спецкурс по математики

Муниципальное общеобразовательное учреждение средней общеобразовательной школы № 1
г.Усть-Катава
квалификационная работа по
математике
тема: «Введение элементов
комбинаторики и теории
вероятностей».
Математика – это то, посредством чего
люди управляют природой и собой.
А.Н.Колмогоров
выполнила:
Горячева Татьяна Геннадьевна
учитель
математики
2005 г
1
СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ:
1)Пояснительная записка
стр.
2)Учебно– тематический план
стр.
3)Содержание программы
стр.
4)Поурочное планирование
стр.
5)Литература
стр.
2
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Без учёта влияния случайных явлений
человек становится бессильным
направлять развитие интересующих
его процессов в желательном для него
направлении.( Б.В. Гнеденко)
Появление стохастической линии в школе вызвано велением времени, поскольку
является следствием многих социально-экономических причин.
О необходимости изучения в школе элементов теории вероятностей и
комбинаторики речь идёт очень давно.
Приведём, например, цитату более чем столетней давности: «Приходилось
слышать, что теория сочетаний и бином Ньютона предлагаются иногда как отделы,
которые можно было бы сократить. Соглашаясь на другие сокращения, выскажусь
решительно против сокращения теории сочетаний. Теория эта по особенному
значению своему принадлежит к таким отделам, преподавание которых в гимназии
следует непременно сохранить и поставить в лучшие условия. Теория сочетаний
представляет средство для одной из важнейших способностей ума-способности
представлять явления в разных комбинациях. Эта способность нужна в жизни
всякому…» - П. А. Некрасов профессор Московского учебного округа в 1899 г.
Каждому человеку в своей жизни приходится выполнять достаточно сложные
расчеты, пользоваться общеупотребительной вычислительной техникой, находить в
справочниках и применять нужные формулы, владеть практическими приемами ,
читать информацию, представленную в виде таблиц, диаграмм, понимать
вероятностный характер случайных событий, составлять несложные алгоритмы и
др.
Появление в школьной программе вероятностно-статистической линии,
ориентированной на знакомство учащихся с вероятностной природой большинства
явлений окружающей действительности, будет способствовать усилению её
общекультурного потенциала, возникновению новых, глубоко обоснованных
межпредметных связей, гуманитаризации школьного математического образования.
3
Существенность развития комбинаторных возможностей интеллекта учащихся
очевидна и с общих позиций теорий развитие личности, и с точки зрения различного
рода практических приложений: развитие представлений о статистических
закономерностях, формирование информационной культуры, оценка возможностей
наступления событий и так далее. В общем, «… эта способность нужна в жизни
всякому…».
Также можно воспользоваться словами Дизраэли: «Существует три вида лжи:
просто ложь, гнусная ложь и статистика».
Ценность стохастических задач определяется не столько тем аппаратом, который
используется при решении, сколько возможностями продемонстрировать процесс
применения математики для решения вне математических задач. Задачи эти
знакомят учеников с реальными применениями стохастических идей и методов, а
также служить для организации специфической деятельности, необходимой в
процессе применения математики. Знакомить учащихся с отдельными разделами
прикладной математики, в том числе с теорией вероятностей и математической
статистикой как с сугубо абстрактными теориями.
Этот элективный курс как раз и посвящён изложению тех понятий, фактов, задач и
обстоятельств, с которых, собственно, берёт своё начало стохастическая линия. Если
в высшей школе основой акцент делается на изучение математического аппарата
для исследования вероятных моделей, то в школе учащимся прежде всего
необходимо ознакомить с процессом построения модели, учить их анализировать,
проверять адекватность построенной модели реальным ситуациям, развивать
вероятностную интуицию.
Сегодня знакомство с элементами стохастики ставится обязательным уже в рамках
основной школы. При этом вопросам комбинаторики предполагается уделять
немалое внимание, так как она является неотъемлемой частью аппарата теории
вероятностей.
Трудно переоценить значимость той роли, которую может и должно играть
изучение элементов комбинаторики в общеобразовательной школе. Комбинаторные
процедуры всепроникающе входят в математическую деятельность на всех её
уровнях. Освоение таких процедур – это освоение «первомеханизмов»
математической деятельности, несущее эффективные и органичные средства
4
развития умственных способностей и особенно математических способностей
учащихся. И поэтому исследование вопросов обучения комбинаторике и теории
вероятности ведут к исследованию глубинных вопросов обучения математике.
Комбинаторные задачи несут широкие возможности для осуществления
процессов формирования таких моделей исследуемых ситуаций, которые могут
служить одновременно и формами представления общих методов, и образцами их
применения.
Программа курса рассчитана на группу учащихся 9 классов.
Цель курса:
- формирование представлений об идеях и методах математики, о математике
как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов;
- овладение устным и письменным математическим языком, математическими
знаниями и умениями, необходимыми для изучения школьных естественно научных дисциплин, для продолжения образования и освоения избранной
специальности на современном уровне;
- развитие логического мышления, развитие математического мышления и
интуиции, творческих способностей на уровне, необходимом для продолжения
образования и для самостоятельной деятельности в области математики;
- воспитание математики культуры личности: знакомство с историей развития
математики, понимание значимости математики для общественного прогресса,
- углубление знаний учащихся с учётом их интересов и склонностей, развитие
математического мышления, воспитание учащихся глубокого интереса
математике и её приложению, воспитание и развитие учащихся инициативы и
творчества;
- овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми
применения в практической деятельности;
- формирование представлений о математике как части общечеловеческой
культуры, понимания значимости математики для общественного прогресса.
Задачи курса:
Расширение и развитие математики в общеобразовательной школе, сближение
элективного курса с современной математикой как наукой дополнение отдельных
разделов из курса математики.
5
Требования к уровню подготовки: учащиеся должны знать и уметь
- правильно употреблять термины и формулы;
- решать задача подсчётов вариантов, правило произведения;
- применять формулы перестановки, размещения и сочетания;
- правильно употреблять достоверные, невозможные и случайные события,
равновозможные события;
- понимание классической, геометрической и статистической модели вероятности.
Развитие мышления учащихся, т. е. формирование у них умений и навыков
применения различных приёмов мыслительной деятельности, осуществляется
следующими этапами:
- знакомим учащихся с отдельными мыслительными приёмами,
- совместно приходить к выводу, с которым сегодня познакомились в процессе
изучения новой темы или решения задачи,
- выбор того или иного мыслительного приёма.
Научить учащихся работать с литературой. Читая учебник или дополнительную
литературу, учащиеся должен выделить главное из прочитанного, хорошо
усвоить его и прочно запомнить. Этого он может добиться только в том случае,
если, изучая материал, выполняет над ним активную мыслительную
деятельность. Обучение работе с книгой сводится к формированию умений
применения мыслительных приёмов.
В организации учебно - воспитательного процесса важную роль играют задачи.
В обучении математике они являются и целью, и средством обучения и
математического развития школьников. Важным приёмом правильной
организации учебно- воспитательного процесса является выбор учителем
рациональной системы методов и приёмов обучения, её оптимизация с учётом
возраста учащихся, уровня их математической подготовки, развития обще
учебных умений, специфики решаемых образовательных и воспитательных
задач. В зависимости от указанных факторов учителю необходимо реализовать
сбалансированное сочетание традиционных и новых методов обучения.
6
В наше время прогресс науки неотделим от
достижений талантливых математиковприкладников. Математик-прикладник не узкий
ремесленник, а творец. Наряду с математикой
ему необходимо и глубокое знание предмета
прикладного исследования. (Б.В.Гнеденко)
МЕТОДИКА –это совокупность способов, методов, приёмов, для
систематического последовательного наиболее целесообразного проведение
какой – либо работы.
Существует несколько принципов обучения:
1.сознательности и активности
2.систиматичности и последовательности
3.прочности
4.доступности
5.научности
6.наглядности
7.связи теории с практикой
8.воспитательный
Все эти принципы тесно связаны между собой и при обучении математики
рассматриваются в их совокупности.
Формы проведения уроков:
Формы учебной деятельности учащихся на уроке в самом общем виде мы
рассматриваем способ организации одного из видов учебной деятельности
учащихся.
Использование фронтальной формы деятельности на уроке, если:
перед всеми учащимися поставлена единая учебная цель; задание по
содержанию одинаково для всех; в основе этой формы лежит совместная работа
учителя и учащихся.
Использование коллективной формой деятельности учащихся, если:
в основе формы деятельности лежит коллективная работа класса, реализующая
отношение «деятельность учителя- класса- ученика».
7
Групповой формой деятельности учащихся на уроке такой способ, если:
содержание задания либо одинаково для всех групп, либо дифференцировано
с учетом их особенностей.
Индивидуальной формой деятельности учащихся на уроке такой способ
организации, если:
перед всеми учащимися одновременно поставлена некоторая цель как сугубо
индивидуальная, личная цель деятельности; отдельным учащимся оказывается
особая помощь в виде конкретных указаний с учетом их уровня знаний и
умений.
Парной формой на уроке это способ если: ставится задача перед некоторыми
учениками.
МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ:
Под «методом обучения» в дидактике понимают упорядоченные способы
взаимосвязанной деятельности учителя и учащихся, направленных на
достижение учебно-воспитательных задач.
Индукцией называется такой метод рассуждений, при котором общий вывод
основывается на изучении отдельных частных фактов. Если рассматриваются
все частные факты без исключения, то индукция называется полной, а в
противном случае -неполной.
Дедуктивный метод состоит в том, что исходя из предыдущих теорем
выводят необходимо вытекающем из них следствия, новые теоремы, без
предварительного рассмотрения частных случаев или переход от общих
утверждений к частным.
Анализ и синтез являются разновидностями дедуктивного метода. Анализразложение или разбиение, логического объекта на его составные части или под
анализом подразумевают ход известному от исходному к данному. Синтезсоединение, сочетание, составляющий способ изучения предмета в его
целостности и единственности, взаимной связи его частей. Под синтезом
подразумевают ход мысли от известного к неизвестному, от данных к искомому.
Метод аналогии- заключение по сходству. Аналогия играет большую роль, она
может подсказывать существование неизвестных теорем, способ её
8
доказательства, путь решения задачи. Самое широкое применение аналогия
находит и в преподавании математики- обучение по образцам.
Метод целесообразных задач -сущность этого метода сводится к тому, что для
лучшего понимания изучаемого материала учащимся предлагают
подготовительные задачи.
Эвристический метод- это метод при котором учитель вместо изложения
учебного материала в готовом виде подводит учащихся к «переоткрытию»
теорем, их доказательств, к самостоятельному формулированию определений, к
составлении задач.
Вопросно-ответный метод-это когда новая тема излагается путём беседы.
Отвечая на ряд вопросов учителя, учащиеся самостоятельно приходят к
некоторым выводам. Вопросно-ответный метод имеет две разновидности:
аналитическую и синтетическую, что учитывается далеко не всеми.
Предполагаемые результаты:
В результате посещения курса учащиеся должны уметь:
- решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора;
- решать задачи с использованием известных формул комбинаторики;
- треугольник Паскаля, вычислять коэффициенты бинома Ньютона по формуле и
с использованием треугольника Паскаля;
- вычислять, в простейших случаях, вероятности событий на основе подсчета
числа исходов.
Отслеживание результатов:
Отслеживание результатов происходит при:
- проверки домашнего задания;
- при выполнении заданий у доски;
- проведении математического диктанта;
- самостоятельных работ в виде тестовых заданий, 1 часть теста с выборкой ответа
рассчитана на минимальный уровень, а 2 часть на более высокий уровень;
- в заключении зачет по изученному.
Так как этот курс учащиеся посещали по желанию, то среди них были учащиеся с
низким уровнем знаний по математики.
9
Наибольшее количество баллов за курс можно было набрать 3 БАЛЛА..(если все
работы были оценены на 3 балла)
2,5 БАЛЛА можно было получить, если одна работа оценена на 2 балла.
2 БАЛЛА - все работы были от 1,5-2 баллов.
1,5 БАЛЛА- работы выполнены от 1-2 баллов.
1 БАЛЛ- за добросовестное посещение.
Курс посещало 40 человек, среди них получили:
3 БАЛЛА- 8 учащихся составляет 20%
2,5БАЛЛА- 7 учащихся составляет 18%
2БАЛЛА-
12 учащихся составляет 30%
1,5БАЛЛА- 8 учащихся составляет 20%
1БАЛЛ- 5 учащихся составляет 12,5%
20%
18%
30%
10
20%
12%
УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН
№ ТЕМА
кол-во ТЕМА УРОКА
час.
