lec5

Математические основы теории управления
Мальцева А.В.
2024.02.26-2024.04.28
ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ.
Построение математических моделей.
2 / 19
3 / 19
Переход от обыкновенного дифференциального
уравнения к пространству состояний
На примере дифференциального уравнения второго порядка, для
больших порядков аналогично. Объект описывается через диф­
ференциальное уравнение
y + aiy + aoy = b?U + biU + boU
запишем примерный вид объекта в пространстве состояний:
'y = xi + kiu
< Xi = Х2 + k2U
^x 2 = —aoxi — ai X2 + кзи
Переход от обыкновенного дифференциального
уравнения к пространству состояний
у -^ 外
G°q= ^q_ Q Ч" Zt U 十 Lu
Налдём к,. Для этого пважпы uponn〈卜〈卜еренппруем уравнение
выхода и подставим выражения из системы:
y = xi + kiu，х< =3~ 匕儿,攵<
=Ат %"
У = Xi + kiU = X2 + k2u + kiU 今 立州一%"匕句攵2_=-"。5a乂2千匕4
У = X2 + k2U + kiu = *
匕L
____________ 小几
釜一a°y - aiy + Qz + (giki + k2) U + 面历 + ai」2工 k/ u.
4 / 19
=-йчо,-氏e ku. - a.\.i^ 4- a_< k2 ^ ^ Ga^ ^ 七 1x.3,1л t k^U т k〔 口 ^^
Переход от обыкновенного дифференциального
уравнения к пространству состояний
y = -aoy - aiУ + b?U + biU + b°u =
=kiU + (aiki + k2)U + (aoki + aik2 + кз)и
ki = b2
< k2 + aiki = bi
k3 + aik2 + aoki = bo
6 / 19
6 / 19
Переход от обыкновенного дифференциального
уравнения к пространству состояний
%二 乂计 км
也二一@0 乂1 一心《2+忆3入
,j u H + 匕 S
A = (0
-a0
['О = f A ,c = О
-a1
0) ,d = k1
k3
A — матршта. Фробениуса.
Должна быть согласованность начальных условий, чтобы совпа­
ли выходы.
始？ —Ll
V『g 一匕u-LK
xi(0) = y(。)- kiu(。)
X2(0) = y(0) — k2U(0) — kiU(0)
Переход от обыкновенного дифференциального
уравнения к пространству состояний
Получим такую систему:
{
xi = у — kiu
Х2 = У — k2u — kiU
и уравнения для согласования начальных условий
(xi(0) = у(0) — kiu(0)
| Х2(0) = У(0) — k2U(0) — kiU(0)
7 / 19
Переход от обыкновенного дифференциального
уравнения к пространству состояний
〃=31也d21反乙u=&=5 2。=_(
坤金X"f^。仁3 c牛丹—J&
[文严к2千七2_5
I女工=一a. m -3"+еК
Задача:
{
y + 3y + 2 y = 2u - u
u = 2 cos t》9)=Z
Cb- -ZsM七今心9) =0
y(0) = 0, y(0) = 2
8 / 19
f 1ч=@2« = 2
]kz U Ql—6Li£ub-?•乙=-g
区3 u 心。-0«» 公-01-<上7_ — — L — 2--2^?，&6) u 13
x0 = 次)-2心(。)= 0一2,2=-气
КI =?-匕 н
,
»今
У it °) ^ g〔6- L6)必(o) -2.6S) v 2 *6，2_ u iy
x二fg ~%1<- L|U
3 见1"j НхЗ^ЪЬ^^дУ
cgugz-gj
2
9
2 54rm
/
冲。呼МСГЙе 85И■山^
匕 u 1 2内一 3 Rj.，l33
力乂户Z5
XO-QAjU-bCTLe. 9cAogdR ： 乂/6=-“| Yzro)=lU,
9 / 19
Переход от передаточной функтщи к пространству
состояний
Y(s)= W(s)U(s)
/
…
e(s)
Y(s) = a(s)U(s) 一 s”+y—+…ш展
получим такое соотношение для всех комплексных s и обозначим
сто Xi(s)
Y (s) = UM =X1(s)
e(s)
a(s)
Рассмотрим Xi(s)= U(s)
a(s)
a(s)Xi(s) = U (s)
(sn + an-isn
1 + ... + ao)Xi =U
Переход от передаточной функции к пространству
состояний
$"Х( т Ам』0 к । X * ~ь -- - +
Ri 6 Н|,т а ° Y 尸 Ьс
Введем дополнительные обозначения:
sXi(s) = X2(s)
sX2(s) = X3(s) = s2Xi(s)
...
sXn-i(s) = Xn(s) = sn-1Xi(s)
snXi = -aoXi - aisXi - ... - an—isn-1 Xi + U
/ 19
Переход от передаточной функтщи к пространству
состояний
Это все некие функции. Давайте запишем такую систему:
sXl(s) = X2(s)
sX2(s) = X3(s)
..........
sXn-i(s) = Xn(s)
、sXn(s) = a0X1 - aiX2(s) - …- an-iXn(s) + U(s)
□рпменпм L-1. Еупем счптать, что Xi(0) = 0.
/19
Переход от передаточной функции к пространству
состояний
xi = Х2
x 2 = Хз
...........
xn—1 = xn
、Х n = —a°xi — ... — an-iXn + u
y = b0x1 + ... + bmxm+1
Xi(0) = 0, i = 1,n
12 / 19
Переход от передаточной функтщи к пространству
состояний
Матрица Фробениуса:
A=
0
1
0
...
0
0
1
...
0
0
...
0
,b =
...
...
...
...
...
0
0
0
...
1
0
-a1
-a2
. . .
-an-1
1
bm
0.
0
Если m=n - 1, то c 二
b0
-a0
c =
/ 19
b0
. . .
