215269

Министерство образования и науки Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
В.Ю. НЕЙМАН
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ
Часть 2
Линейные электрические цепи
однофазного синусоидального тока
Утверждено
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
2-е издание, переработанное и дополненное
НОВОСИБИРСК
2015
УДК 621.3.011.071(075.8)
Н 46
Рецензенты:
д-р техн. наук, проф. А.В. Сапсалев,
канд. техн. наук, доц. Ю.В. Петренко
Работа подготовлена на кафедре теоретических основ электротехники
для студентов дневного и заочного отделений
электротехнических специальностей
Н 46
Нейман В.Ю.
Теоретические основы электротехники в примерах и задачах.
Ч. 2. Линейные электрические цепи однофазного синусоидального тока: учеб. пособие / В.Ю. Нейман. – 2-е изд., перераб. и доп. –
Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2015. – 166 с.
ISBN 978-5-7782-2628-9
В пособии на значительном количестве примеров решения типовых
задач рассматриваются методы расчета линейных электрических цепей
однофазного синусоидального тока. Предлагаются аналогичные задачи
для самостоятельного решения с ответами.
Показаны приемы использования персонального компьютера для
автоматизации расчетов электрических цепей.
Структура и содержание пособия соответствуют программе курса
«Теоретические основы электротехники» для электротехнических специальностей вузов.
Предназначено для самостоятельной работы студентов, а также
может быть полезно преподавателям при организации учебного процесса.
УДК 621.3.011.071(075.8)
© Нейман В.Ю., 2009, 2015
© Новосибирский государственный
технический университет, 2009, 2015
ISBN 978-5-7782-2628-9
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение .........................................................................................................
4
1. Расчет по мгновенным значениям синусоидального тока, напряжения...............................................................................................................
5
2. Расчет по амплитудным и действующим значениям синусоидальных
токов и напряжений с помощью векторных диаграмм и методом
проводимостей ...........................................................................................
12
3. Основы символического (комплексного) метода ...................................
29
4. Расчет разветвленных цепей синусоидального тока символическим
(комплексным) методом ...........................................................................
41
5. Методы расчета цепей синусоидального тока ........................................
56
6. Расчет резонансных режимов в цепях однофазного синусоидального
тока .............................................................................................................
76
7. Расчет индуктивно связанных электрических цепей .............................
88
8. Энергетические расчеты в цепях однофазного синусоидального тока
108
9. Применение математической программной среды MathCAD для расчета линейных цепей однофазного синусоидального тока ...................
Контрольное задание № 1 .............................................................................
129
145
Контрольное задание № 2 .............................................................................
152
Контрольное задание № 3 .............................................................................
156
Библиографический список ..........................................................................
161
Приложение ....................................................................................................
162
3
ВВЕДЕНИЕ
Цель пособия – оказать помощь студентам, изучающим курс теоретических основ электротехники, в их самостоятельной работе.
Усвоение материала одного из разделов курса «Линейные электрические цепи однофазного синусоидального тока» становится возможным только с приобретением практических навыков, получаемых в
процессе решения задач.
Так же как и первая часть пособия, вторая состоит из отдельных
задач, разбитых по темам в соответствии с программой курса. Часть
задач рассмотрена с решением. В задачах, приведенных для самостоятельного решения, даны только ответы.
По каждой из задач изложен подробный алгоритм расчета, который
поясняется на примере четырех и более задач с решениями.
Приведенные примеры расчета электрических цепей соответствуют
типовым задачам, которые могут оказаться полезными при подготовке
к практическим занятиям и выполнении домашних заданий, а также
при подготовке к экзаменам, обладают требуемой сложностью и трудоемкостью.
В помощь студентам в изучении дисциплины рассмотрены приемы
работы на компьютере с целью автоматизации расчетов электрических
цепей в среде MathCAD. Предполагается, что учащийся имеет начальное представление о математическом пакете MathCAD из пройденного
курса информатики. Это позволяет переложить выполнение рутинных
математических расчетов при решении систем алгебраических уравнений на компьютер.
При решении задач широко используются матричные методы.
4
1. РАСЧЕТ ПО МГНОВЕННЫМ ЗНАЧЕНИЯМ
СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА, НАПРЯЖЕНИЯ
Для электрических цепей, в которых значения и направления
напряжения и тока периодически изменяются во времени по синусоидальному закону и имеют одинаковую частоту, операции сложения,
вычитания, дифференцирования и интегрирования можно производить, пользуясь аналитическими формулами преобразования тригонометрических функций.
Задача 1.1
Мгновенные значения тока и напряжения на входе двухполюсника
(рис. 1.1) равны:


u  120sin 314 t  50о В ,


i  60sin 314 t  35о А .
Построить кривые изменения напряжения и тока во времени.
Определить сдвиг фаз между напряжением и током, период, частоту,
амплитудные и действующие значения величин. Определить мгновенные значения на момент времени t  0 .
Решение
1. Синусоиды напряжения и тока изображены на рис. 1.2.
2. Угол сдвига между фазами напряжения и тока


  u  i  50о  35о  85о .
5
u, i
150
100
i
П
u
Um
50
0
i 180
u
o
Im
360
t
o
540
o

Рис.1.2
1.2
Рис.
Рис. 1.1
3. Период
T
2 2

 0,02 с .
 314
f 
1
1

 50 Гц .
T 0,02
4. Частота
5. Амплитудные значения величин:
U m  120 В , I m  60 А .
6. Действующие значения величин:
U
Um
I
Im
2


2
120
 84,9 В ,
2
60
 42, 43 А .
2
7. Мгновенные значения напряжения и тока в момент t  0 :
u  120sin 50о  91,92 В ,


i  60sin 35о  34,42 А .
6
Задача 1.2
Токи в узле разветвленного участка схемы (рис. 1.3):
i1  20,6sin t  60о А , i2  15,3sin t  45о А . Определить ампли-




тудное значение и начальную фазу тока i3 , записать выражение его
мгновенного значения.
Решение
1. На основании первого закона Кирхгофа для узла схемы (рис. 1.3)
мгновенное значение тока i3




i3  i1  i2  20,6sin t  60о  15,3sin t  45о  I3m sin  t  3  .
Непосредственное суммирование гармонических функций времени
связано с тригонометрическими преобразованиями. Выполним операцию сложения заданных токов i1 и i2 по правилу сложения векторов
(рис. 1.4).
Результирующий вектор, соответствующий амплитуде тока I 3m ,
найдем как диагональ параллелограмма. По теореме косинусов
I3m  I12m  I 22m  2 I1m I 2m cos  1  2  =


 20,62  15,32  2  20,6 15,3cos 60о  (  45о )  22,3 А .
I1m
i1
1
i3
i2
0
I 3m
3
2
I 2m
Рис. 1.3
Рис. 1.4
7

2. Из диаграммы (рис. 1.4) начальная фаза тока
 I sin 1  I 2m sin  2 
3  arctg  1m

 I1m cos 1  I 2m cos  2 




 20,6sin60о  15,3sin 45о 
  arctg(0,332)  18, 4о .
 arctg 
 20,6cos60о  15,3cos 45о 


3. Мгновенное значение тока


i3  22,3sin t  18,4о А .
Задача 1.3
По цепи (рис. 1.5) протекает синусоидальный ток с амплитудным
значением I m  2,5 А , частотой f  50 Гц и начальной фазой i  15о .
Определить мгновенные значения напряжений на резисторе ur  t  , индуктивности uL  t  и конденсаторе uC  t  , если r  100 Ом ,
L  0,064 Гн , С  53 мкФ . Построить кривые изменения напряжений
во времени.
Решение
1. Расчет проведем по мгновенным значениям. Мгновенное значение тока в цепи


i  t   I m sin  t  i   2,5sin 314 t  15о А ,
где   2f  2  50  314 с1 .
2. Напряжение на сопротивлении определим по закону Ома:


ur  t   ri  t   250sin 314 t  15о В .
8
u (t ), B
250
i
uC
125
ur
uC
u
ur
r
uL
t
C
0
uL
L
180o
360o
125
250
Рис. 1.5
Рис. 1.6
3. Мгновенное значение напряжения на индуктивности:
di(t )
d
uL  t   L
 L  I m sin  t  i   LI m cos  t  i  
dt
dt






 LI m sin  t   i   314  0,064  2,5sin  314 t   15о  
2
2






 50,2sin 314 t  105о В .
4. Мгновенное значение напряжения на конденсаторе:
1
1
uC  t    i  t dt   I m sin  t  i  dt 
C
C
1

1


I m sin  t   i   C1 

I m cos  t  i   C1 
C
2
C







2,5sin  314 t   15о   150,2sin 314 t  75о В .
2
314  53 10


Постоянная интегрирования С1  0 , так как при синусоидальном
токе и установившемся процессе напряжение на конденсаторе не имеет постоянной составляющей.
5. Кривые изменения напряжений ur  t  , uL  t  и uC  t  приведены
на рис. 1.6.
1
6
9
Задача 1.4
Мгновенное значение напряжения на индуктивности составляет
uL  141sin t  20о В (рис. 1.7). Записать выражение мгновенного


значения входного напряжения, если частота источника
r  42 Ом , L  0,05 Гн .
1. Мгновенное значение тока в цепи (рис. 1.7):
i  t   iL  t  
f  100 Гц ,
1
1
uL  t  dt   U Lm sin  t  1  dt 

L
L

1
1



U Lm cos  t  1   C1 
U Lm sin  t   1   C1 
L
L
2



1



141sin  628 t   20о   4,5sin 628 t  70о А ,
628  0,05
2




где   2f  2 100  628 с1 , С1  0 , так как при синусоидальном
напряжении и установившемся процессе ток через индуктивность не
имеет постоянной составляющей.
Обозначим  2  70o начальную фазу при токе.
2. Мгновенное значение напряжения на сопротивлении:




ur  t   r i  t   42  4,5sin 628 t  70о  189sin 628 t  70о В .
U Lm
1
i
r
L
ur
uL
0

2
u
U rm
Рис. 1.7
10

Рис. 1.8
Um
По правилу сложения векторов (рис. 1.8) с использованием тригонометрических преобразований результирующий вектор, соответствующий амплитуде входного напряжения U m , полагая, что угол между
векторами составляет 90о , определим как
2
2
U m  U rm
 U Lm
 1892  1412  235,8 В .
Из диаграммы (рис. 1.8) получаем начальную фазу входного
напряжения
 U sin 1  U rm sin  2 
  arctg  Lm

 U Lm cos1  U rm cos 2 




 141sin 20о  189sin 70о 
  arctg  0,656   33,3о .
 arctg 
о
о
141cos 20  189cos 70 


Выражение для мгновенного значения входного напряжения


u  t   U m sin  t     235,8sin 628 t  33,3о В .
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1.5. В последовательной цепи переменного тока действу-




ет два напряжения: u1  20sin t  80о В , u2  40sin t  15о В .
Определить мгновенное значение напряжения на входе цепи.


О т в е т: u  51, 7sin t  35,5о В .
Задача 1.6. Мгновенные значения токов в разветвленных ветвях
схемы



i1  1,6sin t  15о А ,
равны
о
i3  1, 2sin t  40


i2  0,6sin t  60о А ,
 А . Записать выражение для мгновенного значения
тока в неразветвленной части схемы.


О т в е т: i  2,9sin t  17,6о А .
11
Задача 1.7. Мгновенное значение напряжения на конденсаторе


uC  168sin 628t  60о В . Определить мгновенное значение напряже-
ния на индуктивности (рис. 1.9), если L  0,08 Гн , С  15 мкФ .


О т в е т: uL  79, 4sin 628 t  120о В .
i
i
L
C
uL
uC
u
ir
iL
iC
r
L
C
u
Рис. 1.9
Рис. 1.10
Задача 1.8. Мгновенное значение напряжения на входе цепи


(рис. 1.10) равно u  220 2 sin 314 t  135о В . Определить мгновенные значения токов
С  5 мкФ .
ir , iL , iC , i , если

r  120 Ом , L  0,2 Гн ,



iС  0, 49sin  314 t  225о  А , i  5,16sin  314 t  75,1о  А .
О т в е т: ir  2,59sin 314 t  135о А , iL  4,95sin 314 t  45о А ,
2. РАСЧЕТ ПО АМПЛИТУДНЫМ
И ДЕЙСТВУЮЩИМ ЗНАЧЕНИЯМ
СИНУСОИДАЛЬНЫХ ТОКОВ
И НАПРЯЖЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ
ВЕКТОРНЫХ ДИАГРАММ
И МЕТОДОМ ПРОВОДИМОСТЕЙ
Для упрощения анализа и расчета цепей переменного тока синусоидальные величины изображают векторами. Длины векторов эквивалентны амплитудам синусоидальных функций, а углы поворота векто12
ров – их начальным фазам. Таким образом, вектор учитывает все значения, характеризующие синусоидальную величину, а векторная диаграмма цепи дает наглядное представление об их фазовом расположении. При расчете цепи суммирование изображающих векторов осуществляется намного проще, чем сложение мгновенных значений рассматриваемых синусоидальных величин, связанное к тому же с интегрированием и дифференцированием синусоидальных функций.
Построение векторных диаграмм может осуществляться как для
амплитудных, так и для действующих значений величин.
Основное преимущество метода проводимостей состоит в том, что
расчет токов в цепи может осуществляться без дополнительных графических построений.
Задача 2.1
Определить действующее и мгновенное значения тока в последовательной цепи, схема которой приведена на рис. 2.1 для двух значений
частоты питающего источника f  50 Гц и f  100 Гц , если
u  127 2 sin t В , r1  20 Ом , r2  30 Ом , L  0,12 Гн , C  130 мкФ .
Решение
1. Расчет цепи для частоты питающего источника f  50 Гц . Реактивное сопротивление индуктивности
xL  L  314  0,12  37,68 Ом ,
где   2f  2  50  314 с1 .
Реактивное сопротивление емкости
1
1
xC 

 24,5 Ом .
C 314 130 106
2. Действующее значение входного напряжения
U
Um
2

127 2
 127 В .
2
3. Качественная (не в масштабе) векторная диаграмма цепи
(см. рис. 2.1) для действующих значений тока и напряжений приведена
на рис. 2.2.
13
i
r1
L
U L  Ix L
U C  Ix C
U r 2  Ir2
u
U
r2

C
U r1  Ir 1
Рис. 2.1
Up
I
Ua
Рис. 2.2
Построение начнем в вектора тока I , который является общим при
последовательном соединении для всех элементов цепи. Вектор
напряжения на активном сопротивлении U r1 совпадет с вектором тока
по фазе, вектор напряжения на индуктивности U L опережает по фазе
вектор тока на 90о , вектор напряжения на емкости U С отстает по фазе
от вектора тока на 90о . Аналогично вектор напряжения на активном
сопротивлении U r 2 совпадает с вектором тока по фазе. Вектор входного напряжения U складывается из напряжений на отдельных элементах при учете сдвига фаз.
4. Из треугольника напряжений (см. рис. 2.2) следует значение
напряжения, приложенного к цепи:
U  U а2  U р2 
U r1  U r 2 2  U L  UC 2 .
Выразив напряжения на элементах через ток и сопротивления, получим
U
 I r1  I r2 2   I xL  I xC 2  I  r1  r2 2   xL  xC 2 .
5. Действующее значение тока в цепи
I
U
 r1  r2    xL  xC 
2
2

127
 20  30    37,68  24,5
2
14
2
 2, 46 A .
6. Из диаграммы (см. рис. 2.2) установим угол сдвига фаз между
напряжением на входе цепи и током:
  arctg
 Ix  IxC 
 xL  xC 
 arctg  L
  arctg 

Uа
 Ir1  Ir2 
 r1  r2 
Uр
 37,68  24,5 
о
 arctg 
  arctg (0,264)  14,8 .
 20  30 
7. Мгновенное значение тока в цепи для f  50 Гц , учитывая активно-индуктивный характер цепи ( xL  xC ):


i  I msin  t    2,46 2 sin 314 t  14,8о А .
8. Расчет цепи при частоте источника f  100 Гц .
Реактивное сопротивление индуктивности
xL  L  628  0,12  75,36 Ом ,
где   2 f  2 100  628 с1 .
Реактивное сопротивление емкости
xC 
1
1

 12, 25 Ом .
C 628 130 106
9. Действующее значение тока в цепи
I
U
 r1  r2    xL  xC 
2
2

127
 20  30    75,36  12,52
2
 1,58 А .
10. Угол сдвига фаз между напряжением на входе цепи и током
  arctg
 I x  I xC 
 arctg  L

Uа
 I r1  I r2 
Uр
x x 
 75,36  12, 25 
о
 arctg  L C   arctg 
  arctg (1,262)  51,6 .
r

r
20

30


 1 2 
15
11. Мгновенное значение тока в цепи для f  100 Гц , учитывая активно-индуктивный характер цепи ( xL  xC ):


i  I msin  t    1,58 2sin 628 t  51,6о А .
Задача 2.2
Определить действующие значения токов цепи (рис. 2.3), активную, реактивную и полную мощность всей цепи. Построить векторную
диаграмму токов и напряжений. Дано: u  226sin314 t , r1  9 Ом ,
r2  16 Ом , L  0,034 Гн , С  260 мкФ .
Решение
С п о с о б 1. Расчет цепи с помощью построения векторных диаграмм.
1. Реактивные сопротивления элементов цепи:
xL  L  314  0,034  10,68 Ом ,
xC 
1
1

 12, 25 Ом .
C 314  260 106
I2
U
2
I
I1
L
r1
I2
C
r2
I p2
I a2
I a1

1
Ip
U
Ia
I
I p1
I1
Рис. 2.3
Рис. 2.4
16
2. Действующее значение напряжения на входе цепи:
U
Um
2

226
 159,8 В .
2
3. Расчет цепи (см. рис. 2.3) сопровождаем построением векторной
диаграммы для действующих значений токов и напряжений. Качественно (не в масштабе) построенная векторная диаграмма цепи приведена на рис. 2.4.
За исходный вектор принят вектор напряжения U , а затем нанесены векторы тока в каждой ветви, причем направления токов I 1 , I 2 относительно вектора напряжения выбраны в соответствии с характером
сопротивлений ветвей.
Из векторной диаграммы видно, что все активные составляющие
токов ветвей I а1 , I а2 направлены одинаково и параллельно вектору
напряжения. Следовательно, активная составляющая общего тока
I а  I а1  I а2 .
Реактивные оставляющие токов ветвей I р1 , I р2 имеют противоположные направления и перпендикулярны вектору напряжения. Следовательно, реактивная составляющая общего тока определяется алгебраической суммой:
I р  I р1  I р2 .
Как видно из диаграммы, изображенной на рис. 2.4, векторы активной I а , реактивной I р составляющих тока и вектор полного тока I
образуют прямоугольный треугольник. Из треугольника следует:
I  I а2  I р2 .
4. Полные сопротивления ветвей:
Z1  r12  xL2  92  10,682  13,97 Ом ,
Z 2  r22  xС2  162  12,252  20,15 Ом .
17
5. Действующие значения токов ветвей:
I1 
U 159,8

 11, 44 А ,
Z1 13,97
I2 
U 159,8

 7,93 А .
Z 2 20,15
6. Активные составляющие токов ветвей (см. рис. 2.4):
r
9
 7,37 А ,
I а1  I1cos 1  I1 1  11, 44
13,97
Z1
I а2  I 2 cos 2  I 2
r2
16
 7,93
 6, 29 А .
20,15
Z2
7. Реактивные составляющие токов ветвей (см. рис. 2.4):
I р1  I1sin 1  I1
xL
10,68
 11, 44
 8,75 А ,
13,97
Z1
I р2  I 2sin 2  I 2
xС
12, 25
 7,93
 4,82 А .
20,15
Z2
8. Активная и реактивная составляющие общего тока:
Iа  Iа1  I а2  7,37  6,29  13,66 А ,
I р  I р1  I р2  8,75  4,82  3,93 А .
9. Действующее значение полного тока всей цепи:
I  I а2  I р2  13,662  3,932  14,21 А .
10. Для определения мощности предварительно вычислим фазный
угол сдвига  между напряжением и током на входе цепи. Из векторной диаграммы (см. рис. 2.4) найдем:
  arctg
 3,93 
 arctg 
 16,1о .

