MATRICA (1)

Индивидуальное задание по линейной алгебре
(номер задания соответствует номеру варианта, например, для варианта №3 нужно решить
задачи 1.3, 2.3, 3.3, и т.д., а для варианта №12 – задачи 1.12, 2.12, 3.12, и т.д.)
Задача 1.
Решить матричное уравнение относительно неизвестной матрицы Х , если А, В,
С, D, E - заданные матрицы:
1 0 3 
 1 4
 1 0 0






 2 1  2
 2 1
 В   4 1 1  С    1 1 , D  
 Е   0 1 0 
А  
3 0 1 
  3 3
  1 2  2
 2 2
 0 0 1






1.1. А·В+2·СТ =3·Х
1.2. (В·Е)2 +С·А = 4·ХТ
1.3. D2 – 3·A·C = 2·XT
1
1.5. (B·C)T + 2·A = ·X
2
2
T
T
1.7. 2·B + A ·C = E·X
1.4. 4·(D·A)T + C = 4·X
1
1.6. C·A – 2·BT = ·X
3
T
1.8. B·A – 3·C = 5·X
1.9. (A·B)T – 3·C = X
1.10. (B–E)T = C·A + 2·X
1.11. A·B + 2·X = CT
1.12. 4·D2 + X = (A·C)T
1.13. (E·B)2 - 4·XT = 2·C·A
1.14. 3·C - 5·X = B·AT
1.15. –XT = 2·A·C - D2
1.16. (E - B)T + 4·C·A = –XT
1.17. X·E + 4·A·B = CT
1.18. 3·C – 5·X = B·AT
1.19. B·AT – 2·X = E·C
1.20. AT·CT – 3·B2 = X·E
Задача 2.
Доказать, что данная система линейных уравнений имеет единственное
решение. Найти решение двумя способами: 1) по формулам Крамера; 2) с помощью
обратной матрицы. Сделать проверку.
2.1.
 3х1  2 х 2  х3  5

