Лекция Симметрические группы подстановок

ГЛАВА 1
СИММЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
ПОДСТАНОВОК
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
2 / 183
§1. Подстановки и операции над ними
Пусть M – произвольное непустое конечное множество мощности n ∈ N.
Определение 1. Подстановкой множества M называется любое биективное отображение f : M → M .
Множество всех подстановок множества M обозначается S(M ). Зададим
на этом множестве операцию умножения отображений.
Теорема 1. Алгебраическая структура (S(M ); ·) является группой.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Поскольку произведение биективных отображений
биективно, выполняется условие замкнутости. Также произведение подстановок будет ассоциативно ввиду ассоциативности произведения отображений. Тождественная подстановка ε : M → M , для любого x ∈ M действующая по правилу
ε(x) = idM (x) = x,
будет нейтральным элементом. И так как любая подстановка g ∈ S(M ) – это
биективное отображение, к ней по критерию обратимости отображения существует обратная подстановка g −1 ∈ S(M ). Таким образом, для (S(M ); ·)
выполнены все аксиомы группы. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
3 / 183
§1. Подстановки и операции над ними
Определение 2. Группа S(M ) называется симметрической группой подстановок множества M , а её подгруппы – группами подстановок множества M .
Теорема 2. Группа S(M ) абелева тогда и только тогда, когда |M | ⩽ 2.
Д о к а з а т е л ь с т в о: В случаях |M | = 1 или |M | = 2 множество S(M )
состоит из одной или двух подстановок, и тогда коммутативность очевидна.
Пусть |M | > 2 и a, b, c ∈ M . Приведём контрпример коммутативности и
построим подстановки g1 , g2 ∈ S(M ) следующим образом:
g1 (a) = b, g1 (b) = a, g1 (x) = x, где x ∈ M \ {a, b},
g2 (b) = c, g2 (c) = b, g2 (y) = y, где x ∈ M \ {b, c}.
Так как верно
(g1 g2 )(a) = g2 (g1 (a)) = g2 (b) = c,
(g2 g1 )(a) = g1 (g2 (a)) = g1 (a) = b,
то g1 g2 6= g2 g1 . Следовательно, рассматриваемая операция умножения подстановок не коммутативна. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
4 / 183
§1. Подстановки и операции над ними
Если M = {a1 , . . . , an }, то любую подстановку g ∈ S(M ) удобно записать
в виде таблицы
a1 . . . an
g=
,
ai1 . . . ain
где g(as ) = ais – образ элемента as при отображении g. Такая форма записи
подстановок называется канонической (или полной).
Обратная к g подстановка получается переменой строк в её канонической записи. В частности, тождественная подстановка имеет вид
a1 . . . an
ε=
.
a1 . . . an
Теорема 3. Порядок группы S(M ) равен n!.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Каждая подстановка однозначно определяется нижней строкой своей канонической записи (при фиксированном порядке элементов верхней строки). Следовательно, число подстановок совпадает с
числом перестановок элементов множества M . БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
5 / 183
§1. Подстановки и операции над ними
Теорема 4. Если M1 и M2 – непустые и равномощные множества, то группы S(M1 ) и S(M2 ) изоморфны.
Д о к а з а т е л ь с т в о: По определению равномощности множеств существует биективное отображение f : M1 → M2 . Пусть ϕ : S(M1 ) → S(M2 ) –
отображение, для всех g ∈ S(M1 ) действующее по правилу:
g 7→ f −1 gf.
В силу биективности отображений f −1 , g и f будет биективным и их произведение, то есть ϕ(g) ∈ S(M2 ). При этом отображение ϕ сюръективно,
так как в произвольную подстановку h ∈ S(M2 ) отобразится подстановка
f hf −1 ∈ S(M1 ):
ϕ(f hf −1 ) = f −1 (f hf −1 )f = (f −1 f )h(f −1 f ) = idM2 h idM2 = h.
Кроме того, ϕ инъективно, так как при всех g1 , g2 ∈ S(M1 ) имеем:
ϕ(g1 ) = ϕ(g2 ) ⇔ f −1 g1 f = f −1 g2 f ⇔ g1 = g2 .
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
6 / 183
§1. Подстановки и операции над ними
Таким образом, ϕ биективно, и остаётся проверить выполнение определения изоморфизма:
ϕ(g1 g2 ) = f −1 (g1 g2 )f = f −1 (g1 f f −1 g2 )f = (f −1 g1 f )(f −1 g2 f ) =
= ϕ(g1 )ϕ(g2 ).
Следовательно, группы S(M1 ) и S(M2 ) изоморфны. Для изучения группы S(M ) достаточно из каждого бесконечного семейства множеств, равномощных множеству M , выбрать какое-либо одно и
изучать симметрическую группу подстановок этого множества. В конечных случаях обычно выбираются множества M = 1, n, где n ∈ N.
Определение 3. Симметрическая группа подстановок множества 1, n называется симметрической группой подстановок степени n и обозначается
через Sn , а её подгруппы – группами подстановок степени n.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
7 / 183
§1. Подстановки и операции над ними
Подстановки из Sn записываются в виде
1 2 ... n
g=
,
i1 i2 . . . in
где g(s) = is – образ элемента s при отображении g. Тождественная подстановка имеет вид
1 2 ... n
ε=
.
1 2 ... n
Пример 1. Выпишем все элементы симметрической группы подстановок
степени 3:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
S3 = ε,
,
,
,
,
.
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
8 / 183
§2. Циклы и транспозиции
Пусть M – произвольное непустое конечное множество мощности n ∈ N.
Определение 4. Элемент a ∈ M называется мобильным элементом (или
мобильной точкой) подстановки g ∈ S(M ), если g(a) 6= a, и неподвижным
элементом (или неподвижной точкой) – в противном случае.
Множество мобильных элементов подстановки g ∈ S(M ) обозначается
Mob g, а множество неподвижных – Fix g. Очевидно, для любой подстановки
эти два множества не пересекаются.
Пример 2. Для подстановки g ∈ S9 вида
1 2 3 4 5 6 7 8 9
g=
3 4 1 2 5 7 9 8 6
имеем Mob g = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 9}и Fix g = {5, 8}.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
9 / 183
§2. Циклы и транспозиции
Определение 5. Подстановки g, h ∈ S(M ) называются независимыми, если их множества мобильных элементов не пересекаются.
Утверждение 5. Если g, h ∈ S(M ) – независимые подстановки, то они
коммутируют.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Из определения независимых подстановок следуют
равенства Mob g ⊂ Fix h и Mob h ⊂ Fix g. С учётом этого факта для произвольных элементов a ∈ Mob g и b ∈ Mob h справедливы цепочки равенств:
(g · h)(a) = (h · g)(a),
h g(a) = g h(a) ,
g(a) = g(a),
(g · h)(b) = (h · g)(b),
h g(b) = g h(b) ,
h(b) = h(b).
В итоге, получив в обоих случаях верные равенства, делаем вывод о коммутируемости независимых подстановок. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
10 / 183
§2. Циклы и транспозиции
Определение 6. Подстановка g ∈ S(M ) называется циклом длины k, если
для множества Mob g = {a1 , . . . , ak } её мобильных элементов выполнены
условия:
1. g(ai ) = ai+1 для любого i ∈ 1, k − 1;
2. g(ak ) = a1 .
Если подстановка g ∈ S(M ) есть цикл длины k и Mob g = {a1 , . . . , ak },
то она имеет вид
a1 a2 . . . ak−1 ak ak+1 . . . an
g=
,
a2 a3 . . . ak a1 ak+1 . . . an
и для такого цикла существует ровно k способов записи в краткой форме,
соответствующих k циклическим сдвигам его элементов:
g = (a1 a2 . . . ak−1 ak ) = (a2 a3 . . . ak a1 ) = . . . = (ak a1 . . . ak−1 ).
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
11 / 183
§2. Циклы и транспозиции
Пример 3. Подстановка g ∈ S8 вида
1 2 3 4 5 6 7 8
g=
1 5 4 8 3 6 7 2
есть цикл длины 5 с краткими формами записи:
g = (2 5 3 4 8) = (5 3 4 8 2) = (3 4 8 2 5) = (4 8 2 5 3) = (8 2 5 3 4).
Теорема 6. Любая подстановка g ∈ S(M ) либо является циклом, либо раскладывается в произведение независимых циклов, причём такое разложение однозначно с точностью до перестановки сомножителей.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
12 / 183
§2. Циклы и транспозиции
Д о к а з а т е л ь с т в о: Для произвольного элемента a ∈ M рассмотрим
последовательность элементов из M :
a, g(a), g 2 (a), . . . , g l (a), . . . .
В силу конечности множества M найдутся такие p, q ∈ N, что p > q и будет
верно
g p (a) = g q (a) ⇔ g p−q (a) = a.
Таким образом, существует такое k ∈ N, что g k (a) = a. При этом если k
минимально, то справедливо g i (a) 6= g j (a) при 1 ⩽ i < j ⩽ k, а подстановка
h1 = a g(a) . . . g k−1 (a)
будет циклом длины k, причём Mob h1 = {a, g(a), . . . , g k−1 (a)}.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
13 / 183
§2. Циклы и транспозиции
Рассмотрим подстановку g1 = h−1
1 g, где Mob g1 = Mob g \ Mob h1 . Если
Mob g1 = ∅, то g1 = ε и g = h1 – цикл длины n. В противном случае снова
выберем произвольный элемент b ∈ M \ {a, g(a), . . . , g k−1 (a)} и построим
цикл
h2 = b g(b) . . . g l−1 (b) .
Очевидно, что h1 и h2 – независимые циклы. Аналогично рассмотрим
−1 −1
подстановку g2 = h−1
2 g1 = h2 h1 g, где Mob g2 = Mob g1 \ Mob h2 . Если
Mob g2 = ∅, то g2 = ε и g = h1 · h2 – произведение циклов длин k и l.
Иначе выберем элемент c ∈ M \ {a, g(a), . . . , g k−1 (a)} ∪ {b, g(b), . . . , g l−1 (b)}
и аналогичным образом построим цикл h3 .
В силу конечности множества M этот процесс завершится за конечное
число шагов, и в итоге получим требуемое представление подстановки g в
виде произведения независимых циклов h1 , . . . , hs , то есть g = h1 · . . . · hs .
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
14 / 183
§2. Циклы и транспозиции
Пусть g = f1 · . . . · ft – ещё одно разложение. Для любого a ∈ Mob h1
найдётся такой цикл fi при некотором i ∈ 1, s, что a ∈ Mob fi . В силу попарной независимости подстановок f1 , . . . , ft будем считать, что a ∈ Mob f1 .
Отсюда следует, что a ∈ Mob h1 ∩ Mob f1 .
Очевидно, что h1 (a) = g(a) = f1 (a). Но тогда верны включения
h1 (a), f1 (a) ∈ Mob h1 ∩ Mob f1
и так же верна цепочка равенств:
h21 (a) = h1 h1 (a) = h1 g(a) = g g(a) = f1 g(a) = f1 f1 (a) = f12 (a).
Продолжая аналогичным образом, для любых произвольных i ∈ N получаем hi1 (a) = f1i (a), а это означает, что сами циклы совпадают.
Если s = 1, то t = 1, иначе f2 . . . ft = ε, что невозможно ввиду попарной
независимости циклов. Следовательно, оба разложения совпадают. Если
s > 1, то и t > 1 и справедливо h2 . . . hs = f2 . . . ft . Аналогично доказываем
равенство циклов h2 и f2 .
В силу конечности s и t процесс сравнения завершится. Таким образом,
получим равенство двух разложений. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
15 / 183
§2. Циклы и транспозиции
Определение 7. Представление подстановки g ∈ S(M ) в виде произведения независимых циклов называется её разложением на независимые циклы.
Определение 8. Цикловой структурой подстановки g ∈ S(M ) называется
запись вида
km
[g] = [l1k1 , l2k2 , . . . , lm
],
означающая, что разложение подстановки g на независимые циклы (включая единичные) состоит из k1 циклов длины l1 , k2 циклов длины l2 , . . . , km
циклов длины lm .
Теорема 7. Порядок цикла равен его длине. Порядок произвольной подстановки g ∈ S(M ) равен НОК длин циклов в её разложении.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
16 / 183
§2. Циклы и транспозиции
Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть g = (a0 a1 . . . ak−1 ) – цикл длины k. Для любого i ∈ 0, k − 1 справедливо g(ai ) = ark (i+1) , где rk (i + 1) – остаток от
деления i + 1 на k, и при этом для всех m ∈ N верно соотношение:
g m (ai ) = ark (i+rk (m)) = ark (i+m) .
Теперь очевидно, что g m = ε в том и только в том случае, если rk (m) = 0,
то есть ord g = k.
Пусть g = h1 . . . hs – разложение на независимые циклы, s > 1. Ввиду
попарной перестановочности циклов, для произвольного t ∈ N выполняется
g t = ht1 . . . hts . Также справедливо:
g t = ε ⇔ ht1 = . . . = hts = ε.
Значит, t – такое наименьшее натуральное число, что оно делится на порядок каждого из независимых циклов в разложении, то есть является их
НОК по определению. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
17 / 183
§2. Циклы и транспозиции
Пример 4. Разложение подстановки g ∈ S9 на независимые циклы:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
g=
= (1 3 9 5)(4 8 7) = (1 3 9 5)(4 8 7)(2)(6).
3 2 9 8 1 6 4 7 5
Её цикловая структура – [g] = [12 , 31 , 41 ], и тогда ord g = [1, 3, 4] = 12.
Определение 9. Подстановка g ∈ S(M ) называется транспозицией, если
она является циклом длины 2.
Теорема 8. Любая подстановка g ∈ S(M ) раскладывается в произведение
транспозиций.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Любой единичный цикл (a), по сути являющийся
тождественной подстановкой ε, есть произведение транспозиций (a b)(a b),
в котором b 6= a.
Пусть g = (a1 . . . ak ) – цикл длины k ⩾ 3. Непосредственной проверкой
легко убедиться, что g = (a1 ak )(a2 . . . ak ). Из этого соотношения индуктивно устанавливается справедливость теоремы. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
18 / 183
§2. Циклы и транспозиции
В отличие от разложения на независимые циклы, способов выразить
подстановку через транспозиции существует достаточно много. Все они возникают из того факта, что у каждого цикла есть несколько способов записи
в краткой форме.
Пример 5. Разложение подстановки g ∈ S9 на транспозиции:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
g=
= (1 3 9 5)(4 8 7) =
3 2 9 8 1 6 4 7 5
= (1 5)(3 5)(9 5)(4 7)(8 7) = (1 3)(1 9)(1 5)(4 8)(4 7).
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
19 / 183
§3. Чётные и нечётные подстановки
Зададим на конечном множестве M = {a1 , a2 , . . . , an } отношение «меньше» по правилу
a1 < a2 < . . . < an ,
сделав его таким образом вполне упорядоченным.
Определение 10. Подстановка g ∈ Sn вида
a1 a2 . . . an
ai1 ai2 . . . ain
называется чётной, если чётна перестановка (ai1 , ai2 , . . . , ain ), и нечётной
– в противном случае.
Утверждение 9. Если g, h ∈ S(M ) и h – транспозиция, то чётности подстановок g и gh противоположны.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
20 / 183
§3. Чётные и нечётные подстановки
Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть h = (aik ail ) и k < l. Рассмотрим произведение произвольной подстановки g и h:
a1 . . . ak−1 ak ak+1 . . . al−1 al al+1 . . . an
gh =
·
ai1 . . . aik−1 aik aik+1 . . . ail−1 ail ail+1 . . . ain
a
. . . aik−1 aik aik+1 . . . ail−1 ail ail+1 . . . ain
· i1
=
ai1 . . . aik−1 ail aik+1 . . . ail−1 aik ail+1 . . . ain
a1 . . . ak−1 ak ak+1 . . . al−1 al al+1 . . . an
=
.
ai1 . . . aik−1 ail aik+1 . . . ail−1 aik ail+1 . . . ain
Остаётся заметить, что перестановки
(ai1 , . . . , aik−1 , aik , aik+1 , . . . , ail−1 , ail , ail+1 , . . . , ain ),
(ai1 , . . . , aik−1 , ail , aik+1 , . . . , ail−1 , aik , ail+1 , . . . , ain )
различаются транспозицией и их чётности противоположны. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
21 / 183
§3. Чётные и нечётные подстановки
Теорема 10. Подстановка g ∈ S(M ) является чётной тогда и только тогда, когда число транспозиций в любом её разложении на транспозиции
является чётным числом.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть g = t1 t2 . . . ts – произведение s транспозиций.
Очевидно, что g получается из чётной подстановки ε её s-кратным умножением на транспозиции, то есть g = εt1 t2 . . . ts . По теореме 9 получаем, что
g будет чётной подстановкой тогда и только тогда, когда число s чётно. Следствие. Цикл длины k является чётной подстановкой тогда и только
тогда, когда число k нечётно.
Утверждение 11. Подмножество A(M ) всех чётных подстановок группы
S(M ) является её подгруппой.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Каждая из подстановок g, h ∈ A(M ) есть произведение чётного числа транспозиций. Значит, подстановка gh так же будет
произведением чётного числа транспозиций и gh ∈ A(M ). Тогда по следствию из критерия подгруппы A(M ) < S(M ). БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
22 / 183
§3. Чётные и нечётные подстановки
Определение 11. Группа A(M ), состоящая из всех чётных подстановок
множества M , называется знакопеременной группой множества M .
Утверждение 12. Порядок знакопеременной группы A(M ) равен половине порядка симметрической группы S(M ).
Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть T(M ) – множество всех нечётных подстановок из S(M ). Тогда
|T(M )| + |A(M )| = |S(M )|.
Если подстановка g ∈ S(M ) нечётна, то множество gA(M ), полученное
умножением всех чётных подстановок на g, будет подмножеством T(M ).
Следовательно, |gA(M )| = |A(M )| ⩽ |T(M )|.
С другой стороны, gT(M ) ⊂ A(M ), откуда очевидным образом следует
|gT(M )| = |T(M )| ⩽ |A(M )|. Таким образом, |T(M )| = |A(M )|. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
23 / 183
§3. Чётные и нечётные подстановки
По аналогии с симметрической группой степени n также рассматривается знакопеременную группу степени n, которая обозначается An .
Пример 6. Элементы симметрической и знакопеременной групп степени 3
в краткой записи:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
S3 = ε,
,
,
,
,
=
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1
= {ε, (12), (13), (23), (123), (132)},
1 2 3
1 2 3
A3 = ε,
,
= {ε, (123), (132)}.
2 3 1
3 1 2
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
24 / 183
ГЛАВА 2
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРУПП
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
25 / 183
§1. Свойства порядков элементов группы
Пусть G – произвольная мультипликативная группа.
Определение 1. Порядком элемента g группы G называется наименьшее
из чисел n ∈ N, при котором g n = e, если такие n существуют, и бесконечность – в противном случае.
Конечность и бесконечность порядка элемента g обозначается соответственно ord g = n и ord g = ∞. Для конечных групп известно, что все их
элементы имеют конечный порядок. Рассмотрим ещё некоторые важные
свойства.
Утверждение 1 (Свойства порядков элементов). Если g, h ∈ G – элементы конечных порядков, то при любом k ∈ Z справедливы:
1. g k = e ⇔ ord g | k;
ord g
;
2. ord g k =
(ord g, k)
3. gh = hg ∧ (ord g, ord h) = 1 ⇒ ord gh = ord g · ord h.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
26 / 183
§1. Свойства порядков элементов группы
Д о к а з а т е л ь с т в о: Докажем первое свойство. Пусть ord g = n < ∞.
Разделим k на n с остатком:
k = qn + r,
0 ⩽ r < n.
Отсюда справедлива цепочка равенств:
g k = g qn+r = g qn g r = (g n )q g r = g r .
В силу минимальности n равенство g k = g r = e верно в том и только том
случае, когда r = 0, что означает справедливость утверждения.
Для доказательства второго свойства, пользуясь свойствами взаимно
простых чисел и предыдущим пунктом, при t ∈ N получаем:
kt
ord g
k t
kt
(g ) = e ⇔ (g = e) ⇔ (ord g | kt) ⇔
⇔
(ord g, k) (ord g, k)
ord g
k
ord g
⇔
·t ⇔
t .
