Amaliyotda kop uchraydigan bazi bir taqsimotlar

6-MAVZU. Amaliyotda ko‘p o‘chraydigan ba’zi bir taqsimotlar.
Bernulli,
Binomial, Puasson, geometrik, tekis, ko’rsatkichli, normal taqsimot qonunlari
Binomial taqsimot.
Faraz qilaylik, n ta erkli sinov o'tkazilgan bo'lib, ularni har birida A hodisaning
ro'y berishi o`zgarmas va r ga teng bo'lsin, demak, A hodisaning ro`y bermaslik ehtimoli
q=1-r ga teng. X diskret tasodifiy miqdor sifatida bu sinovlarda A hodisaning ro`y berish
sonini olamiz. Ravshanki, n ta sinovda A hodisa yo ro`y bermaydi, yoki 1 marta, yoki 2
marta, yoki…..n marta ro`y berishi mumkin.
Demak, X ning mumkin bo`lgan qiymatlari quyidagicha:
х1=0, х2=1, х3=2, …, хn+1=n
Bu mumkin bo`lgan qiymatlarning ehtimollarini topish uchun Bernulli
formulasidan foydalanamiz:
Pn(k)=Ckn рkqn-k , k=0,1,…..n
Shunday qilib,
р1=Рn(0)= Сn0 p0q n 0 = q n ; р2=Р2(1)= Сn1 pq n 1 =np q n 1 ; …
рn=Рn(n-1)= Сnn 1 p n 1q =npn-1 q ; рn+1= Сnn p n q0 = p n .
Endi X diskret tasodifiy miqdor taqsimot qonunini jadval ko`rinishida yozamiz.
X
Р
0
1
…
..k
…
qn
npqn-1
…
Сnk p k q nk …
n-1
N
npn-1q
pn
Yuqoridagi jadval X diskret tasodifiy miqdorning binominial taqsimoti deyiladi.
Umuman, binomial taqsimot deb ehtimollari Bernulli formulasi Bilan aniqlanadigan
taqsimotga aytiladi, bunda
q n  npq n 1  ...  Cnk p k q n  k  ...  np n 1q  p n  (q  p)n  1
Puasson taqsimoti.
X diskret tasodifiy miqdor 0,1,2,3,.... qiymatlarni
Р( Х  к ) 
л е  
к!
ehtimollar bilan qabul qilsin. Bu xolda quyidagi taqsimoti qonunini hosil qilamiz.
Х
Р
0
1
2
е
е  
2  
е
2!
…..
.....
n

k 0
n
k e
k 0
k!
pn (k )  
n
k
k 0
k!
 e 
к
к!
Yuqoridagi jadval Puasson taqsimoti deyiladi.
bunda
К
 e    e  1
е
.....
....
Normal taqsimot qonuni
Normal taqsimot deb
( xa ) 2
1
2 2
 e
 2
zichlik funksiya bilan beriladigan uzluksiz tasodifiy miqdor taqsimotiga aytiladi.
Bu zichlik funksiya grafigining sxematik chizmasi quyidagi ko‘ri-nishga ega:
1
y
f ( x) 
 2
0
a
x
Ko‘rinib turibdiki, normal taqsimot ikkita parametr: a va  bilan
aniqlanadi. Normal taqsimot berilishi uchun shu ikkita parametrning berilishi kifoya.
Bu parametrning ehtimoliy ma’nosi quyidagicha: a pa-rametr normal taqsimotning
matematik kutilishiga, 
o‘rtacha kvadratik chetlanishga teng. Darhaqiqat:

1
M ( X )   xf ( x)dx 
 2

Yangi Z 
xa


 xe

( x a )
2
2
2
dx

o‘zgaruvchi kiritamiz. Bundan x  z  a  dx  dz
U holda, M ( X ) 

 2

e


z2
2
1
dz 
2

z2
2
a
ze dz  2

e
z2
2
dz  0 

a
2
2  a
Shunday qilib, M(X)=a, ya’ni normal taqsimotning matematik kuti-lishi a
parametrga teng. Xuddi shunga o‘xshash,   X    ekanligini ko‘r-satish qiyin
emas.
1-eslatma. Umumiy normal taqsimot deb ixtiyoriy a va    0 parametrli
normal taqsimotga aytiladi.
Normalangan normal taqsimot deb a=0 va   1 parametrli normal taqsimotga
aytiladi. Masalan, X a va  parametrli normal tasodifiy miq-dor bo‘lsa, u holda
U
xa

almashtirish bilan tasodifiy miqdor normal bo‘ladi, shu bilan birga,
M(U)=0,  (U )  1 . Normalangan taqsimotning zichlik funksiyasi
 ( x) 
1
e

x2
2
2
Bu funksiyaning qiymatlari jadvallari ehtimollar nazariyasiga oid ko‘plab
adabiyotlarda keltirilgan.
2-eslatma. Umumiy normal taqsimotning taqsimot funksiyasi deb
x
1
F ( x) 
 e
 2 

