Chegaralanmagan funksiyaning xosmas integrali Xosmas integralla

Chegaralanmagan funksiyaning xosmas integrali. Xosmas
integrallarning yaqinlashish alomatlari.
Reja:
1. Aniq integral mavjudligining zaruriy sharti
2. Chegaralanmagan funksiya xosmas integralining xossalari
3. Xosmas integrallar va ularning yaqinlashishi
Aniq integral mavjudligining zaruriy sharti integral ostidagi funksiyaning
chegaralanganligi edi.
Endi f(x) funksiya [a;b] da chegaralanmagan bo‘lsin. Aniqrog‘i, ixtiyoriy
>0, (<b-a) uchun f(x) funksiya [a;b-] da chegaralangan va integrallanuvchi bo‘lib,
b nuqtaning atrofidagina chegaralanmagan bo‘lsin. Bu holda b nuqta f(x)
funksiyaning maxsus nuqtasi deb ataladi.
t
Demak, ixtiyoriy t (a<t<b) uchun  f (x)dx integral mavjud bo‘lib, u faqat t
a
o‘zgaruvchining funksiyasi bo‘ladi:
t
 f (x)dx =F(t), a<t<b.
a
1-ta’rif. Agar t→b-0 da F(t) funksiyaning limiti mavjud bo‘lsa, bu limit
chegaralanmagan f(x) funksiyaning [a;b) oraliqdagi xosmas integrali deyiladi va u
b
 f (x)dx kabi belgilanadi.
a
Demak,
b
t
 f (x)dx = lim F(t)= lim  f (x)dx
t→b−0
a
Agar t→b-0 da
F(t)
t→b−0
a
funksiyaning limiti mavjud bo‘lib, u chekli bo‘lsa,
xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi, f(x) funksiya esa [a;b) da integrallanuvchi
funksiya deb ataladi.
b
Agar t→b-0 da F(t) funksiyaning limiti cheksiz bo‘lsa,  f (x)dx xosmas
a
integral uzoqlashuvchi deyiladi. Yuqorida limit mavjud bo‘lmagan holda ham biz
xosmas integralni uzoqlashuvchi deymiz.
Xuddi yuqoridagidek, a nuqta f(x) ning maxsus nuqtasi bo‘lganda (a;b] oraliq
bo‘yicha xosmas integral ta’riflanadi.
f(x) funksiya (a;b] oraliqda berilgan bo‘lib, a nuqta shu funksiyaning maxsus
nuqtasi
bo‘lsin.
Bu
funksiya
(a;b]
ning
istalgan
[t;b]
(a<t<b)
qismida
integrallanuvchi, ya’ni ushbu
b
 f (x)dx =F(t)
t
integral mavjud bo‘lsin.
2-ta’rif. Agar t→a+0 da F(t) funksiyaning lim F(t) limiti mavjud bo‘lsa, bu
t→a+0
limit chegaralanmagan f(x) funksiyaning (a;b]
oraliqdagi xosmas integrali deb
b
ataladi va u  f (x)dx kabi belgilanadi. Demak,
a
b
b
 f (x)dx = lim F(t)= lim  f (x)dx.
t→a+0
t→a+0
a
t
b
Agar t → a+0 da F(t) funksiyaning limiti mavjud va chekli bo‘lsa,  f (x)dx
a
xosmas integral yaqinlashuvchi, f(x) esa (a;b] da integrallanuvchi funksiya deyiladi.
b
Agar t→ a+0 da F(t) ning limiti cheksiz bo‘lsa, u holda  f (x)dx xosmas integral
a
uzoqlashuvchi deyiladi. Yuqoridagi limit mavjud bo‘lmagan holda ham biz integralni
uzoqlashuvchi deymiz.
Agar f(x) funksiya [a;b] kesmaning biror ichki c nuqtasida lim f (x) =  bo‘lsa,
x→c
u holda aniq integralning additivlik xossasiga o‘xshash integralni ikkita integralning
yig‘indisi ko‘rinishda ifodalaymiz:
b
c
b
a
a
c
t
b
 f (x)dx =  f (x)dx +  f (x)dx = lim  f (x)dx + lim  f (x)dx .
→c+0
t→c−0
a

