КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
по дисциплине:
«Высшая математика»
Вариант: 1
Направление
подготовки/специальность
электротехника»
13.03.02
«Электроэнергетика
Обучающийся
Группа __________
Форма обучения
Подпись_________________
заочная
Проверил _________________________________________________________
(ФИО преподавателя)
Должность ________________________________________________________
Оценка______________
Подпись _____________
Челябинск 2024 г.
и
2
СОДЕРЖАНИЕ
ЗАДАНИЕ № 1 .............................................. Ошибка! Закладка не определена.
ЗАДАНИЕ № 2 .......................................................................................................... 9
ЗАДАНИЕ № 3…………………………………………………………………….11
ЗАДАНИЕ № 4…………………………………………………………………….12
ЗАДАНИЕ
5………………………………………………….…………………Ошибка!
№
Закладка
не определена.
ЗАДАНИЕ № 6 ........................................................................................................ 14
ЗАДАНИЕ № 7 ........................................................................................................ 15
ЗАДАНИЕ № 8 ........................................................................................................ 17
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ....................................................................................... 19
3
Решение методом Гаусса
Найдем определитель матрицы:
∆ = (-1)1+12 * 12+(-1)1+2(-1) * 18+(-1)1+3(-1) * (-18) = 2 * 12-(-1) * 18+(-1) * (-18)
= 60>0
Итак, определитель 60 ≠ 0, поэтому продолжаем решение.
Запишем систему в виде расширенной матрицы:
2 -1 -1
4
3 4
-2
11
3 -2 4
11
Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-2). Добавим 2-ую
строку к 1-ой:
0
-11 1
-10
3
4
-2
11
3
-2
4
11
Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
0
11
1
0
6
-6
3
-2 4
-10
0
11
Умножим 1-ую строку на (6). Умножим 2-ую строку на (11). Добавим 2-ую
строку к 1-ой:
0 0 -60
-60
4
0 6 -6
0
3 -2 4
11
Теперь исходную систему можно записать как:
x3 = -60/(-60)
x2 = [0 - ( - 6x3)]/6
x1 = [11 - ( - 2x2 + 4x3)]/
Из 1-ой строки выражаем x3
Из 2-ой строки выражаем x2
Из 3-ой строки выражаем x1
Решение по формулам Крамера
Найдем определитель матрицы:
∆ = (-1)1+12 * 12+(-1)1+2(-1) * 18+(-1)1+3(-1) * (-18) = 2 * 12-(-1) * 18+(-1) * (-18)
= 60>0
Итак, определитель 60 ≠ 0, поэтому продолжаем решение.
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
4
-1
-1
11
4
-2
11
-2
4
Найдем
определитель
полученной
матрицы.
∆1 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = 4 * (4 * 4-(-2) * (-2))-11 * ((-1) * 4-(-2)
* (-1))+11 * ((-1) * (-2)-4 * (-1)) = 180
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
2
4
-1
3
11
-2
3
11
4
5
Найдем определитель полученной матрицы. ∆2 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 +
(-1)3 + 1a31∆31 = 2 * (11 * 4-11 * (-2))-3 * (4 * 4-11 * (-1))+3 * (4 * (-2)-11 * (-1)) = 60
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
2
-1
4
3
4
11
3
-2
11
Найдем определитель полученной матрицы. ∆3 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 +
(-1)3 + 1a31∆31 = 2 * (4 * 11-(-2) * 11)-3 * ((-1) * 11-(-2) * 4)+3 * ((-1) * 11-4 * 4) = 60
Выпишем
отдельно
найденные
переменные
Х
Решение методом обратной матрицы
Найдем определитель матрицы:
∆ = (-1)1+12 * 12+(-1)1+2(-1) * 18+(-1)1+3(-1) * (-18) = 2 * 12-(-1) * 18+(-1) * (-18)
= 60>0
Итак, определитель 60 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем
обратную
матрицу
через
Пусть имеем невырожденную матрицу А:
A=
a11
a12 a13
a21
a22 a23
a31
a32 a33
Тогда:
алгебраические
дополнения.