( y a )2
2 2
funksiya, normalangan normal tasodifiy miqdorning taqsimot funk-siyasi deb
x
F0 ( x) 
1
 e
2 

z2
2
dz
funksiyaga aytiladi. F0 x  funksiyaning maxsus qiymatlari jadvali tuzilgan
bo‘lib, uning grafigi quyidagicha shaklga ega:
Ko‘rsatkichli taqsimot
Ko‘rsatkichli (eksponensial) taqsimot deb
x0
 0,
f ( x )    x
e , x  0
(bu yerda   0 -o‘zgarmas kattalik) zichlik funksiya bilan tavsiflangan
ehtimollar taqsimotiga aytiladi.
Ko‘rsatkichli taqsimotning taqsimot funksiyasini topamiz.
x
F ( x) 


0
x

0
f ( x)dx   0  dx    e x dx  1  e x
x0
 0,
x
1  e , x  0
Demak, F ( x)  
Ko‘rsatkichli taqsimotning zichlik funksiyasi va taqsimot funksiyasi grafiklari
quyidagi chizmada tasvirlangan.
f(x)
F(x)

1
0
x
0
x
Ko‘rsatkichli taqsimotning matematik kutilishi, dispersiya va o‘rta-cha
kvadratik chetlanishi mos ravishda quyidagicha:
M (X ) 
1

; D( X ) 
1

2
;  (X ) 
1

;
Ko‘rsatkichli qonun bo‘yicha taqsimlangan uzluksiz tasodifiy miq-dorga misol
bo‘lib, eng oddiy oqim ikkita ketma-ket hodisaning ro‘y be-rishi orasidagi vaqt
taqsimoti xizmat qilishi mumkin.
NAMUNAVIY MASHQLAR
1. Do’konga ikkita fabrikadan 2:3 nisbatda poyafzal keltirildi. To’rt juft
poyafzal sotib olindi. Birinchi fabrikada ishlab chiqarilganl poyafzal jufti sotib
olinganlari sonidan iborat tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini, matematik
kutilishini va o’rtacha kvadratik chetlashishini toping.
Y e c h i s h. X  sotib olingan to’rtta poyafzal juftidan birinchi fabrikada ishlab
chiqarilganlari sonidan iborat tasodifiy miqdor bo’lsin. Tasodifiy poyafzal jufti
2
 0,4. X
birinchi fabrikada ishlab chiqarilgan bo’lishi ehtimoli p 
23
parametrlari n  4, p  0,4 bo’lgan binominal taqsimotga ega.
U holda
p0  0,6 4  0,1296 , p1  4  0,4  0,63  0,3456, p2  3  2  0,4 2  0,6 2  0,3456,
p3  4  0,43  0,6  0,1536, p4  0,4 4  0,0256
yoki
X:
U
xi
pi
2
4
0
3
1
0,1296 0,3456 0,3456 0,1536 0,0256
M  X   4  0,4  1,6,
D X   npq  4  0,4  0,6  0,96,
holda
 ( X )  4  0,4  0,6  0,98.
2. 1-misolda berilganlar bo’yicha to’trta sotib olingan poyafzallar juftida
birinchi fabrika ulushining
matematik kutilishini va o’rtacha kvadratik
chetlashishini toping.
Y e c h i s h. (1.54) formulalardan n  4, p  0,4 da topamiz:
k
 k  pq 0,4  0,6
k
M    p  0,4; D  

 0,06;     0,06  0,245.
4
n
n n
n
3. 800 ta urchuqning har birida t vaqt ichida ipning uzilishi ehtimoli 0,005 ga
teng. Ko’rsatilgan vaqt ichida ipning uzilishlari sonidan iborat tasodifiy miqdorning
taqsimot qonunini, matematik kutilishini va o’rtacha kvadratik chetlashishini toping.
Y e c h i s h. X  t vaqt ichida ipning uzilishlari sonidan iborat tasodifiy miqdor
bo’lsin. X parametrlari n  800, p  0,005 bo’lgan Puasson taqsimotga ega.
Bundan   np  800  0,005  4.
4 4
4 2 4
4
Demak, p0  e  0,0183 , p1   e  0,0733, p2   e  0,1465, yoki
1!
2!
X:
xi
0
1
2
…
m
…
pi
0,0183 0,0733 0,1465
…
4  m e 4 m!
…
M  X     4,
D X     4,  ( X )  4  2.
U holda
4. Uskuna mustahkamligi sinashlardan o’tkazilmoqda. Sinashlar uskunaning
ishdan chiqishiga qadar o’tkaziladi. Har bir sinashda uskunaning ishdan chiqishi
ehtimoli 0,1 ga teng. Muvaffaqiyatli o’tkazilgan sinashlar sonidan iborat tasodifiy
miqdorning taqsimot qonunini, matematik kutilishini va o’rtacha kvadratik
chetlashishini toping.
Y e c h i s h. X  muvaffaqiyatli o’tkazilgan sinashlar sonidan iborat tasodifiy
X parametrlari p  0,1, q  1  p  0,9 dan iborat bo’lgan
miqdor bo’lsin.
geometrik taqsimotga ega.
Demak,
X:
U
holda
xi
1
2
3
…
k
...
pi
0,1
0,09
0,081
…
0,9 k  0,1
...
1 1
q
0,9

