Конспект урока на тему: "Геометрические построения с помощью циркуля и линейки"

Конспект урока «Геометрические построения с помощью циркуля и линейки»
Учебник: Геометрия 7 - 9 класс – Л.С. Атанасян
Класс:
7
Тема урока:
Геометрические построения с помощью циркуля и линейки
Тип урока:
Урок изучения нового материала
Тема предыдущего Окружность
урока:
Тема следующего Решение задач на построение
урока:
Коммуникативные
УУД:
учитывать разные мнения и стремиться к координации различных позиций в
сотрудничестве
Регулятивные УУД: Уметь самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для
решения учебных математических задач
Личностные УУД:
Развивать логическое и критическое мышление, культуру речи.
Проявлять ответственное отношение к учению, познавательную инициативу;
Познавательные
УУД:
- выводить следствия из имеющихся в условии задачи данных;
- устанавливать причинно-следственные связи.
Цели урока:
Образовательные:
- рассмотреть основные задачи на построение циркулем и линейкой;
- формировать практические умения работы с чертежными инструментами.
Развивающие:
- развивать грамотную математическую речь учащихся (обогащать и усложнять
словарный запас при использовании специальных математических терминов),
- развитие способности выделять главное, анализировать, сравнивать,
определять и объяснять понятия;
- способствовать формированию навыков работать в коллективе при
выполнении групповых заданий;
- развитие умений применять полученные знания на практике;
- формирование умений строить доказательства, логическую цепочку
рассуждений;
- формирование умений проводить обобщение, переносить знания в новую
ситуацию.
Воспитательные:
- продолжать воспитание у учащихся культуры оформления письменного
решения математических задач
- воспитание логического мышления, ответственности за получение знаний;
- воспитание познавательного интереса к учебному предмету;
- воспитание у учащихся культуры мышления;
Этапы урока:
1.
2.
Организационный момент (2 мин.)
Актуализация знаний (10 мин.)
2.1. Фронтальный опрос с целью актуализации знаний.
2.2. Мотивация (Беседа с целью постановки проблемы.)
3.
4.
Формирование новых знаний (20 мин.)
3.1. Подготовка к введению определения (беседа и решение задачи)
3.2. Введения определения (решение задач )
Применение новых знаний (13 мин.)
4.1. Применение полученных в ходе занятие знаний на практике.
4.2. Фронтальный опрос с целью рефлексии и постановка домашнего задания
Ход урока:
1. Организационный момент (2 мин.)
Учитель: Здравствуйте ребята! Присаживайтесь и начнём наш урок. Подписываем число, классная
работа. Какое сегодня у нас число …
1) Учитель приветствует учащихся.
2) Учитель выявляет отсутствующих, выясняет причину отсутствия.
3) Проверка готовности учащихся к уроку (внешний вид, рабочая поза, состояние рабочего места).
4) Проверка подготовленности классного помещения к уроку (чистая доска, мел, тряпка, порядок
в классе).
5) Организация внимания
2.
Актуализация знаний (10 мин.)
2.1. Фронтальный опрос с целью актуализации знаний.
Учитель. Прежде чем приступить к теме сегодняшнего урока, проверим как вы усвоили материал
прошлого занятия.
Тестовые задания по теме «Окружность»
Инструкция по выполнению работы: на выполнение работы отводится 5 минут. При выполнении
заданий с выбором ответа обведите кружком номер правильного ответа в работе.
1. Окружностью называется геометрическая фигура, которая:
a.
b.
2.
a.
b.
состоит из множества точек, расположенных на одинаковом расстоянии от некоторой точки;
состоит из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.
Центр окружности – это:
середина окружности;
точка, равноудаленная от всех точек окружности.
3.
Радиусом окружности называется:
a.
отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо точкой окружности;
b.
линия, соединяющая центр окружности с заданной точкой.
4.
a.
b.
5.
a.
b.
