Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПРОМЫШЛЕННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ДИЗАЙНА»
ВЫСШАЯ ШКОЛА ТЕХНОЛОГИИ И ЭНЕРГЕТИКИ
Институт энергетики и автоматизации
Кафедра информационно-измерительных технологий и систем управления
КУРСОВОЙ ПРОЕКТ
по дисциплине «Математическое моделирование систем автоматического
управления»
на тему: математическое моделирование системы управления
теплообменником «смешение-смешение» с учетом изменения поверхности
теплообмена при изменении уровня жидкости.
Выполнил
Шах К.И
Преподаватель
Хардиков Е.В.
Санкт-Петербург
2023
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................................. 3
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ............................................................................................... 4
1. Разработка математической модели .............................................................. 4
2. Получение коэффициентов преобразования................................................. 8
2. Построение блок-схемы ................................................................................ 10
3. Анализ модели объекта по каналам управления и возмущения на
временном отрезке ............................................................................................. 11
4. Разработка структуры системы управления ............................................... 14
ВЫВОД................................................................................................................... 19
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ................................................................. 20
Изм. Лист
Разраб
Пров
Н. Контр.
Утв
№ докум
Шах К.И.
Хардиков
Е.В.
Подпись
Дата
Литера
Лист
Листов
математическое
2
20
моделирование системы
управления теплообменником
СПГУПТД ВШТЭ
«смешение-смешение» с учетом
изменения поверхности
ВВЕДЕНИЕ
Целью курсового проекта является построение модели объекта,
получение реакции системы на u1, u2, u3, f1 и f2 (20% от номинальных
значений). Разработка и моделирование возможного варианта системы
управления температурой Θ1 и уровнем H.
Для достижения заданной цели в ходе работы необходимо выполнить
следующие задачи:
разработка математической модели;
разработка структурной схемы модели объекта;
анализ модели объекта по каналам управления и возмущения;
разработка структуры системы управления;
параметрический синтез регулятора.
3
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
1. Разработка математической модели
Принципиальная схема процесса представлена на рисунке 1.
G20, Θ20
G1, Θ10
G1, Θ1
G2, Θ2
Рисунок 1 – Принципиальная схема
G1, Θ10 – расход и температура пара;
G1, Θ1 – расход и температура конденсата;
G20, Θ20 – расход и температура холодной воды;
G2, Θ2 – расход и температура горячей воды;
Расход пара и расход конденсата считаем одинаковым: запишем
уравнение материального баланса для воды.
𝑑𝑣
= 𝐺20 − 𝐺2
𝑑𝑡
𝑉 =𝑆∗𝐻
𝑑𝐻
= 𝐺20 − 𝐺2
𝑑𝑡
Уравнение изменения количества тепла:
𝑆
𝑑𝑄п
= 𝑞п − 𝑞к − 𝑞пв
𝑑𝑡
Изменение количества тепла в паровом пространстве
тремя тепловыми потоками
4
𝑑𝑄п
𝑑𝑡
определяется
qп – количество тепла поступающее с паром;
qк – количество тепла отводимого с конденсатом;
qпв – количество тепла, передаваемого воде.
Изменение количества тепла в водяном пространстве
𝑑𝑄в
𝑑𝑡
определяется
потоками:
𝑑𝑄в
= 𝑞𝑥 − 𝑞г + 𝑞гв
𝑑𝑡
qх – количество тепла поступающего с холодной жидкостью;
qг – количество тепла отводимого с горячей жидкостью;
Рассмотрим основные потоки тепла:
𝑞п = 𝐶п (𝛩10 ) ∗ 𝐺1 ∗ 𝛩10
В формуле (4) Cп(Θ10) – теплоемкость пара при температуре Θ10;
кДж
кг°С
G1 – расход пара, кг/с
Θ10 – температура пара, °C
𝑞к = 𝐶ж ∗ 𝐺1 ∗ 𝛩1
Зависимостью теплоемкости жидкости от температуры пренебрежем и
в дальнейших расчетах будем считать
𝐶ж = 𝐶к = 𝐶в
Расход пара равен расходу конденсата, при полной конденсации:
𝐺1 = 𝐺п = 𝐺к
Θ1 – температура конденсата;
Количество тепла, поступающего с холодной водой:
𝑞х = 𝐶ж ∗ 𝐺20 ∗ 𝛩20
G20 – весовой расход воды, кг/с
Θ20 – температура холодной воды;
Количество тепла, отводимое с горячей водой:
𝑞г = 𝐶ж ∗ 𝐺2 ∗ 𝛩2
Количество тепла, передаваемого от пара к воде:
𝑞пв = 𝐹 ∗ 𝑘 ∗ (𝛩1 − 𝛩2 )
5
F – поверхность теплообменника;
k – коэффициент теплопередачи.