1. Исторический обзор. 2ч.
1.Основные понятия комбинаторики. Термины
и символы. Развитие комбинаторики.
Магические квадраты.
Понятие вероятности и зарождения науки о
закономерностях случайных явлений.
2. Исторические задачи. Математический
диктант.
2. Введение в
13ч.
комбинаторику.
1.Комбинаторные задачи. Правило умножения.
2. Дерево вариантов.
3.Факториалы.
4. Обобщающий урок. Самостоятельная
работа. (тест)
5. Перестановки без повторений.
6. Перестановки с повторениями.
7. Размещения без повторений.
8. Размещения с повторениями.
9. Сочетания без повторений.
10. Сочетания с повторениями.
11. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона.
12.Решение задач.
13.Проверочная работа.(тест)
3. Случайные события
и их вероятности.
6ч.
1.События достоверные, невозможные,
случайные.
2.Классические понятия вероятных событий.
3.Статистическое понятие вероятности
события.
4.Геометрическое понятие вероятности.
5.Формула Бернулли.
11
6.Решение задач. Проверочная работа.(тест)
1ч.
ЗАЧЁТ.
12
СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ
Тема № 1.Исторический обзор.
Основные понятия комбинаторики. Термины и символы. Развитие комбинаторики.
Магические квадраты. Понятие вероятности и зарождения науки о закономерностях
случайных явлений. Решение исторических задач.
Тема № 2. Введение в комбинаторику.
Комбинаторные задачи. Правило умножения. Дерево вариантов. Факториалы.
Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями. Размещение без
повторений. Размещение с повторениями. Сочетания без повторений. Сочетания с
повторениями. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона.
Элементы комбинаторики излагаются традиционно. Сначала на простых примерах
демонстрируются решение комбинаторных задач методом перебора возможных
вариантов и иллюстрируется этот метод с помощью дерева возможных вариантов.
Затем разъясняется и формулируется комбинаторное правило умножения(которое
чаще всего называется правилом произведения).
Далее последовательно вводятся понятия перестановки, размещения, сочетания,
комбинации с повторениями.
Тема № 3. Случайные события и их вероятности.
События достоверные, невозможные, случайные. Классические понятия
вероятных событий. Статистическое понятие вероятности события. Геометрическое
понятие вероятности. Формула Бернулли.
Вводятся начальные понятия теории вероятностей, формируется представление о
случайных, достоверных и невозможных событиях, приведены статистическое и
классическое определения вероятности. При вычислении вероятностей
используются формулы комбинаторики.
ЗАЧЁТ.
13
Урок 1.Тема: «Основные понятия комбинаторики и
теории вероятностей. Термины и символы. Магические
квадраты.»
Цель – Сформировать основные понятия комбинаторики, понятие теории
вероятностей, термины и символы, решение математических квадратов, воспитание
интереса к истории математики.
Ход урока:
Комбинаторика-раздел математики о выборе и расположении элементов
некоторого множества на основании каких-либо условий.
Комбинаторика начала выделяться в отдельный раздел математики в
работах Б.Паскаля и П.Ферма, хотя отдельные понятия и факты комбинаторики
были известны ещё математикам античности и
средневековья. Большой вклад в развитие комбинаторики внесли Г.Лейбниц,
Я.Бернулли и Л.Эйлер. В их работах были даны определения основных понятий
комбинаторики, развиты первые комбинаторные методы и указаны их применения,
а также прослежена связь комбинаторики с исчислением вероятностей.
Комбинаторика занимается различного рода сочетаниями (соединениями), которые
можно образовать из элементов некоторого
конечного множества. Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова
combina-сочетать, соединять.
Некоторые элементы комбинаторики были известны в Индии ещё во 2 в. до н.э.
Индийцы умели вычислять числа, которые мы обозначаем через
Сn, т.е.
сочетания из n элементов, взятых по m,и знали формулу
Сn0 +Сn1 +… +Сnn=2n.
В 12 в. Бхаскара вычислял некоторые виды сочетаний и перестановки.
Предполагают, что индийские ученые изучали соединения в связи с применением их
в науке о структуре стихов и поэтических произведений, например, в связи с
подсчетом возможных сочетаний ударных и безударных слогов, состоящих из n
слогов. В Древней Индии, в Средней Азии и Китае была также известна частично
14
таблица коэффициентов. Однако как научная дисциплина комбинаторика
сформировалась лишь в 17 в.
Б.Паскаль в «Трактате об арифметическом треугольнике» и в «Трактате о
числовых порядках» изложил учение о биномиальных коэффициентах, оперируя с
ними как с сочетаниями. П.Ферма знал о связи магических квадратов и фигурных
чисел с теорией соединений.
Термин «комбинаторика» стал употребляться после опубликования Лейбницем в
1666 г. работы «Рассуждение о комбинаторном искусстве»,в котором впервые дано
научное обоснование теории сочетаний и перестановок. Изучением «размещений»
впервые занимался Якоб Бернулли во второй части своей знаменитой книги
«Искусство предугадывания», опубликованной в 1713 г. Он же ввел
соответствующий термин и употреблял в нашем смысле также термин
«перестановка».Термин же «сочетание» применял ещё Б.Паскаль.
Современная символика сочетаний была предложена разными авторами учебных
руководств лишь в 19 в. В частности, знак факториала (!) был введен в 1808 г. в
одном французском учебнике Х. Крампа. Термин же «факториал» был образован от
слова «фактор» (множитель), происходящего от латинского factor-производящий.
Известно, что формула
m
C n=
n!
приводит к введению :
m!(n-m)!
СM0
=1; 0!=1.
О том, что нуль-факториал должен быть по определению равен единице, писал ещё
в 1656 г. Дж.Валлис в “Арифметике бесконечных “.
Во второй половине 18 в. наметилось большое её оживление, в связи с чем даже
появилось название комбинаторный анализ , однако значитальных результатов
достигнуто не было.Комбинаторика в известной мере способствовала развитию
теории определителей, она нашла важнейшее применение в теории вероятности,
15
параллельно с которой она развивалась в 17-18 в. в. В настоящее время она
применяется также в некоторых вопросах теории групп и в квантовой механике.
Магические квадраты.
Поместим натуральные числа от 1 до 9 в клетках размером 3х3 таким образом,
чтобы все суммы чисел по горизонтали и по вертикали, а также по диагонали
были равные 15 (рис.1). Полученный квадрат, а также другие квадраты с теми же
свойствами называют магическими квадратами.
6
1
8
7
5
3
2
9
4
(рис.1)
Известно, что составлением магических квадратов увлекались в Древнем Китае
несколько тысяч лет назад.Существует единственный магический квадрат размером
3х3, внешне отличные от него варианты можно получить либо зеркальным
отражением чисел относительно осей симметрии рассмотренного квадрата.
С увеличением количества клеток, на которые разбит квадрат, увеличивается
число возможных магических квадратов. Например,число всевозможных
магических квадратов размером 4х4 (с записью в его клетках чисел от 1 до 16 по
оговоренным правилам ) уже 880, а число квадратов 5х5 более 200000.
Пример магического квадрата размером 4х4 приведён на рис.2.
16
3
2 13
5 10 11 8
9
6
7 12
4 15 14 1 (рис.2)
задача: №1.Продолжите составление магических квадратов, изображенных на
рис.3.
4 9 *
4 * *
* * *
* * *
* 5 *
9 5 *
* 5 *
3 5 *
* * *
* * *
4 3 *
4 * *
(рис.3).
16
задача : №2. Используя повороты и осевые симметрии, постройте несколько
магических квалратов размером 4х4, беря за основу квадрат, изображённый на
рис.2.
Теорию вероятностей нередко называют «наукой о случайном».
На многих примерах можно убедиться в том , что массовые случайные явления тоже
имеют свои закономерности, знание которых можно успешно использовать в
практической деятельности человека.
Как наука теория вероятностей зародилась в 17 в. Возникновение понятия
вероятности было связано как с потребностями страхования, получившего
значительное распростронение в ту эпоху, когда заметно росли торговые связи и
морские путешествия, так и в связи с запросами азартных игр. Слово «азарт», под
которым обычно понимается сильное увлечение ,горячность, является
транскрипцией французкого слова hasard ,буквально означающего «случай»,
«риск ».Азартными называются те игры (карты, домино и т.п.), в которых выигрыш
зависит главным образом не от умения игрока, а от случайности.Риск , играющий
важную роль в этих играх, и приводит участников в необычное состояние сильного
увлечения и горячности.
Азартные игры практиковались в ту пору главным образом среди знати, феодалов и
дворян. Особенно распространенной была игра в кости. Было замечено, что при
многократном бросании одного кубика, все шесть граней которого отмечены
соответственно числами 1,2,3,4,5,6, число очков от 1 до 6 выпадает в среднем
одинаково часто, иными словами, выражаясь языком математики, выпадение
определённого числа очков имеет вероятность, равную 1/6 (т.е. отношению числа
случаев) .Вероятность события А в науке обозначают символом Р{A},где Р начальная буква французкого слова Probabilite-вероятность, А -слова Accidentслучайность, пришествие. Итак Р {А} =М/N , где N– общее число всех случаев, а
М-число случаев, благоприятствующих событию.
Если А невозможно, то Р (А)=0, если же А –достоверное событие, то Р(А)=1.
Если 0<= М<=N ,то вероятность Р(А) любого события А можно считать лежащей
между нулём и единицей, т. е.
0 <=Р (А) <=1.
Подсчет всех возможных и благоприятствующих данному событию случаев
нередко представляет большие трудности. Вот почему для решения таких задач
17
некоторые игроки обращались к крупным ученым. Рассказывают, что Х.Гюйгенсу
был задан такой вопрос:'Если бросить одновременно три игральных кости, то какая
сумма очков будет выпадать чаще-11 или 12?' Подсчет всех различных возможных
случаев здесь прост: N=6*6*6=216.
На развитие теории вероятностей оказали влияние более серьёзные потребности
науки и запросы практики, в первую очередь страховое дело, начатое в некоторых
странах ещё в 16 в. Азартные игры были для ученых только удобной моделью для
решения задач и анализа понятий теории вероятности . Об этом заметил ещё
Гюйгенс в своей книге «О расчетах в азартной игре» (1657), которая была первой
книгой в мире по теории вероятностей.
Благодаря теореме Бернулли теория вероятностей шагнула далеко за пределы
вопросов азартных игр и применяется теперь во многих областях практической
жизни и человеческой деятельности. В 1709 г. вышла в свет книга Бернулли
«Примеры искусства ». В своей книге Муавр «Теория случаев» применил
теоретико-вероятностные принципы для вывода числа сочетаний.
В 25-летнем возрасте Чебышев написал первую свою работу –«Опыт
элементарного анализа теории вероятностей»(1845).
Со второй половины 19 в. и поныне русские, а затем советские математики
занимают ведущее место в развитии теории вероятностей. В первом десятилетии
20 в. А.А. Марков положил начало теории зависимых случайных величин, так
называемых «цепей Маркова». Теорию цепей Маркова затем значительно развили
С.Н. Бернштейн, В.И. Романовский, А.Н. Колмогоров и французкие математики Ж.
Адамар и И. Фреше.
А.Н. Колмогоров и А.Я. Хинчини положили начало общей теории случайных
процессов. В настоящее время общепринятой стала аксиоматика, разработанная в
1933 г. А.Н. Колмогоровым. Среди видных современных математиков,
разрабатывающих теорию вероятностей, следует назвать также Б.В. Гнеденко,
внесшего важный вклад и в математическую статистику.
В настоящее время теория вероятностей продолжает развиваться в тесном
контакте с развитием техники и разных ветвей современной теоретической и
прикладной математики.
дом задание-лекция (математический диктант).
18
Урок № 2: «Решение исторических комбинаторных задач».
Цель - Сформировать понятие решение комбинаторных задач, развитие навыков
решения задач, проверка знаний учащихся об истории математике (математический
диктант).
ХОД УРОКА:
В математике существует немало задач, в которых требуется из имеющихся
элементов составить различные наборы, подсчитать количество всевозможных
комбинаций элементов, образованных по определенному правилу. Такие задачи
называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся решением этих
задач, называется комбинаторикой.