Iа
 13,66 
Iр
18
11. Активная мощность цепи:
P  UI cos   159,8 14,21cos16,1о  2181,7 Вт .
11. Реактивная мощность цепи:
Q  UI sin   159,8 14,21sin16,1о  629,7 вар .
13. Полная мощность цепи:
S  P2  Q2  2181,72  629,72  2270,8 В  А .
С п о с о б 2. Расчет цепи методом проводимостей.
1. Полные сопротивления ветвей:
Z1  r12  xL21  92  10,682  13,97 Ом ,
Z 2  r22  xC2 2  162  12,252  20,15 Ом .
2. Активная и реактивная проводимости первой ветви:
g1 
b1 
r1
Z12
xL1
Z12


9
13,972
10,68
13,972
 0,0461 См ,
 0,0548 См .
3. Активная и реактивная проводимости второй ветви:
g2 
b2 
r2
Z 22
xС 2
Z 22


16
20,152
12, 25
20,152
 0,0394 См ,
 0,0302 См .
4. Полные проводимости первой и второй ветвей:
у1  g12  b12  0,04612  0,05482  0,0716 См ,
у2  g22  b22  0,03942  0,03022  0,0496 См .
19
5. Полная проводимость всей цепи:
y

 g1  g2 2   b1  b2 2 
 0,0461  0,03942   0,0548  0,03022  0,089 См .
Знак минус перед b2 указывает на емкостный характер реактивной
проводимости второй ветви.
6. Действующие значения токов ветвей:
I1 
U
 Uy1  159,8  0,0716  11, 44 А ,
Z1
I2 
U
 Uy2  159,8  0,0496  7,93 А ,
Z2
I  Uy  159,8  0,089  14,22 А .
7. Активная мощность цепи:
P  I12 r1  I 22 r2  11,442  9  7,932 16  2184 Вт .
8. Реактивная мощность:
Q  I12 xL1  I 22 xC 2  11,442 10,68  7,932 12,25  627,4 вар .
9. Полная мощность цепи:
S  UI  P 2  Q2  21842  627,42  2272,3 В  А .
Задача 2.3
Определить действующие значения токов в ветвях схемы (рис. 2.5),
если действующее значение напряжения на входе цепи U  100 В .
Дано: r1  6 Ом , r2  15 Ом , r3  8 Ом xL1  10 Ом , xL3  12 Ом ,
xС 2  30 Ом .
Решение
Расчет цепи получим методом проводимостей. Заменим параллельные ветви одной эквивалентной (рис. 2.6).
20
I1
r1
x L1
I3
1
I1
r1
x L1
1
I2
U
U12
rэкв
r3
r2
xC 2
U12
U
x экв
x L3
2
2
Рис. 2.5
Рис. 2.6
1. Полные сопротивления параллельных ветвей:
Z2  r22  xC2 2  152  302  33,54 Ом ,
Z3  r32  xL23  82  122  14,42 Ом .
2. Активная и реактивная проводимость второй ветви ( r2 , xC 2 ):
g2 
b2 
r2
Z 22
xС 2
Z 22


15
33,542
30
33,542
 0,0133 См ,
 0,0267 См .
3. Активная и реактивная проводимость третьей ветви ( r3 , xL3 ):
g3 
b3 
r3
Z32
xL 3
Z32


8
14, 422
12
14, 422
 0,0385 См ,
 0,0577 См .
4. Полная активная проводимость параллельных ветвей:
g23  g2  g3  0,0133  0,0385  0,0518 См .
5. Полная реактивная проводимость параллельных ветвей:
b23  b3  b2  0,0577  0,0267  0,031См .
21
Знак минус перед b2 указывает на емкостный характер реактивной проводимости второй ветви.
6. Полная проводимость параллельных ветвей:
2
2
y23  g23
 b23
 0,05182  0,0312  0,0604 См .
7. Определяем эквивалентные параметры схемы (рис. 2.6):
эквивалентное активное сопротивление
rэкв 
g 23

2
y23
0,0518
0,06042
 14, 2 Ом ,
эквивалентное реактивное (индуктивное) сопротивление
xэкв 
b23
2
y23

0,031
0,06042
 8,5 Ом .
8. Ток в неразветвленной части схемы:
I1 

U

Zвх
U
 r1  rэкв    xL1  xэкв 
2
100
 6  14, 2 2  10  8,52
2

 3,65 А .
9. Напряжение U12 в разветвленной части цепи:
2
2
U12  I1Z экв  I1 rэкв
 xэкв
 3,65 14,22  8,52  60,4 В .
10. Токи в параллельных ветвях схемы (см. рис. 2.5):
I2 
I3 
U12 60, 4

 1,8 А ,
Z 2 33,54
U12 60, 4

 4,19 А .
Z3 14, 42
22
Задача 2.4
В цепи (рис. 2.7) показание амперметра A3 соответствует току
I3  1,3 А . Определить показания остальных приборов, если r  25 Ом ,
L  0,065 Гн , С  34 мкФ . Частота источника питания f  50 Гц .
Решение
1. Расчет реактивных сопротивлений цепи:
xL  L  314  0,065  20,4 Ом ,
xC 
1
1

 93,7 Ом ,
C 314  34 106
где   2 f  2  50  314 с1 .
2. Показание вольтметра V равно действующему значению напряжения на входе цепи:
U  I3 Z3  I3 r 2  xL2  1,3 252  20,42  42 В .
3. Показание амперметра A2 определится:
I2 
U
42

 0, 45 А .
xC 93,7
I2
*
U
*
A1
W
V
A3
A2
C
I a3
U
I p3  I 2
r
3
I1
L
I3
I2
Рис. 2.7
Рис. 2.8
23
I p3
4. Показание амперметра A1 определим по векторной диаграмме
цепи (рис. 2.8), из которой следует:

2
I1  I а3
 I р3  I 2
   I3cos 3 2   I3sin 3  I2 2 
2
1,3cos39,2   1,3sin 39,2  0,45  1,1 А ,
о 2

где 3  arctg
о
2
xL
 20, 4 
о
 arctg 
  39, 2 .
r
25


5. Показание ваттметра W будет определяться активной мощностью, выделяемой в резистивном сопротивлении:
P  I32 r  1,32  25  42,3 Вт .
Задача 2.5
Для цепи (рис. 2.9) известны показания ваттметра P  25 Вт и амперметра I  2,5 А . Определить индуктивность катушки, ее активное
сопротивление и действующее значение напряжения на входе цепи,
если полное сопротивление катушки Zк  5 Ом и емкость конденсатора С  160 мкФ . Частота источника f  200 Гц . Построить векторную
диаграмму цепи.
Решение
1. Активное сопротивление катушки:
P
25
rк  2 
 4 Ом .
I
2,52
*
U
*
rк
Lк
Uк
W
Uк
Ixк
Irк
A
I
IxС
C
U
Рис. 2.9
Рис. 2.10
24
2. Индуктивное сопротивление катушки:
xк  Zк2  rк2  52  42  3 Ом .
Индуктивность катушки:
Lк 
xк
3

 2,39 103 Гн ,
 1256,6
где   2 f  2  200  1256,6 с1 .
3. Полное сопротивление цепи и действующее значение напряжения на входе цепи:
Z  rк2   xк  xC   42   3  4,97   4,46 Ом ,
2
где xC 
2
1
1

 4,97 Ом ;
С 2  200 160 106
U  IZ  2,5  4,46  11,15 В .
Векторная диаграмма цепи изображена на рис. 2.10.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 2.6. В цепи (рис. 2.11) действующее значение напряжения
на входе цепи составляет U  300 В . Определить действующее значение входного тока и угол сдвига фаз между напряжением и током, построить векторную диаграмму цепи. Дано: r  150 Ом , L  0,191 Гн ,
C  10,6 мкФ , f  50 Гц .
От вет : I  4, 47 А ,   63, 4о .
Задача 2.7. Определить действующие значения токов и записать
выражения для мгновенных значений токов в ветвях схемы (рис. 2.12),
25
I
U
I
r
U
L
C
I1
C1
r2
I2
Рис. 2.11
r1
Рис. 2.12


если u  170sin 628 t  18о В , r1  26 Ом , r2  42 Ом , С1  80 мкФ .
Построить векторную диаграмму цепи.
О т в е т: I1  3, 67 А , I 2  2,86 А , I  6,19 А ,


i  8,76sin  628 t  39,1о  А .


i1  5,19sin 628 t  55, 4о А , i2  4, 05sin 628 t  18о А ,
Задача 2.8. Для схемы (рис. 2.13) определить активную, реактивную и полную проводимости цепи. Рассчитать действующие значения
токов, если U  76 В ,
r1  12 Ом ,
xL 2  26 Ом ,
r3  21Ом ,
xC 3  34 Ом .
О т в е т: g  0,0136 См , b  0,0124 См , y  0,0184 См ,
I1  1, 4 А , I 2  2,5 А , I3  1, 6 А .
I1
r1
I3
I2
xL 2
U
A1
A2
r3
U
xL
xC 3
Рис. 2.13
Рис. 2.14
26
A3
r
Задача 2.9. Определить показание амперметра А3 в схеме
(рис. 2.14), если амперметр А1 показывает ток I А1  50 А , а амперметр А2 показывает ток I А2  30 А .
О т в е т: I А3  40 А .
Задача 2.10. Для схемы (рис. 2.15) определить показание амперметра А1 , если показания остальных амперметров соответствуют токам: I А2  1,5 А , I А3  1,2 А , I А4  0,5 А .
О т в е т: I А1  0, 4 А .
Задача 2.11. В схеме (рис. 2.16) показания вольтметров, соответствующие напряжениям на элементах цепи, распределились следующим образом: UV 2  130 В , UV 3  50 В , UV 4  100 В . Определить показание вольтметра V1 .
О т в е т: UV 1  60 В .
Задача 2.12. Определить показание вольтметра V1 в схеме
(рис. 2.17), если вольтметр V2 показывает напряжение UV 2  96 В .
Дано: r1  20 Ом , r2  16 Ом , xC  12 Ом .
О т в е т: UV 1  200 В .
r
A1
V4
xL
A4
A2
A3
r
xL
xC
V1
V2
V3
xC
Рис. 2.15
Рис. 2.16
27
Задача 2.13. Показание амперметра А1 , установленного в цепи
(рис. 2.18), соответствует току I А1  3 А . Определить напряжение на
вольтметре V1 , если r1  20 Ом , xL1  45 Ом , xC1  30 Ом , xC 2  6 Ом .
О т в е т: UV 1  30 В .
xC
r1
V1
r1
V2
r2
V1
A1
xC 2
x L1 xC1
Рис. 2.17
Рис. 2.18
Задача 2.14. Показание вольтметра V2 в схеме (рис. 2.19) равно
UV 2  30 В . Определить показание вольтметра V1 на входе последовательной цепи, если r  15 Ом , xL  10 Ом , xC  30 Ом .
О т в е т: UV 1  50 В .
Задача 2.15. Определить показание амперметра А1 на входе цепи
(рис. 2.20), если ток амперметра А2 в разветвленной части схемы составляет I А2  3 А . Дано: r  24 Ом , xL  48 Ом , xC  36 Ом .
О т в е т: I А1  5 А .
r
V1
r
xL
A2
xC
xC
A1
xC
V2
Рис. 2.19
xL
Рис. 2.20
28
3. ОСНОВЫ СИМВОЛИЧЕСКОГО
(КОМПЛЕКСНОГО) МЕТОДА
Символический метод расчета основан на использовании комплексных чисел, что при расчете электрических цепей переменного
синусоидального тока позволяет заменить графические действия над
векторами алгебраическими действиями над комплексными числами.
Геометрическому сложению и вычитанию векторов соответствует алгебраическое сложение и вычитание их проекций на оси комплексной
плоскости.
Для ускорения расчетов в приложении приведены приемы использования многофункциональных калькуляторов при работе с комплексными числами.
Задача 3.1
Напряжение и ток на входе пассивного двухполюсника (рис. 3.1):
u  100 2 sin t  30о В , i  60 2 sin t  45о А . Записать комплек-




сы действующих значений синусоидальных функций в показательной,
алгебраической и полярной формах. Построить векторную диаграмму
на комплексной плоскости.
j
i
1
П
u
U
50
0

Рис. 3.1
60
2
60
2
50 3
I
Рис. 3.2
Решение
1. Комплексы действующих значений напряжения и тока в показательной форме:
о
U
U  m e ju  100 e j 30 В ,
2
29
I
о
Im
e ji  60 e j 45 А .
2
2. Комплексы действующих значений напряжения и тока в алгебраической форме:
U
I
Um
2
Im
2
 cos u  jsin u   100  cos30о  jsin 30о   50 3 + j50 В ,
 cos i  jsin i   60 cos  45о   jsin  45о  
60
60
j
А.
2
2
3. Комплексы действующих значений напряжения и тока в полярной форме:
U
Um
I
Im
2
2
u  100 30о В ,
i  60 45о А .
4. Векторная диаграмма на комплексной плоскости для действующих значений величин представлена на рис. 3.2.
Задача 3.2
Заданы комплексы действующих значений напряжений в показао
о
о
тельной форме: U 1  120 e j 60 В , U 2  240 e j 20 В , U 3  360 e j 35 В .
Записать выражения для мгновенных значений напряжений.
Решение


2. u  240 2 sin  t  20  В .
3. u  360 2 sin  t  145  В ,
1. u1  120 2 sin t  60о В .
о
2
о
3
30
здесь
о
о
о
U 3  360e j 35  360e j 35 1e j180  360e

j 35о 180о
,
так
как
о
 1  1e j180 .
Задача 3.3
Заданы комплексы действующих значений токов в алгебраической
форме:
I 1  4  j3 А , I 2  4  j3 А , I 3  4  j3 А , I 4  4  j3 А .
Записать выражения для мгновенных значений токов.
Решение
1. I 1  4  j3  4  3  e
2
2

jarctg
3
о
4 = 5 e j 36,9 А
о
значение тока: i1  5 2 sin t  36,9
2. I 2  4  j 3  4  3
2
2
А.
(рис. 3.3). Мгновенное
 3
jarctg  
о
 4   5 e  j 36,9 А
e

о
венное значение тока: i2  5 2 sin t  36,9
А.
(рис. 3.4). Мгно-
 3

jarctg   
о
 4    5 e  j 36,9 
3. I 3  4  j 3    4  j3    42  32  e




о
 5 e j143,1 А

(рис. 3.5).
о

Мгновенное
значение
i3  5 2sin t  143,1 А .
3

jarctg 
о
2
2
4   5 e j 36,9 =

4. I 4  4  j 3    4  j3   4  3  e




о
 5 e j143,1 А (рис. 3.6). Мгновенное значение тока:


о
i4  5 2 sin t  143,1
А.
31
тока:
j
j
I1
36,9o
1
1
0
0
36,9
1
143,1o
1
0
o
0
143,1o
I2
Рис. 3.3
j
j
I3
I4
Рис. 3.4
Рис. 3.5
Рис. 3.6
Задача 3.4
Напряжения представлены комплексами действующих значений
о
U 1   5  j12  4 e j 30 В , U 2   4  j316  j12  В . Записать выражения
для мгновенных значений напряжений.
Решение
1. U 1   5  j12  4 e
j 30о
 5  12  e
2
2
о
о
jarctg
12
о
5  4 e j 30 
о
 13 e j 67,4  4 e j 30  52 e j 97,4 В ,


тогда u1  52 2 sin t  97,4о В .
2. U 2   4  j316  j12  28  j96 
 28  96
2

2
 96 
jarctg   
о
 28   100e j 73,7 В ,
e

тогда u2  100 2 sin t  73,7о В .
Задача 3.5
Комплексы действующих значений напряжения и тока равны:
U  12,5  j30 В , I  1,6  j1,2 А . Определить сдвиг фаз между напряжением и током.
32
Решение
1. Комплексы действующих значений напряжения и тока в показательной форме:
U  12,52  302  e
jarctg
I  1,6  1, 2  e
2
2
30
12,5
jarctg
1,2
1,6
о
 32,5 e j 67,4 В ,
о
 2 e j 36,9 А .
2. Сдвиг фаз между напряжением и током:
  u  i  67,4о  36,9о  30,5о .
Задача 3.6
Определить комплекс амплитудного значения и мгновенное значение падения напряжения на участке цепи с комплексным сопротивлением Z  26  j 42 Ом , если мгновенное значение тока через элементы


цепи составляет i  1,25sin t  25о А .
Решение
1. Согласно закону Ома напряжение на участке: U m  I m Z .
Комплекс амплитудного значения тока:
о
I m  1, 25 e j 25 А .
Комплекс амплитудного значения падения напряжения:
U m  I m Z  1,25 e
j 25о
 26  j 42   1,25 e
о
j 25о
о
26  42  e
2
2
jarctg
о
 1,25 e j 25  49,4 e j 58,2  61,75 e j83,2 В .
2. Мгновенное значение падения напряжения на участке:


u  U msin  t  u   61,75sin t  83,2о B .
33
42
26 
Задача 3.7
Определить комплексное сопротивление и комплексную проводимость двухполюсника, если напряжение и ток на входе двухполюсника:




u  220 2 sin t  40о В , i  5 2 sin t  10о А .
Решение
1. Согласно закону Ома комплексное сопротивление двухполюсниU
ка Z  m .
Im
Комплексы амплитудных значений напряжения и тока:
о
U m  U me ju  220 2  e j 40 В ,
о
I m  I me ji  5 2  e j10 А .
Комплексное сопротивление:
о
о
U
220 2  e j 40
Z m 
 44 e j 30  38,1  j 22 Ом .
о
Im
5 2  e j10
2. Комплексная проводимость:
Y
о
Im 1
1
 
 0,023 e j 30 
о
U m Z 44 e j 30
 19,68  j11,36 103 См .
Задача 3.8
В узле цепи (рис. 3.7) соединены три ветви. Определить комплекс
действующего
значения
тока
о
I 2  3,6 e j 60 А .
34
I3 ,
если
о
I 1  1, 4 e j 43 А ,
I1
I3
i2
i1
i3
i4
I2
Рис. 3.7
Рис. 3.8
Решение
На основании первого закона Кирхгофа согласно рис. 3.7:
о
о
I 3  I 2  I 1  3,6 e j 60  1,4 e j 43 
о
 1,8  j3,12   1,02  j 0,95  0,78  j 4,07  4,14 e j 79,2 А .
Задача 3.9
В узле цепи (рис. 3.8) соединены четыре ветви. Определить мгновенное
значение тока i1 , если мгновенные значения остальных токов следующие:






i2  15sin t  15о А , i3  25sin t  35 о А , i4  12sin t  60 о А .
Решение
На основании первого закона Кирхгофа согласно рис. 3.8 для комплексов амплитудных значений токов
I 1m  I 2m  I 3m  I 4m .
Найдем:
о
I 2m  15 e j15  14,5  j3,9 А ,
о
I 3m  25 e j 35  20,5  j14,3 А ,
о
I 4m  12 e j 60  6  j10,4 А .
35
Следовательно,
I 1m  14,5  j3,9+ 20,5 + j14,3   6  j10,4  
о
 29  j 20,8  35,7 e j 35,7 А .
Мгновенное значение тока i1 :


i1  35,7sin t  35,7о А .
Задача 3.10
Найти комплексные сопротивления и комплексные проводимости
участков цепи (рис. 3.9 – 3.11), если r  25 Ом , xL  60 Ом , xС  30 Ом .
xL
r
Рис. 3.9
r
xC
xC
r
Рис. 3.10
xL
Рис. 3.11
Решение
1. Комплексное сопротивление и комплексная проводимость для
участка цепи, рис. 3.9:
о
Z 1  r  jxL  25  j 60  65 e j 67,4 Ом ,
Y1 
о
1
1
1


 0,0154 e j 67,4 
о
Z 1 25  j 60 65 e j 67,4
 0,0059  j 0,0142 См .
2. Комплексное сопротивление и комплексная проводимость для
участка цепи, рис. 3.10:
о
Z 2  r  jxС  25  j30  39,1e j 50,2 Ом ,
Y2 
о
1
1
1


 0,0256 e j 50,2 
о
Z 2 25  j 30 39,1e j 50,2
 0,0164  j 0,0196 См .
36
3. Комплексное сопротивление и комплексная проводимость для
участка цепи, рис. 3.11:
о
Z 3  r  jxL  jxС  25  j 60  j 30  25  j 30  39,1e j 50,2 Ом ,
Y3 
о
1
1
1


 0,0256 e j 50,2 
о
Z 3 25  j 30 39,1e j 50,2
 0,0164  j 0,0196 См .
Задача 3.11
Определить параметры элементов и характер цепи, состоящей из
двух последовательно включенных сопротивлений r и x , если мгновенное значение напряжения на входе и ток соответственно равны:
u  100 2 sin 100 t  15о В , i  3,8 2 sin 100 t  38о А .




Решение
1. Комплексы амплитудных значений напряжения и тока:
о
о
U m  100 2  e j15 В , I m  3,8 2  e j 38 А .
2. Комплексное сопротивление цепи:
о
о
U
100 2  e j15
Z m 
 26,3 e j 53  15,8  j 21 Ом .
о
I m 3,8 2  e j 38
3. Активное сопротивление является действительной составляющей (вещественной частью) комплексного сопротивления:
r  Re  Z   Re 15,8  j 21  15,8 Ом .
Реактивное сопротивление является мнимой составляющей комплексного сопротивления:
x  xL  Im  Z   Im 15,8  j 21  21Ом .
37
Индуктивность
L
xL 21

 0, 21 Гн .
 100
4. Характер цепи  r  L  активно-индуктивный, что определяется
положительным знаком перед мнимой частью комплексного сопротивления Z цепи.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 3.12. Мгновенные значения напряжения и тока:




u  220 2 sin t  20о В , i  3 2 sin t  15о А . Записать комплексы
для действующих значений синусоидальных функций в показательной,
алгебраической и полярной формах.
о
о
О т в е т: 1) U  220 e j 20 В , I  3 e j15 А ;
2) U  206,7  j 75, 2 В , I  2,9  j 0,78 А ;
3) U  220 20о В , I  3 15о А .
Задача 3.13. Записать выражения для мгновенных значений
напряжений. Комплексы для амплитудных значений напряжений заданы
в
полярной
U 1m  280 0о В ,
форме:
U 2m  115 36о В ,
U 3m  36 120 о В , U 4m  127 43о В .


О т в е т: u1  280sin t В , u2  115sin t  36о В ,




u3  36sin t  120о В , u4  127sin t  223о В .
Задача 3.14. Записать выражения для мгновенных значений
напряжений. Комплексы действующих значений напряжений заданы в
38
алгебраической
форме:
U 1  25  j 60 В ,
U 3  25  j 60 В , U 4  60  j 25 В .
U 2  60  j 25 В ,


О т в е т: u1  65 2 sin  t  67, 4 В , u2  65 2 sin t  22, 6о В ,


u4  65 2 sin  t  157, 4о  В .
u3  65 2 sin t  112,6о В ,
Задача 3.15. Токи представлены комплексными выражениями для
действующих
I3 
значений:
 24  j30  4  j12  А ,
I1 
I4 
40  j 36
А,
50  j 60
120  j150
 3  j 6  65 43о
260e j 60
ния для мгновенных значений токов.
о
I2 
230 64о
А,
320  j 280
А . Записать выраже-


i2  0,54 2 sin  t  22,8о  А ,
i3  1,87 2 sin  t  62,9о  А ,
i4  0, 44 2 sin  t  157,8о  А .
О т в е т: i1  0,69 2 sin t  92, 2о А ,
Задача 3.16. Определить комплексное сопротивление участка цепи в полярной и алгебраической формах, если падение напряжения на
участке и ток соответственно равны: u1  220 2 sin t  120о В ,

о
i1  2 2 sin t  36

 А.

О т в е т: Z1  110 84о Ом , Z1  11,5  j109, 4 Ом .
Задача 3.17. Мгновенное значение тока задано суммой
i1  i2  i3  i4 . Записать выражение для комплексной амплитуды этого
39
тока в показательной, полярной и алгебраической формах, если
i2  1,6sin t  120о А , i3  2,4sin t  15о А , i4  1,2sin t  30о А .






о
О т в е т: I 1m =3,3 e j128,6 А , I 1m =3,3 128, 6о А ,
I 1m =  2,1  j 2,6 А .
Задача 3.18. Определить ток i , равный разности токов i2  i1 . Дано:




i1  3,2sin t  60о А и i2  4,6sin t  45о А .


О т в е т: i  1, 72sin t  16, 2о А .
Задача 3.19. Определить закон изменения тока через элемент цепи
с комплексным сопротивлением Z  112  j58 Ом , если закон измене-


ния напряжения на элементе u  124sin t  90о В .


О т в е т: i  0,98sin t  62, 6о А .
Задача 3.20. Вычислить параметры схемы из двух последовательно
включенных сопротивлений, если напряжение и ток соответственно
равны: u  300sin 628 t  45о В , i  1,24sin 628 t  86о А .




О т в е т: r  182,6 Ом , x  xC  158,7 Ом , C  10 мкФ .
Задача 3.21. Записать закон изменения напряжения на входе цепи
с последовательным соединением сопротивлений, если мгновенное
значение тока равно i  4,6sin 314 t  64о А . Дано: r  2,5 Ом ,


L  4,5 102 Гн , С  600 мкФ .