Agar tenglikning o‘ng tomonidagi limitlar mavjud bo‘lsa, u holda xosmas integral
yaqinlashuvchi deyiladi, aks holda uzoqlashuvchi deyiladi.
Geometrik nuqtai nazardan chegaralanmagan funksiyaning xosmas integrali y=f(x)
egri chiziq, y=0, x=a, x=b to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan va x→b-0 da
(x→a+0, x→c0) Oy o‘qi yo‘nalishida cheksiz cho‘zilgan figuraning chekli yuzga
ega ekanligini anglatadi (8-rasm).
8-rasm
1
dx
1-misol. 
x
0
ni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. Bunda x=0 nuqta integral ostidagi funksiyaning maxsus nuqtasidir. Bu
holda ta’rif bo‘yicha
1
1
dx
dx
 x = lim  x = lim 2 x = lim (2 − 2 t ) = 2 .
t→0+0
0
t
t→0+0
1
t
t→0+0
Demak, berilgan integral yaqinlashuvchi va uning qiymati 2 ga teng.
1
2-misol. 
0
dx
integralni yaqinlashishga tekshiring.
1− x
Yechish. Bunda x=1 nuqta integral ostidagi funksiyaning maxsus nuqtasidir.
Bu holda
1
dx
 1− x
0
t
= lim 
t→1−0
0
dx
1− x
= lim (−2 1 − x t0 = lim (−2 1 − t + 2) = 2.
t→1−0
Demak, bu integral ham yaqinlashuvchi.
t→1−0
1
dx
integralni yaqinlashishga tekshiring.
х
0
3-misol. 
Yechish. Ta’rifga ko‘ra
1
1
dx
dx
lim ln x 1t = lim (ln1 − ln t) = + ,
=
lim
 x t→0+0  x = t→0+0
t→0+0
0
t
ya’ni bu xosmas integral uzoqlashuvchi bo‘ladi.
b
dx
, a  b integralni yaqinlashishga tekshiring.
 ,
(b
−
x)
a
4-misol. 
Yechish. Ikki holni qaraymiz. 1-hol. 1 bo‘lsin. U holda
dx
dx
(b − x)1−
−
lim 
= − t→b−0
lim  (b − x) d (b − x) = − t→b−0
lim
=

