Практическое занятие №14 Расчет роликовых обгонных муфт К надежности этих муфт предъявляются повышенные требования в связи с использованием их как храповых механизмов в условиях, когда обратное вращение может вызвать крайне нежелательные и даже аварийные условия. Из муфт свободного хода наибольшее распространение, как самая технологичная, нашла муфта с плоскими рабочими поверхностями звездочки. Ниже приведены приближенные вероятностные расчеты включения и прочности муфты. Включение является условием непроворота в обратном направлении муфты, используемой в качестве останова. Приближенность расчетов связана с пренебрежением влияния контактных упругих деформаций, а также с оценкой предельного отклонения угла заклинивания по предельному сочетанию допусков деталей муфты. Основным параметром муфты, определяющим условия сцепления, является угол заклинивания ролика α. С учетом эксцентриситета ролика и обоймы из геометрических соотношений 2ℎ + 𝑑𝑝 + 2𝑒 ′ 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝐷 − 𝑑𝑝 где h – расстояние рабочей плоскости звездочки до оси муфты; dp – диаметр ролика; 𝑒 ′ = 𝑒𝑐𝑜𝑠𝜓 , где e – эксцентриситет, ψ – угол, характеризующий положение оси звездочки относительно обоймы; D – диаметр обоймы. Ролик муфты будет включаться, если угол трения φ будет не меньше половины угла заклинивания 𝛼 𝜑≥ 2 С другой стороны, чем больше α, тем больший момент T может передать муфта 𝛼 𝑇 = 0,5𝐹𝑧𝐷𝑠𝑖𝑛 2 где z – число роликов; F – сила в контакте. Поэтому с целью повышения нагрузочной способности повышают угол заклинивания (обычно α = 7°), но при этом возрастает риск невключения муфты. Предположим нормальное распределение углов трения и заклинивания. Рассмотрим самоустанавливающуюся конструкцию муфты (рис. 5.5) с тремя роликами. В ней эксцентриситет отсутствует, и одновременно заклиниваются все три ролика. Роликовая обгонная муфта Вероятность включения самоустанавливающейся муфты Pc на основе выражения зависит от средних значений углов трения 𝜑̅ и заклинивания 𝑎̅, а также от средних квадратических отклонений Sφм и Sαм рассеяний углов трения и заклинивания по муфтам. Величина Sαм связана с разбросом диаметра обоймы. Квантиль upc вероятности Pc, считая разность случайных величин (φ-α/2), распределенной нормально, можно оценить по формуле 𝜑̅ − 𝛼̅/2 𝑢𝑝𝑐 = − 2 + 1 𝑆2 √𝑆𝜑м 4 𝛼м На значение Pc практически не влияют рассеяния значений φ и α по роликам в пределах одной муфты, так как погрешности изготовления в самоустанавливающейся муфте осредняются. Далее рассматриваем несамоустанавливающуюся конструкцию муфты. Вероятность Pz полного включения муфты, т.