Хорда окружности – это:
линия, соединяющая любые точки окружности;
отрезок, соединяющий две точки окружности.
Диаметром окружности называется:
хорда, проходящая через центр окружности;
два радиуса, лежащие на одной прямой.
6.
Дуга окружности – это:
a.
часть окружности, ограниченная двумя её точками;
b.
часть окружности, ограниченная хордой.
Оцени себя по теме «Окружность»
Если у тебя:
6 верных ответов --- оценка 5
5 верных ответов --- оценка 4
4 верных ответов --- оценка 3
Меньшее число верных ответов оценивается 2
Количество верных ответов: _________
Оценка: _________
Правильные ответы: 1) b; 2) b; 3) a; 4) b; 5) a; 6) a.
или
Домашнее задание:
143. Какие из отрезков, изображённых на рисунке 90, являются: а) хордами
окружности; б) диаметрами окружности; в) радиусами окружности?
146. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности с центром О. Найдите
периметр треугольника AOD, если известно, что СВ = 13 см, АВ = 16 см.
Задача. Начертите треугольник АВС такой, что АВ = 3,6 см, АС = 2,7 см, А
= 48°. Какие инструменты вы использовали для решения этой задачи?
2.2.
Мотивация (Беседа.)
3.
Формирование новых знаний (20 мин.)
3.1. Подготовка к введению определения (решение задач)
Учитель. Мы с вами уже имели дело с геометрическими построениями. Какие примеры вы можете
привести?
Уч. (высказывают варианты)
Учитель. Именно мы проводили прямые, откладывали отрезки, равные данным, чертили углы,
треугольники и другие фигуры с помощью различных инструментов. Какими инструментами мы
пользовались ?
Уч. Линейка, транспортир, циркуль, чертежный угольник и др.воз.в.
Учитель. Именно. При построении отрезка заданной длины использовались линейка с
миллиметровыми делениями, а при построении углов заданной градусной меры – транспортир.
Учитель. В домашней работе у вас была такая задача: Начертите треугольник АВС такой, что АВ =
3,6 см, АС = 2,7 см, А = 48°. Какие инструменты вы использовали для решения этой задачи?
Уч. Линейка, транспортир
Учитель. Итак, вы использовали линейку с миллиметровыми делениями и транспортир. Но есть такие
задачи, в которых бывает оговорено, с помощью каких инструментов нужно построить предлагаемую
геометрическую фигуру. Решим такую задачу:
Учитель. Но прежде чем приступить к решению задач на построение, я должна напомнить вам
технику безопасности при работе с циркулем. Циркуль лежит с правой стороны, острием к себе.
Без разрешения учителя его не берем. Передаем товарищам тупым концом. Чертим – упор на
острие.
Учитель. Задача 1. С помощью циркуля и линейки без делений на данном луче от его начала отложить
отрезок, равный данному.
Уч. Учащиеся предлагают варианты решений. Затем
обсуждают решение. (Решение: Изобразим фигуры, данные в
условии задачи: луч ОС и отрезок АВ (рис. 83, а). Затем
циркулем построим окружность радиуса АВ с центром О
(рис. 83, б). Эта окружность пересечет луч ОС в некоторой
точке D. Отрезок OD — искомый.)
Учитель. Оказывается, многие построения в геометрии могут
быть выполнены с помощью только циркуля и линейки без
делений. Поэтому в геометрии специально выделяют те задачи на построение, которые решаются с
помощью только этих двух инструментов.
Учитель. Задачи на построение циркулем и линейкой являются традиционным материалом,
изучаемым в курсе планиметрии. Обычно эти задачи решаются по схеме, состоящей из четырех частей.
1. Сначала рисуют (чертят) искомую фигуру и устанавливают связи между данными задачи и
искомыми элементами. Эта часть решения называется анализом. Она дает возможность
составить план решения задачи.
2. Затем по намеченному плану выполняется построение циркулем и линейкой.
