контрольная работа по математики

Задача 1. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
8x 4  x 3  2
2x2  9x  4
1  cos 2 x
1. а) lim 4
;
б)
;
в)
;
lim
lim
x 4
x 0 1  cos 4 x
x  6 x  2 x 2  3
5 x  x3
 x  5
г) lim 
 .
x  x  7


3x
x3  8
2. а) lim 2
;
x 2 x  x  6
1 x  1 x
cos2 x  cos x
б) lim
; в) lim
;
x0
x0
5x
x2
г) lim 3 x 2  x  1x 2 .
1
x 0
4  3x  x 2
3. а) lim 2
;
x  4 x  3 x  1
x 2
;
x4 3 x  11x  4
б) lim
2
в) lim ( x  ctg 3x) ;
x0
г) lim 4 x  410x .
1
x 0
x2  x  2
4. а) lim
;
x 1
x3  x
 x  2
г) lim 

x  x  3


б) lim
x 4
4 x
;
1  6x  5
1  cos8 x
;
x 0 x  sin 4 x
в) lim
5 x 1
.
4 x 2  13 x  3
x2  2x  3
sin 2 3 x
5. а) lim
; б) lim
; в) lim
;
x 0 x  tg 2 x
x 3
x3
x2  x  6
2x  1  x  4
г) lim 10 x  42 x1 .
6x
x0
x2  4
6. а) lim 2
;
x 2 x  3 x  2
 1  x2 

г) lim 
x  4  x 2 


г) lim x  x  1
2
x 0
б) lim
x 1  2
;
x5
в) lim
б) lim
x  16  4
;
2x
в) lim
1  x sin x  cos 2 x
;
x 0
sin 2 x
.
x
x 1
г) lim x 3  2 x 1 .
x5
1  cos x
;
x 0
5x 2
.
1  x  4x3
8. а) lim
;
x 1  x 2  8 x 3
x 0
в) lim
4 x2
14 x 2  3
7. а) lim 2
;
x 3x  x  4
1
3 x 9
;
x 0
x 1 1
б) lim
x 0
1  cos3x
;
x 0 x sin 2 x
3x 2  11x  10
3x  3
9. а) lim
;
б)
;
lim
x 1
x 2 2  5 x  2 x 2
x8 3
 2x 2  x  3 

г) lim 
2
x
 2x  1 
x2
в) lim
;
x0 1  cos 2 x
x 2 3
.
4  7x2
8x
10. а) lim 2
; б) lim
;
2
x 0
x 3x  4 x  5
x 1 1
1  cos6 x
;
x 0 sin 2 10 x
в) lim
x3
 x3  6x 
 .
г) lim  3
x
 x 1 
Задача 2. Заданы функция y  f (x) и два значения аргумента x1 и x 2 . Требуется
установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из
данных значений аргумента; в случае разрыва найти пределы в точке разрыва слева и
справа и сделать схематический чертеж функции вблизи точки разрыва.
1. f ( x)  e
2. f ( x)  e
3. f ( x)  e
4. f ( x)  e
5. f ( x)  e
6. f ( x)  e
7. f ( x)  e
8. f ( x)  e
9. f ( x)  e
1
x 1
1
x4
1
2 x
1
x 5
1
3 x
1
x 6
1
8 x
1
6 x
1
x2
10. f ( x)  e
,
x1  1,
x2  1.
,
x1  4,
x2  2 .
,
x1  2,
x2  7 .
,
x1  3,
x2  5 .
,
x1  3,
x2  3 .
,
x1  4,
x2  6 .
,
x1  8,
x2  1 .
,
x1  6,
x2  7 .
,
x1  2,
x2  0 .
x1  0,
x2  8 .
1
x 8
,
Задача 3. Функция y  f (x) задана различными аналитическими выражениями в
различных областях изменения независимой переменной. Найти точки разрыва
функции, если они существуют, и построить график функции.
x  1,
 x ,
 2
1. f ( x)   x ,
1  x  2,
3x  2, x  2.

1
x ,

6. f ( x)   x,
2
 ,
x
1 2
2 x ,

2. f ( x)   x  1,
1  x,


2  x 2 ,

7. f ( x)   x  2,
 x,

x  2,
 2  x  0,
x  0.
 x  1,

3. f ( x)   x 2  1,
1  x,

x  0,
 x 2  1,

8. f ( x)  1  2 x,
 x  2,

0  x  1,
x  1.
x  1,
 1  x  1,
x  1.
x  0,
0  x  2,
x  2.
x  0,
0  x  2,
x  2.