(ord g, k) (ord g, k)
(ord g, k)
Тогда ord g k < ∞ и t =
БК №252 (РТУ МИРЭА)
ord g
– наименьшее со свойством (g k )t = e.
(ord g, k)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
27 / 183
§1. Свойства порядков элементов группы
Для третьего свойства положим ord g = n < ∞ и ord h = m < ∞. Так
как элементы g и h коммутируют, справедливо
(gh)mn = (g n )m (hm )n = e,
то есть ord gh < ∞, и тогда по первому свойству ord gh = k, где k | mn.
С другой стороны, из (gh)k = g k hk = e получаются равенства
(gh)km = g km = e,
(gh)kn = hkn = e,
откуда по первому свойству n | km и m | kn, а с учётом условия (m, n) = 1
получаем m | k и n | k, и тогда mn | k. Таким образом, mn = k. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
28 / 183
§1. Свойства порядков элементов группы
Определение 2. Экспонентой группы G называется наименьшее из чисел
m ∈ N, при котором g m = e для любого элемента g ∈ G, если такие m
существуют, и бесконечность – в противном случае.
Конечной и бесконечность экспоненты группы обозначается exp G = m
и exp G = ∞ соответственно.
Пример 1. Экспоненты групп:
1. exp(Z; +) = ∞;
2. exp(Z/m; +) = m.
Утверждение 2. Экспонента любой конечной группы так же конечна и
равна наименьшему общему кратному порядков каждого из её элементов.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть G = {g1 , . . . , gn } и k = [ord g1 , . . . , ord gn ]. Тогда для произвольного g ∈ G верно g k = e, и потому exp G ⩽ k.
Для всякого g ∈ G по определению экспоненты справедливо ord g | exp G.
Следовательно, k | exp G, и так как exp G ⩽ k, то k = exp G. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
29 / 183
§2. Системы образующих групп
Как это уже говорилось, описать структуру группы на произвольном конечном множестве G можно с помощью таблицы Кэли. Однако в тех случаях, когда G бесконечно или просто достаточно велико, выписать результаты операции для каждой из пар элементов множества G не представляется
возможным. И потому одним из важнейших вопросов, которыми занимается теория групп, является поиск способов выразить все элементы группы
через какую-либо систему некоторых её элементов и соотношений между
ними.
Пусть G – произвольная мультипликативная группа.
Определение 3. Подгруппой группы G, порождённой множеством S ⊂ G,
называется подгруппа hSi, равная пересечению всех подгрупп H < G, содержащих S.
Если hSi = G, то множество S называется системой образующих (или
порождающих ) группы G. При этом группа называется конечно порождённой, если конечна её система образующих.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
30 / 183
§2. Системы образующих групп
Теорема 3. Если S = {s1 , . . . , sn } – непустое подмножество группы G, то
c
ci
hSi = si1i1 · . . . · sikk sij ∈ S, cij ∈ Z, ik ∈ 1, n, k ∈ N .
Д о к а з а т е л ь с т в о: Определим множество
c
ci
M = si1i1 · . . . · sikk sij ∈ S, cij ∈ Z, ik ∈ 1, n, k ∈ N .
Так как hSi содержит все конечные произведения элементов из S и обратных к ним, то M ⊂ hSi.
С другой стороны, для любых g, h ∈ M справедливо gh−1 ∈ M . Следовательно, M < G, но так как S ⊂ M , то по определению подгруппы,
порождённой подмножеством группы, верно hSi ⊂ M , а это значит, что
hSi = M . Следствие. Подгруппа hSi коммутативна тогда и только тогда, когда элементы множества S попарно перестановочны.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
31 / 183
§2. Системы образующих групп
Пример 2 (см. [?, гл. 11, §3]). Системы образующих групп:
1. G = hGi для любой группы G.
2. (Z; +) = hNi = h1i.
*(
)+
1
3. (Q; +) =
pi – простое число, ki ∈ N
.
pki i
Если S = {g1 , . . . , gt } – конечная система попарно перестановочных элементов группы G, то элементы порождаемой ею подгруппы описываются
как
hg1 , . . . , gt i = {g1c1 · . . . · gtct | c1 , . . . , ct ∈ Z}
при мультипликативной форме записи групповой операции и
hg1 , . . . , gt i = {c1 g1 + . . . + ct gt | c1 , . . . , ct ∈ Z}
при аддитивной форме записи.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
32 / 183
§2. Системы образующих групп
Циклические группы
Определение 4. Группа G называется циклической, если её система образующих состоит из одного элемента.
Очевидно, порядок любой циклической группы совпадает с порядком
образующего элемента.
Теорема 4. Пусть G = hgi. Если H < G, то H – циклическая.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть m ∈ N – наименьшее из чисел, при которых
верно g m ∈ H. Рассмотрим произвольный элемент g k ∈ H, где k ∈ Z, и
разделим k на m с остатком:
k = qm + r,
0 ⩽ r < |m|.
−q
Отсюда следует, что g r = g k (g m ) ∈ H. Но в силу минимальности m это
возможно только том случае, если r = 0. Значит, все элементы H являются
степенями элемента g m . БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
33 / 183
§2. Системы образующих групп
Циклические группы
Теорема 5. Пусть G = hgi и ord g = n < ∞. Если d ∈ N и d | n, то в G
существует единственная подгруппа H порядка d.
Д о к а з а т е л ь с т в о: При l = n/d подгруппа H = hg l i имеет порядок d,
так как по свойствам порядка элемента выполнено:
ord g l =
n
n
= = d.
(n, l)
l
Если H1 < G и |H1 | = d, то H1 – циклическая группа, то есть H1 = hg k i
при некотором k ∈ 0, n − 1. Тогда ord g k = d и верно:
d=
n
n
⇒ (n, k) = = l ⇒ l | k ⇒ g k = g ls = (g l )s , где s ∈ Z.
(n, k)
d
Значит, g k ∈ H, то есть H1 ⊂ H, а так как |H1 | = |H| = d, то H1 = H. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
34 / 183
§2. Системы образующих групп
Циклические группы
Теорема 6. Для циклических групп G = hgi верны утверждения:
1. ord g = m < ∞ ⇒ G ∼
= (Z/m; +);
∼ (Z; +).
2. ord g = ∞ ⇒ G =
Д о к а з а т е л ь с т в о: Определим отображение ϕ : Z → G, для всех c ∈ Z
действующее по правилу ϕ(c) = g c . Поскольку при любых c1 , c2 ∈ Z имеем
место равенство
ϕ(c1 + c2 ) = g c1 +c2 = g c1 · g c2 ,
это отображение является гомоморфизмом групп (Z; +) и G.
По теореме 3 любой элемент из G имеет вид g c при подходящем c ∈ Z,
откуда следует, что ϕ – эпиморфизм, при котором Im(ϕ) = G. Тогда по
теореме о гомоморфизме группоидов G ∼
= (Z/R; +), где R – конгруэнция на
(Z; +), для любых a, b ∈ Z определённая условием
aRb ⇔ ϕ(a) = ϕ(b) ⇔ g a = g b .
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
35 / 183
§2. Системы образующих групп
Циклические группы
Если ord g = m < ∞, то для любых a, b ∈ Z получаем:
(g a = g b ) ⇔ (g a−b = e) ⇔ (m | a − b) ⇔ a ≡ b(mod m) .
В этом случае R есть отношение сравнимости по модулю m, и следовательно
(Z/R; +) ∼
= (Z/m; +). Если ord g = ∞, то для любых a, b ∈ Z получаем:
(g a = g b ) ⇔ a = b,
то есть R есть отношение равенства на Z, и (Z/R, +) ∼
= (Z; +). Следствие. Две циклические изоморфны тогда и только тогда, когда их
порядки равны. Бесконечная циклическая группа изоморфна любой её собственной подгруппе.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
36 / 183
§2. Системы образующих групп
Системы образующих симметрической и знакопеременной групп
Рассмотрим теперь вопрос о порождении симметрической и знакопеременной групп.
Теорема 7. Группа Sn при любых n ∈ N может быть порождена одним из
множеств:
1. M1 = {(i j) | i < j};
2. M2 = {(1 i) | i ∈ 2, n};
3. M3 = {(i (i + 1)) | i ∈ 1, n − 1 ;
4. M4 = {(1 2), (1 2 . . . n)}.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Каждая подстановка из Sn раскладывается в произведение независимых циклов. Каждый цикл длины m представим в виде
произведения (m − 1) транспозиций. Следовательно, множество M1 , состоящее из всех транспозиций, порождает группу Sn .
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
37 / 183
§2. Системы образующих групп
Системы образующих симметрической и знакопеременной групп
Пусть H = hM2 i = h(1 2), (1 3), . . . , (1 n)i. Покажем, что любая транспозиция (i j) ∈ Sn представима через транспозиции из M2 . Для любой транспозиции (i j) ∈ Sn справедливо:
(i j) = (1 i)(1 j)(1 i).
Следовательно, H = Sn .
Пусть H = hM3 i = h(1 2), (2 3), . . . , ((n − 1) n)i. Аналогично покажем, что
любая транспозиция (1 i), где i ∈ 2, n, представима через элементы
из M3 .
Во-первых, транспозиция (1 2) ∈ H. Во-вторых, если 1 (i − 1) ∈ H, то
будет верно:
(1 i) = i (i − 1) 1 (i − 1) (i − 1) i ∈ H.
Следовательно, H = Sn .
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
38 / 183
§2. Системы образующих групп
Системы образующих симметрической и знакопеременной групп
Наконец, пусть H = hM4 i = h(1 2), (1 2 . . . n)i. Выразим произвольную
транспозицию вида i (i + 1) , где i ∈ 1, n − 1, через подстановки из M4 .
Для любой транспозиции (i (i + 1)) справедливо:
(i (i + 1)) = (1 2 . . . n)−i (1 2)(1 2 . . . n)i ∈ H.
Следовательно, H = Sn . Теорема 8. Группа An при любых n ⩾ 3 может быть порождена одним из
множеств:
1. N1 = {(i j k) | i 6= j 6= k};
2. N2 = {(1 2 i) | i ∈ 3, n}.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
39 / 183
§2. Системы образующих групп
Системы образующих симметрической и знакопеременной групп
Д о к а з а т е л ь с т в о: Так как любая подстановка g ∈ An представима в
виде произведения чётного числа транспозиций, справедливо:
g = (i1 j1 )(i2 j2 ) . . . (i2k−1 j2k−1 )(i2k j2k ) =
= [(i1 j1 )(i2 j2 )] . . . [(i2k−1 j2k−1 )(i2k j2k )] = t1 t2 . . . tk .
Если {i2s−1 , j2s−1 } ∩ {i2s , j2s } 6= ∅, будем считать, что i2s−1 = i2s – их
общий элемент, и тогда выполнено:
ts = (i2s−1 j2s−1 )(i2s j2s ) = (i2s−1 j2s−1 )(i2s−1 j2s ) = (i2s−1 j2s−1 j2s ).
Значит, ts есть цикл длины 3.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
40 / 183
§2. Системы образующих групп
Системы образующих симметрической и знакопеременной групп
Если же {i2s−1 , j2s−1 } ∩ {i2s , j2s } = ∅, то
ts =(i2s−1 j2s−1 )(i2s j2s ) = (i2s−1 j2s−1 )ε(i2s j2s ) =
=(i2s−1 j2s−1 ) [(j2s−1 i2s )(i2s j2s−1 )] (i2s j2s ) =
= [(i2s−1 j2s−1 )(j2s−1 i2s )] [(i2s j2s−1 )(i2s j2s )] =
=(i2s−1 i2s j2s−1 )(i2s j2s−1 j2s ).
Таким образом, ts – произведение двух циклов длины 3. Следовательно
множество N1 , состоящее из всех тройных циклов, порождает группу An .
Пусть H = hN2 i = h(1 2 3), (1 2 4), . . . , (1 2 n)i. Покажем, что все тройные
циклы представимы через циклы из H. Так как (1 2 i)(1 2 i) = (1 i 2) ∈ H, то
(1 2 i)(1 j 2) = (2 i j) ∈ H, а значит и (2 j k)(2 i j) = (i j k) ∈ H, что говорит о
справедливости теоремы. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
41 / 183
§2. Системы образующих групп
Системы образующих симметрической и знакопеременной групп
Определение 5. Система образующих группы G называется минимальной, если она перестанет быть таковой при удалении хотя бы одного элемента.
Пример 3. Базисами симметрической группы Sn являются множества M2 ,
M3 и M4 из теоремы 7, а множество N2 из теоремы 8 – базисом знакопеременной группы An .
Пусть A – подмножество множества транспозиций из группы Sn . Построим неориентированный граф ΓA = {1, n, A}, то есть такой граф, вершины которого обозначаются числами от 1 до n, и любые две вершины i и
j соединены ребром тогда и только тогда, когда (i j) ∈ A.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
42 / 183
§2. Системы образующих групп
Системы образующих симметрической и знакопеременной групп
Пример 4. Теоретико-графовая интерпретация базисов M2 и M3 группы
Sn приведена на рис. 1.
4
3
5
5
2
4
6
1
n
6
3
n−1
1
2
n
n−1
Рисунок 1 – Графы для базисов M2 и M3 группы Sn .
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
43 / 183
§2. Системы образующих групп
Системы образующих симметрической и знакопеременной групп
Теорема 9. Множество транспозиций A является системой образующих
группы Sn тогда и только тогда, когда граф ΓA будет связан.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Связность графа ΓA означает существование маршрута между любыми вершинами i, j ∈ 1, n, то есть последовательности вершин и рёбер:
i, e1 , t1 , e2 , t2 , . . . , tk−1 , ek , j.
При заданной интерпретации рёбер графа как транспозиций, будем рассматривать такой маршрут как произведение транспозиций:
(i t1 )(t1 t2 ) . . . (tk−2 tk−1 )(tk−1 j)(tk−1 tk−2 ) . . . (t2 t1 )(t1 i) = (i j).
Значит, существование маршрута между любыми вершинами эквивалентно
существованию любой транспозиции в группе hAi, которая по теореме 7
будет совпадать с группой Sn . Следствие. Множество транспозиций A является базисом группы Sn тогда и только тогда, когда граф ΓA является деревом.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
44 / 183
§3. Отношение сравнимости по подгруппе
Пусть G – произвольная мультипликативная группа.
Определение 6. Элементы a, b ∈ G называются сравнимыми по подгруппе
H слева (или справа), что обозначается в виде a ≡Л b(H) (или a ≡П b(H)),
если a−1 b ∈ H (или ab−1 ∈ H).
Теорема 10. Если H < G, то отношение сравнимости по подгруппе H на
множестве G есть отношение эквивалентности.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Отношения сравнимости слева и справа рефлексивны, так как для любого a ∈ G выполняется
a−1 a = aa−1 = e ∈ H.
Оба этих отношения симметричны, так как в H для каждого элемента
существует обратный:
a ≡Л b(H) ⇔ a−1 b ∈ H ⇔ (a−1 b)−1 ∈ H ⇔ b−1 a ∈ H ⇔ b ≡Л a(H),
a ≡П b(H) ⇔ ab−1 ∈ H ⇔ (ab−1 )−1 ∈ H ⇔ ba−1 ∈ H ⇔ b ≡П a(H).
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
45 / 183
§3. Отношение сравнимости по подгруппе
Эти отношения также обладают свойством транзитивности, так как если
a1 ≡Л b1 (H) и b1 ≡Л c1 (H), a2 ≡П b2 (H) и b2 ≡П c2 (H), то
−1
−1
a−1
1 c1 = (a1 b1 )(b1 c1 ) ∈ H,
−1
−1
a2 c−1
2 = (a2 b2 )(b2 c2 ) ∈ H,
то есть a1 ≡Л c1 (H) и a2 ≡П c2 (H). Таким образом, выполнено определение
отношения эквивалентности. Следствие. Если G – абелева группа, то отношения сравнимости по H
слева и справа совпадают.
Введем на G отношения сравнимости по её произвольной подгруппе H
слева и справа, обозначив их соответственно RЛ и RП . Для любого элемента
g ∈ H классы [g]RЛ и [g]RП всех элементов имеют вид:
[g]RЛ = {a ∈ G | a−1 g ∈ H},
БК №252 (РТУ МИРЭА)
[g]RП = {b ∈ G | bg −1 ∈ H}.
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
46 / 183
§3. Отношение сравнимости по подгруппе
Обозначим элементы a−1 g = h1 и bg −1 = h2 . Рассмотрим условия:
a−1 g = h1 ⇔ aa−1 g = ah1 ⇔ g = ah1 ⇔ gh−1
1 = a,
bg −1 = h2 ⇔ bg −1 g = h2 g ⇔ b = h2 g.
0
Произведя замену h01 = h−1
1 ∈ H, получим условие a = gh1 . В итоге классы
RЛ -эквивалентных и RП -эквивалентных элементов примут вид:
[g]RЛ = {gh | h ∈ H} = gH,
[g]RП = {hg | h ∈ H} = Hg.
Определение 7. Множества gH = {gh | h ∈ H} и Hg = {hg | h ∈ H} называются соответственно левым и правым смежными классами группы G
по подгруппе H, порождёнными элементом g ∈ G.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
47 / 183
§3. Отношение сравнимости по подгруппе
Из свойств отношения эквивалентности следует, что для любых элементов g1 , g2 ∈ G пары классов g1 H = [g1 ]RЛ и g2 H = [g2 ]RЛ , Hg1 = [g1 ]RП и
Hg2 = [g2 ]RП либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, отношение сравнимости по подгруппе H разбивает G на непересекающиеся
подмножества:
[
[
[
[
G=
[gi ]RЛ =
gi H,
G=
[gi ]RП =
Hgi .
i∈I
i∈I
i∈I
i∈I
Определение 8. Представление группы G в виде объединения левых (или
правых) смежных классов по подгруппе H называется разложением группы G на левые (или правые) смежные классы по подгруппе H.
Заметим, что для произвольной аддитивной группы (G; +) смежные
классы по любой её подгруппе H, порождённые элементом g ∈ G, имеют
вид:
g + H = {g + h | h ∈ H},
H + g = {h + g | h ∈ H}.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
48 / 183
§3. Отношение сравнимости по подгруппе
Теорема 11 (Свойства смежных классов). Для любой группы G и любой её подгруппы H верны утверждения:
1. множества левых и правых смежных классов по подгруппе H
равномощны;
2. любые два смежных класса по подгруппе H равномощны;
3. всякий смежный класс по подгруппе H порождается любым своим
элементом.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть L – множество левых смежных классов G по
H, а R – множество правых. В силу того, что классы смежности есть классы
эквивалентности, для любых g1 , g2 ∈ G имеет место цепочка равенств:
g1 H = g2 H ⇔ g2−1 g1 H = H ⇔ g2−1 g1 ∈ H ⇔ (g2−1 g1 )−1 ∈ H ⇔
⇔ g1−1 g2 ∈ H ⇔ Hg1−1 g2 = H ⇔ Hg1−1 = Hg2−1 .
Отсюда следует, что отображение ϕ : L → R, определённое для gH ∈ L
условием ϕ(gH) = Hg −1 , задано корректно и является биективным.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
49 / 183
§3. Отношение сравнимости по подгруппе
Для обоснования второго свойства определим отображения ϕ1 : H → gH
и ϕ2 : H → Hg, для любого элемента h ∈ H действующие по правилам
ϕ1 (h) = gh и ϕ2 (h) = hg. Очевидно, они биективны, а это означает равенство мощностей всех смежных классов порядку подгруппы H.
Для третьего свойства необходимо показать, что если a1 ∈ gH и a2 ∈ Hg
для любых a1 , a2 , g ∈ G, то gH = a1 H и Hg = Ha2 . Пусть a1 = gh1 и
a2 = h2 g, где h1 , h2 ∈ H. Тогда для любого элемента h ∈ H имеем:
−1
−1
0
gh = g(h1 h−1
1 )h = (gh1 )(h1 h) = a1 (h1 h) = a1 h1 , где h1 ∈ H,
−1
−1
0
0
hg = h(h−1
2 h2 )g = (hh2 )(h2 g) = (hh2 )a2 = h2 a2 , где h2 ∈ H.
Значит, gH ⊂ a1 H и Hg ⊂ Ha2 . В то же время выполнено:
a1 h = (gh1 )h = g(h1 h) = gh001 , где h001 ∈ H,
ha2 = h(h2 g) = (hh2 )g = h002 g, где h002 ∈ H.
