Основная волна 2024 10 53 48gii

o
v
o
k
l
o
k
sh
o
k
l
o
v
%bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7%
e
lk
e
n
o
n
i
k
l
k
li
h
n
h
n
s
s ЕГЭ 2024 .o
o
.
Решения
задач
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
l
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
Содержание
n
h
s
o
s
o
.
.
o
o
v
v
o
Часть 1 . . . . .k . . . . . . . . . . . .e . . . . . . . . . . . l.ko
. . . . . . . .
2 e
e
l
n
o
n
o . . . . . . . . . .li. . . . . . . . . . . h.k. . . . . . . . . . n12lin
i
№13. Уравнение
k
l
n
s
o
sh
on
№14. Стереометрия . . . . . .o..o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .o.. 16
v
v
№15.eНеравенство . . . .ko. . . . . . . . . . . e
. . . . . . . . . . . . l.ko. . . 17
n Экономическая .ko. l. . . . . . . . . . .li.n. . . . . . . . . . h.ko. . . . . 21 n
i
№16.
l
n№17. Планиметрия s.h. . . . . . . . . . ..o.n. . . . . . . . . . . s. . . . . . . 25 .o
o
.
o
o
o
v
v
v
o
o №18. Параметр
. . . . . . . . . . .ko. . . . . . . . . . . e. . . . . . . . . . . l27
k
k
e
l
l
n
o
n
o
i
№19. Олимпиадная
. . . . . . .ko. . . . . . . . . . . .li. . . . . . . . . . .h.k 37
l
n
h
n
s
s
o
o
.
.
o
o
v
v
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
h
n
h
n
h
s
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
k
e
e
l
lk
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
.
.
.o
o
v
vo
o
o
k
e
l
e
lk
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
.
o
o
o
v
v
v
o
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
ko
n
n
sh
sh
o
o
.
.
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
n
n
sh
sh
o
sh
o
.
.
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
1
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o
o
v
o
k
l
o
k
sh
o
k
l
o
v
e
lk
e
n
o
n
i
k
l
k
li
h
n
h
n
s
s
o
o
.
.
Часть 1
o
v
vo
o
o
k
e
e
l
lk восток)
№1.1 (Дальний
n
n
o
i
o
l равен 52 .
k равен 56 , угол CAD
li в окружность. УголshABD
k
Четырехугольник
ABCD вписан
n
n
h
o
s
o
.
.
Найдите угол ABC. Ответ дайте
в
градусах.
o
v
vo
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
l
k
li
ko
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
o
v
vo
o
o
k
k
e
l
e
l
n
o
n
o
i
k
l
k
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
.
o
o
o
v
v
v
o
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
Ответ
h
n
h
n
s
s
o
o
108
.
o
o.
v
v
o
Решение
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
h
n
h
n
h
∠ABC
=
∠ABD
+
∠DBC
=
∠ABD
+
∠CAD
=
56
+
52
=
108
s
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
k
e
e
l
lk
n
n
o
i
o
l
k
li
k
№1.2 h
(Дальний
восток)
n
h
n
s
s
.o периметр
В четырёхугольник ABCD.o
вписана окружность, AB = 13, CD = 9. Найдите
o
o
v
четырёхугольника ABCD.ov
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
.
.
.o
o
v
vo
o
o
k
e
l
e
lk
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
.
o
o
o
v
v
v
o
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
ko
n
n
sh
sh
o
o
.
.
o
o
Ответ
v
v
o
k
44lko
e
e
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
n
n
sh
sh
o
sh Решение
o
.
.
o
o
v
v
AD + BC = AB + CD
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
AD
+
BC
=
22
n
o
i
o
l
k
li P = 44
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
2
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o
◦
%bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7%
◦
◦
◦
◦
o
v
o
k
l
o
k
sh
o
k
l
o
v
e
lk
e
n
o
n
i
k
l
k
li
h
n
h
n
s
s
o
o
.
.
o
v
vo
o
o
k
e
e
l
lk восток)
n
№1.3 (Дальний
n
o
i
o
l равен 60 .
k равен 47 , угол ABC
li в окружность. УголshABD
k
n
n
h
Четырехугольник
ABCD
вписан
o
s
o
.
.
o
Найдите угол CAD. Ответ дайте
в
градусах.
v
vo
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
l
k
li
ko
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
o
v
vo
o
o
k
k
e
l
e
l
n
o
n
o
i
k
l
k
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
.
o
o
o
v
v
v
o
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
Ответ
h
n
h
n
s
s
o
o
.
13
o
o.
v
v
o
o
Решение
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
h
n
h
n
h
s
∠CAD
s
.o = ∠CBD = ∠ABC s− ∠ABD = 60 − 47vo=.o13 .
o
v
o
o
k
e
k
e
l
l
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
№2.1 h
(Дальний
восток)
h
n
s ⃗a − 12⃗b.
s
.o
.o−1). Найдите длину вектора
Даны векторы ⃗a(17; 0) и ⃗b(1;
o
o
v
v
o
o
k
Ответ
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li 13
n
h
n
h
n
s
o
s
o
.
.
Решение
.o
o
v равна
voвектора ⃗a − 12⃗b равны (5; 12). Значит, его длина
⃗a(17; 0) и ⃗b(1; −1). Тогда координаты
o
o
k
e
l
e
lk √
n
o
n
o
√
i
i
k
k⃗a − 12⃗b = 5 + 12 =nl13 = 13.
l
n
h
h
n
s
o
s
o
o
.
.
.
o
o
o
v
v
v
o
o
o №2.2 (Дальний восток)
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n⃗a = (1; 2), ⃗b = (3; −6) иk⃗co= (4; −3). Найдите значение
i
i
k
l
l
⃗
ko
Даны векторы
выражения
(⃗
a
+
b)
·
h ⃗c.
n
h
n
s
s
o
o
.
.
o
Ответ o
v
v
o
28 ko
k
e
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
Решение
n
nтогда ⃗a + ⃗b = (1 + 3; 2 −sh6) = (4; −4).
sh
o
sh ⃗a = (1; 2), ⃗b = (3; −6),
o
.
.
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
(⃗a + ⃗n
b)e= (4; −4), ⃗c = (4; −3), ol
n
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
3
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o
◦
%bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7%
◦
2
2
2
◦
◦
◦
o
v
o
k
l
o
k
sh
o
k
l
o
v
e
lk
e
n
o
n
i
k
l
k
li
h
n
h
n
s
s
o
o
.
.
значит
o
vo (⃗a + ⃗b) · ⃗c = 4 · 4 + (−4) · (−3) = 16 + 12ko=v28.
o
e
e
l
lk
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
o
s (Дальний восток) .o
№3.1
.
o
v6, BC = 5, AA = 4.
vo
В прямоугольном параллелепипеде
ABCDA B C D известно, что AB =
o
o
k
e
k
e
e
l
Найдите объем многогранника,
вершинами которого
являются точки o
A,l B, C, D, A , B .
n
n
n
i
l
k
li
ko
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
o
v
vo
o
o
k
k
e
l
e
l
n
o
n
o
i
k
l
k
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
.
o
o
o
v
v
v
o
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
h
n
h
n
s
s
o
o
.
Ответo.
o
v
v
o
60ko
k
k
e
l
e
l
l
n
o
n
o
i
oРешение
i
k
l
k
l
k
h
n
h
n
h
s
s
s Искомый объем равен
параллелепипеда
.o ABCDA B C D ,
.o половине объема прямоугольного
o
o
v
следовательно, онvравен
o
o
k
e
e
l
lk
n
n
o
i
o
1 li
1
l
k
V = n
· AB · BC · AA = · 6 · h
5k
· 4 = 60.
n
h
2 s
s
.o
.o2
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
e
№3.2 (Дальний восток)
l
n
n
o
n
i
o
k = 9, BC = 7, AA =n6.l
li B C D известно, что
kпараллелепипеде ABCDA
li В прямоугольном
AB
h
n
h
n
s
o
s
o
.
.
вершинами
которого являются точки A, B, C, B .
.o Найдите объем многогранника,
o
v
vo
o
o
k
e
l
e
lk
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
.
o
o
o
v
v
v
o
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
ko
n
n
sh
sh
o
o
.
.
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
Ответ
n
n
sh
sh
o
sh 63
o
.
.
o
o
v
v
o
Решение ko
k
e
e
l
e
l
n
n
o
i
o
Многогранник,
объем которого необходимо
найти, является
l выk треугольной пирамидой,
li
k
n
h
n
h
сота которой
s равна BB , а основание
.o ABC.
.o представляет собойs прямоугольный треугольник
o
o
v
v
o
o
4
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o
1
1
1
1
1
1
1
1
1
%bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7%
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
o
v
o
k
l
o
k
sh
o
k
l
o
v
e
lk
e
n
o
n
i
k
l
k
li
h
n
h
n
s
s
o
o
.
.
Следовательно, этот
объем
равен
o
v
vo
o
o
k
e
e
1
1
1l
lk V = 1 · BB
n
n
o
·
·
AB
·
BC
=
·
6
·
·
9
·
7
=
63.
i
o
l
k
3 li
2
3 hk 2
n
n
h
s
o
s
o
.
.
o
v
vo
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
№4.1
(Дальний
восток)
n
i
l
k вопрос по теме «Меli в 15 из них встречается
ko по физике всего 25 билетов,
li В сборнике билетов
n
h
n
h
n
o ханика». Найдитеs вероятность того, чтоo.oв случайно выбранном наsэкзамене билете школьнику
.o
o
v
v
o
o
не достанется
вопроса
по
теме
«Механика».
k
k
e
l
e
l
n
o
n
o
i
k
l
k
li
Ответ
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
0,4
.
.
o
o
o
v
v
v
o
o
o Решение e
k
k
e
l
k
l
l
o
n количество билетовkoи количество билетовliпоn теме «Механика», hзначит,
Мы знаем общее
o
i
k
l
n
s
можем найти
количество билетов НЕsh
по теме «Механика»: on
o
.
.
o
o
v
v
o
o
25 − 15 = 10.k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
h
n
h
n
h
Нас
устроит
любой
попавшийся
билет
из
этих
10:
s
s
s
.o
.o
o
o
v P (Билет НЕ по теме «Механика») = 10 =ko2 v= 0,4.
o
e
e
25ol 5
lk
n
n
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
№5.1 (Дальний восток)
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
Помещение освещается
фонарём с тремя lлампами.
Вероятность перегорания
одной лампыl
i
k
k
li в течение
nне
h
n
h
n
года равна
0,9. Найдите вероятность
того, что в течение sгода хотя бы одна лампа
o
s
o
o
.
.
o
o.
перегорит.
v
v
o
o
k
k
e
l
e
l
Ответ
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
0,271
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
. Решение
o
o
o
v
v
v
o то есть что все eлампы перегорят: lko
o Найдём вероятность
противоположного события,
k
k
e
l
l
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
ko
n
sh
0,9
sh· 0,9 · 0,9 = 0,729. .on
o
.
o
o
v
v
o
o искомая вероятностьeравна
Тогда
k
e
k
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
n
n
1 − 0,729 s=h0,271.
sh
o
sh
o
.
.
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
5
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o
1
%bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7%
B1 ABC
o
v
o
k
l
o
k
sh
o
k
l
o
v
e
lk
e
n
o
n
i
k
l
k
li
h
n
h
n
s
s
o
.o
№6.1 (Дальнийo.восток)
o
v
v уравнения √4x − 23 = 3.
o
Найдите корень
o
k
e
k
e
l
l
n
n
o
i
o
l
Ответk
k
li
n
h
n
h
s
o
o
8 s
.
.
o
v
vo
Решение
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
l
k
l−i 23 = 9
ko
li
4x
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
4x
=
32
o
v
vo x = 8
o
o
k
k
e
l
e
l
n
o
n
o
i
k
l
k
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
.
o
o
o №6.2 (Дальний восток) v
v
v
o
o
o Найдите кореньeуравнения 1 = 81.
k
k
e
l
k
l
l
n
o
n
o
3
i
o
i
k
l
k
l
h
n
h
Ответ on
s
s
o
.
.
o
0,4 o
v
v
o
o
k
k
e
l
k
e
l
Решение
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
h
n
h
n
h
s
s=3
s
3
.o
.o
o
o
v
v
−5x + 6 = 4
o
o
k
e
e
l
lk
n
n
x
=
0,4
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
№7.1 (Дальний восток)
o
o
k
e
k
√
l
23π e√
23π
e
l
n
n
o
Найдите
значение
выражения
4
−
4
.
3
cos
3
sin
n
i
o
l
k
k
li
12li
12
n
h
n
h
n
s
o
s
o
Ответ
.
.
.o
o
v
6
vo
o
o
k
e
l
e
lk
Решение
n
o
n
o
i
i
k
k угла cos 2x = cos xn−l sin x. Тогда
lформуле косинуса двойного
n
h
h
По
n
s
o
s
o
o
.
.
.
o
o
√
o
v
v
√
√
√
√
√
v
23π
23π
23π
π
3
o
o
4 3 cos e
− 4 3 sin
= 4 k3ocos
= 4 3 cos = e4 3 ·
= 6.
k
l
k
l
l
12
12
6
6
2
