ПРОЕКТИРОВАНИЕ И КОНСТРУИРОВАНИЕ СОЕДИНЕНИЙ ДЕТАЛЕЙ ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ
Харьковский авиационный институт им. Н.Е.Жуковского
Я.С. Карпов, С.П. Кривенда, В.И. Рябков
ПРОЕКТИРОВАНИЕ И КОНСТРУИРОВАНИЕ СОЕДИНЕНИЙ
ДЕТАЛЕЙ ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
Учебное пособие по курсовому и дипломному проектированию
Харьков ХАИ 1997
2
УДК 629.735
Проектирование и конструирование соединений деталей из композиционных материалов / Я . С. Карпов, С.П. Кривенда., В.И. Рябков. Учеб. пособие по курсовому и дипломному проектированию. - Харьков: Харьк. авиац. ин-т, 1997. - 200 с.
Приведены
методики
определения
напряженнодеформированного состояния болтовых (заклепочных), резьбовых,
штифтоболтовых, адгезионных (клеевых) и комбинированных (клеештифтовых) соединений деталей из композиционных материалов
(КМ) при внешнем силовом и температурном нагружении. Описаны
рациональные конструктивно-технологические решения соединений
деталей и приведены все необходимые физико-механические характеристики КМ для их расчета на прочность. Рассмотрены также
методики проектирования перечисленных выше способов соединения деталей с учетом конструктивных и технологических ограничений.
Для студентов специальностей 7.100101, 7.100102, 7.100110,
выполняющих курсовые и дипломные проекты, а также для соискателей и аспирантов.
Ил. 66. Табл. 13. Библиогр.: 61 назв.
Рецензенты:
д-р техн. наук, проф. С.А. Бычков,
канд. техн. наук, доц. А.Г. Валько
 Харьковский авиационный институт, 1997
3
Введение
Повышение экономической эффективности является критерием целесообразности разработки и производства новых видов техники. В связи с этим частные и государственные фирмы и организации развитых стран систематически проводят прогностические исследования по выявлению перспективных тенденций и направлений
развития отдельных отраслей техники.
Согласно выводам таких известных мировых научных центров,
как ЦАГИ им. профессора Н.Е. Жуковского и NASA, основными направлениями повышения эффективности пассажирских самолетов
являются:
- совершенствование их аэродинамических характеристик;
- снижение удельного расхода топлива и массы двигателей;
- применение композиционных материалов (КМ) в основных
агрегатах самолета.
Прямо или косвенно решение этих трех групп проблем направлено на снижение массы несущей конструкции и повышение
доли полезной нагрузки. Ни в одной отрасли техники издержки на
эксплуатацию массы конструкции не являются столь существенными , как в авиации и космонавтике. Каждый дополнительный килограмм массы пассажирских самолетов увеличивает расходы на
450...650 долларов США в год на каждую машину (в ценах до 1990
года), а вывод на околоземную орбиту одного килограмма полезной
нагрузки обходится согласно различным зарубежным данным в
5...10 тыс. долларов США. В связи с тем, что механические свойства металлов и их сплавов практически достигли своих предельных
значений, внимание конструкторов направлено на применение новых высокопрочных и высокомодульных КМ, которые по удельным
прочностным и жесткостным характеристикам значительно превосходят традиционные материалы.
Вместе с тем КМ - это дорогостоящие материалы. Их стоимость в сотни раз больше, чем высококачественных металлических сплавов, поэтому их применение в настоящее время оправдано
в отраслях техники с высокими издержками эксплуатации массы, какими являются авиа- и ракетостроение, а также некоторые виды
спортивного инвентаря.
Более чем тридцатилетний опыт использования КМ в конст-
4
рукциях летательных аппаратов (ЛА) показал, что снижение массы
соответствует их потенциальным возможностям в агрегатах простых геометрических форм (стержни, оболочки и т.п.) при постоянных и равномерно распределенных нагрузках (баллоны давления,
корпуса ракетного двигателя твердого топлива (РДТТ), топливные баки и др.).
Основные агрегаты самолета (крыло, фюзеляж, оперение)
характеризуются сложным нагружением в пространстве и во времени, в связи с чем возникают трудноразрешимые задачи организации
оптимальных траекторий армирования КМ, которые приспособлены
в основном для восприятия детерминированных нагрузок. Особые
трудности возникают при необходимости изменения направления
силовых потоков и передачи сосредоточенных нагрузок, т.е. в местах сильных нерегулярностей как конструкции, так и внешних воздействий. Это связано с такими специфическими особенностями
КМ, как низкая сдвиговая жесткость однонаправленных структур (до
6 ГПа), незначительная межслоевая прочность (около 50 МПа), невозможность непрерывного изменения траекторий волокон.
Авиационные конструкции отличаются, кроме того, большим
количеством функциональных, эксплуатационных и технологических
стыков и соединений, которые являются, с одной стороны, источниками нерегулярностей, а с другой - требуют некоторых специальных свойств мест сочленения деталей (микротвердость, износостойкость и др.), которыми не обладают полимерные КМ. Этим
объясняются многочисленные прогнозы объема применения КМ в
самолетах не более чем до 75 %.
Стыки и соединения увеличивают массу конструкции примерно
на 20 % и ответственны за 80 % случаев разрушения, что свидетельствует о важности исследований в этом направлении. По своей
природе КМ наиболее приспособлены для склейки, но клеевыми соединениями можно передавать погонные усилия до 1,5 кН/мм при
толщине деталей до 2 мм. Такими же характеристиками обладает
сварка термопластичных КМ. Прочность механических соединений
деталей из КМ в 2...3 раза меньше, чем металлических при прочих
равных условиях, что приводит к снижению эффективности применения дорогостоящих КМ.
В таблице обобщены данные о нагрузках и толщинах соединяемых деталей, а также отражено состояние разработки конструк-
5
тивно-технологических решений (КТР) соединений.
Соединяемые элементы
Днище и корпус РДТТ
Тяги, подкосы и наконечники
Гладкие обшивки крыла
Вафельные панели крыла
Полка и узел стыковки лонжерона
Корпусные детали автомобилей
Рамы грузовых автомобилей
Мачта крейсерской яхты и
шпангоуты
Толщина,
мм
10...20
1...3
2...4
3...6
8...30
Погонные
усилия,
кН/мм
Состояние
разработки
1...4
1...2
1.5...2.5
2...4
4...32
+
+
+
---
1...3
до 0.5
+
3...6
до 4
до 1.2
до 1.8
+
+
Анализ приведенных данных показывает, что:
- соединения в конструкциях ЛА более нагружены, чем в агрегатах общего машиностроения и спортивном инвентаре;
- практически отсутствуют КТР соединений высоконагруженных агрегатов самолета (единственным хорошо отработанным является штифтоболтовое соединение днища и корпуса РДТТ, но оно
неприменимо для обшивок крыла и полок лонжерона);
- клеевые соединения применимы для ограниченного ряда деталей ЛА;
- отсутствуют КТР для соединения агрегатов, обеспечивающих
функционирование самолета в целом (узлов стыковки крыла, крепления шасси и др.).
Таким образом, внедрение КМ в основные несущие элементы
самолетов связано в первую очередь с необходимостью разработки
КТР разъемных и неразъемных соединений, передающих большие
погонные усилия (свыше 5 кН/мм) с деталей средней и большой
толщины (более 5 мм).
6
1. ПРИНЦИПЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ СОЕДИНЕНИЙ
В СИСТЕМЕ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
Повышение производительности труда, качества продукции и
эффективности использования трудовых и материальных ресурсов
в значительной степени зависит от широты кооперации и глубины
специализации производства, особенно для крупногабаритных и
сложных технических объектов, к которым относятся ЛА. Широкое
использование КМ, позволяющее существенно увеличивать габариты агрегатов, не снижает значимость проблемы технологического
членения ЛА. Это связано, с одной стороны, с размерами оборудования (автоклавов, термопечей, намоточных станков и др.), а с
другой - с многообразием технологических процессов, полуфабрикатов и компонентов КМ.
Возможность членения конструкции и расцеховки изготовления деталей и агрегатов обеспечивается наличием надежных и
технологичных соединений, которые условно можно разделить на
внутри- и межагрегатные. Основной концепцией производства агрегатов из КМ является совмещение операций формования деталей
и сборки конструкции путем приформовки и склеивания, для чего
разработан комплекс КТР по предварительному формообразованию недозаполимеризованных полуфабрикатов и связей между
ними. При таком подходе можно изготовить достаточно сложные агрегаты высокой степени готовности с габаритами, определяемыми
технологической оснасткой и оборудованием. Вместе с тем, в реальном серийном производстве остается ряд сборочных операций,
связанных с прокладкой систем (электрических, гидравлических и
др.), недостаточной прочностью клеевых соединений, эксплуатационными и др. аспектами, поэтому вопросам соединения частей агрегатов из КМ уделяется большое внимание.
1.1. Классификация соединений деталей из КМ
Все искусственные и естественные конструкции существуют
благодаря наличию функциональных связей между их элементами,
которые реализуются в виде соединений. Многообразие создаваемого человеком материального мира, необозримое количество машин и механизмов, постоянно расширяющиеся функциональные
возможности конструкций, а также разработка и внедрение новых
перспективных материалов не позволяют даже в первом приближении составить систематизированный обзор всех КТР соединений
деталей.
В общем плане соединения выполняют две основные функ-
7
ции: фиксируют взаимное положение элементов (деталей) системы
и определяют характер их взаимодействия. Исходя из этого, все
соединения можно разделить на два класса:
- подвижные, обеспечивающие заданный характер перемещения одной детали относительно другой и характеризуемые видом
допускаемых взаимных перемещений и числом степеней свободы;
- неподвижные, фиксирующие неизменное положение одних
деталей относительно других и предназначенные для передачи и
распределения внешних и внутренних нагрузок между элементами
конструкции.
В зависимости от предъявляемых к механизму или машине
эксплуатационных требований все соединения подразделяются
на два класса:
- разъемные, допускающие многократную сборку - разборку
агрегата;
- неразъемные, характеризующиеся невозможностью разборки
конструкции без разрушения деталей или связей между ними.
Указанные классификации деталей являются всеобъемлющими и наиболее часто встречаются и описываются в многочисленной справочной, научной и учебной литературе. Основным недостатком этих классификаций соединений является их констатирующий характер и поэтому на их основе невозможно без дополнительных сведений или требований прогнозировать конкретное конструктивное оформление соединения, тем более, что подвижные и неподвижные соединения могут быть как разъемными, так и неразъемными. В связи с этим в литературе приводятся на той или иной
основе систематизированные описания применяемых конструктивных решений.
Всем проектируемым объектам присуща некоторая совокупность конструктивных, технологических, эксплуатационных и других
признаков. В зависимости от уровня и направленности анализа
один и тот же объект может характеризоваться различными признаками или их совокупностью, определение и формулировка которых
является задачей классификации.
Основными требованиями, предъявляемыми к классификациям конструкций, являются:
- общность охвата существующих и потенциальных КТР,
- непрерывность или возможность монотонного (не скачкообразного) перерастания одного класса в другой,
- возможность прогнозирования тенденций развития объектов
и улучшения их характеристик,
- возможность сравнительной оценки эффективности классов,
8
- возможность оценки качества КТР,
- образность и информативность описания КТР,
- возможность предопределения расчетных схем и математических моделей.
Важнейшая роль в удовлетворении этих требований принадлежит
принципу классификации. В настоящее время наибольшее распространение получили классификационные схемы, приведенные в табл. 1.1,
где не указаны комбинированные способы соединений, так как они не
обладают независимыми отличительными признаками, чаще всего это
два наложенных способа, например, клеесварное соединение. Анализ
существующих классификаций показывает, что ни одна из них не ставит целью определение (оценку) эффективности способов соединения
и не дает возможности выбрать лучшую конструкцию. Практическая полезность приведенных схем обусловлена важными, но в то же время
частными аспектами технологии сборки агрегатов, эксплуатации, расчета на прочность и др. На этапе конструкторско-технологической отработки предварительно выбранного класса соединений указанные классификационные принципы позволяют достаточно оперативно выбрать
рациональное решение.
Комплекс положительных свойств любой классификации определяется полнотой удовлетворения предъявляемых требований.
Анализ систематизированных в табл. 1.1 классификаций показывает, что всей совокупности требований не отвечает ни одна схема.
Это связано, во-первых, с тем, что они носят констатирующий (описательный) характер, а во-вторых, в их основу положены принципы,
не отражающие основную функцию соединения - передачу нагрузок
с одной детали на другую.
Оптимальной является конструкция, в которой отсутствуют соединения, но множество объективных причин не позволяют реализовывать цельные агрегаты. Вследствие этого естественно стремление
снизить до минимума зависимость надежности функционирования ЛА
от соединений, а также дополнительную массу, вносимую ими в конструкцию. Таким образом, имеется потребность в таких КТР соединений,
передача нагрузок через которые вносила бы минимальные возмущения в силовых полях регулярной конструкции. Так как поле напряжений
в детали распределено по всему ее объему, то и передача (съем) усилий должна осуществляться также со всего объема. Применительно к
конструктивным элементам это означает, что в соединении с каждой
точки поперечного сечения одной детали нагрузка передается на каждую точку сечения другой детали, причем таким образом, чтобы отсутствовали деформации поля напряжений в зоне перехода. Этому положению в полной мере отвечает сварка встык.
9
Таблица 1.1
Существующие классификации соединений
Принцип
классификации
Технологический (по
физическим
основам
процесса
соединения)
Наименование
классов
соединений
Механические
Виды соединений ( конструктивнотехнологические
признаки )
Болтовые, винтовые, заклепочные, штифтовые
Резьбовые
Фланцевые
Заклинивающиеся и др.
Сварные
Встык
Внахлестку
С накладками
Угловые
Тавровые и
др.
Встык
Внахлестку
С накладками
Врезные и др.
Клеевые
Паяные
Встык
Внахлестку
Угловые и др.
Отличительная особенность классов
соединений
Наличие дискретных крепежных элементов (болтов, заклепок,
осей и др.)
Местное оплавление
соединяемых деталей
Наличие
клеящего вещества между
поверхностями
соединяемых
деталей
Наличие вспомогательного
присадочного
материала
(припоя), обладающего
адгезией к
материалам
деталей
Практическая
значимость
принципа
классификации
Однозначное определение комплекса операций, инструмента ,
технологических процессов и
оборудования для соединения
10
Принцип
классификации
Наименование классов
соединений
Эксплуата- Разъемные
ционный
Неразъемные
Подвижные
Неподвижные
Вид соединительных
элементов
Сплошные
Дискретные
(соединение
силовыми
точками)
Виды соединений ( конструктивнотехнологические признаки
)
Болтовые ,
винтовые
Штифтовые
Резьбовые
Фланцевые и
др.
Окончание табл. 1.1
ОтличительПрактическая
ная особензначимость
ность классов
принципа
соединений классификации
Возможность
разборки конструкции без
нарушения
целостности
деталей
Невозможность разборки
конструкции
без нарушения
целостности
деталей
“Ухо-вилка”
Возможность
Шпоночные и относительнодр.
го перемещения соединяемых деталей
Болтовые ,
Невозможвинтовые
ность относиШтифтовые
тельного перемещения
Резьбовые
Фланцевые и соединяемых
др.
деталей
Клеевые
Наличие неСварные
прерывного
Паяные и
соединидр.
тельного
элемента
Возможность
однозначного
учета требований эксплуатации и
сборки при
проектировании конструкции
Заклепочные
Сварные
Клеевые и
др.
Болтовые,
штифтовые,
заклепочные
Точечная
сварка
Фланцевые
Наличие дискретных силовых точек ( соединительных
элементов )
Возможность
унификации
расчетных
схем и математических
моделей соединений
11
Из сказанного следует, что в основу классификации соединений целесообразно положить принцип геометрии дислокации связей
или геометрии организации силовых потоков, на базе которого разработана классификация соединений (табл. 1.2). Последний класс
соединений в табл. 1.2 назван объемным, потому что, хотя передача нагрузок осуществляется по поверхности поперечного сечения,
он обеспечивает в полной мере однородность силового поля по
всему объему деталей.
Таблица 1.2
Классификация соединений
Принцип
классификации
Геометрия организации
силовых
потоков
(геометрия дислокации
связей)
Виды соединеНаименование
ний ( конструктивноклассов
соедине- технологические
признаки)
ний
Точечные Болтовые, заклепочные и др.
Сварные точечные
Фланцевые и др.
Линейные Роликовая сварка
Сварка поперечными или продольными швами и др.
Поверхно- Клеевые внастные
хлестку
Сварные
Заклинивающиеся и др.
ОбъемСварка встык
ные
Склейка встык и
др.
Отличительная особенность классов
Практическая
значимость
классификации
Передача
усилий через
силовые точки
Общность и непрерывность
классификации,
возможность
прогнозирования
путей совершенствования, возможность сравнительной оценки эффективности классов соединений, образность
описания и др.
Передача
усилий через силовые
линии
Передача
усилий через боковые
поверхности
деталей
Съем и передача усилий осуществляется со
всех точек
поперечного
сечения
12
В табл. 1.2 так же, как и в табл. 1.1, не указаны классы комбинированных соединений, которые здесь тоже допустимы, например, точечно-поверхностное, соответствующее клеезаклепочному
или клеесварному.
1.2. Оценка эффективности способов соединения
деталей
На этапе выбора КТР важно иметь критерий, который позволял бы оценивать эффективность принципиальной схемы соединений, например, сварного или заклепочного. В настоящее время качество КТР соединения оценивается по трем критериям:
- величине затрат на разработку, реализацию и эксплуатацию;
- величине дополнительной массы, вносимой соединением в
конструкцию ЛА;
- коэффициенту работоспособности, определяемому как отношение несущих способностей (в широком смысле) соединения и
детали на регулярном участке.
Применение первого критерия на этапе конструкторско-технологической отработки затруднительно из-за отсутствия опыта эксплуатации, сложности учета изменяющихся стоимостных факторов
и др. Для многих способов соединения металлических деталей накоплен большой фактический материал, который позволяет удовлетворительно прогнозировать экономические аспекты их применения. Этого нельзя сказать об агрегатах из КМ, внедрение которых
только разворачивается.
Критерий минимума дополнительной массы позволяет на любом этапе работ количественно оценить качество КТР соединения,
а учитывая имеющиеся значения затрат на эксплуатацию лишней
массы в конструкции самолетов, можно достаточно оперативно
оценить потенциальные экономические последствия.
Относительно коэффициента работоспособности соединений
следует сказать, что детали можно соединить любым способом так,
чтобы этот коэффициент был больше или равен единице (за счет
усиления, утолщения и др.), т.е. для оценки качества способа соединения этот критерий практически неприемлем. Однако при
рассмотрении соединения деталей без каких-либо изменений их
формы и размеров коэффициент работоспособности может стать
количественной характеристикой эффективности способа соединения. В этом случае величина дополнительной массы будет обратно
пропорциональна начальному коэффициенту работоспособности.
Введение понятия начального коэффициента работоспособности представляется целесообразным именно для сравнительной
13
оценки несущей способности способа соединения, так как, вопервых, он является непосредственным результатом общего проектирования и содержит максимум объективной информации (размеры и форма соединяемых деталей, нагрузки и т.п.), в то время как
дополнительная масса отражает некоторые субъективные и традиционные факторы, а во-вторых, появляется возможность составить
таблицу количественной оценки эффективности соединений независимо от их конструктивно-технологического вида в изделии. Кроме того, величина начального коэффициента работоспособности
зависит в основном от коэффициента концентрации напряжений,
для расчета которых существуют многочисленные теоретические и
экспериментальные исследования.
Из табл. 1.1 видно, что ни одна классификация не позволяет
поставить в соответствие способу соединения его начальный коэффициент работоспособности, не говоря о дополнительной массе.
Это возможно для предложенной в табл. 1.2 классификации. Введем в рассмотрение следующие коэффициенты:
- k1 - коэффициент концентрации напряжений у силовой точки
при допущении о постоянстве напряжений по толщине детали;
- k 2 - коэффициент концентрации напряжений у силовой точки, являющийся следствием неравномерности распределения напряжений по толщине соединяемых деталей;
- k 3 - коэффициент концентрации усилий по длине или многорядного точечного, или линейного продольного, или поверхностного
соединения.
В табл. 1.3 приведены выражения для оценки начальных коэффициентов работоспособности классов соединений (см. табл.
1.2). С учетом этого зависимость дополнительной массы, вносимой
соединением, от способа может быть представлена в виде
Gg = B + A k,
(1.1)
где
A - коэффициент пропорциональности;
k - начальный коэффициент работоспособности класса соеди-
нений, определяемый по табл. 1.3;
B - коэффициент, зависящий от вида крепежных элементов.
При определении k следует принять необходимые конструктивные
и технологические меры для его снижения, например, скашивание
кромок склеиваемых деталей, уменьшение диаметра заклепок и др.
14
Таблица 1.3
Начальные коэффициенты работоспособности соединений
Коэффициент
работоспособноКласс соединения
сти,
Точечное однорядное
Точечное многорядное
Линейное поперечное однорядное
Линейное поперечное многорядное
Линейное продольное
Поверхностное
Объемное
k
(k1 k2)-1
(k1 k2 k3)-1
(k2)-1
(k1 k2)-1
(k2 k3)-1
(k2 k3)-1
1
Предложенная классификация позволяет оперативно оценивать эффективность КТР соединений, так как интервалы изменения
величин k1, k 2 и k 3 известны практически для всех видов крепежных элементов, технологических процессов их установки, физических основ реализации силовых связей и т.п.
Известно, что с уменьшением диаметра силовой точки в пластинах из КМ снижается коэффициент k1, т.е. для повышения эффективности точечных соединений необходимо увеличивать их количество при сохранении заданной суммарной площади поперечных сечений и таким образом перейти к линейным соединениям,
которые при прочих равных условиях более целесообразны. (Здесь
не затрагиваются стоимостные аспекты проблемы, которые зависят
от технологии реализации соединений и возможностей оборудования). Для снижения коэффициента k 2 необходимо увеличивать количество силовых линий, т.е. реализовать поверхностные соединения. Увеличение количества силовых поверхностей снижает коэффициент k 3 и в пределе приводит к объемным соединениям, являющимся наиболее эффективными. На рис. 1.1 показан характер
изменения коэффициента работоспособности по классам соединений, из которого видно, что предложенная классификация:
- обладает непрерывностью и общностью охвата существующих и потенциальных КТР,
- четко указывает на основные пути совершенствования соединений,
- обладает образностью описания и достаточной информативностью,
15
- представляется достаточно приспособленной к унификации расчетных схем и математических моделей.
Рис.1.1
На этапе проектирования конструкций важное значение имеет оценка величины вносимой дополнительной массы, которая, будучи пропорциональной коэффициенту работоспособности, существенно зависит от вида крепежных элементов, т.е. новая классификация не отвечает на вопрос, какой тип силовых точек, например,
более предпочтителен. Выбор конкретного вида реализации данной
дислокации силовых связей на этапе проектирования является частной задачей и решается в соответствии с имеющимися опытом и
традициями, наличием и возможностями технологического оборудования, особенностями и требованиями эксплуатации и другими
факторами.
В настоящее время трудно представить конструкцию разборного поверхностного или объемного соединения, но это не исключает возможности их реализации в будущем на основе новых физических принципов.
Для деталей из КМ в силу ряда известных их особенностей
вопросы соединений и сборки агрегатов имеют особое значение.
Необходимость максимальной реализации высоких прочностных
свойств КМ вдоль волокон неизбежно вступает в противоречие с
большими значениями коэффициента концентрации напряжений у
отверстий, а низкий модуль межслойного сдвига - с коэффициентом концентрации напряжений по толщине и т.д. Таким образом,
16
наиболее рациональными КТР для деталей из КМ должны стать
объемные соединения.
1.3. Принципы конструирования соединений деталей из КМ
Как свидетельствует многолетняя статистика, надежность
функционирования ЛА в основном определяется качеством соединений и стыков, поэтому проблема рациональной организации связей всегда занимает особое место в процессе создания конструкций.
Главными требованиями, которым должны удовлетворять соединения, являются:
- минимум массы, вносимой ими в конструкцию;
- достаточная надежность работы (не ниже, чем у соединяемых деталей);
- возможность реализации в ограниченном объеме пространства;
- технологическая надежность или максимальное исключение влияния субъективных и объективных факторов на качество
стыка;
- контролируемость качества на всех этапах изготовления и
эксплуатации аппарата.
Кроме этого, в конструкциях стыков и соединений должен найти отражение ряд специальных технологических и эксплуатационных требований: разъемность, подвижность, возможность сборки на
традиционном оборудовании и др.
Как указывалось выше, самыми эффективными являются
объемные соединения деталей из КМ. Рассмотрим возможность их
реализации на примере склеивания встык.
Общая нагрузка распределяется между компонентами КМ
(матрицей и волокнами) пропорционально их жесткостям. Так как
практически невозможно соединять отдельно волокна и связующее
стыкуемых деталей, то для обеспечения недеформируемости регулярного поля напряжений очевидно, что соединение должно передавать напряжения, действующие в волокне, а не их средние значения по сечению детали. Это важное положение, потому что проектирование соединения по средним напряжениям обеспечивает
только интегральную однородность силового поля.
На базе выявленных тенденций развития и путей совершенствования соединений, а также учета необходимости перехода от КМ
к металлическим фитингам функционального стыка синтезированы
следующие принципы конструирования соединений:
1. Сохранение целостности арматуры КМ при формировании
17
металлокомпозитных гетерогенных структур и установке крепежных
элементов.
Критериями полноты реализации этого положения являются
∂
∑ fв = 0;
∂x
∂ ϕв
→ 0;
∂x
x ∈ [ 0,L],
(1.2)
где ∑ fв - суммарная площадь волокон, ϕ в - угол армирования,
x - направление доминирующего усилия, L - длина переходного соединения.
2. Обеспечение съема (передачи) усилий с минимально возможного объема КМ (в пределе - с каждой нити или волокна) в направлении армирования.
Математическая запись этого принципа отражает минимальное возмущение регулярного поля напряжений и имеет вид
где
∂ σx
∂ σx
→ 0;
→ 0; x ∈ [ 0,L]; y ∈ [ 0, δ ]; z ∈ [ 0,B], (1.3)
∂y
∂z
δ, B - толщина и ширина соединения,
σ x - преобладающие напряжения.
3. Миниатюризация крепежных элементов и обеспечение воспроизводимости требуемого качества их установки в серийном производстве.
Математически этот принцип имеет вид
dкэ − da → 0; dотв − dкэ = const;
∂
(dотв − dкэ ) = 0; i = 1Kn, (1.4)
∂τ
где dкэ , dотв - диаметры крепежного элемента и отверстия для его
установки, da - поперечный размер арматуры КМ, τ - временная
координата, n - количество крепежных элементов.
4. Интегрирование металлокомпозитных гетерогенных структур в конструкцию из КМ при ее формировании.
Полнота осуществления принципа оценивается зависимостью
τ мкгс ∈ 0, τ аг р ,
(1.5)
[
где
]
τ мкгс , τ аг р - время изготовления структуры и агрегата.
Сформулированные принципы конструирования и критерии
полноты их реализации являются научной основой создания нового
класса КТР соединений авиаконструкций из КМ.
18
2. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ, ПРОЕКТИРОВАНИЕ
И КОНСТРУКТИВНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
СОЕДИНЕНИЙ
2.1. Механические точечные соединения деталей
Основным и самым распространенным видом разъемных
силовых сочленений деталей являются болтовые и винтовые соединения (рис. 2.1, а). В конструкциях ЛА, а также в судостроении
и других областях машиностроения, где сильно развито агрегатирование и специализация, широко применяются заклепочные соединения (рис. 2.1, б).
Рис. 2.1
Болтовые, винтовые и заклепочные соединения относятся согласно приведенной выше классификации к точечным, так как передача усилий с одной детали на другую реализуется через силовые
точки, поэтому для определения напряжений в соединяемых деталях
и соединительных элементах используют дискретные расчетные
схемы.
2.1.1. Напряженно-деформированное состояние
точечных соединений
Рассмотрим многорядное механическое соединение с разным
количеством и геометрическими параметрами крепежных элементов
в рядах (рис. 2.2). Толщина соединяемых деталей может изменяться
по длине монотонно или ступенчато.
19
Рис. 2.2
Пусть к торцам деталей на границах соединения приложены погонные нагрузки N1x0 , N2 x0 , N1xn , N2 xn (рис. 2.2, а) и соединение эксплуатируется при температуре, отличающейся от условий сборки.
Путем подбора их направления и величин можно синтезировать
20
различные конструктивно-силовые схемы. Примем, что в каждом ряду
расположено mi крепежных элементов с равным шагом, т. е.
t yi =
B
,
mi
(2.1)
где B - ширина соединения.
На этапе проектирования принимается, что нормальные напряжения в деталях распределены равномерно по толщине:
σ1xi =
N1xi
,
δ1i
σ 2 xi =
N2 xi
.
δ 2i
(2.2)
Запишем уравнения равновесия сил на ось X для части соединения, включающей в себя ряды крепежных элементов с 1-го по i-й
(рис. 2.2, в):
N1xi + N2 xi = N1x0 + N2 x0 = N1xn + N2 xn , i = 1K(n − 1). (2.3)
Рассмотрим равновесие аналогичной части первой детали
(рис. 2.2, д):
i
BN1xi + ∑ Q xk = N1x0B,
i = 1K n,
(2.4)
k =1
где Q xk - сила, передаваемая k-м рядом силовых точек.
Таким образом, имеем (2n − 1) уравнений равновесия, которых
недостаточно для определения
[2(n − 1) + n] неизвестных усилий
N1xi , N2 xi , Q xi , т.е. задача является (n − 1) раз неопределимой. Для
получения недостающих уравнений составим уравнения совместности деформаций i-го участка соединения (рис. 2.2, г):
1
Q xiП3 xi + t xi N2xiП2xi + α *2 xi ∆T2 =
mi
(
)
(2.5)
1
=
Q x,i +1П3 x,i +1 + t xi N1xiП1xi + α1*xi ∆T1 ; i = 1K(n − 1),
mi +1
где П3 xi - податливость одного крепежного элемента i-го ряда, оп-
(
)
ределяемая экспериментально или теоретически;
П1xi, П2 xi - податливости соединяемых деталей;
α1*xi, α 2* xi - средние коэффициенты линейного температурного
расширения материалов деталей;
∆T1, ∆T2 - разность температур эксплуатации и сборки соединения.
21
Податливости деталей П1xi и П2 xi равны средней деформации
в промежутке между двумя соседними рядами крепежа при единичной нагрузке и определяются в общем случае по формулам
1 xi+1 dx
1 xi+1 dx
П1xi =
; П2 xi =
,
∫
∫
t xi xi δ 2iE2 xi
t xi xi δ1iE1xi
(2.6)
где E1xi , E2 xi - модули упругости деталей по оси X .
При постоянных толщине и модуле упругости деталей формулы
(2.6) упрощаются к виду
П1xi =
1
;
δ1iE1xi
П2 xi =
1
.
δ 2iE2 xi
(2.7)
Для конструкций с линейно изменяющейся толщиной между
рядами и с постоянным модулем упругости выражения (2.6) записываются так:
П1xi =
П2 xi =
1
E1xi ( δ 1,i+ 1 − δ 1i )
ln
1
E 2 xi ( δ 2,i + 1 − δ 2 i )
δ 1,i + 1
;
δ 1i
ln
δ 2 ,i + 1
,
δ 2i
(2.8)
где δ 1i , δ 2i , E1xi , E2 xi - значения толщин деталей и модулей упругости
в сечении, проходящего через i-й ряд соединительных элементов.
При ступенчато изменяющихся толщинах и модулях упругости
из формул (2.6) получим
П1xi =
П2 xi =

1  t нxi
t −t
+ xi нxi  ;

t xi  δ 1iE1xi δ 1,i + 1E1x,i + 1 

1  t нxi
t −t

+ xi нxi  ,
t xi  δ 2iE2 xi δ 2,i + 1E2 x,i + 1 
(2.9)
где tнxi - координата ступеньки, отсчитываемая от i-го ряда.
Для деталей из КМ коэффициенты линейного температурного
расширения могут быть переменными по длине соединения, поэтому
в уравнения совместности деформаций (2.5) входят их средние значения, которые в общем случае вычисляются по формулам
α1*xi =
1 xi + 1
∫ α1xidx;
t xi xi
α *2 xi =
1 xi+1
∫ α 2 xidx,
t xi xi
(2.10)
где α1xi , α 2 xi - коэффициенты линейного температурного расширения КМ в произвольной точке.
22
Для рассмотренных выше случаев изменения толщины деталей
выражения (2.10) упрощаются и приводятся к виду, подобному формулам (2.7) - (2.9).
Выразим из уравнений (2.4) усилия N1xi через Q xi
1 i
N1xi = N1x 0 − ∑ Q xk .
B k =1
(2.11)
С помощью уравнений (2.3) и (2.11) усилия N2 xi также можно
представить через усилия Q xk
1 i
N2 xi = N1x0 + N2 x 0 − N1xi = ∑ Q xk + N2 x 0 .
B k =1
(2.12)
После подстановки выражений (2.11) и (2.12) в систему уравнений (2.5) в развернутом виде получим
П t
П t
П 
П
Q x1  1x1 x1 + 2 x1 x1 + 3 x1  − Q x 2 3 x 2 =
B
m1 
m2
 B
(
)
= t x1 N1x 0 П1x1 − N 2 x 0 П2 x1 + α 1* x1∆ T1 − α 2* x1∆ T2 ;
П t

П t 
П t
П
П t
Q x1  1x 2 x 2 + 2 x 2 x 2  + Q x 2  1x 2 x 2 + 2 x 2 x 2 + 3 x 2  −
 B

B
B
m2 
 B
− Q x3
П3 x 3
= t x 2 N1x 0 П1x 2 − N 2 x 0 П2 x 2 + α 1* x 2 ∆ T1 − α *2 x 2 ∆ T2 ;
m3
(
)
M
M
M
i−1
П t
t xi
П t
П 
П1xi + П2 xi ) ∑ Q xk +Q xi  1xi xi + 2 xi xi + 3 xi  −
(
B
B
mi 
 B
k =1
− Q x,i + 1
П3 x,i + 1
m i +1
(
)
= t xi N1x 0 П1xi − N 2 x 0 П2 xi + α 1* xi ∆ T1 − α *2 xi ∆ T2 ;
M
t x,n − 1
B
(2.13)
M
M
n−2
 П1x,n − 1t x,n − 1
П
П
Q
Q
+
+
+
∑
( 1x,n − 1 2 x,n − 1 ) xk x,n − 1
B
k =1
+
(
П2 x,n − 1t x,n − 1
B
+
П3 x,n − 1 
П
 − Q xn 3 xn =
mn −1 
mn
)
= t x,n − 1 N1x 0 П1x,n − 1 − N 2 x 0 П2 x,n − 1 + α 1* x,n − 1∆ T1 − α 2* x,n − 1∆ T2 .
Здесь недостающим уравнением служит последнее из системы
(2.4)
23
n
∑ Q xk = B(N1x0 − N1xn ).
(2.14)
k =1
Полную систему уравнений для определения сил Q xj запишем
в виде
i, j = 1K n,
aijQ xj = bi;
(2.15)
где коэффициенты aij и bi вычисляются по формулам
 t xj
j = 1K(i − 1),
 B П2 xj + П2 xj ;

П3 xj
 t xj
;
j = i,
П
+
П
+
2 xj
 B 2 xj
m
j
aij = 
 П3 xj
;
j = i + 1,
−
m

j

j = (i + 2)K(n − 1);
0
(
)
(
)
(
)
bi = t xi N1x0П1xi − N2 x0П2 xi + α1*xi ∆T1 − α 2* xi ∆T2 ;
i = 1K(n − 1);
anj = 1;
j = 1Kn;
bn = B(N1x0 − N1xn ).
(2.16)
(2.17)
(2.18)
(2.19)
Выразив последовательно из первых (n − 1) уравнений системы (2.15) силы Q xj ( j ≥ 2) и подставив их в n-е уравнение, определим
силу Q x1 , через которую вычисляются остальные неизвестные. При
небольшом количестве уравнений такой путь решения достаточно
устойчив. Выражения для сил Q xj имеют вид
Q xj = A j + Б jQ x1;
j = 1Kn,
(2.20)
где A1 = 0; Б1 = 1;
j −1

