ASOSIY QISM. 1.1 Chegaralari cheksiz xosmas integrallar va xossalari. 1. Chegaralari cheksiz xosmas integral tushunchasi. Biror 𝑓(𝑥) funksiya [𝑎, +∞) oraliqda berilgan bo`lib, bu oraliqning istalgan [𝑎, 𝑡] (𝑎 < 𝑡 < +∞) qismida integrallanuvchi ,ya`ni ixtiyoriy 𝑡 (𝑡 > 𝑎) uchun ushbu 𝑡 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 Integral mavjud bo`lsin. Bu integral,qaralayotgan funksiya hamda olingan 𝑡 ga bog`liq bo`lib, tayin 𝑓(𝑥) uchun u faqat 𝑡 o`zgaruvchining funksiyasi bo`ladi: 𝑡 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑡). (1) Natijada (1) munosabat bilan aniqlangan 𝐹(𝑡) (𝑡 ∈ (𝑎, +∞)) funksiyaga ega bo`lamiz. 1.1.1-Ta`rif. Agar 𝑡 → +∞ da 𝐹(𝑡) funksiyaning limiti mavjud bo`lsa,bu limit 𝑓(𝑥) funksiyaning [𝑎, +∞) oraliqdagi xosmas integrali deb ataladi va u +∞ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎 kabi belgilanadi. Demak, +∞ ∫𝑎 𝑡 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim 𝐹(𝑡) = lim ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, 𝑡→+∞ 𝑡→+∞ (2) 1.1.2-ta`rif. Agar 𝑡 → +∞ da 𝐹(𝑡) funksiyaning limiti mavjud bo`lib, u chekli bo`lsa , (2) xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi,𝑓(𝑥) esa cheksiz [𝑎, +∞) oraliqda integrallanuvchi funksiya deb ataladi. Agar 𝑡 → +∞ da 𝐹(𝑡) funksiyaning limiti cheksiz bo`lsa ,(2) integral uzoqlashuvchi deb ataladi. Funksitaning (−∞, 𝑎] va (−∞, +∞) oraliqlar bo`yicha xosmas integrallari ham yuqoridagi kabi ta`riflanadi. 𝑓(𝑥) funksiya (−∞, 𝑎] oraliqda berilgan bo`lib, bu oraliqning istalgan [𝜏, 𝑎] (−∞ < 𝜏 < 𝑎) qismida integrallanuvchi, ya`ni 𝑎 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝛷( 𝜏) 𝜏 Integral mavjud bo`lsin. 1.1.3- ta`rif.τ → −∞ da 𝛷(𝜏) funksiyaning limiti lim 𝛷(𝜏) mavjud bo`lsa, bu τ→−∞ limit 𝑓(𝑥) funksiyaning (−∞, 𝑎] oraliqdagi xosmas integrali deb ataladi va u 𝑎 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 −∞ kabi belgilanadi.Demak, 𝑎 𝑎 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim 𝛷(𝜏) = lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 τ→−∞ τ→−∞ −∞ (3) 𝜏 1.1.4- ta`rif. Agar τ → −∞ da 𝛷(𝜏) funksiyaning limiti mavjud bo`lib, u chekli bo`lsa, (3) integral yaqinlashuvchi deyiladi, esa cheksiz (−∞, 𝑎] oraliqdagi integrallanuvchi funksiya deb ataladi. Agar τ → −∞ da 𝛷(𝜏) funksiyaning limiti cheksiz bo`lsa, (3) integral uzoqlashuvchi deb ataladi. 