Обозначим D – диаметр емкости для воды, тогда
𝜋𝐷2
𝐹=
+ 𝜋𝐷 ∗ 𝐻
4
Θ1 и Θ2 – температуры в паровом и водяном пространстве
Количество тепла в паровом пространстве:
𝑄п = 𝜌п (𝛩1 ) ∗ 𝐶п (𝛩1 ) ∗ 𝛩1 ∗ 𝑉1
Плотность пара ρп и теплоемкость пара Cп значительно изменяются при
изменении температуры.
В формуле (4) используется теплоемкость при температуре Θ10 –
Cп(Θ10) в формуле (10) Cп(Θ1)
Плотность пара и теплоемкости при Θ10=300°C:
кг
𝜌(300) = 46,21 3
м
кДж
𝐶п (300) = 6,28
кг°𝐶
При Θ10=140°C:
кг
𝜌(140) = 1,966 3
м
кДж
𝐶п (140) = 2,315
кг°𝐶
Количество тепла в нагреваемой воде:
𝑄в = 𝜌в ∗ 𝐶в ∗ 𝑉 ∗ 𝛩2
Объем воды равен:
𝜋𝐷2
𝑉=(
)∗𝐻 =𝑆∗𝐻
4
𝜋𝐷2
𝑆=
4
Обозначим L=πD – длина окружности основания емкости бака воды.
Подставим уравнения (4-12) в (2-3)
6
𝑑𝛩1
= 𝐶п (𝛩10 ) ∗ 𝐺1 ∗ 𝛩10 − 𝐶ж ∗ 𝐺1 ∗ 𝛩1 − (𝑆 + 𝐿 ∗ 𝐻) ∗
𝑑𝑡
∗ 𝑘т (𝛩1 − 𝛩2 )
𝑑(𝐻 ∗ 𝛩2 )
𝑆 ∗ 𝜌ж ∗ 𝐶ж
= 𝐶ж ∗ 𝐺1 ∗ 𝛩10 − 𝐶ж ∗ 𝐺1 ∗ 𝛩1 − (𝑆 + 𝐿 ∗ 𝐻) ∗
𝑑𝑡
∗ 𝑘т (𝛩1 − 𝛩2 )
𝑑𝐻
𝑆
= 𝐺20 − 𝐺2
𝑑𝑡
𝑉1 ∗ 𝜌(𝛩1 ) ∗ 𝐶п (𝛩1 )
{
Перейдем к модели в отклонениях:
̂ = ∆𝐻
𝑥1 = 𝐻 − 𝐻
̂1 = ∆𝐺1
𝑢1 = 𝐺1 − 𝐺
𝑓1 = 𝛩10 − 𝛩̂
10 = ∆𝛩10
̂1 = ∆𝛩1
𝑥2 = 𝛩1 − 𝛩
̂
𝑢2 = 𝐺20 − 𝐺̂
20 = ∆𝐺20 𝑓2 = 𝛩20 − 𝛩20 = ∆𝛩20
̂2 = ∆𝛩2
𝑥3 = 𝛩2 − 𝛩
̂2 = ∆𝐺2
𝑢3 = 𝐺2 − 𝐺
