемых от главных плоскостей до соответствующих сопряженных плоскостей, совпадает с формулой отрезков для тонкой системы (4.91) при =1. 5. Поскольку расстояние между главными плоскостями ОС нигде в формулах не фигурирует и не влияет на ход луча, то его можно положить равным нулю, т. е. совместить переднюю и заднюю главные плоскости и представить ОС как тонкую линзу (рис. 4.29 и 4.30). 85 Рис. 4.29. Представление оптической системы в виде главных плоскостей и совмещенных главных плоскостей Графическое изображение Графическое изображение положительной тонкой ОС отрицательной тонкой ОС Рис. 4.30. Схематичное изображение ОС В этом случае главные плоскости называются совмещенными. Оптическую систему будем называть положительной (собирающей), если ее задний фокальный отрезок больше нуля ( sF 0 ), и отрицательной (рассеивающей), если ее задний фокальный отрезок меньше нуля ( sF 0 ) . Разделять оптические системы на положительные и отрицательные по знаку оптической силы будет не корректно. Оптическая система может иметь положительную оптическую силу, но если ее задний фокус находится внутри системы ( sF 0 ), то при падении на нее пучка параллельных лучей из системы выйдет расходящийся пучок, то есть по внешним признакам это будет рассеивающая система. У микроскопа оптическая сила меньше нуля, но sF 0 , то есть он является собирающей системой. 4.16. Гауссова оптика для частных типов оптических систем Выпишем сводку формул, определяющих кардинальные элементы ОС: n n n n f = =− f=− = (4.148) (4.149) С С 86 D С (4.150) sF = − n D −1 С (4.152) sH = − n n D − n С (4.154) sN = − sF = n sH = n sN = A С (4.151) A −1 С (4.153) n A − n С (4.155) 4.16.1. Одна поверхность 4.16.1.1. Преломляющая поверхность Рассмотрим сферическую преломляющую поверхность, разделяющую две среды с показателями преломления n и n (рис. 4.31). Рис. 4.31. Кардинальные точки преломляющей сферы (случай n n , r 0 ) Радиус кривизны поверхности равен r. Для преломления = = 1. Тогда преобразование параметров лучей при преломлении на поверхности согласно (4.20) и (4.30) примет вид: 0 1 y y , (4.156) = n − n V 1 V − r то есть: n − n . A = D = 1, B = 0, C = − (4.157) r Из (4.152)–(4.155) с учетом (4.157) следует: s H = sH = 0, (4.158) s N = sN = r. (4.159) Из (4.158) следует, что обе главные точки находятся в вершине поверхности, а из (4.159) – что обе узловые точки находятся в центре кривизны C . Из (4.148)–(4.151) с учетом (4.157) находим: 87 sF = − f = sF = − n r nr , , sF = n − n n − n (4.160) n r nr , f = sF = . n − n n − n (4.161) 4.16.1.2. Отражающая поверхность Полагаем для отражения = +1, = −1, n = n (рис. 4.32). Рис. 4.32. Кардинальные точки отражающей сферы (для случая r >0 ) Тогда согласно (4.38) и (4.44) имеем: 1 y V = 2 n r 0 y , то есть 1 V 2n . r Подставим (4.162) в (4.148)–(4.155), получим: A = D = 1, B = 0 , C= (4.162) sH = sH = 0, (4.163) sN = sN = r, (4.164) r sF = sF = f = f = . 2 (4.165) Из (4.163) следует, что обе главные точки находятся в вершине поверхности, а из (4.164) – что обе узловые точки находятся в центре кривизны C . Из (4.165) следует, что передний и задний фокусы отражающей поверхности совпадают и находятся на расстоянии r / 2 от вершины. 88 4.16.2. Тонкая линза Рассмотрим общий случай, когда слева и справа от тонкой линзы находятся различные среды с показателями преломления соответственно n1 = n и n3 = n . Показатель преломления стекла линзы обозначим n2 . Тогда согласно (4.86) для тонкой линзы можно записать: 1 0 1 0 M = R 2 R1 = , = − Ф 1 + Ф2 1 −Ф 1 где в соответствии с формулой (4.87) n − n n − n2 Ф= 2 + . r1 r2 ( ) (4.166) (4.167) Из (4.166) следует: A = D = 1, B = 0, C= − Ф . Из (4.148)–(4.155) находим: n − n , sH = sH = 0, sN = sN = n n n n sF = = − , sF = − = , C C Ф Ф n n n n f = = sF = − , f = sF = − = . C C Ф Ф Расположение кардинальных точек показано на рис. 4.33. (4.168) (4.169) (4.170) (4.171) Рис. 4.33. Кардинальные точки тонкой линзы для случая 0 и n <n Рассмотрим тонкую линзу, расположенную в воздухе: n=n=1 . Если задать фокусное расстояние f линзы, то, пользуясь формулой (4.167) с учетом (4.171), можно рассчитать радиусы двояковыпуклой (или двояковогнутой) линзы при условии r2 = − r1 : 1 2 = ( n2 − 1) , f r1 89 (4.172) или отсюда r1 = 2 ( n2 − 1) f . (4.173) Можно рассчитать линзу и с неравными радиусами. Для этого задается, из каких-либо соображений, один из радиусов, а второй рассчитывается из формулы (4.167). 4.16.3. Система из двух тонких линз в воздухе Запишем матрицу двух тонких линз с заданными оптическими силами Ф1 и Ф2 , разделенных воздушным промежутком (рис. 4.34). Полагая n = n 1 = 1, n 2 = 1 , n' = n 3 = 1 , = 1 = 1 , 2 = 1, = 3 = 1 , находим: 0 1 d 1 0 A B 1 M = −Ф 1 = C D , − Ф 1 0 1 1 2 где ( A = 1 − d Ф 1, (4.174) B = d, (4.175) ) C = − Ф 1 + Ф 2 − d Ф 1Ф 2 , (4.176) D = 1 − d Ф 2. (4.177) Рис. 4.34. Один из возможных вариантов расположения кардинальных точек в системе из двух тонких линз в воздухе: Ф1 >0 , Ф2 >0 , Ф >0 Из (4.148)–(4.155) и (4.176) находим: Ф = Ф1 + Ф2 − d Ф1 Ф2 , sH = s N = d 90 Ф2 Ф , (4.178) (4.179) sH = sN = −d Ф1 , (4.180) Ф 1 1 (4.181) f =− , f= , Ф Ф 1 sF = d Ф 2 − 1 , (4.182) Ф 1 sF = − d Ф 1 − 1 . (4.183) Ф Один из вариантов расположения кардинальных точек системы из двух тонких линз показан на рис. 4.34. ( ) ( ) 4.16.4. Толстая линза в воздухе 4.16.4.1. Кардинальные элементы толстой линзы Толстая линза состоит из двух сферических преломляющих поверхностей ( k = 2 ), между которыми расположена среда с показателем преломления n 2 . Расстояние d между вершинами поверхностей имеет конечную величину и не равно нулю (рис. 4.35). Полагая = 1 = 1, 2 = 1, = 3 = 1, n=n 1 = 1, n=n 3 = 1, запишем матрицу толстой линзы: 1 M = −Ф 2 0 1 1 0 d 0 A B 1 n2 −Ф 1 1 = C D , 1 где Ф1 = n2 −1 r1 , Ф2 = A = 1− B= 1− n2 r2 , (4.184) d Ф 1, n2 (4.185) d , n2 (4.186) d C = − Ф1 + Ф 2 − Ф1 Ф 2 , n2 91 (4.187) D = 1− d Ф 2. n2 (4.188) Рис. 4.35. Толстая линза Согласно (4.148)–(4.155) и (4.187) находим: d Ф = Ф1 + Ф 2 − Ф1 Ф 2 , n2 sH = s N = (4.189) d Ф2 , n2 Ф (4.190) d Ф1 , n2 Ф (4.191) = sN = − sH 1 1 , f= , 1 d s F = Ф2 − 1 , Ф n 2 1 d sF = − Ф 1 − 1 . Ф n 2 В зависимости от знаков r1 и r2 линзы называются: f =− • двояковыпуклыми, если r1 0 и r2 0; • двояковогнутыми, если r1 0 и r2 0; • мениском, если r1 и r 2 имеют одинаковые знаки; (4.192) (4.193) (4.194) плосковыпуклыми, если одна из поверхностей в двояковыпуклой линзе имеет кривизну, равную нулю; • плосковогнутыми, если одна из поверхностей в двояковогнутой линзе имеет кривизну, равную нулю. • 92 4.16.4.2. Расчет двояковыпуклой линзы с равными радиусами Допустим, что необходимо рассчитать радиусы кривизны двояковыпуклой или двояковогнутой линзы с заданным фокусным расстоянием f , при условии, что r 2 = − r1. Тогда из (4.189) находим: 1 n 2 −1 1− n 2 d n 2 −1 1− n 2 = + − , f r1 r2 n2 r1 r2 или после преобразований ( ) r12 − 2 f n 2 − 1 r1 + ( ) 2 d f n 2 − 1 = 0, n2 отсюда получаем два решения d r1( + ) = − r2( + ) = f n 2 − 1 1 + 1 − , n2 f ( ) (4.195-1) d r1( − ) = − r2( − ) = f n 2 − 1 1 − 1 − (4.195-2) . n f 2 Оба решения дают линзу с заданным фокусным расстоянием. Из выра- ( ) жений (4.195) видно, что r ( + ) r ( −) . Кроме того, численное исследование показало некоторые интересные свойства полученных решений, а именно: если f 0 и d n 2 f , то: • r1( + ) 0 и r 2( + ) 0 – двояковыпуклая линза; sH (+) 0 , sH ( +) 0 и обе главные точки находятся внутри линзы; sF ( +) 0 и sF ( +) 0 ; • r1( − ) 0 и r 2( − ) 0 – двояковыпуклая линза; sH (−) 0 , sH ( −) 0 , причем обе главные точки могут находиться как внутри линзы, так и вне ее – передняя главная точка будет располагаться справа от линзы, а задняя главная точка слева; sF ( −) 0 и sF ( −) 0 , причем d → 0 , то r1( − ) → 0 и sF (+) = −sF (−) и sF (+) = −sF (−) . Если n2 f r 2( − ) → 0 ; если f 0 , то: 93 • r1( + ) 0 и r 2( + ) 0 – двояковогнутая линза; sH (+) 0 , sH (+) 0 и обе главные точки находятся внутри линзы; sF (+) 0 и sF ( +) 0 ; • r1( − ) 0 и r 2( − ) 0 – двояковыпуклая линза; sH (−) 0 , sH ( −) 0 и обе главные точки находятся вне линзы – передняя главная точка будет располагаться слева от линзы, а задняя главная точка справа; sF ( −) 0 sF ( −) 0 , причем sF (+) = −sF (−) и sF (+) = −sF (−) . Если d → 0 , то r1( − ) → 0 и r 2( − ) → 0 ; n2 f и если f 0 и d n2 f , то: оба решения являются комплексными. Аналитическое исследование толстой линзы будет проведено ниже. 4.16.4.3. Кардинальные элементы толстой двояковогнутой линзы Рассмотрим положение кардинальных точек толстой двояковогнутой линзы (рис. 4.36). Рис. 4.36. Кардинальные точки двояковогнутой толстой линзы Для Ф1 = n2 −1 r1 двояковогнутой 0 и Ф2 = 1− n2 r2 r1 0 линзы и r2 0. Поскольку 0, то оптическая сила (4.189) двояково- гнутой линзы всегда меньше нуля: Ф = Ф1 + Ф2 − d Ф1 Ф2 0 , n2 94 и, значит, f 0 , f > 0 . Тогда согласно (4.190)–(4.191), sH = sN 0 , sH ' = sN 0 всегда. Согласно (4.193)–(4.194), sF 0 и sF 0 при любых значениях d. Найдем расстояние между главными плоскостями (рис. 4.36): d Ф d Ф n Ф − (Ф1 + Ф2 ) = d − ( sH − sH ' ) = d − 2 + 1 = d 2 = n2 Ф n2 Ф n Ф 2 n 2 (Ф1 + Ф2 − =d d Ф1 Ф2 ) − (Ф1 + Ф2 ) n2 n2 Ф =d (n 2 − 1) (Ф1 + Ф2 ) − d Ф1 Ф2 n2 Ф = . Таким образом: =d (n 2 − 1) (Ф1 + Ф2 ) − d Ф1 Ф2 n2 Ф . (4.196) В выражении (4.196) числитель (n 2 − 1) (Ф1 + Ф2 ) + ( −d Ф1 Ф2 ) 0 , знаменатель n2 Ф 0 , следовательно, 0 всегда. Это означает, что передняя главная плоскость в двояковогнутой линзе всегда находится слева от задней главной плоскости. А поскольку sH = sN 0 , sH ' = sN 0 , то можно утверждать, что главные точки (и узловые тоже) находятся всегда внутри линзы. Положение кардинальных точек показано на рис. 4.36. Согласно (4.148) и (4.149), оптические силы поверхностей можно представить в виде: n2 n2 (4.197) Ф1 = , Ф 2 = − , f2 f1 фокусные расстояния поверхностей можно рассчитать, используя формулы (4.161): n2 r1 n2 r2 f1 = , f2 = , (4.198) n2 − 1 n2 − 1 Отсюда f1 0 и f 2 0 . Преобразуем выражение (4.189) для оптической силы толстой линзы: 95 Ф = Ф1 + Ф 2 − d Ф1 Ф 2 , n2 или с учетом (4.197) и (4.198): Ф= n2 1 n2 n2 d n2 n2 = − − − = f 2 − f 1 + d . f f 1 f 2 n f 1 f 2 f 1 f 2 ( ) (4.199) Рассмотрим, может ли передний фокус F находиться внутри линзы. Для этого исследуем знак величины = sF − d . Если 0 , то передний фокус находится внутри линзы и с учетом (4.193) и (4.197) можно записать: 1 d 1 d = Ф 2 − 1 − d = − + 1 − d 0 . Ф n 2 Ф f2 Преобразуем полученное выражение с учетом (4.198) и (4.199): 1 d 1 d − + 1 − d 0 или + 1 + d 0 , Ф f2 Ф f2 1 d d + f2 + d f2 Ф + 1 + d = 0 , отсюда Ф f2 Ф f 2 d + f2 + d f2 Ф <0 , так как Ф < 0 и f 2 0 , d + f2 + d f2 n2 f 1 f 2 ( ) f 2 − f 1 + d = d + f 2 + d n 2 f2 f1 − d n2+ d2 n2 f1 <0, d n2 d n2 f 2 1 + + d 1 − n + <0 , отсюда: 2 f f 1 1 d n2 ✓ Случай 1. Если 1 + 0 , то f 1 d n2 n2 r1 1− n2 + 1 − n + d n2 2 1 − n 2 f1 + d n 2 f1 n2 − 1 , f 2 −d = −d = −d d n2 n2 r1 f1 + d n 2 1+ + d n2 f1 n2 − 1 ( n2 r2 n2 − 1 d ( n2 − 1) ( ) n2 r1 − d n 2 n2 r1 + d n 2 ( n2 − 1) 96 ) , отсюда 2 n2 − 1) ( r d 2 n2 r1 + d ( n2 − 1) 2 1 − n2 ) ( r d 2 n2 r1 − d 1− или d r1 d 1 − (1 − n2 ) r1 . (4.200) d n2 С учетом (4.198) преобразуем условие 1 + 0: f 1 d n 2 r1 + d ( n2 − 1) 1 + = 0 , отсюда следует: n2 r1 r1 n2 − 1 r1 + d ( n2 − 1) 0 , так как r1 0 , или r1 − d ( n2 − 1) . (4.201) Таким образом, если r1 −d ( n2 − 1) , то r 2 d (1 − n2 ) 2 n2 1− d r1 d 1 − (1 − n2 ) r1 (4.202) и передний фокус находится внутри линзы. d n2 d n2 Случай 2. Если 1 + = 0 , то d 1 − n 2 + <0 . Из этих выра f f 1 1 жений следует: r1 = − d ( n2 − 1) ; 1− n2 + d n2 f1 1 − n 2 ) f1 + d n 2 ( = < 0 , отсюда f1 (1 − n 2 ) f1 + d n 2 0 , n r (1 − n 2 ) n2 − 11 + d n 2 0 , r1 d . Решение r1 = −d ( n2 − 1) удовлетво2 ряет условию r1 d . Таким образом, если r1 = − d ( n2 − 1) и r 2 0 – любое, то передний фокус находится внутри линзы. 97 d n2 ✓ Случай 3. Если 1 + 0 или с учетом (4.198) f 1 −d ( n2 − 1) r1 0 , (1 − n2 ) 1− 2 r2 d то n2 d r1 d 1 − (1 − n2 ) r1 (4.203) . (4.204) Преобразуем выражение (4.204): 2 2 1 − n2 ) r1 − d + d n2 − d n2 1 − n2 ) r1 − d (1 − n2 ) − d n2 ( ( r2 d =d = n2 r1 − d (1 − n2 ) n2 r1 − d (1 − n2 ) 2 1 − n2 ) ( =d 1− n2 d n2 . r1 − d (1 − n2 ) Рассмотрим дробь в квадратных скобках: d n2 . Согласно r1 − d (1 − n2 ) (4.203), знаменатель этой дроби больше нуля: r1 − d (1 − n2 ) 0 . Значит, дробь больше нуля. Преобразуем дробь: d n2 d n2 = = r1 − d (1 − n2 ) d n2 − d − r1 ( ( ) А значит ) 1− 1 0. d − r1 d n2 В последней дроби d − r1 0 всегда. Согласно (4.203) d − r1 d n2 или 0 d − r1 d n2 1. 0 1− d − r1 d n2 1, следовательно d n2 d n2 1 и 1 − 0 . А это означает, что r1 − d (1 − n2 ) r − d 1 − n ( ) 1 2 2 1 − n2 ) ( r =d 1− d n2 0 в этом случае. 2 n2 r1 − d (1 − n2 ) Таким образом, условию (4.204) удовлетворяют и отрицательные значения, но они нас не интересуют, поскольку мы рассматриваем двояковогнутую линзу. Таким образом, передний фокус находится внутри линзы: 98 если −d ( n2 − 1) r1 0 и r 2 0 – любое. (4.205) • Если = 0 , то передний фокус находится в вершине задней поверхности. В этом случае: d n2 d n2 = f 2 1 + + d 1 − n 2 + =0 f1 f1 и отсюда 2 1 − n2 ) ( r =d 1− d n2 . r1 − d (1 − n2 ) Выбираются такие значения r1 , при которых r 2 0 . Это возможно, 2 если 1 − n2 d n2 0 , отсюда r1 − d (1 − n2 ) d n2 и r1 d , но r1 r1 − d (1 − n2 ) не может иметь положительных решений. Либо r1 − d (1 − n2 ) 0 , отсюда r1 d (1 − n2 ) . В этом решении r1 0 . Таким образом, передний фокус находится в вершине задней поверхности, если 2 1 − n2 ) ( r1 d (1 − n2 ) , r 2 = d 1 − d n2 . r1 − d (1 − n2 ) (4.206) • Если 0 , то передний фокус находится справа от задней поверхности. В этом случае с учетом (4.193) и (4.197) можно записать 1 d 1 d = Ф 2 − 1 − d = − + 1 − d 0 . Ф n 2 Ф f2 Преобразуем полученное выражение с учетом (4.198) и (4.199): 1 d 1 d − + 1 − d 0 или + 1 + d 0 , Ф f2 Ф f2 n2 1 d d + f2 + d f2 Ф + 1 + d = 0 , отсюда Ф f2 Ф f 2 d + f2 + d f2 Ф >0 , так как Ф < 0 и f 2 0 , d + f2 + d f2 n2 f 1 f 2 ( ) f 2 − f 1 + d = d + f 2 + d n 2 99 f2 f1 − d n2+ d2 n2 f1 >0, d n2 d n2 f 2 1 + + d 1 − n + >0 , отсюда: 2 f f 1 1 ✓ Случай 1. Передний фокус находится справа от задней поверхно d n2 сти, если 1 + 0 или с учетом (4.198) f 1 r1 − d ( n2 − 1) , (1 − n2 ) 1− 2 и r2 d n2 (4.207) d r1 d 1 − (1 − n2 ) r1 . (4.208) ✓ Случай 2. d n2 d n2 , тогда 1 + = 0 d 1 − n + >0 . Отсюда следует: 2 f1 f1 r1 = − d ( n2 − 1) , r1 d . Решение r1 = − d ( n2 − 1) не удовлетворяет условию r1 d . ✓ Случай 3. d n2 1 + 0 или с учетом (4.198) f1 − d ( n2 − 1) r1 0 , (1 − n 2 ) 1− 2 и r2 d n2 ( (4.209) d r1 d 1− 1− n2 r1 ) . (4.210) Преобразуем выражение (4.210) к виду: 2 1 − n2 ) ( r d 1− d n2 (4.211) . 2 n2 r − d 1 − n ( ) 1 2 Как было показано выше, правая часть в неравенстве (4.211) при выполнении условия (4.209) всегда меньше нуля. В этом случае линза является вогнуто-выпуклым мениском, а не двояковогнутой линзой. Аналогичным способом рассмотрим, может ли задний фокус F находиться внутри линзы. Для этого исследуем знак величины 100 = sF + d . • Если 0 , то задний фокус находится внутри линзы. С учетом (4.194) и (4.198) можно записать: =d − d− 1 d 1 d Ф 1 − 1 = d − − 1 0 , Ф n 2 Ф f 1 1 d − f 1 d Ф f 1 − d + f 1 = 0. Ф f 1 Ф f 1 Поскольку Ф < 0 и f1 0 , то d Ф f 1 − d + f 0 . d Ф f 1 − d + f1 = d d ( f n2 n2 f 1 f 2 ( ) f 2 − f 1 + d f1 − d + f1 0 , ) f 2 − f 1 + d − d + f1 = d n 2 − d 2 n2 f2 f 1 + d 2 n2 f2 − d + f1 0 , n2 n2 = f1 1 − d − d 1 − n 2 − d 0 , отсюда: f 2 f 2 n2 ✓ Случай 1. Если 1 − d 0 , то f 2 1− n2 − d f1 d n2 r1 n2 − 1 1− d n2 f2 n2 ) f2 − d n2 f2 d ( n2 − 1) n2 −n2 r2 − d n 2 n2 r2 − d n 2 ( n2 − 1) (1 − n2 ) 2 r1 −d =d ( f2 1− n2 − d n2 r2 + d r 2 + d (1 − n2 ) n2 r 2 = d (1 − n2 ) (1 − n2 ) 2 = −d Окончательно 101 ( ) 1− n2 − d n2 n2 − 1 =d , n2 r 2 − d n2 n2 − 1 n2 r2 + d r2 + d (1 − n2 ) 1+ d r2 d 1 + (1 − n2 ) r2 . , (1 − n2 ) 1+ 2 r1 −d n2 d r2 d 1 + (1 − n2 ) r2 . (4.212) n2 С учетом (4.198) преобразуем условие 1 − d 0 : f 2 1− d n2 f2 =1− d n2 r 2 − d ( n2 − 1) = 0 , отсюда следует: n2 r 2 r2 n2 − 1 r 2 − d ( n2 − 1) 0 , так как r 2 0 , или r 2 d ( n2 − 1) . (4.213) Преобразуем выражение (4.212): (1 − n 2 ) r2 + d − d n 2 + d n 2 = −d (1 − n 2 ) r2 + d (1 − n 2 ) + d n 2 = r1 −d n2 r 2 + d (1 − n2 ) n2 r2 + d (1 − n 2 ) 2 2 1− n2 ) ( = −d 1 + 2 n2 . r2 + d 1 − n 2 d n2 ( Рассмотрим дробь в квадратных скобках: (4.214) ) d n2 ( r2 + d 1 − n 2 ) . Со- гласно (4.213), знаменатель этой дроби больше нуля: r 2 + d (1 − n2 ) 0 . Значит, дробь больше нуля и выражение в квадратных скобках тоже больше нуля, а все выражение в правой части неравенства меньше нуля. То есть, согласно неравенству (4.214), радиус r1 может принимать как отрицательные, так и положительные значения, но последние нас не интересуют, поскольку соответствуют выпукло-вогнутому мениску. Таким образом, задний фокус находится внутри линзы, если ( ) r2 d n 2 − 1 и ( −d ) (1 − n 2 ) 2 n2 102 1+ ( d r2 d 1+ 1− n2 r2 ) r1 0 . (4.215) n2 Случай 2. Если 1 − d = 0 или r 2 = d ( n2 − 1) , то f 2 f2 1− n2 − d n2 n2 0. d 1 − n 2 − d 0 , отсюда f f 2 2 Поскольку f 2 0 , то последнее неравенство выполняется, если ( ( ) n2 r 2 ( ) ) 1 − n 2 d n 2 , или r2 −d . Решеn2 − 1 ние r 2 = d ( n2 − 1) удовлетворяет условию r2 −d . f 2 1 − n 2 − d n 2 0 , или Поэтому, задний фокус находится внутри линзы, если: r 2 = d ( n2 − 1) и r1 0 – любое. n2 Случай 3. Если 1 − d 0 , то f 2 (1 − n 2 ) 2 0 r 2 d ( n2 − 1) , r1 −d n2 1+ ( d r2 d 1+ 1− n2 r2 ) . (4.216) В этом случае задний фокус находится внутри линзы. Из возможных значений выбираются такие значения r 2 , при которых r 1 0 . • Если = 0 , то задний фокус совпадает с вершиной передней поверхности: n2 n2 = f1 1 − d − d 1 − n 2 − d = 0 , f 2 f 2 и отсюда d 1+ 2 r2 (1 − n2 ) 0. r 2 0 – любое, r1 = −d d n2 1 + (1 − n2 ) r2 • Если 0 , то задний фокус находится слева от передней поверхности: n2 n2 = f1 1 − d − d 1 − n 2 − d 0 , отсюда: f 2 f 2 103 n2 ✓ Случай 1. Если 1 − d 0 , то f 2 (1 − n2 ) 1+ 2 r1 −d n2 d r2 d 1 + (1 − n2 ) r2 . (4.217) n2 С учетом (4.198) преобразуем условие 1 − d 0 : f 2 r 2 d ( n2 − 1) . (4.218) Преобразуем выражение (4.212): 1− n2 ) ( r −d 1 + 2 1 n2 . r2 + d 1 − n 2 d n2 ( (4.219) ) d n2 Рассмотрим дробь в квадратных скобках: ( r2 + d 1 − n 2 ) . Со- гласно (4.213), знаменатель этой дроби больше нуля: r 2 + d (1 − n2 ) 0 . Значит, дробь больше нуля и выражение в квадратных скобках тоже больше нуля, а все выражение в правой части неравенства меньше нуля. То есть, согласно неравенству (4.214), радиус r1 принимает только отрицательные значения. Таким образом, задний фокус находится слева от передней поверхности, если d 1+ 2 r2 (1 − n2 ) r2 d n 2 − 1 и r1 −d . (4.220) d n2 1 + (1 − n2 ) r2 ( ) n2 ✓ Случай 2. Если 1 − d = 0 или r 2 = d ( n2 − 1) , то f 2 ( ) f2 1− n2 − d n2 n2 0. d 1 − n 2 − d 0 , отсюда f f 2 2 104 Поскольку ( f 2 0 , то последнее неравенство выполняется, если ) f 2 1 − n 2 − d n 2 0 , или n2 r 2 n2 − 1 ( ) 1 − n 2 d n 2 , или r2 −d . Но r 2 не может быть меньше нуля, поэтому в данном случае решение отсутствует. n2 ✓ Случай 3. Если 1 − d 0 , то f 2 d 2 1+ 1− n2 r2 0 r 2 d ( n2 − 1) , r1 −d . (4.221) d n2 1+ 1− n2 r2 ( ) ( (1 − n 2 ) 2 Если 0 r 2 d ( n2 − 1) , то величина ( −d ) n2 ) 1+ ( d r2 d 1+ 1− n2 r2 ) 0. Тогда согласно условию (4.221), радиус r1 должен принимать только положительные значения, но для двояковогнутой линзы это невозможно. Значит, в этом случае задача не имеет физического решения. Таким образом, фокусы двояковогнутой линзы могут находиться как внутри линзы, так и вовне. 4.16.4.4. Кардинальные элементы толстой двояковыпуклой линзы Рассмотрим положение кардинальных точек толстой двояковыпуклой линзы в зависимости от знака ее оптической силы. Для двояковыпуклой линзы r1 0 и r2 0, поэтому: Ф1 = n2 −1 r1 0 и Ф2 = 1− n2 r2 0. (4.222) И согласно (4.198) f 1 0 и f 2 0 . (4.223) Как видно из выражения (4.199), величина Ф может быть как положительной, так и отрицательной. Рассмотрим каждый случай отдельно, принимая во внимание, что 105 n2 f 1 f 2 0. (4.224) 4.16.4.4.1. Ф 0 согласно (4.199), если f 2 − f 1 + d 0 , или: f 1 − f 2 d . (4.225) Из этого условия следует, что задний фокус F1 передней поверхности всегда находится справа от переднего фокуса F2 задней поверхности, причем оба фокуса – F1 и F2 – могут находиться как внутри линзы, так и вовне (рис. 4.37). Подставим (4.198) в (4.225), получим: n −1 r1 r 2 + d 2 или (4.226-1) n2 n −1 r 2 r1 − d 2 . n2 (4.226-2) Рис. 4.37. Один из вариантов расположения фокусов поверхностей ( Ф 0 ) В общем случае sF и sF могут иметь как положительные, так и отрицательные значения. Преобразуем выражение (4.193): sF = 1 d n2 1 d 1 d Ф2 − 1 = − − 1 = − + 1 . (4.227) Ф n 2 f2 Ф n 2 Ф f2 Поскольку Ф 0, то: • sF 0, если d + 1 0, отсюда f2 ( − f2 ) d . (4.228) Это означает, что передний фокус F2 второй поверхности находится внутри линзы (рис. 4.38). 106 Рис. 4.38. Расположение переднего фокуса толстой линзы ( Ф 0 , sF 0 ) Подставим (4.198) в (4.228), получим r2 1 − n2 d . n2 (4.229) Неравенства (4.229) и (4.226-2) должны выполняться совместно, поэтому: 1 − n2 n −1 ; d r2 r1 − d 2 n2 n2 • (4.230) sF = 0, если f 2 = −d . Это означает, что передний фокус F2 зад- ней поверхности совпадает с вершиной передней поверхности (рис. 4.39). С учетом (4.198) получим r2 = 1 − n2 d ; n2 (4.231) Значение, определяемое равенством (4.231), удовлетворяет неравенству (4.226-2) при любом r1 . Рис. 4.39. Расположение переднего фокуса толстой линзы ( Ф 0 , sF = 0 ) • sF 0, если 107 ( − f2 ) d . (4.232) Это означает, что передний фокус F2 второй поверхности лежит слева от передней поверхности (рис. 4.40). Подставим (4.198) в (4.232), получим 1 − n2 (4.233) r2 d . n2 Рис. 4.40. Расположение переднего фокуса толстой линзы ( Ф 0 , sF 0 ) Неравенство (4.233) выполняется совместно с неравенством (4.226-2) при любом r1 0 . Преобразуем выражение (4.194): sF = − 1 d 1 d n2 1 d Ф 1 − 1 = − − 1 = − − 1 . Ф n 2 Ф n 2 f 1 Ф f 1 (4.234) Поскольку Ф 0, то: • sF 0, если d − 1 0, откуда следует (рис. 4.41) f 1 f 1 d . (4.235) Подставим (4.198) в (4.235), получим r1 n2 − 1 d . n2 (4.236) Неравенство (4.236) выполняется совместно с неравенством (4.226-1) при любом r2 0 . 108 Рис. 4.41. Расположение заднего фокуса толстой линзы ( Ф 0 , sF 0 ) • sF = 0 , если f 1 = d (рис. 4.42) или с учетом (4.198) r1 = n2 − 1 d ; n2 (4.237) Рис. 4.42. Расположение заднего фокуса толстой линзы ( Ф 0 , sF = 0 ) Значение (4.237) удовлетворяет условию (4.226-1) при любом r2 0 . • sF 0, если f 1 d (рис. 4.43) или с учетом (4.198) r1 n2 − 1 d . n2 (4.238) Рис. 4.43. Расположение заднего фокуса толстой линзы ( Ф 0 , sF 0 ) Неравенства (4.238) и (4.226-1) выполняются совместно, если 109 r2 + d n2 − 1 n −1 r1 2 d n2 n2 (4.239) при любом r2 0 . Поскольку Ф 1 0 и Ф2 0, то при Ф 0 из (4.190) и (4.191) получим: (4.240) sH = sN 0, sH ' = sN 0. Положение кардинальных точек при Ф 0 , sF 0 и sF 0 показано на рис. 4.44. Рис. 4.44. Один из вариантов расположения кардинальных точек двояковыпуклой толстой линз ( Ф 0 , sF 0 , sF 0 ) Для того, чтобы определить, при каких условиях передняя главная плоскость будет располагаться внутри линзы или справа от нее, исследуем величину = d − sH . Преобразуем выражение для с учетом (4.198) и (4.199): d 2 d n2 1 , = d − sH = d − = d 1+ n2 n 2 f2 n2 ( f 2 − f 1 + d ) f 1 f 2 окончательно: 1 . = d 1+ (4.241) n 2 ( f 2 − f 1 + d ) f 1 • 0 , если передняя главная плоскость находится внутри линзы, тогда 110 1+ 1 n2 ( f 2 − f 1 + d ) f1 f1 0 , отсюда находим n2 n2 −1 ( f 2 + d ). (4.242) Подставим (4.198) в (4.242), получим: r1 n2 n2 − 1 n d + r2 = d + 2 r 2 . n2 − 1 n2 n2 − 1 (4.243) Неравенства (4.225) и (4.242) выполняются совместно при выполнении условия (4.234). Неравенства (4.226-1) и (4.243) выполняются совместно при выполнении условий (4.243). Таким образом, 0 при Ф 0 , если f1 n2 n2 −1 ( f 2 + d ) или r1 d + n2 r2 , r2 0 . n2 − 1 (4.244) При выполнении условия (4.244) передняя главная плоскость находится внутри линзы. • = 0 , если 1 1+ = 0, (4.245) n2 ( f 2 − f 1 + d ) f1 отсюда находим f1 = ( f2 + d ). (4.246) n2 r 2 , r2 0 . n2 − 1 (4.247) n2 n2 −1 или r1 = d + Величина (4.246) удовлетворяет условию (4.225). Величина (4.247) удовлетворяет условию (4.226-1). Это значит, что передняя главная плоскость при выполнении условий (4.247) и (4.246) проходит через вершину задней поверхности. • 0 , если 111 1+ 1 n2 ( f 2 − f 1 + d ) f1 f1 0 , отсюда находим ( f2 + d ) (4.248) n2 r2 . n2 − 1 (4.249) n2 n2 −1 или r1 d + Неравенства (2.248) и (4.225) выполняются совместно, если n f 2 + d f1 2 f 2 + d . n2 −1 ( ) (4.250) Неравенства (2.249) и (4.226-1) выполняются совместно, если n 2 −1 n d + r 2 r1 d + 2 r 2 , r2 0 . n2 n2 − 1 (4.251) Таким образом, при Ф 0 передняя главная плоскость находится справа от задней поверхности линзы (то есть, вне линзы) при выполнении условия (4.250) или (4.251). Подобным же образом рассмотрим вопрос о том, как может располагаться задняя главная плоскость. Для этого исследуем знак величины = d + sH . Очевидно, что при таком определении величины задняя главная плоскость будет находиться внутри линзы, если 0 и слева от линзы, если 0 . Рассчитаем величину с учетом (4.197) и (4.199): n2 f 1 d 1 1 , = d + sH = d − = d 1− n n2 n2 2 f 2 − f 1 + d f 1 f 2 ( ) окончательно: 1 . = d 1 − n2 f − f + d ( ) 2 1 f2 112 (4.252) Рассмотрим возможные варианты: • 0 , если n2 f2 ( f 2 − f 1 + d ) 1 . Последнее выражение можно преобразовать к виду: f1 d + f 2 n2 −1 n2 . (4.253) Неравенство (4.253) выполняется совместно с условием (4.225), если f1 удовлетворяет условию (4.253). В этом случае задняя главная плоскость будет находиться внутри линзы (рис. 4.57). Выражение (4.253) можно представить в ином виде. Для этого подставим (4.198) в (4.253) и получим: n 2 r1 n2 −1 d + n2 r2 n 2 − 1 , отсюда n2 − 1 n 2 r1 ( d + r2 ) n2 −1 n2 , (4.254) то есть центр кривизны первой поверхности (как и положено) лежит слева от центра кривизны второй поверхности. Неравенства (4.254) и (4.226-1) совместимы, если r1 удовлетворяет выражению (4.254). По условию задачи r1 0 , поэтому из (4.254) следует: d + r2 0 , или r2 −d (4.255) Таким образом, если выполняются условия (4.254) и (4.255), то задняя главная плоскость находится внутри линзы. • = 0 , если n2 f2 ( f 2 − f 1 + d ) = 1 . Отсюда находим: f1 = d + f 2 n2 −1 (4.256) n2 или с учетом (4.198) r1 = ( d + r2 ) n2 −1 113 n2 . (4.257) Значение (4.256) удовлетворяет неравенству (4.225), значение (4.257) удовлетворяет условию (4.226-1). Таким образом, если n −1 r2 −d и r1 = ( d + r2 ) 2 , (4.258) n2 то задняя главная плоскость будет проходить через вершину первой поверхности линзы. n • 0 , если 2 ( f 2 − f 1 + d ) 1. f2 Отсюда находим: f1 d + f 2 n2 −1 (4.259) n2 или r1 ( d + r2 ) n2 −1 n2 . (4.260) Неравенства (4.259) и (4.225) выполняются совместно, если d + f 2 f1 d + f 2 n2 −1 (4.261) n2 или с учетом (4.255) r2 − d и n2 −1 n2 d + r2 r1 ( d + r2 ) n2 −1 n2 . (4.262) Таким образом, при выполнении условий (4.262) задняя главная плоскость будет находиться слева от линзы. Выбирается решение r1 0 . Расстояние между главными плоскостями определяется выражением (4.196). Подставим (4.197) в (4.196) и преобразуем: = n2 n2 n2 n2 d ( n 2 − 1) − + d , n2 Ф f1 f 2 f1 f 2 получим = d ( n 2 − 1) ( f 2 − f1) + d n 2 . Ф f1 f 2 В выражении (4.263) множитель (4.263) d 0 . Подставим (4.198) в Ф f1 f 2 114 (4.263), получим: = n r n r d ( n 2 − 1) 2 2 − 2 1 + d n 2 , n r n r n2 − 1 n2 − 1 Ф 2 1 2 2 n2 − 1 n2 − 1 или после упрощения d ( n2 − 1) = ( r2 − r1 + d ) . n2 Ф r1 r2 2 (4.264) d ( n2 − 1) 0. Очевидно, что в последнем выражении множитель n2 Ф r1 r2 2 Исследуем, в каких случаях величина меняет знак: • 0 , если в выражении (4.264) r2 − r1 + d <0 , или r1 >r2 + d , (4.265) а это означает, что центр кривизны C 1 передней поверхности всегда расположен справа от центра кривизны C 2 задней поверхности (рис. 4.45). Неравенство (4.265) должно выполняться совместно с неравенством (4.226-1). Это возможно при выполнении условия (4.265). Согласно (4.263), 0 , если ( n 2 − 1) ( f 2 − f1) + d n 2 0 , отсюда f1 d n2 n2 −1 + f2 . Подставим (4.198) в (4.266), получим: r1 >r2 + d . (4.266) (4.267) Поскольку r1 0 , то из (4.267) следует r2 −d . Рис. 4.45. Расположение главных плоскостей толстой линзы при 0 115 Таким образом, 0 , если f1 d n2 n2 −1 + f 2 или r1 >r2 + d и r2 −d . (4.268) В этом случае передняя главная плоскость находится слева от задней главной плоскости. • = 0 , если r2 − r1 + d = 0 , или d = r1 − r2 , то есть, центр кри- визны C 1 передней поверхности совпадает с центром кривизны C 2 задней поверхности (рис. 4.46). Определим расположение главных плоскостей толстой линзы при = 0 . Для этого рассчитаем ее оптическую силу при d = r1 − r2 : 1 1 ( n 2 − 1) r1 − r2 d = 1 + 2 − 1 2 = ( n 2 − 1) − + = n2 r r n r r 1 2 2 1 2 2 1 1 n −1 r − r n r −n r + n r −r −n r + r = ( n 2 − 1) − + 2 1 2 = ( n 2 − 1) 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 , r1 r2 n 2 r1 r2 n 2 r1 r2 окончательно = − ( n 2 − 1) r1 − r2 n 2 r1 r2 . (4.269) Рис. 4.46. Расположение главных плоскостей толстой линзы при = 0 Далее по формулам (4.190-4.191) находим: 116 sH = r1 − r 2 n 2 − 1 n 2 r1 r2 d Ф2 =− = r1 n2 Ф n2 r 2 − n 2 − 1 r1 − r2 (4.270) r1 − r 2 n 2 − 1 n 2 r1 r2 d Ф1 =− = r2 n2 Ф n2 r1 − n 2 − 1 r1 − r2 (4.271) sH = − ( )( ( )( ) ) Как следует из выражений (4.270) и (4.271), главные точки толстой линзы при = 0 совпадают с общим центром кривизны поверхностей (рис. 4.46). Согласно (4.263), = 0 , если ( n 2 − 1) ( f 2 − f1) + d n 2 = 0 , отсюда f1 − f 2 = d n2 n2 −1 . (4.272) Таким образом, если = 0 , то d = r1 − r2 и обе главные точки совпадают с общим центром кривизны и находятся внутри линзы. • 0 , если r2 − r1 + d 0 , или r1 − r2 d (рис. 4.47), то есть, центр кривизны C 1 передней поверхности всегда расположен слева от центра кривизны C 2 задней поверхности. Рис. 4.47. Расположение главных плоскостей толстой линзы при 0 Согласно (4.263), 0 , если ( n 2 − 1) ( f 2 − f1) + d n 2 0 , отсюда f1 f 2 + d n2 n2 −1 . (4.273) Неравенства (4.225) и (4.273) должны выполняться совместно, поэтому 0 , если 117 d + f 2 f1 f 2 + d n2 n2 −1 . (4.274) С учетом (4.198) выражение (4.274) можно переписать в виде: n −1 (4.275) r2 + d 2 r1 d + r2 . n2 Таким образом, 0 , если d + f 2 f1 f 2 + d n2 n2 −1 или r2 + d n2 −1 n2 r1 d + r2 (4.276) Вывод: у двояковыпуклой линзы с заданными радиусами кривизны и положительной оптической силой главные плоскости могут меняться местами в зависимости от толщины линзы d . 4.16.4.4.2. Ф = 0 согласно (4.199), если d = f 1 − f 2 , а это озна- чает, что двояковыпуклая линза является афокальной: задний фокус F1 передней поверхности совпадает с передним фокусом F2 задней поверхности (рис. 4.48). Рис. 4.48. Афокальная линза В этом случае согласно (4.190)–(4.192): d − Ф2 n2 D −1 d Ф2 sH = s N = = = = +, так как Ф = 0 и Ф2 0, C −Ф n2 Ф sH = sN = − A −1 = C d Ф1 n2 −Ф =− d Ф1 = −, так как Ф = 0 и Ф1 0, n2 Ф 118 f= 1 1 = +, f = − = −. Ф Ф Преобразуем формулы (4.193) и (4.194): 1 f − f n 2 1 f 1 f sF = − 1 + 1 2 = − 1 + 1 − 1 = − 1 = +, Ф n2 f 2 Ф f2 Ф f2 1 f − f n 2 1 f 1 f sF = 1 − 1 2 = 1 − 1 + 2 = 2 = −, Ф n2 f1 Ф f1 Ф f1 так как Ф = 0, f1 0 и f 2 0. Таким образом, при Ф = 0 кардинальные точки линзы расположены в бесконечности. 4.16.4.4.3. Ф 0 согласно (4.199), если d f 1 − f 2 , т. е. оптическая сила двояковыпуклой линзы отрицательна. Из этого условия также следует, что задний фокус F1 передней поверхности всегда находится слева от переднего фокуса F2 задней поверхности (рис. 4.49). Рис. 4.49. Двояковыпуклая линза с отрицательной оптической силой Из формул (4.190)–(4.192) находим: sH = s N = d Ф2 d Ф ' = sN = − 1 0, 0, sH n2 Ф n2 Ф 1 1 0, f = 0. Ф Ф Преобразуем формулы (4.193) и (4.194): f =− 119 sF = − 1 d n2 1 d d 1 + = − 1 + 0, так как −1, f2 Ф n 2 f 2 Ф f2 sF = 1 d n2 1 d d 1 − = 1 − 0, так как 1. f 1 Ф n 2 f 1 Ф f 1 При Ф 0 всегда передняя главная точка всегда находится слева от передней поверхности, задняя – справа от задней поверхности. Передний фокус всегда находится между передней главной точкой и передней поверхностью, задний фокус – между задней главной точкой и задней поверхностью. 4.16.4.5. Кардинальные элементы плосковыпуклой линзы Для плосковыпуклой линзы r1 = , r2 0 , тогда: 1 = 2 = n2 −1 r1 1− n2 r2 =0, =− n2 f2 0. (4.277) (4.278) Согласно (4.189) и с учетом (4.277) = 1 + 2 − d 1 2 = 2 . n2 (4.279) Далее по формулам (4.190–4.194) с учетом (4.277) – (4.279) находим: sH = d 2 d d = 0 , sH = − 1 = 0 , n2 n2 n2 (4.280) sN = sH , sN = sH , sF = 1 d 1 d 1 d + f2 Ф 2 − 1 = Ф2 − = , Ф2 n 2 Ф n 2 Ф n 2 2 (4.281) 1 1 d Ф 1 − 1 = = f 0 . Ф Ф n 2 (4.282) sF = − 120 Из полученных выражений следует, что sH = sN 0 , sN = sH = 0 и sF 0 всегда. Это значит, что передняя главная точка находится внутри линзы, задняя – в вершине задней поверхности, задний фокус – справа от задней поверхности. Но знак переднего фокального отрезка sF может меняться. Рассмотрим возможные случаи. 1) sF 0 , если d + f2 0 , то есть ( − f 2 ) d или с учетом (4.198) r2 − n 2 −1 n2 d . Расположение кардинальных точек показано на рис. 4.50. Рис. 4.50. Кардинальные элементы плосковыпуклой линзы, sF 0 Передний фокус линзы находится внутри линзы, слева от переднего фокуса второй поверхности. Значит, если на линзу справа налево падает пучок параллельных лучей, то из линзы выходит пучок расходящихся лучей. 2) sF = 0 , если d + f2 = 0 , то есть ( − f 2 ) = d или с учетом (4.198) r2 = − n2 n 2 −1 d (рис. 4.51). В этом случае передний фокус F находится в вершине передней поверхности. Рис. 4.51. Кардинальные элементы плосковыпуклой линзы, sF = 0 121 3) sF 0 , если d + f2 0 , то есть ( − f 2 ) d или с учетом (4.198) r2 − n2 n 2 −1 d (рис. 4.52), то есть передний фокус находится слева от передней поверхности линзы. Рис. 4.52. Кардинальные элементы плосковыпуклой линзы, sF 0 4.16.4.6. Кардинальные элементы плосковогнутой линзы Для плосковогнутой линзы r1 = , r2 0 , тогда: 1 = n2 −1 r1 = Ф1 + Ф 2 − sH = = 0 , 2 = 1− n2 r2 0, 1− n2 d Ф1 Ф 2 = = 2 0 , n2 r2 d 2 d d = 0 , sH = − 1 = 0 , n2 n2 n2 sN = sH 0 , sN = sH = 0 , sF = d 1 d 1 d + f2 Ф 2 − 1 = − = 0, n2 Ф Ф n 2 n 2 sF = − 1 r2 1 d 1 Ф 1 − 1 = = = 0. Ф Ф2 1 − n 2 Ф n 2 Из полученных результатов видно, что передняя главная точка находится внутри линзы, задняя главная точка – в вершине задней поверхности. Рассмотрим вопрос о том, может ли передний фокус F находиться 122 внутри линзы. Для этого введем величину = sF − d . • Если 0 , то передний фокус находится внутри линзы: = sF − d = ( ) d + f2 − n 2 d f2 − n 2 − 1 d d + f2 −d = = , n2 n2 n2 ( n 2 − 1) d . отсюда 0 , если f 2 ( n 2 − 1) d или с учетом (4.198) r2 n 2 2 • Если = 0 , то передний фокус находится в вершине задней поверхности линзы: = ( ) f2 − n 2 − 1 d n2 = 0, ( n 2 − 1) d . отсюда = 0 , если f 2 = ( n 2 − 1) d или с учетом (4.198) r2 = n 2 2 • Если 0 , то передний фокус справа от задней поверхности линзы: = ( ) f2 − n 2 − 1 d n2 0, ( n 2 − 1) d . отсюда 0 , если f 2 ( n 2 − 1) d или с учетом (4.198) r2 n 2 2 Рис. 4.53. Один из вариантов расположения кардинальных точек Рассмотрим вопрос о том, может ли задний фокус F находиться внутри линзы. Для этого введем величину = sF + d . 123 • Если 0 , то задний фокус находится слева от передней поверхности линзы: = sF + d = ( r2 1− n2 + d 0, ) отсюда 0 , если r2 n 2 − 1 d . • Если = 0 , то передний фокус находится в вершине задней поверхности линзы: = ( ( ) f2 − n 2 − 1 d n2 = 0, ) отсюда = 0 , если r2 = n 2 − 1 d . • Если 0 , то передний фокус справа от задней поверхности линзы: = ( ( ) f2 − n 2 − 1 d n2 0, ) отсюда 0 , если r2 n 2 − 1 d . Один из вариантов расположения кардинальных точек плоско-вогнутой линзы показан на рис. 4.53. 4.16.4.7. Кардинальные элементы линзы–мениска Рассмотрим линзу-мениск c радиусами r1 0 , r2 0 . Согласно (4.199): Ф= ( ) n2 1 = f 2 − f 1 + d . f f 1 f 2 (4.283) Согласно (4.198) f1>0 , f 2 >0 , (4.284) Ф1>0 , Ф 2 0 , (4.285) согласно (4.197) Как видно из выражения (4.283), знак оптической силы мениска определяется сомножителем ( f 2 − f 1 + d ) , поскольку согласно (4.284) всегда 124 n >0 . f 1 f 2 (4.286) Рассмотрим возможные варианты. 1) Ф > 0 , если f 2 − f 1 + d >0 , то есть f 1 < d + f 2 . (4.287) Из условия (4.287) следует, что задний фокус F1 передней поверхности всегда находится слева от переднего фокуса F2 задней поверхности. Неравенство (4.287) с учетом (4.198) можно записать иначе: n2 r1 − r2 d , отсюда находим n 2 −1 ( ) r1 n 2 −1 n2 d + r2 , (4.288) то есть центр кривизны первой поверхности при Ф > 0 всегда лежит слева от центра кривизны второй поверхности. Пользуясь формулами (4.193) и (4.194), находим: sF = sF = − 1 d Ф2 − 1 0 всегда, т.к. Ф > 0 и Ф2 0 , Ф n 2 1 d 1 d n 1 d Ф 1 − 1 = − − 1 = − − 1 . Ф n 2 Ф n 2 f 1 Ф f 1 Задний фокальный отрезок sF может принимать как положительные, так и отрицательные значения: d − 1 0 , то есть если • sF 0 , если f 1 f 1 d . (4.289) В этом случае задний фокус передней поверхности находится внутри линзы. Из (4.289) с учетом (4.198) находим: n2 −1 (4.290) r1 d . n2 Неравенства (4.287) и (4.289) совместно выполняются только в случае, если f 1 d . Неравенства (4.288) и (4.290) совместно 125 выполняются только в случае, если r1 n2 −1 n2 d . Таким образом (рис. 4.54): Ф > 0 и sF 0 , если f 1 d или r1 n2 −1 n2 d ; r 2 0 – любое. (4.291) Рис. 4.54. Кардинальные элементы мениска, Ф > 0 , sF 0 • sF = 0 , если d − 1 = 0 , то есть f 1 = d . f 1 Отсюда с учетом (4.198) следует, что r1 = n2 −1 n2 d . Таким образом: n −1 Ф > 0 и sF = 0 , если f 1 = d или r1 = 2 d ; r 2 0 – любое. n2 (4.292) Расположение фокусов показано на рис. 4.55. Рис. 4.55. Кардинальные элементы мениска, Ф > 0 , sF = 0 • sF 0 , если f 1 d , откуда с учетом (4.198) следует, что 126 (4.293) r1 n2 −1 n2 d . (4.294) Неравенства (4.287) и (4.293) совместно выполняются только в случае, если d f 1 d + f 2 . Неравенства (4.288) и (4.294) совместно выполняются только в случае, если n 2 −1 n2 d r1 n 2 −1 n2 d + r 2 . Таким образом (рис. 4.56): Рис. 4.56. Кардинальные элементы мениска, Ф > 0 , sF 0 n2 −1 n2 −1 Ф > 0 и sF 0 , если d f 1 d + f 2 или d r1 d + r2 , (4.295) n2 n2 r 2 0 – любое. Для Ф > 0 и любого sF (рис. 4.57): sH = d 2 0 , так как Ф 2<0 и Ф > 0 , n2 Рис. 4.57. Один из вариантов расположения главных плоскостей при Ф > 0 sH = − d 1 0 , так как Ф 1 >0 и Ф > 0 . n2 Проанализируем расположение главных плоскостей друг относительно друга. Для этого воспользуемся формулами (4.263) и (4.264): 127 = d ( n 2 − 1) ( f 2 − f1) + d n 2 , Ф f1 f 2 d ( n2 − 1) = ( r2 − r1 + d ) . n2 Ф r1 r2 2 Поскольку f1 0 и f 2 0 , то d ( n2 − 1) d 0 и 0. Ф f f2 n2 Ф r1 r2 2 Поэтому: • 0 , если ( n − 1) ( f − f ) + d n 0 , откуда f d n n− 1 + f , 2 2 2 1 2 1 2 2 или r2 − r1 + d 0 , откуда r1 d + r2 . (4.296) Значения r1 , определяемые условием (4.288), удовлетворяют неравенству (4.296). • = 0 , если r1 = d + r2 , но это не совместимо с условием (4.288). • 0 , если r1 d + r2 , но это также не совместимо с условием (4.288). Поэтому, при Ф> 0 передняя главная плоскость всегда будет находиться слева от задней главной плоскости (рис. 4.57). Но где будет находиться задняя главная плоскость: внутри линзы или слева от нее? Чтобы ответить на этот вопрос, исследуем знак величины = d + sH . Очевидно, что при таком определении величины задняя главная плоскость будет находиться внутри линзы, если 0 и слева от линзы, если 0 . Рассчитаем величину с учетом (4.197) и (4.199): n2 f 1 d 1 1 , = d + sH = d − = d 1− n2 n2 n2 ( f 2 − f 1 + d ) f 1 f 2 окончательно: 128 1 . = d 1 − n2 ( f 2 − f 1 + d ) f2 (4.297) Рассмотрим возможные варианты: • 0 , если n2 f2 ( f 2 − f 1 + d ) 1 . Последнее выражение можно преобразовать к виду: f1 d + f 2 n2 −1 n2 . (4.298) Неравенство (4.298) совместимо с условием (4.287), поэтому при его выполнении задняя главная плоскость будет находиться внутри линзы (рис. 4.57). Выражение (4.298) можно представить в ином виде. Для этого подставим (4.198) в (4.298) и получим: n 2 r1 n2 −1 d+ n2 r2 n 2 − 1 , отсюда n2 − 1 n 2 r1 ( d + r2 ) n2 −1 n2 , (4.299) то есть центр кривизны первой поверхности (как и положено) лежит слева от центра кривизны второй поверхности. • = 0 , если n2 f2 ( f 2 − f 1 + d ) = 1 . Отсюда находим: f1 = d + f 2 n2 −1 (4.300) n2 или r1 = ( d + r2 ) n2 −1 n2 . (4.301) Условие (4.300) удовлетворяет неравенству (4.287), поэтому при его выполнении задняя главная плоскость будет проходить через вершину первой поверхности линзы. 129 • 0 , если n2 f2 ( f 2 − f 1 + d ) 1 . Отсюда находим: f1 d + f 2 n2 −1 (4.302) n2 или r1 ( d + r2 ) n2 −1 n2 . (4.303) Неравенства (4.302) и (4.287) выполняются совместно, если d + f2 n2 −1 n2 f1 d + f 2 (4.304) или n2 −1 (d + r ) n 2 r1 n2 −1 2 n2 d + r2 . (4.305) Таким образом, при выполнении условия (4.304) (или 4.305) задняя главная плоскость будет находиться слева от линзы и справа от передней главной плоскости. 2) Ф = 0 , если f 2 − f 1 + d =0 (рис. 4.58), откуда следует: d = f 1 − f 2 = n2 n2 −1 ( ) r1 − r2 или r1 − r2 = n2 −1 n2 d . (4.306) Рис. 4.58. Оптическая сила мениска Ф = 0 В этом случае задний фокус F1 передней поверхности совпадает с передним фокусом F2 задней поверхности, то есть, линза является афокальной. Действительно: 130 sF = 1 d 1 1 d Ф2 − 1 = , sF = − Ф 1 − 1 = , f = = , Ф Ф n 2 Ф n 2 sH = d 2 d = , sH = − 1 = , n2 n2 то есть, при Ф = 0 все кардинальные точки находятся в бесконечности. 3) Ф 0 , если f 2 − f 1 + d <0 , то есть: f 1 > d + f 2 . (4.307) Из условия (4.307) следует, что задний фокус F1 передней поверхности всегда находится справа от переднего фокуса F2 задней поверхности. Преобразуем (4.307) с учетом (4.198): d < f 1 − f 2 = ( n −1 n2 ) r1 − r2 или r1 2 sF = n2 −1 n2 d + r2 , (4.308) 1 d Ф2 − 1 0 , т.