 10, D X   2  2  90,  ( X )  90  9,49.
p 0,1
p
0,1
5. Guruhda 15 talaba bo’lib, ularning 9 nafari a’lochilar. Ro’yxat bo’yicha
tavakkaliga 3 ta talaba tahlab olindi. A’lochi talabalar sonidan iborat tasodifiy
miqdorning taqsimot qonunini, matematik kutilishini va dispersiyasini toping.
Y e c h i s h. X  a’lochi talabalar sonidan iborat tasodifiy miqdor bo’lsin. X
parametrlari N  15, K  9, n  3 dan iborat bo’lgan gipergeometrik taqsimotga
ega. Demak,
C90 C63 4
C91C62 27
p0  3  ,
p1  3 
,
C15
91
C15
91
C92 C61 216
C93C60 12
p2  3 
p3  3  ,
,
C15
455
C15
65
yoki
M X  
X:
xi
pi
0
4
91
1
27
91
2
216
455
3
12
65
U holda
K
9 9
 3  ,
n
15 5
K 
K 
n
9
9 
3  162
D X   n
.
1  1    3  1  1   
N  1
N 
N
14  15  15  175
M X   n
6. Bir soat ichida bekatga faqat bitta avtobus kelib to’xtaydi.
t  0 vaqtda bekatga kelgan yo’lovchining avtobusni 10 minutdan ortiq
kutmasligi ehtimolini toping.
Y e c h i s h. t  0 vaqtda bekatga kelgan yo’lovchining avtobusni kutish vaqti
[0;1] oraliqda tekis taqsimlangan X tasodifiy miqdor bo’ladi.
Shu sababli
0, agar x  0,

f ( x)  1, agar 0  x  1,
0, agar x  0.

1
Bundan b  1, a  0,   0,   10 min  c. U holda (1.63) formulaga ko’ra
6
1
0
1   6
1

P 0  X   

 .
6 b  a 1 0 6

7. X uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot zichligi berilgan:

0, agar x  0,

f ( x)  
2 x

2e , agar x  0.
M  X , D X ,  ( X ) larni toping.
Y e c h i s h. (1.66) formulalardan topamiz:
1 1
1 1
1
M  X     0,5, D X   2   0,25,  ( X )   0,5.
a 2
a
4
a
8-misol. Normal taqsimlangan X tasodifiy miqdorning matemtik kutilishi
M  X   3 ga, dispersiyasi D X   16 ga teng. X ning: 1) differensial funksiyasini:
2) integral funksiyasini; 3) (7;11) oraliqqa tushishi ehtimolini toping.
Y e c h i s h. Normal taqsimot differensial funksiyasining a va  parametrlari
X ning matematik kutilishi va o’rtacha kvadratik chetlashishidan iborat bo’lishini
inobatga olib, topamiz: a  M  X   3,   D X   16  4.
U holda
( xa )
( x 3 )


1
1
2
f ( x) 
e

e 32 ,
 2
4 2
1
 xa 1
 x  3
F ( x )   
   
,
2
   2
 4 
 a
  a 
 11  3 
 7  3
P7  X  11  
  
  
  
  (2)  (1).
  
