10. Теоретические основы изучения степенной функции

10. Теоретические основы изучения степенной функции.
Степенная функция изучается на протяжении нескольких лет. Её изучение начинается в 7
классе – y=x, в 8 классе
, в 9 классе впервые вводится термин «степенная функция» и
изучаются функции вида
В 10 классе сведения о степенной
функции обобщаются и систематизируются.
Ко времени изучения степенной функции в 9 классе учащиеся знают понятие степени с
рациональным показателем, его свойства, уточнено понятие функции и рассматриваются её
общие свойства. Нужно решить несколько практических задач, когда приходят к
функциональным зависимостям вида
, r-фиксированное число, различное в каждом
случае.
- Итак, имеем функцию вида
, где r - рациональное число (в 10 кл – r -действительное
число). Такая функция имеет название степенной.
- Можете ли вы указать степенные функции, которые уже рассматривали? (
).
- Постройте график каждой из данных функций. Определите их свойств по графику.
- Можно отметить, что у этих функций показатель степени – целое число (у первых двух –
натуральное число: у первой нечётное число, а у второй – чётное). То есть свойства и вид
графика степенной функции будут зависеть от показателя степени.
- Вспомним, как последовательно определялась рациональная степень (натуральная степень,
целая отрицательная, дробная). В такой же последовательности будем рассматривать
показатель степенной функции.
Учебная задача: изучить функцию вида
, где r - натуральное, отрицательное целое число,
затем дробь вида 1/n.
Итак, графики и свойства функций
позволили спрогнозировать, что степенную
функцию при натуральном показателе следует изучать в 2 случаях: 1 - показатель степени
чётное; 2 - нечётное число.
Степенная функция с натуральным показателем.
, n-натур
, n-натур
а) y = x (график)
а)
(график)
Свойства:
Свойства:
1. D(y): R
2. Е(у): y ≥ 0
1. D(y): R
2. Е(у): R
3. возрастает на R
4. нечётная, т.к. у(-х) = -х = -у(х)
5. непрерывная
6. нет ни н/м, ни н/б значения,
неограниченная
б)
(график)
x 0 1 -1 2 -2
y 0 1 -1 8 -8
3. x>0 ⇒ возрастает, x<0 ⇒ убывает,
Док-во:
- 0< x1<x2, то y( x1) < y(x2)
y(x2) - y(x1)=
y( x1) < y(x2)
- x1<x2<0, то y( x1) > y(x2)
=>
=>y(
x1) >y(x2)
4. чётная, т.к. y(-x)=
(по
опр-ю)
5. непрерывная
6. имеет н/м значение y=0, ограничена
снизу.
б)
, n-натур. Обобщаем. Строим
графики y = x2 и y = x4
Обратить внимание учащихся на
взаимное
расположение
графиков.
Свойства:
Свойства обобщаются и записываются
без док-ва.
Свойства:
1. D(y): R
2. Е(у): y ≥ 0
1) D(y): R
2) Е(у): R
x<0⇒y<0, x=0⇒y=0, x>0⇒y>0
Док-во:
- Любое ли действительное число x0
является значением данной ф-ции, т.е.
существует ли действительное число
такое, что
(по
определению корня нечётной степени)
такое, что
3. x>0 ⇒ возрастает, x<0 ⇒ убывает,
4. чётная, т.к. y(-x)=
(по
опр-ю)
5. непрерывная
6. имеет н/м значение y=0, ограничена
снизу.
3) возрастает, т.к. при x1<x2, y(x2)-y(x1) =
>0, значит y(x2) > y(x1)
4). нечётн. y(-x) = (-x)3 = -x3 = -y(x) (св-во
чт / нчт ф-ции вводится на примере
степенной ф-ции)
5). непрерывная (по графику)
6). неограниченная, т.е. не имеет н/б и н/м
значений.
в)
. Обобщаем.
Строим на одном графике функции у = х3, у =
х5
Обратить внимание учащихся на тот факт,
что графики этих функций периодически
меняют своё взаимное расположение.
Перечисляются все свойства без док-ва.
Свойства:
1. D(y): R
2. Е(у): R
3. возрастает на R
4. нечётная.
5. непрерывная
6. нет ни н/м, ни н/б значения, неограниченная
Далее рассматриваются функции с целым отрицательным показателем y = x-n или y = , .
Можно организовать семинарское занятие по изучению этой темы, ученики разбиваются на
группы и сами строят, исследуют свойства функций.
1)
2)
,
От чётности степени зависят свойства функции.
И наконец, функция вида
, n
. Основные свойства таких функций тоже не
доказываются. Строятся графики по точкам, и дальше идёт исследование по графикам.
а)
(график).
б)
(график)
Свойства:
Св-ва:
1. D(y): R
1. D(y):
2. Е(у): R
2. Е(у): y 0
3.
Возрастает на R
3. Возрастает 0<x1<x2 ⇒
4. Нечётная, т.к. y(-x) =
4. Функция общего вида
5. Непрерывная
5. Непрерывна
6. Имеет н/м значение, ограничена снизу, у = 6. Неограниченная, не имеет н/б и н/м
значений
0.
б)
,
Строят графики
и
Свойства обобщаются. Обратить внимание на
б)
взаимн. расположение.
Строят графики
и
Свойства обобщаются.
В 10 классе все сведения по степенной функции нужно обобщить и систематизировать. В
учебнике рассматриваются свойства функции y=xp в зависимости от p:
1. Показатель p = 2n – чётное натур-ое число
2. Показатель p = 2n-1 – нечётное натур-е число
3. Показатель p = -2n, где n – натур-е число
- D(y): R\0
- Е(у): y > 0
- чётная
- возрастает на промежутке x < 0, убывает на x > 0.
4. Показатель p = -(2n-1), где n - натур-е число
- D(y): R\0
- Е(у): R\0
- нечётная
- убывает на промежутках x > 0и x < 0.
5. Показатель p – положительное действительное нецелое число
6. Показатель p – отрицательное действительное нецелое число
- D(y): x > 0
- Е(у): y > 0
- убывающая на промежутке x > 0.