3 Описание заданий для внеаудиторной самостоятельной

Кировское областное государственное
образовательное бюджетное учреждение
среднего профессионального образования
«Кировский авиационный техникум»
МАТЕМАТИКА
Методические указания
для внеаудиторной самостоятельной работы
студентов 2 курса очной формы обучения
по специальностям
151031 «Монтаж и техническая эксплуатация промышленного оборудования
(по отраслям)»
151901 «Технология машиностроения»
Печатается по решению Методического совета
КОГОБУ СПО «Кировского авиационного техникум»
(протокол № ___ от _______ г.)
Методические указания по внеаудиторной
самостоятельной
работе по дисциплине
«Математика» для студентов 2 курса очной
формы обучения составлены в соответствии с
рабочей программой дисциплины, одобренной
цикловой комиссией естественно-математических
дисциплин.
Протокол №___ от «____»_________201..г.
Председатель цикловой комиссии
Т.Н.Мелехина_______
Составитель: Л.Б.Шамина – преподаватель КОГОБУ СПО «Кировского авиационного
техникума»
Редактор: Н.Ю.Глушкова – методист КОГОБУ СПО «Кировского авиационного
техникума»
Математика [Текст]: методические указания для внеаудиторной самостоятельной работы
студентов 2 курса очной формы обучения по специальностям 151901 - «Технология
машиностроения», 151031 - «Монтаж и техническая эксплуатация промышленного
оборудования (по отраслям)»/ Л.Б. Шамина; ред. Н.Ю.Глушкова; КОГОБУ СПО
«Кировский авиационный техникум». – Киров: КАТ, 2012 – 32 с.
Методические указания для внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине
«Математика» предназначены для студентов 2 курса очной формы обучения
специальностям 151901 - «Технология машиностроения», 151031 - «Монтаж и
техническая эксплуатация промышленного оборудования (по отраслям)». Содержат
описание заданий для самостоятельной работы, охватывающих весь курс дисциплины,
нацелены на формирование, закрепление и развитие необходимых знаний,
профессиональных умений и навыков, личностных качеств.
Могут быть полезны преподавателям вычислительных специальностей учреждений
СПО для организации самостоятельной работы по дисциплине.
 КАТ, 2012
2
Содержание
1 Пояснительная записка ..................................................................................................................... 4
2 Тематический план самостоятельной работы по дисциплине ...................................................... 6
3 Описание заданий для внеаудиторной самостоятельной работы студентов ............................... 7
3.1 Описание заданий по теме 1.1 «Матрицы и определители»................................................... 7
3.2 Описание заданий по теме 1.2 «Системы линейных уравнений»........................................ 10
3.3 Описание заданий по теме 2.1 «Функция»………………………………………………….13
3.4 Описание заданий по теме 2.2 «Пределы и непрерывность»...……………………………15
3.5 Описание заданий по теме 3.1 «Производная функции»…………………………………..17
3.6 Описание заданий по теме 3.2 «Приложения производной»………………………………19
3.7 Описание заданий по теме 4.1 «Неопределенный интеграл»……………………………...21
3.8 Описание заданий по теме 4.2 «Определенный интеграл»………………………………...24
3.9 Описание заданий по теме 5 «Комплексные числа»………………………………………..26
3.10 Описание заданий по теме 6 «Теория вероятностей и математическая статистика»…...29
4 Список литературы .......................................................................................................................... 32
3
1 Пояснительная записка
«Математика» - является общеoбразовательной учебнoй дисциплинoй в цикле
математических
и
oбщеобразовательный
oбщих
естественнонаучных
урoвень
подготовки
дисциплин,
специалиста.
которая
Coдержание
oбеспечивает
дисциплины
coгласованно с требованиями федерального компонента гocударственного cтандарта среднего
профессионального образования.
В результате изучения учебной дисциплины «Математика» студент должен
знать/понимать:

значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике;
широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу
и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость
во всех областях человеческой деятельности;

вероятностный характер различных процессов окружающего мира.
уметь:

