9.2. Квадратные уравнения 9.3. Рациональные уравнения 𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0 𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 1) Если 𝐷 > 0, то уравнение имеет два корня −𝑏+ 𝐷 2𝑎 −𝑏− 𝐷 2𝑎 𝑥1 = и 𝑥2 = 2) Если 𝐷 = 0, то уравнение имеет один корень −𝑏 𝑥= 2𝑎 3) Если 𝐷 < 0, то уравнение не имеет корней 𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0 𝑎 = 1, 𝑏 = −1, 𝑐 = −6 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 1) Если 𝐷 > 0, то уравнение имеет два корня −𝑏+ 𝐷 2𝑎 −𝑏− 𝐷 2𝑎 𝑥1 = и 𝑥2 = 2) Если 𝐷 = 0, то уравнение имеет один корень −𝑏 𝑥= 2𝑎 3) Если 𝐷 < 0, то уравнение не имеет корней 𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 2 𝐷 = 𝑏 − 4𝑎𝑐 𝑎 = 1, 𝑏 = −1, 𝑐 = −6 1) Если 𝐷 > 0, то уравнение имеет 2 𝐷 = −1 − 4 ∙ 1 ∙ −6 = 1 + 24 = 25 два корня −𝑏+ 𝐷 2𝑎 −𝑏− 𝐷 2𝑎 𝑥1 = и 𝑥2 = 2) Если 𝐷 = 0, то уравнение имеет один корень −𝑏 𝑥= 2𝑎 3) Если 𝐷 < 0, то уравнение не имеет корней 𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 2 𝐷 = 𝑏 − 4𝑎𝑐 𝑎 = 1, 𝑏 = −1, 𝑐 = −6 1) Если 𝐷 > 0, то уравнение имеет 2 𝐷 = −1 − 4 ∙ 1 ∙ −6 = 1 + 24 = 25 два корня − −1 + 25 1 + 5 6 𝑥1 = = =3 2∙1 2 2 − −1 − 25 1 − 5 −4 𝑥2 = = = −2 2∙1 2 2 Ответ: - 2 3 −𝑏+ 𝐷 2𝑎 −𝑏− 𝐷 2𝑎 𝑥1 = и 𝑥2 = 2) Если 𝐷 = 0, то уравнение имеет один корень −𝑏 𝑥= 2𝑎 3) Если 𝐷 < 0, то уравнение не имеет корней 𝑥 2 + 3𝑥 = 4 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 1) Если 𝐷 > 0, то уравнение имеет два корня −𝑏+ 𝐷 2𝑎 −𝑏− 𝐷 2𝑎 𝑥1 = и 𝑥2 = 2) Если 𝐷 = 0, то уравнение имеет один корень −𝑏 𝑥= 2𝑎 3) Если 𝐷 < 0, то уравнение не имеет корней 𝑥 2 + 3𝑥 = 4 𝑥 2 + 3𝑥 − 4 = 0 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 1) Если 𝐷 > 0, то уравнение имеет два корня −𝑏+ 𝐷 2𝑎 −𝑏− 𝐷 2𝑎 𝑥1 = и 𝑥2 = 2) Если 𝐷 = 0, то уравнение имеет один корень −𝑏 𝑥= 2𝑎 3) Если 𝐷 < 0, то уравнение не имеет корней 𝑥 2 + 3𝑥 = 4 𝑥 2 + 3𝑥 − 4 = 0 𝑎 = 1, 𝑏 = 3, 𝑐 = −4 𝐷 = 32 − 4 ∙ 1 ∙ −4 = 9 + 16 = 25 −3 + 25 −3 + 5 2 𝑥1 = = =1 2∙1 2 2 −3 − 25 −3 − 5 −8 𝑥2 = = = −4 2∙1 2 2 Ответ: - 4 1 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 1) Если 𝐷 > 0, то уравнение имеет два корня −𝑏+ 𝐷 2𝑎 −𝑏− 𝐷 2𝑎 𝑥1 = и 𝑥2 = 2) Если 𝐷 = 0, то уравнение имеет