2023 Контрольные ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ КАЛИНИНА С.В. ВВЕДЕНИЕ (Инженеры должны думать и они не растут на диване!) Для правильного обучения современной молодежи нужно воспитывать в ней творческие способности… Это фундаментальная задача, от решения которой может зависеть будущее нашей цивилизации не только в одной стране, но и в глобальном масштабе, задача не менее важная, чем проблема мира и предотвращения атомной войны. П. Л. Капица Главная цель пребывания студентов в НГТУ заключается в овладении и развитии в себе технологии самообучения. В своей профессии учиться придется всю жизнь. И только эта технология позволит в будущем успешно конкурировать с выпускниками других ВУЗов на рынке труда и делает бакалавра успешным и состоявшимся специалистом. С.В. Калинин Вдохновение приходит во время труда. В. Шекспир Модели и моделирование – свидетельства научных корифеев «Если, Вы можете предложить математическую модель, алгоритм, компьютерную программу позволяющую воспроизвести с достаточной точностью наблюдаемое в эксперименте явление в достаточно широком диапазоне внешних параметров и эта модель не будет противоречить установленным физико-химическим законам, то вы понимаете это явление. Если Вы не в состоянии построить удовлетворительную модель, то это означает, что у Вас нет понимания явления» . модифицированная цитата лорда Томсона «Математика подобно жернову перемалывает то, что под нее засыпают, и, как засыпав лебеду, Вы не получите пшеничной муки, так, исписав целые страницы формулами, Вы не получите истины из ложных предположений. Т. Хаксли «При изучении наук примеры полезнее правил.» И. Ньютон “Один из создателей квантовой механики, Поль Дирак, утверждал, что при построении физической теории «следует не доверять всем физическим концепциям». А чему же доверять? «Доверять математической схеме, даже если она на первый взгляд не связана с физикой»”. Из лекции В.И. Арнольда 16.04.92 «Для чего мы изучаем математику» 1 2023 Контрольные ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ КАЛИНИНА С.В. Исторически наиболее известным примером попытки построения иерархии моделей для одного и того же объекта является система моделей солнечной системы. Первой научной моделью была геоцентрическая модель Птолемея (2-й век н. э.). В 1543 г. Н. Коперник предложил гелиоцентрическую модель Солнечной системы, в которой планеты вращались вокруг солнца, по окружностям, в центре которых находилось солнце. Более совершенной стала кинематическая модель, предложенная в 1609– 1619 годах И. Кеплером. В ней планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится солнце. Наконец, Ньютон (годы жизни 1642-1727) сформулировал динамическую модель движения планет на основе открытого им закона всемирного тяготения. Ньютон считал это свое открытие чрезвычайно важным и поэтому он зашифровал его, как было принято в ту эпоху, в виде анаграммы, смысл которой в современных терминах можно передать так: «Законы природы выражаются дифференциальными уравнениями.» Открытие на кончике пера Далее, вычисляя орбиту движения планеты Уран, Леверье в 1846г. обнаружил ее отклонение от теоретически вычисленной траектории. Это послужило поводом для предположения о наличии другой планеты, вносящей возмущение, и даже предсказания ее расположения на небосклоне. В дальнейшем в указанном Леверье месте была обнаружена планета Нептун. Аналогично было сделано открытие планеты Плутон. Метод аналогий Часто совсем разные естественнонаучные задачи приводят к сходным математическим моделям. Например, задача о диффузии вещества и задача теплопроводности описываются одинаковыми уравнениями в частных производных. Исследовав одну такую математическую задачу, можно сделать выводы о решении и других физических задач. С другой стороны, если Вы работаете с некоторой задачей, то ее решения целесообразно сравнивать с известными решениями других физических задач, приводящих к той же математической модели. Так, немецкий химик Лотке рассматривал процесс автокаталитических реакций. Примером такой реакции может служить реакция В этой реакции для того, чтобы разорвать связь H+–F– нужно присутствие полярных молекул воды растягивающих ионы в разные стороны. Тем самым 2 2023 Контрольные ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ КАЛИНИНА С.