Лекции по строительной механике ХАИ

Строительная механика
1
Введение. Строительная механика – наука
о крупногабаритных несущих конструкциях.
Объектом рассмотрения строительной механики являются структурированные
специальные несущие конструкции. Предметом строительной механики является прочностное проектирование структур специальных несущих конструкций. Рассмотрим содержание этих специфических терминов.
1. Особенности деталей машин и механизмов:
Подавляющую часть технических объектов представляют собой механизмы и
машины, элементы которых проектируются в соответствии с функциональным назначением всего механизма. Примерами таких объектов являются часы, насосы, двигатели
внутреннего сгорания, авиационные газотурбинные двигатели, автомобили, технологическое оборудование, турбины и многое другое.
Первичными, наименьшими элементами машин и механизмов являются детали.
Деталью будем считать геометрически неизменяемое тело, изготовленное, как правило,
из одной заготовки (отливки, поковки и т. п.). В отличие от абстрактного абсолютно
жесткого тела геометрически неизменяемое тело может деформироваться под действием напряжений, вызванных приложенными к нему нагрузками, или тепловым воздействием. Эти деформации, как правило, значительно меньше габаритных размеров тела и
исчезают после прекращения внешних воздействий.
Детали машин и механизмов имеют малые или умеренные габариты и изготовляются, как правило, монолитными. Эти детали, конечно, должны удовлетворять определенным требованиям прочности, но их форма, размеры, способы соединения между собой
и взаимное расположение в конструкции определяются не требованиями прочности, а
требованиями функциональной необходимости, то есть необходимости реализации определенного принципа действия механизма или машины. В большинстве случаев эти принципы действия связаны с необходимостью передачи движения, чаще всего вращательного.
Соединения деталей машин и механизмов, в большинстве подвижные; наличие неподвижных (разъемных) соединений вызвано требованиями технического обслуживания
(смазка, очистка, осмотр) и ремонта (замена изношенных деталей).
Проблемы прочности технических объектов такого типа рассматриваются в дисциплинах общеинженерной подготовки «Сопротивление материалов» и «Детали машин». Существует отдельная специальность инженерной подготовки «Динамика и прочность машин», направленная на исследования и обеспечение прочности машин и механизмов.
Напряженное состояние деталей машин часто не поддается оптимизации (управлению). Методы механики только фиксируют и контролируют параметры напряженного состояния деталей машин (исключением, подтверждающим правило, является проблема предварительной затяжки болтовых соединений). Если монолитная деталь машины или механизма не обладает достаточной прочностью, приходится либо применять
другой конструкционный материал (или упрочнять исходный), либо увеличивать габариты детали (например, толщину колеса зубчатого зацепления).
Итак, особенности деталей машин и механизмов
 малые габариты;
 монолитность;
 подвижные соединения деталей;
 функциональное проектирование: форма и размеры деталей определяются их функциональным назначением; требования прочности являются вторичными.
Строительная механика
2
2. Крупногабаритные несущие конструкции
Специальные несущие конструкции. Строительные сооружения
Типичными представителями технических объектов другого рода являются строительные металлоконструкции - железнодорожные мосты, опоры высоковольтных линий электропередач, подъемные краны различных типов, несущие конструкции навесов и т. п. Характерными особенностями таких конструкций являются
большие габариты (десятки метров) и отсутствие необходимости передачи движения.
Такие технические объекты либо геометрически неизменяемы целиком (мосты, опоры
линий электропередач) и, следовательно, могут рассматриваться как одна деталь очень
больших размеров, либо состоят из нескольких геометрически неизменяемых элементов
(деталей) больших размеров, соединенных подвижными соединениями (подъемные краны;
например, стрела портального крана, применяемого в речных и морских портах, имеет
вылет (длину) до 100 метров при грузоподъемности до 300 тонн и соединяется с порталом так, что может поворачиваться относительно вертикальной оси как одно целое).
Монолитное исполнение деталей таких конструкций, как правило, невозможно или нецелесообразно, поэтому возникает проблема их структуризации. Другими словами, эти
крупногабаритные геометрически неизменяемые «детали» изготавливаются
из множества гораздо меньших элементов, связанных между собой неподвижными соединениями. Такие элементы будем называть силовыми элементами конструкции. В отличие от деталей механизмов и машин силовые элементы
конструкции не участвуют в передаче движений, связанных с функционированием технического объекта. Рационализация структур такого типа достигается тем, что
конструктивно обеспечивается реализация наиболее рационального напряженного состояния деталей, обеспечивающего наименьший вес при достаточной прочности. Наиболее рациональным является однородное напряженное состояние,
то есть такое напряженное состояние, при котором все точки деформируемого тела находятся в одинаковом состоянии - растяжение или сжатие стержней, кручение тонкостенных
цилиндров, сферические сосуды под действием внутреннего давления и т.п. Специальная несущая конструкция должна быть спроектирована таким образом, чтобы при действии реальных
внешних нагрузок в ее элементах реализовалось бы однородное напряженное состояние.
В случае строительных металлоконструкций наиболее рациональным является
растяжение-сжатие стержней, что и реализуется в ферменных структурах.
Для исследования и проектирования рационализированных несущих
структур в области гражданского строительства в 19 веке возникла специальная прикладная наука «Строительная механика» (иногда ее также называют
«Статика сооружений», причем термин «сооружение» введен для обозначения специальных несущих конструкций в строительстве). Знаменитая парижская Эйфелева башня
(стальная башня; высота 300 м; сторона квадрата основания 123 м; вес около 9 тыс. т) была
построена для всемирной выставки 1889 года как демонстрация достижений французских ученых-механиков в этой области в 19 веке (то есть в области разработки рациональных несущих
структур в строительстве). (Эйфель Александр Гюстав 1832 – 1923 – французский инженер).
Специальные несущие конструкции. Корабли и самолеты
Аналогичные специальные несущие структуры применяются в авиации
и в кораблестроении. Причина их применения та же, что и в строительстве: невозможность и нецелесообразность монолитного исполнения для крупногабаритных изде-
Строительная механика
3
лий, не связанных с передачей или преобразованием движения. В авиационных конструкциях требования рационализации усугубляются жесткими лимитами весов (ограничениями по массе). В отличие от строительных сооружений конструкции кораблей и
самолетов должны обладать свойством так называемой «непротекаемости»
их наружных поверхностей. Это делает необходимым применение обшивки. Поэтому вместо ферм, характерных и оптимальных для строительных конструкций, в авиации
и кораблестроении специальные несущие структуры, как правило, представляют собой
подкрепленные тонкостенные оболочки, то есть каркассированные оболочки. Структура
каркаса, толщина обшивки - определяются, в основном, требованиями прочности. В
этом случае оптимальным является плоское напряженное состояние оболочки и растяжение-сжатие подкрепляющих элементов. Для конструктивного обеспечения такого состояния необходимо достаточное количество достаточно жестких диафрагм.
Для специальных несущих конструкций неприемлем подход проектирования механизмов, когда конструкция вначале проектируется в соответствии с требованиями
функциональной пригодности, а потом рассчитывается на прочность. Номенклатура,
размеры и взаимное расположение деталей специальных несущих конструкций определяются требованиями прочности. Поэтому специальные несущие конструкции проектируются, в основном, по соображениям прочности, с использованием системы терминов,
понятий и методов прочностного расчета при соблюдении некоторых габаритных и
технологических ограничений.
Следует отметить, что учебная дисциплина «Строительная механика» существует только в строительных, авиационных и кораблестроительных вузах, что отражает особенность соответствующих специальных несущих конструкций. Не существует, например, строительной механики автомобилей, металлорежущих станков или
авиационных двигателей.
Появление композиционных материалов позволило распространить принципы разработки рациональных структур специальных несущих конструкций на малогабаритные
детали, которые ранее не поддавались структурированию по технологическим соображениям. Так, для участков обшивки, подверженных существенной поперечной нагрузке,
стали применять трехслойные конструкции, состоящие из несущих слоев, находящихся в
плоском напряженном состоянии, и заполнителя, работающего на сдвиг (и то и другое
состояния - однородные). Волокнистые композиты позволяют проектировать оптимальное напряженное состояние детали при известных нагрузках.
Особенности крупногабаритных конструкций:
а) большие габариты;
б) неподвижные соединения элементов и неизменность геометрии;
в) структурированность; регулярность;
г) прочностное проектирование (соображения прочности и веса первичны);
д) наличие обшивки (для ЛА и кораблей).
Несущая нагрузка – нагрузка, которую может выдержать образец без
разрушения.
3. Аналогия между ТММ и СМ
Формирование рациональной структуры механизмов изучается в курсе «ТММ». Прочность типовых деталей машин и механизмов – в дисциплине «ДМ», а специфические вопросы
прочности изделий данного типа – в специальных дисциплинах конструкторского цикла.
Строительная механика
4
Дисциплина строительная механика для конструкторов самолетов и
вертолетов играет роль, аналогичную ТММ – она рассматривает проблемы
построения рациональной структуры несущей конструкции летательного аппарата (каркас и обшивка).
Совокупность соединений элементов механизма обеспечивает их взаимное
перемещение, реализующих выполнение требуемой функции. Например, кривошипно-шатунный механизм обеспечивает преобразование вращательного движения в поступательное и наоборот. Совокупность соединений элементов несущей конструкции
обеспечивает неподвижность элементов друг относительно друга.
Пластинки и оболочки – характерны для тонкостенных конструкций ЛА.
Специфические вопросы прочности летательных аппаратов, - в частности, вопросы определения нормативных внешних воздействий, - рассматриваются в дисциплине
«Расчет на прочность».
4. Объект, цель и задачи СМ:
объект – крупногабаритные несущие конструкции, структура которых
определяется требованиями прочности и веса и обеспечивает рациональное
НДС силовых элементов;
цель – обеспечение наименьшего веса крупногабаритных несущих
конструкций;
задачи СМ:
а) обеспечение неизменяемости сложных структур несущих конструкций;
б) определение параметров НДС крупногабаритных несущих конструкций (КГНК);
в) выработка рекомендаций по созданию рациональных структур КГНК
5. К вопросу о проектировочном расчете
Конструктор при проектировании несущих конструкций выбирает
определенную конструктивно-силовую схему, а ее параметры вычисляются
методами строительной механики и прочности.
Например, передача изгибающего момента от крыла фюзеляж может быть осуществлена или через центроплан (высокоплан, низкоплан), или же через силовой шпангоут (среднеплан), или с помощью внутренней подкосной балки или с помощью внешнего
подкоса. Выбор одного из этих вариантов – за конструктором. А параметры схемы в целом и несущих элементов – определяют на основе (по соображениям) прочностного расчета с последующей проверкой прочности конструкции в целом.
Может быть просчитано несколько вариантов КСС с тем, чтобы выбрать ту, которая обладает наименьшим весом при достаточной прочности
(вариантное проектирование несущих конструкций по соображениям и методам прочности).
Строительная механика
5
Раздел 1. Стержневые системы
1.1. Состав комбинированных стержневых систем
В строительной механике принято использовать слово «система» вместо слова
«конструкция». Это связано с тем, что крупногабаритные несущие конструкции являются упорядоченной совокупностью различных конструктивных элементов (узлы, диски,
стержни, шарниры).
Основные понятия и принципы строительной механики создавались при рассмотрении стержневых систем. В строительной механике принято использовать слово «система» вместо слова «конструкция», что связано с тем, что крупногабаритные несущие
конструкции являются упорядоченной совокупностью различных конструктивных элементов (узлы, диски, стержни, шарниры). Стержневые системы являются основой конструктивно-силовой схемы строительных сооружений.
Вспомним некоторую терминологию из сопр. м-лов. Опоры (внешние связи):
=
=
=
Новое понятие
Диск – геометрически неизменяемое плоское или пространственное тело.
P
сочетание также диск
Стержневые системы – это несущие конструкции, силовыми элементами которых являются брусья: балки и стержни.
Брус – силовой элемент, деталь, один из трех габаритных размеров которого намного (в 5 и более раз) превышает два других габаритных размера.
В основе расчетной схемы бруса лежит гипотеза плоских сечений. В сечениях бруса возможны следующие напряженно-деформированные состояния:
 растяжение (сжатие) (N);
 поперечный изгиб (M, Q);
 продольный изгиб (М, N);
 кручение (Мкр).
Балка – брус под воздействием поперечного изгиба.
Частный случай диска – стержень. Он присоединяется к конструкции
двумя шарнирами, его ось совпадает с линией соединения шарниров, внешняя нагрузка между шарнирами отсутствует и из шести ВСФ возникает только Nx = const.
Строительная механика
6
Узел – точка, в которой соединяются два и более стержней.
Шарнир – точка, в которой соединяются два и более дисков.
P
- ферма
Стержневые системы предполагают
наличие связей, соединяющих их элементы
в единое целое. Таким образом, стержневая
система – совокупность элементов и совокупность связей, наложенных на систему.
Связи бывают опорные (или внешние) и
внутренние. Опорные связи соединяют конструкцию с так называемой «опорой», т.е. гипотетическим абсолютно жестким и абсолютно неподвижным диском (обычно части этого
диска примыкающие к опорным связям изображаются штриховкой).
Частный случай стержневой системы – ферма.
Ферма – совокупность стержней и узлов.
Расчетная схема фермы:
1. Реальные соединения элементов ферменной конструкции заменяются идеальными шарнирами:
 в плоской ферме – цилиндрическими шарнирами;
 в пространственной – сферическими шарнирами
2. Реальная нагрузка заменяется статически эквивалентной, приложенной в узлах.
Следствием этих упрощений является однородное одноосное (рациональное) напряженное состояние стержня.
Ферменные конструкции нашли очень широкое применение в инженерной практике
(мосты, мачты электропередачи, подъемные краны и т. д.) благодаря очень существенному преимуществу: ферменные конструкции обладают наименьшим (по срав-
нению с другими силовыми схемами) весом при достаточной прочности.
Это, обеспечивается, полным использованием материала стержней - нет недогруженных зон.
В авиации применяют ферменные лонжероны (статически определимые) также и потому, что при нагреве в них не возникают температурные
напряжения.
Пример № 1 (Преимущество стержневых систем, сравнение балки и фермы)
Дано: на расстоянии l = 2 м параллельно поверхности опорного диска действует сила Р = 26 кН. Балка и ферма (см. рис.) передают это усилие на опорный диск.
Необходимо: сравнить вес балки и фермы, если [] = 100 МПа.
Строительная механика
7
P
l
l
1
P
P

l

2
1. Балка
M max  P    52 кНм.
Потребный момент сопротивления по изгибу: W 
M max
 

52000

100  106
= 52010-6 м3 = 520 см3.
Из сортамента двутавр № 30а (W = 518 см3), F = 49,9 см2.
Вес Gбалки    F    200  49,9    9980 см 3   .
2. Ферма
P  Fy  0 ;
S1

S2
P  S 2 sin 60  0 ;
P
S2  
 30 кН ;
sin 60
 Fx  0 ;
S1  S 2 cos 60  0 :
S1   S 2 cos 60  15 кН .
Потребная площадь: F 
S2
 

30  103
 3  10  4 м 2  3 см 2 .
100  10
Из сортамента равнобоких уголков  № 5 F  2,96 см 2 .
Вес Gфермы   1  F   2  F      1   2   F   ;
1   ;  2 

200

 400 см ;
cos 60 0,5
6
Строительная механика
8
Gфермы  200  400  2,96    1776 см 3   .
Gбалки 9980

 5,6 .
Gфермы 1776
Сопоставим веса:
Итак, в состав стрежневых систем могут входить следующие элементы:
 диск;
 шарнир;
 опорные связи;
 узлы;
 стержень.
Они и составят систему – упорядоченную совокупность деталей крупногабаритных несущих конструкций.
Замечания:
1. Если точка пересечения стержней попадает на диск, то эта точка узлом
не считается.
2. Все элементы системы делятся на две группы:
 связи (связующие элементы): шарниры, опоры, стержни;
 связуемые элементы: узлы и диски (они несут внешнюю нагрузку).
Поэтому, возвращаясь к примеру, заметим
P
P
это не стержень,
а диск
1.2. Геометрическая неизменяемость и неподвижность несущих конструкций
Строительная механика
9
Рассматриваемые в строительной механике конструкции состоят из большого
числа деталей, каждая из которых относится к одному из пяти типов: опорные связи,
диски, шарниры, стержни и узлы.
Поскольку эти детали соединены определенным образом, они представляют собой
систему, т.е. упорядоченную совокупность перечисленных деталей.
Для того чтобы рассматриваемые системы могли выполнять роль несущих конструкций, они должны быть неподвижными или неизменяемыми в
зависимости от наличия или отсутствия опорных связей.
1.2.1. Системы на опорах – системы, связанные с опорами
Большинство строительных крупногабаритных несущих конструкций опираются
на неподвижные основания. Как правило, это бетонные подушки в грунте. Несущая конструкция крепится к неподвижному основанию с помощью опорных связей. Количество и
конфигурация опорных связей должны обеспечивать возможность восприятия любых
нагрузок на несущую конструкцию.
Системы, связанные с неподвижным основанием называются опорными системами.
Равновесие неподвижных опорных систем
Внешние нагрузки, действующие на опорные конструкции, могут быть
произвольными. Выполнение закона равновесия обеспечивается соответствующими опорными реакциями.
Закон равновесия: если вся система в равновесии, то каждая ее часть
также находится в равновесии.
Неподвижность
Система называется неподвижной, если абсолютные перемещения ее точек
или сечений вызваны только деформациями силовых элементов (дисков или
стержней) и равны нулю при абсолютной жесткости этих элементов (Е ).
P1
P
Неподвижные системы
P2
w
Кривошипно-ползунный
механизм (подвижная
система)
Геометрическая неподвижность – неподвижность абсолютно жесткой
системы, которая заменила бы реальную конструкцию.
Строительная механика
10
1.2.2. Безопорные (свободные) системы
Существуют несущие конструкции, которые для выполнения своих функций
должны перемещаться в пространстве (стрела подъемного крана, ЛА). Следовательно,
эти системы не могут быть прикреплены к основанию. Такие системы называются безопорными или свободными. Для того чтобы системы силовых элементов, не связанные с
опорами, могли воспринимать приложенную к ним внешнюю нагрузку, они должны быть
неизменяемыми.
Неизменяемость
Система силовых элементов называется неизменяемой, если изменение
взаимного положения ее точек или сечений обусловлено только деформациями силовых элементов (дисков и стержней) и отсутствует при абсолютно
жестком материале (Е ).
Равновесие свободных систем
Для того чтобы свободная система находилась в равновесии, внешние нагрузки, действующие на нее, должны быть самоуравновешены.
P
M
M
P
Изменяемые системы
Неизменяемые системы
Свободная конструкция может занимать в пространстве произвольное положение, не зависящее от системы сил, действующих на нее в данный момент.
Поэтому невозможно определить абсолютное перемещение точки или
поворот сечения в такой системе – соответствующая единичная сила не будет
ничем уравновешена.
Возможно определение взаимного перемещения точек (сближения или
расхождения) или взаимных поворотов сечений (изменение угла между двумя сечениями). Соответствующая этим взаимным перемещениям единичная
нагрузка – самоуравновешена.
Неподвижные опорные системы при освобождении опорных связей
могут становится как изменяемыми, так и неизменяемыми.
Строительная механика
11
P3
P3
P1
P2
P1
P2
X1
X2
Y1
Неподвижная система
Y2
Изменяемая система. Силы X1, X2, Y1,
Y2 обеспечивают равновесие
X1 Y1
X2
P
Неподвижная система
P
Неизменяемая система. Силы X1, X2,
Y1 обеспечивают равновесие
Если в число элементов системы мысленно включить опорный диск, то
любую систему силовых элементов можно рассматривать как свободную и
требовать ее неизменяемости.
1.2.3. Анализ подвижности или изменяемости систем
включает три вида:
1. Кинематический анализ
2. Структурный анализ
3. Статический.
Для опорных систем проводят анализ подвижности, для свободных –
изменяемости.
Система может служить несущей конструкцией только в том случае, если она
является неподвижной или неизменяемой. Существует три типа анализа систем.
1.3. Кинематический анализ
Цель: проверка факта недостатка количества связей.
Количество степеней свободы системы равно сумме степеней свободы
связуемых элементов.
Строительная механика
12
Количество связей, наложенных на систему равно сумме количества
связей, реализуемых связующими элементами.
R – число связей (R – react – противодействие);
F – число степеней свободы системы (F – free).
1. R  F - количество связей достаточно; система может быть неподвижна и
может быть несущей конструкцией;
2. R  F - система может быть неподвижной;
3. R  F - система подвижна.
Неподвижная
Подвижная
1.3.1. Кинематические характеристики связуемых элементов
1. Узел на плоскости имеет две степени свободы (точка – две координаты).
2. Узел в пространстве имеет три степени свободы (точка – три координаты).
3. Диск на плоскости имеет три степени свободы: два поступательных
движения любой точки, связанной с диском, и поворот относительно
этой точки.
4. Диск в пространстве имеет шесть степеней свободы: три поступательных движения выбранной точки и три компонента поворота относительно этой точки.
5. Плоская система (число степеней свободы определяется формулой)
F p  2  У р  3  Д р (p – plane)
Ур - количество узлов в плоской системе;
Др - количество дисков в плоской системе;
В и С – узлами не являются, т.к. лежат на дисках.
Fp  2  0  3  2  6
R  3.
B1
Д
Строительная механика
A
B
13
C
D
6. Число степеней свободы в пространственной системе:
Fs  3  У s  6  Д s (s - space)
2
У s - количество узлов в пространственной системе;
Д s - количество дисков в пространственной системе.
Д
1.3.2. Кинематические характеристики связующих элементов (связей)
1. Стержень накладывает на систему одну связь
x A  x B 2   y A  y B 2  
l
расстояние между точками зафиксировано: три координаты двух точек произвольны, а четвертая определяет через них:
A
xA, yA, xB  yB
B
2. Шарнир на плоскости
T
B
A
B
К диску А с помощью цилиндрического
шарнира подсоединим диск В.
При этом для диска А произвольны, например: xA = xT, yA = yT, A = T.
Для присоединенного диска В: xВ = xT, yВ =
yT - фиксированы и только В – произвольна. Следовательно:
Пара дисков, связанных шарниром, имеет 4 степени свободы, поэтому
шарнир отнимает у плоских дисков 2 степени свободы.
Шарнир может соединять несколько дисков. Рассмотрим объединение из трех дисков.
Диск А имеет 3 степени свободы.
Диск В имеет 1 степень свободы.
Диск С имеет 1 степень свободы.
C
A
B
T
A
C
B
Три диска, соединенные шарниром, имеют 5 степеней свободы, следовательно, шарнир отнимает у системы 4 степени свободы.
Шарниры бывают простыми и сложными:
Строительная механика
14
Цилиндрический неподвижный шарнир, соединяющий два диска на
плоскости, называется простым шарниром.
Иногда графически шарнир представляют так:
Сложный (кратный) шарнир образуется
при соединении в одной точке более двух дисA
ков и эквивалентен (n –1)-му простому шарниB
ру, где n – число соединяемых дисков.
Кратность K = n – 1.
анализе иногда удобно применять
 прием,При
T1
называемый сдвижкой шарниров.
A
T2
B C
3. Шарнир в пространстве
Это сферический шарнир. Он отнимает у системы 3 степени свободы.
(Пример: шаровая опора).
Начнем анализ с рассмотрения плоских систем.
1.3.3. Плоские системы на опорах
На основе изложенного для плоской системы можно установить
Rр – число связей в плоской системе
R p  C  2  Ш о  Cоп ,
где
C - количество стержней в системе;
Ш о - количество однократных шарниров;
Cоп - количество опорных связей.
Сопоставив число связей и число степеней свободы системы, можно установить
ее подвижность.
Степень подвижности:
П р  2  У р  3  Д р  С  2  Ш о  Соп .
Эту формулу называют 1-ой формулой П.Л. Чебышева (произносится Чебышёв,
Пафнутий Львович, 1821 – 1894, русский математик и механик).
На основании определенной степени подвижности возможны следующие выводы:
1) Если П р  0 , то система не имеет достаточного количества связей и не
может быть несущей конструкцией.
2) Если П р  0 , то система имеет достаточное количество связей и при их
рациональном размещении может быть несущей конструкцией.
Строительная механика
15
Пример:
A
C
E
B
D
G
F
Ур = 2 (F, G); Шо = 1 (С);
Др = 2 (ABC, CDE);
С = 5 (AG, BG, GF, FD, FE);
Соп = 3.
П р  2  2  3  2  5  2 1  3  0 .
Рассмотрим плоские фермы.
Ферма
Согласно определению «ферма»:
Др = Ш о = 0
1-я формула П.Л. Чебышева для фермы выглядит так
ПФ
р  2  У р  С  Соп
Например
1
2
3
4
5
Ур = 10; С = 17; Соп = 3,
ПФ
р  2  10  17  3  0 .
Неподвижность – внутреннее свойство системы. Поэтому при проведении анализа внешнюю нагрузку можно не учитывать.
Для упрощения анализа диски можно заменить стержнями.
Например:
C
B
A
E
D
Шо = 1; Др = 2; С = 0; Соп = 4.
C
A
D
Ур = 3 (A, C, D); Шо = 0; Др = 0; С = 2;
Соп = 4.
Строительная механика
П р  3 Д р  2  4  0.
16
Пр  23 2  4  0.
Перейдем к пространственным системам
1.3.4. Пространственные системы на опорах
1. Общий случай: все шарниры сферические; каждый диск имеет 6 степеней
свободы; каждый узел – 3 степени свободы; каждый стержень отнимает
1 степень свободы.
Число степеней свободы системы: Fs  6  Д s  3  У s .
Число связей: Rs  3  Ш сф  С  Соп .
Для определения подвижности этих систем служит 2 -я формула
П.Л. Чебышева:
П s  3  У s  6  Д s  С  3  Ш сф  Соп .
2. Частный случай – пространственная ферма. Для нее подвижность определяется так:
П sф  3  У s  С  Соп .
Пример:
- тетраэдр (пространственная ферма)
Уs = 4; C = 6; Cоп = 6,
П sф  3  4  6  6  0 .
1.3.5. Свободные системы
1. Плоские свободные системы (три минимально необходимых опорных связи отсутствуют)
Для этих систем необходимо контролировать условие достаточности связей
где
Условие достаточности связей:
F  R  3 или F  3  R ,
F – число степеней свободы системы;
R – число связей.
Причем F p  3  Д p  2  У p , R p  2  Ш о  С .
Строительная механика
17
Величина И p  F p  R p  3 называется степенью изменяемость (3 –
допускаемое число степеней свободы для плоской системы) и определяется
по 3-ей формуле П.Л. Чебышева:
И p  3  Д p  2 У p  2  Шо  C  3 .
2. Плоские свободные фермы
Поскольку для фермы Др = Шо = 0, степень изменяемости определяется
по формуле:
И фр  2  У p  C  3 .
Основным неизменяемым элементом плоских ферменных конструкций
является шарнирный трехзвенник (стержневой треугольник):
Ур = 3; С = 3,
И фр  2  3  3  3  0 .
Аналогичный элемент, состоящий из трех дисков, также неизменяем и
при анализе его можно заменить на шарнирный трехзвенник.
Др = 3, Шо = 3;
И p  33  23  3  0.
Ур = 3, С = 3;
И фр  2  3  3  3  0. .
3. Пространственные свободные системы
Разрешенное число степеней свободы для пространства равно 6. Степень изменяемости для таких систем определяется по 4-ой формуле
П.Л. Чебышева:
И s  6  Д s  3  У s  3  Ш сф  C  6 .
4. Пространственные свободные фермы
Строительная механика
18
Поскольку для фермы Дs = Шсф = 0, степень изменяемости определяется по формуле:
И sф  3  У s  C  6 .
Стержневой тетраэдр является базовой неизменяемой единицей для
пространственных ферм:
y
x
Уs = 4, C = 6;
И sф  3  4  6  6  0 .
z
1.4. Структурный анализ
Это проверка соответствия структуры системы структурным правилам.
Если система соответствует структурным правилам, то она неподвижна или
неизменяема. Если они нарушаются, то неподвижность и неизменяемость
не гарантируются.
1.4.1. Структурные правила
1. Шарнирный трехзвенник неизменяем, если его площадь отлична от нуля.
(не прямая).
2. Стержневой тетраэдр является неизменяемым диском, если его объем
отличен от нуля. (не плоскость).
3. Опорный диск является неподвижным и неизменяемым диском.
4. Если узел крепится к неподвижной или
неизменяемой плоской системе с помощью двух стержней (диады), не лежащих на одной прямой, то новая система
также неподвижна или неизменяема.
5. Если узел крепится к неподвижной или
неизменяемой пространственной системе с помощью трех стержней, не
лежащих в одной плоскости, то новая система также неподвижна или
неизменяема.
Строительная механика
19
6. Если диск крепится к неподвижной или неизменной плоской системе
с помощью шарнира и стержня, ось которого не проходит через шарнир, то новая система также неподвижна или неизменяема.
7. Если диск крепится к неподвижной или неизменной плоской системе
с помощью трех стержней, не пересекающихся в одной точке, то новая
система также неподвижна или неизменяема.
8. Если диск крепится к неподвижной или неизменной пространственной
системе с помощью шести стержней, оси которых не пересекаются одной линией, то новая система также неподвижна или неизменяема.
Эти правила лежат в основе методов проведения структурного анализа.
1.4.2. Методы проведения анализа:
 метод разрушения;
 метод построения;
 эвристический метод.
1.4.2.1. Метод разрушения
На первом этапе следует найти в системе элемент (узел или диск), который крепится к системе в соответствии со структурными правилами с минимальным количество потребных связей. Далее, на втором этапе, этот элемент удаляется из системы.
Затем возвращаются к первому этапу и т.д.
Если на каждом этапе не изменяется неподвижность или неизменяемость, то продолжается «разборка» системы.
4
2
- метод разрушения подходит: последовательно удаляем узлы
5
3
1
4
2

4

5
3
5
3
Строительная механика
20
4


5
5

- на опорах остался – шарнирный
трехзвенник – система неподвижна
Встречаются и другие случаи.
В
А
С
АВС – диск, который крепится к трем
стержням, но структурные правила не
выполняются; эта система мгновенно
изменяемая.
Мгновенно изменяемая система – имеет достаточное количество связей, но не удовлетворяются структурные правила. Мгновенно, потому что
при получении малых, но конечных, перемещений, система превращается
в неподвижную или неизменяемую.
Если после «разборки» имеем следующую систему, то параллельные
стержни считаются пересекающимися в бесконечности, поэтому система
не является неподвижной – система
подвижна.
Этот метод не всегда «срабатывает».
- метод разрушения не подходит
Строительная механика
21
Еще один пример
- метод разрушения не подходит
В данном случае следует принять другой метод.
1.4.2.2. Метод построения
Первый этап: необходимо найти безусловно неподвижный или неизменяемый элемент (в последнем примере это опорный диск).
Второй этап: необходимо отыскать элементы, которые крепятся к базовому (по первому этапу) с соблюдением структурных правил.
Третий этап: включаем обнаруженное на втором этапе в базовый элемент и снова выполняем второй этап с новым базовым элементом.
- система неподвижна и имеет одну
лишнюю связь
1.4.2.3. Эвристический метод
Основан на проведении эквивалентных замен, после проведения которых система может стать поддающейся методам построения или разрушения.
Эвристический метод структурного анализа предполагает выбор одной или нескольких эквивалентных замен, позволяющих применить к новой
эквивалентной системе структурные правила.
Эквивалентной называется такая замена элементов системы, которая не
влияет на ее изменяемость и неподвижность: система, бывшая неизменяемой
(изменяемой) до замены, остается неизменяемой (изменяемой) и после замены.
Эквивалентные замены
В процессе структурного анализа стержневых систем (но не при расчете сил и перемещений!) можно использовать следующие замены, в результате которых система может стать поддающейся методам построения или
разрушения:
Строительная механика
22
1. Любой неизменяемый фрагмент системы можно заменить диском.
Простейшими неизмененными фрагментами являются: на плоскости – шарнирный треугольник; в пространстве – шарнирный тетраэдр. Три плоских
диска, связанных тремя шарнирами, не лежащими на одной прямой, можно
заменить одним плоским диском.
2. Если плоский диск крепится к плоской системе двумя шарнирами, то
он может быть заменен стержнем, ось которого проходит через центры этих
шарниров. Таким диском может быть и опорный диск – в этом случае он
включается в число внутренних дисков и система рассматривается как свободная.
3. Соединение двух плоских дисков с помощью двух стержней можно заменить шарниром, центр которого лежит в точке пересечения стержней.
4. Фрагменты системы (узлы, диски), неподвижно присоединенные к
опорному диску, можно считать частью опорного диска.
5. Если опорные закрепления стационарной системы соответствуют
структурным правилам крепления диска без избыточных связей, то достаточно показать неизменяемость системы, удалив опорные связи.
6. Если связуемые элементы (узел или диск) имеет в качестве связей два
стержня, лежащих на одной прямой, то один из этих стержней может быть
удален без изменения подвижности или изменяемости системы.
7. Одинокий стержень неподвижно прикрепленный к опорному диску,
можно заменить одной опорной связью, направление которой совпадает с
направлением заменяемого стержня.
8. Если две точки плоской системы крепятся неподвижно к опорному
диску (каждая – двумя опорными стержнями каждая), то один из опорных
стержней можно изъять, введя вместо него стержень между упомянутыми
точками.
Нерассмотренным остался статический анализ. Для того, чтобы к нему
перейти необходимо разобраться со следующим вопросом
1.5. Статика стержневых систем
Занимается проблемой определения усилий реакций в связях системы.
Связи: опорные стержни, шарниры и внутренние стержни.
В соответствии с аксиомой о связях: состояние конструкции не изменится, если все связи или часть их заменить соответствующими реакциями.
1.5.1. Усилия в стержнях
Строительная механика
23
Находятся из условия равновесия узлов. Для узла на плоскости можно
составить два уравнения равновесия.
S1
S2
 Fx  0 ; S 2  0 .
 Fy  0 ; S1  P .
P
P
S – усилие; n(S) = С .
Общее число неизвестных реакций в стержнях (Si): nS   C  Cоп .
Рассмотрим подробнее равновесие произвольного узла:
S1
S3

1
b
S2 
P 2
3  P
1

Проведем три оси и запишем уравнения равновесия проекций.
Равновесие проекций на ось :
 F  S1  cos1 S 2  cos 2  S3  cos 3  P  cos p  0 .
Равновесие на другую ось b, не параллельную оси  ( 0 и  180):
 Fb  S1  cos b1 S 2  cos b 2  S3  cos b 3  P  cos b p  0 .
Эти два уравнения являются независимыми.
Равновесие проекций на третью ось :
 F  S1  cos  1 S 2  cos  2  S3  cos  3  P  cos  p  0 .
 b i   i  ,
 i   i    1.
Между угловыми координатами сил существует зависимость: 
При подстановке bi и i выясняется, что третье уравнение уже не будет
независимым. Оно будет зависеть от двух других. Третье уравнение – линейная комбинация первых двух.
Для каждого узла на плоскости можно составить только два уравнения
равновесия (независимые).
Строительная механика
24
Количество независимых уравнений равновесия для фермы на плоскости
равняется:
m p (У )  2  У ,
где
m – количество уравнений;
У – количество узлов (они рассматриваются в равновесии).
Количество независимых уравнений равновесия для фермы в пространстве
равняется:
ms (У )  3  У .
1.5.2. Реакции в шарнирах
Реакции в шарнирах определяются из условия равновесия дисков, соединяемых им.
Плоский одинарный свободный шарнир
Одинарный шарнир соединяет только два диска, а свободный
шарнир ненагружен внешней силой.
YB
A
B
XA
YA
A
XA
XB
YA
XB
YB
B
Если шарнир не нагружен: XA = XB, YA = YB.
В каждом одинарном свободном шарнире возникает две неи звестных реакции:
n p R   2  Ш о .
Кратный шарнир
Его необходимо разнести на несколько шарниров.
При этом в каждом шарнире возникает два неизвестных усилия.
Строительная механика
d
25
XB
YB
YC
XC
X'C
YA
Y'C
XA
Нагруженные шарниры
Таковыми считаются шарниры, в которых действует сосредоточенная
внешняя сила.
q
P
P
Нагруженный шарнир
Ненагруженный шарнир
Для рассмотрения нагруженных шарниров применяется искусственный
прием - «смещение силы».

P
P
P
P
вправо

влево
=0
P/2
P/2
P/2
P/2
симметрично
«пополам»
Строительная механика
26
Если конструкция неизменяема, то напряженное состояние не изменяется при смещении. Расчеты будут разными, но результаты получаться одинаковыми.
1.5.3. Число неизвестных усилий в плоской системе
Общее число неизвестных усилий в плоской системе равняется количеству связей в системе:
n p  C  Cоп  2  Ш о  R p ,
где
n p - количество неизвестных усилий;
R p - количество связей в системе.
1.5.4. Число неизвестных усилий в пространственной системе
Пространственный одинарный свободный шарнир: количество неизвестных усилий в шарнирах равно
ns R   3  Ш сф .
Общее число неизвестных усилий в пространственной системе равняется количеству связей в системе:
ns  C  Cоп  3  Ш сф  Rs ,
где
ns - количество неизвестных усилий;
Rs - количество связей в системе.
1.5.5. Уравнения равновесия диска
Для каждого диска можно составить три независимых уравнения равновесия.
b


 0 и  180
 F 0 ,
 Fb 0 ,
 M O 0 .
O
Возможно использование
трех уравнений для моментов.
(1)
(2)
(3)
Строительная механика
27
Уравнения (1), (2) и (3) являются независимыми.
Для плоской системы количество независимых уравнений равно:
mp Д   3  Д .
Для пространственного диска можно составить шесть независимых уравнений равновесия. Если , b,  не лежат в одной плоскости, то уравнения:
 F  0;  M   0;
 Fb  0;  M b  0;
 F  0;  M   0,
являются независимыми.
Суммарное количество уравнений m p равновесия для плоской системы
определяется числом уравнений для узлов и дисков:
m p  m p У   m p  Д 
или
m p  2  У  3  Д  Fp ,
которое соответствует F p - числу степеней свободы связуемых элементов.
Аналогично, суммарное количество уравнений ms равновесия для пространственной системы определяет уравнениями для узлов и дисков:
ms  ms У   ms  Д   3  У  6  Д  Fs .
Если число уравнений равно числу неизвестных усилий (n = m или
F = R), то система является статически определимой.
Если n > m или R > F в статике, то система называется статически
неопределимой.
1.6. Статический анализ
Цель: проверить систему на подвижность или изменяемость.
Процедура: проверка (изыскание) возможности существования хотя бы
одной системы внутренних сил, способной уравновешивать любые внешние
нагрузки.
Строительная механика
28
1.6.1. Матрица статики
Введем новое понятие «матрица статики».
Матрица статики образуется из полной системы независимых уравнений равновесия.
Особенности матрицы статики.
1) Число уравнений (строк) равно числу степеней свободы (для плоской
системы m = F = 2У + 3Д), причем все члены, содержащие внешнюю
нагрузку, переносятся в правую часть (например):
 F  S1  cos1 S 2  cos 2  S3  cos 3  P  cos p  0 ,
S1 cos1  S 2  cos 2  S 3  cos 3   P  cos p ,
S i cos i –элемент матрицы
cos  i – коэффициент элемента матрицы.
2) Число неизвестных (столбцов) равно числу реакций (связей) (для плоской системы n = R = C + Cоп +2Шо ), все усилия и все уравнения должны быть пронумерованы от 1… n и 1… m соответственно.
3) Получаем матрицу Amn, где i – тая строка соответствует i – тому уравнению, а j – тый столбец — j – той неизвестной.
4) Элементу матрицы соответствует коэффициент при j – той неизвестной
в i – том уравнении.
Варианты вида матрицы статики:
1. m = n Например:
Условие неподвижности и неизменяемости – отличие от нуля определителя матрицы статики.
Если определитель равен нулю, то система не может быть несущей
конструкцией.
2. n > m (R > F)
Amn (m  n) – матрица прямоугольная, количество столбцов больше количества строк.
Для того, чтобы система была неподвижной или неизменяемой достаточно, чтобы был отличен от нуля хотя бы один из определителей матрицы
Amn размерности m  m.
Например:
Строительная механика
29
X1 X2 X3 X4 X5
1
2
Матрица А 3  5.
Количество определителей 3  3 в такой
матрице равно:
n!
5!
45
Cnm 


 10
m!n  m ! 3!2! 1  2
3
1.6.2. Практика применения статического анализа
1. Для статически определимых систем статический анализ, как правило, не
производят.
Его применение рационально, если структурный анализ невозможен.
- структурный анализ невозможен
2. Для статически неопределимых систем проведение статического анализа
перед расчетом целесообразно.
1.6.2. Порядок проведения статического расчета
Предварительно проводят кинематический анализ.
Если обнаружится, что: подвижность П  0 и структурный анализ невозможен и (или) система статически неопределима, то проводят статический
анализ.
Рассмотрим дальнейшие действия на примере.
П = 2У – С – Соп = 24 – 6 – 3 = - 1




1. Сформируем матрицу статики:
Строительная механика
30
а) введем идентификаторы для каждого из узлов, т.е. обозначим все узлы;
б) пронумеруем стержни в порядке их появления в уравнениях равновесия;
в) используем правило о направлениях: усилия в стержнях направляются от
соответствующих узлов в стороны середины длины этих стержней;
г) рассмотрим узел А, составим уравнения статики, и далее рассматриваем
каждый узел.
A
1

2
3
5
4

8
D 9

7
B
6

C
Порядок рассмотрения узлов можно выбрать произвольно, но необходимо учесть этот порядок в нумерации стержней.
Узел А
S1
A

S2
S3
S4
 Fx  S1  S 2  S3 cos  0
 Fy  S3 sin   S 4  0
(1)
(2)
Замечания:
1) каждое уравнение должно быть пронумеровано;
2) после введения номеров стержней, их обязательно сразу же следует перенести на чертеж конструкции.
Узел В
S2
S5

B
 Fx  S 2  S5 cos  0
 Fy  S5 sin   S 6  0
S6
 Fx  S3 cos  S 7  0
 Fy  S3 sin   S 6  0
S6
(3)
(4)
Узел С
S3
S7
Узел D

C
(5)
(6)
Строительная механика
31
S4
S5

S8
D
S7
 Fx  S5 cos  S 7  S8  0
 Fy  S 4  S5 sin   S9  0
(7)
(8)
S9
2. Заполним матрицу статики (отличные от нуля элементы).
S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9
(1) 1 -1 -c 0 0 0 0 0 0
(2) 0 0 s 1 0 0 0 0 0
(3) 0 1 0 0 c 0 0 0 0
(4) 0 0 0 0 s 1 0 0 0
(5) 0 0 c 0 0 0 1 0 0
(6) 0 0 s 0 0 1 0 0 0
(7) 0 0 0 0 c 0 1 -1 0
(8) 0 0 0 1 s 0 0 0 -1
S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9
(1) 1 -1 -c
(2)
s 1
(3)
1
c
(4)
s 1
(5)
c
1
(6)
s
1
(7)
c
1 -1
(8)
1 s
-1

Нули не показываем
c=сos
s=sin
3. Выясним величины определителей матрицы статики
Вычеркивание j – того столбца соответствует освобо ждению от j – той связи.
Удалим первый столбец – получим матрицу А1(88).
S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9
(1) 1 -1 -c
(2)
s 1
(3)
1
c
(4)
s 1
(5)
c
1
(6)
s
1
(7)
c
1 -1
(8)
1 s
-1
Для анализа матрицы А1(88) используем теорему
разложения
n
D   aik  Aki , 1  k  n.
i 1
Под алгебраическим дополнением Aki элемента
aik понимают минор M ik домноженный на
 1i  k . Минором M ik элемента называют
определитель порядка n  1 , получающийся из
D (det) «вычеркиванием» i – й строки и k – го
столбца.
Для упрощения ищем элементы, строка или столбец которого состоят из нулей,
исключая выделенный элемент.
Строительная механика
32
S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9
(1) -1 -c
4
(2)
s 1
(3) 1
c
(4)
s 1
(5)
c
1
3
(6)
s
1
2
(7)
c
1 -1
(8)
1 s
-1 1
4
det A1 4  4  =
3
2
«Вычеркиваем» последовательно элементы: а88, а77, а56, а23.
В результате получим:
det A1 8  8   1   1  1  1  det A1 4  4  .
Теперь рассмотрим det A1 4  4  .
1
-1 -c
1
c
s 1
s
1
=1(-1) 
7
-1 -c
1
c
s
-1 -c
1
c
s
+1(-1) 
8
=
=(-1)[cs]+1[sc] =0.
Равенство det[А1(88)] = 0 свидетельствует о том, что основная система
без этой связи (S1) работать не может (становится подвижной).
Освободим связь S3, вычеркиваем столбец S3.
S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9
(1) 1 -1 -c
(2)
s 1
(3)
1
c
(4)
s 1
(5)
c
1
(6)
s
1
(7)
c
1 -1
(8)
1 s
-1

S1 S2 S4 S5 S6 S7 S8 S9
(1) 1 -1
(2)
1
(3)
1
c
(4)
s 1
(5)
1
(6)
1
(7)
c
1 -1
(8)
1 s
-1
1
3
2
6
5
1
2
3
6
5
4
4
«Вычеркиваем» последовательно элементы: а11, а23, а32, а88, а77, а56.
В результате получим:
det A3 8  8  1  det A3 2  2  .
Теперь рассмотрим det A3 2  2  .
det A3 2  2  =
s 1
1
= s  0,
но тогда и det A3 8  8  0 .
Поскольку этот определитель не равен нулю, то связ ь
S3 является изб ыточной.
Строительная механика
33
1.7. Методы упрощения уравнений статики
Основаны на упрощении следующих процессов:
 формирование матрицы статики;
 решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Существуют различные приемы для упрощения уравнений статики. Рассмотрим их.
1. Метод вырезания узлов
Универсальный метод для фермы: выбираются узлы и составляются
уравнения равновесия для каждого узла простейшей фермы (которая поддается структурному анализу методом разрушения). Это статически определимая ферма, которая имеет хотя бы один автономный узел, который крепится
только двумя стержнями на плоскости (тремя в пространстве). Такой узел
называется статически определимым или начальным. Обе реакции узла (на
плоскости) находятся из уравнений равновесия этого узла.
Пример:
S2
B
b
S1
h

b
x

C
A
P1
A
P2
P1
P2
Уравнения равновесия на оси x и h, перпендикулярные реакциям в узле
(направлениям стержней):
 Fx P1 sin b  P2 cos b  S1 cos 90  b    0 ;


 Fh P sin   P cos  S cos90  b     0 .