6
A11 A21 A31
A12 A22 A32
A13 A23 A33
где Aij - алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А,
которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) n-1 порядка,
полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.
Транспонированная матрица к матрице A имеет вид:
AT=
2
3
3
-1
4
-2
-1
-2
4
Вычисляем алгебраические дополнения.
4
-2
-2
4
A1,1=(-1)1+1
∆1,1=(4*4-(-2*(-2)))=12
-1
-2
-1
4
1+2
A1,2=(-1)
∆1,2=-(-1*4-(-1*(-2)))=6
-1
4
-1
-2
1+3
A1,3=(-1)
∆1,3=(-1*(-2)-(-1*4))=6
3
3
-2
4
A2,1=(-1)2+1
∆2,1=-(3*4-(-2*3))=-18
7
2
3
-1
4
A2,2=(-1)2+2
∆2,2=(2*4-(-1*3))=11
2
3
-1
-2
A2,3=(-1)2+3
∆2,3=-(2*(-2)-(-1*3))=1
3
3
3+1
A3,1=(-1)
4 -2
∆3,1=(3*(-2)-4*3)=-18
2
3
A3,2=(-1)3+2
-1 -2
∆3,2=-(2*(-2)-(-1*3))=1
2
3
3+3
A3,3=(-1)
-1 4
∆3,3=(2*4-(-1*3))=11
Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную
матрицу C:
12
6 6
C= -18 11 1
-18
1 11
Вычислим обратную матрицу:
12 6 6
-18 11 1
8
-18 1 11
Вектор результатов X
X=A-1 * B
12 6 6
-18 11 1
-18 1 11
4
*
11
11
(12*4)+(6*11)+(6*11)
(-18*4)+(11*11)+(1*11)
(-18*4)+(1*11)+(11*11)
180
60
60
XT=(3,1,1)
x1=180 / 60=3
x2=60 / 60=1
x3=60 / 60=1
Проверка.
2*3-1*1-1*1=4
3*3+4*1-2*1=11
3*3-2*1+4*1=11
9
Решение (площадь треугольника АВС)
1
̅̅̅̅ × 𝐴𝐶
̅̅̅̅ |
𝑆𝐴𝐵𝐶 = |𝐴𝐵
2
Т.к. операция векторного произведения векторов не определена для плоскости,
дополним вектора третьей координатой, равной нулю.
̅̅̅̅
̅̅̅̅ = (−8, −7,0)
𝐴𝐵 = (−1, 0,0); 𝐴𝐶
𝑘̅
0| = 7𝑘
0
7
|7𝑘| = 7; 𝑆𝐴𝐵𝐶 = кв. ед.
2
𝑖̅
𝑗̅
|−1 0
−8 −7
Решение (точку М, симметричную точке А относительно стороны ВС)
Вычислим координаты точки L, которая является пересечением прямой,
лежащей на стороне BC и перпендикуляра к ней, проходящего через точку A.
̅̅̅̅ =
𝐶𝐿
̅̅̅̅|
|𝐶𝐿
̅̅̅̅
𝐶𝐵
̅̅̅̅ |
|𝐶𝐵
̅̅̅̅| = пр̅̅̅̅
̅̅̅̅
|𝐶𝐿
𝐶𝐵 𝐶𝐴 =
̅̅̅̅ ∙ 𝐶𝐵
̅̅̅̅
𝐶𝐴
̅̅̅̅ |
|𝐶𝐵
̅̅̅̅ = (8,7); 𝐶𝐵
̅̅̅̅ = (7,7); |𝐶𝐵
̅̅̅̅ | = √72 + 72 = 7√2
𝐶𝐴
̅̅̅̅| =
|𝐶𝐿
8∙7+7∙7
7√2
=
15√2
2
15
̅̅̅̅
𝐶𝐵 = (7.5,7.5); 𝐿 = (1.5,3.5)
14
Вычислим координаты точки M, приложив удвоенный вектор AL к точке A.