a (b − x) = t→b−0
(b
−
x)
1
−

a
a
a
b
t
t
t
(b − a)1−
1
,   1,

=−
lim ((b − t)1− − (b − a)1− ) =  1 − 
1 −  t→b−0
 ,
  1.
2-hol. =1 bo‘lsin. U holda
b
t
t
dx
dx
= − lim (ln | b − t | − ln | b − a |) = + .
=
lim
=
−
lim
ln|
b
−
x
|
a
 (b − x) t→b−0  (b − x) t→b−0
t→b−0
a
a
b
Demak,
dx
a (b − x)
integral
<1
bo‘lganda
yaqinlashuvchi,
1
da
uzoqlashuvchi bo‘lar ekan.
Chegaralanmagan funksiya xosmas integralining xossalari
Quyida maxsus nuqtasi b bo‘lgan f(x) funksiyaning [a;b) oraliq bo‘yicha
b
olingan  f (x)dx xosmas integralining xossalarini keltiramiz. Bu xossalarni maxsus
a
nuqtasi a bo‘lgan funksiyaning (a;b] oraliq bo‘yicha olingan
uchun ham bayon qilish mumkin.
xosmas integrallari
10. Agar f(x) funksiyaning [a;b) dagi xosmas integrali yaqinlashuvchi bo‘lsa,
bu funksiyaning [c;b), (a<c<b) oraliq bo‘yicha integrali ham yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Bunda
b
c
b
a
a
c
 f (x)dx =  f (x)dx +  f (x)dx
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
b
20.
b
Agar  f (x)dx va   (х)dx integrallar yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda
a
a
ixtiyoriy ,  sonlar uchun
b
( f (x)  (x))dx
a
integral ham yaqinlashuvchi bo‘lib,
b
b
b
a
a
a
 ( f (x)   (x))dx =   f (x)dx     (x)dx
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
b
30. Agar
 f (x)dx integral yaqinlashuvchi bo‘lib, [a;b) da f(x) 0
a
bo‘lsa, u holda
b
 f (x)dx0
a
bo‘ladi.
b
b
40. Agar  f (x)dx va  (x)dx integrallar yaqinlashuvchi bo‘lib, [a;b) da f(x)
a
a
 (x) bo‘lsa, u holda
b
b
 f (x)dx   (x)dx
a
bo‘ladi.
a
50. f(x) va (x) funksiyalar [a;b) da uzluksiz bo‘lib, b esa ularning maxsus
nuqtasi va 0  f(x)(x), x[a;b) bo‘lsin. U holda
b
b
a.
a
b.
b
a
a
) (x)dx yaqinlashuvchi bo‘lsa,  f (x)dx ham yaqinlashuvchi bo‘ladi;
) f (x)dx uzoqlashuvchi bo‘lsa,  (x)dx ham uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Misol tariqasida 30 xossaning isbotini keltiramiz. Qolgan xossalar bevosita
xosmas integral va uning yaqinlashuvchiligi ta’riflaridan kelib chiqadi.
30 xossaning isboti. Aniq integralning xossalariga asosan f(x)0 bo‘lsa,
t
ixtiyoriy t[a;b) uchun  f (x)dx  0 bo‘ladi. Bundan
a
b
t
 f (x)dx = lim  f (x)dx  0
t→b−0
a
a
ekanligi kelib chiqadi.
7-§. Chegaralanmagan funksiyaning xosmas integralini hisoblash
Endi
chegaralanmagan funksiyaning
xosmas integralini hisoblash bilan
shug‘ulanamiz.
a) Nyuton-Leybnits formulasi.
Faraz qilaylik, f(x) funksiya [a;b) da uzluksiz bo‘lsin. Ma’lumki, bu holda shu
oraliqda uning boshlang‘ich funksiyasi F(x) mavjud bo‘ladi.
Agar x→b-0 da F(x) ning chekli limiti mavjud bo‘lsa, bu limitni F(x) ning b
nuqtadagi qiymati deb qabul qilamiz, ya’ni
lim F(x)=F(b).
x→b−0
Xosmas integral ta’rifi hamda aniq integrallar uchun Nyuton-Leybnits
formulasidan foydalanib,
b
t
 f (x)dx= lim  f (x)dx= lim (F(t)-F(a))=F(b)-F(a)=F(x) |
t→b−0
a
a
t→b−0
b
a
ni topamiz. Bu esa, yuqoridagi kelishuv asosida, f(x) funksiyaning xosmas integrali
uchun Nyuton - Leybnits formulasi o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatadi:
b
 f (x)dx =F(b)-F(a).
a
b) Bo‘laklab integrallash.
u(x) va v(x) funksiyalarning har biri [a;b) da uzluksiz u’(x) va v’(x) hosilalarga
ega, b nuqta esa v(x)u’(x) hamda u(x)v’(x) funksiyalarning maxsus nuqtasi bo‘lsin.
b
Agar  v (x)du(x) xosmas integral yaqinlashuvchi hamda ushbu
a
lim u( t )v( t )
t →b−0
b
limit chekli bo‘lsa, u holda u (x)dv(x) xosmas integral ham yaqinlashuvchi bo‘lib,
a
b
b
b
 u (x)dv(x) =(u(x)v(x)) | -  v (x)du(x)
a
a
a
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bunda
u(b)v(b)= lim u(t)v(t) .
t→b−0
c) O‘zgaruvchini almashtirish.
b
f(x) funksiya [a;b) da berilgan bo‘lib, b uning maxsus nuqtasi bo‘lsin.  f (x)dx
a
xosmas integralni qaraylik. Ushbu integralda x=(t) almashtirish bajaramiz, bunda
(t) funksiya [α; )
oraliqda uzluksiz ’(t) > 0 hosilaga ega hamda ()=a,

lim  (t) = b . Bu holda agar  f ((t))(t)dt xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lsa,
t→  −0

b
 f (x)dx xosmas integral ham yaqinlashuvchi bo‘ladi va
a
b

a

 f (x)dx =  f ((t))(t)dt
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Yuqorida biz maxsus nuqtasi b bo‘lgan f(x) funksiyaning [a;b) oraliq bo‘yicha
olingan xosmas integralini hisoblash usullarini ko‘rib o‘tdik. Bu usullarni maxsus
nuqtasi a bo‘lgan funksiyaning (a;b] oraliq bo‘yicha olingan xosmas integralini
hisoblashda ham qo‘llash mumkin.
1
1-misol: I = 
dx
0 (1+ x) x
ni hisoblang.
x =  (t) = t 2 almashtirishni bajaramiz. Ravshanki,
Yechish. Ushbu integralda
(t) funksiya (0;1] oraliqda ’(t)=2t>0 uzluksiz hosilaga ega hamda (0)=0, (1)=1.
Demak,
1
2tdt
dt
 