е. включения всех роликов в передачу крутящего момента, находят по квантили 𝜑̅ − 𝛼̅/2 − 𝜇(𝑆𝜑𝑝 + 𝑆𝛼𝑝 ) 𝑢𝑝𝑧 = − 2 + 1 𝑆 2 + 𝜀 2 (𝑆 2 + 𝑆 2 ) √𝑆𝜑м 𝜑𝑝 𝛼𝑝 4 𝛼м где Sφp Sαp – средние квадратические отклонения углов трения и заклинивания по роликам внутри муфты; μ, ε – параметры положения и сдвига, зависящие от z. Учет параметров μ и ε отражает факт, что искомая вероятность Pz зависит от z, так как 𝑃𝑧 = 𝑃𝑝2 , где Pp - вероятность включения одного ролика. Вероятность P1 включения хотя бы одного ролика может быть найдена на основе того, что вероятность (1 – P1) противоположного события – невключения ни одного ролика – есть произведение z вероятностей (1 – Pp) невключения каждого ролика 𝑧 𝑃1 = 1 − (1 − 𝑃𝑝 ) Вероятность Pp включения одного ролика находится по квантили 𝑢𝑝1 = − 𝜑̅ − 𝛼̅/2 2 + 1 𝑆2 + 𝑆2 + 𝑆2 √𝑆𝜑м 𝜑𝑝 𝛼𝑝 4 𝛼м нахождения значений 𝜑̅, 𝛼̅, 𝑆𝜑м , 𝑆𝛼м , 𝑆𝜑𝑝 , 𝑆𝛼𝑝 , Рассмотрим методы входящих в формулы. При трении закаленной стали по заклеенной стали со смазкой коэффициент трения оцениваем 0,06…0,1. Отсюда среднее значение коэффициента трения 0,08 и его среднее квадратическое отклонение, принимая равным одной шестой диапазона рассеяния, 0,0067. Им соответствует 𝜑̅ ≈ 4,57°и среднее квадратическое отклонение угла трения 0,38°. Принимаем, что коэффициент трения имеет рассеяние главным образом, по муфтам (пусть две трети от всего диапазона). Тогда Sφм = 0,26°, Sφp = 0,12°. Значение 𝑎̅ находят по формуле с подстановкой в нее средних значений h, D и dp, приняв 𝑒 ′ = 0. Среднее квадратическое отклонение угла заклинивания принимаем около шестой части диапазона рассеяния угла заклинивания 𝑆𝛼м = 𝛿𝛼м /6; 𝑆𝛼𝑝 = 𝛿𝛼𝑝 /6 где δαм δαp – диапазоны рассеяния угла заклинивания по муфтам и по роликам внутри муфты. Значения δαм и δαp зависят от законов распределения погрешностей на размеры h, dp, D, δc, а также их взаимосвязи. Вместо точного решения ниже с целью упрощения формул приводится приближенное решение, полученное из формул (5.42) расчетом по предельному сочетанию допусков δh, δD, δdp, δe на параметры h, D, dp, e: 2ℎ + 𝑑𝑝 2ℎ + 𝑑𝑝 + 2𝛿𝑒 𝛿𝛼м ≤ 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 − arccos (𝐷 − 𝛿𝐷 ) − 𝑑𝑝 𝐷 − 𝑑𝑝 2ℎ + 𝑑𝑝 2(ℎ + 𝑑ℎ ) + (𝑑𝑝 + 𝛿𝑑𝑝 ) 𝛿𝛼𝑝 ≤ 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 − arccos 𝐷 − 𝑑𝑝 𝐷 − (𝑑𝑝 + 𝛿𝑑𝑝 ) где h, D, d – номинальные значения параметров. Вероятность P неразрушения контактирующих деталей оценена для наиболее распространенной самоустанавливающейся конструкции муфты в предположении нормальных распределений разрушающих σR и действующих σH контактных напряжений. Квантиль up искомой вероятности можно найти по формуле 𝜎𝑅 − ̅̅ ̅̅̅ 𝜎̅̅ 𝐻 − 𝜇𝑆𝑅 𝑢𝑝 = − √(𝜀𝑆𝑅 )2 + 𝑆𝐻2 где ̅̅̅, 𝜎𝑅 ̅̅ 𝜎̅̅ 𝐻 и SR, SH – средние значения и средние квадратические отклонения разрушающихся и