1 
1 j −1
Aj =
 b j −1 − ∑ a j −1,k A k  ; Б j = −
∑ a j −1,kБk .
a j −1, j 
a

k
k =1
j −1, j =1
(2.21)
С учетом формул (2.20) последнее уравнение системы (2.15)
запишем так:
24
n
n
n
j =1
j =1
j =1
∑ Q xj = ∑ A j + Q x1 ∑ Б j = B(N1x0 − N1xn ).
(2.22)
Отсюда
n
B(N1x0 − N1xn ) − ∑ A j
j =1
Q x1 =
n
.
(2.23)
∑ Бj
j =1
После подстановки этого выражения в формулу (2.20) получим
следующую рекуррентную зависимость:
n
B(N1x0 − N1xn ) − ∑ A j
j =1
Q xj = A j + Б j
n
.
(2.24)
∑Бj
j =1
После некоторых преобразований можно получить разрешающую систему уравнений относительно усилий N1xi . Из уравнений
(2.4) найдем Q xi :
Q x1 = B(N1x0 − N1x1),
Q x2 = B(N1x1 − N1x2 ),
M
M
Q xi = B(N1x,i −1 − N1xi ),
(2.25)
Q x,i +1 = B(N1xi − N1x,i +1),
M
M
Q x = B(N1x,n −1 − N1xn ).
После подстановки выражений (2.12) и (2.25) в уравнения (2.5)
получим систему (n − 1) уравнений для определения усилий N1i :
N1x,i −1
П

П

BП3 xi
− N1xi t xi (П1xi + П2 xi ) + B 3 xi + 3 x,i +1   +
mi
mi +1  
 mi

+ N1x,i +1
BП3 x,i +1
mi +1
где i =K(n − 1) .
[
(2.26)
]
= t xi α1*xi ∆T1 − α *2 xi ∆T2 − П2 xi (N1x0 + N2 x0 ) ,
25
Порядок этой системы уравнений на единицу меньше, чем у
(2.15), а матрица коэффициентов является трехдиагональной. В
компактном виде (2.26) можно записать так:
CijN1xj = di;
i, j = 1K (n − 1),
(2.27)
где коэффициенты Cij и di определяются по формулам
BП3 xj
j = i − 1;
 m ;
j


П

П
− t xj П1xj + П2 xj + B 3 xj + 3 x,j +1  ; j = i;
 m
mj +1 
Cij = 
 j

BП3 x,j +1 ;
j = i + 1;
 mj +1

j = 1K(i − 2); j = (i + 2)K(n − 1).
0
di = t xi α1*xi ∆T1 − α *2 xi ∆T2 − П2 xi (N1x0 + N2 x0 ) .
(
)
[
]
(2.28)
(2.29)
Введем обозначение
N1xj = L j + N1x1Mj.
(2.30)
Из первых (n − 2) уравнений системы (2.27) выразим усилия
N1xj ( j = 2K(n − 1)) через N1x1 . Тогда из последнего уравнения найдем
dn −1 − Cn −1,n − 2Ln − 2 − Cn −1,n −1Ln −1
.
(2.31)
Cn −1,n − 2Mn − 2 + Cn −1,n −1Mn −1
Коэффициенты L j и M j вычисляем по рекуррентным зависимоN1x1 =
стям:
L1 = 0;
L2 =
Lj =
M1 = 1;
d1
C
; M2 = − 11 ;
C12
C12
1
C j −1, j
M= −
(dj−1 − C j−1,j− 2L j− 2 − C j−1, j−1L j−1);
1
C j −1, j
(C j−1, j− 2Mj− 2 + C j−1, j−1Mj−1).
(2.32)
26
Рассмотрим двухрядное механическое соединение крепежными
элементами одинакового диаметра двух деталей постоянной толщины. В этом случае
П1xj = П1; П2 xj = П2 ; П3 xj = П3 ; t xj = t;
m j = m; ∆T1 = ∆T2 = 0; N2 x0 = N1xn = 0;
N1x0 = N2 xn = N.
Система уравнений (2.15) имеет вид
a11Q1 + a12Q 2 = b1;
(2.33)

+
=
Q
Q
BN
,
 1
2
t
П
где a11 = (П1 + П2 ) + 3 ;
B
m
П
a12 = − 3 ;
m
b1 = tNП1.
Усилия Q1 и Q 2 равны:
b − a BN
tmП1 + BП3
k1 + 1
Q1 = 1 12
= NB
= NB
;
a11 − a12
tm(П1 + П2 ) + 2BП3
2 + k1 + k 2
tmП1 + BП3
k2 + 1
Q 2 = NB
= NB
,
tm(П1 + П2 ) + 2BП3
2 + k1 + k 2
(2.34)
где
k1 =
tmП1
tmП2
;
k2 =
;
BП3
BП3
tm(П1 + П2 ) + 2BП3
tmП2 + BП3
N1x1
=N
,
m
m
(2.35)
откуда
N1x1 = N
tmП2 + BП3
k2 + 1
=N
.
tm(П1 + П2 ) + 2BП3
2 + k1 + k 2
(2.36)
Нетрудно убедиться в полном соблюдении уравнений равновесия (2.25).
Для трехрядного соединения систему уравнений запишем в виде
27
где
a11Q1 + a12 Q 2 = b1,

a21Q1 + a22 Q 2 + a23 Q 3 = b2 ,
Q + Q + Q = NB,
2
3
 1
t(П1 + П2 ) П3
a11 = a22 =
+
;
B
m
t(П1 + П2 )
П
a21 =
; a12 = a23 = − 3 ;
B
m
b1 = b2 = tNП1.
(2.37)
Решением системы уравнений являются следующие значения
сил:
1 + k 1(3 + k 1 + k 2 )
Q1 = NB
3 + 4(k 1 + k 2 ) + (k 1 + k 2 )
Q 2 = NB
Q 3 = NB
2
;
2
;
2
.
1 + k1 + k 2
3 + 4(k 1 + k 2 ) + (k 1 + k 2 )
1 + k 2 (3 + k1 + k 2 )
3 + 4(k 1 + k 2 ) + (k 1 + k 2 )
(2.38)
Система уравнений (2.26) после некоторых преобразований
имеет вид
N1x1(2 + k1 + k 2 ) − N1x2 = N(k 2 + 1),

N1x2 (2 + k1 + k 2 ) − N1x1 = Nk 2 ,
(2.39)
откуда
N1x1 = N
2 + k 1 + k 2 (4 + k 1 + k 2 )
3 + 4(k1 + k 2 ) + (k1 + k 2 )
N1x2 = N
2
(2.40)
1 + k 2 (3 + k1 + k 2 )
3 + 4(k1 + k 2 ) + (k1 + k 2 )
;
2
.
Для решения полученных выше систем уравнений необходимо
знать значения коэффициентов податливости крепежных элементов,
которые определяются экспериментально на подобных образцах, а
также по эмпирическим и теоретическим зависимостям. В литературе для двухсрезных симметричных соединений приведены следующие формулы расчета коэффициентов П3 x и П3 y :
- первый вариант (в ряду один болт):
28
П3 xi = a1xi + a2 xi + a3 xi;
П3 yi = a1yi + a2 yi + a3 yi.
(2.41)
Здесь
a1xi =
1
1
1
1
+
+
+
;
δ1iEбi 2δ 2iEбi δ1iE1xi 2δ 2iE2 xi
a1yi =
1
1
1
1
+
+
+
;
δ1iEбi 2δ 2iEбi δ1iE1yi 2δ 2iE2 yi
a2 xi = a2 yi =
a3 xi = a3 yi =
1
3Eбi πd4бi
8
3πGбid2бi
(2.42)
(δ + 8δ δ + 16δ δ + 8δ );
3
1i
2
1i 2i
2
1i 2i
3
2i
(δ1i + 2δ 2i ),
где Eбi , Gбi - модули упругости материала крепежных элементов;
- второй вариант (в ряду один болт):
П3 xi =
 1
5
1 
+ 0,8
+
;
dбiEбi
δ
E
δ
E
 1i 1xi
2i 2 xi 
 1
5
1 
;
П3 yi =
+ 0,8
+
dбiEбi
 δ1iE1yi δ 2iE2yi 
(2.43)
- третий вариант (в ряду один болт):
125
, λ1  1
3  125
, λ2  1
3 
П3 xi =
+
+

+

;
δ1i  E1xi 8E бi 
δ 2i  E2 xi 8E бi 
П3 yi =
где
λ1 
125
,
δ1i
1
3  125
, λ2  1
3 

+

,
+
+
E
8
E
δ
E
8
E
 1yi
бi 
2i  2 yi
бi 
λ1 =
δ 1i
;
dбi
λ2 =
(2.44)
δ 2i
;
dбi
- четвертый вариант (для односрезных или двухсрезных симметричных соединений при рассмотрении одной половины) при mi
болтов в ряду:
i −1
d бi 
П3 xi =
Nα + (α 2i − α1i ) ∑ Qi − Qiα1i +
(EF)0  1i
i =1
 1 − µ12i 2 
 1 − µ 22i
QiB 
2   
+
+ *  + α 2ik q2i 
+ *   ,
α1ik q1i 
πmid бi 
β1 
β 2   
 2
 2
(2.45)
29
где (EF ) 0 - жесткость на растяжение условной детали, к которой
редуцируются жесткости соединяемых деталей. На практике удобно
принимать (EF ) 0 = (EF )1;
N - усилие, передаваемое соединением;
Qi - усилие, передаваемое i-м рядом крепежа;
µ1i , µ 2i - коэффициенты Пуассона деталей.
В формуле (2.45):
α 1i =
(EF )0
;
(EF )1i
α 2i =
(EF )0
;
(EF )2i
 2  3 1 δ
δ
1i

при 1i ≥ 1;

d бi
  k 1i d бi  1 + β 1i d бi
k q1i = 
3
δ
1
δ 1i
  2 
1i


1
1
−
+
< 1;
при


 k d  1+ β
d
d


1i
бi
  1i бi
 бi
 2  3
1 δ 2i
δ

при 2 i ≥ 1;

(2.46)
d бi
  k 2 i d бi  1 + β 2 i d бi
k q2i = 
3
δ
1
δ 2i
  2 
2i


1
+
1
при
< 1;
−


 k d  1+ β
d
d


2i
бi
  2 i бi
 бi
2 4 β 1*i
;
k 1i =
d бi 2β 1i
β 1*i =
2 4 β 2* i
k 2i =
;
d бi 2β 2 i
β 1i
β 2i
E
E
; β 2* i =
; β 1i = бi ; β 2 i = бi ;
1 + β 1i
1 + β 2i
E1i
E 2i
(EF )1i = E1iB δ 1i ; (EF )2i = E 2iB δ 2i ;
2.1.2. Проектирование точечных соединений
Рассмотрим задачу проектирования механического соединения
общего вида с переменными конструктивными параметрами по длине (рис. 2.3). Необходимо определить:
- диаметры крепежных элементов dбi и их количество в ряду
mi (i = 1Kn);
- шаг между рядами t xi
( i = 1K(n − 1));
30
(
)
- толщины деталей δ1i (i = 2Kn) и δ 2i i = 1K(n − 1) ;
- количество рядов крепежных элементов n.
Рис. 2.3
В качестве исходных данных выступают погонное усилие N,
ширина соединения B, значения толщин δ11 и δ 2n , а также комплекс
механических свойств материалов деталей и крепежных элементов.
Кроме того, необходимы апробированные формулы для определения коэффициентов податливости крепежа и концентрации напряжений около отверстий, а для деталей из КМ следует задавать порядок
удаления (убывания) слоев при плавном или ступенчатом изменении
31
толщин.
Чаще всего критерием проектирования таких соединений служит минимум массы
n 
2
2 
 *
πdбi
πdбi
G = ∑ ρбmi
 +
(δ1i + δ 2i ) + (δ1iρ1 + δ 2iρ2 )Bt xi − mi
4
4

 
i =1 

(2.47)
n
+ ∑ mi (m1i + m2i + mшi + mгi ) → min,
i =1
где
ρб, ρ1, ρ2 - плотности материалов крепежных элементов и деталей,
m1i - масса выступающей головки крепежного элемента,
m2i - масса выступающей части под гайку,
mшi, mгi - масса шайбы и гайки.
Прочностными ограничениями на проектные параметры соединения являются:
- условие прочности крепежных элементов на срез
4 Q xi
≤ τ бi ;
πm id 2б i
i = 1K n;
(2.48)
- условие прочности деталей на смятие
Q xi
≤ σ см1xi ;
m id б iδ 1i
Q xi
≤ σ см 2 xi ;
m idбiδ 2i
(2.49)
i = 1K n;
- условие прочности деталей на срез
Q x,i + 1
Q x1
≤ τ 2 xz1;
≤ τ 2 xzi ;
2m1c 2 δ 21
2m i t xiδ 2i
Q xi
Q xn
≤ τ 1xzi ;
≤ τ 1xzn ;
2m i t xiδ 1i
2m n c 1δ 1n
(2.50)
- условие прочности деталей на разрыв в сечении, ослабленном отверстиями:
BN1x,i − 1k 1xi
≤ F1xi ;
δ 1i (B − m idбi )
BN2 xik 2 xi
≤ F2 xi ;
δ 2 i (B − m idбi )
В неравенствах (2.48) - (2.51):
(2.51)
i = 1K n.
32
τ бi - прочность материала крепежа на срез,
σ см1xi , σ см2 xi - прочность материалов деталей на смятие по
оси x,
τ1xzi , τ 2 xzi - прочность материалов деталей на срез в плоскости xz,
F1xi , F2 xi - прочность материалов деталей на растяжение (сжатие) по оси x,
k1xi , k 2 xi - коэффициенты концентрации напряжений около отверстий.
Силы Q xi определяем из системы уравнений (2.15) с учетом
того, что
N1x0 = N2 xn = N;
N2 x0 = N1xn = 0;
∆T1 = ∆T2 = 0.
После подстановки этих выражений и некоторых преобразований получим
i


П2 xi ∑ Q xk − П1xi  BN − ∑ Q xk  =


k =1
k =1
i
=
П3 x,i +1
B
П3 xi 
Q
−
Q
 x,i +1
;
xi
t xi 
mi +1
mi 
∑ Q xk = N;
i = 1Kn.
(2.52)
n
k =1
Погонные усилия в деталях вычисляем по формулам
N1xi = N −
1 i
1 i
Q
;
N
=
∑ xk
∑ Q xk ;
2 xi
B k =1
B k =1
(2.53)
*
Для величин t xi (см. формулу (2.47)) справедливы зависимости:
t *x1 = c 2 +
1
1
t x1; t *xi = ( t x,i −1 + t xi );
2
2
1
t *xn = t x,n −1 + c1.
2
(2.54)
Кроме прочностных на параметры соединения накладываются
конструктивно-технологические ограничения:
- принадлежность диаметров dбi к стандартному ряду типоразмеров выпускаемого крепежа (болтов, заклепок и т.п.);
33
- убывающая (невозрастающая) толщина детали из КМ, причем
слои не должны прерываться по длине соединения;
- допустимость использования различных диаметров и материалов крепежа в пределах одного соединения;
- предельная длина соединения и др.
Рассмотрим возможность равномерного распределения сил по
рядам крепежных элементов. В этом случае из последнего уравнения системы (2.52) найдем
Q xi =
NB
;
n
i = 1Kn.
(2.55)
С учетом выражения (2.55) остальные уравнения принимают
вид
iП2 xi − (n − i)П1xi =
B  П3 x,i +1 П3 xi 
−

.
t xi  mi +1
mi 
(2.56)
При одинаковой податливости крепежных элементов по длине
соединения из уравнения (2.56) получим
i
П
= 1xi ;
n − i П2xi
i = 1K(n − 1).
(2.57)
В этом выражении параметр i можно трактовать как координату
x, а n - как длину соединения l. Тогда
x
П1xi (δ 2E2 ) x
=
=
.
l − x П2xi (δ1E1) x
(2.58)
Такой характер изменения толщин по длине соединения не
подтверждает возможности одинаковой податливости крепежных
элементов по рядам (см. формулы (2.41) - (2.45)), поэтому рассмотрим более общий случай ступенчатого изменения толщин (рис. 2.3,
б). Податливости деталей П1xi и П2 xi вычисляем по формулам (2.8)
и с их учетом уравнения совместности деформаций (2.56) запишем в
следующем виде:
 1

 1

1
1
 − (n − i)
 =
i⋅
+
+
δ
E
δ
E
δ
E
δ
E
 2i 2 xi
 1i 1xi
2,i + 1 2 x,i + 1 
1,i + 1 1x,i + 1 
(2.59)
2B  ∏ 3 x2 ∏ 3 x1 
−
i = 1K (n − 1).

;
t xi  m 2
m1 
Параметры (δ11E1x1) и (δ 2nE2 xn ) , как правило, известны из об=
щего проектирования соединяемых деталей. Равномерное распределение нагрузки по рядам (2.55) позволяет принять, что диаметры и
34
количество крепежных элементов в ряду не меняются по длине соединения, т. е.
mi = m; dбi = dб; τ бi = τ б .
С учетом этого условия прочности (2.48) - (2.51) для первого и последнего рядов принимают вид
4NB
≤ τ б;
πnmd2б
NB
≤ σ см1x1;
πnmdбδ11
NB
≤ σ см2 xn ;
πnmdбδ 2n
NBk 1x1
≤ F1x1;
δ11(B − mdб )
(2.60)
NBk 2 xn
≤ F2 xn .
δ 2n (B − mdб )
Подстановка n из первого ограничения в последующие два
приводит к неравенствам
dб ≤
4δ11σ см1x1
4δ σ
; dб ≤ 2n см2xn .
πτ б
πτ б
(2.61)
Из последних двух ограничений системы (2.60) запишем


Nk1x1 
Nk 2 xn 
mdб ≤ B 1 −
 ; mdб ≤ B 1 −
 . (2.62)
δ11F1x1 
δ 2nF2 xn 


Условие прочности крепежных элементов на срез позволяет
определить нижнюю границу количества рядов
n≥
4NB
.
2
πmdб τ б
(2.63)
В неравенствах (2.61) - (2.63) величины прочности на смятие и
коэффициента концентрации напряжений определяются однозначно
при наличии значения диаметра крепежа, так как структура КМ деталей, их толщина, упругие и прочностные свойства на этом участке
заданы. По этой причине на первом этапе проектирования за основу
приняты эти ограничения. Это позволяет построить следующий алгоритм определения параметров соединения (δ1iE1xi ) , (δ 2iE2 xi ) , n, m,
dб:
1. С учетом стандартов на крепеж, условий их компоновки в ряду и эксплуатационных требований назначаем несколько значений
dб и m, удовлетворяющих условиям (2.61) и (2.62).
2. Из неравенства (2.63) находим количество рядов n (целое
число).
35
3. Определяем минимально потребные толщины первой
δ 1i (i = 2K n) и второй δ 2i i = 1K(n − 1) деталей из условий обес-
(
)
печения их прочности на смятие и разрыв по ослабленному сечению:
δ 1i ≥
BN(n + 1 − i)k 1xi
NB
; δ 1i ≥
;
nmd б σ см1xi
nF1xi (B − md б )
(2.64)
NB
iBNk 2 xi
; δ 2i ≥
nmd б σ см2 xi
nF2 xi (B − md б )
Так как в общем случае σ см1xi , σ см2 xi , k1xi , k 2 xi , F1xi и F2 xi заδ 2i ≥
висят от структуры КМ, то неравенства (2.64) решаются методом последовательных приближений, для чего должен быть задан порядок
или последовательность удаления (прерывания) слоев КМ на ступеньках деталей.
4. Зная толщину первой детали из (2.64), вычисляем потребную
толщину второй из условия совместности (2.59), которая обеспечивает равномерное нагружение рядов. Расстояние между рядами определяется из ограничений (2.50) с учетом приведенных ниже рекомендаций для предела прочности КМ на срез. Расчеты удобно проводить последовательно для каждого участка i, начиная с i = n − 1,
т.е. с конца, где уже известно δ 2n .
Если при этом на каком-то участке толщина второй детали станет меньше, чем допускаемое ограничениями (2.64), то фиксируется
значение δ 2i , а выполнение уравнений (2.59) обеспечивается увеличением толщины первой детали.
5. Принимая за основу толщину второй детали из условий
(2.64), определяем параметры первой из выражений (2.59), начиная
с i = 1, где известно значение δ11. Сказанное в предыдущем пункте о
способе коррекции толщин сохраняет свою силу.
6. По формуле (2.47) вычисляется масса соединений, спроектированных в п.4,5, и принимается решение о рациональной конструкции.
7. Строится график зависимости массы соединения от параметров m и d и выбираются их оптимальные значения.
Если из конструктивных или технологических соображений возникает необходимость изменения геометрии деталей после оптимизации, то следует помнить, что это нарушит принятый закон распределения нагрузки по рядам крепежных элементов и, как следствие,
потребует проведения поверочного расчета на прочность.
Приведенные выше формулы для определения податливости
36
крепежных элементов далеко не всегда адекватно описывают реальное взаимодействие, поэтому предварительно необходимо провести экспериментальные исследования и оценить погрешность зависимостей (2.41) - (2.45).
Перейдем к построению общего алгоритма оптимизации параметров точечного соединения. Основную часть массы составляют
детали, толщина и длина которых зависят от действующих в них
усилий. В связи с этим представляется целесообразным поиск такого распределения сил Q xi по рядам, которое обеспечивало бы минимум целевой функции (2.47). Пусть искомое распределение описывается зависимостью
2
i
 i
Q xi = a  + b + c.
 n
n
(2.65)
Из уравнения равновесия
n
∑ Q xi = NB
i =1
найдем коэффициент с, после подстановки которого в (2.65) получим
NB a  (n + 1)(2n + 1) 2  b  n + 1 
− 2
−i − 
− i .
(2.66)


6
2
n
n
n 

Оставшиеся коэффициенты a и b необходимо определить из
Q xi =
условия (2.47) при удовлетворении ограничений (2.48) - (2.51).
В зоне установки первого ряда крепежных элементов первая
деталь должна быть дополнительно усилена для удовлетворения
условия (2.51), если напряжения на регулярном участке равны или
близки к пределу прочности. Аналогичное мероприятие необходимо
и в конце второй детали, т.е. принимаем, что величины δ11 и δ 2n известны из общего проектирования или каких-либо других соображений.
Условия прочности (2.48) - (2.51) запишем для первого и последнего рядов крепежных элементов:
4 NB a  (n + 1)(2n + 1)  b(n − 1) 
− 
− 1 −

 ≤ τ б1;
6
2n 

πm1d2б1  n n2 
NB a  (n + 1)(2n + 1)
b(n − 1) 
4
2
−
−
n
+

 ≤ τ бn ;
2 
2
n
6
2
n


πmndбn 
n

(2.67)
37
NB a  (n + 1)(2n + 1)  b(n − 1) 
1
− 2
− 1 −

;
δ11σ см1x1  n
6
2
n


n

m1dб1 ≥
mn dбn ≥
NB a  (n + 1)(2n + 1)
b(n − 1) 
1
2
−
−
n
+



;
δ 2n σ см2xn  n
6
2n 

n2 


Nk 1x1 
Nk 2 xn 
m1dб1 ≤ B 1 −
 ; mn dбn ≤ B 1 −
.
δ11F1x1 
δ 2nF2 xn 


(2.68)
(2.69)
Сравнение неравенств (2.67) и (2.68) позволяет сделать вывод
о том, что, если
dб1 <
4δ11σ см1x1
4δ σ
; dбn < 2n см2 xn ,
πτ б1
πτ бn
(2.70)
то разрушение первого и последнего рядов начинается от среза крепежных элементов, а при
dб1 >
4δ11σ см1x1
4δ σ
; dбn > 2n см2 xn
πτ б1
πτ бn
(2.71)
- от смятия материалов первой и второй деталей. Знак равенства
означает равнопрочность соединения на срез болтов и смятие материалов.
Если известен характер разрушения, то параметры распределения a и b могут быть определены из сочетаний зависимостей
(2.67) и (2.68) со знаком равенства в соответствии с табл. 2.1, где
приняты следующие обозначения:
NB π
− m 1d 2б1τ б1;
n
4
NB π
A nс р =
− m n d 2бn τ бn ;
n
4
(2.72)
NB
A 1см =
− m 1d б1δ 11σ см1x1;
n
NB
− m n d бn δ 2n σ см 2 xn .
A nсм =
n
Коэффициенты a и b должны удовлетворять условию положительности Q xi при N > 0 . Очевидно, что при рассмотрении сжатого
A 1с р =
соединения во всех формулах необходимо использовать абсолютное значение нагрузки, так как смятие КМ и срез крепежного элемента инвариантны к направлению действия силы, которую следует учитывать только при определении расстояний от края деталей до первого ряда крепежа.
38
Таблица 2.1
Зависимости для определения параметров распределения нагрузки
Характер
разрушения
1-го ряда
Характер
разрушения
n-го ряда
Формула для определения
параметра a
срез
срез
3n2 A1ср + A nср
смятие
срез
смятие
смятие
(
)
(n ≥ 3)
Формула для определения
параметра b
[
n A1ср (4n + 1) + A nср (2n + 5)
]
(n − 1)(2 − n)
(n − 1)(n − 2)
3n2 ( A1см + A nсм )
(n − 1)(2 − n)
n[ A1см (4n + 1) + A nсм (2n + 5)]
(
смятие
3n2 A1ср + A nсм
срез
3n2 A1см + A nср
)
(n − 1)(n − 2)
[
(n − 1)(n − 2)
(n − 1)(2 − n)
(
(n − 1)(2 − n)
]
n A1ср (4n + 1) + A nсм (2n + 5)
)
[
]
n A1см (4n + 1) + A nср (2n + 5)
(n − 1)(n − 2)
39
При выводе формул, приведенных в табл. 2.1, подразумевалось, что Q x1 > 0 и Q xn > 0 . Тогда условие положительности Q xi
( i = 2K(n − 1)) запишем в виде
NB a  (n + 1)(2n + 1) 2  b  n + 1 
−
−i  − 
− i > 0.



6
2
n n2 
n

(2.73)
Заметим, что все полученные зависимости имеют смысл при
n ≥ 3 , так как при n = 1 a = b = 0 , при n = 2 a = 0 , а коэффициент
b определяется по табл. 2.2.
Таблица 2.2
Формулы для определения коэффициента b при n = 2
Характер
разрушения
2-го ряда
Формула для определения
коэффициента b
срез
срез
π
π

2 m 2 dб22 τ б2 − m1d2б1τ б1
4

4
смятие
смятие
2(m 2 dб2 δ 22 σ см2 x2 − m1dб1δ 11σ см1x1 )
срез
смятие
π


2 m 2 dб2 δ 22 σ см2 x2 − m1d2б1τ б1


4
смятие
срез
π

2 m 2 d2б2 τ б2 − m1dб1δ 11σ см1x1
4

Характер
разрушения
1-го ряда
На основании проведенного выше анализа условий прочности
можно рекомендовать следующий алгоритм проектирования соединения:
1. Из ограничений (2.69) с учетом конструктивных, технологических, эксплуатационных и других факторов выбирается приемлемая
последовательность параметров (m1, dб1) и (mn , dбn ) , которые могут быть одинаковыми или различными.
2. По условиям (2.70) и (2.71) определяется характер прогнозируемого разрушения элементов соединения для каждого значения
диаметров d1 и dn .
3. Задается количество рядов крепежных элементов n = 2,3K
и по формулам, приведенным в табл. 2.1, 2.2, вычисляются коэффициенты a и b.
4. Проверяется выполнение условия (2.73), в результате чего
из дальнейшего рассмотрения исключаются неподходящие значения
40
n (или (m1, dб1) , или (mn , dбn ) ).
5. Вычисляются нагрузки Q xi , передаваемые каждым рядом
крепежных элементов, по формуле (2.66), а также N1xi и N2 xi - по
(2.53).
6. С учетом конструктивно-технологических ограничений и требований унификации и стандартизации из выражения (2.48) определяются количество и диаметр крепежа во всех рядах i = 2K(n − 1) .
7. Определяются минимально потребные толщины деталей δ 1i
и δ 2i из условий прочности на смятие и на разрыв по ослабленному
сечению:

BN1x,i −1k1xi 
Q xi
δ1i = max
;
; i = 2Kn;
m
d
F
B
−
m
d
σ
(
i бi ) 
 i бi см1xi 1xi
(2.74)

BN2 xik1xi 
Q xi
δ 2i = max
;
; i = 1K(n − 1);
m
d
F
B
−
m
d
σ
(
)
i бi 
 i бi см2 xi 2 xi
В связи с тем, что коэффициенты k1xi , k 2 xi , пределы прочности
по оси x F1xi , F2 xi и на смятие σ см1xi , σ см2 xi зависят от структуры КМ
и толщины (количества слоев), вычисления по этим формулам проводятся методом последовательных приближений с учетом принятого или заданного порядка удаления слоев КМ по длине соединения.
При необходимости могут корректироваться значения mi и dбi , определенные в п. 6.
8. Фиксируется геометрия второй детали, найденная выше из
условий прочности, и из условий совместности деформаций вычисляются толщины первой детали, реализующие данное распределение нагрузки по рядам:
 1
 i
 1

1
1

 ∑ Q xi − 
×
+
+
δ
E
δ
E
d
E
d
E
 2i 2xi
 1i 1xi
2,i +1 2x,i +1  i =1
1,i +1 1x,i +1 
(2.75)
∏3 x,i +1

 2B 
∏ 
× BN − ∑ Q xi  =
− Q xi 3 xi  ; i = 1K(n − 1),
 Q x,i +1

 t xi 
mi +1
mi 
i =1
где t xi определяются из условий (2.50) с учетом реального распоi
ложения крепежа (последовательно или в шахматном порядке).
Вычисления удобно проводить, начиная с i = 1. Податливости
крепежных элементов ∏ 3xi определяются по формулам (2.41) -
41
(2.45) или по другим зависимостям, пригодным для проектируемого
соединения, крепежа и материалов.
Если толщина первой детали из уравнений (2.75) на каком-либо
участке будет меньше, чем требуется по прочности (см. зависимости
(2.74)), то принимается минимальное возможное значение, а условия
совместности деформации удовлетворяются увеличением толщины
второй детали.
9. Аналогичные вычисления проводятся при фиксированной
толщине первой детали, которые следует начинать с конца, т. е.
i = n − 1, n − 2 и т. д., потому что известно δ 2n .
10. Определяется масса соединений, спроектированных в п.8,9,
и выбирается рациональный вариант для всех рассматриваемых
значений n.
11. Графическим или расчетным путем находится оптимальное
количество рядов крепежных элементов из условия минимума массы
(2.47), а при необходимости и оптимальные параметры (m1, dб1) и
(mn , dбn ) (см. п. 1).
После окончания проектирования по описанному выше алгоритму может возникнуть потребность в корректировании профиля
деталей по конструктивно-технологическим соображениям. Это в
принципе возможно, но следует помнить, что любое изменение толщины ведет к изменению распределения сил по рядам крепежных
элементов и, как следствие, к возможному нарушению условий прочности. Поэтому изменения в геометрию деталей целесообразно вносить при выполнении п.8,9.
В качестве альтернативного варианта рассмотрим алгоритм
проектирования соединения, детали которой имеют линейно меняющуюся толщину по длине (рис. 2.4), т. е.
x
δ1 = δ1н − (δ1н − δ1к ) ;
l
x
δ 2 = δ 2н + (δ 2н − δ 2к ) .
l
(2.76)
Оптимизируемыми параметрами для этой задачи являются величины δ1н, δ1к , δ 2н, δ 2к , n, l, mi , dбi , xi . Пусть модули упругости и
прочностные свойства материалов деталей постоянны по длине соединения.
Решение этой задачи возможно несколькими схожими путями.
Рассмотрим два варианта.
42
Рис. 2.4
Алгоритм реализации первого варианта включает в себя следующие этапы:
1. Определяется потребная суммарная площадь поперечного
сечения крепежных элементов по формуле
n πm d
i бi
f∑ КЭ = ∑
i =1
4
≥
NB
.
τб
(2.77)
2. С учетом конструктивно-технологических особенностей соединяемых деталей, стандартов на крепежные элементы, эксплуатационных и других требований расставляются крепежные элементы
по длине и ширине соединения. Их суммарная площадь должна
удовлетворять неравенству (2.77). В результате определяются значения первого приближения параметров n, l, mi , dбi, t xi .
3. Вычисляются значения усилий Q xi , которые может передавать каждый ряд крепежных элементов, исходя из условия прочности
на срез:
πmid2бi τ б
Q xi ≤
.
4
4. Вычисляются усилия N1xi и N2 xi по формулам (2.53).
(2.78)
5. Из условий (2.74) для каждого сечения определяются потребные толщины деталей. Входящие в эти формулы σ см1xi , σ см ,
k1xi , k 2 xi, F1xi, F2 xi однозначно определяемы при известных диаметре крепежных элементов и структуре КМ.
6. Согласно схеме, показанной на рис. 2.5, определяются величины δ1н , δ1к , δ 2н , δ 2к .
43
Рис. 2.5
7. Вычисляются новые значения толщин δ 1i , δ 2 i по формулам
δ 1i = δ 1н − (δ 1н − δ 1к )
xi
x
; δ 2 i = δ 2 н + (δ 2 н − δ 2 к ) i .
l
l
(2.79)
8. Определяются новые значения параметров C1, C 2 , t xi из
следующих выражений:
C1 ≥
Q xn
Q x1
; C2 ≥
;
mn (δ1n + δ1к )τ1xzn
m1(δ 2к + δ 21)τ 2 xz1


Q x,i +1
Q xi
t xi = max
;
.
mi (δ1i + δ1,i +1)τ1xzi mi (δ 2,i +1 + δ 2i )τ 2 xzi 
(2.80)
9. Из системы уравнений (2.52) определяются новые значения
сил Q xi , которые обеспечивают выполнение условий совместности
деформаций.
10. Повторяются п. 4 - 9 до тех пор, пока величины сил Q xi текущего и предыдущего приближений не будут совпадать.
Алгоритм реализации второго варианта включает в себя следующие этапы:
1. Задается первое приближение параметров δ1н , δ1к , δ 2н , δ 2к
с учетом технологических аспектов изготовления деталей и сборки
соединения.
2. По формуле (2.74) вычисляется суммарная потребная площадь крепежных элементов, которые с учетом стандартов расставляются по рядам. В результате этой операции назначаются пара-
44
метры n, mi, dбi , t xi , C1, C 2 и вычисляется длина соединения
n −1
l = C1 + C 2 + ∑ t xi.
(2.81)
i =1
3. Из выражений (2.78) находятся значения толщин в каждом
сечении δ1i и δ 2i .
4. Из системы уравнений (2.52) определяются силы Q xi и вычисляются усилия N1xi и N2 xi .
5. Уточняются параметры крепежных элементов из условия их
прочности на срез.
6. По формулам (2.77) уточняются потребные толщины деталей
в каждом сечении и по схеме (рис. 2.5) определяются новая конфигурация деталей и величины δ1н , δ1к , δ 2н , δ 2к .
7. Длина соединения l и параметры t xi , C1, C 2 вычисляются по
формулам (2.79), (2.80) и (2.81).
8. Повторяются п. 3 - 7 до тех пор, пока значения параметров
δ1н , δ1к , δ 2н , δ 2к предыдущего и текущего приближений не будут
совпадать.
Эти алгоритмы удобно реализовать на ЭВМ.
2.1.3. Напряженно-деформированное состояние точечных
соединений при сдвиге
В конструкциях ЛА широко распространена передача сдвиговых
усилий от одной детали к другой. Это - соединения обшивки с поясами лонжеронов, стенок, нервюр; стенки лонжерона со стойкой узла
стыковки; отсеков ЛА между собой и т. п. Рассмотрим КТР соединения, аналогичного показанному на рис. 2.2, нагруженного сдвиговыми усилиями q10 , q20 , q1n , q2n (рис. 2.6).
Уравнения равновесия выделенных фрагментов деталей и соединения в целом (рис. 2.6, б, в) имеют вид
1 i
q1i = q10 − ∑ Q yk ;
B k =1
1 i
q2i = q20 + ∑ Q yk ;
B k =1
q10 + q20 = q1i + q2i .
(2.82)
45
Рис. 2.6
Совместность деформаций деталей и крепежных элементов
запишем следующим образом (рис. 2.6, г):
∆ 2i + ∆ ci = ∆1i + ∆ c,i +1; i = 1K(n − 1),
(2.83)
где
∆1i, ∆ 2i - перемещения деталей от сдвиговых усилий q1i и q2i ,
∆ ci - смещение деталей вследствие деформирования крепеж-
46
ных элементов.
∆1i =
q1i
t xi = q1i ∏1xyi t xi;
δ1iG1xyi
∆ 2i =
q2i
t xi = q2i ∏ 2 xyi t xi;
δ 2iG2 xyi
∆ ci = Q yi
∏ 3 yi
mi
; ∆ ci = Q y,i +1
(2.84)
∏ 3 y,i +1
mi +1
.
В этих зависимостях податливости деталей на сдвиг ∏1xyi и
∏ 2xyi определяются по аналогии с формулами (2.6) - (2.9) для различных геометрических конфигураций деталей. Коэффициенты податливости крепежа ∏ 3yi вычисляются по тем же формулам, что и
∏ 3xi , после замены направления x на y.
После подстановки формул (2.84) в уравнения (2.83) получим
(
)
t xi q2i ∏ 2 xyi −q1i ∏1xyi = Q y,i +1
∏ 3 y,i +1
mi + 1
− Q yi
∏ 3 yi
mi
,
(2.85)
i = 1K (n − 1).
С помощью зависимостей (2.82) уравнения (2.85) можно свести
к системе (n − 1) уравнений относительно усилий q1i или к системе n
уравнений для определения сил Q yi :

