Синергия. Высшая математика. тема 7-12. Итоговый и Компетентностный тест

ТЕСТ 7
График четной функции симметричен относительно …
• оси ординат
• оси абсцисс
• начала координат
Дана функция f(x) = −x² + 8x − 13. Найдите множество значений данной функции.
• x ∈ (−∞; 3)
• x ∈ [3; +∞)
• x ∈ (−∞; 3]
Если известно, что функция f(x) имеет устранимый разрыв в точке x = 2 и lim f(x) = 1,
x⟶2−0, тогда lim f(x), x⟶2+0 равен …
• 0
• 1
• -1
Значение предела lim (2x⁵ − 3x³ + 1) / (x⁵ + 4x² + 2x), x⟶∞ равно …
2
Предел lim (7x² + 4x − 3) / (2x² + 3x + 1), x⟶−2 равен …
• 15/3
• 17/3
• 14/3
Пусть даны множества A={1,2,3} и B={3,4,5}, тогда единственный элемент множества
A∩B равен …
3
Пусть даны множества A={1,2,3} и B={3,4,5}, тогда сумма всех элементов множества
A∪B равна …
15
Пусть последовательность задана формулой xn=(-1)n, тогда сумма первых трех ее
членов равна …
-1
Расположите данные числа в порядке принадлежности множествам «рациональных
чисел, иррациональных чисел, натуральных чисел, множество целых чисел»:
1 1/3
2 √3
33
4 -3
1234
Установите соответствие между свойствами пределов и их значениями:
A. lim c ⋅ f(x), x⟶x₀
B. lim (f(x) + g(x)), x⟶x₀
C. lim f(x) / g(x), x⟶x₀
D. c ⋅ lim f(x), x⟶x₀
E. lim f(x), x⟶x₀ + lim g(x), x⟶x₀
F. lim f(x), x⟶x₀ : lim g(x), x⟶x₀
A – D, B – E, C – F
Функция … является четной
• y=sinx
• y=x⁴
• y=x³
ТЕСТ 8
Значение производной функции y=7x³-2x²+5x-1 в точке x₀=0 равно …
5
Значение производной функции y=ln(7x-7) в точке x₀=0 равно …
-1
Значение производной функции y=x∙lnx в точке x₀=1 равно …
1
Производная сложной функции y = √(x² − 3x + 17) имеет вид …
• (2x − 3) / √(x² − 3x + 17)
• (2x − 3) / 2√(x² − 3x + 17)
• −(2x − 3) / √(x² − 3x + 17)
Производная функции y = √(x² − 3x + 17) в точке x₀ = 1 равна …
• −1 / 2√15
• 1 / 2√15
• −1 / √15
Производная функции y=7x³-2x²+5x-1 имеет вид …
• -21x²+4x+5
• 21x²-4x+5
• -21x²-4x-5
Расположите значения производных для функций в порядке «y=xⁿ,y=aˣ,y=√x»:
1 y' = n ⋅ xⁿ⁻¹
2 y' = aˣ ⋅ lna
3 y' = 1 / 2√x
123
Существует уравнение касательной к прямой в x = −1 функции y = x² / (x + 2)².
Найдите уравнение касательной.
• y=-4x-3.
• y = 4x + 3.
• y = (−4x − 3) / 2.
Точка x₀ называется точкой максимума функции y=f(x), если для всех точек x≠x₀ из
некоторой окрестности точки x₀ выполняется неравенство …
• f(x)<f(x₀)
• f(x)>f(x₀)
• f(x)=f(x₀)
Установите соответствие между правилами дифференцирования и
соответствующими формулами:
A. (u+v)'
B. (u∙v)'
C. (u/v)'
D. u' +v'
E. u' v+uv'
F. (u'v − uv') / v²
A – D, B – E, C – F
Функция у = f(x) называется … функцией на множестве D, если для любых x₁, x₂ ϵ D
из неравенства x₁ < x₂ следует неравенство f(x₁) < f(x₂)
возрастающей
ТЕСТ 9
Дан неопределенный интеграл ∫ sinx cos⁵ xdx.Вычислите его значение.
• 1/2 ⋅ tg(x²) + C.
• −3¹⁻⁵ˣ / 5ln3 + C.
• −cos⁶x / 6 + C.
