1 1.1 Вывести уравнение стандартной атмосферы Земли (тропосферы, тропопаузы) и Венеры (тропосферы). Из формулы 𝑝𝑉 = 𝜇 ∙ R ∙ T следует, что давление уменьшается с высотой. Установим эту зависимость. Выделим на высоте ℎ над поверхностью земли узкий цилиндрический слой 𝑑ℎ. Пусть площадь основания цилиндра равна 𝑆 и при ℎ = 0, 𝑝 = 𝑝0 . Тогда на высоте ℎ, давление будет равно p, а на высоте ℎ + 𝑑ℎ, давление будет равно 𝑝 + 𝑑𝑝. Тогда разность давлений равна: 𝑝 − (𝑝 + 𝑑𝑝) = −𝑑𝑝 = 𝜌∙𝑔∙𝑆∙𝑑ℎ 𝑆 𝑃 𝑆 = 𝑑𝑚∙𝑔 𝑆 = = 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑑ℎ, Где 𝑔 = 9,80665 м ∙ с −2 – ускорение свободного падения на Земле. При этом изменение ускорения свободного падения за 25 километров составит: 𝑔25 𝑅02 6371,112 1− =1− 2 =1− = 0,0078 или 0,78%. 𝑔0 6396,112 𝑅25 Данной погрешностью можно пренебречь. Модель изменения температуры по высоте тропосферы: 𝑇Зℎ = 𝑇З0 +∝З ℎ, где 𝑇З0 = 288,15 К; ∝З= −6,5 · 10−3 К · м−1. Выразим плотность 𝜌 из уравнения Менделеева – Клапейрона: 𝑝∙𝑉 = 𝑚 𝑀 ∙ 𝑅 ∙ 𝑇 => 𝑝 = 𝜌 𝑀 ∙ 𝑅 ∙ 𝑇 => 𝜌 = 𝑀 𝑅∙𝑇 ∙ 𝑝. Подставляем 𝜌 в разность давлений: 𝑑𝑝 = − 𝑀 𝑅∙(𝑇З0 +∝З ℎ) ∙ 𝑝 ∙ 𝑔 ∙ 𝑑ℎ. Это уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка. После решения дифференциального уравнения и интегрирования результата получим: 2 𝑝ℎ = 𝑝З (1 + ∝ 𝑇З ℎ) 𝑔 𝑀 ∝𝑅0 − З . Подставляя значения постоянных, получаем: ℎ )5,256 . 44300 Подставляя это соотношение в формулу плотности, получаем: 𝑝ℎ = 𝑝З (1 − 𝜌ℎ = 𝜌З (1 − ℎ )4,256 . 44300 Для тропопаузы принимаем 𝑇 = 216,65 𝐾. Тогда получаем 𝑝ℎ = 𝑝0 𝑒𝑥𝑝[− 𝑀𝑔(ℎ − ℎ0 ) ]. 𝑅0 𝑇 При ℎ0 = 11000м 𝑝0 = 22 692 Па. С учётом этого окончательно получим: ℎ − 11000 ]и 6340 ℎ − 11000 𝜌ℎ = 0,3649 𝑒𝑥𝑝[− ]. 6340 𝑝ℎ = 22690 𝑒𝑥𝑝[− 1.2 Сформировать уравнения изменения по высоте в атмосфере Земли парциального давления кислорода и плотности воздуха. Парциальное давление кислорода составляет 20% от общего давления воздуха (𝑝В0 = 1,01325 ∙ 105 Па). 𝑀к = 0.032 кг ∙ моль −1 – молярная масса кислорода. Давление воздуха мы находим по ранее скомпонованной формуле (используются переменные для кислорода): 5,807 ℎ 𝑝ℎк = 𝑝Зк (1 − ) 44300 1.3 Сформировать таблицу значений давления, парциального давления кислорода, плотности и температуры воздуха с интервалом по высоте 1000 м. Высота, м 𝑇Зℎ, К 1000 281,65 2000 275,15 3000 268,65 4000 262,15 5000 255,65 6000 249,15 p, Па 89866,74 79481,05 70089,36 61617,2 53994,05 47153,22 ρ, кг м3 1,116101 1,010451 0,912629 0,822222 0,738832 0,662071 pк, Па 17748,65 15496,68 13486,59 11697,33 10109,22 8703,931 3 7000 8000 9000 10000 11000 12000 13000 14000 15000 16000 17000 18000 19000 20000 21000 22000 23000 24000 25000 242,65 236,15 229,65 223,15 216,65 210,15 203,65 197,15 190,65 184,15 177,65 171,15 164,65 158,15 151,65 145,15 138,65 132,15 125,65 41031,77 35570,33 30713,02 26407,33 22604,01 