Для перехода к линейным моделям необходимо разложить нелинейные
функции в ряд Тейлора
̂1 ∗ ∆𝛩10 + 𝛩
̂1 ∗ ∆𝐺10 = 𝐺
̂1 ∗ 𝑓1 + 𝛩̂
∆(𝐺10 ∗ 𝛩10 ) = 𝐺
10 ∗ 𝑢1
̂1 ∗ ∆𝛩1 + 𝛩
̂1 ∗ ∆𝐺1 = 𝐺
̂1 ∗ 𝑥2 + 𝛩
̂1 ∗ 𝑢1
∆(𝐺1 ∗ 𝛩1 ) = 𝐺
̂1 ∗ ∆𝐻 + 𝐻
̂1 ∗ 𝑥1 + 𝐻
̂ ∗ ∆𝛩1 = 𝛩
̂ ∗ 𝑥2
∆(𝐻 ∗ 𝛩1 ) = 𝛩
̂2 ∗ ∆𝐻 + 𝐻
̂2 ∗ 𝑥1 + 𝐻
̂ ∗ ∆𝛩2 = 𝛩
̂ ∗ 𝑥3
∆(𝐻 ∗ 𝛩2 ) = 𝛩
̂
̂
̂
∆(𝐺2 ∗ 𝛩20 ) = 𝛩̂
20 ∗ ∆𝐺2 + 𝐺2 ∗ ∆𝛩20 = 𝛩20 ∗ 𝑢3 + 𝐺2 ∗ 𝑓2
̂2 ∗ ∆𝐺2 + 𝐺
̂2 ∗ ∆𝛩2 = 𝛩
̂2 ∗ 𝑢3 + 𝐺
̂2 ∗ 𝑥3
∆(𝐺2 ∗ 𝛩2 ) = 𝛩
В итоге после преобразования получим:
𝜕𝑥1
= 𝑏12 ∗ 𝑢2 + 𝑏13 ∗ 𝑢3
𝜕𝑡
𝑏12 =
1
𝑏13 = −
𝑆
1
𝑆
𝜕𝑥2
= 𝑎21 ∗ 𝑥1 + 𝑎22 ∗ 𝑥2 + 𝑎23 ∗ 𝑥3 + 𝑏21 ∗ 𝑢1 + 𝑣21 ∗ 𝑓1
𝜕𝑡
𝑎21 =
̂1 +𝛩
̂2 )
𝐿∗𝑘т ∗(𝛩
𝑎22 =
𝑉1 ∗𝜌∗(𝛩1 )∗𝐶п ∗(𝛩1 )
𝑎23 = −
̂ )∗𝑘т
(𝑆∗𝐿∗𝐻
𝑉1 ∗𝜌∗(𝛩1 )∗𝐶п ∗(𝛩1 )
̂1
𝐶 ∗(𝛩10 )∗𝛩̂
10 −Сж ∗𝛩
𝑉1 ∗𝜌∗(𝛩1 )∗𝐶п ∗(𝛩1 )
𝑣21 =
̂1 +𝑘т ∗(𝑆∗𝐿∗𝐻
̂)
−Сж ∗𝐺
𝑏21 = п
𝐶п ∗(𝛩10 )∗𝐺̂
10
𝑉1 ∗𝜌∗(𝛩1 )∗𝐶п ∗(𝛩1 )
7
𝑉1 ∗𝜌∗(𝛩1 )∗𝐶п ∗(𝛩1 )
𝜕𝑥3
= 𝑎31 ∗ 𝑥1 + 𝑎32 ∗ 𝑥2 + 𝑎33 ∗ 𝑥3 + 𝑏32 ∗ 𝑢2 + 𝑏33 ∗ 𝑢3 + 𝑣32 ∗ 𝑓2
𝜕𝑡
𝑎31 =
̂1 +𝛩
̂2 )
𝐿∗𝑘т ∗(𝛩
̂
𝜏∗𝐻
𝑎33 = −
̂)
𝑘т ∗(𝑆∗𝐿∗𝐻
̂
𝜏∗𝐻
𝑎32 =
̂ )∗𝑘т
(𝑆∗𝐿∗𝐻
̂
𝜏∗𝐻
𝑏32 = − ж
̂2 −𝜏∗𝛩2 ∗𝑏13
𝐶 ∗𝛩
̂
𝜏∗𝐻
𝑣32 =
̂2 ∗𝑏12
𝐶 ∗𝛩̂
20 −𝜏∗𝛩
̂
𝜏∗𝐻
𝑏33 = − ж
−Сж ∗𝐺̂
20
̂
𝜏∗𝐻
На основе полученных данных перейдем к расчету коэффициентов
преобразования.