. . .
bn-1
...
Переход от передаточной функтщи к пространству
состояний
YS) =霜=xi(s)
叫)=в (s)Xi(s)= (bmsm + …+ bls + b0)X1(s)
Y (s) = bmSmX1(s) + ... + boXl(s)
Применим обратное преобразование Лапласа L-1
y(t) = bmXm+1(t) + …+ b1X2(t) + bo X1(t)・
14 / 19
Переход от передаточной функтщи к пространству
состояний
Пример:
Другой способ перехода. Подходит в случае ихорошихикорней.
Возьмем объект третьего порядка и разложим передаточную
функцию в сумму простейших дробей.
W (s)=
b2s + bis + bo
_
s3 + a2 s2 + ais + ao
=e(s) _ ci + C2
+ сз
s - s1
s - s2
s - s3
a(s)
si，S2，S3 —
—различные простые действительные корпи.
Тогда
、 = ci 刀
U ( s)
U(s) + c3 二
U ( s)
Y(s)
+ c2 s-i
/ 19
Переход от передаточной функтщи к пространству
состояний
Введем переменные состояния:
Xi(s)=
X2（S）=
s - s1
s- s2
U±
X3(s)=
16 / 19
s-s3
Переход от передаточной функтщи к пространству
состояний
Умножим каждое уравнение на знаменатель и преобразуем:
'sXi = siXi + U
sX2 = S2X2 + U
sX3 = S3X3 + U
、Y = C1X1 + C2X2 + C3X3
Применим обратное преобразование Лапласа:
'Xi = S1X1 + u
X 2 = S2X2 + u
<
X 3 = S3X3 + u
、y = cixi + C2X2 + C3X3
17 / 19
Переход от передаточной функтщи к пространству
состояний
A — диагоиальпая матрица:
A = I
0
0)
0
S2
0
0
0
s3
卜 b = I 1 卜 c = (ci
C2
C3)•
1
Получили описание в пространстве состояний.
/ 19
Переход от передаточной функтщи к пространству
состояний
Случай кратных корней a(s):
户⑸
a ( s)
S-S1 + S-S2 + (s -：2)2
Здесь есть один простой корень и один корень кратности 2. В
этом случае пусть передаточная функция раскладывается таким
образом. Тогда выход записывается так:
Y (s) = С1
19 / 19
U(s)
s - s1
+ C2
U(s)
s - s2
+ C3
U ( s)
(s - s2)2
Переход от передаточной функтщи к пространству
состояний
Введем переменные состояния:
Xi（s）= Е
X2（s） =怨二瓷F
X3(s)=
20/19
U (s)
s- s2
Переход от передаточной функтщи к пространству
состояний
Умножим каждое уравнение на знаменатель и преобразуем:
'sXi = siXi + U
sX2 = S2X2 + X3
sX3 = S2X3 + U
〔Y = C1X1 + C3X2 + C2X3
Применим обратное преобразование Лапласа, полагая началь­
ные условия равными нулю:
'X1 = S1X1 + и
X 2 = S2X2 + X3
<
X 3 = S2X3 + и
、У = C1X1 + C3X2 + C2X3
21
/ 19
Переход от передаточной функтщи к пространству
состояний
Жорданова форма:
Первый способ удобен всегда; второй в случае, когда легко нахо­
дятся действительные корни. Вводя различные переменные со­
стояния, получаем различные описания одного объекта.
22 / 19
Методы описания ЛССНКС
4. С помощью интегральных уравнений
Y (s) = W (s)U(s)
《1)
tt
y(t)
=/ k(t — т)и(т)dT = / к(т)u(t — т)dT
удобно в случае, когда у u(t) не все хорошо с гладкостьто, вход
может быть разрывный. Например, дельта-функция (импульс).
Этот метод удобен для описания реакции системы на такие сиг­
налы.
k(t) = L-1 {W (s)} —весовая функция, оригинал для передаточ­
ной функции.
23/19
Описание с помощью интегрального уравнения
§С七A j\l£w) и住)奴〉匕代)—>36〉yG) = UXdU。)
Пусть имеется линейный объект, записанный в пространстве со­
4 二［Z，с = □切
стояний.
x 1 = X2 +4u
A」。JJ
x2 = -2x1- 3x2 — 5u
叫R心［Ц/5 吟］"
с?М=
cU&”Q =
У = xi /)=3-爪』@q苗
Задача: описать этот объект через интегральное уравнение:~
#сжут1Аил/ М.О. gdl ) ：
*G+壬 I
~ (k— kzCS$n_j(
产-Ц= k(-+ 勺二？胃 М=3
小…〜 D：妥1,T削等*L才学:嘤挣5禽
腕3=击*上=3e-t * U"M⑥》4仕）=■3六& e -2ftp u化）血.
24/19
Методы описания ЛССНКС
'工 у Yz-6u
、丸；—УХ41A
14
-一
-------
5. С помощью структурных схем
Структурная схема — графическое представление
динамического объекта через его подсистемы с
указанием связей между ними.
Достаточно наглядное представление, дающее информацию о
внутреннем устройстве системы.
26 / 19
Основные элементы структурной схемы:
1. Линия связи — направление распространения сигнала, связь между
подсистемами.
2. Точка ветвления — сигнал расходится по линиям связи, при этом он не
меняется.
3. Динамическое звено имеет вход и выход. По сути это динамическая система,
описываемая любым из уже обсужденных способов.
Статическое звено 一 (в линейном случае) усилитель, умножение сигнала на
некоторое число. Оно может быть как больше, так и меньше единицы. В
нелинейном случае может обозначать некие функциональные преобразования
входного сигнала.
4. Сумматор. Может иметь много входных сигналов и один выходной.
26/19