Коробейников. Задачи теории точечного взрыва, 1973

Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
В. П. Коробейников, Задачи теории точечного взрыва в газах, Тр. МИАН СССР, 1973, том 119, 3–278
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 89.109.54.73
23 апреля 2018 г., 15:17:14
ВВЕДЕНИЕ
Настоящее исследование посвящено изучению вопросов теории точеч­
ного взрыва (ТТВ) в газах, которая возникла в связи с необходимостью
описать явления, имеющие место в сплошных средах при взрыве зарядов
малого объема и веса, но обладающих большой удельной энергией. Ре­
зультаты этой теории дают возможность получить с достаточной точностью
многие необходимые данные о характере неустановившегося движения
и распространении ударных волн, возникающих при взрывах. Теория
точечного взрыва в газах нашла свое приложение в таких явлениях, как
ядерные взрывы в атмосфере, взрывные процессы в космическом про­
странстве, движение тонких затупленных тел (в том числе метеоритов)
в атмосфере Земли, распространение ударных волн, вызванных мощным
лазерным излучением и электрическими разрядами в газе, электрический
взрыв проводников. Эта теория получила свое развитие около 25 лет тому
назад благодаря работам Л. И. Седова, а также Дж. Тейлора, К. П. Ста­
нюковича, Дж. Неймана. В работах ряда советских и зарубежных уче­
ных решены многие задачи этой теории.
Остановимся кратко на сущности явления сосредоточенного взрыва.
Пусть в объеме, достаточно малом по сравнению с объемом окружающей
среды, сосредоточена малая масса взрывчатого вещества (ВВ) и в некото­
рый момент времени происходит взрыв, сопровождающийся быстрым выде­
лением энергии, причем плотность выделившейся энергии (количество
энергии в единице объема) намного больше плотности энергии окружающей
среды. При этом произойдет почти мгновенное повышение давления и тем­
пературы среды в окрестности взрыва и возникнет сильная ударная волна,
затухающая по мере ее распространения от места взрыва. Учет всех факто­
ров, влияющих на распространение взрывной волны в реальных усло­
виях, делает задачу о теоретическом описании явления взрыва весьма
сложной. Здесь, как и в ряде других сложных явлений, для успешного
решения проблемы необходима некоторая идеализация, заключающаяся
в учете только тех фактов, которые преобладают в развитии всего явления.
В вопросах, связанных со взрывами, основной идеализацией будет пред­
положение о том, что процесс выделения энергии происходит мгновенно,
а объем, занятый ВВ, и масса заряда считаются равными нулю, причем
в случае сферической симметрии взрыв будет происходить в точке, при
цилиндрической симметрии — вдоль прямой, при плоской — вдоль плос­
кости. Этот идеализированный процесс выделения энергии называется
точечным взрывом. Кроме того, мы строим различные идеализированные
схемы развития процесса взрыва, модели движения среды.
1*
3
В рассматриваемой работе изучаются как уже известные модели, так
и новые модели движения газа при точечном взрыве, учитывающие раз­
личные физические процессы, формулируются математические задачи
для этих моделей и изучаются методы их решения. В основном здесь изла­
гаются вопросы, которые разрабатывались автором или при его участии.
Книга состоит из восьми глав и Приложения. Цитированная литература
составлена отдельно для каждой главы. В ней указаны, как правило,
лишь работы, которое близки к нашим исследованиям или на результаты
которых мы опираемся при изучении различных вопросов.
Глава 1 носит главным образом вспомогательный характер. Здесь при­
ведены известные основные уравнения гидродинамики и магнитной гидро­
динамики (МГД), а также условия на ударных волнах, вытекающие из за­
конов сохранения, в том числе на магнитогидродинамических волнах
(§ 1—4). Указаны некоторые свойства этих уравнений. В § 5, 6 представ­
лены необходимые сведения по теории размерностей, теории групп и вве­
дены понятия автомодельных и инвариантных решений уравнений гидро­
динамики и МГД. Дается также вывод интегралов адиабатических дви­
жений для автомодельных решений уравнений одномерной газодинамики
и МГД. Эти интегралы используются в дальнейшем при исследовании
конкретных задач.
Формулировкам и примерам решений задач для некоторых уравнений
математической физики посвящен § 7, причем эти задачи связаны с опре­
делением возмущений, вызванных мгновенным локальным выделением
энергии. Здесь вводится понятие точечного взрыва и приводятся точные
решения задач о точечном взрыве (ЗТВ) для уравнения теплопроводности,
уравнений волнового и сферически-симметричных движений несжимаемой
жидкости. Здесь же формулируется задача для уравнений газовой дина­
мики, обсуждаются некоторые свойства решений и поведение движуще­
гося газа.
