Оглавление
Введение………………………………………………………………………..……….3
Раздел 1. Основные понятия теории предельно коротких импульсов…........5
Раздел 2. Оценки длительности импульса для различных диапазонов
длин электромагнитных волн……………………………………….7
Раздел 3. Теоретические методы анализа коротких, сверхкоротких и предельно
коротких импульсов……………..……………………………………….8
3.1. Метод медленно меняющейся огибающей …...………………........8
3.2. Метод медленно меняющегося профиля ………………...….........10
3.3. Возвращение к уравнениям Максвелла…..………………………11
Заключение…………………………………………………………………………....12
Литература…………………………………………………………………………….13
2
Введение.
Фотоника коротких лазерных импульсов привлекает внимание
исследователей уже достаточно давно - с 60-ых годов прошлого века.
Уменьшение возможной длительности лазерных импульсов происходило
постепенно. Результаты, полученные в лабораториях, не только
подтверждали теоретические предсказания, но и находили практическое
применение [1].
Принято считать, что фотоника коротких лазерных импульсов
зародилась в 1962 – 1963 годах, когда были созданы лазеры с
модуляцией добротности резонатора. Стало возможным генерировать
наносекундные оптические импульсы, которые обычно называют
короткими.
В 1966 – 1968 гг. были созданы первые пикосекундные лазеры на
стекле с неодимом. Такие лазеры генерировали импульсы
длительностью до нескольких пикосекунд. Эти импульсы получили
название сверхкороткие или же ультракороткие.
Наконец, в 1981 г. была разработана новая концепция лазера на
красителе с самосинхронизацией мод, что послужило толчком к
освоению фемтосекундного диапазона. Как следствие, на рубеже 80-x и
90-x гг. были проведены успешные эксперименты по генерации
оптических импульсов, содержащих всего несколько периодов
электромагнитных колебаний под огибающей. Такие импульсы стали
называть предельно короткими (ПКИ).
В последние годы активно развиваются методы генерации и описания
аттосекундных импульсов. Аттосекундные импульсы получаются при
взаимодействии интенсивного лазерного излучения с твердотельными и
газообразными мишенями и в идеальном случае должны иметь частотный
спектр, близкий к прямоугольному, начиная от исходной лазерной частоты
вплоть до частоты, соответствующей обратной длительности аттоимпульса
[2].
Практическую ценность предельно коротких импульсов трудно
переоценить. Малая длительность лазерных импульсов необходима для
множества
задач:
нелинейно-оптическая
спектроскопия,
биомедицинские приложения, микрообработка и многие другие. К
примеру, лазерные импульсы, состоящие из одного или нескольких
осцилляций электромагнитного поля полезны тем, что позволяют
исследовать сверхбыстрые оптические процессы ионизации атомов и
молекул в высокоинтенсивных лазерных полях.
Несмотря на экспериментальные успехи в области генерации
сверхкоротких и предельно коротких импульсов, теоритическое
описание наблюдаемых явлений
зачастую сопряжено
с
определёнными трудностями. Поэтому прежде, чем начинать
теоретическое исследование, важно оценить область применимости
доступных аналитических методов.
3
Таким
образом,
целью
настоящей
работы
является
ознакомление с основными методами теоретического описания
нелинейной динамики сверхкоротких и предельно коротких импульсов.
Для достижения цели работы поставлены следующие задачи:
1) Ознакомление с основными понятиями, встречающимися в
фотонике предельно коротких импульсов, а также с критериями
отнесения лазерных импульсов к коротким, сверхкоротким или
предельно коротким.
2) Оценка длительности коротких лазерных импульсов для
различных диапазонов длин волн.
3) Изучение основных теоретических методов, применяемых для
описания динамики коротких лазерных импульсов в различных
средах.
4) Выявление связи между допустимыми теоретическими методами
и числом осцилляций электромагнитного поля под огибающей
импульса.
5) Формулировка выводов.
4
1. Основные понятия теории предельно коротких
импульсов
Волновое уравнение электрического поля лазерного импульса
вытекает из уравнений Максвелла:
∇2 𝐄 −
1 𝜕2 𝐄
4π 𝜕2 𝐏
𝑐 2 𝜕𝑡
c2 𝜕𝑡 2
− ∇(∇, 𝐄) =
2
.
(1)
Для поперечной волны это уравнение можно упростить: (∇, 𝐄) = 0
1
1
и ввести малый параметр 𝛿 ~ ~
, где 𝜔 – несущая частота импульса;
𝑁
𝜔𝜏
𝜏 – длительность импульса.
По малому параметру 𝛿 различают три вида лазерных импульсов,
главным отличием которых является применимость того или иного
метода теоретического исследования.
1) Короткий лазерный импульс.
Если
𝛿 < 10−3 то хорошо выполняется метод медленно
меняющейся
огибающей
(ММО),
и
импульс
является
квазимонохроматическим.
2) Сверхкороткий лазерный импульс
𝛿 ~ 10−1 − 10−3 , в таком случае под огибающей импульса
умещается от 10 до 1000 периодов осцилляций. Метод ММО всё
ещё выполняется, но при этом модифицируется уравнение самой
огибающей - добавлением производных высших порядков.
3) Предельно короткий лазерный импульс 1 < N < 10
В данном случае параметр 𝛿 ~ 1, уже не является малым, то есть
разложение по его степеням некорректно и метод ММО не
применим. Понятие огибающей для предельно коротких
импульсов имеет ряд ограничений, о чём сказано ниже.
Остановимся немного на особенностях терминологии. Зачастую
короткие лазерные импульсы относят к импульсам наносекундной
длительности оптического диапазона. Под сверхкороткими или
ультракороткими импульсами обычно подразумевают импульсы
длительностью порядка пикосекунд. К предельно коротким импульсам
в отечественной литературе часто применяют термин “малоцикловые
импульсы”[3], а за рубежом хорошо прижился термин ”few-cycle
pulses”[4,5]. Хоть под предельно короткими импульсами, как правило,
понимают импульсы длительностью в несколько фемтосекунд, этот
термин применим ко всем импульсам, содержащих от одного до
нескольких осцилляций поля под огибающей, вне зависимости от их
абсолютной длительности.
В спектральном смысле короткие и сверхкороткие импульсы, число
колебаний которых
N >> 1, являются квазимонохроматическими
1
сигналами, так как ширина их спектров 𝛿𝜔 ~
удовлетворяет условию
𝜏
𝛿𝜔 ≪ 𝜔.
5
Ширина спектра зависит от нелинейности среды и пройдённого
расстояния. Однако в целом ряде экспериментов с импульсами пико - и
фемтосекундной длительности наблюдались уширения спектра, существенно
превышающие предсказываемые теорией, простирающегося, как правило, от
ультрафиолетового до инфракрасного излучения. Этот эффект принято
называть сверхуширением спектра или генерацией суперконтинуума.
Экспериментально этот эффект был исследован в конце 80-х гг. [6 - 9]
Рис. 1. Сверхуширение спектра в различных газах.
Ксенон при давление в 30 атм., длительность импульса 70фс (крестики);
Ксенон при давление 15 атм., длительность импульса 2 пс. (кружки);
Азот при давлении в 40 атм., длительность импульса 2 пс. (квадратики)
[5].
На рис. 1 показаны примеры генерации сверхуширения спектра
импульсами длительностью 2 пк и 70 фс (Энергия W ~ 0,5 МДж, длина
волны 0,6 мкм) [5]. В синей области спектры ведут себя одинаково, не
смотря на различные газы, давления и интенсивности импульса. Однако
в красной области зависимости спектральной плотности от длины
волны импульса изменяется в зависимости от газа, давления и
интенсивности. Во всех случаях генерация сверхуширения спектра
имела чёткую границу. В [5] сверхуширение спектров связывают с
самофокусировкой – порог самофокусировки совпадал с измеренной
границей генерации сверхуширения с точностью в 20%.