1
2
2
Решение уравнений равновесия и формирование уравнений статики,
являются параллельными процессами.
В узлы В и С прикладываются силы S2 и S1, силы Р1 и Р2 не учитываются; узел А отбрасывается; затем рассматривается узел В и т.д. Таким образом
можно найти усилия во всех стержнях.
Однако этот метод, как отмечалось, не всегда применим
Строительная механика
34
A
B
F
C
- статически определимая система, но
решить вручную ее невозможно; метод вырезания узлов не годится.
У = 6, С = 9; Со = 3.
E
D
2. Метод сечений1
Применяется для непростейших ферм, в которых имеются неизменяемы блоки; простейшим видом неизменяемого блока является стержневой
треугольник (шарнирный трехзвенник).
Сущность метода.
Проводится сечение, которое перерезает связи неизменяемого блока
с остальной системой (сечение сквозное и замкнутое).
Определение опорных реакций тоже производится методом сечений.
Получили диск (ACD) с тремя неизвестными реакциями и можно составить три уравнения равновесия, в каждое из которых входит только одно
неизвестное.
1
Другое название этого метода — Ме́тод Ри́ттера. Метод сечений или моментных точек разработанный в
1862 г. Августом Риттером, применяется главным образом для плоских ферм. Метод заключается в простом и точном способе определения усилий в стержнях с помощью специального сечения (разреза) фермы.
Разрез должен делить ферму на две несвязанные части, пересекать три стержня (не больше и не меньше), а
в каждой из частей должен быть хотя бы один стержень. Неизвестные (искомые) реакции разрезанных
стержней направляют в сторону сечения, что соответствует положительным усилиям в растянутых стержнях. Если же в конечном итоге усилие получится с отрицательным знаком, это будет означать, что стержень сжат. После мысленного «разрезания» фермы и обозначения усилий составляем уравнения равновесия выбранной части фермы (желательно, где меньше сил)
ΣМ относительно точки Риттера. =0.
Точка Риттера (или моментная точка) стержня сечения находится на пересечении линий действия усилий в
двух других стержнях. Точка может находиться на ферме, а может быть на продолжении стержней далеко
за пределами самой фермы. Если же такой точки нет (стержни параллельны), то следует вместо уравнения
моментов составить уравнение проекций на ось, перпендикулярную параллельным стержням. Метод не
универсальный, бывают случаи, когда сечения Риттера для какого-то стержня нет. Главное в методе —
независимый способ определения усилий. Нет накопления ошибок округления, что характерно для метода
вырезания узлов. Существуют и исключительные случаи, когда можно рассечь четыре и более стержней и
найти усилие в нужном стержне, составив всего одно уравнение моментов.
Строительная механика
35
A
SAF
SBC
C
SDE
D
T2
T1
Sоп (известна)
 M T  S AF ;
 M T  S BC ;
 Fx  S DE .
1
2
Данный неизменный блок крепится к системе только тремя стержнями.
Выделив его, составили 3 уравнения равновесия.
Решение системы происходит параллельно с ее формированием.
Однако блок может крепится и четырьмя стержнями.
- неизменный блок крепится четырьмя стержнями.
S1
T1
S2
 M T  S1  1  S 2   2  M 1 P   0 ;
1
S2
S1
T2
 M T  S1   3  S 2   4  M 2 P   0 .
2
Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными.
Перейдем к решетчатым фермам:
Строительная механика
36
сечение
Решаем методом сечений, рассмотрим правую часть от сечения.
S1
T2
 M T  S1 ;
  Fy  S 2 .
  M T  S3 ;

S2
1
2
S3
T1
Точки T1, T2 называют точками Риттера.
Метод сечений применяется всегда для определения опорных реакций.
3. Метод замены стержней (метод Геннеберга Henneberg L )
.
Этот метод применяется в том случае, когда два первых метода использовать невозможно.
Рассмотрим следующую систему
P1
P2
B
D
C
A
P3
G
F
У = 7;
С = 11;
С0 = 3.
E
Удалим стержень CF: реакция SCF = Sуд – усилие в удаленном стержне.
Попытаемся определить это усилие, рассмотрев два состояния системы: грузовое и единичное.
1- е состояние: S’уд = 0 (P)
2-e состояние: P = 0; S”уд = 1 ( S )
Строительная механика
37
- усилие, вызванное действием на конструкцию единичной нагрузки.
Тогда
S i  S iP  S i  S уд .
Но, мы не можем рассмотреть ни первое, ни второе состояние, поскольку система подвижна (количество связей недостаточно, а основная система должна быть неподвижна).
В соответствии с аксиомой о связях мы можем ввести дополнительную
связь, усилие в которой равно нулю, при этом состояние конструкции не изменится (но она будет неподвижной).
Установим (вставим) стержень DF – новый фиктивный стержень Sф.
В результате расчета первого состояния найдем S iP - усилия в стержS
нях новой фермы под действием заданной внешней нагрузки и S фP .
Перейдем ко второму состоянию:
B
С
D
A
1
1
G
F
E
 Опорные реакции равны нулю. Последовательно рассматриваем все узлы и находим неизвестные реакции Si .
 Si - усилие в i – том стержне новой системы от действия силы Sуд = 1.
 В фиктивном стержне действует S ф .
Введем для фиктивного стержня условие, обеспечивающее отсутствие усилия в нем.
Действующее усилие в фиктивном стержне:
S ф  S фP  S ф  S уд .
Потребуем (должно быть):
Sф  0 .
Отсюда:
SфP
S уд  
.
Sф
Тогда любое усилие в стержнях:
S i  S iP  S i  S уд ,
(используем ту же основную систему).
Таким образом, можно найти все усилия.
Строительная механика
38
Второй вариант
Необходимо рассчитать следующую ферму.
P
C
A
B
Она содержит: У  6 , С  9 , Соп  3 . Подвижность фермы составит:
П  2У  С  Соп  2  6  9  3  0 .
Метод вырезания узлов для решения задачи не подходит – нет узлов,
крепящихся к системе только двумя стержнями. Не применим и метод сечений Риттера – нельзя провести сечения через три стержня, непересекающихся в одной точке.
Привлечём метод замены стержней. Для упрощения расчётов модифицируем систему: удалим стержень СВ и введём стержень АВ.
C
A
B
Рассмотрим два состояния этой системы: грузовое и единичное.
P
C
C
A
A
B
Грузовое состояние
1
1
B
Единичное состояние
Строительная механика
39
Методом последовательного вырезания узлов, начиная с узла С, в гру(P)
зовом состоянии можно определить Ti
– усилия в стержнях модифициро-
ванной конструкции и усилия в единичном состоянии этой системы Ti от
двух сил, которые направлены по оси удаленного стержня.
Пусть X – неизвестное усилие в удаленном стержне СВ. Тогда исполь(P)
TAB
(P)
зуя условие S AB  0  TAB X  TAB , можно установить, что X  
.
TAB
Теперь для усилий в стержнях исходной конструкции имеем:
Si  Ti X  Ti( P ) .
Причём, если окажется, что TAB  0 , то система – мгновенноизменяемая.
Окончание второго варианта
В приведенном примере (примерах) метод замены стержней дает более
быстрое и точное решение, чем непосредственное составление системы
уравнений равновесия для всех узлов системы.
В сложных случаях приходится производить замены двух стержней и
даже более.
В случае замены (удаления) двух стержней приходится определять
усилия в двух заменяющих стержнях: TP , T1 , T2 и U P , U1 , U 2 , где TP и
U P – усилия в этих стержнях от внешней нагрузки; T1 и U1 U P – усилия в
указанных стержнях, которые вызваны действием двух единичных сил, заменяющих первый выброшенный стержень; T2 и U 2 – усилия от двух единичных сил, заменяющих второй выброшенный стержень.
Так как в обоих заменяющих стержнях суммарные усилия должны обратиться в нуль, то обозначив усилия заменяемых стержней через X и Y ,
получим систему уравнений:
T1 X
U1 X
 T2Y
 U 2Y
 TP
UP
 0
,
 0
откуда и определяются оба неизвестных.
Признаками геометрической неизменяемости такой фермы служат
определенность и конечность решения этой системы уравнений, для чего
необходимо, чтобы её определить был отличен от нуля:
Строительная механика
40
D
T1 T2
 0.
U1 U 2
Если D  0 , то заданная ферма мгновенно изменяемая.
Приведем в качестве примера решетчатую ферму, которая не поддается
обычному простому решению.
Заданная ферма
Покажем заменяющую ферму, полученную путём замены трех стержней: заменяемые стержни показаны пунктиром, а заменяющие другим цветом.
Заменяющая ферма
Заменяющая ферма имеет простейшую структуру: она образована из треугольника путём последовательного добавления двухстержневых узлов и
решается при помощи вырезания узлов. Определение усилий необходимо
начинать с правого конца фермы, постепенно передвигаясь налево.
Строительная механика
41
4. Равновесие дисков
Рассмотрение сводится к определенной формальной процедуре.
Формальная процедура:
а) устранение кратности и разгрузка шарниров;
б) расчленение системы: система разбивается на отдельные диски, к каждому
из которых прикладываются реакции освобожденных связей в соответствии с принципом действия и противодействия;
в) для каждого диска записывается три уравнения равновесия:
 равенства нулю сумм проекций всех сил (внешних и реакций) на две
непараллельные оси;
 равенство нулю суммы моментов относительно точки пересечения этих осей.
При проведении этой формальной процедуры возможны упрощения.
Упрощения:
1) рациональная очередность рассмотрения дисков:
- статически определимый диск;
3 уравнения - три неизвестных;
рациональный выбор осей позволяет
быстрее находить неизвестные;
Начинать лучше с автономных объектов
Понятие об автономности
 Автономный узел – узел, который крепится к системе двумя стержнями, не лежащими на одной прямой.
 Автономный диск – диск, который крепится к системе тремя стержнями, не пересекающимися в одной точке.
 Автономный диск – диск, который крепится к системе шарниром и
стержнем, ось которого не проходит через шарнир.
2) упрощение уравнений статики для дисков достигается использованием
симметрии.
Рассмотрим подробнее учет симметрии.
Симметрия:
Строительная механика
42
1. геометрическая;
2. грузовая (по нагрузкам);
3. жесткостная (для статически неопределимых систем).
Первую и третью формы можно объединять.
Теорема о симметрии
Если система (конструкция) симметрична и нагрузка прямосимметрична, то кососимметричные реакции в сечениях на оси симметрии равны нулю,
а усилия в симметричных связях симметричны (т.е. равны по величине и
направлены в соответствии с зеркальным отражением).
0

0
0
0
N
N
Q
Q
M
Q – кососимметричная реакция.
M
Строительная механика
43
P
 Эпюра обратно симметричных
внутренних силовых факторов
(ВСФ) обратно симметрична,
эпюра прямо симметричных
ВСФ прямо симметрична.
 Прогибы сечений – прямо симметричная функция.
 Углы поворота сечений обратно симметричная функция.
P/2
P/2
Q(x)
M(x)
w(x)
(x)
1.7.6. Вторая теорема симметрии
Если система симметрична, а нагрузка обратно симметрична, то прямо
симметричные реакции в сечениях на оси симметрии равны нулю, а реакции
в симметричных связях обратно симметричны (равны по величине и направлены против зеркального отражения).
N=0
Q
M=0
N=0
Q
M=0
L
L/2
L/2
L
L/2
L/2
YA
YB
XA
XB
L
 Fx  0  X A  X B  0 .
 Fy  0  YA  YB
Строительная механика
44
Для обратно симметричной нагрузки
L
l
L/l
L/l
Q(x), (x) – прямо симметричные
функции;
M(x), w(x) – обратно симметричные
функции.
Q(x)
M(x)
w(x)
(x)
1.7.7. Симметризация нагрузок
Если система симметрична, а нагрузка не симметрична, то
применяют симметризацию.
Симметризация это разложение нагрузки на сумму симметричной и обратно симметричной нагрузок.
P
P/2

P/2
 
L
P/2
P/2
 
L/2
L/2
1.8. Перемещения стержневых систем
Для определения перемещений стержневых систем используется метод
Мора, основанный на формуле Максвелла–Мора.
Строительная механика
45
Рассмотрим определение перемещения, разложив его предварительнона компоненты.
От внешних сил:
 N x x   N x x  M y x   M y x  M z x   M z x 



E

F
E

J
E

J
i 1 0 
y
z
n
i
m    
Qy x   Qy x 
M x x   M x x 
Qz  x   Qz  x  

 Ky 
 Kz 
dx.

G  J
GF
GF

(нижний индекс – механические)
Здесь при получении формулы были использованы следующие деформации:
x 
Qy
My
Nx
Mx
Mz
d
1
1

, z   
, y   
, 
,  yx 
,
EF
GF
dx G  J 
 E  Jz
 E  Jy
 zx 
Qz
.
GF
N x x 
 dx - удлинение бесконечно малого участка стержня.
EF
Каждое из слагаемых формулы Мора – работа сил единичного состояния на перемещениях в элементе длиной dx от заданных внешних сил.
 x  dx 
В приведенной формуле:
 Nx(x), My(x), …, Qz(x) – внутренние силовые факторы (ВСФ) в элементах конструкции, вызванные действием реальных (заданных) внешних
сил;
 N x  x  , M y  x  , … Q z  x  – ВСФ в элементах конструкции, вызванные
действием единичной силы, соответствующей искомому перемещению;
 K y , K z – коэффициенты, зависящие от геометрии поперечного сечения;
 n – количество деформируемых элементов конструкции (деформируемыми элементами являются диски и стержни);
 i – номер элемента.
В применении к особым системам представленная формула упрощается.
Для ферм:
Строительная механика
46
N x x   N x x 
dx.
E

F
i 1
n
m  
Для плоских балок и рам:
M x   M x 
dx.
E

J
i 1 0
n
i
m   
Перемещения от нагрева:
Если конструкция подвергается нагреву, то нагрев можно выразить
функцией t(x, y, z), которая является приращением температуры над уровнем,
признанным исходным.
Деформация, вызванная этим приращением:
   t ,
где  - коэффициент линейного температурного расширения.
В соответствии с представлениями о работе бруса: брус – это совокупность продольных волокон. Приращение элемента волокна бруса можно
представить так:
    dx    t  dx .
tср
tв
Волокона материала
h
Ось бруса
y
Эпюра поля температур
tн
Воздействие температуры
В действительности ось бруса (волокна) не прямая линия, а дуга
Строительная механика
47
x=ср
в
Волокона материала
h
Ось бруса
y
Эпюра поля относительных
деформаций
н
Распределение деформаций
В действительности ось бруса (волокна) не прямая линия, а дуга
t t
t t
При этом: x    в н  dx ,  y    в н  dx . Откуда
h
2
t t
t t 

t     N x    в н  M y    в н   dx.
2
h 
i 1 0 
n

Рассмотрим действие нагрева на статически определимые системы.
В статически определимых системах нагрев не вызывает внутренних
усилий и напряжений. Возникают деформации и перемещения. Для фермы
температурное поле должно быть постоянным по толщине.
1
A
- это весьма искаженная картина; поA
b
скольку коэффициент  - мал, то угол
2
практически не изменяется, а следовательно:
Узел А:
y
S1
b
 Fy  S 2  sin b  0 ,
A
S2
S2  0 .
А значит и S1  0 .
Стержни удлиняются, но никаких усилий не возникает.
Перемещения от смещений опор
Строительная механика
48
При перемещениях опор статически определимых систем по направлениям опорных закреплений внутренние усилия в системе не возникают.
Пример:
i
C
K
D
i
i
K1
A
B

B1
i
C
K
D
Отыщем перемещение точки K в
направлении i – i.
Создадим единичное состояние (нижний рисунок).
На основании теоремы Бетти о взаимности работ двух состояний, в одном из которых (в действительном)
система не загружена (т.е. как бы
находится под действием нулевой
нагрузки), можно составить следующее уравнение:
X i  i  R    0 ;
1  i  R    0 .
X1=1
i
A
B
R
Откуда  i  R   .
Перемещение  i – есть перемещение
какой-либо точки заданной статически определимой системы, возникающее от линейного смещения опоры
на величину  , равно произведению
смещения  на реакцию связи, приложенной в направлении исходного
перемещения, от действия единичной
нагрузки. Это перемещение положительно, когда реакция связи направлена обратно смещению  , и отрицательно, когда совпадает с ним.
Тот же результат можно получить, если составить уравнение равенства
работ
X i  d ii / 2  X i   i  R    X i  d ii / 2 .
Левая часть - это сумма работ всех сил, в том числе и опорных реакций,
приложенных к заданной статически определимой системе, которую они со-
Строительная механика
49
вершат в случае, если перемещение опоры B начнется после того как закончится статическое нарастание силы X i  1 .
Правая часть – это работа тех же сил в случае, если сначала произойдет
смещение опоры B и лишь после этого начнет действовать статически нарастающая сила X i  1 .
Левая и правая части равны поскольку, накопленная потенциальная
энергия в обоих случая одинакова.
Результат тот же, что и на основании теоремы о взаимности работ:
 i  R   .
Аналогично можно рассмотреть и угловые смещения опор.
Пример:
Cy

C
1
0,5 1
0,5
2 2 2 2
Xi 1
0,5
На основании теоремы о взаимности
работ двух представленных состояний можно составить уравнение:
X i  Cy  0,5 1    0 ,
или
1  Cy  0,5 1    0 ,
откуда
Cy  0,5 1   ,.
Знак минус указывает на то, что точка С переместилась в сторону, противоположную направлению силы
X i  1 , т.е. вверх.
0,5
0,5
В общем случае (несколько перемещений) необходимо:
1) выбрать единичное состояние системы, считая смещающуюся связь неподвижной;
2) загрузить систему (в единичном состоянии) в направлении искомого перемещения единичной нагрузкой X i  1 (силой или моментом);
3) определить реакции в тех опорных связях единичного состояния, которые
в действительном состоянии системы смещаются;
4) составить выражение работы сил единичного состояния на перемещениях
действительного и приравнять его нулю;
Строительная механика
50
5) решить полученное уравнение относительно искомого перемещения.
Соответствие между силами и перемещениями
Сила, называется соответствующей данному перемещению, если она
работает на этом перемещении (F ~ , если A = F  ).
1) Если ищем абсолютное поступательное перемещение:
Однако рассматривать необходимо,
используя основную систему.
F 1
о
30
2) Если искомое перемещение абсолютный угол поворота определенного сечения диска, то единичная сила – это пара сил:
M 1
Построим эпюру M  x  .
3) Сближение точек:
F 1
А

В
F 1
4) Разность углов поворота в сечениях балки (взаимный угол поворота):
L=1
L=1
   A   B
A
B
Строительная механика
51
L=1
L=1
A
B
L=1
L=1
A
B
5) Разность вертикальных и горизонтальных перемещений точек:
F 1
F 1
A
B
A
B
V A  VB  V AB
P
С
С
A F 1
В
C
U A  U C  U AC
F 1
6) Полное поступательное перемещение точки:
P
A
B
С
Fx  1, x
С
y

x

  x 2  y 2 ,
y
tg 
.
x
Fy  1, y
Все изложенное выше в равной степени относится как к статически
определимым, так и к статически неопределимым системам. На некоторых
особенностях остановимся позже.
Строительная механика
52
Пример расчёта комбинированной стержневой системы (КСС)
Задача: построить эпюры внутренних силовых факторов в КСС
(EI = const).
P
q1=P/(2a)
a
A
a
a
a
a
B
a
a
a
a
C
a
q2=P/a
D
M=Pa
Заданная система
Система – свободная. Нет опор и, следовательно, опорных реакций, но
в связях (шарнирах) есть внутренние реакции. Для поиска этих реакций заменим распределенную нагрузку статически эквивалентной системой сосредоточенных сил. Затем проведем модификацию заданной исходной системы.
Цель модификации – приведение системы в соответствие с кинематическими
характеристиками шарнирно-сочленённой модели стержневых конструкций.
Для этого необходимо:
а) рассредоточить кратные шарниры,
б) разгрузить шарниры, к которым приложены сосредоточенные силы
или стержни.
Покажем модифицированную систему.
Строительная механика
53
q1a P/2 P/2 q1a
A
a/2 a/2 a/2 a/2
a
a
a
a
B
C
q22a
a
a
a
a
D
M=Pa
Модифицированная система
Проведем декомпозицию (расчленение) системы.
Декомпозиция заключается в устранении всех связей (стержней и шарниров) и замены их реакциями, прикладываемыми к связуемых элементам
(узлам и дискам).
P/2 P/2
P/2 P/2
A XA XA A
a/2 a/2
a/2 a/2
a
a
YA
YA
X
XB
YC C C
B
YB
2P XC
XB
YB
YC
a
a
X’B
X’C
B
C
Y’B
Y’C
Y’C
Y’B
B X’B
C
YD X’C
a
a
Pa Pa
a
a
D XD XD D
YD
Декомпозиция системы
Определим реакции внутренних связей, последовательно рассматривая
равновесие дисков системы.
Рассмотрим диск BD. Согласно первой теоремы о симметрии, YD  0 .
Строительная механика
54
Y’B
B
X’B
a
a
Pa
D XD
Равновесие диска BD
Fy  0 : YB  0 ; M B  0 : Pa  X D a  0 , X D  P ;
Fx  0 : X D  X B  0 , X B   X D .
Меняем направление X B и показываем реальную нагрузку на диск BD.
B
P
a
Pa
a
P
D
Нагрузка на диск BD
Рассмотрим диск BA. Согласно первой теоремы о симметрии, YA  0 .
P/2 P/2
A XA
B
a/2 a/2
a
YA
XB
YB
Равновесие диска BA
P P
  YB  0 YB  P ;
2 2
P a P
3
M B  0 :   a  X A a  0 , X A  P ;
2 2 2
4
3
Fx  0 : X A  X B  0 , X B  P .
4
Fy  0 :
Строительная механика
55
Показываем реальную нагрузку на диск BA. Распределённую нагрузку
после определения реакций восстанавливаем.
P/(2a) P/2
A
3P/4
a
a
3P/4
B
P
Нагрузка на диск BA
Рассмотрим диск AC и приложим реальную нагрузку с учётом симметрии (для узла C).
P/2 P/(2a)
A
3P/4
a
a
3P/4
C
P
Нагрузка на диск AC
Рассмотрим диск CD и приложим реальную нагрузку с учётом симметрии (для узла C).
C
a
Pa
P
a
P
D
Нагрузка на диск CD
Приведём нагрузку на диск BC с учётом передаваемой другими дисками через шарниры.
Строительная механика
56
P
P
3P/4
3P/4
2a
B
C
P
P
P/a
Передача нагрузки на диск BC
Приложим реальную нагрузку на диск BC.
P
P
7P/4
7P/4
P/a
Нагрузка на диск BC
Построим эпюры внутренних силовых фактор по участкам всех дисков
для системы в целом. Эпюра изгибающих моментов построена на растянутых
волокнах.
3P/4
N
P
P
-7P/4
P
Продольные силы
P/2
3P/4
P
-P/2 -3P/4
-P
P
Q
-P
-P
P
Строительная механика
57
Поперечные силы
3Pa/4
3Pa/4
3Pa/4
3Pa/4
M
Pa/2
Pa
Pa
Pa
Изгибающие моменты
Проведем проверку. Вырежем шарниры с прилегающими дисками и
рассмотрим равновесие узлов конструкции.
P
P
3P/4
3P/4
3P/4
7P/4
B
A
P/2
P
P
P/2
P
3P/4
7P/4
P
C
P
M
D
M
P
P
Равновесие везде соблюдается.
1.8.7. Энергетический прием определения перемещений
Энергетический прием определения перемещений основан на теореме о
том, что частная производная от выражения потенциальной энергии по «силе» P (понимая под P обобщенную силу) равна вызванному нагрузкой перемещению по направлению этой силы (теорема Кастильяно).
Строительная механика
58
КАСТИЛЬЯНО Карло Альберто (08.11.1847 - 25.10.1884)
Механик и инженер Карло Альберто Кастильяно (Castigliano С. А.) родился в г. Асти (Пьемонт,
Италия) в бедной семье. Окончив с отличием начальную школу, продолжал обучение в технической школе в г. Асти, которую также окончил с отличием в 1865 г. Затем посещал до 1866 г. лекции в Индустриальном институте в Турине (Сардиния, Италия). Не имея возможности из-за финансовых трудностей продолжать образование до получения квалификации инженера, окончил в
1866 г. трехмесячные курсы и получил диплом преподавателя механики в только что организованных технических школах. В 1870 г. поступил на факультет чистой математики в Туринский
университет, причем сдал все экзамены трехлетнего учебного плана за один год, зарабатывал на
жизнь частными уроками и переводами иностранных научных книг (главным образом с немецкого
и французского языков). После окончания университета поступил в Туринский политехнический
институт, в котором он прошел за два года пятилетний курс. В дипломной работе, защищенной в
1873 г. и посвященной расчету статически неопределимых ферм, А. Кастильяно доказал упомянутую в биографии Д. Коттерилла вторую теорему. Его дипломная работа была опубликована институтом в этом же году.
Окончив институт, он занял должность инженера на железной дороге и в 1884 г. стал главным инженером управления железных дорог в Милане. Начав инженерную деятельность, он продолжал
развивать идеи своей дипломной работы и в 1875 г. опубликовал два мемуара, в первом из которых доказывает свою вторую теорему, а во втором первую и приводит многочисленные примеры
их применения. Он считал, что принцип наименьшей работы Менабреа является следствием его
второй теоремы.
А. Кастильяно скончался в расцвете творческих сил в возрасте 37 лет, простудившись и заболев
воспалением легких.
Для доказательства этой теоремы составим выражение потенциальной
энергии, ограничившись для краткости только членом, зависящим от изгибающих моментов:
M 2 dx
U  
.
0 2EI

Полное значение изгибающего момента разложим на составляющие,
соответствующие отдельным силам:
M  M 1 P1  M 2 P2  ...  M k Pk  ...  M n Pn .
Строительная механика
59
Здесь M 1 , M 2 , …, M k , …, M n  значения изгибающих моментов, вызываемых единичными силами P1  1 , P2  1 , …, Pk  1 , …, Pn  1 .
Возьмем частную производную от выражения U по Pk :
 M
U
   M 2 dx 

  

Pk Pk  0 2 EI 
0
M
dx
Pk
,
EI
но
M
 Mk ,
Pk
следовательно,

U
M Mdx
.
  k
Pk
EI
0
В правой части получено выражение перемещения  kp (как формуле
Мора), а поэтому
U
  kp .
Pk
Теоремой Кастильяно для отыскания перемещений стержневых систем
практически пользуются достаточно редко, но она представляет определенный теоретических интерес. Последовательность расчета при ее применении
такова:
 к системе прикладывается соответствующая «сила» в том
направлении, в котором отыскивается перемещение;
 составляется полное выражение потенциальной энергии от совместного действия приложенной «силы» и нагрузки;
 путем дифференцирования выражения потенциальной энергии по
приложенной «силе» получится формула, определяющая исискомое перемещение, в которой затем необходимо приравнять значение приложенной «силы» нулю, так как она не входит в состав
нагрузки (или действительному ее значению, если она входит в
состав нагрузки).
Пример 1. Найти угол поворота  конца консоли от действия на нее равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q.
Строительная механика
60
Решение. Прикладываем на конце
консоли момент М. Полное выражение изгибающего момента в сечении x имеет вид
q

l
 x2

M изб   q  M  .
 2

q
x
M
Подсчитываем потенциальную энергию:
2
 x2

q

M



M 2 dx   2
 dx .
U 

2 EI
0 2 EI
0
После интегрирования получим
U
1  q 2 5 q3 M M 2  



.
EI  40
6
2 
Дифференцируем U по M:
 q3
1  q3
 U 
.
 

 M    


6
EI
 M  M 0 EI  6

Если в составе заданной нагрузки имеется соответствующая искомому
перемещению «сила», то отпадает необходимость в приложении дополнительной «силы». Рассмотрим следующие примеры.
Пример 2. Требуется найти прогиб конца консольной балки, загруженной
только одной сосредоточенной силой P, приложенной также на конце.
Строительная механика
61
Решение. В этом случае
P
M изб   Px ,
P2 x2
P 2 3
,
U 
dx 
2
EI
6
EI
0

l
-Pl
U P3
.


P 3EI
Mизб
Пример 3. Для заданной системы требуется найти сближение точек, лежащих
на оси симметрии. EI = const.
EI = const
P
a
P/2
a
a
Х=P/2
симметричная
нагрузка
a
a
a
P/2
a
P/2
a
a
a
P
P/2
P/2
a
a
Представим эпюру изгибающих моментов.
Строительная механика
62
-Pа/2
-Pа/2
Pа
Pа/2
Pа/2
На эпюре моментов шесть одинаковых участков, где эпюра имеет вид:
Pа/2
M1 ( x) 
P
x,
2
а также два одинаковых участка, где эпюра имеет вид:
Pа
Pа/2
M 2 ( x) 
Pa P
 x.
2 2
Запишем выражение для потенциальной энергии:
2
2
a

M1
M2
1  1 a P2 2
1 a P2
2
U  6
dx  2 
dx 
6 
x dx  2   a  x  dx 

EI  2 0 4
20 4
0 2 EI
0 2 EI

a
a
a
a
a
 P 2  x 3
P2  a 2
x2
x 3 
2
2 a

3 x dx   a  2ax  x dx 
3
 a x 0  2a




4 EI  0
4
EI
3
2
3
0

0
0
0


P2  3
a 3  P 2 10a 3 5 P 2 a 3

 
.
 a  a 3  a 3   
4 EI 
3  4 EI 3
6 EI
Возьмем частную производную от потенциальной энергии по силе Р:
Строительная механика
63
U 5  2 P  a 3 5 Pa 3
.


 
P
6 EI
3 EI
Искомое перемещение определено.
Аналогичный результат можно получить, устанавливая выражение для
потенциальной энергии деформирования способом Верещагина А.Н., 1924 г.
Покажем это.
Pа
Pа/2
Pа/2
а/2
2а/3 а/3
Перемножим треугольную эпюру саму на себя:
Pa 2  2 Pa  P 2 a 3
w  y 1 
 

4  3 2  12
а/3
а/6
Перемножим треугольную эпюру саму на себя, предварительно разбив
трапецию на прямоугольник и треугольник:
Pa 2  3Pa  Pa 2  5Pa 
w  y 2 




2  4 
4  6 

3P 2 a 3 5P 2 a 3 7 P 2 a 3


.
8
24
12
Посчитаем потенциальную энергию:
1
1  P 2a 3
7P 2a 3 
6  w  y 1  2  w  y 2  
U
6
 2

2 EI
2 EI  12
12 
1  P 2 a 3 7 P 2 a 3  5P 2 a 3



.
2 EI  2
6  6 EI
Найдем перемещение:
U 5  2 P  a 3 5 Pa 3


 
.
P
6 EI
3 EI
Ответ совпадает с полученным ранее методом Мора.
Строительная механика
64
1.9. Перемещения стержневых систем. Статически неопределимые системы. Метод сил
Назначение
Предназначен для расчета статически неопределимых конструкций.
Идея
Реальная статически неопределимая конструкция заменяется эквивалентной статически определимой конструкцией и вместо недостающих уравнений статики записываются уравнения совместности деформаций.
Степень статической неопределимости
Степень статической неопределимости – количество недостающих
уравнений статики.
F p  2  У  3  Д – количество степеней свободы плоской комбинированной системы на опорах и Fp  2  У  3  Д  3 – количество степеней свободы свободной плоской комбинированной системы.
Количество неизвестных равно суммарному количеству связей, наложенных на систему:
R p  2  Ш о  С  Соп – опорные системы;
R p  2  Ш о  С – свободные системы.
Степень статической неопределимости:
W   П ; W  И ;
П  F  R; И  F  R
где П – подвижность, И – изменяемость.
В случае замкнутых рам эти формулы не работают. Для них применяется следующая формула:
W pзамк.рам  3  K , где K – количество замкнутых контуров без шарниров.
Если есть шарниры, то формула меняется:
W pз.р.  3  K  Ш о
шарнир отнимает
связь (на поворот)
одну
W = 0.
Строительная механика
65
Эквивалентная и основная системы
В соответствии с аксиомой о связях освобождаем столько связей,
сколько нам не достает уравнений равновесия.
P
P
X3
X2
X1
эквивалентная система
О с н о в н а я с и с те м а п о л у ча е тс я и з э к ви ва л е н т н о й уд а л е н и е м вс е й н а г р уз ки . ( Н е с к о л ь к о и н а я т р а к т о в к а , ч е м в с о п р о т и в л е н и и
материалов )
– основная система
Условия совместности деформаций
Рассмотрим отброшенную связь.
j
j
На самом деле:
j = 0, j = 1, 2, 3, …, W.
Принцип суперпозиции
Суммарное действие некоторой системы сил равно сумме действий составных частей системы:
W
 j   j P    j  X 1    j  X 2   ...   j  X W    j P     j  X K ,
где
 j  X K   d jK  X K (K = 1, 2, …,W);
K 1
d jK – обобщенное перемещение, соответствующее j –той лишней неизвестной (Xj), вызванное приложением к основной системе единичной силы XK
= 1.
Каноническое уравнение метода сил
Строительная механика
66
d j1  X 1  d j 2  X 2  ...  d jK  X K  ...  d jW  X W   jP  0 ; j = 1, 2, …, W.
Для всей конструкции получаем систему канонических уравнений,
например при W = 3:
 d 11  X 1  d 12  X 2  d 13  X 3  1P  0,

d 21  X 1  d 22  X 2  d 23  X 3   2 P  0,
 d  X  d  X  d  X    0.
32
2
23
3
3P
 3 1
Здесь d jK ,  jP – коэффициенты; Х1, Х2, Х3 – неизвестные.
Формирование канонических уравнений метода сил:
Для получения коэффициентов и свободных членов канонических
уравнений требуется рассмотреть грузовое и единичные состояния основной
системы.
Основная система получается из эквивалентной путем удаления всей
нагрузки.
требования к основной системе: основная система должна быть неподвижна или неизменяема и статически определима, а значит среди освобожденных связей не должно быть неустраняемых связей.
1
связи 1, 2 и 3 освобождать нельзя, так как система станет подвижной;
2
3
P
а) грузовое состояние
P
– только внешние нагрузки;
N xP  x  , M yP  x  , M zP  x  , M xP  x  , Q yP  x , Q zP  x  ВСФ; индекс «Р» - грузовая система;
б) единичные состояния
построение эпюр:
Строительная механика
67
X1  1
N1  x , M 1  x  , Q1  x  ;
X1  1
X2 1
N 2  x , M 2  x  , Q2  x  ;
X2 1
X3 1
N 3  x , M 3  x  , Q3  x  .
X3 1
Коэффициенты канонических уравнений:
Для плоской системы при действии только одних внешних нагрузок:
i
 N j  NK
M j  MK
Q j  QK 
dx ,

EF
EJ
GF
i 1 0 

где внутри скобок индекс «i» опущен; i – номер деформируемого элемента;
n – количество деформируемых элементов.
n i  N  N P
M j MP
Q j  Q P 
j

 jP   

K
dx .