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
ko
n
n
sh
sh
o
o
.
.
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
n
n
sh
sh
o
sh
o
.
.
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
6
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o
5x−6
4
%bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7%
−5x+6
2
2
2
2
2
2
o
v
o
k
l
o
k
sh
o
k
l
o
v
e
lk
e
n
o
n
i
k
l
k
li
h
n
h
n
s
s
o
.o
№8.1 (Дальнийo.восток)
o
vточки −4; −2; 2; 5. В какой
v
o
На рисунке oизображен график функции y = f (x) и отмечены
k
e
l эту точку. ine
lkзначение производнойinнаибольшее?
o
из этих точек
В ответеkукажите
o
l
l
k
n
h
n
h
s
o
s
o
.
.
o
v
vo
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
l
k
li
ko
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
o
v
vo
o
o
k
k
e
l
e
l
n
o
n
o
i
k
l
k
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
.
o
o
o Ответ
v
v
v
o
o
o 5
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
k
l
Решение li
k
h убыn
h производная положительна,
n
s
s
o
o
На промежутках
возрастания
функции
на
промежутках
.
o производной в точках на проo.
v
вания —vотрицательна, следовательно, нужно сравнитьoзначение
o возрастания — в точках
k
k
e
l
k
e
l
межутках
x
=
−4
и
x
=
5.
l
n
o
oкоэффициенту касательной,
i проведенной к hk
oЗначение производнойliвnx = x равно угловому
l
k
k
n
h
n
s
s положительных значений
o
shграфику функции в точке
o
.
.
x
,
следовательно,
среди
оно
больше
в
той
o
o касательной больше. Если провести касательные
v
v
точке, где угол наклона
к данному графику в
o
o
k
e
k
e
l
l
n
точках x = −4
и x = 5, то угол наклона
касательной
в
точке
x
=
5
будет
больше,
следовательно,
n
o
i
o
l
li будет больше. shk
kпроизводной в этой точке
n
n
h
и значение
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
№9.1 (Дальний восток)
k
e
k со скоростью v =n30e м/с, начал торможение
l
e
l
n
o
n
Автомобиль,
движущийся
с
постоянным
ускоi
o
l
k
li
k
li
n
h
at
n
h
n
s путь S = v t − 2 .o(м).
o
a = 4 м/cs. За t секунд после начала
торможения он прошёл
.
.o рением
o начала торможения, если известно, что за oэтоvoвремя
Определите время, прошедшее с момента
v
o дайте в секундах. e
k
k
l
e
автомобиль
проехал 112 метров. Ответ
l
n
o
n
o
k
li
k
li
n
h
n
h
Ответ
n
s
o
s
o
o
.
.
.7
o
o
o
v
v
v
o
o
o Решение e
k
k
e
l
k
l
l
n автомобиль пройдёт
o
n время t, прошедшееkотo момента начала торможения,
i
i
k
l
Найдём, за какое
l
ko
h
n
n
s
sh
o
112 метров: .o
.
o t = 7,
o
v
v
o0 ⇒ 
o
30t − 2t =
112 ⇒ t − 15t + 56
=
k
e
k
e
l
l
n
o
t
=
8.
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
on он пройдёт через sh
sh Так как через t = 15.on= 7,5 секунд автомобильshостановится, то 112oметров
.
o2
v
v
o
7 секунд после начала
торможения.
o
k
e
e
l
e
lk
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
7
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o
0
%bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7%
0
0
2
2
0
2
2
o
v
o
k
l
o
k
sh
o
k
l
o
v
e
lk
e
n
o
n
i
k
l
k
li
h
n
h
n
s
s
o
o
.
.
№10.1 (Дальний
восток)
o
v тот же забор — за 36 часов.
vo
o
Один малярoможет покрасить забор за 45 часов, а второй маляр
k
e
e
l
lk
n
o
За сколько oчасов маляры покрасятin
такой же забор, работая
вместе?
i
l
k
l
k
n
h
n
h
s
o
s
o
Ответ
.
.
o
v
20
vo
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
Решение
n
o
n
i
l
ko красит 1 забора,nаliвторой маляр краситsh1k забора.
li За час первыйshмаляр
n
n
45
36
o
.o
.o
o
1 o 1
1
v
+ v=
забора.
Вместе за час они красят
o
o
45 k36
20
k
e 1 : 1 = 20 часов.ol
e
l
n
n
o
Таким
образом,
для
покраски
забора
малярам
понадобится
i
k
l
k
li
20
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
.
o
o
o №11.1 (Дальний восток)
v
v
v
o f (x) = a . Найдитеe значение f (−2). lko
o На рисунке изображён
график функцииkвида
k
e
l
l
n
o
n
oy
i
o
i
k
l
k
l
h
n
h
n
s
s
o
o
.
o
o.
v
v
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
h
n
h
n
h
s
1 s
s
.o
.o
o
o
v
x
v
0 1
o
o
k
e
e
l
lk
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li Ответ
n
h
n
h
n
s
o
s
o
.
.
.o
o
16
v
vo
o
o
k
Решение
e
l
e
lk
n
o
n
o
i
i
k проходит
l точку (−1; 4), через которую
k в уравнение функции
Найдем
l основание a, подставив
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
график:
.
.
o
o
o
1
v
v
v
f
(−1)
=
4
⇔
a
=
4
⇔
a
=
o
o
o
k
4 e
k
l
k
e
l
l
o
n
o оно имеет вид lin
i
Значит, мы восстановили
уравнение функции,
k
k
l
ko
n
n
sh
sh
o
o
.
.
1
o
o
f (x) =
v
v
o
4
o
k
e
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
Тогда имеем:
n
h
s
n
sh
o
sh
o
1
.
.
f (−2) =
= 16
o
o
v
4
v
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
8
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o
%bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7%
x
−1
x
−2
o
v
o
k
l
o
k
sh
o
k
l
o
v
%bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7%
e
lk
e
n
o
n
i
k
l
k
li
h
n
h
n
s
s
o
o
.
.
№11.2 (Дальний
восток)
o
v значение x, при котором
vo
o
На рисунке oизображён график функции f (x) = kx + b. Найдите
k
e
e
l
lk
n
n
o
выполнено o
f (x) = −13,5.
i
l
k
li
k
n
h
n
h
s
o
s
o
y
.
.
o
v
vo
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
l
k
li
ko
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
o
1
v
vo
o
o
k
x
k
0 1
e
l
e
l
n
o
n
o
i
k
l
k
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
.
o
o
o
v
v
v
o
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
n
n
sh
sh
o
Ответ .o
.
o
o
v
−7 v
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
oРешение
i
k
l
k
l
k
h
n
h
n
h
Определим
коэффициенты
k
и
b.
Найдём
k
как
тангенс
угла
наклона
прямой:
s
s
s
.o
.o
o
o
v
v
∆y
4 − (−3)
7
o
o
k
=
=
=
=
1,75
k
e
e
l
lk
∆x
3 − (−1)
4
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s найти b, подставим одну
Чтобы
с уже найденным
o из точек прямой в уравнение
.o коэффици.
o
o
v
ентом k. Подставим точку (3;
v 4) :
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
k4 = 1,75 · 3 + b ⇔ n4l=i 5,25 + b ⇔ b = s−1,25
li
n
h
h
n
o
s
o
.
.
.o
o
Значит, функция имеет вид
v
vo
o
o
k
l
e
lk f (x) = 1,75x − 1,25ine
o
n
o
i
k
l
l уравнение на x : shk
n
h
n
Имеем
n
s
o
o
o
.
.
.
o
o
o
v
v
v
o
f (x) = −13,5 ⇔ 1,75x − 1,25 = −13,5
o ⇔ 7x − 5 = −54e ⇔ x = −7
o
k
k
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
ko
n
n
sh
sh
o
o
.
.
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
n
n
sh
sh
o
sh
o
.
.
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
9
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o
o
v
o
k
l
o
k
sh
o
k
l
o
v
e
lk
e
n
o
n
i
k
l
k
li
h
n
h
n
s
s
o
o
.
.
№11.3 (Дальний
восток)
o
v значение f (2).
vo
o
На рисунке o
изображён график функции вида f (x) = a . Найдите
k
e
e
l
lk
n
n
o
i
o
l
k
y
li
k
n
h
n
h
s
o
s
o
.
.
o
v
vo
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
l
k
li
ko
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
1
o
v
vo 0 1
o
o
x
k
k
e
l
e
l
n
o
n
o
i
k
l
k
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
.
o
o
o
v
v
v
o
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
Ответ
l
h
n
h
n
s
s
o
o
25
.
.
o
o
v
v
Решение
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n в уравнение функции
o точку (1; 5), черезli которую проходит hk
oНайдем основание a, подставив
i
k
l
k
n
h
n
s
s
o
shграфик:
o
.
.
f (1) = 5
o
o
v
v
o
o
a =5
k
e
k
e
l
l
n
n
o
i
o
l
k
li
k
a=5
n
h
n
h
s
s
.o
.o функцию, она имеет вид
Значит, мы восстановили o
нашу
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
f (x)in
=5 .
o
n
i
o
l
k
l
k
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
.
.
.o
Тогда
o
v
vof (2) = 5 = 25.
o
o
k
e
l
e
lk
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
. №12.1 (Дальний восток)
o
o
o
v
v
v
o
o+ 24x − 2 · x .
o Найдите точку максимума
k
k
e
l
k
функции y = l15
e
l
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
ko
Ответ
n
h
n
sh
s
o
o
.
.
64
o
o
v
v
o
o
Решение
k
e
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
n
n
sh
sh3√x
o
sh
o
y = 24 −
.
.
o
o
v
v
o
o
Тогда решим уравнение
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
i
o
k y = 0 ⇒ 24n−li3√x = 0 ⇒ √x =sh8k ⇒ x = 64. onl
h
s
.
.o
o
o
v
v
o
o
10
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o
x
%bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7%
1
x
2
3
2
′
′
o
v
o
k
l
o
k
sh
o
k
l
o
v
e
lk
e
n
o
n
i
k
l
k
li
h
n
h
n
s
s
o
o
.
.
o
v
vo
o
o
k
e
l
lk восток) ine
n
№12.2 (Дальний
o
i
o
l
l y = ln(x − 9) − s10xhk+ 12.
k точку максимума функции
n
n
h
Найдите
o
s
o
.
.
o
Ответ
v
vo
o
o
k
e
k
e
9,1
l
e
l
n
n
o
n
i
l
k
li
li Решение shko
n
h
n
n
s далее будем рассматривать
o
o
o
.
.
Заметим, что данная функция определена
при
x
>
9,
поэтому
o
v
vo
o
o
ее на промежутке (9; +∞).
k
k
e
l
e
l
n
o
n
Вычислим
производную:
o
i
k
k
li
1 nl
n
h
h
n
s
−
10
f
(x)
=
o
s
o
o
.
.
x−
9
.
o
o
o Далее найдем нули производной:
v
v
v
o
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o1
i
o
i
k
l
k
l
h
h x − 9 − 10 = 0 ⇒.onx = 9,1
f (x) = 0 ⇒
n
s
s
o
.
o
o
v
v
o
Единственная
критическая
точка
—
это
x
=
9,1,
в
этой
точке производная меняет знак.
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n является ли x = 9,1 kточкой
o максимума, нужноli определить знаки hk
Для
o того чтобы определить,
i
l
k
n
h
s
s
o
shпроизводной при x <.o9,1nи x > 9,1.
.
o x = 9,1 является точкой
Если x > 9,1, тоof (x) < 0, если x < 9,1, то f (x) > 0. Значит, точка
v
v
o
максимума, такko
меняет знак с «+» на «−»
k при проходе слева направо.
e
e
l
l как в ней производная
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
.
.
.o
o
v
vo
o
o
k
e
l
e
lk
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
.
o
o
o
v
v
v
o
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
ko
n
n
sh
sh
o
o
.
.
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
n
n
sh
sh
o
sh
o
.
.
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
11
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o
′
′
′
%bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7%
′
o
v
o
k
l
o
k
sh
o
k
l
o
v
%bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7%
e
lk
e
n
o
n
i
k
l
k
li
h
n
h
n
s
s
o
o
.
.
№13. Уравнение
o
v
vo
o
o
k
e
l
lk восток) ine
№13.1 (Дальний
n
o
i
o
l
k l − π) = 0.
k уравнение sin 2x −nsin(x
a) Решите
n
h
h
s
o
s
o
.
7π
.
o
б) Укажите корни этого o
vуравнения, принадлежащие отрезку 2 ; 5π k.ov
o
e
k
e
l
e
l
Ответ
n
n
o
n
i
l
k
li
kok ∈ Z
li а) πk; ± 2π +s2πk,
n
h
n
h
n
s
o
o
o
.
3
.
o
v
14π
vo
o
б) 4π;
; 5π.
o
k
k
e
3
l
e
l
n
o
n
o
i
Решение
k
l
k
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
а)
o
.
.
.
o
o − π) = 0
o
v
sin 2x − sin(x
v
v
o
ox + sin x = 0
o
k
k
e
l
k
e
l
2
sin
x
cos
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
h
h x(2 cos x + 1) = 0 .on
sin
n
s
s
o
o
o.
sin x = 0
v
v