О т в е т: u  42, 2sin 314 t  138, 2о В .
40
4. РАСЧЕТ РАЗВЕТВЛЕННЫХ ЦЕПЕЙ
СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
СИМВОЛИЧЕСКИМ
(КОМПЛЕКСНЫМ) МЕТОДОМ
Рассматриваются приемы расчета цепей синусоидального тока, содержащих один источник напряжения или тока и смешанное соединение сопротивлений. При расчете таких цепей целесообразно использовать символический метод, основанный на использовании комплексных чисел.
Задача 4.1
Определить комплексное сопротивление цепи (рис. 4.1) относительно входных зажимов, если r1  24 Ом , r2  32 Ом , r3  15 Ом ,
L2  7,91 102 Гн , С1  120 мкФ , С3  50 мкФ ,   628 с1 .
Решение
1. Расчет сопротивлений реактивных элементов цепи (рис. 4.1) для
  628 с1 :
1
1
xC1 

 13, 27 Ом ,
C1 628 120 106
xC 3 
1
1

 31,85 Ом ,
C3 628  50 106
xL 2  L2  628  7,91102  49,68 Ом .
2. Для упрощения расчетов преобразуем схему (см. рис. 4.1) к виду,
показанному на рис. 4.2. Комплексные сопротивления участков схемы,
изображенной на рис. 4.2:
Z1  r1  jxC1  24  j13,27 Ом ,
Z 2  r2  jxL 2  32  j 49,68 Ом ,
Z 3  r3  jxC 3  15  j31,85 Ом .
41
r2
r1
Z2
L2
C1
Z1
r3
C3
Z3
Рис. 4.1
Рис. 4.2
3. Полное комплексное сопротивление цепи:
Z  Z1 
Z2 Z3
 32  j 49,6815  j31,85 
 24  j13, 27 
Z2  Z3
32  j 49,68  15  j 31,85
 24  j13, 27 
2080, 4 7,6о
2062,3  j 274
 24  j13, 27 

47  j17,83
50,27 20,8о
 24  j13,7  41,38 28,4о  24  j13,27  36,43  j19,64 
 60,43  j32,92  68,81 28,6о Ом .
Задача 4.2
Определить действующие и мгновенные значения токов в ветвях
схемы (рис. 4.3), если u  200 2 sin t  120о В , r1  30 Ом ,


r2  40 Ом , r3  120 Ом , L1  0,34 Гн , С3  60 мкФ ,  =314 с1 .
Решение
1. Расчет сопротивлений реактивных элементов цепи для частоты
  314 с1 :
xL1  L1  314  0,34  106,8 Ом ,
xC 3 
1
1

 53,1 Ом .
C3 314  60 106
42
2. Комплекс действующего значения напряжения на входе:
U
200 2  j120о
e
 200 120о В .
2
3. Преобразуем сопротивления отдельных последовательных
участков цепи (см. рис. 4.3). Расчет токов выполним для преобразованной эквивалентной комплексной цепи (рис. 4.4).
i1
u
r1
L1
I1
i3
i2
C3
r2
r3
Z1
U
Рис. 4.3
I2
I3
Z2
Z3
Рис. 4.4
Комплексы полных сопротивлений отдельных последовательных
участков цепи:
Z1  r1  jxL1  30  j106,8 Ом ,
Z 2  r2  40 Ом ,
Z 3  r3  jxC 3  120  j53,1 Ом .
4. Полное комплексное сопротивление цепи:
Z  Z1 
40 120  j 53,1
Z2 Z3
 30  j106,8 

Z2  Z3
40  120  j 53,1
 30  j106,8 
5248,9 23,9о
168,6 18,4о
 30  j106,8  31  j3 
 61  j103,8  120,4 59,6о Ом .
43
5. Определяем комплекс действующего значения тока в неразветвленной части цепи:
I1 
U 200 120о

 1,66 179,6о А .
Z 120,4 59,6о
6. Токи I 2 и I 3 в параллельных ветвях могут быть найдены через
ток I 1 в неразветвленной части:
I 2  I1
Z3
120  j 53,1
 1,66 179,6о 

Z2  Z3
160  j 53,1
 1,66 179,6  0,78 5,5о  1,29 174,9о А ,
I 3  I1
Z2
40
 1,66 179,6о 

Z 2  Z3
160  j 53,1
 1,66 179,6  0,24 18,4о  0,4 161,2о А .
7. Действующие значения токов:
I1  1,66 А , I 2  1,29 А , I3  0,4 А .
8. Мгновенные значения токов:


i  1,29 2 sin  t  174,9  А ,
i  0,4 2 sin  t  161,2  А .
i1  1,66 2 sin t  179,6о А ,
о
2
о
3
Задача 4.3
Определить действующие значения токов в ветвях схемы (рис. 4.5)
и мощность, отдаваемую источником. Дано: e  120 2 sin t В ,
r1  26 Ом , r2  32 Ом , xL1  18 Ом , xL 2  15 Ом , xC1  36 Ом ,
xC 2  12 Ом .
44
1
1
I1
I6
I2
xL 2
r1
xC 2
xC1
I4
I5
I
jx L 2
Z3
Z2
I2
 jxC 2
Z1
x L1
2
3
I3 r2
3
I1
I3
2
E
E
I
Рис. 4.5
r2
Рис. 4.6
Решение
1. Определим комплекс действующего значения источника ЭДС:
E
120 2 j 0о
e  120 0о В .
2
2. Преобразуем звезду сопротивлений r1 , xC1 , xL1 , подключенную
к точкам 1, 2 и 3 в эквивалентный треугольник (рис. 4.6).
Комплексные сопротивления эквивалентного треугольника:
Z 1  jxL1  jxC1 
jxL1   jxC1 
r1
 j18  j 36 
j18   j36 
26
 25  j18 Ом ,
r   jxC1 
26   j 36 
Z 2  r1  jxC1  1
 26  j 36 
 26  j 36 Ом ,
jxL1
j18
r jx
26  j18
Z 3  r1  jxL1  1 L1  26  j18 
 13  j18 Ом .
 jxC1
 j 36
45
I 1I
Z4
1
U 31
U 12
Z5
Z1
Z экв
2
3
I 3 r2
E
I
I
Рис. 4.7
E
Рис. 4.8
3. Сопротивление xL 2 соединено параллельно с Z 2 , а сопротивление xC 2 параллельно с Z 3 (см. рис. 4.6), их общие комплексные сопротивления равны (рис. 4.7):
Z4 
j15  26  j36 
jxL 2 Z 2

 5, 2  j19, 2  19,9 105, 2о Ом ,
jxL 2  Z 2
j15  26  j36
Z5 
 j12 13  j18 
 jxС 2 Z3

 9,1  j16, 2  18,5 60,7о Ом .
 jxС 2  Z3  j12  13  j18
4. Комплекс тока I I (см. рис. 4.7):
II 
E
120 0о
120 0о


 24, 4 37,6о А .
о
Z 4  Z 5 3,9  j3 4,9 37,6
Комплексы напряжений U 31 и U12 :
U 31  I I Z 4  24,4 37,6о 19,9 105,2о  485,6 67,6о В ,
U 12  I I Z 5  24,4 37,6о 18,5 60,7о  451,4 98,3о В .
46
5. Комплексы действующих токов I 1 и I 2 найдем через комплексы
напряжений U 31 и U12 (см. рис. 4.6):
о
485,6 67,6
U
I 1  31 
 32, 4 22, 4о А ,
jxL 2
j15
о
I2 
451, 4 98,3
U 12

 37,6 8,3о А .
 jxС 2
 j12
6. Комплекс действующего тока I 3 :
I3 
E 120 0о

 3,8 0о А .
r2
32
7. Комплекс полного сопротивления Z экв всей цепи и комплекс
действующего тока I (рис. 4.8).
Согласно рис. 4.7 для Z экв запишем:
1
Z экв

1
1
1

 ,
Z 1 Z 4  Z 5 r2
откуда получим, что
Z экв 

Z 1  Z 4  Z 5  r2
r2 Z 1  r2  Z 4  Z 5   Z 1  Z 4  Z 5 

 25  j18 3,9  j3 32

32  25  j18  32  3,9  j3   25  j18  3,9  j3

4,9 103 1,8о
 4,1 25,6о Ом .
1, 2 103 23,8о
Комплекс действующего тока:
I
E
Z экв

120 0о
4,1 25,6
о
47
 29,3 25,6о А .
7. Комплексы действующих значений токов звезды сопротивлений
(см. рис. 4.5) определим из уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для узлов 1, 2 и 3:
I 4  I  I 1  I 3  29,3 25,6о  32,4 22,4о  3,8 0о  7,4 176,6о А ,
I 5  I  I 2  I 3  29,3 25,6о  37,6 8,3о  3,8 0о  16,3 153,6о А ,
I 6  I 1  I 2  32,4 22,4о  37,6 8,3о  10 136,3о А .
8. Окончательно для действующих значений токов имеем:
I  29,3 А , I1  32,4 А , I 2  37,6 А , I3  3,8 А ,
I 4  7,4 А , I5  16,3 А , I 6  10 А .
9. Мощность, отдаваемая источником.
Комплекс полной мощности источника:
S  EI  120 0о  29,3 25,6о  3516 25,6о  3170,8  j1519,2 В  А ,
где I  29,3 25,6о А – сопряженный комплекс тока.
Активная мощность источника:
P  Re(S )  Re(3170,8  j1519,2)  3170,8 Вт .
Реактивная мощность источника:
Q  Im(S )  Im(3170,8  j1519,2)  1519,2 вар .
Задача 4.4
Определить показания приборов электромагнитной системы в схеме (рис. 4.9), если показание амперметра A5 соответствует току
I5  1,72 А . Сопротивления элементов цепи заданы: r1  5 Ом ,
r2  10 Ом , r4  20 Ом , xL1  12 Ом , xL3  6 Ом , xС 4  15 Ом .
Решение
1. Обозначим токи в ветвях цепи в соответствии с установленными
в схеме приборами (см. рис. 4.9).
48
V1
A1
I1
r1
x L1
A5
I5
A4
I2
r2
V2
U
U2
A2
I3
I4
x L3
r4
xC 4
A3
Рис. 4.9
2. Комплексы действующих значений токов I 3 , I 4 и показания
амперметров A3 и A4 определим через ток I 5  1,72 0о А в неразветвленной части:
I3  I5
r4  jxC 4
20  j15
 1,72 0о

r4  jxC 4  jxL3
20  j15  j 6
 1,72 0о 1,14 12,6о  1,96 12,6о А .
По первому закону Кирхгофа для узла:
I 4  I 5  I 3  1,72 0о  1,96 12,6о  0,19  j0,42  0,47 114,3о А .
Показания амперметров A3 и A4 будут соответствовать действующим значениям токов: I A3  I3  1,96 А , I A4  I 4  0,47 А .
3. Комплекс действующего значения тока I 2 и показание амперметра А2 найдем через напряжение параллельных ветвей U 2 :
о
I2 
о
о
U 2 I 3 jxL3 1,96 12,6  j 6 1,96 12,6  6 90




r2
r2
10
10
 1,18 77,4о А ,
где U 2  I 3 jxL3 .
49
Показание амперметра А2 будет соответствовать действующему
значению тока I 2 :
I А2  I 2  1,18 А .
4. Комплекс действующего значения тока I1 и показание амперметра A1 найдем на основании первого закона Кирхгофа:
I 1  I 2  I 5  1,18 77,4о  1,72 0о 
 1,98  j1,15  2,29 30,2о А .
Показание амперметра A1 будет соответствовать действующему
значению тока I1 :
I A1  I1  2,29 А .
5. Показание вольтметра V1 определим по закону Ома через комплекс напряжения UV 1 :
U V 1  I 1  r1  jxL1   2,29 30,2о   5  j12   29,8 97,6о В .
Следовательно, показание вольтметра V1 будет соответствовать
действующему значению напряжения UV 1  29,8 В участка цепи.
6. Показание вольтметра V2 равно действующему значению
напряжения параллельных ветвей. По закону Ома
U 2  I 3 jxL3  1,96 12,6о  j 6  11,8 77,4о В ,
откуда UV 2  U 2  11,8 В .
Задача 4.5
Определить действующие значения токов и напряжений всех
участков цепи (рис. 4.10), применив метод пропорционального пересчета, если действующее напряжение на входе цепи U  230 В .
Дано:
r2  20 Ом ,
r4  15 Ом ,
xL1  25 Ом ,
xL 4  40 Ом ,
xL5  30 Ом , xС 2  20 Ом , xС 3  60 Ом .
50
I1
jx L1
I 3  jxC 3
1
I2
U1
U
I4
U3
r2
U2
 jxC 2
3
U4
r4
I5
jx L5
jx L 4
2
Рис. 4.10
Решение
1. Задаемся комплексным током в удаленной от источника ветви
I 5I  1 0о А .
2. Напряжение параллельных ветвей на участке 3, 2:
U 4I  I 5I jxL5  1 0о  j30  30 90о В .
3. Комплекс тока I 4I :
I 4I 
U 4I
30 90о
30 90о


 0,7 20,6о А .
r4  jxL4 15  j 40 42,7 69, 4о
4. Комплекс тока I 3I найдем по первому закону Кирхгофа:
I 3I  I 4I  I 5I  0,7 20,6о  1 0о  1,66  j 0,25 1,67 8,46о А .
5. Напряжение на участке 1, 3:
U 3I  I 3I   jxC 3   1,67 8,46о    j 60  100,2 81,5о В .
6. Напряжение на участке 1, 2:
U 2I  U3I  U 4I  100,2 81,5о  30 90о  14,8  j69,1  70,7 77,9о В .
51
7. Комплекс тока I 2I :
I 2I 
70,7 77,9о 70,7 77,9о
U 2I


 2,5 32,9о А .
о
r2  jxC 2
20  j 20
28,3 45
8. Комплекс тока I 1I на входе цепи:
I 1I  I 2I  I 3I  2,5 32,9о  1,67 8,46о  3,75  j1,11  3,91 16,5о А .
9. Напряжение U 1I :
U 1I  I 1I jxL1  3,91 16,5о  j 25  97,8 73,5о А .
10. Напряжение на входе цепи:
U I  U 1I  U 2I  97,8 73,5о  70,7 77,9о 
 42,6  j 24,6  49,2 30о В .
11. Для определения действительных значений токов и напряжений
участков схемы определим коэффициент пересчета как отношение модулей действующего напряжения на входе цепи, заданного по условию
задачи U  230 В , к найденному U I  49,2 В :
kпер 
U
U
I

230
 4,67 .
49, 2
12. Действительные значения токов и напряжений участков схемы
для действующих значений:
I1  I1I kпер  3,91 4,67  18,26А ,
I 2  I 2I kпер  2,5  4,67  11,67 А ,
I3  I3I kпер  1,67  4,67  7,8А ,
I 4  I 4I kпер  0,7  4,67  3,27 А ,
52
I5  I5I kпер  1 4,67  4,67 А ,
U1  U1I kпер  97,8  4,67  456,7 В ,
U 2  U 2I kпер  70,7  4,67  330,2В ,
U3  U3I kпер  100,2  4,67  467,9В ,
U 4  U 4I kпер  30  4,67  140,1В .
Задачи для самостоятельного решения
Задача 4.6. Определить комплексное сопротивление всей цепи,
схема которой показана на рис. 4.11. Дано: r1  120 Ом , r2  60 Ом ,
r3  200 Ом , С1  20 мкФ , L1  0,14 Гн , L2  0,1 Гн ,   1000 с1 .
О т в е т: Z вх  321, 2 23,8о Ом .
Задача 4.7. Определить комплексное сопротивление всей цепи
(рис. 4.12), если сопротивления элементов цепи при заданной частоте
источника питания: r1  3 Ом , r2  6 Ом , xL1  2 Ом , xL 2  4 Ом ,
xL3  8 Ом , xС1  5 Ом .
О т в е т: Z вх  6, 2 46, 4о Ом .
r1
r2
C1
jx L 2
L1
r3
jx L1
r1
L2
Рис. 4.11
jx L3
 jxC1
Рис. 4.12
53
r2
Задача 4.8. Определить комплексы действующих значений токов
цепи (рис. 4.13), если мгновенное значение напряжения на входе схемы
составляет u  60 2 sin t  32о В . Дано: r1  28 Ом , xL1  16 Ом ,


xL 2  36 Ом , xС1  12 Ом .
О т в е т: I 1 =1,52 15,5о А , I 2 =1, 26 79,3о А , I 3 =1, 48 33,9о А .
Задача 4.9. Определить показания приборов электромагнитной
системы и активную мощность всей цепи, схема которой изображена
на рис. 4.14, если U  36 В , r1  21 Ом , r2  15 Ом , xL1  10 Ом ,
xС1  26 Ом .
О т в е т: I A1  1, 2 А , I A2  0,82 А , I A3  0,87 А , P  41,8 Вт .
r1
I1
x L1
I3
I2
xL 2
U
A1
A2
r1
U
xC1
x L1
xC1
Рис. 4.13
A3
r2
Рис. 4.14
Задача 4.10. В схеме (рис. 4.15) включены приборы электромагнитной системы. Определить показания приборов, если вольтметр V2
показывает напряжение UV 2  24,5 B . Дано: r1  120 Ом , xL1  60 Ом ,
xС1  90 Ом , xС 2  30 Ом .
О т в е т: I A1  0,82 А , I A2  0,66 А , I A3  0, 49 А , UV 1  41,9 В .
Задача 4.11. Определить комплекс действующего значения источника ЭДС на входе цепи (рис. 4.16), если комплекс тока
I 3  6  j8 А . Дано: r1  4 Ом , r2  3 Ом , xL1  6 Ом , xС1  12 Ом .
О т в е т: E  68,1 125о В .
54
x L1
I1
r1
A1
I2
V1
A2
V2
A3
xC1
xC 2
E
I3
r2
jx L1
 jxC1
r1
Рис. 4.15
Рис. 4.16
Задача 4.12. Установить мгновенное значение тока источника,
питающего схему (рис. 4.17), если комплекс действующего значения
тока через емкость составляет
I C  3  j3 А . Дано: r  100 Ом ,
xL  120 Ом , xС  200 Ом .


О т в е т: ik  8,94 2 sin t  63, 4о А .
I1
ik
r
xL
xC
U
xC1
x L1
I2
xL 2
I4
r1
I3
xC 2
I5
r3
r2
I6
Рис. 4.18
Рис. 4.17
Задача 4.13. Методом пропорционального пересчета найти действующие значения токов в ветвях схемы, рис. 4.18 (задаться током в
ветви с сопротивлением r2 , равным 1 А ). Дано: U  300 В ,
r1  125 Ом , r2  200 Ом , r3  160 Ом , xL1  100 Ом , xL 2  110 Ом ,
xС1  60 Ом , xС 2  130 Ом .
О т в е т: kпер  0,882 , I1  5,81 А , I 2  3,57 А , I3  2,86 А ,
I 4  1,62 А , I5  1,36 А , I6  0,88 А .
55
5. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЦЕПЕЙ
СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Все известные способы расчета резистивных цепей на постоянном
токе применимы в комплексной форме к расчету цепей синусоидального тока. Сущность символического (комплексного) метода состоит в
том, что при синусоидальном токе можно перейти от уравнений цепи,
составленных для мгновенных значений и являющихся дифференциальными уравнениями, к алгебраическим уравнениям относительно
комплексных токов, напряжений и ЭДС.
Задача 5.1
По законам Кирхгофа рассчитать действующие и мгновенные значения токов в ветвях схемы цепи, изображенной на рис. 5.1. Выполнить проверку расчетов по балансу мощностей и построить топографическую диаграмму.




Дано: e1  130 2 sin 200 t  90о В , e2  200 2 sin 200 t  180о В ,
e3  100 2 sin200 t В ,
r1  101 Ом ,
r2  139 Ом ,
L1  0,5 Гн ,
L2  1,0 Гн , C1  25 мкФ , C2  50 мкФ .
r1
r2
5
r1
r2
4
6
L1
L2
jx L1
jx L 2
C1
C2
 jxC1
i1
i2
i3
I1
I2
I3
e1
e2
e3
E1
E2
E3
3
 jxC 2
2
1
Рис. 5.1
Рис. 5.2
56
7
8
Решение
1. Решение получим для схемы (рис. 5.2), приведенной относительно комплексных значений величин. Положительные направления комплексов действующих значений токов выбраны по направлению их
мгновенных значений (см. рис. 5.1).
2. Сопротивления реактивных элементов для частоты питающих
схему источников   200 с1 :
xL1  L1  200  0,5  100 Ом ,
xL2  L2  200 1  200 Ом ,
xC1 
1
1

 200 Ом ,
C1 200  25 106
xC 2 
1
1

 100 Ом .
C2 200  50 106
3. Комплексы действующих значений источников ЭДС:
E1 
E2 
130 2 j 90о
e
 130 90о  j130 В ,
2
200 2 j180о
e
 200 180о  200 В ,
2
E3 
100 2 j 0о
e  100 0о  100 В .
2
4. Схема (см. рис. 5.2) содержит три ветви ( mв  3 ), два узла ( nу  2 ).
Достаточное количество уравнений для расчета цепи по законам
Кирхгофа равно трем.
По первому закону Кирхгофа: N1  nу  1  1 .