Неопределенный интеграл ∫ x(1 − 2x)³dx равен …
• 2x⁴ + C
• −8x⁵/5 + C
• −2x³ + 3x⁴ − 8x⁵/5 + C
Несобственный интеграл является … интегралом, если предел соответствующего
ему собственного интеграла не существует или равен бесконечности
расходящимся
Определенный интеграл ∫ (x / √(1 + x))dx, x=3..8 равен …
• 1/2
• 7/5
• 32/3
Определенный интеграл ∫ (1 / √(x + 1))dx, x=0..1 равен …
• 2√2
• 2√2-2
• -2√2
Определенный интеграл ∫ f(x)dx, x=a..a равен …
0
Расположите значения данных интегралов в порядке возрастания:
1 x²dx, x=1..2
2 x⁴dx, x=1..2
3 (3 − 2x − x²)dx, x=-2..1
123
Результат вычисления интеграла ∫ x⁻⁴dx, x=1..+∞ составляет …
•
•
•
1/3
3
1
Согласно формуле Ньютона-Лейбница ∫ f(x)dx =, x=a..b …
• F(a)-F(b)
• F(b)-F(a)
• F(a)+F(b)
Установите соответствие между интегралом элементарной функции и его значением:
A. ∫ dx/x
B. ∫ sinxdx
C. ∫ dx/cos²x
D. ln |x|+C
E. -cos fx+C
F. tg x+C
A – D, B – E, C – F
Функция F(x) называется … для функции f(x), если F(x)' =f(x)
первообразной
ТЕСТ 10
Дифференциал функции двух переменных z=5x-3y имеет вид …
• dz=5dx-3dy
• dz=5dx
• dz=3dy
Если для функции f(x; y) справедливо равенство fx'(x₀; y₀) = fy'(x₀; y₀) = 0, то точка (x₀;
y₀) является …
• точкой экстремума
• точкой разрыва
• стационарной точкой
Значение предела lim x² + 2y² + 6, x⟶0, y⟶1 равно …
8
Значение функции z(x; y)=2x-y+15 в точке A(-2; 1) равно …
10
Необходимо вычислить значение 1,242,02. Проведите данное вычисление, используя
дифференциал.
• 1,5
• 1,08
• 2
Область на плоскости с присоединенной к ней границей называется … областью
замкнутой
Расположите данные выражения для функции z(x;y)=7x³+5xy+3x-2y³ в порядке
«частная производная по x первого порядка, частная производная по x второго
порядка, частная производная по y первого порядка»:
1 21x²+5y+3
2 42x
3 5x-6y²
123
Установите соответствие между функцией двух переменных и ее частной
производной по переменной x:
A. z=3x²+2y-3
B. z=5x²-3y+1
C. z=x³+7x-2
D. zx' =6x
E. zx' =10x
F. zx' =3x²
A – D, B – E, C – F
Функция k=3x+5y-2z+1+l является функцией … переменных
• трех
• четырех
• пяти
Частная производная по переменной y функции z(x; y) = 5x⁴y² равна
• 10x⁴ y
• 10x² y
• 10x⁵ y
Частная производная ∂z(x; y)/∂x функции z(x; y) = y − 3x³ + 2 равна
• -3x²
• 3x²+2
• -9x²
ТЕСТ 11
График решения дифференциального уравнения называется … кривой
интегральной
Дано обыкновенное дифференциальное равнение первого порядка: y' + y/x = x² ⋅ y⁴.
Приведите решение данного уравнения.
• z=(-3⋅ln|x|+C)⋅x³.
• z=(-6⋅ln|x|+C)⋅x².
• z=(-4⋅ln|x|+C)⋅x³.
Дифференциальное уравнение xy' − y = xe^(y/x) …
• является линейным
• является однородным
• не является ни однородным, ни линейным
Задачей … называется задача нахождения такого решения уравнения, которое при
x=x_0 принимает значение y=y_0
Коши
Метод вариации произвольной постоянной решения линейного дифференциального
уравнения также называется методом …
Лагранжа
Общее решение уравнения (2x+1)dy+y² dx=0 имеет вид …
• y = ln│2x + 1│ + C
• y = 2 / (ln│2x + 1│ + C)
• y=2
Решение уравнения y'+y∙sinx=0 имеет вид …
• ln y=cos x+C
• ln x=cos x+C
• ln y=cos y+C
Упорядочьте дифференциальные уравнения от первого до третьего порядка:
1 y'-3y=2x
2 y"-xy=0
3 y"' +3 y' +0
123
Уравнение вида N(x,y)dx+M(x,y)dy=0 называется уравнением в …
• полных дифференциалах
• постоянных дифференциалах
• частных производных
Установите соответствие между дифференциальным уравнением первого порядка и
его общим видом:
A. Дифференциальное уравнение с разделенными переменными
B. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
C. Однородное дифференциальное уравнение
D. f(y)dy=f(x)dx
E. f₁ (x)g(y)dx=f₂ (x)dy
F. P(x,y)dx=Q(x,y)dy
A – D, B – E, C – F
Функция f(x; y) = 2xy / (x² + y²) является …
• однородной
• неоднородной
• условной
ТЕСТ 12
Дано линейное дифференциальное уравнение второго порядка: y''+y'-2y=0.
Приведите решение данного уравнения.
• y=c₁⋅eˣ+c₂⋅e⁻²ˣ.
• y=c₁⋅eˣ+2c₂⋅e⁻²ˣ.
• y=2c₁⋅eˣ+c₂2e⁻²ˣ.