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и
повседневной жизни
Учебным планoм на внеаудитoрную самoстоятельную работу пo дисциплине
отведены 32 часов.
Целью внеаудиторной самостоятельной работы студентов является oбобщение,
систематизация и закрепление пoлученных теoретических знаний и практических умений,
формирoвание и развитие oбщих компетенций, определённых в ФГОС СПО;
Oсновным видом внеаудиторной самoстоятельной работы по данной учебной
дисциплине должно быть самoстоятельнoе решение студентами задач и упражнений.
Указания к выполнению ВСР
1. ВСР нужно выпoлнять в oтдельной тетради в клетку, чернилами черногo или синегo
цвета. Необходимo оставлять поля шириной 5 клетoк для замечаний преподавателя.
2. Решения задач следует излагать пoдробно и аккуратнo, oбъясняя и мoтивируя все
действия по хoду решения и делая необхoдимые чертежи.
3. Офoрмление решения задачи следует завершать слoвом «Oтвет».
4. Поcле пoлучения прoверенной препoдавателем рабoты студент дoлжен в этoй же
тетради исправить все oтмеченные oшибки и недочеты. Внoсить исправления в сам
текст рабoты после ее прoверки запрещается.
4
5. Oценивание индивидуальных oбразовательных достижений по результатам выполнения
ВСР прoизводится в сooтветствии с универсальнoй шкалoй (таблица).
В указанный препoдавателем срок студенты сдают тетради с решениями на проверку.
Критерием эффективности самoстоятельной работы является вернoе решение не менее 50%
задач из каждoго списка.
При выполнении ВСР студенты могут использовать основные и дополнительные
источники получения справочной информации, пользоваться микрокалькулятором.
5
2 Тематический план самостоятельной работы
№
п/п
Раздел
1
Линейная алгебра
Тема
1.1 Матрицы и
определители
1.2 Системы
линейных уравнений
2
Математический
анализ
2.1 Функция
2.2 Пределы и
непрерывность
3
Дифференциальное
исчисление
3.1 Производная
функции
3.2 Приложение
производной
4
Интегральное
исчисление
4.1 Неопределенный
интеграл
4.2 Определенный
интеграл
5
Комплексные
числа
6
Теория
вероятностей и
математическая
статистика
Содержание
самостоятельной работы
(из рабочей программы)
Работа с конспектом лекции
Решение задач и упражнений
по образцу
Работа с конспектом лекций
Решение задач и упражнений
по образцу
Решение вариативных задач
Работа с конспектом лекции
Решение вариативных задач
Работа с конспектом лекции
Заполнение таблиц
Решение задач и упражнений
Работа с конспектом лекций
Решение задач и упражнений
по образцу
Решение вариативных задач
Работа с конспектом лекций
Решение задач и упражнений
по образцу
Решение вариативных задач
Работа с конспектом лекций
Решение задач и упражнений
по образцу
Решение вариативных задач
Работа с конспектом лекций
Решение задач и упражнений
по образцу
Решение вариативных задач
Работа с конспектом лекций
Решение задач и упражнений
по образцу
Работа с конспектом лекций
Решение задач и упражнений
по образцу
Объем
часов
4
5
1
3
2
3
4
3
3
3
6
3 Описание заданий для внеаудиторной самостоятельной работы студентов
3.1 Описание заданий по теме 1.1 «Матрицы и определители»
Задание 1
Формулировка задания: Изучите лекцию по теме «Матрицы». Выучите определения
и правила выполнения действий над матрицами. Составьте вопросы для взаимоопроса.
Цель выполнения задания: сформировать и закрепить знания по теме.
Предполагаемый результат: сформированное умение воспроизводить определения
терминов, умение определять вид матриц, умение приводить примеры выполнения действий
над матрицами.
Форма контроля: взаимоопрос, тестирование.
Критерии оценки:
Процент
результативности
(правильных ответов)
90 ÷ 100
70 ÷ 89
50 ÷ 69
менее 50
Качественная оценка индивидуальных
образовательных достижений
балл (отметка)
вербальный аналог
5
отлично
4
хорошо
3
удовлетворительно
2
неудовлетворительно
Источники информации
 конспект лекций
 Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. - М.: Издательский центр «Академия»,
2010.
Задание 2
Формулировка задания: В тетради для решения задач домашнего задания к
указанному сроку выполните действия над матрицами:
1. Найдите сумму и разность матриц С и D
2. Найдите произведение матрицы А на число 4
3. Найти матрицу
, если
7
4. Найти матрицу
, если
5. Составьте транспонированную матрицу, полученную из
А:
6. Найдите произведение матриц
7. Найдите матрицу 𝑫 = 𝑨𝟐 + 𝟑𝑩 − 𝑬
Цель выполнения задания: формирование умений.
Предполагаемый результат: решенные в тетради для домашнего задания задачи.
Форма контроля: Проверка наличия и качества выполненных действий.
Критерии оценки:
Процент
результативности
(правильных ответов)
90 ÷ 100
70 ÷ 89
50 ÷ 69
менее 50
Качественная оценка индивидуальных
образовательных достижений
балл (отметка)
вербальный аналог
5
отлично
4
хорошо
3
удовлетворительно
2
неудовлетворительно
Методические рекомендации по выполнению задания
В тетради для домашних заданий сделать заголовок «Матрицы». Текст упражнений не
переписывать. Упражнения нумеровать. Решение упражнений может производиться в
произвольном порядке. Тетрадь с домашним заданием может быть сдана на проверку до
назначенного срока.
8
Источники информации
 конспект лекций
 Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. - М.: Издательский центр «Академия»,
2010.
Задание 3
Формулировка задания: Изучите лекцию по теме «Определители». Выучите
определения, свойства и правила вычисления определителей. Составьте кроссворд по
теме «Матрицы и определители»
Цель выполнения задания: углубление и расширение теоретических знаний.
Форма контроля: устный опрос, конкурс кроссвордов.
Предполагаемый результат: сформированное умение воспроизводить определения
терминов, свойств определителей, знать правила вычисления определителей.
Критерии оценки:
Процент
результативности
(правильных ответов)
90 ÷ 100
70 ÷ 89
50 ÷ 69
менее 50
Качественная оценка индивидуальных
образовательных достижений
балл (отметка)
вербальный аналог
5
отлично
4
хорошо
3
удовлетворительно
2
неудовлетворительно
Источники информации
 конспект лекций
 Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. - М.: Издательский центр «Академия»,
2010.
Задание 4
Формулировка задания: В тетради для решения задач домашнего задания к
указанному сроку выполните задания:
1. Вычислите определитель матрицы второго порядка
2. Вычислите определители третьего порядка
3. Решите уравнения
9
 2  1 3 


4. Составьте минор 𝑴𝟐𝟑 из матрицы A   8 7 6 
 3 4 2 


 2 1 2 
5. Найдите алгебраические дополнения всех элементов матрицы B   3 5 4 
1 2
1