2. Получение коэффициентов преобразования
Рассчитаем статические характеристики каналов управления. Для этого
используем таблицу 1.
Таблица 1 – Параметры номинального режима
Обозначение
Значение
переменной
переменной
Объем парового пространства
V1
1,37
м3
Диаметр бака воды
D
2
м
̂
𝐻
3
м
Давление пара
P10
4
кгс/см2
Температура пара
𝛩̂
10
300
°C
Температура конденсата
̂1
𝛩
140
°C
Плотность воды/конденсата
ρж
970
кг/м3
Теплоемкость воды/конденсата
Cж
4,2
кДж/кг°C
Cп(300)
6,28
кДж/кг°C
ρп(300)
46,21
кг/м3
Cп(140)
2,391
кДж/кг°C
Наименование параметра
Номинальный уровень
(допустимое отклонение ±0,5м)
Теплоемкость пара при
𝛩̂
10 = 300°𝐶
Плотность пара при
𝛩̂
10 = 300°𝐶
Теплоемкость пара при
̂1 = 140°𝐶
𝛩
8
Размерность
Плотность пара при
ρп(140)
1,966
кг/м3
Коэффициент теплопередачи
kт
6
кДж/с*м2*°C
Номинальный расход воды
̂2 = 𝐺̂
𝐺
20
20
кг/с
Начальная температура воды
𝛩̂
20
20
°C
̂2
𝛩
80
°C
̂1
𝐺
3,89
кг/с
̂1 = 140°𝐶
𝛩
Конечная (номинальная)
температура воды
Номинальный расход пара
С помощью таблицы 1 рассчитываем коэффициенты преобразования.
Они представлены в таблице 2.
Таблица 2 – Коэффициенты преобразования
Значение
Наименование
Формула расчёта
коэффициента
коэффициента
преобразования
𝜋𝐷2
4
1
𝑆
1
−
𝑆
S
b12
b13
3,14
0,318
-0,318
L
πD
6,28
a21
̂1 + 𝛩
̂2 )
𝐿 ∗ 𝑘т ∗ (𝛩
𝑉1 ∗ 𝜌 ∗ (𝛩1 ) ∗ 𝐶п ∗ (𝛩1 )
0,003
a22
̂1 + 𝑘т ∗ (𝑆 ∗ 𝐿 ∗ 𝐻
̂)
−Сж ∗ 𝐺
𝑉1 ∗ 𝜌 ∗ (𝛩1 ) ∗ 𝐶п ∗ (𝛩1 )
0,003
a23
−
̂ ) ∗ 𝑘т
(𝑆 ∗ 𝐿 ∗ 𝐻
𝑉1 ∗ 𝜌 ∗ (𝛩1 ) ∗ 𝐶п ∗ (𝛩1 )
0,003
b21
̂
𝐶п ∗ (𝛩10 ) ∗ 𝛩̂
10 − Сж ∗ 𝛩1
𝑉1 ∗ 𝜌 ∗ (𝛩1 ) ∗ 𝐶п ∗ (𝛩1 )
0,79
9
v21
𝐶п ∗ (𝛩10 ) ∗ 𝐺̂
10
𝑉1 ∗ 𝜌 ∗ (𝛩1 ) ∗ 𝐶п ∗ (𝛩1 )
0,01
τ
S*ρж*Cж
12792,36
a31
̂1 + 𝛩
̂2 )
𝐿 ∗ 𝑘т ∗ (𝛩
̂
𝜏∗𝐻
0,06
a32
̂)
𝑘т ∗ (𝑆 ∗ 𝐿 ∗ 𝐻
̂
𝜏∗𝐻
0,009
a33
̂ ) ∗ 𝑘т
(𝑆 ∗ 𝐿 ∗ 𝐻
−
̂
𝜏∗𝐻
-0,009
b32
̂
𝐶ж ∗ 𝛩̂
20 − 𝜏 ∗ 𝛩2 ∗ 𝑏12
−
̂
𝜏∗𝐻
8,48
b33
̂2 − 𝜏 ∗ 𝛩2 ∗ 𝑏13
𝐶ж ∗ 𝛩
−
̂
𝜏∗𝐻
-2,12
v32
−Сж ∗ 𝐺̂
20
̂
𝜏∗𝐻
-0,002
С помощью таблицы 2 можно выполнить построение блок-схемы в
пакете Simulink программы MATLAB.