 ∏ 3 yi ∏ 3 y,i +1  
− q1i t xi ∏1xyi + ∏ 2 xyi + B
+
 +
mi
m
m

i
i +1  

(2.86)
B ∏ 3 y,i +1
+ q1,i +1
= − t xi ∏ 2 xyi (q10 + q20 );
mi +1
i −1
B ∏ 3 yi 
 t xi
t xi 
∏
+
∏
Q
+
Q
∏
+
∏
+

−

1xyi
2 xyi ∑ yk
yi
1xyi
2 xyi
B
B
m
t

k =1
i xi 


∏ 3y,i +1
−
Q
= t xi ∏1xyi q10 − ∏ 2 xyi q20 ; (2.87)

y,i +1
m
i +1

n
 ∑ Q yk = B(q10 − q1n ).
k=1
q1,i −1
B ∏ 3 yi
(
(
)
)
(
)
Таким образом, структура уравнений для определения напря-
47
женно-деформированного состояния соединения, нагруженного
сдвигом, абсолютно аналогична полученным выше для растяжения
(сжатия). Температурные сдвиговые деформации не возникают, так
как принято, что материалы соединяемых деталей изотропны или
ортотропны в осях xy. Это позволяет использовать унифицированные программы для нахождения сил в элементах соединений.
Проектирование таких соединений может проводиться по описанным выше алгоритмам. После внесения некоторых корректив
система прочностных ограничений принимает вид
4Q yi
2
πmidбi
Q yi
miδ1idбi
Q yi
≤ τ бi; i = 1Kn;
≤ σ см1yi;
Q yi
miδ 2idбi
Q y,i +1
(2.88)
≤ σ см2 yi ;
(2.89)
≤ τ1yzi ;
≤ τ 2 yzi;
2miδ1i t xi
2miδ 2i t xi
Bq1,i −1k1xyi
Bq2ik 2 xyi
≤ F1xyi;
≤ F2 xyi.
δ1i (B − midбi )
δ 2i (B − midбi )
(2.90)
(2.91)
Целевая функция проектирования представлена зависимостью
(2.47).
При совместном действии нормальных и касательных внешних
сил соответствующие внутренние усилия в крепежных элементах
векторно складываются, а прочность деталей оценивается по критериям прочности.
2.1.4. Методика учета ширины при определении
напряженно-деформированного состояния соединений
При наличии в ряду двух и более крепежных элементов в поперечном направлении (по оси y) возникает дополнительное напряженное состояние, вызванное разностью коэффициентов Пуассона и
линейного температурного расширения материалов соединяемых
деталей.
Рассмотрим i-й ряд соединения (рис. 2.7). Методика учета ширины соединения является достаточно приближенной, так как не
учитываются реакции соседних частей деталей (рядов крепежа) и
влияние поперечных усилий на продольные, а усреднение попереч*
ных деформаций проводится на участке протяженностью t xi (рис.
2.7, а). Достоверность методики тем выше, чем меньше разность
сдвиговых жесткостей деталей и податливости крепежных элементов
48
по рядам.
Рис. 2.7
Уравнения равновесия деталей имеют вид
t *xiN1yj = −
j
∑ Q yk ;
k =1
t *xiN2 yj =
j
∑ Q yk .
(2.92)
k =1
Отсюда
N1yj + N2 yj = 0; j = 1K(mi − 1) .
(2.93)
Совместность деформаций деталей и крепежных элементов
описывается зависимостью
t yjε1Σ + Q y, j +1 ∏ y, j +1 = t yjε 2 Σ + Q yj ∏ yj ; j = 1K(mi − 1)
(2.94)
Ранее было принято, что каждый ряд содержит однотипные
крепежные элементы, равномерно распределенные по ширине детали. Тогда
t yj = const = t yi; ∏ yj = const = ∏ yi.
(2.95)
Суммарные деформации деталей ε1Σ и ε 2Σ в уравнении (2.94)
определяем известным способом:
ε1Σ =
ε1Σ =
N1yj
δ1iE1yi
N2 yj
δ 2iE2 yi
+ α1yi ∆T1 −
µ1xyi
2t *xiδ1iE1xi
+ α 2 yi ∆T2 −
(N1x,i−1t x,i−1 + N1xi t xi );
µ 2 xyi
2t *xiδ 2iE2 xi
(2.96)
(N2x,i−1t x,i−1 + N2xi t xi ).
49
Подставив выражения (2.95) и (2.96) в уравнения (2.94), с учетом равенства (2.93) найдем
) (
) [
1  µ2xyi (N2x,i −1t x,i −1 + N2xi t xi ) µ1xyi (N1x,i −1t x,i −1 + N1xi t xi )   (2.97)

 .
−
−
(
t yiN1yj П1yi + П2yi + П3 yi Qy, j +1 − Qyj = t yi α2yi ∆T2 −α1yi ∆T1 −
2t*xi 
δ 2iE2xi
δ1iE1xi

 
Воспользовавшись выражениями (2.92), запишем систему
уравнений для определения сил Q yi :
j −1
 t yi

П
+
П
Q
+
Q
П
+
П
+
П
yj  *
1yi
2 yi ∑ yj
1yi
2 yi
3 yi  −
*
(2.98)
t xi
j =1
 t xi

− Q y, j +1П3 yi = bi ,
t yi
(
где
(
)
)
[
bi = t yi α1yi ∆T1 −α2yi ∆T2 −
−
1  µ1xyi (N1x,i−1t x,i −1 + N1xi t xi ) µ2xyi (N2x,i −1t x,i −1 + N2xi t xi )   (2.99)

 .
−
* 
δ1iE1xi
δ 2iE2xi
2t xi 
 
К этим уравнениям необходимо добавить еще одно, которое
следует из (2.92):
mi
∑ Q yj = 0.
(2.100)
j =1
Выразим из уравнений равновесия деталей силы Q yi
(
)
Q yj = t xi N1y, j −1 − N1yj .
(2.101)
После подстановки этого результата в (2.97) получим систему
уравнений относительно N1yj :
[
]
N1y, j −1 ∏ 3 yi t *xi − N1yj t yi ( ∏1yi + ∏ 2 yi ) + 2 ∏ 3 yi t *xi −
− N1y, j +1 ∏ 3 yi t *xi = bi ;
j = 1K(mi − 1),
(2.102)
где N1y 0 = N1yn = 0.
Найденные усилия в крепежных элементах необходимо векторно сложить с определенными ранее от других видов нагружения. Детали находятся в условиях двухосного напряженного состояния и их
прочность проверяется на основе приемлемого критерия прочности.
50
2.2. Конструктивно-технологические решения механических соединений деталей из КМ
Механические соединения деталей из КМ осуществляются с
помощью тех же крепежных элементов и теми же способами, что и
из металлов. Однако некоторые специфические особенности полимерных КМ, такие как низкие прочностные свойства на смятие, срез
и межслоевой сдвиг, хрупкий характер разрушения, отсутствие пластичности, высокая абразивность и др., не позволяют добиться такой
же эффективности соединений, как для традиционных материалов.
Для повышения несущей способности механических соединений деталей из КМ необходимо решить следующие задачи:
- разработать КТР по повышению прочности на смятие и срез,
- эффективно (по массе) компенсировать нарушение целостности волокон и удаляемый материал при образовании отверстий,
- снизить коэффициенты концентрации напряжений возле отверстий,
- разработать конструктивные и технологические способы предотвращения преждевременного расслоения КМ,
- исключить микроподвижность на границе контакта КМ - металл,
- модифицировать конструкцию и технологию соединений в целях уменьшения трансверсальных и радиальных напряжений при затяжке и клейке,
- разработать КТР по ограничению развития трещин и др.
Рассмотрим подробней пути решения этих задач на основе
имеющегося опыта механического соединения деталей из КМ, а также с учетом последних исследований.
Самым эффективным и доступным способом повышения несущей способности КМ на смятие и срез является уменьшение диаметра крепежных элементов, т. е. их миниатюризация. Пусть для соединения детали из КМ толщиной δ требуется болт диаметром d0 .
Предельная нагрузка по смятию равна
N0 = d0 δσ см .
(2.103)
Из условия сохранения площади поперечного сечения крепежа
этот болт заменим n болтами диаметром d1. Тогда
d1 = d0 n.
(2.104)
Это соединение на смятие выдерживает нагрузку
N1 = δd0 nσ см ,
(2.105)
т. е. замена одного болта, например четырьмя, позволяет повысить
несущую способность на смятие в 2 раза, а на срез - в 4 раза при
51
равных прочих условиях. Заметим, что на сегодняшний день прочность КМ любой структуры на срез находится в пределах
τ 090 ≤ τ cp ≤ τ 900 ,
(2.106)
где τ 090 , τ 900 - пределы прочности на срез по плоскостям, параллельным и перпендикулярным волокнам КМ соответственно.
Другим достаточно эффективным способом повышения прочности КМ на смятие является модификация структуры. Так, на основе обработки экспериментальных данных в ХАИ получена следующая эмпирическая зависимость прочности на смятие от диаметра
крепежного элемента и структуры КМ марки КМУ-4э:
2
n 
n
σ см = (740 − 125d) + 0 (110 + 92d) −  0  (240 + 128d), (2.107)
nΣ
 nΣ 
где σ см - прочность на смятие, МПа,
d - диаметр цилиндрического штифта, мм,
n0 , n Σ - количество слоев с ориентацией 0° и суммарное количество слоев в пакете со структурой [ 0° ,±45°] .
Эти же экспериментальные исследования показали, что прочность тканых органопластиков и стеклопластиков на смятие больше,
чем у углепластиков, примерно на 20% .
Таким образом, усиление КМ в зоне отверстий слоями ± 45° ,
[
]
а также гибридизация могут повысить его прочность.
Несущая способность КМ на смятие зависит и от отношения
диаметра к толщине. Например, для квазиизотропного стеклопластика в [48] приведена зависимость
d
σ см = 325 − 25 [МПа],
δ
где
(2.108)
d и δ - диаметр крепежного элемента и толщина детали.
Здесь же отмечено, что прочность на смятие не зависит от отношения расстояния от центра отверстия до края детали к диаметру
( )
и от отношения расстояния между отверстиями t y к диаметру, если эти величины больше, чем 2,5.
В работе [48] приведены значения прочности на смятие некоторых КМ, причем считается, что разрушение от смятия происходит
*
при напряжениях σ см , при которых овализация отверстия составляет 4% (табл. 2.3).
52
Таблица 2.3
Предел прочности на смятие КМ
Материал
Стеклопластики:
- стеклоткань 181 + полиэфирное связующее
- стекломат + полиэфирное связующее
Боропластики:
- 0° , 90° + эпоксидное связующее
[
]
- [ 0° , ± 45° , 90°] + эпоксидное связующее
Органостеклопластик: стеклоткань 181 +
ткань “Кевлар” + эпоксидное связующее
Углепластики:
- 0° , 90° + эпоксидное связующее
[
]
- [ 0° , ± 45° , 90°] + эпоксидное связующее
σсм, МПа
σ*см, МПа
298
207
241
137
1378
1034
1034
827
380
310
447
379
345
310
Несущую способность соединений на смятие можно повысить
за счет установки промежуточных втулок (рис. 2.8, а-г). Эти КТР искусственно увеличивают площадь смятия КМ и снижают напряжения
путем их перераспределения (рис. 2.8, б, в, г) по большей поверхности. Для повышения качества склеивания целесообразно выполнить
резьбовую внешнюю поверхность втулок (рис. 2.8, д, е).
Прочность соединения на смятие можно существенно увеличить фольгированием КМ в зоне образования отверстий (рис. 2.8, ж),
но для реализации этого КТР необходимо выбирать такие пары КМ металл, которые исключали бы электролитическую коррозию и обладали бы минимальной разностью коэффициентов линейного температурного расширения во избежание преждевременного расслоения. Толщина фольги должна быть примерно равна толщине слоя
КМ, а суммарная толщина фольги для обеспечения достаточной
прочности на смятие составляет около 30% от толщины детали. Более эффективно модифицированное фольгирование (рис. 2.8, з), где
на металлических листах выштамповываются зубья типа “канцелярская кнопка”, вформовываемые в КМ при изготовлении деталей.
Кроме перераспределения напряжений смятия такие КТР увеличивают межслоевую прочность гибридного КМ.
53
Рис. 2.8
Существенное повышение несущей способности на смятие
достигается приформовкой шайб (рис. 2.8, и, к), которые по периметру снабжены штифтами малого диаметра, образованными сваркой, пайкой, точением - фрезерованием и др. способами. Здесь реализуется передача усилий за счет смятия металл - металл, а далее
силы переходят к КМ через склейку и промежуточные крепежные
микроэлементы. Аналогичные задачи решаются применением специальных крепежных элементов - болтов и гаек (рис. 2.8, л, м, н).
54
Во многих рекомендациях и литературных источниках указывается, что наиболее эффективны механические соединения с отношением диаметра к толщине, примерно равным единице. Если регулярная толщина не удовлетворяет этому требованию, то необходимо использовать локальное усиление накладками.
Компенсация удаляемого материала при сверлении отверстий
необходима для уменьшения уровня действующих напряжений в ослабленном сечении детали. Достижению этого способствует местное
утолщение (рис. 2.9), а также КТР (рис. 2.8, ж-н). Количественная
оценка толщины усиления зависит от структуры КМ детали на регулярных участках и может быть проведена итерационным исследованием напряженно-деформированного состояния. Целесообразно эту
задачу решать совместно с повышением прочности на смятие и
срез, а также со снижением коэффициента концентрации напряжений.
Рис 2.9
Сохранение целостности волокон в местах образования отверстий является одним из самых действенных способов повышения
массовой эффективности соединений, так как резко уменьшается
степень снижения прочности КМ и растет прочность на смятие. Экспериментальные исследования, проведенные в ХАИ, показали, что
для однонаправленного углепластика КМУ-4э КТР, показанное на
рис. 2.9, б, не приводит к снижению прочности для отверстий с диаметром до 1 мм, а структур типа 0° , ± 45° , 90° - до 2…3 мм.
[
]
Образование таких отверстий производится вращением острого по-
55
лированного шила при выкладке слоев пакета, после чего в отверстие вставляется технологическая пробка (вкладыш) из материала с
антиадгезионными свойствами, например из фторопласта. Следует
обратить внимание на то, что замена одного отверстия несколькими
меньшего диаметра (рис. 2.9,г) приводит к большей доли перерезываемых волокон, но интегральная несущая способность соединения
не обязательно снизится при этом.
Коэффициент концентрации напряжений около отверстий характеризует несущую способность соединения по ослабленному сечению. Коэффициент концентрации равен отношению местных максимальных напряжений в ослабленном отверстиями сечении к напряжениям в такой же пластине без отверстия (или к направлениям
вдали от отверстия).
Для бесконечной анизотропной пластины С.Г. Лехницкий и
Г.Н.Савин получили следующие зависимости для определения тангенциальных и нормальных напряжений вблизи контура кругового
отверстия:
- при растяжении (рис. 2.10, а)
σΘ = σ0
EΘ
Ex
{[(1 + c) cos ϕ − a sin ϕ] sin Θ −
− a[cos ϕ + ( a + c) sin ϕ] cos Θ −
2
2
2
2
2
−
2
(2.109)
1

c(1 + a + c) sin 2ϕ sin 2Θ ,
4

где
a=
Ex
;
Ey
b=
Ex
− 2µ xy ;
Ey
c = 2a + b;
(2.110)
x, y - оси ортотропии КМ;
EΘ - модуль упругости в направлении Θ ;
- при сдвиге (рис. 2.10, б)
σΘ = τ0
EΘ
(1 + a + c) (a + 1) cos 2Θ + a − 1 sin 2ϕ −
2Ex
{[
]
− c cos 2ϕ sin 2Θ}.
(2.111)
56
Рис. 2.10
При растяжении (сжатии) и сдвиге в осях x, y в формулах
(2.109) и (2.110) следует положить ϕ = 0 . Тогда
EΘ
(1 + c) sin2 Θ − a cos2 Θ ,
Ex
E
σ Θ = − τ 0 Θ c(1 + a + c) sin 2Θ.
2Ex
σΘ = σ0
[
]
(2.112)
(2.113)
Для рассматриваемых пластин коэффициент концентрации
напряжений определяется так:
k=
где
σ Θ max
,
σ0
(2.114)
σ Θ max - максимальные напряжения на контуре отверстия.
Приведенными выше зависимостями можно пользоваться в
тех случаях, когда размер пластины превышает диаметр отверстия
не менее, чем в 5 раз.
В частном случае изотропного материала в этих формулах
следует положить:
Ex = Ey = EΘ = E;
a = 1;
b = 2;
G xy = G =
E
;
2(1 + µ )
(2.115)
c = 2.
Естественно, что для пластин конечных размеров коэффициенты концентрации будут отличаться от рассмотренных выше. На
57
рис. 2.11,а показаны зоны изменения k для различных материалов,
причем k - это отношение напряжений в данной точке к их средним
значениям. Как следует из этих графиков, коэффициент концентрации напряжений при растяжении пластины с круговым отверстием
может достигать значительных величин. Зависимость коэффициента k от диаметра отверстия и длины прорези (рис. 2.11, б) свидетельствует о том, что с увеличением диаметра величина k приближается к некоторой асимптоте. На рис. 2.11,в приведены графики
k = f (a b) , построенные по формуле (2.109) и проверенные экспериментально при d ≥ 2,5 мм . Теоретические значения не зависят
от диаметра, поэтому при d = 0 k ≠ 1. Разрушающие напряжения
σ p (рис. 2.11, г) для углепластика 0 ± 45° сильно зависят от диа-
[
]
метра, что подтверждает существующую концентрацию напряжений
у отверстия (k > 3) . Сведения, приведенные на рис. 2.11, заимствованы из следующих источников: [48] - рис. 2.11, а, [35] - рис. 2.11,
б, [35] - рис. 2.11, в, г.
Коэффициент концентрации напряжений тем больше, чем выше степень анизотропии КМ, поэтому дополнительное усиление в
зоне отверстий должно включать слои с армированием ± 45° (см.
[
]
также формулу (2.109)), которые по возможности равномерно распределяются среди основных слоев.
В зоне механического соединения имеет место интенсивное
перераспределение нормальных напряжений по слоям КМ, что вызывает существенные межслоевые касательные напряжения. Многочисленные эксперименты показывают, что начало разрушения
почти всегда связано с локальным расслоением, возникающим на
границе отверстия и распространяющимся вглубь материала. В
связи с этим увеличение межслоевой прочности является насущной
задачей механических соединений. Для ее решения применяются:
- повышение адгезии связующего к волокнам путем обработки
и активации поверхности волокон, модификации и снижения вязкости связующего;
- введение в связующее кристаллического вещества с размерами, близкими к толщине монослоев;
- трансверсальное армирование слоистых КМ металлическими
и композитными стержнями малого диаметра (0,6…1,5 мм);
- КТР, обеспечивающие механическое увеличение несущей
способности на межслойный сдвиг (см. рис. 2.8, з-н).
58
Рис. 2.11
На границе силового контакта крепежный элемент - КМ вследствие шероховатости поверхностей и хрупкого характера разрушения компонентов КМ появляются микроосколки волокон и связующего, которые при наличии микроподвижности соединения разрушают
связующее и оголяют кончики волокон. Лишившись опоры, последние обламываются и, таким образом, возникают новые высокоабразивные осколки КМ. В результате увеличивается диаметр отверстия
в КМ и тем самым - микроподвижность соединения. Для предотвращения этого вида разрушения следует избегать установки болтов непосредственно в КМ в разборных соединениях. В таких случаях рекомендуется использовать КТР, показанные на рис. 2.8, а-е.
В неразборных болтовых соединениях крепежные элементы можно
устанавливать на клеевых композициях, которые выравнивают шероховатость и уменьшают вероятность появления микроповреждений КМ.
Установка болтов, винтов, заклепок сопровождается затяжкой
пакета деталей, в результате чего в КМ возникают межслойные сжимающие напряжения, а при многократной разборке соединений воз-
59
можно фрикционное разрушение поверхности КМ в зоне контакта.
Эта задача решается путем установки шайб под головки болтов,
винтов, заклепок, которые увеличивают площадь контакта и тем самым снижают уровень действующих напряжений. Аналогичную роль
играют КТР, представленные на рис. 2.8, и, л, м, н. Эффективным
способом повышения несущей способности на трансверсальное
сжатие является установка деталей (втулок), которые замыкают на
себе сжимающие силы (см. рис. 2.8, а-е).
При клепке возникают существенные радиальные напряжения
из-за пластического деформирования стержня заклепки при образовании замыкающей головки, которые также приводят к локальному
разрушению КМ. Во избежание этого рекомендуется применение
специальных заклепок с профилированным стержнем (рис. 2.12, в),
односторонних заклепок с прочным стержнем и податливой втулкой, а также специальных шайб под закладную потайную головку
(см. рис. 2.12, б). Установка шайб по указанной выше причине практически всегда целесообразна.
Для клепки деталей из КМ не применяют ударные инструменты и молотки.
Разрушение конструкций связано с возникновением, характером и интенсивностью роста трещин, которые всегда появляются в
местах концентрации напряжений, в том числе, возле отверстий под
крепежные элементы. Вид трещин, место их появления и характеристики распространения зависят во многом от структуры КМ, поэтому необходимо на этапах разработки конструкций предусматривать такие КТР, которые локализовывали или замедляли бы рост
трещин. Для этого применяются стопперы, формируемые путем местного изменения жесткости КМ и вязкости его разрушения. На рис.
2.12, г показаны основные способы образования стопперов в панели обшивки. Различают стопперы двух типов: низкомодульные и
высокомодульные.
Функция низкомодульного стоппера (смягчающей полосы) заключается в том, чтобы создать зону низких напряжений с достаточной вязкостью разрушения для превращения имеющейся трещины в
некритическую. Такие стопперы формируют путем замены на дискретных участках высокомодульных слоев основного материала (угле- или
боропластика), ориентированных под углом 0° , на слои низкомодульного материала (рис. 2.12, г, вариант 3), в качестве которых можно использовать структуры ± 45° из того же КМ или укладку 0° из КМ с более низким модулем упругости (стекло- или органопластики). Например, использование однонаправленного стеклопластика в качестве
стоппера в углепластиковой панели повышает прочность поврежденной панели в 3 раза по сравнению с образцами без стопперов, а
структуры ± 45° из углепластика - в 1,5 раза.
60
Рис. 2.12
Высокомодульные стопперы применяются в тех случаях, когда
основной материал имеет низкий модуль упругости и воспринимает
в основном сдвиговые усилия. В таком КТР большая часть осевой
нагрузки воспринимается высокомодульными элементами (стопперами), что снижает концентрацию напряжений у кончика трещины
в основном материале и предотвращает ее страгивание.
Высокомодульные стопперы формируют путем замены на дискретных участках слоев 0° основного материала на более прочные
высокомодульные слои 0° из другого КМ, вкладывания однонаправленных слоев между слоями основного КМ (рис. 2.12, г, вариант 2), приклейкой однонаправленных полос (рис. 2.12, г, вариант 1)
и др. Кроме того, роль высокомодульных стопперов могут выполнять стрингеры, лонжероны, нервюры и т.п. Углы армирования волокон в стопперах выбираются в результате определения напряженно-деформированного состояния у кончика трещины.
2.3 Резьбовые соединения деталей из КМ
Из-за низкой прочности полимерных КМ на срез резьбовые соединения не находят широкого применения, однако для некоторых
агрегатов они достаточно эффективны, например, соединение цилиндрических отсеков ряда ракет с металлическими днищами. Основные типы применяемых резьб и их геометрические параметры
показаны на рис. 2.13, где а - прямоугольная растянутая, б - треуго-
61
льная растянутая, в - треугольная симметричная, г - полукруглая
симметричная, д - полукруглая растянутая, е - метрическая, ж - упорная, з - упорная растянутая, и - коническая полукруглая растянутая, к - коническая полукруглая симметричная [8].
Рис. 2.13
62
Проектирование резьбовых соединений проводится из условия
обеспечения регламентируемой прочности на срез по основанию
резьбы в композитной и металлической деталях и на смятие КМ по
сопрягаемым поверхностям.
Распределение нагрузки, воспринимаемой соединением, неравномерно по его длине и для его определения применяется формула Биргера [8]
Q( x) = k pNπd1ξ
где
Ψchξx + chξ(L − x)
(1 + Ψ)shξL
,
(2.116)
Q( x) - сила, действующая в сечении с координатой x от нача-
ла соединения;
N - осевая сила, которая для корпуса РДТТ равна
πd20
N=
p;
4
k p - коэффициент запаса прочности;
p - внутреннее давление;
L - длина резьбового соединения;
E M FM
Ψ =
;
(2.117)
E K M FK M
EM, FM, EKM, FKM - соответственно модули упругости и площади поперечного сечения соединяемых оболочек из металла и КМ;
ξ - коэффициент влияния шага нарезки резьбы, который для
стеклопластиков определяется зависимостью
ξ=
11
,
d0
(2.118)
где d0 имеет размерность x в выражении (2.116).
Из формулы (2.116) следует, что наиболее нагруженными являются крайние витки резьбы, а силы, воспринимаемые ими, равны:
при x = 0
при x = l
k p πd 20p ξ Ψ + ch ξL
Q( x ) =
;
4
(1 + Ψ )shξL
Q( x ) =
k p πd 20p ξ
4
(2.119)
Ψ ch ξL + 1
.
(1 + Ψ )shξL
Условие прочности на срез основания резьбы в композитной
оболочке имеет вид
63
Qmax
≤ τ cp ,
Fcpкм
где
(2.120)
Fcpкм - площадь срезаемой поверхности, определяемая из гео-
метрических соображений для конкретного вида резьбы;
Qmax - максимальное значение нагрузки на витки резьбы;
τ cp - предел прочности КМ на срез, который при отсутствии
экспериментальных данных может приниматься равным прочности
КМ на межслойный сдвиг (для нарезаемых резцом резьб) или из условия (2.106).
Условие прочности на срез основания резьбы в металлическом фланце имеет вид
Qmax
≤ (0,5K0,6)σ в ,
Fcpфл
где
(2.121)
Fcpфл - площадь срезаемой поверхности фланца,
σ в - предел прочности материала металлической детали на
растяжение.
Прочность КМ на смятие оценивается неравенством
Qmax
≤ σ смкм,
Fсмкм
где
(2.122)
Fсмкм - площадь сминаемой поверхности,
σ смкм - прочность КМ на смятие.
Выразив Qmax , Fсркм , Fсрфл , Fсмкм через внешнюю нагрузку
и геометрические параметры выбранного типа резьбы (рис. 2.13), из
условий (2.120) - (2.122) определим искомые величины.
Отметим некоторые особенности резьбовых соединений [8].
- работа соединения при повышенных температурах приводит
к снижению прочности КМ на срез и смятие;
- рекомендуемая конусность соединений (рис. 2.13, к) составляет (1…1,5):100, что обеспечивает почти равномерное распределение усилий по длине;
- высота профиля резьбы равна 1,5…2,5 мм для диаметров
200…500 мм;
- введение клея в резьбовое соединение повышает его несущую способность на 25…30%;
- увеличение прочности на срез достигается за счет формирования профиля резьбы при формовании изделия и введения допол-
64
нительных металлических элементов (рис. 2.14).
По механике восприятия усилий к резьбовым соединениям
примыкают так называемые буртовые с одним или несколькими
буртами, образуемыми завальцовкой КМ во впадины фланца (рис.
2.15) [8].
Образование буртов происходит при намотке корпуса (оболочки) путем завальцовки послойно туго натянутой стеклолентой (рис.
2.15, б). Геометрические параметры такого соединения практически
определяются так же, как и резьбовых.
Рис. 2.14
Рис. 2.15
65
2.4. Фланцевые соединения
Фланцевые соединения являются наиболее распространенными для стыков корпусов РДТТ с днищами, отсеков между собой и
других сочленений. Рассмотрим фланцевые соединения композитной оболочки с металлическим днищем или отсеком, основные КТР
которых показаны на рис. 2.16, 2.17 [8]. Такие стыки, как правило,
нагружены перерезывающей силой Q, осевой силой N от внутреннего давления p и изгибающим моментом M. Конструкция соединения предусматривает передачу перерезывающей силы через посадку оболочки в отбортовку фланца, что исключает нагружение болтов. Наличие опорной площадки в КТР (рис. 2.16 и 2.17, б, в) приводит к тому, что усилия в болтах от изгибающего момента распределены по высоте согласно линейному закону, на основании чего
можно записать (рис. 2.18)
(M )
Ni
My i*
= n
;
∑ y i* 2
i=1
где
y i* =
My
M
Ni( ) = n i ,
∑ y i2
(2.123)
i=1
2 π(i − 1) 
d3 
+
cos
1
;
n
2 

yi =
2 π(i − 1)
d3
cos
;
n
2
(2.124)
n - количество болтов, равномерно расположенных по контуру,
d3 - см. рис. 2.16, 2.17.
Максимальное значение растягивающей силы от изгибающего
момента равно (при i=1)
(M) = 8M ; N(M) = 4M ;
Nmax
max
3nd3
nd0
n>2.
(2.125)
Внутреннее давление вызывает равномерно распределенные
растягивающие силы
2
πd p
p
Ni( ) = 0 .
4n
(2.126)
Суммарная максимальная сила для двух распределений усилий по высоте (рис. 2.18) равна
πd20p
8M
NΣ =
+
;
4n
3nd3
πd20p 4M
NΣ =
+
.
4n
nd0
(2.127)
В дальнейших расчетах учтено, что внутренний и внешний
диаметры оболочки в регулярной зоне d0 и d1 известны из общего
проектирования конструкции. На основе имеющегося опыта проектирования и эксплуатации таких соединений рекомендуются следующие значения плотности расположения болтов [8].
66
Рис. 2.16
67
Рис. 2.17
68
Рис. 2.18
2,0K2,5 при σ вб = 800K1200 МПа,
πd
t

η=
= 3 = 2,5K3,0 при σ вб = 1200K1600 МПа, (2.128)
dб ndб 
3,0K4,0 при σ вб ≥ 1600 МПа,
где t - шаг между болтами,
σ вб - прочность материала болтов на растяжение.
Из условия прочности болтов на разрыв получим неравенство
(см. рис. 2.16, 2.17, б, в)
4kη  πd20p 8M 
dб ≥ 2
+
(2.129)

.
3d3 
π d3 σ вб  4
Длину переходной зоны l2 определяем из условия затухания
краевого эффекта оболочки по формуле
l2 ≥ π 4
Exd20 (d1 − d0 )
(
2
192Ey 1 − µ xy µ yx
)
,
(2.130)
Ex , Ey , µ xy , µ yx - модули упругости и коэффициенты Пуассона КМ оболочки в продольном (x) и окружном (y) направлениях,
k - коэффициент запаса прочности соединения.
где
Диаметр болтов, их количество и длина зоны затухания краевого эффекта являются общими для всех КТР, кроме рис. 2.17, а,
69
поэтому ниже их определение не рассматривается.
Перейдем к определению специфических параметров КТР
(рис. 2.16, 2.17).
1. Нормальное фланцевое соединение (рис. 2.16, а):
d 2 = d1 + 2l2 tgα;
 πd 20p 8M 
k

;
l1 ≥
+
πd 2 τ cp  4
3d 3 
, dб ;
d фл = d 2 + 3d отв ; d отв = 11
(2.131)
 πd 20p 8M 
k

;
+
bф ≥
πd 0 τ фл  4
3d 3 
d 3 = d 2 + d отв ,
α = 4K7° ,
τ ср , τ фл - прочность на срез материалов оболочки и фланца,
где
dотв - диаметр отверстия.
2. Штифто-болтовое соединение (рис. 2.16, б):
 π d 20 p 8M 
k

 ≤ τ ср ;
+
2nh ш lш  4
3d 3 
4k
(
n 4 h ш d ш − πd б2
)
 π d 20 p 8M 

 ≤ σ см км ;
+
3d 3 
 4
 π d 20 p 8M 
2k

 ≤ τб;
+
π nd б d ш  4
3d 3 
 π d 20 p 8M 
2k

 ≤ τш;
+
π nd б d ш  4
3d 3 
 π d 20 p 8M 
k

;
bф ≥
+
πd 0 τ фл  4
3d 3 
d 2 = d1 + 2lk tg α;
1
d ш + (2K 3 )мм;
2
d фл = d 0 + 2h ш + (4K 6 )мм;
l1 = lш +
d 3 = d фл − h ш ,
(2.132)
70
где
τ б, τ ш - прочность на срез материалов болта и штифта.
Эти зависимости в совокупности с формулами (2.128) - (2.130)
позволяют найти параметры соединения.
3. Болтовое соединение (рис. 2.16, в).
Диаметр болтов и их количество, а также длина переходной
зоны находятся из условий (2.128) - (2.130). Для остальных параметров имеет место система неравенств и формул:
 πd20p 8M 
k
bф ≥
+

;
πd0 τ фл  4
3d3 
2k  πd20p 8M 
lб ≥ b ф +
+

;
πdб τ ср  4
3d3 
dфл = d0 + 4dб ;
(2.133)
l1 = lб + c − bф ;
d3 =
1
dф + d0 .
2
(
)
4. Фланцевое соединение стяжными болтами (рис. 2.17, а):
4kη  πd20p 4M
dб ≥ 2
+

;
4
d
π d0 τ б 
0 
 πd20p 4M
2k
dфл ≥ d0 +
+

;
d0 
πdбσ см км  4
(2.134)
 πd20p 4M
k
+
l3 ≥

;
d0 
n dфл − d0 τ cp  4
(
)
l1 = 2l3 .
5. Фланце-кольцевое соединение (рис. 2.17, б):
2k  πd20p 4M

;
dк ≥
+
πndб τк  4
d0 
(2.135)
dфл ≥ 11
, ⋅ (d1 - d0 + dк ),
где
τ к - прочность материала кольца на срез.
Из зависимостей (2.131) - (2.135) с учетом выражений (2.128) (2.130) определяются основные параметры соединения, а остальные назначаются из конструктивно-технологических соображений.
71
6. Фланце-кольцевое соединение (рис. 2.17, в):
δ к = dб + (2K5) мм;
lк = lотв + δ к ctgα;
α = 30K40° ;
(2.136)
 πd20p 4M
k

