Численные методы

Численные методы
1
Приближение функций
Понятие численного интерполирования
На отрезке  а; b заданы точки x0 , x1,..., xn , которые называются узлами
интерполяции. Все точки xi различны и расположены в порядке возрастания.
В этих точках известны значения некоторой функции y  f ( x)
y0 = f ( x0 ), . . . ,yn = f ( xn ) .
(5)
Требуется в определенном классе функций построить такую функцию
F ( x) , значения которой в узлах интерполяции совпадают со значениями f ( x ) .
Функция F ( x ) называется интерполирующей функцией. Ее ищем в виде
интерполяционного многочлена n-й степени
n
Fn  x    ak x k .
(6)
k 0
С учетом (6) условия (5) примут вид
n
Fn  xi    ak xi k , i  0,..., n .
(7)
k 0
Коэффициенты многочлена (6) ak находятся единственным образом из
условий (7).
Когда искомое значение F ( x ) вычисляется в точке x, которая находится
между какими-либо из узлов xi , говорят об интерполяции, а когда точка x
лежит вне границ интервала, включающего все xi – об экстраполяции
функции y  f ( x) .
2
Первая и вторая интерполяционные формулы
Ньютона
Пусть
функция
y  f ( x) задана
таблицей
с
равноотстоящими
значениями аргументов. Величина h  x i 1  xi ,(i  0,1,..., n  1) называется
шагом таблицы и является постоянной.
Конечные разности порядка k определяются следующим образом:
 k 1 yi   k yi 1   k yi, yi  f ( xi )
(13)
Для упрощения их вычисления применяются таблицы (Таблица 3).
Таблица конечных разностей
…
xi
yi
yi
2 y
i
x0
y0
y0
x1
 2 y0
y1
y1
x2
 2 y1
y2
y2
x3
…
y3
…
x4
y4
…
…
3
Конечные разности используются для записи интерполяционного
многочлена Ньютона. Первым интерполяционным многочленом Ньютона
называется многочлен вида:
y0
 2 y0
Pn ( x)  y0 
 x  x0   2  x  x0   x  x1  
1!h
2!h

 y0
n
n !h n
(14)
 x  x0   x  xn1 
Перепишем формулу (14) в другом виде. Положим: t 
x  x0
или
h
x  x0  th . Тогда формула (14) примет вид:
Pn ( x)  Pn ( x0  th)  y0  t  y0 

t  t  1
 t  n  1 n y
n!
t  t  1 2
 y0 
2!
0
Оценка погрешности первой интерполяционной формулы Ньютона
 n 1 y
Rn  x  
 t  t  1 t  2  ...  t  n  , n1 y  max  n1 ym .
0mn
 n  1!
(17)
Формулу (15) применяют для интерполирования в начале таблицы.
Если требуется найти значение функции y  f ( x) при значении x  x* , то в
качестве x0 берут ближайшее к x* , причем меньшее значение аргумента.
Говорят,
что
первый
интерполирования вперед.
многочлен
Ньютона
применяется
для
4
Вторым интерполяционным
многочлен вида:
многочленом
Ньютона
называется
yn 1
 2 yn 2
Pn ( x)  yn 
 x  xn  
 x  xn  x  xn1  
2
1!h
2!h

 y0
n
n !h n
(18)
 x  xn   x  x1 
На практике используют другую форму записи многочлена. Положим
t
x  xn
или x  xn  th . Тогда:
h
Pn ( x)  yn  t yn 1 

