Институт Проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербург. Лаборатория интеллектуальных электромеханических систем Борис Александрович Кулик [email protected] О заблуждениях в современной логике и способы их преодоления 1 Анализируемые заблуждения 1. Противоречивость понятия «множество» 2. Безальтернативность аксиоматического подхода в логике 3. Безошибочность силлогистики. Многие результаты, изложенные в этом докладе приводятся без доказательства из-за недостатка времени. Эти доказательства имеются в многочисленных публикациях, а также в диссертации автора на степень доктора физикоматематических наук «Логический анализ систем на основе алгебраического подхода». 2 Содержание доклада Вступление (взгляд на историю логики) 1. Каноны современной логики 1.1. Силлогистика 1.2. Математическая логика 1.3. Аксиоматическая теория множеств 2. Алгебра множеств 3. Заблуждения в современной логике 3.1. Противоречивость понятия «множество» 3.2. Необходимость аксиом в логике 3.2. Безошибочность силлогистики 4. Интерпретация языка математической логики 4.1. Алгебра кортежей 4.2. Интерпретация логического вывода 5. Позитивные результаты интерпретации 6. Нерешенные проблемы 3 Список литературы Взгляд на историю логики 1) Гиппократ Хиосский (470 – 410 до н.э.) – начала геометрии (предшественник Евклида) 2) Аристотель (384 – 322 до н.э.) - силлогистика. В трудах Аристотеля также содержится формулировка законов контрапозиции и транзитивности [Стяжкин, 1967, с. 40] 3) Порфирий (232—304 гг. н. э.) финикийский философ (Сирия). Открытие понятий «универсума» и «дополнения» Древо Порфирия [Стяжкин, 1967] 4 Взгляд на историю логики 4) Книга Л. Эйлера «Письма к одной немецкой принцессе о разных физических и философских материях» (Опубликована в 1767 – 1772 гг., Петербург на французском и русском языках) С. 219. «Поскольку в общее понятие входит неопределенное число индивидуальных объектов, можно рассматривать его как некое пространство или круг, внутри которого находятся все эти индивиды». С. 227. 5 Взгляд на историю логики 5) Огастес де Морган (1806 - 1871) – открыл теорию отношений (в частности, ввел операцию соединение отношений), открыл законы де Моргана. 6) Джордж Буль (1815 - 1864) – открыл алгебру логики (Булеву алгебру). 7) Платон Сергеевич Порецкий (1846 – 1907) – открыл метод ортогонализации логических формул. 8) Георг Кантор (1845 - 1918): - разработал теорию множеств (совместно с Р. Дедекиндом и др.), - ввел в математику понятие декартово произведение множеств, - открыл один из парадоксов теории множеств, - пришел к выводу, что бесконечное множество равномощно своему строгому подмножеству, - пришел к выводу, что существуют не сравнимые по мощности бесконечные множества, в частности: счетные множества (например, множество всех чисел натурального ряда) и континуум (например, множество действительных чисел или точек на 6 прямой). Взгляд на историю логики 9) Г. Фреге, Ч. С. Пирс, Дж. Пеано, Б. Рассел, Д. Гильберт и др. (рубеж XIX и XX столетий). Дискуссия по основаниям математики, открытие парадокса Рассела, Становление современного аксиоматического подхода (по сути методология синтаксического моделирования в логике), запрет использования термина множество в основаниях логики. В основе аксиоматического метода лежат таблицы истинности логических связок и аксиомы, разные варианты которых используются в качестве оснований как для классической, так и для неклассических логик. Критика этого подхода в нескольких публикациях Анри Пуанкаре. 10) Рихард Курант, Гарольд Роббинс. Публикация книги «Что такое математика?» (1941 г.). Используется термин «алгебра множеств». Высказано предположение о возможности доказательства законов алгебры множеств без аксиом. 11) Эллиот Мендельсон (1931 - 2020). Шесть прижизненных переизданий книги «Введение в математическую логику» только на родном языке без учета переводов (на русском – 3-е издание - 1971 г.). Связал семантический анализ с «нехорошими» множествами 7 Содержание доклада Вступление (взгляд на историю логики) 1. Каноны современной логики 1.1. Силлогистика 1.2. Математическая логика 1.3. Аксиоматическая теория множеств 2. Алгебра множеств 3. Заблуждения в современной логике 3.1. Противоречивость понятия «множество» 3.2. Необходимость аксиом в логике 3.2. Безошибочность силлогистики 4. Интерпретация языка математической логики 4.1. Алгебра кортежей 4.2. Интерпретация логического вывода 5. Позитивные результаты интерпретации 6. Нерешенные проблемы 8 Список литературы Силлогистика Используются 4 типа предложений (высказываний), которые весьма часто встречаются в повседневной речи и в рассуждениях: A: Все P есть Q (общеутвердительное), пример: «Все крокодилы рептилии». I: Некоторые P есть Q (частноутвердительное), пример: «Некоторые ослы упрямы». E: Все P не есть Q (общеотрицательное), пример: «Все жирафы не земноводные». O: Некоторые P не есть Q (частноотрицательное) ), пример: «Некоторые люди не переносят критику». A, I, E и O – общепринятые обозначения типов высказываний. 9 Силлогистика Силлогизм (более точное название – категорический силлогизм) состоит из трех высказываний, первые два называются посылками, третье – заключением. В силлогизме используются три термина, один из них встречается в двух посылках (он называется средним (M)), два других (больший (P) и малый (S)) – в разных посылках. Рассмотрим силлогизм [Эйлер, 2002]: 1-я посылка: Все добродетельные люди (P) не злоречивы (M). 