методическая разработка «Повторение курса планиметрии в 11 классе. Использование подобия треугольников при решении задач повышенной сложности»

Методическая разработка по модулю
«Повторение курса планиметрии в 11 классе. Использование подобия
треугольников при решении задач повышенной сложности»
Содержание
1.Пояснительная записка:
 основные идеи методической разработки
 обоснованность (актуальность, новизна, значимость);
 цели;
 задачи
 планируемый результат;
2 .Основное содержание методической разработки
 Описание теоретической и практической части по темам
3. Ожидаемый результат обучения
4. Методический инструментарий (формы, методы, приемы, средства обучения)
5.Используемая литература
1
1.Пояснительная записка.
Тема «Подобие треугольников» широко используется при решении задач №16
профильного уровня Единого Государственного экзамена. Задачи №16 вызывают
определенную трудность у учащихся, поскольку требуется применить теоремы,
свойства в нестандартной ситуации, чаще всего рассматривается два случая решения
задачи. Из курса геометрии основной школы учащиеся хорошо умеют находить
подобные треугольника, применяют признаки подобия треугольников. Но, забывают
теоремы, доказывающиеся на основе подобия треугольников, а именно: свойство
биссектрисы
треугольника, пропорциональные
отрезки в прямоугольном
треугольнике. Из отведенных часов на повторение курса геометрии в 11 классе 5
уроков уделяю повторению темы «Подобие треугольников». В своей работе я
представляю кратное содержание уроков повторения и решение задач №16 с
использованием признаков
подобия
треугольников.
При разработке уроков
предусматриваю различные формы работы. Все задачи повышенной сложности взяты
с открытого банка заданий ЕГЭ по математике профильный уровень.
Цель уроков - отработать умение применять подобие треугольников при решении
задач повышенного уровня единого государственного экзамены.
Цели и задачи:
Цель методической разработки: разработать методический инструментарий для
обобщения и повторения в 11 классе темы «Подобие треугольников» и использования
подобия треугольников в решении задач повышенного уровня ЕГЭ.
Задачи.
 Определение тем уроков повторения.
 Отбор содержания уроков.
 Выбор методов и форм организации учебной деятельности учащихся на уроках
повторения.
Планируемый результат: успешное решение задач №16 ЕГЭ учащимися школы
2. Основное содержание методической разработки
Урок №1 «Определение подобных
треугольников. Признаки
подобия
треугольников. Отношение площадей подобных треугольников».
Урок №2 «Свойство биссектрисы треугольника».
Урок №3 «Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике».
Урок№4 «Свойства четырехугольника вписанного в
окружность
и
четырехугольника, описанного около окружности».
Урок №5 «Применение формулы для нахождения радиуса окружности,
вписанной в прямоугольный треугольник.
3.Ожидаемый результат.
Учащиеся должны уметь:
1. Находить подобные треугольники, применять признаки подобия
треугольников.
2. Применять теоремы о пропорциональных отрезках прямоугольного
треугольника .
3. Применять свойство биссектрисы треугольника.
2
4.Методический инструментарий
Урок №1
Тема: Определение подобных треугольников. Признаки подобия треугольников.
Отношение площадей подобных треугольников.
Цель: повторить признаки подобия треугольников, отношение площадей подобных
треугольников. Уметь применять признаки подобных треугольников при решении
задач профильного экзамена по математике ЕГЭ
План урока:
Повторение теоретических вопросов:
1.Определение подобных треугольников.
2. Признаки подобия треугольников по двум угламю
3. Признаки подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними.
4. Признаки подобия треугольников по трем сторонам
5. Отношение площадей подобных треугольников.
Тест
1. Подобные треугольники это треугольники, у которых _______ соответственно
равны,
а___________
одного _______пропорциональны _________сторонам
другого треугольника.
2. Коэффициент подобия равен отношению_______________сторон подобных
треугольников.
3. Сходственные стороны подобных треугольников это стороны, лежащие напротив
________________________углов.
4. Первый признак подобия треугольников: если два__________________одного
треугольника соответственно равны___________________другого треугольника, то
треугольники _______________ .
5. Третий признак подобия
треугольников: если____________________одного
треугольника _________________________трём сходственным сторонам другого,
то__________________________ подобны.
6. Отношение площадей подобных треугольников равно __
подобия
Решение задач (работа в парах)
Задача 1
Дано:
Δ АВС - прямоугольный;
DE  AB.
Докажите, что треугольники АВС и АDЕ подобны;
Найдите катеты Δ АВС, если АВ=13 см., АЕ=5,2 см,
DE=2 cм;
Найдите отношение площадей Δ ABC и Δ ADE
3
Задача 2
Дано:
ABCD - параллелограмм;
BD - диагональ;
AF - произвольный отрезок;
BO=6 см;
OD=18 см.
Укажите подобные треугольники;
Определите коэффициент подобия;
Найдите отношение их площадей.
Задача 3
Площадь треугольника ABC равна 4. DE — средняя
линия. Найдите площадь треугольника CDE.
Решение задачи № 16 ЕГЭ (коллективное решение)
Точки M, K и N лежат на сторонах соответственно AB, BC и AC треугольника ABC,
4
причём AMKN — параллелограмм,
площадь
которого
составляет
площади
9
треугольника ABC. Найдите диагональ MN параллелограмма, если известно,
что AB = 21, AC = 12 и ∠BAC = 120°.
Решение:
В
К
x
М
С
A
y
1) S  ABC  
1
AB  AC sin 120   63 3
2
S  AMKN  
4
4
S ( ABC )   63 3  28 3
9
9
S  АМN  
N
̴
1
S ( AMKN )  14 3
2
2) MBK ABC (по двум углам) т.к. B общий, ВМК  ВАС
значит
ВМ ВК МК