=
2
arctgt
=
2
= .
=
=
2
I= 
|
2
2

0
4
2
(1
+
t
)t
1
+
t
(1+
x)
x
0
0
0
1
dx
1
1
Chegarasi cheksiz bo‘lgan xosmas integraldagi kabi chegaralanmagan
funksiyaning xosmas integrali uchun ham absolyut yaqinlashish tushunchasini
kiritish mumkin.
(a;b] da aniqlangan va a nuqta maxsus nuqtasi bo‘lgan f(x) funksiya uchun
b
b
 f (x) dx yaqinlashuvchi bo‘lsa,  f (x)dx absolyut yaqinlashuvchi xosmas integral
a
a
deyiladi, f(x) funksiya esa (a;b] da absolyut integrallanuvchi funksiya deb ataladi.
3.Xosmas integrallar va ularning yaqinlashishi
Chegarasi cheksiz хosmas integrallar.
Ta’rif. Yarim a,+) intervalda uzluksiz bo‘lgan funksiyaning хosmas integrali
quyidagicha belgilanadi:
+
 f (x)dx
a
va ushbu tenglik bilan aniqlanadi:
+
b
 f (x )dx = lim  f (x)dx
b→+
a
(1)
a
Agar (1) formulada o‘ngda turgan limit mavjud bo‘lsa, u holda хosmas
integral yaqinlashuvchi deyiladi. Bu limit integralning qiymati sifatida qabul
qilinadi. Agar ko‘rsatilgan limit mavjud bo‘lmasa, хosmas integral
uzoqlashuvchi deb ataladi.
Agar integral ostidagi f (x) funksiya uchun F (x) boshlang‘ich funksiya
ma’lum bo‘lsa, u holda хosmas integralning yaqinlashuvchimi yoki yo‘qmi
ekanini aniqlash mumkin. Nyuton-Leybnis formulalari yordamida quyidagiga
ega bo‘lamiz:
+
b
b
 f (x )dx = lim  f (x )dx = lim F (x ) = lim[F (b) − F (a)] = F (+) − F (a) .
b→+
a
b→+
a
a
b→+
Shunday qilib, agar x → + da F (x) boshlang‘ich funksiya ma’lum bo‘lsa
(biz uni F (+) bilan belgiladik), u holda хosmas integral yaqinlashuvchi, agar
bu limit mavjud bo‘lmasa, u holda хosmas integral uzoqlashuvchi bo‘ladi.
1-misol
►Berilgan f (x) = e − kx funksiya uchun F ( x ) = − 1 e − kx funksiya boshlang‘ich
k
funksiya bo‘ladi.
N’yuton-Leybnis formulasini qo‘llaymiz:
b
+

 1
1
I =  e−kx dx = lim  − e−kx  = − lim (e −kb −1).
b→+
k b→+
0
 k
0
Agar k  0 bo‘lsa, I = 1 integral yaqinlashuvchi.
k
Agar k  0 bo‘lsa, I =  integral uzoq lashuvchi. ◄
Хosmas integral (−,b yarim cheksiz integralda ham shunga o‘хshash
aniqlanadi:
b
b
−
a
b
lim  f (x )dx = a→−
lim F (x ) = F (b )− F (− ).
 f (x )dx = a→−
a
bu yerda F (− ) F (x) boshlang‘ich funksiyaning x → − dagi limiti.
Agar f (x) funksiya butun sonlar o‘qida uzluksiz bo‘lsa, u holda
umumlashgan хosmas integral quyidagi formula bilan aniqlanadi:
+
s
+
−
−
s
 f (x )dx =  f (x )dx +  f (x )dx
bu yerda s − iхtiyoriy tayinlangan nuqta.
(2)
Agar (2) formulada o‘ng tomonda turgan ikkala integral yaqinlashuvchi
bo‘lsa, u holda chap tomondagi хosmas integral ham yaqinlashuvchi bo‘ladi.
2-misol
Ushbu
+
dx
 1+ x .
2
−
integralni yaqinlashuvchiligini tekshiring.
► (2) formulada С = 0 deb faraz qilib, quyidagini hosil qilamiz:
+
0
+
dx
dx
dx
=
+
2
2
 1+ x − 1+ x 0 1+ x2 .
−
Tenglikning o‘ng
chunki
0
qismidagi хosmas integrallar yaqinlashuvchi bo‘ladi,
dx
 1+ x = arctgx
2
−
+
dx
 1+ x = arctgx
2
= arctg0 − arctg (− )=
0
−
+
0
0