В главе 2 изучается сильный взрыв в совершенном газе, рассмотрены
некоторые вопросы учета реальных физических процессов в газах при
высоких температурах и кратко излагаются основные приложения теории
сильного взрыва к физическим явлениям.
В § 1 приведено известное решение Л. И. Седова автомодельной задачи
р сильном взрыве в газе при переменной начальной плотности p =Ar~ .
Исследование некоторых аналитических свойств этого решения дано
в § 2 этой главы. В основном мы рассматриваем случай постоянной плот­
ности ((о=0). Здесь дано обоснование представления решения в окрест­
ности центра в виде специальных степенных рядов по безразмерной коор­
динате и доказана теорема о непрерывной зависимости решения от показа­
теля адиабаты у. Путем расчетов выяснено фактическое изменение реше­
ния при изменении у в диапазоне 1,1 ^ у ^ 7. В частности, в этом диапа­
зоне у вычислен важный для приложений энергетический параметр а,
характеризующий безразмерную полную энергию движущегося газа.
Проведена аппроксимация зависимости а (у) простыми аналитическими
формулами, относительная погрешность которых не превышает 2%.
При со =^= 0 изучено поведение решений в окрестности особых значе­
ний (о, где аналитическая запись решения имеет неопределенности.
u)
1
4
В § 3 этой главы введено понятие гомотермических движений и рассмо­
трено решение задачи о сильном взрыве для модели гомотермических дви­
жений как для сферических, так й для цилиндрических и плоских взрывных
волн.
В остальных разделах этой главы даны постановки задач о взрыве
с учетом равновесной ионизации и диссоциации, а также теплопровод­
ности и рассмотрены приложения теории к явлениям ядерного взрыва,
разрядов в газах и взрывов проводников под действием тока, фокусировки
лазерного луча.
В главе 3 рассматривается метод линеаризации, с помощью которого
можно учесть поправки к автомодельному решению, обусловленные раз­
личными физическими параметрами среды. Сущность применяемого ме­
тода линеаризации состоит в следующем.
Пусть Д есть функции автомодельного решения. Будем искать другое
решение вида / = / - o + ° / a » Д индексом 1 обозначены новые неизвестные
функции (добавки к основному решению или возмущения), а — некоторый
малый параметр, Тогда если подставить решение f. и граничные условия
в систему уравнений движения и учесть, что f есть решение этих уравне­
ний, то при а - > 0 получим для функций f линейные дифференциальные
уравнения (вообще говоря, в частных производных), т. е. линеаризирован­
ную систему. Применимость этого метода вполне оправданна, когда функ­
ции f и их производные конечны. Здесь решены следующие одномерные
задачи: учет постоянного противодавления в среде с переменной и постоян­
ной начальной плотностью, учет начальной скорости движения газа, учет
переменного противодавления для изометрической сферически-симметрич­
ной атмосферы. Исследование свойств решений этих задач весьма полезно
для изучения вопросов зависимости решения ЗТВ от постоянных и пере­
менных параметров, входящих в постановку задачи. Так, например, де­
тальное исследование ЗТВ с учетом постоянного противодавления, нача­
тое Н. С. Мельниковой и А. Сакураем, показало, что решение при различ­
ных у непрерывно зависит от параметра р — начального постоянного
давления. Были проведены расчеты этой задачи и изданы специальные
таблицы функций, характеризующих влияние противодавления р на тече­
ние газа.
Метод линеаризации позволяет учесть сразу два или более параметра,
нарушающих автомодельность. Так, можно сразу учесть влияние ско­
рости движения в начальном состоянии газа и влияние противодавления.
Отметим также, что в этой главе сформулирована новая ЗТВ в движу­
щемся газе, приложения которой рассматриваются в § 4, а также в главе 8.
Качественное и количественное изучение вопросов распространения
ударных волн и движения газа при взрыве в точке, вдоль прямой или
вдоль плоскости в однородном газе при постоянном противодавлении
дано в главе 4. Рассматриваемая здесь задача важна как в теоретическом,
так и в прикладном отношении. Первые два параграфа этой главы посвя­
щены исследованию поведения решения вблизи центра симметрии и асим­
птотическим законам затухания ударных волн на больших расстояниях
от места взрыва. В § 3 дано численное решение ЗТВ с учетом противодавле­
ния для плоских, цилиндрических и сферических ударных волн и разных
0
г
f
е
t
i0
n
a
г
1
5
значениях у. Это решение было получено совместно с П. И. Чушкиным.