Значит, a1 H ⊂ gH и Ha2 ⊂ Hg, и с учётом вложения в другую сторону
получаем требуемое равенство. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
50 / 183
§3. Отношение сравнимости по подгруппе
Определение 9. Индексом подгруппы H в группе G называется величина
|G : H|, равная количеству различных смежных классов по этой подгруппе.
Пример 5. Для группы (Z; +) и её подгруппы (mZ; +), где m ∈ N, верны
равенство |Z : mZ| = m и разложение
Z = mZ ∪ (1 + mZ) ∪ . . . ∪ (m − 1 + mZ).
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
51 / 183
§3. Отношение сравнимости по подгруппе
Теорема 12 (Лагранжа). Порядок любой подгруппы H конечной группы
G делит порядок этой группы, причём |G| = |G : H| · |H|.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Разложение G на левые смежные классы по подгруппе H имеет вид:
G = g1 H ∪ . . . ∪ gk H.
Отсюда |G| = |g1 H| + . . . + |gk H|, а тогда в силу равномощности смежных
классов будет верно |G| = k|H| = |G : H| · |H|. Следствие 1. Для любой цепочки подгрупп K < H < G конечной группы
G верно |G : K| = |G : H| · |H : K|.
Д о к а з а т е л ь с т в о: В силу транзитивности отношения «быть подгруппой», справедливо G < K. По теореме Лагранжа имеем:
|G : K| =
БК №252 (РТУ МИРЭА)
|G|
|G| |H|
=
·
= |G : H| · |H : K|. |K|
|H| |K|
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
52 / 183
§3. Отношение сравнимости по подгруппе
Следствие 2. Порядок любого элемента g конечной группы G делит порядок группы, причём g |G| = e.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Порядок элемента g равен порядку порождённой
им циклической подгруппы H = hgi. По теореме Лагранжа, этот порядок
будет делить порядок группы, а по общим свойствам порядков элементов
выполнено:
g |G| = g |H|·|G:H| = g ord g·|G:H| = (g ord g )|G:H| = e. Следствие 3. Любая группа G простого порядка p циклическая.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Если g ∈ G \ {e}, то ord g > 1 и ord g | p. Так как по
условию p – простое число, то ord g = p и |hgi| = p = |G|. Значит, G = hgi. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
53 / 183
§4. Отношение сопряжённости
Пусть G – произвольная мультипликативная группа.
Определение 10. Элементы g, h ∈ G называются сопряжёнными, что обозначается g ≈ h, если при некотором x ∈ G выполнено x−1 gx = h.
Последнее равенство также называют уравнением сопряжённости (или
уравнением Коши, уравнением подобия).
Наряду с понятием сопряжённости элементов группы вводится понятие
сопряжённости подгрупп.
Определение 11. Подгруппы H < G и K < G называются сопряжёнными, что обозначается H ≈ K, если существует такой элемент x ∈ G, что
выполнено условие x−1 Hx = K.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
54 / 183
§4. Отношение сопряжённости
Утверждение 13. Отношение сопряжённости на любой группе G является
отношением эквивалентности.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Так как g = e−1 ge для любого g ∈ G, справедливо
свойство рефлексивности.
Отношение также будет симметрично, так как если g ≈ h, то для некоторого x ∈ G верно:
x−1 gx = h ⇒ g = (x−1 )−1 hx−1 ⇒ h ≈ g.
Свойство транзитивности выполняется, так как если g ≈ h и h ≈ k, то
при некоторых x, y ∈ G справедливо:
x−1 gx = h ∧ y −1 hy = k ⇒ (xy)−1 g(xy) = k ⇒ g ≈ k. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
55 / 183
§4. Отношение сопряжённости
Пусть [g]≈ = {x−1 gx | x ∈ G} – класс элементов группы G, сопряжённых
с элементом g. Тогда группа G распадается на непересекающиеся классы
сопряжённых элементов, то есть
[
G=
[g]≈ .
g∈G
Очевидны простейшие свойства отношения сопряжённости:
1. в любой абелевой группе каждый класс сопряжённости состоит из
одного элемента, и число этих классов совпадает с порядком группы;
2. в любой группе нейтральный элемент образует отдельный класс,
равно как и любой другой элемент группы, перестановочный со всеми
прочими;
3. в общем случае классы сопряжённых элементов, в отличие от
смежных классов, не будут равномощны (в конечных неабелевых
группа их число меньше порядка группы).
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
56 / 183
§4. Отношение сопряжённости
Централизаторы и нормализаторы
Понятия централизатора и нормализатора используются с целью описания мощностей классов сопряжённых элементов.
Определение 12. Централизатором подмножества H в группе G называется множество
ZG (H) = {g ∈ G | ∀h ∈ H : gh = hg}
состоящее из всех элементов группы G, перестановочных с каждым элементом из H.
Если H = {h}, то множество ZG (h) = {g ∈ G | gh = hg} называется
централизатором элемента h в группе G.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
57 / 183
§4. Отношение сопряжённости
Централизаторы и нормализаторы
Утверждение 14. Централизатор ZG (H) любого подмножества H группы
G является её подгруппой.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Поскольку ассоциативность групповой операции сохраняется для элементов ZG (H), то выполняется:
gh = hg ⇔ g −1 gh = g −1 hg ⇔ g −1 ghg −1 = g −1 hgg −1 ⇔ hg −1 = g −1 h.
Таким образом, всякий элемент g ∈ ZG (H) содержится в централизаторе
вместе со своим обратным элементом. Для всех g1 , g2 ∈ ZG (H) имеем:
(g1 g2−1 )h = g1 (g2−1 h) = g1 (hg2−1 ) = (g1 h)g2−1 = (hg1 )g2−1 = h(g1 g2−1 ).
Следовательно, g1 g2−1 ∈ ZG (H), и по критерию подгруппы ZG (H) < G. Определение 13. Центром группы G называется множество
Z(G) = {g ∈ G | ∀h ∈ G : gh = hg},
состоящее из всех элементов группы G, перестановочных с каждым элементом этой группы
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
58 / 183
§4. Отношение сопряжённости
Централизаторы и нормализаторы
Элементы Z(G) называются центральными. Поскольку Z(G) = ZG (G),
то центр любой группы G является её подгруппой. Из определения следует,
что группа G абелева в том и только том случае, когда G = Z(G).
Пример 6. Центр группы:
1. Если n ∈ N и n ⩽ 2, то Z(Sn ) = Sn . Если n > 2, то Z(Sn ) = {ε} ввиду
некоммутативности операции умножения подстановок.
2. Для произвольной матрицы A ∈ R∗n×n равенство AX = XA
справедливо тогда и только тогда, когда X = E. Так как умножение
обеих частей равенства на константу k ∈ R \ {0} не оказывает
никакого влияния, получаем Z(R∗n×n ) = {kE}.
Определение 14. Нормализатором подмножества H в группе G называется множество
NG (H) = {g ∈ G | gH = Hg}.
Очевидно, что если H = {h}, то NG (H) = NG (h) = ZG (h).
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
59 / 183
§4. Отношение сопряжённости
Централизаторы и нормализаторы
Утверждение 15. Нормализатор NG (H) любого подмножества H группы
G является её подгруппой.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Ввиду сохранения ассоциативности будет выполнено:
gH = Hg ⇔ g −1 gH = g −1 Hg ⇔ g −1 gHg −1 = g −1 Hgg −1 ⇔ Hg −1 = g −1 H.
Значит, для любого g ∈ NG (H) верно g −1 ∈ NG (H). Кроме того, при всех
g1 , g2 ∈ NG (H) имеем:
(g1 g2−1 )H = g1 (g2−1 H) = g1 (Hg2−1 ) = (g1 H)g2−1 = (Hg1 )g2−1 = H(g1 g2−1 ).
Таким образом, g1 g2−1 ∈ NG (H), что означает NG (H) < G. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
60 / 183
§4. Отношение сопряжённости
Централизаторы и нормализаторы
Утверждение 16. Для любого элемента g ∈ G справедливо равенство:
[g]≈ = |G : NG (g)|.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Класс [g]≈ состоит из всех различных элементов
вида x−1 gx, где x ∈ G. Для любых x, y ∈ G справедливо:
(x−1 gx = y −1 gy) ⇔ (gxy −1 = xy −1 g) ⇔ (xy −1 ∈ NG (g)) ⇔
⇔ (NG (g)xy −1 = NG (g)) ⇔ (NG (g)x = NG (g)y).
Таким образом, элементы x−1 gx и y −1 gx различны в том и только том
случае, если различны смежные классы NG (g)x и NG (g)y. Следовательно,
верно равенство [g]≈ = |G : NG (g)|. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
61 / 183
§4. Отношение сопряжённости
Сопряжённые элементы в симметрической и знакопеременной группах
Теорема 17. Подстановки g, h ∈ Sn сопряжены тогда и только тогда, когда
они имеют одинаковую цикловую структуру.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть разложение подстановки g на независимые
циклы, включая единичные, имеет вид
(1)
(1)
(2)
(2)
(s)
(s)
g = g1 . . . gk1
g1 . . . gk2 . . . g1 . . . gks ,
где k1 + k2 + . . . + ks = n. Предположим, что подстановка f ∈ Sn – решение
уравнения x−1 gx = h, и она имеет вид:
(1)
f =
g1
(1) f g1
БК №252 (РТУ МИРЭА)
...
(1)
gk
(2)
1
g1
. . . f gk
f g1
(1) 1
(2) ...
(2)
gk
2
(2) . . . f gk
2
Группы подстановок
...
(s)
g1
(s) . . . f g1
...
(s)
gks
(s) . . . f gks
!
.
весна 2019/2020 уч.г.
62 / 183
§4. Отношение сопряжённости
Сопряжённые элементы в симметрической и знакопеременной группах
В итоге получаем:
f −1 gf =
(1) (1) f g1
...
f gk
(1)
...
gk
g1
(2) (2) 1
f g1
...
f gk
(2)
1
g1
...
gk
(1)
2
(2)
2
...
...
(s)
f gks
g1
...
gks
...
g1
...
gks
·
...
...
f g1
...
f gks
(s)
·
2
1
...
(s) !
f g1
(s)
(s)
(2)
(2)
(1)
(1)
. . . g1 . . . gks ·
g1 . . . g k
· g1 . . . g k
(1)
g1
(1) f g1
(s) ...
(1)
gk
1
(1) f gk
1
(2)
(2)
g1
...
gk
f g1
...
f gk
(2) 2
(2) 2
(s)
(s) (s)
(1) (1) (2) (2) (s) (s) = f g1
. . . f gk
f g1
. . . f gk
. . . f g1
. . . f gks
.
1
!
(s) =
2
Таким образом, подстановка h имеет ту же цикловую структуру, что и g.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
63 / 183
§4. Отношение сопряжённости
Сопряжённые элементы в симметрической и знакопеременной группах
Обратно, пусть g – произвольная подстановка с той же цикловой структурой, что и h, и их разложение на независимые циклы имеет вид:
(s)
(2)
(s)
(1)
(2)
(1)
g1 . . . gk2 . . . g1 . . . gks ,
g = g1 . . . gk1
(s)
(2)
(s)
(1)
(2)
(1)
h1 . . . hk2 . . . h1 . . . hks .
h = h1 . . . hk1
Составим подстановку f :
(1)
f=
(1)
(2)
(2)
(s)
(s)
g1
. . . gk1 g1
. . . gk2 . . . g1
. . . gks
(1)
(1)
(2)
(2)
(s)
(s)
h1 . . . hk1 h1 . . . hk2 . . . h1 . . . hks
!
.
Очевидно, что f – решение уравнения x−1 gx = h. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
64 / 183
§4. Отношение сопряжённости
Сопряжённые элементы в симметрической и знакопеременной группах
(s)
(2)
(s)
(1)
(2)
(1)
g1 . . . gk2 . . . g1 . . . gks – разложение подПусть g = g1 . . . gk1
становки g на независимые циклы, где k1 ⩾ k2 ⩾ . . . ⩾ ks , и h – подстановка с той же цикловой структурой, что и g. Тогда множество всех решений
уравнения x−1 gx = h есть множество подстановок вида
!
(1)
(1)
(2)
(2)
(s)
(s)
g1
. . . gk1 g1
. . . gk2 . . . g1
. . . gks
f=
(1)
(1)
(2)
(2)
(s)
(s) ,
h1 . . . hk1 h1 . . . hk2 . . . h1 . . . hks
соответствующих различным способам разложения подстановки h на независимые циклы длин k1 ⩾ k2 ⩾ . . . ⩾ ks .
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
65 / 183
§4. Отношение сопряжённости
Сопряжённые элементы в симметрической и знакопеременной группах
Если g = (g1 g2 . . . gn ) – полный цикл, то множество решений уравнения
x−1 gx = g есть нормализатор NSn (g), который состоит из подстановок вида:
g1
g2 . . . gn−i gn−i+1 gn−i+2 . . . gn
f=
, i ∈ 1, n.
gi+1 gi+2 . . . gn
g1
g2
. . . gi
Подстановка f есть ни что иное, как g i . Таким образом NSn (g) = hgi и
число решений уравнения в рассматриваемом случае равно n.
Если подстановка g ∈ Sn раскладывается на несколько независимых
циклов, то число решений уравнения может значительно превысить n.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
66 / 183
§4. Отношение сопряжённости
Сопряжённые элементы в симметрической и знакопеременной группах
Теорема 18. Пусть подстановка g ∈ Sn имеет цикловую структуру
[g] = [l1k1 , l2k2 , . . . , lrkr ].
Тогда нормализатор NSn (g) имеет порядок, равный
r
Y
(ki )! · liki .
i=1
Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть подстановка g имеет разложение на независимые циклы вида
g = g1 g2 . . . gs ,
(i)
(i)
где gi = g1 . . . gki , i ∈ 1, s, k1 ⩾ k2 ⩾ . . . ⩾ ks . Такое разложение будем
называть нормальной записью подстановки.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
67 / 183
§4. Отношение сопряжённости
Сопряжённые элементы в симметрической и знакопеременной группах
Из определения нормализатора следует, что NSn (g) есть множество всех
решений уравнения x−1 gx = g. Для описания всех решений указанного
уравнения необходимо:
1. Зафиксировать какую-либо нормальную запись для подстановки g.
2. Перебрать все возможные нормальные записи подстановки g:
g = g10 g20 . . . gs0 ,
(i)
(i)
где gi0 = δ1 . . . δki , i ∈ 1, s, k1 ⩾ k2 ⩾ . . . ⩾ ks .
3. Для каждого варианта нормальной записи построить решение f
указанного уравнения в виде:
!
(1)
(1)
(2)
(2)
(s)
(s)
g1
. . . gk1 g1
. . . gk2 . . . g1 . . . gks
f=
(1)
(1)
(2)
(2)
(s)
(s) .
δ1
. . . δk1 δ1
. . . δk2 . . . δ1
. . . δks
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
68 / 183
§4. Отношение сопряжённости
Сопряжённые элементы в симметрической и знакопеременной группах
Из указанного алгоритма следует, что число решений уравнения подобия
x−1 gx = g равно числу различных нормальных записей подстановки g. Для
получения из одной нормальной записи подстановки g всех её нормальных
записей нужно:
1. Всеми способами переставить между собой циклы одинаковых длин
(для kj циклов длины lj это можно сделать (kj )! способами).
2. Для каждого варианта расстановки циклов перебрать все возможные
способы записи каждого цикла (для kj циклов длины lj это можно
k
проделать lj j способами).
Теперь формула очевидна. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
69 / 183
§4. Отношение сопряжённости
Сопряжённые элементы в симметрической и знакопеременной группах
Пример 7. Для подстановки g = (1 2 3)(4 5) ∈ S5 найдём её нормализатор,
то есть все подстановки x ∈ S5 , для которых выполнено условие:
gx = xg ⇔ x−1 gx = g.
Для перебора всех возможных нормальных записей подстановки g воспользуемся таблицей:
№
1
2
3
4
5
6
1
1
1
2
2
3
3
2
2
2
3
3
1
1
3
3
3
1
1
2
2
4
4
5
4
5
4
5
5
5
4
5
4
5
4
К примеру, решением под номером 6 является подстановка (4 5)(1 3 2).
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
70 / 183
§4. Отношение сопряжённости
Сопряжённые элементы в симметрической и знакопеременной группах
Следствие 1. Если h – подстановка с той же цикловой структурой, что и
g, а f – произвольное решение уравнения x−1 gx = h, то множество всех
решений уравнения есть правый смежный класс NSn (g) · f .
Д о к а з а т е л ь с т в о: Если f – какое-либо решение уравнения сопряжённости x−1 gx = h, а s – решение уравнения y −1 gy = g, то все подстановки из
смежного класса NSn (g) · f , очевидно, так же будут решениями уравнения:
(
f −1 gf = h,
⇒ f −1 (s−1 gs)f = h ⇒ (sf )−1 g(sf ) = h.
s−1 gs = g
Пусть f1 – еще одно решение. Тогда f1−1 gf1 = f −1 gf = h и, следовательно, (f1 f −1 )−1 g(f1 f −1 ) = g, то есть f1 f −1 ∈ NSn (g) и f1 ∈ NSn (g) · f . БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
71 / 183
§4. Отношение сопряжённости
Сопряжённые элементы в симметрической и знакопеременной группах
Пример 8. Множество решений уравнения сопряжённости для подстановок g, h ∈ S5 , имеющих вид
g = (1 3 4)(2 5),
h = (1 4)(2 5 3),
так же может быть описано с помощью таблицы:
№
1
2
3
4
5
6
1
2
2
5
5
3
3
3
5
5
3
3
2
2
4
3
3
2
2
5
5
2
1
4
1
4
1
4
5
4
1
4
1
4
1
Нетрудно проверить, что 4-ая подстановка (1 2 4 3 5) является решением
уравнения x−1 gx = h.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
72 / 183
§4. Отношение сопряжённости
Сопряжённые элементы в симметрической и знакопеременной группах
Следствие 2. Число подстановок в Sn , цикловая структура которых описывается таблицей [l1k1 , l2k2 , . . . , lrkr ], будет равно:
n!
r
Y
.
(ki )! · liki
i=1
Д о к а з а т е л ь с т в о: Совокупность указанных подстановок есть в точности класс сопряжённости [g]≈ . Следовательно, верно равенство:
[g]≈ | = |Sn : NSn (g) =
БК №252 (РТУ МИРЭА)
|Sn |
. |NSn (g)|
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
73 / 183
§4. Отношение сопряжённости
Сопряжённые элементы в симметрической и знакопеременной группах
Теорема 19. Любые два цикла длины 3 сопряжены в группе An при всех
n ⩾ 3, кроме n = 4.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Сопряжённость тройных циклов из A3 очевидна,
поскольку решениями уравнения Коши для подстановок (1 2 3) и (1 3 2) являются сами эти подстановки.
В знакопеременной группе A4 множество решений уравнения Коши для
подстановок (1 2 3) и (1 2 4) описывается набором подстановок
(3 4), (1 2 4 3), (1 4 3 2)
ни одна из которых не является чётной.
Пусть n ⩾ 5 и g, h ∈ An – тройные циклы вида
(1) (1) (1)
(1) (1) (1)
g = g1 g2 g3 , h = h1 h2 h3 .
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
74 / 183
§4. Отношение сопряжённости
Сопряжённые элементы в симметрической и знакопеременной группах
Аналогично теореме 17 составим подстановку f ∈ Sn – решение уравнения Коши x−1 gx = h:
!
(n−3)
(3)
(2)
(1)
(1)
(1)
. . . g1
g1
g1
g3
g2
g1
f=
(n−3) .
(3)
(2)
(1)
(1)
(1)
h1 h2 h3 h1 h1 . . . h1
Поскольку все возможные решения получаются перечислением нормальных записей подстановки h, решением указанного уравнения также является подстановка f 0 ∈ Sn :
!
(1)
(1)
(1)
(2)
(3)
(n−3)
g1
g2
g3
g1
g1
. . . g1
0
f =
(1)
(1)
(1)
(3)
(2)
(n−3) .
h1 h2 h3 h1 h1 . . . h1
Очевидно, что f и f 0 – подстановки разной чётности, и тогда хотя бы одна
из них содержится в группе An . БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
75 / 183
§5. Произведения групп и подгрупп
Пусть G – произвольная мультипликативная группа.