Дискриминант характеристического уравнения дифференциального уравнения y''-5
y'+6y=0 равен …
1
Если дифференцируемые функции y₁=y₁ (x) и y₂=y₂(x) линейно зависимы на (a,b), то
определитель Вронского равен …
• 0
• 1
• -1
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение y''-4y'=10 имеет частное
решение с неопределенными коэффициентами вида …
• y̅ = 10x
• y̅ = Ax
• y̅ = C
Общее решение уравнения y''-4y=0 имеет вид …
• y = c₁e²ˣ + c₂e⁻²ˣ
• y = c₁e²ˣ
• y = c₁e⁻³ˣ
Общее решение уравнения y''-5 y'+6y=0 имеет вид …
• y=c₁e²ˣ + c₂e³ˣ
• y=c₁e⁻²ˣ + c₂e³ˣ
• y=c₁e²ˣ + c₂e⁻³ˣ
Определитель вида W(x) =│(y₁, y₂), (y'₁, y'₂)│ для двух дифференцируемых функций y₁
= y₁(x) и y₂ = y₂(x) называется определителем …
• Коши
• Вронского
• Лейбница
Упорядочьте дифференциальные уравнения следующим образом:
«дифференциальное уравнение 1-го порядка, линейное однородное
дифференциальное уравнение 2-го порядка, линейное неоднородное
дифференциальное уравнение 2-го порядка»:
1 y'-3y+2x=0
2 y''+py'+qy=0
3 y''+py'+qy=f(x)
123
Условием существования двух комплексных корней характеристического уравнения
дифференциального уравнения является то, что дискриминант характеристического
уравнения …
• больше нуля
• равен нулю
• меньше нуля
Установите соответствие между корнями характеристического уравнения и общим
решением линейного дифференциального уравнения второго порядка:
A. k₁≠k₂
B. k₁=k₂
C. k₁=k₂=a+ib
D. y = c₁e^(k₁x) + c₂e^(k₂x)
E. y = c₁eᵏˣ + c₂eᵏˣ
F. y = e^(ax) ⋅ (c₁cosbx + c₂sinbx)
A – D, B – E, C – F
Функции y_1=y_1 (x) и y_2=y_2 (x) называются линейно … на (a,b), если равенство
α₁y₁+α₂y₂+0 выполняется тогда и только тогда, когда числа α₁ = α₂ = 0
независимыми
ИТОГОВЫЙ ТЕСТ
Абсцисса точки пересечения прямых y₁=2x+1 и y₂ =-2x-1 равна …
-0,5
В древнем Китае матрицы называли …
• «умными прямоугольниками»
• «прекрасными трапециями»
• «красивыми треугольниками»
• «волшебными квадратами»
Вектор a{1, 2, 3} имеет длину, равную …
• √219
• √218
• √220
Векторное произведение векторов a{1, 2, 3} и b{5, 4, 3} равно …
• {-7,12,6}
• {-6,12,-6}
• {-7,-10,6}
Вронскианом называется определитель вида …
• |(y₁, y₂), (y₁', y₂')|
• |(y₁, y₂), (y₁², y₂²)|
• |(y₁, y₂), (y₁'', y₂'')|
Габриэль Крамер опубликовал «правило Крамера» в …
• 1781 г.
• 1751 г.
• 1741 г.
• 1791 г.
График нечетной функции симметричен относительно …
• оси ординат
• оси абсцисс
• начала координат
Данное дифференциальное уравнения (2x+1) y'+y=x …
• является линейным
• является однородны
• не является ни однородным, ни линейным
Две плоскости пересекаются, если они имеют …
• одну общую точку
• две общие точки
• бесконечно много общих точек
Две прямые y₁=7x+5 и y₂=7x-5 на плоскости …
• параллельны
• пересекаются
• могут пересекаться или быть параллельными
Дискриминант характеристического уравнения данного дифференциального
уравнения y''+5y'-6y=0 равен …
49
Дифференциал функции двух переменных z=3x+2y имеет вид …
• dz=3dx
• dz=5dy
• dz=3dx+2dy
Если дифференцируемые функции y₁=y₁(x) и y₂=y₂ (x) линейно независимы от
решения дифференциального уравнения на (a,b), то определитель Вронского на этом
интервале нигде не может быть равен …
• 0
• 1
• -1
Если известно, что функция f(x) имеет устранимый разрыв в точке x = 3 и lim f(x) = 2,
x⟶3−0, тогда lim f(x), x⟶3+0 равен …
• 0
• -2
• 2
Если даны матрицы ((8, −4), (−5, 0)) и ((1, −7), (4, 9)), то значение выражения A² − Bᵀ
будет …
• ((75, 36), (−16, 11))
• ((83, −36), (−33, 11))
• ((−83, 36), (33, −11))
• ((8, −4), (−5, 0))
Если свойство транспонирования произведения матриц выглядит как
(A⋅B)T=BT⋅AT, то можно утверждать, что транспонирование произведения матриц
есть …
• произведение транспонированных матриц, взятых в том же порядке
• произведение транспонированных матриц, взятых в обратном порядке
• сумма транспонированных матриц, взятых в том же порядке