EF
EJ
GF
i 1 0 

n
d jK    

K
Если на систему действуют еще температурные поля и заданы смещения опор (кинематическое воздействие), то в соответствии с принципом суперпозиции нужно рассмотреть системы аналогичные приведенным, но с
другими свободными членами – вместо  jP -  jt и  j , решив которые
определяют X jt и X j просуммировав получают X 
j  X jP  X jt  X j . Заметим, что можно решать не три системы последовательно, а одну, в которой
свободные члены уравнений  j   jP   jt   j .
Если при составлении систем канонических уравнений от разных воздействий использовались различные основные системы, то для получения результата необходимо просуммировать эпюры внутренних силовых факторов.
При этом смещение от температурного воздействия:
Строительная механика
68


0
0
t t
t t
 jt    в н  M j  dx    в н  N j  dx ,
h
2
где суммирование ведется по всем элементам системы.
При заданных смещениях опор возможны варианты:
1. Все приложенные к системе лишние неизвестные усилия действуют по
направлениям заданных перемещений опор, тогда в канонических
уравнениях  j  0 , но правой части уравнений появятся величины соответствующие заданным смещениям опор (знак «+» при совпадении
направлений усилия и смещения).
2. Если такого совпадения нет, то для составления канонических уравнений
применяют, либо теорему о взаимности работ сил «единичного состояния» и «основной системы» на соответствующих перемещениях, либо
принцип независимости действия сил. При этом возможно и  j  0 и
наличие ненулевых правых частей.
Пример:
h
«З.С.»
B
l
b
A

а
«О.С.»
X3
X1
X2
X 1  d 11  X 2  d 12
X 1  d 21  X 2  d 22
X 1  d 31  X 2  d 32
 X 3  d 13
 X 3  d 31
 X 3  d 33
 a 

  b
  
Строительная механика
69
«О.С.»
X1
X3
X2
Реакции от
1
X1
1
X2
l
1
X3
Ниже знак «+», если R и  направлены в противоположные стороны:
1  R    1  a  a
 2    R    1  b      b    
 3  R    1    
X 1  d 11  X 2  d 12  X 3  d 13  a 
0


X 1  d 21  X 2  d 22  X 3  d 23  b      0

X 1  d 31  X 2  d 21  X 3  d 33   
0

«О.С.»
X3
X1
X3
X2
Строительная механика
70
X 1  d 11  X 2  d 12  X 3  d 13
X 1  d 21  X 2  d 22  X 3  d 31
X 1  d 31  X 2  d 32  X 3  d 33
( X 2 соответствует  )
 1  0 

  2   
  3  0 
M=0
1/2h
X1=1
1/2h
1/l
1/l
Нетрудно убедиться, что реакции будут именно такими, если провести симметризацию нагрузки
1
1/2 1/2
1/2 1/2
Y
X
1/2
1/l
1
1
1    b 
a

2h
1/2
1/(2h)
Строительная механика
71
X2=1
1/2h
1/2h
1/l
1/l
Нетрудно убедиться, что реакции будут именно такими, если провести симметризацию нагрузки
1
1/2
1/2 1/2
1/2
Y
X
1/2
1/2
1/(2h)
1/l
1
1
 2   b 
a

2h
симметрия Q=0
X3=1
1/2h
1/2h
 3 
1
a
2h
Строительная механика
72
Особенности расчета по методу сил в случае,
когда освобождаемая связь – стержень
Рассмотрим на примере расчета статически неопределимых ферм.
P
Для представленной однажды статически неопределимой фермы сохраняется привычный порядок действий при расчёте: убирается один опорный стержень.
Однако, если избыточная связь внутренняя (стержни), то необходимо
учитывать реальную жесткость отброшенной связи. Например, расчёту полежит такая дважды статически неопределимая ферма (два «лишних» стержня).
P
Заданная система
Освободим связи 3 и 7 (стержни конструкции) и покажем эквивалентную систему.
P
5
7
3
1
8
6
4
2
X2
X1
X2
X1
11
10
9
Эквивалентная система
Строительная механика
73
В решении при переходе к грузовой системе – стержни 3 и 7 не нагружены, и значит, при подсчете 1P и 2 P суммирование ведётся не по всем
одиннадцати стержням системы, а только по девяти.
При рассмотрении единичных состояний окажется, что в стержнях 3 и
7 действуют усилия равные единице. Соответственно при подсчёте коэффициентов d11 , d12 и d 22 суммирование ведётся по всем одиннадцати стержням. Следовательно учитывается их реальная жесткость.
Пример: расчет перемещений
в статически неопределимой конструкции
Для заданной рамы, построить эпюру изгибающих моментов и определить
сближение точек приложения сил ( EI  const ).
P
a
a
2a
2a
a
a
P
Заданная система
Решение
Рама представляет собой замкнутый контур и является трижды статически неопределимой. Освободим три связи на поворот («врежем» три шарнира) в этом контуре и покажем эквивалентную систему.
X1
X2
a
X2
a
P
X1
a
a
a
a
a
X3
a
X3
P
Эквивалентная система
Строительная механика
74
Представим основную систему и рассмотрим грузовое и единичные её
состояния.
a
a
a
a
a
a
a
a
Основная система
Грузовое состояние основной системы. Будем учитывать, что система
симметричная и нагрузка прямо симметричная.
P
a
a
a
P/2
a
P/2
P/2
a
P/2
a
P/2
P/2 P/2
P/2
a
P/2
a
P/2
P
Грузовое состояние и усилия во внутренних связях
Pa/2
Pa/2
Pa/2
Pa/2
MP
Pa
Pa/2
Pa/2
Pa/2
Pa/2
Эпюра изгибающих моментов в грузовом состоянии
Единичные состояния основной системы.
Первое единичное состояние. Будем учитывать, что система симметричная и нагрузка прямо симметричная.
Строительная механика
a
75
1
1
a
a
1
1
1/a
1/a
a
1/a
a
a
a
1/a 1/a
a
Первое единичное состояние и усилия во внутренних связях
1
M1
1
1
1
1
1
Эпюра изгибающих моментов в первом единичном состоянии
Второе единичное состояние. Проведем симметризацию нагрузки и будем учитывать, что система симметричная и нагрузка прямо симметричная и
обратно симметричная.
Строительная механика
1
a
1
a
76
a
a
a
a
a
0,5 a a
a
a 0,5
0,5 a a
a
a
0,5 a a
a
a 0,5
0,5 a a
a
0,5
1/(2a)
0,5
1/(2a)
a 0,5
a 0,5
1/(2a)
0,5
1/(2a)
1/(2a)
0,5
1/(2a)
1/(2a) 1/(2a)
0,5
0,5
1/(2a)
1/(2a)
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
1
1
0,5
1
1
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
M2
1,5
0,5
1,5
0,5
Второе единичное состояние и усилия во внутренних связях.
Эпюра изгибающих моментов во втором единичном состоянии
Строительная механика
77
Третье единичное состояние. Проведем симметризацию нагрузки и будем учитывать, что система симметричная и нагрузка прямо симметричная и
обратно симметричная (аналогично второму единичному состоянию).
0,5
0,5
0,5
0,5
M3
1,5
0,5
0,5
1,5
Эпюра изгибающих моментов в третьем единичном состоянии
Подсчитываем коэффициенты и свободные члены канонических уравнений метода сил.
1 2
2 3
16
a;
3
1
2
1 2
2 3
1
2
1
2
14
a;
3
1
2
1
6
1
2
5
6
8
3
d11  4 1  a 1  4 1  a   1 
1
2
2
3
d 22  d 33  2   2a 1  1  4   a    2  2   2a  
d12  d13  d 21  d 31  1  2a 1  2  1  a  1  2  1  a  1   a ;
1
2
2
3
1
2
1 2 1
2 3 2
d 23  d 32  2  1  2a  1  2a 1 1  4   a    
1 1
 2  2a    2a;
2 2
1P  2 
Pa
1
Pa 1 2
8
 Pa
 1
 a  1  4 
a   1  2  
 Pa    a 1   Pa 2 ;
2
2
2
2 3
3
 2
 2
1 Pa
1
 Pa

 Pa   a 1  2  
 a  1 
2 2
6
 2

1 Pa
5
11
 2 
 a  1  Pa 2 .
2 2
6
6
2 P  3P  2  
Строительная механика
78
Запишем систему канонических уравнений:
d11 X 1  d12 X 2

d 21 X 1  d 22 X 2
d X  d X
 31 1
32 2
 d13 X 3
 d 23 X 3
 d 33 X 3
 1P
 2 P
 3 P
 0;
 0;
 0.
Проведем подстановку и преобразования.
8
 16
aX

aX 2
1
3
3
 8
14
 aX 1  aX 2
3
 3
8
 aX 1  2aX 2
 3
 X2
 2 X1

 16 X 1  28 X 2
 16 X  12 X

1
2
8
 aX 3
3
14
aX 3
3
8
 Pa 2
3
11
 Pa 2
6
11 2
 Pa
6
 X3
 12 X 3
 28aX 3
 Pa  0;
 11Pa  0;
 11Pa  0.
 2aX 3

 0;
 0;
 0.
X 1 из первого уравнения последней системы подставим во второе и
третье уравнения данной системы.
 8 X 2  8 X 3  8Pa  28 X 2  12 X 3  11Pa  0;

 8 X 2  8 X 3  8Pa  12 X 2  28 X 3  11Pa  0.
20 X 2  4 X 3  3Pa;

4 X 2  20 X 3  3Pa.
Из второго уравнения последней системы имеем:
4 X 2  3Pa  20 X 3 .
Подставим это выражение в первое уравнение последней системы:
 15Pa  100 X 3  4 X 3  3Pa ;
Строительная механика
79
 96 X 3  12 Pa .
Теперь:
1
1
Pa 
1
X 3   Pa , X 2    3Pa  20 
   Pa .
4
8 
8
8
Тогда из первого уравнения системы канонических уравнений получим:
1 1
3
3
2 X 1    Pa  0 ; 2 X 1  Pa ; X 1  Pa .
8 8
8
4
Воспользуемся принципом суперпозиции
M   M P  X1  M1  X 2  M 2  X 3  M 3 ,
и покажем суммарную эпюру изгибающего момента (строим по восьми точкам, так как имеем восемь участков и все эпюры – линейные, и нет скачков –
нет сосредоточенных моментов).
Pa/8
Pa/8
Pa/8
Pa/8
3Pa/8
M
3Pa/8
Pa/8
Pa/8
Pa/8
Pa/8
Суммарная эпюра изгибающих моментов
Определим взаимное сближение точек приложения силы в заданной
статически неопределимой системе.
Нагрузим основную систему двумя единичными силами, соответствующими исходному перемещению.
Строительная механика
80
P=1
a
a
a
a
a
a
a
a
P=1
Основная система, нагруженная двумя единичными силами
Приведем эпюру изгибающих моментов для последней конструкции.
Эпюра M будет пропорциональна полученной ранее эпюре M P .
a/2
a/2
a/2
a/2
M
a
a/2
a/2
a/2
a/2
Эпюра изгибающих моментов M
Определим перемещение способом Верещагина:
3
8
1 1 a
1
1 2 a
2 3 2
8
2 3 2
3
1 a 2 a
1
1 a 1 a
 2   Pa  a        2   Pa  a       
8
2 2 3 2
8
2 2 3 2
  EI  M P  M  2   Pa  a     2   Pa  a    
 1 1 5 1 5
 Pa 3        Pa 3 .
 16 24 16 12  24
Сравним полученный прогиб с рассчитанным для рамы тех же параметров, но статически определимой.
Строительная механика
81
P
P/2
P/2
a
a
a
2a
2a
2a
a
a
P/4
a
P/4
2a
P/4
P/2
P
Определение реакций
во внутренних связях
Заданная система
Приведем эпюру изгибающих моментов, действующих в конструкции.
Pa/2
Pa/2
Pa/2
Pa/2
Pa/2
Эпюра изгибающих моментов M P
Эпюра изгибающих моментов в единичном состоянии ( M ), предназначенном для определения искомого перемещения – сближения точек приложения нагрузки, будет аналогична приведенной эпюре M P , но значения на
ней будут в P раз меньше.
Подсчитаем прогиб, используя правило Верещагина.
Pa
1 2 a
Pa
1 2 a
a    2
 2a    
2
2 3 2
2
2 3 2
1 1 2
 Pa 3     Pa 3 .
 3 3 3
  EI  M P  M  4 
Очевидно, что «превращение» шпангоута из статически неопределимого в статически определимый, привело к росту отмеченных перемещений – к
большей деформации при одинаковой нагрузке.
Строительная механика
82
Решение системы канонических уравнений метода сил (СКУМС)
Решив СКУМС (СЛАУ), определим неизвестные усилия:
X j k  1, m .


В нашем примере: d 11  X 1  1P  0 , тогда X 1  
1P
d 11
.
При этом коэффициенты d ii d 11  зависят от жесткости удаленных элементов.
Понятно, что полученное решение необходимо проверить.
Однако, перед проверкой следует построить суммарные эпюры.
Построение суммарных эпюр
Производится в соответствии с принципом суперпозиции, например
для построения эпюры изгибающего момента, следует воспользоваться формулой:
M x   M
P
W
x    M j x   X j .
j 1
Деформативная проверка
Для проведения проверки решения выбирается другая основная система и определяются перемещения, соответствующие отброшенным связям.
P
P
О.С.
З.С.
другая
О.С.
Э.С.
Х1
Х2
F1=1
F2=1
M1
M2
Проверяется отсутствие смещений отброшенных связей.
Использование эквивалентной системы для определения перемещений
Вначале рассмотрим пример. Пусть необходимо найти угол поворота
сечения А.
Строительная механика
83
P
P
З.С.
Э.С.
A
M
Х1
Х2
A
A
M1  1
M1
В самом простом виде формула для определения перемещений имеет вид:

m   
0
M  x   M m x 
dx .
EJ
При определении перемещений в статически неопределимых системах
эпюры единичного состояния (функции) по Мору можно строить в любой
основной системе.
Поэтому выгодно использовать такую основную систему, эпюры единичного состояния в которой получаются проще.
Кроме того при определении перемещений можно грузовое состояние основ-
ной системы перемножать на результат расчета статически неопределимой
системы от действия единичного усилия.
В самом простом виде формула для определения перемещений при таком подходе будет иметь вид.
P

x   M m, ст.неопр.x 
M о.с.
m   
dx .
EJ
0
Этот подход в некоторых случаях может оказаться выгодным.
Особенности расчетов при наличии круговых брусьев
Если система содержит криволинейные, в частности круговые (малой
кривизны) элементы (диски), то расчет имеет ряд особенностей. (Нельзя воспользоваться способом Верещагина, не «работают» дифференциальные зависимости при изгибе, полученные для прямых брусьев, однако желательно
определять угловую координату, при которой поперечная сила равна нулю,
чтобы получить корректное геометрическое представление в виде эпюр.)
Строительная механика
84
Рассмотрим дифференциальные зависимости при изгибе плоских круговых брусьев. Выделим дифференциальный элемент и покажем действующие на него нагрузки.
Q+dQ
qn
Q
qt
M+dM
r
N+dN
ход
б
о
M
N
d
Из трех уравнений равновесия этого элемента получаются следующие
зависимости:
dN
dQ
dM
 Q  qt  r ;
 Q  r .
 N  qn  r ;
d
d
d
Это дифференциальные зависимости. Получены они при показанном направлении обхода и направлениях распределенной нагрузки.
Укажем некоторые замечания по характеру эпюр ВСФ:
1. В месте приложения сосредоточенного момента на эпюре изгибающего
момента наблюдается скачок.
2. В месте приложения сосредоточенной силы, перпендикулярной оси
стержня, наблюдается скачок на эпюре поперечной силы и излом на
эпюрах изгибающего момента и продольной силы.
3. В месте приложения сосредоточенной силы, направленной по оси
стержня, наблюдается скачок на эпюре продольной силы и излом на
эпюрах изгибающего момента и поперечной силы.
4. В сечениях, где Q  0 эпюра изгибающего момента имеет экстремум.
5. В сечениях, где N  qn  r  0 эпюра поперечной силы имеет экстремум.
6. В сечениях, где  Q  qt  r  0 эпюра продольной силы имеет экстремум.
Для определения перемещений в статически определимых и в статически неопределимых системах, а также для получения системы канонических
уравнений метода сил для раскрытия статической неопределимости необходимо прежде всего знать распределение внутренних силовых факторов –
Строительная механика
85
функции угловой координаты, которые затем будут использоваться в соответствующих интегралах.
Сначала рассмотрим статически определимую систему. После составления уравнений статики получим интересующий нас элемент (круговой
брус), нагруженный уравновешенной нагрузкой, в которую включены реакции внутренних и опорных связей.
Пример:
L2
Pi
YB
B
X'B
Y'B
P2
Li
Y'A
X'A
P1
n
r
XB
Здесь
два
участка,
а
может
быть
один или
более
двух.
XA
A
t
L1
YA
Понятно, что кроме сосредоточенных сил и моментов элемент может
быть нагружен распределенными усилиями касательными q t и нормальными
qn .
Упрощая, рассмотрим один участок без распределенной нагрузки.
Здесь удобно воспользоваться методом начальных параметров. Для чего
необходимо свести все силы и момент, действующие в точке, соответствующей началу обхода (пусть по часовой стрелке), в местной для данной точки
системе координат к трем равнодействующим Rt0 , Rn0 , L0 .
Строительная механика
86
од
х
об
R0n
Q)
(

L
0
M)
(
N()
t – касательные (tang.);
n
–
нормальные
(normal)

A
r


R 0t
Замечания:
 считаем показанные направления усилий положительными;
 в начале обхода  0  0 ;
 очевидно, что вертикальное и горизонтальное направления в начальной точке могут не совпадать с нормальным и тангенциальным, например:
- шпангоут
Таким образом, при отсутствии распределенных усилий имеем:
N    Rt0  cos   Rn0  sin  ;
Q   Rn0  cos   Rt0  sin  ;
M    L0  Rn0  r  sin  Rt0  r  r  cos   
 L0  Rn0  r  sin  Rt0  r  1  cos  .
Наличие распределенной нагрузки вызовет определенные добавки к
приведенным формулам: N t   , Qt   , M t   - от распределенной
нагрузки q t , действующей параллельно оси элемента, и N n   , Qn   ,
Строительная механика
87
M n   - от распределенной нагрузки qn , действующей перпендикулярно
указанной оси.
Замечание:
Понятно, что любая распределенная нагрузка может быть приведена к
двум этим видам.
Рассмотрим
от q t
од
х
об
добавки в этой точке
qt
r
d
dx
A 




0
0
Nt     qt    r  d  cos     r  qt    cos     d ,
где dx  r  d  , а cos    ─ учитывает направление. Аналогично:

Qt    r  qt    sin     d ,
0

M t    r  qt    1  cos     d .
2
0
Рассмотрим добавки от qn .
добавки
Строительная механика
од
х
об
88
qn
добавки в этой точке
r
d
dx
A 




0
0
N n     qn    r  d  sin     r  qn    sin     d ;

Qn    r  qn    cos     d ;
0

M n    r  qn    sin     d .
2
0
Замечания:
1) непостоянные по угловой координаты распределенные нагрузки могут
быть представлены в виде тригонометрических рядов, что приведет к
необходимости рассмотреть иные интегралы;
2) аналогично можно рассмотреть действие распределенного момента,
учитывать который необходимо лишь для изгибающего момента.
После рассмотрения одного участка последовательно рассматриваются
остальные. При этом конечные результаты, полученные на предыдущем
участке, принимаются в качестве начальных на последующем с четом соответствующих проекций сил и (или) момента, действующих на границе участков.
Замечание:
Приведенный алгоритм пригоден для определения внутренних силовых
факторов в грузовом и единичных состояниях. При этом необходимо учитывать обязательное согласование разбиения на участки и направлений обхода
при подсчете интегралов.
Строительная механика
89
Если система содержит круговые брусья, то для расчета и поиска перемещений потребуется вычислять определенные интегралы, содержащие тригонометрические функции. Приведем следующую справочную таблицу.
Интегралы для расчета круговых брусьев
№
Значение в пределах
0—
0 — /2
Интеграл
2
 sin d
 cosd
3
 sin d
4
 cos d
5
 sin  cosd
6
2
 cos  sin d
7
 sin 2d
8
 cos 2d
9
 sin  cosd
10
  sin d
sin 2 
1
sin 2
2
1 2
sin 
2
sin   cos
11
  cosd
 sin  cos  1
12
  cos sin d
1
 cos 2
sin 2 
8
4
1
2
2
2
13
  sin d
14
2
  cos d
15
  sin 2d
16
  cos 2d
17
 sin    sin d
2
1 cos
1
2
sin
 1
 sin 2
2 4
 1
 sin 2
2 4
1 3
sin 
3
1
1  cos 3 
3
1
0

4

2

2

4



1
3
1
3
1
2
3
0
0
0
1
2
1

1 2
  2 sin 2  sin 2 
4
1 2
  2 sin 2  sin 2 
4
11

 sin 2   cos 2 
2 2

1
 sin 2  sin 2 
2
1
sin   cos
2


0—



1
2

8
2

1

16 4
2 1

16 4

4
1
–
2
1
2
0
0

–2



4
2
4
2
4

2
–
0

2
Строительная механика
18
19
90
 sin    d
 cos   d
1 cos
–1
–2
sin
1
0
R
Пример. Построить эпюру изгибающего момента в круговом шпангоуте с постоянной изгибной жесткости по окружности EI    EI , нагруженном системой двух моментов, как показано на рисунке.
L
L
Силовой шпангоут крепления крыла к фюзеляжу (часть задачи – нет передачи на шпангоут поперечной силы)
Данная задача является трижды статически неопределимой. Уберём
три лишних внутренних связи, проведя «врезку» трех шарниров. Приведем
эквивалентную систему, в которой неизвестные (моменты) X1, X2, X3 обозначим М1, М2, М3.
M1
M1
L/2
M2
L/2
L/2
M3
M2
M3
L/2
Эквивалентная система (внешние моменты разнесены в местах «врезки»
шарниров)
Освободив данную систему от нагрузки, получим основную систему.
Строительная механика
91
Основная система
Рассмотрим «P» состояние основной системы и проведём её декомпозицию для установления усилий во внутренних связях.
L/(2R)
L/2
L/2
L/2
L/2
L/2
L/(2R)
L/2
«P» состояние основной системы
L/(2R)
Реакции в шарнирах определяются
с учетом симметрии конструкции и
прямосимметричности нагрузки
(первая теорема о симметрии)
Теперь можно, выбрав направления обхода участков, построить эпюру
изгибающего момента в этом состоянии.
Строительная механика
92
L
R  Rcos  L 1 cos
2R
2
ход
б
о
L/2
L/2
L/2
L/2
хо
об
д
L L
L

R sin  1  sin 
2 2R
2
Эпюра моментов M P
Аналогично рассмотрим первое единичное состояние X 1  1.
1
1
1
1/R
1/R
Состояние X 1  1 основной системы
Реакции в шарнирах определяются
с учетом симметрии конструкции и прямосимметричности нагрузки (первая теорема
о симметрии)
Строительная механика
93
1
ход
об
1
 R  R cos    cos 
R
1
хо
об
д
1
1
R sin  sin
R
Эпюра моментов M1
Перейдем к изучению второго единичного состояния X 2  1 . Здесь
необходимо провести симметризацию нагрузки путем разложения на прямои обратносимметричную.
1
1
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/(2R)
1/2
1/(2R)
1/(2R)
1/2
1/(2R)
1/(2R)
1/(2R)
1/2
1/2
Состояние X 2  1 основной системы и определение реакций связей
Строительная механика
94
Построим эпюру изгибающего момента в состоянии X 2  1 суммированием по двум подзадачам.
1
1  cos  
2
1
sin 
2
ход
об
ход
об
1/2
1/2
1/2
1/2
1
д
д
хо
об
хо
об
1
1  sin  
2
1
cos 
2
Эпюра моментов M 2
Аналогично второму единичному состоянию X 2  1 рассмотрим состояние X 3  1 основной системы.
1
1/2
1/2
1/2
1/2
1
1/2
1/2
1/2
1/2
1/(2R)
1/2
1/(2R)
1/(2R)
1/2
1/(2R)
1/(2R)
1/(2R)
1/2
1/2
Состояние X 3  1 основной системы и определение реакций связей
Строительная механика
95
Построим эпюру изгибающего момента в состоянии X 3  1 суммированием по двум подзадачам.
1
1  cos  
2
1
sin 
2
ход
об
ход
б
о
1/2
1
1/2
1/2
1/2
1
1
д
д
хо
об
хо
об
1
1  sin  
2
1
cos 
2
Эпюра моментов M 3
Для данной задачи система канонических уравнений метода сил имеет
вид:
d11 X1  d12 X 2  d13 X 3  1P  0,

d 21 X1  d 22 X 2  d 23 X 3  2 P  0,
d 31 X1  d 32 X 2  d 33 X 3  3P  0.
Вычислим коэффициенты и свободные члены системы канонических
уравнений метода сил.
/2
/2
0
0
1
1
1

d11   2  cos 2   Rd   2  sin2   Rd   4  R  R ,
EI
EI
EI
4
/2
/2
0
0
1
L
1
L
1P 
 2  1  cos  cos   Rd   2  1  sin  sin  Rd 
EI
2
EI
2
/2

1
LR
 1  sin  cos   sind  LR  2   .
2 
EI
2
EI 
2
0
Строительная механика
96
Определим d 22 (после симметризации нагрузки момент M 2 состоит из
двух эпюр, поэтому при перемножении эпюр в результат вклад дают только
перемножения прямо- и обратносимметричных самих на себя).
/2
/2
2
2
1
1
1 1

1 1

d 22   2    cos    Rd   2    sin   Rd 
EI
EI
2 2

2 2

0
0
/2
/2
2
2
1
1
1

1


 2   sin   Rd 
 2   cos    Rd 
EI
EI
2

2

0
0
/2
1 R
4  2 cos   2 sin d  1  R .



EI 2  4
EI 4
0
Очевидно, что d 33  d 22 .
Определим d12 (перемножением только прямосимметричных эпюр).
/2
/2
0
0
1
1
1
1
d12 
 2  cos   1  cos  Rd   2  sin  1  sin Rd 
EI
2
EI
2
R

EI

/2


R
 cos   cos   sin  sin  d  EI
2
2
/2
 cos   sin  1 d 
0
2
0
1 R
 .
EI 2
Очевидно, что d 21  d 21 , d13  d12 , d 31  d13 .
Определим d 23 (перемножением отдельно только прямосимметричных
и только обратносимметричных эпюр с последующим суммированием).
/2
/2
2
2
1
1
1

1 1

d 23 
 2   1  cos   Rd   2    sin  Rd 
EI
EI
2

2 2

0
/2
0
/2
2
2
1
1
1

1


 2   sin  d 
 2   cos   d 
EI
EI
2

2

0
1 R


EI 2

1 R

EI 2
0
/2
 1  2 cos  cos   1  2 sin  sin   sin   cos  d 
0
/2
2
2
1 R
 2  cos   2 sin d  EI  4 .
0
2
2
Строительная механика
97
Очевидно, что d 32  d 23 .
Определим 2 P и 3P (перемножением только прямосимметричных
эпюр).
/2
/2
0
/2
0
1
L
1
d 23 
 2  1  cos    1  cos  Rd 
EI
2
2


L
1
 2 1  sin   2 1  sin Rd 
/2
1 LR
1 LR
 2 cos   1d 


1  2 cos   cos 2   1  sin2  d 


EI 2
EI 2 
0

0
1
 
 LR1  .
EI
 4
Очевидно, что 3P  2 P .
В результате приходим к системе уравнений метода сил:
X1



2

2

X1 
X1 

2

4

4
X2

X2

X2


2

4

4
X3
X3
X3



 L 2    0,
2



 
 L1    0,
 4



 L 2    0.
2


Возникла ситуация, когда имеются три неизвестные величины, а уравнение для их поиска всего одно. В этом можно убедиться, умножив второе и
третье уравнения на величину  2 и получив три одинаковых уравнения.
Следовательно, решения нет!!! Метод сил не «срабатывает»? Где же
выход? Что делать?
Возможно всё дело в неудачном выборе основной системы? Будь она
такая, как показано на рисунке
Строительная механика
98
может быть всё бы получилось? Однако вряд ли бы это упростило решение
задачи.
Поэтому, стоит снова обратиться к заданной системе.
L/2
L/2
L/2
L/2
Здесь следует заметить, что нагрузка прямосимметрична относительно
вертикальной оси и обратносимметрична горизонтальной. Это позволяет
установить тот факт, что с одной стороны неизвестные X 2 и X 3 , соответствующие в решённой задаче моментам, которые действуют в сечениях
шпангоута на горизонтальной оси, должны быть равны X 2  X 3 (согласно
первой теореме о симметрии), а с другой стороны должны равняться нулю
(согласно второй теореме о симметрии). Таким образом, остается лишь одно
неизвестное X1 и первое уравнение системы приобретает вид:


X1  L 2    0 .

2
Откуда
X1  
2


2 L  0,137 L .
Теперь, используя принцип суперпозиции M   M P  M1  X1 , строим
эпюры изгибающего момента M  . На верхнем левом участке (четверть
шпангоута) зависимость для M  имеет вид:
M   0,5L1  cos    0,137 L cos   L0,5  0,637 cos   .
Экстремума эта функция не имеет, а становится равной нулю когда
0,5
cos  
 7 ,85 , что соответствует углу 0  38,3 .
0,537
Строительная механика
99
o
38,3
0,137L
0,5L
0,5L
0,5L
0,5L
0,137L
Эпюра изгибающих моментов
Замечание: в ряде случаев метод сил должен использоваться с определенной
осторожностью, особенно при написании алгоритмов программ для расчётов.
К расчету круговых шпангоутов
Если конструкция имеет одну ось симметрии желательно провести
симметризацию нагрузки.
Если конструкция имеет две оси симметрии, то следует при выборе основной системы необходимо учитывать вид симметрии нагрузок: двойная
прямая, двойная смешанная, двойная обратная симметрия. При действии
нагрузки последнего вида задача становится статически определимой. Основные системы для двух других вариантов рекомендуются ниже.
Круговой шпангоут естественно имеет две оси симметрии.
Вернемся к рассмотренному ранее примеру об установлении характера
распределения изгибающего момента в шпангоуте нагруженном двумя изгибающими моментами.
Строительная механика
100
L
L
Заданная система
L/2
L/2
L/2
L/2
Симметризация нагрузки
Проведем симметризацию нагрузки. Очевидно, что нагрузка прямосимметрична относительно вертикальной оси и обратносимметрична горизонтальной. Это случай двойной смешанной симметрии. Задача один раз статически неопределимая. Применив рекомендованную основную системы, покажем эквивалентную систему и рассмотрим последовательно грузовое и
единичные состояния.
X
X
L
L
X
L
L
X
Грузовое состояние
основной системы
Эквивалентная система
XA=L/(2R)
L
L/2
L/2
L/2
L/2
XA
Определение реакций внутренних связей в грузовом состоянии
Эпюра изгибающих моментов в грузовом состоянии
Строительная механика
101
1
1
1/R
1
1/R
1
1
1
Единичное состояние
основной системы
Определение реакций внутренних связей в единичном состоянии
1
1
Эпюра изгибающих моментов в грузовом состоянии
Приведем каноническое уравнение метода сил для определения неизвестного момента X  X 1 :
d11 X  1P  0 .
Заметим,
MP 
что
1
1  cos  R  cos  .
R
Определим d11 и 1P :
L
1  cos R  L 1  cos  ,
2R
2
M 1 1 
/2
4R
R
;
d11 
cos 2 d 

EI
EI
0
/2
2 RL
1  cos  cos d   2LR 1    .
1P  

EI
EI  4 
0
а
Строительная механика
102
Вернемся к разрешающему уравнению метода сил:
R
EI
X1 
2 LR   
1    0 ;
EI  4 
 
X1  2 L1    0 ;

4
 2 1
X 1  L    0 .
 2
Тогда зависимость для изгибающего момента будет следующей:
L
1  cos    L 2  1  cos  
2
 2
M   M P  M1  X 1 
1  2 

 L   1   cos    L0,5  0,637 cos  .
2   

o
38,3
0,137L
0,5L
0,5L
0,5L
0,5L
0,137L
Эпюра изгибающих моментов
Получен аналогичный результат.
Строительная механика
103
Расчет шпангоутов
Для того, чтобы в конструкции фюзеляжа самолета или вертолета фактически реализовывалось бы рациональное напряженное состояние тонкостенного бруса, необходимо обеспечить, чтобы основные нагрузки воспринимались фюзеляжем через шпангоуты. Шпангоуты, через которые на фюзеляж передаются сосредоточенные силы, называются силовыми. Местные
воздушные нагрузки, действующие на фюзеляж, воспринимаются и передаются на обшивку с помощью рядовых шпангоутов. Однако роль этих нагрузок незначительна. Основным назначением рядовых шпангоутов является
обеспечение неизменности контура поперечного сечения фюзеляжа (шпангоуты противодействуют сплющиванию сечений фюзеляжа при его изгибе).
Как силовые, так и рядовые шпангоуты трансформируют как распределенные, так и сосредоточенные внешние нагрузки в потоки касательных сил, передаваемых на обшивку. Именно таким силам обшивка сопротивляется
наилучшим образом.
Для того, чтобы поддерживать рациональное напряженное состояние
фюзеляжа, шпангоуты сами должны обладать достаточной прочностью и
жесткостью.
Рассмотрим типовые примеры нагружения силовых шпангоутов, а также состояние рядового шпангоута при сплющивании фюзеляжа от изгиба.
Крыльевой шпангоут. Изгибающие моменты от консолей
R
L1
L2
L2
qt
Уравновешивающая погонная нагрузка qt 
L1  L2
2R 2
 const
Разделение задачи на две подзадачи
qt
L1
L2
=
LA
LA LB
+
LB
Строительная механика
104
LA 
L1  L2
2
LB 
L2  L1
2
Крыльевой шпангоут. Подъемные силы консолей
Qy
Qy
R

qt
Уравновешивающая погонная нагрузка qt 
2Q y
R
sin
Сплющивание рядового шпангоута при изгибе фюзеляжа
qy
R
P
P

Сплющивающая самоуравновешенная нагрузка q y  q0  cos 
Строительная механика
105
Шпангоут крепления стабилизатора
P
R

qt
Уравновешивающая погонная нагрузка qt 
2P
sin 
R
Вспомогательная задача для расчета шпангоута крепления киля
P
R
qt
P
Уравновешивающая погонная нагрузка qt 
P
 const
R
Строительная механика
106
Вспомогательная задача для расчета шпангоута крепления киля
L
R
qt
L
Уравновешивающая погонная нагрузка qt 
L
R 2
 const
Выбор основной системы
Наличие симметрии в статически неопределимых задачах существенно
снижает трудоемкость расчетов. Обычно наличие двух осей симметрии позволяет – при правильном выборе основной системы – свести задачу к одной лишней неизвестной, а в случае двойной обратной симметрии вообще не
требуется привлечения аппарата метода сил - задача оказывается статически
определимой.
Выбор основной системы необходимо производить в соответствии с
установленным типом симметрии для рассматриваемой задачи.
а)
б)
Варианты основной системы для задач
с двойной прямой симметрией
Строительная механика
Лишние неизвестные при смешанной
симметрии нагрузки
107
Второй вариант основной симметрии при смешанной двоичной симметрии
1.11. Метод перемещений
Первые шаги в становлении метода перемещений (иногда его называют
метод деформаций) появились еще в шестидесятых годах девятнадцатого
столетия в трудах Винклера (1862) и Бресса (1865).
В семидесятых годах девятнадцатого века интенсивное развитие металлического мостостроения выдвинуло задачу о расчете ферм с учетом
жесткости узлов. Оказалось, что эту сложную статически неопределимую задачу можно сравнительно легко решать, если принять за неизвестные не изгибающие моменты на концах стержней, а углы поворота узлов. Так решили
эт у задачу Мандерла (Manderla), а затем Мор, положив начало методу перемещений.
1.11.1. Неизвестные метода перемещений
В ряде случаев бывает выгоден, поскольку оказывается меньше неизвестных, чем при использовании метода сил.
Строительная механика
108
При методе сил:
3Д – С0 = 3  1 – 24 = –21.
При методе перемещений – одно
неизвестное.
Применим как к статически определимым системам, так и к статически
неопределимым системам.
В методе перемещений в качестве основных неизвестных приняты не
силы, а перемещения: углы поворота узлов и их линейные перемещения.
Рассмотрим упрощенный вариант.
P
При этом будем учитывать два
q
допущения:
1) Будем пренебрегать упругими
1
3
перемещениями от продольных
2

и поперечных сил (EF).




2) Не будем делать различия между первоначальной длиной
B
C
принятого элемента и проекцией изогнутой оси этого элемента.
A
Общее число неизвестных метода перемещений п, называемое степенью кинематической неопределимости системы, определяют как сумму неизвестных углов поворота пу и неизвестных линейных перемещений узлов пл:
n = n y + nл .
Число неизвестных углов поворота равно числу «жестких» узлов,
вследствие чего определение ny сводится к простому подсчету числа «жестких» узлов рамы (например, узлы 2, 3).
В результате принятых допущений число независимых линейных смещений узлов заданной системы будет равно степени свободы шарнирной системы, полученной из заданной системы, введением шарниров во все узлы,
включая и опорные (см. рис. ниже). При этом все статически определимые
Строительная механика
109
консоли, если они имеются в заданной системе, должны быть предварительно отброшены.
1
3
2
B
C
Одинаковые
закрепления
A
Таким образом, для рассматриваемой рамы число независимых линейных перемещений узлов будет равно:
nл = 2У – С – С0 = 26 – 5 – 6 = 1,
а общее число неизвестных при пу = 2 составит
n = 2 + 1 = 3.
В том случае, если заданная система содержит кроме прямых и криволинейные стержни, необходимо учитывать возможное сближение концов
криволинейных стержней после их деформации.
При этом формула, определяющая число независимых линейных смещений узлов системы, получит следующий вид:
nл = а + 2У – С – С0,
где а — число криволинейных стержней.
Пример:
P
3
1
3
1
2


1
A
2
B
A
B
C
C
nл = 1 + 26 – 5 – 6 = 2 и n = 3 + 2 = 5.
1.11.2. Основная система метода перемещений
После определения числа неизвестных образуют основную систему метода перемещений путем наложения на узлы заданной системы связей, препятствующих их перемещениям. В соответствии с принятыми неизвестными
эти связи бывают двух типов: связи, препятствующие повороту узлов (защемления), и связи, препятствующие линейным перемещениям узлов (опорные стержни).
Строительная механика
110
Вводимые в основную систему метода перемещений защемляющие
связи отличаются от обычной жесткой заделки тем, что оказывают препятствие лишь повороту узла и не лишают его линейной подвижности. Общее
число вводимых в основную систему связей равно, естественно, числу неизвестных метода перемещений.
Пример образования основной системы метода перемещений:
q
q
z2
z1
P
z1
Заданная
система
z2
P
Основная
система
На рисунке показаны предполагаемые направления неизвестных перемещений.
1.11.3. Система канонических уравнений метода перемещений
Перемещения вне зависимости от их типа (угол поворота или поступательное смещение) обозначают для общности единым символом Zi.
Для определения основных неизвестных Zi записывают систему канонических уравнений метода перемещений:
r11Z1  r12 Z 2    r1n Z n  R1 p  0, 

r21Z1  r22 Z 2    r2n Z n  R2 p  0,
 - в общем случае.
..............................,


rn1Z1  rn 2 Z 2    rnn Z n  Rnp  0. 
Каждое из этих уравнений выражает условие, что суммарная реакция
каждой наложенной на заданную систему связи равна нулю, так как в заданной системе эти связи отсутствуют. Так, в левой части первого уравнения
стоит суммарная реакция первой дополнительной связи, во втором уравнении - суммарная реакция второй дополнительной связи и т. д. Отсюда следует,
что уравнения метода перемещений - статические в отличие от уравнений метода сил,
которые имеют кинематический характер.
Для рассматриваемой системы:
r11Z1  r12 Z 2
r21Z1  r22 Z 2
 R1P
 R2 P
 0
.
 0
Строительная механика
111
Причем, смысл первого уравнения состоит в отрицании момента во
введенной заделке, а второго – в отрицании усилия во введенном стержне.
Коэффициенты при неизвестных rik представляют собой реактивные
усилия (моменты или силы), возникающие в связи i от единичного перемещения Zk связи k. Свободные члены этих уравнений Rip - реактивные усилия в
связи i от внешней нагрузки. Единичные rik и грузовые Rip реакции имеют положительный знак в том случае, если их направления совпадают с заданным
направлением перемещения Zi связи i. Коэффициенты с одинаковыми индексами r11, r22, ..., rnn называют главными, а коэффициенты r12, r13, ..., rik - побочными. Главные коэффициенты всегда положительны и не равны нулю, а побочные
коэффициенты, как и в методе сил, обладают свойством взаимности, т.е. rik = rki.
Для определения коэффициентов и свободных членов канонических
уравнений необходимо предварительно построить эпюры изгибающих моментов в основной системе от единичных неизвестных перемещений узлов
рамы и от внешней нагрузки. Поскольку основная система метода перемещений представляет собой совокупность независимых элементов - однопролетных статически неопределимых балок построение указанных эпюр сводится
к определению усилий в однопролетных балках от перемещений их концов и
от нагрузки. Эти усилия, вычисленные для наиболее важных случаев перемещений и нагружений однопролетных балок постоянного сечения, сводятся
в справочные таблицы.
Необходимо помнить, что при решении систем с EF заделка препятствует
углу поворота, но не препятствует линейным перемещениям. Полученная таким образом
система называется основной системой метода перемещений, но она не эквивалентна
заданной, т.к. в действительной системе существуют перемещения в тех местах, где
были введены дополнительные опоры.
После построения единичных эпюр и грузовой эпюры моментов с помощью таких таблиц приступают к вычислению единичных коэффициентов
rik и свободных членов Rip канонических уравнений. При этом могут быть использованы два способа: статический способ и способ перемножения эпюр.
Строительная механика
112
Таблица
Наиболее важные случаи перемещений и нагружений
однопролетных балок постоянного сечения
Схема балки и эпюра изгибающего момента
1
A
MA
1
l
i
B
RA
RB
MA
MA
i  EI  ;
M A  3i  ;
R A  RB  3i  2
l
A1
MA
Формулы моментов и реакций
2
A
RA
A1
i
B
RB
i  EI  ;
M A  3i ;
R A  RB  3i 
Строительная механика
113
l
q
B
A
RA
MA
RB
q 2
8
MA
9
q 2
128
ul
P
3

8
l
vl
B
A
RA
MA
RB
uvPl
MA
M A  q 2 8 ;
R A  5 q 8 ;
RB  3q 8



P
v 1  v2 ;
2
Pv
RA 
3  v2 ;
2
Pu 2
1  u 
RB 
2
MA 

Продолжение таблицы
1
2
l
М vl
ul
B
A
RA
MA
RB


M
1  3v 2 ;
2
3M
R A  RB 
1  v2

MA 


М
MA
Неравномерный нагрев
l
d
MA
MA
A
RA
i
3it 
;
2d
3it 
R A  RB 
;
2d
МA 
t1
B
t2
RB
 - коэффициент теплового линейного расширения;
t1  t 2 ; t   t1  t 2
Строительная механика
114
A
MA
i
1
l
B
M A  6i  ;
M B  6i  ;
RA
MВ
R A  RB  12i  2
RB
MA
MВ
l
A1
i
A
MA
RA
B
RB
A1
MВ
M A  4i ;
M B  2i ;
R A  RB  6i 
MВ
MA
Продолжение таблицы
1
2
l
q
MA
MA
A
RA
B
q 2
8
RB
MВ
MВ
M A  M B  q 2 12 ;
R A  R B  q 2
Строительная механика
115
l
P
ul
vl
M A  uv 2 P ;
MA
A
RA
B
RB
MA
MВ
M B  u 2 vP ;
RA  v 2 1  2u P ;
RB  u 2 1  2v P
uvPl
MВ
l
М
ul
MA
vl
A
RA
B
RB
М
MВ
M A  Mv 2  3v  ;
M B  Mu 2  3u  ;
R A  RB  6 Muv 
MВ
MA
l
i
d
MA
M A  M B  it  d ;
R A  RB  0 ;
t1
t2 B
A
MA
MВ
 - коэффициент теплового линейного расширения;
t1  t 2 ; t   t1  t 2
MВ
Продолжение таблицы
1
2
l
MA
i
B
1
A
QB
M A  M B  6i  ;
RA
R A  RB  12i  2
MВ
MA
MВ
Строительная механика
116
l
A1
i
B
A1
MA A
MA  MB i;
R A  RB  0
MВ
MA
MВ
l
q
M A  q 2 3 ;
A
RA
MA
B
MВ
MA
M B  q 2 6 ;
R A  q ;
RB  0
MВ
l
ul
MA
P
M A  Pu 2  u  / 2 ;
vl
A
RA
M B  Pu 2 / 2
RA  P ;
RB  0
B
MВ
MA
MВ
Окончание таблицы
2
1
l
d
MA
MA
A
M A  M B  it  d ;
R A  RB  0 ;
t1
t2 B
MВ
MВ
 - коэффициент теплового линейного расширения;
t1  t 2 ; t   t1  t 2
Строительная механика
117
Дополнения:
Э. Винклер
(1835—1888)
Эмиль Винклер (Winkler) родился близ Торгау в Саксонии и учился в местной гимназии.
По смерти своего отца он был вынужден прервать образование и работать некоторое время в качестве ученика каменщика. Преодолев трудности, он сумел, однако, закончить среднее образование,
после чего поступил в Дрезденский политехникум, избрав своей специальностью строительную
технику. В этом учебном заведении он обнаружил блестящую способность находить в инженерных проблемах их математическую форму. Вскоре после окончания политехникума он опубликовал свою важную работу по теории кривого бруса. С 1860 г. он начал работать в Дрезденском политехникуме преподавателем по сопротивлению материалов, а с 1863 г. приступил в том же политехникуме к чтению лекций по строительству мостов. Он получил докторскую степень в 1860 г. от
Лейпцигского университета за свою теорию подпорных стен; в 1862 г. вышла в свет его большая
работа по неразрезным балкам. Он был не только выдающимся инженером, но и хорошим педагогом и в 1865 г. был избран на кафедру мостов и постройки железных дорог Пражского политехнического института. Там он продолжал вести научную работу и выпустил в 1867 г. руководство по
сопротивлению материалов, в которое включил свои собственные решения ряда важных инженерных проблем. В 1868 г. Винклер был избран на должность профессора Венского политехникума, и
здесь он приступил к составлению своих руководств по сооружению мостов и железных дорог,
которые сыграли в дальнейшем крупную роль в этих отраслях инженерной науки не только в Германии и Австрии, но также и за пределами этих стран.
В 1877 г. в Берлине началась реорганизация местной Строительной академии с целью повышения ее значения до уровня других германских политехнических институтов, и Винклер был
приглашен туда для участия в проведении этой реформы и чтения курсов по теории сооружений и
мостам. Именно здесь он заинтересовался вопросами экспериментального исследования напряжений. Он пользовался каучуковыми моделями для изучения напряжений в заклепочных соединениях, исследовал распределение давления песка на подпорные стены и давления ветра на фермы с
решетками различных типов, определял экспериментальным путем напряжения в арках. С этой
целью, в частности, во дворе Строительной академии была сооружена опытная арка.
Наиболее ценным вкладом Винклерав сопротивление материалов была его теория изгиба
кривого бруса. Навье и Бресс, имея дело с такого рода брусом, вычисляли его прогибы и напряжения по формулам, выведенным для призматического бруса. Подобный подход к решению задачи
законен лишь в том случае, если размеры поперечного сечения бруса малы в сравнении с радиусом кривизны его оси. Но в крюках, кольцах, звеньях цепей и т. п. это условие не выполняется, и
формулы, выведенные для прямого бруса, в этих случаях оказываются недостаточно точными,
чтобы на них допустимо было основывать расчет кривого бруса. В ходе построения более точной
теории Винклер удерживает гипотезу плоских поперечных сечений при изгибе, но учитывает то
обстоятельство, что вследствие начальной кривизны продольные волокна бруса между двумя
смежными поперечными сечениями имеют неравные длины, и потому напряжения в них уже не
пропорциональны их расстояниям от нейтральной оси, а нейтральная ось не проходит через центры тяжести поперечных сечений.
Винклер пользуется своей общей теорией для вычисления напряжений в крюках, кольцах
различного очертания и в звеньях цепей. Он показывает, что если размеры поперечных сечений
кривого бруса не малы в сравнении с радиусом его кривизны, то элементарная формула изгиба
прямого бруса утрачивает свою применимость и расчет должен основываться на новой теории.
В другой представляющей большое значение статье, посвященной деформациям, симметричным относительно оси, Винклер исследует цилиндрическую трубу, находящуюся под равномерными внутренним и внешним давлениями, и выводит формулу Ламе. При определении необходимой толщины стенки для трубы Винклер опирается на теорию наибольших нормальных деформаций и приходит к формуле, несколько отличающейся от формулы Ламе. Он исследует также
и условия по торцам трубы, рассматривая сферические и плоские торцы. Для того и другого случаев Винклер дает уравнения для напряжений и показывает, что цилиндрическая труба испытывает у концов некоторый местный изгиб. Учитывая его, он вводит поправки в теорию, разработанную до него Шеффлером. В заключение Винклер выводит соотношения между напряжениями во
вращающихся дисках и пользуется ими в расчете маховиков.
Строительная механика
118
Статья Винклера о неразрезных балках появилась в печати в 1862 г. В это время автор ее
интересовался строительством мостов, и потому большая часть статьи посвящена вопросам невыгоднейшего загружения. К ней присоединены таблицы для расчета четырехпролетной балки.
В руководстве по сопротивлению материалов, появившемся в 1867 г., Винклер уже не придерживается элементарного изложения предмета, а дает общие уравнения теории упругости и использует их в теории изгиба балок. Он сравнивает обычные приближенные решения с результатами, получаемыми на основе теории упругости, и показывает, что элементарные уравнения обеспечивают необходимую точность в практических применениях. Выводя формулы для определения
безопасных размеров сооружений, Винклер следует Сен-Венану и неизменно руководствуется
теорией наибольших деформаций как критерием прочности. В главе, посвященной изгибу балок,
весьма подробно исследуются неразрезные балки. Останавливаясь на поперечном выпучивании
осесимметрично сжатого бруса, автор предлагает несколько решений для различных типов бруса
переменного профиля. Задача о “балке-колонне” (т. е. о совместном действии осевой силы и поперечной нагрузки) рассматривается весьма подробно, причем выводится несколько полезных формул для вычисления наибольших прогибов и наибольших изгибающих моментов. Впервые ставится задача об изгибе балки на упругом основании и отмечается применимость относящейся сюда
теории к вычислению напряжений в железнодорожном пути. Глава, содержащая теорию кривого
бруса, кроме общей теории, касается также и применений ее к расчету арок. Рассматривая двухшарнирные арки, Винклер приводит материал, разработанный уже Брессом, но в разделе бесшарнирных арок дает и новые результаты. Им были составлены с целью упрощения расчетов таблицы
для круговых и параболических арок постоянного поперечного сечения при различных загружениях.
Книга Винклера - самое полное руководство по сопротивлению материалов из числа написанных на немецком языке, сохраняющее и до сих пор свое значение для инженеров. В позднейших сочинениях по этому вопросу обнаруживается тенденция к отделению сопротивления материалов от математической теории упругости и к изложению в более элементарной форме, чем та,
которой пользовался Винклер.
БРЕСС
Жак Антуан Шарль
(09.10.1822 — 22.05.1883)
Механик и инженер Жак Антуан Шарль Бресс (Bresse J. A. C.) родился в г. Вьенне (Франция). В 1843 г. окончил Политехническую школу, а в 1845 г. — Школу мостов и дорог и начал педагогическую работу в качестве ассистента профессора прикладной механики Школы мостов и
дорог Беланже(Belanger), a в 1853 г. стал его преемником,
В 1859 г. были опубликованы первые два тома курса прикладной механики Ж. Бресса, в
которых изложены сопротивление материалов и гидравлика, а в 1865 г. вышел третий том, содержащий расчет статически неопределимых балок. В книге Ж. Бресс рассмотрел внецентренное продольное нагружение стержня, ввел понятие ядра сечений и изучил его свойства, изложил разработанную им теорию деформирования плоского кривого стержня малой кривизны в его плоскости и
применил ее для проектирования арок.
Кроме упомянутых выше исследований Ж. Бресс дал первое построение эпюры изгибающих моментов в статически неопределимой балке, преобразовал дифференциальные уравнения
изогнутой оси прямого и кривого стержня малой кривизны, приведя их к интегральной форме,
близкой к формуле Мора, и выполнил ряд других исследований по строительной механике стержневых систем.
Наряду с педагогической и научной работой Ж. Бресс вел большую административную работу, будучи с 1870 г. главным инженером, а с 1881 г. — генералом-инспектором мостов и дорог
Франции.
Строительная механика
119
1.11.3.1. Статический способ определения коэффициентов канонических уравнений метода перемещений
Статический способ основан на использовании уравнений равновесия
для определения реакций введенных связей, которые и являются искомыми
коэффициентами при неизвестных и свободными членами канонических
уравнений. Например, коэффициенты и свободные члены, представляющие
реактивные моменты во введенных защемлениях, определяются из условий
равновесия вырезанных из основной системы узлов в виде М = 0. Аналогичные коэффициенты, представляющие реактивные усилия во введенных
стержневых связях, могут быть определены из условий равновесия некоторой отсеченной части основной системы, содержащей эти связи. Положительное направление определяемой реакции, моментной или силовой, совпадает с принятым направлением неизвестного угла поворота или линейного
смещения узла.
1.11.3.1. Определение коэффициентов канонических уравнений метода
перемещений способом перемножения эпюр
Способ перемножения эпюр целесообразно применять, например, при
расчете рамы с наклонными стойками, когда применение статического способа усложняется:
MiMk
rik   
dx ;
EI
M p M i
RiP   
dx ,
EI
где M i , M k - эпюры от единичных перемещений, построенные в основной
системе метода перемещений; M'p - эпюра моментов от нагрузки, построенная в
любой статически определимой системе, образованной из заданной рамы.
1.11.4. Примеры расчетов по методу перемещений
Пример № 1:
Построить суммарные эпюры для системы (EF).
Заданная система
Решение:
Строительная механика