19305,67 16488,61 14082,62 12027,7 10272,64 8773,67 7493,429 6399,998 5466,12 4668,512 3987,289 3405,47 2908,549 2484,137 0,591567 0,526955 0,467886 0,414021 0,365034 0,311769 0,266276 0,227421 0,194236 0,165894 0,141687 0,121012 0,103354 0,088273 0,075392 0,064391 0,054995 0,04697 0,040117 7464,373 6374,673 5420,107 4587,046 3862,903 3299,234 2817,815 2406,643 2055,469 1755,538 1499,373 1280,586 1093,725 934,1303 797,8234 681,4062 581,9764 497,0552 424,5257 1.4-1.5 Отобразить вышеуказанные закономерности изменения параметров по высоте (ордината) в атмосфере Земли на одном графике, выделить индифферентную область, область возможной адаптации, порог смерти. а) 0-5000 метров – индифферентная зона; б) 5000-7900 метров – область возможной адаптации; в) свыше 7900 метров – порог смерти. 4 1.6. Вывести уравнение статики тропосферы Венеры. p0 = 93,3 ∙ 105 Па – давление на поверхности Венеры. Выделим в атмосфере две изобарические поверхности, расположенные на высотах z и z-dz. Давление на этих поверхностях обозначим через 𝑝 и 𝑝 + 𝑑𝑝. Между изобарическими поверхностями 𝑝 и 𝑝 + 𝑑𝑝 выделим объем воздуха с горизонтальными основаниями 1 м2. На нижнее основание выделенного объема воздуха действует сила давления 𝑝, направленная снизу вверх, на верхнее основание - сила давления 𝑝 + 𝑑𝑝, направленная сверху вниз. Кроме сил давления, на объем воздуха действует сила тяжести Р, равная по модулю и направленная сверху вниз по вертикали. 𝑃 = 𝑔 ∙ ρ 𝑑𝑧. Спроектируем все силы, действующие на выделенный объем воздуха, на положительное направление вертикали z, вдоль которой действует (в отрицательном направлении) сила тяжести. Сумма этих проекций равна: 𝑝 − (𝑝 + 𝑑𝑝) − 𝑃. Поскольку выделенный объём находится в покое, векторная сумма всех действующих на него сил тождественно обращается в нуль: 5 𝑝 − (𝑝 + 𝑑𝑝) − 𝑃 = 0. Подставив вместо Р его выражение, получим основное уравнение статики атмосферы: −𝑑𝑝 − 𝑔 ∙ ρ 𝑑𝑧 = 0. 1.7. Сформировать таблицу значений давления и температуры в тропосфере Венеры и графики их изменения по высоте (ордината). 𝑔 = 8,87 м ∙ с −2 – ускорение свободного падения на Венере. При этом изменение ускорения свободного падения за 60 километров составит: 𝑔60 𝑅02 61002 1− =1− 2 =1− = 0,019 или 1,9%. 𝑔0 61602 𝑅60 Данной погрешностью можно пренебречь. Модель изменения температуры по высоте тропосферы: 𝑇Вℎ = 𝑇В0 +∝В ℎ, где 𝑇В0 = 740 К; ∝В= −8,6 · 10−3 К · м−1. Высота, м ТВℎ, К 0 740 5000 697 10000 654 15000 611 20000 568 25000 525 30000 482 35000 439 40000 396 45000 353 50000 310 55000 267 60000 224 p, Па 9450000 6753311 4801792 3347778 2281839 1512782 998152,6 599540 354738,8 200522,2 108012,5 53844,11 23882,3 p, кПа 9450 6753,31125 4801,79175 3347,778 2281,839 1512,78225 998,152575 599,540025 354,738825 200,522175 108,01245 53,844105 23,8823025 6