𝑓(𝑥) funksiya (−∞, +∞) oraliqdagi berilgan bo`lib, bu oraliqning istalgan [𝜏, 𝑡] (−∞ < 𝜏 < 𝑡 < +∞) qismida integrallanuvchi, ya`ni 𝑡 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ѱ(𝜏, 𝑡) 𝜏 1.1.5- ta`rif. τ → −∞, t → +∞ da ѱ(𝜏, 𝑡) funksiyaning limiti lim ѱ(𝜏, 𝑡) τ→−∞ 𝑡→+∞ mavjud bo`lsa, bu limit 𝑓(𝑥) funksiyaning cheksiz (−∞, +∞) oraliqdagi xosmas integrali deb ataladi va u +∞ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 −∞ kabi belgilanadi. Demak, 𝑡 −∞ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = τ→−∞ lim ѱ(𝜏, 𝑡) = 𝜏→−∞ lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑡→+∞ +∞ (4) 𝑡→+∞ 𝜏 1.1.6- ta`rif. Agar τ → −∞, t → +∞ da ѱ(𝜏, 𝑡) funksiyaning limiti mavjud bo`lsa, u chekli bo`lsa, (4) integral yaqinlashuvchi deyiladi, 𝑓(𝑥) esa cheksiz (−∞, +∞) oraliqda integrallanuvchi funksiya deb ataladi. Aniq integral xossasiga ko`ra V a𝜖 𝑅 uchun 𝑡 𝑎 𝑡 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝜏 𝜏 𝑎 +∞ Bo`lishini e`tiborga olsak, u holda ∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ning mavjud bo`lishi 𝑎 +∞ ∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 va ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 integrallarning har birining alohida-alohida mavjud bo`lishidan kelib chiqadi. Binobarin, uni quyidagicha ham aniqlash mumkin bo`ladi: +∞ 𝑎 +∞ ∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑎 1.1.1-eslatma. Yuqorida [𝑎, +∞) 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 (V a𝜖𝑅) ((−∞, 𝑎]𝑖 (−∞, +∞) da berilgan 𝑓(𝑥) funksiyaning xosmas integrali tushunchasi 𝐹(𝑡) (𝛷(𝜏), ѱ(𝜏, 𝑡)) ning t → +∞, (τ → −∞, t → +∞) da limiti mavjud bo`lgan hollar uchun kiritilgan va uning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchiligi ta`riflanadi. Ma`lumki , 𝐹(𝑡) 𝛷(𝜏), ѱ(𝜏, 𝑡)) ning t → +∞, (τ → −∞, t → +∞) dagi limiti mavjud bo`lmagan hol ham bo`lishi mumkin. Bu holda biz shartli ravishda 𝑓(𝑥) ning xosmas integrali 𝑎 +∞ ∫ +∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ( ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 , ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ) 𝑎 −∞ −∞ uzoqlashuvchi deb qabul qilamiz. Shunday qilib, xosmas integral tushunchasi avval o`rganilgan Riman integrali tushunchasidan yana bir marta limitga o`tish amali orqali yuzaga kelar ekan. Qulaylik uchun quyida biz ko`pincha ≪ xosmas integral ≫ deyish o`rniga ≪ integral ≫ deb ketaveramiz. 