 2
120
i
EI


P
1. Установим степень кинематической неопределимости заданной системы:
nУ = 1;
введем вспомогательную систему:


Вспомогательная система
(для анализа)
nЛ = 2У – С – Со = 24 – 3 – 5 =0, но
эта система мгновенно изменяемая
поэтому считаем, что nЛ = 1.
n = nУ + nЛ = 1+ 1= 2.
2. Выбираем основную систему, вводя две связи (Z1 и Z2): одну на поворот центрального стыка стержней,
вторую на линейное перемещение:
Основная система
Z1
Понятно, что центральный узел показан
условно.
Z2
3. Рассматриваем состояние «Р» основной системы. Строим эпюры моментов
и поперечных сил, используя справочные данные:
Строительная механика
121
М
Q
P2
P 8
P
P 8
P2
2i
6i


4i
6i

Статический метод. Рассматриваем равновесие узла и определяем реакции,
т.е. R1P и R2P:
P 8
R1P
P 2
R1P  2i  P 8 ;
R2 P   6i   P 2 .
6i

R2 P
2i
4.Рассмотрим единичные состояния основной системы. Состояние Z1  1 .
Строим эпюры моментов и поперечных сил, используя справочные данные:
Строительная механика
122
3i
6i

2i
М
3i

4i
3i

Q
6i

6i

4i
Z1  1
6i

2i
М
Q
Рассматриваем равновесие узла и определяем реакции, т.е. r11 и r21:
4i
r11
6i

3i

6i

Z1  1
3i
r11  4i  4i  3i  11i ;
6i 6i
r21    0 .
 
r21
4i
Состояние Z 2  1. Строим эпюры моментов и поперечных сил, используя
справочные данные:
Строительная механика
123
6i

12i
2
12i
6i

2
6i 12i
 2
Z2  1
12i
6i

2
М
Q
Рассматриваем равновесие узла и определяем реакции, т.е. r22 и r12:
6i

12i
2
6i 6i
  0;
 
r22  12i  2  12i  2  24i  2
r12 
r12
12i
r22
2
6i

5. Составляем систему канонических уравнений метода перемещений:
P

 0; 
8

24i
6i P
Z2 
  0.
2

2


11iZ1  2i 
6. Определяем величины неизвестных перемещений Z1 и Z2:
Строительная механика
124
 P 6i 
P
2  

 2
2
 

8
i
; Z2 
.
Z1 
11
24i
7. Строим суммарные эпюры, используя принцип суперпозиции (покажем
условно):
M   M P  M1  Z1  M 2  Z 2 .
М
Q
Пример № 2:
Построить суммарные эпюры для системы (EF), элементы которой имеют одинаковую постоянную по длине изгибную жесткость.
Заданная система
P
a
a
a
a
Pa
Решение:
1. Установим степень кинематической неопределимости заданной системы:
nУ = 1.
Введем вспомогательную систему
для установления количества неизвестных линейных смещений:
Строительная механика
125
Вспомогательная система для проведения
анализа подвижности
В приведенной на рисунке системе
содержится: два стержня, четыре
опорных стержня, три узла. Число
возможных линейных смещений равно подвижности системы составит:
nл  П  2У  С  Соп  2  3  2  4  0 .
Степень кинематической неопределимости равна: n  n у  nл  1  0  1 ,
т. е. система является однажды кинематически неопределимой. По методу
сил дважды статически неопределимой (две лишние опорные связи)
В заданной системе для удобства обозначим характерные точки (нижний индекс у буквенного обозначения указывает на принадлежность её к ригелю – 1 и к стойке – 2).
P
A2
A1 a
E2
a
a
a
B1
С1
Pa
E’2
D2 P
2. Выбираем основную систему, вводя связь (Z1) на поворот центрального
стыка стержней.
Основная система
Строительная механика
126
3. Рассматриваем состояние «Р» основной системы. Строим эпюры моментов
и поперечных сил, используя справочные данные:
3Pa
8
Pa
4
P
Pa
2
5Pa
Pa 16
2
Pa
4
Применяем статический метод: рассматриваем равновесие узла и определяем реакцию R1P:
R1P
3Pa
8
Pa
4
5
3 1
R1P     Pa   Pa .
8
8 4
Знак «─» поскольку направление реакции не совпадает с принятым направлением угла единичного поворота.
4.Рассмотрим единичное состояние основной системы. Состояние Z1  1 .
Строим эпюры моментов, используя справочные данные:
1
4i
Z1
3i
2i
Строительная механика
127
Применяем статический метод: рассматриваем равновесие узла и определяем реакцию r11:
r11
3i
4i
r11  3i  4i  7i .
Знак «+» поскольку направление реакции совпадает с принятым направлением угла единичного поворота.
5. Составляем каноническое уравнение метода перемещений:
r11Z1  R1P  0 .
Определяем неизвестный угол поворота Z1:
5
7iZ1  Pa  0 ;
8
Z1 
5
5 Pa
Pa  
.
8  7i
56 i
7. Перед построением результирующе эпюры моментов M  , построим вспомогательную эпюру моментов M 1  Z1 . Для этого найдем значения этих моментов в характерных точках.
5 Pa 5
 Pa .
Значение в нижней точке стойки D2 : 2i  
56 i
28
5 Pa 5
 Pa .
Значение в верхней точке стойки A2 : 4i  
56 i 14
5 Pa 15
 Pa .
Значение в крайней левой точке ригеля A1 : 3i  
56 i
56
Значение в крайней левой точке ригеля B1 равно нулю.
Теперь приведем данную вспомогательную эпюру.
Строительная механика
128
Z1
5Pa
14
Z1  M1
15Pa
56
5Pa
28
Теперь построим суммарную эпюру изгибающих моментов:
M   M P  M1  Z1 .
Обе составляющие этого выражения являются линейными зависимостями,
ригель и стойка имеют по два участка для значений изгибающего момента,
поэтому необходимо лишь выяснить значения для этой функции в характерных точках.
Pa 5Pa 2
1

 Pa  Pa .
Значение в нижней точке стойки D2 :
4
28 28
14
5Pa Pa 3

 Pa .
Значение в верхней точке стойки A2 :
14
4 28
Выясним значение M 1  Z1 в середине стойки (рисунок).
15Pa
(половина)
56
10Pa
28
 10 Pa 15 Pa  5 Pa



56  56
 28
5Pa
28
15Pa
28
Строительная механика
129
Значение в средней точке стойки E2 (снизу):
Pa 5Pa 23

 Pa , причем
2
56 56
волокна растянуты справа.
Значение в средней точке стойки E2 (сверху):
Pa 5Pa 33

 Pa , при2
56 56
чем волокна растянуты слева.
Значение в крайней левой точке ригеля B1 равно нулю.
3Pa 15Pa 3

 Pa , причем волокна
Значение в левой точке ригеля A1 :
8
56
28
растянуты сверху.
Выясним значение в середине ригеля (рисунок).
P
3Pa
8
5Pa
16
Z1  M1
15Pa
56
15Pa
112
Значение в средней точке ригеля C1 :
15Pa 5Pa 25

 Pa , причем во112
16 56
локна растянуты снизу.
Представим построенную по точкам суммарную эпюру изгибающего
момента (рисунок).
3Pa
28
M
25Pa
23Pa 56
33Pa
56
Pa
14
56
Заметим, что узел рамы находится в равновесии.
Эпюру поперченных сил при необходимости можно восстановить
обычным образом по эпюре изгибающего момента.
Строительная механика
130
Дополнение:
Результаты расчетов плоских рам по методу сил и по методу перемещений совпадают. В этом можно убедиться, сопоставив решения для рамы,
полученные этими двумя методами.
Рассмотрим пример, представленный на рисунке: рама – ригель и стойка (сечения и материал одинаковы), жестко защемленная по краям, верхняя
заделка подвергнута кинематическому воздействию (смещена на угол 0,1 радиана).
Заданная система

a
a
Решим задачу методом перемещений. Система один раз кинематически
неопределимая (поворот жесткого узла).
Представим основную систему, а также грузовое и единичное состояния.
Основная система
Грузовое состояние
0,4i
P
Единичное состояние
1
2i
4i
0,2i
Z1
4i
2i
Применяем статический метод: рассматриваем равновесие узла и определяем реакцию R1P:
Строительная механика
131
R1P
0,2i
EI
.
a
Применяем статический метод: рассматриваем равновесие узла и определяем реакцию r11:
R1P  0,2i  0,2
r11
4i
4i
r11  4i  4i  8i .
Составляем каноническое уравнение метода перемещений:
r11Z1  R1P  0 .
Определяем неизвестный угол поворота Z1:
8iZ1  0,2i  0 ;
Z1  0 ,025i .
Представим построенную по точкам суммарную эпюру изгибающего
момента (рисунок).
0,35i
0,1i
M 0,1i
0,05i
Решим задачу методом сил. Система трижды статически неопределимая (три лишних опорных связи).
Строительная механика
132
Представим основную и эквивалентную системы, а также грузовое и
единичные состояния основной системы.
Основная система
Эквивалентная система

X2
Грузовое состояние
X1
X2
X3
Единичное состояние
«1»
1
Единичное состояние
«2»
1
Единичное состояние
«3»
1
1
Вычислим коэффициенты и свободные члены системы канонических
уравнений метода сил.
d11 X1  d12 X 2  d13 X 3  1P  0,

d 21 X1  d 22 X 2  d 23 X 3  2 P  0,
d 31 X1  d 32 X 2  d 33 X 3  3P  0;
d11 
1
1
1
2
1
; d12  ; d13  0 ; d 22  ; d 23   ; d 33  ; iP  0 .
3i
6i
3i
3i
6i
Решаем систему.
1
1

X1  X 2  0 ,1; 
3i
6i

1
2
1
X 1 X 2  X 3  0; ;
6i
3
6

1
1
 X 2  X 3  0, 

6i
3i
Строительная механика
133
X3 
1
X 2 ; X 2  2X 3 ,
2
1
2
1
X1  X 2 
X 2  0 ; 2 X 1  8 X 2  X 2  0 ; 2 X 1  7 X 2 ;
6i
3i
12i
2
1
X1  X 2  0,6 ;  7 X 2  X 2  0 ,6i ; X 2  0 ,1i .
i
i
Заметим, что X 2 соответствует значению изгибающего момента в узле
и это значение совпадает с полученным методом перемещений. Следовательно, оба метода приводят к одинаковому решению.
1.12. Смешанный метод исследования комбинированных стержневых
систем
1.12.1. Сущность смешанного метода
Существуют методы расчета, в которых одна часть неизвестных представляет собой усилия, а другая часть – перемещения. Этот метод в начале
прошлого века использовался для расчетов Фридрихом Блейхом 2, обощен и
сведен воедино профессором Алексеем Алексеевичем Гвоздевым 3, который
представил данный метод в наиболее общем виде под названием смешанного
метода.
Сущность смешанного метода может быть пояснена следующим простым примером.
D
h
l
q
A
4
3
B
C
Фридрих Блейх (1878 – 1950) австрийско-американский механик, мостостроитель.
Гвоздев Алексей Алексеевич 09.05.1897 - 22.08.1986. Один из крупнейших учёных в области теории железобетона, железобетонных конструкций и строительной механики. Его научная и практическая деятельность
явилась яркой страницей в истории строительной науки не только России, но всего мира.
2
3
Строительная механика
134
Для расчета представленной рамы метод сил потребует составления
восьми уравнений (один диск, один замкнутый контур с одним врезанным
шарниром, девять опорных стержней: П  3 1  3  1  9  8 ), а метод перемещений (деформаций) – шести уравнений.
Основная система
метода перемещений
1
2
Вспомогательная система
для определения nл
Введено четыре
подвижных жестких
заделки
3
4
nл  2 У  С  Соп  2  8  8  6  2
n  nу nл  42  6
Вместо того, чтобы образовать основную систему по двум уже известным методам, создадим её по смешанному принципу, а именно: одновременно отбросим связи в одном месте и введём дополнительные связи в другом
месте. Узел D разрежем и уничтоженные две связи заменим силами X1 и
X 2 . Узлы 3 и 4 дополнительно закрепим, а их неизвестные углы поворота
обозначим через Z3 и Z 4 .
X1
X2
3
X1
X2
4
На следующих четырёх схемах покажем единичные состояния основной системы. Через M1 , M 2 , M 3 и M 4 обозначены эпюры моментов, вызванные единичными воздействиями X 1  1; X 2  1 ; X 3  1 и X 4  1 .
Строительная механика
135
X1=1
r31
M1
r33
3=1
X2=1
r32
r41
r43
r42
M2
r44
r34
M3
M4
4=1
Покажем эпюру M P грузового состояния.
R3P
q
R4P
MP
Канонические уравнения смешанного метода записываются так:
 Z3  d14
 Z 4  1P  0; 
d11 X1  d12 X 2  d13
 Z3  d 24
 Z 4  2 P  0;
d 21 X1  d 22 X 2  d 23

 X1  r32
 X 2  r33Z3  r34 Z 4  R3P  0; 
r31
 X1  r42
 X 2  r43Z3  r44 Z 4  R4 P  0. 
r41
Здесь через d и r , как обычно, обозначены перемещения вызванные
единичными силами ( d ), и реакции, вызванные единичными перемещениями
( r ); через d  и r  ─ перемещения, вызванные единичными перемещениями
( d  ), и реакции вызванные единичными силами ( r  ).
Строительная механика
136
Первое уравнение выражает тот факт, что суммарное перемещение по
направлению X1 , вызванное всеми факторами, равно нулю. Второе имеет
аналогичный смысл, но в нём речь идет о перемещении по направлению X 2 .
Третье уравнение представляет собой запись того условия, что реактивный
момент в заделке узла 3 равен нулю., а последнее уравнение выражает то же
условие по отношению в реактивному моменту в заделке узла 4.
Таким образом, в смешанном методе часть уравнений выражает условия, обычные для метода сил, а другая часть – условия, характерные для метода перемещений. Одновременно в каждом из уравнений фигурируют оба
типа неизвестных.
После решения системы уравнений окончательную эпюру моментов
можно построить по формуле
M  M P  M1  X 1  M 2  X 2  M 3  Z 3  M 4  Z 4 .
Вычисление коэффициентов в системе уравнений, не имеющих верхнего значка, производится известными способами, остальные же связаны следующей зависимостью:
   r41
 ; d 23
   r42
   r32
   r31
 .
 ; d 24
 ; d14
d13
Этим значительно облегчается вычисление. Из эпюр M1 и M 2 сразу
видно, что
l
l
  h ; r42
  h .
   ; r41
   ; r32
r31
2
2
Общее замечание: коэффициенты при неизвестных системы уравнений
смешанного метода связаны между собой соотношениями:
   rnm
 .
d mn  d nm ; rmn  rnm ; d mn
Проверка эпюр, полученных смешанным методом, как и любыми другими методами, производится по двум направлениям: 1) соблюдение условий
равновесия узлов и других элементов; 2) обращение в нуль перемещений по
направлению опорных или других связей.
Характеризуя смешанный метод, необходимо отметить, что он обладает преимуществом перед методами сил и перемещений в тех случаях, когда
одна часть системы имеет большое число лишних связей и малую степень
упругой подвижности, а другая, наоборот, малое количество лишних связей и
большую степень упругой подвижности.
Строительная механика
137
1.12.2. Пример расчета смешанным методом
3a
Для заданной рамы, представленной на рисунке, с элементами постоянного сечения требуется выбрать метод расчёта, составить канонические
уравнения и вычислить все их коэффициенты.
6a
q
4a
4a
8a
Решение.
Для выбора метода расчёта составим таблицу.
Контур рамы
Степень
статической
неопределимости
Левый
Правый
Итого
1
3
4
Степень статической
неопределимости
(Число неизвестных углов поворота
и линейных перемещений узлов)
6 (3+3)
1
7
Из данной таблицы видно, что если левый контур рамы рассчитать методом сил, а правый – методом перемещений, т. е. применить смешанный метод, то при смешанном методе окажется возможным провести расчёт с помощью двух уравнений с двумя неизвестными вместо 4 – по методу сил и 7 –
по методу перемещений.
Приведем на рисунке основную систему для смешанного метода.
Z2
2
1
X1
Основная
система
q
Строительная механика
138
Составим систему канонических уравнений для определения неизвестных X1 и Z 2 :
 Z 2  1P  0;
d11 X1  d12

 X1  r22Z 2  R2 P  0.
r21
Коэффициент d11 , представляющий собой «перемещение от силы»,
определяется перемещением эпюры M1 , показанной ниже, на ту же эпюру
M1 .
4a
8a
8a
M1
X1=1
Воспользуемся способом Верещагина (длина наклонного участка 5a ):

a3  4  5 2
8  4 4  5 
2 
 1024a3
.
d11  
  4  45

  4   4   8  2  8 
EI  2 3
2
2 
3 
3EI

 , представляющий собой «перемещение от перемеКоэффициент d12
щения», определим исходя, из геометрических соображений (см. рисунок):
  aa  cos   S    cos      .
d12
a
M2
d 12
90

a
EI
a

Z2=1
EI
2a
S
l
EI
2a
EI
4a
Строительная механика
139
  8a .
Но угол поворота   1, а   8a , следовательно d12
 положительно, так как совпадает с направлением
Перемещение d12
действия силы X1 .
 , представляющий собой «силу от силы», т. е. реакКоэффициент r21
цию, возникающую в связи 2 от силы X 1  1, определим из условия равновесия узла 2 основной системы, который показан на рисунке:
r21
 M 2  r21  8a  0 ,
8a
  8a .
откуда r21
 можно также определить из соотношения
Заметим, что реакцию r21
  d nm
 .
rmn
Коэффициент r22 , представляющий собой «силу от перемещения», т. е.
реакцию, возникающую в связи 2 от поворота этой связи на величину силы
Z 2  1 , определим из условия равновесия узла 2 основной системы, который
изображен на рисунке:
r22
EI
a
EI
EI
 M 2  r22  2a  a  0 ,
EI
2a
следовательно,
r22 
3EI
.
2a
Грузовые коэффициенты 1P и R2 P в данном случае равны:
Строительная механика
140
q 2
64qa 2
1P  0 ; R2 P  
.

12
12
При этом для грузового коэффициента R2 P значение определяется как реакция узла 2 основной системы при воздействии внешней нагрузки (см. рисунок):
q2
12
MP
q 2
12
q 2
24
R2P
q 2
12
q 2
 M 2  R2 P  12  0 .
Подставим полученные коэффициенты в систему уравнений:
1024a3
X1  8aZ 2

3EI

3EI
  8aX

Z2
1

2a
 0,
64qa 2

12
 0.
Проведем последовательные преобразования системы и разрешим её:
128a 2
X1
 Z2

3
EI

  48 X1  9 EI Z 2

2a 2
 0;
 32qa  0,
Строительная механика
141
128a 2

X1  3Z 2
 EI
 48a 2 X  9 EIZ

1
2
 0;
 32qa3
 0.
Из первого уравнения:
3Z 2  
128a 2
X1 .
EI
Подставим во второе и получим:
 48a 2 X1  384a 2 X1  32qa3  0 ;
3 X1  24 X1  2qa  0 ;
27 X1  2qa  0 ;
X1  
2qa
.
27
Тогда:
128a 2
128a 2  2qa  256qa3
.
Z2  
X1  


3EI
3EI  27 
81EI
Таким образом, решение системы уравнений выглядит так:
X1  
256qa3
2qa
; Z2 
.
27
81EI
Суммарную эпюру изгибающих моментов действующих в раме получим, воспользовавшись принципом суперпозиции:
M   M P  X1  M1  Z 2  M 2 .
Предварительно построим вспомогательные эпюры.
Строительная механика
MP
142
16 qa 2
3
16 qa 2
3
8 qa 2
3
8 qa 2
27
16qa 2
27
X1  M1
Z2  M2
128 qa 2
81
64 qa 2
81
256qa 2
81
128 qa 2
81
Теперь, «складывая» представленные зависимости, легко получить
эпюру M  .
Строительная механика
143
24 qa 2
81
M
304qa 2
81
256qa
81
2
496 qa 2
81
48qa 2
81
248 qa 2
81
128 qa 2
81
Проверим правильность решения. Выберем другую основную систему
и удостоверимся, что вертикальное перемещение левой опоры равно нулю.
Представим выбранную основную систему, единичное состояние этой системы и эпюру единичного момента.
Другая
основная
система
X  1
Строительная механика
144
4a
8a
M
8a
Для определения искомого перемещения по Мору воспользуемся способом Верещагина:
M  M 
qa 4
 5  4  1  2  24  5  24  6  5  24  1   4  2  4  
d  
dx 
EI
EI
2 3 81
81
81 2 
3 
48
256
1
128
1
qa 4 40  24 30  24 100  24
 2 8 
 4  8 
 4   8 
(



81
81
2
81
2
EI
6  81
81
6  81
16  48 128  16
qa 4
qa 4


)
(160  720  400  768  2048) 
(-2048 
81
81
81EI
81EI
 2048)  0.
1.12.2. Комбинированное решение задач методами сил и перемещений
P
Ось симметрии
Сущность комбинированного приема расчета поясним на примере рамы, представленной на рисунке.
Строительная механика
145
Проведем симметризацию нагрузки, раскладывая действующую на раму несимметричную нагрузку на симметричное и обратно симметричное
воздействия. Получим два состояния системы, показанные на рисунках.
2
1
P/2
P/2
0
2
1
P/2
3
P/2
0
3
Для каждого их этих состояний можно легко установить количество
неизвестных при расчете рамы методом сил и методом перемещений. Так, из
симметрии деформации рамы при симметричном ее загружении следует, что
смещение ригеля 1─2 по горизонтали равно нулю, а поворот узла 1 равен повороту узла 2 и противоположен ему по направлению, т. е. Z3=0, а Z1=Z2.
Z1
Z2=Z1
Z3=0
2
1
P/2
0
Основная
система
метода
перемещений
P/2
3
Следовательно, рассчитывая раму методом перемещений на симметричную
нагрузку, необходимо составить и решить одно уравнение с одним неизвестным. Применив же для этого метод сил и используя основную систему, указанную на рисунке, а также учитывая при этом, что поперечная сила X3 при
симметричном загружении равна нулю, пройдется составить и решить два
уравнения с двумя неизвестными.
Строительная механика
146
X3=0
X1
X1
1 X
X2 2
2
X3=0
Основная
система
метода
сил
P/2
0
P/2
3
Очевидно, что на симметричную составляющую заданной нагрузки
рассматриваемую раму целесообразно рассчитать методом перемещений.
Основная система метода перемещений при воздействии на раму обратносимметричной нагрузки показана на рисунке.
Z1
Z2=Z1
Z3
2
1
P/2
0
Основная
система
метода
перемещений
P/2
3
Число неизвестных равно двум. Углы поворота узлов 1 и 2, учитывая
обратносимметричность нагрузки, будут как по величине так и по направлению равны друг другу, ригель 1─2 получит горизонтальное смещение Z3≠0.
Следовательно, рассчитывая раму методом перемещений при действии
обратносимметричной нагрузки, необходимо составить два уравнения с двумя неизвестными.
Рассматривая раму на обратносимметричную нагрузку методом сил,
можно воспользоваться основной системой, изображенной на рисунке, в которой неизвестным усилием будет лишь поперечная сила X3; момент же X2 и
продольная сила при обратносимметричном загружении равны нулю. В этом
случае необходимо решать лишь одно уравнение с одним неизвестным.
Строительная механика
147
X3
2
1
P/2
0
X3
Основная
система
метода
сил
P/2
3
Таким образом, при расчете рассматриваемой рамы на обратносимметричную составляющую нагрузки целесообразно воспользоваться методом
сил.
Сведем полученные результаты в таблицу.
Загружение
Симметричное
Обратносимметричное
Число уравнений при расчете
По методу пеПо методу сил
ремещений
2
1
1
2
Принятый метод расчета
Метод перемещений
Метод сил
Рассмотренный выше пример расчета называется комбинированным
способом. Он используется при расчетах симметричных систем на несимметричные нагрузки.
Дополнение:
Алексей Алексеевич Гвоздев — один из крупнейших учёных в области теории железобетона, железобетонных конструкций и строительной механики. Его научная и практическая деятельность
явилась яркой страницей в истории строительной науки не только России, но всего мира.
А. А. Гвоздев (1897–1986)
Родился 27 апреля (9 мая) 1897 года в селе Богучарово Тульского уезда Тульской губернии, ныне Киреевского района Тульской области. Русский. Окончил Тульскую гимназию.
Для продолжения образования приехал в Москву, где в 1922 году окончил Московский институт инженеров
путей сообщения. В 1922-1923 годах работал в различных строительных организациях Народного комисса-
Строительная механика
148
риата путей сообщения РСФСР (с июля 1923 - СССР) в Москве. С 1923 года - преподаватель, а с 1933 года до
конца 1930-х годов - профессор Московского института инженеров путей сообщения. Также в 1932-1941 годах - профессор кафедры строительной механики Военно-инженерной академии РККА. Преподавал и в
Московском высшем техническом училище имени Н.Э. Баумана.
С 1927 года и до последних дней жизни (то есть на проотяжении 59 лет!) трудился на посту руководителя
созданной по его инициативе лаборатории бетонных и каменных конструкций Государственного института
сооружений (с 1930 года - Всесоюзный государственный научно-экспериментальный институт гражданских,
промышленных и инженерных сооружений, с 1932 года - Центральный институт проомышленных сооружений, с 1957 года - Научно-исследовательский институт бетона и железобетона, в настоящее время - Научноисследовательский, проектно-конструкторский и технологический институт бетона и железобетона имени
А.А. Гвоздева) в Москве. Эта лаборатория стала первым отечественным научно-экспериментальным заведением в области теории строительства в СССР и сыграла выдающуюся и как правило лидирующую, роль в
развитии отечественной строительной науки.
Автор фундаментальных научных работ в области строительной механики стержневых систем, теории пластин и оболочек, теории пластичности и ползучести, расчету железобетонных сооружений. В 1936 году А.А.
Гвоздев доказал статическую и кинематическую теоремы предельного равновесия, которые дают нижнюю и
верхнюю оценки предельной нагрузки. В 1938 году созданная Гвоздевым на основе этих теорем теория расчета на изгиб до стадии разрушения официально вошла в строительные нормы и правила. Далее им был разработан метод расчёта железобетонных конструкций по предельным состояниям, также включенный в строительные нормы и правила. Эти достижения вывели советскую школу строительной механики на лидирующие позиции в мире.
Большое значение для практики строительства имели исследования выполненные под руководством А.А.
Гвоздева исследования в области армирования железобетонных конструкций и разработанные на их основе
виды стержневой арматуры периодического профиля из высокопрочной стали. Также учёный разработал
смешанный метод расчёта статически неопределимых систем, в теории расчета оболочек и складок, в разработке расчетов конструкций методом предельного равновесия. Все эти работы носят фундаментальный характер и продолжаюи применяться в строительстве.
А.А. Гвоздев - один из основателей сразу трёх научных школ: школа теории железобетона, школа железобетонных конструкций общего назначения, школа железобетонных пространственных конструкций. Среди его
учеников свыше 10 докторов наук и свыше 200 кандидатов наук. Автор свыше 100 научных трудов.
В годы Великой Отечественной войны много работал над созданием оборонительных сооружений, вёл исследования в области расчета фортификационных сооружений на действие удара и взрыва. С 1942 по 1962
годы преподавал в Московском инжерерно-строительном институте.
Наряду с теоретическими исследованиями, активно участвовал в расчетах при проектировании создаваемых
уникальных сооружений. В 1930 году при его участии спроектирован и построен первый московский дом из
сборного железобетона. Непосредственно А.А. Гвоздев работал над созданием Московского метрополитена,
сталинских высоток в Москве, Останкинской телебашни, гидротехнических сооружений, объектов Московской Олимпиады 1980 года.
За выдающиеся заслуги в развитии отечественной строительной науки Указом Президиума Верховного Совета СССР в 1971 году Гвоздеву Алексею Алексеевичу присвоено звание Героя Социалистического Труда
с вручением ордена Ленина и золотой медали «Серп и Молот».
Академик Академии строительства и архитектуры СССР (1956). Доктор технических наук (1936). Профессор
(1933).
Одновременно с основной работой также являлся членом Научно-технического совета Госстроя СССР, членом Совета по координации научно-исследовательских работ Госстроя СССР, членом Научно-техниченского
общества строителей, членом редколлегии журнала «Бетон и железобетон», член Совета при Ленинским
премиям при Совете министров СССР.
Жил в городе-герое Москве. Скончался 22 августа 1986 года. Похоронен на Ваганьковском кладбище Москвы.
Сталинская премия (1951). «Заслуженный деятель науки и техники РСФСР» (1967). Награждался премиями и
медалями международных и иностранных инженерных и строительных обществ.
Награждён двумя орденами Ленина, орденами Трудового Красного Знамени, Красной Звезды, медалями.
Именем учёного в 2007 года назван Научно-исследовательский, проектно-конструкторский и технологический институт бетона и железобетона в Москве.
Строительная механика
149
Раздел 2. Балочная теория изгиба тонкостенных стержней
2.1. Геометрия тонкостенных стержней
Расчетная схема "тонкостенный стержень" является частным случаем
оболочки. Оболочкой называется тело, один из трех размеров которого
намного меньше двух других. Из всех видов оболочек остановимся на вытянутых, длинных оболочках.
В каркассированных оболочках продольные элементы предназначены
для повышения несущей способности, а поперечные элементы обеспечивают
рациональной напряженное состояние, сохраняя форму поперечного сечения.
Каркас почти всегда регулярный.
В авиастроении к тонкостенным элементам (стержням) относятся
стрингеры, лонжероны, шпангоуты, элементы конструкции самолета: крыло,
фюзеляж, рулевые поверхности. Удлинения этих агрегатов для большинства
гражданских самолетов   5.
Геометрия каркассированной оболочки определяется формой срединной поверхности обшивки.
Контур сечения – геометрическое место точек пересечения срединной
поверхности агрегата с поперечным сечением.
Дуговая контурная координата t имеет начало координат (начальная
точка) и отсчитывается вдоль контурной линии.
t
Каждая точка на контурной линии имеет свою дуговую координату.
Каждой дуговой координате соответствует периметр – сумма длин контурных участков.
Несущей способностью обладают только обшивка и
стрингеры, поэтому под площадью поперечного сечеR
ния, например, фюзеляжа, понимается величина:
Fсеч  2R  d обш  n  f стр , в то время, как площадь
круга внутри контура равна Fкруга  R 2 и эта величина на два порядка больше Fсеч . (обычно
Fкруга Fсеч  100  300 ).
2.1.1. Сопоставление геометрических характеристик сплошных и тонкостенных стержней
Строительная механика
150
y
y
x
x
Сплошное сечение
Тонкостенное сечение
Каждый элемент площади dF = dxdy Срединная линия профиля является
имеет две независимые координаты x, носителем всех геометрических хаy.
S x   y  dF ; рактеристик сечения: dF  dt  d , где
F   dxdy ;
d  f (t ) . Координаты x, y являются
2
S y   x  dF ;
I x   y  dF ; функциями x  f (t ) ; y  f (t ) , причем
I y   x 2  dF ; I xу   x  y  dF .
F  d  dt ;
зависимыми.

P
S x   y (t )  d  dt ; S y   x(t )  d  dt ;
P
P
I x    y (t )   d  dt ;
2
P
I y    x(t ) 2  d  dt ;
P
I xy   x(t )  y (t )  d  dt .
P
y
y
1
x
Q y  S x ( y)
ymax
2
t
y
b(y)
h
t
x
В тонкостенном стержне текущий
. В соответствии статический момент определяется
I x  b( y )
интегрированием вдоль контурной
с формулой Журавского касательные
t2
напряжения постоянны вдоль линии линии S (t )  y (t )  d  dt . При этом
x

y  const и определяются через переt1
менную функцию S x ( y ) - частичный используется зависимость y(t ) . При
или текущий статический момент переходе от точки 1 к точке 2 теку-
t xy ( y ) 
Строительная механика
151
щий статический момент приобретает
S x ( y )  h  b(h )  dh , который опре- приращение.
y max
y
деляется интегрированием вдоль оси y.
2.1.2. Учет сосредоточенных продольных элементов
При определении геометрических характеристик продольные элементы
учитываются как сосредоточенные площади. Например:
n
I x    y (t ) 2  d  dt   f i  yi .
i 1
P
Здесь n – число продольных элементов в сечении.
Собственные моменты инерции стрингеров не учитываются (учитываются только переносные).
2.1.3. Интеграл Стилтьеса 4
Применяется для сокращения и унификации записей. Вместо переменb
ной интегрирования – интегрирующая функция  f ( x)  dg( x) .
a
Для тонкостенных стержней:
f (t )  y n (t )
(n = 0, 1, … K),
dg( x)  dF(t ) - приращение площади при бесконечно малом приращении t на dt:
если нет сосредоточенного элемента, то dF  d  dt ;
если есть сосредоточенный элемент, то dF  d  dt  f i .
Визуально форма записи обычного интеграла отличается от формы записи интеграла Стилтьеса записью дифференциала:
n
 y (t )  d (t )  dt - обычный интеграл, t – переменная интегрирования;
 y (t )  dF (t ) - интеграл Стилтьеса, dF (t ) - интегрирующая функция.
n
Если интегрирование ведется на участке a  t  b , то
b
b
n ab
 y (t )  dF (t )  y (t )  d  dt   yi  f i ,
n
a
n
a
n
i 1
где i – номер продольного элемента, nab – количество продольных элементов
на (a, b).
2.2. Расчетная схема тонкостенного стержня
4
Стилтьес Томас Иоаннес (29. 12.1856—31. 12. 1894) — нидерландский математик и астроном.
Строительная механика
152
Основные агрегаты авиационных конструкций (крыло, фюзеляж, хвостовое оперение и т.д.) проектируются так, чтобы их напряженное состояние
по возможности соответствовало расчетной схеме тонкостенного стержня,
подобно тому, как строительные крупногабаритные конструкции проектируются так, чтобы их напряженное состояние по возможности ближе соответствовало расчетной схеме фермы. Безмоментность (отсутствие местного изгиба) – основной признак расчетной схемы тонкостенного стержня.
Рассматриваем детали (агрегаты), геометрические размеры которых
удовлетворяют следующему соотношению
  B  d ,
причем знак >> соответствует фразе: "больше не мене, чем в пять раз". Здесь
l – длина. Прямая в направлении длины, соединяющая наиболее удаленные
точки называется продольной осью. Сечение тела плоскостью, перпендикулярной продольной оси, называется поперечным сечением тела. В –
наибольший размер (габарит) поперечного сечения тела. d - толщина оболочки.
Если оболочка не имеет каркаса в виде продольных и поперечных подкреплений, то в общем случае она находится в моментном
напряженном состоянии, которое не рационально с точки зрения веса
и очень сложно для анализа. Наличие каркаса, главное - поперечных
подкреплений (нервюр, шпангоутов), обеспечивает безмоментное (в
основном) напряженное состояние каркассированных оболочек. Все
агрегаты самолета (крыло, фюзеляж, оперение) являются каркассированными длинными оболочками.
Итак, тонкостенный стержень есть удлиненная тонкая оболочка, подкрепленная достаточным количеством поперечных диафрагм. Обычно в
самолетных агрегатах присутствует и продольный силовой набор – стрингеры, лонжероны.
Если внешние нагрузки прикладываются через поперечные диафрагмы (нервюры, шпангоуты), то напряженное состояние стенок и продольных
элементов безмоментное, т.е. напряжения по толщине стенок (обшивка) и в
поперечных сечениях продольных элементов распределяются равномерно.
Это утверждение является основной гипотезой расчета тонкостенных
стержней.
Строительная механика
153
tzt
Во всех точках на перпендикуляре и
d
) величины  и t
2
постоянны и равны значениям  и t в
точке контурной линии.
касательной ( 
z
tстр=0
стр=const
Если в тонкостенном стержне имеются продольные элементы (стрингеры,
пояса лонжеронов), то предполагается, что:
1) касательные напряжения в продольных элементах отсутствуют;
2)нормальные напряжения во всех
точках поперечного сечения элемента
одинаковы и равны напряжениям в центре тяжести продольного элемента;
3) центр тяжести продольного элемента лежит на контурной линии.
Для распределения напряжений в поперечных сечениях тонкостенного стержня вдоль контурной линии справедлива балочная теория, которая базируется на двух основных гипотезах:
1) гипотеза об одноплоскостном распределении относительных удлинений
(гипотеза Навье5), которая является следствием гипотезы плоских сечений
для прямоугольных балок и балок малой кривизны R >> 5H.
Гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли 6) утверждает: поперечное сечение балки, бывшее плоским до нагружения остается плоским и в деформированном состоянии.
Итак, продольные деформации в поперечных сечениях распределяются
по закону плоскости:
 z  a  bx  cy .
(1)
Здесь z – продольная ось ТС; x, y – координаты произвольной точки в поперечном сечении; а, b, с – коэффициенты, зависящие от трех внутренних силовых факторов:
- изгибающих моментов M x , M y ;
Навье Клод Луи Мари Анри (15. 2. 1785—23. 8.1836) — французский инженер и ученый.
Чл. Париж. АН (1824). Образование получил в Школе мостов и дорог. С 1820 — проф. в
этой школе, с 1831-, в Политехн. школе. Вывел ур-ния упругости для трехмерного пространства (1821). Написал учебники по анализу, механике и сопромату.
6
Бернулли Якоб (1759—1789) —автор ценных трудов по механике. Род. в Базеле. В Петербурге был профессором математики, затем акад. Петерб. АН.
5
Строительная механика
154
- осевой силы N x , т.е


- b  f 2 M x ,M y , N z  ;
- c  f 3 M x ,M y , N z  .
-
a  f1 N z ,M x ,M y ;
Гипотеза об одноплоскостном распределении относительных удлинений, как и гипотеза плоских сечений предполагает отсутствие сдвигов.
2) гипотеза о ненадавливании волокон. Обшивка и продольные элементы
каркаса представляются в виде продольных волокон, которые деформируются без контактов в поперечном направлении (например, при сжатии они не
надавливают друг на друга). Это позволяет считать, что каждое продольное
волокно находится в одноосном напряженном состоянии и для него физический закон имеет простейший вид:
 z  E z  Ea  bx  cy  .
(2)
Если напряжение превышает предел пропор
циональности, то связь между деформацией
z
и напряжением описывается нелинейной частью диаграммы растяжения или сжатия мапц
териала.
пц z