o
o
k

e
l
k
e
1lk
l
n
o
n
cos x = k
−o
i
o
i
k
l
l
k
2
h

n
h
n
h
s
s
s
.o
.o
x = πk, k ∈ Z
o

o
v
v

o
2π
o
k
e
x
=
±
+
2πk,
k
∈
Z
e
l
lk
n
3
n
o
i
o
k Для этого отметим наnl ней дугу,
li
k корни на тригонометрической
h
n
h
б) Отберем
окружности.
s
s
o
.o
.
7π
o
o
соответствующую отрезку v ; 5π , концы этой дуги и лежащие на ней точки
v серий из пункта
2
o
o
k
e
k
e
l
e
l
а).
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
14π o
o
s
.
.
.o
o
v
v3o
o
o
k
e
l
e
lk
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
n
h
n
h
n
s
o
s
o
5π
4π
o
.
.
.
o
o
o
v
v
v
o
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
ko
n
n
sh
sh
o
o
.
.
o
7π
o
v
v
o
o
2
k
e
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
7π
14π
n 2 ; 5π лежат точки
sh
sh 4π; 3 ; 5π. .on
sh Следовательно, на .отрезке
o
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
12
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o
o
v
o
k
l
o
k
sh
o
k
l
o
v
e
lk
e
n
o
n
i
k
l
k
li
h
n
h
n
s
s
o
o
.
.
№13.2 (Дальний
восток)
o
vo 2 sin x + 3√3 sin π + x + 4 = 0. kov
a) Решите уравнение
o
e
e
2
l
lk корни этого уравнения,
n
n
o
б) Укажите
принадлежащие
отрезку
[?;
?]
.
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
o
s
o
Ответ
.
.
o
o
5π
v
+ 2πk, k ∈ Z ov
а) ±
o
k
e
6
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
l
k
li
ko
li Решение
n
h
n
h
n
s
o
а)
s
o
o
.
π
.
√
o
2 sin xvo
+ 3 3 sin
+x +4=0
v
o
2
o
k
k
e
l
e
√
l
n
o
n
o
i
3
cos
x
+
4
=
0
2
−
2
cos
x
+
3
k
l
k
li
n
h
√
n
h
n
s
o
s 2 cos x − 3 3 cos.ox − 6 = 0
o
.
.
o
o
√ vo
√ v
v
o
2 cos x + 3 o cos x − 2 3 = 0
o
k
k
e
l
k
e
l

√
l
n
o
n
ocos x = − 3
i
o
i
k
l
k
l
h
n
h 
n
s
s
2
o
o
.
√
o
o.
cos x = 2 3
v
v
o
o
k
k
e
l
k
e
5π
l
l
n
o
n
x=±
+ 2πk,o k ∈ Z
i
o
i
k
l
k
l
6
k
h
n
h
n
h
s
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
k
e
e
l
lk
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
.
.
.o
o
v
vo
o
o
k
e
l
e
lk
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
.
o
o
o
v
v
v
o
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
ko
n
n
sh
sh
o
o
.
.
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
n
n
sh
sh
o
sh
o
.
.
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
13
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o
2
2
2
%bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7%
2
o
v
o
k
l
o
k
sh
o
k
l
o
v
%bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7%
e
lk
e
n
o
n
i
k
l
k
li
h
n
h
n
s
s
o
o
.
.
№13.3 (Дальний
восток)
o
v
vo cos π + 2x = √2 sin x.
o
а) Решите уравнение
o
k
e
e
2
l
lk
n
n
o
i
o
k −3π; − 3π2 . nl
li принадлежащиеsотрезку
k корни этого уравнения,
б) Укажите
h
n
h
o
s
o
.
.
o
o
Ответ
v
v
o
o
3π
k
e
e
l
e
а) πk; ±
+ 2πk, klk∈ Z
n
n
o
n
i
o
4
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
o
s 11π .
o
o
.
.
б) −3π; −2π; −
o
o
4
v
v
o
o
Решение
k
e
l
e
lk
n
o
o
i
а)lin
k
k
√ nl
n
h
h
n
s
2
sin
x
−
sin
2x
=
o
s
o
o
.
.
.
o
o
√
o
v
v
v
−2 sin x cos
o
o x =√ 2 sin x
o
k
k
e
l
k
e
l
l
o
n
−2 sin xocos x − 2 sin x = 0 lin
o
i
k
k
l
√
h
n
h
n
s
−ssin x(2 cos x + 2) = 0 .o
o

o
o.
v
v
sin
x
=
0
o
o
k

e
l
k
e
√lk
l

n
o
n
o2
i
o
i
k
l
k
l
k
cos
x
=
−
h
n
h
n
h
s
2
s
o
s

.
.o
o
o
x = πk, k ∈ Z
v
v

o
o

k
e
e
3π
l
lk
n
n
x
=
±
+
2πk,
k
∈
Z
o
i
o
l
k
li 4
k
n
h
n
h
s
s корни на тригонометрической
o .oна ней дугу,
б) Отберем
окружности. Для этого отметим
o.
o
3π
v точки серий из
o
соответствующую отрезкуov−3π; −
, концы этой дуги и лежащие на ней
k
e
k
2
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li пункта а).
n
h
n
h
n
s
o
s
o
.
.
.o
3π
o
v
vo − 2
o
o
k
e
l
e
lk
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
.
o
o
o
v
v
−3π
−2π
v
o
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
ko
n
n
sh
sh
o
o
.
.
o
o
11π
v
v
−
o
o
4
k
e
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
h
n
h
n s
s
3π
11π
o
sh Следовательно, на .отрезке
o
.
−3π; −
лежат точки −3π; −2π; − o .
o
2
v4
v
o
o
k
e
e
l
e
lk
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
14
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o
o
v
o
k
l
o
k
sh
o
k
l
o
v
e
lk
e
n
o
n
i
k
l
k
li
h
n
h
n
s
s
o
o
.
.
№13.4 (Дальний
восток)
o
v
vo sin 2x + 2 sin x = 0.
o
а) Решите уравнение
o
k
e
e
l
lk все его корни, принадлежащие
n
n
o
.
б) Найдите
отрезку
−2π;
−
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
o
s
o
Ответ
.
.
o
o
π
v
а) πk; − + πk, k ∈ Z ov
o
k
e
4
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
l
k
li
ko
li б) −π; − 5π ; −2π
n
h
n
h
n
s
o
o
4 s
o
.
.
o
Решение
v
vo
o
o
k
k
e
a)
l
e
l
n
o
n
o
i
k
sin 2x + 2 sin x =l 0
k
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
2 sin x cos x + 2.sin
x=0
.
o
o
o
v
v
v
o
2 sin x(cosox + sin x) = 0
o
k
k
e
l
k
e

l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
2 sinkx = 0,
l
h
 h
n
⇔ on
s
s
o
.
cos x + sin x = 0
o
o.

v
v
o
o
k
k
e
sin x = 0,e
l
k
l
l

n
o
⇔
⇔
n− cos x, | : cos x(т.к. coskxo= 0 не явл. решением)li
o
i
k
l
k
sin
x
=
h
n
h
n
h
s
s
.o x = πk, k ∈ Z, s x = πk, k ∈ Z,vo.o
o
v ⇔ 
⇔ 
o
π
o
e
k
x = − +lkπk, k ∈ Z
tg x = −1e
l
n
n
o
4
i
o
i
k
l
k
l
n
h
n
h
б) Отберём
на промежутке
−2π;
−
.
s
o
s корни с помощью.oтригонометрической окружности
.
o
o
v
v
o
o
3π
k
e
k
e
l
−
e
l
n
n
o
2
n
i
o
5π
i
l
k
l
k
li
−
n
h
n
h
n
4
s
o
s
o
.
.
.o
o
v
vo
o
o
k
e
l
e
lk
−π
−2π
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
.
o
o
o
v
v
v
o
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o− π
i
i
k
l
k
l
ko
n
n
sh
sh 2
o
o
.
.
o
o
v
i
h
v
5π
π
o
o
Следовательно,
на отрезкеe −2π; −
лежат точкиlk−π; −2π; − .
e
k
l
2
4
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
n
n
sh
sh
o
sh
o
.
.
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
15
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o
2
π
2
2
%bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7%
2
π
2
o
v
o
k
l
o
k
sh
o
k
l
o
v
e
lk
e
n
o
n
i
k
l
k
li
h
n
h
n
s
s
o
o
.
.
№14. Стереометрия
o
v
vo
o
o
k
e
l
lk восток) ine
№14.1 (Дальний
n
o
i
o
l
k
l SABC стороныshоснования
k
В правильной
треугольной пирамиде
ABC равны n
12, а боковые
n
h
oИзвестно, что
s
o
.
.
рёбра — 25. На рёбрах AB, AC,
и
SA
отмечены
точки
F,
E
и
K
соответственно.
o
v
vo
o
AE = AF = 10, AK = 15.o
k
e
k
e
l
e
l
5
n
n
o
n
i
k пирамиды SABC. nl
li составляет 12 от объёма
koобъём пирамиды KAEF
li a) Докажите,sчто
h
n
h
n
s
o
o
o
б) Найдите площадь сечения пирамиды
плоскостью KEF.
.
.
o
v
vo
o
Ответ
o
k
√
e
l
e57
lk
n
o
б) i10
n
o
i
k
l
k
l
n
h
n
h
n
s
o
s
Решение
o
o
.
.
.
o
o и F E = 10. Заметим, что
o a) △ABC ∼ △AEF, тогда AEF равносторонний
v
v
v
o
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
FE
5o
S
25
i
o
i
k
l
k
l
=
⇒
=
.
h
n
BCsh 6
S
36 on
s
o
.
o
o. ∼ △ASH, следовательно,
v
v
△AKK
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
i
o
15ko 3
KK
i
k
l
l
k
=
=
.
h
n
h
n
h
s
SH s25
5
s
.o
.o
o
o
v
v
Тогда
o
o
k
e
1
e
l
lk
n
S
· KK
n
o
i
o
V
5
i =3
l
l
k
=hk .
n
n
h
1
12
s
S
· SH s
.o
.oV
o
3
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
.
.
.o
o
v
vo
o
o
k
e
l
e
lk
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
.
o
o
o
v
v
v
o
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
ko
n
n
sh
sh
o
o
.
.
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
n
n
sh
sh
o
sh
o
.
.
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
1
n
o
i
o
i
l
k
AC
l
k
6
n
h
2
n
h
s
б) Найдём
s cos ∠KAE = AS .o= 25 .
.o
o
o
v
v
o
o
16
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o
AEF
ABC
1
1
AEF
%bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7%
KAEF
SABC
ABC
1
o
v
o
k
l
o
k
sh
o
k
l
o
v
e
lk
e
n
o
n
i
k
l
k
li
h
n
h
n
s
s 253 ⇒ KE = √253..o
o
.
По теореме косинусов
для
△AKE
:
KE
=
o
o
√
v
v
Так как △KAE
o = △KAF, то KF e= KE = 253. AE = 10lkизoпункта а).
e
k
l
n
n
o
Пусть Po— середина EF. Тогда iEP
= P F = 5.
i
l √
k
l
k
√
1
n
h
n
h
= KP
Найдём
из △KP E: KP = 2s 57. Тогда S
o·F E = 10 57.
s KP по теореме Пифагора
o
.
.
2
o
v
vo
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
l
k
li
ko
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o №15. Неравенство
.
.
o
v
vo
o
o
k
k
e
l
e
№15.1
(Дальний восток) ol
n
o
n
i
k
l
li неравенство: shk
n
h
Решите
n
n
s
o
o
.
49 − 6 · 7 + 3 6 · 7.o− 39
.
o
+ o
⩽ 7 + 5.
o
v
v
7 −5
7 −7
v
o
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
Ответ
n
o
i
o
i
k
l
k
l
h
n
h
n
(−∞; 0] ∪ (log
5; 1)
s
s
o
o
.
o
o.
Решение
v
v
o
o t = 7 . Неравенствоeпримет вид:
k
k
e
l
k
Пусть
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
h
n
h
n
h
s
t
−
6t
+
3
6t
−
39
s
o ⩽t+5
s
+.
.o
o
o
−7
v (t − 6t + 3)(t − 7) + (6t − 39)(t − 5) −t −(tk5+ov5)(t −t 5)(t
o
− 7)
k
e
l
⩽ 0 ne
l
n
o
(t
−
5)(t
−
7)
i
o
i
l
k
l
k
n
h
s − t + 7t + 25t − 175.o⩽ 0
sht − 7t − 6t + 42t + 3t.o−n21 + 6t − 30t − 39t + 195
o
(t − 5)(t − 7)
o
v
v
o
o
t−
1
k
e
k
e
l
⩽ 0.
e
l
n
n
o
(t
−
5)(t
−
7)
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
o
s неравенство методом
o
.
.
Решим полученное
интервалов:
.o
o
v
vo
o
o
k
− lk +
−
e+
l
e
n
o
n
o
i
i
k
l7
k 1
l
t
n
h
5
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
.
o
o
o
v
v
v
o
o
o Тогда решением eнеравенства будет совокупность:
k
k
e
l
k
l
l
n
o