  
 4 
 4 
Laplas funksiyasining jadvaliidan: (2)  0,4772, (1)  0,3413.
Shunday qilib,
P7  X  11  0,4772  0,3413  0,1359.
2
2
2
MUSTAHKAMLASH UCHUN MASHQLAR
1. Qurilma o’zaro erkli ishlaydigan 3 ta elementdan iborat. Har bir elementning
bitta sinashda ishdan chiqishi ehtimoli 0,1 ga teng. Bitta sinashda ishdan chiqqan
elementlar sonining taqsimot qonunini tuzing. Tasodifiy miqdorning matematik
kutilishi va dispersiyasini toping.
2. Statistik ma’lumotlarga ko’ra o’g’il bola tug’ilishi ehtimoli 0,515 ga teng. 4
ta
Javob:
farzandli
oilada
Javob:
o’g’il bolalar tug’ilishi sonining taqsimot qonunini tuzing. Tasodifiy miqdorning
matematik kutilishi va dispersiyasini toping.
3. Nazorat ishi 3 ta test savolidan iborat. Har bir test savolida 4 ta javob
keltirilgan bo’lib, ulardan bittasi to’g’ri. Oddiy topishda to’g’ri javoblar sonining
taqsimot qonunini tuzing. Tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va
dispersiyasini toping.
Javob:
4. Reklama sifatida firma har o’ninchi mahsulotiga 1000 so’mdan sovrin
qo’ygan. 5 ta sotib olingan mahsulotning yutuqlari miqdoridan iborat tsodifiy
miqdorning matematik kutilishi, dispersiyasi va taqsimot qonunini toping.
Javob: M  X   0,5, D X   0,45,
.
..
5. 20ta pul-buyum lotoreyasi sotib olingan. Har bir biletga yutuq chiqishi
ehtimoli 0,15 ga teng bo’lsin: 1) olingan biletlarga yutuq chiqishlari sonining; 2)
olingan biletlar orasida yutuq chiqqan biletlar ulushining matematik kutilishi va
dispersiyasini toping.
Javob: 1) M  X   3, D X   2,55; 2) M  X   0,15, D X   0,0064.
6. Do’konga jo’natilgan 1000 ta buyumning yo’lda shikastlanishi ehtimoli
0,002 ga
teng. Buyumning yo’lda shikastlanishlari sonidan iborat tasodifiy miqdorning
taqsimot
qonunini, matematik kutilishi va dispersiyasini toping.
Javob:
…
…
0,2707 …
…
2
7. Darslik 10000 nusxada chop etilgan. Har bir nusxaning noto’g’ri
muqavalanishi
ehtimoli 0,0001ga teng. Noto’g’ri muqavalangan darsliklar sonidan iborat tasodifiy
miqdorning taqsimot qonunini, matematik kutilishi va dispersiyasini toping.
Javob:
…
…
…
…
8. Bug’doy urug’lari orasida 0,2% begona urug’ bor. Tavakkaliga 5000 ta urug’
tanlansa 20 ta begona urug’ chiqishi ehtimolini toping.
Javob: 0,0019.
9. Bankka keluvchi mijozlar soni Puasson taqsimotiga bo’ysunidi va o’rta
hisobda bir daqiqada bankka 5 ta mijoz kirsin: 1) navbatdagi bir daqiqada bankka
bitta mijoz kirishi; 2) navbatdagi bir daqiqada bankka kamida ikkita mijoz kirishi
ehtimolini toping.
Javob: 1) 0,1637; 2) 0,0012.
10. Nishonning yakson etilishi ehtimoli 0,05 ga teng. Birinchi o’q tekkunicha
o’q otilmoqda. 1) otilgan o’qlar sonining taqsimot qonunini; 2) bu tasodifiy
miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasini; 3) nishoh yakson etilishi uchun 5
tadan kam b’lmagan otishlar talab etilishi ehtimolini toping.
Javob: 1)
…
…
…
…
2)
M  X   20, D X   380;
3) P X  5  1  P X  5  0,8145.
11. Ko’p sondagi detallar partiyasida nostandarti chiqqunicha teksirishlar
o’tkazilmoqda. Har bir detalning nostandart chiqishi ehtimoli 0,2 ga teng bo’lsa,
Javob:
…
…
…
…;
tekshirilgan detallar sonining taqsimot qonunini tuzing. Uning matematik kutilishi
va dispersiyasini toping.
12. Imtixonda talabaga qo’shimcha savollar berilmoqda. Talabaning berilgan
har qanday savolga javob berishi ehtimoli 0,85 ga teng. Talaba berilgan savolga
javob bera olmagan zahoti imtixon to’xtatiladi. Talabaga berilgan qo’shimcha
savollar sonining taqsimot qonunini va berilgan qo’shimcha savollarning eng
ehtimolli soni m0 ni toping.
Javob:
…
…
…
… ;
13. “ 45 dan 6 ta sportloto” o’yinida 45 tadan tavakkaliga tanlangan 6 ta sport
turidan 3, 4, 5 , 6 ta sport turlarini topgan qatnashchilar pul yutuqlariga ega bo’ladi,
bunda topilgan sport turlari ortishi bilan yutuq miqdori ham ortib boradi.
Tavakkaliga tanlangan 6 ta sport turidan topilgan sport turlari sonidan iborat X
tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini, matematik kutilishi va dispersiyasini
toping. Pul yutuqlari olinishi ehtimolini aniqlang.
Javob:
14. Firmaning sotuvga qo’yilgan 20 ta kompyuteridan 7 tasida nosozlik mavjud.
Tavakkaliga 5 ta kompyuter tanlangan bo’lsin: 1) nosoz kompyuterlar sonining
taqsimot qonunini; 2) bu tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasini;
3) olingan kompyuterlar orasida nosozlari bo’lmasligi ehtimolini toping.
Javob: 1)
;
;
2) M  X   1,75, D X   0,898; 3) 0,083.
15. Metro poezdlari bir maromda 2 minutlik interval bilan yuradi. Yo’lovchi
platformaga tasodifiy vaqtda chiqadi. Uning: 1) poezdni yarim minutdan ko’p
kutmasligi ehtimolini; 2) poezdni kutish vaqtidan iborat tasodifiy miqdorning
matematik kutilishi va dispersiyasini toping.
Javob: 1) P X  0,5  0,25; 2) M  X   1, D X 0,333.
16. O’lchov asbobi shkalasining bo’linishi qiymati 0,2 ga teng. Asbobning
ko’rsatishi eng yaqin butun songacha yaxlitlanadi. Xisoblashda yaxlitlash xatosi
tekis taqsimlangan bo’lsa, 1) yaxlitlash xatosidan iborat tasodifiy miqdorning
matematik kutilishi va dispersiyasini, 2) yaxlitlash xatosi 0,04 dan kam bo’lishi
ehtimolini;
3) yaxlitlash xatosi 0,05 dan ko’p bo’lishi ehtimolini toping.
Javob:1)
M  X   0,1, D X 0,0033;
2)
P0  X  0,04  P0,16  X  0,20  0,4;
3) P0,05  X  0,15  0,5.
17. Chorrahadagi harakat yashil rangi har 2 minutda yonuvchi svetofor bilan
boshqariladi. Qizil rangga kelgan avtomobilning bu svetofor oldida turib qolishi
vaqti (0;2) oraliqda tekis taqsimlangan tasodifiy miqdor bo’lsa, uning: 1) zichlik
funksiyasini; 2) o’rtacha kutish vaqtini; 3) o’rtacha kvadratik og’ishini toping.
0,5, agar 0  x  2,
Javob: 1) f ( x)  
; 2) 1; 2) 0,5773.
0, agar x  0, x  2.
18. (a; b) oraliqda tekis taqsimlangan X tasodifiy miqdor uchun M  X   11,
D X   27 bo’lsa, a va b parametrlarni toping.
Javob: a  2, b  20.
19. Sovutgichni tuzatish vaqti ko’rsatkichli taqsimotga ega bo’lgan tasodifiy
miqdor bo’lsin. Sovutgichni tuzatishga o’rtacha 15 kun kerak bo’lsa, u holda: 1)
tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasini, taqsimot funksiyasini va o’rtacha kvadratik
chetlashishini aniqlang; 2) sovutgichni tuzatishga 20 kundan kam bo’lmagan vaqt kerak
bo’lishi ehtimolini toping.
x