к. Ф < 0 и Ф2 0 , Ф n 2 sF = − 1 d 1 d Ф 1 − 1 = − − 1 . Ф n 2 Ф f 1 Задний фокальный отрезок sF может принимать как положительные, так и отрицательные значения: d − 1 0 , или f 1 d . • sF 0 , если f 1 (4.309) Из (4.309) с учетом (4.198) следует: r1 n2 −1 n2 d . (4.310) Неравенства (4.309) и (4.307) совместно выполняются только в случае, если f 1 > d + f 2 . Неравенства (4.310) и (4.308) совместно выполняются только в случае, если r1 n2 −1 n2 d + r2 . Таким образом (рис. 4.59): Ф < 0 и sF 0 , если f 1 > d + f 2 , 131 (4.311) или r1 n2 −1 n2 d + r2 ; r 2 0 – любое; (4.312) Рис. 4.59. Кардинальные элементы мениска, Ф 0 , sF <0 d − 1 = 0 , то есть f 1 = d . Но это не удовлетворяет f 1 • sF = 0 , если условию (4.307), значит sF 0 ; • sF 0 , если f 1 d , что также не удовлетворяет условию (4.307), то есть, при Ф 0 всегда sF 0 . Таким образом, если f 1 > d + f 2 (или r1 n2 −1 n2 d + r2 ), то Ф < 0 , sF 0 и sF 0 . Других вариантов для Ф < 0 не существует. Рассчитаем положение главных плоскостей при Ф < 0 : sH = d 2 0 , так как Ф 2<0 и Ф < 0 , n2 sH = − d 1 0 , так как Ф 1 >0 и Ф < 0 , n2 то есть при Ф < 0 задняя главная плоскость всегда расположена справа от мениска. Для того, чтобы определить, при каких условиях передняя главная плоскость будет располагаться внутри линзы или справа от нее, исследуем величину = d − sH . Преобразуем выражение для с учетом (4.197) и (4.199): 132 d 2 d n2 1 , = d − sH = d − = d 1+ n2 n 2 f2 n2 ( f 2 − f 1 + d ) f 1 f 2 окончательно: 1 . = d 1+ n 2 ( f 2 − f 1 + d ) f1 • 0 , если 1+ 1 n2 ( f 2 − f 1 + d ) f1 f1 0 , отсюда находим n2 n2 −1 ( f 2 + d ). (4.313) Подставим (4.198) в (4.313), получим: r1 n2 n2 − 1 d + r2 . n2 − 1 n2 Неравенства (4.313) и (4.307) выполняются совместно, если n f1 2 f 2 + d , n2 −1 ( ) (4.314) (4.315) Неравенства (4.314) и (4.308) выполняются совместно, если r1 n2 n2 − 1 n d + r2 = d + 2 r 2 . n2 − 1 n2 n2 − 1 (4.316) Таким образом, 0 при Ф < 0 , если f1 • n2 n2 −1 ( f 2 + d ) , или r1 d + = 0 , если 133 n2 r2 . n2 − 1 (4.317) 1+ 1 n2 ( f 2 − f 1 + d ) f1 f1 = = 0 , отсюда находим ( f2 + d ). (4.318) n2 r2 . n2 − 1 (4.319) n2 n2 −1 или r1 = d + Точка на числовой оси, определяемая выражением (4.318), удовлетворяет условию (4.307). Это значит, что передняя главная плоскость при выполнении условия (4.318) или (4.319) проходит через вершину задней поверхности. • 0 , если 1 1+ 0 , отсюда находим n2 ( f 2 − f 1 + d ) f1 f1 ( f2 + d ) (4.320) n2 r2 . n2 − 1 (4.321) n2 n2 −1 или r1 d + Неравенства (4.320) и (4.307) выполняются совместно, если f 2 + d f1 n2 n2 −1 ( f2 + d ) (4.322) или n 2 −1 n2 d + r 2 r1 d + n2 r2 . n2 − 1 (4.323) Таким образом, при Ф < 0 передняя главная плоскость находится справа от задней поверхности линзы (то есть, вне линзы) при выполнении условия (4.322) или (4.323). 134 Рассмотрим, какие знаки может принимать величина (4.2634.264) при Ф < 0 . Очевидно, что d ( n2 − 1) d 0 и 0, Ф f f2 n2 Ф r1 r2 2 поэтому: • 0 , если ( n 2 − 1) ( f 2 − f1) + d n 2 0 , откуда f1 d n2 n2 −1 + f2 , (4.324) или из (4.206) r2 − r1 + d 0 (рис. 4.60), откуда r1 d + r2 . (4.325) Рис. 4.60. Главные плоскости мениска, Ф 0 и r1 d + r2 Неравенства (4.307) и (4.324) выполняются совместно, если f1 d n2 n2 −1 + f2 . Неравенства (4.308) и (4.325) выполняются совместно, если r1 d + r2 . Поэтому, 0 при Ф < 0 , если: f1 d • n2 n2 −1 + f 2 или r1 d + r2 . = 0 , если 135 (4.326) ( n 2 − 1) ( f2 − f1) + d n 2 = 0 , откуда f1 = d n2 n2 −1 + f2 , (4.327) или r2 − r1 + d = 0 , откуда r1 = d + r2 . (4.328) Значение (4.327 удовлетворяет неравенству (4.307), значение (4.328) также удовлетворяет неравенству (4.308). Рис. 4.61. Главные плоскости мениска, Ф 0 и r1 = d + r2 Условие (4.328) означает, что центры кривизны поверхностей совпадают (рис. 4.61). В этом случае согласно (4.270) и (4.271) главные точки совпадают с общим центром кривизны. • 0 , если n ( n 2 − 1) ( f2 − f1) + d n 2 0 , откуда f1 d n −2 1 + f2 , (4.329) 2 или r2 − r1 + d 0 , откуда r1 d + r2 . (4.330) Неравенства (4.329) и (4.307) выполняются совместно, если: d + f 2 f1 d n2 n2 −1 + f2 , (4.331) неравенства (4.330) и (4.308) выполняются совместно, если: n2 −1 n2 d + r2 r1 d + r2 . Расположение кардинальных точек показано на рис. 4.62. 136 (4.332) Рис. 4.62. Главные плоскости мениска, Ф 0 , n2 −1 n2 d + r2 r1 d + r2 Таким образом, при Ф < 0 и sF 0 главные плоскости могут меняться местами. 4.16.4.8. Кардинальные элементы концентрического мениска Рассмотрим концентрическую линзу, у которой r1 0 , r2 0 , r1 = d+r2 (рис. 4.63). Рис. 4.63. Кардинальные элементы концентрического мениска. Ф 0 , C1 и C2 – центры кривизны поверхностей Тогда: r1 − r2 = d . Из выражений (4.198) следует, что: 137 (4.333) f1 0 , поскольку r1 0 и f1 r1 , поскольку f2 0 , поскольку r2 0 и f 2 >r2 , поскольку n2 n2 −1 n2 n2 −1 1, 1, а это означает, что задний фокус F1 передней поверхности и передний фокус F2 второй поверхности лежат справа от общего центра кривизны поверхностей, то есть для концентрического мениска f1 d всегда. Найдем расстояние F между фокусами F1 и F2 : F = f1 − d − f 2 = n 2 r1 n2 −1 −d − n 2 r2 n2 −1 n 2 ( r2 + d ) = n2 −1 −d − n 2 r2 n2 −1 = d 0, n2 −1 то есть F 0 всегда, значит, фокус F1 всегда находится справа от фокуса F2 . Рассмотрим, как ведут себя фокальные отрезки концентрического мениска: 1 = n2 −1 r1 = n2 f1 0 , 2 = 1− n2 r2 =− n2 f2 <0 . Согласно (4.269) = − ( n 2 − 1) r1 − r2 n 2 r1 r2 0, так как r1 r2 , поэтому sF = sF = − 1 d Ф2 − 1 0 , т.к. Ф < 0 и Ф2 0 , Ф n 2 1 d 1 d Ф 1 − 1 = − − 1 < 0 , так как Ф < 0 и d < f1 . Ф n 2 Ф f 1 Согласно (4.270) и (4.271): sH = r1>0 , sH = r2 >0 . Это значит, что передняя и задняя главные плоскости совмещены 138 и проходят через общий центр кривизны поверхностей (рис. 4.63). 4.16.4.9. Кардинальные элементы концентрической двояковыпуклой линзы Рассмотрим концентрическую линзу, у которой r1 0 , r2 < 0 , d = r1 − r2 . Согласно (4.270) и (4.271): sH = r1>0 , sH = r2 <0 . Это значит, что передняя и задняя главные плоскости совмещены и проходят через общий центр кривизны поверхностей (рис. 4.64). Подставим (4.184) в (4.178): n −1 1− n2 d n2 −1 1− n2 d = 1 + 2 − 1 2 = 2 + − = n2 r1 r2 n2 r1 r2 1 1 d ( n 2 − 1) r −r d ( n 2 − 1) = ( n 2 − 1) − + = ( n 2 − 1) 2 1 + = r1 r2 n2 r1 r2 r r n r r 1 2 2 1 2 2 =− d ( n 2 − 1) r1 r2 2 d ( n 2 − 1) n 2 − 1 d ( n 2 − 1) d ( n 2 − 1) , + =− 1 − = − n2 r1 r2 r1 r2 n n r r 2 2 1 2 2 окончательно = n2 −1 d 1 =− 0, f n 2 r1 r2 (4.334) то есть, оптическая сила такой линзы всегда больше нуля. Из (4.198), следует, что: f1 0 , поскольку r1 0 ; f1 r1 , поскольку n2 n2 −1 f 2 0 , поскольку r2 0 ; f 2 r2 , поскольку n2 n2 −1 1, 1, а отсюда можно сделать вывод, что f1− f2 d всегда. Действительно: f1− f 2 = n 2 r1 − n 2 r2 n2 −1 n2 −1 = n2 n2 −1 ( r1 − r2 ) = n2 n2 −1 d d . А это означает, что задний фокус F1 передней поверхности всегда находится справа от переднего фокуса F2 задней поверхности. 139 Определим, где находится задний фокус F1 передней поверхности – внутри линзы или вовне. Для этого найдем разность: n 2 r1 r1 . d − f1= ( r1 − r2 ) − = −r2 − n2 −1 n2 −1 Рассмотрим возможные случаи: • r r d − f1 0 , если −r2 − 1 0 , отсюда r2 − 1 . n 2 − 1 n2 −1 При этом условии фокус F1 находится внутри линзы – между общим центром кривизны и второй поверхностью. • r1 r1 . = 0 , отсюда r2 = − d − f1= 0 , если − r2 − n − 1 n − 1 2 2 Фокус F1 совпадает с вершиной второй поверхности. • d − f1 0 , если − r2 − r1 r1 . 0 , отсюда r2 − n2 −1 n2 −1 Фокус F1 лежит вовне линзы, справа от второй поверхности. Определим, где находится передний фокус F2 второй поверхности. Для этого найдем алгебраическую сумму: n 2 r2 r2 . d + f 2 = ( r1 − r2 ) + = r1 + n2 −1 n2 −1 • d + f2 0 , если r1 + r2 n2 −1 0 , отсюда r2 − r1 ( n 2 − 1) . Фокус F2 находится внутри линзы, слева от общего центра кривизны. • d + f2 = 0 , если r2 = − r1 ( n 2 − 1) . Фокус F2 совпадает с вершиной первой поверхности. • d + f2 0 , если r1 + r2 n2 −1 0 , отсюда r2 − r1 ( n 2 − 1) . Фокус F2 лежит вовне линзы, слева от второй поверхности. Рассмотрим фокальные отрезки: 140 sF = • 1 d 1 d Ф2 − 1 = − + 1 , Ф n 2 Ф f2 sF 0 (передний фокус линзы находится внутри линзы), если d + 1 0 , отсюда − f 2 d (то есть, передний фокус F2 задней поверхf2 ности тоже находится внутри линзы) или r2 − ( n 2 − 1) r1 ; • sF = 0 (передний фокус линзы совпадает с вершиной передней поверхности), если d + 1 = 0 , отсюда − f 2 = d (то есть передний фокус f2 F2 задней поверхности тоже совпадает с вершиной передней поверхности) или r2 = − ( n 2 − 1) r1 ; • sF 0 (передний фокус линзы находится слева от линзы), если d + 1 0 , отсюда − f 2 d (передний фокус F2 задней поверхности f2 тоже находится слева от передней поверхности) или r2 − ( n 2 − 1) r1 . Один из вариантов расположения кардинальных точек показан на рис. 4.64 (при sF 0 ). Проанализируем задний фокальный отрезок: sF = − • 1 d 1 d Ф 1 − 1 = − − 1 . Ф n 2 Ф f 1 sF 0 (задний фокус линзы расположен справа от линзы, рис. 4.64). Рис. 4.64. Кардинальные элементы концентрической двояковыпуклой линзы. Один из возможных вариантов: sF 0 , sF 0 141 Это возможно, если d − 1 0 , отсюда f1 d (то есть, задний фоf 1 кус F1 передней поверхности тоже находится справа от линзы) или r1 − ( n 2 − 1) r2 ; • sF = 0 (задний фокус линзы совпадает с вершиной задней по- верхности), если d − 1 = 0 , отсюда d = f1 (то есть задний фокус F1 пеf 1 редней поверхности тоже совпадает с вершиной задней поверхности) или ; r1 = − ( n 2 − 1) r2 • sF 0 (задний фокус линзы находится внутри линзы), если d − 1 0 , отсюда d f1 (задний фокус F1 передней поверхности тоже f 1 находится внутри линзы) или r1 − ( n 2 − 1) r2 . 4.17.1. 4.17. Примеры оптических систем Расчет кардинальных элементов телескопической системы Соберем в воздухе оптическую систему из двух тонких компонентов с оптическими силами 1 и 2 таким образом, чтобы задний фокус первого компонента (объектива) совпал с передним фокусом второго компонента (окуляра) (рис. 4.65). В этом случае d = f 1 − f 2 . Рис. 4.65. Основные обозначения 142 (4.335) Пользуясь формулами (4.181), находим: Ф1 = 1 , Ф2 = − 1 . f 1 f2 (4.336) Подставим (4.335) и (4.336) в формулу (4.178) для расчета оптической силы системы из двух тонких компонентов: 1 1 f 1 − f 2 (4.337) Ф = Ф 1 + Ф2 − d Ф1 Ф2 = − + = 0. f 1 f 2 f 1 f 2 Система, оптическая сила которой равна нулю, называется телескопической (параграф 4.5, пункт 4). Подставим Ф = 0 в формулы (4.1794.183) для расчета кардинальных элементов, получим: sH = sN = , sH = sN = , f =, f = , sF = , sF = . (4.338) (4.339) (4.340) (4.341) Для телескопической системы A = A (4.79), D = D (4.80). Из (4.174) и (4.177) с учетом (4.335) и (4.336) находим: ( ) f1 = ff2 = T 0 . A = 1 − d Ф 1 = 1 − f 1 − f 2 1 D = 1− d Ф 2 = 1+ f 1 − f 2 f2 = f 1 f2 (4.342) 1 = T = 1 1 = 0. A T (4.343) Согласно (4.338)–(4.341), все кардинальные элементы телескопической системы равны бесконечности. 4.17.2. Расчет кардинальных элементов микроскопа Рассмотрим систему в воздухе, также состоящую из двух тонких компонентов – объектива и окуляра – соответственно с оптическими силами 1 и 2 , но задний фокус F1 первого компонента не совпадает с передним фокусом F2 второго компонента (рис. 4.66). Пусть 0 – расстояние между фокусами F1 и F2, тогда: d = f 1 − f 2 + 0 – расстояние между компонентами. (4.344). Пользуясь формулами (4.181), находим: 143 Ф1 = 1 , Ф2 = − 1 . f 1 f2 (4.345) Рис. 4.66. Оптическая система микроскопа Подставим (4.344) и (4.345) в формулу (4.178) для расчета оптической силы системы: = Ф1 +Ф2 − d Ф1 Ф2 = 1 1 f − f2 + − + 1 = 0 . (4.346) f1 f 2 f1 f 2 f1 f 2 Подставим (4.345) и (4.346) в (4.179-4.183): sH = s N = d Ф2 Ф sH = sN = −d =d Ф1 Ф 1 f1 f 2 f = −d 1 0 , − f2 (4.347) 1 f1 f 2 f = −d 2 0 , f1 (4.348) = −d 1 1 0, f = 0 , (4.349) Ф Ф 1 f f f 1 − f 2 + f sF = d Ф 2 − 1 = 1 2 − − 1 = − 1 f 1 + 0 , (4.350) Ф f2 f =− ( ) ( ) 1 f f f 1 − f 2 + f 2 sF = − d Ф 1 − 1 = − 1 2 − 1 = f 2 − 0 . (4.351) Ф f 1 ( ) ( ) Расположение кардинальных точек в микроскопе в соответствии с расчетами (4.347-4.351) показано на рис. 4.67. По определению плоскость предмета в микроскопе совмещена с передней фокальной плоскостью микроскопа (раздел 4.5, пункт 3), то есть расстояние от переднего компонента до плоскости предмета ОП равно переднему фокальному отрезку микроскопа (рис. 4.68): 144 f a 1 = sF = − 1 f 1 + . ( ) (4.352) Рис. 4.67. Кардинальные точки микроскопа Рис. 4.68. Сопряженные плоскости ОП и ОП Пользуясь формулой Гаусса (4.136), найдем расстояние a 1 до изображения, создаваемого первым компонентом: 1 1 1 − + f1 + 1 = + Ф1 = − + = = , a1 a 1 f1 ( f1 + ) f1 f1 ( f1 + ) f1 + откуда следует: a1 = f1 + . (4.353) Формула (4.353) показывает, что плоскость промежуточного изображения , создаваемого объективом, совпадает с передней фокальной плоскостью окуляра, что и следовало ожидать (рис. 4.69). Рассчитаем увеличение 1 в сопряженных плоскостях ОП и , используя формулы (4.352) и (4.353): 1 = f1 + y a1 = = =− . y a1 − f1 f + f1 ( 1 ) (4.354) Согласно формуле (4.76-2) и с учетом (4.27) для микроскопа можно записать: 145 V = C y = − y = − . (4.355) Рис. 4.69. Ход луча в микроскопе Из (4.355) следует, что пучок лучей, выходящих из точки предмета с координатой y, преобразуется системой в пучок параллельных лучей, составляющих с оптической осью угол (рис. 4.69). Таким образом, первый компонент микроскопа (объектив) создает промежуточное изображение точки предмета y с увеличением 1 в передней фокальной плоскости второго компонента (окуляра), второй компонент переносит изображение предмета в бесконечность. Угол определяет угловой размер изображения. 4.18. Линейное увеличение системы поверхностей Рассмотрим оптическую систему из двух поверхностей, изображенную на рис. 4.70. Будем считать, что заданы конструктивные параметры оптической системы ( r , d , n ) и положение точки предмета ( y1 и s1 ). Пусть Р1 – точка предмета с координатой y1 , Р2 – изображение точки Р1, созданное первой поверхностью системы. Рис. 4.70. Система из двух поверхностей 146 Точка Р2 имеет координату y2 и является предметом по отношению ко второй поверхности, тогда Р3– изображение точки Р2, созданное второй поверхностью системы. Точка Р3 имеет координату y3 и является предметом для следующей поверхности при ее наличии и т.д. Для того, чтобы найти величину изображения y2 , запишем матрицу преобразования лучей между сопряженными плоскостями ОП1 и ОП2: 1 s 1 0 1 − s1 A1 0 1 M1 = = , 0 1 −Ф 1 1 0 1 C D 1 1 где приняты следующие обозначения s s s1 = 1 , s1 = 2 1 , n1 n2 (4.356) s1 – расстояние от вершины первой поверхности до плоскости изображения ОП2. Элементы матрицы M1 определяются по формулам (4.1054.108): A1 = A1 + 1 s1 C 1 = 1 + s1 С1 = 1 , n1 B1 = 0 – для сопряженных плоскостей, C 1 = C 1 = −Ф1 = − D1 = D1 − s1 n1 2 n 2 − n 1 (4.358) , (4.359) 1 1 = = 1 . A1 1 (4.360) r1 C 1 = 1 + s1 Ф1 = (4.357) Отрезок s1 рассчитывается для сопряженных плоскостей (при B1 = 0 ) по формуле (4.66): s1 = s1 s1 . = 1 − s1 C1 1 + s1 1 (4.361) Все необходимые данные для расчета по формулам (4.291-4.296) заданы. В соответствии с принятыми в формулах обозначениями запишем преобразование параметров луча между сопряженными плоскостями ОП1 и ОП2: 147 0 y1 y2 1 = . V − 2 1 1 V1 (4.362) Вычислив параметры луча, падающего на вторую поверхность ( y2 и V2 ), аналогично можно рассчитать параметры луча, преобразованного второй поверхностью: 0 y2 y3 2 , V = − 3 2 2 V2 (4.363) где n3 − n 2 2 s2 , n2 (4.364) s2 3 s 2 s2 = = , s2 = 3 n3 s2 , n3 1+ Ф2 s 2 (4.365 A2 = 1 − s2 Ф 2 = 2 , (4.366) Ф2 = r2 , s2 = s 1 − d 1 , s 2 = D 2 = 1 + Ф 2 s2 = 1 1 = = 2 . A2 2 (4.367) Подставим (4.362) в (4.363): y3 2 V = 3 − 2 1 2 = − 1 2 − 2 1 0 1 0 y1 = 2 − 1 1 V1 0 y1 A 0 y1 = , 1 2 V1 C D V1 (4.368) где A = 1 2 = – линейное увеличение системы из двух поверхностей, D = 1 2 = – угловое увеличение системы из двух поверхностей, ( ) C = − 1 2 + 2 1 = − , – оптическая сила системы из двух поверхностей. Приведенные расчеты можно обобщить на систему из k поверхностей: yk +1 k V = k +1 − k 0 k −1 0 0 y1 A 0 y1 1 ..... = , k − k −1 k −1 − C D V 1 1 V1 1 148 где A = 1 2 .... k = – линейное увеличение системы, D = 1 2 .... k = – угловое увеличение системы, = −C – оптическая сила системы. Таким образом, линейное увеличение системы из k поверхностей равно произведению линейных увеличений для каждой поверхности, угловое увеличение – произведению угловых увеличений: k k = i , = i . (4.369) i=1 i=1 4.19. Инвариант Лагранжа–Гельмгольца Пусть y1 – величина предмета, y2 – величина изображения, создаваемого преломляющей или отражающей поверхностью (на рис. 4.71 – преломляющей). Для сопряженных плоскостей справедливо преобразование: 0 y1 y 1 A1 y2 , V = M1 = − Ф D V 2 1 V1 1 1 откуда y2 = A1 y 1 . (4.370) Согласно (4.63-2) можно записать V2 = D1 V1. Рис. 4.71. К выводу инварианта Лагранжа–Гельмгольца Поскольку для сопряженных плоскостей 149 (4.371) D1 = y1 1 , = A1 y 2 то, подставляя (4.372) в (4.371), получим y 2 V 2 = y1 V1 . (4.372) (4.373) Выражение (4.373) представляет собой известный инвариант Лагранжа–Гельмгольца для одной поверхности. Если оптическая система состоит из k поверхностей (преломляющих и отражающих), то, последовательно применяя полученный инвариант ко всем промежуточным изображениям, получим: y1 V1 = y 2 V2 = . = y k+1 V k+1. (4.374) Учитывая, что Vi = −i ni sin i , для системы преломляющих поверхностей ( i = +1, i = 1, 2,..., k + 1 ) выражение (4.374) можно представить в виде: y1 n1 sin 1 = y 2 n 2 sin 2 = . = y k+1 n k +1 sin k +1 . (4.375) Последнее выражение можно записать для пространства предметов и изображений: y1 n1 sin 1 = y k+1 n k +1 sin k +1 . (4.376) Формула (4.376) носит название условия синусов Аббе. 150 5. РАСЧЕТ ХОДА ЛУЧЕЙ ЧЕРЕЗ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА Рассмотрим поверхность вращения второго порядка. Поместим начало координат в вершину поверхности, тогда ее уравнение можно записать в виде: x2 + y 2 = 2 r z + c z 2 , (5.1) где r – радиус кривизны при вершине; c = e2 − 1 – постоянная; е – эксцентриситет поверхности. Если e = 0 , то уравнение (5.1) описывает сферу, 0 e 1 – эллипсоид, e = 1 – параболоид, e 1 – гиперболоид. Приведем уравнение (5.1) к виду (3.14), более удобному для дальнейшего использования: ( ) 1 1 1 x2 + y2 = z + c z 2 , или 2 r 2 r ( ) 1 b c z 2 − b u = 0 , 2 где b = 1 / r – кривизна поверхности в вершине. F u , z = z + (5.2) Примечание. Уравнения кривых второго порядка в канонической форме на плоскости имеют вид [17]: 1. эллипс z2 x2 + =1 , a 2 b2 (1) где a – большая полуось эллипса, b – малая полуось эллипса, причем b2 = a 2 − c 2 = a 2 (1 − e2 ) , где e = c 1 – эксцентриситет эллипса, 2 c >0 – расстояние между геометриa ческими фокусами эллипса. 2. гипербола z2 x2 (2) − =1, a 2 b2 где a – действительная полуось гиперболы, b – мнимая полуось гиперболы, причем b2 = с 2 − a 2 = a 2 (e2 − 1) , c a где e = >1 – эксцентриситет гиперболы, 2 c >0 – расстояние между геометрическими фокусами гиперболы. 3. Парабола 151 p , 2 где p – параметр параболы (расстояние от геометрического фокуса параболы до директрисы), – расстояние от произвольной точки на параболе до геометри- =z+ ческого фокуса параболы. Каноническое уравнение параболы можно привести к более привычному виду: x2 = 2 p z , (3) записанному в системе координат, начало которой находится в вершине кривой. В данном примечании фокусы кривых второго порядка дополнительно названы геометрическими с одной целью – отличить их от оптических фокусов. Приведем уравнения (1) и (2) к системе координат, начало которой расположено в одной из вершин. Для этого произведем преобразование координат: (4) z → za. Подставим (4) в (1) и (2) и после преобразований получим: x 2 = 2 r z + (e2 − 1) z 2 . (5) где r = a (e2 − 1) . (6) Выясним физический смысл величины r. Из высшей математики известно [15], что модуль радиуса кривизны R линии в заданной точке в системе координат xoz рассчитывается по формуле: 3 dx 2 2 1 + dz . R= d 2x dz 2 (7) В общем случае центр кривизны не лежит на оси oz. Применим формулу (7) к кривой, описываемой уравнением (5). Дифференцируя (5), находим производные: dx r + c z d 2 x r2 = , 2 =− 3. dz x dz x (8) Подставим (8) в (7), получим: R= 3 2 2 (r + e x ) . 2 2 r2 В вершине кривой z = 0 , тогда согласно (5) x = 0 и из (9) находим: r = R0 , (9) где R 0 – значение модуля радиуса R в вершине кривой. Таким образом, величина r, определяемая выражением (6), представляет собой радиус кривизны в вершине кривой. Уравнение параболы (3) можно представить как частный случай уравнения (5) при e=1, поэтому параметр параболы p также можно интерпретировать как радиус кривизны в вершине. 152 На основе уравнения (5) можно написать уравнение поверхности второго порядка, симметричной относительно оси oz: x 2 + y 2 = 2 r z + (e 2 − 1) z 2 . (10) Применим формулы (3.46) для поверхности, описываемой уравнением (5.2). В результате получим следующую сводку формул [1]: Сводка формул Задано: A( x , y ) – начальные данные луча, s ( , , ) ( ) 1 F u , z = z + b c z 2 − b u = 0 – уравнение поверхности. 2 Расчет: P = A, ( q 2 = b P S − 2 z= ( (5.3-1) (5.3-2) ) − b P ( S − c ) , q = q 0, (5.3-3) 2 2 b P2 q − b P S − 2 2 ) 2 =− 2 2 ( ), b ( S − c ) q + b P S − 2 2 2 (5.3-4) t = 1 + b z (1 + c ) , (5.3-5) R = t 2 − b z ( t − 1) , (5.3-6) q2 = n2 − n 2 R 2 + q 2 , ) (5.3-7) q = q2 0 – для преломления, (5.3-8) q = −q – для отражения, q − q = 2 , R (5.3-9) ( (5.3-10) P = P + z S , (5.3-11) A = 1 + t , B = t z, C = −b , D = 1 − b z, (5.3-12) A B Q= , C D (5.3-13) Q = A D − B C = 1 + (1 + c b z ) , (5.3-14) 153 P P = Q , S S = Q , (5.3-15) (5.3-16) P (5.3-17) Сопряженные точки сечения согласно (3.70) связаны соотношением: B−s A B + s D s = − или s = (5.4) . A + s C D − s C A = 5.1. Декартовые поверхности Поверхности, отражающие или преломляющие лучи, выходящие из одной определенной точки так, что после отражения или преломления они опять сходятся в одной точке, называются декартовыми (анаберрационными) [1]. 5.1.1. Декартовые отражающие поверхности Рассмотрим точку F (рис. 5.1), расположенную на оси и удаленную от вершины поверхности на расстояние 1 (5.5) s= . b (1 − e ) Рис. 5.1. Декартовая отражающая поверхность Пусть на поверхность падает гомоцентрический пучок, который сходится в точке F. Выберем в падающем пучке произвольный луч, заданный направляющим вектором s и вектором A в опорной плоскости ОП. Проведем через точку F опорную плоскость ОП1 и найдем в ней значение параметра P1 падающего луча. Поскольку в плоскости ОП1 для всех 154 лучей A1 = 0, то: P1 = P + s S = 0 , отсюда P = − s S , P 2 = s 2 S 2 , P S = −s S 2 . (5.6) Подставим n = n , c = e2 − 1 и (5.5) в формулы (5.3-2) – (5.3-12), рассчитаем матричные элементы A, B, C, D, подставим их значения в выражение (5.4) и после преобразований получим: 1 r (5.7) s = = . b (1+ e ) 1 + e Примечание. Ниже приведены промежуточные выкладки: q 2 = (b P S − 2) 2 − b 2 P 2 (S 2− c 2) = 2 S2 S2 2 2 = −b − −b 2 S 2− c 2 = 2 b (1 − e ) b (1 − e ) = S4 (1 − e ) + 2 2 ( ) 2 S 2 S4 c 2 S 2 + 4− + = 2 2 1− e 1 − e ( ) 1 − e ( ) ( e2 − 1) S 2 S2 2 = = + 2 + 2 1− e (1 − e ) 2 e 2 − 2 e +1 2 2 2 2 2 2 = 2 S 2 + = S + = n , 2 (1 − e ) q = n 0 , ( ) q 0 , так как для хода луча слева направо (как изображено на рис. 5.1) 0 ; b P 2 z= = q − (b P S − 2) b = S2 b 2 (1 − e ) 2 ( 1 = S2 2 n + b + b (1 − e ) S2 b (1 − e ) n − n e + S 2 + 2 − e 2 ) n 2− 2 = = b (1 − e ) n ( n + ) − e ( n + ) = n− , отсюда b (1 − e ) ( n − e ) 155 = bz = t = 1 + b z (1 + c) = 1 + n− ; (1 − e ) (n − e ) n− (n − e ) − n e (1 − e ) ; (1 + c ) = (1 − e ) (n − e ) (1 − e ) (n − e ) R = t 2 − b z ( t − 1) = 2 (n − e ) − n e (1 − e ) (n − e ) − n e (1 − e ) n− = − − 1 = (1 − e ) (n − e ) (1 − e ) (n − e ) (1 − e ) (n − e ) 1 = (n − e ) (n − e ) − (n − ) − 2 n e (1 − e ) (n − e ) + 2 (1 − e ) (n − e ) 2 + n 2 e 2 (1 − e ) 2 + n e (1 − e ) (n − ) + (n − ) (1 − e ) (n − e ) = = 1 n 2 e 2 − n 2 e 3+ n 2 − n e − n 2 e − n e + 2 n e 2 = 2 (1 − e ) (n − e ) = =− n (n − 2 e + n e 2) ; 2 ( n − e ) 2q =− 2 R 2 − z−s = 2 n = n 2 ( n − 2 e + n e ) (n − e ) 2 2 ( n − e ) 2 ; ( n − 2 e + n e 2 ) n − 1 ; − =− b (1 − e) (n − e ) b (1 − e) b (n − e ) B − A s = t z − (1 + t ) s = t ( z − s) − s = =− 2 ( n − e )2 − ( n − e ) − n e (1 − e ) 1 − = (n − 2 e + n e ) (1 − e ) ( n − e ) b ( n − e ) b (1 − e ) 2 2 n − 2 e − 2 n e + 2 n e − n + 2 e − n e 1 = = b (1 − e ) n − 2 e + n e 2 2 = 2 n (1 − e ) ; b ( n − 2 e + n e 2 ) D − s C = (1 − b z) + b s = 1− b ( z − s ) = =1 − b − − 2 ( n − e ) 2 − n (1 − e 2 ) ; = ( n − 2 e + n e 2 ) b (n − e ) n − 2 e + n e 2 n (1 − e ) B−s A 1 b (n − 2 e + n e 2 ) s =− =− = . n (1 − e ) (1 + e ) D − s C b (1 + e ) − n − 2 e + n e 2 156 Как видно из (5.7), s не зависит от параметров луча P и s , т. е. гомоцентрический пучок после отражения от поверхности остается гомоцентрическим и сходится в некоторой точке F , расположенной на расстоянии s от вершины поверхности. По закону обратного хода луча можно сказать, что лучи, проходящие через точку F , после отражения от поверхности пройдут через точку F. Таким образом, точки F и F изображаются друг в друга без аберраций и поэтому называются анаберрационными точками поверхности. Точку, расположенную ближе к вершине поверхности, для удобства будем называть ближней анаберрационной точкой, а ту, которая дальше, – дальней анаберрационной точкой. Рассмотрим некоторые частные случаи отражающих поверхностей. 5.1.1.1. Эллипсоид Для эллипсоида 0 e 1. • Первый случай: r 0, тогда r r s= 0, s = 0 , s s . 1− e 1+ e Падающий на поверхность гомоцентрический пучок лучей сходится в точке F, а после отражения пучок лучей сходится в точке F (рис. 5.2). В данном случае и предмет, и изображение – мнимые. Рис. 5.2. Отражающий эллипсоид (первый случай) • Второй случай (рис. 5.3): r 0, тогда s 0, s 0 , s s . Точки предмета и изображения – действительные. Пучок лучей выходит из точки F и после отражения сходится в точке F . 157 Рис. 5.3. Отражающий эллипсоид (второй случай) 5.1.1.2. Параболоид Для параболоида e = 1. Тогда r r r s= = , s = = , 1− e 1+ e 2 (5.8) из (5.8) следует, что дальняя анаберрационная точка лежит в бесконечности. Значит, параллельный пучок собирается после отражения в ближней анаберрационной точке (рис. 5.4), совпадающей с фокусом параболоида и расположенной на расстоянии s от его вершины. Первый случай, r <0 Второй случай, r> 0 Рис. 5.4. Отражение лучей от параболоида 5.1.1.3. Гиперболоид Для гиперболоида e 1. • Первый случай (рис. 5.5): r 0, тогда r r s= 0 , s = 0 , s s . 1− e 1+ e (5.9) Гомоцентрический пучок лучей выходит из точки F и после отражения создает мнимое изображение в точке F . 158 Рис. 5.5. Отражение от гиперболоида, r 0 • Второй случай (рис. 5.6): r 0, тогда r r s= 0, s = 0 , s s . 1− e 1+ e (5.10) Падающий на зеркало гомоцентрический пучок лучей сходится в точке F (мнимый предмет) и после отражения сходится в точке F , создавая действительное изображение. На обоих рисунка (5.5 и 5.6) неработающая полость гиперболоида изображена пунктиром. Рис. 5.6. Отражение от гиперболоида, r 0 5.1.1.4. Зеркальные оптические системы Свойства поверхностей, показанные в п. 6.1.1.1 – 6.1.1.3, можно использовать при конструировании оптических систем. Рассмотрим некоторые из возможных вариантов. • Объектив Кассегрена Первое зеркало – параболоид, второе – гиперболоид (рис. 5.7). Фокус параболоида F1 совмещен с ближней анаберрационной точкой F2 гиперболоида. Точка предмета расположена на оси и в бесконечности, поэтому на систему приходит пучок лучей, параллельных оптической 159 оси. Рис. 5.7. Ход луча в объективе Кассегрена, d = s1 − s2 0 После отражения от параболоида пучок лучей сходится в точке F1 (п. 5.1.1.2), образуя мнимое промежуточное изображение точки предмета. Поскольку точки F1 и F2 совпадают, то, согласно п. 5.1.1.3, пучок лучей после отражения от гиперболоида должен сойтись во второй анаберрационной точке гиперболоида, то есть в точке F2 , которая в данном случае совпадает с задним фокусом F объектива. • Объектив Грегори Первое зеркало – параболоид, второе – эллипсоид (рис. 5.8). Рис. 5.8. Ход луча в объективе Грегори, d = s1 − s2 0 Фокус параболоида F1 совмещен с ближней анаберрационной точкой F2 эллипсоида. На объектив также приходит пучок лучей, 160 параллельных оптической оси, которые после отражения от параболоида сходятся в его фокусе F1 , образуя действительное промежуточное изображение точки предмета. Поскольку точки F1 и F2 совмещены, то, согласно п. 5.1.1.1, после отражения от эллипсоида лучи сходятся во второй (то есть дальней) анаберрационной точке эллипсоида F2 , которая также совпадает с задним фокусом F объектива. • Система Мерсена Система Мерсена представляет собой двухзеркальную телескопическую систему. При конструировании системы Мерсена используются свойства декартовых отражающих поверхностей согласно п. 5.1.1.2. Оба зеркала – параболоиды. Фокусы параболоидов совмещены. Первый вариант (рис. 5.9): первое зеркало вогнутое, второе – выпуклое. Промежуточное изображение – мнимое. Рис. 5.9. Телескопическая система (первый вариант), d = s1 − s2 0 Второй вариант (рис. 5.10). Рис. 5.10. Телескопическая система (второй вариант), d = s1 − s2 0 161 Оба зеркала – вогнутые, промежуточное изображение – действительное. При формировании мощного лазерного излучения этот вариант менее предпочтителен, поскольку в точке промежуточного изображения возможен пробой. • «Гиперболоид инженера Гарина» Система, условно названная «гиперболоидом инженера Гарина» (хотя в ней нет ни одного гиперболоида), предназначена для преобразования гомоцентрического пучка лучей, выходящих из точечного источника света, в узкий пучок параллельных лучей. Именно такое устройство создал главный герой одноименной фантастической книги Алексея Толстого инженер Гарин. Система состоит из двух зеркал: первое зеркало – эллипсоид, второе зеркало – параболоид (см. рис. 5.11). Рис. 5.11. «Гиперболоид инженера Гарина», d = s1 − s2 0 Для использования свойств зеркальных декартовых поверхностей (п. 5.1.1.1-5.1.1.2) точечный источник света помещен в дальнюю анаберрационную точку F1 эллипсоида, фокус параболоида F2 совмещен с ближней анаберрационной точкой F1 эллипсоида. Диаметр пучка параллельных лучей на выходе системы определяется фокусным расстоянием параболоида: чем меньше фокусное расстояние, тем меньше диаметр. Очевидно, что каждая из приведенных оптических систем (рис. 5.7–5.11) может работать в обратном ходе лучей. 5.1.2. Декартовые преломляющие поверхности Только поверхности вращения второго порядка, эксцентриситеты которых определяются выражением e = n / n , являются 162 декартовыми преломляющими поверхностями. Покажем это. Пусть на преломляющую поверхность падает гомоцентрический пучок, который сходится в точке F, расположенной на расстоянии s от вершины поверхности (рис. 5.12). Рис. 5.12. Декартовая преломляющая поверхность Положим: s= r n , где e = . 1− e n (5.11-1) Выберем в падающем пучке произвольный луч, заданный направляющим вектором s и вектором A в опорной плоскости ОП. Проведем через точку F опорную плоскость ОП1 и найдем в ней значение параметра P1 падающего луча. Поскольку в плоскости ОП1 для всех лучей A1 = 0, то: P 1= P + s S = 0 , отсюда P = −sS , (5.11-2) P2 = s2 S 2 , (5.11-3) P S = − s S 2. (5.11-4) Подставляя (5.11) в формулы (5.3-2) – (5.3-12), рассчитаем матричные элементы A, B, C, D, подставим их значения в выражение (5.4) и после преобразований получим: B − A s = + . (5.12) D −Cs Таким образом, если гомоцентрический пучок лучей сходится в s = − 163 r от вершины поверхно1− e сти, то после преломления поверхностью лучи распространяются параллельно оптической оси. точке, расположенной на расстоянии s = Примечание. Ниже приведены промежуточные выкладки. Выражения для q , z , t , R получаются такие же, как и при отражении. Далее находим, учитывая, что e = n n : b z = n− n − n 2 (n − ) = = , n ' ( n − n ') ( n 2 − n ' ) (1 − e ) (n − e ) n ' 1 − n − n n n n n n − − n 1 − 2 (n − e ) − n e (1 − e ) n n n ( n − n ) − n ( n − n) t = = = n, n (1 − e ) ( n − e ) ) ( n 2 − n ) n n − n ( 1 − n − n n n n n n 2 2 R= (n − 2 e + n e ) = n − 2 + n 2 = 2 ( n − e ) 2 n n n n − n n 2 − 2 n + n 2 2 = n , 2 2 n − n ( ) q 2 = (n2 − n 2 ) R 2 + q 2 = (n2 − n 2 ) 2 = n 2 n 2 2 n 2 − 2 n + n2 ( n − n ) 2 2 n 2 + n 2 2 = (n − ) 2 , отсюда ( n 2 − n ) 2 q = n n n − . n 2 − n В последнем выражении необходимо выбрать знак таким образом, чтобы получить q 0 . Подставим = n cos в выражение для q : n − e − cos , q = n n 2 = n 2 cos 1 n − n − cos e где - угол между падающим на поверхность лучом и оптической осью. Для определенности положим, что ход луча – слева направо, тогда 900 и cos 0 . Рассмотрим возможные варианты: • n n ; e = n / n 1 , то есть, поверхность представляет собой гиперболоид, на который падает гомоцентрический пучок лучей, сходящихся в точке F (рис. 5.12); cos 1 по определению, поэтому ( e − cos ) 0 . Проанализируем знак 164 1 знаменателя − cos . Из аналитической геометрии известно: e e = 1+ b2 1 = 1 + tg 2 = , поэтому 2 a cos 1 − cos = cos − cos , e где a и b – полуоси гиперболоида, – угол наклона асимптоты (поскольку асимптоты две, то может быть как больше нуля, так и меньше нуля). Далее: 1 если , то − cos = cos − cos 0 , e если = , то луч проходит параллельно асимптоте, если , то луч проходит мимо поверхности. Таким образом, если n n , то: ( e − cos ) 0 , 1 − cos 0 и q = −n 2 cos e − cos 0 . 1 e − cos e • n n ; e = n / n 1 , то есть, поверхность представляет собой эллипсоид, на который падает гомоцентрический пучок лучей, сходящихся в точке F (рис. 5.12); cos 1 по определению; 1 1 , поэтому 1 − cos 0 . e e Проанализируем знак числителя ( e − cos ) . Меридиональное сечение эллипсоида (плоскость xoz) представляет собой эллипс. Из аналитической геометрии известно: c = cos max 0 , a где a – большая полуось эллипса, c – координата фокусов F и F эллипса по оси z (математических фокусов, не оптических!), max – угол между оптической осью e= и крайними лучами пучка, проходящими через точку F и точки эллипса с координатами x=b (рисунок ниже). Тогда e − cos = cos max − cos 0 при 0 max . Таким образом, если n n , то: ( e − cos ) 0 , 1 − cos 0 и e e − cos q = − n 2 cos 0. 1 − cos e 165 Далее находим: q − q 1 − n (n 2 − n )2 = 2 = 2 n n ' 2 − n 2 = 2 2 R n − n (n − 2 n + n ) n = 1 n − n2 − n 2 + n (n 2 − n ) 2 n − n 2 = , n n 2 − 2 n + n2 n n 2 − n s= z−s = = 1 = b (1 − e ) 1 n b 1 − n = n b (n − n) n 2 (n − ) n − = 2 b (n − n) (n − n ) b (n − n) n (n − ) n n , 2 − 1 = − b (n − n ) n − n b ( n 2 − n ) B − s = t z − (1 + t ) s = t ( z − s) − s = n 2 − n (n 2 − n ) − n (n − n ) −n n =− n − = 2 2 b (n − n ) b (n − n) n (n − n ) (n − n ) n 2 − n − n ' (n − n) n n n = − 1 = − , b (n − n) n 2 − n b (n 2 − n ) D − s C = 1 − b z − ( −b ) s = 1 − b ( z − s ) = −(n 2 − n ) −n = 1− b =0, n b (n 2 − n ) s = − B − A s =+ . D −Cs 5.1.2.1.1. Декартовые преломляющие поверхности c e 1 Рассмотрим два варианта в зависимости от знака радиуса кривизны поверхности. • Вариант 1: n2 n 1 и r 0. r 0. Ход луча изображен на рис. 5.13. Это свой1− e ство можно использовать для конструирования линзы, если в качестве второй поверхности выбрать плоскость. Для линзы, расположенной в воздухе (рис. 5.14), будем иметь: e1 = n2 n 1 = n, В этом случае s = где n – показатель преломления стекла линзы. 166 Рис. 5.13. Преломление на гиперболоиде: n2 n1 , r 0 , e = n2 / n1 1 Такая линза преобразует сферическую расходящуюся волну в плоскую волну. Первая поверхность – гиперболоид, вторая – плоскость. Рис. 5.14. Плосковыпуклая асферическая линза • Вариант 2: n2 n1 и r 0. Тогда s ' 0. Ход луча изображен на рис. 5.15. Рис. 5.15. Преломление на гиперболоиде: n2 n1 , r 0 , e = n2 / n1 1 Используя это свойство, можно сконструировать отрицательную асферическую линзу (рис. 5.16), которая преобразует сферическую сходящуюся волну в плоскую. Первая поверхность линзы – гиперболоид с e1 = n2 / n1 = n (для линзы в воздухе), вторая поверхность – плоскость. 167 Рис. 5.16. Плосковогнутая асферическая линза 5.1.2.1.2. Декартовые преломляющие поверхности c e 1 Так же рассмотрим два варианта в зависимости от знака радиуса кривизны поверхности. r 0 , т.е., предмет • Вариант 1: n 2 n1 и r 0, тогда s = 1− e мнимый. Соответствующий ход луча изображен на рис. 5.17. Используя это свойство, можно сконструировать отрицательную асферическую линзу (рис. 5.18), которая преобразует сферическую сходящуюся волну – в плоскую. Первая поверхность линзы – сфера, вторая – эллипсоид, ближняя анаберрационная точка F2 которого совпадает с n 1 центром кривизны С1 сферы, причем e2 = 3 = . n2 n Рис. 5.17. Преломление на эллипсоиде: n2 n1 , e = n2 1, r 0 n1 В этом случае падающий гомоцентрический пучок проходит через сферу без преломления и преобразуется второй поверхностью в пучок 168 параллельных лучей. Рис. 5.18. Отрицательный асферический мениск r 0 , предмет действи1− e тельный. Соответствующий ход луча изображен на рис. 5.19. Используя это свойство, можно сконструировать положительную асферическую линзу (рис. 5.20), которая преобразует сферическую расходящуюся волну в плоскую. Первая поверхность линзы – сфера, вторая – эллипсоид, ближняя анаберрационная точка F2 которого совпадает с центром кривизны С1 сферы и e2 = n3 / n2 = 1/ n. • Вариант 2: n2 n1 и r 0, тогда s = Рис. 5.19. Преломление на эллипсоиде: n2 n1 , e = n2 n1 1, r 0 В этом случае падающий гомоцентрический пучок проходит через сферу без преломления и преобразуется второй поверхностью в пучок параллельных лучей. 169 Рис. 5.20. Положительный асферический мениск 5.2. Отражение от плоского зеркала Представим, что перед зеркалом находится точечный источник света А, из которого выходит пучок света и падает на зеркало. Выберем из всего пучка произвольный луч и рассчитаем его ход. Луч задан параметрами P и s . Для плоского зеркала (рис. 5.21) (5.13) b = 0, e = 0, c = −1, n = n. Рис. 5.21. Отражение лучей от плоского зеркала Подставим (5.13) в (5.3), получим: z = 0, t = 1, = −2, A = 1 + t = 1 − 2 = −1, B = t z = 0, C = −b = 0, D = 1 − b z = 1. Тогда с учетом (5.14) находим: (5.14-1) (5.14-2) (5.14-3) P = A P + B S = − P, (5.15-1) S = C P + D S = S , = (1 − 2 ) = −. (5.15-2) 170 (5.15-3) Подставим (5.14-2) и (5.14-3) в (5.4): B − A s 0+s s = − =− = − s. D−Cs 1− 0 Поскольку P = A, P = A, (5.16) то из (5.15-1) с учетом (5.15-3) получим: − A = − A, т. е. A = A . (5.17) Поскольку все лучи выходят из точки А, то можно записать: P + s S = 0 отсюда P = − sS . (5.17-1) Проведем через точку A опорную плоскость O 1 и найдем точку пересечения отраженного луча с этой плоскостью: P1 = P + s S , или с учетом результатов (5.15-1), (5.15-2) и (5.17-1) получим: P1 = P + s S = − P − s S = − − s S − s S = 0 , ( ) то есть, все лучи пересекают оптическую ось в одной точке A . Таким образом, плоская отражающая поверхность дает резкое изображение каждой точки оси. Поскольку любую нормаль к плоскости можно рассматривать как ось, плоское зеркало дает резкое изображение любой точки пространства. Отрицательный знак в формуле (5.16) показывает, что при расположении предмета перед зеркалом изображение находится за зеркалом (рис. 5.21), и наоборот. 5.3. Преломление лучей плоской поверхностью Пусть на поверхность падает гомоцентрический пучок лучей, сходящийся в точке А. Выберем из пучка произвольный луч с параметрами P и s на поверхности и рассчитаем его ход. Для плоской преломляющей поверхности (рис. 5.22): (5.18) b = 0, e = 0, c = −1. Подставим (5.18) в (5.3), получим: z = 0, t = 1, = n 2− n 2 + 1 − 1, 2 171 (5.19-1) n 2− n 2 A= + 1, B = 0, 2 (5.19-2) C = 0, D = 1. (5.19-3) Рис. 5.22. Преломление луча на плоской поверхности Тогда с учетом (5.19) находим: P = A P, (5.20-1) S = S , (5.20-2) = (1 + ) = A . (5.20-3) Из (5.20-2) следует: если на преломляющуюся поверхность падает пучок параллельных лучей, т. е. S = const, то для каждого преломленного луча получаем: S = S , 2= n 2 − S 2 = n 2 − S 2 = const, т. е. преломленные лучи также параллельны. Подставим (5.19-2) и (5.19-3) в (5.4): s = − B − A s A s = = A s. D − C s 1− 0 (5.21) Из (5.21) следует, что s зависит от , т. е. гомоцентрический пучок после преломления плоской поверхностью становится не гомоцентрическим. Для любого А уравнение (5.21) выполняется, если s = s = 0, т. е. любая точка плоской преломляющей поверхности резко изображается сама в себя. По определению и с учетом (5.20-3) получим: P = A = A A, P = A. 172 (5.22) Так как согласно (5.20-1) P = A P, то с учетом (5.22) получим: A A = A A, т. е. A = A. (5.23) Для параксиальных лучей n, тогда: A n2 − n 2 n2 − n 2+ n 2 n + 1 = = , n n2 n2 (5.24) n s. n (5.25) s0 = 5.4. Прохождение лучей через плоскопараллельную пластину, расположенную в воздухе Представим, что перед плоскопараллельной пластиной находится точечный источник света В (рис. 5.23), из которого выходит пучок света и падает на пластину. Проведем оптическую ось через точку В. Выберем из всего пучка произвольный луч с параметрами P1 и s 1 на первой поверхности и рассчитаем его ход. На рис. 5.23 B – точка пересечения продолжения луча, вышедшего из пластины, с оптической осью. Рис. 5.23. Прохождение луча через плоскопараллельную пластину Для пластины в воздухе запишем цепочку преобразований параметров луча, используя результаты (5.20): S1 = S1, 1 = A1 1 , S2 = S1 = S1, 2 = 1 = A1 1 , S2 = S2 = S 1 , 2 = A 2 2 = A 2 A1 1 . 173 Поскольку 22 + S 22 = n 23 = 1 , то 22 = 1 − S 22 = 1 − S 12 = 21 , т. е. 2 = 1 , или A 2 A1 1 = 1 , откуда A 2 A1 = 1 . (5.26) Для гомоцентрического пучка лучей, выходящего из точки В, согласно (5.11-2) можно записать: P1 = − s S 1 . Далее с учетом (5.20) находим: P1 = A1 P1 = − A1 s S 1 , P 2 = P1 + d S 1 = − A1 s S 1 + d S 1 , P2 = A 2 P2 = − A2 A1 s S 1 + A2 d S 1 = −s S 1 + A2 d S 1 , ( ) P3 = P2 + s S 2 = −s + A2 d1 + s S 1 = 0 . Последнее равенство выполняется для любого луча, если: − s + A2 d1 + s = 0 , отсюда находим: s = s − A 2 d = s − Здесь d . A1 1 − n2 n2 − 1 A1 = + 1, A 2 = + 1. 12 22 (5.27) (5.28) Найдем расстояние c 0 между точками B и B . Из рис. 5.28 следует: c = d − s + s = d − d 1 = d 1 − A 1 . A1 (5.29) Таким образом, для каждого луча, падающего на пластину из точки В, положение точки B определяется выражением (5.29) 1 c = d 1 − . (5.30) A1 В параксиальной области для всех лучей 1 1 , поэтому A1 = n и c=d n −1 = const , n 174 (5.31) а это означает, что все лучи, выходящие из точки В, сходятся в точке точка B , то есть точка B является параксиальным изображением точки В. 5.5. Преломление луча сферой Для сферы: e = 0 , c = −1, b = 1/ r . (5.32) Пусть A – точечный источник света (рис. 5-24), из которого выходит гомоцентрический пучок лучей и падает на преломляющую сферу. Выберем из всего пучка один луч с параметрами P и s в опорной плоскости ОП. Для луча, выходящего из точки A , можно записать (5.11-2): P+ sS =0 , отсюда P2 = s 2 S 2 , P S = −s S 2 . (5.33-1) (5.33-2) Обозначим: s = b s и s = b s . (5.34) Рис. 5.24. Преломление луча на сфере Далее, подставляя (5.32-5.33) в (5.3), находим: 2 q 2 = n 2 s − 2 ( s − 1) − n 2 s 2 (n 2 − 2 ) , q2 = ( n2 − n 2 ) 2 + q 2 , (5.35) (5.36) q + 2 ( s − 1) q − 2 ( s − 1) + n 2 2 s ( s − 1) s = . (5.37) 2 q + 2 ( s − 1) q − 2 ( s − 1) + n 2 2 ( s − 1) Примечание. Ниже приведены промежуточные выкладки. 