Расчетная схема тонкостенного стержня менее точна, чем расчетная
схема балки, так как содержит дополнительную гипотезу о постоянстве  и t
по нормали.
Покажем распределение нормальных напряжений в лонжероне.
Тонкостенный
Балка
стержень
Отметим, что эпюра  строится в тонкостенном стержне вдоль контурной
линии с величинами напряжений, действующих в центре тяжести сосредото-
Строительная механика
155
ченного элемента, а не по фактической высоте. Более того, для схемы «балка» момент инерции относительно главной центральной оси равен:
0
2
0
2
0
2
I  I ВП
 aВП
 FВП  I СТ
 aСТ
 FСТ  I НП
 aНП
 FНП ,
а для тонкостенного стержня:
2
0
2
2
I  aВП
 FВП  I СТ
 aСТ
 FСТ  aНП
 FНП ,
0
0
I ВП
 I НП
 0.
2.3. Ферменная аналогия тонкостенного стержня
Рассмотрим ферму типа «решетчатая балка», являющуюся часто применяемым блоком различных ферменных агрегатов (мостов, подъемных кранов).
Элементы фермы выполняют следующие роли:
- стойки – воспринимают сосредоточенные вертикальные силы, прикладываемые в узлах;
- подкосы – преобразуют их в горизонтальные усилия поясов, а также
воспринимают перерезывающие силы;
- пояса воспринимают изгибающие моменты в поперечных сечениях.
Реальная нагрузка (например, в конструкции моста) может действовать и между
узлами. Но чем чаще стоят стойки, тем
меньше роль местного изгиба, тем ближе
напряженное состояние конструкции к
идеальной расчетной схеме фермы.
В крыле:
- роль стоек выполняют нервюры;
- роль подкосов – стенки лонжеронов: трансформируют вертикальную силу с нервюр в горизонтальные силы на пояса, стенки лонжеронов берут на себя основную часть перерезывающей силы в поперечном сечении крыла;
- роль поясов фермы выполняют пояса лонжеронов, стрингеры и обшивка панелей.
Проиллюстрируем работу стенки лонжерона.
Строительная механика
156
Верхний пояс (сжимается)
Py
внешняя
Nсж
Стойка
Nраст
Нижний пояс (растягивается)
В фюзеляже:
- роль стоек выполняют шпангоуты;
- роль подкосов – обшивка фюзеляжа (боковины);
- роль поясов – обшивка и стрингерный набор (верхней и нижней
четвертей).
Возвращаясь к предыдущему рисунку отметим, что в действительности
внешние нагрузки прикладываются не к нервюрам. Но чем чаще стоят
нервюры и шпангоуты, тем меньше влияние местного изгиба обшивки и продольных элементов, тем ближе напряженное состояние крыла или фюзеляжа
к идеальному безмоментному состоянию тонкостенного стержня.
2.4. Нормальные напряжения в тонкостенном стержне. Правила знаков
В прочностных расчетах авиационных конструкций правило знаков для
внутренних силовых факторов связано с направлениями координатных осей
и положением так называемой положительной площадки (положительного
сечения). Пусть ось z совпадает с продольной осью. Положительное направление оси z выбирается произвольно. В случае крыла ось z направляется от
фюзеляжа к концу правой консоли. Из двух граней, которые образуются при
разделении тонкостенной балки, положительной считается та грань, внешняя
нормаль которой направлена в сторону положительного z.
Строительная механика
157
y
Qy y
x
Qx
x
Nz
z
z
Mz > 0, если направлен против часовой стрелки при взгляде против оси
z (поднимает носок).
y
x
Mz
z
My > 0, если направлен против часовой стрелки при взгляде против оси
y (растягивает хвостик (заднюю кромку) крыла).
y
x
My
z
Mx > 0, если направлен против часовой стрелки при взгляде против оси
x (растягивает верхние волокна).
y
x
Mx
z
Как известно из сопротивления материалов, принятые две гипотезы балочной теории полностью определяют нормальные напряжения в попереч-
Строительная механика
158
ных сечениях балки. Если сечение балки однородно и деформирование линейное (    пц ), то
M
M
N
(3)
z  z  x y  y x.
F
Jx
Jy
Нормальное напряжение считается положительным при растяжении.
Знак «минус» перед правым слагаемым в формуле (3) введен для согласования правила знаков: при положительном My и положительной координате x напряжение z < 0.
Формула (3) предполагает, что оси x, y – главные центральные оси сечения. Процедура определения этих осей рассмотрена в сопротивлении материалов.
2.5. Дискретизация поперечных сечений тонкостенного стержня
Агрегаты авиационных конструкций имеют, как правило, сложную
форму поперечного сечения.
Поперечные сечения тонкостенных стержней образуются контурной
линией сложной формы, проходящей через середину толщины обшивки и
стенок лонжеронов. Возможно наличие поперечных сечений продольных
подкрепляющих элементов – стрингеров и поясов лонжеронов.
Получить аналитические формулы для геометрических характеристик
таких поперечных сечений – невозможно.
2.5.1. Упрощенный расчет фюзеляжа
Если сечение фюзеляжа близко к круговому и стрингеры расположены
по окружности контура достаточно регулярно, то геометрические характеристики такого сечения можно приближенно определить с помощью приема,
который называется "размазывание стрингеров". Реальное сечение фюзеляжа
заменяется кольцевым с "приведенной" толщиной:

R
d  const ;
d прив  d 
n  f стр
;
2R
I  2R 3  d прив
Ix  I y 

 R 3  d прив ;
2
2
y  R cos ;
x  R sin .
Строительная механика
159
Для дополнительного учета того, что обшивка и стрингеры изготовлены из различных материалов, проводится редуцирование:
n  f стр Eстр
f стр Eстр
.
d прив  d 

d 

2R Eобш
b Eобш
Здесь b – шаг стрингеров.
Геометрические характеристики сечения:
I  R 3  d прив ; F  2R  d прив .
Напряжения в обшивке определяются формулой:
My
M
.
  x y
Ix
Iy
Напряжение в i – том стрингере, координаты центра тяжести которого
xi, yi, определяются формулой
Eстр  M x
My 

i 
yi 
xi  .
Eобш  J x
J y 
2.5.2. Процедура дискретизации
В практике прочностных расчетов применяется дискретизация
сечений, то есть замена сплошного сечения совокупностью конечного
числа точек, в каждой из которых сосредоточена определенная площадь.
Процедура дискретизации проводится в два этапа:
1. Назначаются координаты сосредоточенных площадей ( xi, yi ).
2. Вычисляются величины сосредоточенных площадей (fi).
Если в сечении имеется стрингерный набор, то в качестве центров дискретизации выбираются центры стрингерных панелей.
Стрингерной панелью называется соb
вокупность стрингера и примыкаюb
щего к нему участка обшивки.
Если обшивка и стрингер выполнены из одного материала и отсутствует потеря устойчивости, то площадь сосредоточенного элемента равна
f i  f стр  bd ,
а его центр расположен в центре тяжести сечения стрингерной панели (приблизительно в точке обшивки на линии, перпендикулярной контуру обшивки
и проходящей через центр тяжести сечения стрингера).
Если модули упругости обшивки и стрингера различны, то производится местное редуцирование обшивки.
2.5.3. Присоединенная ширина обшивки
Строительная механика
160
Действительная ширина обшивки, прилегающей к i–тому стрингеру
равна:


1
(а)
ti ,i 1  t i 1,i ,
2
где t j , k - расстояние между j–тым и k-тым стрингерами.
Действительное нормальное усилие, которое развивается на этой ширине обшивки, равно:
N i ,обш   i ,обш bi d обш .
(b)
В стрингере развивается усилие
N i , стр   i ,стр  f i ,стр .
(с)
При замене стрингера и прилегающей к нему обшивки сосредоточенным продольным элементом усилие в этом элементе должно равняться сумме
N i ,эл  N i ,стр  N i ,обш .
(d)
В общем случае напряжения в обшивке не совпадают с напряжением в
стрингере.
Напряжение в сосредоточенном продольном элементе принято считать
равным напряжению стрингера. Тогда из условия статической эквивалентности (d) следует:

 i ,обш 
 i ,стр Fi ,эл   i ,стр  f i ,стр   i , обш bi d   i , стр  f i ,стр  bi
d  .

 i ,стр 

Величину
bi 
bi
 i ,обш
 i ,стр
принято называть присоединенной шириной обшивки и обозначать "2с":
2c  b
 обш
.
 стр
(е)
Соотношение между напряжениями обшивки и стрингера определяется
из условия совместности их продольных деформаций:
 обш   стр ,
(f)
которое называется условием кинематической эквивалентности.
При линейном деформировании обшивки и стрингера, условие (f) можно представить в виде
 обш  стр

.
(g)
 обш E обш

.
 стр Eстр
(h)
Eобш
Eстр
Откуда следует
Подставляя (h) в (е) получаем формулу для присоединенной ширины
обшивки при линейном деформировании:
Строительная механика
161
2c  b
E обш
.
(i)
Eстр
Следовательно, площадь продольного элемента, заменяющего стрингер
с прилегающей к нему обшивкой, определяется по формуле
Fi  f i ,стр  2ci d i .
Если n стрингеров находится на одной высоте (приблизительно), то их
можно заменить одним сосредоточенным элементом. Тогда
F  n  f стр  2cd .
(j)
Сосредоточенный продольный элемент, заменяющий пояс лонжерона,
включает также и присоединенную площадь стенки
E
1
(k)
f стенки  hd ст  ст ,
6
Eпояса
почему так проведен учет будет показано ниже.
Так что для пояса лонжерона
Fi ,эл  f п.л.  2сd  f стенки ,
(l)
где f п.л. - собственно площадь сечения пояса лонжерона.


2.5.4. Дискретизация неподкрепленных тонкостенных стержней
Замена даже сравнительно простого реального сечения тонкостенного
стержня системой сосредоточенных площадей существенно упрощает расчеты как нормальных, так и – в особенности – касательных напряжений.
Если в тонкостенном стержне, отсутствуют продольные подкрепляющие элементы, то первый этап дискретизации – выбор положения сосредоточенных элементов – решается интуитивно, то есть на основе личного опыта
расчетчика.
Рассмотрим, например, сечение типа "швеллер фигурный" показанное
на рисунке (габаритные размеры указаны по контурной линии; d = const).
Строительная механика
162
O
c
A
C
h
H
B
x
E
D
G
b
F
Сечение подвергается изгибу относительно оси х, поэтому горизонтальные участки являются полками и их
площадь распределяется равномерно
между элементами, а вертикальные –
стенками и заменяются сосредоточенными элементами в крайних точках с учетом требования сохранения
моментов инерции относительно оси
действия изгиба.
Для удобства фиктивные дискретные
элементы можно расположить в местах пересечений контурных линий
участков – в точках А, В, С, D, E, F.
Таким образом, реальное сечение заменяется шестью сосредоточенными
элементами.
В точку А "стягиваются":
- площадь горизонтального участка ОА
f A1  cd ;
- одна из двух сосредоточенных площадей f ст в точках А и F, заменяющих вертикальный участок AB + EF. Эти площади определяются из равенства моментов инерции:
H 2 d H 3  h3
f ст

2
12
и равняются
d H
f ст 
13 ,
6
где
h
 .
H
Итак, окончательно
FA  cd  f ст .
В точку В стягивается площадь половины горизонтальной полки ВС
bd
FB 
.
2
В точку С стягиваются две площади:
- от полки ВС (половина)
bd
FCп 
;
2
- от стенки CD (одна из пары площадей, заменяющих стенку и расположенных в точках C и D)




Строительная механика
163
1
FCст  hd .
6
Полная сосредоточенная площадь в точке С:
bd hd
FC 

.
2
6
В нижней половине сечения сосредоточенные площади симметричны
верхним:
FD  FC ; FE  FB ; FF  FA .
Если в сечении невозможно выделить полки и стенки (например,
в случае жесткого носка однолонжеронного крыла), то фиктивные сосредоточенные элементы располагают равномерно по длине контурной линии. Сосредоточенные площади определяются формулой
Ld
f 
,
n
где n количество вводимых продольных элементов, L – длина контурной линии.
2.5.5. Остаточная прочность обшивки в дискретном сечении
Поскольку способность обшивки воспринимать нормальные напряжения передается дискретным продольным элементам, замена обшивки и стенок сосредоточенными продольными элементами фактически эквивалентна
нулевой прочности обшивки при расчете нормальных напряжений: обшивка
и стенки на нормальные напряжения не работают: d   0 .
Однако при этом сохраняется полностью способность обшивки воспринимать касательные напряжения: d t  0 .
2.5.6. Особенности дискретизации сечений
Рассмотрим универсальный.
Сечение тонкостенного стержня возможно представить совокупностью
тонких полосок, каждую из которых можно заменить тремя сосредоточенными элементами, независимо от ее наклона к главным осям инерции сечения.
f л
fц
f п
1
f л  bd ;
6
2
f ц  bd ;
3
1
f п  bd
6
Пример:
Строительная механика
164
12
2
1
5
6
7
20
3
100
4
60
1
62
= 2 см2;
f1  bd 
6
6
2
262
=
f 2  bd 
3
3
= 8 см2;
1
1
f 3  bd  hd ст 
6
6
6  2 10  1,2


=2+2=
6
6
= 4 см2;
2
2  10  1,2
f 4  hd ст 

3
3
= 8 см2.
Площадь сосредоточенного элемента f i  t  d . Его координаты
определяются по чертежу (плазу)
или соответствующими числовыми
процедурами.
y
x
В дискретной модели тонкостенного стержня нормальные напряжения
воспринимают точечные элементы, а касательные напряжения воспринимает
обшивка, расположенная между ними.
Обшивка дискретной модели не работает на нормальные напряжения и
ее толщина не учитывается при вычислении геометрических характеристик
сечений: d   0 .
Для того чтобы провести расчет нормальных напряжений необходимо
определить геометрические характеристики сечения:
dF  d (t )  dt ; F   d (t )  dt   f i ; S y   x(t )  d (t )  dt   f i  x(t ) ;
K
K
S x   y (t )  d (t )  dt   f i  y (t ) ; x0 
K
Sy
F
; y0 
Sx
; x  x  x0 ; y  y  y 0 ;
F
I y   x (t )  d (t )  dt ; … , т. е. необходимы аналитические зависимости x(t),
2
K
y(t), d(t).
Аэродинамические профили, на основе которых строятся поперечные
сечения ЛА, задаются таблицами, т. е. координатами отдельных точек.
Строительная механика
165
В этих условиях наиболее оптимальным способом вычисления геометрических характеристик является замена интегралов конечными суммами .
Вся
длина
контурной
линии
разбивается
на
n
участков
 y(t )  d (t )  dt   y j  d j  t j , где j – номер участка контурной линии.
K
Если сечение имеет продольный набор, то центрами тяжести участков
берут центры тяжести продольных элементов (стрингеров, поясов лонжерона).
2.6. Определение нормальных напряжений в неоднородном упругом
сечении. Редуцирование
2.6.1. Неоднородность сечений
В реальных сечениях различные продольные элементы могут иметь
разные модули упругости Е. Например, пояса лонжеронов – стальные, стрингеры – дюралевые. Такая неоднородность должна быть учтена в процедуре
определения нормальных напряжений.
2.5.2. Разрешающие уравнения
Неоднородность сечения не противоречит балочной теории – остаются
справедливыми обе основных гипотезы:
 i  a  bxi  c yi .
(1)
 i  Ei  i  Ei a  bxi  c yi  ,
(2)
но теперь Ei  Ek , если i  k .
Таким образом следует ожидать отличий только в процедурах расчета.
Повторим вывод основной формулы сопротивления материала
My
N M
   x y
x,
(3)
F
Jx
Jy
но уже с учетом неоднородности. Данные формулы под теми же номера ранее уже
приводились. Знак минус поставлен для согласования независимо введенных правил знаков
для напряжений, координат и внутренних сил.
Условия статической эквивалентности в сечении:
y
  z dF  N z 

  z xdF  M y  .

x
  z  ydF   M x 
z
(4)
Строительная механика
166
Проекции главного вектора и главного момента нормальных напряжений в сечении равны векторным усилиям в сечении, представляющим внутренние силовые факторы.
Для дискретного сечения условия эквивалентности преобразуются к
виду:
n

  i  fi  N z 
i 1


(5)
  i xi  fi   M y  .

  i  yi  fi   M x 

Здесь f i - площадь i – того сосредоточенного продольного элемента (СПЭ).
Например, для стрингера
f i  f iстр  2ci d i .
(6)
Деформирование – линейное, поэтому напряжение в i-том СПЭ определяется по формуле (2).
Подстановка этой формулы в систему (5) дает:

a  Ei f i  b Ei xi f i  c Ei yi f i  N z


(7)
a  Ei xi f i  b Ei xi2 f i  c  Ei xi yi f i   M y  .

2
a  Ei yi f i  b Ei xi yi f i  c Ei yi f i  M x 
В принципе задача может быть решена и без дополнительной операции
редуцирования – коэффициенты при неизвестных a, b, c можно вычислить по
известным Ei , fi ,xi , yi .
Однако для дальнейшего использования результатов более удобно получить компактные окончательные формулы. Это делается с помощью процедуры редуцирования.
2.6.3. Процедура редуцирования
Вводится фиктивный модуль упругости Eф , единый (общий) для всего
сечения. Его величина может быть выбрана произвольно, например,
Eф  Emax или Eср (сечение с модулем Eф однородное).
Таким образом, реальное, неоднородное сечение заменяется фиктивным, однородным сечением. Для однородного сечения справедлива формула
(3), но полученные напряжения будут фиктивными. Для того, чтобы установить соотношение между фиктивными и действительными напряжениями,
необходимо ввести некоторые условия эквивалентности между реальным и
фиктивным сечениями.
Используется условие кинематической эквивалентности элементов
Строительная механика
167
 iф   i ,
т. е. принимается, что относительное удлинение в элементах фиктивного однородного сечения равны относительным удлинениям реального неоднородного сечения.
Вводится условие статической эквивалентности. Усилие в i-том элементе фиктивного однородного сечения равно действительному усилию в
этом элементе
N iф  Ei  i  f i .
Но
N iф  Eф  i  f iф ,
где f iф - новая фиктивная площадь i-того элемента в фиктивном однородном
сечении. Она не может быть всегда равна f i , т.к. Eф  Ei . Следовательно,
для выполнения условий кинематической и статической эквивалентности
необходимо заменить реальные площади продольных элементов фиктивными площадями, такими, чтобы выполнилось равенство
Ei f i  Eф f i ф .
Отсюда
E 
f iф  f i  i  .
 Eф 


Отношение
E
i i
Eф
называется коэффициентом редукции i-того элемента.
Таким образом, реальное неоднородное сечение заменяется фиктивным
однородным сечением с единым модулем упругости Eф и редуцированными
площадями
f iф   i  f i .
(8)
2.6.4. Расчетные формулы
Подставляя выражение (8) в систему (7) получим
aEф  f iф  bEф  xi f iф  cEф  yi f iф  N



2
aEф  xi f iф  bEф  xi f iф  cEф  xi yi f iф   M y  .

2
aEф  yi f iф  bEф  xi yi f iф  cEф  yi f iф  M x 
Введем обозначения для неизвестных:
(9)
Строительная механика
168
aEф  A


bEф  B  .

cEф  C 
Тогда
(10)
 iф  Eф a  bx  cy   A  Bxi  C yi
Коэффициенты при неизвестных системы (9) есть геометрические характеристики редуцированного сечения:
 f iф  Fф
 xi f iф  S yф
 yi f iф  S xф
 xi2 f iф  I yф
 xi yi f iф  I xyф
 yi2 f iф  I xф
Если перейти к главным осям инерции редуцированного сечения, то
получим
S yф  S xф  I xyф  0
и система (9) примет вид:
AFф  N z ;
BI yф   M y ;
C I x ф  M x .
Откуда
A
My
M
Nz
; B
; C x .
Fф
I yф
I xф
Здесь знаки x и y указывают, что и геометрические характеристики, и изгибающие моменты отнесены к главным осям редуцированного сечения.
Возвращаясь к условию кинематической эквивалентности, получим

M
1  N z M y
i 

xi  x yi  .
Eф  Fф I yф
I xф 
Предполагается, что координаты xi и yi пересчитаны в систему главных осей редуцированного сечения.
Выражение в круглых скобках есть нормальное напряжение в i-том
элементе фиктивного редуцированного сечения. Обозначим его
Строительная механика
169
M
Nz M y

xi  x yi .
Fф I yф
I xф
В соответствии с формулой (2) действительное напряжение в i-том
элементе определяется по формуле:
 i   i  iф
или
N

My
M
 i  i   z 
xi  x yi  .
 Fp I yф
I xф 

 iф 
2.6.5. Инвариантность результатов к величине фиктивного модуля
Величина  i не зависит от выбранной величины Eф :




Ei  N z


...... есть сокращение.
поскольку  i 
Ei
Eф
  f i 

E
ф


 1 
 не зависит от i и может быть вынесена за знаки суммирования.
Величина 
 Eф 


Тогда в числителях слагаемых в круглых скобках появляется величина Eф в качестве множителя. Ее можно вынести за скобки и сократить с Eф в знаменателе.
Аналогично:
 Положение центра тяжести не зависит от Eф .
 Угол наклона главных осей не зависит от Eф .
 Проекции M x и M y не зависит от Eф .
  i не зависит от Eф .
2.6.6. Применение метода редукционных коэффициентов при нелинейном деформировании
При нелинейном деформировании связь между  и  имеет вид
 i  f  i   Eci  i ,

причем Eci - секущий модуль материала есть переменная величина.
Следовательно, условия статической эквивалентности элементов
Eci
фиктивного и реального сечения имеет вид

i
Строительная механика
170
Eф  f iф  Eci  f i ,
то есть коэффициент редукции не
может быть определен заранее:
E
 i  ci ,
Eф
где Eci - неизвестная заранее величина: она будет известна только после
определения  i .
Применяется метод последовательных приближений, в ходе которого
ищутся правильные коэффициенты редукции.
Метод редукционных коэффициентов обеспечивает замкнутое пространство всех возможных значений коэффициентов редукции
0   i  1 i  1, 2,  , n ,
что обеспечивает сходимости метода последовательных приближений.
2.6.7ёёё. Пример: процедура определения  iф для дискретного однородного сечения
1. Исходные данные
xi0 , yi0 - координаты относительно известных произвольно выбранных
осей;
f iф ( i  1, n );
ВСФ: N z , M x0 , M y0 - верхний индекс «0» указывает, что моменты взяты относительно тех же координатных осей.
2. Определение площади сечения
n
Fф   f iф .
i 1
3. Переход к центральным осям
n
S yф   f iф  xi0 ;
0
i 1
n
S 0 xф   f iф  yi0 ;
xc0 
i 1
0
S yф
Fф
S 0 xф
0
yc 
Fф
;
- координаты центра тяжести.
Строительная механика
171
4. Перенос элементов
Переход к центральным осям координат:
xi  xi0  xc0 ;
yi  yi0  yc0 .
5. Перенос осевой силы
Приводит к изменению изгибающих моментов.
y
y0
x
M y0
M x0
x0
0
о x
вид п
Nz
z0
Вид по оси x :
yc0
Nz
M x  M x0  N z  yc0
Вид по оси y :
x
Nz
z
Nz
z
M x0
0
Строительная механика
172
Nz
xc0
y
Nz
Nz
M y0
z0
z
M y  M y0  N z  xc0 .
6. Переход к главным осям сечения
Определяются моменты инерции относительно центральных осей:
I y   xi 2  f iф ;
I xy   xi  yi  f iф ;
I x   y i 2  f iф ;
tg 2 b 
2 I xy
I y  Ix
;
2 I xy
1
.
b  arctg
2
Iy  Ix
x
b 0
x
Формулы для учета поворота осей:
x  xi cos b  yi sin b ;
координаты i – того элемента в главных центральных осях;
y  y i cos b  x i sin b ,
M x  M x cos b  M y sin b ; M y  M y cos b  M x sin b .
7. Главные центральные моменты инерции
I xф  I xф cos 2 b  I yф sin 2 b  I xyф sin 2 b ;
I yф  I yф cos 2 b  I xф sin 2 b  I xyф sin 2 b
или по другим формулам
I xф   yi 2  f iф ;
I yф   xi 2  f iф .
8. Определение фиктивных напряжений
My
M
N
 iф  z 
xi  x yi .
Fф I yф
I xф
Действительное напряжение:
 i   i  iф
В заключение отметим, что:
Строительная механика
173
  i не зависит от Eф;
 Ixф, Iyф, Fф пропорциональны
 f i ф  f i0 
 i 
1
;
Eф
Ei
;
Eф
 Nz

My
Ei
Mx
 iф  Ei 

xi 
yi  ;
 Eф  Fф Eф  I yф
Eф
Eф  I xф 

 Eф  Fф не зависит от Eф;
 Eф  I xф не зависит от Eф;
 Eф  I yф не зависит от Eф.
2.7. Балочная теория сдвига в тонкостенных стержнях
Касательные напряжения в поперечных сечениях тонкостенного стержня обусловлены действием трех ВСФ: Qx, Qy, Mz.
Поскольку t = const по нормали, то их действие может быть заменено
интегральной характеристикой
d
2
q (t )   tdn  t  d .

d
2
Такая замена избавляет от интегрирования по нормали в различных
процедурах, связанных с определением равнодействующих или работы деформирования – вместо интегрирования по объему будет проводиться интегрирование по площади срединной поверхности.
2.7.1. Первое дифференциального уравнение равновесия элемента
Рассмотрим простейший с точки зрения понимания случай – бесстрингерное сечение ТС.
Строительная механика
174
y
t
A
x
z
Точки срединной поверхности ТС отнесены к системе координат (t, z).
Вырежем из срединной поверхности ТС бесконечно малый участок dzdt.
Показаны положительные направления напряжений.
z
t
dz
t
z
q
q
 dt
t
z 
q
 z
 dz
z
z
Первое из двух возможных уравнений равновесия:  Fz  0 .
 z
q




 dz   d  dt   z  d  dt   q 
 dt   dz  q  dz  0 .
 z 
z
t




 z
q
d 
 0 – первое дифференциальное уравнение равноОткуда
z
t
весия бесстрингерного сечения.
2.7.2. Общая формула сдвига в тонкостенных стержнях
Найдем из последнего уравнения функцию q(t), т.е. закон распределения касательных сил в поперечном сечении тонкостенного стержня. Перепишем уравнение в виде:

q
 d  z .
t
z
Строительная механика
175
Проинтегрируем обе части от 0 до t, используя вспомогательную переменную интегрирования x: 0  x  t . Получим
 z
d  dx

z
0
t
q(t )  q0  
 z
– производная по z напряжения z
z
в точке контурной линии с координатой x.
– общую формулу сдвига в ТС. Здесь
2.7.3. Балочная теория сдвига
Для того, чтобы записать эту производную в виде функции от x воспользуемся формулой балочной теории изгиба:
My
M
N
z  z 
x x  y.
F
Iy
Ix
Действие силы Nz, приложенной в центре тяжести сечения, не вызывает
касательных напряжений, поэтому первое слагаемое в дальнейшем отбрасываем. Получаем:
My
M
z 
x x  y.
Iy
Ix
При дифференцировании по z считаем стержень цилиндрическим, т.е.
  x    y 
    0.
z  I y  z  I x 
Следовательно
 z
x M y
y M x
 
 
.
z
I y z
I x z
Производные от изгибающих моментов определяются из уравнений
равновесия участка крыла dz между сечениями z = const и z + dz.
Вид на dz вдоль оси x
y
y
x
Qy 
Mx
x
Qy
z
Равновесие относительно оси x:
z
z  dz
Mx 
Q y
z
 dz
z
M x
 dz
z
Строительная механика
176
M
 M x  z x  dz  Q y  dz  0 .
Отсюда получим дифференциальное соотношение между функциями
Mx и Qy:
M x
 Qy .
z
Вид на dz вдоль оси y
My
dz
Qx
My 
y
M y
z
Qx 
 dz
x
Qx
 dz
z
z
Равновесие относительно оси y:
M y
M

 y z  dz  Qx  dz  0 .
Отсюда получим дифференциальное соотношение между функциями
My и Qx:
M y
 Qx .
z
Подставляя найденные дифференциальные соотношения в выражение
для производной нормальных напряжений, получим:
Qy
Q
 z
x
y
    Qx    Q y  x  x 
 y.
z
Iy
Ix
Iy
Ix
Полученную производную подставим в общую формулу для q:
t
t
Qy 
Q
 z
q (t )  q0  
d  dx  q0    x  x 
 y  d  dx 
 Iy


z
I
x

0
0
 
Qy t
Qx t
 q0 
x d  dx 
y d  dx .
I y 0
I x 0
t
t
0
0
Интеграл  x d  dx   x dF есть статический момент относительно оси
y той части площади поперечного сечения, которая расположена на участке
контурной линии длиной t:
Строительная механика
177
t
S y (t )   x d  dx .
0
y
0
t
x
x
Аналогично:
t
S x (t )   y d  dx .
0
Для того, чтобы отличать эти функции от статических моментов, их называют текущими статическими моментами.
Теперь общая формула для q примет вид:
Qy
Q
q(t )  q0  x  S y (t ) 
S x (t ) .
Iy
Ix
Эта формула называется «балочной формулой сдвига ТС».
Часто ее записывают в сокращенной форме:
q (t )  q0  q p (t ) ,
где q0 – постоянная часть функции q (t ) – поток касательных сил в начальной точке отсчета дуговой координаты t;
q p (t ) – переменная часть функции q (t ) – приращение, зависящее от
дуговой координаты t.
Очевидно, что
Qy
Q
q p (t )   x  S y (t ) 
S x (t ) .
Iy
Ix
2.8. Учет сосредоточенных продольных элементов при определении касательных напряжений
До сих пор все формулы и процедуры определения t строились без учета сосредоточенных элементов.
Авиационные тонкостенные конструкции, как правило, подкреплены
стрингерами.
Пусть в точке ti контура поперечного сечения ТС расположена сосредоточенная площадь i – того продольного элемента fi. В этом продольном элеMy
M
 xi  x  yi .
менте действует нормальное напряжение  i  
Iy
Ix
Строительная механика
178
Рассмотрим равновесие участка шириной dt, включающего сосредоточенный элемент:
z
t
t
dt
q  q
q
z
z 
 z
 dz
z
z
при движении вдоль z напряжение z изменяется плавно и получает диффе
ренциальное приращение d zi  ti  dz . При переходе через сосредоточенz
ный элемент поток q получает конечное приращение, т.е. изменяется скачком
на величину q.
Запишем уравнение равновесия элемента:
 Fz  d z  f i  q  dz  0 ;
 zi
 dz  f i  qi  dz  0 ;
z

qi   f i  zi ,
z
 z
но ранее было получено выражение для
:
z
Qy
  z  Qx
 xi 
 yi .

 
Ix
 z i I y
Следовательно
Строительная механика
179
Q

Q

Qy
Qy
qi   f i   x  xi 
 yi    x  f i  xi 
 f i  yi  
 Iy

 Iy

Ix
Ix




Q

Qy
  x  S yi 
 S xi .
 Iy

Ix


Вернемся к рассмотрению текущих статических моментов. Если на
участке контура от точки А (начало отсчета) до точки Т (текущая точка с переменной координатой t) имеется m(t) сосредоточенных элементов, то величина статического момента определяется формулами:
T
t
A
t
m (t )
0
t
i
m (t )
0
i
S x (t )   y d  dx   f i  yi ,
S y (t )   x d  dx   f i  xi .
h
При построении эпюр статических моментов к сосредоточенным продольным элементам следует относится как к разветвлениям:
1. Каждый сосредоточенный продольный элемент является границей
участка;
2. Статический момент в начальной точке участка, следующего за i – тым
продольным элементом, равен сумме статического момента в конечной
точке участка, предшествующего i – тому продольному элементу, и величины статического момента i – того продольного элемента:
кон
S xнач
, i  S x , i 1  S xi .
Номер участка равен номеру предшествующего ему продольного элемента.
Например:
Участки 0 и 6 имеют нулевую длину.
b
b
3
2
1
Участок 0: S x  0 .
Участок 1:
1
0
2
кон
3
S xнач
1  S x 0  S x1 ;
x
h
4
5
6
S x1  f1  y  f  ;
2
4
5
6
Строительная механика
180
S x1  S xнач
1 
t
h
 y  d  dx  S x1  2  d п  t ;
нач
0
3 2
3
2
1
4
5
5
4
1
6
S xкон
1  f 
h hb

dп ;
2
2
…
кон
S xнач
2  S x1  S x 2 ;
S x 2  S xнач
2 
t
 y  d  dx ,
0
и т. д.
2.9. Разделение задачи на главные плоскости сдвига
обычно напряженное состояние при изгибе рассматривается раздельно:
изгиб в плоскости yoz;
изгиб в плоскости xoz.
Сечение крыла:
y
x
Возможно разделить поток касательных усилий по сдвигу в двух плоскостях.
Сдвиг в плоскости xoz: q x (t )  q x 0  q xp (t ) , также состоящий из постоQ
янной и переменной части, причем переменная часть – q xp (t )   x  S y (t ) .
Iy
Сдвиг в плоскости xoy: q y (t )  q y 0  q yp (t ) , также состоящий из постоQy
S x (t ) .
янной и переменной части, причем переменная часть – q yp (t )  
Ix
Изучением сдвига в этой плоскости крыла мы и будем заниматься (сдвиг в
первой плоскости незначителен вследствие геометрии и нагружения крыла).
Строительная механика
181
y
Qy
x
Mx
2.10. Эпюра текущих статических моментов (ТСМ) в бесстрингерном
сечении S x (t )
В начале следует определить положение главных осей инерции сечения.
При этом реальное сечение следует аппроксимировать прямоугольными полосками для упрощения.
В соответствии с гипотезой о постоянстве касательных напряжений по
толщине стенки вводится правило: при расчетах тонкостенных сечений собственные моменты инерции участков относительно контурной линии (оси t)
не учитываются.
Вспомним:
2
I xВП  I x0ВП  a 2ВП FВП  aВП
 FВП ,
x
d
b
b
u
I u0  0;
xo
b3  d
;
12
I x 0  I u0  cos 2 b  I v0  sin 2 b ;
а
v
b  0.
x
I v0 
I x  I v0  sin 2 b  a 2  b  d .
Это поможет нам вычислить необходимый момент инерции сечения I x .
2.10.1. Выбор начальной точки
Строительная механика
182
y
A1
x
Рекомендуется выбирать начальную точку в месте пересечения контурной линии и оси симметрии (или главной осью).
Направление обхода не влияет на результат вычислений.
Но рекомендуется выбирать так, чтобы на начальном участке контура
координаты y были положительны.
2.10.2. Деление контура на участки
t
t
0
0
Обозначим S x (t )   y (x ) d (x )  dx   f (x )dx .
Тогда участок контурной линии – ее часть, в пределах которой f(x) –
подынтегральная функция описывается одной зависимостью (формулой).
Границы участков:
 точки скачкообразного изменения d(x);
 точки излома контурной линии.
2.10.3. Значения функции y(x) в типовых случаях
Горизонталь:
dп
A
B
d ст
h
x
C
Вертикаль:
dп
D
Участок I:
h
y (x )   const .
2
Участок III:
h
y (x )    const .
2
Строительная механика
h
2
183
Участок II:
h
y (x )   x .
2
B
x
y
x
Наклонная прямая:
y (x )  y A  x  sin b .
x
y
A
b
B
yA
x
Дуга окружности:
y(x )  R  cos ,
x
где   ;
R
y(x )  y( )
x
A

R
или
A

x
x
R
2.10.4. Правила
y(x )  y( )   R  sin .
Строительная механика
184
Правило начального нуля. В начальной точке отсчета t (t = 0) статический момент всегда равен нулю.
На первом участке:
t
S xI (t )  0  S xI (t ) ; S xI (t )   y I (x )  d I (x )dx .
0
Правило стыковки участков:
 на каждом участке координаты t и x отсчитывается от начальной точки
каждого участка;
 начальное значение статического момента на данном участке равно
сумме конечного значения статического момента на предыдущем участке и
статического момента сосредоточенного элемента, присоединяемого на границе участка.
0
S xII (t )  S xII

t
 y II (x )  d II (x )dx , где S xII - начальное значение на втором
0
0
участке.
Правило конечного нуля. В конечной точке контурной линии профиля
статический момент всегда равен нулю. (Момент в конечной точке равен статическому моменту всего сечения, т.е. нулю).
A
x
2.10.5. Эпюра текущих статических моментов (ТСМ) в сечении, имеющем сосредоточенные продольные элементы
В сечении при наличии сосредоточенных продольных элементов для
определения S x (t ) следует пользоваться формулой:
t
m (t )
0
i 1
S x (t )   y (x )  d (x )dx   ( f i  yi ) ,
где первое слагаемое учитывает обшивку и стенки, второе сосредоточенные
элементы, причем m(t) – количество продольных элементов на участке (0, t).
Строительная механика
185
y
t
A
x
2.11. Эпюра текущих статических моментов в дискретном сечении
Реальная несущая способность обшивки присоединяется к стрингеру.
b
f  f стр  (b  d ) обш
Обшивка работает по модели: d   0 , d t  0 .
В дискретном сечении обшивка работает только на касательные
напряжения, нормальные напряжения в обшивке отсутствуют.
 Fz  0
z  0
q
0
t
q
x
ив к
а
t
q
dt
t
z
обш
y
q
z  0
Если в обшивке нет нормальных напряжений, то касательные напряжения остаются постоянными.
t
m (t )
m (t )
0
i 1
i 1
S x (t )   y (x )  d (x )dx   ( f i  yi )   ( f i  yi ) - поскольку первого слагаемого нет.
Окончательно в дискретном сечении имеем:
m (t )
S x (t )   ( f i  yi )
i 1
x
Строительная механика
186
2.12. Касательные напряжения в открытом контуре
Рассмотрим бесстрингерное сечение. Напомним q (t )  q0  q p (t )
A1
Qy
x
A2
Открытый контур содержит свободные точки. В этих точках, например,
А1 и А2, q(t) = 0.
Начальная точка отсчета дуговой координаты выбирается в одной из
свободных точек, где q0 = 0.
Qy
Тогда имеем q0 = 0 и q(t )  q p (t )  
 S x (t ) .
Ix
Пример:
Подсчитаем момент инерции сечения относительно оси x:
b
dп
h
d ст
x
h 3  d ст
h
h
Ix  b dп    
 b dп    .
12
2
2
Разобьем на участки:
2
Всего три участка
S1
x
Участок 1:
h
y1 (x )  ;
2
d 1 (x )  d п ;
2
Строительная механика
187
b
t
h
S x1  0   y1 (x )  d 1 (x )dx   d п  t 
2
0
0
h
 d п  b  S1
t b
2
Участок 2:

t
max (t=h/2)
Начальное значение: S 20  S1 
b  h dп
.
2
t
h2
h

Приращение: S 2 (t )     x   d ст  dx 
2

0
h2
x
h  d ст  t d ст  t 2 d ст



 (h  t  t 2 ) .
2
2
2
d ст  h 2
1
Причем S 2 max  b  h  d п 
.
2
8
Участок 3:
S3 (t )  S30  S3 (t ) .
b  h dп
Начальное значение: S 30  S 2 
.
2
t
Приращение: S3 (t )   y3 (x )  d 3 (t )  dx 
0
t
b
1
 h d п b
2
1
 h
      d п  dx   h  d п  t 
2
2
0 0
0
.
 b  h dп 
Конечное значение: S3  S30   
  0.
2 

Отметим особенность. Во всех точках контура статический момент больше
нуля. Рассмотренное сечение симметрично относительно оси x. Если сечение
симметрично относительно оси y, то эпюра Sx обратно симметричная относительно оси y.
y
y
t
q(t)
x
x
S x (t )
Поток прямо симметричен относительно оси y
Строительная механика
188
2.12.1. Касательные напряжения
Поток касательных сил в открытом контуре при выборе начальной свободной точки равен:
Qy
q(t )  
S x (t ) .
Ix
Тогда:
q1
q1
Qy
Ix
 const