t  t  1
t  t  1 2
 yn  2 
2!
 t  n  1  n y
0
n!
(19)
Оценка погрешности второго интерполяционного
многочлена Ньютона:
 n1 y
Rn  x  
 t  t  1 t  2  ...  t  n  , n1 y  max  n1 ym
0mn
 n  1!
(21)
Формулу (21) используют для интерполирования в конце таблицы.
Если требуется найти значение функции y  f ( x) при значении x  x* , то в
качестве xn берут ближайшее к x* , большее значение аргумента из чисел,
содержащихся в таблице. Говорят, что второй многочлен Ньютона применяется
для интерполирования назад.
5
Пример
Функция y  f ( x) задана таблицей значений с шагом h.
xi
0,150
0,160
0,170
0,180
0,190
0,200
0,210
yi
0,27944
0,28438
0,28932
0,29425
0,29918
0,30411
0,30903
а) Записать первый интерполяционный многочлен Ньютона второго
порядка, предварительно составив таблицу разностей. Вычислить значения
функции для x*  0,161 при помощи первого многочлена Ньютона.
б) Найти оценку погрешности полученного значения.
6
а) Согласно формуле (13) составляем таблицу, аналогичную таблице 3,
получаем Таблицу 4а.
Таблица 4а.
Конечные разности для примера 3.
xi
yi
0,150
0,27944
yi 105
 2 yi 105
 3 yi 105
494
0,160
0,28438
0
494
0,170
0,28932
-1
-1
493
0,180
0,29425
1
0
493
0,190
0,29918
0
0
493
0,200
0,30411
-1
-1
492
0,210
0,30903
7
Используем формулу (15), берем данные, находящиеся в выделенных
ячейках Таблицы 4a, тогда
P2 ( x)  P2 ( x0  th)  y0  t  y0 
t  t  1 2
 y0 .
2!
В нашем случае:
x0  0,160, y0  0, 28438, y0  0,00494,  2 y0  0, 00001,
x*  x0 x*  x0 0,161  0,160
t


 0,1.
h
0,01
0,01
P2 (0,161)  P2 (0,160  0,1  0,01)  0, 28438  0,1  0,00494 

0,1 0,1  1
  0, 00001  0, 2849 .
2!
б) Оценку погрешности полученного значения можно получить,
используя формулу (17).
3 y
0, 00001
R2  0,161 
 t  t  1 t  2  
 0,1 0,1  1 0,1  2  
23
 2  1!
 2,85  107 .
8
Пример
Функция y  f ( x) задана таблицей значений
xi
0,150
0,160
0,170
0,180
0,190
0,200
0,210
yi
0,27944
0,28438
0,28932
0,29425
0,29918
0,30411
0,30903
а) Записать второй интерполяционный многочлен Ньютона второго
порядка. Вычислить значения функции для x*  0,198 при помощи второго
многочлена Ньютона.
б) Найти оценку погрешности полученного значения.
9
Конечные разности для примера 4.
xi
yi
0,150
0,27944
yi 105
 2 yi 105
 3 yi 105
494
0,160
0
0,28438
-1
494
0,170
-1
0,28932
1
493
0,180
0
0,29425
0
493
0,190
0
0,29918
-1
493
0,200
-1
0,30411
492
0,210
0,30903
10
Используя формулу (19), берем данные, находящиеся в выделенных
ячейках Таблицы 4б, тогда
P2 ( x)  y5  t  y51 
t  t  1 2
 y52 .
2!
В нашем случае:
xn  x5  0, 200, yn  y5  0,30411, y 4  0,00493,  2 y3  0,00000,
x*  xn x*  x5 0,198  0, 200
t


 0, 2 .
h
0,01
0,01
P2 (0,198)  0,30411  0, 2  0,00493 
0,1 0,1  1
 0  0,30312 .
2!
б) Оценку погрешности полученного значения можно получить, используя
формулу (21).
3 y
R2  0,198 
 t  t  1 t  2  
2

1
!
 

0, 00001
 (0, 2)  0, 2  1 0, 2  2   4,8  107 .
23
11
Интерполяционные формулы Гаусса и Стирлинга
Представление конечных разностей для формул Гаусса.
xi
yi
x4
y4
yi
 2 yi
3 yi
 4 yi
 5 yi
 6 yi
y4
x3
 2 y4
y3
y3
x2
3 y4
 2 y 3
y2
y2
x1
3 y3
y0
x1
3 y1
y1
x2
3 y0
y2
x3
5 y2
 4 y1
 6 y2
5 y1
 4 y0
 2 y1
y2
 6 y 3
 4 y2
 2 y0
y1
 6 y4
5 y3
3 y2
 2 y1
y0
5 y4
 4 y 3
 2 y2
y1
y1
x0
 4 y4
3 y1
 2 y2
y3
y3
x4
y4
12
В Таблице 5 эти ячейки выделены и разности y1 , y0 ,  2 y1 ,…
называются центральными разностями, где xi =x0  ih , i =0, 1, 2,... .
Пусть имеется 2n  1 равноотстоящих узлов интерполирования
x n , x n 1 ,..., x1, x0 , x1,..., xn 1, xn , где
xi =xi 1  xi  h , i =  n,   n  1 ,..., n 1, n ,
и для функции y  f ( x) известны её значения в этих узлах yi  f ( xi ) .
Требуется построить полином P( x)  P2n ( x) степени не выше 2n такой,
что P2n ( xi )  yi при i =0, 1, 2,...,  n .
Будем искать этот полином в виде
P2n ( x)  a0  x  x1   a1  x  x0   a2  x  x0   x  x1   a3  x  x0   x  x1  x  x2  