 2 х1  3х 2  х3  1
2 х  х  3х  11
2
3
 1
2.3.
 4х1  3х 2  2 х3  9

 2 х1  5х 2  3х3  4
5х  6х  2 х  18
2
3
 1
 х1  5х 2  х3  0

2.5. 3х1  4 х 2  2 х3  8
2 х  х  3х  4
2
3
 1
 х1  2 х 2  3х3  6

2.2. 2 х1  3х 2  4 х3  20
 3х  2 х  5 х  6
2
3
 1
 х1  х 2  2 х3  1

2.4.
2 х1  х 2  2 х3  4
4 х  х  4 х  2
2
3
 1
 х1  х 2  х3  1

2.6. 8 х1  3х 2  6 х3  2
 4 х  х  3х  3
2
3
 1
 4 х1  х 2  4 х3  2

2.7.
2 х1  2 х 2  4 х3  2
 2 х  х  2 х  4
2
3
 1
 4 х1  х 2  3х3  3

2.9. 2 х1  2 х 2  2 х3  2
 8 х  3х  6 х  2
2
3
 1
 х1  2 х 2  2 х3  3

2.11.
 х1  х 2  2 х3  4
 х  4х  4 х  3
2
3
 1
 х1  4 х 2  2 х3  3

2.8.  3х1  х 2  х3  5
3х  5х  6 х  9
2
3
 1
 3х1  4 х2  2 х3  1

2.13.  2 х1  5 х2  4 х3  11
5 х  9 х  6 х  20
2
3
 1
3х1  2 х 2  х3  4

2.14.   х1  х 2  3х3  11
2 х  х  2 х  7
2
3
 1
2.15.
 3х1  х2  2 х3  1

 5 х1  3х2  2 х3  3
 2 х  4 х  4 х  2
1
2
3

3х1  2 х2  4 х3  11

2.17.  х1  х 2  5 х3  2
 4 х  3х  9 х  1
2
3
 1
2.19.
 х1  3х 2  2 х3  0

 4 х1  2 х 2  3х3  1
 5х  х  х  3
2
3
 1
4х1  2 х 2  х3  0

2.10.  х1  2 х 2  х3  1

х 2  х3  3

 х1  2 х 2  3х3  7

2.12.  3х1  2 х 2  х3  1
2 х  3х  х  0
2
3
 1
2.16.
 2 х1  х 2  х3  2

 5х1  х 2  3х3  4
7 х  2 х  4 х  1
2
3
 1
 8 х1  х 2  3х3  2

2.18. 4 х1  2 х 2  3х3  7
 4х  х  6х  1
2
3
 1
 3х1  2 х 2  х3  5

2.20. 
2 х 2  4 х3  2
 х
 2 х3  2
 1
Задача 3.
Методом исключения (методом Гаусса) исследовать совместность системы
линейных уравнений и найти все ее решения.
 4 х1  2 x 2  x 3  x 4  1
  х  3x  2 x  x  3
 1
2
3
4
3.1. 
 3х1  5x 2  x 3  2 x 4  4
 5х1  x 2  3x 3  2
x 2  x3  x 4  5

  х  2x
 3 x 4  2
 1
2
3.3. 
 х1  3 x 2  2 x3  4 x 4  3
 х1  x 2  2 x3  2 x 4  7
1
 х1  2 x 2  x 3
  x  2 x  x  2

2
3
4
3.2.

 х1  x 2  x 3  x 4  1
 х1  3x 2  3x 3  x 4  3
 2 х1  3x 2  x 3  x 4  4
 х
 2 x3  2 x 4  1
 1
3.4. 
 х1  3x 2  x 3  x 4  5
 х1  x 2  x 3  x 4  1
x 2  4 x3  5 x 4  6

 х  x  x  2 x  1
 1
2
3
4
3.5. 
 3 x3  7 x 4  5
 х1
 х1  2 x 2  5 x3  3 x 4  7
 х1  2 x 2  2 x 3  x 4  1

 x 2  3x 3  4

3.6. 
 х1  x 2  5x 3  x 4  5
 х1  3x 2  x 3  x 4  3
 3х1  x 2  x 3  x 4  0
 5х
 3x 4  2

1
3.7. 
 2 х1  x 2  x 3  4 x 4  2
 х1  2 x 2  2 x 3  5x 4  2
 x 3  2 x 4  2
 х1
 4х  x  x
0
 1
2
3
3.9. 
 2 x 4  2
 5х1  x 2
3х1  x 2  2 x 3  2 x 4  2
 х1  x 2  x 4  0

2 x 2  3x 3  1

3.8.

 х1  3x 2  3x 3  x 4  1
 х1  x 2  3x 3  x 4  1
 x3  x 4  0
 5х1

x 2  2 x 3  3x 4  2

3.10. 
 5х1  x 2  3x 3  2 x 4  2
5х1  x 2  x 3  4 x 4  2
 x4  1
 х1  2 x 2

3x 2  x 3 + 2 х 4  0

3.11.

 х1  5x 2  x 3  3x 4  1
 х1  x 2  x 3  x 4  1
 x 3  x 4  2
 2 х1

3x 2  x 3  x 4  1

3.13. 
 1
 2 х1  3x 2
2 х1  3x 2  2 x 3  2 x 4  3
3.15.
 2 x 2  x3  x 4  1

 2x
 3x 3  x 4  0
 1

1
 2 x1  2 x 2  4 x3
2 x1  2 x 2  2 x3  2 x 4  1
1
 5x1  x 2
 3x  x  x  2 x  3

1
2
3
4
3.17. 
 x3  2 x 4  4
 8 x1
2 x1  2 x 2  x 3  2 x 4  2
3.19.
4 x1  3 x 2  x3  2 x 4  4
  x  2x  x
1

1
2
3

 3 x1  5 x 2  2 x 4  5
5 x1  2 x 2  x3  2 x 4  3
 4 х1  x 2  x 3  x 4  5
 3х  x  2 x  x  1
 1
2
3
4
3.12.

7
х

x

6
1
3

 х1  2 x 2  3x 3  2 x 4  4
 2 х1  x 2  x 3  x 4  0

 x 2  4 x 3  5x 4  3

3.14. 
 2 х1  3x 3  4 x 4  3

2 x 2  5 x 3  6 x 4  3
4
 6 x1  2 x 2  x 3

x 2  2 x3  x 4  0

3.16. 
 x3  x 4  4
 6 x1
6 x1  4 x 2  3x 3  x 4  4
 2 x1  x 2  x 3  x 4  0

2 x 2  3 x 3  x 4  1

3.18. 
2 x1  x 2  4 x 3  2 x 4  1
 2 x1  3x 2  2 x 3
1
2 x1  x 2  x 3  x 4  2
 x  2 x  x  x  1
 1
2
3
4
3.20. 
3
x