Определение 15. Произведением непустых подмножеств H и K группы
G называется множество
HK = {hk | h ∈ H ∧ k ∈ K},
состоящее из всевозможных упорядоченных произведений элементов множества H на элементы множества K.
При аддитивной терминологии аналогично определяется сумма непустых подмножеств H и K как множество
H + K = {h + k | h ∈ H ∧ k ∈ K}.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
76 / 183
§5. Произведения групп и подгрупп
Утверждение 20. Если множество H ⊂ G непусто и H −1 = {h−1 | h ∈ H},
то H < G тогда и только тогда, когда H −1 = H и HH ⊂ H.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Если H < G, то по определению подгруппы H замкнуто относительно умножения, поэтому верно HH ⊂ H, а также само
является группой, что означает обратимость каждого элемента множества,
то есть H −1 = H.
Обратно, условие HH ⊂ H означает замкнутость относительно умножения, а H −1 = H – обратимость каждого элемента и наличие единичного элемента в H. С учётом ассоциативности выполнено определение подгруппы. Следствие. Если множество H ⊂ G непусто и H −1 = {h−1 | h ∈ H}, то
H < G в том и только том случае, если HH −1 ⊂ H.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
77 / 183
§5. Произведения групп и подгрупп
Теорема 21. Произведение подгрупп H < G и K < G есть подгруппа тогда
и только тогда, когда HK = KH.
Д о к а з а т е л ь с т в о: По утверждению 20 из условия HK < G получаем
равенство:
HK = (HK)−1 = K −1 H −1 = KH.
Обратно, из равенства HK = KH имеем:
(HK)(HK)−1 = HKK −1 H −1 = HKKH = HHKK = HK.
Следовательно, HK < G. Следствие. Сумма конечного семейства подгрупп абелевой группы (G; +)
является её подгруппой.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
78 / 183
§5. Произведения групп и подгрупп
Внешнее прямое произведение групп
Пусть G1 , . . . , Gn – произвольные мультипликативные группы. Рассмотрим их декартово произведение:
G = G1 × . . . × Gn = {(g1 , . . . , gn ) | gi ∈ Gi ∧ i ∈ 1, n}
Утверждение 22. Множество G относительно операции, для любых элементов (g1 , . . . , gn ), (h1 , . . . , hn ) ∈ G действующей по правилу
(g1 , . . . , gn ) · (h1 , . . . , hn ) = (g1 h1 , . . . , gn hn ),
является группой.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Поскольку операция в группоиде G есть покомпонентное применение операций групп G1 , . . . , Gn , она так же обладает свойством ассоциативности. Единицей является элемент e = (e1 , . . . , en ), где ei –
единица группы Gi при i ∈ 1, n. Обратным к элементу g = (g1 , . . . , gn ) будет
элемент g −1 = (g1−1 , . . . , gn−1 ). Таким образом, выполнены все аксиомы из
определения группы. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
79 / 183
§5. Произведения групп и подгрупп
Внешнее прямое произведение групп
Следствие. Группа G абелева в том и только том случае, если абелевыми
являются группы G1 , . . . , Gn .
Определение 16. Группа G называется внешним прямым произведением
групп G1 , . . . , Gn и обозначается G1 ⊗ . . . ⊗ Gn .
При аддитивной терминологии говорят о внешней прямой сумме групп
G1 , . . . , Gn и пишут G = G1 ⊕ . . . ⊕ Gn , причём операция над элементами
g = (g1 , . . . , gn ) ∈ G и h = (h1 , . . . , hn ) ∈ G определена условием
g + h = (g1 + h1 , . . . , gn + hn ).
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
80 / 183
§5. Произведения групп и подгрупп
Внешнее прямое произведение групп
Пример 9. Для групп (Z/8)∗ и A3 рассмотрим их внешнее прямое произведение:
(Z/8)∗ ⊗ A3 = { [1]8 , ε , [1]8 , (1 2 3) , [1]8 , (1 3 2) ,
[3]8 , ε , [3]8 , (1 2 3) , [3]8 , (1 3 2) ,
[5]8 , ε , [5]8 , (1 2 3) , [5]8 , (1 3 2) ,
[7]8 , ε , [7]8 , (1 2 3) , [7]8 , (1 3 2) }.
Для элементов g = [3]8 , (1 2 3) и h = [7]8 , (1 3 2) результат групповой
операции определяется следующим образом:
g · h = [3]8 · [7]8 , (1 2 3) · (1 3 2) = [5]8 , ε).
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
81 / 183
§5. Произведения групп и подгрупп
Внешнее прямое произведение групп
Теорема 23. Если G = G1 ⊗. . .⊗Gn – внешнее прямое произведение групп,
то справедливы утверждения:
1. элемент g = (g1 , . . . , gn ) ∈ G имеет конечный порядок тогда и только
тогда, когда конечные порядки имеют элементы g1 , . . . , gn , и в этом
случае
ord g = [ord g1 , . . . , ord gn ];
2. экспонента группы G конечна тогда и только тогда, когда конечны
экспоненты групп G1 , . . . , Gn , и в этом случае
exp G = [exp G1 , . . . , exp Gn ].
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
82 / 183
§5. Произведения групп и подгрупп
Внешнее прямое произведение групп
Д о к а з а т е л ь с т в о: Поскольку при произвольных k ∈ N справедливо
равенство g k = (g1k , . . . , gnk ), для всех k1 , k2 ∈ N будут верны:
g k1 = e ⇔ g1k1 = e1 ∧ . . . ∧ gnk1 = en ⇔ ord g1 | k1 ∧ . . . ∧ ord gn | k1 ,
∀g ∈ G : g k2 = e ⇔ ∀gi ∈ Gi : gik2 = ei ⇔ exp G1 | k2 ∧ . . . ∧ exp Gn | k2 .
Минимальными подходящими значениями степеней k1 и k2 с указанными
свойствами являются НОК соответственно порядков элементов g1 , . . . , gn и
экспонент групп G1 , . . . , Gn . Следствие. Если G1 , . . . , Gn – конечные циклические группы порядков
m1 , . . . , mn соответственно, то группа G = G1 ⊗ . . . ⊗ Gn будет циклической
тогда и только тогда, когда числа m1 , . . . , mn попарно взаимно просты.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
83 / 183
§5. Произведения групп и подгрупп
Внешнее прямое произведение групп
Д о к а з а т е л ь с т в о: Так как каждая из групп G1 , . . . , Gn циклическая,
то для любого i ∈ 1, n верно |Gi | = exp Gi = mi . Следовательно, ввиду
цикличности группы G так же имеем:
|G| = exp G = [exp G1 , . . . , exp Gn ] = [m1 , . . . , mn ].
При этом из определения внешнего прямого произведения:
|G| = |G1 × . . . × Gn | = |G1 | · . . . · |Gn | = m1 · . . . · mn .
Значит, указанные числа взаимно просты по определению.
Обратно, при всех i ∈ 1, n в циклической группе Gi можно выбрать
элемент gi порядка mi . Тогда по теореме 23 элемент g = (g1 , . . . , gn ) имеет
порядок [m1 , . . . , mn ]. Если числа m1 , . . . , mn попарно взаимно просты, то
ord g = |G| и справедлива цикличность группы G. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
84 / 183
§5. Произведения групп и подгрупп
Внутреннее прямое произведение подгрупп
Пусть G – произвольная мультипликативная группа.
Определение 17. Группа G называется внутренним прямым произведе˙ . . . ×H
˙ n,
нием своих подгрупп H1 , . . . , Hn , что обозначается в виде H = H1 ×
если выполнены условия:
1. каждый элемент g ∈ G однозначно представим в виде g = h1 · . . . · hn ,
где hi ∈ Hi при всех i ∈ 1, n;
2. для любых hi ∈ Hi и hj ∈ Hj при i, j ∈ 1, n, i 6= j, верно hi hj = hj hi .
Аналогично при аддитивной терминологии определяется внутренняя
прямая сумма подгрупп, которая обозначается H = H1 +̇ . . . +̇Hn .
Определение 18. Группа G называется разложимой, если она раскладывается во внутреннее прямое произведение своих собственных подгрупп, и
неразложимой – в противном случае.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
85 / 183
§5. Произведения групп и подгрупп
Внутреннее прямое произведение подгрупп
В абелевой группе (G; +) для любых её подгрупп H1 , . . . , Hn всегда выполнено второе условие определения (то есть поэлементная перестановочность каждой пары подгрупп), и тогда равенство G = H1 +̇ . . . +̇Hn эквивалентно единственности представления любого элемента группы G через
сумму элементов подгрупп H1 , . . . , Hn .
˙ . . . ×H
˙ n , то G изоморфна внешнему прямому
Теорема 24. Если G = H1 ×
произведению групп H1 , . . . , Hn .
Д о к а з а т е л ь с т в о: Обозначим H = H1 ⊗ . . . ⊗ Hn . Определим отображение ϕ : H → G, действующее по правилу:
(h1 , . . . , hn ) 7→ h1 · . . . · hn .
Так как элементы из G однозначно представимы в виде произведения элементов из H1 , . . . , Hn , отображение ϕ : H → G будет биективным.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
86 / 183
§5. Произведения групп и подгрупп
Внутреннее прямое произведение подгрупп
Осталось проверить определение гомоморфизма:
ϕ (h1 , . . . , hn ) · (h01 , . . . , h0n ) = ϕ (h1 h01 , . . . , hn h0n ) = h1 h01 · . . . · hn h0n =
= h1 . . . hn · h01 . . . h0n = ϕ (h1 , . . . , hn ) · ϕ (h01 , . . . , h0n ) .
Таким образом, ϕ : H → G – изоморфизм. ˙ . . . ×H
˙ n и g = h1 · . . . · hn – произведение
Следствие 1. Если G = H1 ×
элементов конечных порядков, то ord g = [ord h1 , . . . , ord hn ].
˙ . . . ×H
˙ n и H1 , . . . , Hn – конечные подгруппы,
Следствие 2. Если G = H1 ×
то |G| = |H1 | · . . . · |Hn | и exp G = [exp H1 , . . . , exp Hn ].
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
87 / 183
§5. Произведения групп и подгрупп
Внутреннее прямое произведение подгрупп
Теорема 25. Пусть H1 , . . . , Hn – подгруппы группы G, любые две из которых поэлементно перестановочны, и G = H1 · . . . · Hn . Тогда следующие
утверждения эквивалентны:
˙ . . . ×H
˙ n;
1. G = H1 ×
2. если e = h1 · . . . · hn , где hi ∈ Hi и i ∈ 1, n, то h1 = . . . = hn = e;
3. Hi ∩ (H1 · . . . · Hi−1 · Hi+1 · . . . · Hn ) = {e} для всех i ∈ 1, n.
˙ . . . ×H
˙ n , то второе свойство следует
Д о к а з а т е л ь с т в о: Если G = H1 ×
из единственности представления элементов группы G через произведение
элементов из H1 , . . . , Hn и соотношения e = e · . . . · e, где e ∈ Hi и i ∈ 1, n.
Далее, положим h ∈ Hi ∩ (H1 · . . . · Hi−1 · Hi+1 · . . . · Hn ). Тогда h = hi
и h = h1 · . . . · hi−1 · hi+1 · . . . · hn , где hj ∈ Hj для j ∈ 1, n. Отсюда ввиду
поэлементной перестановочности подгрупп получаем:
h · h−1 = (h1 · . . . · hi−1 · hi+1 · . . . · hn ) · (hi )−1 =
= h1 · . . . · hi−1 · h−1
i · hi+1 · . . . · hn = e.
Тогда с учётом единственности представления единицы верно hi = h = e.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
88 / 183
§5. Произведения групп и подгрупп
Внутреннее прямое произведение подгрупп
Наконец, пусть для g ∈ G существуют два разложения:
g = h1 · . . . · hn = h01 · . . . · h0n , где hi , h0i ∈ Hi и i ∈ 1, n.
Достаточно доказать, что hi = h0i для всех i ∈ 1, n. Если допустить, что
hi 6= h0i , то с учётом поэлементной перестановочности получаем:
−1 0
0
−1 0
e = g −1 g = h−1
1 h1 · . . . · hi hi · . . . · hn hn ⇒
−1 0
−1 0
0 −1
0
−1 0
⇒ (h−1
= h−1
1 h1 · . . . · hi−1 hi−1 · hi+1 hi+1 · . . . · hn hn ⇒
i hi )
0 −1
⇒ (h−1
∈ Hi ∩ (H1 · . . . · Hi−1 · Hi+1 · . . . · Hn ).
i hi )
0
Но при этом h−1
i hi 6= e, что является противоречием с условием. Таким
образом, оба представления элемента g совпадают и выполнено определение
внутреннего прямого произведения. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
89 / 183
§5. Произведения групп и подгрупп
Разложимые циклические группы
Определение 19. Группа порядка pm , где p – простое число, называется
примарной (или p-группой).
Теорема 26. Циклическая группа (G; +) неразложима тогда и только тогда, когда она бесконечна или примарна. Любая конечная циклическая
группа однозначно, с точностью до перестановки слагаемых, раскладывается в прямую сумму примарных циклических подгрупп.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Если G – бесконечная циклическая группа, по теореме 6 верно G ∼
= (Z; +). Для любых собственных подгрупп H1 , H2 < Z
имеем:
(
(
n ∈ H1
m · n ∈ H1
⇒
⇒ mn ∈ (H1 ∩ H2 ).
m ∈ H2
n · m ∈ H2
Другими словами, любые две собственные подгруппы имеют ненулевое пересечение, и тогда по теореме 25 группа (Z; +) неразложима.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
90 / 183
§5. Произведения групп и подгрупп
Разложимые циклические группы
Если |G| = pm , где p – простое число и m ∈ N, то любые две ненулевые подгруппы H1 , H2 < G являются циклическими p-подгруппами, и при
этом в каждой из них есть элемент порядка p, порождающий подгруппу соответствующего порядка. Однако в G существует единственная подгруппа
порядка p. Следовательно, H1 и H2 имеют ненулевое пересечение.
mt
1
Пусть теперь |G| = pm
– каноническое разложение, где t > 1.
1 . . . pt
Тогда для каждого i ∈ 1, t в G существует единственная подгруппа Hi
i
порядка pm
i . Рассмотрим подгруппу H = H1 + . . . + Ht . По следствию из
теоремы Лагранжа из включения
g ∈ Hi ∩ (H1 + . . . + Hi−1 + Hi+1 + . . . + Ht )
следуют равенства:
(
i
pm
i g =0
m1
mt
m+1
(p1 . . . pm−1
i−1 pi+1 . . . pt )g = 0
БК №252 (РТУ МИРЭА)
⇔
(
i
ord g | pm
i
m1
m−1 m+1
t
ord g | p1 . . . pi−1
pi+1 . . . pm
t .
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
91 / 183
§5. Произведения групп и подгрупп
Разложимые циклические группы
Из попарной взаимной простоты примарных сомножителей в разложении n следует, что ord g = 1, то есть g = 0. Следовательно, H = H1 +̇ . . . +̇Ht .
Но тогда |H| = |H1 |·. . .·|Ht | = |G|, и G = H1 +̇ . . . +̇Ht – искомое разложение
группы G в прямую сумму примарных циклических подгрупп. Пример 10. Для группы (Z126 ; +) каноническим разложением её порядка
будет 126 = 21 · 32 · 71 . Опишем соответствующие примарные подгруппы:
126
· Z126 = 63Z126 = {0, 63},
H2 =
2
126
H9 =
· Z126 = 14Z126 = {0, 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112},
9
126
· Z126 = 18Z126 = {0, 18, 36, 54, 72, 90, 108}.
H7 =
7
Значит, Z126 = 63Z126 +̇14Z126 +̇18Z126 . А поскольку указанные подгруппы
являются циклическими, справедливо:
H2 ∼
= Z2 , H9 ∼
= Z9 , H7 ∼
= Z7 .
В итоге получаем разложение Z126 ∼
= Z2 ⊕ Z9 ⊕ Z7 .
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
92 / 183
§6. Нормальные делители
Пусть G – произвольная мультипликативная группа.
Определение 20. Подгруппа H группы G называется нормальной (или
нормальным делителем), что обозначается в виде H / G, если для любых
элементов g ∈ G выполнено gH = Hg.
Заметим, что условие равенства левых и правых смежных классов в
определении нормальной подгруппы означает, что отношения сравнимости
по H слева и справа совпадают. Кроме того, верно следующее:
gH = Hg ⇔ g −1 Hg = H ⇔ g −1 hg ∈ H.
Другими словами, всякий элемент нормальной подгруппы H содержится
в ней вместе со всеми сопряжёнными с ним элементами группы G. Таким
образом, нормальный делитель есть объединение некоторого числа классов
сопряжённых элементов.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
93 / 183
§6. Нормальные делители
Пример 11. Все несобственные подгруппы в любой группе, подгруппы любой абелевой группы, а также центр любой группы являются нормальными
делителями.
Пример 12. В группе S4 подмножество K4 = {ε, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}
есть абелева подгруппа, которая называется группой Клейна (или четверной группой). Выпишем все левые смежные классы по этой подгруппе:
εK4 = {ε, (12)(34), (13)(24), (14)(23)},
(1 3)K4 = {(1 3), (1 4 3 2), (2 4), (1 2 3 4)},
(1 2 3)K4 = {(1 2 3), (2 4 3), (1 4 2), (1 3 4)},
(1 2)K4 = {(1 2), (3 4), (1 4 2 3), (1 3 2 4)},
(2 3)K4 = {(2 3), (1 2 4 3), (1 3 4 2), (1 4)},
(1 3 2)K4 = {(1 3 2), (1 4 3), (2 3 4), (1 2 4)}.
Теперь выпишем все правые смежные классы:
K4 ε = {ε, (12)(34), (13)(24), (14)(23)},
K4 (1 3) = {(1 3), (1 2 3 4), (2 4), (1 4 3 2)},
K4 (1 2 3) = {(1 2 3), (1 3 4), (2 4 3), (1 4 2)},
K4 (1 2) = {(1 2), (3 4), (1 3 2 4), (1 4 2 3)},
K4 (2 3) = {(2 3), (1 3 4 2), (1 2 4 3), (1 4)},
K4 (1 3 2) = {(1 3 2), (2 3 4), (1 2 4), (1 4 3)}.
Очевидно, подгруппа K4 является нормальной.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
94 / 183
§6. Нормальные делители
Утверждение 27. Если H < G и |G : H| = 2, то H / G.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Исходя из условия утверждения, разложение группы G на смежные классы имеет вид:
G = H ∪ (G \ H) .
При этом из свойств смежных классов имеем:
g ∈ H ⇒ gH = H = Hg,
g 6∈ H ⇒ gH 6= H ∧ Hg 6= H ⇒ gH = G \ H = Hg.
Следовательно, H / G. Пример 13. Знакопеременная группа An является нормальным делителем
в Sn , поскольку верно:
|Sn : An | =
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Sn
n!
2 · n!
= n! =
= 2.
An
n!
2
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
95 / 183
§6. Нормальные делители
Факторгруппы
Утверждение 28. Если H / G, то отношение сравнимости по подгруппе H
является конгруэнцией на G.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть a ≡ b(H) и c ≡ d(H), где a, b, c, d ∈ G. Тогда
верно:
a ≡ b(H) ⇔ ab−1 ∈ H ⇔ a(cc−1 )b−1 ∈ H ⇔ (ac)(c−1 b−1 ) ∈ H ⇔
⇔ (ac)(bc)−1 ∈ H ⇔ ac ≡ bc(H),
c ≡ d(H) ⇔ c−1 d ∈ H ⇔ c−1 (b−1 b)d ∈ H ⇔ (c−1 b−1 )bd ∈ H ⇔
⇔ (bc)−1 bd ∈ H ⇔ bc ≡ bd(H).
В силу транзитивности имеем ac ≡ bd(mod H), что и говорит о согласованности отношения сравнимости по нормальной подгруппе с групповой
операцией в G. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
96 / 183
§6. Нормальные делители
Факторгруппы
Последнее утверждение даёт право задать на множестве G/H смежных
классов по подгруппе H операцию умножения. Для произвольных элементов g1 , g2 ∈ G имеем:
g1 H · g2 H = [g1 ]R · [g2 ]R = [g1 · g2 ]R = {(g1 · g2 )h | h ∈ H} = (g1 · g2 )H.
Таким образом, определён факторгруппоид (G/H; ·) по отношению сравнимости по нормальной подгруппе H, который является группой и называется
факторгруппой группы G по нормальной подгруппе H.