• разность транспонированных матриц, взятых в обратном порядке
Задачей … называется задача нахождения такого решения уравнения, при котором
интегральная кривая решения проходит через точку с координатами (x₀,y₀)
Коши
Значение предела lim (5x³ + x² + 1) / (2x⁴ − 3x² + 5x + 2), x⟶∞ равно …
0
Значение предела lim x² + 2y² + 6, x⟶0, y⟶1 равно …
8
Значение производной функции y=ln(1+5x) в точке x₀=0 равно …
5
Значение производной функции y=x∙lnx в точке x₀=e равно …
2
Значение функции z(x;y)=3x-2y+16 в точке A(1; 2) равно …
15
Какое из следующих действий не относится к элементарным преобразованиям
матрицы
• умножение строки на число, отличное от нуля
• перестановка местами двух строк
• возведение строки в квадрат
Каноническое уравнение прямой, проходящей через точки A(-3,0) и B(5,2), имеет вид
…
• (x+3)/8 = (y-1)/2
• (x+3)/8 = y/2
• (x+3)/10 = (y-2)/-10
Координаты середины отрезка с концами в точках А(3,-2,5) и А(5,2,-7) равны …
• (4,-2,6)
• (1,0,-3)
• (4,0,-1)
Косинус угла между прямыми y₁=2x+1 и y₂=-x+2 равен …
• √10 / 10
• √10 / 15
• 0.6
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение y''+4y'=10x²+1 имеет частное
решение с неопределенными коэффициентами вида …
• y̅ = Ax² + Bx + C
• y̅ = Ax
• y̅ = x + 10
Матрица ((1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 1)) имеет размерность …
• 3х4
• 4х4
• 3х3
• 4х3
Матрица А называется невырожденной, если …
• |A|=0
• |A|≠0
•
|A|>0
Матрица произвольной размерности A = ((a11, a12, …, a1n), (0, a21, …, a2n), (…, …,
…, …), (0, 0, 0, 0)), где a11, a22, …, arn ≠ 0, называется … матрицей
ступенчатой
Метод решения линейного дифференциального уравнения, при котором решение
ищется в виде произведения двух функций, называется методом …
Бернулли
Множество точек плоскости, обладающих свойствами открытости и связности,
называется …
областью
Наивысший порядок производной неизвестной функции, входящей в уравнение,
называется … уравнения
порядком
Неопределенный интеграл ∫ dx / (x² + 4x + 5) равен …
• arcsin(x+2)+C
• arctg(x+2)+C
• sin(x+2)+C
Несобственный интеграл является … интегралом, если существует конечный предел
соответствующего ему собственного интеграла
сходящимся
Общее решение уравнения y'+4y=0 имеет вид …
• y = c₁ + e²ˣ
• y = c₁e²ˣ + c₂e²ˣ
• y = c₁cos2x + c₂sin2x
Общее решение уравнения y''+5y'-6y=0 имеет вид …
• y=c₁e⁶ˣ+c₂e³ˣ
• y=c₁e⁻⁶ˣ+c₂eˣ
• y=c₁e⁻²ˣ+c₂e⁻³ˣ
Определенный интеграл ∫ (1 / √(x + 1))dx, x=0..2 равен …
• 2√3-2
• 2√3
• -2√2
Определенный интеграл ∫ (x / √(1 + x))dx, x=0..3 равен …
• 8/3
• 3/8
• 1/3
Определенный интеграл ∫ f(x)dx, x=2..2 равен …
0
Предел lim (x² − 2x) / (x² − 4), x⟶2 равен …
• 0.5
•
•
0.7
0
При перестановке двух строк матрицы ее определитель …
• меняет знак на противоположный
• не меняет знак
• в одних случаях меняет знак на противоположный, в других случаях – не меняет
знак
Производная сложной функции y = √(x³ + 5x² – 3) имеет вид …
• (3x² + 10x) / 2√(x³ + 5x² – 3)
• (3x² − 10x) / √(x³ + 5x² – 3)
• −(2x − 3) / √(x² – 3x + 17)
Производная функции у=3х³+2x²-5x+7 имеет вид …
• 9x²+4x-5
• 21x²-4x+5
• -21x²-4x-5
Процесс нахождения первообразной для данной функции называют …
интегрированием
Пусть дан вектор a{−3, 7, 2}, тогда длина вектора 3a равна …
• √550
• √560
• √558
Пусть дана матрица A = ((1, 2, 3), (2, 1, 3), (3, 2, 1)), тогда квадрат определителя этой
матрицы будет равен …
144
Пусть дана матрица A = ((1, 2, 3), (2, 1, 3), (3, 2, 1)), тогда сумма миноров M₂₂ + M₃₃
равна …
• -11
• -12
• -10
Пусть дана матрица A = ((12, −17), (−5, −9)), тогда ее определитель равен …
-193
Пусть дана матрица A = ((2, 3), (1, −2)), тогда обратная матрица будет иметь вид …
• ((3, 2), (−2, 1))
• ((2/7, 3/7), (1/7, −2/7))
• ((2, 1), (3, −2))
Пусть дана система уравнений A = {2x₁ + x₂ - 2x₃ = 9, 3x₁ - 2x₂ + x₃ = 2, x₁ + x₂ - 4x₃ = 11,