В. скорость реакции зависит от наличия молекул воды – продукта реакции. Такие реакции называются автокаталитическими. Исследовав реакцию уравнениями Лотке описал ее протекание Он показал, что в этой реакции происходит колебательный процесс, в котором концентрация компонентов X и Y периодически изменяется. Позже, занимаясь экологической задачей, исследователь Вольтерр предположил, что изменение популяции животных в системе «хищник-жертва» описывается сходными уравнениями где x – численность потенциальных жертв, а – y хищников. Используя результаты Лотке, Вольтерр пришел к выводу, что колебательный процесс изменения численности популяции должен иметь место и в системе «хищникжертва». Сходные системы уравнений могут возникать в микро и оптоэлектронике, при описании процессов генерации-рекомбинации с учетом наличия дискретных энергетических уровней в запрещенной зоне полупроводника (или диэлектрика). В общем случае из универсальности математических моделей следует универсальность результатов. Если несколько, разных по физической природе процессов, описываются сходной математической моделью, то очевидно, что полученные с помощью этой модели результаты применимы ко всем этим процессам. 3 2023 Контрольные ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ КАЛИНИНА С.В. Моделирование и проектирование космического нанолифта (Квант, 2009, №5) 4 2023 Контрольные ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ КАЛИНИНА С.В. 5 2023 Контрольные ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ КАЛИНИНА С.В. Общие вопросы моделирования – Поясните суть термина – “third pillar” of scientific inquiry. Приведите примеры, подтверждающие это утверждение; – Какова роль советских и российских ученых в развитии метода математического моделирования и что такое – «золотой век советской математики и физики»?; – Приведите примеры, описывающие состояние «катастрофа от изобилия» в математическом моделировании; – Приведите примеры научных открытий, сделанных на «кончике пера» методом моделирования; – Можно ли результат, полученный на основе модели Кронига-Пенни отнести к открытиям, сделанным на кончике пера? – Поясните суть терминов – «Кремниевая тайга» и «Кремниевая долина»; – Для чего инженеры-микроэлектронщики изучают математику и численные методы? – Является ли таблица Менделеева математической моделью? Ответ строго обосновать; - Простейшие модели. Задача Ньютона. Трава на лугу растёт одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров съели бы всю траву за 24 дня, а 30 коров – за 60 дней. Сколько коров съест всю траву на лугу за 96 дней? Разработайте математическую модель задачи и найдите ее решение. Постройте черный ящик модели. - Тело массой m брошено строго вертикально вверх с начальной скоростью v0. Пусть x(t) – это координата положения тела в момент t. а) Исходя из второго закона Ньютона найдите функцию x(t); б) Вычислите максимальную высоту подъёма; в) Найдите момент времени, когда тело вернется на Землю; г) Постройте график функции x(t). Поясните, где здесь – прямая задача, а где – обратная? 6 2023 Контрольные ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ КАЛИНИНА С.В. - Из задач В.И. Арнольда. Предположим, что вдоль всей земной оси от Северного полюса к Южному прорыт колодец и какой-то предмет уронили в этот колодец (без начальной скорости) на Северном полюсе. Как он будет двигаться? За какое время он достигнет центра Земли? Достигнет ли он Южного полюса? - Как можно рассчитать массу атмосферы Земли? - Чай охладился за 10 мин от 100 ◦C до 60 ◦C. За какое время он остынет до 25ºC, если температура воздуха в комнате 20 ◦C? (Считайте, что скорость остывания пропорциональна разности температур тела и окружающей среды.) - Земной шар стянули по экватору стальным обручем. Затем диаметр обруча увеличили так, чтобы длина обруча увеличилась на 1 метр. Сможет ли кошка проползти через образовавшийся между обручем и Землей зазор? (Считайте, что радиус Земли равен 6400 км). - Поясните методом моделирования, каким образом разрешается парадокс Зенона об Ахиллесе и черепахе: Ахиллес никогда не сможет догнать черепаху, т.к. сначала он должен достигнуть точки, где черепаха была в начальный момент, но за это время черепаха переползет в другую точку, а когда Ахиллес достигнет и этой точки, то черепаха уползет еще дальше и так до бесконечности. При разработке математической модели парадокса считайте, что скорость Ахиллеса в два раза выше скорости черепахи и первый отрезок пути Ахиллес пробегает за одну секунду. 