.
lотв ≥
+
πndб τ cp  4
d0 
Величины dб, n и l2 вычисляются из условий (2.128) - (2.130).
На рис. 2.19 показаны две возможные схемы выкладки слоев
для формирования усилений (утолщений) под нормальное фланцевое, штифто-болтовое, болтовое и фланцевое со стяжными болтами соединения (см. рис. 2.16, 2.17, а).
Рис. 2.19
2.5. Клиновидные и полупетлевые соединения деталей из КМ
Многие материалы, в том числе и композиционные, хорошо
работают в условиях всестороннего (объемного) сжатия. С другой
стороны, основным недостатком клеевых соединений является отрыв кончиков деталей друг от друга. В связи с этим ведется поиск
КТР, которые исключали бы отрыв за счет гарантированного всестороннего прижатия детали из КМ к ответной. Эффективным способом решения этой задачи служит заклинивание КМ между двумя
металлическими деталями. На рис. 2.20 показано простое обжатие
сужающейся (а) или расширяющейся (б) конусной части трубы из
КМ.
72
Рис. 2.20
При закручивании гаек внутренняя и внешняя обоймы перемещаются относительно друг друга в противоположных направлениях и за счет конусности плотно обжимают КМ. Искривление стенки трубы обеспечивает работоспособность соединения даже в отсутствие клея. В этих КТР (рис. 2.20, а, б) при затяжке возможно несогласованное движение втулок, в результате чего в детали из КМ
могут возникнуть распирающие окружные напряжения. Этого недостатка лишены цанговые соединительные устройства (рис. 2.20, в, г),
в которых внутренний или внешний диаметр трубки жестко фиксируется втулками, а обжатие осуществляется радиальным перемещением сегментов цанги.
73
Перспективным направлением в формировании соединительных законцовок деталей из КМ является использование их волокнистой структуры путем образования полупетель вокруг оси или сердечника. Но простая полупетля (рис. 2.21, а) воспринимает преимущественно растягивающие усилия и, кроме того, при средних и
больших толщинах в зоне петли возникают радиальные напряжения
надавливания, которые могут привести к преждевременному разрушению от смятия или сжатия поперек слоев. Первого из указанных
недостатков лишено КТР, где КМ размещен между двумя обоймами
(рис. 2.21, б). Размещение или образование на сердечнике ряда
тонких ребер (рис. 2.21, в), между которыми формуется КМ, обеспечивает эффективную работу соединения на сжатие и снижает до
любого приемлемого уровня напряжения надавливания за счет
склеивания КМ по боковым поверхностям ребер.
Рис. 2.21
Описанные выше КТР могут найти применение в специфических конструкциях деталей или агрегатов.
74
2.6. Поверхностные (адгезионные) соединения
Все КМ существуют благодаря адгезионному соединению волокон со связующим и слоев между собой, поэтому, учитывая, что
связующее является надежным склеивающим веществом, целесообразно распространить склеивание на соединения деталей. Большинство элементов агрегатов из КМ представляют собой пластины,
оболочки и другие тонкостенные конструкции, нагруженные в своей
плоскости, и склеивание в этом случае достаточно естественно
обеспечивает передачу усилий с незначительным деформированием силового поля. Формирование материала одновременно с конструкцией позволяет, во-первых, исключить технологические операции, связанные с подгонкой склеиваемых поверхностей, а вовторых, совместить соединение с формованием путем установки в
оснастку готовой детали и приформовки к ней формуемой детали и,
в третьих, существенно снизить трудоемкость подготовки поверхностей под склеивание за счет приформовки так называемых жертвенных слоев, которые удаляются непосредственно перед последующей сборкой склеиванием.
Основными недостатками адгезионных соединений являются:
низкая прочность клеев по сравнению с прочностью КМ, особенно
на отрыв; неизбежное перераспределение усилий между слоями (по
толщине) в зоне склеивания, что вызывает появление нежелательных межслоевых касательных напряжений; неремонтопригодность
клеевых соединений, особенно реализованных при повышенных
температурах в заводских условиях; невозможность неразрушающего контроля качества склеивания; почти непреодолимые трудности в экспериментальной проверке соответствия расчетных (теоретических) и действительных напряжений в клеевом слое и др.
2.6.1. Расчетные модели поверхностных соединений
Наибольшее распространение получили нахлесточные клеевые соединения (рис. 2.22, а, б, в), характеризующиеся передачей
осевой нагрузки через соприкасающиеся боковые поверхности, а
также соединения, нагруженные из плоскости (рис. 2.22, г), поэтому
в литературе им уделено основное внимание.
Рассмотрим простое нахлесточное соединение (рис. 2.22, д).
Выделим из него элемент первой детали (рис. 2.22, з). Нормальные
напряжения с результирующей N уравновешиваются по оси x реакцией клея q, но так как линии действия этих сил не совпадают, то
для выполнения уравнения равновесия моментов (относительно
точки А, например) к левому краю выделенного элемента необходимо приложить изгибающий момент М. Правый торец детали сво-
75
боден от внешних усилий. Это означает, что величина изгибающего
момента М переменна по оси x, т.е. он вызван перерезывающей
силой Q, которая действует в левом сечении. Но в таком случае для
равновесия элемента по оси z реакция клеевого слоя должна включать в себя поперечную составляющую R (рис. 2.22, з). Таким образом, элементарные рассуждения приводят к выводу о сложном напряженном состоянии как деталей, так и клея.
Рис. 2.22
76
Экспериментальные исследования показывают, что разрушения таких соединений начинаются у края нахлестки даже в тех случаях, когда образец расположен между двумя жесткими плитами,
исключающими отрыв деталей друг от друга. Это обстоятельство
дает основания полагать, что превалирующими напряжениями в
клее являются сдвигающие, поэтому при построении расчетных
схем соединений важное значение имеет точность определения касательных напряжений в клеевом слое. Для этого в настоящее время в практических расчетах широко применяется одномерная модель соединения, когда напряжениями по оси z и изменениями напряжений σ x по толщине пренебрегают. Существуют две плоские
расчетные схемы. В первой полагается, что сдвиговая деформация в плоскости xz полностью сосредоточена в клеевом слое
(рис. 2.22, и), а соединяемые детали заменены двумя стержнями,
наделенными толщиной и модулями упругости исходных деталей.
Другая расчетная модель, предложенная Фолькерсеном (Volkersen),
основана на том, что сдвигу подвержены клей и прилегающие к нему половины толщин деталей (рис. 2.22, к), т.е. указанные выше
стержни соединены приведенным соединительным слоем, состоящим из собственно клея и материалов деталей [2].
Очевидно, что изгибающие моменты и перерезывающие силы
в деталях вызывают деформации конструкции из плоскости, т.е.
прогибы. Ярким подтверждением этого является нагрев двух склеенных пластин с различными коэффициентами линейного температурного расширения, в результате чего конструкция искривляется
(эффект биметаллической пластины) (рис. 2.22, л). Аналогичное явление имеет место при растяжении плоской полосы с усилением
(рис. 2.22, м). При этом следует обратить внимание на то, что большие изгибные деформации не всегда связаны с большими изгибающими напряжениями, поэтому в ряде практических задач использование одномерных моделей (рис. 2.22, и, к) вполне оправдано на этапе проектирования.
Поверочный расчет адгезионных соединений необходимо проводить на базе расчетных схем более высокого уровня. Основанием
для этого служат экспериментальные исследования нахлесточных
соединений деталей из слоистых КМ, разрушение которых часто
происходит от межслойного сдвига в ближайших к клею слоях. Это
лишний раз подтверждает наличие в деталях касательных напряжений, которые для КМ могут быть самыми опасными. Достаточно
обоснованная двухмерная модель соединения слоистых КМ предложена в работах В.Ф. Кутьинова и его учеников, а общая теория
разработана Голандом и Рейснером.
77
Слоистые КМ в силу особенностей их структуры отличаются
широкими пределами изменения коэффициентов Пуассона и линейного температурного расширения. В связи с этим поперечные
(по оси y) деформации для пластины с накладкой будут переменными по длине (рис. 2.23, а, пунктирная линия). Если указанные характеристики КМ по оси y будут отличаться, то очевидно, что из-за
стеснения деформаций возникнут касательные напряжения в клее и
нормальные в деталях в поперечном направлении. Это приведет к
искривлению пластины (рис. 2.23, б). Таким образом, растяжение
плоской в начале пластины с накладкой сопровождается искривлением в двух плоскостях (xz и yz). Для учета этих явлений используются расчетные схемы составных пластин и оболочек.
Рис. 2.23
Известно, что аналитические решения в замкнутом виде можно получить только для очень ограниченного класса конструкций,
так как строгих методов решения дифференциальных уравнений
теории пластин и оболочек, особенно с переменными коэффициентами, не существует, а большинство реальных конструкций из КМ
имеют переменные толщины и физико-механические характеристики. Все сказанное выше служит, если не обоснованием, то оправданием целесообразности построения инженерных методик расчета
клеевых соединений. В пользу такого подхода говорит и то, что для
расчета на прочность необходимо знать предел прочности клея,
для определения которого используют типовые соединения, поэтому приведенные в справочной литературе значения прочности клеев на сдвиг не всегда являются таковыми. Более вероятно, что это
какая-то интегральная прочностная характеристика, включающая в
себя совместное действие нормальных и касательных напряжений
в трех плоскостях.
78
2.6.2. Напряженно-деформированное состояние
клеевых соединений при осевом нагружении
и температурном воздействии
Рассмотрим нахлесточное соединение, нагруженное по торцам погонными усилиями N10, N20, N1n и N2n и подверженное температурному воздействию (рис. 2.24).
Одномерные расчетные схемы базируются на следующих допущениях:
- клеевая прослойка работает только на сдвиг,
- геометрические и жесткостные параметры деталей и клеевого слоя постоянны по длине,
- нормальные напряжения распределены по толщине равномерно,
- материалы деталей ортотропны в осях xy.
Рис. 2.24
Найдем податливость соединительного слоя для двух его моделей (рис. 2.24):
1. Сдвиговые деформации сосредоточены только в клеевом
слое. Тогда под действием силы Q параллелепипед клея
( ∆x ⋅ B ⋅ δ к ) получит деформацию (рис. 2.24, б)
γк =
QB
,
B ∆x Gк
(2.137)
79
где
Gк - модуль сдвига материала клея.
Ввиду малости углов сдвига можно записать
∆ = δк γ к =
Qδ к
.
∆xGк
(2.138)
При Q = 1 и ∆x = 1 получим следующую зависимость для податливости клея:
Пcx =
δк
.
Gк
(2.139)
2. Сдвиговые деформации сосредоточены в прослойке, ограниченной срединными поверхностями деталей (рис. 2.24, в). В этом
случае
QB
QB
QB
; γ2 =
; γк =
(2.140)
,
B ∆x G1xz
B ∆x G2 xz
B ∆x Gк
G1xz , G2 xz - модули сдвига материалов деталей в плоскости
γ1 =
где
xz.
Суммарное смещение ∆ равно:
∆ = ∆1 + ∆ 2 + ∆ к = γ 1
δ1
δ
+ γ 2 2 + γ к δк =
2
2
(2.141)
 δ1
δ2
δк  Q
=
+
+
.

 2G1xz 2G2 xz Gк  ∆x
Податливость этого приведенного соединительного слоя определяем по формуле
Пcx =
δ1
δ2
δ
+
+ к.
2G1xz 2G2 xz Gк
(2.142)
Выделим элемент соединения длиной dx и рассмотрим его
напряженно-деформированное состояние.
Уравнения равновесия элементов имеют вид (рис. 2.24, г)
dN1x
dx + Q xdx = 0;
dx
dN2 x
− N2 x + N2 x +
dx − Q xdx = 0.
dx
− N1x + N1x +
Отсюда
(2.143)
80
dN1x
dx + Q xdx = 0;
dx
dN2 x
dx − Q xdx = 0.
dx
(2.144)
Под действием нагрузки элементы деталей получат перемещения u1 и u2 (рис. 2.24, д). Тогда деформации деталей и угол сдвига будут равны
ε1x =
где
du1
du
u − u1
; ε 2x = 2 ; tg γ ≈ γ = 2
,
dx
dx
δc
(2.145)
δ c - толщина соединительного слоя.
Для исследуемых двух моделей эта величина определяется по
следующим формулам:
δ c = δк ;
δc =
1
(δ1 + δ 2 ) + δк .
2
(2.146)
Продифференцировав угол сдвига по x, с учетом соотношений
Коши получим
dγ
1  du2 du1 
1
=
−
(ε 2 x − ε1x ).

=
dx δ c  dx
dx  δ c
(2.147)
На основе гипотезы Дюамеля - Неймана деформации деталей
определим так:
ε1x =
N1x
N
Q
+ α1x ∆T; ε 2 x = 2 x + α 2 x ∆T; γ = x , (2.148)
Gc
δ1E1x
δ 2E2 x
где α1x , α 2 x - коэффициенты линейного температурного расширения материалов деталей.
Подставим эти формулы в уравнение совместности деформаций (2.147). Тогда
δ c dQ x
N
N
= 2 x − 1x + ∆T(α 2 x − α1x ).
Gc dx
δ 2E2 x δ1E1x
(2.149)
Это уравнение совместно с условиями равновесия (2.144)
представляет собой полную систему уравнений для определения
Q x , N1x , N2 x .
Продифференцируем по x зависимость (2.149) и подставим в
полученный результат уравнения (2.144). В результате имеем
81
 1
δc d Qx
1 dN2 x
1 dN1x
1 
Q
=
−
=
+

.
x
G c dx2
δ 2E2 x dx
δ 1E1x dx
 δ 1E1x δ 2E2 x 
2
Перепишем это выражение в виде
d2Q x
dx
2
− k 2Q x = 0,
(2.150)
где
k2 =
Решением
(2.150) является
Gc  1
1  П1x + П2 x
.
+

=
δ c  δ1E1x δ 2E2 x 
Пc
однородного
дифференциального
(2.151)
уравнения
Q x = C1sh kx + C2ch kx,
(2.152)
где С1 и С2 - произвольные константы, определяемые из граничных условий:
x = x1: N1x = N10 ; N2x = N20 ;
(2.153)
x = x 2 : N1x = N1n; N2x = N2n .
Здесь х1 и х2 - координаты начала и конца соединения. Удобно совместить х1 с левым краем соединения, т.е. х1=0.
В дальнейшем полагаем, что внешние усилия N10, N20, N1n и
N2n уравновешены:
N10 + N20 = N1n + N2n .
(2.154)
Так как граничные условия записаны для нормальных усилий,
то для определения постоянных С1 и С2 проведем некоторые преобразования.
Сложим уравнения (2.144) и проинтегрируем результат:
dN1x dN2 x
+
= 0;
dx
dx
N1x + N2 x = C 3 .
(2.155)
Подставим решения (2.152) в уравнение (2.149)
Пck( C1ch kx + C2 sh kx) =
= N2 xП2 x − N1xП1x + ∆T(α 2 x − α1x ).
(2.156)
Найдем N1х, N2х из уравнений (2.155) и (2.156):
N1x = C3
П2 x
2
k Пc
+
∆T(α 2x − α1x )
2
k Пc
−
1
k
(C1ch kx + C2sh kx);

П  ∆T(α 2 x − α1x ) 1
N2 x = C3 1 − 22x  −
+ ( C1ch kx + C2sh kx).
2
k
k Пc
 k Пc 
(2.157)
82
Учитывая равенство (2.154), какое-либо из условий (2.153)
можно опустить. Тогда для определения постоянных С1, С2 и С3 из
(2.153) получим систему уравнений:
C3
C3
П2x
k 2Пc
П2x
2
k Пc
+
+
∆T(α 2 x − α1x )
k 2Пc
∆T(α 2 x − α1x )
2
k Пc
−
−
1
k
1
k
(C1ch kx1 + C2sh kx1) = N10;
(C1ch kx2 + C2sh kx2 ) = N1n;
(2.158)

П  ∆T(α 2 x − α1x ) 1
+ ( C1ch kx1 + C2sh kx1) = N20 .
C3 1 − 22x  −
k
k 2Пc
 k Пc 
Отсюда следует
C3 = N10 + N20 = N1n + N2n;
C1 =
Ash kx 2 − Бsh kx1
;
sh k( x 2 − x1)
C2 =
Бch kx1 − Ach kx 2
.
sh k( x 2 − x1)
(2.159)
Здесь
A = (N10 + N20 )
∆T(α 2 x − α1x )
П2 x
− kN10 +
;
kПc
kПc
(2.160)
∆T(α 2 x − α1x )
П2 x
− kN1n +
.
kПc
kПc
Варьируя значения и направления усилий N10, N20, N1n и N2n,
Б = (N10 + N20 )
можно определить напряжения в деталях и клее разнообразных адгезионных соединений по формулам:
τ cx = Q x = C1sh kx + C2ch kx;
σ1x =
N1x
;
δ1
σ 2x =
N2 x
.
δ2
(2.161)
Исследуем подробней некоторые конструкции, для которых
положим x1 = 0, x2 = l.
1. Одностороннее нахлесточное соединение (рис. 2.25, а):
83
N10 = N2n = N; N20 = N1n = 0; ∆T = 0.
П

П
A = N 2 x − k ; Б = N 2 x ; C3 = N;
kПc
 kПc

C1 =
τc =
(2.162)
Б − Ach kl
Ash kl
= A; C2 =
.
sh kl
sh kl
N
[П ch k(l − x) + П2xch kx];
kПc sh kl 1x
σ1x =
N
П1x sh k(l − x) + П2 x ( sh kl − sh kx)]; (2.163)
[
δ k П sh kl
1
σ 2x =
2
c
N
П1x sh kl + П2 x sh kx − П1x sh k(l − x)].
[
δ k П sh kl
2
2
c
Рис. 2.25
Для
соединения двух деталей одинаковой
( δ 1E1x = δ 2E 2 x = δE ) из выражений (2.163) получим
жесткости
84
l

ch k  x − 

Nk
2
τc =
;
kl
2
sh
2
l


sh
k
x
−



N
2 
1 −
;
σ1x =
kl
2δ 

sh


2
(2.164)
l


sh
k
x
−



N 
2 
1 +
.
σ 2x =
kl
2δ 

sh


2
Проведем качественный анализ полученных результатов.
Простое нахлесточное соединение (рис. 2.25, а) характеризуется тем, что касательные напряжения в клеевом слое максимальны на концах, т.е. при x=0 и x=l
τ c (0) =
τ c (l) =
N П1x ch kl + П2x
;
sh kl
kПc
N П1x + П2x ch kl
.
sh kl
kПc
(2.165)
Сравнение этих выражений позволяет сделать следующие
выводы:
- при П1x = П2 x напряжения по краям одинаковы и равны
τmax =
Nk
kl
cth ;
2
2
(2.166)
- при П1x > П2 x или E1xδ1 < E2 xδ 2
Nk
П1x ch kl + П2 x
;
П1x + П2 x
sh kl
- при П1x < П2 x или E1xδ1 > E2 xδ 2
Nk
П1x + П2 x ch kl
τmax = τ(l) =
;
П1x + П2 x
sh kl
τmax = τ(0) =
(2.167)
(2.168)
На рис. 2.26, а показаны графики изменения сдвигающих напряжений в клее для различных соотношений податливостей (жесткостей) деталей, из которых видно, что максимальные напряжения
85
имеют место на конце более жесткой детали.
Первая модель определения податливости соединительного
слоя приводит к более высоким значениям τ max , чем модель Фолькерсена (рис. 2.26, б).
Анализ значений максимальных напряжений, вычисляемых по
приведенным выше формулам, показывает, что модель Фолькерсена обеспечивает достаточно хорошее совпадение с результатами
более точной двухмерной модели В.Ф. Кутьинова (рис. 2.26, б).
Жесткость материала клея Gк существенно влияет на неравномерность распределения напряжений - чем податливей клей, тем
меньше пиковые значения напряжений (рис. 2.26, в).
Начиная с какой-то длины lпр , максимум касательных напряжений перестает убывать и стремится к своему асимптотическому
значению, например, из формулы (2.166) следует, что
Рис. 2.26
τmax min =
Nk
.
2
(2.169)
Найдем значение lпр , при котором τ max отличаются от
86
τ max min на наперед заданную величину ξ1. Это означает, что
klпр Nk
Nk
cth
−
2
2
2 = ξ ; cth klпр = 1 + ξ .
1
1
Nk
2
2
Отсюда
lпр =
1
k
ln
2 + ξ1
.
ξ1
(2.170)
Очевидно, что, начиная с этой длины, дальнейшее ее увеличение нецелесообразно, так как несущая способность соединения
существенно не повышается (рис. 2.26, г).
Анализ формулы (2.164) показывает, что при x = l 2 напряжения в клее минимальны и равны
τ min =
Nk
2
1
sh
kl
.
(2.171)
2
С увеличением длины соединения величина τ min стремится к
нулю. Это означает, что, начиная с длины lкр , центральная часть
соединения перестает передавать усилия, т.е. не работает. Найдем
значение lкр из условия
τmin
≤ ξ2.
τmax
(2.172)
Подставив в (2.172) выражения (2.166) и (2.171) и решив его,
получим
lк р =
2
k
ln
2
.
ξ2
(2.173)
Сравнение формул (2.170) и (2.173) свидетельствует о том,
что при обоснованных значениях ξ1 и ξ 2 (до 0.05) lпр < lк р , т.е. максимальные напряжения быстрее достигают асимптотического значения, чем минимальные - нулевого значения. Таким образом, практическое значение имеет величина lпр , после которой, хотя пики напряжений и не снижаются, несущая способность соединения продолжает расти до l = lк р .
2. Для соединения, показанного на рис. 2.25, б, имеем:
87
N10 = −N20 = N; N2n = N1n = 0; C3 = 0;
A = −kN; Б = 0; C1 = −kN; C2 = kN
ch kl
;
sh kl
ch k (l − x)
;
τ c = kN
sh kl
N sh k (l − x)
;
δ1σ1x = − δ 2σ 2 x =
sh kl
ch kl
1
τ c ( 0) = k N
; τ c (l) = kN
;
sh kl
sh kl
N
N
σ1x (0) = ; σ 2 x (0) =
; σ1x (l) = σ 2 x (l) = 0.
δ1
δ2
(2.174)
График распределения напряжений по длине представлен на
рис. 2.27. Сравнивая формулы (2.165) и (2.174), можно сделать вывод о
том, что клей в последнем соединении более нагружен на краях. Отсюда следует, что передачу нагрузки, например, со шпангоута на обшивку
целесообразней реализовать по схеме рис. 2.27, б , чем по схеме 2.27,
в.
Рис. 2.27
3. Напряженное состояние соединения типа усиливающей накладки определяется формулами (см. рис. 2.25, в):
88
N10 = N1n = N; N20 = N2n = 0; C3 = N;
 П

A = Б = Nk  22 x − 1 ;
 k Пc 
 П

 П
 1 − ch kl
C1 = Nk  22 x − 1 ; C2 = Nk  22 x − 1
;
 k Пc 
 k Пc  sh kl
(2.175)
 П
 ch kx − ch k (l − x)
τ c = Nk  22 x − 1
;
sh
k
l
 k Пc 
σ1x =
N
П2 x sh kl + П1x [sh k (l − x) + sh kx]
2
sh kl
δ1k Пc
NП1x  sh k (l − x) + sh kx 
1 −
.
sh kl
δ 2k 2 Пc 

kl
П1x
τmax = − τ c (0) = τ c (l) = Nk
th ;
П1x + П2 x 2
;
σ 2x =
N
σ1x (0) = σ1x (l) = ; σ 2 x (0) = σ 2 x (l) = 0;
δ1
(2.176)
Во второй детали нормальные напряжения достигают максимума при x = l 2 и равны



П1x
1 
 l
σ 2 max = σ 2   = N
1 −
.
 2
kl 
δ 2 (П1x + П2 x ) 
ch

2
(2.177)
На рис. 2.28, а показано распределение напряжений в элементах этого соединения по длине.
89
Рис. 2.28
4. Для температурной задачи (см. рис. 2.25, г) из соотношений
(2.159) - (2.161) и (2.157) получим
N10 = N20 = N1n = N2n = 0; C3 = 0;
A = Б = C1 =
τc =
∆T(α 2 x − α1x )
1 − ch kl
; C2 = C1
;
kПc
sh kl
∆T(α 2 x − α1x ) ch kx − ch k (l − x)
;
kПc
sh kl
σ1x =
(2.178)
∆T(α 2 x − α1x )  sh k(l − x) + sh kx 
1 −
;
2
sh
k
l
δ1k Пc


σ 2x = −
∆T(α 2 x − α1x )  sh k (l − x) + sh kx 
1 −
.
2
sh
k
l
δ 2k Пc


Температурные касательные напряжения в клее и нормальные в
деталях на концах и посередине соединения составляют (рис. 2.28, б):
90
τmax = τ c (0) = − τ c (l) =
∆T(α 2 x − α1x ) kl
th ;
kПc
2
()
σ1x (0) = σ 2 x (0) = σ1x (l) = σ 2 x (l) = τ c l = 0;
2
(2.179)



∆T(α 2 x − α1x )
1 
l
l
δ1σ1x
= −δ 2σ 2 x
=
1 −
.
2
2
kl 
П1x + П2 x 
ch

2
()
()
Заметим, что температурные напряжения и их аналоги от
внешнего силового воздействия складываются по крайней мере на
одном конце соединения. Численные расчеты показывают, что температурные усилия по величине сопоставимы с силовыми, поэтому
при проектировании и выборе технологических процессов склеивания (горячего или холодного отверждения) необходимо тщательно
учитывать совместность действия температурного и силового полей.
2.6.3. Напряженно-деформированное состояние адгезионного соединения при сдвиге
Рассмотрим нахлесточное соединение двух деталей из ортотропных материалов, нагруженных сдвигающими усилиями (рис. 2.29).
Рис. 2.29
91
Податливость соединительного слоя в этом случае определяется по формулам (см. (2.139), (2.142)):
- модель 1:
Пcy =
δк
;
Gк
(2.180)
- модель 2 (Фолькерсена):
Пcy =
δ1
δ2
δ
+
+ к.
2G1yz 2G2 yz Gк
(2.181)
Уравнения равновесия элементов соединения в произвольной
точке имеют вид (рис. 2.29, б)
dq1x
+ Q y = 0;
dx
dq2 x
− Q y = 0.
dx
(2.182)
Деформации деталей и клея определяются соответственно
соотношениями Коши и из рис. 2.29, в:
dv1
dv
v − v1
; γ 2 xy = 2 ; γ = 2
.
δc
dx
dx
γ 1xy =
(2.183)
Из физического закона эти деформации равны:
γ 1xy =
q1x
= q1x П1xy ;
δ1G1xy
γ 2 xy =
q2 x
= q2 x П2 xy ;
δ 2G2 xy
γ =
Qy
Gc
= Qy
(2.184)
Пc
.
δc
Продифференцируем последнее выражение (2.183) и после
некоторых подстановок и преобразований получим
d2Q y
dx 2
− k 2Q y = 0,
(2.185)
где
Gc  1
1  П1xy + П2 xy

=
k =
+
.
δ c  δ1G1xy δ 2G2 xy 
Пcy
2
(2.186)
Решением дифференциального уравнения (2.185) является
Q y = C1sh kx + C2ch kx,
(2.187)
где постоянные интегрирования С1 и С2 находятся из граничных условий:
92
x = x1: q1x = q10 ; q2 x = q20 ;
x = x2 : q1x = q1n ; q2 x = q2n .
(2.188)
Таким образом, эти зависимости аналогичны тем, которые были получены выше (см. выражения (2.152) и (2.153)), поэтому, опуская промежуточные выкладки, запишем окончательные результаты:
q1x = C3
П2 xy
k 2Пcy
−
1
k
(C1ch kx + C2sh kx);

П2 xy  1
 + C ch kx + C2sh kx),
q 2 x = C3 1 − 2
 k П  k( 1

cy 
(2.189)
где
C3 = q10 + q20 = q1n + q2n;
C1 =
Ash kx 2 − Бsh kx1
;
sh k ( x 2 − x1)
C2 =
Бch kx1 − Ach kx 2
;
sh k ( x 2 − x1)
A = (q10 + q20 )
Б = (q10 + q20 )
П2 xy
kПcy
П2 xy
kПcy
(2.190)
− kq10 ;
− kq1n.
Варьируя значения и направления усилий q10, q20, q1n и q2n,
можно определить напряжения в деталях и клее разнообразных адгезионных соединений по формулам:
τ cy = C1sh kx + C2ch kx;
τ1xy =
q1xy
δ1
; τ 2 xy =
q2 xy
δ2
.
(2.191)
При совместном действии осевых и сдвигающих усилий напряжения в клее складываются векторно, а прочность деталей оценивается по какому-либо приемлемому критерию.
93
2.6.4. Учет ширины соединения при определении напряженнодеформированного состояния соединения
Коэффициенты линейного температурного расширения материалов деталей могут быть различны не только по оси x, но и по
оси y. Кроме того, из-за различия коэффициентов Пуассона поперечные деформации деталей в соединении стеснены, в результате
чего по оси y возникает дополнительное напряженное состояние. В
общем случае деформации и напряжения по осям x и y взаимосвязаны физическим законом. Корректное решение задачи даже при
использованных выше упрощенных расчетных схемах не представляется возможным в аналитическом виде, так как для определения
усилий Q x и Q y получается система двух однородных дифференциальных уравнений в частных производных. В связи с этим примем, что поперечные напряжения не влияют на продольные, а каждая полоска соединения шириной dx (см. рис. 2.24, а) рассматривается изолированно. Эти допущения позволяют записать следующие
зависимости для деформаций деталей по оси y (аналоги формул
(2.148)):
ε 1y =
ε 2y =
где
N1y
δ 1E1y
N2 y
δ 2E2 y
+ α 1y ∆T − µ 1xy
N1x
;
δ 1E1x
+ α 2 y ∆T − µ 2 xy
N2 x
,
δ 2E2 x
(2.192)
N1y , N2 y - усилия в деталях, являющиеся следствием разно-
сти коэффициентов Пуассона и температурного линейного расширения;
N1x , N2 x - продольные усилия в деталях, определяемые по
формулам (2.157);
µ1xy , µ 2 xy - коэффициенты Пуассона.
Уравнения равновесия и соотношения Коши запишем аналогично (2.144) и (2.145):
dN1y
dN2 y
− Q y = 0;
dy
dv
dv
v − v1
ε1y = 1 ; ε 2 y = 2 ; γ = 2
.
dy
dy
δc
dy
+ Q y = 0;
(2.193)
После преобразований получим уравнение совместности деформаций (см. формулу (2.149))
94
Пcy
dQ y
dy
(
)
= N2 y П2 y − N1y П1y + ∆T α 2 y − α1y −
(2.194)
(
)
− µ 2 xyN2 x П2 x − µ1xyN1x П1x .
Продифференцируем это выражение по y и после подстановки в результат уравнений (2.193) получим
d2 Q y
dy
где
k2 =
П1y + П2 y
Пcy
− k 2Q y = 0,
2
(2.195)
.
Решением уравнения (2.195) является
Q y = C1sh ky + C2ch ky,
где
(2.196)
С1 и С2 определяются из граничных условий:
y = 0: N1x = N2 x = 0;
y = B: N1x = N2 x = 0.
(2.197)
Сложив почленно первые два уравнения системы (2.193), после интегрирования находим
N1y + N2 y = C 3 .
(2.198)
Подставим решение (2.196) в зависимость (2.194) и получим
(2.199)
Пcyk ( C1ch ky + C2sh ky) = N2 y П2 y − N1y П1y + β y ,
где
(
) (
)
β y = ∆T α 2 y − α1y − µ 2 xyN2 x П2 x − µ1xyN1x П1x .
Решим совместно уравнения (2.198) и (2.199) относительно
усилий N1y и N2 y :
N1y = C3
П2 y
k 2Пcy
+
βy
k 2Пcy
−
1
k
(C1ch ky + C2sh ky);
(2.200)

П2 y 
βy
1
−
N2 y = C3 1 − 2
+
(C1ch ky + C2sh ky).
 k П  k 2П
k

cy 
cy
Так как внешнее нагружение по оси y отсутствует, то из (2.198)
получим
C3 = 0.
Тогда из системы (2.200) с учетом (2.197) определим константы
С1 и С2:
95
C1 =
βy
kПcy
; C2 =
β y 1 − ch kB
.
kПcy sh kB
(2.201)
Подставим эти выражения в (2.196) и (2.200):
Qy =
β y ch ky − ch k(B − y)
;
kПcy
sh kB
N1y =
 sh k(B − y) + sh ky 
1 −
;
sh kB
k 2Пcy 

N2 y = −
βy
(2.202)
 sh k(B − y) + sh ky 
1 −
.
2
sh
k
B
k Пcy 

βy
Как видно, эти зависимости с точностью до индексов, обозначающих направления, полностью идентичны формулам (2.178), поэтому остается в силе проведенный выше анализ.
2.6.5. Напряженно-деформированное состояние
при нагружении одной из деталей в пределах соединения
В конструкциях ЛА достаточно распространены соединения,
одна из деталей которых нагружена внешней силой, приложенной не
по краям, а в произвольной точке в пределах соединения (рис. 2.30).
Рис. 2.30
96
Например, такой характер нагружения имеет место в соединении
обшивки со шпангоутом, служащим для крепления двигателя (рис.
2.30, а), кронштейнов с корпусом двигателя (рис. 2.30, б) или с обшивкой через промежуточную кницу (рис. 2.30, в), дополнительного
узла со стенкой лонжерона (рис. 2.30,г) и др.
Для определения напряжений в клеевом слое и деталях используется расчетная схема, показанная на рис. 2.31. Рассмотрим
соединение, нагруженное погонными усилиями N (рис. 2.31, а). Разделим конструкцию на две части и введем в месте раздела неизвестные усилия N1k и N2k (рис. 2.31,б,в), которые найдем из уравнения равновесия (см. приложение усилий на рис. 2.31, в) и условия
равенства сдвиговых деформаций клея в сечении x = xk . Каждое из
этих выделенных соединений рассчитывается по приведенным выше зависимостям (2.152) и (2.157) с учетом (2.159), (2.160).
Рис. 2.31
Для левой части при x < xk (рис. 2.31, б) имеем:
N10 = 0, N20 = N, N2n = N2k , N1n = N1k ,
x1 = 0, x 2 = xk , ∆T = 0;
A=N
П2x
П
; Б = N 2x − kN1k ; C3 = N;
kПc
kПc
C1 = N

П2x
1  П2x
; C2 =
N
1
−
ch
k
x
−
k
N
(
)
k
1k .
kПc
sh kxk  kПc

(2.203)
97
С учетом этих выражений напряжения в клее определяем по
зависимости
П2 x ch kx − ch k( xk − x)
ch kx
− kN1k
.
(2.204)
kПc
sh kx
sh kxk
Для правой части соединения при xk ≤ x ≤ l (рис. 2.31, в) в
τ cx1 = N
формулах (2.159), (2.160) необходимо положить
N10 = −(N − N1k ), N20 = N2k = N − N1k , N2n = N1n = 0,
x1 = xk , x 2 = l, ∆T = 0;
A = k (N − N1k ); Б = 0; C3 = 0;
C1 = k (N − N1k )
(2.205)
sh kl
ch kl
; C2 = −k(N − N1k )
.
sh k (l − xk )
sh k(l − xk )
После подстановки этих выражений в формулу (2.161) получим
τ cx 2 = −
k(N − N1k )
ch k(l − x).
sh k(l − xk )
(2.206)
При постоянных свойствах клея условие совместности деформаций в сечении x = xk имеет вид
τ cx1( xk ) = τ cx2 ( xk ).
(2.207)
Подставим в (2.207) выражения (2.204) и (2.206) и после соответствующих преобразований определим неизвестные усилия N1k и
N2k :
N1k = N
П1x ch k(l − xk )sh kxk + П2 x [ sh kl − sh k(l − xk )]
;
(П1x + П2x )sh kl
(2.208)
П1x [ sh kl − sh kxk ch k(l − xk )] + П2 x sh k(l − xk )
N2k = N
.
(П1x + П2 x )sh kl
Затем, подставив зависимости (2.208) в формулы (2.204) и
(2.206), найдем распределение касательных напряжений в клеевом
слое. Для определения нормальных напряжений в деталях необходимо вычислить для каждой зоны константы С1 и С2 с учетом
(2.208), после чего по формулам (2.157) находим искомые величины
N1x и N2 x .
Аналогичное нагружение соединения сдвигом (рис. 2.32) приводит к таким результатам (см. формулы (2.189) и (2.190)):
- для левой части соединения:
98
q10 = 0, q20 = q, q2n = q2k , q1n = q1k ,
x1 = 0, x 2 = xk , ∆T = 0;
A=q
П2 xy
kПcy
C1 = q
k2 =
; Б=q
П2 xy
kПcy
П2 xy
kПcy
; C2 =
П1xy + П2 xy
Пcy
− kq1k ; C3 = q;
 П2 xy