175 Подставим (5.33-2) в (5.3-4) z=− =− q + (b P S − 2) q −b s S 2 − 2 = − = b ( n 2 − 2+ 2 ) b ( S 2 − c 2) q − b s (n 2 − 2 ) − 2 b ( n 2 − 2+ 2 ) = n 2 s − 2 ( s − 1) − q . bn2 Умножим выражение (3.81) на b , получим: s = s + ( s − b z ) 1 + ( s − b z ) и преобразуем полученное для s выражение с учетом (5.35) и z: (s − b z) = = = n2 s − 2 ( s − 1) − q q − q s − = 2 n2 1 1 2 q − q q + s − 1 = q q + 2 ( s − 1) − q 2 ( s − 1) − q 2 = ( ) ( ) 2 2 2 2 n n 2 1 q q + 2 ( s − 1) − q 2 ( s − 1) − n2 s − 2 ( s − 1) + n2 s 2 ( n2 − 2 ) = 2 n 2 = 1 q + 2 ( s − 1) q − 2 ( s − 1) + n2 2 s 2 − 2 n2 2 s . 2 n 2 Далее находим: s + ( s − b z ) = 1 = 2 2 n2 2 s + q + 2 ( s − 1) q − 2 ( s − 1) + n2 2 s 2 − 2 n2 2 s = n = 1 q + 2 ( s − 1) q − 2 ( s − 1) + n2 2 s ( s − 1) , 2 2 n 1 + ( s − b z ) = 1 = 2 2 n2 2 + q + 2 ( s − 1) q − 2 ( s − 1) + n2 2 s 2 − 2 n2 2 s = n = 1 2 q + 2 ( s − 1) q − 2 ( s − 1) + n2 2 ( s − 1) . 2 n 2 Окончательно: q + 2 ( s − 1) q − 2 ( s − 1) + n2 2 s ( s − 1) s = . 2 q + 2 ( s − 1) q − 2 ( s − 1) + n2 2 ( s − 1) Получили одно уравнение (5.37) относительно двух неизвестных – s и s . Поэтому, чтобы найти решение, необходимо одной из неизвестных величин, например, s , придать произвольное значение и рассчитать соответствующее значение s . Кроме того, как следует из 176 (5.37), s зависит от . Это означает, что лучи, выходящие из одной точки предмета, после преломления сферой пересекут оптическую ось в разных точках. То есть, гомоцентрический пучок после преломления теряет свою гомоцентричность, появляется сферическая аберрация. Существует ли решение, не зависящее от параметров луча? Проанализируем формулу (5.37). • Положим s − 1 = 0 т. е. s = 1. Подставим s = 1 в формулу (5.37), получим: s = q q =1 . q q (5.38) Таким образом, если s = r , то s = r т. е. центр сферы резко изображается сам в себя. Получили очевидное решение. • Положим: q + 2 ( s − 1) = 0 , (5.39) отсюда q = − 2 ( s − 1) >0 . Подставим (5.40) в (5.35) и после преобразований получим: s ( s − 2) = 0 . (5.40) (5.41) Уравнение (5.41) имеет два решения: s = 0 и s = 2, (5.42) или s = 0 и s = 2r , (5.43) из которых выбираем первое, поскольку из (5.40) следует, что s 1 , то есть s = 0. (5.44) Подставим (5.39) и (5.43) в (5.37), получим: (5.45) s = 0 . Таким образом, если s = 0 то и s = 0 , т. е. вершина сферы резко изображается сама в себя. Получили тривиальное решение. • Рассмотрим случай q − 2 ( s − 1) = 0 , (5.46) отсюда q = 2 ( s − 1) >0 . (5.47) Подставим (5.35) и (5.47) в (5.36), и после преобразований получим: 177 n , или с учетом (5.47): n n s − 1 = , откуда n n + n s= r . n s −1 = (5.48) Подставим (5.46) и (5.48) в (5.37), получим: s = n + n r . n (5.49) Получили нетривиальное решение: точки А и A , расположенные на оптической оси и на расстояниях s и s , определяемых выражениями (5.48) и (5.49), относительно вершины сферы, сопряжены без аберраций. Такие точки называются апланатическими точками. 5.5.1. Апланатические точки Пусть A и A – апланатические точки сферы преломляющей сферы, расположенные на оптической оси oo . Построим ход луча через поверхность при различных соотношениях показателей преломления и при разных знаках радиуса кривизны поверхности. n n и r 0 , тогда s 0 и s 0 , s s (рис. 5.25). Точка предмета A мнимая, точка изображения A – действительная, находится • слева от точки предмета. Рис. 5.25. Преломление луча сферой, n n , s s n n и r 0 , тогда s 0 и s 0 , s s (рис. 5.26). Точка предмета A мнимая, точка изображения A – действитель- • ная, находится справа от точки предмета. 178 Рис. 5.26. Преломление луча сферой, n n , s s • n n , r 0 , тогда s 0 и s 0 , s s (рис. 5.27). Точка предмета A действительная, точка изображения A – мнимая, находится справа от точки предмета. Рис. 5.27. Преломление луча сферой, n n , s s • n n , r 0 , тогда s 0 и s 0 , s s (рис. 5.28). Точка предмета A действительная, точка изображения A – мнимая, находится справа от точки предмета. Рис. 5.28. Преломление луча сферой, n n , s s 179 5.5.2. Апланатические сферы Проведем через центр кривизны С сферы S линию oo , называемую побочной оптической осью (рис. 5.29). Поскольку сфера симметрична относительно любой линии, проходящей через центр сферы, то все вышеприведенные рассуждения, касающиеся преломляющей сферы, справедливы и для произвольной побочной оптической оси oo . Проведем из центра C преломляющей сферы S две сферы и с радиусами кривизны, равными соответственно z и z : z = CA = s − r = r n + n n −r = r n n (5.50) z = CA = s − r = r n + n n −r = r . n n (5.51) и Рис.5.29. Апланатические поверхности сферы, n n Очевидно, что точки B и B , представляющие собой точки пересечения сфер и с побочной оптической осью oo , также являются апланатическими точками, положение которых относительно центра сферы S задается соотношениями (5.50) и (5.51). Поскольку положение оптической оси oo было выбрано произвольно, то можно утверждать, что любой точке на сфере соответствует сопряженная с ней точка на сфере . А это означает, что сферы и сопряжены без аберраций. Такие сферы называются апланатическими сферами. Таким образом, у всякой преломляющей сферы имеются две апланатические сферы, являющиеся резким изображением друг друга. 180 Из (5.50) и (5.51) можно получить; z z = r 2 . (5.52) 5.5.3. Апланатическая линза Наличие у сферы двух апланатических точек позволяет сконструировать линзу, называемую апланатической (рис. 5.30). При расчете параметров апланатической линзы задаются величины: d – толщина линзы по оси, n – показатель преломления стекла, s 1 – положение точки А относительно первой поверхности. Положим, что центр кривизны C1 первой поверхности линзы совмещен с точкой предмета А, то есть r1 = s1 . Тогда первая сфера изобразит точку предмета в точку A , совпадающую с центром кривизны C1 и точкой предмета А. Промежуточное изображение A будет являться предметом для второй сферической поверхности линзы. Рис. 5.30. Апланатическая линза Выберем радиус второй сферы так, чтобы промежуточное изображение A являлось по отношению к ней апланатической точкой. Тогда согласно (5.48) можно записать: n +1 s2 = r2 , n отсюда n (5.53) r2 = s2 . n +1 Из рис. 5.30 находим 181 s 2 = s1 − d . (5.54) Подставим (5.54) в (5.53), получим: n (5.55) r2 = s1 − d . n +1 Точка A изобразится второй сферой в точку A , расположенную со- ( ) гласно (5.49) на расстоянии s2 , равном s2 = ( n + 1) r2 , (5.56) или с учетом (5.55): n (5.57) ( r1 − d ) = n ( r1 − d ) . n +1 Недостатком апланатической линзы является то, что обе апланатические точки лежат с одной стороны линзы. А это значит, что если точка предмета является действительной, то изображение является мнимым, и наоборот. s2 = ( n + 1) 182 6. ГЛАЗ 6.1. Общие сведения При конструировании оптических приборов, работающих с глазом, необходимо знать и учитывать особенности строения и возможности человеческого глаза как оптического прибора для того, чтобы грамотно согласовать работу визуального оптического прибора с глазом. Ниже приведено краткое изложение учения о строении глаза. Более полную информацию можно найти в соответствующей литературе [3, 8, 9]. Глаз представляет собой шаровидное тело (рис. 6.1), диаметром примерно 25…26 мм, с внешней непрозрачной оболочкой белого цвета 1 (склерой). Внутренняя поверхность склеры покрыта сосудистой оболочкой, содержащей разветвления кровеносных сосудов, питающих глаз. Рис. 6.1. Горизонтальный разрез правого глаза. Вид сверху: 1 – склера, 2 – роговица, 3 – передняя камера, 4 – радужка, 5 – хрусталик, 6 – стекловидное тело, 7 – слепое пятно, 8 – сетчатка, 9 – желтое пятно, 10 – зрительная ось глаза, 11 – ось симметрии глаза, 12 – кольцевидная мышца 183 Спереди и внутри она переходит в утолщенную часть, содержащую кольцевидную ресничную мышцу 12, и далее – в радужную оболочку 4, не одинаково окрашенную у различных людей и определяющую цвет глаз. Радужка – это непрозрачная ткань с отверстием переменного диаметра. Радужная оболочка состоит из нежных соединительнотканных фибрилл, кровеносных сосудов, мышечных волокон и пигментных клеток (от числа последних и зависит цвет глаз). Отверстие принято называть зрачком глаза. Радужка, по сути, апертурная диафрагма. В зависимости от яркости света зрачок может рефлекторно сужаться и расширяться посредством кольцевидной мышцы, с которой связана радужная оболочка. Диаметр его может меняться примерно от 2 до 8 мм. Этим достигается ограничение поперечных размеров световых пучков, поступающих в глаз. Передняя часть склеры переходит в прозрачную роговую оболочку 2, или роговицу, диаметром 10 мм, более выпуклую, чем склера. Толщина склеры от 0,4 до 1,1 мм, роговицы – около 0,5 мм. За роговицей следует передняя глазная камера 3, хрусталик 5 (внутренняя линза с переменным фокусным расстоянием), стекловидное тело 6. Пространство между радужной оболочкой и хрусталиком называется задней камерой. Обе камеры заполнены жидкостью, называемой водянистой влагой, которая необходима для обеспечения хрусталику возможности изменения формы. Стекловидное тело 6 представляет собой студенистое вещество, которое прозрачно и предназначено для прохождения лучей света от роговицы до сетчатки, обеспечивает постоянство формы глаза. Стекловидное тело и водянистая влага имеют близкий химический состав; одинаковы и их показатели преломления. К сосудистой оболочке по всей ее внутренней поверхности прилегает самая внутренняя из оболочек глаза – сетчатая оболочка, или ретина, состоящая главным образом из радиально расходящихся разветвлений зрительного нерва 7, входящего во внутреннюю полость глаза несколько сбоку от оси симметрии глаза 11. Около точки 7 толщина сетчатки составляет 0,2…0,22 мм; к периферии она непрерывно уменьшается. Оптическая система глаза дает изображение предметов на сетчатке, где оно вызывает зрительные раздражения, передаваемые в мозг по нервным волокнам. Недалеко от точки 7, где начинаются разветвления зрительного 184 нерва, со стороны виска, находится так называемое желтое пятно 9 (горизонтальный поперечник 1…3 мм, вертикальный 0,8 мм) или macula (macula – по латыни «пятно»). В его центральной части имеется углубление, называемое центральной ямкой – fovea centralis (лат.), сокращенно фовеола или фовеа. Это участок сетчатки диаметром примерно 0,4 мм, что соответствует углу поля зрения 1,2°. Здесь толщина сетчатки не превышает 0,08…0,1 мм. Желтое пятно и в особенности центральная ямка являются наиболее чувствительными местами сетчатки (при дневном зрении). Изображение рассматриваемой точки пространства всегда приводится к середине центральной ямки. Линия, проходящая через середину центральной ямки, узловые точки и точку фиксации глаза, называется зрительной осью. Она не совсем совпадает с осью симметрии глаза, так как преломляющие поверхности глаза не вполне симметричны и центрированы. Ось симметрии глаза можно провести в некотором смысле только условно. Обычно ее проводят через крайнюю, наиболее выступающую точку выпуклой поверхности роговицы и через центр зрачка. Угол между осью симметрии и зрительной осью составляет примерно 5°. Роговица – менискообразная линза, состоящая из нескольких наружных слоев и эпителия. Передняя поверхность роговицы должна иметь оптическое качество шероховатости, для этого она постоянно смачивается веком в процессе моргания. Диаметр роговицы взрослого человека колеблется от 10 до 12 мм. Роговица более выпукла, чем остальная поверхность глазного яблока. Радиус кривизны передней поверхности роговицы составляет в среднем 7,6…7,8 мм, задней поверхности ее – около 6,8 мм, толщина в центральной части – 0,5…0,9 мм. Форма передней поверхности роговицы отличается от сферы. Со сферой практически совпадает только центральная часть диаметром около 4 мм. Дальше от центра появляется ряд неровностей, заметно уменьшается кривизна, что дало основание считать форму роговицы близкой к эллипсоиду или другой кривой второго порядка Хрусталик представляет собой прозрачное бесцветное тело, напоминающее двояковыпуклую линзу, передняя поверхность которой менее выпукла, чем задняя. Условно считается, что обе поверхности хрусталика представляют собой части правильной сферы. В действительности они ближе к асферическим поверхностям второго порядка: 185 кривизна обеих поверхностей в центре больше, чем на периферии; т. е. как и у роговицы, центральная часть хрусталика почти сферическая, а по краям уплощается. Он состоит из слоев различной плотности, имеющих волокнистое строение. Наружный слой мягкий и почти студенистый; ядро же более твердое и вполне упругое. Показатель преломления наружного слоя хрусталика 1,405, средних слоев – около 1,429, ядра – 1,454. Благодаря такой структуре хрусталик способен обеспечивать требуемое качество изображения при значительном изменении его фокусного расстояния. Кольцевидная мышца, рефлекторно напрягаясь и расслабляясь, может менять кривизну его поверхностей, главным образом передней, в результате чего происходит изменение оптической силы глаза. Этим осуществляется аккомодация – непроизвольный акт, осуществляемый для получения на сетчатках глаз резких изображений предмета при изменении расстояния от него до глаз. Так как деформация хрусталика может происходить только в определенных пределах, то для всякого глаза существуют определенные границы, в пределах которых глаз может отчетливо видеть предметы. Эти границы определяют так называемую область аккомодации глаза. Наиболее далекая точка в пространстве предметов, резкое изображение которой получается на сетчатке глаза при отсутствии напряжения аккомодации, называется дальнейшей точкой ясного зрения [11]. Наиболее близкая точка в пространстве предметов, резкое изображение которой получается на сетчатке глаза при максимальном напряжении аккомодации, называется ближайшей точкой ясного зрения (рис. 6.2). Рис. 6.2. Дальнейшая R и ближайшая P точки ясного зрения глаза. H и H' – соответственно передняя и задняя главные точки глаза В ненапряженном состоянии нормальный глаз аккомодирован на 186 бесконечность и его задний фокус совпадает с сетчаткой. Таким образом, дальнейшая точка для нормального глаза находится в бесконечности. В возрасте до 10 лет ближайшая точка лежит на расстоянии 7…8 см от глаза. К 30 годам это расстояние увеличивается примерно до 15 см, к 40–50 годам – до 25 см. В случае нормального глаза наиболее удобным для чтения и письма при хорошем освещении ( 50 лк) является расстояние, называемое расстоянием наилучшего зрения. В офтальмологической оптике оно принимается равным 300…350 мм, в вычислительной оптике – 250 мм. При длительном наблюдении близких предметов глаз устает вследствие утомления кольцевой мышцы хрусталика. В связи с этим к оптическому наблюдательному прибору предъявляются следующие требования: • изображения предметов, создаваемые оптическими визуальными приборами, должны находиться перед глазом на расстоянии, не меньшем, чем расстояние до ближайшей точки; • в оптических приборах, предназначенных для длительных наблюдений, в целях обеспечения малой утомляемости глаза, изображения предметов должны лежать в бесконечности. Расстояние между ближайшей и дальнейшей точками ясного зрения глаза называется областью аккомодации. Разность APR между аметропией и максимальным напряжением аккомодации глаза называется объемом аккомодации: APR = AR − AP = 1000 1000 , − аR аP (6.1) здесь AR – аметропия, величина, обратная расстоянию (в метрах) от передней главной точки глаза до дальнейшей точки ясного зрения; AP – максимальное напряжение аккомодации глаза, величина, обратная расстоянию (в метрах) от передней главной точки глаза до ближайшей точки ясного зрения; aR – расстояние от передней главной точки глаза до дальнейшей точки ясного зрения (мм); aP – расстояние от передней главной точки глаза до ближайшей точки ясного зрения (мм). Сетчатка глаза имеет весьма сложное строение. Обычно в ней насчитывают десять слоев. Во внешнем слое, непосредственно 187 примыкающем к сосудистой оболочке, расположены клетки, окрашенные черным пигментом. Существование пигмента имеет большое значение для приспособления глаза к работе при различных уровнях освещенности, а также для уменьшения рассеяния света внутри глаза. Именно благодаря поглощению в пигментном эпителии внутренняя поверхность глазного яблока имеет очень малый коэффициент отражения (5…10 %). Остальная часть падающего света поглощается этим слоем. Однако вследствие того, что пигмент не является абсолютно черным телом, диффузно рассеянный свет попадает на неосвещенную поверхность глазного дна и вновь поглощается пигментным эпителием, создавая слабую вуаль. Перед пигментным слоем, примыкая к нему, находятся светочувствительные рецепторные клетки (фоторецепторы) – палочки и колбочки. В палочках и колбочках имеется особое вещество, разлагающееся под действием света, – зрительный пигмент. Зрительный пигмент, структурно-функциональная единица светочувствительной мембраны фоторецепторов сетчатки глаза – палочек и колбочек. В зрительном пигменте осуществляется первый этап зрительного восприятия – поглощение квантов видимого света, что приводит к возникновению зрительного рецепторного сигнала, который затем передаётся следующим нервным элементам сетчатки. Общая длина палочки 60…80 мкм, колбочки – около 35 мкм. Число колбочек в глазу достигает 7 миллионов, палочек – до 130 миллионов. Периферия сетчатки заполнена почти исключительно палочками. Число колбочек на единицу площади возрастает по мере приближения к желтому пятну, достигая максимума в его середине. Число колбочек на площади желтого пятна 13–15 тысяч. В его центральной части, в пределах круга радиусом примерно 0,2 мм, палочек нет, есть одни только колбочки. Число их здесь достигает 180 тысяч на квадратном миллиметре, так что среднее расстояние между центрами соседних колбочек составляет примерно 5 мкм. В том месте, где внутрь глаза входит глазной нерв, т. е. вокруг точки 7, на сетчатке нет ни палочек, ни колбочек. Это место называется слепым пятном. Его легко обнаружить, если закрыть левый глаз и смотреть правым на крестик (рис. 6.3). Если глаз приближать к рисунку, то с расстояния 15…17 см кружок становится невидимым. Это получается 188 тогда, когда изображение кружка попадает на слепое пятно. Рис. 6.3. Схема для обнаружения слепого пятна Палочки обладают значительно большей чувствительностью к свету, чем колбочки. Ночью и в сумерки (при освещенности меньше 0,01 лк) зрительное ощущение вызывается за счет раздражения одних только палочек. Зато колбочки способны различать цвета, а палочки этой способностью не обладают. Практически цветное зрение начинается с освещенности примерно 1 лк. При освещенности выше 100…1000 лк зрение осуществляется почти исключительно колбочками. Детали предмета различаются наиболее отчетливо, когда его изображение получается на желтом пятне и, в особенности, на центральной ямке сетчатки. Это так называемое фовеальное зрение, в отличие от периферического зрения, при котором изображение предмета получается вдали от центральной ямки. При периферическом зрении человек видит предметы значительно менее четко, различая в них мало деталей. Благодаря наличию на периферии в небольшом количестве колбочек, при периферическом зрении ощущение цветов имеет место, но только при условии, что яркость света достаточно велика, чтобы его воспринимали колбочки. 6.2. Оптическая система глаза Оптическая система глаза (рис. 6.4.) состоит из следующих элементов: • роговица; • передняя и задняя камеры с водянистой влагой; • хрусталик; • стекловидное тело; • сетчатка. Наиболее оптически сильным элементом ОС глаза является передняя поверхность роговицы. Это обусловлено тем, что она разделяет две среды с наибольшим скачком показателей преломления. Для анализа работы ОС глаза разработано несколько схематических моделей глаза. 189 Несколько модифицированная схема, применяющаяся в современной офтальмологии, называется моделью стандартного глаза. Систематические измерения привели к установлению средних значений всех параметров нормального глаза. Ниже приведены значения этих параметров, как они были определены Гульстрандом (табл. 6.1). 6.2.1. Модель эмметропического глаза Модель эмметропического глаза человека как оптического прибора (схематический глаз), параметры элементов которой соответствуют средним значениям величин реального глаза, показана на рис. 7.4. Рис. 6.4. Схематический глаз (при отсутствии напряжения аккомодации); n1 = 1, n 2 = 1.376 , n3 = 1.336 , n4 = 1.406 (показатель преломления ядра хрусталика), n5 = 1.336 ; 1 и 2 – поверхности роговицы; 3 и 4 – поверхности хрусталика; 5 – сетчатка Оптической осью схематического глаза считается прямая линия, проходящая через центры кривизны преломляющих поверхностей схематического глаза. Параметры схематического глаза по Гульстранду приведены в таблице 6.1. 6.2.2. Схематичный нормальный глаз по Гульстранду Все расстояния в таблице 6.1 (кроме фокусных расстояний) отсчитываются от передней поверхности роговицы. 190 Таблица 6.1 Параметры оптической системы глаза При При отсутствии максимальном напряжения напряжении аккомодации аккомодации Параметр Радиус передней поверхности роговицы 7,7 Радиус задней поверхности роговицы 6,8 Радиус передней поверхности хрусталика 10,000 5,330 Радиус задней поверхности хрусталика –6,000 –5,330 Расстояние до задней поверхности роговицы 0,5 Расстояние до передней поверхности хрусталика 3,6 Расстояние до задней поверхности хрусталика 3,2 7,2 Расстояние до передней главной точки 1,348 1,772 Расстояние до задней главной точки 1,602 2,086 Расстояние до передней узловой точки 7,078 6,533 Расстояние до задней узловой точки 7,332 6,847 Расстояние до переднего фокуса –15,707 -12,397 Расстояние до заднего фокуса 24 21,016 Расстояние до центральной ямки сетчатки 24 Расстояние до входного зрачка 3,047 2,668 Расстояние до выходного зрачка 3,667 3,212 Расстояние до ближней точки – –102,3 Увеличение в зрачках 0,909 0,941 Оптическая сила глаза в диоптриях 58,640 70,570 Переднее фокусное расстояние –17,055 –14,169 Заднее фокусное расстояние 22,785 18,930 Таблица 6.2 Матрица конструктивных параметров глаза Состояние глаза При отсутствии напряжения При максимальном напряжении аккомодации аккомодации nD nD d d r r 1 1 7,7 7,7 191 Продолжение таблицы 6.2. 0,5 1,376 6,8 0,5 1,376 2,7 1,336 4 1,406 16,8 1,336 6,8 3,1 1,336 10 5,33 3,6 1,406 –6 –5,33 16,8 1,336 6.2.3. Вклад роговицы в общую оптическую силу глаза Насколько важен вклад роговицы в общую оптическую силу глаза, можно рассчитать по формулам параксиальной оптики (рис. 6.5): Ф роговицы = n2 − n1 = r1 1.376 − 1 1000 = 48.83 дптр , 7.7 Фроговицы 48.83 = 100% = 83.17% . Фглаза 58.64 = Из полученного результата видно, что при аккомодации глаза Рис. 6.5. Вклад роговицы на бесконечность оптическая сила в оптическую силу глаза первой поверхности роговицы составляет примерно 83 % оптической силы глаза. 6.3. Поле зрения глаза Полем зрения глаза называется пространство, в пределах которого воспринимается совокупность точек при неподвижном глазе и неподвижной голове. Глаз имеет большое поле зрения, достигающее 125° по вертикали и 150° по горизонтали, но только лишь желтое пятно обеспечивает резкое изображение. Поле зрения, соответствующее желтому пятну, невелико. Оно составляет около 6° по горизонтальному направлению и около 4° по вертикальному. Поле зрения центральной ямки еще меньше – около 1,2° по горизонтали и вертикали. Благодаря большой подвижности глаза изображения наблюдаемых объектов быстро переводятся на область желтого пятна. В течение одной минуты глаз может отметить до 120 точек наблюдения, причем для фиксации 192 каждой из них требуется время 0,3 сек. Пространство, в пределах которого совокупность точек воспринимается подвижным глазом при неподвижной голове, называется полем обзора глаза. 6.4. Угловое разрешение глаза Угловое разрешение глаза – это наименьший угол, под которым глаз видит две точки раздельно; имеет разные значения по полю зрения, обусловленные размерами колбочек, диаметр которых примерно 5 мкм. Наивысшее разрешение, т. е. наименьшее значение , соответствует тому участку поля зрения, которое оптически сопряжено с желтым пятном, где концентрация колбочек на единице площади наибольшая. За счет этого в указанной зоне поля зрения нормальный глаз в среднем имеет угловое разрешение = 60 = 1 (бывает 20 − 30 ). Мозг реагирует на раздражение каждой колбочки. Когда изображения двух близких светящихся точек приходятся на одну и ту же колбочку, эти точки действуют как одна светящаяся точка. В этом случае разрешения не получается. Для разрешения необходимо, чтобы изображения этих двух точек приходились на разные колбочки. На периферии плотность распределения светочувствительных рецепторов – колбочек и палочек – меньше, а каждое волокно зрительного нерва соединено с группой этих рецепторов. Вот почему максимальную разрешающую способность глаз имеет при фовеальном зрении, когда изображение получается на центральной ямке сетчатки. Зрение же при помощи палочек предназначено не для повышения разрешающей способности глаза, а для увеличения его чувствительности в условиях работы при слабой освещенности. Для этого выгодно, как это и есть на самом деле, чтобы с каждым волокном зрительного нерва была соединена не одна палочка, а большая группа их. От этого усиливается сигнал, передаваемый по этому волокну. С изложенной точки зрения угловое разрешение глаза равно углу, под которым видно из задней узловой точки глаза среднее расстояние y между центрами двух соседних колбочек на y центральной ямке, т. е. = где f – переднее фокусное расстояние. f Подставив f 17.055 мм и y 5 мкм, получим 60 . 193 Величина V, обратная угловому разрешению глаза, называется остротой зрения: 1 V= . Обычно полагают, что в числителе стоит одна минута, а угловое разрешение измеряется также в минутах. Тогда острота зрения V будет безразмерной величиной. Нормальным считается V=1 , что соответствует угловому разрешению 1 . Острота зрения, в основном определяемая диаметром колбочек, зависит, кроме того, от многих факторов: • От контраста предметов. Под контрастом понимают способность глаза воспринимать различие в освещенности двух частей поля зрения, которые он может видеть одновременно или последовательно. • От освещенности в поле наблюдения. При наблюдении темных предметов на светлом фоне наибольшая острота зрения наблюдается в пределах освещенности от 50 до 200 лк, а при наблюдении светлых предметов на темном фоне – от 5 до 10 лк. • От диаметра DP входного зрачка глаза. С величиной DP связан диаметр дифракционного кружка рассеяния на сетчатке: = −2.44 f , DP где – длина волны света, f – переднее фокусное расстояние глаза. При DP 4.6 мм, = 0.55 мкм, f = −17.055 мм находим по формуле: 5 мкм. Следовательно, диаметр кружка рассеяния в этом случае равен диаметру колбочки. При увеличении диаметра зрачка глаза величина дифракционного кружка уменьшается, но острота зрения при этом не повышается, так как она лимитируется размером колбочек сетчатки. • От места изображения на сетчатке. При удалении от центральной ямки желтого пятна острота зрения падает очень резко. • От длины волны света. Максимальная разрешающая способность наблюдается при излучении с длиной волны = 0.55 мкм. • От дефектов зрения. Близорукость, дальнозоркость и астигматизм (особенно последний) существенно снижают остроту зрения. 194 6.5. Адаптация глаза Адаптацией глаза называют его приспособляемость к изменениям внешнего яркостного поля. Пределы изменения внешнего яркостного поля очень широкие. Прямые солнечные лучи создают освещен5 ности порядка 10 лк, а в полной темноте глаз способен отличать от –6 темноты предметы с освещенностью 10 лк. Глаз способен восприни–17 –5 мать световые потоки в интервале 10 …10 Вт. При повышении яркости происходит световая, а при понижении – темновая адаптация. Адаптация глаза осуществляется за счет действия двух разных механизмов: 1. Изменение диаметра зрачка глаза в пределах от 2 до 8 мм. Это изменение диаметра происходит помимо воли человека, благодаря работе мускульных волокон, заложенных в радужке. Площадь отверстия зрачка и пропускаемый им световой поток изменяются, таким образом, всего в 16 раз. Приводимая ниже таблица 6.3 дает представление о зависимости диаметра зрачка глаза от яркости поверхности, на которую он адаптирован. Таблица 6.3 Зависимость диаметра зрачка глаза от освещенности Яркость поля адаптации, кд/м2 10–5 Освещенность на сетчатке глаза, лк 2,2 × 10–6 Диаметр зрачка глаза, мм 8,2 Площадь зрачка глаза, мм2 52 10–3 2,0 × 10–4 7,8 48 –2 1,8 × 10 –3 7,4 43 1,5 × 10–2 6,7 5,7 4,3 3,0 2,3 2,2 35 25 15 7 4,2 4 10 10–1 1 10 102 103 2 × 104 10–1 0,6 3,0 17,6 109,5 При наблюдении в оптический прибор зрачок глаза совмещается с выходным зрачком прибора и, следовательно, для того чтобы изображение в глазу имело наибольшую освещенность, необходимо, чтобы выходной зрачок прибора был бы не больше, чем зрачок глаза. Так как 195 зрачок глаза, согласно таблице 6.3, зависит от светового режима работы, то, следовательно, выходные зрачки приборов должны быть различными в зависимости от условий из применения. Зрительные трубы, предназначенные для работы ночью, должны иметь выходные зрачки диаметром 7…8 мм. При дневных наблюдениях оптические приборы должны иметь выходные зрачки диаметром 3–4 мм. В микроскопах при наблюдении сильно освещенных предметов достаточны диаметры выходных зрачков порядка 1…2 мм. 2. Второй механизм адаптации связан с особенностями работы –7 2 зрительных рецепторов: при яркости от 10 до 1 кд/м работают глав5 ным образом палочки сетчатки, а при яркостях от 1 до 10 кд/м2 рабо3 2 тают в основном колбочки. При переходе от яркости порядка 10 кд/м к темноте чувствительность глаза возрастает в течение часа примерно в 10 миллионов раз. Сначала чувствительность возрастает очень быстро, затем ее рост замедляется и после часа пребывания в темноте уровень чувствительности почти не меняется. Изменение чувствительности к световому восприятию в столь широких пределах свойственно палочкам. Темновая же адаптация колбочек происходит значительно быстрее, чем палочек, но чувствительность колбочек возрастает при этом всего в 10–100 раз. Световая адаптация происходит значительно быстрее темновой. При средних яркостях она продолжается 1…3 минуты. В состоянии максимальной световой адаптации глаз может без вреда переносить сравнительно большие яркости (например, яркости белых матовых поверхностей, освещенных прямым солнечным светом). При больших и очень больших яркостях необходима искусственная защита (очки, фильтр). 6.6. Недостатки оптической системы глаза и их коррекция К основным недостаткам ОС глаза относят: • сокращение объема аккомодации; • аберрации ОС глаза, превышающие допустимые естественные. Сокращение объема аккомодации обусловлено несколькими факторами, основными из которых являются следующие: • спазм мышц аккомодации (цилиарного тела), который приводит к миопии (или близорукости); 196 возрастная потеря эластичности хрусталика. В результате глаз не способен аккомодироваться в основном на близлежащие предметы, что приводит к гиперметропии (или дальнозоркости). Глаз, задний фокус которого находится на сетчатке, называется эмметропическим. Глаз, задний фокус которого не находится на сетчатке, называется аметропическим. • 6.6.1. Миопия Аметропический глаз, задний фокус которого находится перед сетчаткой, называется миопическим глазом. Миопия проявляется как сокращение расстояния до дальнейшей точки ясного зрения с бесконечности до некоторой конечной величины. У миопического глаза дальнейшая точка ясного зрения R находится перед глазом (рис. 6.6). Рис. 6.6. Миопический (близорукий) глаз Для коррекции этого недостатка, очевидно, требуется установление перед глазом отрицательной линзы (рис. 6.7), задний фокус Fл которой совпадает с дальнейшей точкой ясного зрения R миопического глаза. Рис. 6.7. Исправление миопии Заднее фокусное расстояние линзы будет равно: f л = aR + d 197 (6.2) и тогда рефракция F' очковой линзы определится выражением: F'= 1000 1000 = . 1000 f л +d AR (6.3) 6.6.2. Гиперметропия Аметропический глаз, задний фокус которого находится позади сетчатки, называется гиперметропическим глазом. Дальнейшая точка ясного зрения R гиперметропического глаза мнимая и находится позади сетчатки (рис. 6.8). Рис. 6.8. Гиперметропический (дальнозоркий) глаз Для устранения этого недостатка зрения перед глазом устанавливают положительную линзу (рис. 6.9), задний фокус Fл которой совпадает с дальнейшей точкой ясного зрения R гиперметропического глаза. Рис. 6.9. Схема коррекции гиперметропии Заднее фокусное расстояние и рефракция очковой линзы определяются соответственно по формулам (6.2) и (6.3). 198 6.6.3. Компенсация аметропии глаза в оптическом визуальном приборе К оптическому прибору, обеспечивающему длительное наблюдение нормальным, близоруким и дальнозорким глазом, предъявляются следующие требования: • для нормального глаза из окуляра прибора должны выходить пучки параллельных лучей; • для близорукого – должны выходить пучки расходящихся лучей; • для дальнозоркого – должны выходить пучки сходящихся лучей. Эти требования выполняются, если окуляр прибора может передвигаться вдоль оптической оси. При этом компенсацию делают обычно для глаз от +5 диоптрий до –5 диоптрий. Рассмотрим перемещение окуляра для коррекции, например, миопического глаза (рис. 6.10). Пусть в оптический микроскоп, состоящий из объектива 1 и окуляра 2, рассматривают предмет A. На рис. 6.10, а показано положение окуляра для нормального глаза. Рис. 6.10. Компенсация миопии подвижкой окуляра При этом изображение A точки A , образуемое объективом 1, совпадает с передним фокусом FОк. окуляра 2 и, следовательно, изображение точки A окуляром лежит в бесконечности. Таким образом, гомоцентрический пучок лучей, исходящий из точки A, после окуляра преобразуется в пучок параллельных лучей. Если при таком положении 199 окуляра в этот прибор будет смотреть близорукий глаз, то пучок лучей глаза, а на сетчатке после хрусталика соберется в заднем фокусе Fгл. вместо точки будет пятно ' , вследствие чего точка A будет казаться расплывчатой (рис. 6.10,а). Передвинем теперь окуляр 2 влево на величину так (рис. 6.10,б), чтобы мнимое изображение A точки A , создаваемое микроскопом, совпало с дальнейшей точкой R близорукого глаза. Из рисунка получим следующие зависимости: z = − , z = aR − c . Используя формулу Ньютона 2 , z z = − fОК находим: 2 fОК = . aR − c Так как обычно c (6.4) aR , то величиной c в знаменателе можно прене- бречь и тогда из (6.4) с учетом формулы (6.1), получим: = 2 fОК AR . 1000 (6.5) При близорукости ( AR 0 , 0 ) окуляр движется влево. При дальнозоркости ( AR 0 , 0 ) окуляр движется вправо. 6.7. Глубина изображаемого пространства при наблюдении невооруженным глазом Глаз, аккомодированный на какую-нибудь плоскость в пространстве, одновременно одинаково отчетливо резко видит также и некоторые предметы, расположенные впереди или позади этой плоскости, без изменения аккомодации глаза. Расстояние между плоскостями Q1 и Q2 (рис. 6.11), между которыми расположены в пространстве предметы, одновременно резко видимые глазом без изменения аккомодации, называется глубиной изображаемого пространства. Наличие глубины изображаемого пространства объясняется особенностями физиологического строения глаза. Если оптическую систему глаза считать идеальной, то предметная точка на сетчатке глаза изображается в виде точки, т. е. центр гомоцентрического пучка лучей внутри глаза лежит на сетчатой оболочке. 200 Рис. 6.11. К определению глубины изображаемого пространства глаза: вх. зр. и вых. зр. – соответственно входной и выходной зрачки глаза; p – расстояние от входного зрачка глаза до плоскости предмета В действительности резкое восприятие точки не нарушается даже и в том случае, когда центр пучка лучей, падающего на сетчатку, не лежит на ней, но кружок рассеяния, образуемый этим пучком на сетчатке, не превышает размер фоторецептора. Вследствие этого наблюдатель всегда одновременно резко видит несколько различно удаленных предметов, если отдельные точки этих предметов дают свои изображения на сетчатке глаза в виде достаточно малых кружков рассеяния. Пусть глаз аккомодирован на плоскость Q, называемую плоскостью наводки (рис. 6.11) и сопряженную в данном случае с сетчаткой. Предположим, что плоскости Q1 и Q2 расположены так, что изображения точек этих плоскостей, получающиеся на сетчатке в виде кружков рассеяния, точно вписываются в соответствующие колбочки (то есть диаметр кружка рассеяния равен диаметру колбочки). Изображения точек плоскостей Q1 и Q2 являются расфокусированными (в виде кружков рассеяния), поскольку эти плоскости не сопряжены с сетчаткой глаза, но глаз видит резко изображения точек этих плоскостей. При таком выборе плоскости Q1 и Q2 являются границами глубины изображаемого пространства и называются соответственно передним и задним планами. Расстояние t1 называется передней глубиной, а t2 задней глубиной. Числовое значение этих величин зависит от удаления p плоскости наводки от глаза и диаметра зрачка глаза. Для установления этой зависимости рассмотрим рис. 6.12. Пусть N и N – узловые плоскости глаза, ab – фоторецептор (колбочка), – угол, под которым из задней узловой точки N видна колбочка ab , равный угловому разрешению 201 глаза, ab – изображение колбочки ab в обратном ходе в плоскости наводки P . Рис. 6.12. К выводу формул, определяющих положение переднего и заднего плана глубины изображаемого пространства Согласно свойствам узловых точек, угол, под которым из передней узловой точки N видно изображение колбочки ab , также равен , следовательно: ab = −( p − N ) . (6.6-1) Расстояние N 0 от входного зрачка глаза до передней узловой точки имеет величину около 4 мм. При достаточно большом расстоянии от входного зрачка глаза до плоскости наводки (много большем f ) величиной N по сравфокусного расстояния глаза, то есть p нению с расстоянием p можно пренебречь, то есть положить N = 0 . Тогда выражение (6.6-1) примет вид: ab − p . (6.6-2) Проведем из точки b луч bd , проходящий через верхний край входного зрачка глаза. Продолжение луча bd влево пересечет оптическую ось в точке A2 . После преломления оптической системой глаза луч bd пересечет оптическую ось в точке A2 и пройдет через нижний край b колбочки. Очевидно, точки A2 и A2 сопряжены, так как лежат на оптической оси и на одном луче. И пучок лучей, вышедший из точки A2 , точно вписывается в колбочку ab по построению. Проведем из точки b луч be , проходящий через нижний край 202 входного зрачка глаза. Этот луч пересечет оптическую ось в точке A1 . После прохождения через оптическую систему глаза луч be пересечет оптическую ось в точке A1 и пройдет через нижний край b колбочки. Точки A1 и A1 сопряжены, так как лежат на оптической оси и на одном луче. Пучок лучей, вышедший из точки A1 , точно вписывается в колбочку ab по построению. Аналогично строится ход лучей из точки a . Все описанные построения показаны на рис. 6.12. Обозначим: D – диаметр входного зрачка глаза, тогда из подобия треугольников A1de и A1ab , A2ab и A2de получим: D p , =− p2 p2 − p (6.7) D p . = p1 p1 − p (6.8) Решая уравнения (6.7)–(6.8) относительно p1 и p2, получим: p1 = pD , D − p (6.9) p2 = pD . D + p (6.10) Далее из рис. 6.12 находим: t1 = − p + p1 , t2 = − p + p2 . (6.11) (6.12) Принимая во внимание формулы (6.9)–(6.10), получим: p2 , t1 = D − p (6.13) p2 . t2 = − D + p (6.14) Формулы (6.9)–(6.10) и (6.13)–(6.14) позволяют определить глубину изображаемого пространства глаза при любом расстоянии до плоскости наводки. 203 Положим теперь, что глаз аккомодирован на бесконечность, следовательно, p = − . Расстояние до переднего плана при этом обозначим через p1 , а до заднего – через p2 . Тогда согласно формулам (6.9)–(6.10) получим: D p1 = − p2 = + D , (6.15) . (6.16) Расстояние p1 можно назвать расстоянием до “начала бесконечности”; это означает, что все предметы, удаленные от глаза на расстояние, не меньшее чем p1 , воспринимаются в данном случае глазом также резко, как и предметы, бесконечно удаленные. Таким образом, расстояние p1 , определяемое формулой (6.15), для данного глаза можно считать практически бесконечно большим. Величина p2 имеет аналогичное значение, но для мнимых предметов, так как p2 в формуле (6.16) имеет положительное значение. Считая, что угловое разрешение глаза = 1 получим следующие значения p1 для зрачков глаза различных диаметров: Таблица 6.4 Зависимость расстояния до начала бесконечности от диаметра зрачка D мм p1 , м 2 3 4 –6,67 –10,00 –13,33 В приведенных выше формулах на практике иногда полагают = 2 3 . 