Самофокусировка - это явление, при котором лазерный пучок с
высокой интенсивностью воздействует на среду и вызывает изменение
ее оптических свойств. Это приводит к тому, что пучок начинает
фокусироваться самостоятельно без использования дополнительных
оптических элементов.
6
2. Оценки длительности импульса для различных
диапазонов длин электромагнитных волн.
Предельно короткие лазерные импульсы можно генерировать не
только в оптическом диапазоне. Успешные эксперименты по генерации
предельно коротких импульсов в инфракрасном [10] и субтерагерцовом
[11] диапазоне методом оптического выпрямления, были проведены
ещё раньше, чем по генерации оптических ПКИ.
Ниже приведены оценки длительности импульса, в зависимости от
диапазона и вида импульса: короткий, сверхкороткий или предельно
1
короткий. Малый параметр 𝛿 ~ , где 𝑁 ~ 𝜔𝜏; 𝜔 – несущая частота,
𝑁
𝜏 – длительность импульса.
Диапазоны
Импульсы
Вид Короткие
Сверхкороткие
103
10−3
Предельно
короткие
1
1
− 10
−16
10
− 10−15
10−14
− 10−13
10−17
− 10−16
Ближний ИК
10мкм
10−9
10−14
10−12
10−15
Средний ИК
100мкм
10−8
10−13
10−11
10−14
Дальний ИК
1мм
10−7
10−12
10−10
10−13
Терагерцы
30мкм; 1мм
10−8; 10−7
Микроволны
1см
10−6
106
10−6
N
δ
10
10−1
τ (с)
Оптический
100нм - 1мкм
−11
10
−10
10−13; 10−12 10−11 ; 10−10 10−14; 10−13
10−11
10−9
Таблица 1: Оценки длительности лазерного импульса
7
10−12
3. Теоретические методы анализа коротких,
сверхкоротких и предельно коротких импульсов.
В этом разделе даётся краткий анализ известных методов теоретического
описания коротких, сверхкоротких и предельно коротких лазерных
импульсов. Главный критерий, по которому определяют возможность
использования того или иного теоретического метода, - это количество
осцилляций электромагнитного поля лазерного импульса за время его
длительности.
3.1 . Метод медленно меняющейся огибающей (медленно меняющейся
амплитуды)
Вернёмся к рассмотрению волнового уравнения (1), которое вытекает из
уравнений Максвелла:
∇2 𝐄 −
1 ∂𝟐 𝐄
4𝜋 ∂𝟐 𝐏
𝑐 2 ∂𝑡
𝑐 2 ∂𝑡 𝟐
− ∇(∇, 𝐄) =
𝟐
,
где с – скорость света в вакууме, P – поляризационный отклик среды.
Для отклика среды P записываются материальные уравнения, чей вид
зависит от конкретной модели среды. Они вместе с уравнением (1)
описывают динамику среды и распространяющегося в ней импульса.
Для поперечной волны уравнение (1) можно упростить:
(∇, 𝐄) = 0,
(2)
Пусть ω – несущая частота импульса, τ – его длительность, тогда число
колебаний под огибающей: N ~ ωτ.
Предположим, что частота и длительность подобраны так, что N >> 1,
тогда можно ввести малый параметр:
𝛿~
1
𝑁
~
1
ωτ
≪ 1,
(3)
Благодаря малому параметру можно определить понятие
огибающей светового импульса [12]. Эта огибающая представляет собой
функцию, которая медленно изменяется во времени порядка периода
1
оптических колебаний 𝑇 ~ , и на расстояниях около длины волны. В общем
ω
случае электрическое поле линейно поляризованного импульса может быть
представлено в виде:
𝐄(𝐫, t) = 𝒆E = 𝐞(𝜓 (𝐫, t)e𝑖(ωτ−kz) + 𝜓 ∗ (𝐫, t) e−𝑖(ωτ−kz) ),
(4)
где e – единичный вектор в направлении поляризации импульса, r – радиус
вектор точки наблюдения внутри среды, z – ось, в направлении которой
распространяется импульс, k – проекция волнового вектора на ось z.