2-я посылка: Некоторые злоречивые люди (M) — ученые (S). Заключение: Некоторые ученые (S) не добродетельны (P). Фигуры силлогизма: Фигура легко распознается по расположениям среднего термина в посылках. В нашем примере термин М находится в 1-й посылке на 2-м месте, а во 2-й посылке – на 1-м месте. Значит – Фигура 4. Обратите внимание: в 1-й посылке может быть только термин P, а во 2-й – только термин S. Т.е. их статус определяется не по содержанию, а по номеру посылки в силлогизме. 10 Силлогистика Модус силлогизма определяется составом типов высказываний в нем (например, AEE) и принадлежностью к определенной фигуре (например, модус ААА Фигуры 1). Всего возможно 256 различных модусов, лишь некоторые из них правильные. У разных авторов число правильных модусов может быть разным: 24 [Бочаров, Маркин, 2008]; 19 [Гетманова, 2011]; 15 [Гильберт, Аккеман, 1947; Copi et al., 2016]. Список правильных модусов [Бочаров, Маркин, 2008]: Фигура 1: AAA, EAE, AII, EIO, AAI, EAO. Фигура 2: AEE, AOO, EAE, EIO, AEO, EAO. Фигура 3: AAI, EAO, IAI, OAO, AII, EIO. Фигура 4: AAI, AEE, IAI, EAO, AEO, EIO. 11 Силлогистика Для проверки: Фигура 1: AAA, EAE, AII, EIO, AAI, EAO. Фигура 2: AEE, AOO, EAE, EIO, AEO, EAO. Фигура 3: AAI, EAO, IAI, OAO, AII, EIO. Фигура 4: AAI, AEE, IAI, EAO, AEO, EIO. ПРИМЕР 1-я посылка: Все мои друзья (P) не вегетарианцы (M) PM – Тип E 2-я посылка: Некоторые мои сослуживцы (S) – вегетарианцы (M) SM – Тип I Заключение: Некоторые мои сослуживцы (S) не мои друзья (P) SP – Тип O Получается Фигура 2, и списке правильных модусов этой фигуры есть модус EIO. Значит силлогизм правильный. 12 Силлогистика Чтоб пользоваться силлогистикой надо запомнить фигуры; надо запомнить списки правильных модусов; надо знать не только посылки, но и заключение, иначе не поймешь, правильный это модус или неправильный. Четкого и простого обоснования правил силлогистики нет. Вот пример обоснования одного из модусов силлогистики в английской Википедии (модус AAA Фигуры 1 – Barbara) К тому же в силлогистике, как мы увидим далее, содержатся ошибки. 13 Содержание доклада Вступление (взгляд на историю логики) 1. Каноны современной логики 1.1. Силлогистика 1.2. Математическая логика 1.3. Аксиоматическая теория множеств 2. Алгебра множеств 3. Заблуждения в современной логике 3.1. Противоречивость понятия «множество» 3.2. Необходимость аксиом в логике 3.2. Безошибочность силлогистики 4. Интерпретация языка математической логики 4.1. Алгебра кортежей 4.2. Интерпретация логического вывода 5. Позитивные результаты интерпретации 6. Нерешенные проблемы 14 Список литературы Математическая логика С помощью силлогистики нельзя описать многие типы рассуждений. Пример рассуждения: Некоторые пациенты любят всех докторов. Ни один пациент не любит знахарей. Следовательно, никакой доктор не является знахарем». Силлогистика здесь не применима, потому что в этом рассуждении присутствует двуместное отношение ЛЮБИТ (A, B). Силлогизмами нельзя выразить высказываний, например, КНФ даже многие формулы исчисления (PQR) (PQS) (PQRS). Средствами математической логики можно доказать лишь 15 правильных модусов силлогистики. Для остальных требуются дополнительные аксиомы. По сути математическая логика описывает многоместные отношения. Это следует из интерпретации языка первого порядка, которая присутствует во многих руководствах по математической логике. 15 Аналитические возможности интерпретации сильно ограничены. Математическая логика Язык первого порядка Алфавит Термы: a, b, c, a1, … - переменные: x, z, y2, … - функции: f(x), g(b), f(h(y2, a)),… Предикаты: : P(x), Q(a, y2, g(c)), … Логические связки: , , , (связки &, , , можно выразить, используя связки , , ) Скобки: (, ), иногда к ним добавляются [, ] - константы: 16 Математическая логика Исчисление предикатов первого порядка Правильно построенные формулы (ППФ) 17 Язык первого порядка Аксиомы и правила вывода исчисления предикатов Логические аксиомы: если B, C, и D – ППФ языка первого порядка, то теория содержит следующие аксиомы: (A1) B (C B); (A2) (B (C D)) ((B C) (B D)); (A3) (C B) ((C B) C); (A4) (xi)B(xi) B(t); (A5) (xi)(B C) (B (xi)C). Собственные (нелогические) аксиомы используются для построения различных теорий (теория групп, формальная арифметика, теория множеств и т.д.). Если собственных аксиом нет, то теория называется исчислением предикатов первого порядка. Правила вывода исчисления предикатов: 1. Modus ponens (MP): из B и B C следует C . 2. Правило обобщения (Gen): из B следует (xi)B. 18 Язык первого порядка Аксиомы и правила вывода исчисления предикатов Из аксиом математической логики выводятся все законы классической логики. В то же время нет никакого запрета на изменение этих аксиом. В результате этих изменений образуются неклассические логики. В них могут нарушаться такие законы как исключенного третьего, двойного отрицания, единственности дополнения и т.