Квадратурные формулы Ньютона - Котеса

Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
Определение.
Квадратурными
формулами
Ньютона-Котеса
называются
интерполяционные квадратурные формулы с равноотстоящими узлами.
b
n
 
(1)
ba
;
n
(2)
 
 
 f ( x)dx   Ak f xk  Rn ( f ) ,
n
k 0
a
n
где
xk   a  kh, h 
n
n
Ak
 n
n 
x  xi  


dx   lk ( x)dx    n
dx ;

 n 

n1 ( xk n  ) a ( x  xk n  )
a
a i  0 xk  xi
 i  k

1
b
n 1 ( x)
b
b
(3)
n
n 1 ( x)   ( x  xi n  ) ;
(4)
i 0
b
1
(5)
Rn ( f ) 
f ( n 1) ( ( x))  n 1 ( x)dx,  ( x)  [a, b] .

 n  1! a
Если в выражении (3) вместо переменной x ввести переменную t, положив
n
x  a  t  h (0  t  n) и ti   i (i  0,1, , n) , то можно упростить выражение для
Ak n  :
n
t  i  h
(1) n  k
lk ( x)  lk (a  t  h)  

t  i  ,

k ! (n  k )! i 0
i 0  k  i  h
n
ik
n
Ak   h  lk (a  t  h)dt  h 
n
0
(6)
ik
nk
n
(1)
 t  i dt  (b  a )  Ck n ,


k ! (n  k )! 0 i 0
n
(7)
ik
где введено обозначение
n
t  t  1  t  n 
(1)n k
n
Ck  
dt - коэффициенты Котеса.

n k !(n  k )! 0
t k
При этом формула Ньютона-Котеса примет вид:
b
n
k

n
f
(
x
)
dx

b

a
Ck  f  a  (b  a )  .



a
n

k 0
(8)
(9)
Докажем 2 предложения.
Предложение 1. Докажем, что при каждом n имеет место соотношение
симметрии между коэффициентами Котеса относительно среднего значения
n
n
индекса: Ck   Cn k .
n
t  t  1  t  n 
(1)k
Cn k 
dt .

n (n  k )!k ! 0
t nk
 n
(10)
Для доказательства введем замену переменной интегрирования t на z  n  t ,
(t  n  z; dt  dz ) .
Имеем
0
(n  z )  n  z  1  n  z  n 
(1)k
n
Cn k 
(1) 
dz 
n (n  k )!k !
nznk
n
(n  z )  n  z  1
(1) k

(1) 
n (n  k )!k !
z  k
n
0
z 
( z  n)  z   n  1 
(1) k
(1) n 
n (n  k )!k !
zk
0
n

z
dz 
dz 
(1) n  k
z ( z  1) ( z  n)

dz  Ck n  .

n k !(n  k )! 0
zk
n
Предложение 2. Докажем, что квадратурная формула Ньютона–Котеса с
нечётным числом узлов n  1 точна для многочленов степени n  1 .
Когда число узлов нечётное, то один из узлов располагается на середине
ab
с
отрезка интегрирования [a, b] , а остальные узлы лежат симметрично
2
относительно c. Рассмотрим многочлен Pn1 ( x)  ( x  c)n1 , имеющий степень n  1 .
Относительно точки c он является нечётной функцией: Pn1 (c  t )   P(c  t ), и для
b
него
 P ( x)dx  0. Ввиду же нечётности
n 1
Pn 1 ( x)
и свойства симметрии
a
коэффициентов Котеса ( Ck   Cn k ) для Pn 1 ( x) будет равна нулю и квадратурная
n
n
k
 , стоящая в правой части квадратурной
n

k 0
формулы (9), а, следовательно, для Pn 1 ( x) квадратурная формула (9) точна. И так
как интерполяционная квадратурная формула с числом узлов n+1 точна для любого
многочлена степени n, то в случае нечетного числа узлов она будет точной и для
любых многочленов степени n  1 , поскольку любой многочлен Qn 1 ( x) степени
n  1 можно представить линейной комбинацией нашего многочлена Pn 1 ( x) и
сумма
 b  a   Ck n Pn1  a  (b  a)
n
некоторого другого многочлена Qn ( x) степени n: Qn1 ( x)   Pn1 ( x)   Qn ( x) . В
качестве примера может служить формула Симпсона (формула парабол) с тремя
узлами, которая является точной для кубических многочленов.
В приводимой ниже таблице значения коэффициентов Котеса задаются для
ряда значений n вплоть до n=10. Поскольку при каждом n имеет место
n
n
соотношение симметрии Ck   Cn k , то в таблицу включены только коэффициенты
n
с индексом k  .
2
Таблица квадратурных коэффициентов
n
C0
0
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
1
6
1
8
7
90
19
288
41
840
751
17280
989
28350
2857
89600
16067
598752
C1
4
6
3
8
32
90
75
288
216
840
3577
17280
5888
28350
15741
89600
106300
598752
C2
C3
C4
C5
Формула
прямоугольников
Формула
трапеций
Формула
Симпсона
Формула трех
восьмых
12
90
50
288
27
840
1323
17280
928

28350
1080
89600
48525

598752
Формула Боде
272
840
2989
17280
10496
28350
19344
89600
272400
598752
4540
28350
5778
89600
260550

598752

427368
598752
Можно заметить, что для значений n  8 и n  10 среди коэффициентов Ck 
появляются отрицательные коэффициенты. Как известно, это неблагоприятно
сказывается на устойчивости квадратурной формулы к ошибкам в исходных
данных. Исследования показывают, что при любом n  10 наряду с
положительными коэффициентами будут иметь место отрицательные
коэффициенты. Поэтому на практике формулами Ньтона–Котеса пользуются с
числом узлов n  1  8 .
n