2. Построение блок-схемы
В пакете Simulink программы MATLAB получена блок-схема модели
теплообменника смешения вытеснение, представленная на рисунке 3.
10
Рисунок 3 – Структурная схема модели
3. Анализ модели объекта по каналам управления и возмущения на
временном отрезке
Для проведения анализа модели объекта необходимо на каждый канал
поочередно подать фиксированный сигнал равный 20% от номинала.
На рисунке 4, представлена реакция системы на изменение u1.
11
Рисунок 4 – Реакция системы на изменение u1.
На рисунке 5, представлена реакция системы на изменение u2.
Рисунок 5 - реакция системы на изменение u2
На рисунке 6, представлена реакция системы на изменение u3.
12
Рисунок 6 – Реакция системы на изменение u3
На рисунке 7, представлена реакция системы на изменение f1.
Рисунок 7 – Реакция системы на изменение f1
На рисунке 8, представлена реакция системы на изменение f2.
13
Рисунок 8 – Реакция системы на изменение f2
4. Разработка структуры системы управления
Необходимо
спроектировать
систему
регулирования
уровня
и
температуры.
Управляющих воздействий на уровень два, так как они компенсирую
друг друга, то настройка будет выполняться параллельно.
На рисунке 9 представлен контур системы регулирования.
14
Рисунок 9 – Контур системы регулирования
С учетом этого была выполнена настройка ПИ-регуляторов, результат
представлен на рисунке 9.
Рисунок 9 – Результат настройки регуляторов
15
С выполненной настройкой проверяем реакцию системы на воздействие
Hзад. Результат представлен на рисунке 10.
Рисунок 10 – Реакция системы на изменение Hзад
Далее проверяем реакцию системы на изменение Θ1зад. Результат
представлен на рисунке 11.
16
Рисунок 11 – Реакция системы на изменение G1
На рисунке 12 представлена реакция система на одновременное задание
уровня и температуры.
Рисунок 12 – Реакция системы на задание уровня и температуры
17
На основе представленных рисунков можно сделать вывод что
полученные настройки регуляторов являются удовлетворительными
18
ВЫВОД
В ходе курсового проекта выполнено построение модели объекта,
получение реакции системы на u1, u2, u3, f1 и f2 (20% от номинальных
значений). Разработка и моделирование возможного варианта системы
управления температурой Θ1 и уровнем H.
Для достижения заданной цели в ходе работы были выполнены
следующие задачи:
разработка математической модели;
разработка структурной схемы модели объекта;
анализ модели объекта по каналам управления и возмущения;
разработка структуры системы управления;
параметрический синтез регулятора.
19
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.
Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического
управления/ В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. – Изд. 4-е, перераб. и доп. – СПб,
Изд-во «Профессия», 2003. – 752 с. – (Серия: Специалист)
2.
Simulink
Documentation
https://www.mathworks.com/help/simulink/ (дата обращения 25.12.2023)
20
URL:
