1-ma’ruza Jarayonlar tadqiqoti va optimal boshqaruv faniga kirish. Chiziqli dasturlash masalasi va uni grafik usulda yechish. Turmushimizda uchraydigan ko‘pgina iqtisodiy masalalarni hal qilishda belgilangan maqsadga erishish uchun eng yaxshi variantni topishga harakat qilamiz. Bunday masalalar optimizatsiya masalalari hisoblanadi va ularni hal qilishda matematik usullardan foydalanamiz. Amaliy masalalarda ko’pincha bir qancha yechimlar ichidan eng optimalini tanlashga to’g’ri keladi. Ya’ni, masala sharti yo’l qo’ygan barcha mumkin bo’lgan yechimlar to’plamidan bitta, aniq yechimni topishga to’g’ri keladi. Bunday masalalarning soddalashgan ko’rinishi matematik analizda ko’riladi. Misol • eng yaxshi konserva bankasi haqidagi masala. • Masalaning ‘oyilishi quyidagicha: • Silindr shakldagi, V hajmga ega bo‘lgan konserva bankasining eng yaxshi varianti ko‘rsatilsin. Bunda o‘z-o‘zidan savol tug‘iladi: “qanday banka eng yaxshi hisoblanadi, bankalarning qaysi alomatiga ko‘ra solishtirish kerak?” boshqacha qilib aytganda, optimizatsiya maqsadini ko‘rsatish kerak. • Masalani 1-variantda yechish uchun bankaning hajmi, to‘la sirtini hisoblash uchun formulalarni yozib olamiz: 2 • V= r h (1) 2 S 2 r 2 rh, • Bankaning hajmi ma’lumligidan uning radiusi va balandligi orasidagi V h munosabatni yozib olamiz r . Endi hosil qilingan ifodani S ni topish formulasiga olib borib qo‘yamiz. Natihada quyidagi hosil bo‘ladi 2 • Natihada quyidagi hosil bo‘ladi V S(r ) 2r 2 , 0 r r 2 • Shunday qilib, masala S(r) funksiya minimumga erishuvchi r ning qiymatini topishga keltirildi. • Endi S(r) funksiyaning birinchi tartibli hosilasini hisoblab, uning ishorasini tekshiramiz: 2V 2 S(r ) 4r (2r V) • (4) r r • 0 r r V /(2) • oralikda hosila manfiy va S(r) funksiya kamyadi, keying oralikda hosila musbat va S(r) funksiya o‘sadi. Demak, S(r) funksiya o‘zining eng kichik qiymatiga r= r1 • nuqtada erishadi, bu nuqtada uning hosilasi 0ga aylanadi. 3 2 1 3 2 • To‘la sirti minimal bo‘lgan bankaning radiusi va balandligi quyidagi munosabatlarda aniqlanadi: V r1 3 , h 1 2r1 2 Мustaqil ish 2-misol • Eng qisqa masofani tanlash masalasi • Tezlik ma’lum bo’lgani uchun yo’lga ketadigan vaqtni burchakka bog’liq funksia sifatida tasvirlaymiz. Buni tushuntiring Yuqoridagi funksiyadan hosila olib, ega bo’lamiz: • Bundan tashqari, ixtiyoriy burchakda chizmadagi c masofa uchun quyidagi tenglik o’rinli: Buni tushuntiring • ni ham • burchakka bog’liq funksiya sifatida qarab hosila olib topamiz: • Ushbu formulani yuqoridagi • Formula bilan solishtirsak Demak… Kranni joylashtirish masalasi Devorni chap tomonida kran, o’ng tomonida yuk turibdi. Kran balandligi 20 m, devor balandligi 30 m, yuk devordan 10 m masofada turibdi. Yukni ko’tarish uchun kran strelasini eng kichik uzunligi qancha bo’lishi kerak? Prognoz(bashorat) masalasi • O’zbekiston aholisi o’sishini bashorat qilish • Jarayonlar tadqiqoti – amaliy matematikaning optimal yechim qabul qilishga bag’ishlangan yangi bo’limi • Operations research – muammolarning yechimlarini topib qaror qabul qilishga ko’maklashish Bu narsa korxonalarni boshqarishda kerak. Yechimlarni topish matemati analiz usullariga tayanadi. «Jarayonlar tadqiqoti» iborasi (operations research Angliya) juda ko’p sinonimlarga ega. Amerikada ko’pincha “Boshqaruv to’g’risidagi fan” deb yuritiladi. • Jarayonlar tadqiqotining asosiy masalasi maqsadga erishish yo’llarini izlashdan iborat. • Maqsad – faoliyat natijasini ideal fikriy oldindan bilish. Jarayonlar tadqiqoti asosiy tushunchalari • Jarayonlar tadqiqoti – bu kompleks matematik fan bo’lib, jarayonlarni olib borishda optimal yechimlar qabul qilishning matematik modelini qurish, tahlil qilish va amalga oshirish bilan shug’ullanadi. • Jarayon – boshqariladigan harakatlar tizimi bo’lib, bir butun fikr bilan birlashgan va aniq maqsadga erishishga yo’naltirilgandir. Jarayonlarga misol • 1-misol. Korxona ikki xil turdagi tayyor mahsulot ishlab chiqaradi. Mahsulot ishlab chiqarishga ketadigan 3 xil xomashyo(resurlar) omborda chegaralangan.Bir birlik mahsulotdan olinadigan foyda va xomashyo narxlari ma’lum. Zahiradagi xomashyoni hisobga olgan holda, korxona qaysi mahsulotdan qancha ishlab chiqarsa, ko’p foyda olishi aniqlansin. Kattaliklarni quyidagi jadvalga joylashtiramiz: Xom-ashyo turi Bir birlik mahsulotga sarflanadigan xom-ashyo miqdori M1 Xom-ashyo zahirasi M2 N1 2 3 15 N2 1 4 16 N3 3 0 18 Bir birlik 20 mahsulotdan olinadigan foyda 15 Masalaning matematik modelini tuzamiz: x1 билан тайерланадиган M1 махсулот сонини, x2 билан тайерланадиган M2 махсулот сонини белгилаймиз. Buni tushuntiring Belgilangan shartlar to’plamini qanoatlantiruvchi barcha х1 va х2 lar qiymatlari yechimdeyiladi. • Maqsad funksiyasi –yechim effektivligi ko’rsatkichi hisoblanadi. • Yechim optimal deyiladi, agar u yechim bo’lishi mumkin bo’lgan yechimlar orasida bo’lsa va maqsad funksiyasiga eng kata(eng kichik) qiymat bersa. Endi matematik modelni to’la holda yozamiz: Optimal ratsion masalasi • Ratsionga 2 xil P1 va P2 mahsulot bor, P1 mahsulot ratsionga 200 birlikdan ko’p bo’lmasligi kerak. Bir birlik P1 mahsulot 2 so’m, bir birlik P2 mahsulot 4 so’m turadi. Bir birlik mahsulotlarda oziq modda miqdori, minimal normasi jadvalda berilgan. Ratsiondagi eng minimal mahsulot miqdori aniqlansin. x1 va x2 bilan kunlik ratsionga kirishi mumkin bo’lgan mahsulot miqdorini belgilaymiz. U holda maqsad funksiyasi Shartlar: Бу ерда n- ноъмалумлар сони, m – тенгламалар сони. Chiziqli dasturlashning umumiy masalasi Funksionalga minimum(maksimum) qiymat bersin Bu yerda n- no’malumlar soni, m – tenglamalar soni Amaliyotda no’malumlar soni tenglamalar sonida kam, teng, ko’p hollar bo’lishi mumkin ChDMning yig’indi ko’rinishida ifodalanishi Chiziqli dasturlash masalasiga keladigan misol • Agar (1) da o'zgaruvchilar soni ikkiga teng bo'lsa, u holda bu masalani grafik usul yordamida yechish mumkin. Bunday holda, masala quyidagi ko`rinishga keladi: Bitta tengsizlik chegaralagan sohaga misol Oddiy misol bilan qo’lda tushuntirish Mumkin bo’lgan yechimlar sohasini qurish Maqsad funksiya chizigini qurish • Misol: Masalaning echilishi: Koordinatalar sistemasida tengsizlikka mos keladigan yarim tekisliklarni va ularning kesishmasiga aniqlaymiz: Bu yerda to’g’ri chiziq bilan chegaralangan yuqori yarim tekislik tengsizlikni , to’g’ri chiziq bilan chegaralangan quyi yarim tekislik esa tengsizlikni ifodalaydi. Bo’yalgan sohadagi nuqtalarning koordinatalari berilgan masaladagi barcha tengsizliklarni qanoatlantiradi. maqsad funktsiyasi maksimal qiymatga uchburchakning chegaraviy nuqtalarida erishganligi sababli, optimal yechimni topish uchun nuqtalarning koordinatalarini topib, funktsiyasiga qo’yamiz va ularning ichidan funktsiyaga eng katta qiymat beruvchi nuqtani tanlab olamiz. • Chiziqli dasturlash masalasini tayanch yechimini topish. • Kanonik ko’rinish. • Chiziqli dasturlash masalasini grafik usulda yechish Чизикли дастурлаш масаласининг геометрик талкини Agar no’malumlar soni 2 ta bo’lsa, masalani grafik usulda yechish mumkin. Бу ерда чизикли тенгсизликлар хар бири ярим текисликни ифидалайди. Chiziqli dasturlash masalasini grafik usulda echishga misol • Slaydlar oxiri Хом ашедан фойдаланиш масаласи фойдаси Масалан, бир бирлик B1 махсулот тайерлаганда 50 сум фойда олинади