8
Таким образом, приближение медленно меняющейся огибающей
позволяет пренебречь вторыми производными в левой части уравнения (1)
от ψ по z и t. В результате чего волновое уравнение для ψ имеет первый
порядок производных, так же приближение ММО даёт сделать некоторые
пренебрежения в материальных уравнениях, в том числе и для
поляризационного отклика среды, что в значительной степени упрощает
теоретические исследования. Такой подход справедлив для коротких
импульсов с малым параметром 𝛿 ~ 10−6 [13, 14].
Для сверхкоротких импульсов параметр 𝛿 ~ 10 −3 всё ещё мал, однако
такие интенсивные нерезонансные сигналы приводят к модификации
показателя преломления:
𝑛 → 𝑛1 + 𝑛2 |𝜓|2 ,
(5)
где 𝑛2 – нелинейный показатель преломления среды.
Огибающая таких импульсов описывается нелинейным уравнением
Шредингера :
𝑖
𝜕𝜓
𝜕𝑧
𝑘 𝜕2 𝜓
= − 2
2 𝜕𝜏2
+ 𝑎2 |𝜓|2 𝜓,
(6)
𝜕2
здесь 𝑘2 =
– параметр дисперсии групповой скорости, 𝑎2 – коэффициент
𝜕𝜔2
нелинейности, пропорциональный 𝑛2 .
Дальше, при уменьшении количества осцилляций N, под огибающей
импульса, от 1000 до 10 уравнение (6) модифицируется добавлением
производных высших порядков:
𝜕𝜓
𝑘 𝜕 2𝜓
𝑘 𝜕 3𝜓
𝜕
𝑖 𝜕𝑧 = − 22 𝜕𝜏2 – 𝑖 3!3 𝜕𝜏3 + ⋯ + 𝑎2 |𝜓|2 𝜓 + 𝑖𝑎3 𝜕𝜏 (|𝜓|2 𝜓) + ⋯,
(7)
где 𝑘𝑗 и 𝑎𝑗 – соответственно параметры дисперсии групповой скорости и
нелинейной дисперсии j – го порядка, (j = 2, 3, 4, …). Каждая производная
в уравнении (7) является последующим членом разложения по параметру
δ ~ 10−3 − 10−1, который всё ещё считается малым.
При дальнейшем уменьшении количества осцилляций поля под
огибающей (1 < N < 10), параметр 𝛿 ~ 1 перестаёт быть малым, поэтому
модификация уравнения (7) в виде добавления всё большего количества
производных высших порядков становится невозможной.
9
3.2 . Метод медленно меняющегося профиля (ММП)
В случае если импульс содержат порядка одного периода
электромагнитных колебаний, само понятие огибающей не применимо,
соответственно следует отказаться от приближения ММО, вернувшись к
волновому уравнению (1). В таком случае прибегают к приближению
однонаправленного распространения [13, 14].
Рассмотрим уравнение (1), с учётом (2). Пусть поле будет линейнополяризованное, поэтому вместо векторов E и P, будут фигурировать
скалярные величины E и P. Тогда выделим преимущественное
распространение импульса вдоль оси z. Таким образом, уравнение (1)
преобразуется в виде:
(
𝜕
𝜕𝑧
1 𝜕
−
𝑐 𝜕𝑡
)(
𝜕𝐸
𝜕𝑧
+
1 𝜕𝐸
𝑐 𝜕𝑡
)=
4𝜋 𝜕2 𝑃
𝑐 2 𝜕𝑡 2
− ∇2⊥ 𝐸 ,
(8)
Пусть правая часть уравнения (9) мала, это возможно, если малы оба
4𝜋 𝜕2 𝑃
слагаемых. Слагаемое 2 2 будет мало, если допустить, что концентрация
𝑐 𝜕𝑡
атомов, активно взаимодействующих с полем лазерного импульса, тоже
мала. Из этого допущения следует, что показатель преломления среды близок
к единице:
𝛿1 = |𝑛 − 1| ≪ 1,
(9)
Второе слагаемое будет мало, если для описания динамики распространения
импульса в поперечных направлениях к оси z использовать параксиальное
приближение.