1 15x
15
Javob: 1) f ( x)  e , F ( x)  1  e , ( x  0),  x  15;
15
20
15
2) Px  20  1  P X  20  e  0,264.
20. Televizorning to’xtovsiz ishlashi ehtimoli f ( x)  0,02e 0, 02x ( x  0) qonunga
ega bo’lsa, quyidagilarni toping: 1) tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va
dispersiyasini; 2) televizorning 50 soat to’xtovsiz ishlashi ehtimolini.
Javob: 1) M  X   50, D X   2500; 2) 0,3679.

21. X tasodifiy miqdor f ( x)  3e 3 x ( x  0) differensial funksiya bilanberilgan.
1) M  X , D X  ni hisoblang; 2) X ning (0,13;0,7) oraliqqa tushishi ehtimolini
toping.
1
1
Javob: 1) M  X   , D X   ; 2) 0,56.
3
9
22. O’zaro erkli ishlaydigan uchta elementning buzilmasdan ishlashi vaqtlari mos
F2 ( x)  1  e 0, 2 x ,
F3 ( x)  1  e 0,3 x taqsimotga ega.
ravishda F1 ( x)  1  e 0,1x ,
Vaqtning (0;5) soat oralig’ida: 1) faqat bitta elementning buzilishi ehtimolini; 2) faqat
ikkita elementning buzilishi ehtimolini; 3) uchala elementning buzilishi ehtimolini
toping.
Javob: 1) 0,445; 2) 0,29; 3) 0,05.
23. Normal taqsimlangan X tasodifiy miqdorning matemtik kutilishi
M  X   2 ga, dispersiyasi D X   9 ga teng. X ning: 1) differensial funksiyasini:
2) integral funksiyasini; 3) (5;11) oraliqqa tushishi ehtimolini toping.
Javob:
( x 2 )