7 2023 Контрольные ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ КАЛИНИНА С.В. Математический инструмент моделирования - В предлагаемой ниже задаче могут быть ошибки, содержащиеся в условиях задачи, ее решении или ответе. Попытайтесь разобраться в этом и найти ошибки там, где они есть. Задача: Найдите значение выражения 74 a 4 10 a 4 , если 74 a 4 10 a 4 4 . Решение: a 2 b2 Используя формулу a b , получим ab 74 10 74 a 4 10 a 4 16 4 Ответ: 16. - Пусть матрица А есть 1 2 1 A . Вычислите A вручную и 3 4 в MATHCAD (создайте и распечатайте листинг с описанием методики вычислений). Проверьте точность вычислений. Можно ли здесь найти прямую и обратную задачи? - Поясните, что такое – ранг матрицы. Покажите эквивалентность этого понятия при его различных определения. Сформулируйте теорему Кронекера– Капели. В чем состоит ее значение при решении систем линейных уравнений? Т.е. как ей пользоваться при решении СЛАУ? - При каких условиях система линейных уравнений a11 x a12 y b1 a x a y b 21 22 2 a) имеет единственное решение; б) имеет множество решений; в) не имеет решений. Приведите численные примеры систем для всех трех случаев и дайте на плоскости XY их геометрическую интерпретацию. Поясните – хорошо или плохо обусловлены выбранные Вами примеры. Обоснуйте свои выводы. 8 2023 Контрольные ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ КАЛИНИНА С.В. - Вычислите предел на основе правил Лопиталя lim x x ; x0 x ' - Для функции y x найдите производную y ; Поясните, каким образом при вычислении вы использовали правило нахождения производной для сложной функции. Сравните свои вычисления с результатом из MATHCAD. –Найдите ошибку в следующих вычислениях по формуле Ньютона-Лейбница. 2 2 (ln 2 x) dx (ln x) dx ln 2 ln1 ln 2 ' ' 1 1 С другой стороны, делая замену переменных y=2x получаем 2 4 1 1 1 ' (ln 2 x ) dx (lny) dy (ln 4 ln 2) ln 2 . 1 22 2 2 1 Тем самым имеет место быть равенство ln 2 ln 2 . 2 ' - Хорошо известно, что табличный интеграл от функции y(x)=x равен x2 xdx 2 C , где С – произвольная константа. Вычислим этот интеграл с помощью формулы интегрирования по частям, которая в общем виде для произвольных функций u(x) и v(x) есть: Итак, пусть u=x и v=x. Тогда: xdx x x xdx udv u v vdu . 2 xdx x 2 или xdx x 2 2 . Все вычисления проведены точно! Куда же делась константа С? - Вычислим интеграл от функции Y=1/x по частям: dx 1 x 1 x dx 1 x x dx x x2 Отсюда имеем, что 0=1!. Где же была допущена ошибка? - Докажите формулы: (1 x)3 1 3x o( x) 9 2023 Контрольные ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ КАЛИНИНА С.В. 1 x 1 1 1 x x 2 o( x 3 ) 2 8 Справка по символам Э. Ландау О большое и о малое: - Найдите приближенное значение 99 представив λ как 100 1 10 1 0.01 Как можно оценить погрешность найденного приближенного значения? - Предположим, что Вам нужно получить как можно более точную ручную численную оценку выражения z 1 1 при условии, что z=10-12. Поясните, каким образом это можно быстро сделать, используя формулу Тейлора? Покажите, что погрешность дискретизации при вычислении производной многократно дифференцируемой функции f(x) по формулам f ' ( x) f ( x h) f ( x) f ( x) f ( x h) ' ; f ( x) ; h h f ( x h) f ( x h) f ' ( x) 2h и второй производной по формуле f " ( x) f ( x h) 2 f ( x) f ( x h) h2 будет оцениваться как O(h), O(h), O(h2), O(h2) соответственно. – Сопротивление R полупроводника измеряют с помощью амперметра и вольтметра по схеме, приведенной на рисунке. 10 2023 Контрольные ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ КАЛИНИНА С.