 o
n 
i
i
k
l
k
l
ko
t⩽1
h7 ⩽ 1 ⇔ x ⩽ 0.on
n
sh

⇔s
o
.
5<t<7
5<7 <7
logvo5 < x < 1.
o
v
o
o
k
e
k
e
l
l
n
o
n
o
Таким
образом, получим ответ:
x
∈
(−∞;
0]
∪
(log
5;
1).
i
o
i
k
l
k
l
k
n
n
sh
sh
o
sh
o
.
.
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
17
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o
2
KF E
x
x
x
x
x
x
7
x
2
%bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7%
2
3
2
2
2
3
x
x
7
7
2
o
v
o
k
l
o
k
sh
o
k
l
o
v
e
lk
e
n
o
n
i
k
l
k
li
h
n
h
n
s
s
o
o
.
.
№15.2 (Предположительно
дв)
o
v
vo
o
Решите неравенство:
o
k
e
l
lk
1ne
n
o
i
o
l
li 9 + log x − 2 ⩽ 4 logshkx.
k
log
n
n
h
o
s
o
.
.
o
o
Ответ
v
v
o
o
k
(0;
1)
∪
(1;
9]
∪
[81;
+∞)
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
l
k
li
li Решение shko
n
h
n
n
s
o
o
o
.
.
Запишем ОДЗ неравенства:
o
v
vo

o
o
k
k
e
l

e

x l> 0
n
o

n
o

i
k
l ∪ (1; +∞).
kx ̸= 1
li
n
h
n
h
n
⇔
x
∈
(0;
1)
s
o
s 
o
o
.
.
.
o
o
log 9 ̸= 0
o
v
v
v
o
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n на ОДЗ 1 =kolog x = log x = 1 log lix,nа log x = log x = h1 klogo x.
o По свойствам логарифма
i
l
n
h
n
s4
log s9
2.o
o
.
Тогда неравенство
примет вид:
o
o
v
v
o
o
k
k
e
l
k
e
l
1
1
l
n
o
n 2 log x + log x −k2o⩽ 4 log x.
i
o
i
k
l
l
k
h
n
h
n
h
s
s
s Пусть t = log x, тогда:.o
.o
o
o
v
v
3
1
o
o
t
−
2
⩽
t
·
4
k
e
l
lk
2e
4
n
n
o
i
o
l
li 6t − 8 ⩽ t shk
k
n
n
h
s
.o
.o
o
o
v
t − 6t + 8 ⩾ 0
v
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
(t
−
2)(t
−
4)
⩾
0.
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
o
s получим:
o
.
.
.o По методу интервалов
o
o
v
v
o
o
k
+
+
−
e
l
e
lk
n
o
n
o
i
i
k
l t
k
l
2
4 n
n
h
h
n
s
o
s
o
o
.
. 


.
o
o
o
v
v
v
t⩽2
log x ⩽
log
3
x
⩽
9
o
o

o
⇔
⇔
k
k
e
l
k
e
l
l
o
t⩾4
logox ⩾ log 3
x ⩾ 81.in
n
i
k
l
k
l
ko
n
nполучим x ∈ (0; 1) ∪ (1;s9]h ∪ [81; +∞).
sh
o
С учётом ОДЗ
o
.
.
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
n
n
sh
sh
o
sh
o
.
.
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
18
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o
2
81
3
x
x
32
9
3
x
3
2
3
3
3
%bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7%
2
2
2
2
3
3
3
3
4
81
34
3
o
v
o
k
l
o
k
sh
o
k
l
o
v
e
lk
e
n
o
n
i
k
l
k
li
h
n
h
n
s
s
o
o
.
.
№15.3 (Предположительно
дв)
o
v
vo
o
Решите неравенство:
o
k
e
l
lk
9 − 6n
· 3e + 4 6 · 3 − 51
n
o
i
o
+
⩽ 3 + 5.
i
l
k
3l − 5
3 − 9 hk
n
n
h
s
o
s
o
.
.
o
Ответ
o
v
v
o
o
(−∞;
1]
∪
(log
5;
2)
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
l
k
li
li Решение shko
n
h
n
n
s
o
o
o
.
Пусть t = 3 . Неравенство примет вид:
.
o
v
vo
o
o
k
t − 6t +
k
e 4 + 6t − 51 ⩽ t + 5 ol
e
l
n
n
o
i
−9
k
k− 9) + (6t − 51)(t − 5)n−tl−(t5+ 5)(t −t 5)(t
li
n
h
h
n
s
(t
−
6t
+
4)(t
−
9)
o
s
o
o
.
.
⩽
0
.
o
o 9)
o
(t − 5)(tv−
v
v
o
o + 255 − t + 9t + 25te− 225
o
k
t e
− 15t + 58t − 36 + 6t −lk
81t
l
k
l
⩽0
n
o
n
o− 5)(t − 9)
i
o
(t
i
k
l
k
l
h
n2(t − 3)
h
n
s
s
o
o
.
o (t − 5)(t − 9) ⩽ 0.
o.
v
v
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
Решим
полученное
неравенство
методом
интервалов:
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
h
n
h
n
h
s
s
+ s −
+
.o
.o −
o
o
vt
v
o
o
3
5
9
k
e
e
l
lk
n
n
o
i
o
l
li совокупность: shk
k
n
n
h
Тогда
решением
неравенства
будет
o
s
o
.
.
o
o