3
x

2
x
 3
2
3
 1
 x1  x 2
 2 x 4  1
Задача 4.
Задана однородная система линейных уравнений. Требуется:
а) доказать, что система имеет нетривиальное решение;
б) найти базис пространства решений (фундаментальную систему
решений);
в) записать общее решение и какое-либо частное решение.
 x1  x 2  x 3  x 4  0
 x  2x
 x4  0
 1
2
4.1. 
3x 2  x 3  2 x 4  0

 x1  5x 2  x 3  3x 4  0
4.3.
4.5.
4.7.
4.9.
 x3  x 4  0
 2 x1
2 x  3x  2 x  2 x  0
 1
2
3
4

3
x

x

x

2
3
4 0

 2 x1  3x 2
0
 x4  0
 x1  2 x 2
 3x
 2 x3  x 4  0

1

0
 4 x1  2 x 2  2 x 3
2 x1  2 x 2  2 x 3  2 x 4  0
0
 5x1  x 2
 3x  x  x  2 x  0
 1
2
3
4

 x3  2 x 4  0
 8 x1
2 x1  2 x 2  x 3  2 x 4  0
4 x1  3x 2  x 3  2 x 4  0
  x  2x  x
0

1
2
3

 2x4  0
 3x1  5x 2
 5x1  x 2  x 3  2 x 4  0
 x3  x 4  0
 5x1

x 2  2 x 3  3x 4  0

4.11. 
5x1  x 2  3x 3  2 x 4  0
 5x1  x 2  x 3  4 x 4  0
 3x1  x 2  3x 3  x 4  0
 x x
 x4  0
 1
2
4.13. 
 3x 3
0
 2 x1
 x1  x 2  3x 3  x 4  0
2 x1  x 2  2 x 3  x 4  0
x
 3x 3
0
 1
4.15. 
 x1  x 2  5x 3  x 4  0
 3x1  x 2  x 3  x 4  0
2 x1  3x 2  x 3  x 4  0
 x
 2 x3  2 x 4  0
 1
4.17. 
 x1  3x 2  x 3  x 4  0
 x1  x 2  x 3  x 4  0
 x1  2 x 2  3x 3  2 x 4  0
 4x  x  x  x  0
 1
2
3
4
4.2. 
3
x

x

2
x

x
2
3
4 0
 1
 7 x1
 x3
0
 2 x1  x 2  x 3  x 4  0
  x  4 x  5x  0

2
3
4
4.4.

2
x

3
х

4
x
3
4 0
 1
 2 x1
 5x 3  6 x 4  0
 6 x1  2 x 2  x 3  0

2 x 2  2 x3  x 4  0

4.6. 
 6 x1  x 3  x 4  0
6 x1  4 x 2  3x 3  x 4  0
  x1  x 2  2 x 3  x 4  0
  3x  2 x
 x4  0

1
2
4.8

 4 x1  x 2  2 x 3  2 x 4  0
 2 x1  3x 2  2 x 3
0
 3x1  3x 2  2 x 3  0
2 x  x  x  x  0
 1
2
3
4
4.10. 
 x1  2 x 2  x 3  x 4  0
 x1  x 2
 2x4  0
 x3  2 x 4  0
 x1
 4x  x  x
0
 1
2
3
4.12. 
 2x4  0
5x1  x 2
 x1  x 2  2 x 3  2 x 4  0
 3x1  x 2  x 3  x 4  0
 5x
 3x 4  0
 1
4.14. 
 2 x1  x 2  x 3  4 x 4  0
 x1  2 x 2  2 x 3  5x 4  0
 x 3  5x 4  0
 4 x1
 x  x  x  2x  0
 1
2
3
4
4.16. 
+ 7x 4  0
 3x1  x 2
5x1  x 2  2 x 3  3x 4  0
0
 2 x1  x 2  x 3
x
 2 x3  x 4  0

1
4.18. 
 x1  x 2  x 3  x 4  0
3x1  x 2  3x 3  x 4  0
3x1  x 2  3x 3  x 4  0
 x x x x 0
 1
2
3
4
4.19. 
 2 x3  x 4  0
  x1
 2 x1  x 2  x 3
0
 4 x1  2 x 2  x 3  x 4  0
  x  3x  2 x  x  0
 1
2
3
4
4.20. 
 3x1  5x 2  x 3  2 x 4  0
 5x1  x 2  3x 3
0