1 − ch kxk ) − kq1k ;
(
q
sh kxk  kПcy

1
;
(2.209)
Рис. 2.32
τ cy1 = q
П2 xy ch kx − ch k( xk − x)
kПcy
sh kx
− kq1k
ch kx
;
sh kxk
(2.210)
- для правой части соединения (рис. 2.32):
q10 = −(q − q1k ), q20 = q2k = q − q1k , q2n = q1n = 0,
x1 = xk , x 2 = l, ∆T = 0;
A = k (q − q1k ); Б = 0; C3 = 0;
C1 = k (q − q1k )
sh kl
ch kl
; C2 = −k (q − q1k )
;
sh k(l − xk )
sh k(l − xk )
(2.211)
99
τ cy2 = −k(q − q1k )
ch k(l − x)
.
sh k(l − xk )
(2.212)
Здесь
q1k = q
q2k = q
П1xy ch k(l − xk )sh kxk + П2 xy [sh kl − sh k(l − xk )]
(П1xy + П2xy )sh kl
П1xy [sh kl − sh kxk ch k(l − xk )] + П2 xy sh k(l − xk )
(
)
П1xy + П2 xy sh kl
;
(2.213)
.
При сложном или при другом внешнем нагружении соединений
можно воспользоваться схемой (см. рис. 2.31, г), согласно которой в
соответствии с принципом суперпозиции рассматриваются изолированно два соединения. Для каждого из них выше приведены все
расчетные формулы.
2.6.6. Напряженно-деформированное состояние адгезионного
соединения с переменными параметрами по длине
Описанная и использованная выше расчетная схема соединений приводит к аналитическому решению только при постоянных
геометрических и жесткостных параметрах деталей и клеевого слоя.
На практике же чаще применяют переменную толщину, так как известно, что скашивание концов деталей резко снижает значения
максимальных касательных напряжений в клее. В связи с этим
большую практическую значимость имеет разработка методики определения напряженного состояния адгезионного соединения с переменными параметрами (рис. 2.33, а). Расчетная схема базируется
на методе физической дискретизации [17,28], суть которой заключается в представлении непрерывного соединительного слоя в виде
точечных сдвиговых связей (рис. 2.33, д, е). Это позволяет построить решение по аналогии с механическим соединением, для чего
необходимо получить зависимости податливостей деталей и соединительного слоя.
При аппроксимации конфигурации детали по схеме рис. 2.33, б, в
податливости вычисляем по формулам
П1xi =
1
;
δ1iE1xi
а по схеме рис. 2.33, г
П2 xi =
1
,
δ 2iE2 xi
(2.214)
100
Рис. 2.33

t *xi  1
1

;
П1xi =
+
2t xi  δ1iE1xi δ1,i +1E1x,i +1 
 1

1

,
П2 xi =
+
2t xi  δ 2iE2 xi δ 2,i +1E2 x,i +1 
t *xi
где
(2.215)
t *xi - протяженность соединительного слоя, сконцентрирован-
101
ного в i-ю силовую связь.
Для определения податливости сдвиговых связей используются те же две модели, что и ранее, для которых запишем:
- модель 1 (рис. 2.33, д)
Пci =
δ кi
Gкi t *xi
;
(2.216)
- модель 2 (рис. 2.33, е)
 δ1*i
δ *2i
δ кi  1
 ,
Пci = 
+
+
 2G1xzi 2G2 xzi Gкi  t *xi
*
(2.217)
*
где δ1i , δ 2i определяются согласно принятой схеме аппроксимации геометрии деталей. Например:
- рис. 2.33, б, в
δ i* =
1
(δi−1 + δi );
2
- рис. 2.33, г
δ i* = δ i.
По аналогии с точечными соединениями уравнения равновесия деталей имеют вид
i
N1xi = N10 − ∑ Q xi ;
i =1
(2.218)
i
N2 xi = N20 + ∑ Q xi .
i =1
Из схемы деформирования элемента соединения (рис. 2.33, и)
следуют такие уравнения совместности:
t xi [N2 xiП2 xi − N1xiП1xi + ∆T(α 2 xi − α1xi )] =
= Q x,i +1Пc,i +1 − Q xiПci;
i = 1K(n − 1).
(2.219)
После подстановки в (2.219) уравнений (2.218) получим систему для определения погонных усилий Q xi :
i −1
[
]
t xi (П1xi + П2 xi ) ∑ Q xj + Q xi t xi (П1xi + П2 xi ) + Пci −
j =1
− Q x,i +1Пc,i +1 = t xi (N10П1xi − N20П2 xi ) − ∆T(α 2 xi − α1xi ); (2.220)
n
∑ Qxi = N10 − N1n;
i =1
i = 1K(n − 1).
102
С помощью выражений (2.218) условие совместности можно
преобразовать в систему уравнений относительно N1xi :
[
]
N1x,i −1Пci − N1xi t xi (П1xi + П2 xi ) + Пci + Пc,i +1 +
+ N1x,i +1Пc,i +1 = − t xiП2 xi (N10 + N20 ) − ∆T(α 2 xi − α1xi ),
где
(2.221)
i = 1K(n − 1).
Аналогичным образом можно получить разрешающие системы
уравнений для соединения, нагруженного сдвигом, и при необходимости читатель выведет их самостоятельно.
При разбиении соединения на участки следует учесть, что:
- чем больше участков, тем выше точность расчета, но возрастает количество уравнений в системах (2.220) или (2.221);
- в начале и в конце соединения количество участков на единицу длины должно быть больше, чем в средней части;
- при равномерном разбиении наиболее легко вычисляются
коэффициенты определителей систем уравнений;
- при n ≥ 20 решение стабилизируется.
Выбор схемы дискретизации толщины детали из КМ целесообразно увязать с укладкой и толщиной монослоев препрега и потом перейти к формированию расчетной схемы.
После определения усилий Q xi (или N1xi ) напряжения вычисляем по формулам:
σ1xi =
N1xi
;
δ1i
σ 2 xi =
N2 xi
;
δ 2i
N2 xi = N10 + N20 − N1xi ;
τ ci =
(2.222)
Q xi
; Q xi = N1x,i −1 − N1xi .
*
t xi
Таким образом, выше приведены методики и расчетные зависимости для определения напряжений и усилий в поверхностных
(адгезионных) соединениях с постоянными и переменными параметрами при разнообразных видах внешнего нагружения.
2.7. Проектирование адгезионных соединений
При постоянных толщине деталей и модулях упругости определению подлежит длина соединения и подбор материала клея, а в
некоторых случаях и толщина клеевого слоя. Как показано выше,
максимальные напряжения в клее имеют место на концах соединения, поэтому условие прочности имеет вид
103
τ max ≤ τк ∨ τмс ,
(2.223)
где τ к , τ мс - пределы прочности материала клея и КМ на межслойный сдвиг.
Максимальные напряжения находим суммированием силового
и температурного компонентов (см. формулы (2.165) и (2.178)):
- при П1x ≥ П2 x или δ 1E1x < δ 2E 2 x
N П1x ch kl + П2 x ∆T(α 2 x − α1x ) 1 − ch kl
+
. (2.224)
sh kl
sh kl
kПc
kПc
- при П1x ≤ П2 x или δ1E1x > δ 2E2 x
N П1x + П2 x ch kl ∆T(α 2 x − α1x ) ch kl − 1
τ max =
+
. (2.225)
kПc
kПc
sh kl
sh kl
τ max =
Приравняв максимальные действующие напряжения пределу
прочности клея или КМ на межслойный сдвиг, из трансцендентного
уравнения находим длину соединения. Путем анализа нескольких
материалов клея и технологических процессов склеивания выбираем оптимальное сочетание. Очевидно, что для таких соединений их
масса прямо пропорциональна длине.
Более сложной является задача проектирования соединений с
переменными параметрами, подлежащими оптимизации. Рассмотрим в качестве первого примера случай, когда физико-механические
свойства деталей не зависят от толщины, что реализуемо на практике при пропорциональном изменении количества слоев с однотипной укладкой. На первом этапе примем также, что ∆T = 0 или
α1x = α 2 x .
Анализируя вывод дифференциального уравнения (2.150),
можно заметить, что выражения (2.144) и (2.145) не зависят от характера изменения параметров деталей и соединительного слоя по
длине. При δ c = const аналогичное утверждение верно и для зависимостей (2.147) и (2.149), т.е. уравнение совместности деформаций (2.149) сохраняется в таком виде и для соединений с переменными параметрами, если δ c = const . Сказанное позволяет построить методику проектирования адгезионного соединения, основанную на поиске рационального распределения напряжений в клее.
Примем, что толщины первой детали при x = 0 и второй при
x = l известны из общего проектирования конструкции. На первом
этапе воспользуемся первой моделью соединительного слоя (см.
формулу (2.139)) и положим δ к = const; Gк = const , что вполне
соответствует реальным технологическим процессам склеивания.
104
Эти допущения позволяют использовать уравнение (2.149) для соединения деталей с переменными толщинами по длине. Выше было
принято, что модули упругости и пределы прочности не зависят от
толщины.
Примем, что касательные напряжения в клее распределяются
по длине соединения согласно закону
2
2
x
 x
Q x = τ c = a  + b + c = a x + bx + c,
(2.226)
 l
l
и будем искать такие значения коэффициентов a, b, c , которые
()
удовлетворяли бы уравнениям равновесия и совместности деформаций, а масса соединения была бы минимальной.
Из уравнений (2.144) найдем
2
 ( x)3

x
(
)

N1x = N − ∫ τ c dx =N − l∫ τ c dx =N − l ⋅ a
+b
+ cx ;


2
0
0
 3

x
1
(2.227)
 ( x)

x)
(

N2 x = l ⋅ a
+b
+ cx .
 3

2


3
2
Так как при x = 0 N1x = 0 , то из этой зависимости найдем
коэффициент с, после чего получим следующие формулы для усилий в деталях:
c=
N 1
1
− a − b;
l 3
2
2
b
a

N1x = N 1 − x + lx  1 − x  + 1 − x ;
 2
3 

2
b
a

N2x = Nx − lx  1 − x  + 1 − x .
 2
3 

(
()
)
()
(
(
)
(2.228)
)
Подставим выражения (2.226) и (2.228) в уравнение (2.149) и
найдем
2
Пc 0
b

a

2ax + b = П2 x Nx − lx  1 − x  + 1 − x   −
 2
l
3 


(
()
)
(
)
2
b

a

− П1x N 1 − x + lx  1 − x  + 1 − x  ,
 2
3 


где Пc0 = const - податливость соединительного слоя.
(
)
()
(
)
(2.229)
105
Учитывая, что при x = 0 П1x = П10 , а при x = l П2 x = П2l , из
уравнения (2.229) получим
Пc 0b = −NlП10 ;
(2.230)
Пc 0 (2a + b) = NlП2l.
Из этой системы следуют выражения для коэффициентов a и b:
a = Nl
П10 + П2l
;
2Пc 0
b = −Nl
П10
.
Пc0
(2.231)
Заметим, что касательные напряжения при найденных коэффициентах a, b, c не должны менять знак в пределах соединения.
Из этого условия следует, что
l ≤ lк р ;
(
6Пc 0 П10 + П2l
lк2р =
3
П10
+ П32l
)2 .
(2.232)
Согласно полученным выше результатам
a > 0, b < 0, c > 0.
(2.233)
Это позволяет утверждать, что касательные напряжения в
клее максимальны на концах соединения, т.е.
N a b
N 2a b
(2.234)
− − ;
τ c (l) = +
+ .
l 3 2
l
3 2
Из сравнения τ c (0) и τ c (l) с учетом формул (2.231) следует:
- при П2l > П10
τ c (0) < τ c (l);
τ c (0) =
(2.235)
- при П2l ≤ П10
τ c (0) ≥ τ c (l).
Таким образом, запишем следующие условия прочности клея:
- при П10 ≥ П2l
N a b
− − ≤ τк ;
l 3 2
- при П10 < П2l
N 2a b
+
+ ≤ τк ,
l
3 2
где τ к - прочность клея.
(2.236)
(2.237)
Очевидно, что масса соединения будет тем меньше, чем
меньше его длина, поэтому эти неравенства необходимо использовать в виде равенств.
Исследуем подробней случай (2.236). Подстановка сюда выражений (2.231) приводит к формуле для определения длины соединения
106
lmin =
3τк Пc 0 ± 9П2c 0 τк2 − 6N2Пc 0 (2П10 − П2l )
N(2П10 − П2l )
.
(2.238)
Из двух значений l рациональным будет то, которое определяется знаком “минус”.
При П10 < П2l (см. условие (2.237)) длина соединения вычисляется по формуле
lmin =
3τк Пc 0 − 9П2c 0 τк2 − 6N2Пc 0 (2П2l − П10 )
N(2П2l − П10 )
.
(2.239)
Если lmin < lк р (см. формулу (2.233)), то в такой постановке задача не имеет физически реализуемого решения. Положение можно
исправить путем коррекции толщины деталей (первой при x = 0 или
второй при x = 1) или подбора материала клея (изменения Пc0 ).
Таким образом, при известных П10 и П2l глобальные параметры соединения определяются полностью формулами (2.238) или
(2.239), а характер изменения толщины по длине описывается зависимостью (2.229), левая часть которой является константой. Анализ
показывает, что увеличение толщины одной из деталей требует
увеличения толщины другой и наоборот, поэтому масса соединения
будет минимальной в том случае, когда масса детали из материала
с большей плотностью будет минимальной. Это означает, что в каждой точке условие прочности детали должно выполняться в виде
равенства.
Пусть ρ2 > ρ1 (ρ - плотность материала). Тогда
δ2 ≥
N2 x
F2 x
или П2 x ≤
,
F2 x
E2 xN2 x
(2.240)
F2 x - прочность материала второй детали.
Найденная толщина δ 2 при x = 1 не обязательно будет совпадать с заданной ранее через податливость П2l (рис. 2.34, а). По
где
логике вещей она должна быть меньше, а так как скачкообразного
изменения толщины δ 2 при x = 1 не может быть, то необходимо
предварительно оговорить протяженность переходной зоны и характер изменения δ 2 . Очевидно, что в пределах этой зоны условие
(2.240) будет выполняться с некоторым запасом прочности.
107
Рис. 2.34
Пусть толщина второй детали задана зависимостью
N2 x
0 ≤ x ≤ x n;
F ;
 2x
δ2 = 
N2 x 1 + x − xn  δ 2lF2 x − 1 ;
 F2 x  1 − xn  N
 
где
(2.241)
xn ≤ x ≤ 1 ,
xn - координата начала переходной зоны,
−1
δ 2l = (E2 xП2l ) .
С учетом сделанных замечаний из условия (2.229) получим зависимость для определения δ 1 (или ∏ 1x ):
N1x
N
П
= 2 x − c0 2ax + b .
δ1E1x δ 2E2 x
l
(
)
(2.242)
Если из технологических соображений удобней корректировать толщину первой детали (рис. 2.34, б), то
N1x  x − xn  δ10F1x  
− 1 ;


1 −

xn  N
 F1x 
δ1 = 
N1x ;
xn ≤ x ≤ 1 ,
 F1x
где
0 ≤ x ≤ xn ;
(2.243)
−1
δ10 = (E1x П10 ) .
В этом случае из уравнения (2.229) следует
N2 x
N
П
= 1x + c 0 2ax + b ,
δ 2E2 x δ1E1x
l
(
)
(2.244)
108
где N1x , N2 x , a, b и l определяются выражениями (2.228), (2.231)
и (2.238) или (2.239).
На ненагруженных концах толщина деталей равна нулю, что
не всегда целесообразно или технологически трудно реализуемо. В
связи с этим необходимо корректировать конфигурацию одной из
деталей по всей длине соединения. После определения профиля
толщины из конструктивно-технологических соображений уравнение
(2.229) позволяет найти теоретический профиль другой детали, который также желательно довести до технологически реализуемого.
Рассмотрим вариант линейного распределения напряжений по
длине клеевого слоя, т.е.
x
τ c = k1 + k 2 = k1 x + k 2 .
l
(2.245)
Усилия в деталях определяем из уравнений (2.144):
 ( x)2


N1x = N − l ⋅ k 1
+ k 2 x ;


2


 ( x)


N2 x = l ⋅ k 1
+ k 2 x .


2


2
(2.246)
Один из коэффициентов, например k 2 , найдем из второго
уравнения при x = 1, где N2 x = N :
k2 =
N k1
− .
l 2
(2.247)
С учетом этого выражения получим
N1x = N(1 − x) +
N2 x = Nx −
k1lx
(1 − x);
2
k 1lx
(1 − x).
2
(2.248)
Уравнение совместности деформаций (2.149) преобразуем к
виду
Пc 0
k1 = П2 xN2 x − П1xN1x .
l
(2.249)
Из принятого выше допущения о том, что значения толщины
первой детали при x = 0 и второй при x = 1 известны, следует система двух уравнений:
Пc 0
k1 + NП10 = 0;
l
Пc 0
k1 − NП2l = 0.
l
(2.250)
109
Эти уравнения не имеют общих физически обоснованных корней. Добавим к ним условия прочности клея, имеющие вид:
τ max = τ c (0) =
- при k 1 ≤ 0
N k1
−
≤ τк ;
l 2
(2.251)
τ max = τ c (l) =
- при k 1 > 0
N k1
+
≤ τк .
l 2
Сравнение зависимостей (2.250) и (2.251) показывает, что при
k 1 < 0 можно задавать только толщину первой детали при x = 0 , а
конфигурация второй детали определяется принятым распределением усилий и уравнением совместности деформаций.
Совместное решение уравнений
N k1
−
= τк
l
2
приводит к следующим выражениям для k1 и l:
Пc 0
k1 + NП10 = 0;
l
− Пc 0 τк ± П2c 0 τк2 − 2N2П10Пc 0
k1 =
;
Пc 0
l=
Пc 0 τк ±
П2c 0 τк2 − 2N2П10Пc 0
NП10
(2.252)
.
Рациональным будут меньшее значение l и большее (алгебраически) значение k1.
Из вторых уравнений групп (2.250) и (2.251) получим
Пc 0 τк ± П2c 0 τк2 − 2N2П2lПc 0
k1 =
;
Пc 0
l=
Пc 0 τк ±
П2c 0 τк2 − 2N2П2lПc 0
NП2l
(2.253)
.
Так как l → min , то рациональными будут корни со знаком
“минус”.
Проведенный выше анализ показывает, что возможны три варианта проектирования клеевого соединения:
1. Задается закон изменения толщины первой детали по длине, например,
δ 1 = δ 10
N1x
,
N
или δ1 =
N1x F1xδ10
 F1xδ10

−
x
−
1

 ,
 N

F1x  N
(2.254)
110
и из уравнения (2.249) с учетом (2.252) определяется толщина второй детали.
2. Задается закон изменения толщины второй детали по длине, например,
δ 2 = δ 2l
N2 x
,
N
или δ 2 =
N2 x 
 F2 xδ 2l

1
+
−
1
x

 ,
 N

F2 x 
(2.255)
а параметры первой детали находятся из выражения (2.249), в которое подставляются k1 и l из зависимостей (2.253).
Выбор распределений (2.254) и (2.255) обосновывается простотой математической записи и обеспечением прочности деталей,
по крайней мере, одной из них. Если из условия совместности
(2.249) толщина другой детали не будет удовлетворять условию
прочности, то ее следует увеличить до требуемого уровня и, как
следствие, из того же уравнения скорректировать толщину первой
детали, заданную выражениями (2.254) или (2.255).
3. Определяются параметры деталей при равномерном распределении напряжений в клее по длине (принимается k 1 = 0 ) из
уравнения
П1xN1x = П2 xN2 x
или
N1x E1x δ 1
.
=
N2 x E 2 x δ 2
(2.256)
Длина соединения вычисляется по формуле
l=
N
.
τк
(2.257)
Для удовлетворения условий прочности деталей можно воспользоваться зависимостями (2.254) или (2.255).
По результатам проектирования этих трех КТР вычисляется
масса соединения и принимается решение о наиболее рациональной конструкции.
Принятие второй модели соединительного слоя (модели Фолькерсена) не позволяет реализовать описанные выше методики.
Вместе с тем известно, что первая модель завышает значения максимальных напряжений в клее и вследствие этого приводит к большей длине соединения. В связи с этим рекомендуется следующая
процедура коррекции длины:
- проектируется соединение по одной из описанных методик,
- определяется податливость соединительного слоя по формуле (2.142),
- вычисляются новые значения напряжений в клеевом слое по
методике для соединений с переменными параметрами по длине,
- итерационными методами определяется новое значение дли-
111
ны соединения из условия приближения максимальных напряжений
к пределу прочности клея,
- при необходимости проводится коррекция профиля деталей.
Аналогичным образом учитывается влияние температурных
воздействий, имея в виду, что квадратичное и линейное распределения напряжений по длине соединения позволяют более эффективно проектировать геометрию деталей путем управления уровнем
напряжений на концах соединения.
2.8. Конструктивно-технологические решения
адгезионных соединений
В конструкциях из слоистых КМ на полимерной матрице адгезионные соединения являются самыми распространенными и на
практике реализуются традиционным процессом склеивания отформованных деталей и приформовкой, когда клеящим веществом
служит связующее КМ или специальные клеевые препреги. В многочисленных работах (см. список рекомендуемой литературы)
описано большое количество КТР клеевых соединений, поэтому
здесь уделено внимание наиболее типичным конструкциям.
На рис. 2.35 показаны простые нахлестки и соединения накладками готовых (отформованных) деталей. Конфигурация соединений зависит от предъявляемых требований к поверхности конструкции. Для повышения прочности на краях, где напряжения в клее
максимальны, применяют прошивку как готовых деталей (при толщине до 1 мм), так и недозаполимеризованных.
Существенное снижение пиков касательных напряжений в клеевом слое достигается скашиванием кромок деталей (рис. 2.36, а), соединением деталей на “ус” с или без дополнительных накладок (рис.
2.36, б, г), применением накладок переменной толщины (рис. 2.36,
в), реализацией врезных (рис. 2.36, д, ж) и ступенчатых нахлесток
(рис. 2.36, е, з). Большинство этих соединений требует тщательной
подгонки склеиваемых поверхностей, которая возможна в заводских
условиях.
На рис. 2.37 приведен ряд КТР адгезионных соединений, осуществляемых приформовкой накладки (рис. 2.37, а, б), усиления
(рис. 2.37, в, г), накладок переменной толщины (рис. 2.37, д, е), обшивки к готовым стрингерам (рис. 2.37, ж), стрингеров к отформованной обшивке (рис. 2.37, з), стенки баллона или оболочки, изготавливаемых намоткой, к штуцеру или шпангоуту (рис. 2.37, и, к) и
т.п. В этих КТР подгонки поверхностей не требуется, так как препрег
автоматически принимает требуемую форму. Если приформовкой
соединяются КМ на различных связующих, то целесообразно ис-
112
пользовать дополнительные клеевые препреги, температура и время отверждения которых должны совпадать с технологическими параметрами полимеризации формируемых деталей.
Рис. 2.35
Рис. 2.36
Высокое качество клеевых соединений реализуется при приформовке накладок через раздельный слой, т.е. без склеивания во
время полимеризации. Такой процесс обеспечивает идеальное прилегание поверхностей любой сложности и позволяет применять клеи
с другими температурно-временными параметрами отверждения.
113
Рис. 2.37
2.9. Рациональные области применения точечных
и поверхностных соединений
Выбор конструктивно-технологических решений соединений
затруднен без оценки их предельных возможностей по несущей способности, длине, толщине деталей и т.п.
В подразд. 2.6.2 приведены зависимости для определения
длины адгезионного соединения, после которой максимальные касательные напряжения в клее перестают убывать (см. формулу
(2.170)). Кроме того, проанализирована ситуация, когда напряжения
114
в клее в средней части приближается к нулю и при дальнейшем
увеличении длины несущая способность соединения не возрастает
(см. формулу (2.173)).
При ξ1 = ξ 2 = 0,05 и ξ1 = ξ 2 = 0,01 величины lnp и lкр равны:
lnp = 3,714 ;
k
lnp = 5,303 ;
k
lк р = 7,378 ;
k
lк р = 10,60 ,
k
(2.257)
где k определяется по формуле (2.151) в зависимости от принимаемой модели соединительного слоя.
Наибольшей несущей способностью при прочих равных условиях (длина, толщина клея и т.д.) обладает клеевое соединение деталей с одинаковой жесткостью, т.е. δ 1E1x = δ 2E 2 x . Для некоторого
упрощения дальнейших выводов примем, что δ 1 = δ 2 = δ,
E1x = E2 x = Ex , K Тогда выражения для k принимают вид
k 12 =
2Gк
;
δ к δE x
k 22 =
2
δ
δ 
δE x  к +

 Gк G xz 
.
(2.258)
Перепишем формулу (2.166) так:
Nk ekl + 1
τ max =
.
kl
2 e −1
(2.259)
Приравняв максимальные напряжения пределу прочности
клея τ max = τ к , получим следующие зависимости для определения
предельной несущей способности соединения:
- при ξ1 = ξ 2 = 0,05
τк
τк
Nnp = 1905
,
; Nк р = 1998
,
;
(2.260)
k
k
- при ξ1 = ξ 2 = 0,01
τк
τк
Nnp = 1980
,
; Nк р = 19999
,
,
(2.261)
k
k
где Nnp соответствует l = lnp , а Nкр - l = lк р в формуле (2.259).
Выражения (2.260) и (2.261) подтверждают вывод о стабилизации несущей способности, причем двукратное увеличение длины
после l = lnp повышает величину усилий N только на ∼5 % .
Это позволяет принять, что
115
τ
Nx ≤ 2 к .
k
(2.262)
Подставим в (2.262) выражения (2.258) и получим зависимости
для определения напряжений в деталях, которые могут передаваться клеевым соединением:
σ x1 =
2τ к2 δ к E x
;
δGк
2τ к2E x  δ к
(2.263)
2τ к2E x
δ 
2
+
,

 = σ x1 +
δ  Gк G xz 
G xz
где индексы 1, 2 соответствуют k 1 и k 2 .
σ x2 =
Аналогичные выражения для усилий имеют вид
Nx1 =
2τ к2 δδ к E x
;
Gк
δ
δ 
2
Nx2 = 2τ к2 δE x  к +
 = Nx1 +
 Gк G xz 
2τ к2 δ 2E x
G xz
(2.264)
.
Если в правых частях равенств (2.263) положить σ x1 = Fx ,
σ x2 = Fx , то получим зависимости для определения предельных
значений толщин деталей, которые в принципе могут соединяться
склеиванием:
δ np1 =
2τ к2 δ кE x
GкFx2
;
Gx
2τ к2 δ кE x
δ np2 =
,
Gк Fx2 G xz − 2τ к2E x
где
(2.265)
F x - предел прочности материала деталей.
Повышение несущей способности нахлесточного клеевого соединения возможно путем установки накладок с двух сторон, толщина которых равна половине толщины детали. В этом случае усилия Nx1 (или N x2 ) возрастают в 2 раза.
Известно, что в клеевом соединении “на ус” касательные напряжения распределяются по длине практически равномерно, но
возникают отрывающие усилия в безмоментном соединении. Применяя четвертую теорию прочности к изотропному материалу клея,
получим зависимость для приближенной оценки параметров соеди-
116
нения
σ 2x  2τ к2
τ к2 
= 2  1 − 2 + 1 − 3 2  .
2
δ
2τ к 
σx
σx 
l2
(2.266)
Рассмотрим аналогичное механическое соединение двух одинаковых деталей. Условия прочности (2.48), (2.49) и (2.51) для однорядного соединения принимают вид ( N = σ x δ )
4 σ xBδ
2
≤1;
σ xB
≤1;
mdσ см
σ xBk1x
≤1,
Fx (B − md)
(2.267)
πmd τ б
σ см , Fx - прочность на смятие и на растяжение материала де-
где
талей.
Сравнение первых двух неравенств позволяет прогнозировать
начало разрушения соединения.
Если
σ см >
πdτ б
,
4δ
(2.268)
то определяющим является срез крепежных элементов, иначе смятие деталей.
При выполнении условия (2.268) из первого неравенства системы (2.267) выразим параметр m и подставим в последнее. После
некоторых преобразований получим зависимость для оценки уровня
реализуемых соединением напряжений в деталях
σ xnp =
πdτ бFx
.
4δFx + πdk 1x τ б
(2.269)
Если потеря несущей способности начинается со смятия, то
вместо формулы (2.269) получим
σ np =
Fx σ см
.
Fx + k 1x σ см
(2.270)
Длина такого соединения составляет:
- при разрушении от среза крепежа
πd2 τ б
lmin =
;
4δτ xz
(2.271)
- при смятии материалов
lmin =
dσ см
.
τ xz
(2.272)
В двухрядном точечном соединении двух одинаковых деталей
одинаковыми крепежными элементами усилия распределяются рав-
117
номерно, а условие (2.268) остается в силе. Тогда вместо выражений (2.269) - (2.272) получим
σ np =
πdτ бFx
;
2δFx + πdk 1x τ б
3 πd 2 τ б
lmin =
;
16δτ xz
σ np =
2Fx σ см
;
Fx + 2k 1x σ см
3dσ см
lmin =
.
4 τ xz
(2.273)
Расчеты по формулам (2.38) показывают, что при трехрядном
соединении усилия распределяются достаточно равномерно (отличие среднего ряда от крайних - около 25 %). Пренебрегая неравномерностью, получим следующие зависимости для оценки уровня
предельных напряжений и длины соединения:
σ np =
3πdτ бFx
;
4δFx + 3πdk 1x τ б
σ np =
2
lmin =
πd τ б
;
6δτ xz
lmin =
3Fx σ см
;
Fx + 3k 1x σ см
2dσ см
.
3τ xz
(2.274)
Заметим, что, если для клеевого соединения существует толщина, для которой реализуется прочность материала (см. формулы
(2.265)), то механическим крепежом можно соединять любые детали.
С помощью зависимостей (2.257), (2.263), (2.269) - (2.272) можно оценить реализуемость КТР на начальных стадиях проектирования.
118
3. СОЕДИНЕНИЯ С ТРАНСВЕРСАЛЬНЫМИ
КРЕПЕЖНЫМИ МИКРОЭЛЕМЕНТАМИ
3.1. Описание конструктивно-технологического решения
Суть способа соединения заключается в том, что крепежные
микроэлементы предварительно устанавливаются или образуются
на металлических законцовках, набирается требуемый пакет слоев
препрега КМ (или непропитанной связующим арматуры), внедряются в неотвержденный КМ заостренные крепежные элементы и затем
производится совместное формование детали с законцовкой (рис.
3.1,а). Такое КТР обеспечивает переход к металлической детали
без операций механообработки КМ и без перерезания волокон, а
при достаточно большом количестве жестких на изгиб крепежных
элементов позволяет реализовать соединение, близкое к объемному (см. разд. 1).
Установка и образование крепежных элементов могут быть
осуществлены разнообразными способами:
- запрессовкой штифтов в отверстия, просверленные в металлической детали (рис. 3.1,б);
- сваркой цилиндрических заостренных элементов с металлической накладкой (рис. 3.1,в);
- фрезерованием пирамидальных крепежных элементов непосредственно на законцовке (рис. 3.1,г);
- сваркой предварительно выштампованных гребенок или
звездочек (рис. 3.1,д, е, ж);
- штамповкой-вырубкой фигурных зубьев из металлической
накладки (рис. 3.1,з).
Особенно широкими возможностями управления формой, размерами и расположением штифтов обладает фрезерование (рис. 3.1,и),
но при этом значительная часть материала удаляется в виде стружки, что не всегда оправдано экономически.
Сравнительный качественный анализ соединения с трансверсальными крепежными микроэлементами позволяет отметить его
следующие преимущества:
- сохранение целостности волокон КМ, что снижает коэффициенты концентрации напряжений возле формованного отверстия и
обеспечивает минимальное ухудшение физико-механических
свойств КМ;
- при надлежащей для конкретного композита и материала законцовки обработке соприкасающихся поверхностей обеспечивается надежное склеивание без каких-либо операций подгонки деталей, что существенно повышает несущую способность и предотвращает отрыв (выдергивание) штифтов;
119
Рис. 3.1
120
- переход от КМ к металлам позволяет сохранить традиционные способы сборки ЛА, увязки оснастки и обеспечения взаимозаменяемости;
- исключение операций механической обработки КМ;
- отсутствие жестких требований к точности поверхности металлической детали, форме и размерам крепежных элементов;
- механизация и автоматизация процессов установки или образования штифтов;
- возможность приформовки к КМ металлических полуфабрикатов (заготовок), из которых впоследствии формуется требуемая
законцовка путем механической обработки (фрезерованием, точением, сверлением и т.д.);
- высокая технологическая надежность КТР, так как качество
соединения (в широком аспекте) практически не зависит от субъективных факторов;
- возможность применения для различных технологических
процессов формования деталей из КМ (намотка, выкладка препрегов, выкладка сухой арматуры с последующей пропиткой связующим под давлением и др.).
К недостаткам этого способа соединения относятся:
- требование об абсолютной остроте вершины штифта во избежание захвата отдельных волокон или нитей;
- необходимость тщательного удаления заусенцев на боковых
поверхностях крепежных элементов для предотвращения разрушения волокон;
- некоторое усложнение технологической оснастки из-за дополнительных устройств для фиксации соединительных законцовок;
- неремонтопригодность металлокомпозитного перехода;
- трудности неразрушающего контроля качества соединения и
КМ в зоне вформовки штифтов;
- образование "спутной" зоны из чистого связующего в местах
раздвигания волокон;
- искривление волокон, приводящее к некоторому снижению
прочности и жесткости КМ.
Многие из указанных недостатков легко устраняемы современными технологическими средствами и оборудованием, а некоторые органически присущи этому КТР и их необходимо учитывать
при проектировании соединения.
Сказанное выше позволяет сделать вывод о том, что описанным способом формируется комбинированное точечно-поверхностное соединение, для расчета на прочность и для проектирования которого следует использовать дискретные численные методы, например, метод физической дискретизации, примененный
121
выше для определения усилий в механических и клеевых соединениях с переменными по длине геометрическими и жесткостными параметрами.
3.2. Распределение усилий по длине и ширине соединения
Рассмотрим клеештифтовое соединение двух деталей, нагруженных погонными усилиями по краям и произвольной системой
усилий внутри соединения, подверженного также температурным
воздействиям (рис. 3.2,а). Такой характер соединения позволяет рассчитывать по единой методике различные соединения (рис. 3.2,б).
Рис. 3.2
122
Примем, что крепежные микроэлементы могут быть расположены тетрагонально или в шахматном порядке в пределах заданных зон по длине соединения (рис. 3.2,а).
Расчетная схема базируется на следующих допущениях (рис. 3.3):
Рис. 3.3
123
- нормальные и касательные напряжения в деталях распределены равномерно по толщине;
- поверхностный соединительный слой (клей) и дискретные
элементы представляются в виде силовых точек, в которых сосредоточен обобщенный соединительный элемент, образуемый стягиванием в точку клеевого слоя, крепежного микроэлемента или их
комбинаций;
- силовые соединительные точки воспринимают и передают
только сдвиговые усилия;
- изменение физико-механических свойств КМ в зоне заформовки штифтов учитывается приближенно в виде аппроксимирующих зависимостей, построенных на основе модели взаимодействия
компонентов КМ с крепежными элементами;
- геометрическая конфигурация деталей и соединительного
слоя по длине соединения может быть произвольной в пределах
технологически реализуемых;
- модули межслойного сдвига КМ в зоне внедрения штифтов
не изменяются.
Дискретизация клеештифтового соединения приводит к многорядному точечному соединению, для определения усилий в котором
необходимо решить статически неопределимую задачу строительной механики.
Рассмотрим равновесие соединяемых деталей изолированно
друг от друга, для чего заменим сдвиговые связи их реакциями
Q xi (рис.3.3,а).
Уравнение равновесия выделенной части первой детали имеют вид (рис. 3.3, б):
- при i < k
1 i
N1xi = N1x0 − ∑ Q xi ;
B i=1
(3.1)
1 i
∑ Q xi .
B i =1
(3.2)
- при i ≥ k
N1xi = N1x 0 − R1 −
Аналогичные уравнения получим для второй детали (рис. 3.3,в):
- при i < l
1 i
N2 xi = N2 x0 + ∑ Q xi;
B i =1
- при i ≥ l
(3.3)
124
1 i
N2 xi = N2 x0 + R 2 + ∑ Q xi.
(3.4)
B i =1
Здесь Q xi - сила, передаваемая i-м рядом силовых точек.
Введем понятие обобщенных внешних сил следующим образом:
при i < k;
N1x0
N1*x0 = 
(3.5)
N
−
R
при
i
≥
k
;
 1x0
1
при i < l;
N2 x 0
N*2 x 0 = 
N2 x 0 + R 2 при i ≥ l.
(3.6)
С учетом этих обозначений уравнения (3.1) - (3.4) принимают
компактный вид
1 i
*
N1xi = N1x 0 − ∑ Q xi ;
B i =1
1 i
*
N2 xi = N2 x 0 + ∑ Q xi .
B i =1
(3.7)
Сложив эти уравнения, получим взаимосвязь между усилиями
в деталях
N1xi + N2 xi = N1*x0 + N2* x0 ,
(3.8)
которое при i = n преобразуется в уравнение равновесия соединения в целом:
N1xn + N2 xn = N1x0 + N2 xo − R1 + R 2 .
(3.9)
Из зависимостей (3.7) выразим силы Q xi через погонные усилия в деталях
Q xi = B(N1x,i −1 − N1xi ) = B(N2 xi − N2 x,i −1).
(3.10)
Составим уравнение совместности деформаций деталей и
сдвиговых точечных связей (рис. 3.3,г)
(
)
Q xiП3 xi + t xi 1 + N2 xiП2 xi + α *2 xi ∆T2 =
(
)
= Q x,i+1П3 x,i+1 + t xi 1 + N1xiП1xi + α 1*xi ∆T1 ,
где
(3.11)
i = 1K(n − 1) ;
α 1*x , α 2* x - средние коэффициенты линейного температурного
расширения материалов деталей по участку;
∆T1, ∆T2 - перепад температур, определяемый как разность
температур эксплуатации и сборки;
П1x , П2 x - податливости детали по оси X (вдоль соединения);
125
П3 x - податливость ряда силовых точек.
Ниже будет подробно описана методика определения податливостей и средних коэффициентов линейного температурного расширения.
После некоторых преобразований система (3.11) принимает
вид
N1xiП1xi − N2 xiП2 xi =
1
(Q xiП3 xi − Q x,i+1П3 x,i+1) − β xi ,
t xi
(3.12)
где
β xi = α 1*xi ∆T1 − α 2* xi ∆T2 .
(3.13)
Система (3.12) включает в себя (n − 1) уравнений относительно
[ 2(n − 1) + n] неизвестных. Для получения замкнутой системы воспользуемся уравнениями равновесия. Подставим в (3.12) выражения (3.8) и (3.10):
(
)
N1xiП1xi − П2 xi N1*x0 + N*2 x0 − N1xi =
=
B
П3 xi (N1x,i−1 − N1xi ) − П3 x,i+1(N1xi − N1x,i+1 ) − β xi .
t xi
[
]
После некоторых преобразований получим
− N1x,i−1
− N1x,i+1
BП3 xi


B
+ N1xi П1xi + П2 xi +
П3 xi + П3 x,i+1 ) −
(
t xi
t xi


BП3 x,i+1
t xi
(
)
= П2 xi N1*x0 + N2* x0 − β xi ;
(3.14)
i = 1...(n − 1)
Это система линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов. Запишем ее в развернутом виде
N1x1a11 + N1x2 a12 = b1,

N1x1a 21 + N1x2 a 22 + N1x3 a 23 = b 2 ,
N1x2 a 32 + N1x3 a 33 + N1x4 a 34 = b 3 ,

................................................
N
a + N1xi aii + N1x,i+1ai,i+1 = bi ,
 1x,i−1 i,i−1
................................................