По второму закону Кирхгофа: N2  mв  nу  1  2 .
Положительные направления обхода независимых контуров указаны на рис. 5.2.
57
5. Система уравнений, составленных по законам Кирхгофа в символической форме для цепи (см. рис. 5.2), имеет вид
 I 1  I 2  I 3  0,

 I 1r1  I 2  jxL1  jxC1   E1  E 2 ,

 I 2  jxL1  jxC1   I 3  r2  jxL 2  jxC 2   E 3  E 2 .
6. После подстановки числовых значений сопротивлений и ЭДС
получим:
 I 1  I 2  I 3  0,

 I 1  101  I 2   j100   200  j130,

 I 2   j100   I 3 139  j100   300.
7. Решение системы получим с помощью определителей по методу
Крамера.
Главный определитель системы:
1
1
1
  j   101  j100
0

0  j100 139  j100 
  2,404  j1,39 104 .
Дополнительные определители системы:
0
1
1
1  j   200  j130   j100
0

300
 j100 139  j100 
  2,78  j 4,807 104 ,
1
0
1
 2  j   101  200  130 
0

0
300
139  j100 
58
  4,51  j3,807 104 .
1
1
0
3  j   101  j100  200  j130  
0  j100
300
 1,73  j1,0 104 .
8. Комплексы действующих токов ветвей:
I1 
1  j
  j 

  2,78  j 4,807 104
 2, 404  j1,39 104
 2 90о А ,
 2  j 
4,51  j3,807 104

I2 

 2,125 70о А ,
4
  j  2, 404  j1,39 10
I3 
 3  j 
  j 

1,73  j1,0104  0,72 0о А
.
 2, 404  j1,39 104
9. Действующие значения токов ветвей:
I1  2 А , I 2  2,125 А , I3  0,72 А .
10. Мгновенные значения токов ветвей:




i1  2 2 sin 200 t  90о А , i2  2,125 2 sin 200 t  70о А ,
i3  0,72 2 sin200 t А .
11. Проверка решения по балансу мощностей:
мощность, развиваемая источниками:
S ист   E1I1  E 2 I 2  E3 I3 
 130 90о  2 90о  200 180о  2,125 70о  100 0о  0,72 0о 
 622,4 39,9о  477,4  j399,4 В  А ;
59
потребляемая мощность:
S потр  I12 r1  I 22  jxL1  jxC1   I32  r2  jxL2  jxC 2  
 22 101  2,1252   j100   0,722 139  j100  
 476,1  j399,7 В  А .
Баланс мощностей примерно сходится: S ист  S потр .
12. Топографическая диаграмма напряжений.
Для построения данной диаграммы необходимо определить геометрическое место потенциала каждой точки на комплексной плоскости.
Пусть в схеме (см. рис. 5.2) потенциал узловой точки 1 равен 1  0 В.
Тогда комплексные потенциалы обозначенных в схеме точек:
2  1  E 2  0  200  200 В ,
3  2  I 2   jxC1   200  2,125 70о    j 200  
 246,7 36,1о  199,4  j145,4 В ,
4  3  I 2 jxL1  199,4  j145,4  2,125 70о  j100 
 72,7 90о   j 72,7 В ,
5  4  I 1r1   j 72,7  2 90о  101  129,3 90о В ,
1  5  E1  129,3 90о  130 90о  0 В .
6  4  I 3r2   j 72,7  0,72 0о 139  123,7 36о =
 100  j 72,7 В ,
7  6  I 3 jxL 2  100  j 72,7  0,72 0о  j 200 
 122,8 35,5о  100  j71,3 В ,
60
8  7  I 3   jxС 2   100  j 71,3  0,72 0о    j100   100 0о В ,
1  8  E 3  100 0о  100 0о  0 В .
Топографическая диаграмма напряжений, построенная на комплексной плоскости, изображена на рис. 5.3.
j
5
100
1
2
200
7
1
100
0
1
8
100
4
200
6
100
j
3
Рис. 5.3
Задача 5.2
Определить комплексы действующих значений токов в схеме цепи
(рис. 5.4) методом наложения, если E  200 160о В ,
I k  4 30о А ,
r1  20 Ом , r2  60 Ом , xC  100 Ом , xL  30 Ом .
Решение
1. За положительные направления комплексов действующих токов
в ветвях цепи принимаем направления, указанные на рис. 5.4.
61
r1
E
I5
I3
 jxC
r1
I 5I
Ik
jx L
r2
I2
I 1II
I 1I
I1
E
jx L
r2
I 2I
I4
Рис. 5.4
I 3I
 jxC
I 3II
 jxC
r1
I 5II
Ik
jx L
r2
I 4I
I 2II
Рис. 5.5
I 4II
Рис. 5.6
2. Определяем комплексы частичных токов I 1I  I 5I от действия источника ЭДС E  200 160о В при I k  0 (рис. 5.5):
I 1I  I 3I 
E
200 160о

 1,96 121,3о А ,
r1  jxC 20  j100
I 2I  I 4I 
E
200 160о

 2,98 133,4о А .
r2  jxL 60  j 30
По первому закону Кирхгофа найдем I 5I :
I 5I  I 1I  I 2I  1,96 121,3о  2,98 133,4о  3,1 170,9о А .
3. Определим комплексы частичных токов I 1II  I 5II от действия источника тока I k  4 30о А при E  0 (рис. 5.6):
I 1II  I k
 jxC
 j100
 4 30о
 3,92 41,3о А ,
r1  jxC
20  j100
I 2II  I k
jxL
j 30
 4 30о
 1,79 33,4о А ,
r2  jxL
60  j30
62
I 3II  I k
r1
20
 4 30о
 0,78 48,7о А ,
r1  jxC
20  j100
I 4II  I k
r2
60
 4 30о
 3,58 56,6о А .
r2  jxL
60  j 30
По первому закону Кирхгофа для тока I 5II получим:
I 5II  I 1II  I 2II  3,92 41,3о  1,79 33,4о  3,85 67,9о А .
4. Комплексы действующих значений токов исходной схемы
(рис. 5.4) от действия обоих источников определим, как алгебраическую сумму частичных токов от действия каждого источника в отдельности (см. рис. 5.5 и 5.6):
I 1  I 1I  I 1II  1,96 121,3о  3,92 41,3о  1,93  j 4,26 
 4,68 65,7о А ,
I 2  I 2I  I 2II  2,98 133,4о  1,79 33,4о  3,54  j1,18 
 3,73 161,6о А ,
I 3  I 3I  I 3II  1,96 121,3о  0,78 48,7о  1,53  j 2,26 
 2,73 124,1о А ,
I 4  I 4I  I 4II  2,98 133,4о  3,58 56,6о  0,08  j 0,82 
 0,83 95,3о А ,
I 5  I 5I  I 5II  3,1 170,9о  3,85 67,9о  1,61  j3,08 
 3,47 117,7о А .
63
Задача 5.3
Методом контурных токов определить показания амперметров,
установленных в ветвях цепи (рис. 5.7).
Дано: e1  118 2 sin 1000 t  90о В , e2  76 2 sin 1000 t  90о В ,




i  5 2 sin 1000 t  180  А , r  3 Ом , L  0,008 Гн , L  0,005 Гн ,
о
k
1
1
2
С1  250 мкФ , С2  500 мкФ .
A1
L1
e1
I1
I2
I 11
r1 I
22
 jxC1
I 3 jx
L2
A2
C2
r1
A3
C1
L2
jx L1
e2 E1
I4
 jxC 2
E2
I5
I kk
ik
Ik
Рис. 5.7
Рис. 5.8
Решение
1. Для решения воспользуемся расчетной схемой (рис. 5.8), приведенной в комплексных величинах, где комплексные сопротивления реактивных элементов для   1000 с1 соответственно равны:
xL1  L1  1000  0,008  8 Ом ,
xL2  L2  1000  0,005  5 Ом ,
xC1 
1
1

 4 Ом ,
C1 1000  250 106
xC 2 
1
1

 2 Ом .
C2 1000  500 106
64
Комплексы действующих значений источников:
E1 
118 2 j 90о
e
 118 90о В ,
2
E2 
76 2  j 90о
e
 76 90о В ,
2
Ik 
5 2 j180о
e
 5 0о А .
2
2. Достаточное количество уравнений для расчета цепи по методу
контурных токов равно двум:


N2  mв  nу  1  nт  6   4  1  1  2 .
Независимые контуры и направления протекания токов I 11 , I 22
обозначены на рис. 5.8. Для ветви с источником тока I k создадим доI kk , совпадающим с
полнительный контур с контурным током
направлением действия источника.
3. Система контурных уравнений, записанная относительно комплексов действующих значений контурных токов, в этом случае имеет
вид

 I 11  r1  jxC1  jxL1   I 22 r1  I kk   jxC1   E1 ,


 I 22  r1  jxC 2  jxL 2   I 11r1  I kk jxL 2   E 2 .
4. После подстановки числовых значений система уравнений принимает вид
 I 11  3  j 4   I 22  3  j 98,



 I 11  3  I 22  3  j 3  j101.
5. Решение системы получим с помощью определителей.
Главный определитель системы:
  j  
3  j 4
3
3
 12  j 21  24,19 119,7о .
 3  j 3
65
Алгебраические дополнения:
11  j 
j 98
3
 294  j 597  665, 47 116, 2о ,
j101  3  j3
 22  j 
 3  j 4 j98  404  j597  720,85 124,1о .
3
j101
6. Комплексы действующих значений контурных токов:
I 11 
11  j
I 22 
  j 

 22  j
  j 
665, 47 116, 2о
24,19 119,7

о
 27,51 3,5о А ,
720,85 124,1о
24,19 119,7о
 29,8 4, 4о А .
7. Комплексы действующих значений действительных токов в местах установки амперметров:
I 1  I 11  27,51 3,5о А ,
I 2   I 22  29,8 175,6о А ,
I 3  I 22  I 11  29,8 4,4о  27,51 3,5о =
 2,26  j3,95  4,55 60,3 А .
8. Показания амперметров A1 , A2 и A3 будут соответствовать токам ветвей:
I A1  I 1  27,51 А ,
I A2  I 2  29,8 А ,
I A3  I 3  4,55 А .
66
Задача 5.4
Определить мгновенное напряжение между узловыми точками 1 и 3
цепи (рис. 5.9) методом узловых потенциалов, если e1  400sin 250 t В ,


e2  600sin 250 t  90о В ,
r1  250 Ом ,
r2  200 Ом ,
L1  0,5 Гн ,
L2  0,2 Гн , С1  20 мкФ , С2  40 мкФ .
C2
1
L1
r2
e1
e2
2
jx L1
r2
U 13
4
3
4
 0
r1
 jxC1
L2
E m2
2
E m1
r1
C1
 jxC 2
1
jx L 2
4
3
Рис. 5.9
Рис. 5.10
Решение
1. Расчет цепи целесообразно выполнить для комплексов амплитудных значений потенциалов узлов. Воспользуемся расчетной схемой
(рис. 5.10), приведенной в комплексных величинах. Сопротивления реактивных элементов расчетной схемы для   250 с1 :
xL1  L1  250  0,5  125 Ом ,
xL2  L2  250  0,2  50 Ом ,
xC1 
1
1

 200 Ом ,
C1 250  20 106
xC 2 
1
1

 100 Ом .
C2 250  40 106
67
Комплексы амплитудных значений источников:
о
E m1  400 e j 0  400 В ,
о
E m2  600 e j 90  j 600 В .
2. Цепь содержит четыре узла
 nу  4 . Достаточное количество
уравнений для расчета цепи по методу узловых потенциалов равно
трем:
N1  nу  1  4  1  3 .


Потенциал узла 4 (см. рис. 5.10) принимаем равным нулю m 4  0 .
3. Система уравнений для определения комплексов амплитудных
значений потенциалов m1 , m 2 и m3 (узлы 1, 2 и 3) будет иметь вид

 1
E
1
1 
1
1


 m 3
 m1 ,
m1 
  m 2
jxL1
 jxC1  jxC1
  jxC1 jxL1  jxC 2 


1 1
1 
1
1  E m2

 m 3 
,
m 2   
  m1
jxL1
r1
r2
 r1 r2 jxL1 


1
1  E m1
  1  1  1   
 m 2 
.
m
3
m
1

 jxC1
r1  jxC1
 r1 jxL 2  jxC1 
4. Приведем систему к матричной форме:
 1

1
1 
1
1






jxL1
jxC1
  jxC1 jxL1  jxC 2 





1
1 1
1
1










jxL1
r1
 r1 r2 jxL1 


1

1
1
1
1 


 


jxC1
r1
 r1 jxL 2  jxC1  

68
 E m1 


    jxC1 
 m1   E 
 m 2     m 2  .

  r2 
m3    E 
m1


  jxC1 
5. После подстановки числовых значений получим:
 1

1
1 
1
1






j125
j 200
  j 200 125 100 



 1
1
1
1 
1








j125
250


 120 250 j125 


 1
1
1
1
1 








j 200
250
 250 j50  j 200  

 400 


    j 200 
m
1

  j 600 
 m 2    
.

  200 
m3   400 
 j 200 


6. Из решения системы относительно комплексов амплитудных
значений потенциалов узлов получим:
m1  145,95 68,3о В , m2  318,68 22,6о В , m3  146,53 2,3о В .
7. Комплекс амплитудного значения напряжения между узловыми
точками 1 и 3 найдем как разность комплексных потенциалов m1 и m3 :
U m13  m1  m3  145,95 68,3о  146,53 2,3о  168,93 123,2о В .
69
8. Мгновенное напряжение между узловыми точками 1 и 3:


u13  168,93sin t  123,2о В .
Задача 5.5
Определить комплекс действующего тока I в ветви с сопротивлением r3 схемы (рис. 5.11) методом эквивалентного генератора.
Дано:
r1  120 Ом ,
I k  10 115о А ,
xC  110 Ом , xL  320 Ом .
r2  260 Ом ,
r3  210 Ом ,
Ik
 jxC
r1
I
Zг
I
r3
jx L
R3
Eг
r2
Рис. 5.11
Рис. 5.12
Решение
1. Выделим ветвь с сопротивлением r3 , а всю оставшуюся цепь
относительно выделенной ветви с током заменим эквивалентным генератором с комплексным источником ЭДС, равным Eг , и комплексным
сопротивлением Z г (рис. 5.12).
Согласно схеме (см. рис. 5.12) ток в интересующей ветви определится как
I
Eг
.
Zг  r3
70
2. Комплексную ЭДС генератора  E г  найдем как комплекс действующего напряжения U x в разомкнутой ветви с сопротивлением r3
(рис. 5.13):
Ik
r1
 jxC
jx L
Z вх
r2
I 1x  jxC
r1
Ux
jx L I 2x
r2
Рис. 5.13
Рис. 5.14
Предварительно рассчитаем токи I 1x , I 2x (см. рис. 5.13):
I 1x  I k
r2  jxL
260  j 320
 10 115о

r1  jxC  r2  jxL
120  j110  260  j 320
о 412,31 50,9
 10 115
о
434,17 28,9о
 9,5 137о А .
I 2x  I k  I 1x  10 115о  9,5 137о  3,75 43,5о А .
На основании второго закона Кирхгофа для обозначенного в схеме
(см. рис. 5.13) контура получим:
 I 1x r1  U x  I 2x jxL  0 ,
откуда определим напряжение U x , равное Eг :
U x  I 1x r1  I 2x jxL  9,5 137о 120  3,75 43,5о  320 90о 
 93,29 94,7о В.
71
3. Определим комплексное входное сопротивление Zвх  Zг относительно выводов разомкнутой ветви (рис. 5.14), учитывая при этом,
что внутреннее сопротивление идеального источника тока равно бесконечности:
 r  jxL   r2  jxC  120  j320 260  j110
Z вх  1


r1  jxL  r2  jxC
380  j 210
 222,23 17,6о Ом .
4. Заданный в ветви с сопротивлением r3 ток:
I
93, 29 94,7о
Ux

 0, 22 103,7о А .
Z вх  r3 222,23 17,6о  210
Задачи для самостоятельного решения
Задача 5.6. Пользуясь законами Кирхгофа, определить показания приборов электромагнитной системы цепи (рис. 5.15), если
e1  145 2 sin 500 t  60о В , e2  78 2 sin 500 t  15о В , r1  36 Ом ,




r2  24 Ом , L  0,064 Гн , С  100 мкФ .
О т в е т: I A  2,38 А , UV  135, 2 В .
Задача 5.7. Рассчитать с использованием законов Кирхгофа комплексы действующих токов в ветвях схемы, изображенной на рис. 5.16.
Дано: E1  30 20о В , E 2  110 120о В , I k  1,2 90о А , xL  100 Ом ,
xC  150 Ом .
О т в е т: I 1  2,86 137,5о А , I 2  2, 24 19, 2о А .
Задача 5.8. Методом наложения определить комплексы действующих значений токов цепи, изображенной на рис. 5.17, если
E  35 90о В , Ik  3 90о А , r  24 Ом , xL  12 Ом , xC  36 Ом .
О т в е т: I 1  4, 42 34,8о А , I 2  2,92 180о А , I 3  0,85 33, 7о А ,
I 4  2,62 74,3о А .
72
r1
I1
r2
A
jx L
e1
I2
e2
V
E1
C
L
 jxC
Ik
E2
Рис. 5.15
Рис. 5.16
Задача 5.9. Методом наложения определить ток амперметра,
установленного в цепи, схема которой изображена на рис. 5.18, если
E1  200 0о В , E 2  60 90о В , xL1  40 Ом , xL 2  20 Ом , xC  15 Ом .
О т в е т: I A  46,65 А .
r
E
jx L
I1
I4
 jxC
jxL 2
jxL1
 jxC
Ik E
1
A
E2
I3
I2
Рис. 5.17
Рис. 5.18
Задача 5.10. Требуется рассчитать комплексы действующих значений контурных токов, обозначенных на схеме (рис. 5.19), если
E  450 45о В , I k  12 65о А , r  24 Ом , xL1  18 Ом , xL 2  36 Ом ,
xC  12 Ом .
О т в е т: I 11  19, 22 63,5о А , I 22  16,71 92,3о А .
Задача 5.11. Методом контурных токов рассчитать комплексы
действующих значений токов в ветвях цепи, схема которой приведена
на рис. 5.20. Выполнить проверку расчетов по балансу мощностей.
73
Дано: E1  220 0о В , E 2  380 120о В , I k  2 45о А , r1  50 Ом ,
r2  25 Ом , xL1  60 Ом , xL 2  10 Ом , xC1  30 Ом , xC 2  20 Ом .
О т в е т: I 1  24, 67 114,1о А , I 2  29, 41 90, 2о А ,
I 3  22,81 67,7о А , I 4  12,11 34, 6о А ,
I 5  28,03 87,3о А , P  74,34 102 Вт , Q  114,6 102 вар .
 jxC
I 22
jx L1
E
 jxC1
jx L1
jx L 2
I 11
r2
I1
Ik
r
E1
r1
I4
ъ\
jx L 2
I3
Рис. 5.19
E2
Ik
I5
 jxC 2
I2
Рис. 5.20
Задача 5.12. Методом узловых потенциалов определить комплексы действующих значений токов в цепи, изображенной на рис. 5.21.
Дано: E1  136 100о В , E 2  72 30о В , I k  0,5 90о А , r1  100 Ом ,
xL1  xL2  25 Ом , xC1  xC 2  50 Ом . В расчетах принять 1  0 .
О т в е т:   0 В ,   164, 61 71, 6 В ,   108,51 27,3о В ;
1
3
2
I 1  6,0 14,6о А , I 2  6,58 161, 6о А , I 3  2,17 62, 7о А ,
I 4  1,15 112,7о А , I 5  1, 47 111,9о А .
Задача 5.13. Методом узловых потенциалов для схемы,
изображенной на рис. 5.22, определить действующие значения напряжений на резистивных сопротивлениях. Дано:
e  215 2 sin  250 t  90о  В , ik  2,2 2 sin  250 t  90о  A , r1  50 Ом ,
r2  100 Ом , L  0,04 Гн , С  160 мкФ .
О т в е т: U r1  145 В , U r 2  70 В .
74
Ik
xC1
I1
E1
r1 I
4
2
x L1
3
xL 2
xC 2
I2
ik
L
I5
r1
E2
C
r2
I3
e
1  0
1
Рис. 5.21
Рис. 5.22
Задача 5.14. Для цепи (рис. 5.23) методом эквивалентного генератора определить показание амперметра электромагнитной системы,
если e1  160 2 sin 1000 t  120о В , e2  240 2 sin 1000 t  30о В ,




r1  250 Ом , L  0,1 Гн , С  20 мкФ .
О т в е т: I A  4 А ( E г  400 156,9о В , Z г  100 90о Ом ).
e1
C
x L1
e2
xL 2
xC1
r
L
r1
r2
A
U
Рис. 5.23
Рис. 5.24
Задача 5.15. Определить методом эквивалентного генератора ток
в ветви с емкостью, включенной по схеме, изображенной рис. 5.24.
Дано: U  240 В , r1  15 Ом , r2  25 Ом , xL1  10 Ом , xL 2  20 Ом ,
xС1  5 Ом .
О т в е т: I  1,05 170о А ( E г  10 180о В , Z г  11,5 35, 4о Ом) .
75
6. РАСЧЕТ РЕЗОНАНСНЫХ РЕЖИМОВ
В ЦЕПЯХ ОДНОФАЗНОГО
СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
В цепях, содержащих участки индуктивного и емкостного характера, на определенных частотах возможны резонансные режимы, при которых входные ток и напряжение совпадают по фазе, а входное сопротивление является чисто активным.
Различают два основных вида резонанса: резонанс напряжений
(при последовательном соединении элементов) и резонанс токов (при
параллельном соединении элементов).
При расчете резонансных режимов следует рекомендовать два алгоритма решения задач. Если заданы параметры цепи, для решения
необходимо использовать условие резонанса. Если известны токи и
напряжения, при решении необходимо воспользоваться построением
векторной диаграммы.
Задача 6.1
Определить значение емкости C , при которой в цепи (рис. 6.1)
установится резонансный режим. Найти входное сопротивление цепи
и ток в неразветвленной части схемы, соответствующие резонансному
режиму. Дано: U  198 В , r1  15 Ом , r2  24 Ом , xL  12 Ом ,
0  500 с1 .
r1
xC
U
xL
r2
r1
r2
C
L
U
Рис. 6.1
Рис. 6.2
Решение
1. В разветвленной цепи (см. рис. 6.1) конденсатор и индуктивность находятся на участках, имеющих последовательное соединение.
Следовательно, в схеме имеет место резонанс напряжений.
76
Признаком резонанса считается условие Im  Z вх   jxвх  0
(условие равенства нулю входного реактивного сопротивления цепи).
2. Входное комплексное сопротивление цепи:
r jx  r  jxL 
r2 jxL
 r1  jxC  2 L 2

r2  jxL
 r2  jxL  r2  jxL 
Z вх  r1  jxC 
 r1  jxC  j
r22 xL

2
r22  xL
r2 xL2
r22  xL2
.
3. Из условия резонанса Im  Z вх   0 получим:
Im  Z вх    jxC  j
r22 xL
r22  xL2
 0,
откуда находим
xC 
r22 xL

2
r22  xL
242 12
242  122
 9,6 Ом .
Следовательно,
С
1
1

 208,3 мкФ .
xC 0 9,6  500
4. Входное сопротивление цепи при резонансе является чисто активным и определяется вещественной частью (действительной составляющей) входного комплексного сопротивления цепи:
rвх  Re  Z вх   r1 
r2 xL2
 15 
2
r22  xL
24 122
242  122
 19,8 Ом .
5. Ток в неразветвленной части (на входе цепи) при резонансе
I
U 198

 10 А .
rвх 19,8
77
Задача 6.2
Для цепи (рис. 6.2) определить резонансную частоту, если
C  10 мкФ , L  0,01 Гн , r1  20 Ом , r2  30 Ом .
Решение
1. В разветвленной цепи (см. рис. 6.2) конденсатор и индуктивность находятся на участках, которые между собой имеют параллельное соединение. Следовательно, в схеме имеет место резонанс токов.
Условие резонанса токов Im Y вх   jbвх  0 .
2. Входная комплексная проводимость цепи:
1
r1  j
0C
1
1
Y вх 



1
r

j

L



1
1
2
0
r1  j
 r1  j
 r1  j

0C
0C 
0C 

1
r2  j0 L
0C
r1


j

1
1
2
 r2  j0 L  r2  j0 L  r 2 
r

1
1
02C 2
02C 2
 L
r
 2 22 2j 2 0 2 2 
r2  0 L
r2  0 L




1





C

L
r
r
0
1

 2 2 2 2   j
 2 0 2 2 .
1
1
 2
 2
r2  0 L 
r2  0 L 
 r1  2C 2

 r1  2C 2

0
0




3. Из условия резонанса тока  jbвх  0  для параллельных участков
получим:
1
0 C
 L
bвх 
 2 0 2 2  0,
1
r12  2 2 r2  0 L
0 C
78
или
1
0 C
 L
 2 02 2,
1
r12  2 2 r2  0 L
0 C
откуда

 CL  r .
02 L2  r12 LC 
Следовательно,
0 
2
2
0,01
L
 302
 r22
6
C
10

10

 1291 с1 .
L
0,01




LC   r12 
0,01 10 106 
 202 
6
C


 10 10

Резонансная частота
f0 
0 1291

 205,5 Гц .
2
2
Задача 6.3
В цепи (рис. 6.3) имеет место резонанс. Показания амперметров соответствуют токам I A3  3А , I A1  4А . Определить показание амперметра A2 .
A1
j
I1
I 3p  I 3
A2
A3
r
xC
I2
I3
U
I 2a  I 1
U U C
1
xL
I 3p
Рис. 6.3
I2
Рис. 6.4
79
Решение
1. В цепи (см. рис. 6.3) имеет место резонанс токов. При резонансе
токов показание амперметра A1 определяется только активной составляющей тока. Реактивные составляющие токов в ветвях с емкостью и
индуктивностью скомпенсированы, и их сумма равна нулю.
2. Для решения воспользуемся построением векторной диаграммы
токов (рис. 6.4), соответствующей резонансному режиму цепи.
По первому закону Кирхгофа I 1  I 2  I 3 . Ток I 3 по фазе опере-

