логарифмические уравнения

Найдите ошибки:
1. log324 – log38 = 16
2. log315 + log33 = log35
3. log553 = 2
4. log2162 = 8
5. 3log24 = log2(4*3)
6. 3log23 = log227
7. log327 = 4
8. log223 = 8
Вычислите:
a) log211 – log244
b) log1/64 + log1/69
c) 2log525 +3log264
Найдите х:
A. log 3x = 4
B. log3(7x-9) = log3x
Проверка
Верные равенства
№
да
нет
1
*
2
*
3
*
4
*
5
*
6
*
7
*
8
*
а
b
c
Вычислить
-2
-2
22
А
В
Найти х
81
1,5
Результаты устной работы:
«5» - 12-13 верных ответов
«4» - 10-11 верных ответов
«3» - 8-9 верных ответов
Найдите х:
A.log 3x = 4
B.log3(7x-9) = log3x
Цели урока:
• Ввести определение логарифмического
уравнения,
• Рассмотреть способы решения
логарифмических уравнений,
• Научиться решать логарифмические
уравнения,
• Проверить первичные навыки решения
логарифмических уравнений
Определение
• Уравнение, содержащее переменную под
знаком логарифма или в основании
логарифма, называется логарифмическим
Например,
log 2 x  3 или log  x 1 5  1
Определите уравнения являющиеся
логарифмическими и не являющимися
логарифмическими:
1) ln 2 x  0
4)x
log2 4
5
2) log 3 9  x  1
2
5) log 2 x  3
7) ln е  x  3 8) log x 16  2
3
3) log  x 1 2  0


6) log 1 x  5  2
2
2
9)3x  7  log 7 7
10) lg x  1  1 11) log 2 16   x  1
При каких значениях х
выражения имеют смысл
log3 x
log3 (x-3)
logx5
log x-2 5
11
1. По определению логарифма
Решение простейшего логарифмического уравнения
log a f ( x)  b, где a  0, a  1
основано на применении определения логарифма и
решении равносильного уравнения
f ( x)  a b
log2 128= х
logх 27= 3
3
log 16 х 
4
Решим следующие уравнения:
а) log7(3х-1)=2
б) log2(7-8х)=2
14
2. Потенцированием
Под потенцированием понимается переход от
равенства, содержащего логарифмы,
к равенству, не содержащему их:
log а f ( x)  log а g ( x), где a  0, a  1
f ( x)  g ( x),
f ( x)  0 и g ( x)  0
Решив полученное равенство, следует сделать проверку корней,
т.к.применение формул потенцирования расширяет
область определения уравнения
Пример:
Решите уравнение
Потенцируя, получаем:
log 2 (2х  4)  log 2 ( x 1).
2 х  4  х  1,
2 х  х  1  4,
х  3.
Проверка:
Если х  3, то log 2 (2  3  4)  log 2 (3 1),
Ответ : 3 .
log 2 (6  4)  log 2 2,
log 2 2  log 2 2,
1  1  верно.
log 1 (3х  1)  log 1 (6 х  8)
2
2
Решим следующее уравнение:
2
lg(х -2) = lg х
2
17
3. Применение свойств логарифмов
Пример:
Решите уравнение
log 3 х  5 log 3 2  3 log 3 2
log 3 х  log 3 25  log 3 23
log 3 х  log 3 32  log 3 8
log 3 х  log 3 (32 : 8)
log 3 х  log 3 4
х4
Ответ : 4
log2 (х +1) - log2 (х -2 ) = 2
Решим следующие уравнения:
а)log5 (х +1) + log5 (х +5) = 1 0
б)log9( 37-12х ) log7-2х 3 = 1 1
2
в) lg(х -6х+9) - 2lg(х - 7) = lg9
9
19
4. Введения новой переменной
Пример :
log 22 x  log 2 x  6.
Пусть log 2 x  t , тогда
t 2  t  6  0,
t2  2.
t1  3,
Решите уравнение
ОДЗ: x>0
Переходя к переменной х, получим:
1) log 2 x  3,
2) log 2 x  2,
2
x  2 3 ,
x