S x (t )
qmax
q(t)
q1
q1
Касательные напряжения:
ti 
qi
di
,
где i – характерная точка или
q q
q 
t i  i  1 или 1  (берем меньшее значение).
di dп
d ст 
q
Как правило, d ст  d п , поэтому t max  max .
d ст
2.12.2. Формальный способ определения направления потоков
Введем правило знаков для q.
Значение q положительно, если его направление совпадает с положительным направлением угловой координаты.
y
Если знак потока на контуре не меняется, то он всюду направлен вдоль
t
q>0
(против) дуговой координаты.
x
Учитывая, что q(t )  
Qy
Ix
S x (t ) , то если Qy > 0 и Sx > 0, тогда q(t) < 0.
2.12.3. Прямой способ определения направления потоков
Строительная механика
189
Составляем дифференциальное уравнение равновесия элемента стенки
в районе свободного края.
Заметим, что:

qab  0, так как кромка
t
c
c
b
свободна;
t
b
на верхнем участке
d
q
сжатие;
a
сжимающее напряжеQy
z
a
d
ние
 bc   cd ;
z
 направлено вниз, поэтому q должен его уравновешивать, тогда направлено q вверх;
qad действует вправо (по закону парности), а значит и по всему контуру поток направлен против t.
2.13. Контуры с разветвлениями
Контурная линия открытого профиля может быть разветвленной. Примеры:
Точка, в которой сходятся три (или более) контурных линий, называется узлом.
Общим участком называется часть контурной линии между двумя узлами.
Отростком (ответвлением) называют часть контура от узла до свободного края.
y1, y2 – узлы;
y
b1
b2
y1y2 – общий участок;
А2
А1
A1y1, A2y1, A3y2, A4y2 – ответвления.
y1
t
h
x
А3
y2
А4
Строительная механика
190
y2
y3
y1
y4
Три общих участка: y1y2, y2y3, y3y4.
Для расчета контуров с ответвлениями приходится вводить несколько
дуговых координат – основную и дополнительные.
Каждой паре свободных точек соответствует одна дуговая координата.
Основная дуговая координата должна быть самой длинной.
Направление дополнительных координат выбирается так, чтобы на общих участках они совпадали с основной.
фиктивное
добавление
основная
дополнительная
дополнительная
основная
Причем в первом примере для тавра (число свободных точек – нечетное) проводят фиктивное добавление.
Длина дополнительной координатной линии может быть равна основной.
Эпюры текущих статических моментов строят для каждой из введенных дуговых координат. При переходе через узел эпюра текущего статического момента увеличивается (уменьшается) скачком на величину полного
статического момента ответвления. При таком построении эпюры текущего
статического момента оказывается, что по дополнительным координатам
данные эпюры на общих участках совпадают по величинам и знакам.
Пример:
y
y1
А2
А1
b1
b2
dп
h
dст
t1
t2
x
А3
Здесь отростки A2y1, A3y2.
y2
А4
Строительная механика
191
Участок 1:
1
S1 (t )  S10  S1 (t )  S1 (t )  d п  h  t .
2
Участок 2:
S 2 (t )  S 20  S 2 (t ) ;
1
1
1
S 20  S1  S ( A2 y1 )  d п  h  b2  d п  h  b1  d п  h  (b1  b2 ) ;
2
2
2
S 2 (t ) 
d ст
 (h  t  t 2 ) ; S 2 max (t ) 
2
Участок 3:
S 3 (t )  S 30  S 3 (t ) ;
d ст
 h2 .
8
1
1
1
S30  S 2  S ( A3 y2 )  d п  h  (b1  b2 )  d п  h  b1  d п  h  b2 ;
2
2
2
b2
1
1
S3 (t )   d п  h  t   d п  h  b2 ; S 3 (t  b2 )  0 .
2
2
0
Участок 4:
1
S 4 (t )  S 40  S 4 (t )  S 4 (t )  d п  h  t
2
b1
1
 d п  h  b1 .
2
0
Участок 5:
S 5 (t )  S 50  S 5 (t ) ;
1
1
1
S50  S 4  S ( A1 y1 )  d п  h  b2  d п  h  b1  d п  h  (b1  b2 ) ;
2
2
2
S5 (t ) 
d ст
 (h  t  t 2 ) ; S5 max (t ) 
2
Участок 6:
S 6 (t )  S 60  S 6 (t ) ;
d ст
8
 h2 .
1
1
1
S 60  S5  S ( A4 y2 )  d п  h  (b1  b2 )  d п  h  b2  d п  h  b1 ;
2
2
2
b1
1
1
S 6 (t )   d п  h  t   d п  h  b1 ; S 6 (t  b1 )  0 .
2
2
0
Строительная механика
192
1
d п  h  b1
2
1
1
d п  h  (b1  b2 )  d ст  h 2
2
8
1
d п  h  b2
2
направление
потоков
1
d п  h  (b1  b2 )
2
2.14. Центр изгиба открытого контура
При безмоментном напряженном состоянии стенок открытый профиль
не может сопротивляться кручению.
Qx  Q y  0 ;
y

q (t )  q0  q p (t ) ;
q0 ( A)  0 (всегда);
t
x
Mкр
А
t
Qy
Qx
S y (t ) 
S x (t ) .
Iy
Ix
Если Qx  Q y  0 , то и q p (t )  0 .
q p (t )  
Приложение Мкр приводит к тому, что конструкция становится подвижной. Открытый контур не может быть несущей конструкцией. Он может
работать только на сдвиг.
Как эту работу организовать.
Центр изгиба – такая точка в сечении открытого тонкостенного профиля, через которую должна проходить линия действия перерезывающей силы,
чтобы исключить кручение.
Или другому можно дать иную формулировку, если рассмотреть равнодействующие касательных напряжений.
 qdt  cos( y, t )  Q y ,
p
 qdt  cos( x, t )  Qx .
p
Центр изгиба – точка в сечении открытого тонкостенного профиля, через которую проходит равнодействующая касательных напряжений при поперечном изгибе без кручения.
Строительная механика
193
2.14.1. Методика определения координат центра изгиба
Положение центра изгиба не зависит от действующих сил и определяется геометрическим характеристиками сечения.
Например, в теории В.З. Власова 7 для вычисления координат получены
формулы:
1
1
xц.и.    S x    dt    w  y  d  dt ;
Ix
Ix
1
1
yц.и.    S y    dt    w  x  d  dt ,
Iy
Iy
где  и w - геометрические величины.
Однако практическое использование приведенных формул встречает
определенные трудности, и обычно предпочитают использовать «метод фиктивной силы».
2.14.2. Метод фиктивной силы
b
x
h
Qy
dп
Суть метода фиктивной силы опирается на приведенное определение
центра изгиба и состоит в следующем:
dст
1). К сечению, связанному с координатами x и y (главными), мысленно прикладывается фиктивная сила Qy произвольной величины, направленная,
например, вверх, т.е. в сторону положительных координат y.
2). Строится эпюра потоков касательных сил в соответствии с балочной формулой сдвига:
Qy
q p (t )  
 S x (t )
Ix
с обязательным указанием направления потока на каждом из участков.
Власов Василий Захарович (24. 2. 1906—7. 8. 1958)—советский механик, чл.-кор. АН
СССР (1953). Чл. КПСС с 1951. Род. в с. Карееве (ныне Калужская обл.). Окончил Моск.
высшее инженерно-строительное уч-ще (1930), проф. (1935). Работал в Моск. инженерностроительном ин-те, с 1946 — в Ин-те механики АН СССР. Осн. труды по механике и матем. методам в механике. В теории дифференциальных ур-ний известны ур-ния В., системы ур-ний В. и др. Гос. премия СССР (1941, 1950). В 1962—64 вышли его «Избранные
труды» в 3-х т.
7
Строительная механика
194
Следовательно, необходимо определить:
 Ix;
 эпюру Sxi;
 q p (t ) ;
 направление q p (t ) .
В нашем примере:
 h2
 d ст  h 3 h 2 
1


I x  2    b  d п  

  b  d п   d ст  h  ;
12
2 
6

 4

h
y1 (x )  ;
2
d 1 (x )  d п ;
h dп  t
h
S x1 (t )    d п  dx 
.
2
2
0
t
Q yp b  h  d п

Ix
2
b  h dп
2
Sx
qp
3). Произвольно выбирается моментная точка Т и правило знаков для моментов относительно этой точки; например, положительными считать моменты
по часовой стрелке.
4).Составляем условие статической эквивалентности моментов относительно
точки Т:
M T (Q y )  M T (q p ) ,
которое называют вторым условием статической эквивалентности (первое
приведено в начале параграфа при рассмотрении понятия центр изгиба).
Строительная механика
195
Выбор моментной точки Т нужно
производить так, чтобы просто вычислялось M T (q p ) .
T
Момент силы Qy равен:
M T (Q y )  Q y  aT ,
где aT – неизвестное пока расстояние от моментной точки до линии действия
силы Qy.
Момент от потока касательных сил равен
M T (q p )   q p (t )  dt   (t )
p
причем знак величины в правой части определяется в соответствии с принятым правилом знаков.  (t ) - длина перпендикуляра, опущенного из моментной точки Т на линию действия элементарной силы q p (t )  dt , т.е. на касательную к контурной линии в данной точке контура ( в примере 1 (t )  h ).
Если правая часть второго условия статической эквивалентности положительна, то расстояние
M T (q p )
aT 
Qy
откладывается влево от моментной точки (направленная вверх сила Qy должна
быть расположена левее точки Т, чтобы давать момент по часовой стрелке).
Подсчитаем для нашего примера:
1 Qy b  h  d п
.
M T (q p )   q p (t )  dt   (t )  h  q p1 (t )  dt  h   b

2
I
2
x
p
0
b
Сила Qy лежит правее моментной точки; при aT < 0 левее.
h2  b2  d п
b
1
aT 


.
h2 
1
 2  1 h  d ст 
4
  b  d п   h  d ст 
1  6  b  d 
2 
6


п 
b
1
- положение центра изгиба по оси x определено.
aT  
2  1 h  d ст 
1  

6
b

d

п 
Приложим силу Qx (поиск второй координаты)
Повернем и покажем
Строительная механика
196
y
x
Qx
T
x
y
q px (t )
S x (t )
Прилагаем фиктивную силу Qx - вызываем qpx предварительно вычислив Iy . Это путь аналогичен поиску первой координаты центра изгиба. Но в
нашем примере присутствует симметрия.
Воспользуемся условиями симметрии. Заметим, что Sx – обратно симметрична функция. Тогда очевидно, что: M T (Qx )  0 , а значит bT  Qx  0 ,
т.е. bT  0 , где bT - расстояние от оси x до линии действия силы Qx.
2.14.3. Правила для определения центра изгиба
1). Если сечение имеет ось симметрии, то центр изгиба лежит на этой оси
(как в нашем примере).
2). Если сечение имеет две оси симметрии, то центр изгиба лежит в точке их
пересечения.
3). Для сечений типа «сростки» («пучки») центр изгиба лежит в узле. (Сростки – прямолинейные ответвления без изломов).
ц.и.
ц.и.
ц.и.
4). Центр изгиба обычно расположен вне открытого контура.
ц.и.
ц.и.
ц.и.
ц.и.
ц.и.
ц.и.
«Возможный контур» обозначен штриховкой.
2.15. Свободное кручение открытых профилей
Безмоментная схема тонкостенного стержня, как показано выше, не
может сопротивляться кручению открытого контура.
В действительности, как показывают эксперименты, открытые контуры
все-таки оказываются сопротивление кручению. Это сопротивление обусловлено существованием другого механизма сопротивления кручению: так
Строительная механика
197
h
называемое местное сопротивление стенки кручению. Этот механизм для
прямоугольного сечения раскрывается в теории упругости. Барре де СенВенан8 установил закон распределения касательных напряжений для прямоугольного сечения вала. Они нелинейны и непостоянны.
Приедем три формулы из решения
y
Сен-Венана:
M кр
,………………(1)
t max ( A) 
  h  b2
M кр
d
,
(2)


dz G  I кр
x
A
I кр  b  h  b 3 .
(3)
b
Величины  и b приводятся в справочниках.
Профили состоят в основном из прямоугольников, которые имеют большое удлинение – полоски.
Для полосок можно считать, что b ~ d, h ~ b. По расчетам и по справ
b
1
очным данным получается, что если  5 , то   b =
- для узких прямоd
3
угольников, т.е. полосок.
Для тонкостенных открытых профилей, имеющих узлы, момент инерции при кручении равен:
1 n
I кр  h    b  d 3 i ,
3 i 1
где n – количество узких прямоугольников в профиле, h - коэффициент, который учитывает схематизацию реального профиля:
 двутавр - h = 1,20;
 тавр - h = 1,15;
 швеллер - h = 1,12.
Если открытый тонкостенный профиль можно развернуть, то оказывается, что момент инерции на кручение равен:
1
I кр   s  d 3 ,
3
где s – развернутая длина контурной линии.
Максимальные напряжения в этом случае вычисляются по формуле:


Сен-Венан (Барре де Сен Венан) Адемар Жан Клод (23.8.1797—6.1.1886) —французский
инженер и математик. Чл, Париж. АН(1868). Окончил Политехн. школу (1816). Работал
инженером, позже преподавателем в Школе мостов и дорог в Париже и в Агрономическом ин-те в Версале (проф. с 1837). Осн. труды по теории упругости (принцип С.-В.),
векторному анализу, сопротивлению материалов, гидравлике и гидродинамике.
8
Строительная механика
198
t max 
M крd
I кр
.
Величина G  I кр - называется крутильной жесткостью открытого профиля.
Отметим, что открытый может быть получен из закрытого продольным
разрезом (при этом площадь этих контуров будет практически одинакова).
1 – открытый контур;
2 – закрытый контур.
1
2
У открытого контура величина G  I кр при собственном кручении на
2…3 порядка меньше, чем у закрытого контура.
Пример:
Сопоставим крутильную жесткость открытого и замкнутого контуров.
а) Открытый контур (модель местного сопротивления стенки)
s    2R ;
d
1
отк
I кр
 2R  d 3 .
R
3
b) Замкнутый контур (модель Бредта)
d
R
4  2  d
. Учтем, что:

dt
2R
4
зак
I кр

2
d
  R 2 ;  2   2 R 4 . Тогда:
4  2  R4  d
зак
I кр

 2R 3  d .
2R
с) Крутильная жесткость замкнутого контура больше крутильной жесткости
открытого в n раз, причем
зак
I кр
2    R3  d
R2
n  отк 
3  3 2 .
I кр
2R  d 3
d
Строительная механика
199
При R d  15 (это отношение характерно для трубчатых стержневых
ферм) n = 3225 = 675.
2.16. Стесненное кручение открытых профилей. Теория В.З. Власова
В соответствии с теорией Сен-Венана в срединной поверхности тонкого профиля касательные напряжения равны нулю и максимальны на крайних
точках толщины.
Существенную базу изучения деформирования тонкостенного стержня
создал С.П. Тимошенко. Наиболее полно этот вопрос рассмотрел В.З. Власов
и теория тонкостенного стержня носит его имя.
При рассмотрении кручения тонкостенных стержней введена гипотеза
об отсутствии сдвигов в срединной поверхности (прямоугольный элемент в
ней сохраняет свою форму).
Гипотеза Власова математически выражается так:
u w
 
 0,
z t
где u – смещение точки в направлении дуговой координаты t, w – смещение
точки в направлении оси z.
w
u
  , и тогда можно формально опредеИсходя из этой гипотезы:
t
z
лить зависимость смещение точки в направлении оси z от дуговой координаты t:
t
u
w(t )  w0    dx , 0  x  t .
z
0
При кручении тонкостенного стержня точка контура (М) смещается в
направлении оси z и поворачивается в плоскости контура относительно полюса (О) на угол .
y
t
t
u
w
M'
контур сечения

n
t
z
b u
M

t
b
u
w
R
x
o

z
Строительная механика
200
Угол  мал, поэтому MM       R . Тогда u    sin b   
длина перпендикуляра на касательную. Следовательно получим
u   R 

R
, где  -

    (t ) .
R
Окончательно имеем:
u     (t ) .
Подставив это выражение в формулу для w(t) получим:
t
t

d
w(t )  w0   (   )  dx  w0 
  (x )  dx .

z
dz
0
0
Заметим,
что
каждой точке t на конy
туре соответствует свое значение .
t
x
t=0
t
Обозначим w (t )    (x )  dx . Величину w(t) называют секториальной
0
координатой.
Теперь формулу для w(t) можно представить в виде:
w(t )  w0     w (t ) .
Рассмотрим геометрический смысл секториальной координаты.
2.16.1. Секториальная координата
M(z)
A(t=0)
0 x  t
d(z)
z
B(t)
Р - полюс
Заметим, что:
  (x )  d  dw
dx   (x ) ;
- удвоенная площадь элементарного треугольника
Строительная механика
201
t
 w ( AB)    (x )  dx - удвоенная площадь сектора, соответствующего
0
дуге АВ.
2.16.2. Эпюры w(t)
Функция w(t) определяет распределение нормальных и касательных
напряжений в сечении тонкостенного стержня.
При построении эпюр w(t) следует придерживаться следующих правил:
1. в качестве полюса следует выбирать центр изгиба открытого профиля;
2. для сечений, симметричных относительно горизонтальной оси, в качестве полюса также выбирают центр изгиба; в качестве начальной выбирают точку пересечения контурной линии с горизонтальной осью; в
начальной точке w = 0;
Р (ц.и.)
A
w ( A)  0
x
3. правило изменения направления:
координатная точка движется вдоль
дуговой координаты; по мере движеx
P
A
ния координатной точки вдоль контура радиус-вектор вращается по или
против часовой стрелки.
Произведение  (x )  dx меняет знак на противоположный в тех точках, где
меняет направление вращения радиус-вектор R (t ) .
R
t
2.16.3. Пример построения эпюры w(t)
Участок 1:
b
B1
t
h/2
w1 (t )   1 (x )  dx ;
P
h
A
а
0
x
1 (x )  a  const ;
w1 (t )  a  t ;
ah
h
( 2S PAB1 )  0
при t  w1 
2
2
Строительная механика
202
Участок 2:
h
 2 (x )   const ;
2
x
w 2 (t )  w1 
b
ah h
  2 (x )  dx  2  2  t 0 
0
t
a h hb
h

  (b  a);
2
2
2
a  b - всегда!
 w 2 
Участок 3:  3 (x )  a  b  const ;
w 3 (t )  w 2 

h
t
h  (b  a)

 3 (x )  dx   2  (a  b)  t 02  w 3 
0
h  (b  a) h  (b  a)

 b  h;
2
2
x
Учитывая симметрию, достроим
эпюру w(t) – главной секториальной
координаты.
Если w(t) построена с учетом трех
правил, то w(t) называется главной
секториальной координатой.
Вернемся к полученной ранее формуле w(t )  w0     w (t ) .
Пусть точка А не смещается относительно оси z – w0 = 0. Тогда
w(t )     w (t ) - это формула для депланаций. В соответствии с ней верхняя и нижняя точки разреза, имеюA(w=0)
щие одинаковые координаты x и y,
движутся (смещаются) в противоположных направлениях, что явно противоречит закону плоских сечений.
z(w)
Итак, при свободном кручении возникает депланация.
Распределение этих смещений по сечению подчиняется закону сектроиальной координаты.
Если депланации не стеснены (свободны), никаких дополнительных
напряжений к рассмотренным ранее напряжениям (по Сен-Венану) не возникает. Прокомментируем это.
Строительная механика
203
t
(Сен-Венан)
   const ;
w
 0 z;
z
z z  E  0.
d
Рассмотрим случай, когда стержень защемлен в заделке так, что в одном из сечений депланации стеснены, т.е. закон в этом сечении: w(t )  0 . По
мере удаления от этого сечения при кручении тонкостенного стержня депланации увеличиваются. Теперь w(t )  0 и w(t )  const . Это вызывает появление нормальных напряжений, которые, как покажем ниже, распределяются
как депланации.
z
 ( z )  0
Mкр
l
w – депланации;
w( z  0)  0 ;
w( z  )  wmax  w0
   f (z )
Наличие депланаций приводит к тому, что    const .
2.16.4. Нормальные напряжения стесненного кручения
Деформация при стесненном кручении:
w

 
z 
  [ ( z )  w (t )]  
 w (t )     w (t ) ,
z
z
z
которой соответствует напряжение обозначенное как  w и называемое нормальным напряжением стесненного кручения (действует в направлении
оси z). Оно определяется формулой:
 w   z  E     E  w (t ) ,
которые распределяются по закону секториальных координат.
Можно показать, что система напряжений  w является самоуравновешенной:
  w  dF  N z  Nw  0 ;
P
  w  x  dF  M yw  0 ;
P
Строительная механика
204
  w  y  dF  M xw  0 .
P
Если же рассмотреть интеграл   w  w  dF , то окажется, что он не раP
вен нулю
  w  w  dF   (   E  w )  w  dF     E  Iw ,
P
P
где Iw   w  dF - геометрическая характеристика – секториальный момент
2
P
инерции тонкостенного стержня открытого профиля. [см6, м6]
При наличии сосредоточенных продольных элементов:
n
Iw   w  dF  w i2  f i .
2
i 1
P
Интеграл
  w  w  dF
P
обозначают буквой В и называют бимоментом. Бимомент – это реальный
внутренний силовой фактор наравне с N, Q и M. Он представляет собой две
пары сил, два момента, действующих в двух параллельных плоскостях.
вспомним, и
это логично
или
Эти моменты равны по величине, но направлены в противоположные стороны. Запишем
B    w  w  dF   (   E  w )  w  dF     E  Iw . [Нм2]
P
P
Пользуясь понятием бимомента, можно записать формулу для нормальных напряжений стесненного кручения в привычном виде. Действительно получены две формулы:
B     E  Iw ,
 w     E  w (t ) .
Сопоставив их, получим
Строительная механика
205
B
 w (t ).
Iw
Эти напряжения максимальны в заделке и убывают по мере удаления
от нее. Закон убывания определяется функцией B(z ) .
 w (t ) 
2.16.5. Касательные напряжения стесненного кручения
Возвращаемся к основной формуле касательных напряжений в тонкостенном стержне:
t

q(t )  q0  
 d  dx .

z
0
Теперь нормальные напряжения существуют и второе слагаемое отлично от нуля.

    E  w (t ) .
Используя формулу  w     E  w (t ) , получим
z
Подставим это выражение в q (t ) , считая, что в точке, где t = 0 и q0  0 обнаружим:
t
t
0
0
qw (t )    (   E  w )  d  dx     E   w d  dx .
Последний в этой формуле геометрический интеграл обозначим Sw :
t
Sw (t )   w (x )  d  dx [м4]
0
и будем называть текущим секториальным статическим моментом.
Таким образом, поток касательных усилий:
qw (t )     E  Sw (t ) .
2.16.6. Крутящий момент стесненного кручения
Вычислим момент который создают потоки qw относительно главного
полюса (центра изгиба):
M w   qw    dt     E   Sw (t )   (t )  dt .
F
Для интеграла применяем правило интегрирования по частям:
 u  dv  u  v   v du .
Тогда:
u  Sw   w  d  dt ; du  w  d  dt ; v  w     dt ; dv    dt .
Следовательно
 Sw    dt  Sw  w A   w  d  dt  w .
K
Причем: в начальной точке w = 0, а в конечной точке Sw  0 . Теперь:
Строительная механика
206
 Sw    dt   w  d  dt   Iw .
2
Окончательно получим
M w     E  Iw
и, следовательно,
M w  Sw (t )
.
Iw
Сопоставляя формулы для В и M w , видим, что
dB
M w  B 
.
dz
Таким образом, при стесненном кручении наблюдается появление касательных напряжения безмоментной теории, которые берут на себя часть
крутящего момента.
Полный крутящий момент в любом сечении стержня
M кр  M 0  M w ,
где M 0     G  I кр - момент кручения тонких пластинок (по Сен-Венану);
M w     E  Iw - момент стесненного кручения.
Получаем дифференциальное уравнение стесненного кручения
    E  Iw     G  I кр  M кр ( z )
- обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, линейное неоднородное.
Преобразуем его
G  I кр
M кр ( z )
.
     

E  Iw
E  Iw
Для того, чтобы учесть возможное нагружение в виде распределенных
по длине погонных крутящих моментов, уравнение приводят к виду
G  I кр
mкр ( z )
 IV    

,
E  Iw
E  Iw
dM кр
где mкр 
dz
G  I кр
mкр ( z )
Примем, что к 2 
и  ( z) 
, тогда
E  Iw
E  Iw
qw (t )  
 IV     к 2    ( z ) .
Решение этого уравнения:
 ( z )  C0  C1  z  C2  shкz   C3  chкz    част .
Произвольные коэффициенты C0, C1, C2, C4 находят из граничных
условий. Например, для защемленного стержня:
в заделке (z = 0)  = 0, w = 0 (    0 );
на свободном конце ( z   ) B  0 (    0 ), M w  0 (    0 ).
Строительная механика
207
2.16.7. Характер эпюры потоков касательных усилий при стесненном
кручении
Очевидно, что характер функции qw (t )  
M w  Sw (t )
определяется стаIw
t
тическим секториальным моментом Sw (t )   w (x )  d  dx .
0
w (t )
Sw (t )
qw (t )
Потоки касательных усилий создают только крутящий момент, поперечных сил они не создают.
Основную часть крутящего момента стесненного кручения создают потоки, развивающиеся на полках профиля.
2.16.8. Граничные условия для решения дифференциального уравнения
Заделка (защемление)
m(z )
l
z
z  :
1.  ()  0 ;
2.  ()  0 - в заделке стеснены депланации w(t )     w (t )  0 .
Свободный край
3. нет нормальных напряжений: B( z  0)  0 ; B     E  Iw ;  (0)  0 .
4. крутящий момент равен приложенному внешнему моменту
M кр     G  I кр     E  Iw ;
M кр (0)
 (0)  к 2   (0)  
.
E  Iw
Строительная механика
208
Здесь правая часть равна нулю, если нет сосредоточенного момента.
2.16.9. Влияние соотношения жесткостей
Обычно E  Iw  G  I кр . Удобно оценить соотношение величин формулой к 
G  I кр
E  Iw
. Разберемся с размерностями величин, входящих в эту фор-
мулу:
G  I кр
w
- G  I кр 
P
 L4  P  L2 ;
2
L
t
- w     dx  L2 ;
0
Iw
- Iw   w 2  dF  L4  L2  L6 ;
E  Iw
- E  Iw 
P
2
 L6  P  L4 ;
L
G  I кр
P  L2 1
 .
E  Iw
P  L4 L
Критерием учета соотношений жесткостей является величина к   . Если G  I кр мало, то к    1 , и наоборот.
к
- к

1
Если к    1 ( к    ), то доля свободного кручения незначительна и
5
может быть опущена. Тогда уравнение равновесия:
 IV   II  к 2   
с учетом малости к 2 примет вид
 IV  
mкр  z 
.
E  Iw
Для него решение проще и представляется так
 ( z )  C0  C1  z  C2  z 2  C3  z 3   частное ( z ) ,
где Сi определяются из тех же граничных условий.
2.16.10. Вырез в фюзеляже
Примером применения рассмотренной теории является кручение фюзеляжа в районе большого выреза от действия силы на руле направления.
Строительная механика
209
«Спасает» то, что вырез обычно внизу, а
киль – наверху. Поэтому сила Рв.о. расположена близко от центра изгиба и крутящий момент М кр  Pв.о. ( yв.о.  yц.и. ) неве-
Рв.о.
h
лик. Для улучшения восприятия потоков
qw применяют краевые бимсы.
ц.и.
фюзеляж
вырез
бимс
2.17. Кручение замкнутого профиля
Примеры: носок крыла, межлонжеронная часть крыла, фюзеляж (корпус) и т.д. Это полноценная несущая конструкция, которая может воспринимать любую внешнюю нагрузку.
Рассмотрим расчет замкнутого контура при кручении без сдвига. Если
нет поперечных нагрузок и нет стесненности депланаций, то нормальные
напряжения отсутствуют.
Мкр
Мкр
- чистое (свободное кручение)
Основная формула сдвига

 dF

t
0
при отсутствии нормальных напряжений приводится к виду
q (t )  q0  qкр  const ,
t
q(t )  q0  
Строительная механика
210
т.е. в этом случае во всех точках контура действует один и тот же поток.
Найдем равнодействующие этого потока. Легко убедится, что для замкнутого контура постоянный поток не дает равнодействующей силы Q:
y
Y (qкр )   qкр  sin   dt  qкр   dy  0
(в горизонтальной полосе вертикальные составляющие потоков взаимно
уничтожаются),
X (qкр )   qкр  cos  dt  qкр   dx  0
x
(в вертикальной полосе горизонтальные составляющие потоков взаимно
уничтожаются).
(q0 ) y  dy  (q0 ) y  dy  0 - для горизон-

q0=qкр
тальной полоски.
Таким образом, Мкр дает постоянный по контуру поток касательных
сил. Равнодействующая потока касательных сил равна приложенному внутреннему силовому фактору.
Возьмем сумму моментов этого потока относительно точки Т:
M T (q0 )  M T ( M кр )  M кр ,
M T (qкр )   qкр   (t )  dt  qкр    (t )  dt .
y
C
B
D
T
A
x
Интеграл в последнем выражении есть секториальная площадь всего замкнутого контура. При движении от точки А к В радиусвектор ТС поворачивается
против часовой стрелки, т.е.
приращение w > 0. В точке
В получаем положительную
удвоенную площадь сектора ТАВС. При движении от
точки В к А радиус вектор
TD поворачивается по часовой стрелке, т.е. приращение w < 0.
В точке А получаем отрицательную удвоенную площадь сектора TBDA. Таким образом, суммарное значение w при возврате в точку А есть удвоенная
Строительная механика
211
площадь внутри фигуры ACBDA. Площадь фигуры внутри замкнутой контурной линии принято обозначать .
Итак, возвращаясь к формуле для крутящего момента, получим:
M T (qкр )  qкр  2 .
Из условия статической эквивалентности напряжений и внутреннего
силового фактора установим
qкр  2  М кр
откуда следует формула Бредта:
М кр
,
qкр 
2
т.е. при чистом свободном кручении однозамкнутого контура в нем возникают постоянные по контуру потоки касательных сил.
Характер изменения d(t) не влияет на величину qкр, однако влияет на
касательные напряжения
qкр
.
t кр (t ) 
d (t )
Форма сечения не влияет на величину qкр.
2.18. Поперечный изгиб замкнутого профиля
Рассмотрим поперечный изгиб в плоскости yoz, когда в сечении действуют сила Qy и момент Mz, причем Q y  0 . Оси x, y – главные центральные
оси сечения.
y
Qy
Qy
Mz о
x
- внутренние силовые факторы в
сечении
xQ
Сила Qy приведена в центр тяжести сечения (начало координат).
В дальнейших расчетах пару внутренних силовых факторов Qy и Mz,
будем заменять одной силой Qy, но смещенной вправо на расстояние xQ, приM
чем xQ  z .
Qy
Это статически эквивалентная замена.
Строительная механика
212
Итак, в сечении действует только сила Qy, точка приложения которой
известна.
Воспользуемся балочной формулой сдвига
q (t )  q0  q p (t ) ,
где q p (t )  
Q y  S x (t )
.
Ix
Для определения потоков q p (t ) следует выбрать начальную точку А и
направление обхода контура. Рекомендуется при этом, чтобы:
1. начальная точка лежала бы на оси симметрии сечения;
2. дуговая координата была бы направлена против часовой стрелки;
3. в малой окрестности начальной точки было бы y > 0.
При выполнении этих условий потоки q p (t ) получаются отрицательными,
т.е. направленными по часовой стрелке.
y
t
A
x
Для потока q0 выбирается предварительное направление по дуговой координате против часовой стрелки.
Для определения его величины (и
действительного направления) используем условие статической эквивалентности моментов.
Выбрав произвольно моментную точку Т, координата которой xT, такая,
что xQ > xT, запишем условие статической эквивалентности:
M T (Q y )  M T [q(t )] ,
в левой части содержится момент от внутреннего силового фактора (определяется из уравнения равновесия отсеченной части балки), а в правой части –
суммарный момент от потока касательных сил.
Моменты считаем положительными, если они направлены против часовой стрелки. Если сила Qy направлена вверх, то
M T (Q y )  Q y  ( xQ  xT ) .
Поскольку потоки касательных сил определяются суммированием,
разобьем правую часть условия статической эквивалентности на две части:
M T (Q y )  M T (q0 )  M T [q p (t )] .
Для первого слагаемого воспользуемся формулой Бредта. Ранее принято, что поток q0 направлен против часовой стрелки, поэтому
M T (q0 )  2    q0 .
Второе слагаемое определяется по формуле
M T [q p (t )]   q p (t )   (t )  dt ,
похожей на ту, которая фигурировала в предыдущей процедуре определения
центра изгиба открытого профиля.
Строительная механика
213
Фактически это есть сумма произведений M i  q pi   i  ti по всем
участкам контура. Каждое из этих слагаемых имеет свой знак в зависимости
от направления M i .
Момент M T [q p (t )] считается положительным, если направлен против
стрелки часов.
Подставляем полученные выражения в условие статической эквивалентности
Q y  ( xQ  xT )  2  q0   q p (t )   (t )  dt .
Откуда
q0 
Q y  ( xQ  xT )   q p (t )   (t )  dt
.
2
Причем значение интеграла в числителе подставляется со своим знаком. Если величина q0  0 , то этот поток действительно направлен против
часовой стрелки.
Обычно величина интеграла
 q p (t )   (t )  dt  0
и тогда q0  0 , т.е. направлен против часовой стрелки.
Суммарный поток в каждой точке контура определяется как алгебраическая сумма
q (t )  q0  q p (t )
направление суммарного потока определяется по знаку полученной суммы.
2.19. Угол закручивания замкнутого профиля
Теперь нам известен поток касательных сил q (t )  q0  q p (t ) .
Рассмотрим бесконечно малый элемент длины тонкостенного стержня
– элемент dz.
Применяем метод Мора. Используем единичные моменты.
z  d
z+z
M 1
M 1
В данном случае единичные силы по Мору – пара единичных моментов
соответствует разности углов закручивания, равной d. Направление момента определяет знак приращения d.
Воспользуемся принципом возможных перемещений: если система
находится в равновесии, то работа внешних сил на возможных (виртуальных)
перемещениях равна работе внутренних напряжений на возможных виртуальных деформациях.
Строительная механика
214
Внешние силы - M , этому моменту соответствуют напряжения t . Перемещение -  (P) от действительной нагрузки, ему соответствуют деформации  (P ) в действительном состоянии системы.
В нашем случае формулу Мора можно применить в следующем виде:
 ( P)  M  t   ( P)  dV ,
в котором реализуется принцип возможных перемещений.
Проведем переход к потокам касательных сил – подынтегральное выражение t   (P) постоянно по толщине d, поэтому
t   ( P)  dV  d  t   ( P)  dz  dt   q ( P)  dz  dt ,
где dz  dt - элемент площади срединной поверхности.
Далее перейдем к контурной линии (избавимся от двойного интеграла
и перейдем к простому). Величины q ,  (P ) - практически постоянны по
длине dz, поэтому
 q ( P)  dz  dt  dz   q  ( P)  dt .
Поток q от единичного крутящего момента определяется по формуле
Бредта:
M
1
q

.
2 2
Используя закон Гука при сдвиге, представим
t ( P) q( P)
 ( P) 

.
G
G d
Возвратимся к формуле Мора
q( P)
1 q( P)
M  d ( P)  dz   q  ( P)  dt  dz   q 
 dt  dz  

 dt .
G d
2 G  d
Учитывая, что M  1, получим окончательно
1 q( P)
q  q( P)
d  dz  

 dt .
dt или d  dz  
2 G  d
G d
Относительный угол закручивания замкнутого профиля определится
следующей формулой
d
q  q ( P)


dt ,
dz
G d
которую называют формулой кручения замкнутого профиля.
Полный угол закручивания вычисляется так
z
 ( z )   0   ( z )  dz ,
0
0 – угол закручивания сечения при z = 0.
Строительная механика
215
2.20. Крутильная жесткость замкнутого профиля
Величина относительного угла закручивания  может быть записана
через крутильную жесткость сечения G  I кр :

M кр
.
G  I кр
Это общая формула кручения стержня.
Для определения крутильной жесткости приложим к замкнутому профилю известный крутящий момент M кр . Найдем  по формуле кручения замкнутого профиля и сравним с общей формулой кручения.
При действии M кр :
M кр  1
q(t ) 
M кр
2
 q( P) ;
q  q( P)
1
 dt , но от единичного момента
q
, поэтому
G d
2
1 M кр
dt



.
2 2 G  d
Тогда сравнивая формулы для относительного угла закручивания, получим окончательно
4 2
.
G  I кр 
dt
 G d
Если G  d  const , то
4 2  G  d
G  I кр 
,
L
где L – длина контурной линии.
Например, для кольцевого поперечного сечения (ранее рассматривали):
L  2R ,
  R 2 ,
4 2  R 4  G  d
G  I кр 
 2  R 3  d  G .
2R
 
2.21. Центр жесткости замкнутого профиля
В замкнутом контуре, как и в открытом контуре, имеется характерная
точка, связанная с разделением напряженного состояния в сечении на изгиб и
кручение.
Строительная механика
216
Эта точка называется центром жесткости.
Центром жесткости замкнутого тонкостенного профиля называется
точка, относительно которой происходит поворот сечения при кручении.
Центр жесткости обладает двумя свойствами:
1. Если поперечная сила приложена в центре жесткости, то в сечении реализуется сдвиг без кручения: относительный угол закручивания
 = 0. Другими словами, если в сечении относительный угол закручивания  равен нулю, то равнодействующая касательных напряжений
проходит через центр жесткости.
2. При кручении сечения центр жесткости остается неподвижным. Другими словами крутящий момент есть произведение действующей силы
на длину перпендикуляра, опущенного из центра жесткости на линию
ее действия.
Интерес представляет момент от силы Qy. Для него
M кр  Q y  ( xQ  xц.ж. ) ,
где xQ - координата линии действия силы Q y , xц.ж. - «искомая» координата
центра тяжести.
Для определения координат центра жесткости – в отличие от центра
изгиба открытого профиля – нет готовых формул. Пользуются двумя методами:
 метод фиктивной силы (универсальный);
 метод фиктивного момента (для некоторых ситуаций).
2.21.1. Метод фиктивной силы сдвига
Идея метода основана на двух положениях:
1. если сила сдвига приложена в центре жесткости, то кручение отсутствует;
2. между внутренними силовыми факторами и системой напряжений существует статическая эквивалентность.
Следовательно, при сдвиге без кручения равнодействующая потока касательных сил проходит через центр жесткости.
Прикладываем поперечную силу
yQ
y
(произвольной величины) в центре
жесткости (предположительно). Выt
A
бираем начальную точку и направлеx
ц.ж.
ние t. Строим эпюры Sx(t) и потоков
qp , как в открытом контуре, использую формулу:
Q yф
 S x (t ) и правило знаков: q p  0 , если его направление совпадает с
Ix
направлением обхода контура (дуговой координаты).
qp  
Строительная механика
217
Определяем q0 из условия отсутствия кручения  = 0. Используем формулу кручения
q q
 
 dt  0 ,
G d
в которую подставим q (t )  q0  q p (t ) и получим:
 
q  [q0  q p (t )]
 dt  0 ,
G d
причем q  const , а для всех трех потоков принято одно, ранее указанное,
правило знаков.
Проведем преобразование:
q  [q0  q p (t )]
q p (t )
dt

dt

q

q


q

0
 G d
 G d
 G  d  dt  0 .
q p (t )
q p (t )
q 
 dt
 G  d  dt
G

d

Отсюда q0  
и окончательно имеем
dt
dt
q 
 G d
G d
q p (t )
 G  d  dt
q0  
- начальный поток при чистом сдвиге и при кручении.
dt
 G d
Если q0 > 0, то следует изменить направление на противоположное (против t).
Теперь известны полные потоки касательных сил от фиктивной силы
Qyф сдвига, приложенной в центре жесткости.
Найдем точку, в которой приложена равнодействующая полученных
напряжений.
Для этого, как и в случае открытого контура используем вспомогательную моментную точку Т и условие статической эквивалентности:
M T (Q y )  M T (q ) ,
yQ
y
где M T (Q y )  Q y  aT ,
Т
x
M T (q)   q    dt .
аТ
Отсюда получим
aT 
1
 q(t )    dt .
Q yф 
Если aT  0 , то это расстояние нужно отложить от точки Т вправо.
Для определения второй координаты центра жесткости следует приложить в сечении фиктивную силу Qx и повторить расчет:
Строительная механика
218
bT 
где q(t )  q0 
Qxф  S y (t )
Iy
1
 q(t )    dt ,
Qxф 
.
2.21.2. Метод фиктивного момента (выделения кручения)
Этот метод применяется в тех случаях, когда потоки q (t )  q0  q p (t )
уже найдены. Положение силы Qy также известно xQ.
Идея метода – двойственное представление крутящего момента:
геометрическое представление:
M кр  Q y  ( xQ  xц.ж. ) ;
Qy  0 ,
физическое представление:
M кр     G  I кр ,
d
.
dz
Из физической формулы определяется Mкр, а затем из геометрической
M кр
.
xц.ж.  xQ 
Qy
Остается определить Mкр . Это делается в два этапа:
1). Вычисление относительного угла закручивания
q q
   
 dt ,
G d
причем, если    0 , закручивание против часовой стрелки.
2). Определение крутильной жесткости сечения. В случае однозамкнутого
контура
4 2
.
G  I кр 
dt
 G d
После этого определяется
M кр     G  I кр ,
который направлен как и   .
где   - относительный угол закручивания,   
Строительная механика
219
Далее xц.ж. по формуле xц.ж.  xQ 
M кр
Qy
.
Если Mкр < 0, то xц.ж.  xQ .
y Q
y
Если Mкр > 0, то xц.ж.  xQ (против
часовой стрелки).
x
ц.ж.
xц.ж.
xQ
2.22. Расчет касательных напряжений в многозамкнутом профиле
(стандартная процедура метода сил)
Проблема расчета многозамкнутых профилей возникает при расчетах
крыльев большого удлинения тяжелых самолетов.
Пример многозамнкутого сечения крыла
2.22.1. Степень статической неопределимости
Для тонких крыльев справедлива балочная теория, т.е.
q (t )  q0  q p (t ) ,
Qy
 S x (t ) , q0 - поток в начальной точке отсчета дуговой копричем q p (t )  
Ix
ординаты.
В многозамкнутом профиле возникает необходимость выбрать начальную точку в каждом из контуров.
1
2
3
независимые контуры
меньшегоразмера
1
2
3
Строительная механика
220
q (t )  q p (t )  q01  q02  q03
Поток q p (t ) определяется по методике расчета открытого контура с
разветвлениями. Для определения потоков q01 , q02 , q03 имеется всего одно
условие статической эквивалентности:
M T (Q y )  M T (q ) .
Всякий К замкнутый контур можно рассматривать как результат подстыковки К – 1 замыканий однозамкнутого контура. Профили, у которых
К > 1, называются многозамкнутыми контурами. Так как однозаммкнутый
контур статически определим, то К замкнутый контур статически неопределим К – 1.
Степень статической неопределимости:
W  K  1,
где К – количество независимых замкнутых контуров.
Количество контуров не влияет на определение нормальных напряжений. Расчет касательных напряжений зависит от количества контуров.
2.22.2. Метод сил
Для решения задачи (определения q) применяется метод сил. Освобождаем лишние связи и вводим лишние неизвестные. В качестве дополнительных условий используем гипотезу о недеформируемости контура поперечного сечения, т.е. относительный угол закручивания каждого контура равен относительному углу закручивания всего контура.
2.22.3. Выбор основной системы
4
3
2
1
W=3
Требования:
 должна
воспринимать
все
внешние силы;
 должна быть статически определимой.
В примере в качестве основной системы может быть взят однозамкнутый контур.
Он будет содержать 5 стенок с мысленно введенными разрезами. Это можно
сделать различными способами.
Рассмотрим простейший вариант когда замкнутым остается крайний левый контур. Он может воспринимать любую комбинацию нагрузки Qx, Qy, Mz.
2.22.4. Грузовое состояние основной системы
Грузовое состояние основной системы полностью обеспечивает условия статики. Потоки q ( P ) (t )  q0  q p (t ) грузового состояния полностью
обеспечивают условия статической эквивалентности:
Строительная механика
221
 Fx (q ( P) )  Qx ;
 Fy ( q ( P ) )  Q y ;
 M T (q ( P ) )  M z .
Лишние неизвестные должны быть самоуравновешенными.
2.22.5. Лишние неизвестные
Разрез контура вдоль образующей t = 0 освобождает связь на взаимное
продольное смещение верхней и нижней границ разреза. Эту связь можно
заменить потоком q0, приложенным с обеих сторон разреза.
По закону парности касательных
напряжений в сечениях z = const возq0
никают замкнутые потоки касательных сил. Они замыкаются на ближайшей стенке без разреза.
Равнодействующая этого замкнутого
постоянного потока – момент, опреq01
деляемый с помощью формулы Бредта: X 1  q01  2123 .
Поскольку касательные напряжения грузового состояния обеспечивают
статическую эквивалентность с внутренними силовыми факторами, нагрузка
от лишней неизвестной должна быть самоуравновешенной.
Поэтому в замкнутом контуре основной системы необходимо приложить момент, равный X 1 , направленный в противоположную сторону:
X1
X1
X1
Величина X 1 и является первым лишним неизвестным.
Аналогично вводятся X 2 и X 3 :
X2
X2
X3 X3
X3
X2
Итак, лишние неизвестные равны:
X 1  q01  2123 ;
X 2  q02  2 23 ;
X 3  q03  2 3 .
Строительная механика
222
Обобщенные перемещения, соответствующие введенным лишним неизвестным, есть разности углов закручивания контуров, охватываемых усилиями X 1 , X 2 и X 3 .
Условие совместности деформации следующее: разность углов закручивания должна быть равна нулю.
В примере:
1  0 ;  2  0 ;  3  0 ,
поток касательных сил q (t )  q p (t )  q01  q02  q03 ,
X
X1
X2
потоки в контурах: q01 
; q02 
; q03  3 .
2123
2 23
2 3
2.22.6. Система канонических уравнений метода сил
В нашем примере:
d 11  X 1  d 12  X 2  d 13  X 3  1P  0 ;
d 21  X 1  d 22  X 2  d 23  X 3   2 P  0 ;
d 31  X 1  d 32  X 2  d 33  X 3   3 P  0 .
Здесь d jk ; - обобщенное перемещение, соответствующее j –той лишней неизвестной, вызванное действием на основную систему единичных значений
k – той лишней неизвестной.
Покажем как они отыскиваются.
6
q4 
5
4
3
13
12
11
7
8
9
2
1
10
1
2  4
q123 
1
2  123
1
2  4
q3 
1
2  3
q4 
Вычисления производятся по следующей формуле:
n q q
ji
ki
d jk   
 dt ,
G

d
i
i 1
где n – количество участков (n = 13).
Строительная механика
223
 jP - обобщенное перемещение, соответствующее j –той лишней неизвестной, вызванное действием на основную систему грузового состояния:
q ( P )  q0( P )  q (pP ) (t ) .
Оно вычисляется по формуле:
n
q ji  q Pi
i 1
G di
 jP   
 dt .
2.22.7. Суммарные эпюры потока касательных сил
Соответствуют вычисленным по формуле:

q (t )  q
( P)
W
(t )   X K  q K (t ) .
K 1
Складываются потоки там, где они фактически существуют.
X 3 X3
2.23. Касательные напряжения в многозамкнутом профиле. Модифицированная процедура
В практике конструкторских бюро представленная в предыдущем параграфе методика расчета касательных напряжений с целью упрощения и формализации была модифицирована следующим образом.
1). Выбор основной системы. В качестве основной системы выбирается открытый контур, т.е. «размыкаются» все контуры. Формально такая основная
система является изменяемой и не может воспринимать кручение, но в дальнейшем восприятие крутящего момента будет обеспечено.
Q
Mz
2
1
5
14 27
3
6
8
11
4 13
10
9
12
3
P
qPi (t )
Строительная механика
224
2). Лишние неизвестные. В качестве лишних неизвестных принимаются крутящие моменты в каждом из контуров, т.е. лишние неизвестные не являются
самоуравновешенными. Количество лишних неизвестных равно количеству
контуров, т.е. на единицу больше, чем в стандартной процедуре.
3). Грузовое состояние основной системы представляет собой совокупность
потоков касательных сил от сдвига в открытом контуре (сдвиг без кручения),
т.е. qiP  q pi .
4). Единичные состояния основной системы (от реакций в освобожденных
связях) сводятся к местному кручению каждого из контуров (парциальные
моменты в контурах – относятся к одной части – своему контуру).
Покажем единичные состояния для четырехзамкнутого контура, заметив, что
следует выбирать одинаковое направление для всех неизвестных X j .
X 1  1, q11 , q21 , q31 , q41
X 2  1, q 42 , q 52 , q 62 , q 72
X 3  1, q73 , q83 , q93 , q10,3
X 4  1, q10, 4 , q11, 4 , q12, 4 , q13, 4
Для первого состояния на участках действуют:
1
X 1  1; q11  q21  q31  q41 
; q51  q13,1  0.
2  1
Аналогично и на остальных.
5). Система разрешающих уравнений формируется из следующих соображений:
а) условие совместности деформаций – относительные углы закручивания
всех контуров одинаковы и равны  0 :
1   0 ;
 2   0 ;
Строительная механика
225
 3   0 ;
 4   0 ,
где  j – угол закручивания j – того контура;  0 – угол закручивания всего
сечения.
Величина угла закручивания j – того контура в эквивалентной системе
определяется в соответствии с принципом независимости действия сил (суперпозиции):
n
 j   jP   d jk  X k , j  1, n .
k 1
Например, для четырехзамкнутого контура
 j  d j1  X 1  d j 2  X 2  d j 3  X 3  d j 4  X 4   jP   0 .
Таким образом, условие равенства углов закручивания контуров дает n
уравнений, что равно количеству неизвестных, но и содержит новую неизвестную –  0 .
б) дополнительное уравнение дает неиспользованное до сих пор условие статики – условие статической эквивалентности моментов относительно произвольной точки:
n
 X j  M T (qPi )  M T (Qx , Q y , M z ) .
j 1
При записи этого уравнения следует выбрать одно правило и придерживаться
для всех операндов в обеих частях равенства.
Таким образом, получена система (n +1) уравнений с (n +1) неизвестным. Она отличается от системы канонических уравнений метода сил.
6). Коэффициенты разрешающей системы.
Для определения коэффициентов d jk и  jP используются такие же
формулы как и в стандартной процедуре:
n q q
ij
ik
d jk   
 dt ,
G

d
i
i 1
где qij – поток касательных сил на i – том участке контура от действия j - того единичного момента, n – количество участков на контуре многозамкнутого сечения.
d ik  d ki – угол закручивания i – том участке контура от действия j – того
единичного момента.
Одним из преимуществ модифицированного метода является простота
вычисления d ik при j  k :
 если k – тый и действия j – тый контуры не имеют общей стенки, то
d ik  0 ;
 если k – тый и действия j – тый контуры имеют общую стенку, то
Строительная механика
d jk 
qij  qik  t i
G di
226
.
4
qij2
i 1
G di
Если j = k, то d jj   
 dt при условии, что в каждом контуре че-
тыре стенки.
Определение «грузовых» коэффициентов
n
qij  q Pi
 jP   
 dt ,
G

d
i
i 1
являющихся результатом перемножения эпюр j – того состояния и грузовых,
при использовании модифицированной методики также существенно упрощается.
7). Вычисление неизвестных X j и  0 производится решением системы линейных алгебраических уравнений, что в практике КБ всегда делалось на
ЭВМ.
При этом определяются не только моменты X j , но и угол закручивания  0 . Направления моментов X j и угла  0 корректируются в соответствии
с полученными знаками.
В нашем примере 5 неизвестных: X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ,  0 .
8). Действительные (суммарные) потоки касательных сил определяются по
формуле:
K
q  (t )  q P (t )   q j  X j ,
j 1
где К – количество контуров.
2.24. Определение координат центра жесткости многозамкнутого контура методом фиктивного момента (см. п. 2.21)
Как и в случае однозамкнутого контура метод фиктивного момента использует результаты расчета многозамкнутого сечения при реальной нагрузке совокупного действия изгиба и кручения, когда положение силы Qy в сечении известно.
Если в сечении действуют и Qy и Mz, приведенные к центру тяжести сечения, то следует заменить эту систему внутренних силовых факторов одной
Qy, сдвинув ее вправо на расстояние
M
d z.
Qy
Строительная механика
227
Qy
Qy
Mz
x
d
Если величина d окажется отрицательной, силу Qy следует сместить
влево.
Существенным условием расчета многозамкнутого контура является
процедура нахождения крутильной жесткости сечения. Для этого к сечению
прикладывают фиктивный крутящий момент Мф, величина и направление которого выбирается произвольно, и ищется относительный угол закручивания
от действия этого момента  0 ф . Используется система из (N + 1) уравнений
предыдущего параграфа:
N
 d jk  X k   0 ф ; j  1, N ;
k 1
N
 X j  Mф.
j 1
Существенным упрощением этой системы является отсутствие момента M z (q p ) и коэффициентов  jP . Коэффициенты d jk совпадают с теми, которые вычислялись в модифицированной процедуре.
Полученная система может быть решена, например, последовательным
исключением неизвестных X j и получена величина  0 ф .
Крутильная жесткость определяется как частное
Mф
.
G  I кр 
 0 ф
После определения крутильной жесткости последовательность действий не отличается от случая однозамкнутого контура:
- выделяется крутящий момент:
M кр   0  G  I кр ,
где  0 - действительный угол закручивания.
- определяется расстояние от известной линии действия силы Qy до
центра жесткости сечения:
M кр
a ц.ж. 
.
Qy
Вопрос о том, в какую сторону от Qy откладывать это расстояние, решается в зависимости от направлений Qy и Мкр. Например, если сила Qy
направлена вверх, а угол  0 и следовательно Мкр направлены по часовой
стрелке (см. рис.), то центр жесткости расположен правее силы Qy.
Строительная механика
228
Qy
aц.ж.
2.25. Определение положения центра жесткости многозамкнутого контура методом фиктивного силы
Применяется если предварительно ничего неизвестно о напряженном
состоянии.
Для определения, например, горизонтальной координаты xц.ж. центра
жесткости в сечении прикладывается фиктивная вертикальная сила Qyф. (Если бы нужно было бы определить вертикальную координату центра жесткости, то следовало бы приложить горизонтальную фиктивную силу Qxф.)
Величина и направление (вверх или вниз) фиктивной силы Qyф выбираются произвольно и на результат не влияют.
Предполагается, что сила Qyф проходит через центр жесткости сечения
и, следовательно, кручение отсутствует.
Процедура метода фиктивной силы состоит из двух этапов:
 определение потоков касательных сил при изгибе без кручения;
 определение положения равнодействующей этих потоков.
а) Расчет потоков касательных сил в тонкостенном многозамкнутом контуре
при изгибе без кручения.
Грузовое состояние основной системы – изгиб открытого контура.
Эпюры касательных сил определяются формулой
Q yф  S xi
q pi  
.
Ix
Как и раньше, для расчета открытого контура следует выбрать начальную точку и направление контурной координаты. Потоки q pi считаются положительными, если их направление совпадает с направлением обхода контура. В частности при положительной силе Qyф (направлена вверх) потоки
q pi направлены против обхода контура.
Величины контурных моментов определяются из условия отсутствия
кручения во всех контурах:
N
 d jk  X k   jP  0 ; j  1, N .
k 1
Здесь N – количество независимых контуров (равно количеству точек размыкания при образовании открытого контура основной системы), а j – номер
контура.
Строительная механика
229
Коэффициенты d jk определяются перемножением эпюр касательных
сил j – том и k –том единичных состояниях основной системы:
qij  qik  ti
.
d jk  
G di
Суммирование распространяется только на те участки, на которых ни
qik ни q ji одновременно не равны нулю. В формулах условия отсутствия
кручения предполагается, что контурные моменты направлены против часовой стрелки. Коэффициенты  jP определяются перемножением эпюр грузового состояния на эпюры j – того единичного состояния:
n q q
ij
Pi
 jP   
 dt .
G

d
i
i 1
После разрешение системы условий отсутствия кручения суммарные
потоки касательных сил при изгибе без кручения определяются по формуле
N
Xi
qизг.i  q pi  
  ji ,
2


j
j 1
причем  ji - единичная циркуляция j – того контурного момента на i – том
участке; эта величина несет информацию о присутствии и направлении потоXj
ка
на рассматриваемом i – том участке.
2j
б) Положение равнодействующих касательных напряжений в сечении при
изгибе без кручения.
Сумма проекций касательных напряжений на вертикальную ось равна
Qyф. Следовательно, момент касательных напряжений относительно произвольной точки Z равен произведению силы Qyф на расстояние от точки Z до
линии действия этой силы. Другими словами, используется условие статической эквивалентности моментов:
M Z (qизг )  M Z (Q yф ) .
Выбирается правило знаков для моментов и вычислется
N
M Z (qизг )  M Z (q pi )   X j ,
j 1
где
n
M Z (q pi )   qi   i  ti
i 1
момент от потоков грузового состояния;  i - длина перпендикуляра, опущенного из моментной точки Z на линию потока q pi .
Если обозначить
M Z (Q yф )  aZ  Q yф ,
Строительная механика
230
то из условия статической эквивалентности получим
M (q )
aZ  Z изг .
Q yф
Это расстояние следует отложить влево или вправо от моментной точки в зависимости от знака полученной величины и принятого правила знаков
для моментов. Если положительные моменты против часовой стрелки, то положительное a Z следует откладывать вправо, т.е. произведение aZ  Q yф
должно давать положительный момент.
Другими словами произведение aZ  Q yф должно давать момент того же
направления, что и момент M Z (qизг ) .
2.26. Противоречие балочной теории сдвига
2.26.1. Внешняя поперечная нагрузка, распределенная по длине
Рассмотрим поперечное сечение крыла
p1
h(z)
p2
b
xд
Внешняя поперечная нагрузка, распределенная по длине, может быть
представлена:
1
h( z )  ( p1  p2 )  b  pср  b ,
2
p
где ср – удельная воздушная нагрузка может быть определена так
pср 
G
.
Sкр
Распределенный по длине внешний момент равен
m z ( z )  h( z )  ( xц.ж.  xд ) .
2.26.2. Реальные внутренние силовые факторы в крыле
Рассмотрим элемент крыла, выделенный на участке его размаха
Строительная механика
231
z
h( z )  dz
Q
Q(z)
Q  dQ
dQ
 h(z ) , где Q(z ) – непреdz
рывная функция (за исключением отдельных сечений).
dQ
 0.
При этом
dz
dM z
 0.
Аналогично M z  f (z ) и
dz
Из равновесия элемента понятно, что
2.26.3. Новое представление балочной формулы сдвига
Балочная теория сдвига дает:
q (t )  q 0  q p (t ) .
Запишем ее составляющие, вводя новые обозначения:
Qy
Q
q p (t )  
 S x (t )  x  S y (t )  q p  Q ;
Ix
Iy
q0 
Следовательно
Q y  ( x д  x Т )   q p    dt
2
 q0  Q .
q(t )  Q( z)  q (t ) .
2.26.4. Равновесие дифференциального элемента стенки
Строительная механика
232
 z q zt
a
t
qtz 
o
q
 dz
z
z 
qtz
b
c
 z
 dz
z
z
q zt 
q
 dz
z
Силы, которые проектируются на ось z, были рассмотрены раньше, что
позволило получить балочную формулу сдвига.
Рассмотрим проекцию сил на ось t:
q
 Ft  q zt  dt  (q zt  zzt  dz)  dt  0 .
Отсюда следует:
q
 0,
z
где индексы отсутствуют в силу наличия закона парности касательных
напряжений.
2.26.5. Противоречие балочной теории сдвига
Используя две предшествующие формулы, получим

Q( z )  q (t )  q (t )  dQ  0 .
z
dz
Отсюда
dQ
 h( z )  0 ,
dz
что противоречит условиям задачи.
Рассмотренная выше теория сдвига не способна поддерживать изменение касательных напряжений вдоль оси z.
Это противоречие говорит о том, что принятая модель не отвечает дейdq
dQ
 0;
 0 ; h( z)  0 .
ствительности, так как реально
dz
dz
Введем корректировку в расчетную схему, которая позволила бы использовать вышеприведенное.
Строительная механика
233
2.27. Передача сосредоточенных внешних сил через нервюры (диафрагмы)
Сделаем попытку не отказываться от балочной теории сдвига, а только
подправим ее, причем так, чтобы сохранить все рассмотренные ранее методы
решения различных задач.
Представим себе ситуацию, когда внешние силы не распределяются
непрерывно по длине, а прикладываются только на нервюрах.
2.27.1. Дискретизация внешней нагрузки
Пусть крыло имеет конечное число нервюр.
Pyk
Pyk
z
1
2
z
z  dz
k
n
Внешнюю нагрузку соберем на нервюрах.
В сечении ( z  dz) – перед точкой приложения силы Pyk – действует
Q y0 и потоки q 0  q (t )  Q y0 ( z k ) .
В сечении z – бесконечно близком от точки приложения силы Pyk –
действует сила Q y  Q y0  Pyk . При этом функция q(t ) не изменилась:
q   q (t )  (Q y0  Pyk )  q 0 (t )  Pyk  q (t ) .
Таким образом, если принять балочную теорию сдвига, то при переходе через нагруженную нервюру потоки касательных сил получают конечное
приращение
qнерв (t )  q   q 0 (t )  Pyk  q (t ) .
Из условий статической эквивалентности следует:
 потоки q 0 (t ) статически эквивалентны внутренним силовым факторам
в первом сечении;
 потоки q  (t ) статически эквивалентны внутренним силовым факторам
во втором сечении.
Следовательно, потоки qнерв (t ) статически эквивалентны силам, действующим на нервюру.
Потоки касательных сил остаются постоянными на участках между
нервюрами.
Строительная механика
234
Qy (z )
Иными словами, поток qнерв (t ) статически эквивалентен системе
внешних сил, приложенных к нервюре, и уравновешивает ее.
2.27.2. Роль нервюр
Нервюры трансформируют внешние поперечные нагрузки в потоки касательных сил, передаваемых на стенки тонкостенного стержня.
Отметим, что:
 нервюра уравновешивается потоками касательных сил, которые находятся по балочной теории сдвига;
 сосредоточенные силы трансформируются в распределенную нагрузку,
приложенную к обшивке.
Нервюры необходимы для перераспределения сосредоточенных усилий
в касательные силы, параллельные
обшивке.
2.27.3. Устранение противоречия балочной теории сдвига
Рассмотрим равновесие дифференциального элемента тонкостенного
стержня в сечении z  z нерв .
q
t
qнерв
нервюра
 Ft  0 ; q  q0  qнерв
q0
z
Вывод: поток касательных сил при данном t: q(t) остается постоянным
по z на участке между нервюрами и изменяется скачком при переходе через
нервюру.
Строительная механика
235
2.28. Гипотеза о непрерывном распределении диафрагм в тонкостенном
стержне
Итак, расчетную схему тонкостенного стержня необходимо дополнить
новой гипотезой.
Принимается, что тонкостенный стержень имеет бесконечное множество диафрагм, непрерывно распределенных по длине, так, что в каждом поперечном сечении есть своя диафрагма.
Диафрагмы воспринимают любую внешнюю нагрузку и передают ее на
стенки тонкостенного стержня в форме касательных напряжений t д .
Таким образом, диафрагмы связываются только через обшивку.
Если на длине dz распределенная внешняя нагрузка h(z) создает силу
dPy  h  dz , то касательные напряжения t д определяются из соотношения
t д  dz  dqнерв  q (t )  h z   dz ,
т.е.
t д  q (t )  h( z ) .
Равновесие дифференциального элемента стенки тонкостенного стержня  Ft  0 обеспечивается:
q
t
q
 Ft  q  dt  t д  dz  dt  (q  z  dz)  dt  0 ;
q
q
 t д  h( z )  q (t )
z
q
 dz
z
z
Нет необходимости использовать это равенство в расчетах: все предыдущие процедуры выполнены при его учете.
Противоречие устранено и новая гипотеза не требует никаких изменений в рассмотренных методах анализа напряжений и деформаций тонкостенного стержня.
2.29. Учет дискретного расположения диафрагм (нервюр)
В реальных конструкциях нервюры и шпангоуты обычно дискретны.
На участках между этими дискретными диафрагмами неизбежно возникает
дополнительное нерациональное напряженное состояние изгиба.
Строительная механика
236
Рассмотрим участок между двумя нервюрами.
a1
K
a2
q
h( z )  const
z
K+1
R2
R1
а
q 2
24
M изб
q 2
12
Приблизительно можно считать участок между двумя нервюрами балкой, защемленной на обоих концах. Вертикальные опорные реакции равны
ha
R1  R2 
.
2
Реальную нагрузку можно заменить на две составляющие:
а) сосредоточенные силы, приложенные только к дискретным нервюрам –
основное напряженное состояние
Rнерв
В этом состоянии реализуется
напряженно-деформированное состоz
яние тонкостенного стержня.
o
o
Оно является рациональным и ему соответствуют  max
и t max
(балочные, исходные, нулевые, origin).
Замечание. Действие сил с концевых отсеков нагружает корневые отсеки, поэтому напряжения в корневых отсеках очень большие напряжения (корневые
отсеки сопротивляются действию всех сил).
б) местная самоуравновешенная нагрузка поперечного изгиба внутри каждого пролета между диафрагмами, не влияет на напряженное состояние других
отсеков.
Напряжения такого изгиба в данном отсеке не зависят от сил, действующих в других отсеках, поэтому их значения не очень большие.
При этом по толщине стенки действуют нормальные напряжения изгиба (нулевые в срединной поверхности). Эти напряжения не являются рациональными и действуют не только в обшивке, но и в стрингерах.
o
Эти изгибные напряжения  изб следует добавлять к  max
при оценке
прочности. Данные напряжения также отрицательно влияют на устойчивость
сжатых панелей.
Для уменьшения вредного влияния местного поперечного изгиба следует уменьшать шаг нервюр.
Строительная механика
237
Однако при этом следует иметь ввиду, что увеличение количества
нервюр приводит к увеличению веса и трудоемкости изготовления конструкции.
2.30. Противодействие шпангоутов сплющиванию фюзеляжа при изгибе
Собственной жесткостью обшивки и стрингеров при сопротивлении сплющиванию пренебрегаем.
2.30.1. Нормальные напряжения при изгибе фюзеляжа
y
Mz
x
x  
Mz
y
Iz
Для фюзеляжа принимается упрощенная модель: сечение круговое,
стрингера размазываются по контуру так, что приведенная толщина обшивки
f стр
d пр  d 
,
b
2R
где b 
; n – количество стрингеров.
n
Момент инерции сечения
I z  R 3d пр .
y
z

y=Rcos
Точки на контурной линии определяются координатой ( t  R   ; y(t )  y(0)  R  cos ).
Напряжения
M
M
 ( )  z  y  3 z  R  cos .
Iz
R  d пр
Тогда погонная нормальная нагрузка
N ( )   ( )  d пр .
Подставив  ( ) , получим
M
M
N ( )  3 z  R  cos  d пр  z2  cos .
R  d пр
R
Строительная механика
238
Окончательно
Mz
 cos  .
R 2
Предположим для определенности, что растягиваются нижние волокна.
N ( ) 
2.30.2. Деформация фюзеляжа при изгибе
Кривизна оси фюзеляжа определяется по формуле
Mz
1
K 
 ( y) .
 E  Iz
Рассмотрим участок длиной a, примыкающий к одному из рядовых
шпангоутов (сечения А и В).
а
а
а
A
B
а
 AB
A
B
При изгибе фюзеляжа его ось также искривляется. Между сечениями А
и В появляется угол  AB . По определению кривизна есть приращение угла
на единицу длины оси балки:
Mz
1 


.

a
E  Iz
Отсюда
M a
 AB  z ,
E  Iz
Строительная механика
239
где I z  R 3d пр .
2.30.3. Сплющивающая нагрузка на шпангоут
Приложим нормальные погонные силы к сечениям фюзеляжа А и В,
учитывая угол  AB между ними.
Появляется вертикальная самоуравновешенная нагрузка, которая замыкается на шпангоуте. В волокне ,
расположенным под углом , дей 
ствует погонная нагрузка N ( ) ,
2 2
N ( )

наклоненная под углом
.
2
Эта сила с обеих сторон действует
на шпангоут и дает погонную вертикальную нагрузку

qшп ( )  2  N ( ) 
 N ( )   .
2
Подставляя сюда выражения для поN ( )
гонной нормальной нагрузки и угла,
получим
dt  R  d
M
Mz a

qшп ( )  z2  cos 

R
Eф    R 3  d пр

a  M z2
 2  Eф  R 5  d пр
 cos .
Итак, при изгибе фюзеляжа возникает нагрузка, сплющивающая его
сечение. При безмоментном состоянии обшивки и стрингеров эта нагрузка
полностью воспринимается шпангоутами.
Причем:
 интенсивность нагружения зависит от действующего изгибающего
момента и от радиуса;
 при уменьшении радиуса такое нагружение растет.
Строительная механика
240
Нагрузка, сплющивания шпангоута
при изгибе фюзеляжа равна:
qшп ( )  q0  cos  ,
v  R
qшп()
a  M z2
где q0  2
.
  Eф  R 5  d пр
Обозначим
M z  Mф .
2.30.4. Упругое сопротивление шпангоута
Расчет шпангоута под действием сплющивающей нагрузки qшп ( )
предоставляет следующие результаты.
Эпюра изгибающих моментов
q0  R 2
M шп ( )  
 cos 2 .
4
При этом сближение концов вертикального диаметра
q0  R 4
,
2v 
6  ( E  I ) шп
где ( E  I ) шп - изгибная жесткость сечения шпангоута.
Если под действием внешних возмущений добавить dv , то возникнет
q
дополнительный отпор dq o  0  dv .
v
q
1
12  ( E  I ) шп

Поскольку 0 
, то
v
v
R4
q0
12  ( E  I ) шп
dq0 упр 
 dv .
R4
Эта сила – упругое сопротивление шпангоута деформированию. Заметим, что dv  dR .
Одновременно с этим произойдет увеличение внешней нагрузки на
шпангоут при его деформировании, поскольку при уменьшении радиуса
внешняя нагрузка возрастает:
q
dq0вн  0  dR .
R
Частная производная:
Строительная механика
241

q0
 
a  M 2ф
a  M 2ф
 5 


 2
 6  
2
5
R R    Eф  d пр  R    Eф  d пр  R 



  5
a  M 2ф

       5q0 .
 2
   Eф  d пр  R 5   R 
R


Окончательно
dR
dq0вн  5q0 
R
Поскольку внешняя нагрузка зависит от изменения деформации, то
необходимо рассмотреть задачу об устойчивости.
Напомним. Критическое состояние – равновесие является безразличным. Если нагрузка меньше критической, то состояние устойчивое, а если –
больше, то – неустойчивое.
В критическом состоянии системы возможно равновесие отклоненных
состояний. В нашем случае есть две группы сил в варианте отклоненного состояния: внешние силы и силы упругого сопротивления. В критическом состоянии безразличного равновесия они равны:
dq0 упр  dq0вн .
Приращение внешних нагрузок равняется приращению сил упругого
сопротивления.
Таким образом условие безразличного равновесия представляется таким:
12  ( E  I ) шп 5
a  M 2ф
  2
.
R   Eф  d пр  R 5
R4
Исходя из приведенного, для данного условия приведем следующие
выводы:
1.) Соответствующий этому момент в сечении фюзеляжа является критическим
M ф  M крит .
2). Можно подобрать такую жесткость конструкции, при которой не происходит сплющивания фюзеляжа.
Потребная жесткость ( E  I ) шп будет
5  a  M 2ф
( E  I ) шп 
12   2  Eф  d пр  R 2
или с учетом момента инерции сечения фюзеляжа I z  R 3d пр , проще
5 a  R  M 2ф

.
12 ( E  I )ф
Следовательно, можно определить потребную изгибную жесткость рядового шпангоута:
( E  I ) шп 
Строительная механика
242
5 a  R  M 2фmax
.
( E  I ) шп 

12
( E  I )ф
3). При изгибе крыла противодействие сплющиванию оказывают нервюры.
Для них не опасна потеря устойчивости при сплющивании.
4). Жесткость диафрагм (шпангоутов и нервюр) должна быть достаточной
для реализации наиболее выгодной формы потери устойчивости стрингера.
потеря устойчивости
Nстр
Nстр
а
Nстр
а
а
Nстр
N кр стр 
2 EI
a2
Общий вывод: непрерывное распределение диафрагм обеспечивает восприятие произвольной внешней нагрузки на тонкостенный стержень.
Строительная механика
243
3.1. Синтез математической модели деформирования пластин
3.1.1. Расчетная схема пластинки
Пластинка – это тело, форма которого образована движением отрезка
АВ, нормального к плоскости ОXY. Середина отрезка лежит в этой плоскости,
называемой срединной.
A
О
x
B
y
z
Пластинка – частный вид оболочки. Длина отрезка АВ, нормального
к плоскости ОXY, при движении в плоскости ОXY может изменяться.
В дальнейшем будем рассматривать пластинки постоянной толщины d
(H), которая мала по сравнению с двумя другими ее размерами (L и B). Такие
пластинки называются тонкими.
Пластина: L  b >> d.
Тонкостенный стержень: L >> B >> d.
Излагаемая теория обеспечивает хорошие результаты для пластинок,
у которых 0,1 
d
 0,2, где а – меньший размер пластины. Считается, что
a
прогибы пластинки малы по сравнению с ее толщиной.
Под расчетной схемой тонкой пластинки будем понимать линейнодеформируемый идеализированный элемент с геометрическими размерами
а  b >> d, с прямоугольной системой координат и принятой гипотезами
Кирхгофа – Лява. Они используют то обстоятельство, что толщина пластинки мала по сравнению с ее размерами в плане.
Первая гипотеза, принадлежащая Кирхгофу, утверждает, что нормаль к
срединной поверхности (плоскости) оболочки остается нормалью к ней после

Кирхгоф Густав Роберт (1824-1887) - немецкий физик, иностранный член-корреспондент
Петербургской АН (1862). Труды по механике, математической физике. Ляв Огастес Эдуард Хьюг (17. 4. 1836—5. 6. 1940) — английский механик, математик и геофизик. Чл.
Лондон, королевского об-ва (1894).
Строительная механика
244
деформации. Эта гипотеза, вполне аналогичная гипотезе плоских сечений
при изгибе и растяжении стержней, называется гипотезой жесткой нормали.
Вторая гипотеза утверждает, что нормальными напряжениями
на площадках, перпендикулярных оси z, можно пренебречь.
Все пространство пластинки (внутренне), как и балки, заполнено прямыми нормалями.
Из гипотез следует:
1)  zx   zy  0 прямой угол между нормалью и срединной поверхностью при
деформировании не изменяется;
2) нормаль является абсолютно жесткой  z  0 ;
3)  z  0 .
3.1.2. Перемещения точек пластинки
Координаты точек: x, y, z.
Для точек пластинки компоненты перемещения: u, v, w.
О
x
A
A
y
h/2
B
z
h/2
B
На каждой нормали есть средняя точка (z = 0).
Учитывая, что  z  0 , можно записать:
w( x, y, z)  w( x, y, z  0) .
Это равенство позволяет перейти из трехмерной в двумерную задачу.
Предварительно отметим.
При малых деформациях, когда производные перемещений по координатам значительно меньше единицы, связь перемещений и деформаций выражается формулами Коши :
w u
w
u
v
u v
v w
 .
x  ,  y  , z 
,  xy 
,  zx 
 ,  yz  
z
x
x
x z
z y
y x
Учитывая, что  zx   xz  0 и последнее из соотношений Коши, получим:

Коши Огюстен Луи (1789-1857) - французский математик, иностранный почетный член
Петербургской АН (1831). Один из основоположников теории аналитических функций.
Труды по теории дифференциальных уравнений, математической физике, теории чисел,
геометрии. Автор классических курсов математического анализа.
Строительная механика
245
w u
u
w

 .
 0 или
x z
z
x
z
w
w
Отсюда можно записать: u  u0   dz , но
не зависит от z, поэто
x

x
0
w
z . Следовательно:
x
w
u ( x, y , z )  u 0 ( x , y ) 
z,
(1)
x
где u0  u z  0 - перемещение точки на срединной плоскости.
Аналогично учитывая, что  zy   yz  0 и предпоследнее из соотношений Коши, получим:
w v
v
w

 0 или
 .
y z
z
y
му выражение примет вид: u  u0 
w
w
dz , но
не зависит от z, поэто
y

y
0
z
Отсюда можно записать: v  v0  
w
z . Следовательно:
y
w
v ( x , y , z )  v0 ( x, y ) 
z,
y
где v0  v z  0 - перемещение точки на срединной плоскости.
Кроме того, отметим, что поскольку нормали абсолютно жесткие:
w( x, y, z )  w0 ( x, y ) ,
где w0  w z  0 - перемещение точки на срединной плоскости.
му выражение примет вид: v  v0 
(2)
3.1.3. Деформации. Кривизны. Кручение
На основании отмеченного выше тензор деформаций имеет вид:
 x  xy 0
Tд   yx  y 0 .
0
0 0
Таким образом, имеем следующие компоненты деформации: x, y, xy.
Подставим в первое из соотношений Коши выражение u из формулы
(1) и получим:
u  
w  u0  2 w
 x    u0 
z 

z,
x x 
x  x x 2
u
где обозначим 0   x 0 - деформацию x в срединной поверхности и
x
Строительная механика
246
Kx  
2w
.
(3)
x 2
Очевидно, что K x - кривизна срединной поверхности в направлении x.
Тогда формула для линейной деформации в направлении x примет вид:
 x   x0  K x z .
(4)
Аналогично для направления y имеем следующие соотношения для
кривизны и линейной деформации:
2w
(5)
Ky   2
y
и
 y   y0  K y z .
(6)
Воспользуемся четвертым из соотношений Коши и формулами (1) и (2)
и запишем выражение для угловой деформации в плоскости пластины:
u v  
w   
w   u0 v0   2 w

 xy     u0 
z    v0 
z  

z
y x y 
x  x 
y   y
x  xy
u
v
2w
2w

z   xy 0  2
z , где  xy 0  0  0 .
xy
xy
y
x
По аналогии с понятием кривизны по направлению введем понятие
кручения пластины и следующее обозначение для него:
2w
.
(7)
K xy  2 
xy
Тогда окончательно искомая деформация:
 xy   xy 0  K xy z .
(8)
3.1.4. Напряжения
На основании приведенного выше тензор напряжений имеет вид:
 x t xy t xz
Tн  t yx  y t yz .
t zx t zy 0
Однако, формально: t yz  G   yz , t zx  G   zx , но  zx   zy  0 . Следовательно t yz  0 , t zx  0 .
Таким образом в пластинке действуют x, y, txy. Наличие таких компонент напряжения указывает на то, что в пластинке имеет место плоское
напряженное состояние. Следовательно, компоненты напряжения в соответствии с законом Гука выражаются так:
E
x 
 x   y ;
1 2


Строительная механика
247
y 

E

 y   x ;
1 2
t xy  G   xy ,
где  – коэффициент Пуассона (коэффициент поперечной деформации).
Подставим в эти три эти формулы выражения для деформаций (4), (6),
(8). Сначала в первую.
E
E
x 
   y 
 x 0  K x z   y 0  K y z 
2 x
1 
1 2
E
E

   y 0 
K x  K y  z   x 0   x  z .
2 x0
1 
1 2
Окончательно:
 x   x 0   x  z ,
(9)
E
(10)
 x 
K x  K y .
1 2
 x
Очевидно, что  x 
.
z
Аналогичной подстановкой для y получим:
 y   y 0   y  z ,
(11)









 y 
Очевидно, что  y 
E
1 2

K y  K x .
 y
.
z
Для txy, учитывая (8), получим:
t xy  G   xy  G   xy 0  K xy  z   G   xy 0  G  K xy  z .
Тогда
t xy  t xy 0  t xy  z ,
t xy  G  k xy .
Очевидно, что t xy 
(12)
t xy
z
(13)
(14)
.
3.1.5. Погонные внутренние усилия
В пластинках внутренние силовые факторы принято рассматривать
в виде погонных нагрузок – сил и моментов, отнесенных к единице длины.
В пластинках действуют следующие погонные внутренние усилия: Nx,
Ny, Nxy, Mx, My, Mxy. (Они показаны на рисунках; индексы, отличаются от принятых в
сопротивлении материалов).
Строительная механика
248
1
Nxy h
x
Nx
Ny
y
txy
tyx
y
Myx
Mxy
My
Mx
x
x
y
Nxy
z
Рассмотрим погонную силу Nx:
1
h
2
h
2
h
2
h
2

N x    x  1  dz  формула (9)    x 0  z   x   dz 

x .dz .1
z
h
2
h h
Здесь:  dz    h ,
2 2
h

ем:
2
h
2
  x 0  dz   x  zdz .

h
2
h
2

h
2
h
2
h
1 22
1  h 2 h 2 
z
dz

z


 4  4   0 . Откуда имеh
2
2



h

2
2
N x   x0  h .
Рассмотрим погонную силу Ny:
(15)
Строительная механика
249
1
h
2
h
2
h
2
h
2



N y    y  1  dz  формула (11)    y 0  z   y  dz 

y .dz .1
z
h
2
h
2
  y 0  dz   y  zdz .

h
2

h
2
Аналогично установим, что:
N y   y0  h .
(16)
Рассмотрим погонную силу Nxy: (рисунок такой же)
h
2
h
2
h
2



h
2
h
2
h
2

N xy   t xy  1 dz  формула (13)   t xy 0  z  t xy  dz  t xy 0  dz  t xy  zdz 

 t xy 0  h .
Окончательно получим:
h
2

h
2
N xy  t xy 0  h .
(17)
Погонные внутренние усилия: Nx, Ny, Nxy называют мембранными усилиями.
Рассмотрим погонный момент Mx:
Усилие на элементарной площадке:
1
dM x   x  1  dz  z .
z
Суммируя, получим:
x
z
x .dz .1
h
2
h
2
h
2
h
2

M x    x  z dz  формула (9)    x 0  z   x   z  dz 

h
2
h
2
  x 0  zdz   x  z 2 dz .


h
2

h
2
Мембрана в теории упругости - закрепленная по контуру бесконечно тонкая пленка, модуль упругости которой в перпендикулярном поверхности направлении равен нулю.
Строительная механика
250
h
2
Ранее установлено:  zdz  0 .

h
2
Рассмотрим второй интеграл.
h
2
1
 z dz  3 z
h

2
2
M x   x
h
3 2
h
2
h3
1  h
h  h
2
     . Значит  z dz 
. Следовательно:
h
3
8
8
12
12



h
3
3
3

2
2

3

h
E
h3
. Здесь обозначим:
 формула (10) 
K


K

x
y
2
12
12
1 
D
Eh3


.
12 1   2
Величину D называют цилиндрической жесткостью пластины.
Окончательно получим:
M x  DK x  K y  .
(18)
(19)
Рассмотрим погонный момент My:
Усилие на элементарной площадке:
1
dM y   y  1  dz  z .
z
Суммируя, получим:
h
2
h
2
h
2
h
2

h
2


y
y .dz .1
z


M y    y  z dz  формула (11)    y 0  z   y  z  dz 

h
2
h3
  y 0  zdz   y  z dz   y
 формула (12) 
12
h
h

E
2
2
2
h


K


K

 DK y  K x .
y
x
2
12
3
1 
Окончательно получим:
M y  DK y  K x .
Рассмотрим погонный момент Mxy от напряжения txy:
(20)
Строительная механика
1
251
z
Усилие на элементарной площадке:
dM xy  t yx  1  dz  z .
Суммируя, получим:
txy .dz .1
z
t>0
x
h
2
h
2
h
2



M xy   t xy  z  dz  формула (13)   t xy 0  z  t xy  z  dz 

h
2
h
2


h
2
h
2


h
2
h3
 t xy 0  zdz  t xy  z dz   zdz  0;  z dz 
.
12
h
h
h
h
2
2
2
2
2
2
h3
h3
 формула (14)  G  K xy  . Желательно сохранить D в качестве
12
12
E
параметра жесткости пластинки. Поэтому, учтем, что G 
, и подста2(1   )
вим в последнее равенство, умножив дополнительно его на единицу
 1  
1 
 . Тогда:
1




 t xy
h3
E
1 
h3
Eh3
1 
M xy  G  K xy 


 K xy 


K xy .
2
12 2(1   ) 1  
12 12(1   ) 2
Окончательно:
1 
M xy  D
K xy .
(21)
2
Следуя закону парности касательных напряжений ( txy = tyx) имеем:
M xy  M уx .
3.2. Плоское напряженное состояния
3.2.1. Равновесие дифференциального элемента
Рассмотрим равновесие дифференциального элемента от действия
мембранных сил.
Первое уравнение равновесия мембранных сил  Fx  0
Строительная механика
252
N xy
x
Nx
px
dy
Nx 
N x
dx
x
dx
y
N xy 
N xy
y
dy
p x - внешняя нагрузка, отнесенная к единице площади.
 M xy 
 M

 Fx  p x dxdy   x x dx dy   y dy dx  0 .


Разделим на dxdy  и получим окончательно:
N x N xy

 px  0 .
x
y
(22)
Второе уравнение равновесия мембранных сил  Fy  0
Ny
x
dy
N xy
N xy 
py
N xy
x
dx
dx
y
Ny 
N y
y
dy
p y - внешняя нагрузка, отнесенная к единице площади.
 N y
 N xy




Разделим на dxdy  и получим окончательно:
N y N xy

 py  0 .
y
x


 Fy  p y dxdy   y dy dx   x dx dy  0 .
(23)
Строительная механика
253
3.2.2. Учет уравнения совместности деформаций
Заметим, что Nx, Ny, Nxy однозначно выражаются через x0, y0, xy0.
Если к двум уравнениям равновесия (22) и (23) добавить уравнение
совместности деформаций для плоской задачи теории упругости
 2 xy 0  2 x 0  2 y 0
,
(24)


xy
y 2
x 2
то получим три уравнения с тремя неизвестными.
Эти уравнения описывают плоское напряженное состояние пластинки
(z = 0). Решение этой задачи при реальных граничных условиях для обшивки практически совпадает с балочной теорией тонкостенного стержня.
3.3. Изгиб пластинок
3.3.1. Основное уравнение равновесия поперечного изгиба пластин
Поперечный изгиб вызывается действием внешней нагрузки p z , отнесенной к единице площади срединной поверхности x  y  1 .
Из рассмотрения дифференциального элемента (dxdy) видно, что среди
введенных внутренних силовых факторов (Nx, Ny, Nxy, Mx, My, Mxy) нет способных уравновесить силу dPz  p z  dx  dy .
Pz
Ny
y
Nx
Mxy
Nyx
My M
yx
Nxy
x
Mx
Для устранения данного несоответствия было предложено искусственно добавить силы Qx, Qy (никак не связанные с предыдущим рассмотрением).
Строительная механика
254
Qx
Qy
y
Qy 
Q y
y
dy
Qx 
Qx
dx
x
x
Индекс «x» или «y» связан с обозначением нормали к площадке.
Рассмотрим уравнение равновесия сил  Fz  0 .
dy
... 
Q y
y
Pz
dx
dy
... 
Qx
dx
x
 Q y 
 Qx 

F

p
dxdy

dx
dy

dy dx  0 .


 z z

y
 x



Здесь Q также погонные усилия, поэтому они умножаются на длину их действия dx или dy. Разделим это уравнение на (dx dy):
Qx Q y
(25)

 pz  0 .
x
y
Это основное уравнение поперечного изгиба пластинок – основа для
получения разрешающего уравнения.
3.3.2. Равновесие моментов
Нами уже рассмотрены уравнения равновесия сил:  Fx  0 ,  Fy  0 ,
 Fz  0 . Не использовались уравнения равновесия моментов:  M x  0 ,
 M y  0 ,  M z  0 . Но  M z  0 обеспечивает закон парности касательных напряжений, который мы уже использовали.
Рассмотрим уравнение равновесия моментов  M x  0 .
Строительная механика
255
M yx
Qx
Mx 
y
Mx
M yx 
M yx
y
A
dy
Qx 
dx
M x
dx
x
x
Q x
dx
x
z
Выберем моментной точкой - точку А (точка, относительно которой записываем уравнение суммы моментов).
 M yx 
 M x 



M

Q
dy
dx

dx
dy

dy dx  0 .


 A x

y
 x



Разделим это уравнение на (dxdy):
M x M xy

 Qx  0 .
x
y
Рассмотрим уравнение равновесия моментов  M y  0 .
My 
M y
y
M xy
dy
y
Q y
y
Qy
x
B
Qy 
(26)
dy
M xy 
M xy
x
My
dx
dy
z
Выберем моментной точкой – точку В.
 M y 
 M yx 
 M B   Q y dx dy   y dy dx   x dx dy  0 .






Разделим это уравнение на (dxdy):
M xy M y

 Qy  0 .
x
y
(27)
3.3.3. Разрешающее уравнение поперечного изгиба пластин
Разрешающим является уравнение для функции w( x, y ) (поперечных
прогибов). Используем три уравнения равновесия:  Fz   M x   M y 0 .
Строительная механика
256
Исключим Qx и Qy (они не содержат w( x, y ) ):
M x M xy
из (26):
,
{a}
Qx 

x
y
M xy M y
из (27):
.
{b}
Qy 

x
y
Для подстановки {a} и {b} в (25) получим сначала частные производные:
2
Qx  2 M x  M xy
,
{с}


x
yx
x 2
Q y
 2 M xy
2M y
,
{d}


y
xy
y 2
и теперь используем их в (25):
2
2
2
 2 M x  M xy  M xy  M y
pz 



 0.
yx
xy
x 2
y 2
Окончательно имеем:
 2 M xy  2 M y
2M x
(28)
2

 pz  0 .
xy
x 2
y 2
Используя формулы (19), (20), (21), а также (3), (5), (7), получим:
4w
4w
 4 w pz
.
(29)

2


D
x 4
x 2 y 2 y 4
Это и есть разрешающее уравнение поперечного изгиба пластинки.
Оно характеризуется следующими особенностями:
 записано в частных производных;
 имеет четвертый порядок;
 является неоднородным;
 является бигармоническим.
Напомним, что гармоническим является следующий оператор:
2 f 2 f
2
  2  2.
x
y
В уравнении (29) оператор (  2 ) применяется дважды, поэтому оно
бигармоническое.
Впервые уравнение (29) было получено в XIX веке Софией Жермен  и
носит ее имя «Уравнение Софи Жермен». В отличие от названий типа: «фор
Жермен София (1.4. 1776—27. 6. 1831)—французский математик и философ. Род. в Париже. С детства увлекалась матем. соч., особенно историей математики. Поскольку в то
время женщин не принимали в Политехн. школу, Ж., пользуясь конспектами лекций, принимала участие в письменных упражнениях под псевдонимом Леблан. Переписывалась с
Ж. Д'Аламбером, Ж. Фурье, К. Гауссом, А. Лежандром и др. Занималась теорией чисел;
неск. ф-л в теории чисел носят имя Ж.. Ж.— один из основоположников матем. физики. За
Строительная механика
257
мула Эйлера», «принцип Сен-Венана», «формула Мора» и т.п., здесь обязательно указывается имя «Софи», чтобы подчеркнуть принадлежность достижения женщине.
3.3.4. Основные модели граничных условий при поперечном изгибе
пластинки
b
Три основных модели:
 защемление;
 шарнир;
 свободный край.
Обычно прямоугольную пластинку графически представляют так:
Граничные линии:
x
x = 0;
x = a;
y = 0;
y = b.
Разрешающее уравнение (29):
а
4w
4w
 4 w pz
.