д.. В некоторых логиках допускается использовать противоречия в качестве правильных выражений (паранепротиворечивые логики) Придумано огромное число неклассических логик. И настоящее время нет четкого ответа на вопрос «Чем классическая логика лучше неклассических?» Получили широкое распространение философско-методологические направления, в которых современная формальная логика подвергается жесткой критике за неспособность анализировать рассуждения и обоснования на естественном языке и трудности в распознавании логических ошибок. К ним относятся: критическое мышление (critical thinking); неформальная логика (informal logic). Подробно об этих направлениях в Stanford Encyclopedia of Philosophy 19 Содержание доклада Вступление (взгляд на историю логики) 1. Каноны современной логики 1.1. Силлогистика 1.2. Математическая логика 1.3. Аксиоматическая теория множеств 2. Алгебра множеств 3. Заблуждения в современной логике 3.1. Противоречивость понятия «множество» 3.2. Необходимость аксиом в логике 3.2. Безошибочность силлогистики 4. Интерпретация языка математической логики 4.1. Алгебра кортежей 4.2. Интерпретация логического вывода 5. Позитивные результаты интерпретации 6. Нерешенные проблемы 20 Список литературы Аксиоматическая теория множеств Аксиомы теории множеств Цермело – Френкеля (ZF) 21 Помимо ZF известно еще несколько вариантов аксиом теории множеств: фон Неймана – Бернайса – Геделя, Морса – Келли, Тарского – Гротендика, Крипке – Платека и т.д. Аксиоматическая теория множеств Дополнительная аксиома (система ZFC) Аксиома выбора: Аксиома выбора простыми словами Для всякого семейства X непустых множеств существует функция f, которая каждому множеству семейства сопоставляет один из элементов этого множества. Опровергающий пример Дано 5 множеств {a, b, c}; {a, b, d}; {a, c, d}; {b, c, d}; {b, d}. Для них невозможно подобрать правильную функцию выбора, так как в них используется только 4 элемента. Тогда один из аргументов функции имеет 2 разных значения. Следствием аксиомы выбора является Парадокс Банаха –Тарского: Доказано, что шар можно «разбить» на куски и собрать из них два таких же шара. 22 Аксиоматическая теория множеств В связи с некоторыми открытиями Кантора возникают «наивные» вопросы. 1. Кантор с помощью принципа взаимно однозначного соответствия доказал, что множества четных чисел (N2) и множества квадратов чисел (N2) равномощны множеству чисел натурального ряда (N) N: 1 2 3 4 5 … Принцип … взаимно однозначного 8 10 … N2 : 2 4 6 … N2 : 1 4 9 16 25 … соответствия (актуальная бесконечность) Получается: N2=N2=N В то же время ясно, что множествa N2 и N2 строго включены в N : 123456789…N… 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11… N … (потенциальная бесконечность) При этом, если N 23 , то Как совместить эти результаты? Содержание доклада Вступление (взгляд на историю логики) 1. Каноны современной логики 1.1. Силлогистика 1.2. Математическая логика 1.3. Аксиоматическая теория множеств 2. Алгебра множеств 3. Заблуждения в современной логике 3.1. Противоречивость понятия «множество» 3.2. Необходимость аксиом в логике 3.2. Безошибочность силлогистики 4. Интерпретация языка математической логики 4.1. Алгебра кортежей 4.2. Интерпретация логического вывода 5. Позитивные результаты интерпретации 6. Нерешенные проблемы 24 Список литературы Алгебра множеств Чтобы избежать сложностей в обучении основам логики и математики многие авторы учебников и руководств по дискретной математике отходят от канонов аксиоматического подхода. Одной из книг такого рода оказалась широко известная книга Р. Куранта и Г. Роббинса «Что такое издание которой вышло в 1941 году. математика?», первое В ней в качестве дополнения к главе 2 «Математическая числовая система» содержится небольшой раздел «Алгебра множеств», который занимает всего 10 страниц (в книге 568 страниц). В ней были приведены 26 законов алгебры множеств, которые соответствуют законам классической логики. Необычность данной книги заключается в том, что авторами было высказано крамольное по тем временам и сегодняшним временам предположение, что законы алгебры множеств можно обосновать без аксиом. 25 Алгебра множеств 26 Алгебра множеств Из книги «Что такое математика?». Рекомендации по доказательству законов алгебры множеств 27 Алгебра множеств Определения основных понятий алгебры множеств Множество, элемент. Совокупность объектов, объединенных общим свойством или несколькими свойствами, будем называть множествами, а сами объекты элементами. Если известно, что множество D состоит из элементов a, c и f и только из них, то используется запись D={a, c, f}. Отношения в алгебре множеств Отношение принадлежности. Отношение между элементом и множеством называется отношением принадлежности и обозначается символом (). Запись a D означает, что элемент a принадлежит множеству D. В то же время запись b D означает, что элемент b не принадлежит множеству D. Отношение включения множеств. Пусть даны множества A и B. Тогда A B (читается «A включено в B или равно ему»), если в множестве A не существует элементов, не принадлежащих множеству B. Такое «отрицательное» определение обусловлено тем, что допускается случай, когда множество A не содержит элементов, т.е. является пустым множеством (A = ). Тем самым из этого определения следует, что пустое множество включено в любое множество. 