Iroda2

ASOSIY QISM.
1.1 Chegaralari cheksiz xosmas integrallar va xossalari.
1. Chegaralari cheksiz xosmas integral tushunchasi.
Biror 𝑓(𝑥) funksiya [𝑎, +∞) oraliqda berilgan bo`lib, bu oraliqning istalgan [𝑎, 𝑡]
(𝑎 < 𝑡 < +∞) qismida integrallanuvchi ,ya`ni ixtiyoriy 𝑡 (𝑡 > 𝑎) uchun ushbu
𝑡
∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
Integral mavjud bo`lsin. Bu integral,qaralayotgan funksiya hamda olingan 𝑡 ga
bog`liq bo`lib, tayin 𝑓(𝑥) uchun u faqat 𝑡 o`zgaruvchining funksiyasi bo`ladi:
𝑡
∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑡).
(1)
Natijada (1) munosabat bilan aniqlangan 𝐹(𝑡) (𝑡 ∈ (𝑎, +∞)) funksiyaga ega
bo`lamiz.
1.1.1-Ta`rif. Agar 𝑡 → +∞ da 𝐹(𝑡) funksiyaning limiti mavjud bo`lsa,bu limit 𝑓(𝑥)
funksiyaning [𝑎, +∞) oraliqdagi xosmas integrali deb ataladi va u
+∞
∫
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
kabi belgilanadi. Demak,
+∞
∫𝑎
𝑡
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim 𝐹(𝑡) = lim ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥,
𝑡→+∞
𝑡→+∞
(2)
1.1.2-ta`rif. Agar 𝑡 → +∞ da 𝐹(𝑡) funksiyaning limiti mavjud bo`lib, u chekli
bo`lsa , (2) xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi,𝑓(𝑥) esa cheksiz [𝑎, +∞)
oraliqda integrallanuvchi funksiya deb ataladi.
Agar 𝑡 → +∞ da 𝐹(𝑡) funksiyaning limiti cheksiz bo`lsa ,(2) integral
Место для уравнения.uzoqlashuvchi deb ataladi.
Funksitaning (−∞, 𝑎] va (−∞, +∞) oraliqlar bo`yicha xosmas integrallari ham
yuqoridagi kabi ta`riflanadi.
𝑓(𝑥) funksiya (−∞, 𝑎] oraliqda berilgan bo`lib, bu oraliqning istalgan [𝜏, 𝑎]
(−∞ < 𝜏 < 𝑎) qismida integrallanuvchi, ya`ni
𝑎
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝛷( 𝜏)
𝜏
Integral mavjud bo`lsin.
1.1.3- ta`rif.τ → −∞ da 𝛷(𝜏) funksiyaning limiti lim 𝛷(𝜏) mavjud bo`lsa, bu
τ→−∞
limit 𝑓(𝑥) funksiyaning (−∞, 𝑎] oraliqdagi xosmas integrali deb ataladi va u
𝑎
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
−∞
kabi belgilanadi.Demak,
𝑎
𝑎
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim 𝛷(𝜏) = lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
τ→−∞
τ→−∞
−∞
(3)
𝜏
1.1.4- ta`rif. Agar τ → −∞ da 𝛷(𝜏) funksiyaning limiti mavjud bo`lib, u chekli
bo`lsa, (3) integral yaqinlashuvchi deyiladi, 𝑓(𝑥) esa cheksiz (−∞, 𝑎]
oraliqdagi integrallanuvchi funksiya deb ataladi.
Agar τ → −∞ da 𝛷(𝜏) funksiyaning limiti cheksiz bo`lsa, (3) integral
uzoqlashuvchi deb ataladi.
𝑓(𝑥) funksiya (−∞, +∞) oraliqdagi berilgan bo`lib, bu oraliqning istalgan
[𝜏, 𝑡] (−∞ < 𝜏 < 𝑡 < +∞) qismida integrallanuvchi, ya`ni
𝑡
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ѱ(𝜏, 𝑡)
𝜏