1
1
 x  2
1) f ( x) 
2) F ( x)   
3)
e 18 ,
;
2
3 2
 3 
P5  X  11  0,1574.
24. Aksiyaning kundalik bahosi matematik kutilishi 15 shartli pul birligi (sh.p.b.)
va o’rtacha kvadratik chetlashishi 0,2 sh.p.b. ga teng normal taqsimotga ega bo’lsa,
aksiyaning narxi: 1) 15,3 sh.p.b. dan ortiq bo’lmasligi; 2). 15,4 sh.p.b. dan kam
bo’lmasligi; 3) 14,9 dan 15,3 sh.p.b. oralig’ida bo’lishi ehtimollarini; 4) uch sigma
qoidasi asosida aksiya kundalik bahosining o’zgarish chegarasini toping.
Javob: 1) 0,4332; 2) 0,0228; 3) 0,6246; 4) 14,4  X  15,6.
25. Konfetlar qutilarga avtomatik tarzda joylashtiriladi. Ularning o’rtacha massasi
540 g. Bo’lib, 5 % quti 500 g. Dan kam massaga ega bo’lsa, qutilarning massasi qanday
% larda: 1) 470 g. dan kam bo’ladi; 2). 500 g. dan 550 g. gacha bo’ladi; 3) 550 g. dan
ortiq bo’ladi; 4)o’rtacha massadan absolyut qiymati bo’yicha 30 g. ga farq qiladi?
Javob: 1) 0,002; 2) 0,613; 3) 0,341; 4) 0,0781.
26. Valning diametri sistematik xatolarsiz o’lchanadi. X  o’lchamlarning
nisbiy xatolari bo’lsin. U o’rtacha kvadratik chetlanishi   10 mm.ga teng normal
taqsimotga bo’ysunsa, o’lchash absolyut qiymati bo’yicha 15 mm.dan ortiq
bo’lmaydigan xato bilan o’tkazilishi ehtimolini toping.Javob: 0,8864.
27. Konteynerga joylashtirilayotgan tovarlarning massasi normal taqsimlangan
tasodifiy miqdor bo’lsin. Konteynerlarning 65 %i 4,9 tonna sof og’irlikka ega va 25
%i 4,2 tonnadan kam og’irlikka ega ekanligi ma’lum. Konteyner sof og’irligining
o’rtacha va o’rtacha kvadratik og’ishni toping.
Javob: 5,83 va 2,41.
28. Poyezd 100 ta vagondan tashkil topgan. Har bir vagonning massasi
matematik kutilishi 65 tonna va o’rtacha kvadratik chetlanishi   0,9 tonnadan
iborat. Lokomativ 6600 tonna massali sostavni tortishi mumkin, aks holda ikkinchi
lokomativni qo’shishga to’g’ri keladi. Ikkinchi lokomativ kerak bo’lmasligi
ehtimolini toping. Javob: 0,7328
29. Avtomat sharchalar tayyorlaydi. X  sharcha diametri bo’lsin. Bu
diametrning loyihadagi o’lchamdan chetlanishi absolyut qiymat bo’yicha 0,7
mm.dan kichik bo’lsa, sharcha yaroqli hisoblanadi. X tasodifiy miqdor   0,4
o’rtacha kvadratik chetlanish bilan normal taqsimlangan bo’lsa, tayyorlangan 100 ta
sharchadan nechtasi yaroqli bo’ladi?
Javob: 92.
2
7-MAVZU. Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorlar. Tasodifiy vektorning taqsimot
funksiyasi va uning xossalari. Diskret va uzluksiz turdagi tasodifiy vektorlar.
Korrelyasiya koeffisenti va uning xossalari
Bir o‘lchovli t.m.lardan tashqari, mumkin bo‘lgan qiymatlari 2 ta, 3 ta, ..., n
ta son bilan aniqlanadigan miqdorlarni ham o‘rganish zarurati tug‘iladi. Bunday
miqdorlar mos ravishda ikki o‘lchovli, uch o‘lchovli, … , n o‘lchovli deb ataladi.
Faraz qilaylik, (, A, P) ehtimollik fazosida aniqlangan X1 , X 2 ,..., X n t.m.lar
berilgan bo‘lsin.
X  ( X1 , X 2 ,..., X n ) vektorga tasodifiy vektor yoki n-o‘lchovli t.m. deyiladi.
Ko‘p o‘lchovli t.m. har bir elementar hodisa  ga n ta X1 , X 2 ,..., X n t.m.larning
qabul qiladigan qiymatlarini mos qo‘yadi.
FX1 , X 2 ,..., X n ( x1 , x2 ,..., xn )  P{ X1  x1 , X 2  x2 ,..., X n  xn } n o‘lchovli funksiya
X  ( X1 , X 2 ,..., X n ) tasodifiy vektorning taqsimot funksiyasi yoki X1 , X 2 ,..., X n
t.m.larning birgalikdagi taqsimot funksiyasi deyiladi.
Qulaylik uchun FX1 , X 2 ,..., X n ( x1 , x2 ,..., xn ) taqsimot funksiyani X1 , X 2 ,..., X n
indekslarini tushirib qoldirib, F ( x1 , x2 ,..., xn ) ko‘rinishida yozamiz.
F ( x1 , x2 ,..., xn ) funksiya X  ( X1 , X 2 ,..., X n ) tasodifiy vektorning taqsimot
funksiyasi bo‘lsin. Ko‘p o‘lchovli F ( x1 , x2 ,..., xn ) taqsimot funksiyaning asosiy
xossalarini keltiramiz:
1. xi : 0  F ( x1 , x2 ,..., xn )  1 , ya’ni taqsimot funksiya chegaralangan.
2. F ( x1 , x2 ,..., xn ) funksiya har qaysi argumenti bo‘yicha kamayuvchi emas
va chapdan uzluksiz.
3. Agar biror xi   bo‘lsa, u holda
lim F ( x1 , x2 ,..., xn )  F ( x1 ,..., xi 1, , xi 1,..., xn ) 
xi 
(1)
 FX1 ,..., X i1 , X i1 ,..., X n ( x1,..., xi 1, xi 1,..., xn )
F ( x1 , x2 ,..., xn )  0 .
4. Agar biror xi   bo‘lsa, u holda xlim