один корень −𝑏 𝑥= 2𝑎 3) Если 𝐷 < 0, то уравнение не имеет корней 𝑥 2 = 2𝑥 + 8 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 1) Если 𝐷 > 0, то уравнение имеет два корня −𝑏+ 𝐷 2𝑎 −𝑏− 𝐷 2𝑎 𝑥1 = и 𝑥2 = 2) Если 𝐷 = 0, то уравнение имеет один корень −𝑏 𝑥= 2𝑎 3) Если 𝐷 < 0, то уравнение не имеет корней 𝑥 2 = 2𝑥 + 8 𝑥 2 − 2𝑥 − 8 = 0 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 1) Если 𝐷 > 0, то уравнение имеет два корня −𝑏+ 𝐷 2𝑎 −𝑏− 𝐷 2𝑎 𝑥1 = и 𝑥2 = 2) Если 𝐷 = 0, то уравнение имеет один корень −𝑏 𝑥= 2𝑎 3) Если 𝐷 < 0, то уравнение не имеет корней 𝑥 2 = 2𝑥 + 8 𝑥 2 − 2𝑥 − 8 = 0 𝑎 = 1, 𝑏 = −2, 𝑐 = −8 𝐷 = −2 2 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 1) Если 𝐷 > 0, то уравнение имеет два корня − 4 ∙ 1 ∙ −8 = 4 + 32 = 36 𝑥 = −𝑏+ 𝐷 и 𝑥 = −𝑏− 𝐷 1 2 2𝑎 2𝑎 −(−2) + 36 2 + 6 8 2) Если 𝐷 = 0, то уравнение имеет 𝑥1 = = =4 2∙1 2 2 один корень −𝑏 −(−2) − 36 2 − 6 −4 𝑥= 𝑥2 = = = −2 2𝑎 2∙1 2 2 3) Если 𝐷 < 0, то уравнение не имеет корней - 2 4 Ответ: Теорема Виета. 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 𝑥1 + 𝑥2 = −𝑝 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 𝑞 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 𝑥1 = −6 𝑥2 = 4 Теорема Виета. 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 𝑥1 + 𝑥2 = −𝑝 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 𝑞 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 𝑥1 = −6 𝑥2 = 4 𝑥1 + 𝑥2 = −6 + 4 = −2 = −𝑝 𝑝=2 Теорема Виета. 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 𝑥1 + 𝑥2 = −𝑝 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 𝑞 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 𝑥1 = −6 𝑥2 = 4 𝑥1 + 𝑥2 = −6 + 4 = −2 = −𝑝 𝑥1 ∙ 𝑥2 = −6 ∙ 4 = −24 = 𝑞 𝑝=2 𝑞 = −24 Теорема Виета. 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 𝑥1 + 𝑥2 = −𝑝 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 𝑞 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 𝑥1 = −6 𝑥2 = 4 𝑥1 + 𝑥2 = −6 + 4 = −2 = −𝑝 𝑥1 ∙ 𝑥2 = −6 ∙ 4 = −24 = 𝑞 Ответ: - 2 4 𝑝=2 𝑞 = −24 Теорема Виета. 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 𝑥1 + 𝑥2 = −𝑝 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 𝑞 Теорема Виета. 