Некоторые комбинаторные задачи решали ещё в Древнем Китае, а позднее – в
Римской Империи. Однако как самостоятельный раздел математики комбинаторика
оформилась в Европе лишь в 18 в. в связи с развитием теории вероятностей.
Фигурные числа:
В древности для облегчения вычислений часто использовали камешки. При этом
особое внимание уделялось числу камешков, которые можно было разложить в виде
правильной фигуры. Так появились квадратные числа (1, 4, 16, 25, …).На рис.1
показано правило их образования.
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0
1,
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
2*2=2 2 =4,
3*3=3 2 =9,
4*4=4 2 =16,
5*5=5 2 =25,…
рис. 1.
Любое n –е по порядку квадратное число вычисляется по формуле N=n 2 .
Были сконструированы треугольные (1, 3, 6, 10,15, . . .) и пятиугольные (1, 5, 12,
22, . . .) числа. На рис. 2 и 3 показан способ образования этих чисел.
Любое n-e по порядку треугольное число можно найти по формуле
N= n (n+1)/2,
19
а любое n-e по порядку пятиугольное – по формуле
n (n-1)
N=n+3*-----------------2
0
0
0
0
0 0
0
0 0
0 0 0
1,
1+2=3,
1+2+3=6,
0
0
0
0
0 0 0
0 0
0
0 0
1+2+3+4=10,
0 0
0
0
0
0
0 0
0
0 0
1+2+3+4+5=15, . . .
рис. 2.
0
0
0
1,
0
рис.3.
0 0
2+3*(2*(2-1)/2)=5, . . .
Задача № .1Найдите седьмое по порядку: 1) квадратное число; 2) треугольное число;
3) пятиугольное число.
Решение:
1) По формуле N=n2 при n=7 находим N=72=49.
2) По формуле N =n*(n+1)/2 при n=7 находим N =7*(7+1)/28.
3) По формуле N =n+3*n*(n-1)/2 при n=7 находим N =7+3*7*(7-1)/2=70.
Задача № 2. Запишите n-e по порядку квадратное число: 1) n=20;2) n=25;3) n=31;
4) n=50.
Задача № 3. Каким по порядку квадратным числом является число:
1) 169; 2) 225; 3) 324; 4)3600?
Задача № 4. Запишите n-e по порядку треугольное число, если: 1) n=20; 2) n=33.
Задача № 5. Запишите n-e по порядку пятиугольное число, если: 1) n=5; 2) n=6.
20
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ.
1) Как переводится с латинского термин «комбинаторика»? [сочетать, соединять]
2) Кто первый изложил учение о биномиальных коэффициентах? [Б. Паскаль]
3) В каком году стали употреблять термин 'комбинаторика'? [1666 г.]
4) Кем в первые был введён знак (!) и в каком году ? [1808 г., Крампа]
5) Чему равен 0! ? [1]
6) Чему равно Сm0 ? [1]
7) С каким учёным наука теория вероятности шагнула вперёд ?[Бернулли]
8) Кто из русских математиков большое влияние в теории вероятности ?[Марков,
Чебышев, Колмогоров]
9) В каких приделах лежит вероятность Р(А) ?[ от 0 до 1 ]
21
УРОК № 3 «КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ. ПРАВИЛО
УМНОЖЕНИЯ».
Цель - Сформировать понятие - комбинаторных задач и правило умножения,
применение к решению задач, развитие навыков решения комбинаторных
задач.
ХОД УРОКА:
В повседневной жизни нередко перед нами возникают проблемы, которые имеют не
одно, а несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор,
очень важно не упустить ни один из них. Для этого надо осуществить перебор всех
возможных вариантов. Такого рода задачи называют комбинаторными.
Задача № 1. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7?
Решение: Для того чтобы не пропустить и не повторять , будем в порядке
возрастания.
11, 14, 17, 41, 44, 47, 71, 74, 77. Таким образом, будет 9 чисел.
Задача № 2. На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник, кекс, а
запить он может кофе, соком или кефиром. Из каких вариантов завтрака Вова может
выбирать ?
Решение: Соберём все варианты: кофе –плюшка,
кофе-бутерброд,
сок-плюшка, кефир-плюшка
сок-бутерброд, кефир-бутерброд,
кофе-пряник,
сок-пряник, кефир-пряник,
кофе-кекс,
сок-кекс,
кефир-кекс.
Всего 3 столбика и 4 строчки, значит всего вариантов будет 3*4=12.
Как мы видим, эти задачи на общем правиле умножения.
ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ.
Для того чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения
двух испытаний А и В следует перемножить число всех исходов испытания А на
число всех исходов испытания В.
Задача № 3.Сколько трёхзначных четных чисел можно составить из цифр 0,
1,2,3,4,5,6, если цифры могут повторяться?
Решение: Например число АВС А взять любую цифру(кроме 0),то есть 6, вместо В
взять-7 цифр, вместо С только 2,4,6,0,то есть 4.
22
Получаем 6*7*4=168.
Ответ:168.
Задача № 4. 1) Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1,3,5,7,9?[25]
2) Сколько из них чисел кратных пяти?[5]
Задача № 5.Несколько стран решили использовать для своего государственного
флага символику в виде четырёх вертикальных полос одинаковой ширины разных
цветов - белого, синего, красного, зелёного. У каждой страны свой флаг.
1) Сколько стран могут использовать такую символику?[24]
2) Сколько стран могут использовать такую символику с первой белой
полосой?[6]
домашнее задание:
Задачи:1) У Ирины пять подруг: Вера, Зоя, Марина, Полина и Светлана. Она
решила двух из них пригласить в кино. Укажите все возможные варианты, сколько
таких вариантов?[10]
3) Сколько существует двузначных чисел, имеющих обе четные цифры
(0,2,4,6,8)?[20]
23
УРОК № 4 « ДЕРЕВО ВАРИАНТОВ».
Цель - Сформировать понятие дерево вариантов, применение к решению задач,
развитие логического мышления.
ХОД УРОКА:
1) Проверка домашнего задания (ученик у доски объясняет решение).
2) Объяснение нового материала.
Оказывается, правило умножения для трёх, четырёх и т. д. испытаний можно
объяснить, не выводя за рамки плоскости, с помощью геометрической картинки
(модели), которую называют деревом возможных вариантов. Она, во-первых, как
всякая картинка, наглядна и, во-вторых, позволяет все учесть, ничего не
пропустив.
Задача № 1. Несколько стран решили использовать для своего государственного
флага символику в виде трёх горизонтальных полос одинаковой ширины разных
цветов - белого, синего, красного. Сколько стран могут использовать такую
символику при условии, что у каждой страны – свой флаг?
флаг
?____
?____
цвет верхней полосы
?____
белый
синий
красный
--------
--------
-----------
--------
--------
-----------
/
/
/
/
белый
белый
синий
синий
красный
красный
синий
красный
белый
красный
белый
синий
--------
---------
--------
---------
/
/
белый
белый
синий
красный
красный
синий
/
синий
белый
красный
/
/
/
--------
---------
/
/
синий
красный
красный
красный
белый
синий
белый
синий
Таким, образом, получилось 6 комбинаций.
24
белый
Построенная схема напоминает перевёрнутое дерево.
Для следующего примера мы приведём три различных способа решения: прямым
перебором, с помощью дерева вариантов и по правилу умножения.
Задача № 2. В коридоре – три лампочки. Сколько имеется различных способов
освещения коридора?
Решение: 1) Пронумеруем лампочки и будем писать + или – в зависимости от того,
горит или не горит очередная лампочка. Тогда все способы освещения можно
просто перечислить:
+ + +, + + -, + - +, + - - , - + +, - + -, - - + ,- - -. Всего 8 способов.
2)Дерево возможных вариантов:
(+ горит) первая лампочка (- не горит)
/
/
(+)вторая лампочка(-)
/
(+) третья
/
+++
(+)вторая лампочка (-)
/
(-)
/
++-
/
(+)третья(-)
/
+-+
(+)третья(-)
/
+--
/
(+)третья(-)
/
/
/
/
-++
-+-
--+
---
Всего 8 способов.
3) Первая лампочка может или гореть, или не гореть, т. е. имеется два возможных
исхода. Но то же самое относится и ко второй, и к третьей лампочке. По правилу
умножения получаем 2*2*2=8.
Ответ: 8.
Задача № 3. В семье – 6 человек, а за столом в кухне – 6 стульев. В семье решили
каждый вечер, ужиная, рассаживаться на эти 6 стульев по-новому. Сколько дней
члены семьи смогут делать это без повторений?
Решение: Для удобства пронумеруем стулья №1-6 и будем считать, что будут
рассаживаться поочерёдно. С начало 6 вариантов, потом 5, далее 4, 3,2,1. По
правилу умножения :6*5*4*3*2*1=720
Таким образом, семья может играть почти 2 года.
Ответ:720.
Задача № 4.Десять различных писем раскладываются по одному в десять конвертов.
Сколько существует способов раскладывания?[3628800]
25
Задача № 5.Одновременно происходит выборы мэра города и префекта округа.
Кандидатура на должность мэра – Алкин, Балкин, Валкин, а на должность префекта
– Эшкин, Юшкин, Яшкин. Нарисуйте дерево возможных вариантов голосования и
определите с его помощью число различных исходов голосования?[9]
Задача № 6. Учащиеся 9 класса решили обменяться фотографиями. Сколько
фотографий для этого потребуется, если в классе 24 учащихся?[552]
Домашнее задание:
Задача № 1.Данила, Андрей и Наташа собрались потренироваться в бросании мяча
в баскетбольную корзину. У них только один мяч, и им надо договориться, кто за
кем будет бросать. Сколькими способами они могут занять очередь?[6](построить
дерево)
Задача №2.Пётр решил пойти на новогодний карнавал в костюме мушкетёра. В
ателье проката ему предложили на выбор: 5 пар брюк, 6 камзолов, 3 шляпы, 2 пары
сапог. Сколько различных карнавальных костюмов можно составить из этих
предметов?[180]
26
УРОК № 5 ТЕМА: “ФАКТОРИАЛЫ .”
Цель – Сформировать понятие факториала, развитие вычислительных навыков,
применение к решению уравнений и упрощению выражений.
ХОД УРОКА:
1) Проверка д/з(само проверка с доски при чём проверяют друг у друга)
2) новый материал и решение задач
Как мы видим, условия задач - разные, а решения, и полученные ответы, по сути
дела, одинаковы (по крайней мере по форме). Удобно поэтому ввести и одинаковое
обозначения для таких ответов.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Произведение подряд идущих первых натуральных чисел
обозначают n! и называют « ЭН ФАКТОРИАЛ»:
n!=1*2*3*. . .(n-2)(n-1)n.
(по-английски, одно из значений слова «factor» перевод «множитель»).
Считается, что 0!=1
Приведём несколько первых значений для n!: 1!=1, 2!=1*2=2, 3!=1*2*3=6,
4!=1*2*3*4=24, 5!=1*2*3*4*5=24*5=4!*5=120 и т. д.
Как же сформулировать общее утверждение, частных случаями которого являются
решения из возможных вариантов.
ТЕОРЕМА: Множество из n различных элементов можно перенумеровать номерами
от 1 до n ровно различными способами.
Каждый способ нумерации от 1 до n, о котором идёт речь в теореме, часто
называют перестановкой данного n – элементного множества. Действительно,
можно считать, что каждая такая нумерация просто расставляет, или переставляет,
все элементы множества в некотором порядке.
Число перестановок множества из n элементов обозначают Pn . Значит,
приведённую теорему можно записать в виде формулы
Pn =n!
Задача № 1.Вычислите: а) 7! б) 8! в) 6!-5! г) 5!/5 [5040,40320,600,24]
Задача № 2. Делится ли 11! на: а) 64; б) 25; в) 81; г) 49?[да, да, да, нет]
Задача № 3. На сколько нулей оканчивается число: а)10!; б) 12!; в) 15!; г) 26!?[2, 2,
3, 6]
27
Задача № 4. Сократите дробь:
а) __n!__
б) __n!___
в) _(2k+1)!_
(n-1)!
2!(n-2)!
[n, n(n-1)/2, 2k(2k+1)]
(2k-1)!
Задача № 5. Упростите выражение:
а) _(n+2)!(n2-9)_
(n+4)!