̅̅̅̅ =
𝐶𝐿
2|𝐴𝐿| = (−1,1)
10
𝑀 = (1,4)
Решение (уравнение медианы ВК)
Найдем координаты точки K и вектор BK
̅̅̅̅ = 1𝐶𝐴
̅̅̅̅ = (4,3.5); 𝐾 = (−2, −0.5); 𝐵𝐾
̅̅̅̅ = (−3, −3.5)
𝐶𝐾
2
Уравнение медианы BK:
𝑦 − 𝐵𝑦
𝑥 − 𝐵𝑥
=
𝐾𝑥 − 𝐵𝑥 𝐾𝑦 − 𝐵𝑦
𝑥−1
−3
=
𝑦−3
3.
−3.5
11
Aт = (
2 1
1 1
) BТ= (
)
3 2
−1 1
D=АТВ
d11=2*1+1*1=3
d12=2*(-1)+1*1= -1
d21=3*1+2*1=5
d22=3*(-1)+2*1=-1
3
D= (
5
−1
)
−1
2 2
E=2ВТ = (
)
−2 2
1 −3
C=D-E= (
)
7 −3
12
а)(𝑥 − 2)2 + (𝑦 −
3)2 = 9
окружность с
центром в точке
(-3;5) и радиусом
R=2
𝑥2
𝑦2
б) + = 1
25
9
эллипс, а=7 –
большая
полуось, b=2 –
меньшая
полуось
𝑥2
𝑦2
в) − = 1
49
25
гипербола,
ассимптоты:
у=0.8x; y=-0.8x
г) 𝑦 2 = 9𝑥
парабола,
фокальный
параметр
p=3.5;
фокус F(1.75;0)
13
а) lim
𝑥 2 −9
𝑥→3 𝑥−3
б) lim
𝑥→∞
= lim
𝑥→3
2𝑥 2 +𝑥+1
3−𝑥 2
(𝑥−3)(𝑥+3)
𝑥−3
𝑥→3
2
| ∶ 𝑥 = lim
𝑥→∞
2 𝑥
в) lim (1 + ) = lim
𝑥→∞
= lim (𝑥 + 3) = 3 + 3 = 6
𝑥
𝑥→∞
1 1
𝑥 𝑥
3
−1
𝑥2
2+ + 2
= lim
𝑢2 +𝑢+2
𝑥→0 3𝑢2 −1
2 ∞
(1 + ∞) = lim
𝑥→∞
=
02 +2
3×02 −1
= −2
(1 + 0)∞ = 1∞ = 1
14
а) 𝑦 =
𝑥 2 +1
2𝑥+3
1
𝑥2 + 1
−(𝑥 2 + 1) × (2𝑥 + 3)1 + (2𝑥 + 3) × (𝑥 2 + 1)1
1
𝑦 =(
) =
(2𝑥 + 3)2
2𝑥 + 3
−(𝑥 2 + 1) × 2 + (2𝑥 + 3) × 2𝑥 −2𝑥 2 × 2 + (2𝑥 + 3) × 2𝑥
=
=
(2𝑥 + 3)2
(2𝑥 + 3)2
−2𝑥 2 − 2 + 2𝑥 × (2𝑥 + 3)
2 × (𝑥 2 + 3𝑥 − 1)
=
=
(2𝑥 + 3)2
4𝑥 2 + 12𝑥 + 9
б) y 2 sin x
1
1
𝑦1 = (2√sin 𝑥) = (√sin 𝑥) × (sin 𝑥)1 =
1×2
2√sin 𝑥
× cos 𝑥 =
cos 𝑥
√sin 𝑥
15
Точки, где функция не определена: (𝑥 − 2)2 = 0
𝑥1 = 2
Точка ∩ графика с осью x при 𝜑(𝑥) = 0
𝑥3
=0
(𝑥 − 2)2
𝑥2 = 2
Точка ∩ с осью y при x=0
03
=0
0 − 22
Итого: (0;0)
Экстремумы функции:
1
𝑥3
−𝑥 3 × ((𝑥 − 2)2 )1 + 3𝑥 2 × (𝑥 − 2)2
(
) =
(𝑥 − 2)2
(𝑥 − 2)4
3𝑥 2 × (𝑥 − 2)2 − 𝑥 3 × (2𝑥 − 4)
𝑥3
𝑥2
=
= −2
+3×
(𝑥 − 2)4
(𝑥 − 2)3
(𝑥 − 2)2
=