Метод решения основан на применении схемы интегральных соотношений,
использованной ранее в других задачах гидродинамики А. А. Дородни­
цыным, О. М. Белоцерковским, П. И. Чушкиным и другими. Система
уравнений неустановившихся одномерных движений берется в дивергент­
ной форме и приводится к безразмерному виду, причем используются
независимые переменные î=(r/r )\
q=a /D , где г — линейная коорди­
ната, a — скорость звука невозмущенного газа, г и D — координата
и скорость ударной волны, v — параметр симметрии. За основные искомые
функции приняты безразмерные величины, связанные со скоростью, плот­
ностью и давлением.
Вблизи центра взрыва (£=0) выделяется интервал, ограниченный
линией Ê (g), которая отвечает фиксированной лагранжевой координате.
Внутри этого центрального интервала используются асимптотические
формулы для функций. Дифференциальные уравнения газовой динамики
заменяются системой интегральных соотношений. Подынтегральные функ­
ции этих соотношений в области между £ и 1 =1 представляются через
интерполяционные многочлены по I. Здесь п — число областей между £
и £ , для которых записываются интегральные соотношения. Коэффициенты
этих многочленов определяются с помощью численного интегрирования
аппроксимирующей системы обыкновенных дифференциальных урав­
нений по g, полученных из интегральных соотношений задачи. Интегри­
рование аппроксимирующей системы уравнений по переменной g, связан­
ной со временем, проводится от некоторого малого значения q=q , где
берется линеаризированное решение с учетом противодавления, до значе­
ний g, близких к единице. Указан способ вычисления всех искомых функ­
ций, в том числе импульсов давления и скоростного напора для ряда значе­
ний пространственной координаты. Расчеты проводились для различных
значений п, у и v. Основные вычисления выполнены для значений п=А (об­
ласть £ ^ I < Г 1 разбита на четыре полосы), п=8 (область интегрирова­
ния разбита на восемь полос) и различных показателей адиабаты у. Точ­
ность численного решения контролируется по выполнению интегральных
законов сохранения массы и энергии, выяснением поведения решения при
разных п, сравнением значений искомых функций для одинаковых £ и q,
полученных из разных систем исходных интегральных соотношений,
и сравнением с результатами других авторов. По результатам расчетов
в ^приближении п=8 составлены таблицы полей основных функций
(0,05 ^ q ^ 0,9) для плоского, цилиндрического и сферического взрывов
при различных у.
В следующем параграфе рассмотрены отдельно параметры фронта
ударных волн для у = 1 , 4 и даны некоторые выводы по практическому
применению решения.
В § 5 главы 4 получены эффективные приближенные формулы для
расчета параметров фронта волны. Эти формулы обладают достаточно
высокой точностью и удобны для приложений. Вывод этих формул осно­
ван на аппроксимации зависимости скорости частиц газа за фронтом
от координаты волны путем использования аналитических зависимостей
для сильной стадии взрыва и при вырождении ударной волны в звуковую.
2
n
2
œ
œ
п
0
0
Я
0
я
0
0
6
Вопросам пересчета решения при применении различных систем пере­
менных и законам подобия посвящен § 6.
Следующий параграф этой главы (§7) посвящен аналогии между взры­
вом и гиперзвуковым обтеканием затупленных тонких тел. Здесь приве­
дены данные по сравнению результатов определения параметров стацио­
нарного обтекания, найденных прямым расчетом задачи и путем пересчета
на основе взрывной аналогии. Сделан вывод о возможности применения
обратной аналогии к определению параметров цилиндрических и плоских
взрывных волн на основании результатов расчетов обтекания затупленных
цилиндров и пластин.
В последних двух параграфах рассмотрены вопросы использования
полученных решений для расчета взрыва в стационарном однородном
потоке газа и при отражении от абсолютно твердой стенки. Даны фор­
мулы для определения параметров течения в начальной стадии регуляр­
ного отражения ударных волн точечного взрыва от неподвижной плоскости.
Глава 5 посвящена вопросам сосредоточенного взрыва в неоднородных
средах и при несимметричном выделении энергии. В § 1 этой главы дается
пример точного решения нелинейной ЗТВ в среде с переменной плотностью
с учетом противодавления. Приведены формулы, описывающие поле
течения газа и изменение параметров фронта волны.
В § 2 изучены вопросы распределения энергии между полупростран­
ствами, занятыми газами с различными свойствами, при взрыве на границе
раздела двух сред и рассмотрены особенности постановок этих задач.