i
3-xossa yordamida keltirib chiqarilgan (1) taqsimot funksiyaga marginal(xususiy)
taqsimot funksiya deyiladi. X  ( X1 , X 2 ,..., X n ) tasodifiy vektorning barcha
k  Cn1  Cn2  ...  Cnn1 
marginal
taqsimot
funksiyalari
soni
n
C
n 0
m
n
 Cn0  Cnn  2n  2 ga tengdir.
Masalan, X  ( X1 , X 2 ) (n=2) ikki o‘lchovlik tasodifiy vektorning marginal
taqsimot funksiyalari soni k  22  2  2 ta bo‘lib, ular quyidagilardir:
F ( x1 , )  F1 ( x1 )  P( X1  x1 ); F (, x2 )  F2 ( x2 )  P( X 2  x2 ) .
Soddalik uchun n=2 bo‘lgan holda, ya’ni (X,Y) ikki o‘lchovlik tasodifiy vector
bo‘lgan holni ko‘rish bilan cheklanamiz.
2. Ikki o‘lchovli diskret tasodifiy miqdor va uning taqsimot qonuni.
(X,Y) ikki o‘lchovli t.m. taqsimot qonunini
pij  P{ X  xi , Y  y j }; i  1, n, j  1, m
formula yordamida yoki quyidagi jadval ko‘rinishida berish mumkin:
(2)
y1
y2
…
ym
x1
p11
p12
p1m
x2
p21
p22
…
…
…
xn
pn1
p21
…
…
…
…
Y
X
bu
yerda
…
pnm
ehtimolliklar
pij
barcha
(3)
p2m
yig‘indisi
birga
teng,
chunki
{X  xi , Y  y j } i  1, n, j  1, m birgalikda bo‘lmagan hodisalar to‘la gruppani tashkil
n
etadi
m
 p
i 1 j 1
ij
 1 . (2) formula ikki o‘lchovli diskret t.m.ning taqsimot qonuni, (3)
jadval esa birgalikdagi taqsimot jadvali deyiladi.
(X,Y) ikki o‘lchovli diskret t.m.ning birgalikdagi taqsimot qonuni berilgan
bo‘lsa, har bir komponentaning alohida (marginal) taqsimot qonunlarini topish
mumkin. Har bir i  1, n uchun {X  xi , Y  y1},{X  xi , Y  y2},...,{X  xi , Y  ym}
hodisalar birgalikda bo‘lmagani sababli: pxi  P{X  xi }  pi1  pi 2  ...  pim .
m
Demak, pxi  P{ X  xi }   pij , i  1, n , p y  P{Y  y j }   pij j  1, m .
j 1
n
j
i 1
1-misol. Ichida 2 ta oq, 1 ta qora, 1 ta ko‘k shar bo‘lgan idishdan tavakkaliga
ikkita shar olinadi. Olingan sharlar ichida qora sharlar soni X t.m. va ko‘k rangdagi
sharlar soni Y t.m. bo‘lsin. (X,Y) ikki o‘lchovli t.m.ning birgalikdagi taqsimot
qonunini tuzing. X va Y t.m.larning alohida taqsimot qonunlarini toping.
X t.m. qabul qilishi mumkin qiymatlari: 0 va 1: Y t.m.ning qiymatlari ham 0
C22 1
va 1. Mos ehtimolliklarni hisoblaymiz: p11  P{ X  0, Y  0}  2 
(yoki
C4 6
2 1 1
  );
4 3 6
C21 2
2
p12  P{ X  0, Y  1}  2  ; p21  P{ X  1, Y  0}  ;
C4 6
6
1
p22  P{ X  1, Y  1}  .
6
(X,Y) vaktorning taqsimot jadvali quyidagicha ko‘rinishga ega:
Y
0
1
X
1 2 1
2 1 1
  , P{ X  1}    ;
6 6 2
6 6 2
1 2 1
2 1 1
P{Y  0}    , P{Y  1}    kelib chiqadi. X va
6 6 2
6 6 2
Bu
0
1
1
6
2
6
2
6
1
6
yerdan
P{ X  0} 
Y t.m.larning alohida taqsimot qonunlari quyidagi ko‘rinishga
ega bo‘ladi:
 X : 0, 1
Y : 0, 1