N1x,n−2 an−1,n−2 + N1x,n−1an−1,n−1 = bn−1.
(3.15)
126
Коэффициенты aij и bi вычисляем по следующим формулам:
a i,i−1 = −
BП 3 xi
;
t xi
a i,i = П1xi + П 2 xi +
a i,i+1 = −
BП 3 x,i+1
t xi
B
(П 3 xi + П 3 x,i+1 );
t xi
;
(
b = − β + П (N
)
);
b1 = − β x1 + П 2 x1 N1*x 0 + N*2 x 0 + N1x 0
i
xi
2 x1
*
*
1x 0 + N 2 x 0
(
BП 3 x1
;
t x1
i = 2...(n − 2); (3.17)
)
b n −1 = − β x,n −1 + П 2 x,n −1 N1*x 0 + N 2* x 0 + N1n
где
(3.16)
BП 3 xn
,
t x,n −1
N1n = N10 + N2 x 0 − R1 + R 2 − N2n .
Если в уравнение совместности деформации (3.12) подставить
зависимости (3.7), то получим разрешающую систему уравнений относительно сил Q xi :
i +1
∑ a ij Q xi = b i ;
i = 1...(n − 1);
j=1
(3.18)
n
∑ Q xi = N1x 0 − R 1 − N1xn ,
j=1
где последнее уравнение отражает равновесие одной из деталей. В
системе (3.18):
- при j = 1K(i − 1)
- при j = i
- при j = i + 1
1
(П1xi + П 2 xi );
B
П
1
a ij = (П1xi + П 2 xi ) + 3 xi ;
B
t xi
П 3 x,i + 1
a ij = −
;
t xi
a ij =
b i = β xi + П1xiN1* x 0 − П 2 xiN 2* x 0 .
(3.19)
(3.20)
Таким образом, получены разрешающие системы линейных
алгебраических уравнений для определения усилий в деталях (3.15)
и сил, передаваемых рядами силовых точечных связей (3.18). Заметим, что система (3.18) всегда включает в себя на одно уравнение
больше, чем (3.15). Заполненность матриц коэффициентов являет-
127
ся дополнительной информацией при выборе процедуры решения
систем уравнений.
Коэффициенты Пуассона и линейного температурного расширения материалов деталей в поперечном направлении различны, поэтому по оси y возникают дополнительные усилия. Корректное решение
плоской задачи на базе рассматриваемой расчетной схемы (для этапа
проектирования) вызывает большие трудности из-за резкого увеличения количества уравнений. В связи с этим рассмотрим решение в несколько упрощенной постановке, основанное на пренебрежении напряжениями по оси x, вызванными напряжениями по оси y.
Выделим произвольный ряд силовых связей (рис. 3.4) и сформируем дискретные сдвиговые точки с учетом характера расположения крепежных элементов (тетрагональное - рис.3.4,а и шахматное - рис.3.4,в).
Уравнения равновесия участков деталей имеют вид (рис. 3.4, б, г)
t *xiN1yij = −
j
∑ Q yij ;
j=1
(3.21)
j
t *xiN 2 yij = ∑ Q yij ; j = 1... m i .
j=1
Совместность деформаций деталей и силовых связей описывается зависимостью (рис.3.4,д)
1
(3.22)
N1yijП1yij − N 2 yijП 2 yij =
Q yijП 3 yij − Q yi, j+1П 3 yi, j+1 − β yi ,
t yij
где j = 1K (m i − 1) ;
(
)
β yi = α1*yi ∆T1 − α *2 yi ∆T2 − ε1*yi + ε 2* yi ;
(3.23)
ε 1* y , ε *2 y - средние по участку пуассоновы деформации по оси y
от усилий по оси x. Методика их определения описана ниже.
Сравнение уравнений (3.22) и (3.12) показывает, что они аналогичны с точностью до индексов. Это позволяет упростить вывод разрешающих систем уравнений. Для определения усилий N1yij имеем:
N1yi1a 11 + N1yi2 a 12 = b1,
N1yi1a 21 + N1yi2 a 22 + N1yi3 a 23 = b 2 ,
N1yi2 a 32 + N1yi3 a 33 + N1yi4 a 34 = b 3 ,
...............................................
N1yi,j−1a j,j−1 + N1yij a jj + N1yi,j+1a j,j+1 = b j ,
...............................................
N1yi,mi − 2 a mi −1,m − 2 + N1y,mi −1a mi −1,mi −1 = b mi −1,
i
(3.24)
128
Рис. 3.4
129
где
a j,j−1 = −
t *xiП3 yij
t yij
;
t *xi
a j,j = П1yij + П2 yij +
П3 yij + П3 yi,j+1 ;
t yij
(
)
(3.25)
t *xi
a j,j+1 = − П3 yi,j+1;
t yij
b j = −β yi ;
k = 1... (mi − 1).
(3.26)
Силы, воспринимаемые силовыми связями, находим из системы уравнений
j+1
∑ a jk Q yik = b j ;
k =1
(3.27)
mi
∑ Q yik = 0;
i = 1...(mi − 1),
k =1
где
− при k = 1... ( j − 1)
a jk =
П1yij + П2 yij
t *xi
;
− при k = j
a jk =
П1yij + П2 yij
t *xi
+
П3 yij
t yij
;
(3.28)
− при k = j + 1
a jk = −
b j = β yi .
П3 yi, j +1
t yij
.
(3.29)
Системы уравнений (3.24) или (3.27) в совокупности с зависимостями (3.21) позволяют определить пуассоновы напряжения при
нагружении соединения осевыми усилиями.
Многочисленные соединения деталей ЛА находятся в условии
сдвигового взаимодействия (стенка и полки лонжеронов, обшивка и
нервюры или шпангоуты и др.). В связи с этим целесообразно раз-
130
работать методику расчета соединений, нагруженных сдвиговыми
усилиями (рис. 3.5), полагая при этом, что размер В достаточно
большой, или конструктивно исключено взаимное скручивание деталей относительно нормали, или соединяемые детали замкнуты
(оболочки). Это допущение позволяет рассматривать соединение с
тех же позиций, что и предыдущие.
Запишем уравнение равновесия для выделенных частей деталей по аналогии с рис. 3.3,б,в и формулами (3.1) - (3.4):
- при i < k
q1i = q10 −
1 i
∑ S yi ;
B i=1
(3.30)
- при i ≥ k
1 i
q1i = q10 − T1 − ∑ S yi ;
B i=1
- при i < l
1 i
q2i = q20 + ∑ S yi ;
B i=1
- при i ≥ l
1 i
q2i = q20 + T2 + ∑ S yi .
B i=1
(3.31)
(3.32)
(3.33)
Введем понятие обобщенных внешних сил следующим образом:
при i < k;
q10
* =
q10

q10 − T1 при i ≥ k;
при i < l;
q20
q*20 = 
q20 − T2 при i ≥ l.
(3.34)
(3.35)
С учетом этих обозначений уравнения равновесия принимают
вид
1 i
*
q1i = q10 − ∑ Syi;
B i =1
1 i
*
q2i = q20 + ∑ Syi.
B i =1
(3.36)
Полагая, что материалы деталей ортотропны в осях x, y, составим уравнение совместности деформаций (рис.3.5,б,в) деталей
на участке между двумя соседними рядами силовых связей
t xi q2iП2 xyi + S yiП3 xyi = t xi q1iП1xyi + S y,i+1П3 xy,i+1,
131
(3.37)
где i = 1K(n − 1) ;
S yi - сила, передаваемая i-м рядом;
П1xyi ,П2 xyi - сдвиговая податливость деталей в своей плоскости, методика определения которой описана ниже;
П3 xyi - податливость ряда силовых связей в направлении оси y.
Рис. 3.5
132
Выразим из уравнений равновесия (3.36) силы S yi через усилия в деталях
Syi = B(q1,i −1 − q1i ) = B(q2,i −1 − q2i ).
(3.38)
Сложив почленно уравнения (3.36), выразим усилия во второй
детали через усилия q1i
*
q2i = q10
+ q*20 − q1i .
(3.39)
После подстановки выражений (3.38) и (3.39) в систему (3.37)
и некоторых преобразований получим разрешающую систему уравнений для определения усилий q1i :
− q1,i−1


B
+ q1i П1xyi + П2 xyi +
П3 xyi + П3 xy,i+1  −
t xi
t xi


(3.40)
BП3 xy,i+1
*
− q1,i+1
= П2 xyi q10
+ q*20 ; i = 1...(n − 1).
t xi
BП3 xyi
(
(
)
)
Это система линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов, которая разворачивается в
виде
q11a11 + q12 a12 = b1;
q11a 21 + q12 a 22 + q13 a 23 = b 2 ;
q12 a 32 + q13 a 33 + q14 a 34 = b 3 ;
....................................
q1,i−1ai,i−1 + q1i aii + q1,i+1ai,i+1 = bi ;
(3.41)
....................................
q1,n− 2 an−1,n− 2 + q1,n−1an−1,n−1 = bn−1,
где
ai,i−1 = −
B
П3 xyi ;
t xi
ai,i = П1xyi + П2 xyi +
ai,i+1 = −
B
П3 xy,i+1;
t xi
B
П3 xyi + П3 xy,i+1 ;
t xi
(
)
(3.42)
133
B
П3 xyi;
t x1
(
)
b = П (q + q );
i = 2...(n − 2);
b
=П
(q + q ) + q t B П .
*
b1 = П2 xy1 q10
+ q*20 + q10
i
*
10
*
20
2 xy,n −1
*
10
2 xyi
n −1
*
20
1n
(3.43)
3 xy,n
x,n−1
Так как соединение в целом находится в равновесии, то должно соблюдаться равенство
q10 + q20 + T1 − T2 = q1n + q2n .
(3.44)
Из уравнений равновесия и совместности деформаций можно
вывести систему уравнений относительно сил S yi , для чего подставим зависимости (3.36) в (3.40). Для полноты системы необходимо
добавить уравнение равновесия какой-либо детали в целом:
i+1
∑ a ij S yj = b i ;
i = 1...(n − 1);
j=1
(3.45)
n
∑ S yj = q10 − T1 −q1n ,
j=1
где коэффициенты aij и bi определяют по следующим формулам:
− при j = 1... (i − 1)
aij =
1
П1xyi + П2 xyi ;
B
(
)
− при j = i
aij =
П3 xyi
1
П1xyi + П2 xyi +
;
B
t xi
(
)
(3.46)
− при j = i + 1
aij = −
П3 xy,i +1
t xi
;
*
*
bi = q10
П1xi − q20
П2xyi.
(3.47)
Решение задач относительно сил в рядах сдвиговых связей
или усилий в деталях производится на ЭВМ по стандартным подпрограммам нахождения корней систем линейных алгебраических
уравнений.
134
3.3 Методика определения коэффициентов
податливости элементов соединения
По своему определению (см. подразд. 3.2) коэффициенты податливости деталей П1x , П1y , П1xy , П2 x , П2 y , П2 xy есть средняя деформация участка детали длиной t x при единичной нагрузке. В реальных конструкциях толщина деталей, а также их упругие константы могут быть переменными по оси x, поэтому рассмотрим вывод
искомых зависимостей для общего случая изменения геометрических и жесткостных параметров.
Удлинение детали на i-м участке (см. рис. 3.2,г) равна (при
N1xi = N2 xi = q1i = q2i = 1)
x i + t xi
∫
∆=
xi
dx
.
E1x (x)δ1(x)
Тогда для средней деформации или податливости имеем очевидную зависимость
∆
П1xi = ε ср =
=
t xi
x i + t xi
∫
xi
dx
.
E1x (x)δ1(x)
(3.48)
Аналогично
1
П2 xi =
t xi
xi + t xi
1
П1xy =
t xi
xi + t xi
1
П2 xy =
t xi
xi + t xi
dx
∫
xi E 2 x ( x)δ 2 ( x)
∫
xi
∫
xi
dx
G1xy ( x)δ 1( x)
dx
G 2 xy ( x)δ 2 ( x)
;
;
(3.49)
.
Для определения податливости по оси y необходимо рассмотреть два возможных случая деформирования:
- усилия Nyij распределены равномерно по ширине рассмат*
риваемого участка t xi (см.рис.3.4,а,в; 3.6,а);
- усилия Nyij распределены таким образом, что перемещения
всех полоcок dx одинаковы по оси y (рис.3.6,б).
В первом случае ( Nyij = const ) удлинение полоски шириной dx
равно
135
∆( x) =
N1yij ⋅ t yij
E1y ( x)δ 1( x)
Среднее удлинение участка определяем по зависимости
∆ ср =
t
xi + xi
2
1
∫ ∆( x)dx
t *xi x − t xi
i
2
Среднюю деформацию вычисляем по формуле
ε ср =
∆ ср
1
=
t yij
tx
xi + i
2
t *xi t yij
∫
xi −
N1yij t yij dx
t xi E1y ( x)δ 1( x)
,
2
которая после некоторых преобразований приводит к следующей
зависимости для податливости (при N1yij = 1 ):
П1(1yij) =
tx
xi + i
2
1
t *xi
dx
t xi E1y ( x)δ 1( x)
∫
xi −
,
(3.50)
2
где
t *x i =
1
t x,i −1 + t xi ).
(
2
(3.51)
Аналогично получим
1
)
П(21yij
= *
t xi
xi +
xi −
t xi
2
dx
.
∫
E
(
x
)
δ
(
x
)
t x,i−1 2 y
2
(3.52)
2
При второй схеме деформирования (рис.3.6,б) распределение
усилий, обеспечивающих одинаковые деформации, соответствует
зависимости
N1y (x) = εE1y (x)δ1(x).
*
Учитывая, что равнодействующая этих сил равна N1yij = 1 ⋅ t xi ,
получаем формулу
136
Рис. 3.6
 xi + t xi



2
П1(1yij) = t *xi  ∫ E1y ( x)δ1( x)dx
 x − t x,i−1

i


2
-1
(3.53)
.
Для второй детали имеем
 xi + t xi



2
(1)
*
П2 yij = t xi  ∫ E2 y ( x)δ 2 ( x)dx
 t x,i−1

 xi − 2

−1
.
(3.54)
137
Рассмотрим некоторые частные случаи:
1. Пусть модули упругости деталей постоянны по длине соединения:
E1x (x) = const = E1xi ; E2 x (x) = const = E2 xi ;
E1y (x) = const = E1yi ; E2 y (x) = const = E2 yi ;
G1xy (x) = const = E1xyi ; G2 xyi (x) = const = G2 xyi .
Тогда формулы (3.48) - (3.54) преобразуем к виду
1 xi + t xi dx
1 xi + t xi dx
; П2 xi =
;
П1xi =
∫
∫
t xiE1xi xi δ1( x)
t xiE2 xi xi δ 2 ( x)
П1xyi =
1
t xi G1xyi
xi + t xi
∫
xi
1
dx
; П2 xyi =
δ1( x)
t xi G2 xyi
t
x i + xi
2
1
)
П1(1yij
= *
∫
t xiE1yi t x,i−1
x−
i
2
x i + t xi
∫
xi
(3.52)
dx
;
δ 2 ( x)
dx
1
)
; П(21yij
= *
δ1(x)
t xiE2 yi
t
x i + xi
∫
xi −
−1
2
t x,i−1
dx
;
δ 2 (x)
2
−1
t xi


 x i + t xi

*  xi + 2
*
2



t
t xi
П1(2yij) = xi 
δ
(
x
)
dx
;
П
=
δ
(
x
)
dx
∫ 1
∫ 2


 .
2 yij
E1yi  t x,i−1
E
t
2 yi 


x i − x,i−1
 xi −



2
2
(3.53)
2. Модули упругости и толщины постоянны по длине рассматриваемого участка. Тогда из выражений (3.52) получим
П1xi =
1
;
δ1iE1xi
П2 xi =
1
;
δ1iG1xyi
П2 xyi =
П1xyi =
П1(1yi) =
1
;
δ 2iE2 xi
1
;
δ 2iG2 xyi
(3.54)
1
1
)
= П1(2yi) ; П(21yi
= П(22yi) =
.
δ1iE1yi
δ 2iE1yi
3. При постоянных модулях упругости и линейном изменении
толщин деталей на участке t xi формулы (3.52) примут вид (рис. 3.6,в)
138
1
П 1xi =
E 1xi (δ 1,i+1 − δ 1i )
ln
1
П 2 xi =
E 2 xi (δ 2,i +1 − δ 2 i )
1
П 1xyi =
G 1xi (δ 1,i+1 − δ 1i )
П 2 xyi =
δ 1,i+1
δ 1i
ln
ln
1
G 1xy (δ 2,i+1 − δ 2 i )
;
δ 2,i+1
;
δ 2i
(3.55)
δ 1,i+1
δ 1i
ln
;
δ 2,i+1
δ 2i
,
где δ k,i +1, δ ki - толщина деталей (k=1,2) в начале и в конце участка.
Вместо зависимостей (3.53) после интегрирования и ряда преобразований получим
П1(1yij) =
 t x,i−1
t x,i
δ 1i + δ 1,i+1 
2δ 1i

;
ln
+
ln
*
−
+
−
δ
δ
δ
δ
δ
δ
2
δ
t xiE1yi  1i

1,i−1
1i
1,i−1
1,i+1
1i
1i
)
П(21yij
=
 t x,i−1
t x,i
δ 2i + δ 2,i+1 
2δ 2i
ln
+
ln

;
2δ 2i 
t *xiE 2 yi  δ 2i − δ 2,i−1 δ 2i + δ 2,i−1 δ 2,i+1 − δ 2i
(3.56)
П1( 2yij) =
П(22yij) =
1
1
8 t *xi
[
E1yi t x,i−1(3δ 1i + δ 1,i−1 ) + t xi (3δ 1i + δ 1,i+1 )
]
;
8 t *xi
[
E2 yi t x,i−1(3δ 2i + δ 2,i−1 ) + t xi ( 3δ 2i + δ 2,i+1 )
]
.
4. При ступенчатом изменении модулей упругости и толщин
деталей по схеме, показанной на рис. 3.6,д, выражения (3.48) и
(3.49) примут вид
П1xi =

1 1
1

+
;
2  δ 1iE 1xi δ 1,i + 1E1x,i + 1 
П 2 xi =

1 1
1

+
;
2  δ 2 iE 2 xi δ 2,i + 1E 2 x,i + 1 
П1xyi =

1
1
1

;
+
2  δ 1i G 1xyi δ 1,i + 1G 1xy ,i + 1 
П 2 xyi =

1
1
1

.
+
2  δ 2 iE 2 xyi δ 2,i + 1E 2 xy ,i + 1 
(3.57)
139
Зависимости (3.50), (3.52), (3.53) и (3.54) упростим к виду
)
П1(1yij
= П1(2yij) =
1
;
δ1iE1yi
(3.58)
1
)
)
П(21yij
= П(22yij
=
.
δ 2iE2 yi
5. При ступенчатом изменении модулей упругости и толщин
деталей по схеме, показанной на рис.3.6,е, получим следующие зависимости для определения податливости деталей:
П1xi =
1
;
δ1iE1xi
П2 xi =
1
;
δ 2iE2 xi
П1xyi =
1
;
δ1iG1xyi
)
П1(1yij
=
t x,i −1
t xi 
1

 ;
+
*  2δ
E
δ
E
2
t xi  1,i −1 1y,i −1
1i 1yi 
П2 xyi =
1
;
δ 2iG2 xyi
(3.59)
t x,i −1
t xi 
1
)
 ;
П(21yij
= * 
+
E
E
δ
δ
2
2
t xi  2,i −1 2 y,i −1
2i 2 yi 
П1(2yij) =
)
П(22yij
=
2t *xi
t x,i −1δ1,i −1E1y,i −1 + δ1iE1yi t xi
;
2t *xi
.
δ 2,i −1E2 y,i −1t x,i −1 + δ 2iE2 yi t xi
Средние значения коэффициентов линейного расширения по
оси x при произвольном характере изменения свойств материала
вычисляем по следующим общим формулам:
α1*xi =
α *2 xi =
1 x i + t xi
∫ α1x (x)dx;
t xi x i
1
t xi
(3.60)
x i + t xi
∫ α 2x (x)dx.
xi
*
*
Для определения коэффициентов α 1y и α 2y воспользуемся
понятием средней деформации по оси y. После простых выкладок
получим
140
α1*yi =
α *2 yi =
t
x i + xi
2
1
t xi
∫ α1x (x)dx;
xi −
1
t xi
t x,i−1
2
t
x i + xi
2
(3.61)
∫ α 2y (x)dx.
xi −
t x,i−1
2
*
*
Поперечные деформации ε 1yi и ε 2yi (см. уравнение (3.23)) находим из следующих выражений:
t


xi + xi
x
i
2 µ
µ1xy (x)dx
1
1xy (x)dx 
*
ε1yi = * N1x,i −1 ∫
+ N1xi ∫
;
x
E
x
x
E
x
δ
δ
(
)
(
)
(
)
(
)
t xi 
t x,i−1 1
1x
1
1x
xi

xi −


2
t


x i + xi
x
i
2
µ 2xy (x)dx
µ 2xy (x)dx 
1
ε 2* yi = * N2x,i −1 ∫
+ N2xi ∫
.
x
E
x
x
E
x
δ
δ
(
)
(
)
(
)
(
)
t xi 
t x,i−1 2
2x
2
2x
xi

xi −


2
(3.62)
Рассмотрим упрощение зависимостей (3.60) - (3.62) для некоторых частных случаев изменения параметров деталей.
1. Ступенчатое изменение толщины и модулей упругости деталей по схеме рис.3.6, д:
α1*xi =
1 
t xi
t xi  1
α
+
α
= (α1xi + α1x,i +1);
1xi
1x,i +1
t xi 
2
2  2
α 2* xi =
1
(α 2xi + α 2x,i+1);
2
α1*yi = α1yi;
ε1*yi =
ε 2* yi =
α 2* yi = α 2 yi;
µ1xyi
2t *xiδ1iE1xi
(3.63)
(N1x,i−1t x,i−1 + N1xit xi );
µ 2 xyi
2t *xiδ 2iE2 xi
(N2x,i−1t x,i−1 + N2xit xi ).
2. При ступенчатом изменении толщин и упругих констант по
141
схеме рис.3.6,е формулы (3.60) - (3.62) преобразуются к виду
α1*xi = α1xi ;
α 2* xi = α 2 xi ;
α1*yi =
1
α1y,i −1t x,i −1 + α1yi t xi ;
2t *xi
α *2 yi =
1
α 2 y,i −1t x,i −1 + α 2 yi t xi ;
*
2t xi
ε1*yi =

µ 1xyi t xi
1  µ1xy,i −1t x,i −1
+

N
N
1x,i − 1
1xi  ;
2t *xi  δ1,i −1E1x,i −1
δ1iE1xi

ε 2* yi =

µ 2 xyi t xi
1  µ 2 xy,i −1t x,i −1

N
+
N
2 x,i − 1
2 xi  .
2t *xi  δ 2,i −1E2 x,i −1
δ 2iE2 xi

(
(
)
)
(3.64)
Аналогичным образом можно вывести зависимости для других
вариантов изменения геометрии деталей и их термомеханических
констант. На практике целесообразно использовать стандартные
процедуры численного интегрирования выражений общего вида
(3.48)-(3.54) и (3.60)-(3.62), но при проектирования соединения, когда решение ищется в определенных классах КТР, оправдано применение аналитических зависимостей в конечном виде.
3.4. Коэффициенты податливости соединительных
элементов
Системы уравнений для определения усилий в рядах силовых
дискретных связей от внешнего осевого и сдвигового нагружения
содержат коэффициенты податливости ряда сдвиговых связей в
направлении осей x и y. Для их определения рассмотрим деформирование соединительного слоя, формируемого в соответствии с гипотезой Фолькерсена, под действием единичных нагрузок Q x и S y
(рис.3.7).
Взаимное смещение срединных поверхностей деталей, которое соответствует податливости, определяется зависимостями:
П3 xi = П1xzi + П2xzi + Пkxzi;
П3 yi = П1yzi + П2yzi + Пkyzi .
(3.65)
Сдвиговые смещения деталей и клея, составляющие общую
податливость, вычисляются с учетом того, что геометрические параметры крепежных элементов и жесткостные характеристики КМ
могут быть функциями от координаты z:
142
δ 1*i
2
δ 1*i
0
dz
C1xzi
1⋅ dz
1 2
=
=
;
∫
* *
*
*
*
Bt xiG1xzi ( z) Bt xi 0 G1xzi ( z) Bt xi
δ 2* i
δ 2* i
П1xzi = ∫
П2 xzi = ∫
2
0
dz
C 2 xzi
1⋅ dz
1 2
=
=
;
∫
* *
*
*
*
Bt xiG2 xzi ( z) Bt xi 0 G2 xzi ( z) Bt xi
*
δ ki
(3.66)
*
δ ki
1⋅ dz
1
dz
Ckxzi
=
=
;
∫
* *
*
*
*
Bt
G
(
z
)
Bt
G
(
z
)
Bt
0
xi k1
xi 0
ki
xi
Пkxzi = ∫
Аналогично
П1yzi =
C1yzi
C 2 yzi
Ckyzi
Bt xi
Bt xi
Bt *xi
; Пkyzi =
*
; Пkyzi =
*
,
(3.67)
где
δ 1*i
δ *2i
*
δ ki
2
dz
dz
dz
C1yzi = ∫
;
C
=
;
C
=
∫ *
∫ * . (3.68)
2 yzi
kyzi
*
G
(
z
)
G
(
z
)
0
0
0 Gki ( z)
1yzi
2 yzi
2
В этих выражениях:
δ1*i, δ 2* i, δki* - средние выражения толщин деталей и клея на уча*
стке длиной t xi ,
G1* xzi, G2* xzi, Gk* - приведенные модули сдвига материалов детали и клея, которые, будучи армированными на ряде участков крепежными элементами, отличаются от исходных свойств и , кроме
того, являются или могут являться функциями от координаты z изза возможных переменных геометрических параметров крепежных
элементов (рис.3.7,в-е).
Для определения средних значений толщины справедливы
следующие формулы:
1
δ1*i = *
t xi
1
δki* = *
t xi
t
x + xi
2
*
1
t xi
∫ δ1( x)dx; δ 2i = *
x−
t x,i−1
2
t
x + xi
2
∫ δk ( x)dx.
x−
t x,i−1
2
t
x + xi
2
∫ δ 2 ( x)dx;
x−
t x,i−1
2
(3.69)
143
Рис. 3.7
Для частных случаев геометрии деталей, рассмотренных выше, эти зависимости существенно упрощаются. Например, при конфигурации, показанной на рис. 3.6,е, для первой детали имеем
δ1*i =
δ1,i −1t x,i −1 + δ1i t xi
2t *xi
=
δ1,i −1t x,i −1 + δ1i t xi
.
t x,i −1 + t xi
Новые значения модулей сдвига материалов деталей на участках, содержащих крепежные элементы, можно вычислить по из-
144
вестным формулам теории армирования КМ:
G1*xzi (z) = Gkэi νi (z) + G1xzi (z)[1 − νi (z)];
G2* xzi (z) = Gkэi νi (z) + G2 xzi (z)[1 − νi (z)];
(3.70)
*
Gki
(z) = Gkэi νi (z) + Gk [1 − νi (z)],
где
νi (z) =
mi fi (z)
B ⋅ t *xi
;
(3.71)
fi ( z) - площадь поперечного сечения крепежного элемента в сечении z.
В дальнейшем примем, что крепежные элементы установлены
(или образованы) на детали 1, а их боковые образующие прямолинейны или кусочно-прямолинейны (рис.3.7,в-е). С учетом этого в
табл. 3.1 приведены формулы для вычисления коэффициентов
C1xzi , C 2 xzi , Ckxzi , C1yzi , C 2 yzi , Ckyzi при следующих обозначениях:
ν0i =
mi f0i
B ⋅ t *xi
;
(3.72)
f0i - площадь основания крепежного элемента,
Gkэi - модуль сдвига материала крепежных элементов,
G1xz , G1yz , G2 xz , G2 yz - модули сдвига материалов первой и
второй деталей в плоскостях xz и yz соответственно,
Gki - модуль сдвига клея на рассматриваемом участке.
Кроме того, при выводе этих формул принято, что h4i (рис.
3.7,г), а также модуль сдвига крепежных элементов больше, чем у
детали 2.
Коэффициенты П3 yij определяем так:
1
П3 yij = * * C1yzij + C 2 yzij + Ckyzij ,
(3.73)
t xi t yij
где члены суммы C1yzij , C 2 yzij , Ckyzij вычисляются по формулам из
(
)
табл.3.1 в зависимости от вида расчетной точки с учетом того, что
f
ν0i = * 0*i .
t xi t yij
(3.74)
Таблица 3.1
Коэффициенты податливости рядов сдвиговых связей
Вид силовой
точки
Значение
параметров
Расчетные формулы
δ 2* i
C 2 xz i =
;
2 G 2 xz i
f0i = 0
f0 i ≠ 0
C к xz i = C к yz i =
h 1i = 0

 a rc tg
ν 0 i G к i (G к э i − G к i ) 
h 2i
δ к* i
C к xz i = C к yz i =
G кi
ν 0 i (G к э i − G к i )
−
G кi
ν 0 i (G к э i − G к i ) 

G кi


δ к* i 
− a rc tg  1 −

h 2i 

δ*
h 2i ≤ 2i
2
G кэi > G кi
G к э i > G 2 xz i
δ 2* i
C 2 yz i =
;
2 G 2 yz i
C 2 xz i =
G к э i > G 2 yz i

δ к* i 
a rc tg  1 −

h 2i 

ν 0 i G 2 xz i (G к э i − G 2 xz i )
h 2i
ν 0 i (G к э i − G 2 xz i )
+
G 2 xz i
+
C 2 yz i =

δ* 
a rc tg  1 − к i 
h 2i 

ν 0 i G 2 yz i ( G к э i − G 2 yz i )
h 2i
(
δ 2* i − 2 h 2 i − δ к* i
)
2 G 2 xz i
ν 0 i ( G к э i − G 2 yz i )
G 2 yz i
+
(
δ *2 i − 2 h 2 i − δ к* i
)
2 G 2 yz i
145
Вид силовой
точки
Значение
параметров
Расчетные формулы
f0 i ≠ 0
h 1i = 0
C 2 xz i =
δ *2 i
h 2i >
2
C к xz i , C к yz i - см. предыдущую схему


h 2i
δ кi*  ν 0 i (G кэi − G 2 xz i )
arctg
1
−
−



h 2i 
G 2 xz i

ν 0 i G 2 xzi (G кэi − G 2 xz i ) 

δ *2 i + 2 δ кi* 
− arctg  1 −

2h 2i 

C 2 yzi =


δ* 
 arctg  1 − кi 
h 2i 

ν 0 i G 2 yz i ( G кэi − G 2 yzi ) 
h 2i
ν 0 i (G кэi − G 2 yzi )
G 2 yzi

δ *2 i + 2 δ кi* 
− arctg  1 −

2h 2i 

f0 i ≠ 0
h 1i + h 2 i ≤
δ *2 i
2
ν 0 i ( G кэi − G 2 xzi ) 

G 2 xzi

−
ν 0 i ( G кэi − G 2 yzi ) 

G 2 yzi

δ кi*
δ кi*
C кxzi = C кyzi =
=
G кэi ν 0 i + G кi (1 − ν 0 i ) G кi + ν 0 i ( G кэi − G кi )
C 2 xz i =
(
δ 2* i + 2 δ кi* − h 1i − h 2 i
2 G 2 xzi
)+
h 1i − δ кi*
+
G 2 xz i + ν 0 i ( G кэi − G 2 xzi )
+
C 2 yzi =
(
δ 2* i + 2 δ кi* − h 1i − h 2 i
2 G 2 yzi
)+
h 2i
ν 0 i G 2 xz i (G кэi − G 2 xzi )
arctg
ν 0 i ( G кэi − G 2 xzi )
G 2 xzi
h 1i − δ кi*
+
G 2 yzi + ν 0 i (G кэi − G 2 yzi )
+
h 2i
ν 0 i G 2 yzi ( G кэi − G 2 yzi )
arctg
ν 0 i (G кэi − G 2 yzi )
G 2 yzi
146
Продолжение табл. 3.1
Продолжение табл. 3.1
Вид силовой
точки
Значение
параметров
Расчетные формулы
C к xz i , C к yz i - см. предыдущую схему
f0 i ≠ 0
δ*
h 1i + h 2 i > 2 i
2
*
δ
h 1i ≤ 2 i
2
C 2 xz i =
h 1i − δ к* i
+
G 2 xz i + ν 0 i (G к э i − G 2 xz i )

