Министерство науки и высшего образования Российский Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б.Н. ЕЛЬЦИНА» (ФГАОУ ВО УрФУ) РЕФЕРАТ ИМПУЛЬС. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА. ЗАДАЧИ НА УПРУГИЕ И НЕУПРУГИЕ СОУДАРЕНИЯ ЧАСТИЦ Студент: ______________ Болдырева М.А. подпись Группа: МЕН-132701 Екатеринбург 2023 СОДЕРЖАНИЕ ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ...................................................................................................3 ПЕРЕЧЕНЬ СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ .....................................................................4 ВВЕДЕНИЕ ....................................................................................................................................5 1 Импульс .......................................................................................................................................6 2 Закон сохранения импульса.......................................................................................................7 3 Решение задач на закон сохранения импульса ......................................................................10 ЗАКЛЮЧЕНИЕ............................................................................................................................11 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ..................................................................12 2 ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Импульс – это векторная величина, численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющую направление скорости Сила – физическая векторная величина, являющаяся мерой воздействия на данное тело со стороны других тел или полей. Приложение силы обусловливает изменение скорости тела или появление деформаций и механических напряжений. Деформация может возникать как в самом теле, так и в фиксирующих его объектах – например, пружинах. Удар – кратковременное взаимодействие тел. 3 ПЕРЕЧЕНЬ СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ 𝑝 – импульс 𝑚 – масса 𝑣 – скорость 𝑡 – время F – сила 𝑐 – скорость света ИСО – инерциальная система отсчета ЗСИ – закон сохранения импульса м/с – метры в секунды 4 ВВЕДЕНИЕ Любое тело (или совокупность тел) можно рассматривать как систему материальных точек, или частиц. Если в системе с течением времени происходят какие-то процессы, то говорят, что изменяется ее состояние. Состояние системы можно определить, задав положения (координат) и скорости всех ее частиц. Зная законы действующих на частицы системы сил и состояние системы в некоторый начальный момент времени, можно с помощью уравнений движения предсказать ее дальнейшее поведение, то есть найти состояние системы в любой момент времени. Так, например, решается задача о движении планет Солнечной системы. Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса являются наиболее общими физическими законами. Они имеют глубокое происхождение, связанное с фундаментальными свойствами пространства и времени – однородностью и изотропностью. А именно: закон сохранения энергии связан с однородностью времени, закон сохранения импульса – с однородностью пространства, закон сохранения момента импульса с изотропностью пространства. Вследствие этого использование их не ограничивается рамками классической механики, они работают и при описании абсолютно всех известных явлений от космических до квантовых. Важность законов сохранения, как инструмента теоретического исследования, обусловлена следующими обстоятельствами: 1. Законы сохранения не зависят ни от траекторий частиц, ни от характера действующих сил. Поэтому они позволяют получить ряд весьма общих и существенных заключений о свойствах различных механических процессов, не вникая в их детальное рассмотрение с помощью уравнений движения. Если, например, выясняется, что некий анализируемый процесс противоречит законам сохранения, то можно утверждать: этот процесс невозможен, и бессмысленно пытаться его осуществить. 2. Независимость законов сохранения от характера действующих сил позволяет использовать их даже в том случае, когда силы неизвестны. Так дело обстоит, например, в области микромира, где понятия материальной точки, а следовательно, и силы бессмысленны. Такая же ситуация имеет место при анализе систем большого числа частиц, когда технически невозможно определить одновременно координаты частиц, и поэтому – рассчитать действующие между частицами силы. Законы сохранения являются в этих случаях единственным инструментом теоретического исследования. 3. Даже в случае, если все силы известны и использование законов сохранения не дает новой по сравнению с уравнением движения (вторым законом Ньютона) информации, их применение может существенно упростить теоретические выкладки (1). 