В. Сопротивление вольтметра RV>>R. Определите ошибку, которую допускают, вычисляя сопротивление полупроводника без учета тока, текущего через вольтметр. –В теории относительности кинетическую энергию ЕК подсчитывают по формуле ЕК=Е-Е0, где Е-полная энергия движущейся частицы, а Е0 – энергия покоя. Покажите, что при скорости частицы V<<C (С-скорость света) кинетическая энергия приближенно равна m0V2/2, где m0-масса покоящейся частицы. x2 y3 - Дано скалярное поле . В каком направлении функция φ будет z2 возрастать быстрее всего, если исходить из точки А (1,2,-1)? - Выпишите общее решение x(t) для уравнения dx x. dt Поясните, как для этого уравнения формулируется задача Коши? Приведите частный случай этой задачи и найдите ее решение в ручную и в MATHCAD. - Выпишите общие решения двух дифференциальных уравнений 2-го порядка d2y y dx 2 d2y y 0. dx 2 Найдите частные решения, соответствующие на отрезке [0.1] двухточечной краевой задачи вида: y x0 0 y x1 0 . Какое из этих двух уравнений математически соответствует стационарному уравнению Шредингера? Сколько решений для данных граничных условий будет иметь такое уравнение Шредингера? Какую физическую задачу можно решить с помощью этой модели? Верна ли следующая модель, обосновывающая сотворение мира Богом, предложенная монахом Г. Гранди в 1703 году: “ По-разному расставляя знаки в выражении 1-1+1-1+… , я могу по желанию получить 0 или 1. Тогда нет ничего невозможного в предположении о сотворении мира из ничего”. 11 2023 Контрольные ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ КАЛИНИНА С.В. Погрешность компьютерных вычислений связана с тем, что количество значащих цифр в числах, с которыми выполняются вычисления – ограничено. Прямыми вычислениями в MATHCAD убедитесь, что классическая формула нахождения корней квадратного уравнения b b 2 4ac 2 при b ac дает большую погрешность (поясните как x1,2 2a можно приблизительно оценить ее величину) и поэтому в таких случаях целесообразно использовать другие способы вычислений. Какие из них Вы можете предложить? Решите уравнение (оксфордская вступительная задача) x 2 x3 12 Неужели открытие?(Из задачника журнала Квант) Пусть на отрезке a x b уравнение f ( x) 0 имеет единственный корень x0 , а функция f ( x) непрерывна на этом отрезке и на концах его принимает значения разных знаков. Проведем хорды AC и BC дуги графика заданной функции на отрезке a, b . Запишем уравнение прямой, проходящей через точки Ab; f (b) и C ( x0 ; 0) : y A f(b) a C x0 0 b x f(a) B f (b) y b x , f (b) 0 b x0 из которого находим y f (b) bx f (b) . b x0 Аналогично запишем уравнение прямой, проходящей через точки B a; f (a) и C ( x0 ; 0) : f (a ) y a x , откуда f (a) 0 a x0 12 2023 Контрольные ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ КАЛИНИНА С.В. ax f (a ) . a x0 Чтобы найти координаты точки пересечения этих прямых, решим систему bx y f ( b ) f (b) b x0 y f (a ) a x f (a ) a x0 y f (a ) Выписывая цепочку равенств f (b) bx ax f (b) f (a) f (a) , b x0 a x0 x x0 x x0 f (b) b x0 bx ax f (a) , находим f (b) 1 f (a) 1 , f (b) b x0 a x0 f (a) a x0 b x0 a x0 bf (a) af (b) x0 . f (a) f (b) Получена формула для корня данного уравнения f ( x) 0 ! Но математики Нильс Абель и Эварист Галуа (Галуа за этот результат часто называют избранником богов) еще в XIX веке дали исчерпывающее доказательство того, что для всех алгебраических уравнений выше четвертой степени составить формулы их точного решения нельзя. Где же была допущена ошибка? Нильс Абель, 1802-1829 норвежский математик Эварист Галуа, 1811-1832 французский математик (“избранник богов”) 13 2023 Контрольные ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ КАЛИНИНА С.В. Тема «Основы физики полупроводников» Поясните на модели ковалентных связей процессы тепловой генерациирекомбинации электронов и дырок и установите при этом связь модели ковалентных связей с зонными диаграммами. –Почему заряд ионизированной легирующей примеси донорного типа в кремнии имеет положительный знак (хотя примесь «порождает» электроны, которые имеют отрицательный знак), а акцепторной – наоборот – отрицательный. Опишите процесс ионизации примесей графически на модели зонных диаграмм и на основе модели ковалентных связей. Поясните, какие заряды в полупроводнике относят к подвижным зарядам, какие – к неподвижным; запишите общую формулу для объемного заряда в полупроводнике. На основе модели пространственного заряда постройте графики распределения объемного заряда в полупроводниках n- и p-типов, а также в резком p-n-переходе в направлении, перпендикулярном металлургической границе. Постройте зонные диаграммы полупроводников n и p –типов и дайте пояснения к ним. Уточните, может ли дырка перейти из валентной зоны в зону проводимости или в запрещенную зону на акцепторный уровень? Поясните, может ли в результате диффузии в p-n-переходе выровняться концентрация одноименных подвижных носителей заряда в смежных областях перехода (подобно жидкости в двух сообщающихся сосудах)? 