ВА ВС АС
( MK ‖ AC ),
4
Пусть ВМ=х, АМ=21-х, АN=у
х
у
21 у 7 у

х

21 12
12
4
7 у 84  7 у
АМ=21-х=21
4
4
1
S  АМN   AM  AN sin 120 
2
3)
1 84  7 y
3

 y
 14 3
2
4
2
84у-7у2-224=0
у1=4
у2=8
Если у1=4, то х=7
Если у2=8, то х=14
4) Если х=7, ВМ=7, то АМ= 21-7=14
В MAN по теореме косинусов MN2=AM2+AN2-2AM∙AN∙cos120̊=268
MN=2 67
Если х=14, ВМ=14, то АМ= 21-14=7
По теореме косинусов MN2=AM2+AN2-2AM∙AN∙cos120̊=169
MN=13
Ответ: 13; 2 67
Домашнее задание:
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и CQ.
а) Докажите, что угол PAC равен углу PQC.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно,
16
что PQ = 8 и ∠ABC = 60°. Ответ:
3
Урок №2
Тема: Свойство биссектрисы треугольника
Цель: Совершенствовать навык решения задач на применение свойства биссектрисы
треугольника и определение подобных треугольников
Ход урока:
Свойство биссектрисы треугольника: биссектриса треугольника делит третью
сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
1)Тест
1.Верно ли, что треугольники, соответствующие стороны которых параллельны,
являются подобными?
2. Верно ли, что два равнобедренных треугольника подобны, если углы при
вершинах равны?
3. Верно ли, что любые два прямоугольных треугольника подобны?
4. Верно ли, что прямоугольные треугольники подобны, если острые углы их
5
равны?
5. Верно ли, что если две стороны одного треугольника соответственно равны двум
сторонам другого треугольника и углы между ними равны, то эти треугольники
подобны?
6. Верно ли, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на
отрезки, пропорциональные двум другим сторонам?
7. Верно ли, что если три стороны одного треугольника равны соответствующим
трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники подобны?
8. Верно ли, что отношения биссектрис, проведенных из соответствующих вершин
подобных треугольников, равны отношению их соответствующих сторон?
2. Выполнение упражнений
Работая в группах, решить задачи
ответ
1
Отрезок ВD является биссектрисой треугольника ABC. Найдите AB, если
ВС=9см, AD=7,5см, DC=4,5см.
15
2
Отрезок AD является биссектрисой треугольника ABC. Найдите BD, если
АВ=14 см, ВС=20 см, АС=21 см.
8
3
Биссектриса AD треугольника АВС делит сторону BC на отрезки CD и BD,
равные соответственно 4,5 см и 13,5 см. Найдите АВ, если периметр
треугольника АВС равен 42 см.
18
3.Решение задачи № 16 ЕГЭ ( Работа по группам ( одна группа
рассматривает 1 случай, вторая группа -2 случай)
На прямой, содержащей биссектрису AD прямоугольного треугольника ABC с прямым
углом C, взята точка E, удалённая от вершины A на расстояние, равное 26 . Найдите
площадь треугольника BCE, если BC=5, AC=12.
1 случай Е лежит между точками A и D
А
Е
В
С
F
D
Решение:
1)Построим высоту EF треугольника СEB
1
S(BCE)= ВС  EF
2
2)По свойству биссектрисы в треугольнике
АВС
CD AC