5 1 Импульс Импульсом (количеством движения) тела называют физическую векторную величину, являющуюся количественной характеристикой поступательного движения тел. Импульс тела равен произведению массы тела на его скорость, то есть он рассчитывается по формуле: (1) 𝑃 = 𝑚𝑣⃗ Он может изменяться под действием различных сил, например, силы тяжести. Если сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю, импульс остается постоянным Он обладает важнейшим свойством, которое имеется лишь у немногих физических величин. Это свойство сохранения. Свойство сохраняться — это свойство оставаться неизменным. Относится оно к случаю, когда два или более тел взаимодействуют друг с другом, но на них не действуют внешние силы. Такая группа тел, или система тел, называется замкнутой. Замкнутой системой тел, называют совокупность тел, которые взаимодействуют между собой, но не взаимодействуют с другими телами. Кроме того, импульс играет важную роль в механике. Он используется для описания движения тел в различных системах отсчета, а также для определения скорости и ускорения тела. Импульс системы материальных точек равен геометрической (векторной) сумме импульсов всех точек системы и, следовательно, равен произведению массы системы на скорость ее центра инерции: 𝑛 𝑃⃗⃗𝑐 = ∑ 𝑃𝑖 = 𝑚𝑣 ⃗⃗⃗⃗𝑐 Второй закон Ньютона: (2) 𝑖=1 ��=� (3) можно записать в иной форме, которая приведена самим Ньютоном в его главном труде «Математические начала натуральной философии». Если на тело (материальную точку) действует постоянная сила, то постоянным является и ускорение: 𝑎= 𝑣22 − 𝑣12 𝛥𝑡 (4) Подставив это значение ускорения (4) в выражение (3), получим: 𝑚𝑣⃗2 − 𝑚𝑣⃗1 = 𝐹⃗𝛥 𝑡 (5) Второй закон Ньютона можно записать другим способом, с использованием импульса: (2) ��=��� 6 (6) Импульс является одной из основных физических величин, используемых для описания движения тел. Знание законов сохранения импульса позволяет нам лучше понимать законы движения и взаимодействия тел в природе. 2 Закон сохранения импульса Совокупность тел, выделенных для рассмотрения, называется механической системой. Тела системы могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не входящими в систему. В соответствии с этим силы, действующие на тела системы, подразделяются на внутренние и внешние. Внутренними называют силы, с которыми тела системы действуют друг на друга, внешними - силы, обусловленные воздействием тел, не принадлежащих системе. Система, в которой внешние силы отсутствуют, называется замкнутой. Для замкнутых систем остаются постоянными (сохраняются) три физические величины: энергия, импульс и момент импульса. Соответственно имеются три закона сохранения: закон сохранения энергии, закон сохранения импульса и закон сохранения момента импульса. Эти законы тесно связаны со свойствами времени и пространства. Кроме названных, есть еще ряд законов сохранения (например, закон сохранения электрического заряда). Законы сохранения являются фундаментальными законами природы. Рассматриваемые в механике законы сохранения энергии, импульса и момента импульса оказываются точными законами и имеют всеобщий характер - они применимы не только к механическим явлениям, но и вообще ко всем явлениям природы, в частности они соблюдаются в релятивистской области и в мире элементарных частиц. Они не зависят от природы и характера действующих сил. Поэтому с их помощью можно делать ряд важных заключений о поведении механических систем даже в тех случаях, когда силы остаются неизвестными. Закона сохранения импульса удобно рассматривать на ударах двух тел. Они бывают разных видов, они приведены в таблице 1. Таблица 1 – Сравнение ударов Вид удара Центральный Характеристика Скорости шаров после удара будут направлены вдоль той же прямой, вдоль которой двигались центры до удара Абсолютно упругий Механическая энергия не переходит в другие виды энергии. При таком ударе кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела принимают первоначальную форму, отталкиваясь друг от друга. Потенциальная энергия упругой деформации вновь полностью переходит в кинетическую Абсолютно неупругий После удара тела движутся с одинаковой скоростью либо покоятся, кинетическая энергия полностью или частично превращается во внутреннюю энергию. При абсолютно неупругом ударе не выполняется закон сохранения механической энергии, выполняется только закон сохранения импульса 7 Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из n материальных точек (в механике – это система, на тела, входящие в которую не действуют внешние силы от тел вне данной системы, или когда геометрическая сумма воздействующих на систему внешних сил равна нулю). Опытным путем установлено, что в такой системе взаимодействие материальных точек осуществляется так, что 𝑛 𝑛 𝑃 = ∑ 𝑚𝑖 𝑣𝑖 = ∑ 𝑝𝑖 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑖=1 (7) 𝑖=1 Таким образом, полный импульс замкнутой системы материальных точек не изменяется с течением времени. Это утверждение носит название закона сохранения импульса. Конечно, под действием внутренних сил (сил внутри замкнутой системы), которые согласно III закону Ньютона попарно скомпенсированы, может меняться импульс отдельных частиц замкнутой системы, но для всей системы в целом полный импульс сохраняется. Закон сохранения импульса является прямым следствием законов Ньютона. Это удобно показать на примере замкнутой системы, состоящей из двух тел. Рассмотрим систему, состоящую из двух тел на примере рисунка 1. Силы F12 и F21, с которыми тела системы взаимодействуют между собой, называются внутренними. Рисунок 1 – Система из двух тел, которые взаимодействуют между собой Пусть замкнутая система состоит из двух взаимодействующих материальных точек, у которых по III закону Ньютона внутренние силы равны 𝐹12 = −𝐹21 . Если время взаимодействия 𝛥𝑡, то 𝐹12 𝛥𝑡 = −𝐹21 𝛥𝑡. Согласно II закону Ньютона импульс силы 𝐹12 𝛥𝑡 равен приращению импульса второй точки (𝑝2′ − 𝑝2), а импульс силы 𝐹21 𝛥𝑡 – первой (𝑝1′ − 𝑝1), откуда 𝑝1 + 𝑝2 = 𝑝1′ + 𝑝2′ (8) Закон сохранения импульса выполняется при определенных условиях: 1) Все реальные системы, конечно, не являются замкнутыми, сумма внешних сил довольно редко может оказаться равной нулю. Тем не менее в очень многих случаях закон сохранения импульса можно применять. 