При аддитивной форме записи групповой операции элементы факторгруппы G/H записываются в виде g + H, а операция сложения смежных
классов по подгруппе H задается равенством
(g1 + H) + (g2 + H) = (g1 + g2 ) + H.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
97 / 183
§6. Нормальные делители
Факторгруппы
Пример 14. Факторгруппа S4 /K4 состоит из 6 элементов:
S4 /K4 = {K4 , (1 2)K4 , (1 3)K4 , (2 3)K4 , (1 2 3)K4 , (1 3 2)K4 } .
Результат операции для элементов g = (2 3)K4 и h = (1 3 2)K4 определяется
следующим образом:
g · h = (2 3)K4 · (1 3 2)K4 = (1 3)K4 .
Пример 15. В факторгруппе Z/5Z содержатся 5 элементов:
Z/mZ = {5Z, 1 + 5Z, 2 + 5Z, 3 + 5Z, 4 + 5Z}.
Сумма элементов g = 2 + 5Z и h = 4 + 5Z имеет вид:
g + h = (2 + 5Z) + (4 + 5Z) = (2 + 4) + 5Z = 6 + 5Z = 1 + 5Z.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
98 / 183
§6. Нормальные делители
Произведения нормальных делителей
Утверждение 29. Пусть H, K / G. Тогда справедливы:
1. H ∩ K / G и HK / G;
2. если H ∩ K = {e}, то для всех h ∈ H и k ∈ K верно hk = kh.
Д о к а з а т е л ь с т в о: С учётом того, что H ∩ K < G, истинность первого
свойства для любых элементов g ∈ G следует из равенств:
g(H ∩ K) = gH ∩ gK = Hg ∩ Kg = (H ∩ K)g,
g(HK) = (gH)K = (Hg)K = H(gK) = H(Kg) = (HK)g.
Для второго свойства в силу нормальности подгрупп H и K имеем:
(
k −1 hk ∈ H
⇒ hkh−1 k −1 = (hkh−1 )k −1 = h(kh−1 k −1 ).
h−1 kh ∈ K
Положив hkh−1 = k 0 ∈ K и kh−1 k −1 = h0 ∈ H, получим:
hkh−1 k −1 = k −1 k 0 = hh0 ∈ H ∩ K.
А так как H ∩ K = {e}, из h−1 k −1 hk = e следует требуемое равенство. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
99 / 183
§6. Нормальные делители
Произведения нормальных делителей
˙ . . . ×H
˙ n в том и только том
Теорема 30. Если H1 , . . . , Hn < G, то G = H1 ×
случае, если выполнены условия:
1. G = H1 · . . . · Hn ;
2. Hi ∩ (H1 · . . . · Hi−1 · Hi+1 · . . . · Hn ) = {e} для всех i ∈ 1, n;
3. Hi / G при всех i ∈ 1, n.
˙ . . . ×H
˙ n , то первые два условия слеД о к а з а т е л ь с т в о: Если G = H1 ×
дуют из определения внутреннего прямого произведения и теоремы 25. Чтобы доказать нормальность каждой из подгрупп Hi , где i ∈ 1, n, покажем
для произвольного элемента g ∈ G, единственным образом представимого
в виде
g = h1 · . . . · hi · . . . · hn ,
где hj ∈ Hj и j ∈ 1, n, что при всех h0i ∈ Hi выполнено g −1 h0i g ∈ Hi .
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
100 / 183
§6. Нормальные делители
Произведения нормальных делителей
С учётом поэлементной перестановочности подгрупп H1 , . . . , Hn имеем:
g −1 h0i g = (h1 · . . . · hi · . . . · hn )−1 · h0i · (h1 · . . . · hi · . . . · hn ) =
−1
−1
0
= h−1
n · . . . · hi · . . . · hn · hi · h1 · . . . · hi · . . . · hn =
−1 0
−1
= h−1
n · . . . · hn · (hi hi hi ) · h1 · . . . · hn =
−1 0
−1 0
−1
= (h−1
1 h1 ) · . . . · (hi hi hi ) · . . . · (hn hn ) = hi hi hi ∈ Hi .
Обратно, необходимо показать, что при данных условиях из нормальности подгрупп H1 , . . . , Hn следует их поэлементная перестановочность. Предположим, что для hi ∈ Hi и hj ∈ Hj , где i, j ∈ 1, n и i 6= j, выполнено:
−1
hi hj 6= hj hi ⇔ hi hj h−1
i hj = ĥ 6= e.
Аналогично утверждению 29 делаем вывод о том, что ĥ ∈ Hi ∩ Hj . Но
тогда ĥ ∈ H1 · . . . · Hi−1 · Hi+1 · . . . · Hn , что противоречит второму условию теоремы. Значит, ĥ = e, и тогда указанные подгруппы поэлементно
перестановочны. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
101 / 183
§7. Гомоморфизмы групп
Пусть G и H – произвольные мультипликативные группы.
Определение 21. Гомоморфизмом групп G и H называется произвольное
отображение ϕ : G → H, при всех a, b ∈ G удовлетворяющее условию:
ϕ(a · b) = ϕ(a) · ϕ(b).
Известен тот факт, что множество Im ϕ = ϕ(G), которое называется
образом гомоморфизма ϕ : G → H, является подгруппой в H.
Как и прежде, сюръективный гомоморфизм групп будем называть эпиморфизмом, инъективный – мономорфизмом, биективный – изоморфизмом.
Определение 22. Ядром гомоморфизма ϕ : G → H называется множество
Ker ϕ = {g ∈ G | ϕ(g) = eH } = ϕ−1 (eH ),
где eH – единица группы H.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
102 / 183
§7. Гомоморфизмы групп
Пример 16. Для эпиморфизма групп ϕ : Z → Z/m, при всех m ∈ N и a ∈ Z
заданного условием
a 7→ [a]m ,
полным прообразом нейтрального элемента [0]m является множество целых
чисел, делящихся на m, то есть Ker ϕ = mZ.
Пример 17. Отображение ϕ : Sn → Z∗ , которое для всякой подстановки
g ∈ Sn действует по правилу
(
1,
g ∈ An ,
g 7→
−1, g ∈ Sn \ An ,
является эпиморфизмом групп Sn и Z∗ , поскольку при всех g, h ∈ Sn верно:
g, h ∈ An ⇒ g · h ∈ An ⇒ ϕ(g · h) = 1 = ϕ(g) · ϕ(h),
g, h ∈
/ An ⇒ g · h ∈ An ⇒ ϕ(g · h) = 1 = ϕ(g) · ϕ(h),
g ∈ An , h ∈
/ An ⇒ g · h ∈
/ An ⇒ ϕ(g · h) = −1 = ϕ(g) · ϕ(h).
Очевидно, его ядро состоит из всех чётных подстановок, то есть Ker ϕ = An .
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
103 / 183
§7. Гомоморфизмы групп
Утверждение 31. Если ϕ : G → H – гомоморфизм групп, то Ker ϕ / G.
Д о к а з а т е л ь с т в о: При произвольных h1 , h2 ∈ Ker ϕ рассмотрим образ
элемента h1 h−1
2 :
−1
−1
ϕ(h1 h−1
= eH e−1
2 ) = ϕ(h1 )ϕ(h2 ) = ϕ(h1 )ϕ(h2 )
H = eH .
Значит, по критерию подгруппы Ker ϕ < G. При g ∈ G и h ∈ Ker ϕ рассмотрим образ произведения ghg −1 :
ϕ(ghg −1 ) = ϕ(g)ϕ(h)ϕ(g −1 ) = ϕ(g)eH ϕ(g)−1 = ϕ(g)ϕ(g)−1 = eH .
Следовательно, ghg −1 ∈ Ker ϕ, что удовлетворяет определению нормальной подгруппы. Следствие. Для любого нормального делителя H /G найдётся такая группа K и такой гомоморфизм ϕ : G → K, что Ker ϕ = H.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Для канонического эпиморфизма ϕ0 : G → G/H,
при всех g ∈ G заданного условием g 7→ gH, ядром является подгруппа H,
поскольку ϕ0 (h) = hH = H, где h ∈ H. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
104 / 183
§7. Гомоморфизмы групп
Теорема 32 (О гомоморфизме групп). Если ϕ : G → H – гомоморфизм групп, то G/ Ker ϕ ∼
= Im ϕ и существует единственный изоморфизм
τ : G/ Ker ϕ → Im ϕ, удовлетворяющий условию
ϕ = ϕ0 · τ,
где ϕ0 : G → G/ Ker ϕ – канонический эпиморфизм.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Из теоремы о гомоморфизме группоидов следует,
что если R – конгруэнция на G, определённая условием
aRb ⇔ ϕ(a) = ϕ(b),
и ϕ0 : G → G/R – канонический эпиморфизм, то существует единственный
изоморфизм τ : G/R → Im ϕ, при котором τ ([g]R ) = ϕ(g) и ϕ = ϕ0 · τ .
Здесь же R – отношение сравнимости по подгруппе Ker ϕ, роль факторгруппоида G/R играет факторгруппа G/ Ker ϕ, а [g]R = g · Ker ϕ – смежный
класс по ядру. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
105 / 183
§7. Гомоморфизмы групп
Следствие (Об эпиморфизме групп). Если ϕ : G → H – эпиморфизм
групп, то Im ϕ = H и справедливо G/ Ker ϕ ∼
= H, и при этом существует
единственный изоморфизм τ : G/ Ker ϕ → H, что коммутативна диаграмма
G
ϕ
Q
ϕ0 Q
s
Q
- H
3
τ
G/ Ker ϕ
где ϕ0 : G → G/ Ker ϕ – канонический эпиморфизм.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
106 / 183
§7. Гомоморфизмы групп
Теорема о гомоморфизме групп и её следствие, теорема об эпиморфизме
групп, являются мощным инструментом при доказательстве изоморфизмов
групп вида G/H ∼
= K, где H / G. Для этого необходимо построить эпиморфизм ϕ : G → K, ядро которого совпадало бы с подгруппой H, и применить
одну из указанных теорем.
∼ Z∗ рассмотрим
Пример 18. Для доказательства изоморфизма Sn /An =
∗
отображение ϕ : Sn → Z , заданное при всех g ∈ Sn условием:
(
1,
g ∈ An ,
g 7→
−1, g ∈
/ An .
Аналогично примеру выше, данное отображение является эпиморфизмом
групп и Ker ϕ = An . Тогда по теореме об эпиморфизме групп G/ Ker ϕ ∼
= H,
где G = Sn и H = Z∗ .
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
107 / 183
ГЛАВА 3
СТРОЕНИЕ ГРУПП
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
108 / 183
§1. Простые группы
Пусть G – произвольная мультипликативная группа.
Определение 1. Неединичная группа G называется простой, если она не
имеет собственных нормальных делителей.
Теорема 1 (О классификации конечных простых групп). Любая конечная простая группа принадлежит одному из четырёх семейств:
1. циклические группы простого порядка;
2. знакопеременные группы An при всех n ⩾ 5;
3. конечные простые группы типа Ли;
4. 26 спорадических групп.
Первые три семейства – это бесконечные серии конечных простых групп.
Исключительные группы, которые не могут быть отнесены к какому-либо
из этих семейств, называются спорадическими и выделяются в отдельное
четвёртое семейство.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
109 / 183
§1. Простые группы
Теорема 2. Неединичная абелева группа (G; +) проста тогда и только тогда, когда она – конечная группа простого порядка.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть |G| = p, где p – простое число. По следствию
из теоремы Лагранжа группа (G; +) является циклической, причём для
любого элемента g ∈ G \ {0} с учётом простоты p верно:
ord g | p ⇒ ord g = p.
Следовательно, (G; +) – циклическая группа, у которой нет никаких собственных подгрупп, что делает её простой по определению.
Обратно, пусть (G; +) – простая абелева группа. Если |G| = ∞, то
(G; +) является либо не является циклической группой. В первом случае
(G; +) ∼
= (Z; +), и тогда в (G; +) есть собственный нормальный делитель,
изоморфный группе (mZ; +), где m ∈ N \ {0}. Во втором случае любой
элемент g ∈ G \ {0} порождает собственную подгруппу, в силу коммутативности являющуюся нормальной. Следовательно, простая абелева группа не
может быть бесконечной.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
110 / 183
§1. Простые группы
Если |G| = n < ∞, то любой элемент g ∈ G \ {0} имеет конечный неединичный порядок. Если ord g 6= n, то g порождает собственную подгруппу,
которая очевидно является нормальной. Если ord g = n, то (G; +) – циклическая группа, которая будет простой, но только если n – простое число. Теорема 3 (Галуа). Знакопеременная группа An при всех n ⩾ 3 и n 6= 4
является простой.
3!
Д о к а з а т е л ь с т в о: Поскольку |A3 | =
= 3 – простое число, группа
2
A3 есть простая циклическая группа.
Как было показано ранее, группа Клейна
K4 = {ε, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}
есть собственный нормальный делитель симметрической группы S4 . Но так
как группа K4 состоит из чётных подстановок, очевидно верно K4 / A4 .
Таким образом, знакопеременная группа A4 по определению не проста.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
111 / 183
§1. Простые группы
Пусть n ⩾ 5 и H – неединичный нормальный делитель группы An . Покажем, что в H содержится хотя бы один тройной цикл, что будет означать
наличие в H всех сопряжённых с ним подстановок (то есть всех тройных
циклов). А так как знакопеременная группа порождается тройными циклами, то H будет совпадать с An .
Если h ∈ H \{ε}, ord h = m и p | m, где p – простое число, то справедливо:
ord ht = p ⇔
m
m
m
= p ⇔ (m, t) =
⇔t= .
(m, t)
p
p
Иными словами, для любой неединичной подстановки существует степень,
при возведении в которую получится подстановка простого порядка, которая есть произведение независимых циклов одинаковой длины:
(1)
(2)
(s)
(2)
(s)
h = h1 . . . h(1)
·
h
.
.
.
h
·
.
.
.
·
h
.
.
.
h
.
p
p
p
1
1
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
112 / 183
§1. Простые группы
Рассмотрим три случая:
1. Если p ⩾ 5, то g = (a1 . . . ap ) · t, где t – произведение остальных
циклов длины p в разложении.
Задавшись тройным циклом f = (a1 a2 a3 ), определим подстановки
h0 = f −1 hf ∈ H и h−1 h0 ∈ H:
h0 = (a1 a2 a3 )−1 · (a1 . . . ap ) · t · (a1 a2 a3 ) =
= (a3 a2 a1 ) · (a1 . . . ap ) · t · (a1 a2 a3 ) = (a1 a4 . . . ap a2 a3 ) · t,
h−1 h0 = (a1 . . . ap )−1 · t−1 · (a2 a3 a1 a4 . . . ap ) · t =
= (ap . . . a1 ) · (a2 a3 a1 a4 . . . ap ) = (a1 a2 a4 ).
Так как h−1 h0 есть цикл длины 3, получаем H = An .
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
113 / 183
§1. Простые группы
2. Если p = 3 и подстановка h не является циклом, то она имеет вид
h = (a b c)(d e f ) · t,
где t – произведение остальных циклов длины 3 в разложении.
Возьмём тройной цикл f = (c d e) и построим с его помощью
подстановки h0 = f −1 hf ∈ H и h−1 h0 ∈ H:
h0 = (c d e)−1 · (a b c)(d e f ) · t · (c d e) =
= (e d c) · (a b c)(d e f ) · t · (c d e) = (a b d)(c f e) · t.
h−1 h0 = (a b c)−1 (d e f )−1 · t−1 · (a b d)(c f e) · t =
= (c b a)(f e d) · (a b d)(c f e) = (a f c d e).
Значит, в H содержится цикл длины 5, что сводится к предыдущему
случаю, откуда также получаем H = An .
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
114 / 183
§1. Простые группы
3. Если p = 2, то разложение h на независимые циклы имеет вид
g = (a b)(c d) · t,
где t – произведение оставшихся транспозиций. При t = ε определим
подстановку f = (a b s), где s ∈ Fix g, и рассмотрим подстановки
h0 = f −1 hf ∈ H и h−1 h0 ∈ H:
h0 = (a b s)−1 · (a b)(c d) · t · (a b s) =
= (s b a) · (a b)(c d) · t · (a b s) = (b s)(c d) · t.
h−1 h0 = (a b)−1 (c d)−1 · t−1 · (b s)(c d) · t =
= (a b)(c d) · (b s)(c d) = (a s b).
Опять же, наличие в H тройного цикла говорит о том, что H = An .
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
115 / 183
§1. Простые группы
При t 6= ε имеем g = (a1 a2 )(b1 b2 )(c1 c2 )(d1 d2 ) · r, где r – произведение
оставшихся транспозиций в разложении. Положим f = (a2 b1 )(b2 c1 ) и
определим подстановки h0 = f −1 hf ∈ H и h−1 h0 ∈ H:
h0 = (a2 b1 )−1 (b2 c1 )−1 · (a1 a2 )(b1 b2 )(c1 c2 )(d1 d2 ) · r·
· (a2 b1 )(b2 c1 ) = (a2 b1 )(b2 c1 ) · (a1 a2 )(b1 b2 )(c1 c2 )(d1 d2 ) · r·
· (a2 b1 )(b2 c1 ) = (a1 b1 )(a2 c1 )(b2 c2 )(d1 d2 ) · r.
h−1 h0 = (a1 a2 )−1 (b1 b2 )−1 (c1 c2 )−1 (d1 d2 )−1 · r−1 ·
· (a1 b1 )(a2 c1 )(b2 c2 )(d1 d2 ) · r =
= (a1 a2 )(b1 b2 )(c1 c2 )(d1 d2 ) · (a1 b1 )(a2 c1 )(b2 c2 )(d1 d2 ) =
= (a1 c1 b2 )(a2 b1 c2 ).
Произведение циклов длины 3 рассматривалось на втором шаге, и
потому H = An . БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
116 / 183
§1. Простые группы
Следствие. В симметрической группе Sn при n 6= 4 нет собственных нормальных делителей, отличных от знакопеременной группы An .
Д о к а з а т е л ь с т в о: Опять же, группа Клейна K4 есть собственный нормальный делитель группы S4 , отличный от знакопеременной группы An .
Если n 6= 4 и H / Sn – собственный нормальный делитель, то в силу
включения H ∩ An ⊂ An справедливо H ∩ An / An . Но с учётом простоты
знакопеременной группы либо H ∩ An = An , либо H ∩ An = {ε}.
В первом случае H = An , иначе в H содержится хотя бы одна нечётная подстановка, и тогда H = Sn . Во втором случае либо H = {ε}, либо
найдётся хотя бы одна нечётная подстановка h ∈ H. По определению нормального делителя g −1 hg ∈ H при всех g ∈ Sn , то есть в H содержатся
все сопряжённые с h подстановки. Однако такое множество подстановок
не будет замкнуто относительно умножения и, следовательно, не является
группой. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
117 / 183
§1. Простые группы
Вопрос о неразложимости произвольной группы подстановок G < Sn ,
равно как и вопрос о существовании в G несобственных нормальных делителей, не столь однозначен. Рассмотрим случай, при котором удаётся указать множество транспозиций A ⊂ G, порождающих группу G. Очевидно,
G = Sn тогда и только тогда, когда граф ΓA связный.
Если же граф ΓA не является связным, его можно представить в виде
объединения подграфов
ΓA = ΓA1 ∪ . . . ∪ ΓAn ,
каждый из которых соответствует одной из компонент связности ΓA , причём будет справедливо разбиение множества транспозиций A на непересекающиеся подмножества:
n
[
A=
Ai .
i=1
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
118 / 183
§1. Простые группы
Теорема 4. Если ΓA1 , . . . , ΓAn – компоненты связности графа ΓA , постро˙ . . . ×hA
˙ n i.
енного на множестве транспозиций A ⊂ Sn , то G = hAi = hA1 i×
Д о к а з а т е л ь с т в о: Любая постановка g ∈ G – это произведение некоторого числа транспозиций из множеств A1 , . . . , An . Поскольку Ai ∩ Aj = ∅
при всех i, j ∈ 1, n, где i 6= j, любые подстановки из групп hAi i и hAj i будут
независимы. Но тогда группы hAi i и hAj i поэлементно перестановочны, а
всякую подстановку g ∈ G можно представить в виде g = g1 · . . . · gn , где
gi ∈ hAi i при всех i ∈ 1, n. Следовательно, верно равенство:
G = hA1 i · . . . · hAn i.