204 6.8. Стереоскопическое зрение. При наблюдении одним глазом наблюдатель может различить разноудаленность объектов, если они ему знакомы заранее. Например, человек, кажущийся меньше другого, находится дальше. Если же наблюдаемые предметы не знакомы заранее, то сказать, который из них дальше, при наблюдении одним глазом затруднительно. Оценка разноудаленности предметов значительно облегчается при наблюдении двумя глазами. У человека поля зрения обоих глаз практически совпадают. Вследствие этого оба глаза человека видят одновременно одни и те же предметы внешнего мира, как будто один глаз дублирует функции другого. Но именно это устройство привело к зарождению у человека особой и очень ценной способности: чувствовать глубину воспринимаемого зрением пространства. Способность человека на основании непосредственного зрительного ощущения оценивать расстояния до различных предметов называется пространственным зрением или стереоскопическим эффектом. Причина возникновения стереоэффекта заключается в ощущении наблюдателем неравенства двух изображений одного и того же предмета на сетчатках двух глаз человека, вызываемого несовпадением центров перспективы этих изображений (у глаза центром перспективы является узловая точка). Зрение двумя глазами, при котором воспринимается единый зрительный образ, называется бинокулярным зрением. Необходимым условием для фузии (слияния изображений на сетчатках обоих глаз в единый зрительный образ) является конвергенция – поворот зрительных осей обоих глаз при фиксации предмета, расположенного на конечном расстоянии. Точкой фиксации глаза называют точку в пространстве предметов, на которую направлен взгляд наблюдателя. При этом изображение предмета в каждом из глаз попадает на центральное углубление в желтом пятне и, как подтверждает опыт, наблюдатель в этом случае видит один предмет. Если наблюдаемая точка расположена на близком расстоянии от глаз, то оба глаза должны повернуться в своих орбитах так, чтобы зрительные оси пересеклись на рассматриваемой точке. При этом изображение точки также попадает на центральное углубление сетчатки каждого глаза, и наблюдатель видит точку без двоения. Если надавить на глаз, то изображение 205 на сетчатке этого глаза сместится из центральной ямки и возникнет ощущение раздвоения точки. Рассмотрим основные свойства зрения двумя глазами, которые необходимо учитывать при конструировании оптических приборов. Пусть A – точка фиксации глаза (рис. 6.13). Рис. 6.13. Наблюдение точки A , находящейся на конечном расстоянии При фиксации глаза одновременно происходят два процесса: • глаза поворачиваются так, что зрительные оси пересекаются в точке A , а изображение этой точки образуется в центральной ямке сетчатки; • работают кольцевые мышцы хрусталиков глаз, обеспечивающие соответствующую аккомодацию. Другими словами, при рассматривании предметов невооруженным глазом аккомодация и конвергенция производятся на одно расстояние. Угол между зрительными осями глаз при фиксации предмета, находящегося на конечном расстоянии, называют углом конвергенции глаза. Изменение угла конвергенции тесно связано с изменением 206 аккомодации: чем больше угол конвергенции, тем больше аккомодация. Максимальный угол конвергенции равен примерно 320. Если рассматриваемый предмет находится в бесконечности, то оси глаз параллельны ( = 0 ) и аккомодация также равна нулю. Отсюда вытекают требования к конструкции бинокулярных приборов: • если оси окуляров бинокулярного прибора составляют между собой угол , то из окуляров этого прибора должны выходить расходящиеся пучки лучей, соответствующие аккомодации глаз при этом угле конвергенции. Примером такого прибора служит бинокулярный микроскоп Грену; • если оси окуляров бинокулярного прибора параллельны, то из окуляров должны выходить пучки параллельных лучей. Примером такого прибора является бинокль. Рассмотрим теперь наблюдение двумя глазами точек A и C (рис. 6.14), причем не обязательно, чтобы глаза были фиксированы на одной из этих точек. Расстояния между изображениями этих точек в левом глазу sЛ и в правом глазу sП различны. Если наблюдатель это чувствует, то он чувствует и разноудаленность точек A и C или, как говорят, наблюдатель видит пространство стереоскопично. Обозначим углы при точках A и C , называемые углами параллакса, как A и C . Если глаза фиксированы, например, на точке A , то угол параллакса A равен углу конвергенции . Если точки A и C принадлежат одному предмету, то изменение угла параллакса при переходе от одной точки предмета к другой послужит мерой воспринимаемой глазом рельефности этого предмета. Поэтому величина = A − C называется мерой пластики. Чем дальше находится предметная точка, тем меньше угол параллакса. Разность значений s = sЛ − sП , очевидно, пропорциональна разности углов параллакса . Опытным путем установлено, что средний наблюдатель чувствует разноудаленность точек A и C , если 10 . Это значение = 10 называется порогом стереоскопического восприятия. Расстояние между центрами вращения глазных 207 яблок называется базой и обозначается буквой b . Расстояние между центрами зрачков глаз при зрении вдаль называется межзрачковым расстоянием для дали и обозначается pF . При больших значениях расстояния R до точки предмета можно приближенно считать, что pF b . Рис. 6.14. Наблюдение двумя глазами точек A и C . Z - оптический центр вращения глаза У разных людей глазная база колеблется в пределах примерно от 50 до 74 мм. Наиболее вероятное значение глазной базы b = 63 мм. Определим расстояние, в пределах которого наблюдается стереоскопический эффект. Если удаление R наблюдаемой точки от глаз достаточно велико по сравнению с базой b , то приближенно можно записать: 208 b . (6.17) R Представим себе, что некоторая точка А находится на таком расстоянии RMAX от наблюдателя, что угол параллакса А равен 10 . Для = любой точки С, расположенной на расстоянии R RMAX от наблюдателя, угол параллакса C будет меньше 10 . Очевидно, что в этом случае = A − C 10 и наблюдатель не будет в состоянии отличить разноудаленность точек А и С. Такое расстояние RMAX называется радиусом стереоскопического зрения. Полагая в формуле (6.17) = 10 = 0.5 10−4 рад , b = 63 мм, находим: RMAX = b = 1260 м 1.3 км . Дифференцируя формулу (6.17), находим: b R R 2 = или . R = R2 b (6.18) (6.19) Полагая в формуле (6.19) = 10 , найдем значение расстояния R между предметами, меньше которого стереоэффект не наблюдается. 6.9. Спектральная чувствительность глаза Чувствительность глаза к излучениям различных длин волн определяется выражением = Ф , Wэ (6.20) где Ф – световой поток в люменах, Wэ – энергетическая мощность излучения в ваттах. Наиболее чувствителен глаз к желто-зеленому монохроматическому излучению = 555 нм (колбочковое зрение). Причем энергетическая мощность излучения, равная 1 Вт, вызывает световое ощущение, соответствующее световому потоку, равному 680 лм, то есть в этом случае (при = 555 нм ) спектральная чувствительность равна 0 = 680 . лм/Вт. (6.21) При яркостях 0.003 кд/м2 (палочковое зрение) максимум чувствительности приходится на длину волны = 510 нм , то есть находится в 209 сине-голубой части спектра. Весьма важной оптической характеристикой глаза является относительная спектральная чувствительность (6.22) K = . 0 Тогда спектральная чувствительность глаза для любого монохроматического излучения будет равна = 0 K = 680 K лм/Вт. (6.23) Кривая спектральной чувствительности глаза K среднего нормального глаза при дневном зрении, утвержденная Международной осветительной комиссией, приведена на рисунке 6.15 (кривая 1). При сумеречном зрении, когда работает только палочковый аппарат, кривая спектральной чувствительности сохраняет свой общий вид, но смещается в сторону коротких волн с максимумом на длине волны = 510 нм (кривая 2). При этом область максимальной чувствительности сетчатки смещается на 10 − 20 в сторону от центральной ямки. 0 0 Рис. 6.15. Кривая спектральной чувствительности глаза: 1 – при дневном освещении, 2 – в сумерках Еще в 1825 году Пуркинье наблюдал, что излучения различного цвета, воспринимаемые глазом как одинаково яркие, меняют свою видимую яркость не одинаково, если их ослаблять в одно и то же количество раз. Видимая яркость излучений с большей длиной волны уменьшается быстрее, чем с более короткой длиной волны. Если ограничить 0 поле зрения до 1.5 и сконцентрировать сравниваемые излучения в пределах центральной ямки, то свет будет восприниматься только колбочками. Исследования показали, что в этом случае явление Пуркинье не наблюдается. Все это хорошо согласуется с двойным механизмом 210 восприятия света: посредством колбочек и посредством палочек, которым соответствуют различные кривые видности. Если, например, взять два листка бумаги, скажем, красный и синий, то в полутьме синий будет казаться ярче красного, хотя при хорошем освещении красный листок гораздо ярче синего. Область, доступная зрительному восприятию, не обрывается резко на длинах волн 400 и 760 нм. При = 400 нм спектральная чувствительность K примерно в 2500 раз, а при = 760 нм – в 20000 раз меньше, чем в максимуме. В условиях темновой адаптации глаз может видеть в очень слабой степени интенсивные инфракрасные лучи с длинами волн до 950 нм, а ультрафиолетовые – до 300 нм. Границы видимой области, а также сама форма кривой спектральной чувствительности человеческого глаза не случайны. Глаз сформировался в процессе длительной эволюции, приспособившись к условиям освещения земных предметов солнечным светом, а также к условиям сумеречного и ночного освещения. На эту мысль наводит уже и то обстоятельство, что на видимую область спектра приходится более 40 % энергии излучения солнца, хотя она и занимает интервал менее одной октавы. Далее, солнечный спектр вблизи поверхности Земли практически обрывается на длине волны 290 нм. Более короткие волны задерживаются слоем озона в атмосфере. Было бы биологически нецелесообразно, если бы глаз обладал способностью принимать излучение с длинами волн короче 290 нм. Более того, глаз должен защищать себя от ультрафиолетовых (УФ) лучей. Они в большинстве случаев химически разлагают органические вещества и могут убивать живые микроорганизмы и клетки. Особенно вредно попадание УФ лучей на сетчатку глаза. Чувствительность сетчатки к ультрафиолету довольно велика и, как показал С.И. Вавилов, имеет резкий максимум при = 380 нм. Однако от длинноволновых УФ лучей ( 290 400 нм), пропускаемых земной атмосферой, глаз защищен собственными средствами. Такие лучи сильно поглощаются внутри глаза, особенно в хрусталике, и лишь ничтожная доля их доходит до сетчатки. С этим и связан сильный спад кривой чувствительности глаза на границе в области ультрафиолета. Высокая чувствительность к инфракрасному (ИК) излучению, если бы глаз обладал таковой, была бы не только нецелесообразна, но и сделала бы невозможной работу глаза в условиях солнечного освещения. Причина этого – в тепловом излучении глаза. Простые расчеты показывают, что мощность прямого солнечного излучения, попадающего через зрачок глаза, примерно в сто раз меньше мощности собственного теплового излучения глаза. Если бы чувствительность глаза в ИК 211 области спектра была столь же велика, что и желто-зеленой, то собственное тепловое ИК излучение глаза затмило бы не только рассеянное излучение неба, но и прямой солнечный свет. Работа глаза как органа зрения стала бы абсолютно невозможной. В этом, по мнению С.И. Вавилова, одна из причин, почему у человека нет ИК зрения. Другая причина заключается в малости энергии ИК квантов света. Процесс зрения должен начинаться либо химическими, либо фотоэлектрическими действиями, а они вызываются отдельными квантами света и не могут происходить, если энергия кванта меньше некоторого минимального предела. 212 7. ОГРАНИЧЕНИЕ ПУЧКОВ ЛУЧЕЙ В ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ 7.1. Апертурная диафрагма Рассмотрим оптическую систему и две сопряженные осевые точки A и A , расположенные соответственно в пространстве предметов и пространстве изображений (рис. 7.1). Рис. 7.1. Апертурная диафрагма Из всего пучка лучей, исходящих из точки A , только центральная часть лучей достигает точки изображения A ; остальные будут обрезаны либо краями оправ линз, либо краями других диафрагм оптической системы. Среди всех диафрагм есть такая, которая максимальным образом ограничивает размеры пучка лучей, выходящих из осевой точки предмета, и таким образом определяет конус лучей, проходящих через систему. Именно эту, фактически действующую диафрагму, называют апертурной диафрагмой. На рис. 7.1, а роль апертурной диафрагмы выполняет первая линза, на рис. 7.1, б вторая линза обрезает часть света, проходящего 213 через первую линзу, и таким образом действует как апертурная диафрагма. На рис. 7.2 показаны два примера, когда предмет расположен в бесконечности; в обоих случаях лучи проходят так, что апертурной диафрагмой является линза большего диаметра. Рис. 7.2. Апертурная диафрагма Параксиальное изображение апертурной диафрагмы (действительное или мнимое) в пространстве предметов (или апертурная диафрагма, расположенная в пространстве предметов) называется входным зрачком. Если апертурная диафрагма находится внутри оптической системы, то ее изображение строится в обратном ходе через все линзы, которые лежат между апертурной диафрагмой и предметом. Диафрагма, расположенная перед оптической системой, может оказаться апертурной, а значит, одновременно и материальным входным зрачком. Параксиальное изображение апертурной диафрагмы в 214 пространстве изображений (или апертурная диафрагма, расположенная в пространстве изображений) называется выходным зрачком. Изображение строится через все линзы, расположенные между апертурной диафрагмой и изображением предмета (рис. 7.3). Входной, выходной зрачки и апертурная диафрагма по определению сопряжены между собой. Рис. 7.3 Апертурная диафрагма и зрачки в микроскопе Апертурным углом A в пространстве предметов называют угол между оптической осью и лучом, выходящим из осевой точки A предмета и проходящим через край входного зрачка (рис. 7.4). Апертурным углом A в пространстве изображений называют угол между оптической осью и лучом, проходящим через край выходного зрачка и осевую точку A изображения. Главным лучом называют луч, проходящий через внеосевую точку предмета и центр входного зрачка (рис. 7.4). В визуальных оптических системах, действующих совместно с глазом, зрачок глаза так же является диафрагмой, размер и положение которой учитывают при проектировании прибора. Как правило, в оптических визуальных приборах входной зрачок глаза совмещают с выходным зрачком прибора. Апертурная диафрагма (А.Д.) может быть расположена перед оптической системой (ОС), внутри нее или за нею. Например, в зрительной трубе Кеплера апертурной диафрагмой является оправа объектива, в фотоаппаратах и проекционных объективах апертурная диафрагма, как правило, находится внутри системы, в 215 микроскопах – иногда после объектива, либо оправа объектива является апертурной диафрагмой. Рис. 7.4. Апертурные углы A и A А.Д. – апертурная диафрагма; вх. зр. – входной зрачок; вых. зр. – выходной зрачок Если апертурная диафрагма установлена в передней или задней фокальной плоскости, то главные лучи соответственно в пространстве изображений и предметов проходят параллельно оптической оси. Такие объективы называют объективами с телецентрическим ходом главного луча. Телецентрический ход главного луча используется в измерительных микроскопах для исключения влияния неточности фокусировки на правильность результатов. 5. Апертурная диафрагма находится в передней фокальной плоскости. Предположим, что перед нами поставлена задача – точно измерить расстояние AB между изображениями двух точек предмета AB , находящегося перед объективом на фиксированном расстоянии s = const . Допустим сначала, что А.Д. расположена в произвольном месте (рис. 7.5). Расстояние AB будет замерено точно лишь тогда, когда шкала со штрихами будет находиться в плоскости Q , сопряженной с плоскостью предмета Q . Однако, вследствие глубины изображения наблюдатель может видеть одновременно достаточно отчетливо изображения точек A , B и штрихов шкалы даже тогда, когда плоскость шкалы не совпадает с плоскостью Q , а находится близко к ней, например, в плоскости 216 Q . В этом случае расстояние AB , отсчитанное по шкале, будет отличаться от расстояния AB , полученного при точной фокусировке. Рис. 7.5. Произвольное положение А.Д В некоторых случаях, когда измерять изображения необходимо с большой точностью, такая погрешность может оказаться недопустимой. Указанный недостаток можно устранить, если А.Д. поместить в передней фокальной плоскости прибора (рис. 7.6). Тогда главные лучи, идущие от предметных точек в центр входного зрачка, пройдут через передний фокус объектива и выйдут из них параллельно оптической оси; изображения обеих точек будут лежать на главных лучах. Рис. 7.6. Апертурная диафрагма в передней фокальной плоскости Теперь расстояние между изображениями, отсчитанное по шкале, 217 не зависит от положения этой шкалы (в пределах глубины резкости), так как расстояния между центрами кружков рассеяния в различных плоскостях одинаковы и, следовательно, AB = AB . Такое расположение А.Д. значительно облегчает установку измерительного прибора, так как небольшие ошибки установки шкалы в плоскости изображения не влияют на результат измерения. Такая установка диафрагм особенно желательна в системах с большой кривизной поля изображения. 6. Апертурная находится диафрагма в задней фокальной плоскости. Предположим, что требуется измерить расстояние между двумя изображениями точек A и B (т. е. величину отрезка AB ) по шкале, установленной на постоянном расстоянии s ' от объектива (рис. 7.7). Рис. 7.7. Произвольное положение апертурной диафрагмы В этом случае установка на резкое одновременное видение предмета AB и шкалы производится путем перемещения предмета или всей оптической системы (например, микроскопа). Если А.Д. расположена в произвольном месте, то результат отсчета будет зависеть от точности фокусировки (рис. 7.7). Если предмет находится в положении AB , то изображение имеет величину AB ; если предмет находится в положении A1B1 , то изображение будет иметь величину A1 B1 в своей плоскости изображения и A1B1 в плоскости изображения предмета AB (положения AB и A1B1 должны, естественно, находится в пределах глубины изображаемого пространства). 218 Этого можно избежать, если апертурную диафрагму поместить в задней фокальной плоскости; тогда входной зрачок будет лежать в бесконечности и, следовательно, главные лучи, идущие от предметных точек перед объективом, будут параллельны оптической оси (рис. 7.8). Рис. 7.8. Апертурная диафрагма расположена в задней фокальной плоскости Если система сфокусирована точно, то изображения точек A и B лежат в плоскости шкалы. Если же предмет переместился из положения AB в положение A1B1 , то изображения A1 и B1 будут лежать перед плоскостью шкалы; в плоскости же шкалы вместо точек будут малые кружки рассеяния, центры которых A1 и B1 будут совпадать соответственно с точками A и B . Очевидно, если в этом случае произвести отсчет расстояния между центрами этих кружков, то результат измерения будет тот же самый, что и при точной настройке. Таким образом, при расположении апертурной диафрагмы в задней фокальной плоскости небольшие погрешности фокусировки не влияют на точность получаемых результатов измерения; во всяком случае, результаты получаются точнее, чем при любом другом расположении диафрагмы. Расположение апертурной диафрагмы в задней фокальной плоскости объектива является обязательным для всех измерительных микроскопов. 7.2. Полевая диафрагма Наибольший размер изображаемой части плоскости предмета, расположенной на конечном расстоянии, называется линейным полем 219 оптической системы в пространстве предметов. Обозначается – 2y (рис. 7.9). Наибольший размер изображения, лежащего на конечном расстоянии, называется линейным полем оптической системы в пространстве изображений. Обозначается – 2y . Рис. 7.9. Полевая диафрагма и зрачки оптической системы Диафрагма, расположенная в плоскости предмета или в одной из плоскостей, с ней сопряженных, и ограничивающая линейное поле оптической системы в пространстве изображений, называется полевой диафрагмой (рис. 7.9). Абсолютное значение удвоенного угла между оптической осью и лучом в пространстве предметов, проходящим через центр входного зрачка и край полевой диафрагмы, расположенной в плоскости предмета (или край ее изображения в плоскости предмета, если полевая диафрагма расположена в одной из сопряженных с ней плоскостей), называется угловым полем оптической системы в пространстве предметов. Обозначается – 2 . Абсолютное значение удвоенного угла между оптической осью и лучом в пространстве изображений, проходящим через центр выходного зрачка и край полевой диафрагмы, расположенной в плоскости изображения (или край ее изображения в плоскости изображения, если полевая диафрагма расположена в одной из сопряженных с ней плоскостей), называется угловым полем оптической системы в пространстве изображений. Обозначается – 2 . 220 Общее правило определения полевой диафрагмы и зрачков системы: • строим параксиальные изображения всех диафрагм оптической системы в пространстве предметов; • если система телескопическая, то изображение (или диафрагма в пространстве предметов), которое (которая) имеет наименьший диаметр, является входным зрачком (апертурной диафрагмой); • если система не телескопическая, то изображение (или диафрагма в пространстве предметов), которое (которая) из осевой точки предмета видно (видна) под наименьшим углом, является входным зрачком (апертурной диафрагмой); • материальная диафрагма, сопряженная с входным зрачком, будет являться апертурной диафрагмой, а ее изображение в пространстве изображений – выходным зрачком; • материальная диафрагма, изображение которой в пространстве предметов совпадает с плоскостью предмета (или диафрагма, расположенная в плоскости предмета) и видимое из центра входного зрачка под наименьшим углом (если таких изображений несколько), является полевой диафрагмой и определяет линейное поле оптической системы в пространстве предметов. Если в оптической системе нет диафрагмы, сопряженной с плоскостью предмета или расположенной в плоскости предмета, то это означает, что в оптической системе отсутствует полевая диафрагма. В этом случае то изображение (или диафрагма в пространстве предметов), которое (которая) из центра входного зрачка видно (видна) под наименьшим углом, будет ограничивать поле системы, т. е. выполнять функцию полевой диафрагмы. Изображения всех диафрагм можно построить в пространстве изображений или вообще в любом пространстве промежуточных изображений, но тогда в том же пространстве нужно найти изображение предмета и в том же пространстве определять полевую диафрагму и зрачки по приведенным выше правилам. Лучи, выходящие из точки предмета, равномерно освещают входной зрачок, а, следовательно, и выходной зрачок (разумеется, если световые диаметры линз рассчитаны так, что пучки лучей от края поля зрения не экранируются на оправах линз) (рис. 7.9). 221 Примечание. До выхода в свет ГОСТ 7427-76 существовали понятия люков. Согласно общему правилу, входным люком являлось то изображение диафрагмы в пространстве предметов, которое было видно из осевой точки входного зрачка под наименьшим углом. Материальная диафрагма, сопряженная с входным люком, представляла собой полевую диафрагму. Изображение полевой диафрагмы в пространстве изображений называлось выходным люком. Входной люк мог не совпадать с плоскостью предмета, в этом случае он еще ограничивал пучки лучей, то есть являлся виньетирующей диафрагмой. Если входной люк совпадал с плоскостью предмета, то его диаметр (или наибольший размер) был равен линейному полю оптической системы в пространстве предметов. 7.3. Виньетирующая диафрагма Любая диафрагма, кроме апертурной и полевой, которая ограничивает пучки лучей, выходящих из точек предмета, лежащих вне оптической оси, называется виньетирующей диафрагмой. Параксиальное изображение виньетирующей диафрагмы в пространстве предметов (изображений) называется входным (выходным) окном. Рассмотрим в качестве примера объектив, строящий изображение предмета, расположенного в бесконечности, в задней фокальной плоскости (см. рис. 7.10). В системе две диафрагмы: Q1 – оправа объектива; слева от плоскости изображения расположена диафрагма Q2. Рис. 7.10. Зрачки и окна системы: В.Д. – виньетирующая диафрагма; Вых. ок. – выходное окно Согласно общему правилу определения диафрагм, Q1 является апертурной диафрагмой, поскольку видна из осевой точки изображения F под меньшим углом, чем Q2. Она же является входным и 222 выходным зрачком одновременно, поскольку в тонком приближении ее параксиальные изображения в пространстве предметов и изображений совпадают с ней самой. Полевая диафрагма в системе отсутствует, поскольку нет ни одной диафрагмы (или ее изображения), совпадающей с плоскостью изображения. Диафрагма Q2 является виньетирующей диафрагмой, поскольку при угловом поле системы в пространстве предметов больше 2 пучки лучей начинают на ней виньетироваться (рис. 7.11), а при угловом поле, больше или равном 22, пучки лучей виньетируются на ней полностью. То есть, освещенность в плоскости изображения меняется от 100 % в точке A при угловом поле 2 (рис. 7.10) до 50 % в точке B при угловом поле 21 и далее до 0 % в точке C при угловом поле 22. Рис. 7.11. Виньетирование в оптической системе Поскольку диафрагма Q2 находится в пространстве изображений, она же является и выходным окном. Входное окно по определению – это изображение диафрагмы Q2, которое строится в пространстве предметов в обратном ходе через объектив (рис. 7.12). Кроме того, что диафрагма Q2 является виньетирующей, она еще ограничивает угловое поле объектива, т. е. является по совместительству и полевой диафрагмой. Виньетирование в оптической системе характеризуется коэффициентом виньетирования k, который рассчитывается по формуле k = S , S0 где S – площадь действующего отверстия входного зрачка при 223 угловом поле оптической системы, равном 2; S0 – площадь входного зрачка. Обычно в оптических системах k меньше единицы, в визуальных оптических приборах считается допустимым виньетирование, равное 50 %. Рис. 7.12. Построение входного окна (Вх. ок.) в оптической системе: 1 и 2 – вспомогательные лучи Рассчитать коэффициент виньетирования можно с помощью графических построений. Для приведенного выше примера (рис. 7.12) это целесообразно сделать в обратном ходе (рис. 7.13). Рис. 7.13. Схема определения коэффициента виньетирования На рис. 7.13 круг 1 – это входной зрачок системы, круг 2 – область на плоскости входного зрачка, освещаемая наклонным световым пучком, который вышел из точки D и прошел через виньетирующую 224 диафрагму (В.Д.). Как видно из рис. 7.13, центр круга 2 смещен относительно центра круга 1, поэтому через входной зрачок пройдет только часть наклонного пучка, вышедшего из точки D . Та часть входного зрачка, которая освещена наклонным световым пучком (на рис. 7.13 она залита серым цветом), и будет являться действующим отверстием входного зрачка при угловом поле оптической системы, равном 23. В большинстве оптических систем пучки лучей от внеосевых точек предмета виньетируются на первой и последней поверхностях. Рассмотрим в качестве примера оптическую систему, состоящую из k поверхностей (рис. 7.14). Рис.7.14. Проекция диафрагм на плоскость входного зрачка Построим в пространстве предметов изображения всех оправ и диафрагм и, пользуясь общим правилом, определим входной зрачок системы. Будем считать, что полевая диафрагма системы находится в одной из сопряженных с предметом плоскостей. На рис. 7.14 диафрагма k – это изображение оправы последней поверхности, 1 – оправа первой поверхности. Определим виньетирующее действие отмеченных диафрагм. Эта процедура необходима на стадии габаритного расчета для определения правильности расположения диафрагм и корректировки их положения и размера. Из точки предмета P проводим конус лучей на каждую диафрагму (в меридиональном сечении это два луча, проходящие через края 225 диафрагмы) и один луч, проходящий через центр диафрагмы. Основанием конической поверхности, на которой лежат лучи, является диафрагма. Линией пересечения этих конических пучков лучей с плоскостью входного зрачка будет окружность. На рис. 7.14 справа: k –линия пересечения (окружность) конического пучка, прошедшего через диафрагму k с плоскостью входного зрачка; 1 – линия пересечения (окружность) конического пучка, прошедшего через диафрагму 1, с плоскостью входного зрачка; Вх. зр (окружность с центром на оси) – входной зрачок системы. Центрами окружностей 1 и k являются точки пересечения лучей, проходящих через центры соответствующих диафрагм, с плоскостью входного зрачка. Пучок лучей, прошедший через систему диафрагм, будет представлять собой конус лучей, выходящих из точки предмета Р и опирающийся на общую часть кругов. Эта часть на рис. 7.14 залита серым цветом и является действующим отверстием входного зрачка для углового поля 2. Такое же построение можно выполнить и в пространстве изображений, причем в этом случае в качестве вершины конуса выбирается точка гауссова изображения. Эффект виньетирования можно уменьшить, если увеличить диаметры первой и последней поверхности. Желательно, чтобы в оптической системе главный луч оставался центральным лучом ограниченного пучка лучей даже для внеосевых точек. Это существенно для качества изображения. Точный расчет виньетирования производится на основе расчета большого количества лучей через систему с учетом всех расположенных в ней диафрагм. 226 8. ФОТООБЪЕКТИВ Фотографическим объективом называют оптическую систему, предназначенную для получения действительного изображения предметов на поверхности фотоприемников. 8.1. Диафрагмы фотообъектива Фотообъективы с хорошей разрешающей способностью представляют собой, как правило, сложные оптические системы. На рис. 8.1 в тонком приближении представлена оптическая схема фотообъектива, состоящая из двух компонентов – Q1 и Q2, между которыми находится диафрагма переменного диаметра Q3, которая уже на стадии проектирования закладывается как апертурная диафрагма. Компоненты Q1 и Q2 могут быть многолинзовыми системами. Построим изображения всех оправ (оправ компонентов Q1, Q2 и диафрагмы Q3 – всего трех диафрагм) в пространстве изображений. Рис. 8.1. Фотообъектив Пусть F2 – фокус системы Q2 . Чтобы построить изображение точки B (края диафрагмы Q3 ), проведем два вспомогательных луча: один параллельно оптической оси, другой через совмещенные главные точки системы Q2 ; пересечение преломленных системой Q2 лучей даст точку 227 B – изображение точки B системой Q2 . Получим прямое увеличенное мнимое изображение диафрагмы Q3 . Для построения изображения точки A (края оправы системы Q1 ) системой Q2 проведем два вспомогательных луча: один параллельно оптической оси, другой через главную точку системы Q2 ; пересечение преломленных системой Q2 лучей даст точку A . Получим прямое увеличенное мнимое изображение Q1 диафрагмы системы Q1 . Диафрагму системы Q2 в тонком приближении можно считать расположенной в пространстве изображений. Представим на отдельном рисунке изображения всех диафрагм в пространстве изображений (рис. 8.2). Для простоты будем считать, что фотообъектив настроен на бесконечность, т. е. плоскость изображения совпадает с задней фокальной плоскостью фотообъектива. Рис. 8.2. Диафрагмы фотообъектива в пространстве изображений Максимальный диаметр ирисовой диафрагмы Q3 выбирается таким образом, чтобы ее изображение Q3 из осевой точки плоскости изображений было видно под наименьшим углом, поскольку оно должно быть выходным зрачком. 228 В фотоаппарате имеется еще и четвертая диафрагма – кадровое окно Q4 . Диафрагма Q4 расположена в плоскости изображения, поэтому по определению является полевой диафрагмой. Диаметры оправ систем Q1 и Q2 выбираются так, чтобы максимально уменьшить виньетирование на оправах систем Q1 и Q2 . На рисунке 8.2 изображена схема расположения диафрагм фотообъектива, в котором отсутствует виньетирование. 8.2. Основные характеристики фотообъектива • заднее фокусное расстояние f ; • • относительное отверстие ; угловое поле в пространстве предметов 2 . 8.2.1. Заднее фокусное расстояние Заднее фокусное расстояние определяет линейное увеличение в сопряженных плоскостях и длину объектива. При съемке предметов на конечном расстоянии линейное увеличение рассчитывается по формуле: = y z f f . =− =− = y f z z (8.1) Как видно из формулы (8.1), при заданном расстоянии z от переднего фокуса до плоскости предмета линейное увеличение (а, следовательно, и величина изображения) тем больше, чем больше заднее фокусное расстояние f . Для бесконечно удаленного предмета величина изображения рассчитывается по формуле: y = − f tg , (8.2) где – угол, под которым из передней главной точки объектива виден предмет (угловой размер предмета). Таким образом, чем больше f при заданном угловом размере предмета, тем больше величина изображения. 8.2.2. Относительное отверстие Относительным отверстием называю величину , равную отношению диаметра входного зрачка к заднему фокусному расстоянию: 229 D . f = (8.3) Выясним, каким образом появилась эта величина. Воспользуемся общей формулой [7] для расчета освещенности изображения dS элементарной площадки dS , расположенной на оси оптической системы: n E0 = L sin 2 , (8.4) n где L – яркость площадки dS ; – пропускание объектива. Полагаем, что фотообъектив находится в воздухе, т. е. n = n = 1 . Тогда на основании формулы (8.4) можно заключить, что основным фактором, влияющим на освещенность E 0 , является апертурный угол 2 в пространстве изображений. Если апертурный угол достаточно мал, то приближенно можно положить (рис. 8.3): sin tg = D , 2 ( z − zP ' ) (8.5) где D – диаметр выходного зрачка. Рис. 8.3. Схема для определения освещенности на оси оптической системы С учетом (8.5) выражение (8.4) можно переписать в виде: E 0 = L 4 2 D . z − z P' Так как D = P D , z = − f , zP = −P f , 230 (8.6) где P – линейное увеличение в зрачках системы, – линейное увеличение, с которым сопряжены площадки dS и dS , то (8.6) примет вид: 2 2 2 L D P L 2 P E 0 = = . 4 f − 4 P P − (8.7) Освещенность E изображения внеосевых точек зависит от виньетирования k и углового поля 2 в пространстве изображения: E = k E 0 cos4 . (8.8) Используя выражение (8.7), введем новую величину Н, равную отношению освещенности осевой точки изображения к яркости предмета: 2 P E H= 0 = 2 . L 4 P − (8.9) Величина H называется физической светосилой объектива. Из (8.9) видно, что относительное отверстие определяет физическую светосилу объектива. Изменение физической светосилы (или относительного отверстия) при постоянном заднем фокусном расстоянии происходит за счет изменения диаметра апертурной диафрагмы. Если объект съемки находится в бесконечности, то = 0 и H= 4 2 . (8.10) Геометрической светосилой объектива называют величину, равную квадрату относительного отверстия: 2 . Диафрагменным числом K называется величина, обратная относительному отверстию. Шкала диафрагм (диафрагменных чисел), нанесенная на объектив, представляет собой нормальный ряд. Она рассчитана так, что при переходе от одного ее деления к другому диаметр диафрагмы изменяется пропорционально 2 а, следовательно, освещенность изображения изменяется в 2 раза. Ниже приведены значения относительных отверстий и соответствующие им диафрагменные числа K (табл. 8.1). 231 Таблица 8.1 Относительные отверстия и соответствующие им диафрагменные числа D f 1:1 1:1.4 1:2 1:2.8 1:4 1:5.6 1:8 1:11 1:16 1:22 K 1 1.4 2 2.8 4 5.6 8 11 16 22 8.2.3. Линейное и угловое поле фотообъектива Линейное поле в пространстве изображения определяется той частью плоскости изображения, в которой находится изображение удовлетворительного качества и с допустимым падением освещенности от центра до краев снимка, а также форматом снимка. В фотографических системах преимущественно принят прямоугольный формат изображения, который обеспечивается кадровым окном. Линейным полем фотообъектива в пространстве изображений считается диагональ 2lK 0 кадра (измеряется в миллиметрах). Очевидно (рис. 8.3), что: tg = − lK 0 z − zP и угловое поле 2 в пространстве изображений будет равно: 2 = 2 arctg ( tg ) . (8.11) При положении объекта съемки на конечном расстоянии линейное поле 2 y в пространстве предметов определяется диагональю кадрового окна: 2 y = 2 lк >0 . (8.12) Из рисунка 8.3 находим tg = − y <0 , z − zP и тогда угловое поле в пространстве предметов будет равно 2 = 2 arctg ( tg ) >0 . (8.13) 8.3. Геометрическая глубина пространства, изображаемого фотообъективом Геометрической глубиной изображаемого пространства называют расстояние вдоль оптической оси между двумя плоскостями Q1 232 и Q 2 (рис. 8.4) в пространстве предметов, в пределах которого объекты съемки получаются в плоскости изображения достаточно четкими, т. е. размер пятна рассеяния не превышает некоторого, наперед заданного, значения . Все рассуждения будем вести в рамках геометрической оптики, считая оптическую систему идеальной. То есть, любая точка плоскости предмета изображается системой в плоскости изображения тоже точкой. Пусть Q и Q соответственно плоскости предмета и изображения (рис. 8.4). Рис. 8.4. Схема для определения глубины изображаемого пространства Если выбрать точки, расположенные вне плоскости Q , например, в плоскости Q1 или Q2 , то фотообъектив построит изображения этих точек соответственно слева или справа от плоскости изображения Q , а в плоскости Q образуется кружок рассеяния (расфокусированное изображение точки) диаметром . Установим в плоскости изображения Q фотопластинку, напечатаем снимок без увеличения и станем его рассматривать. Очевидно, изображение точек, расположенных в плоскости Q , наблюдатель увидит резко. А как он увидит 233 расфокусированные изображения точек, расположенных в плоскости Q1 или Q2 ? Если диаметр изображения кружка рассеяния оптической системой глаза на сетчатке не больше диаметра колбочки, то глаз наблюдателя воспримет изображение кружка рассеяния как изображение точки. То есть, наблюдатель увидит резкое изображение всех точек, расположенных в плоскостях Q1 , Q2 и между ними. Выполним построения, позволяющие определить положение плоскостей Q1 и Q2 , точки которых изображаются оптической системой фотообъектива в плоскости Q в виде кружков рассеяния с заданным диаметром . Для этого построим в плоскости Q кружок диаметром = C1C2 с центром на оптической оси, а в плоскости Q – сопряженный с ним кружок диаметром = C1C2 (рис. 8.4). Очевидно, что . (8.14) В правой части (8.14) стоит знак минус, поскольку мы выбрали 0 и 0 ( и – диаметры), а 0 , поскольку изображение действительное и перевернутое. Проведем луч C 2 E через точку C 2 и =− нижний край E входного зрачка. Точку пересечения луча с оптической осью обозначим A1 . В пространстве изображений тот же луч E C 2 пройдет через сопряженную точку C 2 и пересечет оптическую ось в точке A1 . Очевидно, что точки A1 и A1 сопряжены. Проведем через точку A1 плоскость Q1 . Аналогично проведем луч C 2 B через точку C 2 и верхний край B входного зрачка. Точку пересечения продолжения луча C 2 B с оптической осью обозначим A2 . В пространстве изображений тот же луч BC 2 пройдет через сопряженную точку C 2 и пересечет оптическую ось в точке A2 . Очевидно, что точки A2 и A2 сопряжены. Проведем через точку A2 плоскость Q 2 . Если мысленно представить, что из точек A1 и A2 выходят гомоцентрические пучки лучей, то, согласно нашему построению, они создадут в плоскости Q кружки 234 рассеяния диаметром . И все точки пространства, расположенные между плоскостями Q1 и Q2 , образуют в плоскости Q кружки рассеяния, диаметр которых не превышает . Если фотоснимок рассматривается с расстояния наилучшего зрения, то есть a = −250 (рис. 8.5), то максимальный размер кружка рассеяния, воспринимаемого глазом как точка, будет равен: = −a = 0.075 мм, (8.15) где = 1 = 0.0003 рад – угловое разрешение глаза. Рис. 8.5. Разрешение глаза Расстояние p = p1 − p2 между плоскостями Q1 и Q 2 есть глубина изображаемого пространства. Из рисунка 8.4 находим: D , p1 =− p1 − p (8.16) здесь D – диаметр входного зрачка. Из (8.16) находим: p D − p1 D = p1 , отсюда D p. D + (8.17) D , = p2 p2 − p (8.18) p1 = Аналогично находим: или p2 D − p D = p2 , отсюда p2 = D p. D − С учетом (8.17) и (8.19) находим: 235 (8.19) D D D2 − D − D2 − D 2 p D . p = p1 − p2 = p− p = p =− 2 2 2 D + D − D − D − 2 Обычно D , тогда по сравнению с D 2 величиной можно прене2 бречь ( 2 0 ) и с учетом (8.14) из последнего выражения получим: p = − 2 p 2 p . = D D (8.20) Рассмотрим случай, когда предмет удален настолько, что можно считать p f . В этом случае можно положить p = z − zP z , где z – расстояние от переднего фокуса объектива до плоскости предмета Q , zP – расстояние от переднего фокуса объектива до входного зрачка. И тогда формулу для расчета увеличения можно привести к виду: =− z f f f . =− = f z z p (8.21) Подставляя (8.21) в (8.20), получим: 2 p2 2 p2 2 p2 , p = = = 2 f D f 2 D f f или окончательно: 2 p2 , p = p1 − p2 = f 2 (8.22) p – глубина изображаемого пространства. Таким образом, глубина изображаемого пространства прямо пропорциональна квадрату расстояния до плоскости наводки, размеру пятна рассеяния и обратно пропорциональна квадрату фокусного расстояния и относительному отверстию объектива. Проанализируем выражение (8.22) при заданном значении = const ( – диаметр кружка, изображение которого на сетчатке глаза имеет диаметр , точно равный диаметру колбочки). • Зафиксируем расстояние p до плоскости предмета и фокусное расстояние объектива f , то есть, положим p = const и f = const . Тогда глубина изображаемого пространства будет увеличиваться при уменьшении относительного отверстия , то есть при уменьшении диаметра входного зрачка. И соответственно уменьшаться при 236 увеличении . Поэтому, если при фотосъемке необходимо, например, увеличить глубину, то для этого следует уменьшить диаметр апертурной диафрагмы, то есть, увеличить диафрагменное число. • Положим p = const и = const . Тогда глубина изображаемого пространства будет увеличиваться при уменьшении фокусного расстояния. Чтобы относительное отверстие при этом не изменялось, необходимо пропорционально фокусному расстоянию изменять диаметр входного зрачка. Таким образом, короткофокусные объективы дают глубину изображаемого пространства больше, чем длиннофокусные. • При f = const и = const величина p изменяется пропорционально квадрату расстояния до плоскости предмета: чем дальше предмет, тем больше глубина изображаемого пространства. Положим теперь в качестве переменной величину , а все осталь- ные величины – постоянными: p = const , = const , f = const . Из формулы (8.22) видно, что p меняется пропорционально . Какое минимальное значение может принять величина ? Очевидно, что оно будет определяться разрешающей способностью объектива (равно линейному пределу разрешения объектива) или разрешающей способностью фотоприемника (равно размеру зерна фотоэмульсии или размеру пикселя ПЗС-матрицы). Что произойдет с глубиной изображаемого пространства, если напечатать снимок с увеличением и рассматривать его с разных расстояний? Как следует из формулы (8.15) и рисунка 8.5, величина кружка зависит от расстояния a от глаза наблюдателя до снимка. При увеличении расстояния a в M раз диаметр кружка, разрешаемого глазом с расстояния aM = M a , пропорционально увеличивается и становится равным M = M . Действительно: M = − ( M a ) = − M ( a ) = M . Здесь – диаметр кружка в плоскости изображения Q , разрешаемого глазом с расстояния a ; называется линейным разрешением глаза в плоскости предмета. Тогда, согласно (8.22), увеличивается в M раз и глубина изобра- глаза с жаемого пространства. Но при этом линейное разрешение M 237 расстояния aM тоже увеличивается в M раз и глаз перестает разли- . чать мелкие детали на снимке, размер которых меньше M Увеличим размер снимка по отношению к исходному размеру (размеру негатива) в M раз. Это можно сделать путем мысленного эксперимента. Создадим новую оптическую систему, у которой заднее фокусное расстояние f M в M раз больше фокусного расстояния f (то есть f M = M f ). Расстояние от переднего фокуса объектива до плоскости предмета, величину предмета, диаметр входного зрачка, расстояние от переднего фокуса системы до входного зрачка, расстояния от входного зрачка до плоскостей Q , Q1 и Q 2 также увеличим по модулю в M раз: zM = M z , yM = M y , DM = M D , zP,M = M zP , pM = M p , p1,M = M p1 , p2,M = M p2 . Рассчитаем в увеличенной системе расстояние zM от заднего фокуса до плоскости изображения, увеличение M в сопряженных плоскостях и величину изображения yM : M f ) f M2 ( f 2 zM = − =− = −M = M z , zM M z z 2 M = f M M f f = = =, zM M zM zM yM = M yM = ( M y ) = M ( y ) = M y . Относительное отверстие новой системы не изменится: D M D D M = M = = = . f M M f f Из полученных результатов видно, что расстояние до плоскости изображения и величина изображения также изменились в M раз, но увеличение не изменилось: M = . Если установить в плоскости изображения фотопластинку, то получим увеличенный в M раз негатив. Напечатаем с этого негатива снимок без увеличения. Рассчитаем глубину изображаемого пространства на этом снимке, если наблюдатель рассматривает его с расстояния aM . В этом случае величина кружка рассеяния на снимке будет равна M = M . Согласно принятым 238 приближениям, положим: zM = pM + zP ,M = M p + M zP = M ( p + z ) M p = pM . Тогда: 2 pM 2 M 2 ( M z ) M 2 z2 pM = = =M 2 = M p . 