 1 2 1


6. Найти обратную матрицу для A =  2 1 1 и сделать проверку.
 1 3 1


Цель выполнения задания: формирование умений.
Предполагаемый результат: решенные в тетради для домашнего задания задачи.
Форма контроля: Проверка наличия и качества выполненных действий.
Критерии оценки:
Процент
результативности
(правильных ответов)
90 ÷ 100
70 ÷ 89
50 ÷ 69
менее 50
Качественная оценка индивидуальных
образовательных достижений
балл (отметка)
вербальный аналог
5
отлично
4
хорошо
3
удовлетворительно
2
неудовлетворительно
Методические рекомендации по выполнению задания
В тетради для домашних заданий сделать заголовок «Определители». Текст
упражнений не переписывать. Упражнения нумеровать. Решение упражнений может
производиться в произвольном порядке. Тетрадь с домашним заданием может быть сдана на
проверку до назначенного срока.
Источники информации
 конспект лекций
 Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. - М.: Издательский центр «Академия»,
2010.
10
3.2Описание заданий по теме 1.2 «Системы линейных уравнений»
Задание 1
Формулировка задания: Изучите лекцию по теме «Системы линейных уравнений».
Выучите определения и правила вычисления систем.
Цель выполнения задания: углубление и расширение теоретических знаний.
Форма контроля: математический диктант.
Предполагаемый результат: сформированное умение воспроизводить определения
терминов, знать правила вычисления СЛУ.
Критерии оценки:
Процент
результативности
(правильных ответов)
90 ÷ 100
70 ÷ 89
50 ÷ 69
менее 50
Качественная оценка индивидуальных
образовательных достижений
балл (отметка)
вербальный аналог
5
отлично
4
хорошо
3
удовлетворительно
2
неудовлетворительно
Источники информации
 конспект лекций
 Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. - М.: Издательский центр «Академия»,
2010.
Задание 2
Формулировка задания: В тетради для решения задач домашнего задания к
указанному сроку выполните задания:
1. Рассмотрите пример решения СЛУ методом Крамера
3 x  y  z  2

1) 5 x  y  z  10
 x  y  5 z  12

3 1 1
  5 1 1  15  1  5  1  3  25  20  28  48  0
1 1
2
5
1
1
 x  10 1 1  10  12  10  12  2  50  24  72  48
12 1 5
3
2
1
 y  5 10 1  150  2  60  10  36  50  202  106  96
1 12 5
3
1
 z  5 1
2
10  36  10  10  2  30  60  56  90  2  146  2  144
1 1 12
x
48
 1;
48
y
96
144
 2; z 
 3
48
48
11
3х  5 у  6 z  21

Решите систему  х  4 у  2 z  0
по образцу.
3x  y  z  4

2. Рассмотрите решение системы уравнений матричным методом
x + 2y + z = 1,
2x + y + z = – 1,
x + 3y + z = 2,
Имеем

 1 2 1
1


 
A =  2 1 1  , H =   1 .
 1 3 1
2


 
Определитель матрицы А  = 1  0. Следовательно, матрица А имеет обратную.

  2 1 1


Находим А =   1 0 1  .
 5  1 3



Используя матрицу А-1 и равенство X = А-1Н, получаем:
-1
 х
 
 y =
z
 
  2 1 1  1 

  
  1 0 1     1 =
 5  1 3  2 

  
  1
 
 1  , откуда х = – 1, у = 1, z = 0.
0
 
5 x  y  z  0

Решите систему  x  2 y  3z  14 по образцу.
4 x  3 y  2 z  16

3. Рассмотрите решение системы уравнений методом Гаусса
2 x1  x 2  x3  5

 x1  2 x2  3x3  3
7 x  x  x  10
2
3
 1
2

1
7

 Составим расширенную матрицу системы и с помощью элементарных
преобразований приведем к виду:
1 1
5  1  2 3
 3  1  2
3
 3  1  2 3
 3
 
 
 

2 3
 3 ~  2 1  1
5  ~ 0 5
7
11  ~  0 5  7
11 
1 1
10   7 1  1
10   0 15  22
31   0 0  1
 2 
 Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:
 x1  2 x2  3x3  3

, откуда получаем: x3 = 2; x2 = 5; x1 = 1.
5 x 2  7 x3  11
 x  2
 3
12
2 x  3 y  z  2,

Решите систему  x  5 y  4 z   5, по образцу.
4 x  y  3z   4.

4. Решить системы линейных уравнений методом Гаусса, матричным методом и
методом Крамера
4 x  9 y  22a
1) 
11x  5 y  a
2 x  3 y  11
2) 
6 x  9 y  33
x y
 a  b  1
3) 
x  y 1
 b a
5. Решить системы линейных уравнений методом Гаусса, матричным методом и
методом Крамера
6. Решить систему методом Гаусса
X1 + 2х2 + 3х3 – 2х4 = 6,
2x1 – х2 – 2х3 – 3х4 = 8,
3x1 + 2х2 – х3 + 2х4 = 4,
2x1 – 3х2 + 2х3 + х4 = – 8.
Цель выполнения задания: формирование умений.
Предполагаемый результат: решенные в тетради для домашнего задания задачи.
Форма контроля: Проверка наличия и качества выполненных действий.
Критерии оценки:
Процент
результативности
(правильных ответов)
90 ÷ 100
70 ÷ 89
50 ÷ 69
менее 50
Качественная оценка индивидуальных
образовательных достижений
балл (отметка)
вербальный аналог
5
отлично
4
хорошо
3
удовлетворительно
2
неудовлетворительно
Методические рекомендации по выполнению задания
В тетради для домашних заданий сделать заголовок «Системы линейных уравнений».
Текст упражнений не переписывать. Упражнения нумеровать. Решение упражнений может
производиться в произвольном порядке. Тетрадь с домашним заданием может быть сдана на
проверку до назначенного срока.
Источники информации
 конспект лекций
 Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. - М.: Издательский центр «Академия»,
2010.
13
3.3Описание заданий по теме 2.1 «Функция»
Задание 1
Формулировка задания: Изучите лекцию по теме «Функция». Выучите определения
и свойства функций.
Цель выполнения задания: углубление и расширение теоретических знаний.
Предполагаемый результат: сформированное умение воспроизводить определения
терминов, умение определять свойства функций.
Форма контроля: устный опрос.
Критерии оценки:
Качественная оценка индивидуальных
образовательных достижений
балл (отметка)
вербальный аналог
5
отлично
4
хорошо
3
удовлетворительно
2
неудовлетворительно
Процент
результативности
(правильных ответов)
90 ÷ 100
70 ÷ 89
50 ÷ 69
менее 50
Источники информации
 конспект лекций
 Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. - М.: Издательский центр «Академия»,
2010.
Задание 2
Формулировка задания: В тетради для решения
задач домашнего задания к указанному сроку
выполните задания:
1. Функция y  f x  задана своим графиком.
Укажите:
а) область определения функции, множество её
значений;
б) координаты точек пересечения с осями координат;
в) промежутки знакопостоянства функции;
г) промежутки возрастания и убывания функции;
д) точки максимума и минимума, экстремумы функции.
2. Найдите область определения функции:
а) f ( x) 
1
2x  8
2
;
1
.
х 4
б) g ( x) 
2
3. Докажите, что функция является нечетной: f ( x)  х  3х .
3