Пусть CD=x, DB=5-x
DB AB
x
12
12

, x=
5  x 13
5
По теореме Пифагора в треугольнике ACD
AD2=AC2+CD2
12
AD2=122+( )2
5
12 26
AD=
5
6
ED=AD-AE=
12 26
7 26
 26 
5
5
̴
3) ∆ACD ∆EFD ( т.к. ACD  EFD, D -общий угол), значит
12 26
AC AD 12
,
, EF=7

 5
EF ED EF
7 26
5
1
1
4) S(BCE)= ВС  EF = 7  5  17,5
2
2
2 случай: Е лежит на продолжении отрезка AD
1) Построим высоту EM
1
S(BCE)= ВС  EМ
2
Е
̴
А
М
С
Ответ: 42,5; 17,5
В
D
2) ∆ACD ∆EMD (по двум углам)
EM ED
значит

AC AD
12
Из предыдущего решения CD=
5
По теореме Пифагора в треугольнике
ACD
AD2=AC2+CD2
12
AD2= ( ) 2  12 2
5
12 26
AD=
,
5
ED=EA+AD
12 26 17 26
ED  26 

5
5
17 26
EM
, EM=17
 5
12
12 26
5
1
1
3) S(BCE)= ВС  EМ = 17  5  42,5
2
2
Домашнее задание: На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного
треугольника ABC с основанием BC является боковой стороной равнобедренного
треугольника BLD с основанием BD.
а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.
3
б) Известно, что cos ABC  В каком отношении прямая DL делит сторону AB?
4
Ответ: 21:4
7
Урок №3
Тема: Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
Цель: Совершенствовать навык решения задач на применение теории подобных
треугольников
Ход урока
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла,
есть среднее пропорциональное (среднее геометрическое) для отрезков, на которые
делится гипотенуза этой высотой.
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для
гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой,
проведенной из вершины прямого угла.
Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит его
на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному.
Устное решение задач
Найти СН
5 Н
В
В
20
Найти МС
С
М
16
С
А
Найти АВ, ВС
С
А
12
А
В
15
В
10
Самостоятельная работа
1 вариант
2 вариант
3)Решение задачи № 16 ЕГЭ (коллективное решение задачи)
Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. На катете AC взята точка M.
Окружность с центром O и диаметром CM касается гипотенузы в точке N.
а) Докажите, что прямые MN и BO параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN=4
и AM:MC=1:3.
8
А
M
N
O
С
P
B
Решение:
а) ВС  AC , ВС касательная к окружности
По свойству касательных, проведенных из одной точки
BC=BN, NBO  CBO
∆BNP=∆BCP ( по двум сторонам и углу между ними),
следовательно NРР  СРВ и это смежные углы, значит
они прямые. Следовательно ВО  С
С опирается на диаметр МС, значит от прямой , значит
  С .
Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между
собой. Следовательно,  ВО
б) Найдем площадь четырёхугольника BOMN. BOMN
трапеция, так как  ВО , а две другие стороны не
параллельны. NP –высота, MN и BO основания.
BO  MN
S
NP
2
Пусть АМ=х
По условию AM:MC=1:3, х:MC=1:3, МС=3х, ОМ=ОС=ОN=1,5х
АС=АМ+МС, ОА=2,5х , АС=х+3х=4х,
Так как ВО –биссектриса угла А треугольника АВС и биссектриса треугольника делит
противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам, то
ОС ВС 1,5 х 3



ОА ВА 2,5 х 5
Пусть АВ=5к, ВС=3к
Из прямоугольного треугольника АВС по теорем Пифагора находим
АС= 25к 2  9к 2  4к и АС=4х, следовательно к=х, значит ВС=3х
Рассмотрим ∆CNM и ∆BCO
CNM  BCO  90
CMN  COB ( как соответственные углы при параллельных прямых MN и OB и
̴
секущей АС). Следовательно, ∆CNM ∆BCO
СN NM 4 NM
4  1,5 x