...  a2n x  x  n 1 ...  x  x1   x  x0   x  x1  ...  x  xn 1  x  xn 
По аналогии с формулами (14) и (18) с учетом того, что  k P2n ( xi )   k yi ,
находим
коэффициенты
обозначив q 
a2i 
 2i yi
 2i  !h
2i
,
a2i 1 
 2i 1 yi 1
 2i  1!h
2i 1
,
далее
x  x0
и сделав соответствующую замену, получим первую
h
интерполяционную формулу Гаусса (для интерполяции вперед)
13
и для функции y  f ( x) известны её значения в этих узлах yi  f ( xi ) .
Требуется построить полином P( x)  P2n ( x) степени не выше 2n такой,
что P2n ( xi )  yi при i =0, 1, 2,...,  n .
Будем искать этот полином в виде
P2n ( x)  a0  x  x1   a1  x  x0   a2  x  x0   x  x1   a3  x  x0   x  x1  x  x2  


...  a2n x  x  n 1 ...  x  x1   x  x0   x  x1  ...  x  xn 1  x  xn 
По аналогии с формулами (14) и (18) с учетом того, что  k P2n ( xi )   k yi ,
находим
a2i 
коэффициенты
обозначив q 
 2i yi
 2i  !h2i
,
a2i 1 
 2i 1 yi 1
 2i  1!h2i 1
,
далее
x  x0
и сделав соответствующую замену, получим первую
h
интерполяционную формулу Гаусса (для интерполяции вперед)
q  q  1 y 2 1  q  1 q  q  1 y 31


P2n ( x)  y0  qy0 
3!
2!
q  1 q  q  1 q  2  y 4 2

 ...

4!
q  n  1 ...  q  1 q  q  1 ...  q  n  1 y 2 n 1 n 1



 2n  1 !
q  n  1 ...  q  1 q  q  1 ...  q  n  y 2 n  n

.

 2n  !
(22)
14
Первая интерполяционная формула Гаусса содержит центральные
разности y0 ,  2 y1 , 3 y1 ,  4 y2 , 5 y2 ,  6 y3 .
Аналогично можно получить вторую интерполяционную формулу Гаусса,
содержащую центральные разности y1 ,  2 y1 , 3 y2 ,  4 y2 , 5 y3 ,  6 y3
Вторая интерполяционная формула Гаусса (для интерполирования
назад) имеет вид
q  q  1 y 2 1  q  1 q  q  1 y 32
P2n ( x)  y0  qy1 


2!
3!
q  1 q  q  1 q  2  y 42


 ...
4!
q  n  1 ...  q  1 q  q  1 ...  q  n  1 y 2n 1 n



 2n  1 !
q  n  1 ...  q  1 q  q  1 ...  q  n  y 2n  n


.
 2n  !
(23)
Формулы Гаусса применяются для интерполирования в середине
таблицы: при x  x0 используют (22), при x  x0 – (23).
15
Среднее арифметическое первой и второй интерполяционных формул
Гаусса (22) и (23) дает формулу Стирлинга


q 2  1 q y 3  y 3
y0  y1 q 2
2
1
2 
P2n ( x)  y0  q 

 y 1 
2
2!
3!
2


q q 2  12
4!
  y4   q2  22  q2  12  q y52  y53  ...
2
 q   n  1  ... q  3  q  2  q  1 
2
2

5!
2
2
2
2
2
2
 2n  1 !
2
q y 2n 1 n 1  y 2 n 1 n
 
q   n  1  ...  q  3  q  2  q  1  q


 y
2
2
2
2
2
2
2
2
(24)