жает напряжение на емкости U C  U
 на угол 90о . Реактивная со-
ставляющая тока I 2р равна по модулю току I 3р  I 3 и отстает от
напряжения U на угол 90о .
Активная составляющая тока I 2а  I 1 совпадает по фазе с напряжением U .
3. Из диаграммы токов (см. рис. 6.4) следует:
2
2
I A2  I 2  I 2а
 I 2р
 I12  I32  42  32  5 А .
Задача 6.4
Для цепи (рис. 6.5) в режиме резонанса известны показания приборов I A3  15 А , UV  120 В . Определить показания первого и второго
амперметров и параметры цепи, если I А1  I А2 .
j
xL
A1
I2
I3
I 3p
A2
450
I1
I 1  I 3a
V
r
I 3 xC
UV
A3
I 2  I 2p
Рис. 6.5
Рис. 6.6
80
1
Решение
1. В цепи (см. рис. 6.5) имеет место резонанс токов. Фаза тока I1
(показание первого амперметра A1 ) совпадает с фазой напряжения
UV (показание вольтметра V ) и определяется активной составляющей
тока. Реактивные составляющие токов I 2 и I 3 равны по модулю, но
противоположны по знаку и в сумме составляют ноль.
2. Векторная диаграмма токов цепи в режиме резонанса показана
на рис. 6.6. Согласно первому закону Кирхгофа I 1  I 2  I 3 . Ток через
индуктивность I 2 по фазе отстает от напряжения U V на угол 90о . Реактивная составляющая тока I 3р в ветви с емкостью по величине равна
току I 2  I 2р (из условия резонанса).
Активная составляющая тока I 3а совпадает по фазе с напряжением UV и определяет ток I 1 . Из условия задачи I1  I 2 , тогда
I1  I 2р , поэтому следует полагать, что угол сдвига по фазе между
векторами токов I 3 и I 1 составляет 45о (из диаграммы).
3. Из диаграммы токов (см. рис. 6.6) следует:
I1  I3а  I3 cos 45о  15cos 45о  10,61 А ,
I 2  I1  10,6А ,
xL 
UV
120

 11,31 Ом .
I 2 10,61
Из равенства токов I3р  I3а следует, что r  xC :
r  xC  Z cos 45о 
UV
120
cos 45о 
cos 45о  5,66 Ом .
I3
15
Задача 6.5
Для цепи (рис. 6.7) в режиме резонанса показание ваттметра составляет P  600 Вт . Определить величины сопротивлений r и xC ,
если U  60 В , xL  12,4 Ом .
81
*
*
xC
A
W
xL
r
U
xL
U
Рис. 6.7
r
xC
Рис. 6.8
Решение
1. В цепи (см. рис. 6.7) имеет место резонанс напряжений. Входное
сопротивление цепи при резонансе является чисто активным, следовательно,
rвх 
U 2 602

 6 Ом .
P 600
2. Выражение входного комплексного сопротивления цепи:
Z вх   jxC 
jxL r  r  jxL 
jxL r

  jxC 
r  jxL
 r  jxL  r  jxL 
  jxC  j
r 2 xL

2
r 2  xL
r xL2
r 2  xL2
.
3. При резонансе входное сопротивление определяется вещественной частью (действительной составляющей) входного комплексного
сопротивления rвх  Re  Z вх  :

r2x
r x2 
r x2
rвх =Re  Z вх   Re   jxC  j 2 L 2  2 L 2   2 L 2 .

r  xL r  xL  r  xL

Из полученного условия следует уравнение
r2 
xL2
r  xL2  0 .
rвх
82
При rвх  6 Ом и xL  12,4 Ом уравнение приводится к виду
r 2  25,6r  153,8  0 .
Решая квадратное уравнение относительно r , найдем его корни:
r1,2 
25,6  25,62  4 153,8 25,6  6,3
,

2
2
r1  16 Ом , r2  9,7 Ом .
Полученное решение означает, что резонанс напряжения возможен
при двух значениях резистивных сопротивлений.
4. Из второго условия резонанса Im  Z вх   0 определим значение xC :
Im Z вх
Im
jxC
j
r 2 xL
r2
r xL2
xL2
r2
xL2
r 2 xL
 0,
jxC
j
r 2 xL
r2
xL2
0,
следовательно,
 jxC  j
откуда находим xC 
r 2  xL2
r 2 xL
.
r 2  xL2
Каждому значению сопротивления r цепи будет соответствовать
значение резонансного сопротивления xC :
для r1  16 Ом : xC1 
для r2  9,7 Ом : xC 2 
r12 xL

2
162 12, 4
r12  xL
162  12, 42
r22 xL
9,72  12, 4

2
r22  xL
 7,8 Ом ;
9,7 2  12, 42
 4,7 Ом .
Задача 6.6
В режиме резонанса определить емкостное сопротивление xC и
показание амперметра в схеме (рис. 6.8), если U  30 В , r  2 Ом ,
xL  5 Ом .
83
Решение
1. В схеме (см. рис. 6.8) имеет место резонанс токов. Входная комплексная проводимость цепи:
r  jxC
1
1
1
Y вх 

j


jxL r  jxC
xL  r  jxC  r  jxC 
j
x
1
r
 2
j 2 C 2 .
2
xL r  xC
r  xC
2. Из условия резонанса токов Im Y вх
0 получим:
x
1
 2 C 2 .
xL r  xC
Из выражения следует квадратное уравнение
xC2  xL xC  r 2  0 .
После подстановки значений xL и r квадратное уравнение относительно xC приводится к виду
xC2  5xC  4  0 .
Из решения квадратного уравнения находим:
5  52  4  4 5  3
,

2
2
xC1  4 Ом , xC 2  1 Ом .
xC1,2 
Резонанс токов возможен при двух значениях емкостных сопротивлений xC1 и xC 2 .
3. Показание амперметра определим как действующее значение тока в неразветвленной части схемы.
Ток в неразветвленной части схемы определим по закону Ома через полную входную проводимость Y вх , которая является чисто активной:
Ur
I A  UYвх  2
.
r  xC2
84
При xC  xC1  4 Ом для тока получим:
30  2
IA 
3А.
22  42
При xC  xC 2  1 Ом для тока получим:
IA 
30  2
22  1
 12 А .
Задачи для самостоятельного решения
Задача 6.7. В цепи (рис. 6.9) последовательно включены катушка
индуктивности с активным сопротивлением и конденсатор. Определить емкость конденсатора, при которой в цепи установится резонанс
напряжений. Найти ток, мощность, выделяемую в цепи, напряжение
на катушке и конденсаторе. Построить топографическую диаграмму
напряжений. Дано: U  48 В , Lк  0,06 Гн , rк  20 Ом , f  100 Гц .
О т в е т: C  42,3 мкФ , I  2, 4 А , P  115, 2 Вт , Uк  102, 4 В ,
UC  90, 4 В .
Задача 6.8. Цепь (рис. 6.10) настроена на резонанс. Показание
ваттметра соответствует мощности P  200 Вт , а показание амперметра току I A  5 А . Определить параметры цепи и приложенное к
входу напряжение, если напряжение на конденсаторе UC  160 В , угловая частота 0  500 с1 .
О т в е т: r  8 Ом , L  64 103 Гн , С  62,5 мкФ , U  40 В .
I
C
*
UC
*
C
W
Lк
UC
Uк
U
L
U
rк
r
A
Рис. 6.9
Рис. 6.10
85
Задача 6.9. При резонансе приборы электромагнитной системы,
установленные в цепи (рис. 6.11), показали: UV 1  100 В , UV 2  40 В ,
UV 3  50 В , I A  0,5 А . Определить параметры цепи, если угловая частота 0  500 с1 .
О т в е т: r1  60 Ом , r2  140 Ом , L  0,16 Гн , С  25 мкФ .
Задача 6.10. Определить значение сопротивления r2 , при кото-
ром в цепи (рис. 6.12) установится резонанс напряжений на частоте
f  100 Гц . Рассчитать входное сопротивление цепи и ток в неразветвленной части схемы, соответствующие резонансному режиму. Дано: U  96 В , r1  6 Ом , L  0,015 Гн , С  120 мкФ .
О т в е т: r2  20,8 Ом , rвх  12 Ом , I  8 А .
C
I
r1
V2
V1
r2
U
V3
r1
L
r2
C
L
A
Рис. 6.11
Рис. 6.12
Задача 6.11. Для цепи (рис. 6.13) определить резонансную частоту и эквивалентное сопротивление при резонансе токов, если
r  16 Ом , L  0,04 Гн , С  5 мкФ .
О т в е т: 0  2200 с1 , rэкв  500 Ом .
Задача 6.12. Для схемы (рис. 6.14) рассчитать резонансные частоты и соответствующие частотам входные сопротивления, если
r1  200 Ом , L1  8 103 Гн , L2  10 103 Гн , С2  25 мкФ .
О т в е т: 1) резонанс токов: 0  2000 с1 , Zвх   Ом ;
2) резонанс напряжений: 0  3000 с1 , Zвх  200 Ом .
86
r1
L
L1
r
Z вх
C2
L2
C
Рис. 6.13
Рис. 6.14
Задача 6.13. Для цепи (рис. 6.15) определить показания амперметров, установленных в схеме, если U  200 В , xL  xC  20 Ом ,
r  40 Ом .
О т в е т: I A1  I A4  0 , I A2  I A3  I A6  5 А , I A5  10 А .
Задача 6.14. Цепь (рис. 6.16) настроена на резонанс. Определить
показания приборов, установленных в цепи, если
U  24 B ,
r  30 Ом , xL  xC  10 Ом .
О т в е т: I A1  0, 4 А , I A2  0 , I A3  1, 2 А , UV  12 B .
xL
xC
A2
r
A1
A1
A4
r
A3
xL
xC
U
A5
A2
xL
U
xC
r
r
xL
xC
A3
V
A6
Рис. 6.15
Рис. 6.16
Задача 6.15. В цепи (рис. 6.17) имеет место резонанс. Показание
амперметра, установленного на входе цепи, соответствует току
87
I A  2 А . Определить напряжение на входе цепи, если r  10 Ом ,
xC  20 Ом .
О т в е т: U  100 B , ( xL  25 Ом ).
U
r
C
A
A2
xL
r
A1
xC
L
A3
Рис. 6.17
Рис. 6.18
Задача 6.16. В цепи (рис. 6.18) резонанс токов. Показания амперметров соответствуют токам I A2  0,5 А , I A3  0,4 А . Определить
показание амперметра А1 .
О т в е т: I A1  0,3 А .
7. РАСЧЕТ ИНДУКТИВНО СВЯЗАННЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Приступая к расчету электрических цепей синусоидального тока
при наличии индуктивно связанных элементов (элементов, обладающих взаимной индуктивностью), необходимо учитывать напряжения
взаимной индукции. Чтобы учесть напряжения взаимной индукции
при составлении уравнений цепи по второму закону Кирхгофа, необходимо знать их условные положительные направления на схеме, которые определяются согласным или встречным включением индуктивно связанных элементов.
Расчет сложных цепей при наличии взаимной индуктивности производится в основном методами уравнений Кирхгофа и контурных токов, записанных в комплексной форме. Метод узловых потенциалов, в
котором используется первый закон Кирхгофа, не применяется.
В ряде случаев расчет индуктивно связанных цепей может быть
упрощен, если осуществить переход к эквивалентной схеме без индук88
тивных связей (способ расчета с развязкой индуктивных связей). В
этом случае снимаются все ограничения по использованию методов
расчета по отношению к способу расчета, где развязка индуктивных
связей не предусмотрена.
Задача 7.1
Две индуктивно связанные катушки включены по схеме, показанной на рис. 7.1. Найти комплекс действующего значения тока, протекающего в цепи, и комплекс полной мощности. Определить значение
указанного тока при замене местами выводов обмотки катушки L2 .
Построить в масштабе векторную диаграмму. Параметры схемы:
U  160 В ,
r1  12 Ом ,
r2  10 Ом ,
L1  10 Ом ,
L2  8 Ом ,
M  6 Ом , 1 C  10 Ом .
Решение
1. По схеме (см. рис. 7.1) определим характер включения обмоток
катушек L1 и L2 . Из рис. 7.1 следует, что при заданном направлении
тока в каждой из обмоток катушек потоки самоиндукции и взаимоиндукции одинаково направлены (действуют согласно). Следовательно,
катушки включены согласно, и напряжения взаимоиндукции имеют
положительные направления. Заданная схема после разметки одноименных зажимов обмоток катушек может быть представлена схемой
замещения, показанной на рис. 7.2.
r1
1
L1
2
I
r1
Ф1
1
jL1
I
2
C
U
j
jM
U
Ф2
r2
3
L2
r2
4
Рис. 7.1
3
jL2
Рис. 7.2
89
4
1
C
2. На основании второго закона Кирхгофа для схемы замещения
(см. рис. 7.2) запишем уравнение
r1 I  jL1 I  jMI  j
1
I  jL2 I  jMI  r2 I  U ,
C
из которого найдем комплекс действующего тока
U
I
r1  r2  jL1  jL2  2 jM  j
1
C

160 0о
 5,38 42,3о А .
22  j 20
П р и м е ч а н и е . Если направления токов относительно одноименных зажимов индуктивно связанных элементов цепи совпадает, то включение этих
элементов согласное, и напряжение взаимоиндукции учитывается в уравнении со знаком плюс, в противном случае включение элементов встречное, а
напряжение взаимоиндукции учитывается в уравнении со знаком минус.
3. При замене местами выводов обмотки катушки L2 индуктивно
связанные катушки окажутся включенными по схеме, показанной на
рис. 7.3.
Из рис. 7.3 следует, что при заданном направлении тока в каждой
из обмоток катушек потоки самоиндукции и взаимоиндукции направлены противоположно друг другу (действуют встречно). Следовательно,
катушки включены встречно, и напряжения взаимоиндукции имеют
отрицательные направления. Схема замещения заданной цепи после
r1
1
L1
I
2
Ф1
r1
C
1
jL1
I 2
U
U
Ф2
r2
3
L2
j
jM
4
r2
Рис. 7.3
4
jL2
Рис. 7.4
90
3
1
C
разметки одноименных зажимов обмоток катушек может быть представлена схемой, изображенной на рис. 7.4.
4. Для схемы замещения цепи (см. рис. 7.4) на основании второго
закона Кирхгофа запишем уравнение
1
r1 I  jL1 I  jMI  j
I  jL2 I  jMI  r2 I  U ,
C
из которого найдем комплекс действующего тока:
U
I

160 0о
 7,15 10,3о А .
22  j 4
1
C
5. Комплекс полной мощности для схемы соединения обмоток индуктивностей (см. рис. 7.1):
r1  r2  jL1  jL2  2 jM  j
S  U I  160 0о  5,38 42,3о  637,7  j579,3 В  А .
Для схемы соединения обмоток индуктивностей (рис. 7.3):
S  U I  160 0о  7,15 10,3о  1125,6  j 204,5 В  А .
6. На рис. 7.5 изображена (в масштабе) векторная диаграмма цепи
для случая включения обмоток катушек по схеме рис. 7.1, на рис. 7.6
соответственно для случая включения обмоток катушек – по схеме
рис. 7.3. По горизонтальной оси отложен вектор тока, затем под соответствующим к току углом отложены векторы падения напряжения на
каждом элементе цепи.
m I  1A дел
mU  20 В дел
I
j
С
jM I
U
jM I
m I  1A дел
mU  20 В дел
 jM I
jL1 I
jL2 I
 jM I
r1 I
r2 I
r1 I
I
U
jL1 I
j
I
С
r2 I
I
Рис. 7.5
Рис. 7.6
91
jL2 I
Задача 7.2
Индуктивно связанные катушки, имеющие общий сердечник,
включены по схеме, изображенной на рис. 7.7. Определить показания
амперметров электромагнитной системы, установленных в схеме, если
U  130 В ,
r1  2 Ом ,
r2  4 Ом ,
L1  6 Ом ,
L2  12 Ом ,
M  4 Ом .
A
I
A1
I2 A
2
1
3
L1
L2
2
4
I
A
U
1
r1
2
A2
A1
I1
I1
I2
1
3
jL1
U
jL2
2
r1
r2
Рис. 7.7
4
jM
r2
Рис. 7.8
Решение
1. Из рис. 7.7 следует, что при заданных направлениях токов I1 , I 2
потоки самоиндукции и взаимоиндукции катушек индуктивностей L1 ,
L2 направлены противоположно друг другу, т.е. встречно. Следовательно, катушки индуктивностей имеют встречное включение, а
напряжения взаимоиндукции в уравнениях, составленных по второму
закону Кирхгофа, будут иметь отрицательные значения. Схема замещения цепи после разметки одноименных зажимов катушек может
быть представлена в комплексном виде, как это показано на рис. 7.8.
2. Схема (см. рис. 7.8) содержит nу  2 узлов, mв  3 ветвей. Достаточное количество уравнений для расчета данной цепи по законам
Кирхгофа равно трем.
По первому закону Кирхгофа: N1  nу  1  1 .


По второму закону Кирхгофа: N2  mв  nу  1  2 .
92
3. Система уравнений по законам Кирхгофа с учетом заданных положительных направлений обходов контуров, обозначенных в схеме,
изображенной на рис. 7.8, будет иметь вид
 I  I 1  I 2  0,

 jL1 I 1  jM I 2  r1 I 1  U ,

 jL2 I 2  jM I 1  r2 I 2  U .
П р и м е ч а н и е . При составлении уравнений цепи по второму закону
Кирхгофа целесообразно положительные напряжения обходов контуров
совмещать с направлениями токов в ветвях с индуктивно связанными элементами.
4. Приведем систему к матричной форме записи:
1
1
1  I 1   0 


    
 r1  jL1   jM 0    I 2   U  .

    
  jM  r2  jL2  0   I  U 
5. После подстановки числовых значений из условия задачи получим:
1
1   I1   0 
 1

    
  2  j 6   j 4 0    I 2   130  .

    
  j 4  4  j12  0   I  130 
6. Решение матричной системы позволяет определить комплексы
действующих значений токов в ветвях схемы:
I 1  31,58 59,1о А , I 2  19,53 56,3о А , I  51,1 57,9о А .
7. Показания амперметров, установленных в схеме цепи (см.
рис. 7.7), будут соответствовать токам:
I A1  31,58 A , I A2  19,53 A , I A  51,1 A .
93
Задача 7.3
В связанной цепи (рис. 7.9) определить показание вольтметра электромагнитной системы, если ЭДС равны: e1  232 2 sin 200 t  60о В ,




e2  669 2 sin 200 t  20о В , коэффициент связи катушек индуктивностей k  0,567 , r1  8 Ом , r2  6 Ом , L1  0,05 Гн , L2  0,025 Гн ,
С  500 мкФ .
U 13
V
r1
i1 1 1
3 i2
L1
L2
2
2
jx L1
r1
e2
E1
4
jx L 2
jxM
I1
r2
2
I 11
I 22
3
I2
r2
I3
i3
C
e1
4
1
Рис. 7.9
 jxC
E2
Рис. 7.10
Решение
1. Из рис. 7.9 следует, что при заданных направлениях токов i1 , i2
потоки самоиндукции и взаимоиндукции катушек индуктивностей L1 ,
L2 одинаково направлены. Следовательно, катушки индуктивностей
включены согласно, а напряжения взаимоиндукции имеют положительные направления. Расчетная схема замещения цепи (рис. 7.9) после
разметки одноименных зажимов катушек изображена на рис. 7.10.
2. Сопротивления реактивных элементов для частоты, питающих
схему источников   200 с1 , равны:
xL1  L1  200  0,05  10 Ом ,
xL2  L2  200  0,025  5 Ом ,
94
xС 
1
1

 10 Ом .
С 200  500 106
Сопротивление взаимоиндукции
xM  M  200  0,02  4 Ом ,
где M  k L1 L2  0,567 0,05  0,025  0,02 Гн .
3. Комплексы действующих значений источников ЭДС:
E1 
E2 
232 2 j 60о
e
 232 60о В ,
2
669 2  j 20о
e
 669 20о В .
2
4. Расчет комплексов действующих значений токов схемы
(рис. 7.10) выполним методом контурных токов. Схема содержит:
nу  2 узла, mв  3 ветви. Достаточное количество уравнений равно
двум:


N2  mв  nу  1  2 .
Независимые контуры и направления протекания контурных токов
I 11 , I 22 обозначены на рис. 7.10.
5. Система контурных уравнений, записанных относительно действующих значений контурных токов, будет иметь вид

 I 11  r1  jxL1  jxC   I 22 jxM  I 22   jxC   E1 ,


 I 22  r2  jxL 2  jxC   I 11 jxM  I 11   jxC   E2 .
6. Приведем систему к матричной форме:
 r1  jxL1  jxC   jxM  jxC    I 11   E1 

     .
  jxM  jxC   r2  jxL 2  jxC   I 22   E 2 
95
7. После подстановки числовых значений получим:
 j 6   I 11   232 60о 
 8
.
 j 6 6  j5      

  I 22   669 20о 

8. Решение матричной системы позволяет определить комплексы
действующих значений контурных токов (см. рис. 7.10):
I 11  57,66 80,5о А , I 22  42,87 8,9о А .
9. Комплексы действующих значений действительных токов в ветвях схемы:
I 1  I 11  57,66 80,5о А , I 2  I 22  42,87 8,9о А ;
I 3  I 11  I 22  57,66 80,5о  42,87 8,9о  82,01 50,8о А .
10. Показание вольтметра определим через комплекс действующего напряжения U 13 (см. рис. 7.10), составив предварительно уравнение
по второму закону Кирхгофа, например, для контура, включающего в
себя напряжения на индуктивных элементах:
U 13  I 2 jxL2  I 1 jxM  I 1 jxL1  I 2 jxM  0 ,
откуда
U 13  I 1  jxL1  jxM   I 2  jxL2  jxM  
 57,66 80,5о  j 6  42,87 8,9о  j1  334,9 177,5о В .
Следовательно, UV  U13  334,9 В .
Задача 7.4
Определить показания амперметров электромагнитной системы,
включенных по схеме (рис. 7.11), параметры которой U  30 В ,
r1  3 Ом , xL1  6 Ом , xL 2  8 Ом , xM  4 Ом .
96
r1
I1
I
I2
jxL1
jxM
jx L1
U
jxM 13
A
jx L 2
A1
jxM 12
U
r
A2
jxL3
V
UV
jxL 2
jxM 23
Рис. 7.11
Рис. 7.12
Решение
1. При заданных направлениях токов (см. рис. 7.11) относительно
одноименных зажимов катушек индуктивностей с сопротивлениями
xL1 , xL 2 потоки самоиндукции и взаимоиндукции направлены противоположно друг другу. Следовательно, катушки индуктивностей имеют встречное включение, и напряжение взаимоиндукции необходимо
учитывать со знаком минус.
2. Достаточное количество уравнений для расчета цепи по законам
Кирхгофа равно двум ( nу  0 узлов, mв  2 ветви).
Система расчетных уравнений, составленных на основании второго
закона Кирхгофа с учетом заданных положительных направлений обходов контуров (рис. 7.11), будет иметь вид