28 Алгебра множеств Операции алгебры множеств 29 Алгебра множеств Обоснование законов алгебры множеств без аксиом Из диаграммы Венна видно, что области (множества) c, d, e, f образуют разбиение U, поэтому можно принять следующие исходные данные: U = {c, d, e, f}, A = {c, d}, B = {d, e}. Используя определения операций, докажем первый закон де Моргана Но для полного доказательства надо учесть все возможные варианты соотношений между множествами A и B. 30 Алгебра множеств Всего таких вариантов для 2-х множеств 16. Вот они: Докажем закон де Моргана для варианта 8 31 Алгебра множеств Докажем закон контрапозиции: В этом законе соотношение A B является обязательным условием, поэтому необходимо рассматривать только те варианты, в которых соблюдается это соотношение. К ним относятся 8 вариантов: 5, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16. Докажем этот закон для варианта 5: U = {d, e, f }; A = {d}; B = {d, e}. Нетрудно убедиться, что и во всех других вариантах этот закон подтверждается. 32 Содержание доклада Вступление (взгляд на историю логики) 1. Каноны современной логики 1.1. Силлогистика 1.2. Математическая логика 1.3. Аксиоматическая теория множеств 2. Алгебра множеств 3. Заблуждения в современной логике 3.1. Противоречивость понятия «множество» 3.2. Необходимость аксиом в логике 3.2. Безошибочность силлогистики 4. Интерпретация языка математической логики 4.1. Алгебра кортежей 4.2. Интерпретация логического вывода 5. Позитивные результаты интерпретации 6. Нерешенные проблемы 33 Список литературы Противоречивость понятия «множество» Mendelson, E. Introduction to Mathematical Logic. 2015 (6th ed.). P. 66. (footnote): Since semantical notions are set-theoretic in character, and since set theory, because of the paradoxes, is considered a rather shaky foundation for the study of mathematical logic, many logicians consider a syntactical approach, consisting of a study of formal axiomatic theories using only rather weak number-theoretic methods, to be much safer. «Поскольку семантические понятия носят теоретико-множественный характер, а теория множеств, по причине парадоксов, представляется в известной степени шаткой основой для исследований в области математической логики, то многие логики считают более надежным синтаксический подход, состоящий в изучении формальных аксиоматических теорий с применением лишь довольно слабых арифметических методов». Э. Мендельсон, как и многие его коллеги, считал теорию множеств «шаткой основой» для логики и семантики. В учебниках логики в качестве обоснования в теории понятий и силлогистики используются круги Эйлера, диаграммы Венна, модельные схемы, семантические схемы, но только не множества (!!!). 34 Множества в основаниях логики по сути запрещены! Чем отличается алгебра множеств от теории множеств? (преодоление заблуждения о противоречивости) 1) Отношение принадлежности () в теории множеств – основное в алгебре множеств – вспомогательное, основным (системообразующим) является отношение включения (, ). 2) В теории множеств в ряде случаев множество используется в качестве элемента множества («множество всех множеств», «самоприменимое множество»). Это допущение порождает парадоксы. В алгебре множеств это необязательно Пример: Множество: Система всех подмножеств множества: {a, b, c} , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}. Элементами системы множеств являются не множества, а их обозначения. В силу этого в алгебре множеств противоречия исключены. 35 Содержание доклада Вступление (взгляд на историю логики) 1. Каноны современной логики 1.1. Силлогистика 1.2. Математическая логика 1.3. Аксиоматическая теория множеств 2. Алгебра множеств 3. Заблуждения в современной логике 3.1. Противоречивость понятия «множество» 3.2. Необходимость аксиом в логике 3.2. Безошибочность силлогистики 4. Интерпретация языка математической логики 4.1. Алгебра кортежей 4.2. Интерпретация логического вывода 5. Позитивные результаты интерпретации 6. Нерешенные проблемы 36 Список литературы Всегда ли необходимы ли аксиомы в логике? Без аксиом в современной математике вроде бы никуда не денешься 1) Исчисление высказываний и предикатов основаны на аксиомах. Иногда исчисление высказываний начинают с таблиц истинности. По сути это тоже аксиомы, так как при изменении таблиц истинности формируются неклассические логики. 2) Теория множеств основана на аксиомах. Имеется несколько вариантов аксиом теории множеств.. 3) Формальная арифметика основана на аксиомах. Однако выше было показано, что законы алгебры множеств, а заодно и основные законы классической логики можно обосновать без аксиом. Далее будет показаны: 1) Основанная на законах алгебры множеств математическая модель, которая существенно расширяет аналитические возможности силлогистики и не допускает присущих силлогистике ошибок. 2) При использовании в алгебре множеств декартова произведения множеств образуется система, (алгебра кортежей), которая полностью заменяет исчисление высказываний и частично исчисление предикатов. В отличие от аксиоматического подхода эта система более доступна для обучения. И если уж так необходимы сложности и парадоксы современной математики (теорема Геделя о неполноте, гипотеза континуума, парадокс Банаха – Тарского и т.