Пренебрежём правой частью в (8), учитывая только волну,
распространяющуюся только вдоль оси z, а волну, которая распространяется
против оси z – отбросим. Таким образом, из (8) в нулевом приближении
𝜕𝐸
1 𝜕𝐸
𝜕
1 𝜕
получится: +
= 0 или
=−
. Тогда подставляя это приближение
𝜕𝑧
𝑐 𝜕𝑡
𝜕𝑧
𝑐 𝜕𝑡
в левую скобку уравнения (8):
𝜕
𝜕𝐸
(
𝜕𝑡 𝜕𝑧
+
1 𝜕𝐸
𝑐 𝜕𝑡
)= −
2𝜋 𝜕2 𝑃
с
𝜕𝑡 2
+
с
2
∇2⊥ 𝐸,
(10)
где ∇2⊥ – поперечный лапласиан. Интегрируя по времени, получается:
𝜕𝐸
𝜕𝑧
+
1 𝜕𝐸
𝑐 𝜕𝑡
= −
2𝜋 𝜕𝑃
с 𝜕𝑡
+
с
2
𝑡
∇2⊥ ∫−∞ 𝐸𝑑𝑡 ′ .
(11)
Получившиеся уравнение (11) описывает распространение предельно
короткого лазерного импульса в разряженной среде вдоль оси z со скоростью
близкой к скорости света в вакууме, с учётом параксиальных приближений
его динамики в поперечных направлениях.
10
Сведение волнового уравнения второго порядка к первому произошло
в виду приближения однонаправленного распространения, а не приближения
медленно меняющейся огибающей, поэтому все рассуждения справедливы
как для предельно коротких импульсов, так и для квазимонохроматических.
Подобное приближение использовалась в работах по нелинейной акустике
[15,16], где роль скорости света заменила линейная скорость звука. В тех
задачах приближение однонаправленного распространения назвали
приближением медленно меняющегося профиля (ММП), так как в
сопутствующей системе отсчёта профиль такой волны изменяется очень
медленно.
В дальнейшем уравнение (11) вместе с материальными уравнениями,
образуют систему, теоретическое исследование которой в значительной
степени упростилось, ввиду отсутствия вторых производных.
3.3 . Возвращение к уравнениям Максвелла
С уменьшением длительности импульса, и соответственно количества
осцилляций поля, ширина его частотного спектра становится сравнимой со
значением средней частоты и само понятие огибающей становится
неприменимым, если под ней всего два-три периода колебаний. В этом
случае необходимо решать полную систему, состоящую из уравнений
Максвелла и материальных уравнений для отклика среды [17]:
𝜕𝐻
𝜕𝑥
=−
1 𝜕
𝑐 𝜕𝑡
(𝐸 + 4𝜋𝑃),
𝜕𝐸
𝜕𝑥
=−
1 𝜕𝐻
𝑐 𝜕𝑡
.
Материальные уравнения для отклика среды – уравнение Дуффинга для
ангармонических осцилляторов:
𝜕2 𝑃
𝜕𝑡 2
+𝛿
𝜕𝑃
𝜕𝑡
+ 𝜔𝑟2 𝑃 + 𝐹 (𝑃) = 𝛾𝐸.
Где функция F(P) выражает нелинейный отклик среды, 𝜔𝑟 – резонансная
частота, 𝛿 – параметр затухания, 𝛾 – коэффициент связи между
электрическим полем и поляризацией.