2


4
2 2
4
D

x

x

y

y
y
При x  const функция w( y ) будет иметь 4 произвольные постоянные.
При y  const функция w(x) будет иметь 4 произвольные постоянные.
Следовательно, потребуется 8 граничных условий (на каждой из сторон
должно быть записано 2 граничных условия).
Защемление – самый простой способ опирания.
При x = a два понятных граничных условия:
1. w = 0;
w
x=a
 0.
2.
x
При y = b два аналогичных граничных условия:
1. w = 0;
w
 0.
2.
x
Шарнир
иссл. в теории упругости (теория изгиба пластинок) награждена премией Париж. АН
(1811). (Это была первая премия, выданная Париж, академией женщине.)
Строительная механика
258
x=a
При x = a два понятных граничных условия:
1. w = 0;
2. M x  0 .


Напомним, что M x  D K x  K y . Но при x = a условие w = 0 одно-
2w
w  2 w
временно означает, что
 0.

 0 . Следовательно K y   2
y y 2
y x a
2w
Понятно, что поскольку M x  0 , то K x   2
 0 . Окончательно граx x a
ничных условия при x = a примут вид:
1. w = 0;
2w
2.
 0.
x 2
Аналогично, при y = b два граничных условия таковы:
1. w = 0;
2w
2.
 0.
y 2
Свободный край
Qx  0
Mx  0
x=a
При x = a три граничных условия:
1. M x  0 ;
2. M xy  0;
3. Q x  0 .
Но для нахождения w достаточно двух граничных условий. Чтобы избежать противоречий при формулировании граничных условий, два условия,
определяющие M xy и Qx , по предложению Кирхгофа, заменяются одним:
M xy
Qx  Qx 
 0,
y
где Qx - статически эквивалентная Qx и M xy сила на единицу длины, называемая обобщенной поперечной силой Кирхгофа. Таким образом, для свободного края граничные условия записываются в виде
M xy
 0.
1. Qx  Qx 
y
2. M x  0 .
Аналогично, при y = b два граничных условия таковы:
M xy
 0.
1. Q y  Q y 
x
Строительная механика
259
2. M y  0 .
3.3.5. Продольно-поперечный изгиб пластинки
Рассмотрим деформацию элемента пластинки при совместном действии
q(x,y), Nx, Ny, Nxy. (q(x,y) – соответствует ранее приведенному pz и также часто применяется в технической литературе). Предположим, что от действия поперечной
нагрузки в пластинке возникает прогиб w(x,y), поэтому Nx, Ny, Nxy дают соответствующие составляющие на ось z.
Nx
Nxy
Nyx
Ny
q(x,y)
y
Ny
Nyx
Nxy
Nx
x
z
С учетом малости прогибов, суммируя проекции всех усилий на ось z
от поперечных нагрузок и нагрузок, действующих в срединной плоскости,
можно получить синтезирующее дифференциальное уравнение продольнопоперечного изгиба пластинки:
4w
4w
 4 w q( x, y ) 1 
2w
2w
 2 w 
2 2 2  4 
  N x  2  2 N xy 
 N y  2  (30)
D
D
xy
x 4
x y
y
x
y 
или
q( x, y ) 1 
2w
2w
 2 w 
2 2
  w
  N x  2  2 N xy 
 Ny  2 ,
(31)
D
D
xy
x
y 
которое также называется уравнением Софи Жермен.
Решение этого уравнения возможно в общем случае лишь приближенными методами.
3.3.6. Расчет прямоугольной пластинки в двойных тригонометрических
рядах (Решение Навье)
Строительная механика
260
Впервые решение уравнения (31) для пластинки с шарнирно закрепленными краями было получено Навье 9 в форме двойного тригонометрического ряда. Этот метод в дальнейшем был развит Ритцем 10 и Тимошенко11.
Для пластинки, нагруженной равномерной поперечной нагрузкой и
растягивающими усилиями в срединной плоскости усилиями Nx, Ny, дифференциальное уравнение имеет вид:
2w
2w
2 2
(32)
D  w  q( x, y )  N x  2  N y  2 .
x
y
Для шарнирно закрепленных краев граничные условия
2w
при x = a и x = 0 :
w  2  0;
x
2w
при y = b и y = 0 :
w  2  0.
y
Прогиб w задается в форме двойного тригонометрического ряда, удовлетворяющего этим граничным условиям:
mx
ny
,
(33)
w( x, y )   amn  sin
 sin
a
b
m n
где m, n – любые целые числа; amn – неизвестные константы, которые легко
определить, если внешнюю нагрузку q(x,y) также разложить в ряд
mx
ny
,
(34)
q( x, y )   qmn  sin
 sin
a
b
m n
где qmn – постоянные коэффициенты.
Очевидно, что дифференциальное уравнение (32) будет удовлетворено,
если
qmn
amn 
.
(35)
2
2
2
2
2
 m   n  
 m 
 n 
D 
 
   Nx
  Ny

 a 
 b 
 a   b  
Определив w с помощью двойного тригонометрического ряда, можно
найти выражения Mx, My, Mxy, Qx, Qy, Nx, Ny через производные от w. Однако
Навье (Navier) Анри (1785-1836) — французский инженер и ученый. Труды по строительной механике, сопротивлению материалов, теории упругости, гидравлике и гидромеханике. Автор курса сопротивления материалов и др.
10
Ритц Вальтер (22. 2. 1878—7. 7. 1909) — швейцарский физик и математик. Род. в Сионе
(Швейцария). Учился в Цюрихе и Геттингене. Работал в Лейдене, а также Тюбингене и
Геттингене. В математике имеет важное значение т.н. метод Р. (Р.—Галеркина)—метод
приближенного решения вариационных и некоторых краевых задач матем. анализа. Теоретическое обоснование метода Р. дал Н. М. Крылов.
11
Тимошенко Степан Прокофьевич — ученый, академик АН Украины (1919), иностранный член-корреспондент АН СССР (1928). Родился в России, в 1920 эмигрировал, с 1922 в
США. Разработал теорию устойчивости упругих систем; развил вариационные методы
теории упругости и применил их в решении различных инженерных задач. Капитальный
труд по сопротивлению материалов, вибрациям в технике и др.
9
Строительная механика
261
эти величины оказываются разложенными в двойные тригонометрические
ряды, сходящиеся гораздо хуже, чем ряд для w.
Поэтому решение Навье не очень удобно и в основном используется
для определения критической нагрузки на пластину, равномерно сжатую силами Nx или одновременно Nx и Ny.
3.4. Устойчивость пластинок
3.4.1. Устойчивость пластинки, сжатой в одном направлении
Рассмотрим задачу устойчивости пластинки, шарнирно закрепленной
по всем сторонам при действии сжимающих нагрузок Nx и Ny.
Ny
b
x
Nx
Nx
Ny
а
y
Подставив (35) в (33), получим:
w( x, y )  
qmn  sin
mx
ny
 sin
a
b
2 2
.
(36)
 m   n 
 m 
 n 
D 
 
   Nx
  Ny

 a 
 b 
 a   b  
Здесь перед Nx и Ny поставлен знак минус, поскольку при получении
формулы (35) эти усилия принимались растягивающими.
Пусть потеря устойчивости произойдет тогда, когда прогиб w станет
достаточно большим, т.е. знаменатель в выражении (36) обратиться в нуль:
m n
2
2
2
2
2
2
 m  2  n  2 
 m 
 n 
(37)
D 
 
   Nx
  Ny
  0.
a
b
a
b










Откуда окончательно получим комбинации критических нагрузок Nx и
Ny, при которых пластинка теряет устойчивость, устанавливаются зависимостью
Ny
Nx

 1.
(38)
2
2
2
2
2
2
2
2
 D
n a 
 D m b 
m



n 

a2 
mb 2 
b2 
na 2 
Строительная механика
262
Рассмотрим случай, когда, например, Ny = 0:
2
 2D 
n2a 2 
N x  2 m 
 .
a 
mb 2 
Найдем минимальное значение критической нагрузки Nxкр.
Очевидно, что для этого необходимо принять n = 1:
Nx 
Обозначим
 2 D  mb
b2
(39)
2
a 
 a  mb  .
a
 c:
b
Nx 
2
 2D m
b2
2
c

 c m  .
m c 
Пусть K     . Исследуем характер изменения K. При с  0 или
 c m
с  ∞ коэффициент K  ∞. При любом конечном значении с коэффициент
K > 0. Вероятно минимум K находится в интервале 0 < с < ∞. Взяв производную от K по с и приравняв ее нулю, получаем, что
m 1
 2   0.
m
c
Следовательно, K минимален при c = m. Тогда Kmin = 4. Отсюда
4 2 D
4 2 Ed 3
.
N xкр 

b2
12(1   2 )b 2
или
4 2 E
.
(40)
 xкр 
2
b
 
12(1   2 ) 
d 
Примем для металлов коэффициент Пуассона  = 0,3:
3,6 E
.
(41)
 xкр 
2
b
 
d 
Исследования показывают, что для с < 1 значения K > 4, поэтому при
a/b < 1 необходимо пользоваться формулой
0,9  K1  E
,
(42)
 xкр 
2
b
 
d 
где K1 – коэффициент опирания пластинки (задается в виде таблиц и графиков для различных условий закрепления пластинки и разных a/b) ; b – размер
стороны пластинки, перпендикулярной сжимающей нагрузке; d – толщина
пластинки.
Строительная механика
263
Рассмотрим подробнее прикладное применение формул (41) и (42):
1. Формулы справедливы в пределах линейного физического закона,
если крпц. Поэтому для сжатой пластинки, для которой критические
напряжения определяются по формуле (41), отношение ширины пластинки к
ее толщине должно составлять
b
3,6 E
E
.

 1,9
d
 пц
 пц
В авиационных конструкциях это отношение часто лежит ниже указанного
предела.
2. Минимальное значение критической силы получается при K = 4
(c = m = 1), когда в направлении сжатия в квадратной пластинке (c = 1) образуется одна полуволна.
3. При c << 1 в направлении сжатия также образуется одна полуволна и
критическая сила при этом больше, чем в предыдущем случае. При c << 1
b
a
можно пренебречь по сравнению с в выражении для K:
b
a
2
b2
 b 1 a
K1  m      2 .
a
 a m b
Формула (42) приобретает вид
0,9  b 2  E 0,9  E
,
(43)
 xкр 

2
2
b
a
 
 
a2   
 
d 
d 
т.е. критические напряжения не зависят от ширины пластинки. Этой формулой можно пользоваться при 0  с  0,3 . А формулой (41) при 0,7  с   .
4. Поскольку при c > 0,7 критическая сила практически не увеличивается, то бесконечно длинные пластинки можно рассчитывать по формуле
(41). Такими пластинками можно считать обшивку крыла в безнервюрной
схеме, теряющую устойчивость от изгиба, или обшивку, подкрепленную
нервюрами с шагом а  0,7b .
3.4.2. Устойчивость пластинок при сдвиге (стенка лонжерона)
Форма потери устойчивости при сдвиге весьма специфическая – волны
под углом 45 (плюс или минус – в зависимости от направления нагрузки).
Nyх
1
3
x
Nxу
y
Nxy
Nyх
1
3
Строительная механика
264
Эта форма легко объясняется положением площадок главных напряжений при чистом сдвиге.
Дифференциальное уравнение устойчивости при чистом сдвиге (равномерно распределенные по кромкам касательные усилия) легко записать,
используя (31):
1
2w
2 2
,
(44)
  w   2 N xy 
D
xy
из которого можно получить, что
t кр  kE
где
b – всегда меньшая сторона;
d2
b2
,
(45)
2
b
k  4,85  3,6  - если все кромки шарнирно оперты;
a
2
b
k  8  5  - если все кромки защемлены.
a
Формула (45) справедлива лишь в пределах упругости, т.е. при tкрtпц.
3.4.3. Замечание
В справочниках можно найти графики для определения K и k при других вариантах опирания сторон, а также формулы для других вариантов действия (распределения) нормальных нагрузок (сосредоточенные силы по срединам сторон, линейный закон (при изгибе с растяжением – стенка – эксцентрическое сжатие), а также для пластинок иной формы в плане (параллелограмм, кольцо…), действия сжимающих нагрузок в двух направлениях и т.д.
3.4.4. Устойчивость пластинок при совместном действии нормальных и
касательных усилий (элементы обшивки крыла и фюзеляжа)
t

b

а
Из множества вариантов такого совместного действия наибольший интерес представляет вариант (см. рис.) – прямоугольная пластинка одновременно подвергается сжатию усилиями, равномерно распределенными по
Строительная механика
265
двум сторонам, и сдвигу. В этом случае, формула, определяющая критическое состояние пластинки, имеет вид

  t 

 1,
 кр  t кр 
(46)
где кр – критические сжимающие напряжения при действии только одностороннего сжатия; tкр – критические напряжении при чистом сдвиге; , t - действующие нормальные и касательные напряжения.
Показатель степени , как показали эксперименты находится в пределах 1    2 . Наиболее распространенное значение  = 1,7.
При проведении расчетов удобнее пользоваться следующими выражениями:
критические сжимающие напряжения с учетом одновременного действия касательных напряжений

 
 
t
    кр c1 ,
 крt   кр 1  
(47)
  t кр  


критические касательные напряжения с учетом одновременного действия
сжимающих напряжений
1

 
t кр  t кр 1 
 t кр c2 ,
(48)
  кр 


где коэффициент с1 определяется в соответствии со справочными данными
по отношению t t кр , с2 – по отношению   кр .
3.4.5. Замечание
Другие варианты пластинок при совместном действии нормальных и
касательных усилий, представленные ниже, рассчитываются с использованием справочных данных, аналогично предыдущему.
t

b

а
– растяжение
и сдвиг
Строительная механика
266
min
t
b
– эксцентричное сжатие и
сдвиг
max
а

t
b
1
а
1
– сжатие
в двух
направлениях
и сдвиг

3.4.6. Определение кр и tкр при нелинейном деформировании ( крпц ,
tкрtпц)
Возможно проводить различными методами. В прочностных расчетах
авиационных конструкций наиболее часто используют эмпирическую формулу:
1 
нд
,
(49)
 кр
d
2
2
1     
где:  
d
;
э
 кр
э
 кр
- значения критических напряжений при расчете по формулам, ис-
пользуемым при линейном деформировании;
 d - предел прочности при сжатии (при отсутствии справочных данных можно принять  d   в ;
 
2
2
 d2   пц
 d2
;
Строительная механика
267
 пц - предел пропорциональности (можно принять (  пц = т =02).
Аналогично определяются критические напряжения сдвига при нелинейном деформировании
1 
нд
,
(50)
t кр
tв
2
2
1     
2
2
t t
t
где   эв ;  2  в 2 пц .
t кр
tв
Возможность использования формул (49), (50) для определения критических напряжений при нелинейном деформировании подтверждается экспериментально. В отличие от других методов данный – не требует наличия
диаграмм деформирования материала.
3.4.7. Устойчивость авиационных профилей
Возможны две формы потери устойчивости авиационного профиля
(стрингера):
 общая потеря устойчивости;
 местная потеря устойчивости.
Первая предполагает потерю устойчивости стрингера как стержня. При
этом ось стержня изгибается. Для определения напряжений общей потери
устойчивости можно использовать формулу Эйлера для стержня:
 2E
,
(51)
 кр  
 i 2
где  - коэффициент, учитывающий условия закрепления стержня; i – миниI
мальный радиус инерции; i 2  min ;  - длина стержня.
F
Применение формулы (51) для определения критических напряжений
общей потери устойчивости некорректно, поскольку наличие обшивки приводит к потере устойчивости в направлении, перпендикулярном обшивке, а
не в направлении, перпендикулярном оси, относительно момент инерции минимален.
y
- изолированный стержень;
- потеря устойчивости относительно оси x (Imin).
x
Строительная механика
268
y'
x'
- стрингер с присоединенной
обшивкой;
- потеря устойчивости относительно оси y’ .
При определении момента инерции Ix’ и площади F необходимо учитывать присоединенную обшивку. Обычно коэффициент  = 1, длина стрингера
 = а (расстояние между нервюрами). Тогда:
 2E
общ
.
(52)
 кр стр 
a ix  2
Рассмотрим местную форму потери устойчивости. Под ней понимают
потерю устойчивости пластин, совокупность которых составляет стрингер.
При этом ось стрингера не изгибается. Для определения напряжений местной
0,9  K1  E
потери устойчивости воспользуемся формулой (42):  xкр 
.
2
b
 
 
d 
В применении к стрингеру эта формула выглядит так
0,9  K1  E
м
 кр
.
стр i 
2
 Bi 
 
 Si 
(53)
Строительная механика
269
1
B1
2
S1
3
a
S2
B2
S3
B3
Очевидно, что в действительности будет реализовано минимальное
значение из критических напряжений пластин, составляющих стрингер. Коэффициент устойчивости зависит от условия опирания сторон. При этом для
стрингеров коэффициент устойчивости практически не зависит от соотношеa
a
ния сторон ( ), так как оно достаточно велико ( > 5).
b
b
Рассмотрим опирания для пластин 1, 2, 3.
2
1
3
Понятно, что шарнирное опирание на стыках пластин достаточно
условно. Представим варианты профилей.
Для проектировочных расчетов можно применять следующие значения
коэффициентов.
K1 = 0,426
K1 = 1,322
K1 = 4
K1 = 7
Строительная механика
270
Эти значения коэффициентов K1 получены теоретически. Для более
точных расчетов необходимо учитывать соотношение толщин сопрягаемых
пластин.
3.5. Другие методы расчета пластинок при изгибе
Второй метод решения задачи об изгибе пластинки – решение Леви12,
основанное на представлении прогиба w в форме одинарных рядов типа
Фурье13. Оно особенно эффективно, когда противоположные стороны пластинки шарнирно оперты, а две другие имеют произвольное закрепление.
Основываясь на этом методе Б.Г. Галеркин 14, И.Г. Бубнов15 и др. получили
большое количество решений для различных случаев опирания сторон и
нагружения прямоугольных пластинок.
2w
Запишем граничные условия: при x = 0, x = a : w  2  0 , при y = 0,
x
y = b условия закрепления произвольные. Нагрузка q задана в виде любой
функции от x, y, удовлетворяющей условиям разложимости в тригонометрические ряды. Погонные усилия Nx = Ny = Nxy = 0. Прогиб w может быть задан
в виде
Kx
,
(54)
w   f K ( y )  sin
a
K
Леви Морис (28. 2. 1838—30. 9. 1910)—французский астроном, математик и механик. Чл. Париж. АН (1883). Род. в Рибовилле. Окончил Политехн. школу (1858) и Школу мостов и дорог
(1861) в Париже Работал инженером, затем репетитором в Политехн. школе, с 1874 в Коллеж де
Франс (с 1885 — проф. и ген. инспектор мостов и дорог). Труды по разл. областям прикладной
математики, в частности по проективной дифференциальной и аналитической геометрии. Применил метод проективной геометрии к задачам статики. Вывел дифференциальные ур-ния равновесия плоского кривого стержня, изогнутого действием равномерно распределенной нагрузки, исследовал изгиб прямоугольных пластинок. Чл.-кор. Петерб. АН (1889).
13
Фурье Жан Батист Жозеф (21.3. 1768—16. 5. 1830)—французский математик. Чл. Париж. АН
(1817), чл. Франц. академии (1826).
14
Галёркин Борис Григорьевич (4. 3. 1871—12. 7. 1945)—советский инженер и ученый в области
теории упругости, акад. АН СССР (1935; чл.-кор. 1928) действительный чл. Академии архитектуры СССР. Род. в Полоцке. Окончил Петерб. технологический ин-т (1899). Преподавательскую деятельность начал в 1909. Труды Г., относящиеся к сложнейшим проблемам строительной механики и теории упругости, способствовали внедрению совр. методов матем. анализа в иссл. сооружений, конструкций и машин. Г. разработал эффективные методы точного и приближенного интегрирования ур-ний теории упругости, открывшие новые направления в этой дисциплине. Разработанный Г. метод приближенного решения краевых задач (1915) с успехом используется при решении задач вариационного исчисления, матем. физики и функциональных ур-ний.
15
Бубнов Иван Григорьевич (18. 1.1872—13. 3. 1919) — русский корабельный инженер, механик и
математик. Окончил Морскую академию в Петербурге (1896). С 1904 работал в Петерб. политехн.
ин-те, с 1910 — проф. Морской академии. Разработал метод нахождения приближенного решения
операторного ур-ния, к-рый применил к решению ряда задач теории упругости. Этот метод был
усовершенствован Б. Г. Галеркиным (метод Б.— Галеркина).
12
Строительная механика
271
где f K ( y ) - неизвестные коэффициенты ряда, зависящие от y и подлежащие
определению.
Подставим выражение (54) в (29):
2
4
 IV

K 
Kx q( x, y )
 K 



  f K ( y)  2 a   f K ( y)   a   f K ( y)  sin a  D . (55)

K 

Разложим правую часть в ряд Фурье:
q ( x, y ) 1
Kx
,
(56)
  q K ( y )  sin
D
D K
a
где
a
2
Kx
q K ( y )   q( x, y )  sin
 dx .
a0
a
Подставив (56) в (55), получим уравнение
 K 
f KIV ( y )  2

q ( y)
 K 
,
 f K ( y )  
  f K ( y)  K
a
a
D




2
4
решение которого
 Ky 
 Ky 
f K ( y )  FK ( y )  C1K  ch
  C2 K  sh

 a 
 a 
.
(57)
Ky
Ky
 Ky 
 Ky 
 ch
 sh
  C4 K 
.
a
a
 a 
 a 
Здесь FK ( y ) - любое частное решение исходного уравнения. Постоянные
CiK находятся из граничных условий.
Существуют различные конечно-разностные методы, позволяющие
решение уравнений в частных производных (29) или (30) к алгебраическим
уравнениям. (Метод сеток, метод прямых …).
В настоящее время широкое распространение получим метод конечных
элементов.
 C3 K 
4.1. Конструктивно силовая схема стреловидного крыла
Рассмотрим одну из множества силовых схем стреловидного крыла.
Этой теме посвящено учебное пособие: Скопинцев Б. И., Бушков Ю. Е.
Напряженное состояние стреловидного крыла. – Х.: ХАИ, 1991. – 64 с.
Самолет представляет собой свободную систему, в которой аэродинамические силы крыла и оперения уравновешиваются массовыми силами конструкции и грузов, расположенных, в основном, в фюзеляже. Можно считать,
что крыло вместе с подфюзеляжной частью находится в равновесии под действием аэродинамических нагрузок и реакций в связях между крылом и фюзеляжем.
Строительная механика
272
Вертикальные составляющие нагрузок, действующих на консоли крыла, передаются через узлы навески лонжеронов на крыльевые шпангоуты.
шарниры
лонжерон
консоли
шпангоут
фюзеляжа
y
z
x
Вообще между крылом и фюзеляжем должно быть обеспечено достаточно связей, чтобы их реакции уравновешивали шесть компонентов главного вектора и главного векторного момента нагрузок, действующих на крыло:
Qx, Qy, Nz, Mx, My, Mz.
Крутящий момент консолей полностью переходит через потоки касательных сил в обшивке и стенках лонжеронов на бортовую нервюру и воспринимается дополнительными вертикальными реакциями крыльевых шпангоутов.
Mz
БН
B
Строительная механика
273
В стреловидном крыле передача сил Qy, Mx, Mz от консолей к фюзеляжу
происходит через систему плоских балок. Рассмотрим пример такой конструкции (вид сверху).
нп
ППС – плоскость симметрии
самолета;
НП – направление полета.
B
ППС
B A
С
С
D
E
Под внешними обводами крыла, образованного наружной поверхностью обшивки, находятся типовые силовые элементы:
AD – передний лонжерон;
DE – концевая нервюра;
CE – задний лонжерон;
AC – корневая нервюра;
ADEC – прямоугольный кессон;
BC – бортовая нервюра;
AB – продолжение переднего лонжерона;
BB – передняя подфюзеляжная балка;
СС – задняя подфюзеляжная балка.
Четырехпоясный кессон – тонкостенный стержень прямоугольного сечения, состоящий из четырех стенок, четырех поясов и ряда диафрагм.
Подфюзеляжные балки вводятся для разгрузки шпангоутов от изгибающих моментов и не являются обязательными.
Однако мы будем предполагать, что
весь изгибающий момент от консолей
будет восприниматься только подфюзеляжными балками.
Кроме того будем предполагать, что
в треугольнике АВС отсутствует обшивка. Методика учета работы этой
обшивки выходит за рамки нашей
дисциплины.
Строительная механика
274
Таким образом, стреловидное крыло в рассматриваемом случае представляет собой пространственный диск ACDE – который к крепится к другому диску – фюзеляжу с помощью системы плоских балок.
4.2. Кинематический и структурный анализ стреловидного крыла
Плоские балки рассматриваемого варианта силовой схемы представляют собой тонкие стенки, окантованные продольными элементами.
Если провести дискретизацию этих стенок передав их несущую способность по восприятию нормальных напряжений поясам окантовки, можно
считать их работающими только на сдвиг (модель Вагнера: d = 0).
Плоская балка с обшивкой, работающей только на сдвиг, в кинематическом и статическом смыслах эквивалентна плоской ферме, подкос которой
выполняет ту же функцию, что и стенка d = 0 в плоской балке (воспринимаю
силу Q.
При замене фермами плоских балок
корневой части крыла следует иметь
ввиду, что в подфюзеляжных балках
в силу симметрии нагрузки и конструкции отсутствуют поперечные
силы Qy.
В соответствии с аксиомой о связях для подфюзеляжных балок при замене их фермами можно отбросить подкосы как связи, которым соответствуют нулевые реакции.
Следовательно, система креплений правой консоли стреловидного крыла может быть представлена таким образом.
Строительная механика
275
A
12
11
B
B1
1
13
C
A1
7
14
4
2
10
3
5
C1
8
6
Проведем кинематический анализ. Рабочая формула:
Пs = 6  Д + 3  У – С - Соп.
Д = 1 (кессон); У = 2 (узлы С и С 1 принадлежат диску); С = 7 (№ 4, 7, 9, 11,
12, 13, 14); Соп = 7 (№ 1, 2, 3, 5, 6, 8, 10).
Пs = 6  1 + 3  2 – 7 – 7 =12 – 14 = -2.
Система имеет две лишних связи и может быть неподвижной. Система
не может быть отвергнута, как не имеющая достаточного количества связей.
Перейдем к структурному анализу.
Проведем структурный анализ данной системы методом построения.
1) Точка В1 является неподвижной благодаря наличию трех опорных связей, не лежащих в одной плоскости – 1, 2, 3.
2) Точка С1 является неподвижной благодаря связям 4, 5, 6.
3) Точка С является неподвижной благодаря связям 7, 8, а также наличию
диска – кессона, который связывает точки С и С 1.
4) Точка В является неподвижной благодаря связям 9, 10, 11.
5) Кессон крепится к системе неподвижных точек С и С1, которые на одной прямой, и, следовательно, имеет одну степень свободы – поворот
относительно оси СС1. Для предотвращения этого перемещения достаточно одной связи – стержня АВ (№12).
6) Стержни 13 и 14 в продолжении переднего лонжерона являются лишними связями.
Строительная механика
276
Таким образом, рассмотренная система является неподвижной и имеет
две лишних связи. Следовательно эта система статически неопределимая и не
может быть рассчитана только методами статики.
Статический анализ проводится только в тех случаях, когда система не
поддается структурному анализу, т.е. в данном случае не требуется.
4.3. Расчетная схема «кессон»
Слово «кессон» - французское и означает «ящик». Этот термин наиболее широко применяется в гидротехнике. В авиации кессоном называют
межлонжеронную часть крыла, обычно близкую по форме к прямоугольному
параллелепипеду.
В строительной механике авиационных конструкций словом «кессон»
обозначают одну из расчетных моделей (схем), применяемых для расчетов
отъемной части двухлонжеронного крыла – как прямого, так и стреловидного
(рис. 1).
cп.л.
КЕС
С
ОН
Расчетная схема «кессон»
отличается от расчетной
схемы «тонкостенный
стержень» тем, что в
«кессоне» не используется гипотеза плоских сечений. Это связано с тем,
что характер закреплений
корневого сечения кессона или характер распределения внешних нагрузок в концевом сечении
не соответствуют требованиям балочного распределения напряжений.
Рис. 1. Кессон как часть конструкции крыла
Характерной особенностью одноплоскостного закона распределения продольных деформаций является то, что он полностью определяется тремя параметрами. Этими параметрами могут быть как коэффициенты уравнения
плоскости
 z  A  Bx  Cy ,
Строительная механика
277
так и удлинения в любой точке поясов, например, 1, 2, 3. Другими словами,
удлинение лежит в плоскости, проведенной через удлинения 1, 2, 3. Эти
условия не выполняются в кессоне.
Рассматриваемая расчетная схема «кессон» базируется на следующих
гипотезах:
1. Элементы кессона находятся в рациональном напряженном состоянии.
2. Обшивки и стенки лонжеронов работают только на сдвиг (d = 0); нормальные напряжения развиваются только в поясах
N i   i  fi ; q j  t j d j .
i - номер пояса;
y
1
2
2
1
3
x
4
4
3
Рис. 2. Нумерация элементов в сечении кессона (сечение отсеченной части)
j
- номер стенки
3. Кроме концевой и корневой
нервюры в кессоне имеется бесчисленное множество промежуточных
нервюр, чем обеспечивается возможность реализации произвольного вида
функции q(z) (схема непрерывного
распределения нервюр).
4. Жесткость на сдвиг нервюр
настолько велика, что можно пренебречь их потенциальной энергией.
4.4. Действительные продольные усилия в граничных сечениях кессона
Рассмотрим в начале концевое сечение кессона (рис. 3).
по A
2
y
1
x
A
3
Pz
4
а)
б)
Рис. 3. Случай нагружения концевого сечения кессона
Если внешняя нагрузка Pz приложена только в одном из поясов, то действительные напряжения не подчиняются балочной теории:
Строительная механика
278
1 
Pz
; 2  3  4  0
F1  E
эти деформации не подчиняются закону плоскости.
Рассмотрим опорные связи кессона. Кессон является пространственным неизменяемым диском. Для его неподвижности достаточно шести связей. В действительности все опорные связи сосредоточены в корневом сечении и их количество может быть от 6 до 8. (см. рис. 4 и 5).
Первую группу связей составляют четыре продольных связи между четырьмя поясами и опорой.
1
4
2
3
Рис. 4. Первая группа опорных связей кессона
7
5
8
6
Рис. 5. Вторая группа опорных связей кессона
Эти связи обеспечивают восприятие трех силовых факторов: Mx, My, Nz.
Освобождение любой из этих
четырех связей не нарушает
неподвижности системы, и,
следовательно,
возможно.
Опорные реакции в связях первой группы обозначим Ri .
Вторую группу связей составляют связи, лежащие в плоскости корневой нервюры.
Конструкция крыла и фюзеляжа позволяет реализовать четыре опорных связи, лежащих в
плоскости корневой нервюры
(вдоль двух поясов и двух стоек
нервюры).
Эти связи обеспечивают восприятие второй тройки внутренних силовых факторов: Qx,
Qy, Mz.
Освобождение любой из четырех этих связей не нарушает неподвижности
системы.
Рассмотрим, например, систему, в которой отсутствуют связи 1 и 8. В
этом случае R1  0 и, следовательно, в корневом сечении N1  0 . Реакции в
трех других связях первой группы определяются из условий равновесия.
Строительная механика
279
y
Вид по B
Nz
C
B
Mx
x
R3
R4
R2
y1
R2
R4
Вид по C
R3
x1
Nz
My
x1
R2
R4
Nz
y1
R3
а)
б)
Рис. 6. К определению опорных реакций кессона
в)
h
 M x1   R2  h  M x  N z  2  0 ;
 M  y1   R4  h  M y  N z  2  0 ;
 Fz  N z  R2  R3  R4  0 .
b
Если же будет освобождена не первая, а любая другая связь, распределение опорных реакций, а, следовательно, и продольных усилий в корневом
сечении, будет совсем иным.
Таким образом, показано, что продольные усилия в корневом сечении
кессона определяются не балочной теорией, а характером опорных связей.
4.5. Разложение действительного напряженного состояния на элементарное равновесное и самоуравновешенное
Расчет действительного напряженного состояния кессона, которое не
совпадает с балочным состоянием, принято рассматривать как сумму элементарного статически возможного состояния и самоуравновешенной добавки,
обеспечивающей выполнение условий сплошности (совместности деформаций).
В качестве статически возможного может быть взято любое распределение усилий, удовлетворяющее условиям статической эквивалентности.
Простейшим из них является балочное напряженное состояние.
Строительная механика
1
280
y
2
My
4
Если в сечении z = const действуют
внутренние силовые факторы Mx, My,
Nz, то балочные продольные усилия в
поясах определяются по формуле:
Nz
x
Mx
3
Рис. ?. К определению балочных усилий в поясах
N

My
M
N iэл  f i   z  x  yi 
 xi  ,
 F

Jx
Jy


где i – номер пояса.
Для определения балочных потоков касательных сил необходимо провести расчет без разделения на сдвиг и кручение однозамкнутого контура от
действия Qx, Qy, Mz и найти четыре потока: q1эл , q2эл , q3эл , q4эл .
Аналогично балочные усилия могут быть найдены и в концевом сечении кессона.
4.6. Самоуравновешенное напряженное состояние
В сечении кессона по корневой нервюре между балочными усилиями
реакциями Ri нет совместности:
N iэл и действительными опорными
Ri  N iэл и, следовательно,  i   iэл .
Для того, чтобы это несоответствие устранить вводится дополнительное напряженное состояние, которое образуется как разность между действительными усилиями в поясах и балочными усилиями. В корневом сечении:
Si  Ri  N iэл
(i = 1, 2, 3, 4).
Поскольку сумма реакций Ri статически эквивалентна системе внутренних силовых факторов: Mx, My, Nz в корневом сечении и система балочных
сил N iэл также статически эквивалентна той же самой системе внутренних
силовых факторов, то система S i должна быть самоуравновешенной.
Строительная механика
281
 M x1   S1  h  S 2  h  0 ;
S1
S 2   S1 .
S2
S4
S3
Рис. 8. Система дополнительных продольных сил
 M  y1   S1  b  S 4  b  0 ;
S 4   S1 .
 Fz  S1  S2  S3  S4 
 S1  S1  S3  S1  S3  S1  0;
S3   S1 .
Обозначим S1  S су . Тогда:
S1   S су ; S 2   S су ; S3   S су ; S 4   S су .
Покажем эту систему сил (рис. 9).
В корневом сечении:
S су  R1  N1эл ,
Siсу
т.е. известная величина.
Рис. 9. Самоуравновешенная система
продольных сил (бимомент)
Для определения системы самоуравновешенных потоков касательных
сил в стенках кессона воспользуемся тремя условиями самоуравновешенности (см. рис. 10).
Строительная механика
282
Из условия:
q2
q3
q1
 Fy q   0 следует q3   q1 .
Из условия:
q4
Рис. 10. Дополнительные потоки касательных сил
 M z q   0 следует q2  q1 .
Из условия:
 Fx q   0 следует q4  q2  q1 .
Если обозначить q1  qсу , то получим:
q1  qсу ; q2  qсу ; q3  qсу ; q4  qсу .
Возможно два варианта направлений самоуравновешенных потоков касательных сил: при qсу  0 (рис. 11.а) и qсу  0 (рис. 11.б).
qсу
qсу
а)
б)
Рис. 11. Два возможных варианта направлений самоуравновешенных потоков.
Рассмотрим связь между компонентами самоуравновешенного состояния. Равновесие дифференциального элемента кессона, как и в случае тонкостенного стержня, позволяет установить связь между нормальными усилями
и потоками касательных сил.
Выберем элемент длиной dz в зоне первого пояса. Предполагается, что
интенсивность самоуравновешенных добавок уменьшается по мере удаления
от корневого сечения. В этом случае потоки самоуравновешенных касательных сил должны быть направлены так как показано на рис. 12.
dS
су
qсу
Рис. 12. Потоки сходятся к растянутому поясу
Правило: самоуравновешенные потоки касательных сил сходятся к растянутым поясам.
Если S су  0 , то направления потоков самоуравновешенных касательных сил необходимо изменить на
противоположное.
Строительная механика
283
Применяя уравнения равновесия  Fx  0 , получим dS су  2  q су  dz .
Откуда:
q
су
1 dS су
 
.
2 dz
4.6. Принцип наименьшей работы
Рассмотрим самоуравновешенное состояние кессона, вызванное несоответствием балочного элементарного ( N iэл ) действительным опорным реакциям в корневом сечении. Было показано, что это состояние в корневом сечении определяется силой

S су
 R1  N1эл .
В концевом сечении это самоуравновешенное состояние затухает до
o
 0.
нуля: S су
o
( z ) между этиОстается неизвестным характер изменения функции S су
ми граничными сечениями.
Для решения подобных задач применяется вариационное исчисление,
которое в данном случае базируется на принципе взаимности работ. Принцип
наименьшей работы есть частный случай вариационного принципа Кастильяно и применяется в тех случаях, когда силы на поверхности тела известны и
не варьируются. Принцип наименьшей работы гласит: из всех статически
возможных систем напряжений, сводящихся на поверхности тела к заданным
(фиксированным) нагрузкам, в действительности реализуется такая система
напряжений, которая обеспечивает наименьшее значение дополнительной
потенциальной энергии:
w
1
    t   dxdydz.
2 
При этом рассматривается работа напряжений на «своих» деформациях.
Обратимся к потенциальной энергии самоуравновешенного напряженного состояния кессона. Интеграл энергии деформации по объему кессона
можно представить в виде:
Строительная механика
284


1 1
1

w         t   dF   dz   z   dz .
2 02
20

Здесь z  - потенциальная энергия единицы длины кессона. Эта величина
складывается из потенциальной энергии элементов кессона:
 z    поясов   стенок   нервюр .
Согласно принятой расчетной схеме  нервюр  0 . Коэффициент
жет быть исключен, так как на решение не влияет.
Рассмотрим энергию поясов:
1
мо2
4
4
Si
Si
Si2
1
2
.
 поясов   i   i  Fi   
 Fi  
 S су  
F
E

F
E

F
E

F
i
i
i
i 1
i 1 i
i 1
i 1
4
4
4
1
- есть число, характеризующее суммарную податливость поE

F
i
i 1
ясов лонжеронов. Обозначим её AN :
Сумма 
4
1
.
E

F
i
i 1
AN  
(1)
Таким образом,
2
 поясов ( z )  AN  S су
( z) .
(2)
Потенциальная энергия сдвига стенок:
4
 стенок   t j   j  t j  d j ,
(3)
j 1
где произведение t j  d j есть площадь сечения j – той стенки, касательное
напряжение
tj 
Сдвиг стенки равен:
qj
G d j
.
Строительная механика
285
tj
j
Gj

qj
G d j
.
В самоуравновешенном состоянии:
q j   qсу ,
причем
qсу 
1 dSсу 1
 .

  S су
2 dz
2
Подставляем эти соотношения в формулу (3). Получаем
4
 стенок  
qj

qj
j 1 d j Gd j
Величина
 t j  d j 
4 t
1
 2  j .
S су
4
j 1 Gd j
 
1 4 t j
является характеристикой податливости стенок.

4 j 1 Gd j
Обозначим ее Aq :
Aq 
1 4 t j
.

4 j 1 Gd j
(4)
Величина Aq - суммарная податливость стенок. И теперь


 z  2 .
 стенок  Aq  S су
(5)
Таким образом, потенциальная энергия кессона определяется видом
функции S су ( z ) и равна:



1
  dz ,
w    z, S су , S су
20
(6)
где


 
2
  AN  S су
 2.
 z , S су , S су
 Aq  S су
(7)
Строительная механика
286
4.7. Уравнение Эйлера
Функционалом называется величина, числовое значение которой определяется видом некоторой функции. Потенциальная энергия кессона – функционал, зависящий от вида функции S су ( z ) .
Вариационное исчисление – математическая дисциплина, посвященная
отыскиванию экстремальных значений функционалов.
В вариационном исчислении показано, что в случае когда значения

o
функции S су ( z ) на концах интервала z зафиксировано ( S су
, S су
), условием
минимума функционала вида (6) является уравнение Эйлера:
d    

 0.
  S су
dz  S су
(8)
Для того, чтобы функция S су ( z ) доставляла минимум функционала (6)
необходимо, чтобы она удовлетворяла уравнению Эйлера (8).
4.8. Решение вариационной задачи
Подставим полученное ранее выражение (7) для  в уравнение Эйлера
(8). Но предварительно вычислим производные:

 2  AN  S су ;
S су
(9)

 ;
 2  Aq  S су

S су
d   
 .
 2  Aq  S су
 
dz  S су
Теперь выражения (9) и (10) подставляем в (8)
  2  AN  S су  0 .
2  Aq  S су
Делим на 2  Aq и получаем:
(10)
Строительная механика
287
   2  S су  0 ,
S су
(11)
где
2 
AN
Aq
(12)
это характеристика эластичности стенок.
Получено обыкновенное однородное линейное дифференциальное
уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Такие уравнения решаются с помощью подстановки Эйлера
S су ( z )  C  e z . Вторая производная подстановки Эйлера:
  C  2  e z .
S су
(13)
Характеристическое уравнение имеет вид:
2   2  0 .
(14)
Откуда 1   и 2   .
Корни характеристического уравнения – вещественные, и значит общее
решение уравнения может быть представлено в виде суммы гиперболических
функций:
S су ( z )  C1  chz  C 2  shz .
(15)
Произвольные постоянные C1 и C2 определяются из двух граничных
условий.
Выражения для S су ( z ) получается наиболее простым, если начало координат поместить на концевой нервюре, а ось z направить к корню кессона.
Тогда первое граничное условие запишется так:
при z = 0
S су (0)  C1  1  C2  0  0 .
Откуда следует C1 = 0. При C1 = 0 решение сокращается до одного слагаемого:
S су ( z )  C2  shz .
Второе граничное условие такое:
Строительная механика
288
при z  

S су  S су
 R1  N1 .
Откуда следует
R1  N1
C2 
.
sh
(16)
R1  N1
S су ( z ) 
 shz .
sh
(17)
Итак, окончательно
Самоуравновешенный поток касательных напряжений определяется из
условия дифференциального равновесия элемента:
qсу ( z ) 
1 dSсу 1

  C2    chz .
2 dz
2
(18)
Из этой формулу видно, что в концевом сечении кессона, где S су  0 ,
самоуравновешенный поток касательных сил не равен нулю, т.е. самоуравновешенное состояние кессона в целом не подчиняется принципу Сен-Венана.
Действительное усилие в i – том поясе:
N i ( z )  N iбалочное ( z )  Siсу ( z ) .
Действительное усилие в j – той стенке:
q j ( z )  q балочное
( z )  q су
j
j ( z) .