v
v
o
x⩽1
tk
⩽o3
3 ⩽3
k
e
e
l
l
e
⇔
⇔
n
n
o
n
i
o
l
k 5 < t < 9 3 n<l3i < 3 log 5 < xsh<k2.
li
n
h
n
o
s
o
.
.
.o Таким образом, получим
o
ответ: x ∈ (−∞;
v
vo 1] ∪ (log 5; 2).
o
o
k
e
l
e
lk
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
.
o
o
o
v
v
v
o
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
ko
n
n
sh
sh
o
o
.
.
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
n
n
sh
sh
o
sh
o
.
.
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
19
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o
x
x
x
x
x
x
3
x
2
2
2
2
3
2
%bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7%
3
x
log3 5
1
x
2
3
3
o
v
o
k
l
o
k
sh
o
k
l
o
v
e
lk
e
n
o
n
i
k
l
k
li
h
n
h
n
s
s
o
o
.
.
№15.4 (Красноярский
край)
o
v
vo
o
Решите неравенство
o
k
e
e
lk
1ol
2 · 3 · 3 − 19
n
n
i
o
3 −
l
li 8 − 9 − 5 · 3 + 6 ⩽s3hk− 3 .
k
n
n
h
o
s
o
.
.
o
Ответ
v
vo
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
l
k
li
ko
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
o
v
vo
o
o
k
k
e
l
e
l
n
o
n
o
i
k
l
k
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
.
o
o
o
v
v
v
o
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
h
n
h
n
s
s
o
o
.
o
o.
v
v
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
h
n
h
n
h
s
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
k
e
e
l
lk
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
.
.
.o
o
v
vo
o
o
k
e
l
e
lk
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
.
o
o
o
v
v
v
o
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
ko
n
n
sh
sh
o
o
.
.
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
n
n
sh
sh
o
sh
o
.
.
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
20
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o
x
x
x
%bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7%
x
x
o
v
o
k
l
o
k
sh
o
k
l
o
v
e
lk
e
n
o
n
i
k
l
k
li
h
n
h
n
s
s
o
o
.
.
№16. Экономическая
o
v
vo
o
o
k
e
l
lk восток) ine
№16.1 (Дальний
n
o
i
o
l
k 2020 года планируетсяnlвзять кредит в банкеsнаhkсумму 419 375 рублей.
В июле
Условия его
n
h
o
s
o
.
.
возврата таковы:
o
o
v
vувеличивается
— каждый январь долг
на 20% по сравнению с концомko
предыдущего года;
o
e
k
e
l
e
l
n
n
o
—
с
февраля
по
июнь
каждого
года
необходимо
выплатить
одним
платежом
часть
долга.
n
i
o
i
l
k
l
kбудет
li Сколько рублей
n
h
n
h
n
выплачено банку,
если известно, что кредит
s будет полностью погашен
o
s
o
o четырьмя равными
.
.
o
платежами (то есть
v
vo за четыре года)?
o
o
k
k
e
l
e
Ответ
l
n
o
n
o
i
k
l
k
li 000
648
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
.
o
o
o Решение
v
v
v
o
o руб. сумму кредита, eза x руб. — ежегодный плаo Составим таблицу,
обозначив за S = 419375
k
k
l
k
e
l
l
n начисления процентов.
o
o увеличивается долг lпосле
i
o теж, а за k = 1l+in = 1,2 — во сколькоhkраз
k
h
n
n
s
s
o
o
.
o
o.
v
v
o
o
Год
Долгe в руб.
Долг в kруб.
Платёж в руб.
k
e
l
k
l
l
n
o
n
o
i
o
доliначисления
после начисления
k
l
k
k
h
n
h
n
h
s
sпроцентов
s
o процентов
.o
.
o
o
1v
S
kS
v x
o
o
k x
e
e
kS − x
k S − kx
l
lk2
n
n
o
i
o
l
k
k 3
k S − kx −lxi
k S − k x − kx
x
n
h
n
h
s 4 k S − k x.−o kx − x k S − k x − k xs− kx
.o
x
o
o
v
v года кредит погашен, то
o
o
Так как в конце четвертого
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
i
l
k
l
k
li
n
h
n
h
n
s
k S − kox − k x − kx = x.
o
s
.
.
.o
o
v
vo вида:
Это уравнение преобразуется в уравнение
o
o
k
e
l
e
lk
n
o
n
o
i
i
k
k x(k + k + k + 1) n=lk S
l
n
h
h
n
s
o
s
o
o
.
.
.
o
k − 1vo
o
v
v
=
k
S
x
o
o
k −ko
1
k
e
l
k
e
l
l
n 0,2
o
nk − 1
o0,2
i
i
k
l
k
l
ko
x =n
Sk
= 419375 · 1,2 h·
n · 1,0736 = 162000. sh
s 1,2 − 1 = 419375 · 2,0736
k −1
o
o
.
.
o значит, сумма выплат составила
o что за четыре года банку выплачено 4x рублей,
v
Заметим,
v
o
oрублей.
k
e
k
e
l
648 000
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
n
n
sh
sh
o
sh
o
.
.
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
21
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o
20
100
%bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7%
2
2
3
3
2
2
4
4
3
3
3
2
2
2
4
4
4
4
4
4
4
o
v
o
k
l
o
k
sh
o
k
l
o
v
e
lk
e
n
o
n
i
k
l
k
li
h
n
h
n
s
s
o
o
.
.
№16.2 (Дальний
восток)
o
v Условия его возврата
vo взять кредит в банке на сумму 545 000koрублей.
В июле планируется
o
e
e
l
lk
n
n
o
таковы:
i
o
i
l
k
l
k
n
h
n
h
— каждый
на 40% по сравнению
с концом предыдущего
s
o года;
s январь долг увеличивается
o
.
.
o
o года необходимо выплатить одним платежом
— с февраля по июнь каждого
v часть долга.
v
o
o
k полностью погашенne
Сколько рублей будет
выплачено банку, еслиeизвестно, что кредит будет
k
l
e
l
n
o
n
i
o (то есть за три года)?
i
l
i
k
тремя равными платежами
l
k
l
n
h
n
s
o
sh
o
on
.
.
Ответ
o
v
vo
1 029 000
o
o
k
k
e
l
e
l
n
o
n
o
i
Решение
k
l
k
li таблицу, обозначив
n
h
n
h
n
s
o
Составим
за
S
=
545000
руб.
сумму
кредита,
за
x
руб.
—
ежегодный плаs
o
o
.
.
.
o
o
oтеж, а за k = 1 + = 1,4 — во сколько раз увеличивается
долг после начисления процентов. v
v
v
o
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
h
n в руб.
h Долг в руб. .oПлатёж
n
s
s
Год
Долг в руб.
o
o
o.
до начисления после начисления
v
v
o
o
k
k
e
l
k
процентов
процентов
e
l
l
n
o
n S
o
i
o
i
k
l
k
l
k
1
kS
x
h
n
h
n
h
s
s
s
2.o
kS − x
k S − kx
x .o
o
o
v
v
3
k
S
−
kx
−
x
k
S
−
k
x
−
kx
x
o
o
k
e
k
e
l
l
n
n
o
i
Так какkвoконце третьего года кредит
будет
погашен,
то
l
k
li
n
h
n
h
s
.o
.o k S − k x − kx = x.s
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
Это уравнение преобразуется
в уравнение вида:
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
.
.
.o
o
x(k
+
k
+
1)
=
k
S
v
vo
o
o
k
k
−
1
l
e
lk x k − 1 = k S ine
o
n
o
i
k
l
k
l
n
h
n
h
n
s
o
s
o
k
−
1
0,4
0,4
o
.
. 545000 · 2,744 · = 343000.
.
x = Sk
= 545000 · 1,4 ·
=
o
o
o
v
k
−
1
1,4
−
1
1,744
v
v
o
o3x рублей, значит, сумма,
o Заметим, что за eтри года банку заплатили
k
k
e
l
k
l
выплаченная
банку,
l
n
o
o
i
k
l
k
linрублей.
ko составила 1 029n000
n
sh
sh
o
o
.
.
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
n
n
sh
sh
o
sh
o
.
.
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
22
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o
40
100
2
3
2
%bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7%
2
3
2
2
3
3
3
3
3
3
3
o
v
o
k
l
o
k
sh
o
k
l
o
v
e
lk
e
n
o
n
i
k
l
k
li
h
n
h
n
s
s
o
o
.
.
№16.3 (Дальний
восток)
o
v 800 тысяч рублей. Условия
vo
o
В июле 2026oгода планируется взять кредит на 3 года в размере
k
e
k
e
l
lтаковы:
n
n
o
сго возврата
i
o
i
l
k
l
k
n
h
n
h
— вsянваре 2027 и 2028 годов
долг будет возрастать sна 10% по сравнению с o
концом предыo
.
.
o
o
дущего года;
v
v
o
o
k
—
в
январе
2029
года
долг
будет
возрастать
на
20%
по
сравнению
с
концом
предыдущего e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
i
l
i
k
года;
l
k
l
n
h долга.
n
s
o
shиюнь каждого года необходимо
o
— с февраля по
выплатить
часть
on
.
.
oдолжен
oдолжны
v
Платежи в 2027, 2028 и 2029 годах
быть равными; к июлю 2029 года долг
v
o
o
k
k
e
l
e
быть выплачен
полностью.
l
n кредита.
o
n сумму всех платежей
o после полного погашения
i
i
k
l
k
l
Найдите
n
n
h
n
sh
o
s
o
o
.
.
.
o
o
o Ответ
v
v
v
o
o
o 990 000 рублей e
k
k
e
l
k
l
l
n
o
n
o
i
o
k
l
k
Решение li
h
n за x руб. — ежегодный
h 800000 руб. сумму кредита,
n
s
s
o
o
Составим
таблицу,
обозначив
за
S
=
пла.
.
o
o
v
v два года долг увеличивался в 1 + = k1,1o раза, а в третий — в 1e+ = 1,2 раза.
теж. В первые
o
k
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
h
n
h
n
h
s
s в руб. Платёж в.oруб.
s
Год
.o Долг в руб. Долг
o
o
v
v
до
начисления
после
начисления
o
o
k
e
k
l
l
процентовne
процентов
n
o
i
o
l
k x
li
k
n
h
1
Sn
1,1S
h
s
s
.o
.o− x
2
1,1S
1,1 S − 1,1x
x
o
o
v
v S − 2,1x 1,2(1,1 S − 2,1x)
o
o
3
1,1
x
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li погашен, то
года кредит будет
k
li Так как в концеshтретьего
n
h
n
n
s
o
o
.
.
.o
o
v
vo S − 2,1x) = x
1,2(1,1
o
o
k
l
e
lkуравнение вида: ine
o
n
o
Этоiуравнение
преобразуется
в
k
l
k
l
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.1,2 · 2,1x
.
o
o
o
1,2
·
1,1
S
=
x
+
v
v
v
o
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
3,52x
n
o
n
o = 1,2 · 1,1 S
i
i
k
l
k
l
ko
h = 12 · 11 · 80000.=on330000.
n
1,2 · 1,1 · s
800000
sh
o
x=
.
3,52
32 vo
o
v
o значит, сумма, выплаченная
o что за три года eбанку заплатили 3x рублей,
Заметим,
банку,
k
e
k
l
l
n
o
n
o
i
o
k
l
составила
990 000 рублей. li
k
k
n
n
sh
sh
o
sh
o
.
.
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
23
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o
20
100
%bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7%
10
100
2
2
2
2
2
2
2
o
v
o
k
l
o
k
sh
o
k
l
o
v
e
lk
e
n
o
n
i
k
l
k
li
h
n
h
n
s
s
o
o
.
.
№16.4 (Дальний
восток)
o
v177 120 рублей. Условия его
vo
o
В июле 2026oгода планируется взять кредит в банке на сумму
k
e
e
l
lk
n
n
o
возврата таковы:
i
o
i
l
k
l
k
n
h
n
h
— каждый
на 25% по сравнению
с концом предыдущего
s
o года;
s январь долг увеличивается
o
.
.
o
o года необходимо выплатить одним платежом
— с февраля по июнь каждого
v часть долга.
v
o
o
k полностью погашенne
Сколько рублей будет
выплачено банку, еслиeизвестно, что кредит будет
k
l
e
l
n
o
n
i
o
i
l
i
k
четырьмя равными kплатежами
(то есть за четыре
года)?
l
l
n
h
n
s
o
sh
o
on
.
.
Ответ
o
v
vo
300 000
o
o
k
k
e
l
e
l
n
o
n
o
i
Решение
k
l
k
li таблицу, обозначив
n
h
n
h
n
s
o
Составим
за
S
=
177120
руб.
сумму
кредита,
за
x
руб.
—
ежегодный плаs
o
o
.
.
.
o
o
oтеж, а за k = 1 + = 45 — во сколько раз увеличивается
долг после начисления процентов. v
v
v
o
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
h Долг в руб. .on Платёж в руб. sh
n
s
Год
Долг
в
руб.
o
o
o.
v
до начисления
после начисления
v
o
o
k
k
e
l
k
e
l
процентов
процентов
l
n
o
nS
o
i
o
i
k
l
k
l
k
1
kS
x
h
n
h
n
h
s
sk S − kx
s
.ox
.o kS − x
2
o
o
v x
3ov
k S − kx − x
k S − k x − kx
o
k
e
lk4 k S − k x − kxi−nxe k S − k x − k x −kkxol
n
x
i
o
l
l
k
n
h
n
h
s в конце четвертого.года
Так как
o кредит погашен, то s
.o
o
o
v
v
o
o
k
e
k
k S−k x−k e
x − kx = x.
l
e
l
n
n
o
n
i
o
i
l
k
lвида:
k
li Это уравнениеsпреобразуется
n
h
n
h
n
в уравнение
s
o
o
.
.
.o
o
o
v
v
o
o
x(k
+
k
+
k
+
1)
=
k
S
k
e
l
e
lk
n
o
n
o
i
i
k
l
k
k −1
l
n
h
h
= koSn
x
n
s
o
s
o
.
k
−
1
.
.
o
o
o
v
v
v
5
4
5
k
−
1
5
1
o
o · ·
o x = Sk k − 1 =e 177120 · 4 ·
= 177120
= 177120
·
·
= 75000. lk
k
e
k
l
l
4 5 −4
−1 o
n 4 369
o
n
i
i
k
l
k
l
ko
h 000
n выплат составилаs300
n за четыре банку выплачено
Заметим, o
что
sh 4x рублей, значит,.oсумма
.
o
рублей. vo
v
o
o
k
e
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
n
n
sh
sh
o
sh
o
.
.
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
24
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o
25
100
2
3
3
2
4
4
3
3
2
3
%bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7%
2
2
2
2
4
4
4
1
4
4
4
4
4
54
44
4
4
3
4
4
4
o
v
o
k
l
o
k
sh
o
k
l
o
v
%bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7%
e
lk
e
n
o
n
i
k
l
k
li
h
n
h
n
s
s
o
o
.
.
№17. Планиметрия
o
v
vo
o
o
k
e
l
lk восток) ine
№17.1 (Дальний
n
o
i
o
l и AD. Изk
l
k — вписанный пятиугольник.
ABCDE
M — точка пересечения
диагоналей BE
n
h
n
h
s
o
s
o
.
.
вестно, что BCDM — параллелограмм.
o
v
vo
o
а) Докажите, что две oстороны пятиугольника равны.
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
б)
Найдите
AB,
если
известно,
что
BE
=
12,
BC
=
5,
AD
=
9.
n
i
l
k
li
ko
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
Ответ
o
.
.
o
v
б) 10
vo
o
o
k
k
e
l
e
l
Решение
n
o
n
o
i
k
l
k
liТак как BCDM — параллелограмм,
n
h
n
h
а)
то
CD
∥
BM.
n
s
o
s
o
o
.
.
.
o окружность ⇒ EBCD — равнобед-ovo
o Тогда EBCD — трапеция, вокруг которойoописана
v
v
o ренная трапеция e⇒ DE = BC.
k
k
e
l
k
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
h
n
h
n
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
h
n
h
n
h
s
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
k
e
e
l
lk
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
.
.
.o
o
v
vo
o
o
k
e
l
e
lk
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
.
o
o
o
v
v
v
o
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
ko
n
h
n
sh
s
o
o
.
.
б) Аналогично
трапеция и AB = CD.
o
o пункту а) получаем, что ABCD — равнобедренная
v
v
o
Так oкак DM = BC = 5, то AM = AD − DM = 9 − k
5 = 4.
e
k
e
l
l
n
o
n
i
o
Пусть AB = BM = CDli= x. Так как AM · M D k=oBM · M E, получаем уравнение:
k
l
k
n
sh
o
sh 4 · 5 = x · (12 − x) .o⇒n x = 2 и x = 10. sh
.
o равны 5, 5 и 10, что не
o x = 2, то M E = 10. В △M DE стороны будут
Заметим, что если
v
v
o
o
k
e
возможно по неравенству
треугольника.e
k
l
e
l
n
n
o
i
o
l
k
Тогда получаем
k AB = 10. nli
n
h
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
25
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o
o
v
o
k
l
o
k
sh
o
k
l
o
v
e
lk
e
n
o
n
i
k
l
k
li
h
n
h
n
s
s
o
o
.
.
№17.2 (Дальний
восток)
o
v пересекает описанную
vo окружности треугольника ABC. BO kвторично
o
O — центр вписанной
o
e
e
l
lk
n
n
o
окружностьoтреугольника ABC в точке
P.
i
i
l
k
l
k
n
h
n
h
а) Докажите,
что ∠P OA = o
∠P AO.
s
o
s
.
.
o
o
б) Найдите площадь треугольника
AP C, если известно, что радиус его описанной
окружноv
v
o
o
k
сти равен 8, а ∠ABC =lk60 .
e
e
l
e
n
n
o
n
i
l
k
li
li Ответ√ shko
n
h
n
n
s
o
o
o
.
.
б) 16 3
o
o
v
v
o
o
Решение
k
k
e
l Введем
e
l
n
o
n
o
i
а)lТак
как
O
—
центр
вписанной
в
△ABC
окружности,
то
AO
и
BO
—
биссектрисы.
i
k
l
k
n
h
n
h
n
s
o
обозначения:
∠BAO
=
α,
∠ABO
=
β.
Следовательно,
по
теореме
о
внешнем
угле
имеем:
s
o
o
.
.
.
o
o
o
v
v
v
o
o=α+β
o
∠AOP
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
h
nна одну и ту же дугу. sСледоваh
Углы β o
=n∠CBP = ∠CAP как вписанные,
опирающиеся
s
o
.
.
o
тельно, vo
v
o
o
k
k
∠P AO = α + β = l∠AOP
e
l
k
e
l
n
o
n
o
i
oЧто и требовалось доказать.
i
k
l
k
l
k
h
n
h
n
h
s
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
k
e
e
l
lk
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
.
.
.o
o
v
vo
o
o
k
e
l
e
lk
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
.
o
o
o
v
v
v
o
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
ko
n
n
sh
sh
o
o
.
.
o
o
v
v
o
б) Так
как
ABCP
—
вписанный
четырёхугольник,
то
∠AP
C = 180 − ∠ABC = 180 − 60 =
o
k
e
k
e
l
l
n
o
n
o
120o.
i
i
k
l
k
l
k
nтеореме синусов для sh
n угла ABC, то ∠ABP
sh = ∠P BC = 30 . По
o
sh Так как BP — биссектриса
o
.
.
треугольника AP C, oу которого описанная окружность совпадает v
с oописанной окружностью
v
o
o найдём P C = AP e= 2R sin ∠ACP = 2R sinlk∠ABP = 2 · 8 · 1 = 8. eТогда
треугольника ABC,
k
e
l
2 in
o
o
i√n √
l
k
1 nl 3
1 hk
n
h
S
= sAP · P C sin ∠AP C = ·o8 ·
= 16 3.
s
.o
2
2.
2
o
o
v
v
o
o
26
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o
%bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7%
◦
◦
◦
◦
AP C
2
◦
◦
o
v
o
k
l
o
k
sh
o
k
l
o
v
e
lk
e
n
o
n
i
k
l
k
li
h
n
h
n
s
s
o
o
.
.
№18. Параметр
o
v
vo
o
o
k
e
l
lk восток) ine
№18.1 (Дальний
n
o
i
o
k система уравненийnl
l a, при каждом из которых
k все значения параметра
Найдите
h
n
h
s
o
s
o
.
.