2
 2n  !
2n
n .
Оценка остаточного члена формулы (24) имеет вид
q   n   ...  q  3  q  2  q  1  q

R  x 
h
2
2n
2
2
2
2
 2n  1 !
2
2
2
2
2 n 1
 f
2n 1
 x  ,(25)
где x   x0  nh, x0  nh  .
16
Пример. Приняв шаг h  0, 05 , построить интерполяционные полиномы
Гаусса и Стирлинга для функции y   x3  x 2  2 x  2 , заданной таблицей.
Найти значение полиномов в точках x*  0,32, x**  0,37 .
x
y
0,2
2,352
0,25
0,3
2,4219 2,483
0,35
0,4
2,5346 2,576
0,45
0,5
2,6064 2,625
Представление конечных разностей для примера 5.
xi
yi
0,2
2,352
yi
 2 yi
3 yi
0,0699
0,25
2,4219
-0,0088
0,0611
0,3
2,483
-0,0007
-0,0095
0,0516
0,35
2,5346
-0,0007
-0,0102
0,0414
0,4
2,576
-0,0008
-0,011
0,0304
0,45
2,6064
-0,0008
-0,0118
0,0186
0,5
2,625
17
Так как разности третьего порядка практически постоянны, то в первой
интерполяционной формуле Гаусса (22) полагаем рассматривать конечные
разности до порядка n  3 включительно. Они выделены в таблице. Таким
образом, ищем полином третьего порядка. Приняв x0  0,35, y0  2,5346 ,
имеем
q  q  1 0, 0102   q  1 q  q  1 0, 0008 


(*)
2!
3!
 2,5346  q0, 0414  0, 0051q  q  1  0, 00013  q  1 q  q  1 .
P2n ( x)  2,5346  q0, 0414 
По (23) для второй интерполяционной формулы Гаусса получим
q  q  1 0, 0102   q  1 q  q  1 0, 0007 


(**)
2!
3!
 2,5346  q0, 0516  0, 0051q  q  1  0, 00017  q  1 q  q  1 .
P2n ( x)  2,5346  q0, 0516 
Здесь q 
x  0, 35
 20  x  0, 35  .
0, 05
Интерполяционный полином Стирлинга согласно (24) примет вид:


q 2  1 q  0, 0008  0, 0007 
0, 0414  0, 0516 q 2
P2n ( x)  2, 5346  q 

  0, 0102  

2
2!
3!
2


 2, 5346  q  0, 0456  0, 0051q 2  0, 0005 q 2  1 q.
18
Найдем значения интерполяционного многочлена Гаусса.
При x*  0,32 , q  0, 6 , x*  x0 , поэтому используем (**), получаем
P6 (0,32)  2, 4987.
При
x**  0,37 , q  0, 4 , x**  x0 , то используем (*), получаем
P6 (0,37)  2,5151.
Интерполяционный
многочлен
P6 (0,32)  2,5052 и P6 (0, 37)  2, 5522.
Стирлинга
дает
значения
19
Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов является непосредственным результатом
применения исследования на экстремум функции нескольких переменных и
заключается в следующем. На плоскости Oxy имеется система из n точек
 x1, y1  ,...,  xn , yn 
некоторой функции
y  f  x  . Требуется подобрать
некоторую функцию F (x), которая «сглаживала» бы все точки этой системы,
n

т.е. величина  2  f    F  xi   yi
i 1
2 , была бы минимальной;  F  xi   yi 2
– квадрат отклонения ординаты функции F (x) в точке x , от ординаты данной
точки. Полученная функция F (x) называется аппроксимирующей для данной
функции
f (x),
а
процесс
построения
–
точечной
квадратичной
аппроксимацией.
20
При этом функция F (x) может иметь разный вид, который зависит от
исходных данных. На рисунке 9 изображены три ситуации:
• на графике (а) взаимосвязь х и у близка к линейной; прямая линия
близка к точкам наблюдений, и последние отклоняются от нее лишь в
результате сравнительно небольших случайных воздействий;
• на графике (b) реальная взаимосвязь величин х и у описывается
нелинейной функцией, и какую бы мы ни провели прямую линию, отклонения
точек наблюдений от нее будут существенными и неслучайными;
• на графике (с) явная взаимосвязь между переменными х и у отсутствует;
какую бы мы ни выбрали формулу связи, результаты ее параметризации будут
здесь неудачными.
Рисунок 9 Разный вид зависимости исходных данных: а) линейная, b)
квадратичная, c) нет зависимости
21
Наиболее часто встречающиеся функции,
аппроксимации методом наименьших квадратов:
используемые
для
y  ax  b
y  ax 2  bx  c
y  ax m
y  aemx
1
y
ax  b
y  a ln x  b
a
y  b
x
x
y
ax  b
22
В
случае,
квадратическое