𝑥 2 × (𝑥 − 6)
(𝑥 − 2)3
𝑥 2 (𝑥 − 6) = 0
𝑥1 = 0
𝑥2 = 6
Четность и нечетность функции:
𝜑(𝑥) = 𝜑(−𝑥) и 𝜑(𝑥) = −𝜑(−𝑥)
𝑥3
𝑥3
=−
(𝑥 − 2)2
(−𝑥 − 2)2
Ни четная, ни нечетная
16
17
Находим частные производные
𝜕ℷ
= 6𝑥 2 + 6𝑦 2 − 30;
𝜕𝑥
𝜕ℷ
= 12𝑥𝑦 − 24;
𝜕𝑦
Приравниваем их к нулю, получаем систему уравнений
{
6𝑥 2 + 6𝑦 2 − 30 = 0;
находим стационарные точки
12𝑥𝑦 − 24 = 0;
4
𝑦2
6𝑥 2 + 6𝑦 2 − 30 = 0;
𝑥 2 − 𝑦 2 − 5 = 0;
⟹
⟹
+ 𝑦 2 − 5 = 0;
{
2
12𝑥𝑦 − 24 = 0;
𝑥𝑦 − 2 = 0;
𝑥= ;
𝑦
{
{
𝑦 4 − 5𝑦 2 + 4 = 0;
𝑦 2 = 4, ; 𝑦 2 = 1;
𝑦 = ±2; 𝑦 = ±1;
2
2
⟹{
⟹{
⟹{
𝑥 = ±2; 𝑥 = ±1;
𝑥= ;
𝑥= ;
𝑦
𝑦
Стационарные точки (1;2); (-1,-2);(2;1);(-2;-1) исследуем их на экстремумы
Вычислим частные производные второго порядка
↾↾
↾↾
ℷ↾↾
𝑥𝑥 = 12𝑥; ℷ𝑥𝑦 = 12𝑦; ℷ𝑦𝑦 = 12𝑥;
Обозначим A=ℷ↾↾
𝑥𝑥 (𝑀0 );
↾↾
B = ℷ↾↾
𝑥𝑦 (𝑀0 ); C = ℷ𝑦𝑦 (𝑀0 );
Если AC-𝐵2 > 0; то ℷ = 𝑗(𝑥𝑦) имеет экстремум в точке 𝑀0 , причем если 𝐴 >
0; то это минимум, а если 𝐴 < 0; то это максимум
Если 𝐴𝐶 − 𝐵 < 0; то в точке 𝑀0 нет экстремума
Рассмотрим точку (1;2)
А=12 B=24 C=12
Вычислим
𝐴𝐶 − 𝐵2 = 12 ∗ 12 − 576 = 144 − 576 < 0
Следовательно
в
данной точке нет экстремумов.
Точка (-1;-2)
А=-12 B=-24 C=-12 тогда 𝐴𝐶 − 𝐵2 = 144 − 576 < 0 Следовательно в данной
точке нет экстремумов.
Точка (2;1)
А=24 B=12 C=24
18
тогда
𝐴𝐶 − 𝐵2 = 576 − 144 > 0 значит в точке (2;1) есть экстремум, это
минимум, так как A> 0
Вычислим его
ℷ(2; 1) = 2 ∗ 8 + 6 ∗ 2 ∗ 1 − 30 ∗ 2 − 24 ∗ 1 = 16 + 12 − 60 − 24 = −56
Точка (-2;-1)
А=-24 B=-12 C=-24
тогда 𝐴𝐶 − 𝐵2 = 576 − 144 > 0 значит в точке (-2;-1) есть экстремум, это
максимум
Вычислим его
ℷ(−2; −1) = 2 ∗ (−8) + 6 ∗ (−2) ∗ (−1) − 30 ∗ (−2) − 24 ∗ (−1)
= −16 + 12 + 60 + 24 = 80
19
СПИС ОК ЛИТЕРАТУРнЫй
Т
1.