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 𝑥1 + 𝑥2 = −𝑝 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 𝑞 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 𝑥1 = −5 𝑥2 = 7 𝑥1 + 𝑥2 = −5 + 7 = 2 = −𝑝 𝑝 = −2 𝑥1 ∙ 𝑥2 = −5 ∙ 7 = −35 = 𝑞 𝑞 = −35 Ответ: - 3 5 Теорема Виета. 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 𝑥1 + 𝑥2 = −𝑝 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 𝑞 𝑥−4 2 + 𝑥+9 2 = 2𝑥 2 𝑥−4 2 + 𝑥+9 2 = 2𝑥 2 Формулы сокращенного умножения. 𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 𝑎 − 𝑏 2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 𝑥−4 2 + 𝑥+9 2 = 2𝑥 2 𝑥 2 − 2 ∙ 𝑥 ∙ 4 + 42 + 𝑥 2 + 2 ∙ 𝑥 ∙ 9 + 92 = 2𝑥 2 Формулы сокращенного умножения. 𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 𝑎 − 𝑏 2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 𝑥−4 2 + 𝑥+9 2 = 2𝑥 2 𝑥 2 − 2 ∙ 𝑥 ∙ 4 + 42 + 𝑥 2 + 2 ∙ 𝑥 ∙ 9 + 92 = 2𝑥 2 𝑥 2 − 8𝑥 + 16 + 𝑥 2 + 18𝑥 + 81 = 2𝑥 2 𝑥 2 − 8𝑥 + 16 + 𝑥 2 + 18𝑥 + 81 − 2𝑥 2 = 0 Формулы сокращенного умножения. 𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 𝑎 − 𝑏 2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 𝑥−4 2 + 𝑥+9 2 = 2𝑥 2 𝑥 2 − 2 ∙ 𝑥 ∙ 4 + 42 + 𝑥 2 + 2 ∙ 𝑥 ∙ 9 + 92 = 2𝑥 2 𝑥 2 − 8𝑥 + 16 + 𝑥 2 + 18𝑥 + 81 = 2𝑥 2 𝑥 2 − 8𝑥 + 16 + 𝑥 2 + 18𝑥 + 81 − 2𝑥 2 = 0 10𝑥 + 97 = 0 10𝑥 = −97 𝑥 = −9,7 Ответ: - 9 , 7 Формулы сокращенного умножения. 𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 𝑎 − 𝑏 2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 3 19 = 𝑥 − 19 𝑥 − 3 3 19 = 𝑥 − 19 𝑥 − 3 ОДЗ: 𝑥 − 19 ≠ 0 и 𝑥 − 3 ≠ 0 𝑥 ≠ 19 и 𝑥 ≠ 3 3 19 = 𝑥 − 19 𝑥 − 3 ОДЗ: 𝑥 − 19 ≠ 0 и 𝑥 − 3 ≠ 0 𝑥 ≠ 19 и 𝑥 ≠ 3 3 19 = 𝑥 − 19 𝑥 − 3 3 𝑥 − 3 = 19(𝑥 − 19) ОДЗ: 𝑥 − 19 ≠ 0 и 𝑥 − 3 ≠ 0 𝑥 ≠ 19 и 𝑥 ≠ 3 3 19 = 𝑥 − 19 𝑥 − 3 3 𝑥 − 3 = 19(𝑥 − 19) 3𝑥 − 9 = 19𝑥 − 361 3𝑥 − 19𝑥 = 9 − 361 −16𝑥 = −352 𝑥 = 22 Ответ: 2 2 ОДЗ: 𝑥 − 19 ≠ 0 и 𝑥 − 3 ≠ 0 𝑥 ≠ 19 и 𝑥 ≠ 3 9 9 = 𝑥−2 2 9 9 = 𝑥−2 2 ОДЗ: 𝑥−2≠0 𝑥≠2 9 9 = 𝑥−2 2 ОДЗ: 𝑥−2≠0 𝑥≠2 ОДЗ: 𝑥−2≠0 𝑥≠2 9 9 = 𝑥−2 2 9 ∙ 2 = 9(𝑥 − 2) 18 = 9𝑥 − 18 −9𝑥 = −18 − 18 −9𝑥 = −36 𝑥=4 Ответ: 4 𝑥−4 =2 𝑥−6 𝑥−4 2 = 𝑥−6 1 𝑥−4 2 = 𝑥−6 1 ОДЗ: 𝑥−6≠0 𝑥≠6 𝑥−4 2 = 𝑥−6 1 ОДЗ: 𝑥−6≠0 𝑥≠6 ОДЗ: 𝑥−6≠0 𝑥≠6 𝑥−4 2 = 𝑥−6 1 1 ∙ (𝑥 − 4) = 2(𝑥 − 6) 𝑥 − 4 = 2𝑥 − 12 𝑥 − 2𝑥 = −12 + 4 −1𝑥 = −8 𝑥=8 Ответ: 8