o
v
vo (x − 3)(y + 3x − 9) = |x − 3|
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n

n
o
n
i
y = x + a li
l
k
ko
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
имеет ровно четыре различных решения.
o
o
v
v
o
o
Ответ
k
k
e
l
e
l
n
o
n
o
i
a∈
k
l
li (−7; −3) ∪ (−3; 1) shk
n
h
n
n
s
o
o
o
.
.
Решение
.
o
o получим
o Подставив второе уравнение системы в первое,
v
v
v
o
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
o
n
o + a − 9) = |x − 3| lin
o
i
k
k
l
(x
−
3)(4x
h
n
h
n
s
s
o
o
.
o
o. уравнение с модулем равносильно совокупности
v
v
Полученное
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
(
n
o

n (x − 3)(4x + a − 9 −ko(x − 3) ) = 0
i
o
i
k
l
l
k
h
n
h
n
h
s
s
.o
.o  (x − 3 ⩾ 0 s
o
o
v

v
 (x − 3)(4x + a − 9 + (x − 3) ) = 0ko
o
e
e
l
lk
n
o
x − 3in
<0
i
o
l
k
l
k
n
h
n
h
(

s
o
s
o
.
.
(x − 3)(x − 10x + 18 − a) = 0
o
o
(1)
v
v x ⩾ 3
o
o
k
e

k (
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
k  (x − 3)(x −n2xli+ a) = 0
li
(2) h
n
h
n
s
o
s
x<3
o
.
.
.o
o
o
v
v
o
o
Тогда исходная система имеет четыре
решения
в
одном
из
нижеследующих
случаев.
k
e
l
e 1. Система (1) имеетoтри
lk решения и системаi(2)
n
o
n
Случай
имеет
одно
решение.
i
k
l
k
l 2. Система (1) имеет
n
h
n
h
n
s
o
Случай
два
решения
и
система
(2)
имеет
два
решения.
s
o
o
.
. Рассмотрим эти случаи по отдельности. vo.
o
o
v
v
o
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
k
l
k
Случай 1. li
ko
nимеет три решения, если
sh уравнение x − 10x +.o18n− a = 0 имеет два корняshи оба
o
Cистема .(1)
o
o 3.
v
v
корня больше
o
o f (x) = x − 10xe+ 18 − a. Тогда имеем систему:
k
e
k
l
l
Обозначим
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
h

n
ha) > 0
n
s
s
o
sh
o

.
D
=
4(7
+
.


o
o

v
v
10
o
o
x =
>3
k
e
k
e

l
2
e
l

n

n
o
i
o

l
k
li f (3) > 0
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
27
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o
3
3
2
%bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7%
2
2
2
2
2
в
o
v
o
k
l
o
k
sh
o
k
l
o
v
e
lk
e
n
o
n
i
k
l
k
li
h
n
h
n
s
s
o
.o
Отсюда имеем o.
o
v
v
o
a ∈ (−7; −3)
o
k
e
e
l
lk
n
n
o
i
o
kиз условий а) или б). nl
li если выполнено одно
k (2) имеет одно решение,
Система
h
n
h
s
s
а) Уравнение
x −2x+a = 0.o
имеет один корень и этот корень меньше 3. Тогда.o
o имеем систему:
o
v
v

o
o
k
e
k
e
D = 4(1 −
l
a) = 0
e
l
n
n
o
n
i
l
k
l2i < 3
ko
li
x =
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
2
.
.
o
v
vo
o
Отсюда имеем
o
k
k
e
l
e
l
n
o
n
a
=
1
o
i
k
l
k
li
n
h
n
h
n
s
o
o
o
.
б) Уравнение x − 2x + as= 0 имеет два корня и.эти
корни находятся по разные стороны от 3
.
o3. Обозначим g(x) = x − 2x + a. Тогда имеемovo
oлибо один корень равен 3, а другой корень левее
v
v
o
o систему:
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o

n
o 4(1 − a) > 0
i
o
i
k
l
k
l

D
=
h

n
h
n

s
s


.o

.o
 g(3) < 0
o
o
v

v
o

o

k

e
l
 g(3) = 0 lk
k
e

l

n
o


n
o3
i
o

i
k
l

k
l
k
 x = 2h<
h
n
n
h
s
s2
o
s
o
.
.
o
o
Отсюда имеемv
v
o
o
k
e
a
⩽
−3
e
l
lk
n
n
o
i
o
l
k
k множества (−7; −3)nиli(−∞; −3] ∪ {1}, получим
n
h
Пересекая
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
a ∈ (−7; −3)
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
.
.
.o
Случай 2.
o
v
vo
o
Система (1) имеет два решения, o
если уравнение x − 10x + 18 − a = 0 имеет один
корень и
k
e при этом меньший
l находится
e больше 3, либо еслиoэто
lk уравнение имеет дваinкорня,
o
n
этот корень
i
k
l
kверно, так как если уравнение
l или совпадает c 3. Это
n
h
n
h
n
левее
3
x
−
10x
+
18
−
a = 0 имеет 2
s
o
s
o
o
.
. параболы, то есть правее 10 = 5 > 3, а vo
. то больший из них находится правее вершины
o
o
корня,
v
v
o
2
o
o
k
k
e
значит является решением
системы (1).
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
i
k
l
k
Отсюда имеем
l
ko
n
h
n
sh
o
as∈ {−7} ∪ [−3; +∞) .o
.
o
o
v
v
o
o (2) имеет два решения,
Система
если уравнение x −k2x + a = 0 имеет два корня
и оба корня
e
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o 3.
меньше
i
k
l
k
l
k
n
sh
sh
o
sh Отсюда имеем .on
.
o
o
a ∈ (−3; 1)
v
v
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
28
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o
2
в
2
2
%bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7%
в
2
2
2
o
v
o
k
l
o
k
sh
o
k
l
o
v
e
lk
e
n
o
n
i
k
l
k
li
h
n
h
n
s
s 1), получим
o
o
.
.
Пересекая множества
{−7}
∪
[−3;
+∞)
и
(−3;
o
v
vo
o
o
k
e
e
l
lk
n
a
∈
(−3;
1)
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s 2, получим окончательно
o
s
o
.
.
Тогда, объединив значения
параметра
из
случаев
1
и
o
v
vo
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
a
∈
(−7;
−3)
∪
(−3;
1)
n
o
n
i
l
k
li
ko
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
o
v
vo
o
o
k
k
e
l
e
l
№18.2
(Не проверено)
n
o
n
o
i
k
k a уравнение nl
li каких значениях параметра
n
h
При
h
n
s
o
s
o
o
.
.
.
o
o
o
v
v
v
2a(x + 1) −
o
o|x + 1| + 1 = 0 e
o
k
k
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
имеет четыре
различных корня? h
h
n
n
s
s
o
o
.
o
Ответ
o.1 v
v
o
k
a k∈o 0;
k
e
l
e
l
l
8
n
o
n
o
i
oРешение
i
k
l
k
l
k
h
n
h
n
h
s
s Сделав замену |x +.o1| = t, получим уравнение,s почти всегда квадратное,
.o кроме случая a = 0,
o
o
v
v
o
при котором оноoвырождается в линейное:
k
e
e
l
lk
n
n
o
i
o
l
li 2at − t + 1 = 0 (∗)shk
k
n
n
h
s
.o
.o
o
o
v
v каждого фиксированного t определим, какоеkколичество
o
Исследуем замену, то есть o
для
решений
e
k
e
l
e
l
n
n
o
относительно
переменной
x
мы
получим,
делая
обратную
замену:
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
o
s два корня x; .o
.
• при t > 0 имеем
.o
o
o
v
v
o
o
• при te= 0 имеем один кореньlk
x;
k
e
l
n
o
n
o
i
i
k
l
k x.
l
n
h
• nпри t < 0 не имеем корней
n
h
s
o
s
o
o
.
.
. Так как уравнение (∗) может иметь максимумvдва
o
o
o
корня t, то наибольшее количество корней ov
v
o
o исходного уравненияe — четыре, что и требуется.
k
k
e
l
k
l
l
n
o
n
k и
li (∗) является квадратным
ko вариант: уравнение
li единственный подходящий
ko
Следовательно,
h
n
h
n
s
s
.o
имеет два корня,
.o причем положительных.
o
o
v записать в системе:
v
Это oобеспечивается
следующими условиями, которыеoнужно
k
e
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
• a ̸= 0, так как уравнение
(∗) — квадратное; k
l
k
n
n
sh
sh
o
sh • D = 1 − 8a > 0, так
o
.
.
o
o как уравнение имеет два корня t;
v
v
o
o
k положительно; ne
k
e
l
e
l
•
> 0, так
как для двух положительных
корней произведение
n
o
i
o
i
l
k
l
k
n
h
n
h
s положительна. .o
•
>s 0, так как для двух положительных
корней сумма
o
.
o
o
v
v
o
o
29 e
k
e
k
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o
%bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7%
2
2
1
2a
1
2a
o
v
o
k
l
o
k
sh
o
k
l
o
v
e
lk
e
n
o
n
i
k
l
k
li
h
n
h
n
s
s получаем .o
o
.
Решая эти неравенства
и
пересекая
их
решения,
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
1
l
n
n
o
a
∈
0;
i
o
l
k
li
k
8
n
h
n
h
s
o
s
o
.
.
o
v
vo
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
№18.3
(Дальний
восток)
i
l
k уравнений
li из которых система
ko параметра a, приnкаждом
li Найдите все значения
n
h
h
n
s
o
s
o
o
.
.
o
o

v
v
o

o

(x
+
3x
+
y
−
4)
(x
−
y
+
4)
⩾
0
k

e
l
e
 lk
n
o
n
o
i
k
k ax − y − 2a + 3 = 0 nl
li
n
h

h
n

s
o
s x ⩽ 0
o
o
.
.
.
o
o
o
v
v
v
o
o
o имеет хотя бы одно
k
k
e
l
k
e
l
решение.
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
h
n
h
n
Ответ
s
s
o
o
.
o
a ∈ [−1;
o.+∞)
v
v
o
o
k
k
e
l
k
e
Решение
l
l
n
o
n
o
i
oРассмотрим первое неравенство:
i
l
k
(x + 3x + y h
−k4) (x−y +4) ⩾ 0. Пустьnyl (x) = −x −3x+4 — hk
n
s
o
b s
shуравнение параболы .сoветвями
.
=
−1,5,
y
=
y
(x
)
=
6,25.
Пусть
y
(x)
=
x
+
4
—
вниз,
x
=
−
o
oТогда неравенство равносильно:
2a
v
v
o
линейная функция.
o
k
e
k
e
l
l
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
(y − y (x))(y − y (x)) ⩽
0.
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v лежать «выше»
vбудут такие области, каждая точка которых будет
Решением этого неравенства
o
o
k
e
kордината больше, чемneна графике) и «ниже»oдругого
l
e
l
n
одного из графиков (т.е.
(т.е.
ордината
n
i
o
l
k функций y (x), y (x).
li на одном из графиков
k или же точка лежит
li меньше, чем на графике),
n
h
n
h
n
s
o
o
.
.
.o Учитывая условиеs x ⩽ 0, изобразим vграфики
o
y
(x)
и
y
(x)
в
плоскости
xOy,
предварительно
o
v
o
o
отыскав точки пересечения их графиков:
k
e
l
e
lk
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
n
h
n
h
n
y (x) = y (x)
s
o
s
o
o
.
. x+4
.
o
o
o
−x
−
3x
+
4
=
v
v
v
o
o4x = 0
o
k
k
e
l
k
e
x l+
l
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
ko
+ 4) = 0
n
n
sh
shx(x
o