Из-за сложности аналитического решения такой системы уравнений, в
основном используют численные методы прямого интегрирования
нелинейного волнового уравнения.
11
Заключение
В ходе работы были изучены основные понятия, встречающиеся при
описании предельно коротких импульсов. Также был представлен критерий
для классификации импульсов на короткие, сверхкороткие и предельно
короткие.
Были рассмотрены оценки длительности лазерных импульсов в
различных диапазонах длин волн в зависимости от вида лазерного импульса.
Описаны основные методы теоретического анализа для коротких,
сверхкоротких и предельно коротких лазерных импульсов. А также выявлена
связь между числом колебаний электромагнитного поля под огибающей
лазерного импульса и возможными методами теоретического анализа. Метод
медленно меняющейся огибающей успешно работает для весьма широкого
спектра значений N - числа осцилляций поля под огибающей. Даже при
небольших N, при учёте дополнительных слагаемых, соответствующих
эффектам высших порядков, можно получить верные решения. Метод
медленно меняющегося профиля применим как для предельно коротких
импульсов в разряженной среде, так и для квазимонохроматических. В
случае, когда N – мало, а приближение однонаправленного распространения
не применимо (т. е. не работают методы ММО и ММП). Следует
возвращаться к полной системе уравнений Максвелла.
В заключение хочу выразить благодарность моему научному
руководителю Марии Валентиновне Комиссаровой за предложенную
интересную тему и постоянную поддержку в работе.
12
Литерат_yра
t1] С.А. Ахманов, В. А. Выслоух, А. С. Чиркин.
оптика фемтосекундных лазерных импульсов. М.: Наука, 1988.
2022, том 130,
t2] д.д. Дндреев, к.ю.Платонов, Оптика и спектроскопиrI,
вып. 6.
t3]
р.м. Дрхипов, м.в. Дрхипов, и. Бабушкин, д.в. Пахомов, н.н-
Розанов. Письма в ЖЭТФ , ||4 (5),298 {202l).
14]H. Leblond, D. Mihalache. Physics Reports, 523 (2), 6|
(2013).
t5] т. ВrаЬес, F. Krausz. Rеч. Моdеrп Phys., 7| (2),545 (2000).
[6iKnow W. н., Dоwпеr м. с., Fоrk R. L., Shaй с. v. // Optics Lett. 1984.
ч. 9. р. 552.
[7] Соrkum Р. В., Rolland С. Srinivasan-Rao Т. // Phys. Rеч. Lett. 1986.
v. 57. р 2268
18] Kiihlkg D., Herspers IJ., von der Linde D. // Opt. Соmmчп. 1987.
V. 63. р. 27 5.
S. // Optics Lett.
[9] Glorvnia J. Н., Arjavalingam G., Sorkin Р. Р., Rothenberg
198б. V. 11 .р.79.
Г10] D.H. Auston, К.Р. Сhеuпg, J.A. Valdmanis, D.A. Kleinman
Phys, Rev. Lett., 53 (16), 1555 (1984).
[11] Д.А. Багдасарян, А.О. Макарян, П.С. ГIогосян.
Писъма в ЖЭТФ, 37 (10), 498 (1983).
[12] Sazonov S. V. Opt. Spekкosk., 130 (10), 2022
[13] Sazonov S. V. Journal of Physics: Conf. Series, 859,20t7
[14] J'.C. Eilbeck, J.D. Gibbon, P.J. Caudrey, R.K. Bullough.
J. Phys. Ь,6, |337 (1973).
t15] Р.В. Хохлов. Радиотохн. и элекц)он., 6 (6), 917 (1961).
t16] о.В. Руденко, С.И. Солцrян, Р.В. Хохлов. дкуст.журн., 20 (2), 449
(L974).
t17] Ю. Н. Карамзин, А. С. Поташников, А. П. Сухоруков. Известии
академии наук. Т. 60, J\э13, |996.
13
l