2 f M2 M f ( M f ) M 2 (8.23) Согласно (8.23), глубина изображаемого пространства на увеличенном в M раз снимке при рассматривании с расстояния aM тоже увеличилась в M раз. А это означает, что наблюдатель так же резко увидит на увеличенном в M раз снимке с расстояния aM изображения всех предметов, расположенных в реальном пространстве между теми же плоскостями Q1 и Q 2 , как и на исходном, не увеличенном, снимке с расстояния a . Представим, что наблюдатель рассматривает увеличенный в M раз снимок с расстояния aK , которое в K раз больше расстояния a , то есть aK = K a . В этом случае кружок рассеяния на увеличенном снимке будет равен: K = aK = ( K a ) = K . Рассчитаем глубину изображаемого пространства: 2 p 2 2 (M z) K 2 z2 pM ,K = 2M K = = K = K p . 2 2 f M M f ( M f ) M 2 (8.24) Из (8.24) следует, что глубина изображаемого пространства на увеличенном снимке изменилась. Поделим выражение (8.24) на pM с учетом (8.23): pM , K K (8.25) = =q. pM M Таким образом, глубина изображаемого пространства на увеличенном в M раз снимке при рассматривании с расстояния aK изменится в q раз: pM ,K = q pM . (8.26) Глубина изображаемого пространства станет больше, если K M и меньше, если K M . Соответственно и в реальном пространстве расстояние между плоскостями Q1 и Q 2 изменится в q раз: 239 pK = q p . (8.27) где pK – расстояние между плоскостями Q1 и Q 2 в реальном пространстве, между которыми находятся предметы, изображения которых на увеличенной в M раз фотографии с расстояния aK глаз наблюдателя видит резко. Пример 1. = 1 , a = −250 мм, M = 1 , = 250 0.0003 = 0.075 мм. 1 Пример 2. = 1 , a = −250 мм, M = 5 , = 250 0.0003 = 0.015 мм. 5 Если изображение проектируется на фотоприемник, например, на фотопластинку, то размер кружка рассеяния, разрешимого глазом (вооруженным или не вооруженным) будет зависеть еще от величины зерна фотоэмульсии. Если теоретическое значение меньше диаметра зерна, то линейное разрешение на фотоснимке будет равно диаметру зерна. В этом случае имеет смысл увеличивать снимок до тех пор, пока угловой размер зерна с заданного расстояния (например, 250 мм) будет меньше или, в крайнем случае, равен угловому разрешению глаза. Если фотообъектив имеет дифракционное качество, то для достижения максимального разрешения на снимке необходимо, чтобы диаметр зерна эмульсии не превышал диаметра кружка Эйри. В этом случае для расчета глубины изображаемого пространства на негативе (или на снимке, напечатанном в масштабе М=1:1) по формуле (8.22) необходимо выбрать значение , равное диаметру кружка Эйри. Пример 3. Определить глубину пространства, изображаемого фотообъективом: f = 50 мм, = 1: 2 , p = −6 м, N = 30 лин разрешающая способность мм объектива. Разрешающей способности N = 30 стояние = лин соответствует разрешаемое расмм 2 p 2 2 60002 0, 033 1 = 0, 033 мм; p = p1 − p2 = = N f 2 502 0.5 = 1.9 м. Глубина резкости (рис. 8.6) – это расстояние вдоль оптической оси от плоскости изображения Q , в пределах которого сохраняется допустимый размер пятна рассеяния . 240 Рис. 8.6. Схема для определения глубины резкости фотообъектива То есть, это расстояние, в пределах которого допускается установка плоскости фотоприемника с сохранением резкости изображения (размер кружка рассеяния не выходит за пределы зерна эмульсии или сенсора). Из рис. 8.6 находим: D p = , отсюда: = – глубина резкости. (8.28) p D 241 9. ВИЗУАЛЬНЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ 9.1. Лупа 9.1.1. Принцип работы и видимое увеличение Лупа представляет собой наиболее простой оптический прибор, который используется при наблюдении мелких предметов, неразличимых глазом. Общие технические требования к лупам сформулированы в ГОСТ 25706–83 [12]. При наблюдении с помощью лупы предмет помещают либо в передней фокальной плоскости, либо слева или справа от нее. Лупа создает увеличенное изображение предмета, которое рассматривает глаз. Основными характеристиками лупы являются видимое увеличение Г и линейное поле зрения 2 y . Видимым увеличением любой оптической системы, работающей совместно с глазом, называется отношение тангенса угла , под которым рассматривается изображение предмета через оптическую систему, к тангенсу угла , под которым данный предмет виден невооруженным глазом (рис. 9.1). а) б) Рис. 9.1. К определению видимого увеличения Таким образом, согласно определению 242 Г= tg tg (9.1) Найдем видимое увеличение для лупы [7, 9]. Под углом будем понимать угол, под которым невооруженный глаз видит предмет, расположенный на расстоянии ясного видения p = −250 мм. Из рис. 9.1, а следует: y , p y z =− , y f tg = − (9.2) (9.3) (9.4) z = p + zP , где f – заднее фокусное расстояние лупы; p – расстояние от входного зрачка глаза до изображения; zP – расстояние от входного зрачка глаза до заднего фокуса лупы. Из рисунка 9.1, б находим: y y . tg = − = p 250 Подставим (9.2) и (9.5) в (9.1), получим: y 250 Г =− . y p Подставим (9.3) и (9.4) в (9.6) и окончательно найдем: 250 zP Г= 1 + . f p (9.5) (9.6) (9.7) В случае глаза с миопией (с близорукостью) точка A предмета (см. рис. 9.1, а) должна совпадать с дальнейшей точкой ясного зрения миопического глаза, т. е. предмет должен находиться между фокусом и лупой. В этом случае глаз работает без аккомодации, т. е. без напряжения. Поскольку 1000 AR = , (9.8) aR где AR – аметропия глаза (в диоптриях), то 1000 p a R = AR и 243 (9.9) Г= 250 A z 1 + R P . f 1000 (9.10) В (9.9) мы положили, что p aR при достаточно больших значениях p ( aR отсчитывается от передней главной плоскости глаза, а p – от входного зрачка глаза; расстояние между передней главной плоскостью и входным зрачком согласно данным табл. 6.1 равно 1.7 мм). Для эмметропического глаза AR = 0 , т. е. предмет расположен в передней фокальной плоскости ( z = 0 ), изображение – в бесконечности ( p = − ) и глаз рассматривает его без напряжения аккомодации. Для этого случая формула (910) приобретает вид: 250 . (9.11) Г= f Такой же вид, как и (9.11), приобретает выражение для видимого увеличения и в случае, если zP = 0 , т. е. зрачок глаза совмещен с задней фокальной плоскостью. В этом случае видимое увеличение лупы не зависит от аметропии глаза, то есть имеет одно и то же значение, определяемое выражением (9.11), но от аметропии зависит положение точки предмета относительно переднего фокуса: осевая точка предмета должна совпадать с дальнейшей точкой ясного зрения миопического глаза. Очевидно, что в случае глаза с гиперметропией (дальнозоркого) предмет должен находиться слева от переднего фокуса. Формула (9.10) является общей и определяет видимое увеличение лупы с аметропическим глазом (и миопическим, и гиперметропическим), работающим без напряжения аккомодации. Расстояние z от предмета до переднего фокуса в этих случаях можно найти, используя формулу Ньютона: f 2 f 2 f 2 z=− =− − . (9.12) 1000 z p + zP + zP AR Примечание 1. Видимое увеличение можно определить как отношение величины изображения yв. гл. на сетчатке вооруженного глаза к величине изображения yгл . на сетчатке невооруженного глаза: Г= yв. гл. . yгл . Представим оптическую систему глаза узловыми плоскостями, тогда, учитывая свойства узловых точек, можно записать: 244 yв. гл. = f гл. tg , yгл . = f гл. tg . Подставляя полученные формулы в выражение для видимого увеличения, получим: tg Г= , tg что совпадает с определением увеличения по формуле (9.1). Несовпадение заключается в том, что при данном определении видимого увеличения вершины углов и находятся в передней узловой точке глаза, а при расчете по формуле (9.1) – в центре входного зрачка. Но учитывая, что расстояние между входным зрачком и передней узловой точкой невелико (около 4 мм, таблица 6.1), этим несовпадением можно пренебречь. Примечание 2. Формулы (9.7) и (9.10) справедливы, если aR −250 мм. Если aR −250 , то расстояние p=-250 мм для аметропического глаза нельзя считать расстоянием ясного видения. В этом случае следует считать, что расстояние ясного видения p = aR , а плоскость изображения, создаваемого лупой, должна лежать между дальнейшей и ближайшей точками ясного зрения глаза, то есть aR p aP , где aP – расстояние до ближайшей точки ясного зрения. В этом случае формула для расчёта видимого увеличения лупы примет вид: a z Г = − R 1 + P для aR −250 . f p Если p = aR , то Г =− 1 1 1000 ( aR + z P ) = − + z P для aR −250 . f f AR y y Примечание 3. Если zP = 0 , то tg = − = = const ,то есть, не зависит z f tg 250 = = const . от положения предмета (от z), поэтому Г = tg f Примечание 4. Если AR = 0 , то предмет должен находиться в передней фокальной плоскости, а изображение в бесконечности. tg 250 y = = const . tg = = const , поэтому Г = tg f f В этом случае 9.1.2. Диафрагмы лупы совместно с глазом. Линейное поле Допустим, что предмет находится в передней фокальной плоскости, входной зрачок глаза – между лупой и задним фокусом. В системе лупа– глаз имеется две диафрагмы: оправа лупы и входной зрачок глаза. Построим изображение этих диафрагм в пространстве предметов (рис. 9.2). Изображение оправы лупы будет совпадать с оправой лупы; 245 изображение входного зрачка глаза будет прямым, мнимым, увеличенным. Из осевой точки F предмета изображение входного зрачка глаза видно под меньшим углом, чем оправу лупы, поэтому оно является входным зрачком системы лупа – глаз. Рис. 9.2. Диафрагмы лупы совместно с глазом Материальной апертурной диафрагмой системы является зрачок глаза, а выходным зрачком – выходной зрачок глаза. Известно (таблица 6.1), что расстояния от передней поверхности роговицы до зрачка, входного и выходного зрачка глаза мало отличаются друг от друга – на несколько десятых миллиметра. Значит, приближенно можно положить, что зрачок, входной зрачок и выходной зрачок глаза совпадают по положению. Поэтому, будем считать, что апертурной диафрагмой и выходным зрачком системы лупа–глаз является зрачок глаза, а входным зрачком – изображение зрачка глаза в пространстве предметов. Диафрагмы, совпадающей с плоскостью предмета или расположенной в сопряженной с ней плоскостью, в системе лупа – глаз нет, значит, нет и полевой диафрагмы. Оправа лупы является виньетирующей диафрагмой, входным окном и выходным окном, но и она же ограничивает поле зрения системы, т. е. выполняет функцию полевой диафрагмы. По мере увеличения угла , под которым глаз наблюдателя видит изображение предмета, на оправе лупы (рис. 9.3) начнется виньетирование пучка лучей, что приведет к постепенному уменьшению освещенности зрачка глаза до нуля. Из рис. 9.2 и 9.3 видно, что линейное поле лупы тем больше, 246 чем больше диаметр лупы и чем ближе зрачок глаза к лупе. Имея в руках конкретную лупу, линейное поле можно увеличить, если приближать лупу к глазу. Рис. 9.3. Угловое поле системы лупа – глаз при k = 1 1. Рассчитаем линейное и угловое поле системы лупа–глаз при отсутствии виньетирования, т. е. при коэффициенте виньетирования k = 1 . Рассмотрим случай, когда глаз наблюдателя является аметропическим (миопическим). Положим для определенности, что зрачок глаза находится справа от заднего фокуса лупы (рис. 9.4.1). Построим изображение зрачка глаза в обратном ходе в пространстве предметов. Для этого из точки A (края входного зрачка глаза) проведем два вспомогательных луча: первый – параллельно оптической оси, второй – через задний фокус лупы. На пересечении лучей в пространстве предметов получим точку A – изображение точки A . Симметрично строим изображение второго края входного зрачка глаза. Изображение входного зрачка системы получилось действительное и перевернутое. Обозначим: DP – диаметр зрачка глаза (выходного зрачка системы), DP – диаметр входного зрачка системы, DЛ – диаметр оправы лупы (виньетирующей диафрагмы), zP – расстояние от заднего фокуса лупы до зрачка глаза, z P – расстояние от переднего фокуса лупы до входного зрачка системы, p – расстояние от зрачка глаза до изображения предмета, AR – аметропия 247 глаза, f – заднее фокусное расстояние лупы. Рис. 9.4.1. К расчету линейного и углового поля системы лупа – глаз без виньетирования, k = 1 Заданы следующие величины: DP , zP , AR , DЛ , f . Осевая точка изображения совпадает с дальнейшей точкой ясного зрения ( p aR ), то есть положение плоскости изображения Q определено согласно (9.9). Рассчитаем положение и величину входного зрачка системы: f 2 z D zP = − , P = − P , DP = P , (9.13) f zP P здесь P – увеличение в зрачках. Положение плоскости предмета Q определяется согласно (9.12): f 2 f z=− , тогда = . 1000 z + zP AR (9.14) Проведем вспомогательный луч через нижний край A входного зрачка системы и верхний край С оправы лупы. Точка E пересечения луча с плоскостью предмета Q и будет являться той точкой, которая лежит на краю поля зрения и изображается без виньетирования. После преломления лупой луч EC пройдет через точку A , поскольку она сопряжена с точкой A . Точка E пересечения продолжения луча CA с 248 плоскостью изображения будет являться изображением токи предмета E . Из подобия треугольников (рис. 9.4.1) находим: DЛ DP D + y+ P 2 2 = 2 . (9.15) f − zP z − zP Из выражения (9.15) следует: z − zP 2 y = ( DЛ + DP ) − DP . f − zP (9.16-1) 2. Рассчитаем линейное и угловое поле системы лупа–глаз при k = 0.5 (рис. 9.4.2). Рис. 9.4.2. К расчету линейного и углового поля системы лупа – глаз при виньетировании k = 0.5 В этом случае главный луч проходит через край оправы лупы (точка C). Точка предмета Е определяется как точка пересечения главного луча с плоскостью предмета. Из подобия треугольников (рисунок 9.4.2) составим пропорцию: DЛ 2 = y , f − zP z − zP откуда находим: 249 2 y = z − zP DЛ , f − zP (9.16-2) 3. Рассчитаем линейное и угловое поле системы лупа–глаз при k = 0 (рис. 9.4.3). В этом случае луч, проходящий через верхний край входного зрачка, должен пройти через верхний край оправы лупы (точка C). Точка Е определяется как точка пересечения этого луча с плоскостью предмета. Из подобия треугольников (рисунок 9.4.3) составим пропорцию: DЛ DP D − y− P 2 2 = 2 , f − zP z − zP откуда находим: 2 y = z − zP ( DЛ − DP ) + DP . f − zP (9.16-3) Рис. 9.4.3. К расчету линейного и углового поля системы лупа – глаз при виньетировании k = 0 Выражения (9.16) определяют линейное поле 2 y в пространстве предметов при разных значениях коэффициента виньетирования. Зная линейное поле в пространстве предметов, находим линейное поле в пространстве изображений: 250 2 y = 2 y , Из рисунков 9.4.1-9.4.3 следует: tg = − 1000 y , >0 , где p aR = AR p (9.17) (9.18) (9.19) 2 = 2 arctg(tg ) , где 2 – угловое поле в пространстве изображений. На рисунках 9.4.1-9.4.3 точка E предмета видна из центра входного зрачка под углом , равным половине углового поля системы в пространстве предметов; y – координата точки предмета E . Тогда: y tg = <0 , (9.20) zP − z 2 = 2 arctg tg , (9.21) 2 – угловое поле в пространстве предметов. Таким образом, выражения (9.16) и (9.17) позволяют рассчитать линейное поле системы лупа – глаз в пространстве предметов и изображений, а выражения (9.18) – (9.21) – угловое поле в пространстве предметов и изображений. На рис. 9.5 приведена качественная зависимость освещенности зрачка глаза от углового размера предмета. Рис. 9.5. Зависимость освещенности зрачка от углового размера предмета 9.1.3. Геометрическая глубина изображаемого пространства глаза совместно с лупой При наблюдении через лупу объемного предмета одновременно резко видны точки этого предмета, расположенные в разных плоскостях предмета, то есть в пределах глубины изображаемого пространства. Рассмотрим случай, когда эмметропический глаз при наблюдении 251 через лупу аккомодирует на бесконечность. В этом случае плоскость предмета Q проходит через передний фокус F лупы (рис. 9.6) и сопряжена с сетчаткой, расположенной в задней фокальной плоскости глаза. Рис. 9.6. Глубина изображаемого пространства системы лупа–глаз Поэтому с точки зрения геометрической оптики все точки плоскости Q изобразятся на сетчатке глаза также в виде точек. Если глаз постоянно аккомодирован на плоскость Q, то точки предмета, не лежащие в плоскости Q, изобразятся на сетчатке в виде кружков рассеяния диаметром . Эти кружки будут восприниматься глазом как точки, если диаметр кружка не превысит диаметр колбочки. Тогда соответствующие точки предмета глаз увидит так же резко, как и точки плоскости Q . Пусть Q1 и Q 2 – плоскости, точки которых изображаются на сетчатке в виде кружков рассеяния, диаметр которых (рис. 9.6) в точности совпадает с диаметром колбочки ab . Тогда все точки предмета, расположенные между плоскостями Q1 и Q 2 , глаз наблюдателя увидит резко, поскольку кружки рассеяния от этих точек на сетчатке будут меньше колбочек. Тогда расстояние между плоскостями Q1 и Q 2 будет представлять собой глубину изображаемого пространства. Рассмотрим общий случай, когда слева от лупы находится среда с показателем преломления n 1 = n , а справа, между лупой и глазом, среда с показателем преломления n3 = n (рис. 9.7). Показатель преломления стекла лупы обозначим n2 . Для того, чтобы точно определить положение плоскостей Q1 и Q 2 , построим в обратном ходе три луча, выходящие из нижней крайней точки a колбочки: два через края выходного зрачка глаза и один под 252 гл. 0 к оптической оси через заднюю узловую точку глаза ( 2 гл. – угловое разрешение глаза, или угловой размер колбочки из задней узловой точки глаза). углом Рис. 9.7. Построение изображения колбочки в плоскости предмета Из оптической системы глаза эти три луча выйдут параллельно друг другу также под углом гл. 0 к оптической оси, преломятся лу2 пой и пересекутся в передней фокальной плоскости лупы в одной точке a с координатой y . Точка a будет изображением точки a в обратном ходе. Координату y точки a можно определить, если рассчитать ход вспомогательного луча, падающего на лупу справа налево через ее совмещенные главные точки под углом u = гл. 0 : 2 y = − f u 0. (9.22) где угол u можно определить из условия V = V для луча, проходящего через оптическую систему через главные точки. Распишем это условие в соответствии с обозначениями (4.27): −n u = −n u , откуда находим n u n n u= = u = гл. 0 , (9.23) n n n 2 так как = = −1. Согласно (4.171) n n Ф=− = , (9.24) f f где – оптическая сила лупы, которая в тонком приближении 253 рассчитывается по формуле (4.167): n − n n − n2 = 2 + . r1 r2 Из (9.24) находим: n (9.25) f 0. n Подставим (9.24) и (9.25) в (9.22): n n y = − − f гл. = f гл. 0 . (9.26) 2 n n 2 Луч, вышедший из точки a и проходящий через верхний край выходного зрачка глаза, в пространстве изображений пересечет оптическую ось в точке A2 , а в пространстве предметов – в точке A2 (рис. 9.8), расf =− положенной на расстоянии z2 0 от плоскости предмета. Точки A2 и A2 сопряжены, поскольку лежат на одном луче и на оптической оси. Угол между оптической осью и лучом 2 0 . Из рисунка 9.8 находим: z 2 = y 0. tg 2 (9.27) Рис. 9.8. Обратный ход верхнего луча Луч, вышедший из точки a и проходящий через нижний край выходного зрачка глаза (рис. 9.9), своим продолжением вправо в пространстве изображений пересечет оптическую ось в точке A1 , а в пространстве предметов – в точке A1 , расположенной на расстоянии z1 0 от плоскости предмета. Точки A1 и A1 сопряжены, поскольку лежат на одном луче и на оптической оси. 254 Рис. 9.9. Обратный ход нижнего луча Угол между оптической осью и лучом 1 0 . Из рисунка 9.9 находим: z1 = y 0. tg 1 (9.28) Построим обратный ход луча из осевой точки A колбочки (рис. 9.10), который, очевидно, придет в осевую точку А плоскости предмета. Из рисунка 9.10 находим: tg = 0 , (9.29) f Рис. 9.10. Обратный ход луча из осевой точки где – радиус входного зрачка глаза. Аналогично построим обратный ход трех лучей, вышедших из точки b (верхнего края колбочки). Итоговый результат показан на рисунке 9.11. Исходя из рисунка 9.11, определим расстояние между плоскостями Q1 и Q 2 , то есть глубину изображаемого пространства: z = z1 − z 2 . Подставим (9.26) – (9.28) в (9.30): 255 (9.30) z = f гл. 1 1 − . 2 tg 1 tg 2 (9.31) Рис. 9.11. Глубина изображаемого пространства Поскольку y – величина малая, z 1 и z 2 также малы по сравнению с f , то с большой степенью точности можно считать, что 2 = и 1 = − . Поэтому 1 1 гл. . − − = − f 2 tg tg tg Подставим (9.29) и (9.25) в (9.32), получим: n n z = − f гл. = − f гл. − f = гл. f 2 . n n f z = f гл. (9.32) (9.33) Между лупой и глазом наблюдателя, как правило, всегда воздух, то есть n = 1, поэтому: 250 z = n гл. f 2 = n гл. . Г 2 (9.34) Если лупа находится в воздухе, то n=n = 1 и тогда: 250 z = гл. f 2 = гл. (9.35) . Г При малых углах можно положить tg sin , тогда в общем 2 случае при n 1 и n 1 выражение (9.32) примет вид: n гл. f z = − f гл. − f гл. = = n гл. f , tg sin − n sin A 256 (9.36-1) где = −n sin 0 – числовая апертура, по определению положительная величина; z – геометрическая глубина изображаемого пространства системы лупа–глаз. Если лупа находится в воздухе, то n=n = 1 и тогда: 250 z = n гл. f = гл. . (9.36-2) A A Г Пример. Г = 10 , 2 = 3 мм. Из (9.35) находим: 2 250 0.0003 z = = 0.125 мм. 1.5 10 Выражения (9.35) и (9.36) определяют глубину изображаемого пространства с точки зрения геометрической оптики: изображение точки предмета также является точкой. 9.1.4. Аккомодационная глубина изображаемого пространства глаза совместно с лупой в воздухе В процессе наблюдения объемного предмета невооруженный эмметропический глаз аккомодирует на точки предмета, различно удаленные от глаза. Наиболее комфортный диапазон расстояний для аккомодации – от z = −250 мм до бесконечности, поскольку при расстояниях z −250 мм напряжение аккомодации приводит к быстрому утомлению. Те же самые условия справедливы и при наблюдении изображения предмета, поскольку для глаза все равно, что рассматривать – предмет или его изображение. Если рассматриваемое глазом через лупу изображение находится в интервале от z = −250 мм до бесконечности, то предмет в пространстве предметов будет находиться относительно передней фокальной плоскости в диапазоне расстояний от нуля (сопряженного в пространстве изображений с бесконечностью) до некоторого расстояния z, сопряженного в пространстве изображений с расстоянием z = −250 мм (рис. 9.12). Если центр зрачка глаза совместить с задним фокусом лупы, то расстояние z, называемое аккомодационной глубиной изображаемого пространства, можно найти по формуле Ньютона: f 2 f 2 . z=− = z 250 257 (9.37) Рис. 9.12. К расчету аккомодационной глубины изображаемого пространства лупы 9.1.5. Разрешающая способность глаза совместно с лупой Положим, что предмет имеет такой небольшой угловой размер, что глаз видит его изображение через лупу под углом , равным угловому разрешению глаза, то есть = гл. = 60 . При малых и можно записать: Г= tg , tg отсюда находим: = Полагая гл. = 60 , получим: Г = гл. Г . (9.38) 60 , (9.39) Г здесь – угловое разрешение лупы совместно с глазом, то есть наименьший угловой размер предмета с расстояния 250 мм, при котором глаз еще разрешает его изображение через лупу. = 9.1.6. Основные типы луп Рассмотрим основные типы луп. Для небольших увеличений (до 7 ) в качестве луп обычно применяют простую плосковыпуклую линзу (рис. 9.13, а). У таких луп линейное поле 2 y при удовлетворительном качестве изображения не превышает 0,2 f , или в угловой мере определяется x углом 120. Лупы среднего и сильного увеличения состоят из двух и 258 более линз. В таких лупах уже требуется устранение сферической и хроматической аберраций. Можно сконструировать лупу, состоящую из двух линз, расположенных на подвижной оси почти вплотную друг к другу (рис. 9.13, б). Тогда, раздвигая линзы, можно вести наблюдение предмета либо через одну из них, либо через обе сразу. Такая лупа имеет три различных увеличения Г1 , Г2 , Г3 = Г1 + Г2 , где Г1 и Г2 – видимое увеличение первой и второй отдельных линз. Для увеличения поля зрения применяют апланатические лупы, которые состоят из трех склеенных линз. Например, апланатическая лупа по Штейнгелю (рис. 9.13, в) имеет увеличение до 15х, а ее угловое поле составляет до 20°. а б д в е Рис. 9.13. Типы луп г ж з У такой лупы хорошо исправлена сферическая аберрация, хроматизм увеличения и аберрация кома. Наиболее совершенными являются четырехлинзовые анастигматические лупы (рис. 9.13, г) с увеличением до 40 . Лупы такого типа по качеству изображения сравнимы с объективами микроскопов. Для одновременного наблюдения двумя глазами используются бинокулярные лупы, состоящие из двух одиночных линз, расположенных в оправе (рис. 9.13, д). Эти лупы дают 259 объемное изображение. В качестве луп большого увеличения можно также использовать окуляры Рамсдена и Кельнера (рис. 9.13, е, ж). При достаточно больших расстояниях до наблюдаемого предмета на практике применяют телескопические лупы, состоящие из двух линз – собирающей и рассеивающей, расположенных друг от друга на расстоянии d (рис. 9.13, з). Увеличение такой лупы 250 Г= = 250 Ф , f где Ф = Ф1 + Ф2 − d Ф1 Ф2 . Обычно телескопические лупы конструируются так, чтобы расстояние d можно было изменять. Тогда, как следует из приведенной выше формулы, лупа будет иметь переменное видимое увеличение. 9.2. Микроскоп Согласно ГОСТ 28489–90 [13], световым микроскопом называется оптический прибор, имеющий не менее чем двухступенчатое увеличение и позволяющий делать видимыми детали объекта, не различимые невооруженным глазом с расстояния 250 мм. Укрупненно в конструкции микроскопа можно выделить два узла. Первый узел – визуальная часть или собственно микроскоп, размещается между предметом и глазом наблюдателя. Микроскоп предназначен для создания на сетчатке глаза резкого и увеличенного изображения рассматриваемого предмета. Для достоверности наблюдений оптическая система микроскопа должна обладать достаточно малыми аберрациями, чтобы создать на сетчатке изображение высокого качества. Второй узел – осветительная система (осветитель). Согласно ГОСТ 28489–90, осветительной системой светового микроскопа называется оптическая система, предназначенная для освещения объекта и содержащая источник света, коллектор (осветительная система светового микроскопа может содержать и другие оптические и механические элементы). К данному определению можно добавить, что осветительная система предназначена для создания необходимого уровня освещенности на поверхности предмета. К осветительной системе микроскопа не предъявляются такие жесткие требования по аберрациям, как к визуальной части. Несмотря на это, роль осветительной системы в современном микроскопе очень важна именно в части создания 260 необходимого уровня освещенности на поверхности предмета, особенно в микроскопах с большим увеличением. Действительно, представим себе, что микроскоп создает на сетчатке глаза изображение, величина которого в тысячу раз больше величины предмета. Тогда (без учета потерь на оптике микроскопа и глаза) освещенность изображения на сетчатке будет в миллион раз меньше, чем на поверхности предмета, поскольку освещенность обратно пропорциональна площади. Следовательно, осветитель должен обеспечить весьма интенсивное освещение предмета, чтобы получить на сетчатке хорошо освещенное и контрастное изображение. Кроме того, осветитель должен обеспечить и равномерное распределение освещенности на поверхности предмета, иначе неоднородности в освещенности наблюдатель может принять за некоторые особенности строения исследуемого предмета. Для этого необходимо исправить сферическую и хроматическую аберрации. 9.2.1. Диафрагмы микроскопа Оптическая схема микроскопа в тонких компонентах показана на рис. 9.14. В микроскопе три диафрагмы: оправа Q1 объектива, оправа Q3 окуляра и диафрагма Q2 , которая располагается в передней фокаль- ной плоскости окуляра и конструктивно является его частью. Рис. 9.14. Диафрагмы микроскопа Апертурной диафрагмой в обычном микроскопе является оправа объектива, как правило, оправа его последней линзы, либо диафрагма, установленная между объективом и его задней фокальной плоскостью. На рисунке 9.14 это диафрагма Q1 . Она же является и входным зрачком системы, поскольку расположена в пространстве предметов. 261 В измерительном микроскопе апертурная диафрагма устанавливается в задней фокальной плоскости объектива. Для определения выходного зрачка построим изображение оправы Q1 объектива через окуляр. Для этого проведем вспомогательный луч от края оправы Q1 через совмещенные главные точки окуляра. Пересечение в пространстве изображений вспомогательного луча с лучом 1 , вышедшим из осевой точки предмета (луч 1) и проходящим через край диафрагмы Q1 , дает положение изображения края оправы Q1 . Симметрично строится изображение второго края. На рис. 9.14 Q1 – изображение диафрагмы Q1 . Диафрагма Q2 является полевой по определению, поскольку расположена в плоскости, сопряженной с плоскостью предмета. Диафрагма Q3 может быть виньетирующей диафрагмой, поэтому ее диаметр по возможности делается большего диаметра, чтобы уменьшить виньетирование пучков лучей от внеосевых точек предмета. На рисунке 9.14 изображен простейший случай, когда в тонком приближении оправы компонентов совпадают с их совмещенными главными плоскостями. При наблюдении через микроскоп появляется четвертая диафрагма – зрачок глаза наблюдателя, который на рисунке представлен его изображением оптической системой глаза – входным зрачком Q4 . Приближенно можно считать, что зрачок глаза (его апертурная диафрагма) совпадает по положению и диаметру с входным зрачком глаза. Очевидно, что зрачок глаза должен по положению и диаметру совпадать с выходным зрачком микроскопа. В противном случае на диафрагме Q4 будет происходить виньетирование наклонных пучков. И тем больше, чем больше несовпадение. Положим, что зрачок глаза Q4 лежит в плоскости выходного зрачка микроскопа, то есть сопряжен с плоскостью диафрагмы Q1 . Построим в обратном ходе через окуляр изображение Q4 диафрагмы Q4 . Оно будет лежать в плоскости диафрагмы Q1 . Рассмотрим два случая: • диаметр зрачка Q4 меньше диаметра выходного зрачка Q1 . В 262 этом случае диаметр изображения Q4 будет меньше диаметра диафрагмы Q1 , а это значит, что входным зрачком микроскопа станет изображение Q4 зрачка глаза, а апертурной диафрагмой – соответственно зрачок глаза. В этом случае апертурный угол в пространстве предметов уменьшается, что приводит к уменьшению разрешающей способности микроскопа и освещенности сетчатки глаза. Снижение освещенности приводит к снижению контраста изображения на сетчатке. • диаметр зрачка Q4 больше диаметра выходного зрачка Q1 . Этот случай тоже неинтересен, поскольку в зрачок глаза попадает меньше энергии, чем могло бы. Кроме того, уменьшение светового диаметра пучка на зрачке глаза приводит к увеличению кружка Эйри в изображении точки на сетчатке глаза, и соответственно к уменьшению разрешающей способности глаза. Если плоскость зрачка глаза не совпадает с плоскостью выходного зрачка микроскопа, то на зрачке глаза происходит виньетирование наклонных пучков, что приводит к снижению освещенности изображения на сетчатке от центра к периферии. Наилучший результат достигается тогда, когда выходной зрачок микроскопа и входной зрачок глаза совпадают по положению и размеру. Поэтому при стыковке двух оптических систем следует соблюдать правило: Выходной зрачок и полевая диафрагма (или ее изображение в пространстве изображений) первой системы должны совпадать соответственно с входным зрачком и полевой диафрагмой (или ее изображением в пространстве предметов) второй системы. 9.2.2. Основные характеристики микроскопа Основными характеристиками микроскопа согласно ГОСТ 28489– 90 являются: • видимое увеличение Г ; • линейное поле в пространстве предметов 2y; • выходной зрачок; • разрешающая способность; • предел разрешения; 263 • глубина резкости. 9.2.2.1. Видимое увеличение По отношению ко всему микроскопу рассматриваемый предмет расположен в передней фокальной плоскости микроскопа (рис. 9.15) – так же, как и у лупы. Поэтому микроскоп можно назвать лупой, но лупой сложной конструкции с большим увеличением и хорошо исправленными аберрациями. Поэтому видимое увеличение микроскопа можно определить по формуле (9.11): 250 , (9.40) Г= f здесь f – фокусное расстояние микроскопа. Рис. 9.15. Оптическая схема микроскопа Как известно (4.281), f= 1 = . fОк . fОб . fОк . fОб =− , (9.41) тогда Г= 250 – видимое увеличение микроскопа. − . fОб . fОк (9.42) Но линейное увеличение объектива согласно (4.284) Об . = − , (9.43) 250 . . f Ок (9.44) . f Об а видимое увеличение окуляра Г Ок . = Подставим (9.43) и (9.4) в (9.42), получим: 264 Г = Об. ГОк. – видимое увеличение микроскопа. (9.45) При конструировании микроскопов объективы рассчитываются с минимальными аберрациями, поэтому их можно считать почти идеальными системами. В этом случае для объективов достаточно строго выполняется закон синусов (4.306), который можно записать в виде: y n sin = = Об . . y n sin (9.46) Учитывая, что n = 1 и угол мал, можно преобразовать (9.46): − n sin − n sin A . (9.47) Об . = − − =− sin tg tg Введение знака «минус» в формулу объясняется тем, что числовая апертура А по определению больше нуля, а sin <0 . Из рис. 9.15 находим: tg = . зр. Вых , fОк . (9.48) . зр. – радиус выходного зрачка микроскопа. Подставим (9.48) в где Вых выражение (9.47), получим: Об . = − A fОк . . . зр. Вых (9.49) Умножая выражение (9.49) на ГОк. , получим: Г =− 250 A – видимое увеличение микроскопа. . зр. Вых (9.50) Таким образом, получили три формулы для расчета видимого увеличения микроскопа – (9.42), (9.45) и (9.50). 9.2.2.2. Линейное поле микроскопа в пространстве предметов Линейное поле микроскопа определяется полевой диафрагмой, расположенной в передней фокальной плоскости окуляра (рис. 9.16). Радиус y отверстия полевой диафрагмы можно выразить через параметры окуляра: . tg . (9.51) y = fОк Линейное поле 2 y микроскопа – это величина изображения полевой 265 диафрагмы в плоскости предмета в обратном ходе через объектив, то есть связано с величиной полевой диафрагмы формулой: (9.52) y = Об. y . Рис. 9.16. Оптическая схема микроскопа Приравнивая правые части (9.51) и (9.52), получим: Об. y = fОк . tg , отсюда 2 y = tg 2 fОк = tg ГОк. 2 fОк tg 250 500 tg 2 fОк . = = Об . ГОк. Г fОк Г Об . Окончательно можно записать: 500 tg 2 y = – линейное поле микроскопа. (9.53) Г При больших увеличениях Г микроскопа его линейное поле меньше 1 мм. 9.2.2.3. Числовая апертура Числовая апертура = n sin представляет собой произведение показателя преломления на синус апертурного угла и характеризует светосилу и разрешающую способность микроскопа. Если предмет находится в воздухе, то числовая апертура объектива не может быть больше единицы по определению: максимальное значение sin равно единице. На заре развития микроскопии для устранения влияния толщины покровных стекол и их неоднородности между покровным стеклом и объективом микроскопа помещали каплю жидкости, которую назвали иммерсионной, а микроскоп – иммерсионным. В качестве 266 иммерсионной жидкости применяются вода ( nD = 1.333 ), кедровое масло ( nD = 1.515 ), монобромнафталин ( nD = 1.657 ), глицерин ( nD = 1.4744 ). Если иммерсионной жидкостью является вода, то предельно возможной апертурой будет = 1.333 . 9.2.2.4. Разрешающая способность 9.2.2.4.1. Разрешающая способность микроскопа по Аббе В микроскопах с большим увеличением величина элементов структуры предмета сравнима с длиной волны света, поэтому при формировании изображения большую роль играют дифракционные эффекты, т. е. дифракция света на предельно малых элементах структуры. В 1877 г. Аббе опубликовал свою дифракционную теорию образования изображения в микроскопе, в которой в качестве упрощенной модели реального предмета со сложной дифрагирующей микроструктурой использовал дифракционную решетку, освещаемую когерентным светом. На основании этой теории он объяснил роль однородной иммерсии в увеличении числовой апертуры и в обеспечении повышенной разрешающей способности. Применяя в качестве иммерсионной жидкости масло, можно увеличить апертуру микроскопа, а, следовательно, его разрешающую способность примерно в полтора раза. При этом объектив микроскопа должен иметь дифракционное качество изображения, при котором изображением точки предмета является дифракционный кружок рассеяния. Разрешающая способность микроскопа характеризуется величиной N, обратной линейному пределу разрешения , под которым понимается минимальное расстояние между точками, раздельно видимыми в микроскоп: 1 N = , = мм, N = лин/мм. Из дифракционной теории образования изображения известно, что – при прямом освещении, (9.54) = = n sin A = 2 n sin = 2 A – при косом освещении. (9.55) Оба случая – (9.54) и (9.55) – являются умозрительными, реально 267 не существует отдельно прямого или косого освещения. Поверхность предмета освещается с помощью осветительной системы, которая формирует пучки параллельных лучей. Таким способом реализуется освещение предмета, называемое всесторонним. Как было показано академиком Д.С. Рождественским, при всестороннем освещении линейный предел разрешения определяется выражением: = A0 + A , (9.56) где A0 – числовая апертура конденсора. Обычно микроскоп конструируют таким образом, чтобы A0 = A и в этом случае формула (9.56) совпадает с формулой (9.55). Из формулы (9.55) следует, что линейный предел разрешения зависит только от двух величин: длины волны и числовой апертуры объектива A . Таким образом, чтобы уменьшить величину (то есть увеличить разрешающую способность N ) можно поступить двумя способами. Во-первых, уменьшить длину волны , но в пределах видимого диапазона это малоэффективно, поскольку крайние длины волн видимого диапазона отличаются друг от друга менее чем в два раза. Положим, например, = 0.55 мкм, что соответствует максимуму спектральной чувствительности глаза, и A = 1.5 , тогда, согласно формуле (9.55), получим 0.18 мкм. На краю видимого диапазона (на границе с ультрафиолетом), при минимальной чувствительности глаза, = 0.4 мкм и при том же значении A = 1.5 получим 0.133 мкм. Как видим, разница небольшая. Можно уйти в область ультрафиолета. Положим, например, = 0.2 мкм, тогда 0.067 мкм, то есть разрешающая способность по сравнению с = 0.55 мкм повысилась примерно в 2.7 раза, и для традиционной микроскопии это предел. Но при этом появились еще и дополнительные проблемы. Для визуального наблюдения изображения необходимо устанавливать флуоресцирующие экраны, разрешающая способность которых должна быть не хуже разрешения объектива микроскопа. Уменьшать дальше длину волны, то есть уходить в область рентгеновского излучения, бессмысленно, поскольку отсутствуют материалы, из которых можно было бы изготовить объектив для этой области спектра. 268 Во-вторых, уменьшить величину можно за счет увеличения числовой апертуры = n sin , но и здесь возможности весьма ограничены. Максимальное значение sin по определению равно единице, максимальное значение n известных иммерсионных жидкостей не превышает 1.7, то есть максимальное значение числовой апертуры не может превышать 1.7. Теоретически можно рассчитать и построить микроскоп, линейный предел разрешения которого с точки зрения геометрической оптики может быть значительно меньше того, который определен формулой (9.55) (что и сделали в 1903 году изобретатели Зиндентопф и Жигмонди). Но реально изображение микрочастицы, размер которой меньше , будет представлять собой дифракционный кружок рассеяния, по которому ничего нельзя сказать ни о форме, ни о величине, ни, тем более, о структуре микрочастицы. Поэтому бессмысленно конструировать микроскоп, линейный предел разрешения которого с точки зрения геометрической оптики меньше . Представим, что объектив микроскопа строит изображение элемента структуры предмета, размер которого не меньше , в передней фокальной плоскости окуляра. Для того чтобы эмметропический глаз наблюдателя через окуляр разрешил это изображение, необходимо, чтобы угловой размер изображения был не меньше, чем угловое разрешение глаза . Такое увеличение Г микроскопа, которое обеспечивает визуальное разрешение предельно малого элемента структуры предмета, принято называть полезным увеличением. Каким образом определить полезное увеличение? Представим, что через микроскоп рассматривается элемент структуры предмета, имеющий величину 0 . Величина 0 изображения, созданного объективом микроскопа, определяется по формуле параксиальной оптики: = Об. 0 . (9.57) Глаз наблюдателя видит это изображение через окуляр под углом , поэтому можно записать: . 