4. Для функции f ( x)  х  1 найдите f (2) и f 1  х0 .
4
Цель выполнения задания: формирование умений.
Предполагаемый результат: решенные в тетради для домашнего задания задачи.
Форма контроля: Проверка наличия и качества выполненных действий.
14
Критерии оценки:
Процент
результативности
(правильных ответов)
90 ÷ 100
70 ÷ 89
50 ÷ 69
менее 50
Качественная оценка индивидуальных
образовательных достижений
балл (отметка)
вербальный аналог
5
отлично
4
хорошо
3
удовлетворительно
2
неудовлетворительно
Методические рекомендации по выполнению задания
В тетради для домашних заданий сделать заголовок «Функция». Текст упражнений не
переписывать. Упражнения нумеровать. Решение упражнений может производиться в
произвольном порядке. Тетрадь с домашним заданием может быть сдана на проверку до
назначенного срока.
Источники информации
 конспект лекций
 Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. - М.: Издательский центр «Академия»,
2010.
15
3.4 Описание заданий по теме 2.2 «Пределы и непрерывность»
Задание 1
Формулировка задания: Изучите лекцию по теме «Пределы и непрерывность».
Выучите определения, основные теоремы о пределах, классификацию точек разрыва,
составить таблицу по классификации точек разрыва.
Цель выполнения задания: углубление и расширение теоретических знаний.
Предполагаемый результат: сформированное умение воспроизводить определения
терминов, основные теоремы о пределах, умение определять вид точек разрыва, умение
приводить примеры функций с различными точками разрыва.
Форма контроля: устный опрос, проверка наличия и качества выполненной таблицы.
Критерии оценки:
Процент
результативности
(правильных ответов)
90 ÷ 100
70 ÷ 89
50 ÷ 69
менее 50
Качественная оценка индивидуальных
образовательных достижений
балл (отметка)
вербальный аналог
5
отлично
4
хорошо
3
удовлетворительно
2
неудовлетворительно
Источники информации
 конспект лекций
 Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. - М.: Издательский центр «Академия»,
2010.
Задание 2
Формулировка задания: В тетради для решения задач домашнего задания к
указанному сроку выполните задания:
1. Найти пределы
a) 1. lim(2х2 − 4х + 4)
х→2
√х + 5
х→4
х
х2 − 1
3. lim
х→1 х − 1
х2 − 36
4. lim
х→−6 х + 6
х3 − 8
5. lim
х→2 х − 2
х2 −7х+10
b) 1. lim х2 −4
2. lim
х→2
х2 −9
2. lim х2 +2х−15
х→3
3. lim
х3 +2х2 −4
х→∞ 2х3 −х−1
16
2х4 + 7х3 − 1
4. lim
х→∞
2х5 + 3
sin 3x
c) 1. lim
x
x 0
2.
1 

1  
lim
5х 
х  
2х
 
x 3 x
x x
3. lim
2. Исследуйте функции на непрерывность. Найдите точки разрыва и укажите их тип:
a) 𝒚 =
b) 𝑦 =
−𝟑𝒙𝟐
𝒙−𝟓
125+𝑥 3
5+𝑥
2x  3
c) y 
9  x2
 x  5, x  0
d) y   3
 x  2, x  0
 x  3, x  1

e) y   1
, x  1

 x 1
Цель выполнения задания: формирование умений.
Предполагаемый результат: решенные в тетради для домашнего задания задачи.
Форма контроля: Проверка наличия и качества выполненных действий.
Критерии оценки:
Процент
результативности
(правильных ответов)
90 ÷ 100
70 ÷ 89
50 ÷ 69
менее 50
Качественная оценка индивидуальных
образовательных достижений
балл (отметка)
вербальный аналог
5
отлично
4
хорошо
3
удовлетворительно
2
неудовлетворительно
Методические рекомендации по выполнению задания
В тетради для домашних заданий сделать заголовок «Пределы и непрерывность». Текст
упражнений не переписывать. Упражнения нумеровать. Решение упражнений может
производиться в произвольном порядке. Тетрадь с домашним заданием может быть сдана на
проверку до назначенного срока.
Источники информации
 конспект лекций
 Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. - М.: Издательский центр «Академия»,
2010
17
3.5 Описание заданий по теме 3.1 «Производная функции»
Задание 1
Формулировка задания: Изучите лекцию по теме «Производная функции». Выучите
определения, таблицу производных, основные правила дифференцирования. Правила
дифференцирования сложных функций.
Цель выполнения задания: углубление и расширение теоретических знаний.
Предполагаемый результат: сформированное умение воспроизводить определения
терминов, таблицу производных, правил дифференцирования и правил дифференцирования
сложных функций.
Форма контроля: проверочная работа.
Критерии оценки:
Качественная оценка индивидуальных
образовательных достижений
балл (отметка)
вербальный аналог
5
отлично
4
хорошо
3
удовлетворительно
2
неудовлетворительно
Процент
результативности
(правильных ответов)
90 ÷ 100
70 ÷ 89
50 ÷ 69
менее 50
Источники информации
 конспект лекций
 Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. - М.: Издательский центр «Академия»,
2010.