тогда определитель |A| этой системы равен
• 16
• 17
• 18
Пусть дана система уравнений A = {2x₁ + x₂ − 2x₃ = 9, 3x₁ − 2x₂ + x₃ = 2, x₁ + x₂ − 4x₃ =
11, тогда определитель |A₁| этой системы равен
• 34
• 35
• 36
Пусть дана система уравнений A = {2x₁ + x₂ − 2x₃ = 9, 3x₁ − 2x₂ + x₃ = 2, x₁ + x₂ − 4x₃ =
11, тогда определитель |A₃| этой системы равен
• -32
• -33
• -34
Пусть дана система уравнений A = {3x – 4y + z = 0, 2x + y – 3z = –5, x – 2y + z = 0, тогда
данная система …
• не имеет решений
• имеет 1 решение
• имеет 2 решения
Пусть даны векторы a{3, 4, 5} и b{6, 7, 8}, тогда сумма координат вектора a + b равна
…
33
Пусть даны множества A={3,4,5} и B={7,6,5}, тогда единственный элемент множества
A∩B равен …
5
Пусть даны множества A={3,4,5} и B={7,6,5}, тогда сумма всех элементов множества
A∪B равна …
25 засчитывает, как неверный
Пусть уравнение плоскости задано точкой A(-2, 2, 8) и нормалью n(1, 2, 3), тогда
коэффициент при переменной x в данном уравнении равен
1
Разность координат нормального вектора плоскости 3x-y+2z+2=0 равна …
2
Расположите выражения, известные для системы линейных уравнений {3x₁ + 2x₂ – x₃
= 2, x₁ – 3x₂ + 2x₃ = 3, 2x₁ + 4x₂ – 2x₃ = 4 в порядке «основная матрица системы,
расширенная матрица системы, матрица неизвестных, матрица правой части»:
1 ((3, 2, –1), (1, –3, 2), (2, 4, –2))
2 ((3, 2, –1, 2), (1, –3, 2, 3), (2, 4, –2, 4))
3 (x₁, x₂, x₃)
4 (2, 3, 4)
1234
Расположите данные выражения для функции z(x;y)=3x³+7xy-5x+3y⁴ в
последовательности «частная производная по x первого порядка, частная
производная по x второго порядка, частная производная по y первого порядка»:
1 9x²+7y-5
2 18x
3 7x+12y³
123
Расположите действия нахождения обратной матрицы в логическом порядке:
1 найти определитель исходной матрицы
2 найти транспонированную матрицу к исходной
3 найти алгебраические дополнения
4 составить обратную матрицу
1234
Расположите дифференциальные уравнения в последовательности
«дифференциальное уравнение 1-го порядка, линейное однородное
дифференциальное уравнение 2-го порядка, линейное неоднородное
дифференциальное уравнение 2-го порядка»:
1 2x+ y'-y=0
2 y''+2y'+3y=0
3 y''+2y'+3y=x²
123
Расположите длины векторов a{1, 2, 3}, b{−1, 2, 4} и c{3, −4, 5} в порядке возрастания:
1 │a│
2 │b│
3 │c│
123
Расположите значения данных интегралов в порядке убывания:
1 ∫ 2x²dx, x=1..2
2 ∫ (x³ − x²)dx, x=0..2
3 ∫ dx / x, x=1..-e
123
Расположите значения производных для функций в порядке «y=sinx,y=cosx,y=lnx»:
• y' = cosx
• y' = −sinx
• y' = 1/x
Расположите матрицы в порядке «нижняя треугольная, квадратная, верхняя
треугольная, неквадратная»:
1 ((3, 0, 0), (3, 3, 0), (3, 3, 3))
2 ((2, 2, 2), (2, 2, 2), (2, 2, 2))
3 ((2, 2, 2), (0, 2, 2,), (0, 0, 2))
4 ((1, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 1))
1234
Расположите прямые y₁, y₂ и y₃, заданные уравнениями, в порядке убывания их
угловых коэффициентов:
1 y₃ = -9
2 y₁ = -7x+1
3 y₂ = -8x+2
123
Расположите точки A(0,7,2), B(1,2,3) и C(-5,7,9) в порядке принадлежности
плоскостям «x-y+1=0,4x-26y+33z-95=0, -17x+5y+18z-71-0»
1B
2C
3A
123
Расположите числа в порядке принадлежности множествам «иррациональных чисел,
рациональных чисел, целых чисел, натуральных чисел»:
1 √2
2 1/2
3 -2
42
1234
Расстояние от точки A(2,1) до прямой 3x-4y-3=0 равно …
0,2
Расстояние от точки A(2,3,-1) до плоскости 2x-y+3z=2 равно …
• 4/√14
• 2/√14
• -4/√15
Результат вычисления интеграла ∫ x⁴dx, x=1..3 составляет
• 1/5
• 243
• 242/5
Решение уравнения y'=5x+2 имеет вид …
• 5x²/2 - 2x + C
• -5x²/2 - 2x + C
• 5x²/2 + 2x + C
Решением системы уравнений A = {2x₁ + x₂ − 2x₃ = 9, 3x₁ − 2x₂ + x₃ = 2, x₁ + x₂ − 4x₃ = 11,
будет …
• (2, 1, −2)
• (−2, 1, −2)
• (2, 1, 2)
Скалярное произведение векторов a{7, 8, 9}, b{−3, 4, −5} равно …
-34
Сопоставьте матричные уравнения и их решения
A. A∙X=B
B. X∙A=B