б) _25m5-m3__ * (5*(5m-2)!)
(5m+1)!
Задача № 6.Решите в натуральных числах уравнение:
а) n!=7(n-1)! б) (k-10)!=77(k-11)! [7, 87]
Задание по группам:
1)Вычислите: а)(7!-5!)/6!;
б)
1) Вычислите: а) (6!-4!)/3!
б) 5!*3!
5!
3!+4!
6!
2) Упростите выражение:
а)(n+1)!
n!
2) Упростите выражение:
n!
a) (n-1)!
n!
n(n-1)
(n+2)!
(n-2)!
1
1
n!
(n+1)!
1
(k-1)!
1
k!
Задание проверяется на уроке с объяснением ошибок сильными учениками.
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:
1) Вычислите: а) 10!/5!; б) 11!/5!*6!;
2) Сократите дробь:
в)51!/49!.[30240, 462, 2550]
_(4m-1)!_
(4m-3)!
[(4m-1)(4m-2)]
3) Решите в натуральных числах уравнение: (m+17)!=420(m+15)! [4]
28
УРОК № 6”РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ.”
Цель – Закрепление изученного материала. Проверка знаний по темам:
факториал, правило умножения, дерево вариантов.
Ход урока:
1) проверка д/з, устный опрос понятия факториала,
рассуждения: «Зачем нужен факториал?»
устный счёт: Вычислить: 3!; 4!-2!; 5!; 0!; 2!*3
2) решение задач
Задача № 1.Современные пятиборцы в течение двух дней участвуют в соревновании
по 5 видам спорта: конкур (кросс на лошадях), фехтование, плавание, стрельба, бег.
Сколько существует вариантов порядка прохождения видов
1)
соревнования?[5*4*3*2=120]
Сколько вариантов, если последним должен быть бег? [4*3*2=24]
2)
Задача № 2. Группа туристов планируют осуществить поход по маршруту Антоново
– Борисово – Власово – Грибово в Борисово можно сплавляться по реке или идти
пешком. Из Борисово во Власово можно пройти пешком или доехать на
велосипедах. Из Власово в Грибово можно доплыть по реке, доехать на велосипедах
или пройти пешком.
1)
Нарисуйте дерево возможных вариантов?
2)
Сколько вариантов похода?[12]
3)
Сколько вариантов не пешком?[2]
4)
Сколько вариантов хоть раз на велосипеде?[8]
Задача № 3.Вычислите: а) 14!/(7!3!4!)
б) 7!4!/10! в)8!/(3!5!)-9!/(2!7!)
Задача № 4.Решите уравнение:_m!-(m-1)!_= _1_
(m+1)!
6 [2,3]
Тест по изученному:
Вариант № 1.
Вариант №2.
1)Из села Дятлова в село Матвеевское ведут
29
1)В кафе имеются три первых
три дороги, а из села Матвеевское в село
блюда, пять вторых и два третьих.
Першино – четыре дороги. Сколькими
Сколькими способами посетитель
способами можно попасть из Дятлова в
кафе может выбрать обед,
Першино через Матвеевское?
состоящий из первого, второго
а)10 б) 15 в) [12 ]
и третьего.
а) 25 б) [30 ] в) 20
2)Сколько всех четырёхзначных чисел
2) Сколько трёхзначных четных
можно составить из цифр 1, 5,6,7?
чисел из цифр 0,1,2,3,4,5,6, если
цифры могут повторяться?
а)250 б)[256] в) 300
а) [168] б) 178 в)200
3)У Аси есть любимый костюм,
3)Руководство некоторой страны
в котором она ходит в школу. Она
решило сделать свой флаг таким,
одевает к костюму белую, голубую,
что на одноцветном прямоугольном
розовую или красную блузку, на ноги
фоне в одном из углов помещается
босоножки или туфли. Нарисуйте
круг другого цвета. Цвет решено
дерево возможных вариантов?[24]
выбрать: красный, желтый,
зелёный. Нарисуйте дерево
вариантов?[24]
4) Вычислите: 17!/(5!*9!)
4) Вычислите: 14!/(6!*8!)
5) Решите уравнение: 7(n-1)!=n!
5) Решите уравнение: (k-9)!=(k-10)!
30
УРОК № 7.”ПЕРЕСТАНОВКИ БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ’.
Цель -
Сформировать понятие перестановок без повторений.
Применение к решению задач, развитие математического мышления.
Воспитание интереса к предмету.
ХОД УРОКА:
1) изучение нового материала
Задача № 1.Семиклассники Анна, Борис, Виктор и Галина побежали на перемене к
теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими способами подбежавшие к
столу семиклассники могут занять очередь для игры в настольный теннис?
Решение: по правилу произведения 4*3*2*1=24 способа.
В задаче были подсчитаны всевозможные комбинации из четырёх элементов,
отличающиеся друг от друга только порядком расположение в них элементов. Такие
комбинации называются перестановками из нескольких элементов.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Комбинации из n элементов, отличающиеся друг от друга только
порядком расположения в них элементов, называются перестановками из n
элементов.
Число всевозможных перестановок из n элементов обозначают Рn (Р- первая буква
французского слова permutation – перестановка). Читается: «Число перестановок из
эн элементов» или «Пэ из эн».
С помощью правила произведения можно обосновать, что Рn= n*(n-1)*… *3*2*1.
После применение переместительного закона умножения формулу в виде:
Pn=1*2*3*…*(n-1)*n.
Для сокращённой записи произведения первых n натуральных чисел n!
Рn= n!
Задача № 1.Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу: 1) 3
человека, 2) 5 человек?
Решение: 1) Pn= 3!=6 2) Pn=5!=120
Задача №2. Сколько различных пятизначных чисел, все цифры которых различны,
можно записать с помощью цифр 4, 5, 6, 7, и 8?
Решение: Pn=5!=120
31
Задача № 3.Сколькими способами можно расставить на полке 8 книг, если среди них
2 книги одного автора, которые при любых перестановках должны стоять рядом?
Решение: 2 книги одного автора одной книгой, тогда число перестановок из 7
элементов. Pn= 7!=5040 но в каждой этой перестановке книги одного автора будут
меняться местами то 5040*2=10080 способов.
Задача № 4.Разложить на простые множители числа 30 и 210.Сколькими способами
можно записать в виде произведения простых множителей числа?
Решение: 30=1*2*3*5 Pn=4!=24
210=1*2*3*5*7 Pn=5!=120
Задача № 5.Сколькими способами можно обить 6 стульев тканью, если имеются
ткани шести цветов и все стулья должны быть разного цвета?[6!=720]
Задача № 6.Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается цифрами 5, 7, 8, но
забыла в каком порядке. Укажите наибольшее число вариантов, чтобы позвонить
подруге?[3!=6]
Задача № 7.Сколькими способами можно закрасить 6 клеток так, чтобы 2 клетки
были красные, а другие - белым, чёрным, зелёным, синим?[5!=120]
Задача № 8.Вычислите: 1) Р6 – Р5
5!
2)
Р 20 3)
Р4Р16
Рх
Рх-2Р2
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:
1) Сколькими способами можно записать в виде произведение простых
множителей: а)12 б) 24 в)120 [3!=6, 3!=6, 4!=24]
2) Сколькими способами можно разложить 8 писем по разным
конвертам?[8!=40320]
3) В расписании на понедельник 6 уроков: алгебра, геометрия, биология, история,
физкультура, химия. Сколькими способами составить расписание, чтобы 2 урока
математики стояли рядом? [5!*2=240]
32
УРОК№ 8“ПЕРЕСТАНОВКИ С ПОВТОРЕНИЯМИ”.
Цель – Сформировать понятие перестановок с повторениями,
применение к
решению задач, развитие вычислительных навыков и интереса к предмету.
Ход урока:
1) проверка дом. задания
2)объяснение нового материала
Рассмотрим перестановки с повторениями.
Пусть имеем k1 - элементы 1 типа
k2 – элементы 2 типа и т. д.
km – элементы m типа.
Причём k1+k2+…+km= n, тогда перестановкой с повторением из n элементов,
называется упорядоченный набор или соединения содержащий элементы всех
типов.
МАМА
1 тип – 2б. м 2 тип – 2б. а
k1=2 k2=2 2+2=4 буквы n=4
мама маам амма амам ммаа аамм - 6 перестановок с повторениями
Pn(k1, k2, …,km)- число всех перестановок.
Зафиксируем любую произвольную перестановку и будем временно считать
одинаковые элементы временно различные, тогда переставляя всевозможным
образом, элементы 1 типа, мы получим k1! данных перестановок, переставляя
элементы 2 типа, мы получим k2! перестановок ….. m – типа, мы получим km!
перестановок, со всеми элементами любого типа, то по правилу произведения мы
получим все возможных перестановок Pn(k1 ,k2 ,.. .km) k1!*k2!*…km!
С другой стороны мы получим все перестановки из n элементов, а число все
возможных перестановок n!
Pn(k1, . . . ,km)= n!______
k1!*…*km!
33
P4(2,2)=__4!__
2!*2!
Задача №1.Сколько различных слов можно составить из букв слова ИНИЦИАТИВА
и- 4 н- 1 ц- 1 а- 2 т- 1 ь- 1
P10(4,1,1,2,1,1)=___10!__=5*6*7*8*9*5=75600
4!*2!
Задача № 2. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове
«математика»?
Решение: В слове «математика» 10 букв (м – 2, а – 3, т – 2, е, и, к – 1), значит
перестановка букв получится Р(2, 3, 2, 1, 1, 1)=
10!__________ = 151200 слов
2!*3!*2!*1!*1!*1!
Задача № 3.Сколькими способами можно разложить 28 различных предметов по 4
различным ящикам, так, чтобы в каждом оказалось по 7 предметов?
Решение: Р(7, 7, 7, 7)=
28!____
7!*7!*7!*7!
Задача № 4.Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2 коня, 2 слона,
2 ладьи, ферзя и короля) на первой линии шахматной доски?
Решение: Всего 8 элементов, имеющий состав (2, 2, 2, 1, 1).
Р(2, 2, 2, 1, 1)=
8!________ = 5040
2!*2!*2!*1!*1!
Задача № 5. Сколькими способами можно в строчку записать 6 + и 4 - ?
Решение: Всего элементов 10, имеющий состав (6, 4).
Р(6, 4)=
10! =210
6!*4!
Задача № 6. Сколько слов можно получить, переставляя буквы слова
«парабола»?[6720]
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ: формула и задачи
Задача №1. Сколько слов можно получить, переставляя буквы слова
«метаморфоза»?[4989600]
34
Задача № 2. У мамы было 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина. Каждый день она давала
ребенку по одному фрукту. Сколькими способами она могла это сделать?[1260]
УРОК №9 'РАЗМЕЩЕНИЕ БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ'.
Цель - Сформировать понятие размещений без повторений,
применение к решению задач, развитие навыков по комбинаторики.
ХОД УРОКА:
1)проверка дом. зад.
2)новый материал
Пусть имеется 4 шара и 3 пустых ячейки. Обозначим шары буквами a, b, c, d. В
пустые ячейки можно разместить 3 шара из этого набора. Например, a, b, c;
a, c, b;
b, a, c; d, c, b. Каждую упорядоченную тройку, которую можно составить
из 4 элементов, называется РАЗМЕЩЕНИЕМ из 4 элементов по три.
ОПРЕДЕНЕНИЕ: Размещением из n элементов по k (k<=n) называется любое
множество, состоящее из любых k элементов, взятых в определённым порядке из
данных n элементов.
Число размещений из n элементов по k обозначают Ank (читают А из n по k).
Аn1=n, An2=n(n-1), An3=n(n-1)(n-2),….,
Ank=n(n-1)(n-2)…(n-(k-2))(n-(k-1)).
Получаем формулу: Ank=
n!__
(n-k)!
Задача № 1. Сколько чисел можно составить из чисел 1, 2, 3, 4. Если числа
двузначные?
Решение: Всего элементов 4, а нужно брать по 2. А42= 4! =12 чисел
2!
Задача № 2. Сколько всего 7 значных телефонных номеров в каждом из которых
цифры не повторяются?
Решение: Всего цифр 10, а нам нужно брать 7. А107= 10! =604800 номеров.
3!
35
Задача № 3. Из группы в 15 человек выбирают четырёх участников эстафеты
800+400+200+100. Сколькими способами можно расставить спортсменов по этапам
эстафеты?