2
если
F  x   ax  b , речь идет о поиске прямой,
отклонение
которой
(рисунок
10)
n
 a; b     axi  b  yi 2 от данной системы точек было бы минимальным.
i 1
Рисунок 10 Исходные данные и построенная линейная функция
Существование минимума такой функции очевидно, поэтому
соответствующие коэффициенты à и b прямой можно найти, используя только
необходимые условия экстремума для функции двух переменных à и b
n
 2
2

a
;
b

2
ax

b

y
xi  0,





i
i
 a

i 1

n
   2  a; b   2  ax  b  y 2  0.

i
i
 b
i 1
(33)
23
Данные для метода наименьших квадратов
№
xi
yi
xi 2
xi yi
B1, A2
C2
A1
C1
axi  b
axi  b  yi
 axi  b  yi 2
1
n

№
xi
δ2  F 
 i  axi  b  yi
yi
 yi 
i
yi
1
n

n
 i
  i 1
n
n
  yi
 y  i 1
n
24
После
 F  
n
нахождения
  F  xi   yi 
2
F  x   ax  b
полученная
характеризует
среднеквадратическую
величина
i 1
погрешность построения. Значения  i ,  yi характеризуют абсолютную и
относительную погрешности соответственно полученной зависимости от
системы заданных точек, а  ,  y – средние значения.
25
Пример . Дана система точек, координаты которых указаны в таблице,
число точек n  6 . Требуется построить прямую с уравнением F  x   ax  b ,
чтобы она отличалась как можно меньше от данной системы точек в смысле
наименьших квадратов.
X -1 0 1 2
3 4
Y 0 2 3 3,5 3 4,5
№
xi
yi
xi 2
xi yi
axi  b
axi  b  yi
 axi  b  yi 2
1
2
3
4
5
6
-1
0
1
2
3
4
0
2
3
3,5
3
4,5
1
0
1
4
9
16
0
0
3
7
9
18
0,81
1,55
2,29
3,03
3,77
4,51
0,81
-0,45
-0,71
-0,47
0,77
0,01
0,6561
0,2025
0,5041
0,2209
0,5929
0,001

9
16
31
37
2,1766
B1, A2 C2
A1
C1
δ2  F 
26
Первый столбец обозначает номер по порядку записи точек. Из сумм
столбцов при xi , yi , xi 2 , xi yi составляются коэффициенты системы для
определения параметров a и b прямой F  x   y  ax  b . Система имеет вид:
31a  9b  37;

9a  6b  16.
Решим ее методом определителей (Крамера):
Δ
31 9
9 6
 105, 1 
31 37
37 9
 163 ,
 78 ,  2 
9 16
16 6
1 78

163

 0, 74 , b  2 
 1, 55 .
 105
 105
Искомое уравнение y  0, 74 x  1, 55 .
a
Погрешность (среднеквадратическая) вычисляется по данным последнего
столбца   F  
n
  F  xi   yi   2,1776  1, 46 .
2
i 1
27
№
1
2
3
4
5
6

xi
-1
0
1
2
3
4
yi
0
2
3
3,5
3
4,5
 i  axi  b  yi
 yi 
i
yi
0,81
0,45
0,71
0,47
0,77
0,01
∞
0,225
0,2367
0,1343
0,2567
0,0022
  0, 5367
 y  0,1710
28
Пример. Дана система точек, координаты которых указаны в таблице,
число точек n  6 . Требуется построить параболу с уравнением
F  x   ax2  bx  с , чтобы она отличалась как можно меньше от данной
системы точек в смысле наименьших квадратов. Полученные погрешности
сравнить с результатами примера 7.
X -10 -8 -5 -2 1 2
Y -1 2 0 -2 -4 -10