Задание 2
Формулировка задания: В тетради для решения задач домашнего задания к
указанному сроку выполните задания:
1. Рассмотрите пример нахождения производной сложной функции
cos( x 2  3)  cos( x 2  3)  x 2  3   sin x 2  3 2 x


2
Продифференцируйте самостоятельно: y  ln 2 x  3
2. Найти производные функций
a) y 
x2  4
x2  4
b) f ( x)  x  ln x
c)
f ( x)  2 x  3
4
d) y ( x)  6 x  3
e) y ( x)  3x  4  2  3x 
3
18
f)
y ( x)  1 / 2 cos 2 x
g) y  14  x  11  ctg 4 x
h) y 
sin 17 x  5
 x  2 2
i) Найдите значение производной функции в точке y  4 3  2 x 2 , x0  1 .
Цель выполнения задания: формирование умений.
Предполагаемый результат: решенные в тетради для домашнего задания задачи.
Форма контроля: Проверка наличия и качества выполненных действий.
Критерии оценки:
Процент
результативности
(правильных ответов)
90 ÷ 100
70 ÷ 89
50 ÷ 69
менее 50
Качественная оценка индивидуальных
образовательных достижений
балл (отметка)
вербальный аналог
5
отлично
4
хорошо
3
удовлетворительно
2
неудовлетворительно
Методические рекомендации по выполнению задания
В тетради для домашних заданий сделать заголовок «Производная функции». Текст
упражнений не переписывать. Упражнения нумеровать. Решение упражнений может
производиться в произвольном порядке. Тетрадь с домашним заданием может быть сдана на
проверку до назначенного срока.
Источники информации
 конспект лекций
 Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. - М.: Издательский центр «Академия»,
2010
19
3.6 Описание заданий по теме 3.2 «Приложение производной»
Задание 1
Формулировка задания: Изучите лекцию по теме «Приложение производной».
Выучите определения, правила исследования функции с помощью производных.
Цель выполнения задания: углубление и расширение теоретических знаний.
Предполагаемый результат: сформированное умение воспроизводить определения
терминов, правила исследования функций с помощью производной.
Форма контроля: устный опрос.
Критерии оценки:
Процент
результативности
(правильных ответов)
90 ÷ 100
70 ÷ 89
50 ÷ 69
менее 50
Качественная оценка индивидуальных
образовательных достижений
балл (отметка)
вербальный аналог
5
отлично
4
хорошо
3
удовлетворительно
2
неудовлетворительно
Источники информации
 конспект лекций
 Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. - М.: Издательский центр «Академия»,
2010.
Задание 2
Формулировка задания: В тетради для решения задач домашнего задания к
указанному сроку выполните задания:
1. Выполните задание с помощью правила нахождения промежутков
монотонности и экстремумов функции с помощью производной:
1.
Найти производную функции.
2.
Найти критические точки функции, т.е. точки принадлежащие области
определения функции, в которых производная обращается в нуль или терпит
разрыв.
3.
Исследовать знак производной
в промежутках, на которые найденные
критические точки делят область определения функции.
4.
Составить таблицу:
x
f(x)
f′(x)
а) у  х  2  x
3
2
20
 x 5
у



б)
 x 5
2
2. Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба функций
а) у  х  4x
4
2
x2  4
y

б)
x2  4
3. Исследуйте функции по схеме и постройте их график:
Схема исследования функции:
1. Область определения функции.
2. Четность функции.
3. Асимптоты.
4. Точки пересечения с осями координат.
5. Монотонность, экстремумы.
6. Выпуклость, точки перегиба.
7. Множество значений функции.
8. График функции.
a) у  х  2  x
2
b) у  х  5  x
2
3
4
c) y 
3  x3
7  x  1
Цель выполнения задания: формирование умений.
2
Предполагаемый результат: решенные в тетради для домашнего задания задачи.
Форма контроля: Проверка наличия и качества выполненных действий.
Критерии оценки:
Процент
результативности
(правильных ответов)
90 ÷ 100
70 ÷ 89
50 ÷ 69
менее 50
Качественная оценка индивидуальных
образовательных достижений
балл (отметка)
вербальный аналог
5
отлично
4
хорошо
3
удовлетворительно
2
неудовлетворительно
Методические рекомендации по выполнению задания
В тетради для домашних заданий сделать заголовок «Приложение производной». Текст
упражнений не переписывать. Упражнения нумеровать. Решение упражнений может
21
производиться в произвольном порядке. Тетрадь с домашним заданием может быть сдана на
проверку до назначенного срока.
Источники информации
 конспект лекций
 Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. - М.: Издательский центр «Академия»,
2010
22
3.7 Описание заданий по теме 4.1 «Неопределенный интеграл»
Задание 1
Формулировка задания: Изучите лекцию по теме «Неопределенный интеграл».
Выучите определения, свойства неопределенных интегралов, таблицу интегралов,
правила нахождения интегралов различными методами.
Цель выполнения задания: углубление и расширение теоретических знаний.
Предполагаемый результат: сформированное умение воспроизводить определения
терминов, свойства неопределенных интегралов, таблицу интегралов, правила нахождения
интегралов различными методами.
Форма контроля: устный опрос, математический диктант.
Критерии оценки:
Качественная оценка индивидуальных
образовательных достижений
балл (отметка)
вербальный аналог
5
отлично
4
хорошо
3
удовлетворительно
2
неудовлетворительно
Процент
результативности
(правильных ответов)
90 ÷ 100
70 ÷ 89
50 ÷ 69
менее 50
Источники информации
 конспект лекций
 Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. - М.: Издательский центр «Академия»,
2010.
Задание 2
Формулировка задания: В тетради для решения задач домашнего задания к
указанному сроку выполните задания:
1. Рассмотрите пример решения интеграла методом непосредственного
интегрирования:
1
3
2 x x dx  2 x  x 2 dx  2 x 2 dx  2 
Найдите интеграл: а)

