Практическая работа 1 Системы счисления, методы перевода

Практическая работа №1
Тема: Системы счисления
Цель:
1) Ознакомиться с основными видами систем счисления.
2) Приобрести навыки перевода из одной системы счисления в другую.
1. Теоретическая часть
Основные понятия и определения
Система счисления – совокупность символов и правил, позволяющих сформулировать
и расшифровать любое число.
Число – совокупность цифр, знаков и разделителя, позволяющая описать любое
количество (вес).
Минимально число может быть представлено только одной цифрой. В этом случае оно
будет положительным и целым.
Цифра – единичный символ алфавита системы счисления, используемый для
обозначения фиксированного количества (веса).
Знак – символ «+» или «-», определяющий явно положительность или отрицательность
числа.
Отсутствие знака подразумевает его положительность, т.е. положительность числа по
умолчанию.
Разделитель – символ «,» или «.», характеризующий форму представления количества,
как целую (целочисленную) или дробную.
Рассмотренные компоненты числа представим как основные и дополнительные.
Основные символы – цифры, дополнительные – знаки и разделитель.
Целое число – совокупность цифр без разделителя.
Дробное число – совокупность цифр с разделителем.
Позиционной называется система счисления, в которой значения каждой цифры числа
зависит от месторасположения в ряду других, составляющих его.
Основание системы счисления (q) – величина, определяющая конкретную систему
счисления по отношению к любой другой.
Основание определяет:
 количество цифр в алфавите;
 разность значений двух смежных разрядов.
Представление чисел в позиционных системах может выполнятся в двух вариантах:
 компактном;
 развернутом.
Использование основания позволяет получить полную развернутую запись любого
числа в виде полинома со структурой:
Aq  a K q K  a K 1 q K 1 ... a1q1  a0 q 0  a 1q 1  a 2 p 2 .... ,
где ai – цифра алфавита конкретной системы счисления;
q – основание системы счисления;
Двоичная система счисления. Используется две цифры: 0 и 1. В двоичной системе
любое число может быть представлено в виде:
X  bM bM 1 ... b1b0 . b1b2 ... ,
где bJ либо 0, либо 1.
Эта запись соответствует сумме степеней числа 2, взятых с указанными
коэффициентами:
X  bM  2 M  bM 1  2 M 1  ...  b1  21  b0  2 0  b1  2 1  b2  2 2  ...
Восьмеричная система счисления. Используется восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Употребляется в ЭВМ как вспомогательная для записи информации в сокращенном виде.
Для представления одной цифры восьмеричной системы используется три двоичных разряда
(триада) (Таб. 1).
Шестнадцатеричная система счисления. Для изображения чисел употребляются 16
цифр. Первые десять цифр этой системы обозначаются цифрами от 0 до 9, а старшие шесть
цифр – латинскими буквами: 10–A, 11–B, 12–C, 13–D, 14–E, 15–F. Шестнадцатеричная
система используется для записи информации в сокращенном виде. Для представления
одной цифры шестнадцатеричной системы счисления используется четыре двоичных разряда
(тетрада).
Таблица 1
десятичные
двоичные
восьмеричные
шестнадцатеричные
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
10000
10001
0
1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
13
14
15
16
17
20
21
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Перевод чисел в десятичную систему осуществляется путем составления степенного
ряда с основанием той системы, из которой число переводится. Затем подсчитывается
значение суммы.
Пример.
а) Перевести 10101101.1012  "10" с.с.
10101101.1012  1  2 7  0  2 6  1  2 5  0  2 4  1  2 3  1  2 2  0  2 1 
1  2 0  1  2 1  0  2 2  1  2 3  173. 62510
б) Перевести 703. 04 8  "10" с.с.
703. 04 8  7  82  0  81  3  80  0  8 1  4  8 2  451. 062510
в) Перевести B2 E . 416  "10" с.с.
B2 E . 416  11  16 2  2  161  14  160  4  16 1  2862 . 2510 .
Перевод целых десятичных чисел в восьмеричную, шестнадцатеричную и
двоичную системы осуществляется последовательным делением десятичного числа на
основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное
меньшее этого основания. Число в новой системе записывается в виде остатков деления,
начиная с последнего.
Пример.
а) Перевести 18110 "8" с.с.
181
176
5
8
22 8
16 2
6
Результат 18110  2658 .
б) Перевести 62210 "16" с.с.
622 16
48
38 16
142 32 2
128
6
14
Результат 62210  26E16 .
Перевод правильных дробей из десятичной системы счисления в двоичную,
восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.
Для перевода правильной десятичной дроби в другую систему
эту дробь надо
последовательно умножать на основание той системы, в которую она переводится. При этом
умножаются только дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых
частей произведений, начиная с первого.
Пример.
Перевести 0 . 312510  "8" с.с.
0 3125  8
2 5000  8
4 0000
Результат 0 . 312510  0 . 24 8 .
Замечание. Конечной десятичной дроби в другой системе счисления может соответствовать
бесконечная (иногда периодическая) дробь. В этом случае количество знаков в представлении дроби
в новой системе берется в зависимости от требуемой точности.
Пример.
Перевести 0 . 6510 "2" с.с. Точность 6 знаков.
0 6 5 2
1 32
0 62
Результат 0 .6510  0 .10(1001) 2 .
1 22
0 42
0 82
1 62
...
Для перевода неправильной десятичной дроби в систему счисления с недесятичным
основанием необходимо отдельно перевести целую часть и отдельно дробную.
Пример. Перевести 23.12510  "2" с.с.
Таким образом 2310  101112 ; 0 .12510  0 . 0012 .
Результат: 23.12510  10111. 0012 .
Для перевода восьмеричного или шестнадцатеричного числа в двоичную форму
достаточно заменить каждую цифру
этого числа соответствующим трехразрядным
двоичным числом (триадой) (Таб. 1) или четырехразрядным двоичным числом (тетрадой)
(Таб. 1), при этом отбрасывают ненужные нули в старших и младших разрядах.
Пример.
а) 3 0 5 . 4 8 = 11000101.12 ;