Решение: Так как порядок следования выбранных спортсменов существенен, то
перед нами размещения – из 15 элементов по 4.
А154=
15! =
(15-4)!
15! =15*14*13*12=32760 способов.
11!
Задача № 4. Учащиеся второго класса изучают 8 предметов. Сколькими способами
можно составить расписание на один день, чтобы в нём было 4 различных
предмета?
Решение: Значит, имеем размещение из 8 элементов по 4. А84= 8! =8*7*6*5=1680
(8-4)!
Задача № 5. Сколько трёхзначных чисел (без повторений)можно составить из цифр
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6?
Решение: Число размещений из 7 элементов по 3, но нужно исключить те
размещения, у которых первым элементом является цифра 0. Их число будет из 6 по
2. А73-А62=7*6*5-6*5=180.
Задача № 6.Сколькими способами может разместиться семья из трёх человек в
четырёхместном купе, если других пассажиров нет?[24]
Задача № 7. Сколькими способами могут занять 1, 2, 3 места 8 участниц финального
забега на дистанции 100 м.?[336]
Задача № 8.Вычислите: 1) А315 +А154 2) А85 –А84
А515
А83
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ: формула, определение и задачи.
Задача №1. Из 30 участников собрания надо выбрать председателя и секретаря.
Сколькими способами можно это сделать?[870]
Задача № 2. В цехе работают 8 токарей. Сколькими способами можно поручить 3 из
них изготовление 3 различных видов деталей?[336]
36
УРОК №10'РАЗМЕЩЕНИЕ С ПОВТОРЕНИЯМИ'.
Цель– Сформировать понятие размещения с повторениями,
применение к решению задач, развитие навыков в комбинаторики.
ХОД УРОКА:
1) проверка домашнего задания
2) новый материал
Рассмотрим задачу: Найдём число слов состоящих из 4 букв, составленных из 33
букв русского алфавита, и таких, что любые две соседние буквы этих слов
различны. Первую букву 33, вторую 32, третью 32, четвёртую 32. Поэтому общее
число способов 33*32*32*32=1081344.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Кортежи длины k, составленные из элементов n- элементного
множества, называется размещениями с повторениями из n элементов по k.
Это число обозначают
Ank=nk
Задача № 1.Сколько пятизначных номеров можно составить из девяти цифр 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9?
Решение: Такие номера длиной 5, составленные из элементов множества из 9
элементов. A95=95=6561
Задача № 2. Сколькими способами можно разделить 6 различных конфет между
тремя детьми?
Решение: Такая длина 6, элементов 3. A36=36=729
Задача № 3.На плоскости отметили 5 точек. Их надо обозначить латинскими
буквами. Сколькими способами это можно сделать(26 букв)?
Решение: Точек 5, всех элементов 26. A265=1188137.
Задача № 4.Сколько существует пятизначных номеров,
37
не содержащих цифр 0 и 8? [A85=85=32768]
составленных из цифр 2, 3, 5, 7? [A45=45=1024]
Задача № 5.Сколькими способами можно разложить 12 различных деталей по 3
ящикам? [312]
Задача № 6.Имеется набор из 16 карточек. На четырёх из них написана буква «а», на
четырёх- буква «б», на четырёх – буква «в», и на четырёх – буква «г». Сколько
различных комбинаций букв можно получить, выбирая из набора 4 карточки и
располагая их в некотором порядке? [164=65536]
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ: определение, формула, задача.
Задача: В некотором сказочном королевстве не было двух человек с одинаковым
набором зубов. Каково могло быть наибольшее число жителей этого королевства,
если у человека 32 зуба?[232]
38
УРОК № 11'СОЧЕТАНИЯ БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ'.
Цель - Сформировать понятие сочетаний без повторений,
применение к решению задач, развитие вычислительных
навыков.
ХОД УРОКА:
1) проверка дом. зад.
2) новый материала
Пусть имеются 5 гвоздик разного цвета. Обозначим цифрами 1, 2, 3, 4, 5. Требуется
составить букет из 3 гвоздик, букеты: 123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 245, 245, 345.
Мы указали все возможные способы, говорят, что мы составили все возможные
сочетания из 5 элементов по 3.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Число всех всех выборов k элементов из n данных без учёта
порядка обозначают Cnk и называют числом сочетаний из n элементом по k.
Символ Cnk в русской транскрипции читается так: «цэ из эн по ка».
Для сочетаний из n элементов по k справедлива формула
Cnk=
n!___
k!(n-k)!
Задача № 1.Из 15 членов туристической группы надо выбрать 3 дежурных.
Сколькими способами можно сделать этот выбор?
Решение: Речь идёт о сочетаниях из 15 элементов по 3. C153= 15!___=455.
3!(15-3)!
Задача № 2.Из вазы с фруктами, в которой лежит 9 яблок и 6 груш, надо
выбрать 3 яблока и 2 груши. Сколькими способами можно сделать такой
выбор?
39
Решение: Выбрать 3 яблока из 9 можно С93 , а выбрать 2 груши из 6
можно С62.
С93*С62= 9!__ *
6!__ =1260
3!(9-3)! 2!(6-2)!
Задача № 3. В классе 7 человек успешно занимается математикой.
Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в
олимпиаде?
Решение: Выбрать 2 из 7. С72= 7!___ =21
2!(7-2)!
Задача № 4. В магазине «Филателия» продаётся 8 различных наборов
марок, посвящённых спортивной тематике. Сколькими способами можно
выбрать из них 3 набора?
Решение: Выбрать 3 из 8. С83=
8!__ =56
3!(8-3)!
Задача № 5. Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется
прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может
выбрать из них 6 книг?
Решение: Выбрать 6 из 10. С106=
10! =210.
6!*4!
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:
Задача №1. «Проказница Мартышка, Осёл, Козёл и косолапый Мишка
затеяли сыграть квартет». Мишке поручили принести со склада 8 какихнибудь, попавшихся под лапы, музыкальных инструментов из
имеющихся 13. Сколько способов выбора есть у Мишки?[1287]
Задача №2. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки
территории требуется выделить 4 мальчиков и 3 девочек. Сколькими
способами это можно сделать?[400400]
40
УРОК №12'СОЧЕТАНИЯ С ПОВТОРЕНИЯМИ'.
Цель - Сформировать понятие сочетания с повторениями,
применение к решению задач, развития вычислительных
навыков, воспитания интереса к предмету.
Ход урока:
проверка
1) дом. зад.
2) новый материал
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Сочетанием с повторениями из n элементов по k элементов
называется любой неупорядоченный набор k элементов в котором каждый из этих k
элементов является элементом одного из данных n типов элементов.
Формула для вычисления сочетаний с повторениями: Cnk=Ckn+k-1
Задача № 1.Сколько костей домино можно сделать, используя числа 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7?
Решение: всего 7 по 2. С72=С27+2-1=С82=
8!___= 28
2!(8-2)!
Задача № 2.Сколько наборов из 7 пирожных можно составить, если в продаже
имеются 4 сорта пирожных?
Решение: всего 4 по 7. С47=С74+7-1=С107=
10!__=120
7!(10-7)!
Задача № 3.В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими
способами можно купить в нём 12 открыток? 8 открыток? Сколькими способами
можно купить 8 различных открыток?
Решение: всего 10 по 12. С1012=С1210+12-1=С2112=
21!____=293930
12!(21-12)!
всего 10 по 8. С108=С810+8-1=С178=24310
всего 10 по 8. С108=45
41
Задача № 4.Сколько можно построить различных прямоугольных параллепипедов
если длина каждого его ребра может выражаться любым целым числом от 1 до 10?
Решение: всего 10 по 3. С103=С310+3-1=С123=220
Задача № 5. В цветочном магазине продаются цветы 6 сортов. Сколько можно
составить различных букетов из 10 цветов в каждом букете, отличается лишь
расположением цветов, считается одинаковым.
Решение: С610=С106+10-1=С1510=3003
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:
Задача № 1. Сколько существует треугольников, длины сторон которых принимают
одно из следующих значений: 4, 5, 6, 7 см?[20]
Задача № 2. Для премии на математической олимпиаде выделено 3 экземпляра
одной книги, 2 экземпляра другой книги и 1 экземпляр третьей книги. Сколькими
способами можно будет вручить премии, если участников 20 человек?[177100]
42
УРОК № 13 «ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ. БИНОМ
НЬЮТОНА.»
Цель- Используя историко – генетический подход, познакомить
учащихся с числовой таблицей, называемой треугольником Паскаля,
продемонстрировать эффективный приём. Сформировать понятие Бинома
Ньютона, вывод формулы Бинома Ньютона, применение к решению
задач, воспитание интереса.
ХОД УРОКА:
1) проверка д / з
2) новый материал
Треугольником Паскаля называют особую числовую таблицу треугольной формы.
Она была известна ещё учёным Древней Индии, но её заново открывали и изучали
многие математики, жившие в разные времена.(Простейшие случаи этой формулы
сейчас изучают в школе: (а+в)2=а2+2ав+в2, (а+в)3=а3+3а2в+3ав2+в3.)
Таблица содержит коэффициенты членов многочленов, получавшихся при
возведении двучлена в степень.
Эту таблицу назвали треугольником Паскаля в честь выдающегося французского
математика и философа Блеза Паскаля, жившего в 17 в., который посвятил ей своё
сочинение «Трактат об арифметическом треугольнике».
Строится треугольник Паскаля:
1
№ строки 0
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
1
3
2
1
6
10
1
4
10
3
1
5
4
1
5
Ученики самостоятельно строят ещё 5 строк.
Используя треугольник Паскаля можно вычислять Сmn.
Число, расположенное в 5-й строке на 2-ом месте, обозначается С52=10.
Задача № 1. а) найдите с помощью треугольника Паскаля: С74, С68, С90, С33.
43
б) запишите в символическом виде первые пять строк треугольника
Паскаля.
в) сравните: С52 и С35, С61 и С56, С94 и С59.
Треугольник Паскаля самым непосредственным образом связан с формулой, по
которой выражение (а+в)n, где n-натуральное число.
Задача № 2.выведите формулу (а+в)3
Задача № 3.Составьте частное двух чисел, выясните, что больше:
а) С103 или С59 б) С84 или С37
Числа, стоящие в строках арифметического треугольника, встречаются при
возведении в степень двучлена (а+в). Например,
(а+в)2=а2+2ав+в2,
(а+в)3=а3+3а2в+3ав2+в3.
Коэффициенты 1, 2, 1- это числа, стоящие в третьей строке треугольника, т. е.
С02, С21, С22, а 1, 3, 3, 1- числа, стоящие в четвёртой строке той же таблице, т.е.
С30, С31, С32, С33.
Это замечание делает гипотезу, что для любого n истинно равенство
(а+в)n=С0nаn +C1nan-1в +…+Сknan-kвk +…+Сnnвn.
Эту формулу называют формулой Бинома Ньютона, хотя она была известна задолго
до Ньютона уже упоминавшемуся Гиясэддину Каши.
Задача №4.В разложении (хVх+1/х4)n биномиальный коэффициент третьего члена на
44 больше коэффициента второго члена. Найдите член, не содержащий х.
Решение: из условия задачи следует: Сn2=Сn1+44, или n(n-1) =n+44
2
решаем это уравнение относительно n, найдём n=11. Общий член разложения
можно записать в виде С11m х3/2(11-m)-4m . По условию задачи 3/2(11-m)-4m=0, откуда
m=3.Следовательно, искомый член равен С311.
Задача №5 Найдите коэффициент при х8 в разложении (1+х2-х3)9
Решение: Имеем: (1+х2-х3)9=1+С19(х2-х3)+С29(х2-х3)2+С39(х2-х3)3+С49(х2-х3)4+С59(х2х3)5+….+(х2-х3)9
рассматривая слагаемые правой части, легко заметить, что х8 содержится лишь в
четвёртом и пятом членах. Используя это, без труда находим коэффициент при х 8.
Он равен 3С39+С49 .
44
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:
Задача №1.Используя равенство (а+в)4=(а+в)3(а+в) выведите формулу и проверьте
её с треугольником Паскаля.
Задача №2. Составьте частное двух чисел, выясните, что больше?
С510 или С107
45
УРОК № 14 «РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ.
Цель – Закрепление изученного пройденного материала, развитие навыков, при
решение комбинаторных задач, подготовка к проверочной работе.