Кроме того, с учётом попарной независимости подстановок из различных
подгрупп при любых i ∈ 1, n справедливо:
hAi i ∩ hA1 i · . . . · hAi−1 i · hAi+1 i · . . . · hAn i = {ε}.
Таким образом, группа G раскладывается во внутреннее прямое произведение своих подгрупп hA1 i, . . . , hAn i. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
119 / 183
§1. Простые группы
Следствие. Если ΓA1 , . . . , ΓAn – компоненты связности графа ΓA , построенного на множестве транспозиций A ⊂ Sn , и |Ai | = ti при всех i ∈ 1, n, то
справедлив изоморфизм hAi ∼
= St1 ⊗ . . . ⊗ Stn .
Д о к а з а т е л ь с т в о: Каждое отдельно взятое множество транспозиций
Ai , где i ∈ 1, n, порождает группу hAi i, состоящую из всевозможных подстановок g, для которых справедливо:
A \ Ai ⊂ Fix g,
Mob g ⊂ Ai .
Другими словами, имеет место изоморфизм групп hAi i ∼
= S(Ai ). А так как
|Ai | = ti , получаем S(Ai ) ∼
= Sti . В силу теоремы 30 главы 2 справедливо утверждать, что из разложения
˙ . . . ×hA
˙ n i следует hAi i / hAi при любых i ∈ 1, n.
hAi = hA1 i×
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
120 / 183
§1. Простые группы
Пример 1. Для множества транспозиций
A = (1 8), (1 5), (2 4), (2 7), (3 6), (3 7), (6 7)
соответствующий граф ΓA представлен на рис. 2.
3
6
7
2
1
4
5
8
Рисунок 2 – Граф для множества A.
Он не является связным, однако справедливо:
˙ (2 4), (2 7), (3 6), (3 7), (6 7) ∼
hAi = (1 8), (1 5) ×
= S3 ⊗ S5 .
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
121 / 183
§2. Теоремы Силова
Пусть G – произвольная конечная мультипликативная группа. Сформулированная в предыдущей главе теорема Лагранжа утверждает, что порядок любой подгруппы H < G делит порядок группы G. Однако обратное
утверждение в общем случае неверно.
Пример 2. В знакопеременной группе A5 , порядок которой равен 60, не
существует собственной подгруппы порядка 30, поскольку в этом случае её
индекс был бы равен 2, что вызывало бы противоречие с простотой A5 .
И тем не менее, обращение теоремы Лагражна в некоторых случаях всё
же допустимо.
Лемма (Коши). Если (G; +) – конечная абелева группа и p | |G|, где p –
простое число, то в этой группе существует элемент порядка p.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
122 / 183
§2. Теоремы Силова
Д о к а з а т е л ь с т в о: Воспользуемся методом полной математической индукции по параметру |G| ∈ N \ {1}. При |G| = 2 группа является циклической, в которой по определению существует элемент искомого порядка.
Предположим, что |G| > 2. Возьмём произвольный элемент g ∈ G \ {0}
и рассмотрим два случая:
g
1. Если p | ord g, то ord
· g – элемент порядка p.
p
2. Если p - ord g, то p | |G : H|, где H = hgi. Следовательно, |G/H| < |G|,
и тогда по предположению индукции существует элемент aH ∈ G/H
порядка p, причём справедливо:
(aH)p = ap H = H ⇔ ap = e ⇔ ord a | p.
Таким образом, a ∈ G есть элемент искомого порядка. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
123 / 183
§2. Теоремы Силова
Пусть |G| = pn s, где p – простое число, n, s ∈ N и (p, s) = 1.
Определение 2. Силовской p-подгруппой группы G называется любая её
подгруппа H порядка pn .
Теорема 5 (Первая теорема Силова). В группе G существует подгруппа порядка pk , где k ∈ 1, n.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Воспользуемся методом полной математической индукции по параметру |G| ∈ N \ {1}. При |G| = 2 группа G сама является
искомой 2-подгруппой.
Предположим, что |G| > 2. Запишем разбиение группы G на классы
сопряжённых элементов:
G = [e]≈ ∪ [g1 ]≈ ∪ . . . ∪ [gt ]≈ .
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
124 / 183
§2. Теоремы Силова
Если найдётся такой класс [gi ]≈ неединичной мощности, в i ∈ 1, t и
p - |[gi ]≈ |, то получим:
p - |[gi ]≈ | ⇔ p - |G : NG (gi )| ⇔ p -
|G|
.
|NG (gi )|
Значит, нормализатор NG (gi ) делится на pn , а так как |NG (gi )| < |G|, по
предположению индукции в нём существует подгруппа порядка pk .
Если такого класса сопряжённости нет, то, сгруппировав все одноэлементные классы (они по определению образуют центр группы G), получим:
|G| = |Z(G)| + |[g10 ]≈ | + . . . + |[gr0 ]≈ |.
Так как мощность каждого класса делится на p, то и |Z(G)| делится на p.
Отсюда по лемме Коши в Z(G) существует подгруппа H порядка p. Ввиду
очевидного свойства подгрупп центра справедливо:
H < Z(G) / G ⇒ H / G,
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
125 / 183
§2. Теоремы Силова
Тогда факторгруппа G/H, имеющая порядок pn−1 s, по предположению индукции содержит подгруппу Sb порядка pk−1 . Рассмотрим канонический
b =S –
эпиморфизм ϕ : G → G/H и покажем, что полный прообраз ϕ−1 (S)
искомая подгруппа порядка pk .
Если ϕ(s1 ) = sb1 и ϕ(s2 ) = sb2 при произвольных s1 , s2 ∈ S, то в силу
конечности подгрупп имеем:
b
Sb < G/H ⇔ sb1 · sb2 ∈ Sb ⇔ ϕ(s1 ) · ϕ(s2 ) ∈ Sb ⇔ ϕ(s1 · s2 ) ∈ S.
Значит, s1 · s2 ∈ S, откуда по следствию из критерия подгруппы S < G.
b при всех s ∈ S действующий по правилу:
Построим эпиморфизм ψ : S → S,
s 7→ ϕ(s).
В силу сюръективности отображения ϕ верно Im ϕ = Sb и H ⊂ S, и тогда
b а
Ker ψ = H. Следовательно, по теореме о гомоморфизме групп S/H ∼
= S,
отсюда получаем:
b = p · pk−1 = pk . b ⇒ |S| = |H| · |S|
b ⇒ |S| = |S|
|S/H| = |S|
|H|
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
126 / 183
§2. Теоремы Силова
Формулировки второй и третьей теорем Силова будут приведены без
доказательства.
Теорема 6 (Вторая теорема Силова). В группе G все силовские p-подгруппы сопряжены.
Теорема 7 (Третья теорема Силова). Число силовских p-подгрупп группы G делит порядок этой группы и сравнимо с единицей по модулю p.
Пример 3. Для доказательства коммутативности группы G порядка 35
найдём в ней число силовских 5-подгрупп и 7-подгрупп:
s5 | 35 ∧ s5 ≡ 1(mod 5) ⇒ s5 = 1,
s7 | 35 ∧ s7 ≡ 1(mod 7) ⇒ s7 = 1.
Соответствующие силовские подгруппы H5 и H7 являются циклическими и
имеют тривиальное пересечение. Следовательно, справедлив изоморфизм:
˙ 7∼
G = H5 ×H
= Z5 ⊕ Z7 .
Таким образом, любая группа порядка 35 является абелевой.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
127 / 183
§3. Конечно порождённые абелевы группы
Если S = hs1 , . . . , sn i – конечная система образующих произвольной абелевой группы (G; +), то по определению это означает следующее:
G = hs1 , . . . , sn i = {k1 s1 + . . . + kn sn | k1 , . . . , kn ∈ Z}.
Линейно независимую систему порождающих абелевой группы, то есть
такие её образующие элементы s1 , . . . , sn ∈ G, для которых равенство
k1 s1 + . . . + kn sn = 0
выполняется если, и только если k1 = . . . = kn = 0, будем называть её
базисом.
Определение 3. Конечно порождённая абелева группа (G; +), обладающая базисом размерности n ∈ N, называется свободной абелевой группой
ранга n.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
128 / 183
§3. Конечно порождённые абелевы группы
Термин «свободная группа» обозначает группу, свободную от соотношений между образующими элементами – это синоним их линейной независимости в случае абелевых групп.
Пример 4. Группа (Z; +) является свободной абелевой группой ранга 1,
поскольку верно Z = h1i = h−1i. Иными словами, любая бесконечная циклическая группа свободна и имеет единичный ранг.
Пример 5. Абелева группа Zn = Z ⊕ Z ⊕ . . . ⊕ Z свободна и имеет базис
|
{z
}
n
e1 = (1, 0, . . . , 0),
e2 = (0, 1, . . . , 0),
...,
en = (0, 0, . . . , 1).
Нулевая группа считается свободной абелевой группой нулевого ранга.
Заметим, что не всякая конечно порождённая абелева группа обладает базисом.
Пример 6. Циклическая группа (Z/n; +) порождается классом [1]n , однако она не обладает базисом, поскольку для любого [a]n ∈ Z/n верно
n · [a]n = 0.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
129 / 183
§3. Конечно порождённые абелевы группы
Теорема 8. Все базисы свободной абелевой группы содержат одно и то же
число элементов.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть A = {a1 , . . . , an } и B = {b1 , . . . , bm } – различные базисы группы (G; +). Положив m > n, выразим элементы базиса
B через элементы базиса A:


b1 = r11 a1 + . . . + r1n an ,
...


bm = rm1 a1 + . . . + rmn an .
Рассмотрим условие равенства нулю линейной комбинации элементов из B:
!
!
n
n
X
X
r1i ai + . . . + km ·
rmi ai =
k1 b1 + . . . + km bm = k1 ·
i=1
=
m
X
i=1
!
ki ri1 ·a1 +. . .+
БК №252 (РТУ МИРЭА)
m
X
i=1
ki rin
i=1


k1 r11 + . . . + km rm1 = 0,
·an = 0 ⇔ . . .


k1 r1n + . . . + km rmn = 0.
!
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
130 / 183
§3. Конечно порождённые абелевы группы
Поскольку в получившейся однородной системе линейных уравнений
число неизвестных больше числа уравнений, она имеет бесконечное множество нетривиальных решений, но тогда система образующих B линейно
зависима и не является базисом свободной абелевой группы (G; +). Следовательно, число элементов в базисе не должно превосходить n.
С другой стороны, при условии, что B является базисом группы (G; +),
система элементов из A является линейно независимой. Однако она не может являться системой образующих группы, иначе базисом не являлось бы
множество B. Получаем, что любые два базиса будут равномощны. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
131 / 183
§3. Конечно порождённые абелевы группы
Теорема 9. Все свободные абелевы группы одного ранга изоморфны.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть множества {e1 , . . . , en } и {f1 , . . . , fn } – базисы свободных абелевых групп (G; +) и (H; +) соответственно. Определим
отображение ϕ : G → H, действующее при всех k1 , . . . , kn ∈ Z по правилу:
k1 e1 + . . . + kn en 7→ k1 f1 + . . . + kn fn .
Такое отображение, очевидно, является биективным в силу обратимости.
Необходимо проверить только определение гомоморфизма:
ϕ((k1 e1 + . . . + kn en ) + (l1 e1 + . . . + ln en )) =
= ϕ((k1 + l1 )e1 + . . . + (kn + ln )en ) = (k1 + l1 )f1 + . . . + (kn + ln )fn =
= (k1 f1 + . . . + kn fn ) + (l1 f1 + . . . + ln fn ) =
= ϕ(k1 e1 + . . . + kn en ) + ϕ(l1 e1 + . . . + ln en ). Следствие. Если (G; +) – свободная абелева группа ранга n ∈ N, то справедлив изоморфизм G ∼
= Zn .
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
132 / 183
§3. Конечно порождённые абелевы группы
Теорема 10 (Свойства подгрупп свободных абелевых групп). Для
любой подгруппы (H; +) свободной абелевой группы (G; +) ранга n ∈ N
справедливы:
1. (H; +) – свободная абелева группа ранга m ⩽ n;
2. существует такой базис {e1 , . . . , en } группы (G; +) и такие числа
u1 , . . . , um ∈ N, что {u1 e1 , . . . , um em } – базис подгруппы (H; +), где
ui | ui+1 при всех i ∈ 1, m − 1.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Для доказательства первого свойства воспользуемся методом полной математической индукции по параметру n ∈ N. При
n = 1 группа (G; +) совпадает с нулевой группой, для которой утверждение очевидно.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
133 / 183
§3. Конечно порождённые абелевы группы
Пусть при n = k утверждение верно. Пусть n = k+1 и по условию верно:
G = he1 , . . . , ek , ek+1 i.
Рассмотрим в ней подгруппу K = he1 , . . . , ek i, являющуюся свободной абелевой группой ранга k. По предположению индукции подгруппа H ∩K < K
является свободной абелевой группой ранга m ⩽ k и пусть {f1 , . . . , fm } – её
базис.
Для всех элементов h ∈ H, которые в базисе {e1 , . . . , ek , ek+1 } имеют
представление
h = l1 e1 + . . . + lk ek + lk+1 ek+1 ,
рассмотрим последние координаты lk+1 . В силу замкнутости H относительно сложения, эти целочисленные коэффициенты образуют подгруппу в
(Z; +) вида (tZ; +), где t ∈ Z. Если t = 0, то H = H ∩ K – свободная абелева
группа ранга m ⩽ k + 1. Если же t 6= 0, то пусть fm+1 ∈ H – какой-нибудь
элемент, последняя координата которого равна t. Тогда {f1 , . . . , fm , fm+1 }
– базис группы H.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
134 / 183
§3. Конечно порождённые абелевы группы
Докажем второе свойство. Пусть {e1 , . . . , en } и {f1 , . . . , fm } – базисы
групп (G; +) и (H; +) соответственно. По определению имеем:

  
 
f1
c11 . . . c1n
e1

f1 = c11 e1 + . . . + c1n en ,
 ..   ..
  .. 
.
.
.
.
⇔  . = .
...
.
.  . 


fm = cm1 e1 + . . . + cmn en ;
fm
en
cm1 . . . cmn
|
{z
}
C∈Zm×n
Выполняя преобразования составленной системы, соответствующие элементарным преобразованиям целочисленной матрицы C, получим систему линейных уравнений, в которой C = diag(u1 , . . . , um ) – диагональная матрица,
где u1 , . . . , um ∈ N и ui | ui+1 при всех i ∈ 1, m − 1.
Это означает, что полученные в результате преобразований базисы
0
{e01 , . . . , e0n } и {f10 , . . . , fm
} групп (G; +) и (H; +) связаны соотношением
0
0
fi = ui ei при всех i ∈ 1, m. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
135 / 183
§3. Конечно порождённые абелевы группы
Каноническое разложение конечно порождённых абелевых групп
Теорема 11. Всякая конечно порождённая абелева группа либо бесконечная циклическая, либо примарная циклическая, либо раскладывается во
внутреннюю прямую сумму примарных и бесконечных циклических подгрупп. Любые два таких разложения содержат одинаковое число слагаемых
каждого порядка.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть абелева группа (G; +) имеет конечную систему образующих:
G = hg1 , . . . , gn i = {k1 g1 + . . . + kn gn | k1 , . . . , kn ∈ Z}.
Рассмотрим эпиморфизм групп ϕ : Zn → G, для каждого (a1 , . . . , an ) ∈ Zn
действующий по правилу:
(a1 , . . . , an ) 7→ a1 g1 + . . . + an gn .
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
136 / 183
§3. Конечно порождённые абелевы группы
Каноническое разложение конечно порождённых абелевых групп
По теореме об эпиморфизме групп Zn / Ker ϕ ∼
= G. Так как абелева группа Zn свободна и имеет ранг n, существует такой её базис {e1 , . . . , en } и
такие числа u1 , . . . , um ∈ N, что m ⩽ n и {u1 e1 , . . . , um em } – базис её подгруппы Ker ϕ, где ui | ui+1 при всех i ∈ 1, m − 1.
Рассмотрим эпиморфизм групп ψ : Zn → Zu1 ⊕ . . . ⊕ Zum ⊕ Z ⊕ . . . ⊕ Z
{z
}
|
n−m
такой, что для всех (a1 , . . . , an ) ∈ Zn выполнено:
(a1 , . . . , am , am+1 , . . . , an ) 7→ [a1 ]u1 , . . . , [am ]um , am+1 , . . . , an .
Ввиду конечности либо бесконечности образующих элементов группы (G; +)
очевидно, что Ker ψ = Ker ϕ. Значит, по теореме об эпиморфизме групп
справедливо:
⊕ ... ⊕ Z.
G∼
= Zu1 ⊕ . . . ⊕ Zum ⊕ Z
= Zn / Ker ϕ = Zn / Ker ψ ∼
|
{z
}
n−m
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
137 / 183
§3. Конечно порождённые абелевы группы
Каноническое разложение конечно порождённых абелевых групп
Таким образом, в (G; +) найдутся циклические подгруппы, во внутреннюю прямую сумму которых она раскладывается. Каждое слагаемое может
быть разложено в прямую сумму примарных циклических подгрупп, откуда и получится требуемое разложение исходной группы.
Покажем теперь, что в любых двух разложениях группы (G; +) количество слагаемых одного порядка совпадает. Обозначив через hgiq циклическую группу порядка q, порождённую элементом g ∈ G, рассмотрим какоелибо разложение группы (G; +) во внутреннюю прямую сумму примарных
и бесконечных циклических подгрупп:
G = hg1 ipk1 +̇ . . . +̇hgs ipks s +̇hgs+1 i∞ +̇ . . . +̇hgs+t i∞ .
1
Заметим, что простые числа p1 , . . . , ps не обязательно попарно различны.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
138 / 183
§3. Конечно порождённые абелевы группы
Каноническое разложение конечно порождённых абелевых групп
Рассмотрим в группе (G; +) подмножество
H = {g ∈ G | ∃m ∈ N : mg = 0},
состоящее из всех элементов конечного порядка. Очевидно, что H является
её подгруппой и соответствует сумме первых s слагаемых. Тогда G/H ∼
= Zt ,
что показывает независимость числа t слагаемых бесконечного порядка от
разложения.
Далее, для каждого простого числа p рассмотрим в G подгруппу
K = {g ∈ G | ∃m ∈ N : pk g = 0},
являющуюся суммой тех конечных слагаемых разложения группы (G; +),
порядки которых кратны p. Такая сумма, очевидно, не зависит от разложения. Тем самым доказательство единственности сводится к случаю, когда
G – примарная группа.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
139 / 183
§3. Конечно порождённые абелевы группы
Каноническое разложение конечно порождённых абелевых групп
Пусть |G| = pk и для группы (G; +) существуют два разложения во
внутреннюю прямую сумму примарных циклических подгрупп:
G = ha1 ipα1 +̇ . . . +̇has ipαs = hb1 ipβ1 +̇ . . . +̇hbt ipβt .
Условимся, что в указанных разложениях αi ⩽ αj и βi ⩽ βj при всех i 6= j.
Ввиду очевидной истинности утверждения при k = 1, индуктивно покажем,
что оно также верно при всех k > 1. Рассмотрим подгруппу
pG = {pg | g ∈ G} = hpa1 ipα1 −1 +̇ . . . +̇hpas ipαs −1 = hpb1 ipβ1 −1 +̇ . . . +̇hpbt ipβt −1 ,
где pai и pbj – элементы порядков pαi −1 и pβj −1 соответственно. Следовательно, |pG| < pk , а тогда по индуктивному предположению s = t и
αi − 1 = βi − 1, откуда следует αi = βi . Следствие. Всякая конечная абелева группа либо примарная циклическая, либо раскладывается во внутреннюю прямую сумму примарных циклических подгрупп. Любое такое разложение содержит одинаковое число
слагаемых каждого порядка.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
140 / 183
§3. Конечно порождённые абелевы группы
Каноническое разложение конечно порождённых абелевых групп
Пример 7. Для абелевой группы G = Z12 ⊕ Z18 ⊕ 6Z найдём её разложение
во внутреннюю прямую сумму, разложив каждое из слагаемых в отдельности:
Z12 ∼
= Z4 ⊕ Z3 ,
Z18 ∼
= Z2 ⊕ Z9 ,
6Z ∼
= Z.