0 . = f Ок (9.58) Приравняем правые части выражений (9.57) и (9.58) и полученное уравнение умножим на ГОк. : 269 . Г Ок . , или Об . Г Ок. = f Ок . Г = f Ок Г= 250 , отсюда . f Ок 250 . (9.59) Положим = гл. , то есть глаз наблюдателя рассматривает изображение на пределе разрешения. В этом случае выражение (9.59) определяет полезное увеличение микроскопа. При больших увеличениях диаметр выходного зрачка микроскопа часто бывает меньше наименьшего диаметра зрачка глаза, составляющего примерно 2 мм. Такое уменьшение действующего отверстия зрачка глаза приводит к понижению его разрешающей способности, а, следовательно, к увеличению угла . В этом случае следует принять гл. −3 = −0.001 радиан вместо обычного гл. = 1 . Подставим −0.001 в (9.59), получим: 0.25 , (9.60) Г =− где 0 измеряется в миллиметрах. Подставим (9.54), (9.55) и = 0.5 10−3 мм в (9.60): • прямое освещение Г =− 0.25 =− 0.25 A = −500 A . 0.5 10−3 (9.61) A Приравняем (9.61) и (9.50): Г = −500 A = − 250 A , . зр. Вых отсюда находим: . зр. = 0.5 мм. Вых • (9.62) косое освещение Г =− 0.25 =− 0.25 2 A = −1000 A . 0.5 10−3 2 A Приравняем (9.63) и (9.50): 270 (9.63) Г = −1000 A = − 250 A , . зр. Вых отсюда находим: . зр. = 0.25 мм. Вых (9.64) Увеличение Г 1000 A является бесполезным при наблюдении изображения глазом через окуляр. Иначе дело обстоит, если изображение, создаваемое микроскопом, проектируется на экран. В этом случае угловое разрешение глаза наблюдателя, рассматривающего изображение на экране, следует принять равным 60 , поскольку выходной зрачок микроскопа никоим образом не влияет на зрительное восприятие наблюдателя. Обратим внимание на то, что предел разрешающей способности, установленный Аббе, лишь утверждает, что элементы структуры предмета, размеры которых меньше , не могут быть разрешены через оптический микроскоп рассмотренной конструкции. Но он не утверждает, что эти элементы не могут быть разрешены вообще [9]. 9.2.2.4.2. Разрешающая способность микроскопа по Рэлею Представим, что объектив микроскопа строит дифракционные изображения двух самосветящихся (некогерентных) точек А и В, расположенных в плоскости предмета (рис. 9.17). Рис. 9.17. Дифракционные изображения двух точек предмета Согласно первому критерию Рэлея, два дифракционных изображения находятся на пределе разрешения, если дифракционный максимум одного изображения совпадает с первым дифракционным минимумом 271 другого изображения, т. е. расстояние между дифракционными максимумами равно радиусу кружка Эри. В этом случае освещенность посредине между максимумами будет отличаться от освещенности в центре кружка Эри на величину E − Emin E = max 100 = 22.5 %. Критерий Рэлея в некотором смысле Emax носит условный характер. В чем заключается условность? Во-первых, принимается, что освещенность в центре обоих кружков Эри одинаковая. Во-вторых, считается, что дифракционные изображения разрешаются, если E не меньше 22.5 %. Практически установлено, что при благоприятных условиях глаз еще способен различить два изображения, если падение освещенности E между двумя максимумами будет составлять не менее 5%. Обозначим: y'<0 - координата максимума дифракционного изображения B' (рис. 9.17). Тогда, согласно критерию Рэлея: 1.22 p 1.22 0.61 0.61 y= − rд. = − =− =− − , (9.65) D /2 A A D tg sin 2 p где D – диаметр апертурной диафрагмы. Для объективов микроскопов выполняется условие синусов Аббе: (9.66) n y sin A=n y sin A , где y – координата точки B предмета, сопряженной с точкой B' . Из (9.66) находим: n sin A . (9.67) y=y n sin A Подставим (9.65) в (9.67): y= − 0.61 n sin A 0.61 n 0.61 n 0.61 , = = = sin A n sin A − n sin A A A где A – числовая апертура микроскопа, n=1 в пространстве между объективом и окуляром. Таким образом, линейный предел разрешения по Рэлею определяется выражением: y= 0.61 . A 272 (9.68) 9.2.3. Дифракционная глубина изображаемого пространства Рассмотрим вопрос о глубине пространства, изображаемого идеальной оптической системой, с учетом дифракционного характера структуры изображения. Пусть Q – плоскость предметов микроскопа и Q – сопряженная с ней плоскость изображения объектива микроскопа (рис. 9.18). Рис. 9.18. К вопросу о дифракционной глубине изображения Разместим мысленно в пространстве предметов плоскости Q2 и Q1 , расположенные относительно плоскости Q соответственно слева и справа на расстояниях z2 0 и z1 0 . Будем считать, что самосветящиеся (некогерентные) точки, расположенные в пространстве предметов между плоскостями Q2 и Q1 , находятся в пределах дифракционной глубины изображаемого пространства, если кружки рассеяния, создаваемые этими точками в плоскости Q , сохраняют дифракционную структуру, причем радиус кружка Эри при этом практически не меняется. Это означает, что разрешение объектива (рассчитанное согласно первому критерию Рэлея, параграф 9.2.2.4.2) в плоскости Q имеет одно и то же значение для всех точек предмета, расположенных в пространстве предметов между плоскостями Q2 и Q1 . Примем также, что передняя фокальная плоскость окуляра совпадает с плоскостью изображения Q , глаз наблюдателя – эмметропический и аккомодирован на бесконечность. 273 Сферическая волна, выходящая из точки A предмета, преобразуется оптической системой в сферическую волну S с радиусом кривизны p , которая в плоскости изображения Q создает дифракционное изображение A . Точке A 2 , расположенной на расстоянии z2 от точки A , в пространстве изображений будет соответствовать сферическая волна S 2 и дифракционное изображение A2 . В плоскости изображения Q волна S 2 создаст дефокусированное изображение A2 . Пусть l – расстояние по краю между фронтами S и S 2 , отсчитываемое по нормали ( – длина 4 волны в среде с показателем преломления n ), то дифракционные мик сфере S . Согласно второму критерию Рэлея, если l нимумы изображения A и дефокусированного изображения A2 практически совпадут (рис. 9.19). Рис. 9.19. Зависимость освещенности E от радиуса в дифракционных изображениях A и A2 Отличие будет заключаться в том, что центральный дифракционный максимум изображения A2 будет несколько меньше, чем у изображения A , поскольку часть энергии из центрального пятна перекачается в кольца. Контраст в изображении двух точек упадет с 22.5 % до 274 18 %, то есть разрешающая способность по Рэлею останется прежней. Глаз наблюдателя увидит резкие дифракционные изображения точек A и A 2 в плоскости Q , и тогда величина z2 определит дальнюю границу дифракционной глубины изображаемого пространства. Пусть и 2 – соответственно координаты z точек волновых фронтов S и S 2 на краях отрезка l . Для небольших апертурных углов A приближенно можно положить cos A l и тогда: 2 − = l cos A l = . (9.69) 4 В меридиональном сечении волновой фронт S будет описываться уравнением окружности: x2 + z 2 = 2 p z . При малых значениях A можно примерно положить z 2 0 . Тогда уравнение окружности примет вид: x2 = 2 p z . Аналогично можно записать уравнение меридионального сечения волнового фронта S2 : x 2 = 2 ( p + z2 ) z . Иксовые координаты краев волновых фронтов S и S 2 можно положить равными D / 2 , тогда из уравнений фронтов находим: ( D / 2) , = ( D / 2 ) . = 2 2 ( p + z2 ) 2 p 2 2 (9.70) Подставим (9.70) в (9.69) и преобразуем: 1 1 D 1 2 − = − = 4 2 2 p + z2 p 2 D 1 p − p − z2 D 1 z = − 22 , 2 2 p ( p + z2 ) 2 2 p поскольку p + z2 p . Окончательно получили 2 2 D 1 1 = − 2 z2 = − tg 2 z2 , 4 2 p 2 2 275 (9.71) Из (9.71) находим: z2 = − 2 tg 2 . (9.72) Точно такое же выражение (но со знаком плюс) можно получить для точки A 1 , расположенной справа от точки A на расстоянии z1 . Поэтому можно записать: z = z1 − z2 = . tg 2 (9.73) Выражение (9.73) определяет дифракционную глубину изображаемого пространства. Для малых апертурных углов A можно положить tg A sin A , и тогда выражение (9.73) примет вид: z = . 2 tg sin 2 A (9.74) Таким образом, дифракционная глубина в пространстве изображений определяется выражением: . (9.75) z = 2 sin A Теперь в формуле (9.75) перейдем от величин в пространстве изображений к сопряженным величинам в пространстве предметов, используя формулу (4.99-2) из параксиальной оптики: n (9.76) z = z = 2 z . n Из (9.76) с учетом (9.75) находим: z = z n z n . = 2 = 2 n n sin 2 A (9.77) Из условия синусов Аббе n y sin A = n y sin A (9.78) n y sin A = sin A = sin A . n y (9.79) следует: Поскольку в пространстве изображений n = 1 , то из (9.77) с учетом (9.79) следует: 276 z = n n . = 2 2 n n n sin ( 2 A) sin A n Учитывая, что n sin A = A , окончательно имеем: z = n . (9.80) 2 Выражение (9.80) определяет дифракционную глубину изображаемого пространства микроскопа. 9.2.4. Геометрическая глубина изображаемого пространства микроскопа совместно с глазом Поскольку плоскость предметов расположена в передней фокальной плоскости микроскопа, то для расчета геометрической глубины изображаемого пространства иммерсионного микроскопа можно воспользоваться формулой (9.34) для лупы: 250 z = −n гл. f = −n гл. . (9.81-1) A A Поскольку 0 , а z 0 по определению, то в формуле (9.81-1) поставлен минус. И 250 z = n гл. f 2 = n гл. , если вых.зр. , 2 (9.81-2) 250 z = n гл. f 2 = n гл. , если вых.зр. , (9.81-3) . зр. . зр. вых вых 2 9.2.5. Аккомодационная глубина изображаемого пространства микроскопа совместно с глазом Аккомодационная глубина изображаемого пространства микроскопа рассчитывается как для лупы по формуле (9.37) f 2 250 z= = , 250 2 (9.82) где f – заднее фокусное расстояние микроскопа. Следует иметь в виду, что аккомодационная глубина изображаемого пространства микроскопа с сеткой равна нулю, так как глаз аккомодирован на изображение сетки. 277 9.2.6. Осветительная система микроскопа Осветительное устройство играет в микроскопе важную роль. Исследуемый объект должен быть освещен достаточно интенсивно и равномерно по всему полю зрения микроскопа. Равномерность освещения объекта определяется степенью коррекции сферической и хроматической аберрации, а также выполнением условия изопланатизма в отдельных оптических узлах осветительной системы (в коллекторе, конденсоре и др.). Однако требования к устранению аберраций в осветительной системе менее жесткие, чем к устранению аберраций в визуальной системе микроскопа. 9.2.6.1. Освещение прозрачных объектов. В микроскопии осуществляется два способа освещения прозрачных объектов. Первый способ – освещение на светлом поле, при котором менее прозрачные детали наблюдаются в виде темных участков на светлом поле. Примером реализации такого способа является осветительная система по Келеру (рис. 9.20). Система Келера состоит из двух компонентов: коллектора и конденсора. Близ коллектора находится ирисовая диафрагма Д1. Осветительная система сконструирована так, что конденсор строит изображение диафрагмы Д1 в плоскости предмета микроскопа. Рис. 9.20. Осветительная система по Келеру Поэтому в качестве источника света необходимо выбирать такой источник, который в плоскости диафрагмы Д1 создает равномерную 278 освещенность. Поскольку диафрагма Д1 сопряжена с плоскостью предмета микроскопа, то она является полевой диафрагмой осветительной системы. Нить накала лампы с помощью коллектора проектируется с увеличением на ирисовую диафрагму Д3, которая является апертурной диафрагмой осветительной системы, поскольку именно она ограничивает световой поток, проходящий через оптическую систему осветителя. Кроме того, диафрагма Д3 находится в передней фокальной плоскости конденсора, поэтому из конденсора выходят пучки параллельных лучей разного наклона. Изменяя диаметр диафрагмы Д3, мы регулируем величину и числовую апертуру (угол ) светового потока, выходящего из конденсора. Изображение диафрагмы Д3 конденсором находится в бесконечности и представляет собой выходной зрачок осветительной системы. Изменение диаметра диафрагмы Д1 приводит к изменению диаметра освещаемой области в плоскости предмета. Если при этом диаметр апертурной диафрагмы не изменяется, то числовая апертура пучка на выходе осветительной системы остается неизменной и освещенность плоскости предмета микроскопа не меняется. Что произойдет, если зафиксировать диаметр полевой диафрагмы Д1, а регулировать только величину апертурной диафрагмы Д3? В этом случае диаметр освещаемой области в плоскости предмета останется неизменным, а числовая апертура пука на выходе из осветительной системы и освещенность в плоскости предмета будут меняться. Как уже было сказано, источник света в осветительной системе выбирается так, чтобы он обеспечивал равномерное и интенсивное освещение коллектора и полевой диафрагмы Д1. Поскольку диафрагма Д1 сопряжена с плоскостью предмета, то последняя также будет освещена равномерно и интенсивно. Плоскость предмета не сопряжена с плоскостью источника света, поэтому на плоскости предмета не воспроизводится структура источника света. В этом заключается важное преимущество осветительной системы по Келеру. При стыковке оптических систем осветителя и микроскопа необходимо совместить выходной зрачок осветителя со входным зрачком микроскопа (общее правило). Поскольку выходной зрачок осветителя 279 находится в бесконечности, то входной зрачок микроскопа также должен находиться в бесконечности. Для этого апертурная диафрагма микроскопа устанавливается в задней фокальной плоскости объектива, тем самым реализуется телецентрический ход главного луча в пространстве предметов, что очень важно для измерительных микроскопов. В плоскости апертурной диафрагмы микроскопа создаются изображения источника света и апертурной диафрагмы осветителя. Для согласования числовых апертур и линейных полей зрения осветителя и микроскопа используются диафрагмы Д1 и Д3. Второй способ – освещение на темном поле, при котором световой поток в объектив микроскопа попадает только от неоднородностей предмета, рассеивающих свет. При этом глаз наблюдателя адаптирован на темноту и на темном поле видны светлые неоднородности предмета. Освещение на темном поле применяется при наблюдении ультрамикроскопических предметов, когда их размеры значительно меньше длины волны. Для освещения объектов по методу темного поля используется конденсор, числовая апертура которого больше, чем числовая апертура объектива микроскопа. Перед конденсором устанавливается кольцевая диафрагма 4 (рис. 9.21), создающая световые пучки цилиндрической формы. Рис. 9.21. Конденсор темного поля Выбором диаметра центрального непрозрачного диска обеспечивается числовая апертура светового пучка, превышающая числовую 280 апертуру объектива микроскопа. В этом случае при отсутствии предмета 2 световой пучок, вышедший из конденсора 3, пройдет мимо объектива 1, и наблюдатель увидит темное поле. При наличии предмета свет будет диффузно рассеиваться на его неоднородностях, часть рассеянного свет попадет в объектив, и наблюдатель на темном фоне увидит светлые неоднородности предмета. 9.2.6.2. Освещение непрозрачных объектов Непрозрачные объекты освещаются через объектив микроскопа. Для этого между объективом и окуляром микроскопа устанавливается (рис. 9.22) призма-куб с полупрозрачной гранью (делительный кубик). Рис. 9.22. Опак-иллюминатор Лучи от источника света, расположенного в стороне от вертикальной оптической оси микроскопа, через систему конденсора попадают в призму-куб и, отражаясь от поверхности склейки, проходят через объектив микроскопа, освещая предмет. Свет, рассеянный предметом, снова попадает в объектив микроскопа, который вместе с окуляром 281 строит увеличенное изображение предмета на сетчатке глаза. Недостатком такого осветительного устройства (опак-иллюминатора) является малый контраст изображения, вызванный большим количеством рассеянного света, который образуется при отражении от поверхности линз объектива микроскопа. Этот недостаток устранен в осветительном устройстве, которое называется ультраопак. Здесь вместо призмы-куба применяется наклонное зеркало с отверстием в средней части, предназначенным для прохода света от предмета через объектив микроскопа. Оптическая система опакиллюминатора размещена в патрубке 4 (рис. 9.22), закрепленном на нижней части тубуса 9 микроскопа перпендикулярно к его оси. В левом торце патрубка установлена матовая пластина (или молочное стекло) 2, которая освещается любым источником света, позволяющим создать на поверхности пластины равномерную освещенность. Справа от пластины 2, в непосредственной близости, находится ирисовая диафрагма 3, выполняющая в осветителе функцию апертурной диафрагмы. Плоскость диафрагмы 3 совмещена с передней фокальной плоскостью линзы 5, которая строит изображение диафрагмы 3 в бесконечности, а линза 7 совместно с призмой-кубом 8 переносит это изображение из бесконечности в плоскость апертурной диафрагмы 10 микроскопа, т. е. плоскости диафрагм 3 и 10 сопряжены. Справа от линзы 5, в непосредственной близости, установлена ирисовая диафрагма 6, выполняющая в осветителе функцию полевой диафрагмы. Диафрагма 6 расположена между линзой 7 и ее передним фокусом F7, поэтому линза 7 строит мнимое изображение диафрагмы 6 , расположенное слева от пластины 2. Фокусное расстояние линзы 7 и положение диафрагмы 6 рассчитаны так, чтобы расстояние от изображения 6 до заднего фокуса объектива 11 микроскопа равнялось оптической длине тубуса микроскопа. В этом случае изображение диафрагмы 6 (а следовательно, и диафрагмы 6) через призму-куб 8 и объектив 11 микроскопа совпадет с плоскостью предмета. Регулировкой диафрагм 3 и 6 можно согласовать апертуры и линейные поля осветительной системы и микроскопа. 282 9.2.7. Объективы и окуляры микроскопа 9.2.7.1. Объективы микроскопа Согласно ГОСТ 28489–90, микрообъектив микроскопа – это оптическая система светового микроскопа, которая, воспринимая пучок лучей с большим апертурным углом, исходящий от небольшого в сравнении с ее фокусным расстоянием участка объекта, образует в световом микроскопе промежуточное изображение объекта на конечном расстоянии или в бесконечности. Микрообъектив является важнейшим узлом микроскопа. От его структуры и коррекции аберраций зависит разрешающая способность и качество изображения всего микроскопа. Основными характеристиками микрообъективов являются линейное увеличение и числовая апертура A, значения которых гравируются на их оправе. Объективы современных микроскопов имеют увеличение 1–120х и числовую апертуру 0.01–1.5. Чем лучше исправлены аберрации объектива, тем сложнее его оптическая схема. Отметим признаки, по которым можно классифицировать объективы микроскопов: • Спектральная область, для которой они рассчитаны. • Способ освещения наблюдаемых объектов (9.2.6.1, 9.2.6.2). • Длина тубуса. Согласно ГОСТ 28489–90, тубус микроскопа – это конструктивный узел светового микроскопа, служащий для установки окуляра на определенном расстоянии от микрообъектива (рис. 9.23). В микроскопе различают оптическую и механическую длину тубуса. Под оптической длиной тубуса понимают расстояние от заднего фокуса объектива до переднего фокуса окуляра. Под механической длиной – расстояние от опорной плоскости объектива до верхнего торца тубуса (посадочной плоскости окуляра). При разработке новых моделей микроскопов необходимо уделять большое внимание вопросам унификации и стандартизации оптических узлов микроскопа. В настоящее время используются микрообъективы, рассчитанные на три длины L тубуса: 160, 190 и (рис. 9.23). Объективы для L = 160 мм (рис. 9.23, а) используют в биологических микроскопах для исследования в проходящем свете объектов, расположенных под покровным стеклом. 283 а б в Рис. 9.23. Принципиальная схема светового микроскопа с тремя различными длинами тубусов: а) L = 160 мм; б) L = 190 мм, в) L = . 1 – конденсор; 2 – плоскость предмета; 3 – объектив; 4 – окуляр; 5 – осветительная пластина (или призма) опак-иллюминатора; 6 – тубусная линза Покровное стекло (ГОСТ 28489–90) – это стеклянная пластинка, предназначенная для предохранения микропрепаратов от пыли и механических повреждений. Микрообъективы для L = 190 мм (рис. 9.23, б) применяют в рудных и других микроскопах, работающих в отраженном свете, для исследования непрозрачных объектов. Объективы для L = (рис. 9.23, в) предназначены в основном для работы в отраженном свете. В микроскопе с L = плоскость предмета совпадает с передней фокальной плоскостью микрообъектива 3, тубусная линза 6 переносит изображение из бесконечности в переднюю фокальную плоскость окуляра 4. • Наличие покровного стекла и иммерсионной жидкости: сухие системы (без иммерсии), с водной иммерсией, масляной или 284 однородной иммерсией, глицериновой иммерсией. • Характер исправления аберраций (монохроматы, ахроматы, апохроматы, суперапохроматы, планахроматы и т. д.). Дадим некоторые пояснения названий микрообъективов. Монохроматы – это объективы, у которых хроматическая аберрация исправлена для узкой части спектра. Ахроматы – объективы, у которых хроматическая аберрация исправлена для двух длин волн. У апохроматов спектральная область шире и ахроматизация выполняется для трех длин волн. В суперапохроматах ахроматизация выполнена для видимой и УФ областей спектра. Планахроматы и планапохроматы отличаются плоской поверхностью изображений, так как в них исправлена кривизна изображения и астигматизм. Оценка качества изображения микрообъективов проводится в волновой мере. Например, у ахроматов для двух длин волн, на которых исправлена хроматическая аберрация, волновые аберрации не превышают 0.5 . • Линейное увеличение и числовая апертура ( 10 и A 0.2 ; 40 и A 0.65 ; 40 и A 0.65 ). Конструктивные особенности (линзовые, зеркально-линзовые, зеркальные). Широко используются линзовые объективы, которые отличаются повышенными эксплуатационными характеристиками по сравнению с зеркальными и зеркально-линзовыми объективами (рис. 9.24). У линзовых объективов отсутствует центральное экранирование, которое снижает контраст изображения. • а б Рис. 9.24. Оптические схемы некоторых микрообъективов: а – ахромат ( 6 0.15 ); б – иммерсионный апохромат (90 1.3) Зеркальные и зеркально-линзовые объективы имеют ряд преимуществ перед линзовыми системами. 285 в г д Рис. 9.24. Оптические схемы некоторых микрообъективов: в – суперапохроматы (25 0.35); г) объектив Максутова (60 0.85) д – объектив Волосова (40 0.5) Например, задний фокальный отрезок у этих объективов может быть в несколько раз меньше фокусного расстояния, а широкая область ахроматизации позволяет без перефокусировки микроскопа наблюдать объекты в УФ (ультрафиолетовой) и ИК (инфракрасной) областях спектра. Роль зеркальных и зеркально-линзовых объективов возросла с развитием ИК техники, высокотемпературной металлографии и микроанализаторов. 9.2.7.2. Окуляры Окуляром светового микроскопа (ГОСТ 28489–90) называется оптическая система, образующая видимое глазом наблюдателя увеличенное изображение промежуточного изображения объекта, создаваемого микрообъективом. Кроме окуляров для визуального наблюдения в микроскопе применяются еще проекционные окуляры, используемые в микропроекционных установках и микрофотографии. Согласно ГОСТ 28489–90, проекционным окуляром называется оптическая система, образующая увеличенное изображение промежуточного 286 изображения объекта, создаваемого микрообъективом, на внешней плоскости, представляющей собой экран или светочувствительную поверхность. Применение окуляра определяется типом объектива и характером исправления аберраций. Все окуляры должны давать плоскую поверхность изображения, если они используются с планобъективами. В визуальных окулярах можно допустить некоторую кривизну поля, благодаря аккомодационной способности глаза, а также из-за возможности перефокусировки при визуальном наблюдении. Чаще всего в микроскопах используют следующие типы окуляров: Гюйгенса, Кельнера, ортоскопические, компенсационные, симметричные, панкратические, специальные и отрицательные (гомалы). Видимое увеличение окуляров составляет 4 − 30 , угловое поле 400 − 700 и соответствующее линейное поле 24–16 мм. Оптические схемы некоторых окуляров приведены на рисунке 9.20. Отечественная промышленность выпускает окуляры Гюйгенса (см. рис. 9.25, а) со следующими увеличениями: 4, 5, 7, 10 и 15х, линейное поле их соответственно равно 24, 23, 18, 14 и 8 мм, а угловое поле не более 300. Угловое поле окуляров Кельнера (см. рис. 9.25, б) составляет 40...50°. Компенсационные окуляры (см. рис. 9.25, в–д) применяются с объективами-апохроматами, планобъективами и объективами-ахроматами больших увеличений. Они компенсируют хроматизм увеличения применяемых с ними объективов. Гомалы – окуляры с отрицательной оптической силой – используют в микроскопах главным образом для фотографирования. Панкратические окуляры служат для плавного изменения увеличения в 5–10 раз без перефокусировки объективов. а б 287 в г д Рис. 9.25. Оптические схемы некоторых окуляров: а – Гюйгенса; б – Кельнера; в – д – компенсационные Симметричные окуляры применяются в основном для фотографирования и реже для визуального наблюдения. 9.3. Телескопические системы Все приведенные ниже термины и определения, касающиеся телескопических систем, регламентированы ГОСТ Р 50701–94. Телескопическая система – это оптическая система, у которой входящий пучок лучей из точки предмета на оптической оси, находящегося в бесконечности, и соответствующий ему выходящий пучок лучей параллельны. Телескопический наблюдательный прибор – это оптический прибор, содержащий телескопическую систему и предназначенный для наблюдения удаленных объектов в увеличенном виде. Зрительная труба – телескопический наблюдательный прибор, конструктивно оформленный в виде трубы, длина которой не менее чем в два раза превышает диаметр объектива. Телескопические системы и зрительные трубы – это наиболее распространенная группа оптических систем, являющихся основной частью множества оптических приборов: геодезических, астрономических и военных наблюдательных, угломерных, дальномерных и прицельных. Кроме того, телескопические системы входят в состав многих лабораторных измерительных и контрольных приборов. Схема телескопической системы состоит как минимум из двух компонентов – объектива и окуляра. Объективом называется часть оптической системы телескопического наблюдательного прибора, 288 формирующая изображение удаленного предмета; окуляром называется оптическая система, предназначенная для наблюдения глазом изображения объекта, образованного объективом телескопического наблюдательного прибора. Оптическая система, состоящая из объектива и окуляра с положительными задними фокусными расстояниями, называется телескопической системой Кеплера; оптическая система, состоящая из объектива с положительным фокусным расстоянием и окуляра с отрицательным фокусным расстоянием, называется телескопической системой Галилея. Зрительная труба, предназначенная для наблюдения удаленных объектов двумя глазами, называется бинокулярной. Бинокулярное зрение меньше утомляет наблюдателя и обладает стереоскопичностью, т. е. способностью к оценке удаленности предметов. 9.3.1. Телескопическая система Кеплера Поскольку оба компонента телескопической системы Кеплера положительны, то, как следует из формулы (4.275), угловое увеличение системы меньше нуля. Это говорит о том, что изображение перевернуто. Это обстоятельство является существенным недостатком телескопической системы Кеплера. В астрономических и геодезических приборах с этим фактом еще можно мириться. На геодезических рейках оцифровка делается в перевернутом виде. Но во многих случаях, например, в приборах военного назначения, перевернутое изображение совершенно недопустимо. В таких случаях приходится вводить в трубу Кеплера специальные призменные или линзовые оборачивающие системы, что приводит к удорожанию оптического прибора. Оборачивающей системой называется оптическая система, предназначенная для перевертывания изображения, даваемого объективом телескопического наблюдательного прибора. Если фокусные расстояния объективов и окуляров телескопических систем Кеплера и Галилея соответственно равны по модулю, то, как мы увидим ниже, расстояние d между компонентами системы Кеплера будет больше, чем соответствующее расстояние в системе Галилея ( d = f1 − f2 ). Вследствие этого зрительная труба Кеплера будет длиннее трубы Галилея. Перевернутое изображение и увеличенная длина трубы Кеплера – 289 это ее недостатки. Но она обладает и важными преимуществами. Первым преимуществом является то, что в задней фокальной плоскости объектива возникает действительное изображение удаленного предмета. В этой плоскости устанавливают полевую диафрагму и пластинку с перекрестием или же иной маркой, благодаря чему трубу Кеплера можно навести на любую точку предмета, что позволяет создать различные угломерные оптические приборы и прицелы. Вторым важным преимуществом трубы Кеплера является то, что выходной зрачок трубы – действительный, благодаря чему его можно совместить со зрачком глаза и получить большие поля зрения. 9.3.1.1. Диафрагмы зрительной трубы Кеплера Входным зрачком и апертурной диафрагмой в трубе Кеплера является оправа Q1 объектива, либо вынесенная вперед диафрагма (защитное стекло, головная призма и т. п.). Ее изображение Q1 (рис. 9.26) является выходным зрачком трубы, с которым совмещается зрачок глаза Q4. Полевая диафрагма трубы Кеплера расположена в задней фокальной плоскости объектива, совмещенной с передней фокальной плоскость окуляра. Примечание. В п. 4.17.1. была получена матрица преобразования лучей между опорными плоскостями ОП1 и ОП2 (рис. 9.27): A B M = , C D Рис. 9.26. Зрительная труба Кеплера 290 где A=− f 2 f , B = f1+ f 2 , C = 0 , D = − 1 . f 2 f1 Рис. 9.27. К определению положения и величины выходного зрачка Пусть O и O – сопряженные плоскости, соответствующие входному и выходному зрачкам. Запишем матрицу преобразования лучей между плоскостями O и O : A B 1 a A B 1 − a M = = , C D 0 1 C D 0 1 A= A=− f 2 f , B = − a ( A + C a ) + B + D a = 0 , C = C = 0 , D = D = − 1 . f1 f 2 Отсюда при B = 0 получим: B −a A – положение выходного зрачка, a = − D −C a 2 yзр. = 2 A y зр. – диаметр выходного зрачка, здесь 2 y зр. и a – соответственно диаметр и положение входного зрачка; задаются. На рис. 9.26 изображен случай, когда виньетирование отсутствует, но пучок лучей, падающий на систему под углом , равным половине углового поля, проходит через окуляр, касаясь его оправы. Поэтому увеличение угла приведет к увеличению высоты лучей на окуляре, т. е. к увеличению светового диаметра окуляра и появлению виньетирования. При больших увеличениях окуляр представляет собой короткофокусную оптическую систему, в которой просто принципиально 291 невозможно получить большой световой диаметр, и это может привести к виньетированию на оправе окуляра. Для того, чтобы избежать виньетирования (или максимально его уменьшить) при заданном угловом поле 2 , применяют линзу, называемую коллективом. Коллектив – это линза, устанавливаемая в плоскости изображения, образуемого объективом телескопического наблюдательного прибора, или вблизи этой плоскости, предназначенная для изменения хода наклонного пучка лучей. На рис. 9.28 показана схема хода лучей через зрительную трубу Кеплера с положительным коллективом, установленным в плоскости промежуточного изображения. Рис. 9.28. Труба Кеплера с коллективом Такое расположение коллектива не меняет оптической силы системы и ее углового увеличения: луч 1, падающий на объектив параллельно оптической оси, проходит через совмещенные главные точки коллектива, не меняя направления, и после преломления окуляром выходит параллельно оптической оси. Иначе обстоит дело с главным лучом 2, проходящим через совмещенные главные точки объектива под углом 0 к оптической оси. При отсутствии коллектива луч 2 пересек бы совмещенные главные плоскости окуляра в точке D2, положение которой легко рассчитать, зная конструктивные параметры зрительной трубы. Но после прохождения через коллектив луч 2 меняет свое направление. Построим графически ход луча 2 через коллектив. Для этого зададим положение переднего фокуса Fкол коллектива и проведем вспомогательный луч через точку L пересечения главного луча 2 с передней фокальной плоскостью коллектива и совмещенные главные 292 коллектива. Вспомогательный луч выйдет из окуляра, не точки H кол H кол меняя направления. Луч 2 после преломления коллективом пройдет параллельно вспомогательному лучу и пересечет совмещенные главные окуляра в точке D1. Из построения видно, что точка плоскости H кол H кол D1 расположена ниже точки D2. Таким же образом сместятся ближе к оси и точки пересечения с совмещенными главными плоскостями окуляра лучей наклонного пучка, проходящих через края входного зрачка. А это значит, что световой диаметр окуляра при заданном угле стал меньше. Поэтому угол можно увеличить до значения 1 , при котором главный луч после преломления коллективом снова пройдет через точку D2. Таким образом, угловое поле зрительной трубы станет больше. Диаметр полевой диафрагмы следует рассчитать под новое угловое поле 2 1 . Практически конструктор выполняет это построение в обратном порядке: задает положение точки D1 (ниже точки D2), проводит луч MD1, затем строит вспомогательный луч, проходящий параллельно коллектива до пелучу MD1 через совмещенные главные точки H кол H кол ресечения с главным лучом 2 в точке L, и опускает перпендикуляр из точки L на оптическую ось. Точка пересечения перпендикуляра с оптической осью и будет являться передним фокусом коллектива Fкол. Для определения положения выходного зрачка зрительной трубы совместно с коллективом конструктор проводит вспомогательный луч – совмещенные главные точки окуляра) и парал ( H ок H ок MH ок H ок лельно ему луч D1P . Точка P пересечения луча с оптической осью определяет центр выходного зрачка. Для определения центра выходного зрачка трубы без коллектива конструктор проводит луч D2 P параллельно вспомогательному лучу MH ок H ок . Точка P пересечения луча с оптической осью определяет центр выходного зрачка трубы без коллектива. Из рис. 9.28 видно, что установка в системе положительного коллектива приводит к уменьшению расстояния aP от окуляра до выходного зрачка, т. е. угловое поле системы увеличивается (при том же световом диаметре окуляра и том же диаметре полевой диафрагмы), а вынос выходного зрачка уменьшается. 293 В некоторых случаях требуется увеличение выноса выходного зрачка. Для этого в зрительной трубе устанавливается отрицательный коллектив, строится через него ход луча 2 и определяется точка D3 пересечения этого луча с совмещенными главными плоскостями окуляра. Далее параллельно вспомогательному лучу MH ок H ок проводится луч D3 P . Точка P пересечения луча с оптической осью определяет положение выходного зрачка. Очевидно, что в этом случае вынос выходного зрачка увеличивается, но появляется виньетирование на оправе окуляра, если нет возможности увеличить ее диаметр. Практически эту задачу конструктор также выполняет в обратном порядке: задает положение точки P (или D3), строит ход луча описанным выше способом, определяет положение переднего фокуса Fкол и, значит, фокусного расстояния коллектива. 9.3.1.2. Увеличение и разрешающая способность телескопической системы Кеплера Основной характеристикой телескопической системы служит видимое увеличение ГT , которое для системы в воздухе определяется выражением (9.1): ГT = tg . tg (9.83) Под углом будем понимать угол, под которым невооруженный глаз видит предмет, расположенный в бесконечности. Или по другому: это угловое расстояние между двумя точками, расположенными в бесконечности, и измеренное из центра зрачка глаза. Из рис. 9.29 находим величину промежуточного изображения: . tg = − f Ок. tg , y = − f Об (9.84) . tg f Об = = ГT . tg fОк . (9.85) откуда: Из сравнения (9.85) и (4.275) видно, что видимое увеличение телескопической системы совпадает с угловым увеличением. При малых углах и можно положить: 294 . tg f Об = ГT . tg fОк. (9.86) Рис. 9.29. К определению видимого увеличения Глаз через окуляр увидит раздельно изображения двух точек, если угол не меньше углового разрешения глаза, в предельном случае = гл. . Тогда из (9.86) находим, что минимальное угловое расстояние между двумя точками в пространстве предметов, которые глаз наблюдателя еще видит раздельно через телескопическую систему, определяется выражением: = ГT = гл. ГT . (9.87) Положим, что объектив имеет дифракционное качество изображения, то есть создает дифракционные изображения точек предмета, расположенного в бесконечности. Согласно критерию Рэлея, минимальное расстояние между двумя дифракционными изображениями, разрешаемыми визуально, равно rд. , то есть y = −rд. = − 1.22 f об . . DВх. зр. (9.88-1) С другой стороны, можно записать: y = − fок. tg − fок. . Приравняем правые части (9.88-1) и (9.88-2): 295 (9.88-2) − 1.22 f об . = − f ок. , DВх. зр. или D 1.22 f об . = , отсюда ГT = Вх. зр. . 1.22 DВх. зр. f ок. Положим = 0.55 10−3 мм, Dвх. зр. = мм, тогда ГT = DВх. зр. ) −3 ( = DВх. зр. ( ) , 1.22 0.55 10 180 60 60 138 где запись ( ) означает, что угол задается в секундах. Однако глаз может рассмотреть два изображения раздельно только в том случае, если угловое расстояние между ними при наблюдении их через окуляр не меньше углового разрешения глаза, то есть гл. . В предельном случае для простоты положим = гл. = −69 , тогда получим: ГT = − Dвх. зр. 2 (9.89-1) или Dвх. зр. = −2 ГT . (9.89-2) Таким образом, для достижения предела дифракционного разрешения телескопической системы с заданным видимым увеличением ГT необходимо, чтобы диаметр входного зрачка Dвх. зр. был численно равен модулю удвоенного значения видимого увеличения этой системы. Если уменьшить Dвх. зр. при том же значении ГT , то согласно (9.881) увеличится значение rд. , то есть линейный предел разрешения объектива в пространстве изображений станет больше и тогда получим гл. , то есть разрешающая способность системы станет хуже. Если увеличить Dвх. зр. , то rд. станет меньше, то есть расстояние между центрами дифракционных изображений уменьшится и получим гл. , а это значит, что глаз наблюдателя не сможет разрешить два дифракционных изображения. Таким образом, разрешающая способность телескопической системы определяется объективом. Окуляр должен иметь разрешающую 296 способность не хуже, чтобы рассмотреть то, что разрешает объектив. Увеличение телескопической системы называется нормальным, если диаметр DВых. зр. выходного зрачка системы равен диаметру DЗр. гл. входного зрачка глаза. При этом выходной зрачок системы должен быть совмещен с входным зрачком глаза. В этом случае при наблюдении точечного источника света освещенность в изображении на сетчатке достигает максимального значения. Для телескопической системы с нормальным увеличением можно записать: D D f (9.90) ГТ = Н = Об . = − Вх. зр. = − Вх. зр. , fОк. DВых. зр. DЗр.гл. где Н – нормальное увеличение системы. Если объектив имеет дифракционное качество изображения, то с учетом (10.89-1) предел нормального увеличения системы будет равен: D D (9.91) Г Н ,пред. = − Вх. зр. = − Вх. зр. , Dзр.гл. 2 откуда Dвых. зр. = Dзр.гл. = 2 мм. Это означает следующее: телескопическая система с объективом, имеющим дифракционное качество изображения, будет иметь максимальную разрешающую способность только в том случае, если Dвх. зр. = −2 ГT , и при этом максимальную освещенность в изображении предмета на сетчатке, если диаметры выходного зрачка системы и зрачка глаза равны между собой и равны 2 мм. 9.3.2. Телескопическая система Галилея Труба Галилея имеет отрицательный окуляр и поэтому дает прямое изображение. В качестве окуляра обычно применяется обычная отрицательная линза; объектив в большинстве случаев состоит из двух склеенных объективов. Преимущество системы Галилея перед другими системами, дающими прямое изображение, – простота конструкции и хорошая прозрачность. Однако, как будет показано далее, эта система обладает значительно меньшим полем зрения, чем системы с положительными окулярами. В настоящее время система Галилея применяется самостоятельно лишь в театральных биноклях, где не требуется большого увеличения и большого поля зрения. На рис. 9.30 представлена схема системы Галилея. 297 Так как задний фокус окуляра мнимый, то промежуточное изображение предметов, образуемое объективом относительно окуляра, так же мнимое; поэтому в плоскость промежуточного изображения невозможно установить полевую диафрагму, визирную сетку или иной репер. Рис. 9.30. Диафрагмы трубы Галилея, работающей без глаза Поскольку в системе нет полевой диафрагмы, то поле изображения не имеет резко очерченной границы. При работе без глаза входным зрачком и апертурной диафрагмой трубы Галилея является оправа Q1 объектива, выходным зрачком – изображение Q1 оправы Q1 объектива, образованное окуляром и лежащее внутри трубы. Изображение Q1 строится с помощью двух лучей: луча 3 , проходящего через край оправы объектива и совмещенные главные точки окуляра, и луча 2 , параллельного вспомогательному лучу 4 , проходящему через изображение C и совмещенные главные точки окуляра. Из построения получилось (рис. 9.30), что выходной зрачок находится внутри системы и является мнимым. Поэтому совместить зрачок глаза с выходным зрачком системы в принципе невозможно. Что бы создать относительно оптимальные условия для работы, необходимо максимально приблизить выходной зрачок системы к окуляру. Чтобы определиться, как это сделать, рассчитаем положение выходного зрачка, используя формулу Гаусса: 298 1 1 1 − = , ap a p f ок . откуда находим: ap = a p fок . . a p + fок . (9.92) Учитывая, что f a p = − ( f об . + f ок . ) = − d 0 , T = − об . 0 , f ок . (9.93) где d – длина трубы (расстояние между объективом и окуляром), преобразуем выражение (9.92) и получим: ap = 1 = fок . 