2) Если сумма внешних сил не равна нулю, но равна нулю сумма проекций сил на какое-то направление, то проекция импульса системы на это направление сохраняется. Например, система тел на Земле или вблизи ее поверхности не может быть замкнутой, так как на все тела действует сила тяжести, которая изменяет импульс по вертикали согласно уравнению (9). Однако вдоль горизонтального 8 направления сила тяжести не может изменять импульс, и сумма проекций импульсов тел на горизонтально направленную ось будет оставаться неизменной, если действием сил сопротивления можно пренебречь. Кроме того, при быстрых взаимодействиях (взрыв снаряда, выстрел из орудия, столкновения атомов и тому подобное) изменение импульсов отдельных тел будет фактически обусловлено только внутренними силами. Импульс системы сохраняется при этом с большой точностью, ибо такие внешние силы, как сила тяготения и сила трения, зависящая от скорости, заметно не изменяет импульса системы. Они малы по сравнению с внутренними силами. Так, скорость осколков снаряда при взрыве в зависимости от калибра может изменяться в пределах 600 — 1000 м/с. Интервал времени, за который сила тяжести смогла бы сообщить телам такую скорость, равен (9). Внутренние же силы давления газов сообщают такие скорости за 0,01 с, т.е. в 10000 раз быстрее. 𝛥𝑡 = 𝑚𝛥 𝑣 ≈ 100𝑐 𝑚𝑔 9 (9) 3 Решение задач на закон сохранения импульса Закон сохранения импульса является фундаментальным физическим принципом, который гласит, что сумма импульсов всех тел в замкнутой системе остается постоянной на протяжении времени. Этот закон может быть применен для решения различных задач на взаимодействие тел, включая задачи на ударные взаимодействия. При решении задач на ударное взаимодействие обычно рассматривают два состояния тела - до взаимодействия и после взаимодействия: 𝑝1 = 𝑚1 𝑣1 ; 𝑝2 = 𝑚2 𝑣2 (10) В каждом состоянии импульс тела можно записать как произведение его массы на скорость. Для упругого удара предполагается, что тела после удара продолжают двигаться в том же направлении, но с другими скоростями и массами. В этом случае ЗСИ записывается как: (11) 𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2 = 𝑚1 𝓊1 + 𝑚2 𝓊2 где 𝓊1 и 𝓊2 - скорости тел после взаимодействия. Если удар является неупругим, то тела движутся совместно после удара, и их общий импульс сохраняется. В этом случае записывается: 𝑚1 𝑣1 = (𝑚1 + 𝑚2 ) 𝓊 (12) где 𝓊 - общая скорость тел после взаимодействия. Для решения задач на закон сохранения импульса можно использовать следующий алгоритм: 1. Определите систему, для которой будет применяться закон сохранения импульса. Это может быть система из нескольких тел или состоящая из одного тела и внешних сил. 2. Найдите общий импульс системы до взаимодействия тел (∑𝑝 до). Это можно сделать, умножив массу каждого тела на его скорость и сложив результаты для всех тел. 3. Найдите общий импульс системы после взаимодействия тел (∑𝑝 после). Аналогично, умножьте массу каждого тела после взаимодействия на его скорость и сложите результаты. 4. Сравните общий импульс до и после взаимодействия системы. Если они равны (∑𝑝 до = ∑𝑝 после), то закон сохранения импульса выполняется, и вы можете использовать эту информацию для решения задачи. 5. Примените полученное знание о сохранении импульса для решения конкретной задачи, например, для определения скорости тела после взаимодействия или изменения его импульса. Соблюдение данного алгоритма поможет решать задачи, связанные с законом сохранения импульса. 10 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Закон сохранения импульса гласит, что в замкнутой системе сумма всех импульсов остается постоянной. Это означает, что если мы рассматриваем только два тела, взаимодействующих друг с другом, то их общий импульс до и после взаимодействия будет одинаковым. Закон сохранения импульса может быть использован для решения многих задач, связанных с ударами, столкновениями и другими взаимодействиями между телами. Он позволяет определить скорости тел после удара или столкновения, если известны их массы и скорости до взаимодействия. В случае упругого удара, когда тела отскакивают друг от друга, закон сохранения импульса позволяет определить их скорости после удара. Если удар является неупругим и тела остаются вместе после удара, то закон сохранения импульса позволяет найти общую скорость тел после столкновения. Таким образом, закон сохранения импульса является важным инструментом для изучения взаимодействия тел и может быть использован в различных областях науки и техники, таких как механика, астрономия, баллистика и так далее. 11 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Афонин А.М. // Том 1 курса системы открытого образования "Физика в техническом университете". 2001-2002. URL: http://fn.bmstu.ru/data-physics/library/physbook/tom1/ ch4/texthtml/ch4_1_text.htm (дата обращения: 08.11.2023). 2. Волович В. // Импульс - Физика - Теория, тесты, формулы и задачи - Обучение Физике, Онлайн подготовка к ЦТ и ЕГЭ. 2014-2023. URL: https://educon.by/index.php/materials/ phys/impuls (дата обращения: 16.11.2023). 3. Савельев И.В. Курс общей физики. В 3-х томах. Т.1 Механика. Молекулярная физика. Москва: Наука, 1982. 103 с. 12