В итоге получаем разложение группы (G; +) во внешнюю прямую сумму
циклических групп:
G∼
= Z2 ⊕ Z4 ⊕ Z3 ⊕ Z9 ⊕ Z.
Теперь укажем разложение по внутреннюю прямую сумму циклических
подгрупп:
G = h(0, 2, 0)i+̇h(4, 0, 0)i+̇h(3, 0, 0)i+̇h(0, 9, 0)i+̇h(0, 0, 6)i.
При этом ещё раз отметим, что конечно порождённая абелева группа может
быть разложена во внутреннюю прямую сумму несколькими способами:
G = h(4, 2, 0)i+̇h(4, 6, 0)i+̇h(3, 9, 0)i+̇h(0, 9, 0)i+̇h(0, 0, −6)i.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
141 / 183
§3. Конечно порождённые абелевы группы
Каноническое разложение конечно порождённых абелевых групп
Определение 4. Каноническим разложением конечно порождённой абелевой группы (G; +) называется её представление в виде внутренней прямой
суммы бесконечных и примарных циклических подгрупп вида
G = hg1 ipk1 +̇ . . . +̇hgs ipks s +̇hgs+1 i∞ +̇ . . . +̇hgs+t i∞ ,
1
где p1 ⩽ . . . ⩽ ps и k1 ⩽ . . . ⩽ ks , при этом соответствующая такому разложению запись
typ G = [pk11 , . . . , pks s , ∞t ]
называется типом группы (G; +).
Любая конечно порождённая абелева группа может иметь различные
канонические разложения, но все они имеют равные типы.
Пример 8. Хотя абелева группа G = Z12 ⊕ Z18 ⊕ 6Z и имеет несколько
канонических разложений, у всех них совпадает тип:
typ G = [21 , 22 , 31 , 32 , ∞1 ].
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
142 / 183
§3. Конечно порождённые абелевы группы
Изоморфизм конечно порождённых абелевых групп
Теорема 12. Конечно порождённые абелевы группы (G; +) и (H; +) изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют равные типы.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть ϕ : G → H – изоморфизм групп и (G; +)
имеет каноническое разложение вида
G = hg1 ipk1 +̇ . . . +̇hgs ipks s +̇hgs+1 i∞ +̇ . . . +̇hgs+t i∞ .
1
Тогда группа (H; +) имеет разложение
H = hϕ(g1 )ipk1 +̇ . . . +̇hϕ(gs )ipks s +̇hϕ(gs+1 )i∞ +̇ . . . +̇hϕ(gs+t )i∞ ,
1
и, так как ord ϕ(gi ) = ord gi , то последнее есть каноническое разложение
группы (H; +), и тогда очевидно равенство typ G = typ H.
Наоборот, если typ G = typ H, то справедливо:
G∼
= Zpk1 ⊕ . . . ⊕ Zpks s ⊕ Z ⊕ . . . ⊕ Z ∼
= H. 1
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
143 / 183
§3. Конечно порождённые абелевы группы
Изоморфизм конечно порождённых абелевых групп
Таким образом, совокупность всех конечно порождённых абелевых групп
разбивается отношением изоморфизма на непересекающиеся классы изоморфных групп. Найдём мощности каждого из этих классов в случае конечных групп.
Определение 5. Числом разбиений натурального числа n ∈ N называется число R(n), равное количеству способов представить n в виде суммы
натуральных чисел.
Обозначим через T (n) число различных классов неизоморфных конечных абелевых групп порядка n ∈ N.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
144 / 183
§3. Конечно порождённые абелевы группы
Изоморфизм конечно порождённых абелевых групп
s
Теорема 13. Если n = p1m1 ·. . .·pm
s – каноническое разложение числа n ∈ N,
то верно равенство:
T (n) = R(m1 ) · . . . · R(ms ).
Д о к а з а т е л ь с т в о: По теореме 12 число T (n) совпадает с числом возможных типов, то есть равно числу различных наборов
k
k
(pk111 , . . . , p11t1 , . . . , psks1 , . . . , ps sts ),
где при всех i ∈ 1, s верно mi = ki1 + . . . + kiti и ki1 ⩽ . . . ⩽ kiti . Как
видно, T (n) не зависит от простых делителей p1 , . . . , ps и удовлетворяет
соотношению
ms
1
T (n) = T (pm
1 ) · . . . · T (ps ) = R(m1 ) · . . . · R( ms ). БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
145 / 183
§3. Конечно порождённые абелевы группы
Изоморфизм конечно порождённых абелевых групп
Пример 9. Опишем классы изоморфных подгрупп порядка 36 = 22 · 32 . Их
число удовлетворяет соотношению:
T (36) = T (22 · 32 ) = R(2) · R(2) = 2 · 2 = 4.
Таким образом, любая абелева группа порядка 36 изоморфна одной из
групп:
G1 = Z4 ⊕ Z9 ∼
= Z36
typ G1 = [22 , 32 ],
G3 = Z4 ⊕ Z3 ⊕ Z3
typ G3 = [22 , 31 , 31 ],
G2 = Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z9
typ G2 = [21 , 21 , 32 ],
G4 = Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z3 ⊕ Z3
typ G4 = [21 , 21 , 31 , 31 ].
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
146 / 183
ГЛАВА 4
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ ПОДСТАНОВОК
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
147 / 183
§1. Подстановочные представления конечных групп
Пусть G – произвольная конечная мультипликативная группа порядка
n ∈ N, а M – непустое конечное множество мощности m ∈ N.
Определение 1. Подстановочным представлением группы G на множестве M называется всякий гомоморфизм ϕ : G → S(M ). При этом число
deg ϕ = |M | называется степенью этого представления.
Если же ϕ является мономорфизмом, то такое подстановочное представление называется точным. Заметим, что в определении степени представления не обязательно deg ϕ = |G|.
Иногда подстановочным представлением называют не сам гомоморфизм,
а его образ Im ϕ, что, впрочем, не должно приводить к путанице.
Теорема 1 (Кэли). Любая конечная группа G изоморфна некоторой подгруппе группы S(G).
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
148 / 183
§1. Подстановочные представления конечных групп
Д о к а з а т е л ь с т в о: Каждому элементу g ∈ G поставим в соответствие
отображения Rg : G → G и Lg : G → G, для всех x ∈ G заданные условиями:
Rg (x) = xg,
Lg (x) = g −1 x.
Данные отображения сюръективны, так как для любого y ∈ G верны равенства:
y = y · e = y · (g −1 g) = (yg −1 ) · g = Rg (yg −1 ),
y = e · y = (g −1 g) · y = g −1 · (gy) = Lg (gy).
Кроме того, эти отображения инъективны, поскольку при всех x, y ∈ G
справедливо:
Rg (x) = Rg (y) ⇔ xg = yg ⇔ x = y,
Lg (x) = Lg (y) ⇔ g −1 x = g −1 y ⇔ x = y.
Таким образом, Rg =
БК №252 (РТУ МИРЭА)
x
xg
и Lg =
x
g −1 x
– подстановки на G.
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
149 / 183
§1. Подстановочные представления конечных групп
Теперь покажем, что отображения ψ1 : G → S(G) и ψ2 : G → S(G),
для любых g ∈ G определённые правилами ψ1 (g) = Rg и ψ2 (g) = Lg ,
являются мономорфизмами. Эти отображения инъективны, так как для
всех элементов g1 , g2 ∈ G и произвольного x ∈ G верно:
ψ1 (g1 ) = ψ1 (g2 ) ⇔ Rg1 = Rg2 ⇔ Rg1 (x) = Rg2 (x) ⇔ xg1 = xg2 ⇔ g1 = g2 ,
ψ2 (g1 ) = ψ2 (g2 ) ⇔ Lg1 = Lg2 ⇔ Lg1 (x) = Lg2 (x) ⇔ g1−1 x = g2−1 x ⇔ g1 = g2 .
Осталось проверить определение гомоморфизма. При любых g, h ∈ G и
произвольном x ∈ G имеем:
Rgh (x) = xgh = (xg)h = Rg (x) · h = Rh Rg (x) = Rg · Rh (x),
Lgh (x) = (gh)−1 x = h−1 (g −1 x) = h−1 · Lg (x) = Lh Lg (x) = Lg · Lh (x).
Другими словами, выполнено:
ψ1 (gh) = Rgh = Rg · Rh = ψ1 (g) · ψ1 (h),
ψ2 (gh) = Lgh = Lg · Lh = ψ2 (g) · ψ2 (h).
В итоге, ψ1 и ψ2 – мономорфизмы, а Im ψ1 и Im ψ2 – подгруппы группы
S(G), изоморфные G. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
150 / 183
§1. Подстановочные представления конечных групп
Следствие. Любая конечная группа G порядка n изоморфна некоторой
подгруппе группы Sn .
Определение 2. Правым и левым регулярными представлениями группы
G называются мономорфизмы ψ1 : G → S(G) и ψ2 : G → S(G) соответственно, при всех g ∈ G действующие по правилам:
x
x
ψ1 (g) = Rg =
, ψ2 = Lg =
.
xg
g −1 x
Обратим внимание на тот факт, что отображение f : G → S(G), для
всех g ∈ G действующее по правилу
x
g 7→
,
gx
действительно сопоставляет каждому элементу группы некоторую подстановку, однако не удовлетворяет определению гомоморфизма.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
151 / 183
§1. Подстановочные представления конечных групп
В случае аддитивной группы (G; +) правое и левое регулярные представления будут иметь вид:
x
x
ψ1 (g) =
, ψ2 =
.
x+g
−g + x
Пример 1. Для группы G = Z6 выпишем все элементы её правого регулярного представления:
R0 =
R3 =
0
0
0
3
1
1
1
4
2
2
2
5
3
3
3
0
4
4
4
1
5
,
5
5
,
2
R1 =
R4 =
0
1
0
4
1
2
1
5
2
3
2
0
3
4
3
1
4
5
4
2
5
0
5
3
,
,
R2 =
R5 =
0
2
0
5
1
3
1
0
2
4
2
1
3
5
4
0
5
1
3
2
4
3
5
4
3
1
4
2
5
3
Теперь выпишем элементы левого регулярного представления:
L0 =
L3 =
0
0
0
3
1
1
1
4
2
2
2
5
3
3
3
0
4
4
4
1
5
5
5
2
,
,
L1 =
L4 =
0
5
0
2
1
0
1
3
2
1
2
4
3
2
3
5
4
3
4
0
5
4
5
1
,
,
L2 =
L5 =
0
4
0
1
1
5
1
2
2
0
2
3
3
4
4
5
5
0
,
.
,
.
Очевидно, что два этих представления хоть и имеют одинаковую степень,
равную 6, не совпадают как отображения. Но при этом равны получающиеся множества подстановок.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
152 / 183
§1. Подстановочные представления конечных групп
Теорема Кэли даёт универсальный алгоритм представления произвольной конечной группы в виде группы подстановок. Но такое представление
не является ни единственно возможным, ни наиболее «экономным».
Пример 2. Любое регулярное представление само́й симметрической группы подстановок Sn имеет степень, равную n!.
В общем случае вопрос о нахождении для группы G точных представлений наименьшей степени является нерешённой проблемой, однако с целью
уменьшения степени часто используются подстановочные представления
группы на смежных классах по различным её подгруппам или на подгруппах, сопряжённых с заданной подгруппой.
Пусть H – произвольная подгруппа конечной группы G. Рассмотрим два
множества:
• ΩH = {Hgi | i ∈ I} – множество правых смежных классов по
подгруппе H;
• ΘH = {gj−1 Hgj | j ∈ J} – множество подгрупп группы G, сопряжённых
с подгруппой H.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
153 / 183
§1. Подстановочные представления конечных групп
Утверждение 2. Отображения σH : G → S(ΩH ) и τH : G → S(ΘH ), для
всех g ∈ G действующие по правилам
Hx
x−1 Hx
σH (g) =
,
τH (g) =
,
(Hx) · g
g −1 · (x−1 Hx) · g
являются гомоморфизмами.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть отображения Kg : ΩH → ΩH и Pg : ΘH → ΘH
для всех x ∈ G заданы условиями:
Kg (Hx) = (Hx) · g,
Pg (x−1 Hx) = g −1 · (x−1 Hx) · g.
С учётом свойств смежных классов и классов сопряжённых подгрупп,
данные отображения являются подстановками соответствующих множеств.
Значит, для всех g ∈ G верно:
σH (g) = Kg ,
БК №252 (РТУ МИРЭА)
τH (g) = Pg .
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
154 / 183
§1. Подстановочные представления конечных групп
При любых g1 , g2 ∈ G и произвольном x ∈ G проверим определение
гомоморфизма:
Kg1 g2 (Hx) = (Hx) · (g1 · g2 ) = (Hx) · g1 · g2 = Kg1 (Hx) · g2 =
= Kg2 Kg1 (Hx) = Kg1 · Kg2 (Hx),
Pg1 g2 (x−1 Hx) = (g1 · g2 )−1 · (x−1 Hx) · (g1 · g2 ) =
= g2−1 · g1−1 · (x−1 Hx) · g1 · g2 = g2−1 · Pg1 (x−1 Hx) · g2 =
= Pg2 Pg1 (x−1 Hx) = Pg1 · Pg2 (x−1 Hx).
Следовательно, справедливы равенства:
σH (g1 g2 ) = Kg1 g2 = Kg1 · Kg2 = σH (g1 ) · σH (g2 ),
τH (g1 g2 ) = Pg1 g2 = Pg1 · Pg2 = τH (g1 ) · τH (g2 ). БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
155 / 183
§2. Орбиты и стабилизаторы
Пусть M – произвольное непустое конечное множество мощности n ∈ N.
Определение 3. В группе G < S(M ) элементы a, b ∈ M называются Gэквивалентными, что обозначается a ∼ b, если существует такая подстановка g ∈ G, что g(a) = b.
Утверждение 3. Отношение G-эквивалентности является отношением эквивалентности.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Данное отношение рефлексивно, поскольку для тождественной подстановки ε ∈ G верно ε(a) = a.
Отношение также симметрично, так как если g(a) = b для некоторой
подстановки g ∈ G, то g −1 (b) = a, где g −1 ∈ G.
Наконец, отношение транзитивно, поскольку для всех a, b, c ∈ M при
некоторых подстановок g, h ∈ G выполнено:
a ∼ b ∧ b ∼ c ⇔ g(a) = b ∧ h(b) = c ⇔ h g(a) = (g · h)(a) = c ⇔ a ∼ c. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
156 / 183
§2. Орбиты и стабилизаторы
Из последнего утверждения следует, что под действием группы G всё
множество M разбивается на классы эквивалентности вида:
[a]∼ = {b ∈ M | ∃g ∈ G : g(a) = b} = {g(a) | g ∈ G}.
Определение 4. Множество G(a) = {g(a) | g ∈ G} называется орбитой
элемента a ∈ M в группе G < S(M ).
Из свойств отношения эквивалентности следует, что любые две орбиты
различных элементов либо не пересекаются, либо полностью совпадают.
Пример 3. Симметрическая группа S(M ) и знакопеременная группа A(M )
имеют единственные орбиты, совпадающие с множеством M .
Пример 4. В группе подстановок G = {ε, (1 2), (4 5), (1 2)(4 5)} степени 5
имеются три различные орбиты:
G(1) = G(2) = {1, 2},
БК №252 (РТУ МИРЭА)
G(3) = {3},
Группы подстановок
G(4) = (5) = {4, 5}.
весна 2019/2020 уч.г.
157 / 183
§2. Орбиты и стабилизаторы
Определение 5. Стабилизатором элемента a ∈ M в группе G < S(M )
называется множество StG (a) = {g ∈ G | g(a) = a)}.
Пример 5. Для группы подстановок шестой степени
G = {ε, (1 4)(3 5), (1 5 4 3), (1 3 4 5), (2 6)(3 5), (1 4)(2 6),
(1 5)(2 6)(3 4), (1 3)(2 6)(4 5)}
выпишем все стабилизаторы:
StG (1) = StG (4) = {ε, (2 6)(3 5)},
StG (2) = StG (6) = {ε, (1 4)(3 5), (1 5 4 3), (1 3 4 5)},
StG (3) = StG (5) = {ε, (1 4)(2 6)}.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
158 / 183
§2. Орбиты и стабилизаторы
Утверждение 4. Для любого элемента a ∈ M стабилизатор StG (a) в группе G < S(M ) является подгруппой, причём |G| = | StG (a)| · |G(a)|.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Для любых подстановок g, h ∈ StG (a) имеем:
(gh)(a) = h(g(a)) = a ⇒ gh ∈ StG (a)
Тогда по следствию из критерия подгруппы StG (a) < G.
Заметим, что для любых подстановок x, y ∈ G справедливо:
StG (a) · x = StG (a) · y ⇔ StG (a) · xy −1 = StG (a) ⇔ xy −1 ∈ StG (a) ⇔
⇔ (xy −1 )(a) = a ⇔ y −1 x(a) = a ⇔ x(a) = y(a).
Следовательно, число различных правых смежных классов группы G по
подгруппе StG (a) совпадает с числом различных элементов вида x(a), то
есть с длиной орбиты элемента a:
|G(a)| = |G : StG (a)|.
Отсюда по теореме Лагранжа получаем требуемое равенство. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
159 / 183
§2. Орбиты и стабилизаторы
Лемма (Бёрнсайда). Если s – число различных орбит в группе G < S(M ),
то верно равенство:
1 X
s=
| Fix(g)|.
|G|
g∈G
Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть X1 , . . . , Xs – орбиты в G, для которых по
свойствам G-эквивалентных элементов верно:
M = X1 ∪ . . . ∪ Xs .
В итоге получаем цепочку равенств:
s = 1 + 1 + ... + 1 =
|
{z
}
s
=
X | StG (a)|
a∈Ω
|G|
=
s
X
1=
i=1
s
X
i=1
X
a∈Xi
1
|Xi |
1 X
1
| StG (a)| =
|G|
|G|
БК №252 (РТУ МИРЭА)
a∈Ω
!
=
X
s
X
i=1
(a,g): g(a)=a
Группы подстановок
X | StG (a)|
a∈Xi
1=
|G|
!
=
1 X
| Fix(g)|. |G|
g∈G
весна 2019/2020 уч.г.
160 / 183
§3. Транзитивные и регулярные группы подстановок
Пусть M – произвольное непустое конечное множество мощности n ∈ N.
Определение 6. Группа подстановок G < S(M ) называется транзитивной, если для любых элементов a, b ∈ M существует подстановка g ∈ G, для
которой верно g(a) = b, и регулярной, если такая подстановка единственна.
Из определения следует, что каждая транзитивная либо регулярная группа подстановок G < S(M ) имеет единственную орбиту, совпадающую со
множеством M .
Пример 6. Симметрическая группа S(M ) является транзитивной, но при
n ⩾ 3 не является регулярной. Знакопеременная группа A(M ) при n ⩾ 3
является транзитивной, но не является регулярной при n > 3.
Пример 7. Группа Клейна K4 = {ε, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)} регулярна.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
161 / 183
§3. Транзитивные и регулярные группы подстановок
Утверждение 5. Если G < S(M ) – транзитивная группа подстановок, то
n | |G| и |G| = n · | StG (a)| для любого a ∈ M .
Д о к а з а т е л ь с т в о: Поскольку в транзитивной группе по определению
для любых элементов a ∈ M верно равенство G(a) = M , по утверждению
4 получаем:
|G| = |G(a)| · | StG (a)| = |M | · | StG (a)| = n · | StG (a)|. Пример 8. Группа G = {ε, (1 2), (3 4), (1 2)(3 4)}, хоть и имеет порядок, равный её степени, не является ни регулярной, ни транзитивной, поскольку она
имеет две различные орбиты.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
162 / 183
§3. Транзитивные и регулярные группы подстановок
Теорема 6 (Критерий регулярности). Группа G < S(M ) является регулярной тогда и только тогда, когда она транзитивна и |G| = n.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Если группа G регулярна, то для любого a ∈ M
существует единственная подстановка g ∈ G такая, что g(a) = a. Следовательно, | StG (a)| = 1, а тогда по утверждению 5 имеем:
|G| = n · | StG (a)| = n · 1 = n.
Обратно, пусть в транзитивной группе G, где |G| = n, для некоторых
элементов a, b ∈ M найдутся две различные подстановки g, h ∈ G такие,
что g(a) = b и h(a) = b. Получаем:
(gh−1 )(a) = h−1 g(a) = h−1 (b) = a ⇒ gh−1 ∈ StG (a).
