Адмиралтейский район ГОУ СОШ № 255 Секция «Математика»

Адмиралтейский район
ГОУ СОШ № 255
Секция «Математика»
Исследование на тему «Комбинаторика. История развития. Комбинаторные задачи»
Василишин Н.,
учащийся 8 класса А
Руководитель
Булатова Л.А.
Санкт-Петербург
2008
План работы.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Цели и задачи работы.
Комбинаторика в Древнем Китае и Древней Греции
Магия, астрология и комбинаторика.
Комбинаторика в арабских странах и Индии.
Комбинаторика и азартные игры.
Основные типы комбинаторных задач – перестановки, размещения, сочетания.
Приложение. Практические задачи.
Цель работы - проследить историю развития и возникновения комбинаторики, а
также рассмотреть основные формулы и подобрать практические задачи.
Задачи – изучить литературу по теме; рассмотреть развитие комбинаторики в разных
странах; рассмотреть влияние на развитие науки азартных игр, астрологии и магии;
познакомиться с основными типами задач комбинаторики и правилом умножения;
подобрать и решить задачи
Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько
различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из
заданных объектов.
Комбинаторика связана со многими другими областями математики - алгеброй,
геометрией, теорией вероятности, и имеет широкий спектр применения, например в
информатике и статистической физике.
С задачами, получившими название комбинаторные, люди столкнулись в глубокой
древности. Уже несколько тысячелетий назад в Древнем Китае увлекались составлением
магических квадратов, в которых заданные числа располагались так, что их сумма по всем
вертикалям и горизонталям была одной и той же.
Первое упоминание о вопросах, близких к комбинаторным, встречается в китайских
рукописях (ХII-XIII век до н.э.). В этих книгах писалось, что все в мире является сочетанием
двух начал - мужского (———) и женского (——— ———). В рукописи «Же Ким» («Книга
перестановок») показаны различные соединения этих знаков по 2 и по 3.
В Древней Греции занимались теорий фигурных чисел, которые соответствовали
точками, расположенных в виде какой-нибудь геометрической фигуры – треугольника,
квадрата и др
2
Например, число 10 называли треугольным, а 16 квадратным. Также
изучали фигуры, которые можно составить из частей особым образом разрезанного квадрата
По намекам и пересказам, оставшимся в сохранившихся рукописях Древней Греции
можно судить, что определенные представления о комбинаторике у греческих ученых были.
Философ Ксепократ умел подсчитывать число слогов. Хриссипи полагал, что число
утверждений, получаемых из 10 аксиом, превышает миллион. По мнению Гиппарха, из
утверждающих аксиом можно составить 103 049 сочетаний, а добавив к ним отрицающие,
310 952.
Две тысячи двести лет назад великий древнегреческий математик Архимед написал
трактат под названием "Стомахион" (Stomachion). В отличие от других текстов,
принадлежащих перу Архимеда, содержание этого трактата и даже смысл самого названия в
течение столетий были покрыты мраком..
Историки математики из Стэнфорда, разбирая записи на древнем пергаменте,
который был подчищен и использован в более поздние времена монахами, а затем почти
необратимо разрушен сыростью почвы, заявили, что способны все-таки пролить некоторый
свет на тайну содержания этого трактата. В процессе изучения древнего текста открылось
много удивительного. Доктор Ревил Нетз считает, что этот трактат был посвящен ни много
ни мало как комбинаторике, то есть науке, о которой, как считалось ранее, древнегреческие
ученые ничего еще в те времена не знали.
Среди всех работ Архимеда "Стомахион" в наименьшей степени привлекал внимание
историков, поскольку его содержимое считалось либо незначительным, либо непонятным. За
прошедшие тысячелетия сохранился только крошечный фрагмент введения, а поскольку
название, казалось, совпадало с названием детского желудочного заболевания, то это
автоматически лишало текст в глазах многих ученых всякого интереса. Фактически смысл
рукописи был просто неверно истолкован, считает Нетз.
Архимед на самом деле пробовал установить, сколькими путями 14 полос, имеющих
неправильную форму, могли быть соединены вместе так, чтобы в результате получился
квадрат.
Ответ - 17 152 - потребовал тщательного и систематического подсчета всех возможностей.
"Это было непросто", - говорит доктор Перси Диаконис , статистик из Стэнфорда, который
работал над этой проблемой вместе со своими коллегами Независимо от них ученыйкомпьютерщик доктор Уильям Х. Катлер из Чикаго написал соответствующую программу,
которая подтвердила, что ответ математиков верен.
3
Со II века начинается быстрый упадок науки в эллинистических странах. Многие
работы того времени были посвящены мистическим толкованием чисел.