2
,
1
x 
.
x  4.
8
1
х  ; х = 4 удовлетворяют условию х>0, следовательно,
8
1
1
Ответ : ;4
8
8
;4 - корни исходного уравнения.
Решим следующие уравнения:
2
lg х - 6lgх +5 = 0
21
Методы решения
логарифмических уравнений
1. По определению логарифма
2. Потенцированием
3. Применение свойств логарифмов
4. Введения новой переменной
Уравнение:
log 3 (5 x  1)  2
log 3 (5 x  3)  log 3 (7 x  5)
Метод решения
по определению логарифма
потенцирование
log 22 x  3 log 2 x  4
введение новой переменной
log 2 ( x  2)  log 2 ( x  3)  1
использование свойств логарифма
Определи метод решения уравнений:
1) log x  3 log 5 x  2
3) log 2 ( x  7)  log 2 (11  x)  0
2
5
5) x  3  lg 1000  lg 100
7)2 log x  7 log 3 x  3
2
3
9) lg х 2  lg( 3х  4)  lg 3x
2) log 1 ( x 2  3x  1)  0
3
4) log 1 ( x  5)  log 1 2
2
6) lg( х  5)  3
2
8) log 3 x  5 log 3 2  3 log 3 2
10) log 0,3 (5  2 x)  2
Применяя
По определению
св-ва логарифмов
Введением
Потенцированием
новой переменной
Алгоритм решения
логарифмических уравнений
1. Выписать условия, при которых
логарифмическое уравнение определено
2. Выбрать метод решения
3. Решить уравнение
4. Для найденных корней проверить
выполнение условий пункта 1
5. При записи ответа исключить
посторонние корни
Решить уравнения:
№1 Найдите произведение корней уравнения
log  ( х 2  0,1)  0.
1) - 1,21
2) - 0,9
3) 0,81
4) 1,21
№2 Укажите промежуток, которому принадлежит
корень уравнения
log 0, 4 (5  2 х)  log 0, 4 2  1.
1) (- ∞;-2]
2) [-2;1]
3) [1;2]
4) [2;+∞)
№3 Найдите сумму корней уравнения
log 5 х  log 5 x  2.
2
1) 5
2) 25,2
3) -25,2
4) - 5
Самостоятельная работа:
Решите логарифмические уравнения:
1 вариант
1) log 2 (1  2 х)  3
2 вариант
1) log 3 (3  2 х)  2
2) log 4 ( х  8)  log 4 (5х  4)
2) log 7 ( х  9)  log 7 (5x  7)
3) log 2 ( х  1)  log 2 ( x  3)  3
3) log 2 (1  х)  log 2 (3  х)  3
4) log 32 х  log 3 x 3  2
4) log 32 х  log 3 x 2  8
Правильные ответы:
№1
№2
№3
№4
Вариант 1
-3,5
3
1
3;9
Вариант 2
-3
4
-1
9; 1/81
Критерии выставления оценки:
«5» - все выполнено верно;
«4» - допущена одна ошибка;
«3» - допущено 2 ошибки
Все понятно , легко,
нет вопросов
Возникали трудности ,
есть вопросы
Трудно, много
вопросов
Найти х в следующих уравнениях:
log 2 x  3;
log 0,3 x  2;
1
log 16 x  ;
2
log 7 x  1;
ln x  1;
log  x 1 4  1;
log x 5  1;
Самостоятельная работа № 2
Решить логарифмические уравнения:
1
1). log 6 x  2; 2). log 27 x  ;
3
2
3). ln 2  5x  0; 4). log 5 x  2  x  0
5).log  x 1 2  1 6). log 2 log 3 x   1
Проверка
самостоятельной работы № 2
2
1).х  6 ;1х  36  0.
2).х  27 3  3 27  3  0.
1
0
3).2  5 х  е ;2  5 х  1;5 х  1; х  .
5
1

• Проверка:ln  2  5    0; ln 1  0.

5
• 4).Не является логарифмическим
1
5). х  1  2; х  2  1; х  1
• Проверка: log 11 2  1; log 2 2  1.
6). log 3 x  21 ; x  32 ; x  9  0