011000101100
б) 7 B 2 . E
    16 = 11110110010 .1112 .
0111101100101110
Для перехода от двоичной к восьмеричной или шестнадцатеричной системе
поступают следующим образом: двигаясь от точки влево и вправо, разбивают двоичное
число на группы по три ( четыре ) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние
левую и правую группы. Затем триаду ( тетраду ) заменяют соответствующей восьмеричной
( шестнадцатеричной ) цифрой.
Пример.
а) Перевести 1101111001.11012  "8" с.с.
001
101111001.110
100  1571. 64 8


1
7
5
1
6
4
б) Перевести 11111111011.1001112  "16" с.с.
0111
11111011.1001
1100  7 FB . 9C16


F
7
B
9
C
Перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную систему
осуществляется через двоичную систему с помощью триад и тетрад.
Пример. Перевести 175. 24 8  "16" с.с.
1
7
5 .
2
4 8  1111101. 01012 

001111101 010100
 0111
1101.0101

 2  7 D.516
7
D
5
Результат: 175. 24 8  7 D .516 .
и
обратно
2. Практическая часть
Задание 1.
Перевести число из 2с/с в 10 с/с, 8 с/с, 16 с/с по вариантам:
№
варианта
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
q=2
1001,101
11011,1101
10101,001
10101,0111
1101,100101
101101,101
1100111,101
10010,011
11100101,100
110101111,101
100100,0101
101011,011
110000,10111
101010,0110
1100,0111
№
варианта
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
q=2
1101,0011
10110,001
110110,1010
100110,001
10011,0011
1101101,1011
1001001,0011
10101,1110
110110,1101
110110,001
101100,1010
110110,101
1011101,110
111011,1010
1111010,1101
Задание 2.
Перевести число из 10 с/с в 2 с/с, 8 с/с, 16 с/с по вариантам. Для двоичной системы
счисления при переводе дробной части получить 6-7 знаков после запятой. При переводе
чисел в 8 с/с и 16 с/с пользоваться правилами перевода чисел из 10 с/с в любую другую; при
переводе дробной части получить 4-5 знаков после запятой.
№
варианта
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
q = 10
136,15
213,127
123,64
236,18
147,82
184,38
199,32
132,96
101,56
231,38
177,853
97,456
139,69
153,238
201,33
№
варианта
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
q = 10
178,35
135,123
126,29
162,157
186,64
165,127
146,142
159,33
149,201
155,33
175,391
221,76
123,521
157,25
198,76
Задание 3.
Перевести числа:
 из 8 с/с и 16 с/с в десятичную систему счисления;
 из 8 с/с в шестнадцатеричную систему счисления через двоичную;
 из 16 с/с в восьмеричную систему счисления через двоичную.
по вариантам:
№
варианта
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
q=8
q = 16
574,03
652,42
374,71
431,34
106,25
227,34
361,17
253,51
327,16
174,43
554,24
710,36
325,64
541,56
371,37
1A05
931C
2001
FD0
84B
7A3D
946F
160E
18AB
20F
39D1
FF0
A0E
34F1
103D
№
варианта
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
q=8
q = 16
147,42
543,35
732,61
621,76
452,34
634,15
721,62
642,71
741,52
246,31
316,64
327,07
561,67
723,42
173,64
84C
C1F
A10C
AE0
ABC2
1BC4
20FF
BC0
4571
23DE
13CB
AC5D
DF91
E75A
A01F
3. Состав отчета
1. Задание.
2. Выполнение практической части.
3. Выводы.
4. Контрольные вопросы
1. Что такое система счисления?
2. Основание системы счисления?
3. Что такое позиционные и непозиционные системы счисления?
4. Что такое двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления?
5. Основные методы перевода их одной системы счисления в другую7