i 1
n
 2  a; b; c    ax 2i  bxi  c  yi
.
2
n
2
 2
2

a
;
b
;
c

2
ax

bx

c

y
x 2 i  0,



i
i
i
 a
i 1

n
2
 2

a
;
b
;
c

2

  ax 2 i  bxi  c  yi xi  0,

i 1
 b
n
 2
2
2
   a; b; c   2 ax i  bxi  c  yi  0.
i 1
 c






29
№
xi
yi
xi 2
xi 3
xi 4
xi yi x 2 y
i i
1
2
3
4
5
6
-10
-8
-5
-2
1
2
-22
-1
2
0
-2
-4
-10
-15
100
64
25
4
1
4
198
-1000
-512
-125
-8
1
8
-1636
10000
4096
625
16
1
16
14754
10
-16
0
4
-4
-20
-26
-100
128
0
-8
-4
-40
-24

B3 ,
D3
C1 ,
B1 ,
A1
D2
D1
B2 ,
A2
С2
F  xi 
F  xi   yi
 F  xi   yi 2
-1
0,5
0,8
-1,5
-6,3
-8,5
0
-1,5
0,8
0,5
-2,3
1,6
0
2,1
0,62
0,26
5,24
2,4
10,63
δ2  F 
A3
C3  n
30
 А1a  A2b  A3c  D1

B1a  B2b  B3c  D2
C a  C b  nc  D
2
3
 1
14754a  1636b  198c  24,

1636a  198b  22c  26,
198a  22b  6c  15.

 110676
a 1 
 0,14,

818280

1423260
b 2 
 1, 74,

818280

3612012
c 3 
 4, 41.

818280
31
Погрешность (среднеквадратическая) вычисляется по данным последнего
столбца   F  
n
  F  xi   yi   101, 74  10, 09 . В предыдущем
2
i 1
примере она равнялась 1,46. Далее вычисляем абсолютную и относительную
погрешности  i ,  yi и средние значения   17, 2,  y  4, 606 . Поэтому
данные необходимо сглаживать линейной функцией.
32
Применение дифференциала к приближенным
вычислениям
Производная для функции f  x  в точке x равна
f  x  x   f  x 
y
.
 lim
x
x 0
x 0 x
При достаточно малых приращениях аргумента x
f   x   lim
справедливо
приближенное равенство
f  x  x   f  x   f   x   x .
(35)
Абсолютная погрешность формулы (35)
 y  M  x  , M  max
2
 x, x x
f   x  .
Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение
функции, поэтому широко применяется в вычислительной практике следующая
формула
y  dy  f   x  x .
33
Пример
Найти
приближенное
значение
приращения
функции
у  х3  2х  1 при x  2 и x  0, 001.
Решение.
Используем формулу (36).





y  dy  х3  2х  1 x  3 x 2  2 x ,
dy x  2
x  0,001


 3  22  2 0, 001  0, 01.
Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифференциал
функции вместо ее приращения. Для этого найдем y

 
 

y   х  x   2  х  x   1  х3  2х  1  3x 2  3x  x  x 2  2 x ,
y x  2
x  0,001
3


 3  22  3  2  0, 001  0, 0012  2 0, 001  0, 010006 .
Абсолютная погрешность приближения равна
y  y  dy  0, 010006  0, 01  0, 000006 .
Как видим, погрешность довольно маленькая относительно значения
приращения, т.е. относительная погрешность
 y 
 y
y

0, 000006
 6  104 .
0, 010006
Ответ. y  dy x  2
x  0,001
 0, 01.
34
Пример . Вычислить приближенно arctg 1, 05 , используя приращения.
Оценить погрешность.
Решение.
Рассмотрим функцию f  x   arctg  x  , тогда по (35) имеем
arctg  x  x   arctg  x   arctg   x  x ,
т. е. arctg  x  x   arctg  x  
x
.
1  x2
Так как x  x  1, 05 , то при x  1, x  0, 05 получаем
arctg1, 05  arctg1 
0, 05

  0, 025  0,810 .
1  12 4
Значение функции, вычисленное на калькуляторе
arctg1, 05  0,809783573 .
Абсолютная погрешность  arctg1,05  0,810  0,809783573  0, 000216 .
Относительная погрешность
 arctg1,05 
 arctg1,05
arctg1, 05