Во время богословских споров ,начавшихся после победы христианства, старались
получить из имен еретиков число 666 - символ антихриста, «звериное число». Такие
попытки принимались и позднее - лютеране пытались вывести число 666 из имени римского
папы, а католики - из имени М. Лютера. Такого рода исследования дают толчок к
дальнейшему развитию комбинаторики.
Наряду с каббалистами комбинаторикой в эти темные времена упадка науки
занимались и астрологи. Их интересовал вопрос о движении планет и их «влиянии» на
судьбы людей. Особое значение они придавали сочетаниям планет - встречам различных
планет в одном знаке зодиака. Астролог бен Эзра в 1140 г. рассчитал количество сочетаний
по две, по три и т.д. он знал, что число сочетаний планет по две равно числу сочетаний
планет по пять, а число их сочетаний по три равно числу сочетаний по четыре. В
современных символах это выглядит так: С27=С57 ;C37=C47.
В VIII веке начался расцвет арабской науки. Арабы перевели многие творения
греческих ученых, изучили их, а затем продвинулись вперед в областях, мало привлекавших
внимание греков, - в науке о решении уравнений (само слово «алгебра» - арабского
происхождения), теории и практике вычислений и т.д. Решая вопрос об извлечении корней
любой степени, арабские алгебраисты пришли к формуле для степени суммы двух чисел,
известной под исторически неверным названием «бином Ньютона». Уже в VIII веке такую
формулу приводит в своих трудах Насир-ад-Дин ат-Туси, а в XV веке она была исследована
Гиясэддином аль-Каши.
Одновременно с арабами вычислением биномиальных коэффициентов занимались
китайские математики. Они составили к XIII веку такую таблицу вплоть до n = 8,
приведенную в книге алгебраиста Чжу Ши-Дзе «Яшмовое зеркало». Позднее Б.Паскаль
подробно описал получаемый цифровой треугольник и указал общую формулу для любого
п.
Интересовались сочетаниями и в Индии. В XII веке индийский математик Бхаскара
написал книгу «Лилавати», в которой среди других вопросов о математике изучает и
проблемы комбинаторики. Он пишет о применениях перестановок к подсчету вариаций
размера в стихосложении, различных расположений в архитектуре и т.д. Он дает также
правила для отыскания числа перестановок и сочетаний нескольких предметов, причем
рассматривает также и случай, когда в этих перестановках есть повторяющиеся элементы.
4
В начале XII в. Западная Европа начала пробуждаться после многовековой духовной
спячки. Развитие торговли с востоком вызвало проникновение в Европу арабской науки.
Наиболее смелые и любознательные европейцы пробирались в находившуюся под
владычеством арабов Испанию, и знакомились там не только с творениями греческих
ученых, но и с достижениями арабской и индийской научной мысли - алгеброй и десятичной
системой исчисления.
Значительный толчок к развитию комбинаторики дали азартные игры,
существовавшие еще в глубокой древности. Наибольшее распространение получили
шахматы и игра в кости. Но кости долго не подвергались математическому исследованию.
Игроки замечали, некоторые суммы очков выпадают часто, а другие - редко. Пытаясь
понять, в чем дело, составили таблицы, показывающие, сколькими способами можно
получить то или иное число.
Задачи о расстановке фигур на шахматной доске были подвергнуты более
тщательному изучению. Одним из примеров таких задач является подсчет количества
возможностей расстановки на шахматной доске 8 ладей так, чтобы ни одна из них не
оказалась под боем.
Комбинаторные задачи приходится решать и при составлении и разгадывании
шифров, при изучении древних письменностей.
Комбинаторика становится наукой только в 17 в. - в период, когда возникла теория
вероятностей. Первым начал рассматривать комбинаторику как самостоятельную ветвь
науки немецкий философ и математик Г.Лейбниц. В его работе «Об искусстве
комбинаторики» впервые появляется термин комбинаторика.
По мере развития комбинаторики выявилось несколько основных типов задач, к
которым сводится большинство комбинаторных проблем, а также были выведены правила и
формулы.
В записи комбинаторных формул часто используется факториал. Факториал - это
произведение всех чисел от 1 до n. Факториал обозначается !.
Рассмотрим важное правило комбинаторики «Правило умножения»
Для того чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух
испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число исходов
испытания В.
Допустим, есть квадратная таблица 2х2, в которую произвольно ставят крестики и
нолики.
5
Сколькими способами можно заполнить эту таблицу?
Т.к. всего 4 клетки, а вариантов заполнения каждой клетки- 2, то можно узнать
сколькими способами можно заполнить таблицу, умножив 2х2х2х2. получаем 16 вариантов.
В скольких случаях в левой нижней клетке будет стоять крестик?