ХОД УРОКА:
1) повторение и написание формул комбинаторики
2) решение задач на использование этих формул
Задача № 1. В меню в столовой предложены на выбор 3 первых, 5 вторых и 4
третьих блюда. Сколько различных вариантов обеда, состоящего из одного первого,
одного второго и одного третьего блюда, можно составить из предложенного меню?
Решение: по правилу произведения 3*5*4=60
Задача № 2. Имеется 6 видов овощей. Решено приготовить салат из 3 видов. Сколько
различных вариантов салатов можно приготовить?
Решение: по правилу произведения 6*5*4=120
Задача № 3.Семиклассники Анна, Борис, Виктор и Галина побежали на перемене к
теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими способами подбежавшие к
столу семиклассники могут занять очередь для игры?
Решение: по правилу произведения 4*3*2*1=24
Задача № 4. Перечислите все возможные цветовые сочетание брюк, свитера и
ботинок, если в гардеробе имеются брюки трёх цветов: серые, бежевые и зелёные;
свитера двух расцветок: песочный и малиновый; ботинки двух цветов: чёрные и
коричневые. Составьте дерево вариантов?[12]
Задача № 5.Сколько различных трёхзначных чисел можно записать с помощью
цифр: 1 и 2? Составьте дерево вариантов?[27]
Задача № 6. Вычислить: 1) 13!/11! [156] 2) (6!*14)/8! [1/4]
3) 6!-5! [600]
Задача № 7.Решите равнение: (х-10)!=77(х-11)![87]
46
Задача № 8. Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается цифрами 5, 8, 6, но
забыла, в каком порядке эти цифры следуют. Укажите, сколько раз ей придётся
перебрать, чтобы дозвониться подруге.[3!=6]
Задача №9. 8 участников шахматного турнира играют в комнате, где имеются 4
столика. Сколькими способами можно расположить шахматистов за столиками,
если заранее известны участники всех партий?[Р4=4!=24]
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:
Задача №1. Сколькими способами 9 человек могут встать в очередь в театральную
кассу?[9!=362880]
Задача №2. Найдите значение выражения: а) 8!/(6!*2!)[28]
б) 12!/(9!*3!) [220]
Задача №3. Антон, Борис и Василий купили 3 билета на 1-е, 2-е и 3-е места первого
ряда на футбольный матч. Сколькими способами они могут занять имеющиеся
места? Составьте дерево вариантов?[6]
Задача №1.Сколько различных чисел можно получить, переставляя числа 2 233 344
455?
Решение:Р10(2,3,3,2)=
10!_____= 25200
2!*3!*3!*2!
Задача № 2.В слове 'логарифм' буквы переставляют так, чтобы второе, четвёртое и
шестое места были заняты согласными буквами. Сколько всего существует таких
перестановок?
Решение: Р5(1,2,3)=
5!_
1!2!3!
Задача №3.В цехе работают 8 токарей. Сколькими способами можно поручить трём
из них изготовление трёх различных видов деталей (по одному виду на каждого)?
Решение: А83= 8!__ =336
(8-5)!
Задача №4.В профком избрано 9 человек. Из них надо выбрать председателя, его
заместителя, секретаря и культорга. Сколькими способами это можно сделать?
Решение: А94=
9!_=9!/5!=3024
(9-4)!
47
Задача № 5.Сколькими способами можно разложить 12 различных деталей по 3
ящикам?
Решение: всего элементов 3 длиной 12 :А312=312
Задача № 6.В гастрономе имеются конфеты 3 наименований. Конфеты упакованы в
коробки 3 видов – для каждого своя коробка. Сколькими способами можно заказать
набор из 5 коробок?
Решение: всего 7, имеют состав (5, 2) Р(5,2)= 7!_=21
5!*2!
Задача № 7. Сколько разных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и
5, если одна и та же цифра может повторяться несколько раз?
Решение: размещение с повторениями Аnk=nk=53=125
Домашнее задание:
1) Допустим, в высшей лиге по футболу 18 команд. Борьба идёт за золотые,
серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами медали могут быть
распределены между командами?[ А318=18!/(18-3)!=18*17*16=4896]
2) Мама купила 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина. 9 дней подряд она предлагала
сыну по одному фрукту. Сколькими способами она выдаст сыну?[всего 9, (2, 3, 4)
Р(2, 3, 4)=9!/(2!*3!*4!)=1260
48
УРОК № 15 «ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА ПОТЕМЕ:
'КОМБИНАТОРИКА.»
Цель – Проверка знаний и умений решать задачи по комбинаторика, умение
правильно выбора формул комбинаторики.
ХОД УРОКА:
1) проверка д/з
2) тест
1.1. Написать формулу размещения без повторений?[Аkn=n!/(n-k)!]
1.2. Написать формулу перестановки без повторений?[Рn=n!]
2.1. Написать формулу сочетания без повторений?[Cnk=
n!__]
k!(n-k)!
2.2. Написать формулу сочетания с повторениями?[Cnk=Ckn+ k-1]
3.1. Написать формулу перестановки с повторениями?[Pn(k1 ,k2, ..,kn)=
n!_ ]
k1!*k2!…*kn!
3.2. Написать формулу размещения с повторениями?[Amk=mk]
4.1.В 9а классе в среду 5 уроков: алгебра, геометрия, физ-ра, русский, английский.
Сколькими способами можно составить расписание?
а) 50 б)120+ в) 60
4.2. Сколькими способами четыре вора могут по одному разбежаться в разные
стороны?
а)12
б)36 в)24+
5.1.Сократите дробь: (4р-1)!
а)(4р+1)(4р-2) б)(4р+3) в) (4р-1)(4р-2)+
(4р-3)!
5.2. Сократите дробь: (2к+1)! а) 2к(2к+1)+ б) 2к(2к-1) в) 2к
(2к-1)!
6.1. На тренировках занимаются 12 баскетболистов. Сколько может быть образовано
разных стартовых пятёрок?[С125=792]
49
6.2. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей
так, чтобы они не могли взять друг друга?[8 позиций Р8=8!=40320]
7.1. Сколькими способами можно отослать 6 писем разным адресатам, если их будут
разносить 3 курьера и заранее известно, какому, какое достанется?[729]
7.2. В продажу поступили открытки 10 разных видов. Сколькими способами
можно образовать набор из 12 открыток?[С1012=С1210+12-1=293930]
50
УРОК № 16.'СОБЫТИЯ ДОСТОВЕРНЫЕ,
НЕВОЗМОЖНЫЕ, СЛУЧАЙНЫЕ.'
Цель- Сформировать понятия событий достоверных, невозможных, случайных.
Применение к решению задач, развитие математической логики.
Ход урока:
1) анализ теста по комбинаторики
2) новый материал
3) решение задач
Во многих играх используется игральный кубик. У кубика 6 граней, на каждой
грани отмечено различное количество точек – от 1 до 6. Играющий бросает кубик и
смотрит, сколько точек имеется на выпавшей грани (на той грани, которая
располагается сверху). Довольно часто точки на гранях кубика заменяют, на
соответствующие цифры и тогда говорят о выпадении 1, 2, …. , выпадении 6.
Бросание кубика можно считать опытом, экспериментом, испытанием (и даже
игрой, забавой), а полученный результат – исходом испытания или элементарным
событием. Людям интересно угадывать наступление того или иного события,
предсказывать его исход. Какие предсказания они могут сделать, когда бросают
игральный кубик? Например, такие:
1) событие А – выпадает цифра 1, 2, 3, 4, 5 или 6;
2) событие В – выпадает цифра 7, 8 или 9;
3) событие С – выпадает цифра 1.
События – исход наблюдении или эксперимента.
Событие А, предсказанное в первом случае, обязательно наступит. Событие,
которое в данном опыте обязательно наступит, называют достоверным событием.
Например, стакан с водой перевернём дном вверх, то вода выльется.
Событие В, предсказанное во втором случае, никогда не наступит, это просто
невозможно. Событие, которое в данном опыте наступить не может, называют
невозможным событием.
51
А как вы думаете, событие С, предсказанное в третьем случае, наступит или не
наступит? На этот вопрос мы с полной уверенностью ответить не в состоянии,
поскольку цифра 1 может выпасть, а может и не выпасть. Событие, которое в
данном опыте может, как наступать, так и не наступить, называют случайным
событием.
Например, школьник во время прогулки встретил знакомых.
Задача № 1. Все двузначные числа написаны на карточках. Петя случайным
образом выбрал одну карточку. Охарактеризуйте следующие события как
достоверные, невозможные или случайные:
а) событие А – на выбранной карточке оказалось простое число;
б) событие В – на карточке оказалось составное число;
в) событие С – на карточке оказалось число, не являющееся ни простым, ни
составным;
г) событие Д – на карточке оказалось четное или нечетное.
Решение: А и В случайные, С невозможные, Д достоверное.
Задача № 2. Какие из следующих событий достоверные:
А – два попадания из трёх выстрелов;
В – появление не более 18 очков при бросании трёх игральных костей;
Д – наугад выбранное трёхзначное число не больше 1000;
Е – наугад выбранное число, составленное из цифр 1, 2, 3 без повторений,
меньше 400;
Решение: В, Д и Е – достоверные.
Задача № 2. Какие из следующих событий невозможные:
А – опоздание ленинградского экспресса в субботние дни;
В – появление 17 очков при бросании 3 игральных костей;
С – появление слова мама при случайном наборе букв а, а, м, м;
Д – появление составленного из цифр 1, 2, 3, 7, 8 и кратного 9 числа при
случайном однократном наборе указанных цифр;
Решение: Д – невозможные.
Задача № 3. Охарактеризуйте событие, о котором идёт речь, как достоверное,
невозможное или случайное. Вы открыли книгу на любой странице и выбрали
первое попавшееся существительное. Событие состоит в следующем:
52
а) в написании слова есть гласная буква;
б) в написании есть буква о;
в) в написании нет гласных букв;
г) в написании есть мягкий знак;
Решение: а) – достоверное, б), г) – случайное, в) – невозможное.
Задача № 4. Какие события? Даны два интервала (0;1) и (5;10); из первого
выбирают числа а, из второго число с.
а) число, а меньше с;
б) число, а больше с;
в) число, а+с принадлежит интервалу (5;10);
г) число, а+с не принадлежит (5;10);
Задача № 5. В мешке 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4 красных. Охарактеризуйте
события:
а) из мешка вынули 4 шара и все они синие;
б) из мешка вынули 4 шара и все они красные;
в) из мешка 4 шара и все оказались разного цвета;
г) из мешка 4 шара и среди них не оказалось шара чёрного цвета;
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:
1) определения:
2) задача № 1. Укажите достоверные и невозможные события:
А – появление не более 12 очков при однократном бросании двух
игральных костей;
В – появление сразу 3 лайнеров над аэропортом;
С – попадание в мишень при 3 выстрелах;
Д – появление в окошке счётчика трёхзначного числа, из цифр 1, 2,
3 и кратно 5;[А- д, Д- н]
Задача № 2. В двух урнах по 5 шаров, 5 различных цветов: белого, синего, красного,
желтого и зеленого. Из урны вынимают по 1 шару. Какие события:
а) разного цвета[д], б) одного цвета[с], в) 1 черный и 4белого[н].
53
УРОК №17 «КЛАССИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ
ВЕРОЯТНЫХ СОБЫТИЙ.»
Цель–Сформировать понятия классической вероятности события, вывод
формулы вероятность случайных событий, применение к решению задач.
ХОД УРОКА:
1) проверка д/з
2) новый материал
3) решение задач
Бросаем игральную кость. Выпасть могут числа от 1 до 6. Каждое из этих
событий элементарное, и вместе они образуют пространство элементарных
событий.
Но будут ли эти элементарные события равновозможными?
Равновозможными элементарными событиями считать такие события, любое из
которых по отношению к другим событиям не обладает никаким преимуществом
появляться чаще другого при многократных испытаниях, проводимых в одинаковых
условиях.
Возможность появление некоторого события Н удобно измерять отношением m/n,
где n – число всех равновозможных элементарных событий, вытекающих из
условий данного испытания, а m – число равновозможных событий, которые
благоприятствуют событию Н.