C. A∙X∙C=B
D. X=A-1∙B
E. X=B∙A-1
F. X=A-1∙B∙C-1
A – D, B – E, C – F
Сумма координат вектора a = −3I + 2j + 5k равна …
4
Сумма координат нормального вектора плоскости 3x-2y+z-1=0 равна …
2
Сумма координат середины отрезка с концами в точках A(-3,-2,5) и A(5,2,-7) равна …
0
Сумма координат точки пересечения прямых y₁=2x+1 и y₂ =3x-2 равна …
10
Сумма элементов второй строки матрицы, обратной к матрице A = ((2, 2, 1), (1, 3, 1),
(1, 0, 0)) равна …
1
Точка x₀ называется точкой минимума функции y=f(x), если для всех точек x≠x₀ из
некоторой окрестности точки x₀ выполняется …
• неравенство f(x)<f(x₀)
• неравенство f(x)>f(x₀)
• равенство f(x)=f(x₀)
Три вектора образуют базис в пространстве тогда и только тогда, когда эти векторы
…
• не коллинеарны
• не компланарны
• компланарны
Упорядочьте дифференциальные уравнения от первого до третьего порядка:
1 y' +3 y=x2
2 y''=xy
3 y'''-3y'=0
123
Уравнение y' +2y=4 при условии y(0)=5 имеет частное решение…
• y=3e⁻²ˣ+5
• y=3e⁻²ˣ+2
• y=3e⁻²ˣ
Уравнение вида y' +p(x)y=q(x)⋅уn называется уравнением …
• Бернулли
• Пифагора
• Коши
Уравнение прямой, проходящей через точки А(5,-6) и В(-7,0), имеет вид …
• y = -0,5x-3,5
• y = -0,5x+3,5
• y = 0,4x+2,2
Условием существования двух действительных корней характеристического
уравнения дифференциального уравнения является то, что дискриминант
характеристического уравнения …
• больше нуля
• равен нулю
• меньше нуля
Установите соответствие между взаимным расположением прямых y₁=k₁ x+b₁ и y₂=k₂
x+b₂ на плоскости и условием этого расположения:
A. Прямые параллельны
B. Прямые перпендикулярны
C. Прямые совпадают
D. k₁=k₂,b₁≠b₂
E. k₁∙k₂=-1
F. k₁=k₂,b₁=b₂
A – D, B – E, C – F
Установите соответствие между действиями над матрицами A = ((1, −7), (4, 9)) и B =
((8, −4), (−5, 0)) и результатами этих действий:
A. A+B
B. A-B
C. A⋅B
D. B⋅A
E. ((9, −11), (−1, 9))
F. ((−7, −3), (−5, 0))
G. ((−7, −3), (9, 9))
H. ((−8, −92), (−5, 35))
A – E, B – F, C – G, D – H
Установите соответствие между интегралом элементарной функции и его значением:
A. ∫ eˣ dx
B. ∫ cosx dx
C. ∫ dx / sin²x
D. eˣ+C
E. sinx+C
F. -ctgx+C
A – D, B – E, C – F
Установите соответствие между линейными операциями над векторами a{a₁, a₂, a₃} и
b{b₁, b₂, b₃} и результатами этих операций:
A. a + b
B. b − a
C. kb
D. {a₁ − b₁, a₂ − b₂, a₃ − b₃}
E. {b₁ − a₁, b₂ − a₂, b₃ − a₃}
F. {kb₁, kb₂, kb₃}
A – D, B – E, C – F
Установите соответствие между общим видом дифференциального уравнения и
методом его решения:
A. f(y)dy=f(x)dx
B. f₁ (x)g(y)dx=f₂ (x)dy
C. P(x,y)dx=Q(x,y)dy
D. проинтегрировать обе части уравнения
E. разделить переменные и проинтегрировать обе части уравнения
F. применить подстановку y=ux,u=f(x)
A – D, B – E, C – F
Установите соответствие между операциями над матрицами и их характеристиками
A. Сложение матриц
B. Вычитание матриц
C. Умножение матрицы на число
D. сложение соответствующих элементов матриц
E. вычитание соответствующих элементов матриц
F. умножение всех элементов матрицы на число
A – D, B – E, C – F
Установите соответствие между понятием и соответствующей формулой:
A. Приращение функции в точке x₀
B. Дифференциал функции
C. Производная функции в точке x₀
D. Δy = f(x₀ + Δx) − f(x₀)
E. dy = f'(x)dx
F. f'(x₀) = lim Δy / Δx, Δx⟶0
A – D, B – E, C – F
Установите соответствие между правой частью нелинейного однородного
дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и
его частным решением
A. f(x)=aemx, m≠k₁≠k₂
B. f(x)= aemx, m=k₁
C. f(x)=ax²+bx+c
D. ỹ = Aemx
E. ỹ = Axemx
F. ỹ = Ax² + Bx + C
A – D, B – E, C – F
Установите соответствие между свойствами пределов и их значениями:
A. lim c, x⟶x₀
B. lim (f(x) ⋅ g(x)), x⟶x₀
C. lim (f(x) − g(x)), x⟶x₀
D. 0
E. lim f(x), x⟶x₀ ⋅ lim g(x), x⟶x₀
F. lim f(x), x⟶x₀ − lim g(x), x⟶x₀
A – D, B – E, C – F
Установите соответствие между способом задания прямой в пространстве и ее