0, 000216
 2, 7  104 .
0,809783573
Оценка сверху для абсолютной погрешности показывает корректность
вычислений
arctg1,05  M  0, 05  0, 0025* 0,5  0, 00125 ,
2
M  max f   x   max 
1;1,05
1;1,05
2x
1  x 
2 2
 0, 5 .
35
Линеаризацией функции z  f  x; y  в окрестности точки M 0 (x; y )
называется приближенное равенство (тем точнее, чем меньше Δx и Δy ):
f x0  Δx; y 0  Δy   f x0 ; y 0   f x x0 ; y 0 Δx  f y x0 ; y 0 Δy.
Это соотношение используется
дифференцируемую функцию можно
окрестности рассматриваемой точки.
(37)
в приближенных вычислениях:
заменить линейной функцией в
Пример . Вычислить приближенно 1, 023, 01 , используя приращения.
Оценить погрешность.
Решение.
функцию
Рассмотрим
z  xy.
x  1, x  0, 02, y  3, y  0, 01 .
z x , z y :
найдя
предварительно
Тогда
1, 023,01   x  x 
Воспользуемся

z x  x y x  yx y 1 ,
 
y y
,
где
(37),
формулой

z y  x y y  x y ln x .
 
Следовательно, 1,02 3,01  13  3  131  0,02  13  ln 1  0,01  1,06 .
Абсолютная погрешность

1,023,01
 1, 061418168  1, 06  0, 001418168 .
Относительная погрешность



3,01
1,02
1,023,01
1,023,01

0, 001418168
 1, 3  103 .
1, 06
36
Применение рядов к приближенным вычислениям значений
функций
Пусть требуется вычислить значение функции
f  x  при x  x1 с
заданной точностью   0.
Если функцию f  x  в интервале  R; R  можно разложить в степенной
ряд
f  x   a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n  ...
и x1   R; R  , то точное значение f  x1  равно сумме этого ряда при x  x1 , то
есть
f  x1   a0  a1 x1  a2 x1  ...  an x1  ...,
2
n
а приближённое – частичной сумме s n  x1  , то есть
f  x1   sn  x1   a0  a1 x1  a2 x1  ...  an x1 .
2
n
Точность этого равенства увеличивается с ростом n . Абсолютная
погрешность этого приближённого равенства равна модулю остатка ряда, то
есть
f x1   sn x1   rn x1  ,
где
rn  x1   an1 x1n1  an 2 x1n 2  ....
Таким образом, ошибку
rn  x1  ряда.
f x1   sn x1  можно найти, оценив остаток
Для рядов лейбницевского типа
rn x1   un1 x1   un2 x1   un3 x1   ...  un1 x1  .
37
разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций
x x 2 x3
xn
e 1 

 ... 
 ... ,
1! 2! 3!
n!
   x   ;
2 n 1
x x3 x5 x7
n 1 x
sin x      ...   1
 ... ,
2n  1!
1! 3! 5! 7!
   x   ;
x2 x4
x 2n
n
cos x  1 

 ...   1 
 ...,
2n !
2! 4!
   x   ;
x
1  x m  1  m x  mm  1 x 2  mm  1m  2 x 3  ...  mm  1...m  n  1 x n  ...,
1!
2!
3!
n!
 1  x  1;
n
x 2 x3
n1 x
ln 1  x   x 

 ...   1
 ... ,
2
3
n
 1  x  1;
2 n1
x3 x5
n x
arctgx  x 

 ...   1
 ...,
3
5
2n  1
 1  x  1;
(38)
1 x3 1  3 x5 1  3  5 x7
1  3  ...  2n  1 x 2 n1
arcsin x  x  






 ... ,
2n  1
2 3 24 5 246 7
2  4  ...  2n
 1  x  1;
38
Пример. Вычислить число e , пользуясь разложениями в ряд Тейлора, с
точностью до 0,001.
Решение. Подставляя x  1 в первую из формул (38), получим
1 2
1
e  1    ...   ....
1! 2!
n!
Справа стоит знакоположительный ряд. Возьмём n слагаемых и оценим ошибку
rn  x  :
rn  x  

1
1
1
1 
1
1


 ... 