б) 
1
3
1
2
3
1
 x2 
5
4 2
x C
5
x 3 x 2 dx
4 x3 5x 2
dx
1
x3
2. Рассмотрите пример решения интеграла  sin 2 x  cos xdx методом подстановки:
Сделаем замену переменной t  sin x , тогда dt  cos xdx . Исходный интеграл примет вид:
23
 sin
2
x  cos xdx   t 2 dt
Таким образом, мы получили неопределенный интеграл табличного вида: степенная
функция. Используя правило нахождения неопределенного интеграла от степенной функции
(см. п.1 в таблице интегралов), найдем:
1 21
1
t  C  t3  C
2 1
3
Сделав обратную замену, получим окончательный ответ:
1 3
2
 sin x  cos xdx  3 sin x  C
t
2
dt 
Найдите интеграл: а)
б)
7  cos x
 sin x  8  dx
 4x
2

15
 3  x  dx
2 x 4 dx
в)

г)
 2х
10  9 x 5
72 x 3  9dx
2
3. Найдите неопределенные интегралы, используя метод интегрирования по частям:
а)  x cos xdx
 3x  41sin x  dx
7 x  11 ln x  dx
в) 
г)  e cos 2 xdx
б)
2
3x
4. Сгруппируйте интегралы в зависимости от метода
интегрирования, применяемого к ним, и найдите эти интегралы:
a)

д)
 x  4 e
3

x  7 sin x dx ; б)
2
x
dx ; е)

3
9x
 26 x  12 dx ; в) 
4
x

 e x dx ; ж)
и)  e x sin 5 xdx ; к)  e 3 x cos 15 xdx ; л)

 x
3
 5x 2
dx ; г)
x3

24 xdx
1 x2
;
x 3  8  x 2 dx ; з)  2  3 x 86 dx ;
3

 4 x 2 ln xdx ; м)
 sin
3
x cos xdx .
Цель выполнения задания: формирование умений.
Предполагаемый результат: решенные в тетради для домашнего задания задачи.
Форма контроля: Проверка наличия, правильности выполненной группировки и
качества выполненных действий.
Критерии оценки:
24
Процент
результативности
(правильных ответов)
90 ÷ 100
70 ÷ 89
50 ÷ 69
менее 50
Качественная оценка индивидуальных
образовательных достижений
балл (отметка)
вербальный аналог
5
отлично
4
хорошо
3
удовлетворительно
2
неудовлетворительно
Методические рекомендации по выполнению задания
В тетради для домашних заданий сделать заголовок «Неопределенный интеграл». Текст
упражнений не переписывать. Упражнения нумеровать. Решение упражнений может
производиться в произвольном порядке. Тетрадь с домашним заданием может быть сдана на
проверку до назначенного срока.
Источники информации
 конспект лекций
 Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. - М.: Издательский центр «Академия»,
2010
25
3.8 Описание заданий по теме 4.2 «Определенный интеграл»
Задание 1
Формулировка задания: Изучите лекцию по теме «Определенный интеграл».
Выучите определения, свойства определенных интегралов, правила нахождения
интегралов различными методами, формулу Ньютона-Лейбница, рассмотрите задачи,
которые решаются с помощью определенного интеграла.
Цель выполнения задания: углубление и расширение теоретических знаний.
Предполагаемый результат: сформированное умение воспроизводить определения
терминов, свойства определенных интегралов, правила нахождения интегралов различными
методами, формулу Ньютона-Лейбница, умение приводить примеры задач, которые решаются
с помощью определенных интегралов.
Форма контроля: письменная работа.
Критерии оценки:
Процент
результативности
(правильных ответов)
90 ÷ 100
70 ÷ 89
50 ÷ 69
менее 50
Качественная оценка индивидуальных
образовательных достижений
балл (отметка)
вербальный аналог
5
отлично
4
хорошо
3
удовлетворительно
2
неудовлетворительно
Источники информации
 конспект лекций
 Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. - М.: Издательский центр «Академия»,
2010.
Задание 2
Формулировка задания: В тетради для решения задач домашнего задания к
указанному сроку выполните задания:
1. Вычислите определенные интегралы с помощью формулы Ньютона-Лейбница:
 4 x

3
a)
 9 x  1 dx
2
2
4
b)

  x
1
9
c)
 9
1
 3
8
d)
2


 3 dx
x

1

x  4 x  1 dx

x  53 x dx
0

e) 2 


1
 3 cos x dx
 2

  sin x

4
26
2
f)
6
x 3  4  x 2 dx
0
2. Рассмотрите
пример
вычисления
площади,
ограниченной
линиями
2
y  x , y  x  2 .
Изобразим схематически графики данных функций (рисунок). Замечаем, что искомая площадь
есть разность площадей двух криволинейных трапеций: S=SABCD–SABOCD.
Из рисунка видно, что пределы интегрирования для обеих трапеций одни и те же, это
абсциссы общих точек графиков данных функций. Для нахождения пределов интегрирования
решим уравнение: х 2   х  2
х2  х  2  0
х1  2, х2  1
1
b
 x2
 1
x3 1
S  S ABCD  S ABOCD   ( x  2)dx   x 2 dx     2 x 