2
,
, NM 
BC CO 3 x 1,5 х
3x
В ∆CAN средняя линия OP, следовательно OP 
1
MN  1
2
NP=2
Отрезок NP является высотой треугольника ONB, есть среднее геометрическое и
NP 2 4
 4
вычисляется по формуле NP2=ОР∙РВ, PB 
OP 1
ВО=ВР+ОЗ=1+4=5 ,
BO  MN
52
S
NP 
27
2
2
Ответ:7
Домашнее задание: В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH из
точки H на стороны AB и BC опустили перпендикуляры HK и HM соответственно.
а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.
9
б)
Найдите
отношение
площади
треугольника MBK к
площади
четырёхугольника AKMC, если BH = 2, а радиус окружности, описанной около
1
треугольника ABC равен 4. Ответ:
15
Урок 4
Тема: Свойства четырехугольника вписанного
четырехугольника, описанного около окружности
в
окружность
и
Цель:
Совершенствовать навык решения задач на применение свойств четырехугольника
вписанного в окружность и описанного около четырехугольника
Ход урока:
Свойство четырехугольника вписанного в окружность: если четырехугольник
вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180̊ .
Свойство четырехугольника описанного около окружности: если
четырехугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных
сторон равны.
Коэффициент подобия двух подобных треугольников рав ен отношению
радиусов окружностей: а) описанных около треугольников; б) вписанных в
эти треугольники.
1)Устно
1. Можно ли описать круг вокруг прямоугольной трапеции?
2. В трапеции три стороны равны. Можно ли в такую трапецию вписать круг? Можно
ли вокруг такой трапеции описать окружность?
3 Определите, можно ли описать окружность вокруг четырехугольника ABCD, если
углы А, В, С, D равны соответственно:
а) 90°, 90°, 20°, 160°; б) 5°, 120°, 175°, 60°.
4. Найдите неизвестные углы:
а) вписанного четырехугольника, если два из них равны 46° и 125°;
б) вписанной трапеции, если один из них равен 80°;
в) вписанного четырехугольника, диагонали которого точкой пересечения делятся
пополам.
5. Найдите периметр:
а) описанного четырехугольника, три последовательные стороны которого равны 7 см,
9 см и 8 см;
б) описанной трапеции, боковые стороны которой равны 3 см и 11 см.
2)Работая в парах, решить задачи ЕГЭ (базовый уровень)
1.Периметр четырехугольника, описанного около окружности, равен 24, две его
стороны равны 5 и 6. Найдите большую из оставшихся сторон. Ответ: 7
2.Стороны четырехугольника ABCD AB,BC,CD,DA и стягивают дуги описанной
окружности,
градусные
величины
которых
равны
соответственно
95̊,49̊ ,71̊ ,145̊ .Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Ответ:108
10
3)Решение задачи № 16 ЕГЭ (коллективное решение задачи)
В треугольнике ABC известны стороны: AB=7, BC=9, AC=10. Окружность, проходящая
через точки A и C, пересекает прямые BA и BC соответственно в точках K и L,
отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в
треугольник ABC. Найдите длину отрезка KL.
1 случай: K и L лежат на сторонах ∆ABC
1)Рассмотрим ∆BKL и ∆BAC
B -общий
По свойству четырехугольника , вписанного в
B

окружность BAC  KLC  180 , значит
BAC  180  KLC
По свойству смежных углов
BLK  180  KLC , значит
BAC  BLK
K
L
̴
C
A
∆BKL ∆BAC ( по признаку подобия
треугольников).
Из подобия треугольников следует
пропорциональность сходственных сторон
BK BL KL BK BL KL




k,
,
BC BA CA 8
7
9
BK=8k, BL=7k, KL=9k
По свойству четырехугольника , описанного
около окружности получаем KL+AC=AK+CL
AK=AB-DR=7-8k
CL=BC-BL=9=7k
9k+9=7+8-15k
1
9
k= KL=
4
4
1 случай: K лежит на продолжении АВ, L лежит на отрезке BC
1) Рассмотрим ∆BKL и ∆BAC
B -общий
AKL опирается на дугу ATL
ACL опирается на дугу ATL, значит
AKL = ACL ,значит
B
T
L
̴
A
C
K
Ответ: 9,
9
4
∆LBK ∆ABC
Из подобия треугольников следует
пропорциональность сходственных сторон
AB AC BC
7
9
8