3. После этого нужно доказать, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи.
4. И наконец, необходимо исследовать, при любых ли данных задача имеет решение, и если
имеет, то сколько решений.
В VII классе мы решим простейшие задачи на построение циркулем и линейкой, в других классах
будем решать более сложные задачи.
(Из лекции по МОМ)
Линейкой можно выполнить:
1. Прямая через 2 заданные точки
2. Луч через начало и точку (2 точки)
3. Отрезок если есть начало и конец.
Циркуль:
1. окружность с центром О радиусом R
2. Дугу окружности, если даны центр окружности и концы
Кроме перечисленных считаются возможными следующие построения
1. точки пересечения двух прямых, если она существует
2. точки пересечения прямой и окружности
3. точки пересечения двух окружностей
4. взять на прямой или окружности произвольную точку и вне их
5. провести на плоскости произвольную прямую
Кроме основных построений существуют элементарные построения , к которым обычно сводят более
сложные, при этом считается, что элементарное построение можно выполнить всегда
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Разделить отрезок пополам
Построить биссектрису угла
Построить отрезок равный данному
Построить угол равный данному
Построить прямую параллельную данной, проходящую через заданную точку
Построить прямую перпендикулярную данной , проходящей через заданную точку
Построить треугольник по 2 сторонам углу между ними (8. по стороне и прилежащим к ней
углам, 9. по трём сторонам)
3.2. Введения определения (решение задач)
Учитель. И так, наша задача – выполнить задачи на построение только с помощью двух инструментов:
циркуля и линейки без масштабных делений.
Учитель. Как вы думаете что можно сделать с помощью этих двух инструментов? Что можно
сделать с помощью линейки?
Уч. линейка позволяет провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую
через две данные точки.
Учитель. Хорошо, а что мы можем выполнить с помощью циркуля?
Уч. С помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также
окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку.
Учитель. Выполняя эти несложные операции, мы сможем решить много интересных задач на
построение:
На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному.
Отложить от данного луча угол, равный данному.
Построить биссектрису данного неразвернутого угла.
Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к прямой, на
которой лежит данная точка.
5. Построить середину данного отрезка.
1.
2.
3.
4.
Учитель. Мы уже решили задачу № 1. Теперь рассмотрим остальные задачи.
Задача 2. Отложить от данного луча угол, равный данному.
Решение
Данный угол с вершиной А и луч ОМ изображены на
рисунке 84. Требуется построить угол, равный углу А,
так, чтобы одна из его сторон совпала с лучом ОМ.
Проведём окружность произвольного радиуса с
центром в вершине А данного угла. Эта окружность
пересекает стороны угла в точках В и С (рис. 85, а).
Затем проведём окружность того же радиуса с центром
в начете данного луча ОМ. Она пересекает луч в точке D (рис. 85, б). После этого построим окружность
с центром D, радиус которой равен ВС. Окружности с центрами О и D пересекаются в двух точках.
Одну из этих точек обозначим буквой Е. Докажем, что угол МОЕ — искомый.
Рассмотрим треугольники АВС и ODE. Отрезки АВ и АС являются радиусами окружности с центром
А, а отрезки OD и ОЕ — радиусами окружности с центром О (см. рис. 85, б). Так как по построению
эти окружности имеют равные радиусы, то AB = OD, АС = ОЕ. Также по построению ВС = DE.
Следовательно, АВС = ODE по трём сторонам. Поэтому ∠DOE = ∠BAC, т. е. построенный угол
МОЕ равен данному углу А.
То же построение можно выполнить и на местности, если вместо циркуля воспользоваться верёвкой.
Задача 3. Построить биссектрису данного угла.
Решение: Данный угол ВАС изображён на рисунке 86. Проведём окружность произвольного радиуса
с центром в вершине А. Она пересечёт стороны угла в точках В и С.
