Uch karrali integralda o’zgaruvchilarni almashtirish Azizbek Mamanazarov Farg‘ona davlat universiteti, Matematik analiz va differensial tenglamalar kafedrasi, Farg‘ona, O‘zbekiston Farg‘ona, 2020 Azizbek Mamanazarov Uch karrali integral Asosiy tushunchalar Aytaylik V ⊂ R 3 sohada f (x, y , z) funksiya berilgan bo’lib, integrallanuvchi bo’lsin: Z Z Z f (x, y , z) dxdydz. (1) υ To’g’ri burchakli Oxyz koordinatasidagi yopiq sohani Oξηζ koordinatalar sistemasidagi yopiq ∆ sohaga akslantirish ushbu x = x(ξ, η, ζ) y = y (ξ, η, ζ) (2) z = z(ξ, η, ζ) formulalar yordamida o’zaro bir qiymatli amalga oshirilsin. V soha S sirt bilan, ∆ soha yig’indi sirt bilan chegaralangan bo’lsin. Azizbek Mamanazarov Uch karrali integral (2) moslik natijasida yig’indi sirtning nuqtalari S nuqtalariga mos kelsin va aksincha. (2) funksiyalar uzluksiz birinchi tartibgacha xususiy hosilalarga ega bo’lsin, u holda J(ξ, η, ζ) = D(x, y , z) = D(ξ, η, ζ) ∂ ∂ξ ∂ ∂ξ ∂z ∂ξ ∂ ∂η ∂ ∂η ∂z ∂η ∂ ∂ζ ∂ 6= 0 ∂ζ ∂z ∂ζ bo’ladi. Oxyz fazoda t(x, y , z) nuqta holatini bir qiymatli ifodalovchi (ξ, η, ζ) sonlar bu nuqtaning egri chiziqli koordinatalari deyiladi. Azizbek Mamanazarov Uch karrali integral (3) Uch karrali integralning egri chiziqli koordinatadagi ifodasi Z Z Z f (x, y , z)dxdydz = V Z Z Z f (x(ξ, η, ζ), y (ξ, η, ζ), z(ξ, η, ζ)) |J(ξ, η, ζ) |dξdηdζ = ∆ (4) ko’rinishga ega bo’ladi. Sferik koordinatalar ularni ba’zan fazodagi qutb koordinatalari deb ataydilar: x = r sin φ cos θ 0 < r < +∞ y = r sin φ sin θ 0≤φ≤π 0 ≤ θ ≤ 2π z = r cos φ Azizbek Mamanazarov Uch karrali integral (5) Koordinata sirtlari uchta oilani tashkil qiladi: a) r = const - markazi koordinata boshida bo’lgan konsentrik sferalar; b) ϕ = const - o’qi z o’qidan iborat doiraviy konuslar; v) θ = const - z o’qidan o’tuvchi yarim tekisliklar. Azizbek Mamanazarov Uch karrali integral Sferik koordinatalarda uch karrali integral sin φ cos θ r cos φ cos θ − r sin φ sin θ sin φ sin θ r cos φ sin θ r sin φ cos θ J= = r 2 sin φ cos φ − r sin φ 0 Z Z Z f (x, y , z)dxdydz = υ Z Z Z = f (r sin φ cos θ, r sin φ, sin θ, r cos φ)r 2 sin φ dr dφ dθ ∆ (6) uch karrali integralning sferik koordinatalardagi ifodasi. Azizbek Mamanazarov Uch karrali integral Silindrik koordinatalar - Oxy tekisligidagi qutb koordinatlar bilan odatdagi Dekart aplikatasining birgalikda olinishi. x = ρ cos θ 0 < ρ < +∞ y = ρ sin θ 0 ≤ θ ≤ 2π (7) −∞ < z < +∞ z=z Azizbek Mamanazarov Uch karrali integral Koordinata sirtlari a) ρ = const - yasovchilari Oz o’qiga parallel silindrik sirtlar, yo’naltiruvchilari O (0, 0) markazli aylana; b)θ = const - Oz o’qidan o’tuvchi yarim tekisliklar; c) z = const - Oxy tekisligiga parallel tekisliklar. Silindrik koordinatalarda uch karrali integral: Z Z Z f (x, y , z)dxdydz = V Z Z Z f (ρ cos θ, ρ sin θ, z) ρ dρ dθ dφ = ∆ J= cos θ − ρ sin θ 0 sin θ ρ cos θ 0 = ρ. 0 0 Azizbek Mamanazarov 1 Uch karrali integral (8) f (x, y , z) = 1 bo’lganda Z Z Z f (x, y , z)dxdy dz (9) V integral V soha hajmini ifodalaydi. Dekart koordinatalar sistemasida hajmni hisoblash formulasi: ZZZ V = dxdydz. (10) V Sferik koordinatalar sistemasida hajmni hisoblash formulasi: Z Z Z V = r 2 sin φ dr dθ dφ. (11) υ Slindrik koordinatalar sistemasida hajmni hisoblash formulasi: Z Z Z V = ρ dρ dθ dz. (12) υ Azizbek Mamanazarov Uch karrali integral Agar V sohada modda massasi f (x, y , z) zichlik bilan taqsimlangan bo’lsa, u holda jism massasi Z Z Z M= f (x, y , z)dxdydz (13) υ formula bo’yicha topiladi. Koordinata teksliklariga nisbatan statik momentlar: Z Z Z Kyz = Z Z Z xf (x, y , z)dV , Kzx = υ yf (x, y , z)dV , υ Z Z Z Kxy = zf (x, y , z)dV . υ Azizbek Mamanazarov Uch karrali integral Jism og’irlik markazining koordinatalari: 1 ξ= M Z Z Z 1 fdV , η = M Z Z Z υ 1 yfdV , ζ = M Z Z Z υ z fdV . υ Koordinata o’qlariga nisbatan inersiya momentlari: Ix = Z Z Z 2 y +z 2 fdV ,Iy = υ Z Z Z x 2 + z 2 fdV , υ Iz = Z Z Z x 2 + y 2 fdV . υ Azizbek Mamanazarov Uch karrali integral Koordinata tekisliklariga nisbatan inersiya momentlari ushbu Z Z Z Iyz = x 2 fdV , υ Z Z Z Ixz = y 2 fdV , υ Z Z Z Ixy = z 2 fdV υ formulalar yordamida hisoblanadi. Azizbek Mamanazarov Uch karrali integral