уравнением:
A. Общее уравнение прямой
B. Точки M₁ (x₁, y₁, z₁ ) и M₂ (x₂, y₂, z₂ ) лежат на прямой
C. Известны напрявляющий вектор l(m, n, p) и точка M(x₀, y₀, z₀)
D. {A₁x + B₁y + C₁z = 0, A₂x + B₂y + C₂z = 0
E. (x − x₁) / (x₂ − x₁) = (y − y₁) / (y₂ − y₁) = (z − z₁) / (z₂ − z₁)
F. (x − x₀) / m = (y − y₀) / n = (z − z₀) / p
A – D, B – E, C – F
Установите соответствие между функцией двух переменных и ее частной
производной по переменной x:
A. z=3x²+5x-2y
B. z=x²-x+1
C. z=2x³-3x
D. zx' =6x+5
E. zx' =2x-1
F. zx' =6x-3
A – D, B – E, C – F
Функция … является нечетной
• y=cosx
• y=x^6
• y=x^5
Функции y₁=y₁ (x) и y₂=y₂ (x) называются линейно … на (a,b), если равенство
α₁y₁+α₂y₂+0 выполняется тогда и только тогда, когда хотя бы одно из чисел α₁ или α₂
отлично от нуля
зависимыми
Функция нескольких переменных является дифференцируемой, если …
• существует полное приращение функции
• функция непрерывна по одному аргументу
• существует полный дифференциал функции
Функция f(x; y) = (2x - y²) / (x² + y²) является …
• однородной
• неоднородной
• условной
Функция k=3x+5y-2z+1 является функцией …
• одной переменной
• трех переменных
• четырех переменных
Целой положительной степенью Am квадратной матрицы A называется … m матриц,
равных A
произведение
Частная производная по переменной x функции z(x;y)=5x⁴ y² равна …
• 20x³y²
• 20x²y²
• 20x²y⁴
Частная производная ∂z(x; y)/∂y функции z(x; y) = y − 3x³ + 2 равна …
• 3
• 1
• 2
Числа x и y в разложении вектора a = xe₁ + ye₂ относительно осей e₁ и e₂ называются
… вектора a
координатами
Число, равное наивысшему порядку минора матрицы, называется … матрицы
• рангом
• определителем
•
базисом
КОМПЕТЕНТНОСТНЫЙ ТЕСТ
Дан вектор a = {2, 3, 2}.
Найдите вектор x, коллинеарный вектору a и удовлетворяющий условию (x, a) = 34.
• x = {4, 3, 4}
• x = {7, 6, 7}
• x = {4, 6, 4}
Дан матричный многочлен f(A) = 3A²– 5A + 2. Нужно вычислить его значение.
Приведите метод решения.
• Найти значение A², умножить на 3, умножить матрицу А на -5, сложить
полученные матрицы, прибавить к ней матрицу с элементами главной диагонали,
равной 2.
• Найти значение A², умножить на 3, умножить матрицу А на -5, сложить элементы
полученных матриц и к данному значению добавить 2.
• Найти обратную матрицу, умножить ее на 3, умножить матрицу А на -5, сложить
элементы полученных матриц и к данному значению добавить 2.
Дан определенный интеграл ∫ (√x /(1 + √x))dx, x=0..1.
Вычислите его значение.
• √(3)π / 3 − ln2
• 1/3
• 2ln2 − 1
Дана матрица |A| = |(1, 0, 1), (2, 3, 5), (0, 4, 8)|.
Существует ли обратная матрица для данной матрицы и почему?
• Существует, так как ее определитель отличен от нуля.
• Не существует, так как ранг матрицы равен 3.
• Существует, так как данную матрицу можно транспонировать.
Дана матрица А = ((1, 0, 1), (2, 3, 5), (0, 4, 8))
Чему равен определитель данной матрицы? Будет ли он совпадать с определителем
транспонированной матрицы?
• Определитель равен 12, будет совпадать.
• Определитель равен 12, совпадать не будет.
• Определитель равен 24, будет совпадать.
• Определитель равен 24, совпадать не будет.
Дана система уравнений {x₁ + 2 ⋅ x₂ − x₃ = 1, −3 ⋅ x₁ + x₂ + 2 ⋅ x₃ = 0, x₁ + 4 ⋅ x₂ + 3 ⋅ x₃ = 2
Решая уравнение методом Гаусса, какие действия необходимо совершить?
• Записать расширенную матрицу системы; выполнить алгебраические
преобразования; получить эквивалентную систему уравнений; вычислить значение
свободных неизвестных.
• Записать расширенную матрицу системы; выполнить элементарные
преобразования; получить эквивалентную систему уравнений; совершить обратный
ход Гаусса, вычислив значения неизвестных.
• Записать расширенную матрицу системы; выполнить элементарные
преобразования; получить эквивалентную систему уравнений; вычислить значения
неизвестных путем подбора.