×  a rc tg

C 2 yz i =
)
ν 0 i (G к э i − G 2 yz i )
G 2 yz i
h 2i
ν 0 i G 2 yz i (G к э i − G 2 yz i )
(
− a rc tg
ν 0 i (G к э i − G 2 xz i ) 

G 2 xz i

×
)
2 h 1i + h 2 i − δ к* i − δ 2* i
2h 2i
ν 0 i (G к э i − G 2 yz i ) 

G 2 yz i

C к xz i , C к yz i - см. предыдущую схему
f0 i ≠ 0
f0i = 0
(
2 h 1i + h 2 i − δ к* i − δ *2 i
ν 0 i (G к э i − G 2 xz i )
− a rc tg
2h 2i
G 2 xz i
h 1i − δ к* i
+
G 2 yz i + ν 0 i ( G к э i − G 2 yz i )


× a rc tg

δ*
h 1i > 2 i
2
h 2i
×
ν 0 i G 2 xz i (G к э i − G 2 xz i )
C 2 xz i =
δ *2 i
;
2[ G 2 xz i + ν 0 i ( G кэi − G 2 xzi )]
C 1 xz i =
δ 1* i
;
2 G 1 xz i
C 2 yz i =
δ *2 i
2 G 2 yzi + ν 0 i (G кэi − G 2 yzi )
[
C 1yz i =
]
δ 1* i
2 G 1yz i
147
Вид силовой
точки
Значение
параметров
f0 i ≠ 0
G к э i = G 1x z
G к э i = G 1y z
f0 i ≠ 0
Расчетные формулы
δ 1* i
C 1 xz i =
;
2 G кэi
δ 1* i
C 1yzi =
2 G кэi
h 4i = 0
h 3i
δ 1* i − 2 h 3 i
C 1xz i =
+
G 1 xz i + ν 0 i ( G к э i − G 1 x z i )
2 G 1 xz i
δ 1*i
h 3i ≤
2
h 3i
δ 1* i − 2 h 3 i
C 1yz i =
+
G 1y z i + ν 0 i ( G к э i − G 1y z i )
2 G 1y z i
f0 i ≠ 0
h 4i = 0
δ 1*i
h 3i >
2
C 1xz i =
δ 1* i
2 G 1 x z i + ν 0 i (G к э i − G 1 x z i )
[
]
C 1y z i =
δ 1* i
2 G 1yz i + ν 0 i ( G к эi − G 1yz i )
]
[
148
Окончание табл. 3.1
149
3.5. Определение напряжений в деталях и элементах
соединительного слоя
В результате решения системы уравнений (3.14) определяем погонные
усилия в детали 1, а из выражений (3.8) и (3.10) - усилия в детали 2 и силу,
передаваемую i-м рядом дискретных сдвиговых связей.
Нормальные напряжения в деталях равны
σ1xi =
N1xi
N
; σ 2 xi = 2 xi ,
δ1( x)
δ 2 ( x)
(3.75)
где δ1( x), δ 2 ( x) - толщины деталей в рассчитываемой точке.
Для рядов сдвиговых связей, не содержащих крепежных элементов,
напряжения в клее определяются формулой
τkxi =
Q xi
,
B ⋅ t *xi
(3.76)
а в рядах со штифтами сила Q xi распределяется между клеем и крепежными элементами, т.е.
Q xi = Qкxi + Q кэxi .
(3.77)
С другой стороны, из условия равенства углов сдвига имеем
Qкэxi
Q кxi
=
.
Gкэi (mi f0i ) Gкi (B ⋅ t *xi − mi f0i )
(3.78)
Совместное решение уравнений (3.77) и (3.78) приводит к зависимостям
Q кэxi = Q xi
Gкэi ν 0i
;
Gкi + ν 0i (Gкэi − Gкi )
(3.79)
Gкi (1 − ν 0i )
Q кxi = Q xi
.
Gкi + ν 0i (Gкэi − Gкi )
С учетом этого напряжения определяются по формулам (в сечении,
проходящем через основания штифтов):
τ kxi =
Qкxi
B ⋅ t *xi − mi f0i
τ kэxi =
=
Qкxi
B ⋅ t *xi (1 − ν 0i )
= Q xi
Gкi
B ⋅ t *xi [Gкi + ν 0i (Gкэi − Gкi )]
;
(3.80)
Qкэxi
Gкэi
Qкxi
.
=
= Q xi
mi f0i B ⋅ t *xiν 0i
B ⋅ t *xi [Gкi + ν 0i (Gкэi − Gкi )]
Для конических или пирамидальных штифтов касательные напряжения
в клее и штифтах максимальны на границе контакта клея со второй деталью
150
и определяются по формулам (3.80) с учетом действительного значения коэффициента
mi fi (z)
νi (z) =
B ⋅ t *xi
.
Согласно гипотезе приведенного соединительного слоя Фолькерсена в
деталях также действуют касательные напряжения, которые для КМ являются межслойными. В произвольном сечении при δ ki + h1i + h2i <
δ 2i
2
и
z < h1i + h2i + δ ki сдвиговые напряжения в КМ и крепежных элементах равны
τ 2 xzi = Q xi
τкэxi = Q xi
При δ ki + h1i + h2i ≤ z ≤
τ 2xzi =
G 2 xzi
[
;
B ⋅ t *xi G 2 xzi + ν i ( z ) Gкэi − G 2 xzi
)]
Gkэi
.
(
[
(
B ⋅ t *xi G 2 xzi + ν i ( z ) Gкэi − G 2 xzi
)]
(3.81)
1
δ 2i
2
Q xi
.
B ⋅ t *xi
(3.82)
Следует иметь в виду, что для некоторых КТР модули сдвига G2 xz мо*
гут быть функцией от координаты x в пределах участка длиной t xi .
Силы N1yij, N2 yij и Q yij , возникающие вследствие разности коэффициентов Пуассона и линейного температурного расширения материалов соединяемых деталей и определяемые из системы уравнений (3.24), (3.27) и
формул (3.21), вызывают напряжения в деталях и соединительных элементах в направлении оси y. Для их определения справедливы зависимости:
σ1yij =
N1yij
δ1(x)
;
σ 2 yij =
N2 yij
δ 2 (x)
.
(3.83)
В рядах, содержащих штифты, срезающие напряжения в штифтах и
клее на границе контакта деталей вычисляем по формулам, которые аналогичны (3.80):
151
Gкi
*
τ кyij
= Q yij
[
;
t *xi ⋅ t *yij Gкi + ψ 0i Gкэi − Gкi
)]
Gкэi
,
*
τ кэyij
= Q yij
(
[
(
t *xi t *yij Gкi + ψ 0i Gкэi − Gкi
)]
(3.84)
где
f
ψ 0i = * 0*i .
t xi t yij
(3.85)
Для конических и пирамидальных штифтов напряжения по их высоте, а
также в КМ определяем выражениями:
- при δ ki + h1i + h2i ≤
δ 2i
2
и z ≤ h1i + h2i + δ ki
Q yijG2 yzi
τ *2 yzij = * *
;
t xi t yij G2 yzi + ψ i ( z) Gkэi − G2 yzi
[
(
)]
Q yijGkэi
(3.86)
*
τ кэyij
= * *
;
t xi t yij G2 yzi + ψ i ( z) Gkэi − G2 yzi
[
- при δ ki + h1i + h2i ≤ z ≤
(
)]
1
δ 2i
2
Q yij
τ *2yzij = * * .
t xi t yij
(3.87)
В формулах (3.86) текущее значение коэффициента ψ i ( z) находим так:
f ( z)
ψ i ( z) = *i * .
t xi t yij
(3.88)
В рядах связей, не содержащих штифтов, напряжения во всех элементах соединения определяются по приведенным выше формулам при
ψ 0i = ψ i ( z) = 0 и Gkэi = 0 , т.е.
Q yij
*
τkyij = * * = τ 2* yzij .
t xi t yij
(3.89)
При внешнем нагружении соединения сдвигом силы Syi и усилия
q1i, q2i находим из систем уравнений (3.40),(3.45) и формул (3.38), а вызываемые ими напряжения - из следующих зависимостей:
152
q1i
;
δ1( x)
τ1xyi =
**
τ kyi
=
τ 2 xyi =
q2i
;
δ 2 ( x)
(3.90)
SyiGki
B ⋅ t *xi [Gki + ν0i (Gkэi − Gki )]
**
τ kэyi
=
;
(3.91)
SyiGkэi
[
B ⋅ t *xi Gki + ν0i Gkэi − Gki
(
)]
.
По высоте штифтов и толщине детали из КМ при их переменных размерах напряжения равны:
τ **
2 yzi =
**
τ kэyi
=
SyiG2 xzi
[
(
B ⋅ t *xi G2 yzi + νi (z) Gkэi − G2 yzi
)]
SyiGkэi
[
(
B ⋅ t *xi G2 yzi + νi (z) Gkэi − G2 yzi
)]
;
(3.92)
.
Эти формулы справедливы при ограничениях:
1
δ 2i ;
2
z ≤ δki + h1i + h2i.
δ ki + h1i + h2i ≤
(3.93)
Над вершиной штифта и до срединной поверхности детали
τ **
2yzi =
Si
.
B ⋅ t *xi
(3.94)
Для рядов сдвиговых связей, не содержащих штифтов,
**
τkyi
= τ 2**yzi =
Si
.
B ⋅ t *xi
(3.95)
Суммарные напряжения по оси y вычисляем так:
*
**
τkyij = τkyij
+ τkyi
;
*
**
τkэyij = τkэyij
+ τkэyi
;
(3.96)
τ 2 yzij = τ 2* yzij + τ 2**yzi.
Если геометрические и жесткостные характеристики деталей в преде*
лах участка t xi переменны, то и напряжения будут функциями от координаты
x. Это необходимо учитывать при расчете на прочность.
153
Таким образом, получены все необходимые зависимости для определения всех компонентов напряжений при сложном нагружении соединения.
3.6 Расчет на прочность элементов соединения
Так как материалы штифтов и клея изотропны, то результирующие напряжения определяются векторным сложением компонент по осям x и y, а
их модули должны удовлетворять условиям прочности:
2
2
τк рij = τkxi
+ τkyij
≤ τвк ;
τкэрij =
2
2
τkэxi
+ τkэyij
≤ τвкэ .
(3.97)
где τ вк , τвкэ - пределы прочности на срез материалов клея и штифтов, которые желательно подбирать таким образом, чтобы их деформации разрушения были близки по величине.
Соединяемые детали находятся в условиях сложного напряженного
состояния, которое переменно по плоскости соединения (рис.3.8). Для оценки прочности деталей применяем критерии прочности (максимальных напряжений, максимальных деформаций, Мизеса - Хилла и др.).
Рассмотрим подробно методику расчета на прочность детали из КМ на
основе энергетического критерия прочности Мизеса - Хилла, использование
которого возможно для пакета слоев (детали в целом) и для каждого слоя
(группы слоев с однотипной укладкой). В первом случае необходимо знать
значение пределов прочности КМ детали, а во втором - паспортные значения прочности однонаправленного КМ вдоль и поперек волокон и на сдвиг в
плоскости.
При проверке прочности детали в целом критерий прочности Мизеса Хилла запишем в виде
σ 2xi
Fxi2
−
σ xiσ yi
FxiFyi
+
σ 2yij
Fyi2
+
τ 2xyi
2
Fxyi
≤1,
(3.98)
где действующие напряжения определяем по формулам (3.75), (3.83)и (3.90)
(рис.3.8) для каждой детали.
154
Рисунок 3.8
Пределы прочности Fxi , Fyi и Fxyi в общем случае являются функциями
от структуры КМ, которая переменна по длине соединения. Эти величины
могут определяться теоретически или экспериментально в зависимости от
решаемой задачи - проектировочный или поверочный расчет на прочность.
Значения Fxi , Fyi и Fxyi в неравенстве (3.98) подставляем в соответствии с правилом:
Fxip
Fxi = 
Fxic
Fyip
Fyi = 
Fyic
• рЏ σ xi ≥ 0;
• рЏ σ xi < 0;
(3.99)
• рЏ σ yij ≥ 0;
• рЏ σ yij < 0,
где индексы "р" и "с" означают растяжение и сжатие соответственно.
При послойной оценке прочности детали из КМ в местной системе координат 1, 2 критерий принимает вид
σ12ki
F12k
−
σ1kiσ 2kij
F1kF2k
+
σ 22kij
F22k
+
2
τ12
ki
2
F12
k
≤1,
(3.100)
где индекс k означает номер слоя или группы слоев с одинаковым углом армирования, а 1, 2 - напряжения вдоль волокон (по основе) и поперек (по ут-
155
ку).
Действующие напряжения определяем в такой последовательности:
- вычисляем модули упругости, коэффициенты Пуассона и линейного
температурного расширения КМ в каждой расчетной точке детали
Ex,Ey , Gxy , µ xy , µ yx, α x, α y ;
- находим средние деформации из физического закона
εx =
σy
σx
− µ yx ;
Ex
Ey
ε x = − µ xy
γ xy =
где
τ xy
Gxy
σx σy
+
;
Ex Ey
(3.101)
,
σ x , σ y , τ xy - средние напряжения в детали в рассматриваемой точке;
- определяем силовую часть деформаций каждого слоя в местной системе координат 1, 2 (вдоль и поперек волокон):
ε1k = ε x cos 2 ϕ k + ε y sin2 ϕk + γ xy sin ϕ k cos ϕ k ;
ε 2k = ε x sin2 ϕ k + ε y cos 2 ϕ k − γ xy sin ϕ k cos ϕ k ;
(
(3.102)
)
γ 12k = ε y − ε x sin 2ϕ k + γ xy cos 2ϕ k ,
где
ϕ k - угол армирования k-го слоя.
- выражаем напряжения в местной системе координат через деформа-
ции
σ1k = E1k (ε1k + µ 21k ε 2k );
σ 2k = E2k (ε 2k + µ12k ε1k );
(3.103)
τ12k = G12k γ 12k ,
где
E1k =
E1k
E2k
; E2k =
.
1 − µ12k µ 21k
1 − µ12k µ 21k
(3.104)
Для металлической детали целесообразно применять третью или четвертую теорию прочности:
156
σ 2xi + σ 2yij + 3 τ 2xyi ≤ σ в ;
σ 2xi + σ 2yij + 4 τ 2xyi ≤ σ в ,
где
(3.105)
σв - предел прочности материала металлической детали.
Заметим, что условия прочности деталей записаны в предположении,
что действующие напряжения найдены для расчетных внешних нагрузок.
Перейдем к специфическим условиям прочности, присущим только соединениям.
Несущая способность детали из КМ в сечении, проходящем через оси
штифтов, отличается от межрядных участков. В традиционных механических
соединениях металлических деталей снижение прочности оценивается коэффициентом концентрации напряжений, который позволяет определить
максимальные значения напряжений. Их сравнение с пределом прочности
(или допускаемыми напряжениями) служит обоснованием достаточности запаса несущей способности соединения. Клеештифтовые соединения отличаются тем, что крепежные элементы устанавливаются без нарушения целостности волокон. Это означает, что предел прочности является переменной величиной (функцией от y) из-за изменения объемного содержания волокон. По этой причине сравнение средних напряжений, помноженных на
коэффициент концентрации, с пределом прочности не может стать условием
прочности детали в ослабленном сечении.
Для штифтовых соединений целесообразно ввести понятие коэффициента снижения прочности КМ в месте формовки крепежных микроэлементов
k cx =
где
Ny
qxy
Nx
; k cy =
; k cxy =
,
Fx ⋅ δ ⋅ B
Fy ⋅ δ ⋅ B
Fxy ⋅ δ ⋅ B
(3.106)
Ν - разрушающее усилие;
Fx , Fy , Fxy - пределы прочности по осям x, y и на сдвиг соответствен-
но;
δ, B - толщина и ширина детали.
С учетом сказанного выше условия прочности детали из КМ в ослабленных сечениях записываются в виде
σ 2 xi ≤ Fxik cx ;
σ 2 yij ≤ Fyik cy ;
τ 2 xyi ≤ Fxyik cxy .
(3.107)
157
В таком виде прочностные ограничения (3.107) соответствуют критерию максимальных напряжений. Из-за сложности напряженного состояния
детали из КМ в окрестности штифтов рекомендовать другие критерии не
представляется возможным.
На рис.3.9 показан типовой образец, на котором можно определить
экспериментально значения k cx и k cy , а на рис.3.10 - 3.12 - результаты испытаний для некоторых диаметров штифтов. Для сравнения показаны значения разрушающих напряжений образцов с просверленными отверстиями.
Эти данные позволяют прогнозировать в первом приближении коэффициенты снижения прочности для аналогичных структур КМ. (Заштрихованная область характеризует разброс прочности).
Рисунок 3.9
Рисунок 3.10
158
Рисунок 3.11
Снижение прочности в сечении, проходящем через оси штифтов, теоретически должно быть минимальным, так как основным несущим элементом КМ являются волокна, но в окрестности штифта наблюдается также искривление волокон и это приводит к большему снижению прочности, чем изменение объемного содержания компонентов. Теоретические исследования
подтверждают этот вывод.
Следующим видом потери несущей способности является смятие детали
из КМ, а при запрессовке штифтов - смятие и металлической детали. Условие
прочности на смятие можно записать в виде:
159
Рисунок 3.12
1
Fсмi
2
S yi 

 Q xi 

 +  Q yij +

mi 
 mi 

2
≤ σ смi ,
(3.108)
где Fсм - площадь поверхности смятия, которая зависит от формы и размеров крепежных элементов;
σ смi - прочность материала деталей на смятие.
160
Площадь смятия КМ (деталь 2) для различных типов штифтов (рис.3.7,
в, г, д, е) соответственно равна:
1


Fсмi = di  h1i + h2i − δ ki  ;


2
(3.109)
1


Fсмi = a h1i + h2i − δ ki  ;


2
(3.110)
1


Fсмi = a 2  h1i + h2i − δ ki  .


2
(3.111)
Для запрессованных штифтов (см.рис.3.7, г)
Fсмi = dh
i 3i.
(3.112)
Прочность КМ на смятие является очень сложной и противоречивой
характеристикой. В мире нет даже единого мнения о способе ее экспериментального определения. Известно, что прочность КМ на смятие зависит от
структуры КМ (количества слоев и их ориентации, объемного содержания
волокон), диаметра крепежного элемента, технологии образования отверстий, характера контакта штифт - КМ и многих других факторов. Формирование достоверной базы данных только начинается. В связи с этим следует
осторожно пользоваться немногочисленными цифровыми значениями,
имеющимися в литературных источниках.
В качестве примера в табл.3.2 приведены величины прочности на смятие углепластика КМУ-4э, которые были получены в ХАИ для цилиндрических штифтов.
На базе этой информации синтезирована эмпирическая зависимость
(2.107).
В табл. 3.3 приведены данные для ортогонально армированного углепластика, а также для стекло- и органопластика на основе ткани.
На рис.3.13 показаны значения прочности на смятие анизотропного уг°
°
°
лепластика [08 ,±453 ,202 ,903 ] на основе углеленты ЛУП-0,1 и связующего
ЭНФБ для различных диаметров, количества штифтов в ряду и направления
действия силы.
161
Т а б л и ц а 3 . 2 - Прочность углепластика на смятие
n∑
d,
мм
σ см ,
МПа
∆σ см ,
МПа
ν,%
1
0,8
343
73,6
21,2
1
1,0
278
53,0
19,1
1
2,0
217
2,9
1,3
1/3
0,8
540
46,9
8,7
[±45°2 , 0°4 , m 45°2 ]
[±45° , 0° , m 45° ]
1/3
1,0
518
37,8
7,3
1/3
2,0
401
8,5
2,1
[± 45°3 , m 45°3 ]
[± 45° , m 45° ]
0
0,8
594
47,1
7,9
3
0
1,0
601
35,5
5,9
[± 45°3 , m 45°3 ]
0
2,0
443
18,5
4,2
1
0,8
483
75
15,5
1
1,6
356
35,9
10,1
1
2,0
287
55,8
19,4
1/3
0,8
661
13,1
2,0
1/3
1,6
581
10,8
1,9
[±45°3 , 0°6 , m 45°3 ]
[±45° , ± 45° , m 45° ]
1/3
2,0
529
37,0
7,0
0
0,8
640
21,2
3,3
[±45°3 , ± 45° , m 45°3 ]
[±45° , ± 45° , m 45° ]
0
1,6
577
26,9
4,7
0
2,0
495
38,9
7,9
1
2,0
352
8,7
2,8
5/6
2,0
283
45,4
16,1
n0
Структура КМ
° ]
[012
[ 0° ]
12
° ]
[012
[±45° , 0° , m 45° ]
2
4
2
2
4
3
2
° ]
[018
[0° ]
18
° ]
[018
[±45°3 , 0°6 , m 45°3 ]
[±45° , 0° , m 45° ]
3
3
3
6
3
3
3
[0°24 ]
[0° , ± 45°, m 45°, 0° ]
10
10
162
Окончание табл. 3.2
n0
Структура КМ
n∑
d,
мм
σ см ,
МПа
∆σ см ,
МПа
ν,%
° , ± 45°, m 45°, 0° ]
[010
10
[0° , ± 45° , m 45° , 0° ]
5/6
3,0
272
41,3
15,2
8
2/3
2,0
383
47,4
12,4
[0°8 , ± 45°2 , m 45°2 , 0°8 ]
2/3
3,0
357
83,4
23,4
[0 °6 , ± 45 °3 , m 45 °3 , 0 °6 ]
[0 °6 , ± 45 °3 , m 45 °3 , 0 °6 ]
1/2
2,0
393
27,8
7,1
1/2
3,0
324
42,8
13,2
[0°4 , ± 45°4 , m 45°4 , 0°4 ]
[0° , ± 45° , m 45° , 0° ]
1/3
2,0
531
45,8
8,6
1/3
3,0
455
22,9
5,0
1/6
2,0
574
40,6
7,1
1/6
3,0
425
32,0
7,5
[±45°6 , m 45°6 ]
[0° ]
0
2,0
511
15,9
3,1
1
2,0
352
8,7
2,8
[±45° , 0°20 , m 45° ]
[±45° , 0° , m 45° ]
5/6
2,0
411
60,9
14,8
5/6
3,0
420
28,3
6,7
° , m 45° ]
[±45°2 , 016
2
[±45° , 0° , m 45° ]
2/3
2,0
477
20,7
4,3
2/3
3,0
400
27,4
6,8
° , m 45° ]
[±45°3 , 012
3
[±45° , 0° , m 45° ]
1/2
2,0
462
29,0
6,2
1/2
3,0
400
41,8
10,5
[±45°4 , 0°8 , m 45°4 ]
[ ±45° , 0° , m 45° ]
1/3
2,0
548
10,0
1,8
1/6
2,0
474
35,6
7,5
[ ±45°5 , 0°4 , m 45°5 ]
[±45° , m 45° ]
1/6
3,0
500
14,6
2,9
0
2,0
511
15,9
3,1
8
2
4
2
4
4
4
[0°2 , ± 45°5 , m 45°5 , 0°2 ]
[0° , ± 45° , m 45° , 0° ]
2
5
5
2
24
20
2
16
3
2
12
5
3
4
6
5
6
163
Т а б л и ц а 3 . 3 - Прочность на смятие ортогонально армированных КМ
Наименование КМ
Углепластик (0 90 )12
Стеклопластик
Органопластик
d,
мм
2,0
2,0
2,0
σ см ,
МПа
511
759
744
∆σ см ,
МПа
15,9
32,8
23,3
ν,%
3,1
4,3
3,1
Рисунок 3.13
Некоторое представление о несущей способности на смятие пирамидальными крепежными элементами из материала Д16АТ углепластика со
свойствами, приведенными в табл.3.4., дает табл.3.5.
164
Т а б л и ц а 3 . 4 - Физико-механические свойства КМ
Номер
структуры КМ
Структура КМ
Модуль Предел прочности,
упругости,
МПа
ГПа
Коэффициент
Пуассона
1
o , ± 45o ]
[014
2
118,8
711,3
0,685
2
[ ±45o9 ]
12,0
104,2
0,836
3
[0o5 , ± 45o2 , 90o2 ]
66,2
376,9
0,328
Т а б л и ц а 3 . 5 - Несущая способность пирамидальных крепежных
элементов
Вид
Разкрепежного меры
элемента основания,
мм
1,0x1,0
1,5x1,5
2,0x2,0
Номер
структуры
КМ
(табл.
3.4)
1
Разру- КоэффиДлина
шающая
циент
срезанной
нагрузка,
варичасти h cp ,
Н
ации,
мм
%
Коэффициент
вариации,
%
482
2,3
1,9
1,8
2
479
2,9
1,9
2,0
3
475
2,7
1,9
1,7
1
888
4,7
0,89
2,4
2
823
2,8
1,6
1,1
3
696
4,6
1,58
1,1
1
1377
7,5
0,65
3,6
2
1581
1,6
0,95
3,1
3
1315
4,3
0,8
3,4
165
Окончание табл. 3.5
РазВид
крепежного меры
элемента основания,
мм
1,0x1,0
1,5x1,5
2,0x2,0
Номер
структуры
КМ
(табл.
3.4)
1
Длина
Разру- Коэффишающая
циент
срезанной
варинагрузка,
части h cp ,
Н
ации,
мм
%
Коэффициент
вариации,
%
532
1,5
1,9
1,9
2
539
1,4
1,9
2,1
3
525
1,2
1,9
1,4
1
1065
7,2
1,41
2,2
2
1037
2,5
1,5
1,9
3
906
7,1
1,6
1,5
1
1432
4,7
0,8
4,8
2
1622
1,9
0,6
5,2
3
1560
1,6
0,7
5,0
При испытаниях наблюдался срез части штифта до начала смятия КМ,
что свидетельствует о сложном характере нагружения крепежного элемента
по высоте, а само понятие ″прочность на смятие″ для таких штифтов весьма
условно, учитывая отмеченную выше зависимость этой характеристики от
диаметра (размера основания).
Одним из самых важных ограничений является условие прочности крепежных элементов на срез:
2
2
Syi 