Затем проведём две окружности одинакового
радиуса ВС с центрами в точках В и С (на рисунке
изображены лишь части этих окружностей). Они
пересекутся в двух точках, из которых хотя бы одна
лежит внутри угла. Обозначим её буквой Е.
Докажем, что луч АЕ является биссектрисой
данного угла ВАС.
Рассмотрим треугольники АСЕ и АВЕ. Они равны
по трём сторонам. В самом деле, АЕ — общая
сторона; АС и АВ равны как радиусы одной и той
же окружности; СЕ = BE по построению.
Из равенства треугольников АСЕ и АВЕ следует,
что ∠CAE = ∠BAE, т. е. луч АЕ — биссектриса
данного угла ВАС.
Задача 4. Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой.
Решение
Данная прямая а и данная точка М, принадлежащая этой прямой,
изображены на рисунке 87.
На лучах прямой а, исходящих из точки М, отложим равные отрезки МА и
МВ. Затем построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. Они
пересекаются в двух точках: Р и Q.
Проведём прямую через точку М и одну из этих точек, например прямую МР
(см. рис. 87), и докажем, что эта прямая — искомая, т. е. что она
перпендикулярна к данной прямой а.
В самом деле, так как медиана РМ равнобедренного треугольника
РАВ является также высотой, то PM ⊥ а.
Задача 5. Построить середину данного отрезка.
Решение:
Проведём прямую через точку М и одну из этих точек, например прямую МР
(см. рис. 87), и докажем, что эта прямая — искомая, т. е. что она
перпендикулярна к данной прямой а.
В самом деле, так как медиана РМ равнобедренного треугольника РАВ
является также высотой, то PM ⊥ а.
В самом деле, треугольники APQ и BPQ равны по трём сторонам, поэтому ∠1 =∠2 (рис. 89).
Следовательно, отрезок РО — биссектриса равнобедренного треугольника АРВ, а значит, и медиана,
т. е. точка О — середина отрезка АВ.
4.
Применение новых знаний (13 мин.)
4.1. Применение полученных в ходе занятие знаний на практике.
Учитель. Решить задачи № 148,150. 155-а.- самостоятельная работа с проверкой в классе,
(возможно с выходом к доске)
148: На прямой даны две точки А и В. На продолжении луча В А отложите отрезок ВС так, чтобы ВС
= 2АВ.
Решение. Проведем окружность радиуса В А с центром в точке В. Она пересекает прямую АВ в точках
Аи D (рис.79).
Далее проведем окружность радиуса DB с центром в точке D. Она пересекает прямую АВ в точках В
и С.
Отрезок ВС — искомый, поскольку АВ = BD = DC, и поэтому ВС = 2АВ.
150: Даны окружность, точка А, не лежащая на ней, и отрезок PQ. Постройте точку М на окружности
так, чтобы AM = PQ. Всегда ли задача имеет решение?
Решение. Построим окружность с центром А, радиус которой равен PQ (рис.81). Если эта окружность
имеет общую точку М с данной окружностью, то М — искомая точка, поскольку AM = PQ. Если же
построенная окружность не имеет общих точек с данной окружностью, то задача не имеет решения.
155: С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный: а) 45°;
Решение. Проведём прямую и отметим на ней точки А и В. Затем построим прямую АС,
перпендикулярную к прямой АВ (как это сделать, описано в п. 23 учебника). Очевидно, ZBAC = 90°.
а) Построим биссектрису AD угла ВАС. Тогда ZBAD = 45°
4.2. Фронтальный опрос с целью рефлексии и постановка домашнего задания
Учитель. Вот мы с вами выполняли какие-то построение. Давайте еще раз вспомним какие построения
мы можем выполнить с помощью циркуля и линейки? Какие задачи на построение мы теперь знаем
как решать (только с помощью циркуля и линейки)?
Домашнее задание: п.22 - п.23 знать теорию. Выполнить построения № 149, 154.