1 − . T T ap (9.94) Проанализируем полученное выражение. Положим fок . = const , то есть, рассмотрим трубу с заданным окуляром. Если a p = 0 , то из (9.92) следует, что ap = 0 . Это самое минимальное расстояние до выходного зрачка системы. Но в этом случае, согласно (9.93), fоб . = − fок . и T = 1, T = 1, то есть полученная система работает как плоскопараллельная пластина. Устремим a p к бесконечности. При заданном значении fок . это возможно при fоб . → . В этом случае T → , T → 0 и согласно (9.94) ap → fок . , то есть, с увеличением длины трубы и видимого увеличения выходной зрачок системы удаляется от окуляра влево и стремится к его задней фокальной плоскости. Поэтому создавать системы Галилея с большими увеличениями не целесообразно, поскольку увеличивается расстояние между зрачком глаза и выходным зрачком системы. Формально полевая диафрагма в телескопе Галилея отсутствует, так как нет ни одной диафрагмы, совпадающей с плоскостью предмета или расположенной в одной из сопряженных с ней плоскостей. Оправа Q2 окуляра является виньетирующей диафрагмой, а также выполняет функции полевой диафрагмы, так как именно она ограничивает угловое поле системы. При небольших увеличениях изображение Q1 оправы 299 объектива, образуемое окуляром, больше, чем входной зрачок глаза. Поэтому при наблюдении глазом через трубу Галилея апертурной диафрагмой (и выходным зрачком) является зрачок глаза, а входным – его изображение в пространстве предметов. Это происходит оттого, что в трубе Галилея невозможно совместить входной зрачок глаза с выходным зрачком трубы (то есть с изображением Q1 оправы объектива). На рисунке 9.31а показан входной зрачок Q3 глаза, максимально приближенный к окуляру, и графически построено его изображение Q3 в обратном ходе через систему в пространстве предметов. Рис. 9.31а. Диафрагмы трубы Галилея, работающей с глазом Сначала строится изображение входного зрачка глаза через окуляр: первый луч 2 проходит через совмещенные главные точки окуляра, второй луч 4 падает параллельно оптической оси на окуляр и, преломляясь (луч 1 ), проходит через передний фокус окуляра FОк. ; точка пересечения лучей 1 и 2 дает изображение Q3 края диафрагмы. Затем строится изображение промежуточного изображения Q3 через объектив: первый луч 3 проходит через совмещенные главные точки ., объектива; второй луч 1 проходит через задний фокус объектива FОб преломляется объективом и выходит из него параллельно оптической оси (луч 1 ). Точка пересечения лучей 3 и 1 дает изображение края диафрагмы Q3 . Для оценки влияния положения зрачка глаза на виньетирование рассчитаем в обратном ходе положение его изображения Q3 в пространстве предметов. 300 Для этого воспользуемся формулой (4.67): a= B + a D , A + a C (9.95) где матричные элементы для телескопической системы определяются выражениями (4.271) – (4.273): f f 1 . + fок . , C = 0 , D = − об. = T 0 . (9.96) A = − ок. = 0 , B = d = f об . T f об fок . Подставим (9.96) в (9.95), преобразуем и получим: a = T ( d + a T ) . (9.97) Из формулы (9.96) следует: если положить T = const и d = const , то при удалении зрачка глаза Q3 от окуляра (при росте a ), увеличивается и расстояние а до изображения Q3 зрачка глаза системой Галилея. Из рисунка 9.31б можно увидеть, что с увеличением расстояния а при заданном угле растет виньетирование на диафрагме Q1 . Рис. 9.31б. Диафрагмы трубы Галилея, работающей с глазом Поэтому оправа объектива является виньетирующей диафрагмой, а также выполняет функции полевой диафрагмы, поскольку именно она будет ограничивать угловое поле трубы Галилея при увеличении угла . Максимальное угловое поле определяется наклонным пучком, для которого виньетирование достигает ста процентов ( k = 0 ). Для уменьшения виньетирования и увеличения углового поля 301 необходимо уменьшать расстояние а и увеличивать диаметр объектива. Но увеличение диаметра объектива при сохранении его относительного отверстия приводит к усложнению конструкции объектива. Если положить a = const , то расстояние a до входного зрачка можно уменьшить путем уменьшения видимого увеличения T и рас- . + fок . , например, за счет уменьшения фокусного расстояния d = fоб стояния объектива . . В крайнем случае при T = 1 получим fоб fоб . = − fок . и d = 0 , то есть система снова будет эквивалентна плоскопараллельной пластине. Таким образом, для увеличения углового поля и уменьшения виньетирования на оправе объектива Q1 при наблюдении глазом в трубу Галилея необходимо уменьшить видимое увеличение T системы и увеличить (в пределах, ограниченных возможностями расчета и технологии изготовления) диаметр объектива. А также максимально приблизить зрачок глаза к окуляру. Поэтому реально изготавливают трубы Галилея с небольшим увеличением, например, театральные бинокли с увеличением 3 . В биноклях диаметр объектива дополнительно ограничивается межзрачковым расстоянием. Если система Галилея работает без глаза, то все ограничения на угловое увеличение снимаются. К таким относятся системы для расширения лазерных пучков в случаях, когда промежуточное изображение может оказаться нежелательным (например, при использовании мощного лазерного излучения). Системы Галилея применяются также для дискретного изменения увеличения в микроскопах. 9.3.3. Зрительные трубы с линзовыми оборачивающими системами В зрительной трубе Кеплера изображение получается перевернутым, поэтому для реализации прямого изображения используют дополнительные системы, называемые оборачивающими, с одним (рис. 9.32) . и FОк. соили двумя (рис. 9.33) компонентами. На рис. 9.32 точки FОб пряжены; в задней фокальной плоскости объектива создается перевернутое изображение объекта; линза 1 еще раз переворачивает изображение, в результате чего получается прямое изображение, совмещенное с передней фокальной плоскостью окуляра. 302 Рис. 9.32. Труба Кеплера с однокомпонентной оборачивающей системой Далее прямое изображение рассматривается глазом через окуляр как через лупу. На рис. 9.33 промежуточное изображение, создаваемое объективом, совмещается с передней фокальной плоскостью линзы 1. Рис. 9.33. Труба Кеплера с двухкомпонентной оборачивающей системой В задней фокальной плоскости линзы 2 образуется перевернутое изображение, которое рассматривается через окуляр. Если f1 = f2 , то y = − y . Примечание. Рассмотрим более подробно телескопическую систему Кеплера с коллективом и двухлинзовой оборачивающей системой (рис. 9.34). Запишем матрицу преобразования лучей между опорными плоскостями ОП1 и ОП5: A B 1 0 1 d4 1 M = = C D −Ф5 1 0 1 −Ф4 1 d2 1 0 1 −Ф2 0 1 d3 1 0 . 1 0 1 −Ф3 1 0 1 d1 1 0 . 1 0 1 −Ф1 1 303 Перемножая матрицы, находим: A= f f f f f f 3 f 5 , B = − 5 f1+ f3 − 1 3 − 1 f 4 + f5 − d3 5 , f 4 f 2 f3 f 4 f1 f 4 C = 0, D = f1 f 4 . f3 f5 Рис. 9.34. Телескоп Кеплера с двухлинзовой оборачивающей системой. 1 –объектив; 2 – коллектив; 3, 4 – оборачивающая система; 5 – окуляр Пусть ОП – плоскость входного зрачка, ОП – плоскость выходного зрачка. Запишем матрицу преобразования лучей между зрачками: A B 1 a A B 1 − a M = = , C D 0 1 C D 0 1 откуда A = A , B = −a ( A + a C ) + ( B + a D ) , C = C = 0 , D = D − a C = D . Из условия B = 0 находим: B −a A , 2 yзр. = 2 A yзр. , D − a C здесь a – расстояние от компонента 5 до выходного зрачка, 2 yзр. – диаметр выa = − ходного зрачка. По определению D = D – угловое увеличение системы, или f f D = D = 1 4 = Г1,3 Г 4,5 , f3 f5 то есть угловое (видимое) увеличение всей системы равно произведению видимого увеличения системы, состоящей из компонентов 1–3, и видимого увеличения системы, состоящей из компонентов 4–5. 304 9.3.4. Схемы с призменными оборачивающими системами Монокуляром называется телескопический наблюдательный прибор, предназначенный для наблюдения объекта одним глазом, конструктивно оформленный в виде половины бинокля (ГОСТ Р 50701– 94). Оптическая схема монокуляра представляет собой телескопическую систему Кеплера с призменной оборачивающей системой для получения прямого изображения. Введение призм в оптическую схему монокуляра позволяет также получить заданный угол между оптическими осями объектива и окуляра. Типовые схемы зрительных труб с призменными оборачивающими системами приведены на рис. 9.35 и 9.36. Рис. 9.35. Оптическая схема бинокля (половина) Наиболее простой является схема с призменной оборачивающей системой Порро первого рода (схема О.Н. Малафеева), используемая в бинокле (рис. 9.35). Оборачивающая система состоит из двух прямоугольных равнобедренных призм 1 и 2 типа АР-90, расположенных между объективом и его фокальной плоскостью так, что ребра их прямых углов взаимно перпендикулярны, а гипотенузные грани обращены друг к другу. Указанная система обладает четырехкратным отражением лучей от граней призм и дает полное оборачивание изображения. Такой же эффект оборачивания изображения достигается в призменном монокуляре (см. рис. 9.36) с одной призмой с крышей (призма типа АкР), при этом угол отклонения отраженных лучей может быть равен 90° или отличаться от него. Обычно ребро крыши располагается так, чтобы оно лежало в меридиональной плоскости. Такое расположение ребра, вообще говоря, совершенно не обязательно: при ином его расположении призмы будут 305 иметь несколько большие размеры, и в случае простой крышеобразной призмы оптические оси объектива и окуляра будут лежать в двух разных параллельных друг другу плоскостях. Для получения полного обращения изображения число отражений всякого пучка лучей должно быть четным; если ребро крыши лежит в одной плоскости с оптической осью, то луч, идущий вдоль оптической оси прибора, как бы отражается от ребра крыши (рис. 9.36) и, следовательно, этот луч имеет нечетное число отражений. Рис. 9.36. Оптическая схема призменного монокуляра Наибольшее распространение имеют призмы с двумя или с четырьмя отражениями. Призмы с большим числом отражений почти никогда не применяются, за исключение особых случаев, так как изготовление таких призм всегда очень сложно. Целесообразно применять монокуляры с прямым изображением, но без крышеобразных призм, так как прямой угол между отражающими гранями крыши должен быть довольно точным, с допуском порядка нескольких секунд. Вместо крышеобразных призм обычно применяют призменные оборачивающие системы, состоящие из двух или трех прямоугольных призм. Призмы размещают как в сходящихся пучках лучей за объективом, так и в параллельном ходе лучей, например, перед объективом. Габаритный расчет призменного монокуляра подобен габаритному расчету простой трубы. Отличием является определение размеров призм. 306 Для удобства расчета оптическую схему монокуляра разворачивают по горизонтальной оси, заменяя призму эквивалентной плоскопараллельной пластиной (рис. 9.37), редуцированной к воздуху (редуцирование – прием, заключающийся в приведении оптической среды пластины к воздуху). Для призм, расположенных в сходящихся пучках лучей, учитывают вызываемое ими смещение изображения по формуле (5.31) параксиальной оптики: n −1 (9.98) = d = d − d0 . n Рис. 9.37. Эквивалентная схема призменного монокуляра (без окуляра): n – показатель преломления призмы; d – толщина эквивалентной пластины; d 0 = d / n – толщина редуцированной пластины На эту величину уменьшают расстояние между теми поверхностями, между которыми находится редуцированная пластина. Расчет призм состоит в определении световых диаметров поверхностей призм и места их расположения между объективом и окуляром. Все остальные размеры отражательных призм можно найти, например, в «Справочнике конструктора оптико-механических приборов» под общей редакцией В.А. Панова. Расстояние b2 от последней поверхности призмы до фокальной плоскости объектива выбирают так, чтобы размеры призмы были минимальными, а допуск на изготовление крыши у призмы был бы шире. Однако располагать заднюю грань призмы слишком близко к фокальной плоскости объектива нельзя, поскольку все дефекты стекла (пузыри, камни) и поверхности призмы (царапины и пылинки) будут резко видны в поле окуляра и будут мешать наблюдению. 307 С другой стороны, при удалении призмы от фокальной плоскости объектива пропорционально увеличивается расстояние между изображениями раздвоенного изображения, возникающего из-за ошибок в изготовлении угла крыши призмы. Поэтому оптимальным будет такое положение призмы, при котором ее последняя поверхность располагается перед фокальной плоскостью окуляра так, что ее изображение после окуляра получается вне пределов аккомодации глаза наблюдателя. Предельная глубина аккомодации А системы эмметропический глаз– окуляр выбирается в диапазоне 10–20 дптр. Таким образом, величины А и b2 связаны формулой для расчета глубины аккомодации: f ок2 . b2 = А. (9.99) 1000 Далее, на основе расчета хода пучка лучей через систему «объектив–редуцированная пластина» определяются размеры световых зон на гранях призмы, а, следовательно, и ее габариты. 9.3.5. Схемы с линзовыми и призменными оборачивающими системами В качестве примера рассмотрим перископическую систему с круговым обзором (рис. 9.38). Перископическими называются системы, у которых входная и выходная оптические оси расположены в различных горизонтальных плоскостях; расстояние между этими плоскостями определяет перископичность системы. В оптических схемах перископов используют как призменные (призмы 1, 4 и 6), так и линзовые (объективы 3 и 5) оборачивающие системы. Для получения кругового панорамного обзора по горизонту без изменения ориентации изображения, возникающего при повороте головной отражательной призмы 1, используют компенсирующий поворот призмы Дове 4 в ту же сторону на половинный угол. Переднюю фокальную плоскость объектива 3 совмещают с плоскостью изображения объектива 2. Для того чтобы призма Дове 4 не вносила аберраций, ее устанавливают в параллельном ходе лучей между объективами 3 и 5. Заднюю фокальную плоскость объектива 5 совмещают с передней фокальной плоскостью окуляра, где формируется промежуточное изображение объекта наблюдения. В некоторых случаях возникает необходимость менять увеличение системы в процессе наблюдения пространства предметов. При этом 308 возможно как дискретное, так и непрерывное (панкратическое) изменение увеличения. Рис. 9.38. Перископическая система зрительной трубы с линзовой оборачивающей системой:1 – головная отражательная призма; 2 – объектив; 3 и 5 – оборачивающая система; 4 – призма Дове; 6 – прямоугольная призма с крышей 9.3.6. Дискретное изменение увеличения На практике используется несколько способов дискретного изменения увеличения. Рассмотрим эти способы. 1. Смена окуляров. Наиболее простой и распространенный способ. Широко применяется в геодезических и астрономических приборах и достаточно часто в прицелах различного назначения. Например, для теодолитов применяют сменные окуляры с f = 8; 9; 10; 13,5; 16,7 и 20 мм. Чем меньше фокусное расстояние окуляра, тем больше видимое увеличение 309 телескопической системы при том же фокусном расстоянии объектива и тем меньше диаметр выходного зрачка. Как правило, с уменьшением фокусного расстояния окуляра уменьшается и диаметр полевой диафрагмы, конструктивно расположенной в передней фокальной плоскости окуляра. Уменьшение диаметра полевой диафрагмы приводит, в свою очередь, к уменьшению углового поля зрения системы в пространстве предметов. При использовании окуляров с фокусными расстояниями меньше 12 мм получается очень маленькое удаление выходного зрачка, при котором невозможно совместить зрачок глаза с выходным зрачком телескопической системы. При фокусных расстояниях окуляров более 50 мм чрезмерно увеличиваются диаметры линз окуляра и, кроме того, требуются значительные диоптрийные перемещения. Таким образом, практически используемый диапазон изменения увеличения не превышает 12 –13 2. Смена объективов. Это более редкий способ. Его применяют в некоторых перископах и прицелах. При этом положения плоскостей изображения всех объективов совпадают. Обозначим увеличение зрительной трубы с одним из двух сменных объективов ГТ1 , а с другим – ГТ 2 . Отношение ГТ 1 / ГТ 2 называется кратностью изменения увеличения. 3. Смена отдельных частей объектива. Этот способ удобен при использовании объектива, состоящего из нескольких групп линз, например, телеобъектива. Сменой отдельных линз или групп линз достигают изменения фокусного расстояния объектива. Разновидностью этого способа является и введение нового оптического элемента – групп линз или зеркала. 4. Смена объективов оборачивающей системы. Наличие оборачивающей системы позволяет осуществить изменение увеличения оборачивающей системы как путем смены одного из ее объективов, так и обоих. На рис. 9.39, а изображена оборачивающая система с линейным увеличением = −1 , т. е. фокусные расстояния объективов 1 и 2 равны. Если фокусное расстояние объектива 1 уменьшить, а объектива 2 увеличить на ту же величину (рис. 9.39, б), то линейное увеличение оборачивающей системы изменится в соответствии с формулой 310 = − f 2 / f1 , а положение плоскости изображения не изменится. Линейное поле окуляра телескопа при этом остается постоянным и равным 2 y (оно определяется полевой диафрагмой окуляра), а линейное поле объектива телескопа изменяется в соответствии с изменением . а) = −1 , f 1 = f 2 , y = − y линза 1 y' линза 2 F'2 O y'' F1 б) −1 , f 1 f 2 , y y в) −1 0 , f 1 f 2 , y < y Рис. 9.39. Сменные оборачивающие системы Если, например, линейное увеличение оборачивающей системы по модулю будет возрастать, то линейное поле объектива и, соответственно, угловое поле 2 телескопа будет уменьшаться. 5. Поворот оборачивающей системы. Повернем оборачивающую систему (рис. 9.39, б) относительно срединной точки О на 180°. Тогда первый объектив оборачивающей системы станет последним, а последний – первым (рис. 9.39, в). Если в первом положении (рис. 9.39, б) линейное увеличение 311 оборачивающей системы равно I = , то во втором положении (рис. 9.39, в) II = 1: . 6. Перемещение объектива оборачивающей системы вдоль оптической оси. Смена объективов оборачивающей системы или ее поворот на 180° усложняет механику прибора и увеличивает его габариты. В этом отношении более удобен способ, при котором изменение увеличения достигается за счет перемещения вдоль оптической оси объектива однокомпонентной оборачивающей системы (см. рис. 9.40). Рис. 9.40. Перемещение объектива оборачивающей системы Пусть известна длина L оборачивающей системы, то есть расстояние между двумя промежуточными изображениями y и y : L = a − a = const . Воспользуемся формулой для сопряженных отрезков: 1 1 1 − = . a a f (9.100) (9.101) Преобразуем формулу (9.101): a − a 1 = a a f 312 (9.102) или с учетом (9.100): − f L = a (a + L) , откуда a2 + L a + f L = 0 . (9.103) Уравнение (9.103) допускает два решения: a1 = − L L f + 1− 4 , 2 2 L (9.104) L L f − 1− 4 . (9.105) 2 2 L Чтобы получить действительные решения, необходимо выполнить условие: f 1− 4 0 , L откуда L f . (9.106) 4 Складывая выражения (9.104) и (9.105), получим: (9.107) a1 + a2 = −L . a2 = − Оба решения (9.104) и (9.105)) должны удовлетворять условию (9.100): (9.108) a1 − a1 = L , a2 − a2 = L . (9.109) Складывая выражения (9.107) и (9.108), получим: a1 = −a2 . (9.110) Складывая выражения (9.107) и (9.109), получим: a2 = −a1 . (9.111) С учетом (9.110) и (9.111) можно записать: 1 = a1 − a2 1 1 = = = . a1 −a2 a2 / a2 2 (9.112) Учитывая, что a = a из формулы (9.102) можно получить: a a a = . (9.113) a − a 1 − Запишем выражение (9.113) для двух полученных решений с учетом f= 313 (9.112): f= f= 1 a1 , 1 − 1 (9.114) 2 a2 2 a2 a a = =− 1 2 2 =− 2 . 1 − 2 1 − 1 1 − 1 1 − 1 1 (9.115) Умножим выражение (9.115) на величину ( − 1 ) , результат сложим с выражением (9.114) и с учетом (9.107) получим: L , f − 1 f = 1 ( a1 + a2 ) = − 1 1 − 1 1 − 1 откуда f=− 1 L . 2 (1 − 1 ) (9.116) Таким образом, для однокомпонентной оборачивающей системы с фиксированной длиной L существует две пары сопряженных отрезков: a1 и a1 , a 2 и a2 , определяющих два крайних положения компонента. Если задано увеличение 1 в первом крайнем положении, то во втором крайнем положении 2 = 1/ 1 . Фокусное расстояние компонента при заданных значениях L и 1 определяется по формуле (9.116). Сопряженные расстояния рассчитываются из формул (9.114) и (9.115): (1 − 1 ) f , a = a , a1 = (9.117) 1 1 1 1 a2 = − (1 − 1 ) f , a2 = a2 1 . (9.118) Из рис. 9.40 с учетом (9.104), (9.105) и (9.117), (9.118) легко найти величину z перемещения объектива: f 1 − 12 z = a 1 − a 2 = L 1 − 4 = f . (9.119) L 1 7. Введение особых афокальных насадок в параллельный ход лучей внутри телескопической системы. В некоторых приборах (например, в микроскопах) смена увеличения достигается путем установки дополнительной телескопической системы Галилея в той части прибора, где распространяются пучки 314 параллельных лучей, например, между компонентами 1 и 2 оборачивающей системы (рис. 9.41). Компонент 3 трубы Галилея отрицательный, компонент 4 – положительный. Дополнительная труба может занимать три положения (см. рис. 9.41 а – в) за счет вращения трубы Галилея вокруг точки С и дает возможность получить три значения видимого увеличения прибора: Гmax , Г ср . , Г min . В положении, показанном на рис. 9.41, в, труба Галилея выводится из светового потока и не оказывает влияния на увеличение оптической системы. Если видимое увеличение дополнительной трубы в положении, показанном на рис. 9.41, а, равно Г1, а в положении, показанном на рис. 9.41, б, равно Г2, то Г min = Г Г1 , Г ср. = Г , Г max = Г Г 2 , (9.120) где Г – видимое увеличение прибора без дополнительной трубы. Очевидно, что Г2 = 1/ Г1 . Такие вращающиеся или сменные дополнительные трубы Галилея можно применять для дискретного изменения увеличения не только в телескопических системах, но и в тех приборах, где имеется параллельный ход лучей. Входной зрачок дополнительной трубы всегда должен совпадать с выходным зрачком части оптической системы, расположенной перед дополнительной трубой. Поэтому очевидно, что центр С вращения дополнительной трубы должен быть расположен посередине между ее входным и выходным зрачками. На рис. 9.41 величина изображения в передней фокальной плоскости окуляра имеет одно и то же значение, определяемое диаметром полевой диафрагмы. Изображение в задней фокальной плоскости объектива строится в обратном ходе. а) 315 б) в) Рис. 9.41. Изменение увеличения путем ввода трубы Галилея Примечание. Рассмотрим телескоп Кеплера с коллективом 2, двухлинзовой оборачивающей системой 3, 6, дополнительной трубой Галилея 4, 5 и окуляром 7 (см. рис. 9.42). Рис. 42. Система Кеплера с двухлинзовой оборачивающей системой и дополнительной трубой Галилея Запишем матрицу преобразования лучей между опорными плоскостями ОП1 и ОП7: 316 A B 1 M = = C D −Ф7 1 −Ф4 0 1 d6 1 1 0 1 −Ф6 0 1 d5 1 0 1 d 4 1 0 1 −Ф5 1 0 1 0 1 d3 1 0 1 d 2 1 . 1 0 1 −Ф3 1 0 1 −Ф2 0 1 d1 1 0 . 1 0 1 −Ф1 1 Перемножая матрицы, получим: A=− B= f 7 f5 f3 , f 6 f 4 f1 f 7 f5 f f f f1+ f3 − 1 3 + 1 ( f 4 + f5) + f 6 f 4 f 2 f3 f f f f f + 1 4 ( f 6 + f 7) − 7 d3 5 + d5 4 , f3 f5 f 6 f 4 f5 f f f f 7 f5 f3 C = 0, D = − 6 4 1 . Далее находим: a = − B −a A , 2 yзр. = 2 A yзр. , D − a C здесь a – расстояние от компонента 7 до выходного зрачка D , 2 yзр. – диаметр выходного зрачка D . Найдем промежуточное изображение D , создаваемое телескопической системой (поз. 1–3), апертурной диафрагмы D . Запишем матрицу М13 преобразования лучей между опорными плоскостями ОП1 и ОП3: A M13 = 13 C13 B13 1 0 1 d 2 1 = D13 −Ф3 1 0 1 −Ф2 A13 = − 0 1 d1 1 0 , 1 0 1 −Ф1 1 f f3 f , B13 = f1+ f3 1 − 1 , C13 = 0 , D13 = − 1 . f 2 f1 f3 Установим дополнительную трубу Галилея таким образом, чтобы ее входной зрачок (апертура объектива 4) совпал по положению с промежуточным изображением D апертурной диафрагмы D . Тогда: d3 = − B13 − a A13 f3 f f f = f1+ f3 − 1 3 + a 3 . D13 − a C13 f1 f 2 f1 Далее находим положение промежуточного изображения D апертурной диафрагмы (выходного зрачка трубы Галилея), создаваемого линзой 5: t = − 0 − ( − d 4 ) 1 f 4 + f5 f =− = 5 ( f 4 + f5) . 1 − ( −d 4 ) ( −Ф5 ) 1 − ( f 4 + f5) / f5 f 4 317 Центр C вращения трубы Галилея располагается посередине между плоскостями изображений D и D . 9.3.7. Непрерывное изменение увеличения Системы со скачкообразным изменением увеличения имеют существенные недостатки: во-первых, число возможных дискретных увеличений весьма ограничено – не более 2–3; во-вторых, во время смены увеличения наступает краткий момент, когда наблюдатель теряет из виду предмет наблюдения. Эти недостатки исключены в системах с плавным изменением увеличения в заданных пределах, называемых панкратическими. Такие системы дают возможность остановиться на любом промежуточном значении увеличения. Для получения непрерывного увеличения используют объективы с переменным фокусным расстоянием, либо линзовые оборачивающие системы с изменяющимся увеличением. И в том, и в другом случае необходимо перемещать по определенному закону не менее двух компонентов зрительной трубы. На рис. 9.43 изображена оптическая схема панкратической оборачивающей системы, состоящей из двух положительных компонентов. Рис. 9.43. Двухлинзовая панкратическая оборачивающая система Предметом для панкратической системы является задняя фокальная плоскость объектива, изображение которой панкратическая система строит в передней фокальной плоскости окуляра. Расстояние L между предметом и изображением есть величина постоянная, расстояние d между компонентами панкратической системы – величина переменная. Заданными величинами в панкратической системе являются: L = const– длина системы (расстояние между задним фокусом объектива и передним фокусом окуляра); 318 Ф1 и Ф 2 – оптические силы соответственно первого и второго компонентов; min max – увеличение панкратической системы. Запишем матрицу панкратической системы: A B 1 M = = C D −Ф2 0 1 d 1 0 , 1 0 1 −Ф1 1 (9.121) A = 1 − d Ф1 , B = d , (9.122) C = −Ф1 − Ф2 + d Ф1 Ф2 = −Ф , D = 1 − d Ф2 . (9.123) Запишем матрицу преобразования лучей между опорными плоскостями ОП и ОП : A B 1 a A B 1 −a M = = C D 0 1 , 0 1 C D (9.124) A = A + a C , B = −a ( A + a C ) + B + a D , (9.125) C = C , D = D − a C . (9.126) Поскольку A= , (9.127) то с учетом (9.125) и (9.122) выражение (9.127) можно представить в виде: A = A + a C = 1 − d Ф1 + a ( −Ф ) = , откуда a = 1 (1 − d Ф1 − ) . Ф (9.128) Поскольку 1 1 , (9.129) = A то с учетом (9.126) и (9.123) выражение (9.129) можно представить в виде: 1 D = D − a C = 1 − d Ф2 − a ( −Ф ) = , D= откуда 319 a=− 1 1 1 − d Ф 2 − , Ф (9.130) где согласно (9.123) Ф = −C = Ф1 + Ф2 − d Ф1 Ф2 . (9.131) Согласно условию задачи −a + d + a = const = L . (9.132) Подставим (9.128) и (9.130) в (9.132): 1 1 1 1 − d Ф 2 − + d + (1 − d Ф1 − ) = L , Ф Ф или после преобразований 2 1− ) ( 2 d − L d + L ( f1 + f 2 ) + f1 f 2 =0 , отсюда 2 2 1− ) L ( L d = − − L ( f1 + f 2 ) + f1 f 2 . 2 2 (9.133) Сводка расчетных формул: Задано: L , Ф1 , Ф2 , min max ; Расчет: 2 2 1− ) L ( L d = − − L ( f1 + f 2 ) + f1 f 2 , 2 2 Ф = Ф1 + Ф2 − d Ф1 Ф2 , a=− 1 1 1 − d Ф 2 − , Ф a = 1 (1 − − d Ф1 ) . Ф Конструктивным недостатком панкратической двухкомпонентной оборачивающей системы является перемещение одного из компонентов по нелинейному закону. Это усложняет изготовление паза, по которому перемещается штифт, несущий оправу компонента. Технологическим преимуществом будет обладать такая система, в которой компоненты перемещаются по линейному закону. Этому условию может 320 удовлетворять четырехкомпонентная система. 9.3.8. Объективы и окуляры зрительных труб Объективы и окуляры телескопических систем могут иметь различную оптическую схему в зависимости предъявляемых требований. 9.3.8.1. Объективы телескопических систем Основными характеристиками объективов телескопических си . относительное отверстие стем является фокусное расстояние fОб . и угловое поле 2 . D fОб Двухлинзовые объективы получили наибольшее распространение (рис. 9.44, а–в). а б в г Рис. 9.44. Объективы телескопических систем Конструктивно они выполняются как склеенными, так и несклеенными. В двухлинзовом объективе одна из линз имеет положительную оптическую силу и выполняется из стекол типа крон, обладающих малой дисперсией; другая линза имеет отрицательную оптическую силу и выполняется из стекол типа флинт с большой дисперсией. Только в этом случае достигается исправление хроматизма положения при положительной оптической силе всего объектива. Выбором соответственной формы линз удается выполнить коррекцию сферической аберрации, а при подборе марок стекол можно повлиять и на другие аберрации, в частности, на кому. Склейка двух линз позволяет уменьшить потери света на отражение, однако этого можно достичь и за счет просветления. В склеенном дублете достигается хорошее исправление аберраций для относитель- 200 мм). ного отверстия до 1:5 и угловом поле 2 10 (при fоб Вариант «флинт впереди» позволяет несколько расширить полевые углы. Несклеенный дублет имеет больше свободных параметров, обладает предпочтительными возможностями по исправлению 321 аберраций. Кроме того, такая конструкция позволяет при сборке получить точно заданное значение фокусного расстояния за счет изменения расстояния между линзами. Трехлинзовый объектив (рис. 9.44, г) обеспечивает более высокую коррекцию аберраций, особенно хроматических, применительно к системам большого увеличения, например, для геодезических инструментов. Четырехлинзовый объектив (рис. 9.45, а) состоит из двух склеенных дублетов и позволяет повысить относительное отверстие и полевой угол в трубах малого увеличения. Телеобъективы используют часто для сокращения длин зрительных труб (рис. 9.45, б), у которых в сходящемся пучке лучей после первого компонента устанавливают еще второй двухлинзовый компонент. Перемещение этого компонента вдоль оси может быть использовано для фокусировки зрительной трубы. а б Рис. 9.45. Объективы телескопических систем Наконец, зеркальные и зеркально-линзовые объективы дают значительное сокращение длины телескопической системы, что очень важно, например, для астрономических приборов. В чисто зеркальных объективах для достижения высокого качества изображения часто используются асферические поверхности. Например, в объективе Кассегрена (рис. 9.46, а) большое зеркало имеет форму параболоида, малое – гиперболоида. Так как изготовление точных асферических поверхностей вызывает значительные технологические сложности, то во многих случаях эквивалентный результат по качеству изображения удается получить в более сложных зеркально-линзовых системах без применения асферических поверхностей (рис. 9.46,б). 322 а б Рис. 9.46. Объективы телескопических систем 9.3.8.2. Окуляры телескопических систем К основным характеристикам окуляров телескопических систем . и относят фокусное расстояние fОк . , относительное отверстие D fОк угловое поле 2 . В отличие от объективов телескопических систем окуляры функционируют в более трудных условиях при прохождении через них пучков со значительными углами наклона к оптической оси. Аберрационные возможности окуляров достаточно хорошо исследованы и систематизированы по типам. а д б в е г ж Рис. 9.47. Основные типы окуляров зрительных труб: а – Рамсдена; б – Кельнера; в – симметричный; г – ортоскопический; д – Эрфле; е – с удаленным зрачком; ж – широкоугольный 323 Оптические схемы окуляров основных типов приведены на рисунке 9.47, а их данные для fок . = 25 мм указаны в таблице 9.1. Таблица 9.1 Основные данные окуляров зрительных труб ( f ок . = 25 мм): Наименование окуляра Угловое поле, 2 0 Окуляр Рамсдена Окуляр Кельнера Симметричный окуляр Ортоскопический окуляр Окуляр Эрфле Окуляр с удаленным зрачком Широкоугольный окуляр 30...40 45...50 40...50 <40 <65 <50 <90 Фокальные отрезки, Длина мм окуляра d, sF sF мм –6,3 7,1 27,5 –7,4 9,0 31,0 –18,9 18,9 18,1 –14,3 19,2 20,5 –8,9 23,2 35,9 –7,3 17 40,4 –7,0 17 42.2 Для окуляров принят нормальный ряд значений фокусных расстояний: 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 и 50 мм. Окуляры телескопических систем обычно имеют перемещения вдоль оптической оси для компенсации в диапазоне 5 дптр аметропии глаза наблюдателя. 324 10. ХРОМАТИЧЕСКИЕ АБЕРРАЦИИ. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ Зависимость показателя преломления прозрачной среды от длины волны проходящего света n = f ( ) называется дисперсией. Оптические материалы могут работать только в определенном диапазоне длин волн (от 1 до 2), в пределах которого показатель преломления хорошо описывается дисперсионной формулой. Вблизи границ этого интервала зависимость показателя преломления сильно отличается от зависимости, описываемой дисперсионной формулой. Пограничные интервалы длин волн называются полосами поглощения. У различных стекол эти показатели разные. Примечание. Дисперсионная формула – это аппроксимация, позволяющая описывать зависимость показателя преломления от длины волны n ( ) в функциональном виде. Для каждой оптической среды определяется некоторый набор коэффициентов (различный для разных формул), значения которых позволяют восстанавливать показатель преломления в любой точке части спектра, где производилась аппроксимация. Длины волн, ограничивающие эту часть спектра, должны быть указаны для каждого отдельного разложения. 1. Дисперсионная формула Герцбергера: n ( ) = c1 + c 2 2 + c3 4 + c 4 L + c 5 L2 + c 6 L3 , где L= 1 . + 0.28 2 2. Формула Зелмейера: n ( ) = 1+ c1 2 2 − c4 + c2 2 2 − c5 + c3 2 2 − c6 . 3. Формула Конради: n( ) = n0 + c1 + c2 3.5 . 4. Формула Шотта: n ( ) = c1 + c 2 2 + c3 c4 c5 c6 8 + 2 + 4 + 6 . 5. Формула Резника: n ( ) = c 2 + c 4 + c 6 2 + c8 3 + c10 4 + c 3 + c 5 2 + c 7 3 + c 9 4 + c11 5 где 325 L = Lmin − Lmax 1 1 1 , Lmin = 2 , Lmax = 2 , L = , 2 − c1 max − c1 min − c1 2 LQ = = L − LQ L , = Lmin + Lmax 2 2 max − min 2 2 , , Q = 2 2 max + min 2 2 − Q , = . В видимой области спектра имеются стандартные длины волн, называемые линиями Фраунгофера (Таблица 10.1). Таблица 10.1 Линии Фраунгофера Химический элемент Обозначение линии Длина волны, мкм Hg i 0,365 Hg h G g F F e d D C C r A 0,40466 0,434 0,43583 0,47999 0,48613 0,54607 0,5875 0,5893 0,6438 0,6562 0,7065 0,768 Hg Cd H Hg He Na Cd H He Область спектра Ультра–фиолетовая Фиолетовая Синяя Зеленая Желтая Красная Основными характеристиками стекла являются показатель преломления для основной длины волны n 0 и средняя дисперсия ( n − n ) , где 1 и 2 – наибольшая и наименьшая длины волн, кото1 2 рые пропускает стекло. В качестве опорных или основных длин волн для видимой области сейчас используются: • центральная длина волны 0 = e , 326 • крайние длины волн 1= F и 2 = C . Ранее в качестве основных длин волн использовались: • 0 = D , 1 = F , 2 = C . Еще одной важной характеристикой стекла является число Аббе (коэффициент относительной дисперсии): n −1 , (10.1) e = e n F − n C или D = nD − 1 . nF − nC (10.2) Чем меньше число Аббе, тем больше дисперсия, т. е. сильнее зависимость показателя преломления от длины волны. По числу Аббе стекла делят на две группы: e 55 – кроны, e 55 – флинты. Комбинация стекол различных групп позволяет создать высококачественные оптические системы. Кроны и флинты – это основные группы оптических стекол. Их названия сформировались в Англии в XIIIV в., когда впервые было основано промышленное производство оптических стекол. В общем случае влияние дисперсии на параметры оптической системы и качество изображения определяется термином хроматизм, а количественные искажения в положении и окраске, вызванные изменением показателя преломления в зависимости от длины волны, – хроматическими аберрациями первой и второй группы. К первой группе относятся хроматические аберрации, которые уже имеют место в параксиальной области. В области параксиальных лучей изображение определяется только двумя координатами – расстоянием s от оптической системы до изображения и величиной изображения y . В соответствии с этим к хроматическим аберрациям первой группы относятся хроматическая аберрация положения изображения (или хроматизм отрезков вдоль оси) и хроматическая аберрация увеличения. Устранить хроматические аберрации для пучков лучей всех цветов невозможно. Обычно эти погрешности устраняются для каких-либо длин волн, выбор которых определяется назначением системы. Поэтому всегда имеет место 327 остаточный хроматизм вдоль оси, носящий название вторичного спектра. Хроматические аберрации второй группы относятся исключительно к конечным апертурным углам и конечным углам поля зрения, т. е. к действительным пучкам лучей. Хроматические аберрации первой группы называются также хроматизмом первого порядка, а хроматические аберрации действительных лучей – хроматизмом высших порядков. 10.1. Хроматическая аберрация положения Пусть на линзу падает луч SP1 белого света (рис. 10.1). В точке Р1 падения луча на первую поверхность линзы происходит преломление и разложение белого света в спектр. Красный луч отклоняется меньше, чем фиолетовый. Рис. 10.1. Хроматическая аберрация положения После преломления второй поверхностью линзы они пересекут оптическую ось в точках, положение которых определяется отрезками sC и sF . Разность sхр. = sF − sC и определяет хроматическую аберрацию положения. 10.2. Хроматическая аберрация положения для тонкой линзы в воздухе Для определения хроматической аберрации положения линзы запишем формулу (4.100) для расчета оптической силы тонкой линзы и формулу Гаусса (4.101-1): 1 1 1 (n − 1) − = =Ф, r1 r2 f 328 (10.3) 1 1 1 − = =Ф. a a f (10.4) Приравнивая левые части равенств (10.3) и (10.4), получим: 1 1 1 1 (n − 1) − = − . r1 r2 a a Запишем уравнение (10.5) для двух длин волн 1 и 2 : 1 1 1 1 (n 1 − 1) − = − , r1 r2 a a 1 (10.5) (10.6) 1 1 1 1 (n 2 − 1) − = − . r1 r2 a a 2 Вычтем уравнение (10.6) из уравнения (10.7): (10.7) a − a 1 1 1 1 1 . (10.8) (n 2 − n 1 ) − = − =− 2 r1 r2 a a a a 1 1 2 2 Запишем (10.3) для длины волны 3 , лежащей между 1 и 2 , и найдем: Ф 3 1 1 − = . r1 r2 n 3 − 1 (10.9) Подставим (10.9) в (10.8): (n 2 − n 1 ) Ф 3 n 3 − 1 =− a 2 − a 1 a 1 a 2 , отсюда: Ф 3 a хр. = a − a = − 2 n 3 − 1 1 a 1 a 2 , n 2 − n 1 или a хр. = − Ф 3 a 1 a 2 , где = n 3 − 1 n 2 − n 1 329 . (10.10) Обычно принимают: 3 = e , 2 = F , 1 = С , (10.11) n 2 − n 1 = n F − nC , (10.12) тогда = n 3 − 1 n 2 − n 1 = ne − 1 =e , nF − nC (10.13) где e – коэффициент относительной дисперсии, или число Аббе, a 1 = aC a2 = aF , a 3 = ae . (10.14) Примерно можно положить: 1 1 a F ae + a хр. , aC ae − a хр. , 2 2 тогда 2 1 1 1 aF aC ae + a хр. ae − a хр. = ae2 − a хр. ae2 . 2 2 2 Окончательно получим: Ф aхр. = − ae 2 e , (10.15) e где aхр. – хроматизм положения тонкой линзы. 10.3. Расчет двухлинзового ахроматического объектива Пусть задана тонкая оптическая система (стр. 67), состоящая из двух линз, с известной оптической силой Ф (рис. 10.2). Рис. 10.2 Двухлинзовый тонкий объектив Согласно (4.87), оптическая сила Ф тонкой системы определяется 330 как сумма оптических сил Ф1 и Ф 2 компонентов: Ф = Ф1 + Ф 2 , (10.16) 1 1 Ф1 = (n1 − 1) − , r1 r2 (10.17) где 1 1 (10.18) Ф2 = (n 2 − 1) − , r3 r4 где n1 и n 2 – показатели преломления соответственно первой и второй линзы. Рассчитаем оптические силы Ф1 и Ф 2 компонентов таким образом, чтобы исправить хроматическую аберрацию положения для крайних длин волн 1 и 2 . Из (10.17) и (10.18) находим: 1 1 1 1 Ф2 Ф1 − = , − = . r1 r2 n 1 − 1 r3 r4 n 2 − 1 Запишем выражение (10.16) для двух длин волн: Ф 1 = Ф1, 1 + Ф2, 1 , Ф 2 =Ф1, 2 + Ф2, 2 . (10.19) (10.20) (10.21) Вычтем уравнение (10.20) из уравнения (10.21): (Ф − Ф ) + (Ф 1, 2 1, 1 2, 2 ) − Ф2, 1 = Ф 2 − Ф 1 . (10.22) Подставим (10.17) и (10.18) в (10.22) 1 1 1 1 (n1, 2 − 1) − − (n1, 1 − 1) − + r1 r2 r1 r2 1 1 1 1 +(n 2, 2 − 1) − − (n 2, 1 − 1) − = Ф 2 − Ф 1 , r3 r4 r3 r4 или 1 1 1 1 (n1, 2 − n1, 1 ) − + (n 2, 2 − n 2, 1 ) − = Ф 2 − Ф 1 . r1 r2 r3 r4 (10.23) Запишем выражения (10.19) для линии 3 , лежащей между 1 и 2 : 331 Ф2, 3 Ф1, 3 1 1 1 1 , . − = − = r1 r2 n 1, 3 − 1 r3 r4 n 2, 3 − 1 Подставим (10.24) в (10.23): Ф1, 3 Ф2, 3 + n 1, 3 − 1 n 2, 3 − 1 n 1, 2 − n 1, 1 = Ф 2 − Ф 1 = Ф . (10.24) (10.25) n 2, 2 − n 2, 1 С учетом (10.11-10.13) выражение (10.25) можно записать в виде: Ф1, e Ф2, e + = Ф . (10.26) 1, e 2, e Из (10.26) видно, что для устранения продольного хроматизма необходимо положить Ф = 0 , или Ф1, e 1, e + Ф2, e =0 . (10.27) 1, e Ф2, e , 2, e (10.28) 2, e Из (10.27) находим: Ф1, e = − тогда Фe = Ф1, e + Ф2, e = − 1, e 2, e − 1, e 1, e Ф2, e + Ф2, e = Ф2, e 1 − = Ф2, e , 2, e 2, e 2, e отсюда Ф2, e = 2, e Фe . 2, e − 1, e (10.29) Подставим (10.29) в (10.28): Ф1, e = − 1, e 1, e 2, e 1, e Ф2, e = − Фe = − Фe . (10.30) 2, e 2, e 2, e − 1, e 2, e − 1, e Объектив, у которого хроматизм положения для двух длин волн равен нулю, называется ахроматом. Объектив, у которого хроматизм положения равен нулю для трех длин волн, называется апохроматом. Таким образом, если задана оптическая сила объектива e , то для расчета ахромата необходимо положить: 332 Ф1, e = − 1, e 2e Фe , Ф2, e = Фe . 2, e − 1, e 2, e − 1, e (10.31) Пример. Необходимо рассчитать двухлинзовый объектив, оптическая сила которого задана и равна e . Из уравнений (10.31) находим значения Ф1,e и Ф2,e . Для однозначного решения примем дополнительные условия: r2 = r3 (склейка) и r4 = . Тогда из (10.18) находим: Ф2, e 1 1 − = , r3 r4 n2, e − 1 отсюда r3 = r2 = n 2, e − 1 Ф2, e = (n 2, e − 1) f 2, e . (10.32) Из (10.17) находим: Ф1, e 1 1 = + , r1 r2 n1, e − 1 отсюда с учетом (10.32) получим: Ф2, e Ф1, e 1 = + . r1 n 2, e − 1 n1, e − 1 (10.33) При практическом решении эта задача усложняется необходимостью исправления других аберраций, свойственных этому компоненту. Система, ахроматизированная для параксиальных лучей двух каких-либо цветов, например, F и C , еще не дает вполне бесцветное изображение точки на оси, так как изображения других длин волн будут располагаться на различных расстояниях от системы вдоль оси. Появляется так называемый вторичный спектр. Вторичный спектр характеризуется отрезком d sв.с. , равным расстоянию от изображения для некоторого цвета до изображения, которое ахроматизировано для цветов F и C (рис. 10.3). Из практики расчета известно, что вторичный спектр системы можно приблизительно оценить по формуле f d sв.с. . 2500 333 Рис. 10.3. Вторичный спектр 10.4. Хроматическая разность сферических аберраций Условие ахроматизации обеспечивает совпадение изображений для двух длин волн лишь в параксиальной области (рис. 10.4). Рис. 10.4. Сферохроматизм в оптической системе Оптическая система будет ахроматизированной и для лучей широких пучков, если в ней отсутствует сферическая аберрация. Реальные оптические системы всегда обладают сферической аберрацией. Поэтому лучи, выходящие из предметной точки A и имеющие большие апертурные углы , по прохождении оптической системы пересекают оптическую ось не в точке A , для которой в параксиальной области sF ' = sC ' , а в других точках. Величина разности s = sC − sF (10.34) для каждого луча, выходящего из точки A под углом , называется сферохроматической аберрацией [4]. Изображение предметной точки A в плоскости Гаусса Q будет иметь форму круглого пятна (в видимой области спектра это пятно будет иметь цветную окраску). Размер этого пятна будет зависеть от разности s продольных сферических аберраций для лучей длин волн C и F : 334 Однако, как показывает опыт расчета оптических систем, соблюдение одновременно двух условий – ахроматизации и отсутствия сферохроматизма – оказывается невозможным. Для уменьшения сферохроматизма допускают наличие небольшой хроматической аберрации положения в параксиальной области, при этом сферохроматизм несколько уменьшается. 