k
,
LB LK BK
LB LK BK
7
9
8
LB 
LK 
BK 
k
k
k
В ∆LBK и
∆ABC вписана одна и та же
окружность. Так как эти треугольники подобны и
коэффициент
подобия
двух
подобных
треугольников равен отношению радиусов
окружностей вписанных в эти треугольники,
то k=1
9
11
Значит LK   9
1
Домашнее задание:
Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD,
вписанного
в
окружность,
пересекается в точке P, причём BC = CD.
а) Докажите, что АВ:ВС=АР:РD
б) Найдите площадь треугольника COD, где O — центр окружности, вписанной в
треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD — диаметр описанной около
четырёхугольника ABCD окружности, AB = 6, а ВС= 6 2 Ответ 18 3
Урок 5
Тема: Применение формулы для нахождения радиуса окружности, вписанной в
прямоугольный треугольник
Цель: уметь применять формулу радиуса окружности, вписанной в прямоугольный
треугольник при решении задач
Ход урока
Для прямоугольного треугольника справедливо равенство: r 
abc
2
c
а
b
1)Решение задач (работа в парах)
1) Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно найти по
abc
формуле r 
, где a и b — катеты, а c — гипотенуза треугольника. Пользуясь
2
этой формулой, найдите b, если r = 1,2; c = 6,8 и a = 6. Ответ 3,2
2)Найти радиус
вписанной
окружности прямоугольного
сторонами АВ = 8 см , ВС = 10см. Ответ 2 см.
треугольника АВС со
3)Найти площадь равнобедренного прямоугольного треугольника АВС с гипотенузой
ВС = 8см и радиусом вписанной окружности r = 3см. Ответ 24,5 см 2
2)Решение задачи № 16 ЕГЭ
Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него
четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности,
если отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, равен 10, а отношение
5
катетов треугольника равно
12
12
Решение:
1)Рассмотрим ABC и ADE - прямоугольные
1 случай
̴
А -общий, значит ABC ADE ( по признаку
подобия треугольников)
Из подобия треугольников следует
пропорциональность сходственных сторон
AC BC AB
BC
BC 5


к
 к По условию

AE DE AD
АС
АС 12
АС=12k, BC=5k
2)По теореме Пифагора в прямоугольном
треугольнике ABC найдем гипотенузу AB2=AC2+BC2
AB2=(5k)2+(12k)2
AB=13k
12 k 5k
AC BC


3) AE DE ,
AE 10 , AE =24
А
E
10
D
4) EB=AB-AE=13k-24
В
BC AB
,

DE AD
С
5k 13k

10 AD
AD=26
DC=12k-26
5) Так как в четырёхугольник BEDC можно вписать окружность, то суммы
противоположных сторон равны:
ED+BC=EB+DC
10+5k=13k-24+12k-26
k=3
AC=12∙3=36
r
BC=5∙3=15
AB=13∙3=39
AC  BC  AB 36  15  39

6
2
2
2 случай
A
E
AC=5k, BC=12k, AB=13x
5k 12 k

AE 10
AC BC

AE DE
D
25
6
AB BC
13k 12k


,
AD DE
AD 10
65
DC=AC-AD=5k6
ED+BC=EB+DC
АE 
25
6
EB=AB-AE=13k B
С
10+12k=13k k=
25
6
25
65
+5k6
6
AD 
65
6
13
25
25
325
= 50 AB=13∙
=
6
6
6
125
325
 50 
AC  BC  AB
6  25
r
 6
2
2
6
25
Ответ: 6,
6
AC=5∙
25 125
=
6
6
BC=12∙
Домашнее задание: Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 8 и 17
соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 7,5, средняя линия
трапеции равна 17,5. Прямые KL и MN пересекаются в точке A. Найдите радиус
окружности, вписанной в треугольник ALM. Ответ: 2;5
Литература :
1.КУРСОВАЯ РАБОТА «Изучение темы "Треугольники" в курсе геометрии 7-9
классов средней школы. https://works.doklad.ru/view/o2yTz-ruLSE/3.html
2.Сайт ФИПИ http://www.fipi.ru/
3.Сайт «Решу егэ» https://ege.sdamgia.ru/test?a=catlistwstat
4.Сайт 4ЕГЭ http://4ege.ru/video-matematika/56145-zadacha-19-iz-profilnogo-ege-pomatematike.html
5.Контрольно-изменрительные материалы. Геометрия:8класс/Сост.Н.Ф.Гаврилова.М:ВАКО,2011.
14