o
.
.
o
x = 0
o
v
v

o
o

k
e
k
e
l
 y=4
l
n
o
n
o


i
o
i
k
l
k
l

k
n
h
 x = s−4
n
sh
o
sh

o
.
.
o
y = 0.
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
30
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o
2
2
2
1
0
1
0
2
%bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7%
0
1
2
1
1
1
2
2
2
2
2
o
v
o
k
l
o
k
sh
o
k
l
o
v
%bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7%
e
lk
e
n
o
n
i
k
l
k
li
h
n
h
n
s
s
o
o
.
.
y
o
v
vo
o
o
k
e
e
l
lk
n
o
i
o
I lin
l
k
k
n
h
n
h
s
o
s
o
4
II
.
.
o
v
vo
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
l
−4
k
li
ko
li
n
h
n
h
n
sx
o
s
o
o
.
.
III
o
v
vo
o
o
k
k
e
l
e
l
n
o
n
o
i
k
l
IV
k
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
.
o
o
o
v
v
v
o
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
h
n
h включая их границы.
n
s
Как видно,
подходят области II иsIV,
o
o
.
o
o. второе уравнение системы:
Рассмотрим
v
v
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o3 = 0
i
o
ax − y − 2a +
i
k
l
k
l
k
h
n
h
n
h
s
s
y = ax s
− 2a + 3
.o
.o
o
o
v
v
y = a(x − 2) + 3.
o
o
k
e
e
l
lk
n
n
o
i
o
l
k коэффициентом a. nРассмотрим
li точку (2; 3), с угловым
kпрямых, проходящих через
Это пучок
h
n
h
s
s
.o
.o
некоторые случаи.
o
o
v
v  y (x).
1) Случай касания с параболой
o
o
k
e
k y = −x − 3x + n4 e
l
e
l
n
o
n
i
o
l
k решение ⇔ квадратное
li имеет единственное
kсистема 
li Условие касания:
n
h
n
h
n
s
o
− 2)
+3
o
.
.
.o уравнение −x − 3xs + 4 = a(x −y2)=+a(x3vимеет
o
o единственное решение.
v
o
o
k
e D = 0.
Тогда квадратное
уравнение x lk+ x(a + 3) − 2a − 1 = 0 имеет
l
e
n
o
n
o
i
i
Найдем
l дискриминант: Dsh=k(a + 3) − 4 · 1 · (−2a −n1)l =a +a 3+ 14a + 13 = (ash+k13)(a + 1) = 0 on
n
.oОтсюда получаем a = −13 с точкой касанияvox.o= − 2 = 5 > 0 или a = −1 с точкой vo.
o
vкасания x = − a + 3 = −1 < 0.
o
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
2n
n условия x ⩽ 0. ko
o при несоблюдении
i
Заметим, чтоliпри
a = −13 касание происходит
l
k
ko
n
sh
sh точку (−4; 0). .on
2) Случай
прохождения прямой через
o
.
o
o
v
v
o
o
e
y(−4)
= 0 ⇔ 0 = −6a + 3lk
⇔ a = 0,5.
k
e
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
n при всех a количествоshрешений в системе: .on
sh
sh Теперь проанализируем
o
.
o
o
v
v
o
• при a < −1:oрешений нет;
k
e
e
l
e
lk
n
n
o
i
o
l
k
li
k −1: единственное решение;
• при ah=
n
h
n
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
31
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o
1
2
2
2
2
2
0
0
o
v
o
k
l
o
k
sh
o
k
l
o
v
e
lk
e
n
o
n
i
k
l
k
li
h
n
h
n
s
.o
.o бесконечное множествоs решений;
• при a ∈ (−1;o
0,5):
o
v
v
o
o
k
e
e
l
• при a =lk0,5: единственное решение;
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
• при
s a > 0,5: бесконечное.oмножество решений, т.к.s при таких a графикoy.o= a(x − 2) + 3
всегда будет пересекаться
v IV области,
vo с графиком функции y (x) = −x −3x+4 наkoгранцие
o
e
k
e
имея таким образом
общий отрезок или луч
с этой областью.
l
e
l
n
n
o
n
i
l
ko решение получаетсяnliпри a ∈ [−1; +∞). shk
li Итого, хотя быshодно
n
n
o
o
o
.
.
o
o
v
v
o
o
№18.4 (Предположительно дальний
восток)
k
k
e
l
e
l
n
o
n
o
i
Найдите
все
значения
параметра
a,
при
каждом
из
которых
система
уравнений
k
l
k
li
n
h
n
h
n
s
o
s

o
o
.
.
.
o
2x + 2ay + o
o
a−3=0
v
v
v
o
o
o
k
x|y| +lk
e
l
k
e
2x − 3 = 0
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
h
n
h
n
s
имеет ровно
два различных решения.
s
o
o
.
o
o.
v
v
Ответ
o
o1
k
k
e
l
e
l
alk=
n
o
n
o
i
o 3
i
k
l
k
l
k
h
n
h
n
h
Решение
s
s
o
s
.
.o
o
o

v
v
2x + 2ay + a − 3 = 0
o
o
k
e
e
l
lk
n
n
o
i
o
l
li x|y| + 2x − 3 = 0 shk
k
n
n
h
s
.o
.o 2x + 2ay = 3 − a
o
o
v
v
o
o

k
e
2x
+
x|y|
=
3
k
e
l
e
l
n
n
o

n
i
o
i
l
k
k
li
2x + 2ayn=l 2x + x|y| − a
n
h
h
n
s
s
.o
.o = 3
.o
o
2x +ox|y|
v
v
o
o
k
l
e
lk 2ay = x|y| − a ine
o
n
o
i
k
k x|y| = 3 − 2x nl
l
n
h
h
n
s
o
s
o
o
.
.
.

o
o
o
v
v
2ay = 3 − 2x − a
v
o
o
o
k
k
e
l
k
e
l
3
l
|y| =
n
o
n
o x −2
i
i
k
l
k
l
ko
n
sh
sh прямых, прох. через.onт. M (1,5; −0,5))
o
a(2y + 1) = 3 − 2x, (пучок
.
o
o 3
v
v
o
o |y| = x − 2, (*)e
k
e
k
l
n
o
 in
 ol
i
o
k
l
k
l
k
y ⩾

nII
n 03 — линия I sh y < 0 3 — линия
sh
o
sh
(*) .o
.
y = − + 2
o
o y = x − 2
v
v
x
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
32
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o
%bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7%
1
2
o
v
o
k
l
o
k
sh
o
k
l
o
v
%bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7%
e
lk
e
n
o
n
i
k
l
k
li
h
n
h
n
s
s
o
o
.
.
y
o
v
vo
o
o
k
e
e
l
lk
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
o
s
o
I
.
.
o
v
vo
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
l
k
li A(1; 1)
ko
li
n
h
1
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
o
1,5
v
vo
o
o
x
1
k
k
e −0,5)
l
M (1,5;
e
l
n
o
n
o
i
k
l
k
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
.
o
o
o
v
v
v
o
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o II
i
o
i
k
l
k
l
h
n
h
n
s
s
o
o
.
o
o.
v
v
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
o
i
oУсловия касания: lin
k

l
k
k
h
n
h
n
h

s
a(2y + 1)s= 3 − 2x
o
s
.
.o
o
3
o
y = − 2
v
v
o
o
x
k
e
e
l
lk
n
n
o
1 решение:
i
o
l
k
li 6
k
n
h
n
h
s
.o
.o a x −4 + 1 = 3 − 2xs
o
o
v
v
o
6
o
k
e
a
−3 =3−
2x, (x ̸= 0)
k
e
l
e
l
n
x
n
o
n
i
o
l
k
li= 3x − 2x
k
li
n
h
n
h
n
a(6
−
3x)
s
o
s
o
.
.
.o
o
2xvo
− 3x − 3xa + 6a = 0
v
o
o
k
l
e
lk2x − 3(1 + a)x + 6a =in0e
o
n
o
i
k
k D = 9(1 + a) − 48anl= 0
l
n
h
h
n
s
o
s
o
o
.
.
.
o
9 + 18a + 9a o
− 48a = 0
o
v
v
v
o
o
o
k
9a −lk
30a + 9 = 0
e
l
k
e
l
n
o
n
o− 10a + 3 = 0
i
i
k
l
k
l
ko
3a
n
n
sh
sh√
 .o
o
.
3
o
5 ± 4 vo
5 ± 25 − 9
v
1
a
=
=
=
o
o
3
3lk
e
k
e
l
n
o
3
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
n
n 1) a = 3, x = 3 —shне подходит
sh
o
sh
o
.
.
1
o
o
v
2) a = , x = 1
v
o
3
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
1o
i
l
k
li
При a = k : (2 решения)
n
h
n
h
3
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
33
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o
2
2
2
2
2
2
2
o
v
o
k
l
o
k
sh
o
k
l
o
v
%bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7%
e
lk
e
n
o
n
i
k
l
k
li
h
n
h
n
s
s
o
o
.
.
o
v
vo
2y + 1 = 9 − 6x
o
o
k
e
e
l
lk
n
n
o
2y
=
8
−
6x
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
y = 4 − 3x s
o
s
o
.
.
o
v
vo A(1; 1) — точка касания
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
l
k
li
ko
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
o
v
vo
o
o
k
k
e
l
e
l
n
o
n
o
i
k
l
k
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
.
o
o
o
v
v
v
o
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
h
n
h
n
s
s
o
o
.
o
o.
v
v
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
h
n
h
n
h
s
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
k
e
e
l
lk
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
.
.
.o
o
v
vo
o
o
k
e
l
e
lk
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
.
o
o
o
v
v
v
o
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
ko
n
n
sh
sh
o
o
.
.
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
n
n
sh
sh
o
sh
o
.
.
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
34
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o
o
v
o
k
l
o
k
sh
o
k
l
o
v
e
lk
e
n
o
n
i
k
l
k
li
h
n
h
n
s
s
o
o
.
.
№18.5 (Сибирь)
o
v
vo
o
Найдите всеoзначения параметра a, при каждом из которых
система уравнений
k
e
e
l
lk
n
n
o