действующих напряжений. При твердости поверхностей HRC>60 можно ориентировочно принимать ̅̅̅ 𝜎𝑅 = 1800 МПа, 𝑆𝑅 = 100 МПа. Значение ̅̅ 𝜎̅̅, 𝐻 МПа, вычисляют по формуле Герца при номинальных значениях F, H и dp, мм: 2𝐹𝐸 𝜎̅̅ ̅̅ 𝐻 = 0,418√ 𝑑𝑝 𝑙 где E – модуль упругости контактирующих деталей, МПа; l – длина ролика, мм. Значение F вычисляют по формуле (5.44) с подстановкой в нее номинальных значений D, α и среднего значения момента T. Среднее квадратическое отклонение SH действующих напряжений может быть найдено по среднему квадратическому отклонению момента. Линеаризируя функцию (5.53) и выражая F через T, получим 𝜎̅̅ ̅̅ 𝐻 𝑆𝑇 𝑆𝐻 = 2 𝑇̅ Пример. Требуется оценить вероятность полного включения несамоустанавливающейся муфты, у которой ℎ = 36,76+0 −0,02 мм, 𝑑𝑝 = 132−0,010 мм, 𝐷 = 100+0,033 мм, l = 20 мм, δe = 0,030 мм, z = 3, при передаче −0 номинального значения момента T = 74 Н·м. Решение. Принимаем 𝜑̅ = 4,57°, Sφм = 0,26°, Sφp = 0,12°. По формуле (5.42) вычисляем 𝛼̅ = 6,02°. Находим допуски на параметры: δh = 0,02 мм, δD = 0,035 мм, δdp = 0,01 мм, δe = 0,03 мм и по ним вычисляем (5.50), (5.51) диапазоны рассеяния угла заклинивания δαм = 0,6287°, δαp = 0,389°. Отсюда Sαм = 0,105, Sαp = 0,0648°. При z = 3 согласно табл. 3.1 μ = 0,75, ε = 0,8. Подставляя значения в формулу (5.46), получаем upz = -3,4, что соответствует искомой вероятности большей чем 0,999. Надежность предохранительной муфты с разрушающимися элементами Специфика надежности функционирования предохранительных муфт с разрушающимися элементами заключается в обеспечении достаточно высоких значений вероятностей двух противоречивых событий: безотказной передачи муфтой внешнего расчетного момента, с одной стороны, и безотказности срабатывания (разрушения) предохранительного устройства при недопустимых перегрузках – с другой. Расчет вероятности безотказной работы муфты в обычной проверочной форме в предположении, что расчетные параметры подчиняются нормальному распределению, проводят с помощью квантили нормального распределения 𝑛̅ − 1 𝑢𝑝 = − ̅̅̅2 𝑣𝑝2 + 𝑣𝛼2 √𝑛 ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ где 𝑛̅ = ̅̅̅ 𝑇𝑝 /𝑇 𝛼 – коэффициент запаса по средним; 𝑇𝑝 , 𝑇𝑎 - средние значения разрушающего и внешнего моментов; vp, va – коэффициенты вариации разрушающего и действующего внешних моментов. Разрушающий момент 𝑇𝑝 = 𝜋𝑑 2 𝜏𝑅/4, где d – диаметр опасного сечения штифта; R – радиус расположения штифта; τ – напряжение среза 𝜏 = 𝑐𝜎вр ; σвр – предел прочности материала; c = 0,95 для штифтов с выточкой; c = 0,75 для штифтов без выточки. Коэффициент вариации разрушающего момента, равный коэффициенту вариации предела прочности материала штифта, обычно принимают 0,06…0,08. Вероятность