Значит, | StG (a)| ⩾ 2, но тогда |G| = n · | StG (a)| ⩾ n · 2, а это противоречит
условию. Следовательно, подстановки g и h совпадают, что по определению
означает регулярность группы G. Следствие. Группа G < S(M ) регулярна в том и только том случае, если
она транзитивна и | StG (a)| = 1 для любого элемента a ∈ M .
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
163 / 183
§3. Транзитивные и регулярные группы подстановок
По теореме Кэли произвольная конечная группа G изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы S(G), и рассмотренные в её доказательстве мономорфизмы ψ1 : G → S(G) и ψ2 : G → S(G), для всех g ∈ G
действующие по условиям
x
x
ψ1 (g) = Rg =
,
ψ2 (g) = Lg =
,
xg
g −1 x
были названы соответственно правым и левым регулярными представлениями. Действительно, образы этих мономорфизмов Im ψ1 и Im ψ2 являются
регулярными группами подстановок по двум причинам:
1. разрешимость уравнений ax = b и x−1 a = b для всех a, b ∈ G говорит
о транзитивности данных групп;
2. равенство | Im ψ1 | = | Im ψ2 | = |G|, в свою очередь, позволяет
применить критерий регулярности.
Подытожив сказанное, можно справедливо утверждать, что любая конечная группа изоморфна некоторой регулярной группе подстановок.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
164 / 183
§3. Транзитивные и регулярные группы подстановок
Определение 7. Группа подстановок G < S(M ) называется k-транзитивной, если для любых упорядоченных наборов (x1 , . . . , xk ), (y1 , . . . , yk ) по k
различных элементов множества M существует такая подстановка g ∈ G,
что g(xi ) = yi при каждом i ∈ 1, k, и k-регулярной, если такая подстановка
единственна.
Очевидно, что классы 1-транзитивных и 1-регулярных групп подстановок совпадают соответственно с транзитивными и регулярными группами.
Все k-транзитивные группы при k > 1 называют кратно транзитивными.
Пример 9. Симметрическая группа S(M ) является n-регулярной группой.
Пример 10. Знакопеременная группа A(M ) при n > 2 есть (n−2)-регулярная группа. Действительно, для двух произвольных упорядоченных наборов (x1 , . . . , xn−2 ) и (y1 , . . . , yn−2 ) в симметрической группе S(M ) существуют ровно две подстановки, переводящие элементы первого набора в соответствующие элементы второго, но только одна из них чётна.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
165 / 183
§3. Транзитивные и регулярные группы подстановок
Теорема 7 (Критерий k-транзитивности). Группа G < S(M ) является
k-транзитивной тогда и только тогда, когда она транзитивна и стабилизатор StG (a) хотя бы одного элемента a ∈ M является (k − 1)-транзитивной
группой на множестве M \ {a}.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Если группа G является k-транзитивной, то она
транзитивна по определению. Вместе с этим подстановки из стабилизатора
StG (a) любого элемента a ∈ M переводят элементы набора (a, x2 , . . . , xk ) соответственно в элементы набора (a, y2 , . . . , yk ), где xi , yi ∈ M \ {a} и i ∈ 2, k.
Следовательно, у такого стабилизатора StG (a) имеется ровно 2 обиты:
{a},
{m1 , . . . , mn−1 }, где mi ∈ M \ {a}.
Иными словами, StG (a) есть (k − 1)-транзитивная группа подстановок на
множестве M \ {a}.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
166 / 183
§3. Транзитивные и регулярные группы подстановок
Обратно, пусть G транзитивна и стабилизатор StG (a) некоторого элемента a ∈ M является (k − 1)-транзитивной группой. Рассмотрим два упорядоченных набора (x1 , x2 , . . . , xk ) и (y1 , y2 , . . . , yk ). В силу транзитивности
G найдутся подстановки g1 , g2 ∈ G, при которых g1 (x1 ) = a и g2 (y1 ) = a и
при этом верно:
g1 (x1 , x2 , . . . , xk ) = (a, x02 , . . . , x0k ),
g2 (y1 , y2 , . . . , yk ) = (a, y20 , . . . , yk0 ).
Кроме того, с учётом (k − 1)-транзитивности StG (a) существует такая подстановка h ∈ StG (a), что h(x02 , . . . , x0k ) = (y20 , . . . , yk0 ). Рассмотрим подстановку g1 hg2−1 ∈ G применительно к набору (x1 , x2 , . . . , xk ):
(g1 hg2−1 )(x1 , x2 , . . . , xk ) = g2−1 h g1 (x1 , x2 , . . . , xk ) =
= g2−1 h(a, x02 , . . . , x0k ) = g2−1 (a, y20 , . . . , yk0 ) =
= (y1 , y2 , . . . , yk ).
В итоге получена подстановка, переводящая элементы набора (x1 , x2 , . . . , xk )
соответственно в (y1 , y2 , . . . , yk ). Таким образом, группа G удовлетворяет
определению k-транзитивной группы подстановок. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
167 / 183
§3. Транзитивные и регулярные группы подстановок
Следствие (Критерий k-регулярности). Группа G < S(M ) является
k-регулярной в том и только том случае, если она транзитивна и стабилизатор StG (a) хотя бы одного элемента a ∈ M является (k − 1)-регулярной
группой на множестве M \ {a}.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Предположим, что группа G не является k-регулярной, то есть существуют, по меньшей мере, две различные подстановки
h1 , h2 ∈ G, переводящие элементы упорядоченного набора (x1 , x2 , . . . , xk )
соответственно в элементы набора (y1 , y2 , . . . , yk ). Рассмотрим подстановки
g1−1 h1 g2 и g1−1 h2 g2 применительно к набору (x02 , . . . , x0k ):
(g1−1 h1 g2 )(x02 , . . . , x0k ) = g2 h1 g1−1 (x02 , . . . , x0k ) = g2 h1 (x2 , . . . , xk ) =
= g2 (y2 , . . . , yk ) = (y20 , . . . , yk0 ),
(g1−1 h2 g2 )(x02 , . . . , x0k ) = g2 h2 g1−1 (x02 , . . . , x0k ) = g2 h2 (x2 , . . . , xk ) =
= g2 (y2 , . . . , yk ) = (y20 , . . . , yk0 ).
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
168 / 183
§3. Транзитивные и регулярные группы подстановок
Следовательно, g1−1 h1 g2 , g1−1 h2 g2 ∈ StG (a) – две различные подстановки,
что противоречит условию (k − 1)-регулярности стабилизатора. Следовательно, подстановки h1 и h2 совпадают, что и говорит о k-регулярности
группы G. Теорема 8. Порядок любой
k-транзитивной группы G < S(M ) кратен числу n(n − 1) . . . n − (k − 1) .
Д о к а з а т е л ь с т в о: С учётом транзитивности G и (k−1)-транзитивности
стабилизатора любого из элементов, имеем цепочку равенств:
|G| = n · | StG (a1 )|,
| StG (a1 )| = (n − 1) · | StG (a1 , a2 )|,
| StG (a1 , a2 )| = (n − 2) · | StG (a1 , a2 , a3 )|,
...
| StG (a1 , . . . , ak−1 )| = n − (k − 1) · | StG (a1 , . . . , ak )|,
a1 ∈ M,
a2 ∈ M \ {a1 },
a3 ∈ M \ {a1 , a2 },
ak ∈ M \ {a1 , . . . , ak−1 }.
В итоге получаем порядок группы:
|G| = n(n − 1) . . . n − (k − 1) · | StG (a1 , . . . , ak−1 )|. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
169 / 183
§3. Транзитивные и регулярные группы подстановок
Следствие. Порядок любой k-регулярной группы подстановок G < S(M )
равен n(n − 1) . . . (n − (k − 1)).
Д о к а з а т е л ь с т в о: Данная k-регулярность группы G сводится к регулярности стабилизатора StG (a1 , . . . , ak−1 ), а тогда | StG (a1 , . . . , ak−1 )| = 1 и
выполнено требуемое равенство. Пример 11. Для группы подстановок G < S5 , порождённой двумя подстановками (1 3)(4 5) и (1 2 4 3), выпишем все элементы:
G = h(1 3)(4 5), (1 2 4 3)i = {ε, (1 4 2 5 3), (1 2 3 4 5), (1 5 4 3 2),
(1 3 5 2 4), (2 5)(3 4), (1 4)(2 3), (1 2)(3 5), (1 5)(2 4), (1 3)(4 5),
(2 4 5 3), (1 4 3 5), (1 2 5 4), (1 5 2 3), (1 3 4 2), (2 3 5 4),
(1 4 5 2), (1 2 4 3), (1 5 3 4), (1 3 2 5)}.
Очевидно, что данная группа имеет единственную орбиту, то есть по определению является транзитивной, но всё же не регулярной – иначе её порядок был бы равен 5. Однако группа G может быть 2-транзитивной и даже
2-регулярной, поскольку для её порядка справедливо 20 = 5 · 4 = 5 · (5 − 1).
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
170 / 183
§3. Транзитивные и регулярные группы подстановок
Выпишем стабилизаторы каждого из элементов a ∈ 1, 5:
StG (1) = {ε, (2 5)(3 4), (2 4 5 3), (2 3 5 4)},
StG (2) = {ε, (1 3)(4 5), (1 4 3 5), (1 5 3 4)},
StG (3) = {ε, (1 5)(2 4), (1 2 5 4), (1 4 5 2)},
StG (4) = {ε, (1 2)(3 5), (1 5 2 3), (1 3 2 5)},
StG (5) = {ε, (1 4)(2 3), (1 3 4 2), (1 2 4 3)}.
Замечаем, что у каждого из них, как у самостоятельных групп подстановок,
имеется ровно две орбиты:
StG (1) : {1}, {2, 3, 4, 5},
StG (3) : {3}, {1, 2, 4, 5},
StG (5) : {5}, {1, 2, 3, 4}.
StG (2) : {2}, {1, 3, 4, 5},
StG (4) : {4}, {1, 2, 3, 5},
Иными словами, при всех a ∈ 1, 5 стабилизатор StG (a) является 1-регулярной группой подстановок на множестве 1, 5 \ {a}. Следовательно, группа G
есть 2-регулярная группа подстановок по критерию k-регулярности.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
171 / 183
§4. Примитивные и импримитивные группы подстановок
Пусть M – произвольное непустое конечное множество мощности n ∈ N.
Определение 8. Подмножество A ⊂ M называется блоком группы подстановок G < S(M ), если g(A) = A либо A ∩ g(A) = ∅ для любой подстановки g ∈ G.
Из определения видно, что пустое множество ∅, все одноэлементные
подмножества {a} ⊂ M , а также само множество M являются блоками
любой группы подстановок. Такие блоки называются тривиальными.
Также легко заметить, что в любой не транзитивной группе G < S(M )
любая орбита является блоком.
Пример 12. В группе G = {ε, (1 2), (3 4), (1 2)(3 4)} орбиты {1, 2} и {3, 4}
являются нетривиальными блоками.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
172 / 183
§4. Примитивные и импримитивные группы подстановок
Утверждение 9 (Свойства блоков). Для любой группы G < S(M ) справедливо:
1. если A – блок группы G, то g(A) при всех g ∈ G – тоже блок этой
группы;
2. если A и B – блоки группы G, то A ∩ B – тоже блок этой группы.
Д о к а з а т е л ь с т в о: В первом свойстве необходимо при всех h ∈ G доказать импликацию:
g(A) ∩ h g(A) 6= ∅ ⇒ g(A) = h g(A) .
Поскольку в группе G однозначно разрешимо уравнение x · g = g · h, имеем:
h g(A) = (g · h)(A) = (x · g)(A) = g x(A) .
В итоге получаем:
g(A) ∩ h g(A) = g(A) ∩ g x(A) = g A ∩ x(A) 6= ∅ ⇒
⇒ A ∩ x(A) 6= ∅ ⇒ x(A) = A.
Следовательно, h g(A) = g x(A) = g(A), то есть g(A) удовлетворяет определению блока.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
173 / 183
§4. Примитивные и импримитивные группы подстановок
Аналогично для второго свойства при любых g ∈ G имеем:
(A ∩ B) ∩ g(A ∩ B) = (A ∩ B) ∩ g(A) ∩ g(B) = A ∩ g(A) ∩ B ∩ g(B) .
В свою очередь, из предположения
A ∩ g(A) ∩ B ∩ g(B) 6= ∅
следует существование общего элемента c ∈ (A ∩ B) ∩ g(A ∩ B), откуда
получаем:
(
(
(
c ∈ A ∩ g(A)
A ∩ g(A) 6= ∅
A = g(A)
⇒
⇒
⇒
c ∈ B ∩ g(B)
B ∩ g(B) 6= ∅
B = g(B)
⇒ A ∩ g(A) ∩ B ∩ g(B) = (A ∩ B) ∩ g(A ∩ B) = A ∩ B.
Таким образом, для A ∩ B также выполнено определение блока. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
174 / 183
§4. Примитивные и импримитивные группы подстановок
Определение 9. Транзитивная группа подстановок G < S(M ) называется
примитивной, если она не имеет нетривиальных блоков, и импримитивной
– в противном случае.
Пример 13. Для циклической группы G < S6 , которая порождается подстановкой (1 2 3 4 5 6), выпишем все элементы:
G = h(1 2 3 4 5 6)i = {ε, (1 2 3 4 5 6), (1 3 5)(2 4 6), (1 4)(2 5)(3 6),
(1 5 3)(2 6 4), (1 6 5 4 3 2)}.
Как было сказано выше, тривиальными блоками группы G являются одноэлементные множества {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} и множество {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Кроме того, обратив внимание на цикловую структуру получившихся подстановок, замечаем ещё несколько нетривиальных блоков:
{1, 3, 5},
{2, 4, 6},
{1, 4},
{2, 5},
{3, 6}.
Следовательно, такая группа является импримитивной.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
175 / 183
§4. Примитивные и импримитивные группы подстановок
Утверждение 10. Порядок любого блока импримитивной группы подстановок G < S(M ) делит её степень n.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Поскольку для любого блока A и произвольной подстановки g ∈ G и множество g(A) так же является блоком группы G, с
учётом транзитивности получаем представление множества M :
[
M=
g(A).
g∈G
Так как любые два блока g(A), h(A) при различных g, h ∈ G либо не пересекаются, либо совпадают, такое представление множества M является
его разбиением. Следовательно, с учётом равномощности каждого из блоков в этом разбиении получаем равенство |M | = |A| · k, где k – количество
различных блоков. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
176 / 183
§4. Примитивные и импримитивные группы подстановок
Теорема 11 (Критерий примитивности). Транзитивная группа подстановок G < S(M ) примитивна тогда и только тогда, когда стабилизатор
StG (a) любого элемента a ∈ M является максимальной подгруппой в G.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Условие максимальности в формулировке теоремы
означает отсутствие в G собственных подгрупп H, не совпадающих со стабилизатором StG (a) и удовлетворяющих условию:
StG (a) < H < G.
Сделаем предположение, что группа G примитивна и H < G – подгруппа
с указанным выше свойством. Покажем, что орбита H(a) является блоком
группы G.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
177 / 183
§4. Примитивные и импримитивные группы подстановок
Поскольку H содержит стабилизатор StG (a) в качестве собственной подгруппы, то H(a) состоит не менее чем из двух различных элементов. Притом для любых g ∈ G имеем:
(
b = h1 (a),
h1 ∈ H
⇒
b ∈ H(a) ∩ g H(a) ⇒
b = g h2 (a) , h2 ∈ H
⇒ h1 (a) = g h2 (a) ⇒
⇒ a = h−1
g
h
(a)
= (h2 gh−1
2
1
1 )(a) ⇒
−1
⇒ h2 gh−1
1 ∈ StG (a) ⇒ g ∈ h2 · StG (a) · h1 ⊂ H ⇒
⇒ g ∈ H ⇒ H(a) = g H(a) .
Таким образом, орбита H(a) является нетривиальным блоком, что вступает
в противоречие с примитивностью группы G.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
178 / 183
§4. Примитивные и импримитивные группы подстановок
Наоборот, пусть группа G транзитивна и стабилизатор каждой точки
– максимальная подгруппа. Предположив существование нетривиального
блока A, рассмотрим множество подстановок, стабилизирующих блок A:
H = {g ∈ G | g(A) = A}.
Поскольку для любых g1 , g2 ∈ H верно равенство
(g1 · g2 )(A) = g2 g1 (A) = g2 (A) = A,
то по следствию из критерия подгруппы H – подгруппа группы G, содержащая стабилизатор StG (a) любого элемента a ∈ A.
Так как группа G транзитивна и A – нетривиальный блок, то H 6= G.
При этом существует элемент b ∈ A и подстановка g ∈ G такая, что g(a) = b,
то есть g ∈ H \StG (a). Таким образом, получаем противоречие с максимальностью стабилизатора StG (a) как подгруппы в G, и тогда группа G является
примитивной. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
179 / 183
§4. Примитивные и импримитивные группы подстановок
Следствие. Регулярная группа подстановок G < S(M ) примитивна в том
и только том случае, если n – простое число.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Любая транзитивная группа простой степени n не
может быть импримитивной, поскольку у n отсутствуют собственные делители, что говорит о невозможности существования нетривиальных блоков.
Так как группа G регулярна, для произвольных элементов a ∈ M верно
StG (a) = {e}. В случае составного n по первой теореме Силова в G имеются собственные подгруппы, каждая из которых содержит стабилизатор, и
тогда нарушается критерий примитивности. БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
180 / 183
§4. Примитивные и импримитивные группы подстановок
Пример 14. Для группы подстановок G < S5 , порождённой двумя подстановками (1 3)(4 5) и (1 2 4 3), ранее были выписаны все её элементы и
стабилизаторы каждой из точек a ∈ 1, 5, причём всех они содержат по 4
подстановки.
Так как 20 = 22 · 51 – каноническое разложение порядка группы G, делители которого описываются множеством {1, 2, 4, 5, 10, 20}, каждый из стабилизаторов является максимальной подгруппой. Следовательно, группа G
примитивна.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
181 / 183
§4. Примитивные и импримитивные группы подстановок
Пример 15. Для группы подстановок G < S6 , порождённой двумя подстановками (3 6) и (1 3 5)(2 4 6), выпишем все элементы:
G = h(3 6), (1 3 5)(2 4 6)i = {ε, (1 4), (1 2 6)(3 4 5), (1 5 3 4 2 6),
(1 6 2)(3 5 4), (1 3 5 4 6 2), (2 5), (1 4)(2 5), (1 2 3 4 5 6),
(1 5 6)(2 3 4), (1 6 2 4 3 5), (1 3 5)(2 4 6), (3 6), (1 4)(3 6),
(1 2 6 4 5 3), (1 5 3)(2 6 4), (1 6 5 4 3 2), (1 3 2)(4 6 5),
(2 5)(3 6), (1 4)(2 5)(3 6), (1 2 3)(4 5 6), (1 5 6 4 2 3),
(1 6 5)(2 4 3), (1 3 2 4 6 5)}.
Выпишем все стабилизаторы в этой группе:
StG (1) = StG (4) = {ε, (2 5), (3 6), (2 5)(3 6)},
StG (2) = StG (5) = {ε, (1 4), (3 6), (1 4)(3 6)},
StG (3) = StG (6) = {ε, (1 4), (2 5), (1 4)(2 5)}.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
182 / 183
§4. Примитивные и импримитивные группы подстановок
Замечаем, что каждый из стабилизаторов порождается двумя из трёх
независимых транспозиций, содержащихся в группе G:
StG (1) = StG (4) = h(2, 5), (3, 6)i,
StG (2) = StG (5) = h(1, 4), (3, 6)i,
StG (3) = StG (6) = h(1, 4), (2, 5)i.
Следовательно, каждый из них является подгруппой в группе
H = h(1 4), (2 5), (3 6)i = {ε, (1 4), (2 5), (3 6), (1 4)(2 5), (1 4)(3 6),
(2 5)(3 6), (1 4)(2 5)(3 6)},
которая, очевидно, является собственной подгруппой в G. Таким образом,
никакой из стабилизаторов не является максимальной подгруппой, что говорит об импримитивности группы G.
БК №252 (РТУ МИРЭА)
Группы подстановок
весна 2019/2020 уч.г.
183 / 183