2
3 2
 2

2
a
 1
  4
 1 8
    2      4     1,5  6  3  4,5 (ед. кв)
 2
  2
 3 3
3. Вычислите (предварительно сделав рисунок) площадь фигуры, ограниченной
линиями:
a) y  2 x, y  x  2, x  4
b) y  x 2 , y  4 x  3
c)
d)
e)
f)
y  x 2  4 x,
y   x  4 
y  2 x 2  1,
y  x 2  10
2
y  3 x , y  5  2 x, y  0, x  0
y  2 cos x, y  0, x  0, x  
Цель выполнения задания: формирование умений.
Предполагаемый результат: решенные в тетради для домашнего задания задачи.
Форма контроля: Проверка наличия и качества выполненных действий.
Критерии оценки:
Процент
результативности
(правильных ответов)
90 ÷ 100
70 ÷ 89
50 ÷ 69
менее 50
Качественная оценка индивидуальных
образовательных достижений
балл (отметка)
вербальный аналог
5
отлично
4
хорошо
3
удовлетворительно
2
неудовлетворительно
Методические рекомендации по выполнению задания
В тетради для домашних заданий сделать заголовок «Определенный интеграл». Текст
упражнений не переписывать. Упражнения нумеровать. Решение упражнений может
производиться в произвольном порядке. Тетрадь с домашним заданием может быть сдана на
проверку до назначенного срока.
Источники информации
 конспект лекций
27
 Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. - М.: Издательский центр «Академия»,
2010
3.9 Описание заданий по теме 5 «Комплексные числа»
Задание 1
Формулировка задания: Изучите лекцию по теме «Комплексные числа». Выучите
определения, правила преобразований комплексного числа из алгебраической формы в
тригонометрическую и показательную формы записи, и наоборот, а так же правила
выполнения действий над комплексными числами в различной форме, рассмотрите
геометрическую интерпретацию комплексных чисел.
Цель выполнения задания: углубление и расширение теоретических знаний.
Предполагаемый результат: сформированное умение воспроизводить определения
терминов, правила преобразований комплексного числа из алгебраической формы в
тригонометрическую и показательную формы записи, и наоборот, а так же правила
выполнения действий над комплексными числами в различной форме.
Форма контроля: устный опрос.
Критерии оценки:
Процент
результативности
(правильных ответов)
90 ÷ 100
70 ÷ 89
50 ÷ 69
менее 50
Качественная оценка индивидуальных
образовательных достижений
балл (отметка)
вербальный аналог
5
отлично
4
хорошо
3
удовлетворительно
2
неудовлетворительно
Источники информации
 конспект лекций
 Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. - М.: Издательский центр «Академия»,
2010.
Задание 2
Формулировка задания: В тетради для решения задач домашнего задания к
указанному сроку выполните задания:
1. Выполните действия над мнимой единицей:
1. а.i66; i143; i216; i137.
б. i43 + i48 + i44 + i45.
в. (i36 + i17)i23.
г. (i133 + i115 + i200 + i142)(i17 + i36).
д. i145 + i147 + i264 + i345 + i117.
28
е. (i13 + i14 + i15)i32.
ж. (i64 + i17 + i13 + i82)(i72 – i34).
2. Решите уравнение z2-4z+13=0
2. Рассмотрите примеры действий над комплексным числом в алгебраической форме
Даны комплексные числа z1 = 2 + 3i, z2 = 5 – 7i. Найти:
а) z1 + z2;
б) z1 – z2;
в) z1z2.
Решение.
а) z1 + z2 = (2 + 3i) + (5 – 7i) = 2 + 3i + 5 – 7i = (2 + 5) + (3i – 7i) = 7 – 4i;
б) z1 – z2 = (2 + 3i) – (5 – 7i) = 2 + 3i – 5 + 7i = (2 – 5) + (3i + 7i) = – 3 + 10i;
в) z1z2 = (2 + 3i)(5 – 7i) = 10 – 17i + 15i – 21i2 = 10 – 14i + 15i + 21 = (10 + 21) + (– 14i + 15i) ==
31 + i
(здесь учтено, что i2 = – 1).
3. Выполните действия:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
(3 + 5i) + (7 – 2i)
(2 + 3i)(5 – 7i)
(2 + 3i)2
(5 + 3i)(5 – 3i)

4
3 i
6
 3i
4. Рассмотрите пример и выполните действия:
Определение: Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг
от друга только знаками перед мнимой частью.
Произведение двух сопряженных чисел всегда равно действительному числу. Воспользуемся
этим свойством для выполнения деления двух комплексных чисел. Чтобы выполнить деление,
произведем дополнительное действие: умножим делимое и делитель на комплексное число,
сопряженное делителю.
3 + 5𝑖 (3 + 5𝑖)(1 − 𝑖) 8 + 2𝑖
=
=
=4+𝑖
(1 + 𝑖)(1 − 𝑖)
1+𝑖
2
Выполните действия:
a)
1 3i
i 6
29
b)
 42ii 11
18i
i 2
5.Осуществите переход от алгебраической формы записи комплексного числа к
тригонометрической и показательной следующих чисел:
a)  2  4i
b)
3  4i 1  3i   1  i 
c)
43i
32i
 6354ii
6. Представьте число 
3 iв
показательной и тригонометрической форме.
Изобразите его геометрически.
3.Выполните действия, результат запишите в показательной, тригонометрической,
алгебраической формах:
a) e
i

6
 4e
i

12
i 7
4e 9
b)
i
2e 9
c) 2cos 6  i sin
d)
e)

6
5cos 3  i sin 3 
cos 43  i sin 43 cos 2  i sin 2 
cos 150  i sin 150 
cos 120  i sin 120 
 i 79
f)  2e