срабатывания (разрушения) предохранительного элемента в момент действия аварийной (пиковой) нагрузки определяют в зависимости от квантили 𝑛 ̅̅̅ 𝑛 −1 𝑢𝑝 = − 𝑣𝑝 где ̅̅̅ 𝑛𝑛 = 𝑇пик /𝑇𝑝 - коэффициент запаса по средним; Tпик – пиковая нагрузка, превышение которой вызывает аварийное состояние машины. Пример. Проверить вероятность безотказной работы предохранительной муфты. Штифт с выточкой из стали. Коэффициент запаса прочности по средним равен 1,5, коэффициент вариации нагрузки vα = 0,1. Решение. Коэффициент нормального распределения 1,5 − 1 𝑢𝑝 = − = −3,5 √1,52 ∙ 0,072 + 0,12 Вероятность безотказной работы, определяемая по таблицам, P > 0,999. Надежность предохранительной фрикционной муфты Условие непроскальзывания муфты с заданной вероятностью 𝑇̅ − ̅̅̅̅̅ ̅̅̅ 𝑇𝑎 + 𝑢𝑝 𝑆 = 0 или ̅̅̅̅ 𝐹𝑓 𝑟𝑐𝑝 − ̅̅̅ 𝑇𝑎 + 𝑢𝑝 𝑆 = 0, где 𝑇̅ = 𝐹𝑓𝑟 𝑐𝑝 – средний радиус дисков; 𝑓 ̅ - среднее значение коэффициента трения; ̅̅̅ 𝑇𝑎 - среднее значение внешнего момента; 𝑆 = √𝑆𝑇2 + 𝑆𝑎2 - среднее квадратическое отклонение разности моментов T и Ta. Из предыдущего условия определяем квантиль нормального распределения 𝑛̅ − 1 𝑢𝑝 = − ̅̅̅2 𝑣 2 + 𝑣𝑎2 √𝑛 𝑓 ̅̅̅𝑎 - коэффициент запаса по средним; va и vf – коэффициенты где 𝑛̅ = 𝐹𝑓𝑟̅ 𝑐𝑝 /𝑇 вариации внешнего вращающего момента и коэффициента трения соответственно. По вычисленному значению up определяем вероятность работы муфты без проскальзывания. Вероятность срабатывания муфты при действии пикового момента ̅̅̅̅−1 𝑛 определяем в зависимости от квантили up , равной 𝑢𝑝 = − 𝑛 , где ̅̅̅ 𝑛𝑛 = 𝑣𝑓 𝑇пик /𝑇̅. Надежность пружинно-шариковой предохранительной муфты Предельный момент муфты, т.е. вращающий момент T начала проскальзывания при действии сил трения на шлицах и шариках, 𝐹𝐷 𝐹𝐷 𝑇= ≈ 2[𝑡𝑔(𝑎 − 𝜑) − 𝐷𝑓/𝑑] 2(𝑡𝑔𝛼 − 𝑓𝑐) где 𝑐 = 1 + 𝐷/𝑑; F – сила пружин; D – диаметр расположения центров шариков; d – средний диаметр шлицевого участка вала; α – угол профиля зуба; f – коэффициент трения. Вероятность работы муфты без проскальзывания определяется квантилью up: 𝑇̅ − ̅̅̅ 𝑇𝑎 + 𝑢𝑝 𝑆𝑇 = 0 где 𝑇̅, ̅̅̅ 𝑇𝑎 - средние значения предельного и внешнего моментов; ST – среднее квадратического отклонение предельного и внешнего моментов 2 ̅ 𝜕𝑇 2 2 𝑐𝑇 𝑆𝑇 ≈ √( ) 𝑆𝑓 + 𝑆𝑎2 = √[ ] 𝑆 2 + 𝑆𝑎2 (𝑡𝑔𝑎 − 𝑡̅𝑐 ) 𝑓 𝜕𝑓 𝑚 где Sf, Sa – средние квадратические отклонения коэффициента трения и внешнего момента. Отсюда 𝑇̅ − ̅̅̅ 𝑇𝑎 𝑛̅ − 1 𝑢𝑝 = − =− 2 2 ̅𝑓 𝑐𝑛 ̅𝑓 𝑐𝑇 2 2 2 √[ √[ ] 𝑣𝑓2 + 𝑣𝑎2 ] 𝑣 𝑓 + 𝑣𝑎 𝑇̅𝑎 𝑡𝑔𝑎 − 𝑓𝑐 (𝑡𝑔𝑎 − 𝑓𝑐) 𝑇̅ где 𝑛̅ = ̅̅̅ - коэффициент запаса по средним. 𝑇𝑎 Вероятность срабатывания муфты при действии пикового момента Tпик определяют в зависимости от квантили up, равной 𝑇пик − 𝑇̅ 𝑛𝑛 − 1 ̅̅̅ 𝑢𝑝 = − =− 𝑐𝑓 𝑐𝑇̅ 𝑣 𝑆𝑓 𝑡𝑔𝑎 − 𝑓𝑐 𝑓 𝑡𝑔𝑎 − 𝑓𝑐 𝑇 где ̅̅̅ 𝑛𝑛 = пик ̅ 𝑇