Эту удобную меру возможности появления события Н принято называть
вероятностью этого события и обозначать символом:
Р(Н)= m
n
определение: Вероятностью случайного события Н называется отношение числа
равновозможных элементарных событий (или число всех
исходов),благоприятствующих этому событию, к числу всех равновозможных
элементарных событий пространства Е (к общему числу между собой исходов),
54
определяемого данным испытанием.[классическое определение вероятности
случайного события]
Задача № 1. Найти вероятность того, что при одном бросании игрального кубика
выпадает: а) 4; б) 5; в) чётное число очков; г) число очков больше 4; д) число очков,
не кратное 3.
Решение: всего имеется n=6 возможных исходов, то есть принимаем предположение
о равновероятности этих исходов.
а), б)
n=6 m=1 Р(А)=1/6
в) n=6 m=3 Р(А)=3/6=1/2
г) n=6 m=2 Р(А)=2/6=1/3
д) n=6 m=4 Р(А)=4/6=2/3
Задача № 2.Найдите вероятность того, что при двукратном бросании игрального
кубика произведение выпавших очков будет: а) кратно 5; б) кратно 6.
Решение: при каждом из двух бросаний кубика возможны 6 исходов. По правилу
умножения получаем, что данный опыт имеет 6*6=36 исходов, значит n=36.В
данном случае все исходы – пары (1;1), (1;2),…(1;6),(2;1),(2;2),….(6;5),(6;6).
а) если на первом месте 5, то 6 вариантов, если 5 на втором месте, то тоже 5, но
(5;5) дважды, значит m=11 n=36
Р(А)=11/36
б) если 6 на первом месте, то 6, если на втором тоже 6, но пара (6;6) одна и также,
значит 11, но ещё (2;3), (4;3), (3;2), (3;4) – ещё 4 всего 11+4=15=m n=36
Р(А)=15/36=5/12
Задача № 3. Из колоды в 36 карт случайным образом одновременно вытаскивают 3
карты. Какова вероятность того, что среди них нет пиковой дамы?
Решение: всего 36 карт, значит n=С336 исходов. Отложим даму пик в сторону, и из
35 будем выбирать m=С335.
Р(А)=С335 = 35!_ * 3!*33! = 11/12
С336 3!*32! 36!
Задача № 4.Случайным образом выбрали двузначное число. Найдите вероятность
того, что оно:
а) оканчивается нулём;[0,1]
б) состоит из одинаковых цифр;[0,1]
в) больше 27 и меньше 46;[0,2]
55
Задача №5.Двузначное число составляют из цифр 0, 1, 2, 3, 4. Какова вероятность
того, что составленное число:
а) чётное[0,6]; б) нечётное[0,4]; в) делится на 5[0,2]; г) делится на 4?[0,3]
Задача № 6. Из четырех тузов случайным образом поочередно вытащили две карты.
Найдите вероятность того, что:
а) обе карты – тузы черной масти;[1/6]
б) вторая карта – пиковый туз;[1/4]
в) первая карта – туз красной масти;[1/2]
г) среди выбранных карт есть бубновый туз;[1/2]
Домашнее задание:
1) формула
2) задача: из четырех тузов случайным образом одновременно вытащили две карты.
Найдите вероятность того, что: а) обе карты – тузы черной масти;[1/6]
б) среди выбранных карт есть пиковый туз[1/2];
в) среди выбранных карт есть туз красной масти[5/2]
56
УРОК № 18«СТАТИСТИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ
ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ».
Цель – Сформировать понятия статистической вероятности событий, понятие
статистической частоты, применение к решению задач.
ХОД УРОКА:
1) проверка д/з
2) новый материал
3) решение задач
При классическом подходе определение понятия вероятности сводится к более
простому понятию – равновозможности элементарных событий. А это понятие
основано на интуитивном воображении человеком тех условий испытания, которые
вроде достоверно определяют эту равновозможность. КАК известно, вероятность
выпадения шестёрки при бросании правильной игральной кости 1/6.
Допустим, провели n бросаний такой игральной кости и определили, что шестёрка
выпала m раз. Отношение m/n назовём статистической частотой появления
шестёрки. При проведении серии таких испытаний может случиться, что
статистическая частота р1=m1/n; ещё раз р2=m2/(n+1) …. при бросании N раз
рn=mn/N. Для статистических частот р1, р2,… рn будет характерна устойчивость: они
будут с возрастанием числа испытаний сколь угодно близко около р=1/6.
определение: Вероятностью события А называется то неизвестное число р, около
которого сосредотачивается значения статистических частот наступления события А
при возрастании числа испытаний.[это – статистическое определение вероятности
случайного события].
Пусть стрелок производит выстрел по мишени. Как оценить вероятность
попадания? Если события «попадания» и «промах» равновозможны, то ответ
получаем сразу: Р(попадание)=1/2.
57
Но они могут быть не равновозможны. Скажем, Алеша при стрельбе каждый раз
попадает в мишень 80-90 раз, а Сережа бывает редко, только 30-40 раз.
Ясно, что у Алеши возможность попадания > чем у Сережи.
число выстрелов
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
число попаданий
8
17
26
33
41
49
56
65
72
81
3
5
8
12
15
19
22
25
28
31
Алеши
число попаданий
Сережи
Но заметно, что упомянутое отношение колеблется около определённого числа:
у Алеши 4/5, у Сережи 3/10.
Пусть L – число испытаний, при проведении которых могло произойти или не
произойти событие А, а k – число испытаний, при проведении которых событие А
произошло. Отношением k/L называем статистической частотой события А и
обозначают
Р{A}=k/L
Рl{A}=P(A).
Задача № 1.Из 1000 произвольно выбранных деталей примерно 4 бракуются.
Сколько бракованных окажется среди 2400 деталей?
Решение: А – наугад выбранные, тогда Р(А)=0,004. Если среди 2400 деталей х
бракованных, то Р(А)= х/2400. Так как Р{A}=Р(А), то х/2400=0,004, то х=10.
Задача № 2. В ящике 90 стандартных деталей и 10 нестандартных деталей. Какова
вероятность того, что среди 10 наугад вынутых деталей бракованных не
окажется?[0,33]
Задача № 3.Номер телефона состоит из 5 цифр. Какова вероятность того, что все
цифры наугад набранного номера разные?[0,3024]
Задача № 4. Четырем игрокам раздали поровну колода из 32 карт. Определите
вероятность того, что каждый игрок получит карты одной масти?[1/С832]
Задача № 5.В одном ящике 6 белых и 4 черных шарика. Во втором – 7 белых и 3
черных. Из каждого ящика наугад вынимается по одному шарику. Чему равна
вероятность того, что оба шарика окажутся белыми?[0,42]
Домашнее задание:
1) определения, формула
58
2) задача:4 зенитных пулемета, ведут огонь по 3 самолетам. Каждый пулемет
выбирает объект обстрела наугад. Какова вероятность того, что все 4 пулемета
ведут огонь по одному и тому же самолету?[1/27]
УРОК № 19«ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ
ВЕРОЯТНОСТИ».
Цель -
Сформировать понятия геометрической вероятности, научить отличать
классическое, статистическое и геометрическое понятия вероятности,
применение к решению задач.
ХОД УРОКА:
1. проверка д/з
2. новый материал
3.решение задач
Формирование геометрического понятия вероятности можно начать с такого
примера.
Пусть на плоскости задан круг и в нём треугольник В. В круг наудачу «бросается
точка». Как определить вероятность события А, состоящего в том, что точка
попадает в треугольник?
Предлагаем при подходе к решению этой задачи руководствоваться следующим
исходным положением: вероятность попасть в какую-либо часть круга
пропорциональна площади этой части.
Интуитивное соображение логичности такого подхода не вызывает никаких
осложнений.
Если площадь круга составляет n единиц площади, а площадь треугольника m
единиц площади, то в силу пропорциональности
Р(А)= m*k единиц площади =m
n*k единиц площади
n
На этот раз следует добавить, что m/n в данной ситуации не обязано быть
рациональным числом, хотя формально результат записывается так же, как формула
классической вероятности. Смысл он имеет несколько иной.
59
Можно на конкретном примере показать, что геометрический подход к вероятности
события не зависит от вида измерений геометрического пространства: важно только,
чтобы пространство элементарных событий Е и подпространство, представляют
событие А, были бы одинакового вида и одинаковых измерений.
С этой целью можно рассмотреть такой пример.
Пусть на плоскости задан круг и определен его сектор ВОС. <ВОС=а. Рассмотрим
вероятности трёх событий А1, А2 и А3, состоящих в следующем.
В круг наудачу бросается точка М. А1 – «попадание М в сектор ВОС». На дугу
окружности наугад бросается точка N. А2 – «попадание N на дугу ВДС». Наудачу
бросается вектор OS, начало которого закреплено в точке О. А3 – «попадание OS в
угол а». Пусть ОС=r – радиус круга. Тогда
Р(А1)= Sсект. ВОС = 0,5r2а = а_
п*r2
S круга
Р(А2)= С дуги
ВОС
2п
= r*а = а_
Сокриж
2пr 2п
Р(А3)= а_
2п
Тот факт, что Р(А1)=Р(А2)=Р(А3), подтверждает вышеизложенное суждение и
позволяет обобщить формулу, ели событие А состоит в попадании точки М на
отрезок [а; в] при её бросании наугад на отрезок [с; д], то Р(А)= в -а
д - с,
Если событие А состоит в попадании точки М в пространство Т при бросании её
наугад в пространство S, то
Р(А)=VT/VS
Геометрическая интерпретация вероятности события является важным средством
подхода к расчёту вероятностей сложных событий.
определение: Вероятностью случайного события А называется численная мера
возможности наступления этого события при некотором испытании.
Задача № 1.В ящике имеются 4 белых и 7 чёрных шаров. Какова вероятность того,
что вынутый шар окажется белым?
Решение: В этом случае m=4, n=11. Поэтому Р(Ш)=4/11
60
Задача № 2.Первенство по баскетболу оспаривают 18 лучших команд, которые
путём жеребьёвки распределяются на две группы, по 9 команд в каждой, 5 команд
обычно занимают первые места. Какова вероятность попадания всех лидирующих
команд в одну группу? Какова вероятность попадания двух лидирующих команд в
одну группу и трёх – в другую?
Решение: А – 5 лидирующих попали в одну ,
В – 2 лидирующих в одну, 3 – в другую.
Из 18 команд группы по 9 команд С189=n. Событию А – 5 лидирующих команд
могут образовывать девятки с четырьмя командами из числа остальных 13 команд.
Поэтому С413 следовательно m=2С134.
Р(А)=m/n=(2С413)/С189=1/34.
Задача № 3.Таня и Ваня договорились встречать Новый год в компании из 10
человек. Они оба очень хотели сидеть за праздничным столом рядом. Какова
вероятность исполнения их желания, если их друзей принято места распределять
путём жребия?
Решение: 10 человек могут усесться за стол 10! способами. Сколько же из этих
n=10! рановозможных способов благоприятны для Тани и Вани? Таня и Ваня, сидя
рядом, могут занять 20 разных позиций. В то же время восьмерка их друзей может
сесть за стол 8! разными способами, поэтому m=20*8!
Р(Т и В)= 20*8! = 2
10!
9
Задача № 4. Номер телефона состоит из 5 цифр. Какова вероятность того, что все
цифры наугад набранного номера разные?[0,3024]
Домашнее задание: определение, формула,
задача: Замок содержит на общей оси 4 диска, каждый из которых разделён на 6
секторов, отмеченных цифрами. Замок может быть открыт только в том случае, если
все диски занимают определённое положение относительно корпуса замка, их
цифры образуют определенное число, составляющее «секрет» замка. Какова
вероятность открыть замок, установив произвольную комбинацию цифр?[0,00077]
61
УРОК № 20«ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ».
Цель – Сформировать понятие и вывод формулы Бернулли, применение к
решению задач, развитие логического мышления.
ХОД УРОКА:
1.проверка д/з
2.новый материал
3. решение задач
Несколько раз бросаем монету. Появление герба, скажем, при четвёртом бросании
не зависит от того, каковы были результаты при первом, при втором и при третьем
бросании. Мы имеем дело с независимыми испытаниями. Решим теперь такую
задачу.
При проведении некоторого однократного испытания вероятность появления
события А равна р, а не появления q=1-р.
Какова вероятность того, что при n повторных испытаниях событие А произойдёт
m раз? Это событие запишем так: «Sn=m».
Станем искать Р(Sn=m).