д.), то эту 37 безаксиомную систему можно продолжить, добавив соответствующие аксиомы. Содержание доклада Вступление (взгляд на историю логики) 1. Каноны современной логики 1.1. Силлогистика 1.2. Математическая логика 1.3. Аксиоматическая теория множеств 2. Алгебра множеств 3. Заблуждения в современной логике 3.1. Противоречивость понятия «множество» 3.2. Необходимость аксиом в логике 3.2. Безошибочность силлогистики 4. Интерпретация языка математической логики 4.1. Алгебра кортежей 4.2. Интерпретация логического вывода 5. Позитивные результаты интерпретации 6. Нерешенные проблемы 38 Список литературы Ошибки в силлогистике Рассмотрим пример: модус AAA Фигура 1 (модус Barbara) 1-я посылка: Все люди (M) смертны (P) MP – Тип A 2-я посылка: Все философы (S) – люди (M) SM – Тип A Заключение: Все философы (S) смертны (P) SP – Тип A Для проверки: Фигура 1: AAA, EAE, AII, EIO, AAI, EAO. Фигура 2: AEE, AOO, EAE, EIO, AEO, EAO. Фигура 3: AAI, EAO, IAI, OAO, AII, EIO. Фигура 4: AAI, AEE, IAI, EAO, AEO, EIO. Поменяем местами посылки 1-я посылка: Все философы (P) – люди (M) PM – Тип A 2-я посылка: Все люди (M) смертны (S) MS – Тип A Заключение: Все философы смертны не верно!!! По посылкам получается Фигура 4, однако в этой фигуре нет модуса AAA, но есть модус AAI, поэтому допустимо только частное суждение Заключение: Некоторые смертные (S) - философы (P) 39 Ошибки в силлогистике Интерпретация частных суждений позволяет допустить, что существуют бессмертные философы. Этот модус, придуманный после Аристотеля, подверг критике М.В. Ломоносов. Но логики не прислушались. 40 Ошибки в силлогистике Рассмотрим пример силлогизма: 1-я посылка: Все мои друзья (P) не вегетарианцы (M) – Тип E 2-я посылка: Некоторые мои сослуживцы (S) – вегетарианцы (M) – Тип I Заключение: Некоторые мои сослуживцы (S) не мои друзья (P) – Тип O Для проверки: Фигура 1: AAA, EAE, AII, EIO, AAI, EAO. Фигура 2: AEE, AOO, EAE, EIO, AEO, EAO. Фигура 3: AAI, EAO, IAI, OAO, AII, EIO. Фигура 4: AAI, AEE, IAI, EAO, AEO, EIO. Получается Фигура 2, и списке правильных модусов этой фигуры есть модус EIO. Значит силлогизм правильный. Поменяем местами посылки. Заодно согласно правилам изменим статус терминов 1-я посылка: Некоторые мои сослуживцы (P) – вегетарианцы (M) – Тип I 2-я посылка: Все мои друзья (S) не вегетарианцы (M) – Тип E Заключение: не получается, так как посылки соответствуют Фигуре 2, но в этой фигуре нет правильного модуса, начинающегося с IE. Существуют правильные рассуждения, которые по правилам силлогистики не считаются правильными. 41 Преодоление ошибок силлогистики. Математическая модель полисиллогистики Полисиллогизм в отличие от силлогизма содержит произвольное множество высказываний. В формулировке задач ограничения и предполагаемые следствия необязательны. 42 Преодоление ошибок силлогистики. Математическая модель полисиллогистики Задачи, решаемые в математической модели полисиллогистики: Из этих задач видно существенное расширение аналитических возможностей логического анализа по сравнению с силлогистикой. Для решения Задач 1, 2, 3 используются известные законы алгебры множеств. Для решения остальных Задач потребовалось сформулировать и обосновать новые законы. 43 Математическая модель полисиллогистики Новые законы алгебры множеств: . 44 Математическая модель полисиллогистики Пример. (подражание Кэрроллу) Даны посылки: 1) те, кто нарушает свои обещания, не заслуживают доверия; 2) все любители выпить очень общительны; 3) человек, выполняющий свои обещания, честен; 4) ни один трезвенник не мошенник; 5) тому, кто очень общителен, всегда можно верить; 6) все честные люди не мошенники. Ограничение пустоты: мошенники существуют. Необходимо проверить выполняется ли ограничение. Обозначим: U – люди; S1 – нарушающие обещания; S2 – заслуживающие доверия; S3 – любители выпить; S4 – очень общительные; S5 – честные; S6 - мошенники. 45 Математическая модель полисиллогистики Граф включений для посылок: Посылки с контрапозициями: Ограничение: S6 . Выберем начальный литерал (S6) и построим пути из него: Вопрос: Как избавиться от парадокса без существенных изменений в рассуждении? 46 Математическая модель полисиллогистики Предлагается сделать «незначительную» правку: Заменить «Все любители выпить очень общительны» на «Некоторые любители выпить очень общительны», т.е. вместо суждения S3 S4 вставить два суждения k S3 и k S4. Тогда получим следующий граф включений: 47 Найден простой способ избавиться от логической катастрофы. Математическая модель полисиллогистики Выводы: По сравнению с силлогистикой предложенная математическая модель полисиллогистики 1. существенно расширяет аналитические возможности логического анализа; 2. строгое обоснование на основе законов алгебры множеств не допускает логических ошибок. . 48 Содержание доклада Вступление (взгляд на историю логики) 1. Каноны современной логики 1.1. Силлогистика 1.2. Математическая логика 1.3. Аксиоматическая теория множеств 2. Алгебра множеств 3. Заблуждения в современной логике 3.1. Противоречивость понятия «множество» 3.2. Необходимость аксиом в логике 3.2. Безошибочность силлогистики 4. Интерпретация языка математической логики 4.1. Алгебра кортежей 4.2. Интерпретация логического вывода 5. Позитивные результаты интерпретации 6. Нерешенные проблемы 49 Список литературы Интерпретация языка математической логики В [Mendelson, 2015] предлагается интерпретация языка первого порядкаL. Область интерпретации (domain) любой переменной множество D констант n-местные предикаты и формулы со свободными переменными подмножество декартова произведения Dn Пояснение: Универсум любой формулы – декартово произведение U = D D D … D, т. е. множество всех возможных подстановок констант. Любая формула – некоторое подмножество U. Ясно, что интерпретация языка первого порядка - это по сути упрощенный вариант математической теории отношений, в которой отношение определяется как подмножество произвольного декартова произведения множеств. Интерпретацию можно было бы использовать для семантического анализа, но ее аналитические возможности в математической логике весьма ограничены. 