 I 1r1  I 1 jxL1  I 2 jxM  U ,


 I 2 jxL 2  I 1 jxM  0.
3. Из совместного решения системы для комплексов действующих
значений токов получим:
I1 
U
r1  jxL1  j
I 2  I1
2
xM
xL 2
30 0о

3  j6  j
2
4
8
 6 53,1о А ,
xM
4
 6 53,1о   3 53,1о А .
xL 2
8
97
4. Показания амперметров (см. рис. 7.11) будут соответствовать токам:
I А1  I1  6 А , I А2  I 2  3 А .
Задача 7.5
В цепи (рис. 7.12) каждая из трех катушек индуктивно связана с
двумя другими. Выполнить расчет цепи и определить показания приборов электромагнитной системы: U  400 В , r  40 Ом , xL1  14 Ом ,
xL 2  12 Ом , xM 12  xM 13  xM 23  2 Ом .
Решение
1. Катушки индуктивностей с сопротивлениями xL1 , xL 2 (см.
рис. 7.12) включены согласно.
В связи с тем что ток через индуктивность с сопротивлением xL3
не протекает, напряжение UV на зажимах катушки (вольтметра V ) будет определяться только напряжением взаимоиндукции индуктивно
связанных элементов.
2. Расчетные уравнения, составленные на основании второго закона
Кирхгофа для указанных положительных направлений обходов контуров (рис. 7.12), будут иметь вид
jxL1 I  jxL2 I  2 jxM 12 I  rI  U ,
UV  jxM 13 I  jxM 23 I .
3. Из совместного решения уравнений получим:
I
U
400 0о

 8 36,9о А ,
jxL1  jxL 2  2 jxM 12  r 40  j 30
UV  I  jxM 13  jxM 23   8 36,9о  j 4  32 53,1о В .
4. Показания приборов в цепи (см. рис. 7.12) будут соответственно
равны действующим значениям величин: I А  8 А , UV  32 В .
98
Задача 7.6
Определить комплексы входного сопротивления и действующих
значений токов в цепи (рис. 7.13), применив при решении эквивалентную замену индуктивных связей (развязку индуктивных связей), если
U  150 В , xL1  24 Ом , xL 2  32 Ом , xM  12 Ом , r  18 Ом .
Решение
1. Выполним развязку индуктивных связей. Так как одноименные
зажимы индуктивно связанных элементов xL1 , xL 2 (см. рис. 7.13) одинаково ориентированы по отношению к общему узлу (началами намоток к узлу 1), то эквивалентная схема заданной цепи с развязкой индуктивных связей может быть представлена в виде схемы, изображенной на рис. 7.14.
Пр и м еча н и е . Если одноименные зажимы индуктивно связанных элементов цепи одинаково ориентированы по отношению к общему узлу (началом или концом намотки), то для развязки индуктивных связей в первую и
вторую ветви с индуктивностями добавляют индуктивный элемент с сопротивлением  xM , а в третью ветвь индуктивный элемент с сопротивлением
 xM . При разной ориентации одноименных зажимов индуктивно связанных
элементов цепи по отношению к общему узлу достаточно изменить знаки добавочных индуктивных элементов на противоположные.
2. Комплекс входного сопротивления цепи (рис. 7.14):
Z вх  jxL1  jxM 
 j 24  j12 
I1
x L1
 jxL 2  jxM  r  jxM  
r  jxL 2  jxM  jxM
 j32  j12 18  j12   23,13 76,6о Ом .
18  j32
I1
1
jx L1  jxM
1
 jxM
 jxM
U
xL 2
xM
I2
r
U
r
jx L 2
I3
I2
2
Рис. 7.13
Рис. 7.14
99
2
I3
3. Комплекс действующего тока на входе цепи:
I1 
U
150 0о

 6, 48 76,6о А .
Z вх 23,13 76,6о
4. Комплексы действующих значений токов I 2 и I 3 :
I 2  I1
I 3  I1
r  jxM
18  j12
 6,48 76,6о 
 3,82 103,5о А ,
r  jxL 2
18  j 32
jxL 2  jxM
j 32  j12
 6,48 76,6о 
 3,53 47,2о А .
r  jxL 2
18  j 32
Задача 7.7
Задана система из двух индуктивно связанных контуров (рис. 7.15).
Определить показание вольтметра электромагнитной системы, используя
при решении эквивалентную замену индуктивных связей.
Дано: U  60 В , r  40 Ом , xL1  100 Ом , xL 2  50 Ом , xС  30 Ом ,
xM  25 Ом .
Решение
1. Выполним развязку индуктивных связей. Так как одноименные
зажимы индуктивно связанных элементов xL1 и xL 2 (см. рис. 7.15) поразному ориентированы по отношению к общему (условному) узлу 3
( xL1 – концом намотки, xL 2 – началом намотки), то эквивалентная
расчетная схема заданной цепи после развязки индуктивных связей
может быть представлена в виде схемы, изображенной на рис. 7.16.
2. Комплекс действующего значения тока на входе:
I1 
U

Z вх
U
60 0о


Z2 Z3
 j 25  j 45
40  j125 
Z1 
j 20
Z2  Z3
100

60 0о
о
79,54 59,8
 0,75 59,8о А ,
где Z1  r  jxL1  jxM  40  j125 Ом ,
Z 2   jxM   j 25 Ом ,
Z 3  jxL 2  jxM  jxС  j 45 Ом .
3. Комплекс действующего значения тока I 2 :
I 2  I1
Z2
 j 25
 0,75 59,8о 
 0,94 120,2о А .
Z 2  Z3
j 20
4. Напряжение на зажимах вольтметра UV  U12 . На основании
второго закона Кирхгофа для обозначенного в схеме, представленной
на рис. 7.16, контура запишем:
U 12  I 1  jxL1  jxM   I 2  jxL 2  jxM  
 0,75 59,8о  j125  0,94 120,2о  j75  23,25 30,2о В .
5. Показание вольтметра будет соответствовать действующему
значению напряжения
UV  U12  23,25 В .
U 12
r
I1 r
V
1
2
jxM
U
x L1
xL 2
xC
U
1
2 I2
jx L1
jx L 2
 jxM
3
 jxM
3
Рис. 7.15
Рис. 7.16
101
 jxM
 jxC
Задача 7.8
Определить показания амперметров электромагнитной системы,
сопротивление взаимоиндукции и коэффициент связи, при которых в
цепи (рис. 7.17) наступит режим резонанса токов. Заданы параметры
U  20 В , xL1  45 Ом , xL 2  20 Ом , xС  35 Ом .
r
I1
A1
A2
U
I2
A3
xC
U
x L1
xM
r
 jxM
 jxC
I3
 jxM
 jxM
jx L1
jx L 2
xL 2
Рис. 7.17
Рис. 7.18
Решение
1. Заданную схему, изображенную на рис. 7.17, заменим эквивалентной без индуктивных связей (рис. 7.18).
2. Из условия резонанса токов в параллельных ветвях для эквивалентной схемы (рис. 7.18) получим равенство
1
1

0.
jxL1  jxM  jxC jxL 2  jxM
Из равенства следует уравнение
2 xM  xL1  xL 2  xC  0 ,
из которого находим сопротивление взаимоиндукции, соответствующее режиму резонанса токов:
xM 
xL1  xL 2  xC 45  20  35

 15 Ом .
2
2
102
3. Коэффициент связи катушек индуктивностей
xM
15
k

 0,5 .
xL1 xL 2
45  20
4. Показания амперметров будут определяться действующими значениями токов, обозначенных в схеме, изображенной на рис. 7.18.
При резонансе токов
I1  0 ,
I2 
U
20 0о

 4 90о А ,
jxL1  jxM  jxC
 j5
I3 
U
20 0о

 4 90о А .
jxL 2  jxM
j5
Окончательно запишем:
I A1  I1  0 , I A2  I 2  4 А , I A3  I3  4 А .
Задачи для самостоятельного решения
Задача 7.9. В цепи (рис. 7.19) каждая из трех катушек индуктивно связана с двумя другими. Определить одноименные зажимы катушек и рассчитать показание амперметра электромагнитной системы,
установленного в последовательной цепи, если U  25 В , r  30 Ом ,
L1  0,036 Гн ,
L2  0,024 Гн ,
L3  0,032 Гн ,
M12  0,006 Гн ,
M 23  0,004 Гн , M 31  0,008 Гн ,   500 с1 .
О т в е т: I A  0,5 А .
Задача 7.10. Установить одноименные зажимы катушек и определить показания амперметров электромагнитной системы для цепи,
схема которой изображена на рис. 7.20. Параметры схемы заданы:
U  18 В , L1  0,01 Гн , L2  0,006 Гн , L3  0,012 Гн , L4  0,016 Гн ,
M12  0,002 Гн , M 34  0,004 Гн ,   1000 с1 .
О т в е т: I A1  2 А , I A2  1,5 А , I A3  0,5 А .
103
L3
A1
A2
A3
L1
L3
U
L2
r
L1
L2
L4
A
U
Рис. 7.20
Рис. 7.19
Задача 7.11. Определить показание вольтметра электромагнитной системы в цепи (рис. 7.21), если U  102 В , r1  4,8 Ом ,
r2  2,2 Ом ,
L1  0,045 Гн ,
L2  0,025 Гн ,
M12  0,013 Гн ,
  200 с1 .
О т в е т: UV  80 В .
U
L1
L2
r1
x L1
xM
xL 2
xC
A
r2
V
U
Рис. 7.22
Рис. 7.21
Задача 7.12. Показание амперметра, установленного в цепи
(рис. 7.22), соответствует току I A  3 А . Определить сопротивление
взаимоиндукции и коэффициент связи катушек, если U  30 В ,
xL1  32 Ом , xL 2  24 Ом , xС  20 Ом .
О т в е т: xM  13 Ом , k  0, 469 .
104
Задача 7.13. В цепи (рис. 7.23) определить показание амперметра
электромагнитной системы, если U  25 В , r  2 Ом , xL1  5 Ом ,
xL 2  8 Ом , xM  4 Ом , xС  10 Ом .
О т в е т: I A  4 А .
xC
x L1
A1
A
A2
x L1
xL 2
r
xM
U
xL 2
xM
A3
r
U
Рис. 7.23
Рис. 7.24
Задача 7.14. Определить показания амперметров электромагнитной системы для цепи (рис. 7.24), если U  245 В , r  12 Ом ,
xL1  21 Ом , xL 2  26 Ом , xM  8 Ом .
О т в е т: I A1  12,9 А , I A2  3,6 А , I A3  16, 2 А .
V
r1
r1
x L1
M 12
r3
r2
L1
E1
xM
r2
L2
i3
E2
e1
xL 2
Рис. 7.25
i1
C
Рис. 7.26
105
i2
e2
Задача 7.15. Определить показание вольтметра электромагнитной системы, включенного по схеме (рис. 7.25), если
e1  223 2 sin t  90о В ,
e2  141 2 sin t  90о В ,
r1  8 Ом ,




r2  6 Ом , xL1  25 Ом , xL 2  20 Ом , xM  10 Ом .
О т в е т: UV  216 В .
Задача 7.16. Рассчитать комплексы действующих значений токов
в
цепи

(рис. 7.26),

e2  280 2 sin 1000 t  45о В ,
если


e1  110 2 sin 1000 t  125о В ,
r1  32 Ом ,
r2  24 Ом ,
r3  26 Ом ,
L1  0,042 Гн , L2  0,016 Гн , C  50 мкФ , коэффициент связи индуктивных обмоток k12  0,54 .
О т в е т: I 1  3,83 56,9о А , I 2  4, 25 76,1о А ,
I 3  3, 24 16, 4о А .
Задача 7.17. В цепи (рис. 7.27) каждая из трех катушек индуктивно связана с двумя другими. Определить комплексы действующих
значений токов, если U  45 В , r1  6 Ом , r2  4 Ом , xL1  12 Ом ,
xL 2  8 Ом , xL3  16 Ом , xM 12  3 Ом , xM 13  5 Ом , xM 32  2 Ом .
О т в е т: I 1  0, 42 112,1о А , I 2  1, 25 75, 2о А ,
I 3  1,6 84, 2о А .
Задача 7.18. Для цепи (рис. 7.28) определить показания приборов электромагнитной системы. Дано: U  100 В , r  24 Ом ,
xL1  32 Ом , xL 2  16 Ом , xM 12  8 Ом , xM 13  12 Ом .
О т в е т: I A  2,5 А , UV  30 В .
Задача 7.19. Вычислить комплекс входного сопротивления цепи
xL1  120 Ом ,
xL 2  210 Ом ,
xL3  160 Ом ,
(рис. 7.29), если
xM 13  30 Ом , xM 23  20 Ом , xС  50 Ом .
О т в е т: Z вх  j 280 Ом .
106
xM 12
r1
x L1
xL 2
xM 13
xM 32
x L3
I1
xM 13
A
I3
r2
U
I2
xM 12
x L1
x L3
V
U
r
xL 2
Рис. 7.27
Рис. 7.28
Задача 7.20. Вычислить комплекс входного сопротивления цепи
(рис. 7.30), если xL1  16 Ом , xL 2  36 Ом , xL3  42 Ом , xM  6 Ом ,
xС  24 Ом .
О т в е т: Z вх  j50 Ом .
Задача 7.21. Определить величину емкости конденсатора С0 ,
при которой в цепи (рис. 7.31) возможен резонанс токов. Дано:
r  20 Ом , L1  0,08 Гн , L2  0,12 Гн , M  0,03 Гн ,   500 с1 .
О т в е т: C0  25,3 мкФ .
x L1
x L1
xM 13
Z вх
xM 23
x L3
xC
Z вх
xM
xL 2
xL 2
Рис. 7.29
Рис. 7.30
107
x L3
xC
C0
xC
A
L1
M
r
L2
r
x L1
U
Рис. 7.31
xL 2
xM
Рис. 7.32
Задача 7.22. Для схемы (рис. 7.32) определить емкостное сопротивление xС и ток амперметра, установленного на входе цепи, при
условии, что в цепи резонанс напряжений. Дано: U  12 В , r  60 Ом ,
xL1  40 Ом , xL 2  25 Ом , xM  10 Ом
О т в е т: xС  20 Ом , I A  0, 2 А .
8. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ В ЦЕПЯХ
ОДНОФАЗНОГО СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
При расчете электрических цепей синусоидального (переменного)
тока интерес представляют характеристики, связанные с определением мощности и энергии, производимой или отдаваемой источниками
и потребляемой в элементах цепи, режимов работы источников, определением коэффициента мощности и методов его повышения, условий
передачи максимальной мощности от источника к нагрузке, направлений передачи энергии и т.д.
Задача 8.1
Для цепи (рис. 8.1) построить кривые мгновенных значений приложенного к цепи напряжения u , тока i , полной мощности p и энергии магнитного поля wм . Дано: u  5sin t , r  1,2 Ом , L  0,004 Гн ,
  400 с1 .
108
Решение
1. Мгновенное значение тока в цепи (рис. 8.1):
i
Um
r   L 
2

2
L 

sin  t  arctg

r 

400  0,004 

sin  400  arctg

2
1, 2


1, 22   400  0,004 
5


 2,5sin 400 t  53,1о А .
u , i, p
10
p
8
6
u
4
i
2
i
t, c
0
r
u
0,005
2
0,015
10
5
0
5
t, c
0,005
0,01
Рис. 8.1
0,015
Рис. 8.2
2. Мгновенное значение полной мощности в цепи:


p  ui  5sin400 t  2,5sin 400 t  53,1о 

0,02
wм , Дж 103
15
L
0,01




5  2,5 
cos 53,1о  cos 2  400 t  53,1о  

2 


 3,75  6,25cos 800 t  53,1о В  А .
109
0,02
3. Мгновенное значение энергии магнитного поля
wм 
LI 2
Li 2 LI m2

sin 2  t  i   m 1  cos  2t  i  
2
2
4



0,004  2,52 
1  cos 2  400 t  53,1о  


4


 6, 25 103 1  cos 800 t  53,1о  Дж .


4. Кривые зависимостей мгновенных значений u , i , p и wм в
функции от времени приведены на рис. 8.2.
Пр и м еча н и е. Отрицательный знак мгновенной мощности показывает,
что источник не отдает энергию, а получает её от индуктивности.
Задача 8.2
Для цепи (рис. 8.3) построить кривые мгновенных значений приложенного к цепи напряжения u , тока i , полной мощности p , энергии электрического и магнитного полей. Дано: u  26sin t ,
r  2,5 Ом , L  0,02 Гн , C  500 мкФ ,   500 с1 .
80
u , i, p
60
40
i
p
u
20
r
u
C
L
i
t, c
0
20
8
6
4
2
0
0,005
0,01
0,015
0,02
w, Дж 10-2
t, c
0,005
Рис. 8.3
0,01
Рис. 8.4
110
0,015
0,02
Решение
1. Мгновенное значение тока в цепи (рис. 8.3):
1 

L 

С  
sin  t  arctg

2
r


1


r 2   L 



С 

Um
i

10  4 

sin  500 t  arctg

2,5 

1

2 
2,5   500  0,02 

500  500 106 

26
2


 4sin 500 t  67,4о А .
2. Мгновенное значение полной мощности в цепи:


p  ui  26sin500 t  4sin 500 t  67,4о 





26  4 
cos 67,4о  cos 2  500 t  67,4о  

2 


 20  52cos 1000 t  67,4о В  А .
3. Мгновенное значение энергии электрического и магнитного полей установим, предварительно определив мгновенное значение
напряжения на емкости:
uC 

1
1



idt 
I msin  t   i  

C
C
2


1
500  500 106


4sin 500 t  90о  67,4о 


 16sin 500 t  157,4о В .
111
Следовательно,
w  wэ  wм 

2
CuC2 Li 2 CU mС


sin 2  t  u  
2
2
2
2
LI m2
CU mC
1  cos  2t  u   
sin 2  t  i  
2
4 
LI m2
1  cos  2t  i   

4 

500 106 162 
1  cos 2  500 t  157,4о  


4



 32 10 1  cos 1000 t  157,4   5 10 1  cos 1000 t  67,4  Дж.






0,02  42 
1  cos 2  500 t  67, 4о  


4
3
3
о
о
4. Кривые зависимости мгновенных значений u , i , p и w в функции от времени показаны на рис. 8.4.
Задача 8.3
Графики изменения мгновенной мощности потребителей изображены на рис. 8.5 – 8.7. По кривой p  t  определить полную S , активную P , реактивную Q мощности и cos  потребителя.
p(t )
2600 B  A
p(t )
P
p(t )
1200 B  A
400 B  A
t
0
P
800 B  A
0
Рис. 8.5
Рис. 8.6
112
t
t
400 B  A
Рис. 8.7
Решение
1. Допустим, что напряжение и ток в цепи равны:
u  U msin t , i  I msin  t    ,
тогда мгновенная мощность цепи
p  ui  U m sin t  I m sin  t    
 UI cos   UI cos  2t     S cos   S cos  2t    .
Установленное выражение отражает графики изменения мгновенной
мощности (см. рис. 8.5 – 8.7). Следовательно, величину полной мощности S на графике определяет амплитудное значение синусоиды, изменяющейся с двойной частотой, а величину активной мощности p –
сдвиг синусоиды по оси ординат относительно оси симметрии.
2. Рассмотрим график мгновенной мощности (рис. 8.5). Пол2600
ная мощность цепи S 
 1300 В  А , активная мощность
2
P  1300  800  500 Вт , реактивная мощность
Q  S 2  P2  13002  5002  1200 вар .
P 500

 0,385 .
S 1300
3. Рассмотрим график мгновенной мощности (рис. 8.6). Полная
1200
S
 600 В  А ,
мощность
цепи
активная
мощность
2
По определению cos  
реактивная
мощность
P  S  600 Вт ,
Q  S 2  P2  0 ,
P 600
cos   
 1.
S 600
4. Рассмотрим график мгновенной мощности (рис. 8.7). Полная
мощность цепи S  400 В  А , активная мощность P  0 , реактивная
P
0
0.
мощность Q  S  400 вар , cos   
S 400
113
Задача 8.4
Для цепи (рис. 8.8) установить режимы работы источников по активной мощности, составить уравнение баланса мощностей.
о
о
о
Дано:
E1  120e j 20 В ,
E 2  230e j 260 В ,
E 3  100e j 90 В ,
r1  140 Ом , r2  160 Ом , xC1  110 Ом , xL1  190 Ом .
I1
1
 0
1
r1
E1
 jxC1
I3
E2
r2
3
I4
I5
jxL1
E3
I2
2
Рис. 8.8
Решение
Выполним расчет комплексов действующих значений токов. Для
расчета цепи целесообразно воспользоваться методом узловых потенциалов.
Потенциал узла 1 (см. рис. 8.8) принимаем равным нулю ( 1  0 ),
следовательно, потенциал 2  E 3 .
1. Расчетное уравнение для комплексного потенциала узла 3 будет
иметь следующий вид:
1 1
1
1
1 
1  E1 E 2
3   


,
  2  

r2
 r2 jxL1  r1
 r1 r2  jxC1 jxL1 
откуда
1
E1 E 2
1 

 2  

r1
r2
r2 jxL1 

3 

1 1
1
1
 

r1 r2  jxC1 jxL1
114
 1
120 20о 230 260о
1 

 100 90о 


140
160
 160 j190   184,7 49, 2о В .