Дана система уравнений {x₁ + 2 ⋅ x₂ - x₃ = 1, −3 ⋅ x₁ + x₂ + 2 ⋅ x₃ = 0, x₁ + 4 ⋅ x₂ + 3 ⋅ x₃ = 2.
Сколько решений имеет эта система уравнений и почему?
• Система имеет 1 решение, так как система совместна.
• Система имеет 3 решения, так как в системе 3 неизвестных.
• Система имеет бесконечное число решений, так как система несовместна.
Дана функция f(x) = arccos(x/2 − 1).
Найдите область определения функции.
• x ∈ (0; 4).
• x ∈ [0; 4).
• x ∈ [0; 4].
Дана функция f(x) = lg(3x − 1) + 2lg(x + 1).Найдите область определения функции.
• x ∈ ( 1/3; +∞).
• x ∈ (3; +∞).
• x ∈ ( 1/4; +∞).
Дана функция z = x²siny, z''xx.
Найдите частные производные второго порядка для этой функции.
• -6x² siny.
• -3x² siny.
• -x² siny.
Дана функция: z=x²-2xy²+y³. Найдите частные производные второго порядка для
этой функции.
• -6x+7y.
• -4x+8y.
• -4x+6y.
Дана функция, заданная неявно: 2x² + 3y² = 9x.
Найдите производную данной функции
• (2x + 3y) / 9
• (9 - 4x) / 6y
• (9 - 2x) / 3
Дана функция, заданная параметрически: {x = 5t² + 3, y = t⁷ − 8.
Найдите производную первого порядка.
• y'=0,35t³.
• y'=0,7t³.
• y^'=0,7t⁵.
Дано дифференциальное уравнение: y'+2y=4x.Решите это уравнение.
• 5x-2+C⋅e⁻²ˣ.
• 4x-1+C⋅e⁻²ˣ.
• 2x-1+C⋅e⁻²ˣ.
Дано линейное дифференциальное уравнение второго порядка: y''-4y'+5y=0.
Решите это уравнение
• y = 2c₁eˣ + c₂ ⋅ xeˣ.
• y = 3c₁eˣ + 2c₂ ⋅ xeˣ.
• y = c₁eˣ + c₂ ⋅ xeˣ.
Дано линейное дифференциальное уравнение второго порядка: y''-4y'+5y=0.
Решите это уравнение.
• y = c₁e²ˣcos5x + c₂e²ˣsin5x.
• y = c₁e²ˣcos3x + c₂e²ˣsin3x.
• y = c₁e²ˣcos2x + c₂e²ˣsin2x.
Даны векторы p и a.
Найдите орт вектора p (вектор единичной длины и того же направления, что
вектор p) перпендикулярный вектору a и оси OX ⋅ pª ⊥ a = {3, 6, 8} и pª ⊥ OX.
• pª = ±(0; −0,8; 0,6}
• pª = ±(0; −0,6; 0,6}
• pª = ±(0; −0,8; 0,3}
Даны следующие матрицы: А₂ = ((1, 2), (3, 6)), В₂ = ((2, 6), (−1, 3)). Над данными
матрицами было произведено алгебраическое действие, в результате которого
получена матрица C₂ = ((3, 8), (2, 9)).
Какое алгебраическое действие было произведено?
• Умножение матрицы на матрицу
• Сложение матрицы с матрицей
• Разность матриц
Даны следующий матрицы: A₂ = ((1, 2), (3, 6)), B₂ = ((2, 6), (−1, 3)). Над данными
матрицами было произведено алгебраическое действие, в результате которого
получена матрица C₂ = ((3, 8), (2, 9)).
Какое алгебраическое действие было произведено?
• Умножение матрицы на матрицу.
• Сложение матрицы с матрицей.
• Вычитание матрицы из матрицы.
Известно, что прямая проходит через точки A(1; 1) и B(–2; 3). Найти угловой
коэффициент k данной прямой и ординату b точки ее пересечения с осью Oy.
• k = –2/3; b = –5/3.
• k = –2/6; b = –5/6.
• k = –4/6; b = –5/6.
Параллелепипед построен на векторах a = 3i + 2j − 5k, b = i − j + 4k, c = i − 3j + k.
Вычислите высоту h данного параллелепипеда, если за основание взят
параллелограмм, построенный на векторах a и b.
• h = 49√323 / 323
• h = 49√323 / 3
• h = 4√323 / 323
Плоскости π₁ и π₂ заданы уравнениями 2x − y + 3z + 5 = 0 и x / 1 + y / −2 + z / 3 = 1.
Определите угол φ между данными плоскостями.
• φ = arccos(9√14/12)
• φ = arccos(6√14/16)
• φ = arccos(3√14/14)
Прямые 15x + 36y –105 = 0 и 5x + 12y + 30 = 0 параллельны. Найдите расстояние
между данными прямыми.
• Расстояние между данными прямыми равно 9.
•
•
Расстояние между данными прямыми равно 6.
Расстояние между данными прямыми равно 5.
Фигура, образованная путем вращения вокруг оси Oх, ограничена линиями y=4xx²,y=x. Найдите объем данного тела.
• π/2
• 108π/5
• 15/2