50 Интерпретация языка математической логики Чтобы расширить аналитические возможности интерпретации были предложены следующие изменения. Изменение 1. Вместо U = D D D … D предложено использовать U = X1 X2 … Xn , где Xi – произвольные (необязательно равные) множества (атрибуты), множества значений которых называются доменами. Изменение 2. Отношение выражается не только как множество кортежей элементов, но и как объединение декартовых произведений (ДП), для которых используются все операции и соотношения алгебры множеств. Объединение декартовых произведений с операциями и отношениями алгебры множеств – новая ранее не встречавшаяся математическая структура. Результат ее исследования – алгебра кортежей. В процессе исследований найдено и обосновано много новых свойств декартовых произведений. 51 Интерпретация языка математической логики Декартово произведение множеств впервые ввел в математику Г. Кантор. Декартово произведение (ДП) n множеств X, Y, …, Z есть множество всех возможных n-местных кортежей, у которых на первом месте стоит элемент множества X, на втором – элемент множества Y, …, а на последнем – элемент множества Z. Декартово произведение множеств X, Y, …, Z обозначается X Y … Z. Рассмотрим три примера ДП. Пример 1. Для двух множеств X = {a, b}, Y = {a, d, f} X Y = {(a, a), (a, d), (a, f), (b, a), (b, d), (b, f)}. Пример 2. Даны два отрезков AB и CD, находящихся на разных координатных осях. Тогда AB CD – это закрашенная область на рисунке 52 Алгебра кортежей Свойства декартовых произведений Что было известно ранее Даны два декартовых произведения: A = A 1 A 2 … A n; B = B1 B2 … Bn. Тогда 1) проверка включения одного ДП в другое: A B если и только если для всех i = 1, 2, … , n выполняется Ai Bi; 2) пересечение двух ДП: AB = (A1 B1) (A2 B2) … (An Bn); 3) разность двух ДП: A/B = (A1/B1 A2 … An) (A1 A2 /B2 … An) … (A1 A2 … An/Bn). (Разность n-местных ДП выражается как объединение n определенных ДП). Других свойств ДП в литературе по дискретной математике нет. Наши исследования показали, что свойства ДП и их объединений можно выразить с помощью 36 различных соотношений. Эти соотношения доказаны как теоремы. Они и лежат в основе алгебры кортежей. 53 Алгебра кортежей Объединение декартовых произведений - новая математическая структура для представления данных и знаний (отношений, предикатов, логических формул и т.д.) Преимущества: 1) Компактность: компонентами могут быть даже бесконечные множества (например, целые числа с определенной кратностью, интервалы и системы интервалов на координатных осях и т.д.) 2) Возможность моделировать и исследовать неопределенности в знаниях (компонента – это по сути множество возможных вариантов) 3) Возможность использовать многие методы логического анализа (вывод следствий с заданными свойствами, анализ противоречий и т.д.) 54 Алгебра кортежей На рисунке объект, который можно выразить с помощью структур алгебры кортежей (АК). Здесь цифры на координатных осях – обозначения идущих подряд интервалов. 55 Алгебра кортежей Алгебра кортежей (АК)– математическая система для моделирования и анализа многоместных отношений, основанная на свойствах декартова произведения множеств (ДП) . Структуры АК называются АК-объектами. Их всего 4: C-кортежи, C-системы, D-кортежи и D-системы. Связь с математической логикой: C-кортеж соответствует конъюнкции (conjunction) одноместных предикатов; D-кортеж – дизъюнкции (disjunction) одноместных предикатов; C-система – дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ); D-система – конъюнктивной нормальной форме (КНФ). Как известно, КНФ и ДНФ – универсальные типы формул математической логики. Любую формулу можно преобразовать в ДНФ или КНФ. К именам АК-объектов приписывается схема отношения – заключенная в квадратные скобки последовательность атрибутов. Например, запись R[KLM] означает, что отношение R[KLM] K L M. АК-объекты с одинаковыми схемами отношений называются однотипными. 56 Алгебра кортежей В ячейках строк (кортежей) и матриц АК-объектов записываются компоненты (подмножества соответствующих атрибутов). Определены фиктивные компоненты: полная компонента () равна домену соответствующего атрибута; пустая компонента () равна пустому множеству C-кортеж - T[XYZ] = [A B] Преобразование T[XYZ] в обычное отношение: T[XYZ] = A Y B. C-система – R[XYZ] = (A1 Y A3) (B1 B2 Z). 57 Алгебра кортежей D-кортеж – это отношение, равное диагональной C-системе и записанное как ограниченный перевернутыми квадратными скобками кортеж ее диагональных компонент. Q[XYZ] = ]A B C[ - D-кортеж. D-система – пересечение D-кортежей, выраженное в виде матрицы, ограниченной перевернутыми квадратными скобками. С помощью D-систем легко вычисляются дополнения C-систем: В алгебре кортежей разработаны алгоритмы преобразования D-систем в C-системы и обратно. 58 Алгебра кортежей Операции с атрибутами (+Atr и –Atr) в АК соответствуют кванторным операциям в исчислении предикатов. Добавление фиктивного атрибута (+Atr ) Операция +Atr соответствует правилу обобщения (Gen): из B следует (xi)B.. С ее помощью выполняются обобщенные операции пересечения (G) и объединения (G) АК-объектов: 59 Алгебра кортежей Элиминация атрибута (Atr ) Логический смысл этой операции, в отличие от +Atr, уже зависит от типа АК-объекта (теоремы 31 и 32 в [Кулик, 2020]). Пусть P[…X…] интерпретация логической формулы F(…x…) со свободной переменной x. Тогда: -если P – C-кортеж или C-система, то –X(P) – интерпретация формулы x(F); -если P – D-кортеж или D-система, то –X(P) –интерпретация формулы x(F). Элиминация атрибутов в C-кортежах или в C-системах равносильна вычислению проекции отношения. 