1-misol. Ushbu +∞ ∫ 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 0 integralni hisoblang. Yechish. Ta`rifga ko`ra +∞ 𝑡 ∫ 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 𝑡→+∞ 0 0 bo`lib, 𝑡 𝐹(𝑡) = ∫ 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒 −𝑡 + 1 0 bo`lganida esa 𝑡 lim ∫ 𝑒 −𝑥 = 1 𝑡→+∞ 0 bo`ladi. Demak, berilgan xosmas integral yaqinlashuvchi va +∞ ∫ 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = 1. 0 2-misol. Quyidagi 0 ∫ −∞ 𝑑𝑥 1 + 𝑥2 integralni qaraylik. Yechish. Xosmas integral ta`rifiga ko`ra 0 0 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝜋 ∫−∞ 1+𝑥 2 = lim ∫𝜏 1+𝑥 2 = lim (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝜏) = 2 𝜏→−∞ 𝜏→−∞ bo`ladi. Demak, integral yaqinlashuvchi va 0 ∫ −∞ 𝑑𝑥 𝜋 = , 1 + 𝑥2 2 3-misol. Ushbu +∞ 𝐼=∫ 𝑎 𝑑𝑥 (𝑎 > 0, 𝛼 > 0) 𝑥𝑎 (5) integralni yaqinlashuvchilikka tekshiring. Ravshanki [𝑎, 𝑡] (𝑎 > 0) oraliqda 𝑓(𝑥) = 1 𝑥𝛼 𝑡 𝑑𝑥 funksiya uzluksiz bo`lib, ∫𝑎 qaraylik: a) 𝛼 > 1 bo`lsin. Bu holda 𝑥𝑎 mavjud bo`ladi. Quyidagi hollarni 𝑡 lim ∫ 𝑡→+∞ 𝑎 𝑑𝑥 1 1 1−𝛼 1−𝛼 ) (𝑡 = lim − − 𝑎 = 𝑎1−𝛼 𝛼 𝑡→+∞ 𝑥 1−𝛼 𝛼−1 bo`ladi. Demak, 𝛼 > 1 bo`lganda berilgan integral yaqinlashuvchi bo`lib, +∞ ∫ 𝑎 𝑑𝑥 1 = 𝑎1−𝛼 𝑎 𝑥 𝛼−1 bo`ladi. b) 𝛼 > 1 va 𝛼 = 1 bo`lganda esa, mos ravishda 𝑡 lim ∫ 𝑡→+∞ 𝑎 𝑑𝑥 1 (𝑡 1−𝛼 − 𝑎1−𝛼 ) = +∞, = lim 𝛼 𝑡→−∞ 1 − 𝛼 𝑥 𝑡 lim ∫ 𝑡→+∞ 𝑎 𝑑𝑥 = lim (ln 𝑡 − ln 𝑎) = +∞ 𝑡→+∞ 𝑥 bo`ladi. Demak, 𝛼 ≤ 1 bo`lganda berilgan integral uzoqlashuvchi bo`ladi. Shunday qilib +∞ ∫ 𝑎 𝑑𝑥 (𝑎 > 0, 𝛼 > 0) 𝑥𝑎 Xosmas integral 𝛼 > 1 bo`lganda yaqinlashuvchi, 0 < 𝛼 ≤ 1 bo`lganda esa uzoqlashuvchi bo`ladi. 4-masala. Ushbu +∞ ∫ cos 𝑥𝑑𝑥 0 xosmas integral, yuqoridagi kelishuvimizga ko`ra uzoqlashuvchidir, chunki 𝑡 → +∞ da 𝑡 𝐹(𝑡) = ∫ cos 𝑥𝑑𝑥 = sin 𝑡 0 funksiya limitga ega emas. +∞ Yuqorida ∫𝑎 𝑡 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 xosmas integral 𝐹(𝑡) = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 integralning 𝑡 → +∞ dagi limiti sifatida ta`riflanadi. So`ngra bu xosmas integral mavjud (mavjud emas) deyilishi o`rniga xosmas integral yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) deyiladi. Bunday deyilishining boisi, bir tomondan,xosmas integralning limitga o`tish amali bilan ta`riflanishi bo`lsa, ikkinchi tomondan uning, qatorlar bilan ∞ o`xshashligidir. Ma`lumki, ∑∞ 𝑘=1 𝑎𝑘 qator 𝐹(𝑛) = ∑𝑘=1 𝑎𝑘 qismiy yig`indining 𝑛 → +∞ dagi limiti sifatida ta`rilanib, bu 𝑛 ∞ ∑ 𝑎𝑘 = lim 𝐹(𝑛) = lim ∑ 𝑎𝑘 𝑘=1 𝑛→+∞ 𝑛→+∞ 𝑘=1 limit chekli bo`lganda qator yaqinlashuvchi, cheksiz bo`lganda yoki mavjud bo`lmaganda esa qator uzoqlashuvchi deb atalar edi. Biz quyida xosmas integralning turli xos bo`yicha olingan