10.5. Хроматическая аберрация увеличения Из-за наличия явления дисперсии значения элементов A, B, C , D матрицы М оптической системы будут зависеть от длины волны. Тогда согласно выражениям (4.61-1), (4.57) и (4.66) p B − A p n =− , (10.35) p n D − C n y s = = A+ C , (10.36) y n от длины волны будет зависеть значение не только отрезка p , но и линейного увеличения . То есть, изображения ya , yb , ym одного предмета y на разных длинах волн a , b , m будут различными по величине и расположены в разных плоскостях (рис. 10.5). В выражениях (10.35) и (10.36) элементы матрицы М рассчитаны между входным и выходным зрачком. Рис. 10.5. Система, обладающая хроматическими аберрациями положения и увеличения Это явление получило название хроматической аберрации 335 увеличения. В оптической системе могут присутствовать одновременно обе хроматические аберрации. Для того чтобы оптическая система была полностью свободна от хроматизма, необходимо исправление обеих хроматических аберраций. Только при этом условии изображения, образуемые лучами разных длин волн, будут лежать в одном месте и будут одного размера. Величину хроматической аберрации увеличения характеризуют относительной величиной: y ya − yb = . (10.37) y ym Формулу (10.37) в практике расчетов применяют редко, так как эта формула дает оценку хроматической аберрации увеличения для изображений, расположенных в разных плоскостях. Обычно за плоскость изображения выбирается плоскость Q m , в которой лежит изображение на средней длине волны m . Поэтому для практической оценки хроматической аберрации увеличения имеет значение разность ординат ( Ya − Y b ) точек пересечения главных лучей с длиной волны a и b с плоскостью Qm . Здесь также принято хроматизм увеличения характеризовать относительной величиной Y Ya − Yb = . Y y m (10.38) Величины (10.38) рассчитываются на основе расчета хода реальных лучей. 336 11. МОНОХРОМАТИЧЕСКИЕ АБЕРРАЦИИ. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ Теория идеальной оптической системы является приближением (глава 4), согласно которому гомоцентрический пучок лучей преобразуется оптической системой также в гомоцентрический пучок и изображение сохраняет полное геометрическое подобие предмету. В реальных оптических системах пучок лучей, выходящий из точки предмета, после прохождения через оптическую систему не сохраняет своей гомоцентричности, в результате чего точечный предмет изображается в виде некоторого пятна, называемого кружком рассеяния. Прямая линия изображается в виде кривой; изображение плоскости, перпендикулярной оптической оси, оказывается не плоским, а искривленным в той или иной степени и так далее. Если рассчитать ход пучка лучей из некоторой точки предмета, то точки пересечения этих лучей с плоскостью идеального изображения (плоскостью Гаусса) образуют фигуру, называемую точечной диаграммой. Точечная диаграмма является геометрическим аналогом кружка рассеяния. Расстояния от точек точечной диаграммы до точки идеального изображения называются аберрациями оптической системы. Аберрации оптических систем разделяются на хроматические аберрации и монохроматические. Хроматические аберрации кратко были рассмотрены в разделе 10. Монохроматические аберрации рассчитываются для лучей строго определенной длины волны. Процесс устранения как монохроматических, так и хроматических аберраций называется корригированием оптической системы. Полностью устранить аберрации в оптических системах невозможно. Удается только уменьшить их до такой степени, что глаз или другой фотоприемник вследствие ограниченности их разрешающей способности практически не воспринимает аберраций. К основным монохроматическим аберрациям относятся: астигматизм и кривизна поля изображения, сферическая аберрация, кома, дисторсия. Ниже приводится математическое описание фигур рассеяния при наличии указанных пяти аберраций. 11.1. Теория аберраций третьего порядка При проектировании оптических систем могут быть использованы уже имеющиеся оптические системы или рассчитаны новые. В первом 337 случае, зная конструктивные параметры системы r, d, n, необходимо определить аберрации в изображении какой-либо точки предмета. Расчет аберраций для заданной совокупности точек предмета дает возможность судить о пригодности данной системы для того или иного ее практического применения. Эта задача не представляет особых трудностей. Для этого следует рассчитать ход пучка лучей, исходящих из данной предметной точки, через оптическую систему. Разность координат точек пересечения этих лучей с плоскостью изображения и координат идеального изображения точки и будет определять значения аберраций для этих лучей. Во втором случае следует определить, какие конкретные параметры должна иметь оптическая система, если ее аберрации в изображении данной точки заданы. Эта задача значительно сложнее первой, поскольку относится к обратным задачам. Для ее решения следует получить уравнения, связывающие конструктивные параметры оптической системы с ее аберрациями. Решая эти уравнения, можно было бы рассчитать конструктивные параметры при заданных аберрациях. В частных случаях эта задача приближенно решается в теории аберраций третьего порядка, которая впервые была разработана астрономом Зейделем и поэтому носит название теории аберраций Зейделя, а область, в которой она может быть применена, называется областью Зейделя. Область Зейделя является промежуточной между областью параксиальных и реальных лучей, поэтому в ней в отдельных случаях применяются формулы параксиальной оптики. Рассмотрим некоторые положения и результаты этой теории. Пусть заданы конструктивные параметры оптической системы r, d, n. Положение предметной точки В, расположенной в меридиональном сечении, относительно этой системы определяется координатой у и расстоянием р от входного зрачка до плоскости предмета (рис. 11.1). Входной зрачок системы находится на расстоянии sP от первой поверхности оптической системы. Направление луча, идущего из точки B, определяется координатами m, M его точки пересечения C с плоскостью входного зрачка. Луч BC в общем случае не лежит в меридиональной плоскости и называется косым лучом. На рисунке (11.1) изображен главный луч BP. 338 Рис. 11.1. К определению суммарной поперечной аберрации оптической системы Производя расчет хода луча по точным формулам (3.46), найдем координаты g и G точки B в системе координат, начало которой находится в точке параксиального изображения B 0 (рис. 11.1). В практике оптических расчетов эти координаты получили следующие названия: g – меридиональная слагающая поперечной аберрации, G – сагиттальная слагающая поперечной аберрации. Если рассчитать ход пучка лучей, то можно определить g и G для каждого луча и увидеть форму пятна рассеяния в плоскости изображения. Поперечные аберрации являются функцией конструктивных параметров, положения предмета, параметров луча: g = f (r, d , n, y, p, m, M ) , 339 (11.1-1) G = (r, d , n, y, p, m, M ) . (11.1-2) К сожалению, функции (11.1) невозможно записать в виде простых аналитических зависимостей, поэтому не существует прямого решения задачи, связанной с нахождением конструктивных элементов r , d , n по заданным аберрациям g , G и положению предметной точки. В подобных случаях пользуются методами вычислительной математики: аберрации (11.1) разлагаются в степенные ряды как функции параметров, от которых они зависят 4 . Ряды эти начинаются со слагаемых третьего порядка, затем идут слагаемые пятого, седьмого и более высоких порядков. Коэффициенты при слагаемых порядка выше третьего имеют очень сложный вид и в практической работе очень неудобны. Поэтому степенные ряды ограничиваются, как правило, слагаемыми третьего порядка. Задавая числовые значения остаточным аберрациям для ряда лучей, из этих приближенных уравнений находят конструктивные параметры системы. Если относительное отверстие и поле зрения системы малы, то это приближенное решение дает уже приемлемые результаты. При больших относительных отверстиях и полях зрения после нахождения конструктивных параметров производят расчет хода лучей и находят действительные аберрации. Разность между действительными аберрациями и принятыми при приближенном расчете, очевидно, составляет сумму слагаемых высшего порядка всего степенного ряда. Далее применяются программы по оптимизации и в результате находят искомую систему. В конкретной системе с заданными (фиксированными) конструктивными параметрами аберрации g и G зависят только от положения предметной точки B и параметров лучей, исходящих из точки B (то есть, от координат точек пересечения лучей с входным зрачком и направляющих косинусов лучей). При заданном положении предметной плоскости аберрации будут зависеть только от величины y предмета и параметров луча, т. е.: g = f ( y, m, M ) , G = ( y, m, M ) . Представим эти функции в виде степенных рядов 4 : 340 (11.2-1) (11.2-2) g = t i j k mi M j y k , i j (11.3-1) k G = Ti j k mi M j y k , i j (11.3-2) k где: t и T – постоянные коэффициенты, зависящие от конструктивных параметров оптической системы, i, j , k – целые числа; сумма ( i + j + k ) определяет порядок данного слагаемого. Из условия симметрии оптической системы относительно оптической оси следует, что если координаты луча y, m, M заменить на ( − y, −m, − M ) , то, очевидно, слагающие поперечной аберрации g и G при этом сохранят абсолютное значение, но изменят знак на обратный. Следовательно, ряды (11.3) могут содержать слагаемые только нечетных степеней, т.е. i + j + k = 2 v + 1 где = 1,2,3... . Далее, если бы ряды содержали слагаемые первого порядка, то есть имели бы вид: g = t100 m + t 010 M + t 001 y + , (11.4-1) G = T100 m + T010 M + T001 y + , (11.4-2) то это означало бы, что поперечные аберрации рассматриваются в плоскости дефокусировки Q , расположенной на расстоянии от плоскости Гаусса Q . Для того, чтобы убедиться в этом, представим, что в области Зейделя поперечные аберрации системы равны нулю: g = 0 , G = 0 , то есть, все лучи, выходящие из точки В, сходятся в точке B0 (рис. 11.2). Такое предположение мы приняли для того, чтобы в чистом виде выделить аберрацию, которая может определяться слагаемыми первого порядка. На рисунке 11.2 приняты следующие обозначения: 1 – главный луч, 2 – меридиональный луч (в общем случае – проекция косого луча на меридиональную плоскость), B – точка пересечения главного луча 1 с плоскостью дефокусировки Q , y0 – координата точки B , y – точка пересечения луча 2 с плоскостью дефокусировки Q , g – меридиональная слагающая поперечной аберрации в плоскости Q . 341 Рис. 11.2. К вопросу о слагаемых первого порядка В плоскости дефокусировки Q появится поперечная аберрация, равная: g = y0 − y , которую несложно рассчитать. Из подобия треугольников (рис. 11.2) находим: m g = , p откуда определяем: g = m= P m. p p Совершенно аналогично можно получить: G = M = P M , p p где P – увеличение в зрачках. Из полученных выражений следует, что при отсутствии аберраций в области Зейделя наличие слагаемых первой степени в формулах для g и G говорит о том, что поперечные аберрации рассматриваются не в плоскости Гаусса, а в плоскости дефокусировки. Полагая = 0 , то есть, совмещая плоскости Q и Q , мы избавляемся от слагаемых первого порядка. Кроме того, из условия симметрии оптической системы относительно оптической оси можно сделать следующие выводы: • при замене + M на − M величина g не изменится, поэтому в ряд для g не могут входить слагаемые, содержащие M в нечетной 342 степени, то есть M 1 , M 3 , M 5 ; • при M = 0 величина G = 0 , поэтому в ряд для G не могут входить слагаемые, не содержащие координаты M ; • при замене + M на − M величина G так же изменяет свой знак, сохраняя абсолютное значение; в этом случае в ряд для G не могут входить слагаемые, содержащие координату M в четной степени, то есть M 2 , M 4 . Учитывая сказанное, можно написать ряды (11.3) в развернутом виде. Они содержат группу слагаемых третьего, пятого и так далее порядков. Коэффициенты t и T при отдельных слагаемых этих рядов являются функциями конструктивных параметров оптической системы r , d , n и величин s и s p . Для практических вычислений интерес представляют лишь слагаемые третьих порядков, так как только для этих слагаемых установлены указанные выше функциональные зависимости в форме, пригодной для вычислений. Коэффициенты при слагаемых пятого порядка уже настолько сложны, что их использование на практике не оправдывается. Ограничиваясь в разложении поперечных аберраций только слагаемыми третьего порядка, из формул (11.3) получим: g = t300 m3 + t201 m2 y + t120 m M 2 + t102 m y 2 + t021 M 2 y + t003 y 3 , (11.5-1) G = T210 m2 M + T111 m M y + T030 M 3 + T012 M y 2 . (11.5-2) Путем преобразований ряды (11.5) приводятся к виду: g = A (m2 + M 2 ) m + B y (3 m2 + M 2 ) + C y 2 m + E y 3 , (11.6-1) G = A ( m2 + M 2 ) M + 2 B y m M + D y 2 M , (11.6-2) где A, B, C, D, E – коэффициенты, зависящие от конструктивных параметров r , d , n оптической системы, положения s предмета и положения s p входного зрачка. Подробные теоретические выводы полученных выражений можно найти в специальной литературе [16]. 343 11.2. Фигуры изображения точки при наличии различных аберраций третьего порядка При наличии аберраций в оптической системе образуемое ею изображение точки имеет вид пятна. Фигура этого пятна зависит от значений коэффициентов A, B, C, D, E, входящих в уравнения (11.6). Каждому из этих коэффициентов соответствует характерная фигура в изображении точки. 11.2.1. Сферическая аберрация Если A 0 , а B = C = D = E = 0 , то говорят, что оптическая система обладает сферической аберрацией. Сферическая аберрация – это аберрация широкого пучка (наклонного и осевого). Для удобства в плоскости входного зрачка перейдем к полярным координатам (рис. 11.3): m = cos , (11.7) M = sin . Рис. 11.3. Сферическая аберрация Подставим (11.7) в (11.6), получим: g = A (m2 + M 2 ) m = A cos ( 2 cos 2 + 2 sin 2 ) = A 3 cos , G = A (m2 + M 2 ) M = A sin ( 2 cos 2 + 2 sin 2 ) = A 3 sin . Возведем оба уравнения в квадрат и сложим: ( g ) + ( G) = ( A 3 ) = rсф2 . . 2 2 2 344 (11.8) Уравнение (11.8) представляет собой уравнение окружности, центр которой совпадает с гауссовым изображением y0 . Представим, что из точки предмета выходит пучок лучей, лежащий на конической поверхности, которая пересекает плоскость входного зрачка по окружности радиусом . После прохождения оптической системы этот пучок пересечет плоскость Гаусса по окружности радиусом rсф. . Изображение точки имеет вид круглого диска (рис. 11.3). Следует заметить, что rсф. кружка рассеяния не зависит от величины y , то есть от положения точки на предметной плоскости. Это означает, что сферическая аберрация третьего порядка существует в одинаковой мере для всех точек поля зрения. Существует такое положение плоскости изображения (плоскость наилучшей установки), в которой кружок рассеяния имеет наименьший диаметр. Найдем распределение освещенности в кружке рассеяния в плоскости Гаусса. Из (11.8) находим: (11.9) rсф. = A 3 , отсюда: 1 1 2 rсф. 3 − 1 1 3 = , d = rсф. 3 drсф. . 3 A A Из последнего выражения находим: ( ) drсф. = 3 A (r ) сф. 1 3 − 2 3 d . (11.10) Пусть Eвх. зр. – освещенность на входном зрачке. Тогда величина светового потока dФ , входящего в оптическую систему через кольцо шириной d на входном зрачке, определится выражением: dФ = Eвх. зр. dS = Eвх. зр. d ( 2 ) = Eвх. зр. 2 d , (11.11) где dS – площадь кольца. Если пренебречь потерями в оптической системе, то можно считать, что поток энергии dФ равен потоку энергии dФ , вышедшему из 345 системы и создавшему в плоскости Гаусса освещенность E кр . на области в форме кольца шириной drсф. . Рассчитаем E кр . с учетом (11.911.11): Eкр. = = Eвх . зр. 2 d dФ dФ dФ = = = = dSкр. d ( r 2 сф. ) 2 rсф. drсф. 2 A 3 drсф. Eвх. зр. A 2 d = drсф. Eвх. зр. 2 (r ) r 3 A сф. A 11.2.2. сф. − 2 3 Eвх. зр. = 1 3 A 3 2 3 . 4 3 сф. (11.12) 3 A r Аберрация кома Если B 0 , а A = C = D = E = 0 , то говорят, что оптическая система обладает аберрацией кома. Из (11.6) следует: g = B y (3 m2 + M 2 ) , G = 2 B y m M . (11.13) (11.14) Перейдем к полярной системе координат: g = B y (3 2 cos2 + 2 sin 2 ) = B y 2 ( 2 cos2 + 1) = = B y 2 ( cos2 + cos2 + 1) = B y 2 ( cos2 + 1 − sin 2 + 1) = = B y 2 2 + cos ( 2 ) , G = 2 B y 2 cos sin = B y 2 sin ( 2 ) , или окончательно g − 2 B y 2 = B y 2 cos ( 2 ) , (11.15) G = B y 2 sin ( 2 ) . (11.16) Возведем выражения (11.15) и (11.16) в квадрат и сложим: ( g − 2 B y ) + ( G ' ) = ( B y ) = r , 2 2 2 2 2 2 k или ( g − 2 rk ) + ( G) = rk2 , 2 2 (11.17) где = sign(B y) . Выражение (11.17) представляет собой уравнение 346 окружности, радиус которой равен rk = B y 2 , а центр ее смещен по оси g на величину 2 rk . Что это означает? Представим, что из точки предмета B выходит пучок лучей, лежащих на конической поверхности, основание которой на входном зрачке имеет форму круга радиусом и центр основания совпадает с центром входного зрачка. После прохождения через оптическую систему этот пучок лучей пересечет плоскость Гаусса по окружности радиусом rk , центр которой смещен относительно параксиального изображения на величину 2 rk . Если из точки В выходит несколько конических пучков лучей с различными значениями радиуса , то в плоскости Гаусса они создадут точечные диаграммы в виде смещенных друг относительно друга окружностей (рисунок 11.4, изображен для = +1 ). Рис. 11.4. Фигура изображения точки при наличии комы в оптической системе Рис. 11.5. Изображение точки в плоскости Гаусса при наличии комы Как следует из выражений (11.15) и (11.16), радиусы rk этих 347 окружностей, смещение их центра и аберрация кома пропорциональны квадрату полярного радиуса на входном зрачке и координате y точки предмета. Для точки на оси ( = 0 ) аберрация кома равна нулю. Проведем из точки B0 параксиального изображения касательную к любой окружности (11.17) и найдем угол наклона касательной по отношению к оси y . Очевидно (рис. 11.4): sin = rk 1 = , то есть = 300 . 2 rk 2 (11.18) Как следует из (11.18), угол не зависит от радиуса окружности rk , то есть прямая, проведенная из точки B0 под углом = 300 к оси y , будет проходить касательно к окружностям с любым значением rk . Следовательно, огибающими семейства окружностей будут две прямые линии, составляющие с осью G углы по 60° (рис. 11.5). Угол между этими прямыми равен также 60°. Вид изображения точки представляет собой яркую точку с постепенно затухающим веером-хвостом. Точка максимальной освещенности в кружке рассеяния при коме не совпадает с идеальным изображением (рис. 11.5), поэтому кому необходимо исправлять. Возьмем на кольцевой зоне входного зрачка восемь лучей, идущих из точки В (рис 11.6), и найдем их точки пересечения с плоскостью изображения по формулам (11.15) и (11.16). Полученные результаты представлены в таблице 11.1 (при = +1 ). Точки пересечения этих лучей с плоскостью Гаусса отмечены соответствующими цифрами на рис. 11.6. Как видно, лучи 1, 3, 5, 7 не имеют сагиттальной слагающей аберрации ( G = 0 ). Меридиональная слагающая g для лучей 1 и 5 в три раза больше, чем для лучей 3 и 7. Это значит, что лучи, пересекающие плоскость входного зрачка по диаметру 1–5 (меридиональное сечение) и по диаметру 3–7 (сагиттальное сечение) сходятся попарно в точках плоскости изображения, лежащих на линии A0 B0 . Для того, чтобы кома для этих лучей была мала, достаточно рассчитать оптическую систему так, чтобы была мала величина g для лучей 1 и 5. Из табл. 11.1 также видно: если луч, выходящий из точки B , совершает по кольцевой зоне на входном зрачке один оборот, то в плоскости изображения этот луч совершает два оборота. 348 Рис. 11.6. Ход лучей в оптической системе, обладающей аберрацией кома Таблица 11.1 Координаты точек пересечения лучей с плоскостью Гаусса 1 , град. 0 2 45 90 0 1 2·rk rk 3 90 180 –1 0 rk 4 135 270 0 –1 2·rk 0 − rk 5 180 360 1 0 3·rk 0 6 225 450 (90) 0 1 2·rk rk 7 270 540 (180) –1 0 rk 0 8 315 630 (270) 0 –1 2·rk –rk Луч № sin 2 0 g ' G ' 0 cos2 1 3·rk 0 2, град. Если B = 0 (то есть rk = 0 ) или имеет малое, допустимое для данного конкретного случая, значение, то говорят, что оптическая система не обладает комой или имеет малое, допустимое для данного конкретного случая, значение. Кома – это аберрация широкого наклонного пучка. 11.2.3. Астигматизм и кривизна поверхности изображения Положим A = B = E = 0 , а D 0 и C 0 . Тогда из (11.6) получим: g = C y 2 m = C y 2 cos , (11.19) 349 G = C y 2 M = D y 2 sin . (11.20) Уравнения (11.19) – (11.20) легко приводится к виду: 2 2 G g (11.21) D y2 + C y2 = 1 . Согласно уравнению (11.21), при D 0 и C 0 фигура изображения точки имеет вид эллипса, центр которого совпадает с параксиальным изображением B0 (рис. 11.7). Оси этого эллипса будут равны: 2 a = 2 C y2 , (11.22-1) 2 b = 2 D y2 . (11.22-2) Рис. 11.7. Ход лучей и изображение точки в системе, обладающей астигматизмом и кривизной поверхности изображения Рассмотрим вид изображения точки B в различных плоскостях Q , параллельных плоскости Гаусса Q , и расположенных от нее на расстоянии . Представим, что из точки предмета B выходят два луча: главный луч BP и произвольный косой луч BC с координатами m, M точки пересечения с входным зрачком (рис. 11.8). После преломления 350 системой луч ВС пройдет через точку C выходного зрачка и пересечет плоскость Q в точке B . Рис. 11.8. Ход косого и главного лучей через оптическую систему 1. Спроектируем луч CB на меридиональную плоскость (рис. 11.8 и 11.9, линия mbm b ,m ). Будем считать величину предмета y и координаты луча m, M на входном зрачке небольшими, поэтому приближенно можно считать, что главный луч в пространстве изображений проходит через точку B0 параксиального изображения (луч PB0 B0, ). Так же в силу малости указанных величин будем считать возможным использование формул параксиальной оптики. Из рисунка 11.9 находим: g − g m − g , (11.23) = p отсюда m − g m m . g = g − g − , так как g p p Так как m = p m , где p – линейное увеличение в зрачках, и учитывая (11.19), получим: g g − p p m = C y2 m − p окончательно с учетом (11.7) 351 p m = C y2 − m , p p p g C y 2 − cos p (11.24) Рис. 11.9. Меридиональное сечение: PB0 B0, – главный луч; mbm b ,m – проекция косого луча C B (рис. 11.8) на меридиональную плоскость y o z ; 1 – вспомогательная прямая, проведенная параллельно главному лучу через точку bm пересечения проекции косого луча с плоскостью Гаусса Q ' Обозначим: p a = C y2 − . p (11.25) g a cos . (11.26) Тогда: 2. Спроектируем тот же луч CB на плоскость xoz (рис. 11.8 и 11.10, линия M bsb ,s ). Из рисунка находим: G − G G − M = , p отсюда G = G − M − G M G − , так как G p p Так как M = p M , то с учетом (11.20): 352 (11.27) M . G G − p p p M = D y2 M − M = D y2 − M , p p p или с учетом (11.7) p G D y 2 − sin . p (11.28) Рис. 11.10. Сагиттальное сечение (плоскость xoz): M bsb ,s – проекция косого луча на плоскость xoz; 1 – вспомогательная линия, проведенная через точку A0 параллельно проекции косого луча Обозначим: p b = D y2 − . p (11.29) G b sin . (11.30) Тогда: Выражения (11.26) и (11.30) возведем в квадрат, преобразуем и сложим, получим: ( g ) + ( G ) = 1. 2 (11.31) a2 b2 Выражение (11.31) представляет собой уравнение эллипса в системе координат, начало которой находится в точке B0, пересечения главного луча с плоскостью дефокусировки Q . 3. Исследуем уравнение (11.31). 353 Допустим, что имеется плоскость Q такая, что ось эллипса 2 b = 0 . При этом расстояние от плоскости Q до плоскости Q пусть равно zs (рис. 11.7), то есть при b = 0 имеем = zs . Из (11.29) находим: zs = D y 2 p . (11.32) G = 0 = Gs . (11.33) p Из (11.30) при 2 b = 0 находим: Это значит, что в плоскости Qs = Q = zs изображение точки имеет вид прямого отрезка Bs , лежащего в меридиональной плоскости (рис. 11.7), то есть в плоскости, содержащей оптическую ось и главный луч. Длина этого отрезка равна 2 gm и определяется из формулы (11.25) с учетом (11.32): z 2 gm = 2 a = 2 C y 2 − s p = p p D y 2 p = 2 C y − = 2 y2 C − D , p p 2 или 2 g m = 2 y 2 C − D . (11.34) 4. Теперь допустим, что имеется плоскость Q такая, что ось эллипса 2 a = 0 . При этом расстояние от плоскости Q до плоскости Q пусть равно zm (рис. 11.7), то есть при a = 0 имеем = zm . Из (11.25) находим: C y 2 p zm = . (11.35) p Из (11.26) при 2 a = 0 находим: g = 0 = gm . (11.36) Изображение точки также имеет вид прямого отрезка Bm , но лежащего в сагиттальной плоскости, то есть в плоскости, содержащей главный луч и перпендикулярной меридиональной плоскости. Длина этого 354 отрезка равна 2 Gs и находится из формулы (11.29) с учетом (11.35): z 2 Gs = 2 b = 2 D y 2 − m p = p p C y 2 p = 2 D y − = 2 y2 D − C , p p 2 или 2 Gs = 2 y 2 D − C . (11.37) 5. Найдем такую плоскость Q = Qср. , в которой изображение точки B имеет вид кружка. Для этого необходимо, чтобы уравнение (11.31) было уравнением окружности, что возможно при условии: a = b = rср. . (11.38) С учетом выражений (11.25), (11.29) и (11.38) находим: a 2 − b 2 = (a − b ) (a + b ) = p = (C y 2 − D y 2 ) C y 2 + D y 2 − 2 = 0 . (11.39) p Уравнение (11.39) имеет два решения: C y2 + D y2 − 2 p = 0 – первое решение, p отсюда p C y 2 + D y 2 p C + D 2 = zср. = = y . p 2 p 2 (11.40) Из (11.40) с учетом (11.32) и (11.35) находим: zm + zs . (11.41) 2 Диаметр кружка рассеяния обозначим 2 rср. >0 . Подставим (11.25) zср. = и (11.40) в (11.38), получим: z ср. p p p C + D 2 2 rср. = a = C y 2 − = C y − y , p p 2 p или 355 C−D 2 y . (11.42) 2 Подставим (11.29) и (11.40) в (11.38), получим: zср. p p C + D 2 rср. = b = D y 2 − = D y2 − p y , p p 2 p rср. = или D−C 2 y . 2 На основании (11.42) и (11.43) можно записать rср. = (11.43) 2 rср. = C − D y 2 . (11.44) 5.1. C y 2 − D y 2 = 0 – второе решение, отсюда следует, что C = D . Из (11.32) и (11.35) при C = D следует: zs = zm = C y 2 p p , (11.45) то есть плоскость дефокусировки Q (обозначим ее как Q p ) расположена от плоскости Гаусса на расстоянии = zs = zm . Обозначим: = z p при zs = zm , rp 0 – радиус кружка рассеяния в плоскости Q p . Тогда радиус rp с учетом формул (11.25) и (11.45) будет равен: p (11.46) rp = a = b= C y 2 − p C y2 = 0 , p p т. е. точка B предмета изображается в плоскости Q p точкой (рис. 11.11). При этом конический пучок лучей, выходящий из точки B предмета, пересечет плоскость изображения Q по линии, которая описывается уравнением (11.21): ( g ) 2 + ( G ) 2 (C y ) ( D y ) 2 2 2 2 =1 . Учитывая, что C = D , получим уравнение окружности диаметром 2 rp : ( g ) + ( G) = ( C y 2 ) = ( D y 2 ) = rp2 , 2 2 2 отсюда 356 2 2 rp = 2 C y 2 = 2 D y 2 . (11.47) Рис. 11.11. Изображение точки, образуемое оптической системой, обладающей только аберрацией кривизны поверхности изображения Таким образом, можно сделать следующие выводы об изображении, образуемом оптической системой, у которой коэффициенты A = B = E = 0, D 0 и C 0: А) Каждая точка предметной плоскости Q , перпендикулярной к оптической оси, изображается в виде двух взаимно перпендикулярных линий Bm и Bs . Аберрация эта носит название астигматизма (отсутствие точечного изображения даже в узких пучках). Расстояние Bm Bs между этими астигматическими изображениями называется астигматической разностью, проекция которой на оптическую ось равна: D y 2 p C y 2 p y2 − = ( D − C ) p . (11.48) пр. Bm Bs = zs − zm = p p p Б) Величины zs и zm , определяющие удаление астигматических изображений Bs и Bm от плоскости идеального изображения Q , пропорциональны квадрату расстояния y предметной точки B плоскости Q от оптической оси. Поэтому астигматические изображения Bs и Bm предметных точек B плоскости Q в пространстве изображений будут расположены на чашеобразных поверхностях Pm (поверхность меридиональных изображений Bm ) и Ps 357 (поверхность сагиттальных изображений Bs ). В параксиальной области можно примерно положить ym y0 , поэтому y= y0 ym . (11.49) где ym – координата точки B0, на поверхности меридиональных изображений, y0 – величина параксиального изображения в плоскости Гаусса, – увеличение в сопряженных плоскостях Q и Q . Подставим (11.49) в (11.35) и после простых преобразований получим: 2 p 2 ym = zm . p C (11.50) Формула (11.50) представляет собой уравнение параболы, кривизна которой при вершине определяется выражением 1 2 p C = . (11.51) rm 2 p Аналогично находим кривизну при вершине сагиттальных изображений: 1 2 p D = . (11.52) rs 2 p В) Между поверхностями Pm и Ps существует поверхность Pср . , на которой вместо точечного изображения предметной точки B получается круглое пятно Bср . . Расстояние от плоскости Гаусса Q до плоскости Q = Qср. , в которой расположен центр этого пятна Bср . , опреде- . как среднеарифметическое по формуле: ляется отрезком zср zm + zs D + C y 2 .= zср = p . 2 2 p (11.53) Диаметр 2 rср. указанного пятна определяется выражением: 2 rср. = C − D y 2 . (11.54) Поверхность Pср . называется поверхностью изображения средней кривизны. Г) Если оптическая система рассчитана так, что коэффициенты D 0 , C 0 , но D = C , а A = B = E = 0 , то астигматическая разность 358 zs − zm = 0 и изображением предметной точки B плоскости Q будет точка Bp (рис. 11.11). В этом случае изображения всех точек плоскости Q будут также точками, но расположатся они на поверхности Pp , называемой поверхностью Петцваля. Удаление любой точки Bp от плоскости Гаусса Q определяется отрезком: zp = zs = zm = D y 2 p p = C y 2 p p . (11.55) Поверхность Петцваля является параболоидом вращения. Радиус кривизны rp при вершине этой поверхности определяется аналогично (11.51) и (11.52): 1 2 p D 2 p C = = 2 . rp 2 p p (11.56) Идеальная оптическая система образует изображения отдельных точек плоскости Q , перпендикулярной к оптической оси, также в виде точек на плоскости Гаусса Q . Очевидно, для этого необходимы два условия: • условие точечного изображения (отсутствие астигматизма) C = D; • условие плоского изображения (отсутствие кривизны поля) R p = , откуда C =D=0 . (11.57) Соблюдение при расчете условия (11.57) гарантирует получение плоского изображения с резким изображением его отдельных точек. Оптическая система, в которой отсутствует астигматизм ( C = D ) и кривизна поля ( R p = ), называется анастигматической или анастигматом. 11.2.4. Дисторсия Оптическая система обладает дисторсией, если A = B = C = D = 0 и E 0 Из уравнения (11.6) получим: g = E y3 , (11.58-1) G = 0 . (11.58-2) 359 Так как величины g и G не зависят от координат m и M (или и ), то, следовательно, все лучи, выходящие из точки B плоскости Q , сходятся в одной точке B плоскости Q , которая находится на расстоянии E y 3 от места идеального изображения B0 (рис. 11.12). Рис. 11.12. Изображение точки при наличии в оптической системе аберрации дисторсии Отрезок y изображается отрезком y , равным: y = y0 + g = y + E y 3 . (11.59) Обозначим: – линейное увеличение оптической системы при наличии дисторсии. Согласно определению линейного увеличения и с учетом (11.59) получим: y = = + E y2 . (11.60) y Так как второе слагаемое для разных величин y имеет разное значение, то, следовательно, при наличии дисторсии линейное увеличение в сопряженных плоскостях не является постоянным. Например, если в плоскости предметов Q начерчен квадрат, то его изображением при отсутствии дисторсии также будет квадрат (рис. 11.13, а), при E 0 ( ) получится фигура, показанная на рис. 11.13, б, а при E 0 ( ) – на рис. 11.13, в. Обычно дисторсию рассчитывают в процентах по формуле 360 V= y − y0 100% %, y0 или с учетом (11.59), (11.58-1) и формулы y0 = y : g E y3 E y2 V= 100% = 100% = 100% . y0 y0 (11.61) Рис. 11.13. Изображение квадрата, расположенного в плоскости предметов Q , при отсутствии дисторсии (а), при положительной дисторсии (б) и отрицательной дисторсии (в) Оптическая система, в которой отсутствует дисторсия, т. е. E = 0 , называется ортоскопической. 11.3. Анаберрационные поверхности 11.3.1. Преломляющие поверхности Пусть преломляющая поверхность с осевой симметрией разделяет две среды с показателями преломления n и n (рис. 11.14). Рис. 11.14. Анаберрационная преломляющая поверхность 361 Используя принцип Ферма, определим уравнение этой поверхности, позволяющей получить безаберрационное изображение некоторой точки A, находящейся на оптической оси и удаленной от вершины поверхности на заданное расстояние s. Пусть точка A , расположенная от вершины поверхности на расстоянии s , является изображением точки A. Рассмотрим произвольный луч AMA , который пересекает поверхность в точке M с координатами x и z . Запишем принцип Ферма для лучей AMA и AOA : −n l + n l = −n s + n s , (11.62) где l 0 – расстояние вдоль луча от точки M до точки A , l 0 – расстояние вдоль луча от точки M до точки A . Перепишем (11.62) в виде: n (s − l ) = n (s − l) . (11.63-1) Проведем из точки A сферический волновой фронт радиусом s через вершину O поверхности, из точки A – сферический волновой фронт радиусом s через вершину O поверхности. Тогда величина l=s − l>0 есть длина PM отрезка луча от падающего сферического фронта до поверхности, l=s − l>0 – длина отрезка MP луча от поверхности до преломленного сферического фронта. Тогда принцип Ферма можно сформулировать следующим образом: оптическая длина луча от падающего волнового фронта до поверхности равна оптической длине луча от поверхности до преломленного волнового фронта: n l = n l . (11.63-2) Из рисунка 11.14 имеем: l = − y 2 + (s − z )2 , (11.64-1) l = (11.64-2) y 2 + ( s − z ) 2 . Подставим (11.64) в (11.62): n y 2 + ( s − z )2 +n y 2 + ( s − z ) 2 = −n s + n s . (11.65) Воспользуемся формулой отрезков (4.24) параксиальной оптики: n n n n − n − = = . (11.66) s s f r Рассмотрим случай, когда точка A находится в бесконечности, то есть s = , тогда 362 n n − n = , s r отсюда n r . (11.67) n − n При s → фронт становится плоским и совпадающим с коордиs = f = натной плоскостью x o y ; в этом случае, как видно из рисунка 11.14, l = z . Тогда условие (11.63-1) для бесконечно удаленной предметной точки A с учетом (11.64-2) и (11.67) приобретает вид: ( n z = n f − y 2 + ( f − z )2 ) или n y 2 + ( f − z ) = n f − n z . 2 (11.68) Возведем уравнение (11.68) в квадрат и преобразуем: n 2 y 2 + ( f − z )2 = ( n f − n z ) , 2 n 2 y 2 + n 2 f 2 − 2 n 2 f z + n 2 z 2 = n 2 f 2 − 2 n n f z + n 2 z 2 , n y = 2 n f z (n − n) − (n 2 − n 2 ) z 2 , 2 2 n 2 2 n y = 2 1 − f z − 1 − z . n n 2 (11.69) В (11.69) подставим (11.67): n 2 2 n − n n r y = 2 z + − 1 z , n n − n n 2 или n 2 2 y = 2 r z + − 1 z , n (11.70) y 2 = 2 r z + e 2 − 1 z 2 , (11.71) 2 или где e= n . n 363 (11.72) Уравнение (11.71) является уравнением поверхности вращения второго порядка, свойства которой были подробно рассмотрены в разделе 6. Из (11.71-2) найдем n = e n и подставим в (11.67): s = f = sF = n r r при s = . = n − e n 1 − e (11.73) 11.3.2.Отражающие поверхности Рассмотрим меридиональное сечение отражающей поверхности с осевой симметрией (рис. 11.15). Обозначим: l 0 – расстояние вдоль луча от точки M падения луча на поверхность до точки A предмета; s<0 – расстояние от вершины поверхности до точки предмета A (радиус кривизны падающего волнового фронта); l >0 – расстояние от точки M до мнимого изображения A (выбор знака l не принципиален, для определенности положили l >0 ); s>0 – расстояние от вершины поверхности до мнимого изображения A (радиус кривизны отраженного волнового фронта). Для отражения n = n . Согласно принципу Ферма NM = M N . Рис. 11.15. Анаберрационная отражающая поверхность Из рисунка 11.15 находим: NM=s − l>0 , MN =l − s 0 и тогда условие (11.63-1) Ферма запишется в виде: 364 s − l = l − s , или l + l = s + s , (11.74) y 2 + ( s − z )2 − y 2 + ( s − z )2 = s + s . (11.75) Возведем уравнение (11.75) в квадрат, раскроем скобки, приведем подобные члены и перегруппируем. В результате получим: 2 y 2 + 2 z 2 − 2 s z − 2 s z − 2 s s = 2 y 2 + ( s − z ) y 2 + ( s − z ) . 2 2 Полученное выражение опять возведем в квадрат, преобразуем и получим: s s s s y2 = 2 2 z − 4 z2 . (11.76) 2 s + s ( s + s ) Сравним выражение (11.76) с уравнением линии второго порядка y 2 = 2 r z + (e2 − 1) z 2 . Из сравнения следует: s s = r, (11.77) s + s s s −4 = e2 − 1 , (11.78) 2 ( s + s) где r – радиус кривизны при вершине, e – эксцентриситет поверхности. Из выражения (11.78) находим: 2 s s s2 + 2 s s − 4 s s (s − s)2 e =1− 4 = = , ( s + s)2 ( s + s)2 ( s + s)2 2 отсюда e = s − s , s + s (11.79) где = 1. По определению e 0 . Исходя из этого условия, выбирается знак в (11.79). Из (11.79) находим: s = −s e+ +e . = s e − −e Подставим (11.80) в (11.77): 365 (11.80) +e ss s s − e r = 2 = 2 = s (1 + e) , +e s + s s + s −e отсюда s= r s = r . (11.81) 1+ e Выражение (11.81) определяет два значения s . Подставим (11.79) в (11.80), получим: 1− e . (11.82) Из (11.81) и (11.82) следует: r r , s = , (11.83) 1+ e 1− e r r если = −1 , то s = , s = . (11.84) 1− e 1+ e Рассмотрим несколько случаев: • Положим e = 0 , тогда из (11.83) и (11.84) получим s = s = r , а если = +1 , то s = это значит, что центр кривизны сферы является изображением самого себя ( r = s = s ). • Положим 0 e 1 , тогда поверхность представляет собой эл- липсоид, и отрезки s и s имеют одинаковые знаки, то есть, обе точки (предмет и изображение) являются либо действительными, либо мнимыми. • Положим e = 1 , тогда поверхность представляет собой параболоид. Согласно (11.83) и (11.84), одна из сопряженных точек находится в бесконечности (например, s = ), вторая совпадает с фокусом параболоида и находится от вершины поверхности на расстоянии r s = f = . 2 • Положим e 1 , тогда поверхность представляет собой двух полостной гиперболоид, отрезки s и s имеют разные знаки, то есть, если одна точка действительная, то вторая – мнимая. 366 ЗАКЛЮЧЕНИЕ В учебном пособии «Прикладная оптика» автор стремился дать более глубокое изложение отдельных вопросов геометрической и прикладной оптики с использованием методов векторного и матричного исчисления: методов расчета хода луча через оптические поверхности с осевой симметрией и центрированную систему поверхностей; расчет кардинальных элементов оптических систем матричными методами; подробное математическое описание фигур рассеяния при наличии в оптической системе аберраций Зейделя третьего порядка и т. д. Насколько это удалось автору – судить читателю. Автор глубоко убежден, что выпускники университета – будущие конструкторы оптикоэлектронных систем – должны владеть современными методами математического анализа для создания все более совершенного математического обеспечения. Алгоритмы, описанные в учебном пособии, представляют собой лишь небольшую часть тех математических моделей, которые заложены в основу программных продуктов, предназначенных для автоматизации проектирования, расчета и оценки качества изображения оптических систем. На сегодняшний день успешно используются в области расчета и конструирования оптических систем несколько наиболее популярных программных продуктов, таких, как: Code V, ZEMAX (Optic Studio), Synopsys, OSLO, при этом данные программные продукты по своим функциональным возможностям незначительно отличаются друг от друга. Среди российских систем автоматизированного проектирования оптики можно выделить программы DEMOS (Design, Evaluation and Modeling of Optical Systems) и САРО (Система Автоматизированного Расчета Оптики), разработанные в разные годы ВНЦ «ГОИ им. С. И. Вавилова», а также пакет ОПАЛ (ОПтические АЛгоритмы), разработанный в ЛИТМО. Для того чтобы успешно пользоваться этими программами, необходимо глубоко понимать принцип работы и механизм расчета оптических систем. Автор надеется, что предлагаемое учебное пособие поможет достичь читателю необходимого уровня понимания и овладеть основами расчета оптических систем. 367 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Герцбергер М. Современная геометрическая оптика /М. Герцбергер. – Москва: Иностранная литература, 1962. – 487 c. 2. Джеррад А. Введение в матричную оптику /А. Джеррад, Дж. М. Берч. – Москва: Мир, 1978. – 341 с. 3. Турыгин И.А. Прикладная оптика: учебное пособие для вузов. Т. 1 / И.А. Турыгин. – Москва: Машиностроение, 1966. – 364 с. 4. Турыгин И.А. Прикладная оптика: учебное пособие для вузов. Т. 2 / И.А. Турыгин. – Москва: Машиностроение, 1966. – 432 с. 5. Апенко М.И. Прикладная оптика: учебное пособие для вузов / А.С. Дубовик, М.И. Апенко, Г.В. Дурейко и др.– Москва: Недра, 1982. – 613 с. 6. Апенко М.И. Прикладная оптика / М.И. Апенко, А.С. Дубовик. – Москва: Наука, 1971. – 392 с. 7. Заказнов Н.П. Теория оптических систем: учебное пособие для вузов / Н.П. Заказнов, С.И. Кирюшин, В.И. Кузичев. 4-е изд., стер. – Санкт-Петербург: Издательство «Лань», 2008. – 448 с. 8. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Оптика: учебное пособие для вузов / Д.В. Сивухин. – Москва: Наука, 1980. – 752 с. 9. Чуриловский В.Н. Теория оптических систем: учебное пособие для втузов / В.Н. Чуриловский. – Москва: Машиностроение, 1966. – 563 с. 10. ГОСТ 7427–76. Геометрическая оптика. Термины, определения и буквенные обозначения. – Москва: Издательство стандартов, 1988. – 19 с. 11. ГОСТ 14934–88. Офтальмологическая оптика. Термины и определения. – Москва: Издательство стандартов, 1989. – 26 с. 12. ГОСТ 25706–83. Лупы. Типы, основные параметры, общие технические требования. – Москва: Издательство стандартов, 1983. – 4 с. 13. ГОСТ 28489–90. Микроскопы световые. Термины и определения. – Москва: Издательство стандартов, 1990. – 12 с. 14. ГОСТ Р 50701–94. Приборы наблюдательные телескопические. Термины и определения. – Москва: Издательство стандартов, 1994. – 20 с. 368 15. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. для втузов. В 2-х т. Т. I: – М.: Интеграл-Пресс, 2002. – 416 с. 16. Слюсарев Г.Г. Методы расчета оптических систем, ОНТИ, 1937. – стр. 101. 369 Учебное издание АГАПОВ Николай Афанасьевич ПРИКЛАДНАЯ ОПТИКА Учебное пособие Редактор Компьютерная верстка В.Д. Пяткова Дизайн обложки Подписано к печати 00.00.2024. Формат 60×84/16. Бумага «Снегурочка». Печать CANON. Усл. печ. л. 16,58. Уч.-изд. л. 15,00. Заказ 00-17. Тираж 100 экз. 370