60 Содержание доклада Вступление (взгляд на историю логики) 1. Каноны современной логики 1.1. Силлогистика 1.2. Математическая логика 1.3. Аксиоматическая теория множеств 2. Алгебра множеств 3. Заблуждения в современной логике 3.1. Противоречивость понятия «множество» 3.2. Необходимость аксиом в логике 3.2. Безошибочность силлогистики 4. Интерпретация языка математической логики 4.1. Алгебра кортежей 4.2. Интерпретация логического вывода 5. Позитивные результаты интерпретации 6. Нерешенные проблемы 61 Список литературы Интерпретация логического вывода Пусть АК-объекты A1, A2, …, An – интерпретации формул F1, F2, …, Fn , которые являются посылками рассуждения, а АК-объект B – интерпретация предполагаемого следствия B. Тогда B выводимо из F1, F2, …, Fn , если и только если для их интерпретаций соблюдается соотношение: (A1 G … G An) G B АК-объект, полученный в результате вычисления выражения в левой части (2), называется в АК минимальным следствием. 62 Интерпретация логического вывода В универсуме {a, b, c, d}3 задана D-система. Нужно проверить равенство P[KLM] = , т. е. по сути решить задачу ВЫПОЛНИМОСТИ для задачи исчисления предикатов. Особенность этого примера в том, что для его решения не требуется преобразования в задачу исчисления высказываний, как это обычно делается в автоматическом доказательстве теорем. Данный пример легко решается с помощью алгоритма преобразования D-системы в C-систему с использованием ортогонализации . Теоремы , на которых основан этот алгоритм, приведены на следующем слайде. 63 Интерпретация логического вывода Ортогонализация используется для расчета вероятностей событий, выраженных логическими формулами или АК-объектами. Ортогонализация позволяет значительно уменьшить трудоемкость вычислений при преобразовании D-системы в C-систему, в частности, при решении задачи выполнимость КНФ. 64 Интерпретация логического вывода А теперь «житейский» пример для задачи. K L M Четыре подруги (Анна (a), Белла (b), Светлана (c) и Дина (d)) имеют следующие особенности: Анна и Белла – блондинки, Светлана предпочитает короткую стрижку, Анна и Дина носят туфли на высоких каблуках, Анна, Белла и Светлана работают в фирме D. В зависимости от внешности и статуса, подруги предпочитают покупать одежду в разных торговых фирмах (назовем их K, L и M). Эти зависимости выражаются следующими условиями: 1) если не блондинки {c, d} отдают предпочтение фирме K, то девушка с короткой стрижкой {c} предпочитает фирму M; 2) если девушки с длинными волосами {a, b, d} предпочитают фирму K, то девушка, не работающая в фирме D {d}, покупает одежду в фирме L, а блондинки {a, b} – в фирме M; 3) если девушки, носящие туфли на высоких каблуках {a, d}, отдают предпочтение фирме L, то не блондинки {c, d} покупают одежду в фирме K; 4) если девушки, не носящие туфель на высоких каблуках {b, c}, покупают одежду в фирме K, то, девушки на туфлях с высокими каблуками {a, d} предпочитают магазины фирмы M. Необходимо проверить совместимость этих условий. 65 Может быть, кому-то из вас удастся подобрать более удачный пример! Интерпретация логического вывода Алгоритм решения задачи 66 Интерпретация логического вывода Некорректность правила подстановки Еще один источник ошибок в логическом выводе на основе исчисления предикатов – это отсутствие понятия, аналогичного «схеме отношения». Так, в алгоритме унификации допускается замена переменных в подстановках [Чень, Ли, 1983]. Для интерпретаций предикатов и формул (АК-объектов) это означает замену атрибута в схеме отношения и, соответственно, переход в другое пространство даже в том случае, если домены этих атрибутов одинаковы. Например, АК-объект P[XY] при пересечении с самим собой не изменяется, но если в нем заменить имена атрибутов, например, P[YZ], то обобщенное пересечение P[XY] G P[YZ] означает операцию соединения отношений. Другой пример: интерпретация формулы A(x) B(x) – это пересечение интерпретаций одноместных предикатов A(x) и B(x), в то время как интерпретацией формулы A(x) B(y) оказывается декартово произведение интерпретаций предикатов A(x) и B(y). Таким образом, интерпретации формул при переименовании переменных существенно изменяются, что в некоторых случаях не принимается во внимание при замене переменных в алгоритме 67 унификации. Содержание доклада Вступление (взгляд на историю логики) 1. Каноны современной логики 1.1. Силлогистика 1.2. Математическая логика 1.3. Аксиоматическая теория множеств 2. Алгебра множеств 3. Заблуждения в современной логике 3.1. Противоречивость понятия «множество» 3.2. Необходимость аксиом в логике 3.2. Безошибочность силлогистики 4. Интерпретация языка математической логики 4.1. Алгебра кортежей 4.2. Интерпретация логического вывода 5. Позитивные результаты интерпретации 6. Нерешенные проблемы 68 Список литературы Позитивные результаты интерпретации 1. Исследования показали, что, помимо логического анализа, алгебру кортежей можно использовать в следующих областях дискретной математики и информационных технологий: реляционные модели (общая теория отношений); графы и