Событие, состоящее в том, что при n независимых испытаниях А происходило m
раз, а не происходило n-m раз, можем себе представить в виде n клеток, m из
которых заполнены буквой А, n-m-буквой А. Например, одно из таких
представлений, которое назовём событием В1.
Когда m клеток заполнено буквой А, а n-m клеток –буквой А, может произойти
столько, сколько перестановок с повторениями можно построить из m букв А и n-m
букв А. Если число таких событий обозначим N, то по формулам получим:
N=
n!___ =Cnm
m!(n-m)!
62
Нас интересующее событие «Sn=m» представляет собой объединение N событий В1,
В2, В3, ….,Вn. Они равновозможны и попарно несовместимы, поэтому
P(Sn=m)=P(B1)+P(B2)+….+P(Bn)=NP(B1). но
В1 равно пересечение А взятых m раз и А взятых n-m раз.
Появление событий А с вероятностью р, и не появление А с вероятностью q.
Обозначим вероятность того, что А появилось k раз Pn(k), тогда та вероятность
будет равна сумме вероятностей элементарных исходов благоприятствующих
появлению событий В или входящих в событие В, а число таких элементарных
исходов равно числу перестановок с повторениями
n!_ =Cnk
Pn(k, n-k)=
k!(n-k)!
таким образом
Pn(k)=Cnk pk qn – k
формула Бернулли.
Задача № 1. Вероятность изготовления стандартных деталей 0,95 определённой
вероятность того, что из 5 на удачу взятых деталей 3 окажутся стандартными?
Решение: n=5 k=3 Р5(3)=С53 р3 q5-3= 5!_ (0,95)3*(0,05)2=0,0214
3!*2!
Задача № 2.4 стрелка независимо друг от друга производят по одному выстрелу по
мишени вероятных попаданий 1 стрелок 0,8, для 2 – 0,7, для 3 – 0,6, для 4 – 0,5.
Найти вероятности не более 2 попаданий?
Решение: В – не более 2 попаданий, А0 – ни одного, А1 – одно попадание, А2 – 2
попадания. В=А0+А1+А2 (А0, А1, А2 – попарно несовместимы)
Р(В)=Р(А0)+Р(А1)+Р(А2) n=4 Р(А0)=Р4(0), Р(А1)=Р4(1), Р(А2)=Р4(2)
р1=0,8 q1=0,2
р2=0,7 q2=0,3
р3=0,6 q3=0,4 р4=0,5 q4=0,5
V(х)=(0,2+0,8х)(0,3+0,7х)(0,4+0,6х)(0,5+0,5х)=0,012+0,106х+0,32х2+0,394х3+0,168х4
Р4=(0)=0,012 Р4(1)=0,106 Р4(2)=0,32 Р(В)=0,012+0,106+0,32=0,438
Задача № 3. Подбрасываем монету 10 раз. Какова вероятность двукратного
появления герба?
Решение: n=10 k=2 p=1/2 q=1/2
P(2)=C102 (1/2)2*(1/2)8=45/1024=0,04395
Задача № 4. Подводная лодка атакует крейсер, выпуская по нему одну за другой 4
торпеды. Вероятность попадания каждой торпеды ¾. Любая из торпед с одинаковой
63
вероятностью может пробить один из 10 отсеков крейсера, которые в результате
попадания наполняются водой. При заполнении хотя бы двух отсеков тонет.
Вычислите вероятность гибели крейсера.
Решение: А1 – попадание одной торпедой, А2 – попадание 2 торпедами, А3 –
попадание 3 торпедами, А4 – попадание 4 торпедами, А – крейсер потоплен.
Р(А1)=С41(3/4)(1/4)3=3/64
Р(А2)=С24(3/4)2(1/4)2=27/128 Р(А3)=С34(3/4)3(1/4)=27/64
Р(А4)=С44(3/4)4(1/4)0=81/256
Р(А/А1)=0, Р(А/А2)=1-1/10=9/10,
Р(А/А3)=1-1/100=99/100, Р(А/А4)=1-1/1000=999/1000.
по формуле полной вероятности
Р(А)=3/64*0+27/128*9/10+27/64*99/100+81/256*999/1000=0,9237.
Домашнее задание: формулы, задача
С разных позиций по мишени выпускают 4 выстрела. Вероятность попадания
первым выстрелом примерно 0,1, вторым – 0,2, третьим – 0,3 и четвёртым – 0,4.
Какова вероятность того, что все 4 выстрела – промахи?[0,3024]
64
УРОК № 21' РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ'. (тест)
Цель – Закрепление изученного материала по теме теория вероятности, развитие
логического мышления, применение к решению задач, подготовка к проверочной
работе, проверка знаний и умений по теме случайные величины и их вероятности,
развитие логического мышления.
ХОД УРОКА:
проверка д/з
решение задач
Задача № 1. Юноша, желающий стать военным лётчиком, должен пройти 4
испытания. Вероятность успешного выполнения им заданий первого испытания 0,9,
второго – 0,95, третьего –0,8 и четвёртого – 0,85. Какова вероятность того, что:
а) с успехом пройдет все испытания;[0,5814]
б) успешно только 2 испытания;[0,06965]
в) с успехом не меньше 2 испытаний? [0,9942]
Задача № 2.Охарактеризуйте событие, о котором идёт речь, как достоверное,
невозможное или случайное.
а) дата рождения моего друга-число, меньше, чем 32.[д]
б) на уроке математики ученики делали физические упражнения.[н]
в) сборная России по футболу станет чемпионом мира в 2006г.[с]
Задача № 3.На биллиардом столе - шары от №1 до №15 и ещё шар «крест». Бить
можно любым шаром по любому. Найдите вероятность того, что при случайном
выборе: а) ударят шаром №7 по какому другому шару;[1/16]
б) ударят «крестом» по шару №7.[1/240]
Задача №4.Известно, что 96% выпускаемых, заводом изделий отвечает стандарту.
Упрощённая схема контроля признаёт пригодный стандарт с вероятностью 0,98 и
65
нестандартной вероятностью 0,05. Определите вероятность, что прошедшей
контроль и отвечает стандарту. А- изделия прошедший контроль, Н1- стандартный,
Н2-нестандартный. 96%-стандартный.
Р(А/Н1)=0,98 Р(А/Н2)=0,05 Р(Н1)=0,96 Р(Н2)=0,04
Р(А)=0,98*0,96+0,05*0,04=0,9428
Задача № 5. Контрольное задание состоит из 5 вопросов, на каждый из которых
даётся 4 варианта ответа, причём один из них правильный, а остальные
неправильные. Найдите вероятность того, что учащиеся, не знающий ни одного
вопроса не даёт: а) 3 правильных, б) не менее 3 правильных(на удачу).
р=0,25 n=5 q=0,75
а) k=3 Р5(3)=С53(0,25)3(0,75)2=0,0878
б) k=0 Р5(0)=С50(0,25)0(0,75)5=0,2373 Р=1-0,2373=0,77
Задача № 6. Испытание состоит в бросании 3 игральных костей. Найдите
вероятность того, что в 5 независимых испытаниях ровно 2 выпадает по 3 единицы.
Решение: n=5 k=2 Р=(1/6)3=0,005 q=0,995
Р5(2)=10*(0,005)2(0,995)3=0,00025
Домашнее задание подготовиться к проверочной работе по теме вероятность
ТЕСТ
1.1 Какое событие называется достоверным?
1.2 Какое событие называется случайным?
1.1 Сформулировать понятие классической вероятности?
2.2 Сформулировать понятие статистической вероятности?
3.1 Написать формулу Бернулли?
3.2 Написать формулу вычисления вероятных событий?
4.1 В пирамиде 5 винтовок, 3 из них с оптическим прицелом. Вероятность, что
стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом 0,95, а
без прицела 0,7. Найдите вероятность того, что мишень поражена, если стрелок
произведёт выстрел наудачу выбранной винтовки.[0,85]
4.2 Контрольное задание состоит из 5 вопросов, на каждый из которых даётся 4
варианта ответа, причём один из них правильный, а остальные неправильные.
Найдите вероятность того, что учащиеся, не знающий ни одного вопроса даёт а) 3
правильных, б) не менее 3 правильных.[0,0878]
66
5.1 По данным технического контроля 2% изготовленных автоматических станков
нуждаются в дополнительной регулировке. Найти вероятность того, что из 6
изготовленных станков 4 нуждаются в регулировке.[0,000002305]
5.2 Вероятность, того, что покупателю потребуется обувь 41 размера, равна
0,2. Найдите вероятность того, что из 5 первых покупателей обувь этого размера не
понадобиться а) одному б) по крайней мере одному[0,4096;0,32768]
67
УРОК №22 ЗАЧЁТ.
Цель – Проверка знаний и умений по элективному курсу.
Зачет состоит из двух частей: 1 часть теоретическая(знание формул, определений),
2 часть (практическая применение к решению задач)
1.делиться ли число 30! на :а)90/да т.к.90=2*5*9, среди множителей 30! есть 2,5,9/;
б)94?/нет т.к.94=2*47, 47-просто больше чем 30, и среди 30! множителей 47 нет/
2.найдите значение выражения:
16!
14!*3!
/16!=14!*15*16 ответ40/
3.Сколько всего автомобильных номеров можно составить из четырёх цифр и трёх
букв?/10*10*10*10*32*32*32=32768000/
4.На учениях по стрельбе из винтовки относительная частота поражения цели у
некоторого стрелка оказалась равной 0,8. Сколько попаданий в цель можно ожидать
от этого стрелка на соревнованиях, если каждый участник проведёт по 20
выстрелов? /м-число попаданий, которое ожидается при 20 выстрелах. м/20=0,8
м=16, значит поразит цель 16 раз./
5.из 25 билетов по геометрии ученик успел подготовить 11 первых билетов и 8
последних билетов. какова вероятность того, что на экзамене ему достанется билет
который он подготовил? /всего 25,м- событие не готовых билетов, 25-11-8=6,
Р(М)=6/25=0,24/
6.в урне 3 белых, 4 черных, 5 красных шаров. Какова вероятность того, что вынутый
шар: а)белый, б)красный, в)синий? /1/4,5/12,0/
7.Расположите в таблице числа 3,6,9,12,15,18,21,24,27 так, чтобы сумма чисел в
каждом столбце была одна и та же.
3
15
27
18 21
6
24 9
12
68
Я считаю, что этот курс новый материал для учащихся нужен, так как необходимо
учащимся связывать с прикладными задачами, сообщать факты из истории науки.
ЛИТЕРАТУРА:
1.В.С.Лютикас « Школьнику о теории вероятностей.»/учебное пособие по
факультативному курсу для учащихся 8-10 классов. Москва «Просвещение» 1983г.
2.Учебник Математика под редакцией Г.В. Дорофеева. Москва «Просвещение» 1994
3.Г.И. История математики в школе 9-10 классы. /пособие для учителей/ Москва
«Просвещение» 1983 г.
4.Задачи по математике. Алгебра. Справочное пособие. под редакцией Вавилова
В.В. Издательство «Наука» 1987 г.
69
5.Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк «Алгебра. Элементы статистики и теории
вероятностей.» /учебное пособие для учащихся 7-9 классов/ Москва «Просвещение»
2003г.
6. С.И. Гельфанд и др.»Задачи по элементарной математике. Последовательности.
Комбинаторика. Пределы. Издательство «Наука» Москва 1965г.
7.Задачи по элементарной математике. Под редакции В.Б. Лидский и др.
Издательство «Наука» Москва 1973г.
8.Н.Я. Виленкин Индукция. Комбинаторика. Пособие для учителей. Москва
«Просвещение» 1976г.
9. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы под
редакцией М.И. Сканави. Москва «высшая школа»1978г.
10. статья в газете приложение к первому сентября «Математика» А. Мордкович, п.
Семёнов « События, вероятности, статистическая обработка данных». №34, 35, 41,
43, 44, 48/2002г., 11, 17/2003г.
11. М.В.Ткачёва, Н, Е.Федорова «Элементы стохастики в курсе математики 7-9
классов основной школы». Журнал «Математика в школе» №3/2003г.
12. статья «Изучение теории вероятностей и статистики в школьном курсе
математики. Программа для курсов повышения квалификации учителей». Журнал
«Математика в школе» №5/2003г.
13. Н.Я.Виленкин и др. «Алгебра и математический анализ» для 11кл. Москва
«Просвещение» 1993г.
70