3
Цель выполнения задания: формирование умений.
Предполагаемый результат: решенные в тетради для домашнего задания задачи.
Форма контроля: Проверка наличия и качества выполненных действий.
Критерии оценки:
Процент
результативности
(правильных ответов)
90 ÷ 100
70 ÷ 89
50 ÷ 69
менее 50
Качественная оценка индивидуальных
образовательных достижений
балл (отметка)
вербальный аналог
5
отлично
4
хорошо
3
удовлетворительно
2
неудовлетворительно
Методические рекомендации по выполнению задания
30
В тетради для домашних заданий сделать заголовок «Комплексные числа». Текст
упражнений не переписывать. Упражнения нумеровать. Решение упражнений может
производиться в произвольном порядке. Тетрадь с домашним заданием может быть сдана на
проверку до назначенного срока.
Источники информации
 конспект лекций
 Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. - М.: Издательский центр «Академия»,
2010
3.10 Описание заданий по теме 6 «Теория вероятностей и математическая
статистика»
Задание 1
Формулировка задания: Изучите лекцию по теме «Теория вероятностей и
математическая статистика». Выучите определения элементов комбинаторного анализа:
размещения, перестановки, сочетания, формулу Ньютона, понятия случайных событий,
вероятности
событий,
простейшие
свойства
вероятности.
Рассмотрите
задачи
математической статистики, выборку, вариационный ряд.
Цель выполнения задания: углубление и расширение теоретических знаний.
Предполагаемый результат: сформированное умение воспроизводить определения
терминов, определения элементов комбинаторного анализа: размещения, перестановки,
сочетания, формулу Ньютона, понятия случайных событий, вероятности событий, простейшие
свойства вероятности.
Форма контроля: устный опрос.
Критерии оценки:
Процент
результативности
(правильных ответов)
90 ÷ 100
70 ÷ 89
50 ÷ 69
менее 50
Качественная оценка индивидуальных
образовательных достижений
балл (отметка)
вербальный аналог
5
отлично
4
хорошо
3
удовлетворительно
2
неудовлетворительно
Источники информации
 конспект лекций
 Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. - М.: Издательский центр «Академия»,
2010.
Задание 2
Формулировка задания:
В тетради для решения задач домашнего задания к
указанному сроку выполните задания:
31
Выполните задания:
1. Вычислите: а) 4! ; б) 9! 4! ; в)
8! 5!
.
7!
2. Рассмотрите примеры:

Сколькими способами можно расставлять на одной полке шесть различных книг?
Решение. Искомое число способов равно числу перестановок из 6 элементов, т.е.
P6  6! 1  2  3  4  5  6  720

На факультете изучается 16 предметов. На понедельник нужно в расписание
поставить 3 предмета. Сколькими способами можно это сделать?
Решение. Способов постановки в расписание трех предметов из 16 столько, сколько можно
составить размещений из 16 элементов по 3.
A163 

16!
16! 13!14  15  16


 14  15  16  3360 .
(16  3)! 13!
13!
Из 15 объектов нужно отобрать 10 объектов. Сколькими способами это можно
сделать?
Решение.
10
C15


15!
15! 10!11  12  13  14  15 11  12  13  14  15 11  3  13  3  14





(15  10)!10! 5!10!
5!10!
1 2  3  4  5
2  3 1 1
11  3  13  14
 11  3  13  7  3003.
2
3. Решите самостоятельно:
а) В соревнованиях участвовало шесть команд. Сколько вариантов распределения мест
между ними возможно?
б) Сколькими способами можно составить дозор из трех солдат и одного офицера, если
имеется 60 солдат и 4 офицера?
в) В бригаде из 30 человек нужно выделить пятерых для работы на определенном участке.
Сколькими способами это можно сделать?
г) Сколько вариантов распределения четырех путевок в санатории различного профиля
можно составить для десяти претендентов?
д) Задан закон распределения случайной величины X. 1) найдите все числовые
характеристики случайной величины; 2) постройте многоугольник распределения; 3) составьте
функцию распределения; 4) постройте график функции распределения.
X
5
p(х) 0,2
7
0,5
10 15
0,2 0,1
е) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, заданной таблицей
32
X
100
p(х) 0,4
150
0,3
200 250 300
0,2 0,05 0,05
Цель выполнения задания: формирование умений.
Предполагаемый результат: решенные в тетради для домашнего задания задачи.
Форма контроля: Проверка наличия и качества выполненных действий.
Критерии оценки:
Процент
результативности
(правильных ответов)
90 ÷ 100
70 ÷ 89
50 ÷ 69
менее 50
Качественная оценка индивидуальных
образовательных достижений
балл (отметка)
вербальный аналог
5
отлично
4
хорошо
3
удовлетворительно
2
неудовлетворительно
Методические рекомендации по выполнению задания
В тетради для домашних заданий сделать заголовок «Теория вероятностей и
математическая статистика». Текст упражнений не переписывать. Упражнения нумеровать.
Решение упражнений может производиться в произвольном порядке. Тетрадь с домашним
заданием может быть сдана на проверку до назначенного срока.
Источники информации
 конспект лекций
 Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. - М.: Издательский центр «Академия»,
2010
33
4 Список литературы
Основная:
1. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. - М.: Издательский центр «Академия», 2010
Дополнительная:
1. Богомолов Н. В. Практические занятия по математике [Текст]: учебное пособие для
студентов СПО / Н. В. Богомолов. – Изд. 6-е, стереотип. – М.: «Высшая школа»,
2003. – 495 с.
2. Богомолов Н. В. Математика [Текст]: учебник для ссузов / Н. В. Богомолов, П. И.
Самойленко. – Изд. 3-е, стереотип. – М.: Дрофа, 2005. – 395 с.. ил.
3. Лисичкин В.Т. Математика [Текст]: учебное пособие для ссузов / В. Т. Лисичкин,
И. Л. Соловейчик. – М.: АВF, 1995. – 480 с
4. Сайт-справочник правил, формул и теорем по математике:
http://matemathik.narod.ru/
34