1  Q xi 

 +  Q yij +
 ≤ τкэi,
Fсpi  mi 
mi 

(3.113)
где площадь поверхности среза Fcpi для круглых и квадратных штифтов соответственно равна
πd12
Fcpi =
; Fcpi = ai2 .
4
(3.114)
166
Прочность металлических крепежных элементов на срез τ кэi определяется по известной формуле
τкэi = (0,5...0,6)σвi,
где
(3.115)
σвi - прочность материала штифтов на растяжение.
В механических соединениях традиционно рассматривается прочность
деталей на срез между двумя соседними рядами или от первого (последнего) ряда до края деталей. Применение крепежа малого диаметра существенно увеличивает несущую способность на срез при постоянной суммарной
площади оснований. Исследуем вопрос о значимости условия прочности детали из КМ на срез. Для этого найдем расстояние между рядами, при котором срез КМ не происходит:
πdi2
2tшxi (h1i + h2i )τкмi ≥
τ kэi .
(3.116)
4
Обозначив h1i + h2i = hi , после некоторых преобразований получим
условие
tшxi π τkэi di
≥
.
d
8 τкмi hi
(3.117)
Прочность на срез большинства современных КМ равна
τ кмi = 40...70 МПа.
Тогда для алюминиевых ( τкэ = 250 МПа) , титановых ( τкэ = 600 МПа) и деталей из стали 30ХГСА ( τ кэ = 1000 МПа ) ограничение (3.117) принимает вид
tшxi
d
≥ (2,5...14
, ) i;
di
hi
tшxi
d
≥ (5,9...3,4) i ;
di
hi
(3.118)
tшxi
d
≥ (10,0...5,6) i .
di
hi
При
di
≥ 3 из этих зависимостей следует, что при расчете клеештифhi
товых соединений условие прочности детали из КМ на срез между соседними рядами можно не учитывать. Такой вывод обоснован еще и тем, что из
условия сохранения количества волокон между двумя крепежными элементами следует зависимость
167
θпр
tшxi
=
,
θпр − θ 0
di
где
(3.119)
θ 0 - исходное (паспортное) значение объемного содержания волокон;
θпр - предельное технологически реализуемое объемное содержание
волокон.
Обычно
θ 0 = 0,5...0,65 , а θпр ≤ 0,78. Тогда из выражения (3.119)
следует, что
tшxi
≥ ( 2,8...6).
di
(3.120)
Если это ограничение не соблюдается, то имеет место увеличение
толщины деталей, т.е. слои выходят из своей плоскости, искривляются волокна и снижается прочность КМ.
Таким образом, получены все условия для расчета клеештифтовых соединений на прочность, которые в то же время являются ограничениями при
проектировании.
3.7 Проектирование соединений с элементами поперечной связи
Совместное формование деталей из КМ с соединительными законцовками приводит к тому, что между крепежными элементами и КМ отсутствуют
какие-либо зазоры. Вследствие этого температурные напряжения проявляются сразу же после изготовления в отличие от обычных болтовых соединений, в которых за счет зазоров имеет место существенное снижение уровня
нагрузок от разности коэффициентов линейного расширения как в продольном, так и в поперечном направлениях. По этой причине описанная в подразд. 2.1.2 методика проектирования нуждается в серьезной доработке.
Кроме того, клеевой слой может воспринимать значительную часть усилий,
что также необходимо учесть при разработке алгоритмов проектирования
клеештифтового соединения.
Рассмотрим задачу проектирования соединения общего вида (рис.
3.14), в результате решения которой необходимо определить функции изменения толщин деталей по длине с учетом конструктивно-технологических ограничений, количества рядов и количества штифтов в каждом ряду, формы
и геометрических размеров крепежных элементов, толщины и материала
клеевого слоя, а также структуры КМ на каждом участке соединения. При
решении задачи оптимального проектирования значения перечисленных
выше параметров должны соответствовать экстремуму какой-либо целевой
функции, например, массе соединения, стоимости изготовления, долговечности, надежности и т.п.
168
Рисунок 3.14
Аналитические методы решения задачи оптимального проектирования
таких конструкций в настоящее время отсутствуют, поэтому оправдано применение различных численных и приближенных методик. При их разработке,
как правило, вводят дополнительные ограничения на искомые параметры,
исходя из необходимости типизации и унификации элементов соединения,
условий производства, технологии изготовления деталей и др. Например,
трудно обосновать такое решение, когда геометрические параметры штифтов различны во всех рядах.
Анализ технологических процессов изготовления детали из КМ и металлических узлов приводит к выводу о том, что геометрическую конфигурацию деталей в зоне соединения следует искать среди представленных на
рис. 3.15 и 3.16. Относительно штифтов заметим, что:
- при их изготовлении из проволоки с последующей запрессовкой в отверстия (см. рис. 3.1, б) или сваркой (см. рис. 3.1, в) диаметр должен соответствовать стандартам на проволоку;
169
Рисунок 3.15
170
Рисунок 3.16
- при фрезеровании крепежных элементов (см. рис. 3.1, г) их конструктивные параметры должны быть одинаковыми в пределах нескольких зон,
количество которых определяется технологией фрезерования (дисковая или
пальчиковая фреза);
- учитывая требования унификации, количество применяемых типоразмеров штифтов и фрез должно быть минимальным или достаточно аргументированным.
Для проектирования клеештифтовых соединений целесообразно применение итерационных алгоритмов на основе последовательного уточнения
171
конструктивных параметров деталей и крепежных элементов. Современные
ПЭВМ позволяют реализовать итерационные алгоритмы, которые базируются на методиках поверочного расчета на прочность. Рассмотрим подробно
один из возможных вариантов методики проектирования.
а) задаем первое приближение геометрической конфигурации деталей
с учетом их конструктивно-технологического оформления (см. рис. 3.14,
3.15);
б) задаем в первом приближении параметры штифтов, имея в виду
реализуемые способы их установки (см. рис. 3.1). Суммарную площадь оснований крепежных элементов можно оценить по формуле
kNB n mi
f0 ∑ =
= ∑ ∑ f0i ,
τ вкэ i =1 j =1
(3.121)
где k = 12
, K15
, - коэффициент неравномерности распределения усилий по
рядам штифтов,
τ вкэ - предел прочности на срез материала штифтов,
f0i - площадь основания крепежного элемента, определяемая по формулам:
- для кругового поперечного сечения
πdi2
f0i =
;
4
(3.122)
- для квадратных оснований
f0i = a20i ;
(3.123)
- для ромбовидных оснований
f0i =
1
b0 xiboyi .
2
(3.124)
В этих выражениях:
a0i - размер стороны квадрата,
b0 xi , b0 yi - диагонали ромба по осям x и y соответственно;
в) определяем максимальное количество штифтов в ряду из условия
размещения волокон КМ (см. выражение (3.119)), которое для конфигураций,
показанных на рис. 3.17, принимает вид:
172
Рисунок 3.17
- рис. 3.17, а, б
tшyi
di
≥
Θпр
Θпр − Θ 0
;
(3.125)
;
(3.126)
- рис. 3.17, в
tшyi
a0i
- рис. 3.17, г
≥
Θпр
Θпр − Θ 0
173
tшyi
a0i
≥ 2
Θ пр
Θпр − Θ 0
;
(3.127)
- рис. 3.17, е
tшyi
b0 yi
≥
Θпр
Θпр − Θ 0
.
(3.128)
Конфигурация штифтов (рис. 3.17, д) может применяться для специальных структур КМ, поэтому условия размещения волокон необходимо записать с учетом конкретных КТР деталей.
Если КМ содержит слои ± 45° , это следует учесть при шахматном расположении штифтов;
г) зная количество штифтов в ряду, находим количество рядов из выражения (3.121);
д) задаваясь высотой штифтов из конструктивно-технологических соображений, но не менее половины толщины детали из КМ, определяем шаг
между рядами tшxi из уравнения (3.109) и, следовательно, длину соединения;
е) вычисляем массу соединения по формуле (см. рис. 3.14)
l
[
]
M = B∫ ρ1δ1( x) + ρ2δ 2 ( x) + ρк δ к ( x) dx +
0
n mi
(3.129)
[
]
*
**
+ ∑ ∑ Vкэij
(ρкэ − ρсв ) + Vкэij
(ρкэ − ρ1) ,
i =1j =1
где ρ1, ρ2 , ρк , ρкэ , ρсв - плотности материалов деталей 1 и 2, клея, крепежных элементов и связующего;
*
**
Vкэij
, Vкэij
- объем частей штифтов, внедряемых в КМ и запрессован-
ных в металлическую деталь соответственно. Вычисляются по известным
формулам для каждой конфигурации штифта;
ж) из систем уравнений (3.15) или (3.18) и из формул (3.7) или (3.10)
определяем погонные усилия N1xi , N2 xi , а также силы Q xi . Находим поперечные усилия N1yij , N2 yij и силы Q yik из системы уравнений (3.24) или
(3.27) и из выражений (3.21);
з) проверяем выполнение условий прочности всех элементов соединения (3.97), (3.98) или (3.100), (3.105), (3.107), (3.108), (3.112), (3.113) и
(3.116);
i) корректируем параметры конструкции таким образом, чтобы условия
прочности выполнялись с минимальным запасом, а конструктивнотехнологические ограничения удовлетворяли требованиям производства;
к) повторяем п. е) - i) до тех пор, пока итерационный процесс не сойдется с заданной точностью.
174
В заключение необходимо сделать несколько общих замечаний, которые облегчают реализацию этого алгоритма:
- для конструкций соединений, показанных на рис. 3.16, суммарная
толщина деталей постоянна по длине, т.е.
δ1i + δ 2i + δ кi = const;
(3.122)
- при назначении или определении высоты штифтов допустимо удаление частей, выступающих за деталь из КМ, после формования конструкции;
- в зонах расположения первого и последнего рядов крепежных элементов возникают поперечные усилия, связанные с коэффициентами Пуассона и линейного температурного расширения, поэтому возможно дополнительное усиление деталей по сравнению с их регулярными частями;
- при изменении толщины композитной детали путем сокращения количества слоев следует избегать искривления плоскости слоев КМ, а также
введение дополнительных слоев, которых не было в зоне последнего ряда
(см. рис. 3.14);
- на этапе проектирования целесообразна более крупная дискретизация расчетной схемы, а после окончания итерационного процесса необходимо выполнить поверочный расчет на прочность.
3.8 Экспериментальное обеспечение расчета на прочность
и проектирования клеештифтовых соединений
В подразд. 3.6 и 3.7 используется целый ряд физико-механических характеристик, которые необходимо определять экспериментально. К ним относятся:
- упругие константы детали из КМ с искривленными волокнами в окрестности штифтов,
- коэффициенты снижения прочности КМ в зоне установки штифтов,
- коэффициент податливости клеештифтового соединительного элемента,
- прочность КМ на смятие.
Приведенные выше формулы, а также экспериментальные данные, являются ориентировочными даже для конкретного КМ и имеют чисто методическое значение. Кроме того, в настоящее время отсутствуют стандарты и
нормативные документы для экспериментального определения этих величин. В связи с этим ниже изложен опыт Харьковского авиационного института им. Н.Е. Жуковского в направлении постановки экспериментальных исследований и обработки результатов.
175
3.8.1 Определение упругих констант и коэффициентов снижения
прочности детали из КМ
Формирование клеештифтового соединения связано с увеличением
объемного содержания волокон и их искривлением в окрестности крепежных
элементов, что приводит к изменению модулей упругости, коэффициентов
Пуассона и линейного температурного расширения КМ, а это, в свою очередь, влияет на распределение усилий по длине и ширине соединения.
В целях сокращения количества экспериментов и расхода материалов
опытные исследования целесообразно выполнять после проектирования
соединения. Это повысит достоверность поверочного расчета на прочность.
Модули упругости на растяжение (сжатие) определяются на стандартных образцах постоянной толщины, отличающихся тем, что в рабочей зоне
заформованы имитаторы штифтов (рис. 3.18, а) или носители пирамидальных крепежных элементов (рис. 3.18, б).
Количество рядов имитаторов крепежных элементов должно обеспечивать регулярность поля на базе измерения деформаций. Для этого достаточно иметь по одному ряду с каждой стороны за пределами измерителя
деформаций.
Носители крепежных элементов должны содержать по одному штифту,
а для исключения их приклеивания необходимо устанавливать разделительный слой (рис. 3.18, б).
Коэффициент снижения прочности КМ в зоне установки штифтов определяется на таких же образцах, только в этом случае достаточно одного ряда крепежных элементов.
Сдвиговая жесткость исследуется на образцах, предназначенных для
определения модуля сдвига и прочности на сдвиг и оснащенных соответствующими имитаторами крепежных элементов.
Коэффициенты линейного расширения можно определять на стандартных образцах, типа показанных на рис. 3.18 с количеством рядов, достаточным для перекрытия измерительной базы дилатометра.
Теоретические исследования показывают, что модуль межслойного
сдвига слоистых КМ слабо зависит от структуры материала, поэтому в расчетах можно использовать справочные данные.
176
Рисунок 3.18
3.8.2. Определение коэффициента податливости клеештифтового соединительного элемента
Коэффициент податливости является основой для решения статически
неопределимых задач типа многорядных соединений. Многолетние теоретические и экспериментальные исследования не позволили до сих пор сформировать надежную базу данных даже для традиционных болтовых и заклепочных соединений, не говоря о новых КТР. Это связано, во-первых, с привязанностью коэффициента податливости к конкретной расчетной схеме (в
нашем случае к безмоментному напряженному состоянию деталей); во-
177
вторых, с множеством факторов влияния (изгиб крепежного элемента, смятие материалов, посадка в отверстие, овализация отверстия, нелинейный
характер деформирования, последовательность укладки слоев и др.), аналитическое описание которых малодостоверно и неэффективно, а эксперименты разных авторов и организаций почти не согласуются друг с другом; в
третьих, со статическим характером взаимодействия деталей с крепежными
элементами и другими аспектами работы соединения.
Из сказанного следует важный вывод о том, что экспериментальные
образцы, методики испытаний и обработки результатов должны быть максимально приближены к расчетной схеме, применяемой для определения
напряженно-деформированного состояния соединения, а технология изготовления образцов - идентичной производственным условиям.
Одна из расчетных схем клеештифтового соединения базируется на
″размазывании″ дискретных крепежных элементов по всей поверхности. В
этом случае коэффициент податливости соединительного слоя определяют
из эксперимента по изгибу коротких составных балок, теория которого разработана А.Р. Ржанициным.
Прогиб составной балки, шарнирно опертой на двух опорах (рис. 3.19),
вычисляем по формуле
W ( x) =
Px
P ⋅ sh λx
Px
2
2
+
3
−
−
l
x
,
2Dλ2 2λ3D ⋅ ch λx 12(EI) 0
(
)
(3.131)
где
Gc b
1
1
c2
;γ =
;
λ = ξγ ; ξ =
+
+
δc
E1x δ1b E 2 x δ 2b (EI)∑
D=
(EI)∑ + (EI)0
;
(EI)0 − (EI)∑
(EI)∑ = (EI)1 + (EI)2 = E1n
(3.132)
bδ13
bδ 32
+ E 2n
;
12
12
(EI)0 = (EI)∑ + bc 2 E1x δ1E 2 x δ 2 .
E1x δ1 + E 2 x δ 2
Здесь
(EI) ∑ - сумма изгибных жесткостей изолированных элементов балки,
(EI)0 - изгибная жесткость условно монолитной балки из двух рассматриваемых элементов,
ξ - жесткость соединительного слоя,
Gc , δ c - модуль сдвига и толщина приведенного соединительного
слоя,
c - расстояние между нейтральными осями элементов балки,
178
E1x , E2 x , E1n , E2n - модули упругости материалов элементов балки на
растяжение и изгиб.
Рисунок 3.19
Таким образом, зная физико-механические и геометрические характеристики балки и ее элементов и измерив прогиб балки можно определить
коэффициент жесткости сдвиговых связей из уравнения
Px0
P ⋅ sh λx0
Px0
−
+
3l2 − x20 = W0 ,
3
2
2Dλ
2λ D ⋅ ch λx0 12(EI) 0
(
где
)
(3.133)
x0 - координата точки, в которой был измерен прогиб W0 .
При x = l из (3.125) получим
P
Pl3
λl − th λl) +
= W0 ,
3(
EI
6
( )0
2Dλ
(3.134)
Найденный из этого трансцендентного уравнения параметр ξ связан с
податливостью зависимостью (см. формулы (3.65) и (3.73))
ξ=
b
∏ 3 x Bt *x
или ∏ 3x =
b
.
*
ξBt x
(3.135)
Для металлического элемента балки (рис. 3.19)
E2 x = E2n ,
а нейтральная ось проходит через срединную поверхность.
Аналитическое определение изгибной жесткости элемента из КМ через
свойства и расположение слоев может внести в эксперимент дополнительную погрешность из-за разнотолщинности слоев и различной степени изменения структуры КМ по толщине, поэтому целесообразно испытать по той же
схеме элемент из КМ. Измерив прогиб такой балки в двух сечениях, найдем
ее изгибную жесткость и модуль межслойного сдвига из системы уравнений:
179
1 E1xδ12 
Px13  l
 − +
 = W1;
4(EI)1  x1 3 G1xz x12 
(3.136)
 l
1 E1xδ12 
 − +
 = W2 ,
4 EI 1  x2 3 G1xz x22 
Px32
( )
где
x1, x2 - координаты точек, в которых измеряются прогибы W1 и W2 ;
G1xz - модуль межслойного сдвига КМ.
С учетом этого в уравнении (3.133) остаются два неизвестных - (EI) 0 и
λ , для определения которых достаточно измерить прогиб составной балки в
двух точках и решить систему уравнений:
(
)
Px1 3l2 − x12
P
= W1;
(λx1 − th λx1) + 12 EI
2Dλ3
( )0
(
2
− x22
Px2 3l
P
(λx2 − th λx2 ) + 12 EI
2Dλ3
( )0
)=W,
(3.137)
2
Зная коэффициент λ , вычисляем параметр ξ по формуле
ξ = bλ2
(EI) ∑ E1xδ1E2 xδ 2
.
(EI)0 E1xδ1 + E2xδ 2
(3.138)
Для определения податливости ряда крепежных элементов или отдельного штифта как при наличии клея, так и при его отсутствии применяют схемы
испытаний на растяжение или сжатие (рис. 3.20).
При растяжении образцов (рис. 3.20, а - в) измеряют удлинение ∆ ∑ на
базе l, которое складывается из упругой деформации участков образцов l1 и
l2 и деформации соединения:
∆ ∑ = ∆1 + ∆ 2 + ∆ 3 ,
где
(3.139)
∆ 3 - смещение деталей за счет деформации крепежного элемента,
N
N
∆1 = l1
; ∆ 2 = l2
.
(3.140)
F1E1
F2E2
Здесь
F1, F2 - площади поперечных сечений деталей,
E1, E2 - модули упругости материалов деталей.
По результатам измерений строим график зависимости ∆3 (N) (рис. 3.21)
и вычисляем коэффициент податливости по формулам:
180
- для ряда крепежных элементов
П=
∆ 3p
Np
;
(3.141)
- для одного штифта
П=n
∆ 3p
Np
,
(3.142)
∆ 3p , Np - значения смещения и силы, принимаемые с линей ного участка диаграммы ∆ 3 − N (рис. 3.21);
n - количество штифтов в ряду.
где
Рисунок 3.20
181
Рисунок 3.21
Испытания образцов проводятся в специальном приспособлении, которое должно предотвращать изгиб образца.
При наличии клеевого слоя в соединении коэффициент податливости
комбинации “клей - штифт” вычисляем по формулам (3.141) и (3.142).
Найденные значения податливости строго привязаны к ширине образца b, поэтому для перехода к коэффициентам податливости рассчитываемого соединения используют зависимость:
П3 x = П
где
b b ∆ 3p
=
,
B B Np
(3.143)
B - ширина соединения (см. рис. 3.2).
Испытания на сжатие образцов, показанных на рис. 3.20, г, проводятся
в приспособлении (рис. 3.22 где: 1 - приспособление, 2 - образец, 3 - прижимной винт, 4 - промежуточный вкладыш, 5 - разделительный (антифрикционный) слой), жесткость которого должна быть намного больше жесткости
образца во избежание дополнительной погрешности за счет деформации
его опорной части.
182
Рисунок 3.22
Для определения податливости односрезного соединения образец
подпирают через промежуточный вкладыш, отделенный от образца разделительным антифрикционным слоем (рис. 3.22, б). Обработка результатов
проводится по приведенным выше формулам.
По этой методике в Харьковском авиационном институте были проведены экспериментальные исследования податливости пирамидальных крепежных элементов при отсутствии и при наличии клея между КМ и металлической деталью. В приспособлении (см. рис. 3.20, б) испытывались образцы
однорядного соединения углепластика КМУ-4э [010, ± 452, − 45, 02,
− 45, m 452 , 010 ] с накладкой из Д 16Т. Толщина деталей составляла по 3
мм каждая, ширина - 30 мм, количество штифтов в ряду - 5 с шагом 6 мм,
высота крепежных элементов - 3 мм. Результаты экспериментов приведены
в табл. 3.6, где приняты следующие обозначения:
Пкэ - податливость одного штифта, определяемая как произведение
податливости соединения (ряда) на количество крепежных элементов в ряду;
CП - произведение податливости одного штифта на площадь его основания;
ν - коэффициент вариации экспериментальных данных.
Из табл. 3.6 видно, что коэффициент CП имеет тенденцию к постоянному значению для разных крепежных элементов ( CП = 0,352 при коэффициенте вариации 4,3%). По своему физическому смыслу эта величина соответствует отношению толщины приведенного соединительного слоя (по гипотезе Фолькерсена, см. разд. 2) к его модулю сдвига, поэтому представляет
интерес сравнение экспериментальных данных с теоретическими, вычисляемыми по табл. 3.1. Эти результаты иллюстрируются рис. 3.23, из которо-
183
го видно, что при площади основания штифта f < 3 мм
2
опытные данные
2
меньше теоретических, а при f > 3 мм - больше, что связано с увеличением изгибной жесткости крепежных элементов и более существенным деформированием структуры КМ.
Т а б л и ц а 3 . 6 - Податливость пирамидальных крепежных элементов
Размер основания крепежного элемента,
мм
1,22
1,34
1,35
1,58
1,63
1,65
1,66
1,74
1,80
1,88
2,06
2,07
2,17
2,20
2,22
2,50
2,58
Пкэ ,
мм кН
ν,%
0,222
0,188
0,180
0,125
0,110
0,123
0,118
0,130
0,113
0,095
0,103
0,093
0,070
0,075
0,075
0,063
0,053
5,8
8,5
7,6
9,4
6,4
8,8
8,0
5,9
4,9
6,7
5,8
8,7
6,1
2,1
8,8
5,6
CП ,
мм3 кН
0,316
0,338
0,328
0,312
0,292
0,335
0,325
0,394
0,366
0,336
0,437
0,398
0,330
0,363
0,370
0,394
0,353
184
Рисунок 3.23
Несмотря на это отличие, эксперименты подтверждают возможность
использования формул табл. 3.1 для определения коэффициента податливости клеештифтового соединения на этапе его проектирования.
3.8.3 Определение прочности КМ на смятие
Результирующее усилие на штифты переменно по величине и направлению по поверхности соединения, поэтому для расчета на прочность необходимо иметь зависимость прочности на смятие от направления действия
силы. Использование стандартных образцов для исследования анизотропии
прочности КМ на смятие приводит к неоправданно большому расходу материала и увеличению трудоемкости испытаний. В связи с этим в Харьковском
авиационном институте предложены конструкции образцов и испытательного устройства (рис. 3.24, 3.25), позволяющие оперативно получить полномасштабную информацию. Предложенные образец и устройство дают возможность получить на одном образце зависимость прочности на смятие от
формы, размеров и ориентации крепежного элемента, а также от направления действия силы. Образец представляет собой диск диаметром
200K300 мм, в котором при его изготовлении вформовываются цилиндрические штифты или пирамидальные с соответствующим носителем.
185
Рисунок 3.24
При планировании экспериментов необходимо иметь в виду некоторые
ограничения. Во-первых, прочность на смятие определяется в условиях сохранения прямолинейности (отсутствия изгиба) штифта, что обуславливает
вполне определенную зависимость между диаметром и толщиной (структурой) КМ. Во-вторых, неприменима стандартная методика трактовки прочности на смятие как усилия, при котором происходит заданная степень овализации отверстия (4 или 6%), поэтому для заформованных штифтов следует
измерять усилие, когда диаграмма “усилие - деформация” отклоняется от
линейности. В третьих, расстояние между крепежными элементами должно
быть больше зоны искривления волокон, которая зависит от типа КМ, технологии внедрения, размеров и т.п.
При необходимости учета реального расположения штифтов в ряду и
вызванного этим изменения структуры КМ испытывают стандартные образцы (рис. 3.26), содержащие несколько крепежных элементов, расположение
которых соответствует проектируемому соединению.
Несущая способность на смятие КМ пирамидальными штифтами исследуется путем испытания типовых образцов на обычных разрывных машинах (рис. 3.27). Для исключения перекоса рабочий конец образца снабжен
специальной накладкой с упором (рис. 3.27, а).
186
Рисунок 3.25
В подразд. 3.6 приведены результаты испытаний КМ по этой методике.
Там же показано, что прочность КМ на срез для реального расположения
крепежных элементов не является определяющим для клеештифтовых соединений, но если есть необходимость в этой характеристике, то ее достаточно просто можно получить на образцах, показанных на рис. 3.22, путем
регулирования расстояния от оси штифта до края пластины.
187
Рисунок 3.26
Рисунок 3.27
3.9 Области применения клеештифтовых соединений
При принятии решения о применении клеештифтового соединения
следует руководствоваться следующими рекомендациями:
- металлическая соединительная законцовка приформовывается к КМ
при изготовлении деталей, поэтому конструкция технологической оснастки
должна предусматривать точную фиксацию соединяемых элементов, а так-
188
же возможность достаточной опрессовки КМ при формовании. Учитывая неизбежность температурных деформаций, металлические законцовки проектируются таким образом, чтобы конструкция доводилась до окончательных
размеров механической обработкой после извлечения изделия из оснастки;
- усиление клеевого соединения штифтами имеет смысл при толщине
-1
более 15
, K2 мм или при передаваемых потоках усилий более 1000 H ⋅ мм ;
- обязательное острие на крепежных элементах способствует их выдергиванию (выталкиванию) из КМ, поэтому надежное соединение реализуется при
отношении высоты штифта к размеру основания более 2. Рациональные значения угла при вершине - не менее 60° ;
- высоту крепежного элемента желательно назначать больше половины толщины КМ, особенно для односторонних накладок. При установке
двухсторонних законцовок необходимо обеспечивать перекрытие штифтов
по толщине со сдвижкой в плоскости соединения из условия более равномерного их распределения по объему КМ;
- если в конструкциях не предусмотрены мероприятия по обеспечению
взаимного прижатия деталей (нераскрытия стыка), то надежная высококачественная склейка КМ с металлом является строго обязательной, причем в
процессе формирования.
На рис. 3.28 показаны типовые конструктивно-технологические решения по применению клеештифтового соединения для:
- узла стыковки лонжерона (рис. 3.28, а);
- фланцевого соединения одно- и трехслойных обшивок (рис. 3.28,б,в,г);
- обечаек баллонов, оболочек, корпусов РДТТ и других агрегатов (рис.
3.28, е);
- законцовок подкосов и тяг (рис. 3.28, д);
- соединений обшивок (рис. 3.28, ж);
- специальных анкерных болтов и гаек (рис. 3.28, и).
Этот способ соединения эффективен для конструкций, изготовленных
намоткой, так как автоматически обеспечивается герметичность и нераскрытие стыка (из-за замкнутости контура изделия). При этом следует учитывать,
что фрезерование-точение пирамидальных элементов сопровождается непостоянством размеров оснований и высот по длине законцовки (рис. 3.29).
189
Рисунок 3.28
190
Рисунок 3.29
При заданных параметрах фрезы bф и α ф размеры штифтов определяем по формулам
hi =
 
1 π
π
 D − bф  ctg α ф −  ;
2  ny
ny 
 
di = D
где
(3.144)
π
− bф ,
ny
n y - количество крепежных элементов в окружном направлении.
Из этих выражений видно, что размеры штифтов растут к концу соединительной законцовки с большим наружным диаметром, что необходимо
учитывать при проектировании как конструкции, так и заготовки под точениефрезерование.
В табл. 3.7 приведены результаты сравнительных испытаний различных способов соединения, где за единицу принята несущая способность оптимального трехступенчатого клеевого соединения. Эта информация позволяет ориентировочно оценить возможности и перспективы применения КТР
соединений.
191
Т а б л и ц а 3 . 7 - Несущая способность различных КТР соединений
ПараКоэффициент
Номер
об- Конструктивно-технологическое решение метры, работоспособности
мм
разца
1
L=40
1
2
L=40
0,74
3
c=8
c=10
c=12
0,74
0,81
0,78
4
a=1,2
t=3,5
L=60
5
a=1,0
t=3,5
L=40
6
a=1,2
t=3,5
L=40
7
a=1,6
t=4,0
L=40
8
a=2,0
t=6,0
L=40
9
a=1,2
t=3,5
L=20
растяжение
1,7
сжатие
1,27
растяжение
1,35
сжатие
1,06
растяжение
1,45
сжатие
1,08
растяжение
1,38
сжатие
1,06
растяжение
0,72
сжатие
1,18
растяжение
0,72
сжатие
1,0
192
Продолжение табл. 3.7
Номер
Конструктивно-технологическое решеобние
разца
10
Параметры,
мм
a=1,2
t=3,5
Коэффициент работоспособности
1,51
L=40
a=1,2
11
t=3,5
1,89
L=60
L=40
12
клей –
1,4
L=40
13
клей –
1,06
клей +
1,01
L=40
14
d=6
0,66
клей –
L=40
15
d=4
клей +
1,52
193
Продолжение табл. 3.7
Номер
образца
Конструктивно-технологическое решение
ПараКоэффициент
метры, работоспособности
мм
L=40
d=6
16
17
18
клей –
L=40
d=4
клей +
L=40
d=6
0,68
0,62
0,7
клей –
19
20
L=40
d=4
клей +
L=40
d=6
0,63
0,53
клей –
21
L=40
d=6
клей +
0,55
194
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ И РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Абибов А.Л., Васильев В.В., Кутьинов В.Ф., Сироткин О.С. Проектирование, расчет и испытание соединений конструкции из композиционных материалов // Проектирование, расчет и испытания конструкций из композиционных материалов. ЦАГИ, 1973. Вып. 1. С.4 - 12.
2. Артюхин Ю.П. Напряжения в клеевых соединениях // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань, 1973. Вып. 10. С.3 - 27.
3. Артюхин Ю.П. Модифицированная теория Голанда - Рейснера склеенных пластин // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань, 1975. Вып.11. С.136 - 148.
4. Артюхов М.С., Ануфриев Б.Н., Воробей В.В., Сироткин О.С.
Штифтовой метод соединения деталей из полимерных композиционных материалов // Пластические массы. 1976. №3. С.66 - 68.
5. Аудринг В.В., Локшин Р.Ф. Способы сварки термопластов /
Пластические массы. 1976. №3. С.35 - 37.
6. Белоус А.А., Хватан А.М. Расчет клеемеханического соединения внахлестку // Проектирование, расчет и испытания конструкций из композиционных материалов. ЦАГИ, 1979. Вып. 7. С.49 - 56.
7. Бокин М.Н., Минков Е.В., Полтавцев В.В. Клеемеханический
метод соединения конструкций // Механика композитных материалов. 1981. №6. С.976 - 981.
8. Бокин М.Н. Неметаллические материалы в ракетостроении.
Учеб. пособие. - Л.: Ленингр. мех. ин-т, 1970. - 416 с.
9. Бондин В.Ф. Напряжения в клеевом стыке внахлестку при
соединении анизотропных материалов// Изв. АН СССР. Сер. Механика твердого тела. 1972. №1. С.159 - 168.
10. Брушковский А.Л., Гайдачук В.Е., Колесников Л.А. Прочность стеклопластиковых соединений с накладками на линейноупругих клеях // Самолетостроение. Техника воздушного флота.
Харьков, 1961. Вып. 24. С.57 - 61.
11. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных
материалов. - М.: Машиностроение, 1988. - 272 с.
12. Васильев В.В., Боков Ю.В. Исследование напряженного
состояния клеевого соединения композиционного материала с металлическим листом // Проектирование, расчет и испытания конструкций из композиционных материалов. ЦАГИ, 1979. Вып. 7. С.4 10.
13. Воробей В.В., Сироткин О.С. Соединения конструкций из
композиционных материалов. - Л.: Машиностроение, 1985. - 168 с.
14. Воробей В.В., Сироткин О.С., Живилов Б.Н. Проектирование клеевых соединений с заданным уровнем надежности // Пла194
195
стические массы. 1976. №3. С.18 - 20.
15. Гайдачук В.Е., Карпов Я.С. Основы конструкторской подготовки производства агрегатов летательных аппаратов из композиционных материалов: Учеб. пособие. - Харьков: Харьк. авиац. ин-т, 1988.
- 66 с.
16. Гайдачук В.Е., Карпов Я.С. Проектирование и конструкции
летательных аппаратов из композиционных материалов: Учеб. пособие. - Харьков: Харьк. авиац. ин-т, 1987. - 98 с.
17. Гайдачук В.Е., Карпов Я.С. Учет особенностей структуры
композиционных материалов в соединениях деталей // Вопросы
проектирования и производства конструкций летательных аппаратов: Темат. сб. науч. трудов ХАИ. Харьков, 1985. С.48-53.
18. Гайдачук В.Е., Карпов Я.С. Композиционные материалы в
конструкциях летательных аппаратов: Учеб. пособие. - Харьков:
Харьк. авиац. ин-т, 1986. - 130 с.
19. Гайдачук В.Е., Карпов Я.С. Физико-механические и эксплуатационные свойства композиционных материалов: Учебное пособие. - Харьков: Харьк. авиац. ин-т, 1987. - 73 с.
20. Гиммельфарб А.Л. Основы конструирования в самолетостроении. - М.: Машиностроение, 1971. - 312 с.
21. Догматырский Б.А., Сироткин О.Н., Ярковец А.И. Болтовые
и заклепочные соединения конструкций из стеклопластиков. - М.:
МАИ, 1972. - 100 с.
22. Догматырский Б.А., Ярковец А.И., Сироткин О.С. Влияние
напряженного состояния в механических соединениях деталей из
стеклопластика на их несущую способность // Вестник машиностроения. 1969. №2. С.49 - 52.
23. Ендогур А.И., Вайнберг М.В., Иерусалимский К.М. Сотовые
конструкции. Выбор параметров и проектирование. - М.: Машиностроение, 1986. - 200 с.
24. Ильина А.Д. Исходные прочностные характеристики композиционных материалов для проектирования механических соединений// Проектирование, расчет и испытания конструкций из композиционных материалов. ЦАГИ, 1979. Вып.7. С.56 - 60.
25. Ильина А.Д., Ильин Ю.С. Высокопрочные соединения композиционных материалов // Проектирование, расчет и испытания
конструкций из композиционных материалов. ЦАГИ, 1979. Вып.7.
С.42 - 49.
26. Ильина А.Д., Ильин Ю.С., Сироткин О.С. Исследование релаксации усилий затяжки болтов в соединениях трехслойных панелей из композиционных материалов // Проектирование, расчет и испытания конструкций из композиционных материалов. ЦАГИ, 1982.
195
196
Вып.9. С.47 - 59.
27. Ильина А.Д., Ильин Ю.С. Равнопрочное соединение элементов конструкций из полимерных композиционных материалов //
Авиационная промышленность. 1979. №11. С.68 - 71.
28. Карпов Я.С. Распределение напряжений в комбинированных соединениях деталей из композиционных материалов // Вопросы проектирования и производства тонкостенных силовых конструкций: Темат. сб. науч. трудов ХАИ. Харьков, 1984. С.55 - 60.
29. Карпов Я.С. Принципы конструирования соединений высоконагруженных деталей летательных аппаратов из композиционных
материалов // Вопросы проектирования и производства конструкций
летательных аппаратов: Темат. сб. науч. трудов ХАИ. Харьков,
1987. С.12 - 20.
30. Карпов Я.С., Кривенда С.П. Принципы конструирования
металлокомпозитных гетерогенных структур и их взаимосвязь с проектными параметрами агрегатов летательных аппаратов // Авиационно-космическая техника и технология: Тр. Харьк. авиац. ин-та.
Харьков, 1995. С.343 - 349.
31. Кейгл Ч. Клеевые соединения. - М.: Мир, 1971. - 360 с.
32. Ковачич Л. Склеивание металлов и пластмасс/ Пер. со словацкого/ Под ред. А.С. Фрейдина. - М.: Химия, 1985. - 240 с.
33. Комаров Г.В. Способы соединения деталей из пластических масс. - М.: Машиностроение, 1979. - 286 с.
34. Комаров Г.В., Тростянская Е.Б. Способы соединения деталей
из пластических масс// Пластические массы, 1976. №3. С.35 - 37.
35. Композиционные материалы/ Под ред. Л. Браутмана и
Р.Крока. В 8 т. - М.: Машиностроение, 1978. - 264 с. Т.8. Анализ и
проектирование конструкций.
36. Кутьинов В.Ф. Расчет клеевых соединений// Проектирование, расчет и испытания конструкций из композиционных материалов. ЦАГИ. 1979. Вып.7. С.14-30.
37. Кутьинов В.Ф. Расчет температурных напряжений в клеенных
составных балках// Проектирование, расчет и испытания конструкций из
композиционных материалов. ЦАГИ, 1978. Вып.7. С.111 - 141.
38. Кутьинов В.Ф. Расчет клеенных комбинированных конструкций из композиционных материалов// Проектирование, расчет и
испытания конструкций из композиционных материалов. ЦАГИ,
1982. Вып.9. С.33 - 47.
39. Основы проектирования и изготовления конструкций летательных аппаратов из композиционных материалов / В.В. Васильев,
А.А. Добряков, А.А. Дудченко и др. - М.: МАИ, 1985. - 218 с.
40. Проектирование соединений элементов конструкций лета196
197
тельных аппаратов: Учеб. пособие / В.Е. Гайдачук, Я.С. Карпов, А.В.
Корженевский, А.Ф. Пильник. - Харьков: Харьк. авиац. ин-т, 1983. 102 с.
41. Ржаницын А.Р. Составные стержни и пластины. - М.:
Стройиздат, 1986. - 316 с.
42. Рябенков Н.Г. К расчету клеевых соединений оболочек// Исследование по теории пластин и оболочек. Казань, 1976. Вып.12.
С.104 - 112.
43. Сироткин О.С. Проектирование соединений элементов конструкций из композиционных материалов // Изв. вузов. Сер. Машиностроение. 1978. №2. С.30 - 33.
44. Сироткин О.С. Проектирование и технология соединений
элементов конструкций из композиционных материалов // Пластические массы. 1976. №3. С.57 - 61.
45. Сироткин О.С., Растригин С.Ф., Козлов В.А. Экспериментальное исследование упругих и прочностных характеристик соединений углепластиков в свободном и стесненном состоянии / Проектирование, расчет и испытания конструкций из композиционных материалов. ЦАГИ, 1979. Вып.7. С.65 - 77.
46. Сойер Дж. В. Влияние сшивки на прочность склеенных внахлестку композитных соединений // Аэрокосмическая техника. М.
1986. №4. С.3 - 8.
47. Справочник по композиционным материалам. В 2 кн. / Под
ред. Дж. Любина / Пер. с англ. А.Б. Геллера, М.М. Гельмонта. Под
ред. Б.Э. Геллера. - М.: Машиностроение, 1988. - 448 с. Кн. 1.
48. Справочник по композиционным материалам. В 2 кн. / Под
ред. Дж. Любина / Пер. с англ. А.Б. Геллера и др. Под ред. Б.Э. Геллера. - М.: Машиностроение, 1988. - 584 с. Кн. 2.
49. Справочник по сварке и склеиванию пластмасс / А.Н. Шестопал, Ю.С. Васильев, Э.А. Минеев и др. Под общ. ред. А.Н. Шестопала. - Киев: Технiка, 1986. - 192 с.
50. Степин П.А. К расчету на срез соединений с прерывными
связями // Вестник инженеров и техников. 1951. №4. С.175 - 179.
51. Технология изготовления клеенных конструкций: Сб. статей /
Пер. с англ. Под ред. М. Боднара. - М.: Мир, 1975. - 446 с.
52. Технология выполнения высокоресурсных заклепочных и болтовых соединений в конструкциях самолетов / А.И. Ярковец, О.С. Сироткин, В.А. Фирсов, Н.М. Киселев. - М.: Машиностроение, 1987. - 192 с.
53. Технология выполнения высокоресурсных соединений /
Под ред. В.Ф. Пширкова. - М.: Технический прогресс, 1980. - 171 с.
54. Тростянская Е.Б., Комаров Г.В., Рузаков В.И. Соединение
разнородных полимерных материалов // Пластические массы. 1976.
197
198
№3. С.54 - 56.
55. Трунин Ю.П. Методика расчета статической прочности точечных соединений композиционных материалов // Проектирование,
расчет и испытания конструкций из композиционных материалов.
ЦАГИ, 1984. Вып.10. С.90 - 108.
56. Турусов Р.А., Вуба К.М. Напряженное состояние и особенности оценки прочности адгезионных соединений при сдвиге// Физика и химия обработки материалов. 1979. №5. С.56 - 58.
57. Фрейдин А.С. Прочность и долговечность клеевых соединений. Изд. второе. - М.: Химия, 1981. - 272 с.
58. Фрейдин А.С., Турусов Р.А. Свойства и расчет адгезионных
соединений. - М.: Химия, 1990. - 256 с.
59. Харт-Смит Л.Дж. Клеевые механические соединения композитов// Аэрокосмическая техника. М., 1986. №4. С.171 - 180.
60. Хертель Г. Тонкостенные конструкции / Пер. с нем. - М.:
Машиностроение, 1965. - 517 с.
61. Царахов Ю.С. Конструирование соединений элементов ЛА
из композиционных материалов. Учеб. пособие. - М.: Моск. физ. техн. ин-т,1980. - 82 с.
198
199
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ......................................................................................... 3
1. ПРИНЦИПЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ СОЕДИНЕНИЙ В СИСТЕМЕ
ПРОЕКТИРОВАНИЯ
ЛЕТАТЕЛЬНЫХ 6
АППАРАТОВ...........................
1.1. Классификация соединений деталей из КМ......................... 6
1.2. Оценка эффективности способов соединения дета- 12
лей.....
1.3. Принципы конструирования соединений деталей из
16
КМ....
2. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ, ПРОЕКТИРОВАНИЕ И КОНСТРУКТИВНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ
РЕШЕНИЯ 18
СОЕДИНЕНИЙ.......
2.1. Механические точечные соединения деталей....................
2.1.1. Напряженно-деформированное состояние точечных соединений...................................................................
2.1.2. Проектирование точечных соединений.....................
2.1.3. Напряженно-деформированное состояние точечных соединений при сдвиге.................................................
2.1.4. Методика учета ширины при определении напряженно-деформированного состояния соединений.............
2.2. Конструктивно-технологические решения механических
соединений деталей из КМ.........................................................
2.3. Резьбовые соединения деталей из КМ...............................
2.4. Фланцевые соединения.......................................................
2.5. Клиновидные и полупетлевые соединения деталей из
КМ.....
2.6. Поверхностные (адгезионные) соединения........................
2.6.1. Расчетные модели поверхностных соединений.......
2.6.2. Напряженно-деформированное состояние клеевых
соединений при осевом нагружении и температурном воздействии...............................................................................
2.6.3. Напряженно-деформированное состояние адгезионного соединения при сдвиге............................................
2.6.4. Учет ширины соединения при определении напряженно-деформированного состояния соединения.............
2.6.5. Напряженно-деформированное состояние при нагружении одной из деталей в пределах соединения..........
18
18
29
44
47
50
60
65
71
74
74
78
90
93
95
199
200
2.6.6. Напряженно-деформированное состояние адгезионного соединения с переменными параметрами по дли- 99
не............
2.7.
Проектирование
адгезионных
соедине- 102
ний........................
2.8. Конструктивно-технологические решения адгезионных
соединений................................................................................ 111
2.9. Рациональные области применения точечных и поверхностных
соедине- 113
ний..................................................................
3. СОЕДИНЕНИЯ С ТРАНСВЕРСАЛЬНЫМИ КРЕПЕЖНЫМИ
МИКРОЭЛЕМЕНТАМИ....................................................................
3.1. Описание конструктивно-технологического решения.......
3.2. Распределение усилий по длине и ширине соединения..
3.3. Методика определения коэффициентов податливости
элементов соединения..............................................................
3.4. Коэффициенты податливости соединительных элементов..
3.5. Определение напряжений в деталях и элементах соединительного слоя...................................................................
3.6. Расчет на прочность элементов соединения....................
3.7. Проектирование соединений с элементами поперечной
связи..........................................................................................
3.8. Экспериментальное обеспечение расчета на прочность
и проектирования клеештифтовых соединений.......................
3.8.1. Определение упругих констант и коэффициентов
снижения прочности детали из КМ....................................
3.8.2. Определение коэффициента податливости клеештифтового соединительного элемента.................................
3.8.3. Определение прочности КМ на смятие...................
3.9. Области применения клеештифтовых соединений...............
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ И РЕКОМЕНДУЕМОЙ
ЛИТЕРАТУРЫ
118
118
121
134
141
149
153
167
174
175
176
184
187
194
200
Яков Семенович Карпов
Сергей Петрович Кривенда
Виктор Иванович Рябков
ПРОЕКТИРОВАНИЕ И КОНСТРУИРОВАНИЕ СОЕДИНЕНИЙ
ДЕТАЛЕЙ ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
Редактор Н. М. Сикульская
Св. план, 1997
Подписано в печать
1 16
Формат 60 × 84
. Бум. офс. №2. Офс. печ.
Усл. печ. л. 11,2. Уч.-изд. л. 12,56. Т. 150 экз. Заказ
Цена свободная
Х а р ь к о в с к и й а в и а ц и о н н ы й и н с т и т ут
310070, Харьков-70, ул. Чкалова, 17
Ротапринт типографии ХАИ
310070, Харьков-70, ул. Чкалова, 17