1 1 va 
1 1.
p
:
,
p
:
,


2 2
2 2
3. Ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi va uning xossalari.
Ikki o‘lchovli t.m. taqsimot funksiyasini F(x,y) orqali belgilaymiz.
Ikki o‘lchovli (X,Y) t.m.ning taqsimot funksiyasi, x va y sonlarning har bir jufti uchun
{X  x} va {Y  y} hodisalarning birgalikdagi ehtimolligini aniqlaydigan F(x,y)
funksiyasidir: ya’ni
F ( x, y)  P{X  x,Y  y}  P  ( X .Y )  (, x)  (, y)  D  .
(4) tenglikning geometrik tasviri 1-rasmda keltirilgan.
(4)
1-rasm.
(X,Y) ikki o‘lchovlik diskret t.m. taqsimot funksiyasi quyidagi yig‘indi orqali
aniqlanadi:
F ( x, y)    pij .
(5)
xi  x y j  y
Ikki o‘lchovlik t.m. taqsimot funksiyasining xossalari:
1. F ( x, y) taqsimot funksiya chegaralangan: 0  F ( x, y)  1 .
2. F ( x, y) funksiya har qaysi argumenti bo‘yicha kamayuvchi emas:
agar x2  x1 bo‘lsa, F ( x2 , y)  F ( x1 , y) ,
agar y2  y1 bo‘lsa, F ( x, y2 )  F ( x, y1 ) .
3. F ( x, y) funksiyaning biror argumenti  bo‘lsa(limit ma’nosida), u holda
F ( x, y) funksiya nolga teng, F ( x, )  F (, y)  F (, )  0 .
4. Agar F ( x, y) funksiyaning bitta argumenti  bo‘lsa(limit ma’nosida), u
holda
(6)
F ( x, )  F1 ( x)  FX ( x) ; F (, y)  F2 ( y)  FY ( y) .
5. Agar ikkala argumenti  bo‘lsa(limit ma’nosida), u holda F (, )  1
.
6. F ( x, y) funksiya har qaysi argumenti bo‘yicha chapdan uzluksiz, ya’ni
lim F ( x, y)  F ( x0 , y) , lim F ( x, y)  F ( x, y0 ) .
x  x 0
y  y 0
0
0
Isboti. 1. F ( x, y)  P{X  x,Y  y} ehtimollik bo‘lgaligi uchun 0  F ( x, y)  1
.
2. ( x, y) argumentlarning birortasini kattalashtirsak, 1-rasmda bo‘yalgan D soha
kattalashadi, demak bu sohaga (X,Y) tasodifiy nuqtaning tushishi ehtimolligi
kamaymaydi.
3. {X  },{Y  } hodisalar va ularning ko‘paytmasi mumkin bo‘lmagan
hodisalardir. Demak, bu hodisalarning ehtimolligi nolga teng.
4. {X  } muqarrar hodisa bo‘lgani uchun {X  }{Y  y}  {Y  y} bo‘ladi.
F (, y)  P{X  ; Y  y}  P{Y  y}  FY ( y) . Xuddi shunday
Demak,
F ( x, )  P{X  x; Y  }  P{X  x}  FX ( x) .
5. {X  } va {Y  } hodisalar muqarrar hodisalar bo‘lganligi uchun
{X  }{Y  } ham muqarrar hodisa bo‘ladi va bu hodisaning ehtimolligi 1 ga
teng.
F ( x, y)
taqsimot
funksiya
yordamida
(X,Y)
t.m.
biror
D  {( x, y) : x1  x  x2 , y1  y  y2 } sohaga tushishi ehtimolligini topish mumkin:
P{( X , Y )  D}  P{x1  X  x2 , y1  Y  y2 } 
 F ( x2 , y2 )  F ( x1, y2 )  F ( x2 , y1 )  F ( x1, y1 ).
(7)
2-rasmda (7) tenglikning geometrik isboti keltirilgan.
2-rasm.
2-misol. 1-misoldagi (X,Y) ikki o‘lchovlik t.m.ning hamda X va Y t.m.larning
taqsimot funksiyalarini toping.
Avvalgi bobdagi F ( x)   pi formuladan:
xi  x
0, agar x  0,

F1 ( x)  0.5, agar 0  x  1,
1, agar x  1,

0, agar y  0,

F2 ( y )  0.5, agar 0  y  1,
1, agar y  1.

(X,Y) ikki o‘lchovlik t.m.ning F ( x, y) taqsimot funksiyasini (5) formulaga ko‘ra
topamiz:
y0
0  y 1
y 1
Y
X
0
0
0
x0
1
0
0  x 1
1 1 2
 
6
2  6 6 
0
x 1
1 1 2
 1 2 2 1
  
1     

2 6 6
 6 6 6 6