14 2023 Контрольные ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ КАЛИНИНА С.В. Поясните, какие физические процессы отражены на зонных диаграммах, приведенных ниже? Также постройте качественный график зависимости концентрации электронов от температуры. Какие основные физические механизмы отвечают за формирование тока в полупроводнике? Запишите формулы для этих токов. Поясните, почему в формулах для диффузионной плотности тока в электронной и дырочной компоненте есть разница в знаках, а для дрейфовой – нет? Вычислите на основе моделей для плотностей токов, куда направлены диффузионный и дрейфовый ток для электронов и дырок в p-n- переходе, находящемся в равновесном состоянии? Поясните физику работы p-n- перехода. Какова при этом роль процессов тепловой генерации-рекомбинации? Каким образом можно записать модель этих процессов? Поясните, каким образом можно узнать, что p-n-переход находится в состоянии теплового равновесия? Поясните, каким образом можно вычислить высоту потенциального барьера p-n-перехода, находящегося в состоянии равновесия, если при этом использовать свойство равенства нулю дырочной (или электронной) компонент токов? Поясните верно ли следующее утверждение: «Большая величина встроенного потенциала означает большую ширину области пространственного заряда в p-nпереходе»? Известно, что в кремниевых p-n-переходах величина контактной разности потенциалов составляет величину, лежащую в пределах 0,6-0,9 Вольт (в 15 2023 Контрольные ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ КАЛИНИНА С.В. зависимости от степени легирования). Поясните, почему вольтметром нельзя измерить контактную разность потенциалов в p-n-переходе? – Предположим, что зонная диаграмма полупроводника имеет вид, приведенный на рисунке слева. Нарисуйте, как при этом будет распределяться напряженность электрического поля ? – Кремниевый прибор находится в состоянии теплового равновесия при температуре 300К. Распределение напряженности поля имеет вид, показанный на рисунке. Постройте зонную диаграмму прибора, с точной прорисовкой зависимостей Fi(x) и F(x) (собственного уровня Ферми и уровня Ферми). Устройство с горячим зондом – полезный лабораторный прибор. Он используется для определения типа проводимости полупроводникового образца и состоит из двух зондов и амперметра, указывающего направление тока. Один из зондов нагревается (в простейшем случае – жалом паяльника), а другой находится при комнатной температуре. Если в отсутствии внешнего напряжения коснуться зондами полупроводника, то потечет ток. Учитывая роль диффузионных токов, объясните действие прибора и нарисуйте графическую модель для этого явления, показывающую направление тока в двух случаях: для полупроводника n и p типов. Вычислите, как будет работать горячий зонд в случае собственного полупроводника? Предположим, что имеется полупроводниковый образец в виде одномерного стержня, вдоль которого вследствие неоднородного легирования существует встроенное электрическое поле. Сам образец находится в состоянии равновесия. Постройте математическую модель, описывающую величину напряженности встроенного поля и разность потенциалов на концах образца. Нарисуйте зонную диаграмму, соответствующую вашему случаю. 16 2023 Контрольные ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ КАЛИНИНА С.В. * Предположим, что полупроводниковый образец имеет зонную диаграмму вида: А) Поясните, этот образец находится в состоянии равновесия? Б) Схематично нарисуйте распределение электрического поля Е(х); B) Схематично нарисуйте распределение концентраций n(x) p(x); Г) Постройте приблизительный график зависимости плотностей дрейфового и диффузионного токов от координаты х. Убедитесь, что графики правильно отражают направления этих токов. * Предположим, что диффузионный кремниевый p-n-переход имеет линейный профиль распределения примеси в р-области с величиной наклона а=10-19 см-4 и однородный профиль легирования с величиной 3*1014 см-3 в n-области (см.рис). а) Если при нулевом смещении на переходе ширина обедненной p-области равна 0,8 мкм, найдите общую ширину ОПЗ, встроенный потенциал и максимальную напряженность поля. б) Вычислите распределение потенциала при нулевом смещении на переходе и постройте его график в MATHCAD. 17