сети; системы искусственного интеллекта (экспертные системы, семантические сети, фреймы, онтологии); логико-вероятностные методы, включая вероятностную логику; дискретные автоматы; задачи удовлетворения ограничений (Constraint Satisfaction Problem – CSP); модели вопросно-ответных систем; задачи кластеризации; при машинной реализации – сокращение трудоемкости алгоритмов решения сложных задач логического анализа за счет специфических свойств АК, а также за счет возможности эффективного распараллеливания алгоритмов 69 [Кулик и др., 2010; Кулик, 2020; Kulik, Fridman, 2022]. Позитивные результаты интерпретации 2. С помощью средств математической логики трудно, а иногда просто невозможно применять многие необходимые в естественных рассуждениях методы логического анализа, такие как: формулирование и проверка гипотез, анализ неопределенностей в знаниях, распознавание и анализ ошибок и некорректностей в рассуждениях, вывод абдуктивных заключений, анализ пресуппозиций, методы элиминации аномалии противоречия в базах знаний, вывод следствий с заранее заданными свойствами. В то же время эти задачи решаются с помощью алгебры кортежей. 3. Алгебра кортежей выражает все объекты и методы исчисления высказываний. [Кулик и др., 2010; Кулик, 2019; Кулик, 2020; Кулик, 2023; Kulik, Fridman, 2022]. 70 Содержание доклада Вступление (взгляд на историю логики) 1. Каноны современной логики 1.1. Силлогистика 1.2. Математическая логика 1.3. Аксиоматическая теория множеств 2. Алгебра множеств 3. Заблуждения в современной логике 3.1. Противоречивость понятия «множество» 3.2. Необходимость аксиом в логике 3.2. Безошибочность силлогистики 4. Интерпретация языка математической логики 4.1. Алгебра кортежей 4.2. Интерпретация логического вывода 5. Позитивные результаты интерпретации 6. Нерешенные проблемы 71 Список литературы Нерешенные проблемы 1. На языке АК пока что не выражены некоторые задачи и методы исчисления предикатов (например Задача Steamroller (№ 47 в [Pelletier, 1986]). Также отсутствует обоснование того, что этого нельзя сделать. 2. Не рассмотрена интерпретация и область ее применения для функциональных символов. 3. Не исследована возможность замены универсума Эрбрана [Чень, Ли, 1983] более простым вариантом на основе алгебры кортежей. 4. Не исследована возможность интерпретации теоремы Геделя о неполноте. 5. Не исследованы все возможности уменьшения вычислительной сложности задачи «Выполнимость КНФ» с помощью метода ортогонализации. Список можно продолжить. 72 Список использованной литературы 1. Бочаров, В. А., Маркин В.И. Введение в логику. М. : Форум ; ИНФРЛ-М, 2008. 2. Бурбаки Н. Теория множеств. Книга 1. Основные структуры анализа. М.: Мир, 1965. 3. Вагин, В. Н. и др. Достоверный и правдоподобный вывод в интеллектуальных системах / под ред. В. Н. Вагина, Д. А. Поспелова. - 2-е изд. испр. и доп. - Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 712 с. 4. Гетманова А.Д. Учебник логики. 8- изд., перераб. М.: КНОРУС, 2011. 5. Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики – М.: ИЛ. 1947. – 306 с. 6. Кулик Б.А. Новые классы КНФ, с полиномиально распознаваемым свойством выполнимости // Автоматика и телемеханика. 1995. № 2. С. 111-124. 7. Кулик Б.А. Логика естественных рассуждений. СПб,: Невский диалект, 2001. 8. Кулик, Б. А. Логический анализ систем на основе алгебраического подхода. Диссертация на соискание ученой степени 9. Кулик Б.А., Зуенко А.А., Фридман А.Я. Алгебраический подход к интеллектуальной обработке данных и знаний. – СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2010. 10. Кулик Б.А. Исследование противоречий в естественных рассуждениях на примерах метафор и пресуппозиций // Труды Семнадцатой Национальной конференции по искусственному интеллекту с международным участием. КИИ-2019 (21–25 октября 2019 г., г. Ульяновск, Россия). Ульяновск: УлГТУ, 2019. Т. 2. С. 192-200. 11. Кулик Б.А. Как вычислять интересные следствия // Онтология проектирования. 2023. Т.13, №2(48). С.160-174. 73 Список использованной литературы 12. Кулик Б.А. Логика и математика: просто о сложных методах логического анализа. СПб.: Политехника, 2020. 13. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? 3-e изд., испр. и доп. М.: МЦНМО, 2001. 14. Поспелов Д. А. Моделирование рассуждений. Опыт анализа мыслительных актов. М.: Радио и связь, 1989. 15. Пуанкаре А. О науке. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. 736 с. 16. Справочная книга по математической логике: В 4-х частях / Под ред. Дж. Барвайса. Ч. 2. Теория множеств: Пер. с англ. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982. 370 с. 17. Стяжкин Н. И. Формирование математической логики. М.: Наука, 1967. 18. Чень Ч., Ли Р. Математическая логика и автоматическое доказательство теорем. – М., Наука. 1983. 19. Эйлер Л. Письма к немецкой принцессе о разных физических и философских материях. СПб.: Наука, 2002. 20. Copi, I. M., Cohen, C. and McMahon, K. Introduction to Logic. London: Routledge, 2016. 21. Kulik B., Fridman A. Complicated Methods of Logical Analysis Based on Simple Mathematics. Cambridge Scholars Publishing, 2022. 22. Mendelson, E. Introduction to Mathematical Logic. Boca Raton, London, New York: Taylor & Francis Group, 2015 (6th ed.). 499 pp. 23. Pelletier, F.J. Seventy-Five Problems for Testing Automatic Theorem Provers // Journal of Automated 74 Reasoning, 1986, Vol. 2, pp. 191-216. 75