i
o
l
li x + y = a shk
k
n
n
h
o
s
o
.
.
o

|y| = |x − 2x|
v
vo
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
имеет
ровно
два
различных
решения.
n
i
l
k
li
ko
li
n
h
n
h
n
s
o
s 9 o
Ответ
o
.
.
o
1
o
v
v
a ∈ −∞; −
∪
; +∞
o
o
4
4
k
k
e
l
e
l
n
o
n
o
Решение
i
k
l
k уравнения в плоскости
li
n
h
n
h
n
s
Рассмотрим
график
каждого
xOy.
o
s
o
o
.
.
.
o с угловым коэффициентом −1 и свободнымovo
o 1) x + y = a ⇔ y = −x + a — линейная функция
v
v
o прямых, параллельных
o a, то есть при всех ea это уравнение задаёт семейство
k
графику функции
k
e
l
k
l
l
n
o
n
o
i
o y = −x.
i
k
l
k
l
h
n
h
n
s
.|xo − 2x| ⇔ y = (x − 2x)s ⇔ y = x − 2x .vo.o
2) |y| =
o
v
y = −x + 2xo
o
k
k
e
l
k
e
l
l
Данное
уравнение
задаёт
две
параболы,
симметричные
друг
другу
относительно
оси
абсцисс,
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
h
n
h
которые
пересекаются
при
y
=
0
в
точках
x
=
0
и
x
=
2.
n
h
s
s
s Изобразим график.oвторого уравнения с указанием
.o графика первого
случаев пересечения
o
o
v
v
o
o
уравнения с ним.
k
e
e
l
lk
n
n
o
i
o
l
k
li y
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
k
e
k
II
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
o
s
IV
o
.
.
.o
o
v
vo
o
o
k
e
l
e
lk
1
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
.
x
o
o
1
o
v
v
v
o
o
o
k
I
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
ko
n
n
sh
sh
o
o
.
.
o
o
v
v
o
o
III
k
e
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
n
n
sh
sh
o
sh
o
.
.
o
o
v
v
o
o с графиком уравнения
Случай I: касание
y = −x + 2x, которое
происходит тогда, и только
k
k
e
l
e
l
ne
n + a ⇔ x − 3x + a k=o0 имеет единственноеliрешение
тогда, когдаko
уравнение −x + 2x = li−x
n
h
n
s
⇔ D = 9 s−h4a = 0 ⇔ a = .
o
o
.
o
o.
v
v
o
o
35 e
k
e
k
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o
2
2
2
2
2
2
%bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7%
2
2
2
9
4
2
o
v
o
k
l
o
k
sh
o
k
l
o
v
e
lk
e
n
o
n
i
k
l
k
li
h
n
h
n
s
s (2; 0): y(2) = 0 ⇔ −2.+o a = 0 ⇔ a = 2.
o
.
Случай II: прохождение
прямой
через
точку
o
o
v
v
Случай III: o
прохождение прямой через точку (0; 0): y(0) = k
0o
⇔ −0 + a = 0 ⇔ a = 0.e
k
e
l
l
nи только
n
o происходит тогда,
Случай o
IV: касание с графикомiуравнения
y = x − 2x,kкоторое
i
l
l
k
n решение
h уравнение x − .2xon= −x + a ⇔ x − x s−ha = 0 имеет единственное
тогда, sкогда
o
.
o
.
⇔ D = 1 + 4a = 0 ⇔ a = −vo
v
o
o решений при всех a:e
k
Рассмотрим количество
e
k
l
e
l
n
n
o
n
i
l
li с графиком y = −xsh+k2x);
ko (2 точки пересечения
li • a < − 1 : 2 решения
n
n
h
n
o
s
o
o
.
4
.
o
o
v
v
1
o
o
k
• a =e − : 3 решения (2 точки
пересечения
с
графиком
y
=
−x
+
2x
и
точка
касания
с
k
e
l
l
4
n
o
n
k
li
ko
lyi = x − 2x);
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
1
.
o
o с каждой из парабол);
o • − 4 < a < 0: 4 решения (по 2 точки пересечения
v
v
v
o
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n но точка (0; 0) — общая);
o
• a = 0: 3 решения
n (по 2 точки пересечения
o с каждой из парабол,
i
o
i
k
l
k
l
n2: 4 решения (по 2 точкиshпересечения с каждой.oизn парабол);
sh
o
• 0 < a .<
o
o
v
v
o
k
•lkao= 2: 3 решения (по 2 точки
пересечения с каждой
из парабол, но точкаe (2; 0) — общая);
k
l
e
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
9
h
n
h
n
h
s
•
2
<
a
<
:
4
решения
(по
2
точки
пересечения
с
каждой
из
парабол);
s
s
.o
4
.o
o
o
v
9
o
ov (2 точки пересечения
k
с
графиком
y
=
x
−
2x и точка касанияe с y =
• a = : 3lkрешения
e
l
4o
n
n
o
i
i
l
k
l
−x +k2x);
n
h
n
s
o
sh9
o
.
. пересечения с графиком y = x − 2x); vo
o
• a > : 2 решения (2 точки
v
4
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
1
9
i
o
l
li − 4 ∪ 4 ; +∞ shk
kполучится при a ∈ −∞;
li Итого, 2 решения
n
n
h
n
o
s
o
.
.
.o
o
v
vo
o
o
k
e
l
e
lk
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
.
o
o
o
v
v
v
o
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
ko
n
n
sh
sh
o
o
.
.
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
n
n
sh
sh
o
sh
o
.
.
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
36
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o
2
2
2
1
4
2
2
2
%bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7%
2
2
2
o
v
o
k
l
o
k
sh
o
k
l
o
v
%bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7%
e
lk
e
n
o
n
i
k
l
k
li
h
n
h
n
s
s
o
o
.
.
№19. Олимпиадная
o
v
vo
o
o
k
e
l
lk восток) ine
№19.1 (Дальний
n
o
i
o
l
k лежат 4 камня по 5nкгl и 13 камней по 14 кг.shИхk разделили на две кучки.
На столе
n
h
o
s
o
.
.
а) Может ли разность масс
двух
этих
кучек
камней
быть
равна
6
кг?
o
v
voэтих кучек быть равны?
o
б) Могут ли массы двух
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
в)
Какая
наименьшая
положительная
разность
масс
может
быть
у
двух
этих
кучек
камней?
n
i
l
k
li
ko
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
Ответ
o
.
.
o
v
а) Да, может
vo
o
o
k
k
e
l
e
б) Нет,
не могут
l
n
o
n
o
i
k
l
k
в)li4 кг
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
.
o
o
o Решение
v
v
v
o
o а) Если в первойe кучке 4 камня по 5 кгlkoи 6 камней по 14 кг, тоe масса кучки будет равна
k
l
k
l
o
n кучке только 7 камней
o по 14 кг, а ее массаlinравна 98. Тогда их разность
o 104 кг. Тогда воliвторой
k
k
h
n
h
n
s
равна 104 −o98
= 6 кг.
s
o
.
o кучке 4 − a камней по 5 кг. Пусть
o. в первой кучке a камней по 5 кг, тогда во второй
б) Пусть
v
v
o
o кучке b камней по 14e кг, тогда во второй кучке
k
k
e
в первой
13 − b камней по 14 кг.
l
k
l
l
n
o
n
o
i
oЗначит, должно выполняться
i
k
l
k
l
k
h
n
h
n
h
s
s
.o 5a + 14b − (5(4 − a)s + 14(13 − b)) = 0 vo.o
o
v
o
o
e
k
10ae+ 28b − 20 − 182 = 0 lk
l
n
n
o
i
o
l
li 10a + 28b = 202 shk
k
n
n
h
s
.o
.o 5a + 14b = 101
o
o
v
v
o
o
k
e
k· 7 + 3, то есть даёт остаток
e
e
l
n
Заметим, что 101 =o14
3 по модулю 1 ol
n
n
i
l
k
li
k
li Значит, такое невозможно.
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o
в) Надо найти минимум выраженияo|2. (5a + 14b − 101)| при 0 ⩽ a ⩽ 4, 0 ⩽ b ⩽ 13. o
v
v достигается при b = 7 и равен 6.
o
o
Если a = 0, то минимум выражения
k
l
e
lk достигается приibn=e 7 и равен 4.
o
o
Еслиina = 1, то минимум выражения
k
l
k
l a = 2, то минимум sвыражения
n
h
n
h
n
s
Если
достигается
при
b
=
6
и
равен
10.
o
o
o
.
. при b = 6 и равен 4.
. Если a = 3, то минимум выражения достигается
o
o
o
v
v
v
o
o при b = 6 и равенe 6.
o Если a = 4, то минимум
k
выражения достигается
k
l
k
e
l
l
n в случае, если в первой
o
n минимальная разностьko равна 4. Достигаетсяliона
i
k
Таким образом,
l
ko
n будет равна 103 кг. Тогда
nпо 5 кг и 7 камней поsh14 кг, тогда масса кучки
sh во
o
o
кучке 1 камень
.
.
oравна 99. Тогда их разность равна
o 3 камня по 5 кг и 6 камней по 14 кг, а ее масса
v
второй кучке
v
o
o
k
e
e
l
103 −lk
99 = 4 кг.
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
n
n
sh
sh
o
sh
o
.
.
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
37
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o
o
v
o
k
l
o
k
sh
o
k
l
o
v
%bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7%
e
lk
e
n
o
n
i
k
l
k
li
h
n
h
n
s
s
o
o
.
.
№19.2 (Слив от
поступашек)
o
v цифр.
voразличных натуральных чисел с одинаковойkoсуммой
Дано несколько
o
e
e быть равна 2025? ol
lkли сумма трех таких iчисел
n
n
а) Может
i
o
l
k
l
k
n
h
n
h
б) Может
чисел быть равна 19999?
s
o
s ли сумма двух таких
o
.
.
o
o
в) Найдите наименьшееvнатуральное
число, которое представимо в видеvсуммы пяти таких
o
o
k
чисел.
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
l
k
li
li Ответ shko
n
h
n
n
s
o
o
o
.
.
а) Да, может
o
v
vo
б) Нет, не может
o
o
k
k
e
l
e
l
в) 110
n
o
n
o
i
k
l
k
li
n
h
n
h
n
s
o
Решение
s
o
o
.
.
.
o
o
o а) Да, может. Пример: 2001 + 21 + 3 = 2025.
v
v
v
o
oхотя бы одно из чиселe должно быть больше или
o б) Для того,чтобы
k
k
сумма равнялась 19999,
l
k
e
l
l
nef gs, где a, b, c, d, e, f,kg,os —
n одно из чисел будетkиметь
o вид 1abcd, а второе
i
o равно 10000. Тогда
i
l
l
n
n
sh
sh
o
цифры от 0.oдо 9.
.
o сложении этих двух чисел не будет
o сумма двух цифр не может равняться 19, тоoпри
v
v
Так как
o через разряд. e
k
k
e
l
k
l
l
перехода
n
o
i
oТогда e = 9 − a, f = 9 l−inb, g = 9 − c, s = 9 − d.hko
k
l
k
h
n
n
h
s
s Сумма цифр первого
.o
.o числа: 1 + a + b + c + sd
o
o
v числа: (9 − a) + (9 − b) + (9 − c) + (9 −kd)ov= 36 − a − b − c − d e
Сумма цифрoвторого
e
l
lk
n
n
o
i
o
i
l
k
l
k
1 + an+ b + c + d = 36 − a − b h
−c−d
n
s
o
sh
o
.
o
o. 2a + 2b + 2c + 2d = 35
v
v
o
o
kуравнение не имеет ne
Так как левая частьlk
уравнения делится на 2,e а правая нет, то данное
l
e
n
o
n
i
o
i
l
i
k
l
k
целых решений.
l
n
h
nне может быть 19999. s
h
o
o
.
Следовательно,s сумма двух таких чисел
.
.on
o
o
v 9. Так
в) Покажем, что разность чиселov
с одной и той же суммой цифр равна минимум
o
k
e цифр одинакова, то oиlkостатки при деленииiнаne9 одинаковы =⇒ еслиolодно число
как сумма
n
i
kЕсли числа не
l
k в виде 9y + z, тоnразность
l в виде 9x + z, sаhвторое
n
представимо
равна 9(x − y).
h
n
s
o
o
o
.
. то x ̸= y =⇒ разность не меньше 9. vo.
равны,
o
o
a + a + 36
2a · 5 + 36 · 5 ov
v
o
сумма S = e
·5 =
=
o Пусть меньшее изeчисел равно a. Тогда минимальная
k
k
2
2 olk
l
l
n
n
o
90 =⇒ чем больше
сумма чисел.li
i a, тем больше минимальная
k
k
l
ko 5a +Пусть
h
n
h
n
s
a =o1, тогда все числа должны
быть с суммой цифр
1,
а
это
числа
вида
1,
10,
100,
s
o
.
.
o
o Тогда минимальная сумма при a = 1 будет 11111.
1000, 10000.
v
v
o
oa = 2, то доступны числа
Если
2, 11, 20, 101, 110. В
kэтом случае минимальная
e сумма 244.
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
Если a = 3, то минимальные
числа с суммой цифр
3 — это 3, 12, 21, 30, l102 =⇒ S = 168
k
l
k
n40 =⇒ S = 110. sh
h 4 — это 4, 13, 22,.31,
n числа с суммойsцифр
o
sh Если a = 4, то минимальные
o
.
o
o
v
Если a ⩾ 5, то Sv = 5a + 90 ⩾ 5 · 5 + 90 = 115.
o
o для S = 110 при ae= 4. Для больших a сумма
k будет не меньшеn115,
e а
k
l
e
Нашли пример
l
n
o
i
o
l которое
k натуральное число,
li 110. Значит наименьшее
k a показали, что S больше
для меньших
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
38
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o
o
v
o
k
l
o
k
sh
o
k
l
o
v
%bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7%
e
lk
e
n
o
n
i
k
l
k
li
h
n
h
n
s
s суммой цифр —.это
o 110.
o
.
представимо в виде
суммы
пяти
чисел
с
одинаковой
o
v
vo
o
o
k
e
e
l
lk
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
o
s
o
.
.
o
v
vo
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
l
k
li
ko
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
o
v
vo
o
o
k
k
e
l
e
l
n
o
n
o
i
k
l
k
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
.
o
o
o
v
v
v
o
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
h
n
h
n
s
s
o
o
.
o
o.
v
v
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
h
n
h
n
h
s
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
k
e
e
l
lk
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
.
.
.o
o
v
vo
o
o
k
e
l
e
lk
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
.
o
o
o
v
v
v
o
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
ko
n
n
sh
sh
o
o
.
.
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
n
n
sh
sh
o
sh
o
.
.
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
39
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o
o
v
o
k
l
o
k
sh
o
k
l
o
v
%bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7%
e
lk
e
n
o
n
i
k
l
k
li
h
n
h
n
s
s
o
o
.
.
№19.3 (Дальний
восток)
o
vнаполнены сахарным песком.
vo по 20 или по 40 тонн, 40% всех контейнеров
o
Есть контейнеры
o
k
e
l 50% от общей массы?
lkли масса контейнеровinс eсахарным песком составлять
n
o
а) Может
i
o
l
k
l
k
n
h
n
h
б) Может
с сахарным песком составлять
60% от общей
s
o массы?
s ли масса контейнеров
o
.
.
o
o
в) Какое минимальное vколичество
в процентах может составлять массаv контейнеров с саo
o
k
харным песком от общей
массы?
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
l
k
li
li Ответ shko
n
h
n
n
s
o
o
o
.
.
а) Да, может
o
v
vo
б) Нет, не может
o
o
k
k
e
l
l
в) ne
n
o
o
i
k
l
k
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
.
o
o
o
v
v
v
o
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
h
n
h
n
s
s
o
o
.
o
o.
v
v
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
h
n
h
n
h
s
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
k
e
e
l
lk
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
o
s
o
.
.
.o
o
v
vo
o
o
k
e
l
e
lk
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
n
h
n
h
n
s
o
s
o
o
.
.
.
o
o
o
v
v
v
o
o
o
k
k
e
l
k
e
l
l
n
o
n
o
i
i
k
l
k
l
ko
n
n
sh
sh
o
o
.
.
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
l
n
o
n
o
i
o
i
k
l
k
l
k
n
n
sh
sh
o
sh
o
.
.
o
o
v
v
o
o
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
i
o
l
k
li
k
n
h
n
h
s
s
.o
.o
o
o
v
v
o
o
40
k
e
k
e
l
e
l
n
n
o
n
i
o
l
k
li
k
li
n
h
n
h
n
s
s
o
.o
.o