Мы знаем, что всего имеется 16 вариантов заполнения таблицы. Так как вариантов
заполнения каждой клетки - 2, то крестик в левой нижней клетке будет стоять в 8 случаях
(16:2=8)
В скольких случаях в верхней левой и нижней правой клетках будут стоять разные
значки?
Получаем, что вариантов заполнения первой и четвертой клеток - по 1, значит
вариантов заполнения получается 1х2х2х1= 4.
Основные задачи комбинаторики связаны с нахождением количества перестановок,
размещений и сочетаний. Рассмотрим каждый вид.
Пусть имеется n различных между собой объектов, расположенных в ряд.
Каждое такое расположение назовем перестановкой.
Общее количество всевозможных перестановок n элементов вычисляется по формуле Рn = n!
Например, сколькими способами можно разместить в ряд музыкантов из известного квартета
басни И.А.Крылова? Так как на первое место может сесть один из четырех участников, на
втрое один из трех оставшихся и т.д. получается , что всего способов рассадки 4*3*2*1= 4! =
24
Иногда нужно из n различных объектов отобрать произвольные m и расположить их
в некотором порядке.
Каждое такое упорядоченное расположение называют размещением. Общее
количество размещений вычисляется по формуле Аnm = n!/(n-m)!, а также по правилу
умножения Аnm = n(n-1)(n-2)*....*(n-m+1). Например, в конкурсе принимают участие 8
человек. Сколько имеется возможностей занять 1, 2, 3 места? Так как всего 8 участников, то
первое место может занят один из восьми, второе – один из семи и третье – один из шести.
Итого А83 = 8*7*6 = 336.
В некоторых задачах по комбинаторике не имеет значения порядок расположения
объектов того или иного множества. Важно только лишь то, какие элементы его составляют.
Такая выборка элементов называется сочетанием.
Число всевозможных сочетаний вычисляется по формуле
m
Cn = n!/m!(n-m)!
6
Рассмотрим задачу.
«Вороне где то бог послал кусочек сыра», брынзы, колбасы, сухарика и шоколада.
«на ель ворона взгромоздясь, позавтракать совсем уж было собралась, да
призадумалась»:
Сколько получится бутербродов из двух кусочков?
Всего имеется 5 кусочков. Из них нужно составить бутерброды по 2 кусочка.
Получаем С25=5!/2!(5-2)!=5х2=10 Получится 10 бутербродов.
Решение комбинаторных задач – увлекательный процесс. Ведь очень часто результат
оказывается неожиданным и удивительным!
Например, известная игра «Спортлото», в которой нужно правильно угадать 6
номеров из 49. А сколько всего возможно способов выбрать 6 номеров из 49?
С496 = 49!/6!43! = 13 983 816 !!!
Выводы.
Итак, на развитие комбинаторики произвели определенное влияние различные
области человеческих интересов, например, игры, астрология, алгебра.
Но и сама комбинаторика оказала влияние на развитие современной науки: в
биологии – изучение состава белков и ДНК, в химии – при изучении изомеров, соединений,
имеющих одинаковый состав, но различное строение, в физике – при изучении свойств
кристаллов. Комбинаторные задачи приходится решать и при составлении и разгадывании
шифров, при изучении древних письменностей.
Комбинаторика во многом способствует развитию мышления, навыков счета.
Разработанные и предложенные задачи в приложении могут быть использованы при
изучении этого предмета в школе для развития интереса к этой полезной области
математики.
7
Приложение. Задачи по комбинаторике.
1. На вершину горы ведут 7 дорог. Сколькими способами турист может подняться и
спуститься с нее? А если спуск и подъем совершать различными дорогами?
Решение: Так как всего вариантов подъема- 7, а вариантов спуска- тоже 7, то решением
задачи будет выражение 7х7 или 49 вариантов. Если вариантов подъема- 7 а вариантов
спуска -6 (ведь мы исключили спуск по той же дороге), то вариантов всего будет 7х6=42.
Ответ: 42
2. В книжном магазине лежат 6 экземпляров романа И.С.Тургенева «Рудин», 3 экземпляра
его же романа «Дворянское гнездо», 4 экземпляра романа «Отцы и дети». Кроме того, есть 5
томов, содержащие романы «Рудин» и «Дворянское гнездо», и 7 томов, содержащие романы
«Дворянское гнездо» и «Отцы и дети». Сколькими способами можно сделать покупку,
содержащую по одному экземпляру каждого из этих романов?
Решение: Так как мы имеем экземпляры каждого из романов, то всего вариантов выбора
этих экземпляров 3х4х6. Прибавим к этому 5 томов, содержащих романы «Рудин» и
«Дворянское гнездо» умноженных на 4 и 7х6 вариантов по тому же принципу, что и
предыдущий выбор. Получаем выражение 3х4х6+5х4+7х6=134 варианта покупки.