 ... 
1 
n  1! n  2! n  3!
n  1!  n  2 n  2n  3 



 1

1 
1
1
1
1


1 


 ... 
,
1
n  1!  n  1 n  12


n

1
!
n
!
n



1 

n 1

1
то есть rn x  
. Остаётся подобрать наименьшее натуральное число n ,
n!n
1
чтобы выполнялось неравенство
 0,001 .
n!n
Нетрудно вычислить, что это неравенство выполняется при n  6.
Поэтому имеем
1 1 1 1 1
517
e 11      2
 2,718.
2! 3! 4! 5! 6!
720
Оценку остатка ряда можно производить с помощью остаточного члена
ряда Маклорена
f n1 c 
f  x1   sn  x1   Rn  x1  
,
n  1!
39
1
 0,001 .
n!n
Нетрудно вычислить, что это неравенство выполняется при n  6.
Поэтому имеем
517
1
1
1
1
1
 2,718 .
  2
 
e 11
720
2! 3! 4! 5! 6!
Оценку остатка ряда можно производить с помощью остаточного члена
ряда Маклорена
чтобы выполнялось неравенство
f n1 c 






f x1  s n x1  Rn x1 
,
n  1!
ec
,
где c находится между 0 и x1 . В рассмотренном примере Rn 1 
n  1!
0  c  1. Так как e c  e1  3, то Rn 1 
R6 1 
3
. При n  6 имеем:
n  1!
3
1
1
 0,001; e  1  1 
 ...   2,718 .
7!
2!
6!
Ответ. e  2, 718.
40
Пример . Вычислить значение sin 1 с точностью до 0,001, пользуясь
разложениями в ряд Тейлора.
Решение. Известно разложение в ряд функции f ( x)  sin x (вторая
формула в (38))
2 n 1
x x3 x5 x7
n 1 x
sin x  


 ...   1
 ... ,
2n  1!
1! 3! 5! 7!
   x   .
Принимая в этом разложении x  1, получаем:
1 1 1 1
1
1
1
sin 1      ...  1  

 ... 
1! 3! 5! 7!
6 120 5040
 1,0000  0,1667  0,0083  0,0002  ... .
Каждое слагаемое мы вычисляем с точностью до 0,0001 (т. е. с одним
запасным знаком), чтобы при суммировании не получить погрешность,
превышающую 0,001. Для достижения результата с заданной степенью
точности 0,001 отбрасываем слагаемые, которые по абсолютной величине
1
меньше точности 0,001. Четвертый член 
по абсолютной величине равен
5040
1
 0,0002 и это число меньше 0,001, поэтому его и следующие за ним
5040
члены можно отбросить. Итак,
sin1  1,0000  0,1667  0,0083  0,8416 .
В окончательном результате запасной знак отбрасываем: sin1  0,842 .
41
Пользуясь первой интерполяционной формулой Ньютона второй степени,
найти значение функции y  f  x  для заданного x* . Пользуясь второй
интерполяционной формулой Ньютона второй степени, найти значение
функции y  f  x  для заданного x** . Оценить погрешность полученного
результата.
Вариант
y  f  x
x*
x**
0,03
0,32
1
x
y  f  x
x
y  f  x
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,2908
0,2927
0,3334
0,3690
0,4001
0,4187
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,4225
0,4774
0,4922
0,5068
0,5209
42
А) Дана система точек, координаты которых указаны в таблице, число
точек n  6 . Требуется построить прямую с уравнением F  x   ax  b , чтобы
она отличалась как можно меньше от данной системы точек в смысле
наименьших квадратов. Построить точки и график в excel.
Б) Требуется построить параболу с уравнением F  x   ax2  bx  с ,
чтобы она отличалась как можно меньше от данной системы точек в смысле
наименьших квадратов. Полученные погрешности сравнить с результатами
задачи 1. Построить точки и график в excel.
х
у
1
5,3
2
6,3
3
4,9
4
3,6
5
4,1
43
Вычислить приближенно с использованием приращения. Оценить
погрешность.
Значение 1
Значение 2
Сведение
к
функции Сведение к
одного аргумента
аргументов
0,98
2,013  1
arcsin
1,05
функции
двух
44
Вычислить значение, пользуясь разложениями в ряд Тейлора с заданной
точностью.
Вариант
значение
точность 
Sin27
0,0001
45