1  2 x, x  1,

4. f ( x)   x,
 1  x  1,
2
 ,
x  1.
x
1  x,
x  1,

9. f ( x)  2 x,
1  x  2,
8  x 2 ,
x  2.

x 2 ,

5. f ( x)   x  2,
2 x ,

x  1,
 x  1,
 2
10. f ( x)   x  1,
 1  x  2,
2 x ,
x  2.

x  1,
 1  x  1,
x  1.
Задача 4. Найти производные
dy
данных функций.
dx
3x 2
б) y 
81. а) y  4
x3  x  2
;
tg 2 x
;
sin x
в) y  ln 5 e 5 x  e 5 x ;
г) y  x 5 x ;
д) y  x  arctg x  ln 1  x 2 ;
е) tg  5 x .
82. а) y  (1  x )  x  2 x ;
2
5
3
y
x
e sin x
б) y 
;
cos x
1
x
6
в) y  ln tg 2 ;
г) y  x x ;
x2 1
;
x
1
x
д) y  arcsin 
е) y  x  arctg y  0 .
83. а) y  (4 x 2  1)  3 x 3  7 ;
б) y 
e3x
;
3 sin x
в) y  ln 4 tg x  4 ;
г) y  x ln x ;
1 x2
д) y 
 arcsin x ;
x
е) y sin x  cos( x  y ) .
84. а) y 
x6  x3  2
1  x3
;
б) y  
cos x
;
3 sin 3 x
в) y  ln 1  e 2 x  e 4 x ;
г) y  x tg x ;
x
д) y  4 arcsin    x 4  x 2 ;
е)
2
y
x
 arctg .
x
y
3
ex
б) y 
;
1  x3
85. а) y  (2 x  1)  1  4 x ;
2
4
3
x
2
в) y  ln 3 3tg  1 ;
г) y  x cos x ;
д) y  x  (1  x)  arctg x ;
е) e xy  x 2  y 3  0 .
86. а) y  4
x7
x 2  2x  7
x
2 ;
б) y 
4  x2
cos
;
x
в) y  ln( 1  e 3 ) 3 ;
г) y  x arcsin x ;
д) y  arctg x 2  1 
ln x
x 1
2
;
87. а) y  (6  x 2 ) 3  (2 x 2  x  4) ;
x 
в) y  ln 6 ctg    ;
2
4
1
2
д) y  ln( e 2 x  1)  2arctg e x ;
88. а) y  6
4x3  1
7x 2  2x  3
;
в) y  ln e 2 x  e 2 x ;
е) x  y  x sin y  0 .
б) y 
x
4
1 e
;
sin 4 x
г) y  x arctg x ;
е) e 2 y  e 3 x 
б) y 
y
0.
x
sin x
;
1  tgx
г) y  x x ;
x
 x  arctg x ; е) e y  x 2  e  y  2 x .
x 1
д) y  x  arcsin
89. а) y  4
x 6  3x 2
2
x 2  4x  5
ex
б) y 
;
1 x2
;
в) y  ln 4 tg x  ctg 3x ;
г) y  x arccos x ;
д) y  arcsin e x  1  e 2 x ;
е) ln y  arctg .
90. а) y 
x2  7x  3
1  3x 4
x
y
;
б) y 
в) y  ln( e 3 x  e 6 x  1) 3 ;
д) y  3 arcsin
ctg 2 x
;
sin 2 x
г) y  x x ;
2
3
 x 2  4x  5 ;
x2
е) x  y  e y arctg x  0 .
Задача 5. Найти вторые производные
d2y
данных функций.
dx 2
91. а) y  ln x  1  x ;
1 t

 x  ln 1  t ;
б) 
 y  1 t2 .

x2  x
92. а) y 
;
x 1
 x  cos3 t ;
б) 
3
 y  sin t.
93. а) y  1  x 2   arctg x ;
б) 
94. а) y  arcsin x ;
 x  ctg 2e t ;
б) 
t
 y  ln tg e .

95. а) y  xe
 x2
2
;
96. а) y  ln 2 ( x  1) ;
97. а) y 
ln x
;
x2

 x  cos t;
 y  ln sin t.
 x  arctg t ;

б) 
1 t2
.
 y  ln
t 1

1

x

arccos
;

t
б) 
 y  t 2  1  arcsin 1.

t
 x  arcsin 1  t 2 ;
б) 
 y  arccos t 2 .
98. а) y  e 2 x  sin 3x ;
t 1

;
 x  arctg
t 1
б) 
 y  arcsin 1  t 2 .

99. а) y  x  2 x  3 ;
 x  ln tg t;

б) 
1
y

.

sin 2 t
 x  2
100. а) y  
 ;
 x 1
cos t

 x  1  2 cos t ;
б) 
 y  sin t .

1  2 cos t
2
2
Задача 6. Исследовать функции и построить графики этих функций.
101. а) y  x 2 
1
;
x2
б) y  x 2  e  x .
x3
102. а) y  2
;
x 4
 9 
б) y  ln  2
.
 x  2
x2
103. а) y 
;
1  x2
б) y  ( x  1)e x .
x
;
16  x 2
б) y  e x 4 x5 .
104. а) y 
2
2x
;
x 1
б) y  ln 1  x 2 .
 x  3
106. а) y  
 ;
 x  3
б) y   2  x 2   e x .
105. а) y  1 
2
2
107. а) y 
1
;
x4  1
x 2  6x  9
108. а) y 
;
x  12
109. а) y 
3x  2
;
x3
12 x
110. а) y 
;
9  x2
2
б) y 
x
.
ln x
б) y  ln 1  x 2 .
1

б) y  ln  e  .
x

ex
б) y  .
x