1
1
1
1



140 160  j110 j190
2. Комплексы действующих значений токов ветвей:
I1 
1  3  E1
I2 
r1

184,7 49, 2о  120 20о
2  3  E 2
r2
140

 0,71 94,6о А ,
100 90о  184,7 49, 2о  230 260о
160

 1,54 130,7о А ,
I3 
I4 
3  1
 jxC1
3  2
jxL1


184,7 49, 2о
 j110
 1,68139, 2о А ,
184,7 49, 2о  100 90о
j190
 0,67 71,7о А ,
I 5  I 3  I 1  1,68 139,2о  0,71 94,6о  2,17 123,9о А .
3. Режимы работы источников по активной мощности
Мощность источника ЭДС E1 :
S E1  E1I1  120 20о  0,71 94,6о  35,47  j 77,47 В  А .
Активная мощность PE1  35,47 Вт имеет отрицательное значение, что означает работу источника ЭДС E1 в режиме приемника (потребителя).
Мощность источника ЭДС E2 :
S E 2  E2 I 2  230 260о  1,54 130,7о  304,56  j180,83 В  А .
115
Активная мощность PE 2  304,56 Вт имеет положительное значение, что означает работу источника в генераторном режиме (режим источника).
Мощность источника ЭДС E3 :
S E 3  E 3 I5  100 90о  2,17 123,9о  180,11  j121,03 В  А .
Активная мощность PE 3  180,11 Вт имеет положительное значение. Работа источника ЭДС E3 также осуществляется в генераторном
режиме (режим источника).
4. Уравнение баланса мощностей цепи
Мощность, развиваемая всеми источниками:
S ист  S E1  S E 2  S E 3  E1I1  E 2 I 2  E 3 I5  449,21  j 224,4 В  А .
Мощность, потребляемая:
S пот  I12 r1  I 22 r2  I32   jxC1   I 42 jxL1 
 0,712 140  1,542 160  1,682   j110   0,672  j190 
 450,03  j 225,17 В  А .
Относительная ошибка вычислений по активной и реактивной
мощности:
P % 
Q % 
450,03  449, 21
100 %  0,18 % ,
1
 450,03  449, 21
2
225,17  224, 4
1
 225,17  224, 4 
2
100 %  0,34 % .
Задача 8.5
Для цепи (рис. 8.9) требуется определить показания ваттметров для
различных схем включения его измерительных обмоток. Дано:
U  120 В , r1  12 Ом , r2  16 Ом , xL  46 Ом , xC  34 Ом .
116
UW
r1
I1
U
*
*
W
r2
I1
I2
UW
xC
I3
r1
U
xL
*
r2
*
W
I2
xC
а
I3
xL
б
UW
*
*
r1 I1
r2
I1
W
U
I2
I3
xC
U
xL
в
r1
r2
*
* W
I2
xC
I3
xL
г
Рис. 8.9
Решение
1. Выполним расчет токов в ветвях цепи комплексным методом.
Комплекс действующего значения тока на входе цепи:
I1 
U

Z вх
U
r1 
 jxC  r2  jxL 
r2  jxL  jxC

120 0о
 1,33 49,7о А .
 j 34 16  j 46 
12 +
16  j12
2. Комплексы действующих значений токов в разветвленной части
цепи:
r2  jxL
16  j 46
I 2  I1
 1,33 49,7о
 3,24 83,6о А ,
r2  jxL  jxC
16  j12
I 3  I1
 jxС
 j34
 1,33 49,7о
 2,26 77,2о А .
r2  jxL  jxC
16  j12
117
3. Показание ваттметра, включенного по схеме (рис. 8.9, а), найдем, предварительно определив комплекс действующего напряжения:
UW  I 2   jxC   3,24 83,6о   j34  110,16 6,4о В .
Показание ваттметра соответствует мощности
P1  Re S1   Re U W I3   Re 110,16 6,4о  2,26 77,2о   81,76 Вт .


4. Показание ваттметра, включенного по схеме, изображенной на
рис. 8.9, б.
Напряжение, приложенное к измерительной обмотке ваттметра,
найдем по второму закону Кирхгофа для указанного на схеме (см.
рис. 8.9, б) контура:
U W  I 3r2  I 1r1  0 ,
откуда
U W  I 3 r2  I 1 r1  2,26 77,2о 16  1,33 49,7о 12  29,48 51,5о В .
Показание ваттметра соответствует активной мощности:
P2  Re S 2   Re U W I3   Re 29,48 51,5о  2,26 77,2о  


 60,03 Вт .
5. Показание ваттметра, включенного по схеме, изображенной на
рис. 8.9, в.
Напряжение, приложенное к измерительной обмотке:
U W  I 1r1  1,33 49,7о 12  15,96 49,7о В .
Показание ваттметра будет соответствовать активной мощности
P3  Re  S 3   Re U W I1   Re 15,96 49,7о 1,33 49,7о    21,23 Вт .


6. Показание ваттметра, включенного по схеме, изображенной на
рис.8.9, г.
Напряжение, приложенное к измерительной обмотке UW  U .
Ваттметр покажет активную мощность:
P4  Re S 4   Re U W I 2   Re 120 0о  3,24 83,6о   43,34 Вт .


118
Задача 8.6
Определить полную, активную, реактивную мощности и коэффициент мощности цепи (рис. 8.10) при разомкнутом положении
ключа SA . Рассчитать емкость конденсатора, которую необходимо
включить параллельно цепи, чтобы повысить коэффициент мощности
до cos I  0,851 . Дано: U  36 В , r1  0,2 Ом , r2  0,4 Ом ,
r3  4,6 Ом , L  4 103 Гн ,   314 с1 .
r1
I

r2
SA
U
I sin 
I
I
I
U
II
r3
xC
xL
IC
IC
I sin 
Рис. 8.10
I
Рис. 8.11
Решение
1. Комплекс действующего значения тока в неразветвленной части
цепи при разомкнутом ключе SA (см. рис. 8.10).
I
U

Z вх
U

r

2  j L  r3
r1 
r2  r3  jL
36 0о

 0, 4  j314  4 10  4,6
3
0,2+
 27,85 50,7о А .
0, 4  4,6  j314  4  103
2. Полная мощность цепи:
S  UI  36 0о  27,85 50,7о  1002,6 50,7о  635  j775,8 В  А .
119
Активная мощность:
P  Re  S   Re 635  j 775,8  635 Вт .
Реактивная мощность:
Q  Im S   Jm635  j 775,8  775,8 вар .
Таким образом, S  1002,6 В  А , P  635 Вт , Q  775,8 вар .
3. Коэффициент мощности:
cos  
P
635

 0,633 .
S 1002,6
4. Для повышения коэффициента мощности от cos   0,633 до
cos   0,851 (ключ SA в замкнутом положении) ток I C через емкость
согласно векторной диаграмме (рис. 8.11) должен иметь величину
IC  I sin   I I sin I .
Ток в неразветвленной части найдем из соотношения (см. рис. 8.11)
I cos  I I cosI ,
откуда
II  I
cos 
cos 
I
 27,85
0,633
 20,72 А .
0,851
По известным cos   0,633 и cos I  0,851 находим sin   0,774
и sin I  0,525 .
Ток через емкость
IC  I sin   I I sin I  27,85  0,774  20,72  0,525  10,68 A .
Согласно схеме (рис. 8.10) I C 
U
, откуда емкость конденсато1 C
ра должна составлять
C
IC
10,68

 945 мкФ .
U 314  36
120
Задача 8.7
Для цепи (рис. 8.12) определить ток в нагрузочном сопротивлении Z н при условии выделения в нем максимальной мощности, установить максимально возможную мощность. Определить КПД системы
передачи электрической энергии от источника в нагрузку.
Дано: E  110 В , r  2 Ом , xL  3 Ом , r0  2 Ом , x0  4 Ом ,
xC  6 Ом .
I
xL
E
r0
x0
1
1
xC
r
Zн
r0
Iн
Zг
Zн
Eг
x0 2
2
Рис. 8.12
Рис. 8.13
Решение
1. Применим теорему об эквивалентном генераторе, и согласно
схеме, изображенной на рис. 8.13, выполним расчет тока I н в нагрузочном сопротивлении Z н как
Iн 
Eг
.
Zг  Zн
2. Определим ЭДС генератора Eг , которая равна комплексу действующего напряжения U 12 относительно зажимов разомкнутой ветви
с нагрузочным сопротивлением Z н (рис. 8.14):
U12  I I   jxC  
E   jxC 
r  jxL  jxC

110 0о   j 6 
2  j3  j 6
121
 183,05 33,7о В .
jx L
E
r0
jx0
 jxC
r
I
I
jx L
1
jx0
1
 jxC
U 12
r0
r0
r
jx0
Z 12
r0
2
jx0
2
Рис. 8.14
Рис. 8.15
3. Определим сопротивление генератора Z г , которое равно комплексному сопротивлению Z 12 относительно зажимов разомкнутой
ветви с сопротивлением Z н (рис. 8.15):
Z г  Z 12  2r0  2 jx0 
 4  j8 
 j 6  2  j 3
2  j3  j 6
 jxC  r  jxL 
r  jxL  jxC

 14,04 47, 2о Ом .
4. Найдем сопротивление нагрузки Z н . Максимум мощности выделится в нагрузке Z н при условии, что сопротивление нагрузки комплексно сопряжено с сопротивлением эквивалентного генератора
Z н  Z12  14,04 47,2о  9,54  j10,3 Ом .
5. Комплекс действующего значения тока в нагрузочном сопротивлении:
183,05 33,7о
183,05 33,7о
U 12
Iн 



Z г  Z н 14,04 47, 2о  14,04 47, 2о
19,08
 9,59 33,7о А .
122
6. Максимально возможная мощность, выделяемая в нагрузке, составит
Pн max  Iн2 Re  Z н   9,592 Re  9,54  j10,3  877,4 Вт .
7. Рассчитаем мощность, доставляемую источником
рис. 8.12):
PE  Re  EI   Re 110 0о  25,4 24,8о   2536 Вт ,


где I 

E
(см.
E

 jxC  2r0  2 jx0  Z н 
r  jxL 
2r0  2 jx0  Z н  jxC
110 0о
 25, 4 24,8о А .
 j 6  4  j8  9,54  j10,3
2  j3 
4  j8  9,54  j10,3  j 6
8. КПД системы передачи электрической энергии от источника в
нагрузку
P
877, 4
  н max 100% 
100%  34,6% .
PE
2536
Задача 8.8
Источники ЭДС E1 и E2 с присоединенной нагрузкой Z н1 и Z н2
образуют две части схемы, соединенные двухпроводной линией
(рис. 8.16). Определить направление передачи энергии через линию от
одной
части
о
E 2  240e j120 В ,
Z н2  15 Ом .
схемы
к
другой.
r1  r2  2 Ом ,
Дано:
о
E1  240e j 230 В ,
xL1  xL 2  4 Ом ,
Z н1  25 Ом ,
Решение
1. Допустим, что в применении к схеме (см. рис. 8.16) мощность
передается по двухпроводной линии от левой части схемы к правой.
Этим определен выбор положительного направления тока в линии I л
123
и соответствующее включение ваттметра для измерения активной
мощности, передаваемой слева направо (рис. 8.16).
I1
2
Iл
*
*
W
I н1
jxL1
Z н1
E1
jxL 2
UW
Z н2
E2
1
 0
1
r1
r2
Рис. 8.16
Ваттметр измеряет активную мощность, передаваемую в линии
P  Re U W I л  .
2. Расчет схемы выполним методом двух узлов. Пусть 1  0 , тогда
E1
E2

r1  jxL1 r2  jxL 2
2 

1
1
1
1



r1  jxL1 r2  jxL 2 Z н1 Z н2
240 230о 240 120о

2  j4
2  j4

 212,14 135,9о В .
1
1
1
1



2  j 4 2  j 4 25 15
3. Интересующие в схеме (см. рис. 8.16) комплексы действующих
значений токов:
I1 
1  2  E1
r1  jxL1
I н1 

212,14 135,9о  240 230о
2  1
Z н1
2  j4

212,14 135,9о
25
124
 8,11 156,5о А ,
 8, 49 135,9о А .
По первому закону Кирхгофа через узел 2 найдем I л :
I л  I 1  I н1  8,11 156,5о  8,49 135,9о  2,99 116,6о А .
4. Напряжение на зажимах ваттметра (напряжение в линии):
U W  2  1  212,14 135,9о В .
5. Показание ваттметра
P  Re U W I л   Re 212,14 135,9о  2,99 116,6о  


 Re  190,1  j 602,92   190,1 Вт .
Активная мощность имеет отрицательное значение, следовательно,
направление передачи энергии через линию осуществляется от правой
части схемы (см. рис. 8.16) к левой.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 8.9. Для последовательной r , C цепи (рис. 8.17) получить зависимости для мгновенных значений полной мощности p , активной мощности pа и энергии электрического поля wэ . Дано:
u  65sin t . r  30 Ом , C  100 мкФ ,   800 с1 .


О т в е т: p  60  65cos 1600 t  22,6о В  А ,


pа  60 1  cos 1600 t  45, 2о  Вт ,




wэ  15,62 103 1  cos 1600 t  134,8о  Дж .


Задача 8.10. По кривой изменения мгновенной мощности
(рис. 8.18) определить полную S , активную P , реактивную Q мощности и cos потребителя.
О т в е т: S  200 В  А , P  120 Вт , Q  160 вар , cos   0,6 .
125
p(t )
i
320 B  A
r
400 B  A
u
C
t
0
Рис. 8.17
Рис. 8.18
Задача 8.11. По показаниям ваттметров (рис. 8.19) определить


режимы работы источников энергии, если e1  52 2 sin t  70о В ,

 В , r  100 Ом , x  150 Ом , x  120 Ом .
о
e2  104 2 sin t  120
С
L
О т в е т: PW 1  46, 21 Вт – генераторный режим работы источника E1 ,
PW 2  76, 41 Вт – генераторный режим работы источника E2 .
r2
*
E1
*
W1
xC
xL
r
*
W2
xL
*
E2
Рис. 8.19
E1
xC
r1
E2
Рис. 8.20
Задача 8.12. Для цепи (рис. 8.20) установить режимы работы источников по активной мощности и составить уравнение баланса мощностей.
126
о
о
Дано: E1  240e j 25 В , E 2  180e j15 В , r1  40 Ом , r2  60 Ом ,
xL  50 Ом , xС  20 Ом .
О т в е т: PE1  302,6 Вт – режим приемника; PE 2  1320 Вт – генераторный режим, S  1017  j 276,7 В  А .
Задача 8.13. Вычислить показания ваттметра, включенного по
схеме (рис. 8.21), если U  164 В , r1  120 Ом , r2  160 Ом ,
xL  60 Ом , xС  150 Ом .
О т в е т: PW  36,1 Вт .
Задача 8.14. Вычислить показания ваттметра, включенного по
схеме (рис. 8.22), если
xM  24 Ом , xС  18 Ом .
r  32 Ом ,
U  80 В ,
xL1  xL2  42 Ом ,
О т в е т: PW  128 Вт .
xL 2
xC
U
*
* W
r1
xC
xL
*
* W
Рис. 8.21
x L1
r
U
r2
xM
Рис. 8.22
Задача 8.15. Определить показание ваттметра и коэффициент
мощности цепи (рис. 8.23). Дано: U  210 В , r1  10 Ом , r2  15 Ом
xL1  40 Ом , xL 2  30 Ом , xС1  25 Ом .
О т в е т: PW  722, 4 Вт , cos   0,75 .
Задача 8.16. Определить емкость конденсатора, которую необходимо включить параллельно цепи (рис. 8.24), чтобы повысить коэф127
фициент мощности до
r  21 Ом , xL  36 Ом .
cos I  0,93 .
u  127 2 sin t  ,
Дано:
О т в е т: C  50 мкФ .
*
xL
r
xL1
*
W
U
xC
r1
r2
xC1
xL 2
U
Рис. 8.23
Рис. 8.24
Задача 8.17. Для цепи (рис. 8.25) определить нагрузочное сопротивление Z н при условии выделения в нем максимальной мощности.
Определить
величину
этой
мощности.
Дано:
о
E1  34e j110 В ,
о
E 2  26e j 30 В , r1  10 Ом , r2  15 Ом , xL1  8 Ом , xL 2  12 Ом .
О т в е т: Z н  6  j 4,8 Ом , Pн max  8, 4 Вт .
r1
r2
I
jxL 2
jxL1
A1
Zн
E1
U
A2
E2
Рис. 8.25
Рис. 8.26
Задача 8.18. В цепи, образованной двумя активными двухполюсниками, положительные направления тока и напряжения в соединяющей их двухпроводной линии определены в соответствии с рис. 8.26.
Определить направление передачи энергии через линию и величину
128
передаваемой полной и активной мощности, если U  125  j300 В ,
I  1,2  j1,6 А .
О т в е т: передача энергии от A1 к A2 ; S  650 В  А , P  630 Вт .
9. ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ПРОГРАММНОЙ СРЕДЫ MathCAD
ДЛЯ РАСЧЕТА ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ
ОДНОФАЗНОГО СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
С целью автоматизации и ускорения процесса расчета рассмотрим
основные возможности и приемы работы в математической программной среде MathCAD при анализе линейных электрических цепей однофазного синусоидального тока.
Задача 9.1
Мгновенные значения напряжения и тока на выходе цепи равны:




u  90sin 628 t  25о В , i  30sin 628 t  115о В . Построить кривые
изменения напряжения и тока. Определить значения величин на момент времени t  0 .
Решение
Пример вычислительного блока, реализованного в среде MathCAD.
129
Пр и м еча н и е. Чтобы аргумент тригонометрической функции был представлен в градусах (град), необходимо после записи значения аргумента в
MathCAD добавить deg.
Задача 9.2
Мгновенные значения напряжения источника и тока изменяются по
закону u  t   6 2 sin314 t В , i  t   1,8 2 sin 314 t  45о А . Построить


график изменения полной мгновенной мощности цепи.
Решение
Пример вычислительного блока, реализованного в среде MathCAD.
130
Задача 9.3
Комплекс действующего значения тока равен I 1  12  j16 А .
Определить модуль, аргумент комплексного тока и комплексносопряженное ему число.
Решение
Пример вычислительного блока, реализованного в среде MathCAD.
131
Пр и м еча н и е . Чтобы перевести радианы (рад) в электрические градусы
(град), необходимо задаваемую функцию аргумента (arg) в MathCAD разделить на deg.
Задача 9.4
Комплекс действующего значения напряжения задан в показательо
ной форме U 1  420e j120 В . Записать комплекс действующего значения напряжения в алгебраической форме. Выделить действительную и мнимую части комплексного числа.
Решение
Пример вычислительного блока, реализованного в среде MathCAD.
Задача 9.5
В результате расчета электрической цепи были получены комплексы действующих токов для узла (рис. 9.1) I 1  2,4  j1,8 А ,
I 2  0,8  j1,6 А , I 3  0,4  j 0,7 А . Определить комплекс действующего значение тока I 4 , модуль и начальную фазу.
I1
I2
I1
I3
I4
I3
I2
Рис. 9.1
Рис. 9.2
132
Решение
Пример вычислительного блока, реализованного в среде MathCAD.
Задача 9.6
Для узла цепи (рис. 9.2) определить комплекс действующего тока I 3 ,
о
о
модуль и начальную фазу, если I 1  21,4e j 56,3 А , I 2  16,8e j 25,8 А .
Решение
Пример вычислительного блока, реализованного в среде MathCAD:
133
Задача 9.7
Определить эквивалентное комплексное сопротивление цепи
(рис. 9.3), если r1  120 Ом , r2  160 Ом , r3  110 Ом , L1  0,45 Гн ,
L2  0,25 Гн , C3  50 мкФ ,   200 с1 .
r1
L1
Z1
r2
r3
L2
C3
Z2
Рис. 9.3
Z3
Рис. 9.4
Решение
Пример вычислительного блока, реализованного в среде MathCAD.
134
Задача 9.8
Определить показания приборов электромагнитной и электродинамической
системы
(рис. 9.5),
если
u  100sin 314 t  50о В ,

r1  26 Ом , r2  32 Ом ,
xC 3  24 Ом .
*
*
r3  12 Ом
xL 2  28 Ом ,
r1 xC1
W
I1
A1
A2
U

xC1  16 Ом ,
Z1
A3
r2
r3
xL 2
xC 3
Рис. 9.5
U
Z2
Z3
I2
I3
Рис. 9.6
Решение
Пример вычислительного блока, реализованного в среде MathCAD:
135
,
Задача 9.9
Определить показания ваттметров, установленных в цепи (рис. 9.7),
о
о
E1  94 e j150 В , E 2  126e j 60 В , r1  30 Ом ,
если
xL1  15 Ом , xL 2  25 Ом , xL3  60 Ом , xC 3  45 Ом .
r2  50 Ом ,
Решение
Пример вычислительного блока, реализованного в среде MathCAD.
136
E1
I1
*
r1
*
W1
UW1
*
* W
3
I3
1
UW 3
xC 3
E2
x L1
2
xL 2
UW 2
I2 *
x L3
W2
r2
*
Рис. 9.7
137
Задача 9.10
Определить показания амперметров, установленных в ветвях цепи
(рис. 9.8). Выполнить проверку по балансу мощностей.
Дано:
о
о
E 2  15e j 90 В ,
E1  25e j 90 В ,
r1  4 Ом ,
r2  6 Ом ,
xL1  5 Ом , xL 2  3 Ом , xC1  8 Ом .
I1
 jxC1
jxL1
A1
A3
A2
E1
I 11
I2
jxL 2
I3
A5
I5
A4
I 33
r1
I4
r2
Рис. 9.8
138
I 22
E2
Решение
1. Система уравнений, составленная относительно комплексов действующих значений контурных токов, имеет вид
 I 11  r1  jxL1   I 33r1  E1 ,

 I 22  r2  jxL 2   I 33r2   E 2 ,

 I 33  r1  r2  jxC1   I 11r1  I 22 r2  0.
2. Приведем систему к матричной форме записи:
 r1  jxL1 

0

 r1

0
 r2  jxL 2 
r2
  I 11   E1 
r1
   

r2
   I 22     E 2  .
 r1  r2  jxC1   I 33   0 
3. Действительные токи определятся как алгебраическая сумма
комплексов действующих значений контурных токов смежных контуров:
I 1  I 11 , I 2   I 11  I 33 , I 3  I 33 , I 4  I 22  I 33 , I 5   I 22 .
Расчет получим с помощью определителей по формулам Крамера.
Пример вычислительного блока, реализованного в среде MathCAD.
139
,
140
,
,
Задача 9.11
Определить показания вольтметров, установленных в цепи (рис. 9.9),
о
E1  40e j15 В ,
если параметры:
о
E 2  80e j150 В ,
о
E 3  60e j 60 В ,
о
I k  1,5e j 210 А , r1  34 Ом , r2  21 Ом , r3  16 Ом , r4  28 Ом ,
xL1  52 Ом , xL 2  36 Ом , xL3  18 Ом , xL 4  42 Ом , xC1  21 Ом ,
xC 3  12 Ом , xC 4  29 Ом .
 jxC1
jxL1
E1
V1
0
r1
jxL3
1
V2
jxL 4
r2
3
r3  jxC 3
2
r4
jxL 2
Ik
E3
 jxC 4 V3
E2
 0
3
Рис. 9.9
141
Решение
1. Расчет выполним по методу узловых потенциалов.
Введем обозначения комплексных сопротивлений ветвей:
Z 1  jxL1  jxC1 , Z 2  r2  jxL 2 , Z 3  r3  jxL3  jxC 3 ,
Z 4  r4  jxC 4 , Z 5  r1 , Z 6  jxL 4 .
Комплексный потенциал узловой точки 3 примем равным нулю
( 3  0 ).
Система уравнений для расчета действующих значений комплексных потенциалов 0 , 1 и 2 будет иметь следующий вид:
  1
E
E
1
1 
1
1


 2
 1  3  Ik,
0 
  1
Z5
Z1 Z 5 Z1
  Z1 Z 2 Z 5 

E
1
1 
1
1
  1


 2
 1,
1 
  0
Z5
Z3
Z5
  Z3 Z5 Z6 
 
  1  1  1    1   1  E 2  E 3 .
0 Z
1Z
 2  Z 1 Z 3 Z 4 
Z 4 Z1
1
3
2. Приведем систему к матричной форме записи:
 1

1
1 
1
1







Z5
Z1
 Z 1 Z 2 Z 5 
  

  0
 1
1
1
1 
1

   







  1
Z5
Z3
 Z3 Z5 Z6 

  

 1
1
1
1
1   2 







Z
Z
Z
Z
Z 4 
1
3
1
3


142
 E1 E 3


 Ik 

 Z 5 Z1



E1

.