Белова, Т.И. Вычисление неопределенных интегралов. Обыкновенные
дифференциальные уравнения. Компьютерный курс: учеб. пособие / Т.И. Белова,
А.А. Грешилов, И.В. Дубограй; Ред. А.А. Грешилов. - М.: Логос, 2021. - 184 с. + 1 эл.
опт. диск (CD-ROM).
2.
Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб.
пособие / Г.Н. Берман. - 22-е изд., перераб. - СПб.: Профессия, 2020. - 432 с.
3.
Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб.
пособие / Г.Н. Берман. - 22-е изд., перераб. - СПб.: Профессия, 2022. - 432 с.
4.
Виноградова, И.А. Задачи и упражнения по математическому анализу:
учеб. для вузов. В 2 ч. Ч.1 / И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий. - 4-е
изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2019. - 725 с.
5.
Виноградова, И.А. Задачи и упражнения по математическому анализу:
учеб. пособие для вузов. Ч. 1. Дифференциальное и интегральное исчисление / И.А.
Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий; Ред. В.А. Садовничий. - 3-е изд., испр.
- М.: ДРОФА, 2021. - 725 с.
6.
Виноградова, И.А. Задачи и упражнения по математическому анализу:
учеб. пособие для вузов. Ч.2. Ряды, несобственные интегралы, ряды Фурье,
преобразование Фурье / И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий; ред. В.А.
Садовничий. - 3-е изд., испр. - М.: ДРОФА, 2021. - 712 с.
7.
Голоскоков, Д.П. Уравнения математической физики. Решение задач в
системе Maple: учеб. для вузов / Д.П. Голоскоков. - СПб.: Питер, 2023. - 538с.
8.
Гурова, З.И. Математический анализ. Начальный курс с примерами и
задачами: учеб. для втузов / З.И. Гурова, С.Н. Каролинская, А.П. Осипова; Ред. А.И.
Кибзун. - М.: Физматлит, 2022. - 351 с.
9.
Математический анализ в вопросах и задачах: учеб. пособие для вузов /
В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, Г.Н. Медведев, А.А. Шишкин; Ред. В.Ф. Бутузов. - 5-е
изд., испр. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2022. - 479 с.
10.
Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учеб. для
20
втузов. В 2 т. Т. 1 / Н.С. Пискунов. - Стер. изд. - М. : ИНТЕГРАЛ-ПРЕСС, 2023. - 415
с.
11.
Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учебник
для втузов. В 2 т. Т. 2 / Н.С. Пискунов. - Стер. изд. - М.: ИНТЕГРАЛ-ПРЕСС, 2023. 544 с.
12.
Фихтенгольц,
Г.М.
Курс
дифференциального
и
интегрального
исчисления: учеб. для вузов. В 3 т. Т. 3 / Г.М. Фихтенгольц. - 8-е изд. - М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2023. - 727 с.
13.
Фихтенгольц, Г.М. Основы математического анализа: учебник для вузов.
Ч. 1 / Г.М. Фихтенгольц. - 6-е изд., стер. - СПб. Лань, 2020. - 440 с. - Алф. указ.: С.
434-440.
14.
Фихтенгольц, Г.М. Основы математического анализа: учебник для вузов.
Ч. 2 / Г.М. Фихтенгольц. - 6-е изд., стер. - СПб.: Лань, 2020. - 463 с.
15.
Фихтенгольц, Г.М. Основы математического анализа: учебник. Ч. 1 / Г.
М. Фихтенгольц. - 8-е изд. стер. - СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2021. - 440 с.
16.
Фихтенгольц, Г.М. Основы математического анализа: учебник. Ч. 2 / Г.
М. Фихтенгольц. - 8-е изд. стер. - СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2021. - 463 с.
17.
Шипачев, В.С. Математический анализ: учеб. пособие для вузов / В.С.
Шипачев. - М.: Высш. шк., 2022. - 176 с.