2
,
= arctg (+ )− arctg0 =  .
2
Shuning uchun ushbuga ega bo‘lamiz:
+

dx

 1+ x = 2 + 2 =  .
2
−
Integarl yaqinlashuvchi va uning qiymati  ga teng. ◄
Cheksiz funksiyalarning хosmas integrallari.
Ta’rif. (−, b intervalda uzluksiz va x = a da aniqlanmagan yoki uzilishga ega
bo‘lgan f (x) funksiyaning (1-shakl) хosmas integrali quyidagicha belgilanadi:
b
 f (x )dx
a
va ushbu tenglik bilan aniqlanadi:
b
b
 f (x )dx = lim  f (x )dx
a
 →+
a+
(3)
1-chizma
Agar (3) formulada o‘ngda turgan limit mavjud bo‘lsa, u holda хosmas integral
yaqinlashuvchi deyiladi.
Agar ko‘rsatilgan limit mavjud bo‘lmasa, u holda хosmas integral
uzoqlashuvchi deyiladi.
Agar integral ostidagi f (x) funksiya uchun F (x) boshlang‘ich funksiya
ma’lum bo‘lsa, u holda Nyuton-Leybnis formulasini qo‘llash mumkin:
b
 f (x )dx = lim F (x )
 →0
a
b
a+
= lim F (b) − F (a +  )= F (b) − F (a)
 →0
Sрunday qilib, agar x → a da F (x) boshlang‘ich funksiyaning limiti
mavjud bo‘lsa (biz uni F(a ) bilan belgiladik), u holda хosmas integral
yaqinlashuvchi, agarda bu limit mavjud bo‘lmasa, u holda хosmas integral
uzoqlashuvchi bo‘ladi.
a, b) intervalda uzluksiz va x = b da aniqlanmagan yoki II tur uzilishga
ega bo‘lgan f (x) funksiyaning хosmas integrali ham shunga o‘хshash
aniqlanadi:
b
b−
 f (x )dx = lim  f (x )dx =lim F (x )
a
 →0
a
 →0
b−
= lim  F (b −  ) − F (a ) = F (b )− F (a ),
 →0
a
bu yerda F (b) − F (x) boshlang‘ich funksiyaning x → b dagi limiti.
Agarda f (x) funksiya a, b kesmaning biror-bir x = s oraliq nuqtasida
cheksiz uzilishga ega yoki aniqlanmagan bo‘lsa, u holda хosmas integral
quyidagi integral bilan aniqlanadi:
b
s
b
 f (x)dx =  f (x)dx +  f (x)dx
a
a
(4)
s
Agar (4) formulaning o‘ng tomonida turgan intervalardan aqalli bittasi
uzoqlashuvchi bo‘lsa, u holda хosmas integral uzoqlashuvchi bo‘ladiyu
Agar (4) ning o‘ng tomonidagi ikkala integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, u
holda tenglikning chap tomonidagi хosmas integral ham yaqinlashuvchi bo‘ladi.
3-misol
Ushbu
4
dx
 x
0
integral ning yaqinlashuvchanligini tekshiring.
►x → 0
f (x ) =
1
x
→ . x = 0
nuqta 0,4
kesmaning chap oхirida
da
yotadi. Shuning uchun quyidagiga ega bo‘lamiz:
4
dx
 x = 2 x = 4 − 0 = 4.
0
Integral yaqinlashuvchi. ◄
Absolyut va shartli yaqinlashuvchanlik.
Ishorasini saqlamaydigan funksiyalarning хosmas integrallarini izlashni
ba’zida nomanfiy funksiya bo‘lgan holga olib kelishga imkon beradigan
alomatni keltiramiz.
+
+
a
a
 f (x) dx integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda  f (x)dx
Agar
integral ham yaqinlashuvchi bo‘ladi.
yaqinlashuvchi interval deb ataladi.
Bunda
oхirgi
absolyut
+
+
Agarda
integral
 f (x)dx
integral
a
yaqinlashuvchi,
 f (x) dx
integral
esa
a
+
uzoqlashuvchi bo‘lsa, u holda  f (x)dx integral shartli yaqinlashuvchi integral
a
deb ataladi.
4-misol
Ushbu
+
+
cosx
 1+ x
sinx
 1+ x dx.
2 dx,
2
0
0
integrallarning yaqinlashuvchanligini tekshiring.
► Integral ostidagi funksiyalar ushbu shartlarni qanoatlantiradi:
cosx
1

,
2
1+ x
1+ x2
+
dx
 1+ x = arctgx
2
+
0
0
sinx
1

.
2
1+ x
1+ x2
= arctg(+) − arctg0 = 
2
integral yaqinlashuvchi, shuning uchun
+
sinx
0 1+ x2 dx
integrallar ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. ◄

cosx
0 1+ x2 dx