Z5


 E

E
2

 3 
 Z 4 Z 1 
3. Показания вольтметров определим через разность потенциалов
узловых точек:
UV 1  0  1 , UV 2  1  3 , U V 3  2  3 .
Пример вычислительного блока, реализованного в среде MathCAD.
143
144
Контрольное задание № 1
Способы представления синусоидальных электрических величин
Таблица 1
Вариант 1
Дано
Вариант 2

1
u  60 2 sin t  60
2
I m  3  j3
о

о
Опред.
Дано

о
U,U
1
i  2 2 sin t  30
i, I
2
U  24  j10
о
Опред.

I , Im
u, U
3
U m  120 2 30
u, U
3
I  3 60
i, I m
4
I  j2 2
i, I m
4
U  220 2
u, U m
5
I  (2  j 2)5 90o
i
5
U m  (12  j9)(3  j 4)
u
6
Z  3  j4
Z, Y
6
Z  8  j6
Z, Y
15
7
Z, Z
U,U
8
U
Вариант 3
Вариант 4
Дано

Z, Z
I  6  j8 Z  32  j 24
I, I
U   j 250
24
32
7
Z  40  j30
I
8
20
о
1
i  2 sin t  45
2
U  15  j15

о
Опред.
Дано

о
I, I
1
u  100 2 sin t  20
u, U m
2
I  3  j3 3

Опред.
U,U
i, I
о
3
I m  4 2 30
i, I
3
U  100 45
4
U   j150 2
u, U m
4
I m  3 2
5
U m  (6 + j8)(12 + j9)
u
5
I m  (3 3  j3) 4 60
i
6
Z  16  j12
Z, Y
6
Z  4  j8
Z, Y
Z, Z
7
7
25
I  12  j9
8
35
U   j 750
Z, Z
8
145
i, I
o
6
I
Z
u, U
12
4
Z, Z
Z  24  j32
U  j 200
I, I
Продолжение табл.1
Вариант 5
Дано

Вариант 6
о
1
u  60 2 sin t  45
2

Опред.
Дано

о
Опред.

U,U
1
i  5 2 sin t  30
I m  5  j5
i, I
2
U  25 3  j 25
u, U
3
U  250 90o
u, U
3
I  2 2 130o
i, I m
4
I 5 2
i, I m
4
U m  200 2
u, U m
5
U m  (16  j12)(12  j16)
u
5
I m  (2 3  j 2)5 50o
i
6
Z  30  j 40
Z, Y
6
Z  24  j32
Z, Y
Z, Z
7
30
7
30
80
I  5  j5
Z  20  j 20
8
U
Вариант 7
Дано

1
i  3 2 sin t  45о
2
U  10  j 24
3
I m   2 120
4
U  100
5
6
10
Z, Z
Z
Z, Z
U  240  j180
Вариант 8
Опред.

Дано


Опред.
I, I
1
u  25 2 sin t  120о
u, U
2
I  2  j 2 3
i, I
3
U m  60 2 180
u, U
u, U m
4
I  j12
i, I
I  (  3 3  j3) 4 35
i
5
U m  (5  j12)(4  j3)
u
Z  15  j 20
Z, Y
6
Z  60  j80
Z, Y
Z, Z
7
o
o
10
7
I
8
15
I   j3
U,U
8
10
I , Im
15
10
Z  16  j12
U  48  j 64
i, I
o
6
32
U , Um
18
Z, Z
I  12  j16 Z  40  j30
I, I
8
U,U
U
146
Продолжение табл.1
Вариант 9
Вариант 10
Дано

о
1
u  30 2 sin t  150
2

Опред.
Дано

о
Опред.

U,U
1
i  2 sin t  30
I  2  j 2 3
i, I
2
U m  100  j100
u, U
3
U  150 30o
u, U
3
I  10 2 25o
i, I m
4
I m   j3 2
i, I m
4
U  60
u, U m
5
U m  (10  j10)(  6  j 6)
u
5
I  (  2  j 2)2 45o
i
6
Z  4  j3
Z, Y
6
Z  6  j8
Z, Y
Z, Z
7
7
40
I  4  j3
8
30
Z, Z
U   j300
I, I
U   j 750
Вариант 12
Дано

Z, Z
Z  30  j 40
8
Вариант 11
4
8
I
Z
I , Im
о
1
i  10 2 sin t  130
2

Опред.
Дано
Опред.

о
 U,U
I, I
1
u  60 2 sin t  90
U  40  j30
u, U
2
I  6 3  j6
i, I
3
I  6 2 30o
i, I
3
U m  40 2 60o
u, U
4
U m  j130 2
u, U m
4
I  10 2
i, I
5
I  (6 3  j 6)2 30o
i
5
U m  (32 + j 24)(3 + j 4)
u
6
Z  12  j16
Z, Y
6
Z  8  j6
Z, Y
Z, Z
7
7
32
12
I  12  j16 Z  32  j 24
I  j5
U,U
8
24
8
U
147
16
12
Z, Z
Z
U  50  j120
Z, Z
Продолжение табл.1
Вариант 13
Дано

Вариант 14
о
1
u  15 2 sin t  20
2

Опред.
Дано

о
Опред.

U,U
1
i  2 2 sin t  150
I  6  j 6 3
i, I
2
U m  50  j50
u, U
3
U  30 90o
u, U
3
I m  12 2 90o
i, I m
4
I m  j15 2
i, I m
4
U  j120
u, U m
5
U m  (20  j15)(3  j 4)
u
5
I  (6  j 6)3 120o
i
6
Z  40  j30
Z, Y
6
Z  32  j 24
Z, Y
Z, Z
7
4
7
Z  60  j80
I
8
4
6
U  240  j180
60

о
1
i  2sin t  45
2
U  12  j5
3
I  5 2 90
4
U m  24 2
5
6
7
Z, Z
I, I
8
U,U
U
Вариант 16
Опред.
Дано
Опред.

о
 U,U
I, I
1
u  120 2 sin t  60
u, U
2
I  2 3  j2
i, I
3
U  200 180
u, U
u, U m
4
Im  j 2
i, I
I  (4 + j 4)2 90
i
5
U m  (12  j12)(5  j5)
u
Z  20  j15
Z, Y
6
Z  80  j 60
Z, Y
Z, Z
7
o
o
5
10
20
I  12  j16
8

20
I  3  j3 Z  50  j50
Вариант 15
Дано
60
I , Im
U  j800
10
I
Z
Z, Z
8
148
i, I
o
30
30
Z, Z
Z  36  j 48
U   j300
I, I
Продолжение табл.1
Вариант 17
Дано
Вариант 18

о

1
u  25 2 sin t  15
2
I m  4  j4
3
U m  30 2 90
4
I  25
5
U m  (12  j12)(5  j5)
6
Z  3  j4
o
8
7
6
Опред.
Дано
1
i  6 2 sin t  150
i, I
2
U  30  j30
u, U
3
I  15 2 90
i, I m
4
U m  300 2
u
5
I m  (5 3  j5)2 90
i
Z, Y
6
Z  8  j6
Z, Y
Z, Z
7
U,U
8
Вариант 19
i, I m
u, U m
o
12
16
Z, Z
Z
Z, Z
U  48  j 64
Вариант 20
Дано
о
1
i  3 2 sin t  15
2
U m  150  j150
3
I m  2 2 240
4
U   j30 2
5
6

Опред.
Дано

о

Опред.
I, I
1
u  35 2 sin t  60
u, U
2
I  1 j 3
i, I
3
U  300 2 45
u, U
u, U m
4
I m   j5 2
i, I
I m  (5  j5 3)3 60o
i
5
U m  (15 + j15)(2 + j 2)
u
Z  16  j12
Z, Y
6
Z  4  j8
Z, Y
Z, Z
7
o
60
7
I
8
I , Im
u, U
o
I  j4
U


Опред.
U,U
I  4  j3 Z  36  j 48
8

о
30
Z  24  j10
U  50  j120
i, I
o
20
U,U
30
15
Z, Z
I  12  j9 Z  30  j 40
I, I
8
149
U
U,U
Продолжение табл.1
Вариант 21
Дано
Вариант 22

о
1
u  40 2 sin t  45
2

Опред.
Дано

о
Опред.

U,U
1
i  3 2 sin t  30
I  4 3  j 4
i, I
2
U  20  j15
u, U
3
U m  200 2 120o
u, U
3
I m  12 2 90o
i, I m
4
I  j16 2
i, I m
4
U  j 45
u, U m
5
U m  (6 + j8)(4 + j3)
u
5
I m  (5  j5 3)3 60o
i
6
Z  30  j 40
Z, Y
6
Z  24  j32
Z, Y
Z, Z
7
7
12
24
I  4  j3
8
20
10
Z, Z
U  j 200
8
Z, Z
Z  32  j 24
I, I
U  j800
Вариант 23
Вариант 24
Дано

20
40
I
Z
I , Im
о
1
i  2 2 sin t  20
2

Опред.
Дано

о

Опред.
I, I
1
u  24 2 sin t  180
U  40  j30
u, U
2
I m  3  j3
i, I
3
I  2 2 150o
i, I m
3
U  45 2 135o
u, U m
4
U m  45 2
u, U m
4
I  15 2
i, I
5
I  (  2  j 2)6 60o
i
5
U m  (  3  j 4)(16 + j12)
u
6
Z  15  j 20
Z, Y
6
Z  60  j80
Z, Y
Z, Z
7
7
6
12
10
I  4  j3 Z  24  j32
I  3  j4
U,U
8
10
8
U
150
30
30
U , Um
Z, Z
Z
U   j 250
Z, Z
Окончание табл. 1
Вариант 25
Вариант 26
Дано

о
1
u  36 2 sin t  15
2

Опред.
Дано

о

Опред.
U,U
1
i  4 2 sin t  120
I  5 3  j5
i, I
2
U m  200  j 200
u, U
3
U m  25 2 30o
u, U
3
I  12 2 180o
i, I m
4
I  j 25
i, I m
4
U   j30 2
u, U m
5
U m  (  6  j8)(  4  j3)
u
5
I m  (1+ j 3)5 30o
i
6
Z  4  j3
Z, Y
6
Z  6  j8
Z, Y
Z, Z
7
24
7
Z  24  j32
I
8
32
U,U
U
Дано
о
1
i  2 2 sin t  30
2
U  24  j32
3
I  15 60
4
U  220 2
5
6
7
8
Z, Z
8
Вариант 27

15
I  3  j 4 Z  40  j30
I, I
U  96  j 72
20
I , Im
Вариант 28

Опред.
Дано
Опред.

о
 U,U
I, I
1
u  50 2 sin t  90
u, U
2
I  4  j 4 3
i, I
i, I
3
U  100 25
u, U
u, U m
4
I m  12 2
i, I
I m  (3  j3 3)5120o
i
5
U m  (3  j 4)(8  j 6)
u
Z  32  j 24
Z, Y
6
Z  15  j 20
Z, Y
Z, Z
7
o
50
30
I  6  j8
Z
U  j 400
o
40
I
Z, Z
8
151
40
10
m
Z, Z
Z  32  j 24
U  j 400
I, I
Контрольное задание № 2
Расчет линейной цепи однофазного синусоидального тока
Для вариантов схем (см. табл. 2) определить недостающие токи I
и напряжение питающего источника U , а также активную P , реактивную Q и полную S мощности цепи. Построить в масштабе векторную диаграмму токов и напряжений.
Таблица 2
Вариант 2
Вариант 1
I1
I 3  1А
20Ом
I1
20Ом
I 2  1А
I2
U
10Ом
U
20 Ом
20Ом
Вариант 3
I1  1А 20Ом
I3
I1
U
20Ом
Вариант 5
10Ом
I1  1А 10Ом
I3
20Ом
20Ом
10Ом
Вариант 6
I 2  1А
U
I 3  1А
10Ом
I2
10Ом
I1
10Ом
Вариант 4
I2
U
I3
I3
I2
U
10Ом
152
20Ом
10Ом
Продолжение табл.2
Вариант 7
I1
Вариант 8
I 3  1А
10Ом
I1
10Ом
I 2  1А
I2
U
20Ом
U
10Ом
20Ом
Вариант 9
I1  1А 5Ом
I3
I1
U
10Ом
10Ом
Вариант 11
10Ом
I1  1А 10Ом
I3
10Ом
U
20Ом
10Ом
I1
20Ом
10Ом
I3
I 2  1А
I2
U
20Ом
Вариант 14
I 3  1А
20Ом
I3
I2
Вариант 13
I1
20Ом
Вариант 12
I 2  1А
U
I 3  1А
20Ом
I2
5Ом
I1
20Ом
Вариант 10
I2
U
I3
U
10Ом
153
20Ом
20Ом
Продолжение табл.2
Вариант 15
I1  1А 10Ом
Вариант 16
I1
I3
I2
U
I2
20Ом
U
10 Ом
10Ом
Вариант 17
I1
10Ом
I1  1А
I3
20Ом
U
10 Ом
10Ом
I1
10Ом
10Ом
U
20Ом
20Ом
Вариант 21
I1  1А 20Ом
I1
I3
10Ом
10Ом
Вариант 22
I2
U
I3
I 2  1А
I2
U
20Ом
Вариант 20
I 3  1А
10Ом
I3
20Ом
I2
Вариант 19
I1
20Ом
Вариант 18
I 2  1А
U
I 3  1А
10Ом
20Ом
I 3  1А
I2
U
20Ом
154
20Ом
10 Ом
Окончание табл. 2
Вариант 23
I1
Вариант 24
I1  1А 10Ом
I3
10Ом
I 2  1А
U
10Ом
I2
U
5Ом
20Ом
Вариант 25
I1
I1
5Ом
20Ом
U
10Ом
20Ом
Вариант 27
I1  1А 10Ом
I3
10Ом
10Ом
Вариант 28
I1
20Ом
I 3  1А
I2
I2
U
I3
I 2  1А
I2
U
10Ом
Вариант 26
I 3  1А
20Ом
I3
U
20Ом
155
10Ом
10Ом
Контрольное задание № 3
Расчет индуктивно связанных электрических цепей
Электрическая цепь с индуктивно связанными элементами питается от источника синусоидального напряжения U  120 B . Параметры
цепи приведены на рисунках соответствующих вариантов схем контрольного задания (см. табл. 3).
Требуется определить показания приборов электродинамической
системы, если частота питающего источника   1000 c1 .
Таблица 3
Вариант 1
Вариант 2
V
M = 0,005Гн
0, 09 Гн
V
M =0,004Гн
0,02 Гн
0,03Гн
U
U
20мкФ
A
A
Вариант 3
M = 0,008Гн
0,01Гн
Вариант 4
M = 0,004 Гн
V
V
0, 064 Гн
0, 027 Гн
U
U
0,016 Гн
500мкФ
A
A
0, 032 Гн
156
Продолжение табл.3
Вариант 6
Вариант 5
0,016Гн
M = 0,025Гн
V
0,35Гн
U
U
0,21Гн
100мкФ
A
A
0, 035 Гн
M = 0,004 Гн
V
Вариант 7
M = 0,02 Гн
Вариант 8
V
V
0, 26 Гн
0, 036 Гн
M = 0,01Гн
U
0,025Гн
A
500мкФ
U
A
0, 22 Гн
Вариант 9
M =0,02Гн
Вариант 10
V
V
0,07 Гн
0,085Гн
U
0,06Гн
M =0,015Гн
0,045Гн
U
100мкФ
25мкФ
A
A
157
Продолжение табл.3
Вариант 12
Вариант 11
M =0,0015Гн
V
0,007Гн
V
M =0,03Гн
0,004Гн
0,08Гн
U
U
500мкФ
A
A
Вариант 13
0,26Гн
Вариант 14
V
V
0,071Гн
0,093Гн
M =0,012Гн
M =0,016Гн
U
U
0,032Гн
40мкФ
A
A
0,048Гн
Вариант 15
Вариант 16
0,2Гн
M =0,003Гн
V
0,028Гн
U
U
0,012Гн
250мкФ
A
158
A
0,172Гн
M =0,02Гн
V
Продолжение табл.3
Вариант 18
Вариант 17
M =0,012Гн
V
V
0,046Гн
0,115Гн
M =0,03Гн
U
0,06Гн
A
100мкФ
U
A
0,036Гн
Вариант 19
Вариант 20
M =0,012Гн
V
V
0,032Гн
0,028Гн
U
M =0,006Гн
0,013Гн
U
0,048Гн
250мкФ
200мкФ
A
A
Вариант 21
M =0,003Гн
0,016Гн
Вариант 22
V
M =0,015Гн
0,012Гн
V
0,095Гн
U
U
250мкФ
A
A
159
0,035Гн
Окончание табл. 3
Вариант 24
Вариант 23
V
V
0,011Гн
0,14Гн
M =0,002Гн
U
M =0,02Гн
U
0,04Гн
100мкФ
A
A
0,004Гн
Вариант 25
V
Вариант 26
0,125Гн
M =0,004Гн
0,021Гн
U
U
0,013Гн
500мкФ
A
A
0,03Гн
M =0,025Гн
V
Вариант 27
M =0,01Гн
Вариант 28
V
V
0,08Гн
0,027Гн
M =0,004Гн
U
0,016Гн
A
500мкФ
U
A
0,04Гн
160
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Зевеке Г.В. Основы теории цепей / Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. – 5-е изд., перераб. – М.: Энергоатомиздат, 1989. – 528 с.
2. Теоретические основы электротехники: учебник для вузов. В 3 т. /
К.С. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин, В.Л. Чечурин. Том 1. – 4-е изд. –
СПб.: Питер, 2003. – 424 с.
3. Теоретические основы электротехники / под ред. проф. П.А. Ионкина.
Т. 1. Основы теории линейных цепей.– М.: Высшая школа, 1979. – 544 с.
4. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические
цепи / Л.А. Бессонов. – М.: Высшая школа, 1984. – 559 с.
5. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические
цепи: учебник.–10-е изд. / Л.А. Бессонов. – М.: Гардарики, 1999. – 638 с.
6. Атабеков Г.И. Теоретические основы электротехники: учебник для вузов. В 3-х ч. Ч.1. Линейные электрические цепи/ Г.И. Атабеков.– 5-е изд.,
исправл. – М.: Энергия, 1978. – 592 с.
7. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи /
П.Н. Матханов. – М.: Высшая школа, 1990. – 400 с.
8. Малинин Л.И. Основы теории цепей в упражнениях и задачах : учеб.
пособие / Л.И. Малинин, В.Т. Мандрусова, В.Ю. Нейман; под ред. В.Ю. Неймана. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2007. – 296 с. (серия «Учебники НГТУ»).
9. Малинин Л.И. Теория цепей современной электротехники: учеб. пособие / Л.И. Малинин, В.Ю. Нейман. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2013. –
348 с. – (серия «Учебники НГТУ»).
10. Нейман В.Ю. Теоретические основы электротехники в примерах и задачах. Ч. 1. Линейные электрические цепи постоянного тока: учеб. пособие /
В.Ю. Нейман.– Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2008. – 116 с.
11. Нейман В.Ю. Электротехника и электроника. Интернет-тестирование
базовых знаний Ч. 3. Теория и методы анализа линейных цепей синусоидального тока: учеб. пособие / В.Ю. Нейман. – Новосибирск: Изд-во НГТУ,
2014. – 130 с.
12. Дьяконов В.П. Энциклопедия Mathcad 2001i и Mathcad 11/ В.П. Дьяконов. – М.: СОЛОН - Пресс, 2004. – 832 с.
161
ПРИЛОЖЕНИЕ
Применение многофункциональных калькуляторов при вычислении
комплексных чисел
Преобразование показательной (полярной) формы в алгебраическую
1. Z  200 e j105 Ом
2. Z  56 125о Ом
Ввод:
Ввод:
о
Индикатор:
0
Индикатор:
0
200
200
56
56
105
105
125
-125
-51.763809
-32.12028044
193.18516
-45.87251448
Результат:
Z  51,8  j193, 2 Ом
Результат:
Z  32,1  j 45,9 Ом
Преобразование алгебраической формы в показательную (полярную)
4. Z  125  j300 Ом
3. Z  64  j 48 Ом
Ввод:
Индикатор:
Ввод:
0
Индикатор:
0
64
64
125
125
48
48
300
-300
80
325
36.86989765
-67.38013505
о
Результат: Z  80 e j 36,9 Ом
Результат: Z  325 67, 4о Ом
162
Продолжение приложения
Вычисления с комплексными числами
5. Z   24  j16  12  j36 Ом
6. Z   3  j 415  j11 Ом
Ввод:
Ввод:
Индикатор:
0
Индикатор:
0
24
24
3
-3
16
16
4
4
0
0
12
12
15
15
36
-36
11
11
36
-89
-20
27
Результат: Z  36  j 20 Ом
Результат: Z  89  j 27 Ом
126  j94
A
8  j2
8. U  4 65о   32  j 21 B
7. I 
Ввод:
Индикатор:
Ввод:
0
Индикатор:
0
126
126
4
4
94
-94
65
65
8
0
1.690473047
8
0
163
Продолжение приложения
2
2
32
32
12.05882353
21
-21
–14.7647058
80.50746275
Результат:
I  12,1  j14,8 A
9. I 
Результат: Z  130, 2  j80,5 B
220 120о
А
50 30о
Ввод:
130.2249916
10. I  15 175о
Индикатор:
Ввод:
0
245  j125
А
23  j51
Индикатор:
0
220
220
15
15
120
120
175
-175
-110
-14.94292047
0
0
50
50
245
245
30
-30
125
-125
43.30127019
0
–3.81051177
23
23
4.4
51
51
150
Результат:
I  4, 4 150о A
-2.88689947
73.686938814
Результат: I  2,9  j 73,7 A
164
Окончание приложения
11. U  2 45о  30 35о +
+110 80о B
Ввод:
Индикатор:
12. U 
Ввод:
0
12  j 6 14  j15
26  j9
 j10 B
Индикатор:
0
2
2
12
12
45
45
6
6
1.414213562
0
0
14
14
30
30
15
15
35
35
0
24.57456133
26
26
0
9
9
110
110
80
80
0
10
10
19.10129954
5.817701453
29.5201902
–1.85997358
170
Результат: U  5,8  j1,9 B
80
Результат: U  170 80о B
165
Нейман Владимир Юрьевич
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ
Часть 2
ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
ОДНОФАЗНОГО СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Учебное пособие
2-е издание, переработанное и дополненное
Редактор Л.Н. Ветчакова
Выпускающий редактор И.П. Брованова
Дизайн обложки А.В. Ладыжская
Компьютерная верстка С.И. Ткачева
Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции
Издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП)
Подписано в печать 23.03.2015. Формат 60  84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 100 экз.
Уч.-изд. л. 9,76. Печ. л. 10,5. Изд. № 345/14. Заказ №
. Цена договорная
Отпечатано в типографии
Новосибирского государственного технического университета
630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20
166