Ответ:134
3. Сколько словарей нужно издать, чтобы можно было непосредственно выполнять
переводы с любого из пяти языков: русского, английского, французского, немецкого,
итальянского, на любой другой из этих пяти языков?
Решение. Учитывая то, что словарь не может содержать перевод двух одинаковых языков,
получаем выражение 5х4. итого 20 словарей.
Ответ: 20
4. Автомобильные номера состоят из трех букв и трех цифр. Найти число таких номеров,
если используется 29 букв.
Решение: По правилу умножения получаем выражение 29х29х29х10х10х10 (учитывая
номера с повторяющимися буквами и цифрами). Всего таких номеров будет 24 389 000.
Ответ: 24 389 000
5. Сколькими способами могут выпасть 3 игральные кости? Во скольких случаях хотя бы
одна кость откроется на 6 очках? Во скольких случаях ровно одна кость откроется на 6
очках? Во скольких случаях одна кость откроется на 6, а другая на 3 очках?
Решение: Так как каждая кость может выпасть 6 вариантами то всего таких вариантов
6х6х6=216
Если одна кость должна открыться именно на 6 очках, то всего вариантов получается
6х6х1=36
Если одна кость должна открыться на 6, другая- на 3 очках, то произвольно может открыться
лишь одна из костей. А значит всего вариантов выпадения костей- 6.
6. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску 2 коней так, чтобы они не
били друг друга?
Решение: Мы можем поставить первого коня на любую клетку, а второго - на любую из 56
клеток, не находящихся под боем. То есть всего вариантов 64х56=3584.
Ответ: 3584
7. В обычном дверном кодовом замке 10 кнопок, из которых нужно нажать три. Сколько
возможно комбинаций кодирования этого замка?
Решение: По правилу умножения получаем выражение 10х9х8=720 комбинаций
кодирования замка.
8
8. Ранним утром на рыбалку улыбающийся Игорь мчался босиком. Сколько осмысленных
предложений можно составить, вычеркивая некоторые слова этого предложения? (Во все
предложения обязательно должны входить подлежащее Игорь и сказуемое мчался.)
Решение: Для каждого из слов улыбающийся, босиком и словосочетания на рыбалку есть две
возможности: входить или не входить в предложение. Поэтому если не учитывать слова
ранним утром, то можно составить 2 · 2 · 2 = 8
предложений. Из каждого из них можно получить три предложения: одно — со словами
ранним утром, второе — только со словом утром, третье — без этих слов.
10. В автомашине 7 мест. Сколькими способами семь человек могут усесться в эту машину, если
занять место водителя могут только трое из них?
Решение: Действие, которое должно быть выполнено особым способом, необходимо выполнять
первым. Итак, на место водителя можно посадить только одного из трех человек (умеющего водить
машину), т.е. существуют 3 способа занять первое место. Второе место может занять любой из 6
человек, оставшихся после того, как место водителя будет занято. И т.д. Используя принцип
умножения, получаем произведение: 3  6  5  4  3  2 1 = 3  6! = 3  P6.
Ответ: 3  P6 = 3  6!.
11. Какое максимальное число ладей, не бьющих друг друга, можно расставить на
шахматной доске 8 × 8 и сколькими способами?
Решение: Так как каждая ладья контролирует одну вертикаль и одну горизонталь, то
максимальное число ладей, не бьющих друг друга, не более 8. Восемь ладей поставить
можно, например, по диагонали.
Подсчитаем число способов такой расстановки. Первую ладью можно поставить на любую
из 64 клеток и она контролирует 15 полей. Следующую ладью можно поставить на
64 − 15 = 49 полей, она контролирует 15 полей, но два из этих полей контролирует первая
ладья. Третью ладью можно поставить на 49 − 13 = 36 полей. Поступая аналогично,
получим, что число расстановок равно 64 × 49 × 36 × ... × 4 × 1, но так как ладьи можно
менять местами 8! способами, то не повторяющихся расстановок будет
(64 × 49 × 36 × ... × 4 × 1) : 8! = 8!.
Ответ: 8!
9
Список использованной литературы и интернет-ресурсов
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
«Энциклопедия для детей – Математика» , Аванта, 1998г.
«Популярная комбинаторика», Н.Я.Виленкин, Наука, 1975
Энциклопедический словарь юного математика (Савин А.П.)
«События. Вероятности. Статистическая обработка данных» Мордкович А.Г.,
Семенов П.В.
www.Wikipedia.ru
lib.aanet.ru
www.problems.ru
www.5ka.ru
www.math.ru
10