Приближенному способу определения формы и параметров фронта
ударных волн в неоднородной атмосфере при взрыве в точке в основном
посвящен § 3. Рассмотренный здесь способ является по существу обобще­
нием нашего метода построения приближенных формул для ударных
волн, предложенного в § 5 главы 4. Здесь дается анализ размерности
и вводится безразмерный параметр h=H/r°, г°=(Е /р У,
H — харак­
терный размер неоднородности (высота стандартной атмосферы в изотер­
мическом случае), р — давление в точке взрыва. Проводится аппрокси­
мация скорости за фронтом волны v (r , G), где г , 0 — сферические коорди­
наты фронта. Форма ударной волны г ( 0, t) находится из решения задачи
Коши для нелинейного уравнения в частных производных первого по­
рядка, определяющего функцию r (£, 9). За начальные данные принима­
ются значения, взятые для г (£, 0) из решения линеаризированной задачи,
полученного В. П. Карликовым.
В последнем разделе главы приведены некоторые соображения по ис­
пользованию принципа плоских сечений для расчета сосредоточенного
взрыва вдоль слабо изогнутых линий и поверхностей, а также для случая,
когда удельная энергия меняется вдоль прямой или плоскости взрыва.
За последние годы стали изучаться явления сосредоточенного взрыва
в средах, где распространение ударной волны вызывает химические реак­
ции с выделением энергии. Исследованию возникающих здесь задач
посвящена глава 6. Здесь даны постановки задач о плоском, цилиндри­
ческом и сферическом точечном взрывах в горючей смеси газов для раз­
личных моделей протекания химических реакций. Кратко описана общая
качественная картина движения газа и определены характерные значения
0
0
0
2
2
2
2
2
2
7
координат ударной волны, начиная с которых энергия горения горючей
смеси существенно влияет на процесс движения газа. Разработаны методы
решения математических задач, которые возникают при исследовании
рассматриваемых явлений. Рассмотрены следующие модели течений:
1) модель детонационной волны; 2) модель включения экзотермической
реакции непосредственно за фронтом ударной волны с простой кинетикой,
когда скорость выгорания смеси задается простым законом Аррениуса;
3) модель двух фронтов (ударная волна и фронт пламени); 4) модель вклю­
чения экзотермических реакций за фронтом ударной волны после
прохождения времени задержки воспламенения, причем в модельной кине­
тике учитывается прямой и обратный ход реакций. Для модели детона­
ционной волны (§ 2) сформулирован закон подобия, дано решение лине­
аризированной задачи с учетом тепловыделения на фронте волны, разра­
ботан метод численного решения неавтомодельной задачи о сильной
детонационной волне, аналогичный методу, примененному в § 3 главы 4,
и приведены результаты численного решения ЗТВ для плоской, цилиндри­
ческой и сферической волн. Так как образующаяся вследствие взрыва
детонационная волна является пересжатой, то рассмотрен вопрос о вы­
ходе ее на режим Чепмена—Жуге и дана оценка расстояний, для которых
параметры пересжатой волны становятся близкими к параметрам волны
Чепмена—Жуге.
Последний параграф этой главы посвящен обсуждению вопросов влия­
ния кинетики химических реакций на картину течения газа. На основании
анализа размерностей получены условия автомодельности решений задач
при учете кинетики химических реакций. Для модели 2 рассмотрена авто­
модельная задача для случая взрыва в среде с постоянной плотностью.
Используя модель течения с зоной индукции, можно сделать заключение
о возможности затухания процесса горения вблизи фронта ударной волны
при ее ослаблении с ростом времени. Для случая сильного взрыва показано,
что в начальные моменты времени фронт реакций горения практически
совпадает с ударной волной и, по существу, имеется пересжатая детона­
ционная волна. Проведенные расчеты задачи показали, что с ростом вре­
мени детонационная волна распадается на обычную ударную волну и сле­
дующий за ней фронт пламени. Таким образом, теоретически обоснован
эффект расщепления детонационной волны (этот эффект наблюдался
в опытах Р. И. Солоухина, Л. Г. Гвоздевой и др.). Было также выяснено,
что учет обратной реакции существенно влияет на величину полного
тепловыделения в потоке газа в зоне химических реакций.
В связи с развитием магнитной гидродинамики и ее приложений
возник вопрос об^изучений распространения магнитогидродинамических
ударных волн. Теория точечного взрыва в электропроводном газе при
приложенных магнитных и электрических полях развивалась в ряде
наших работ^ . Созданию основ этой теории и посвящена глава 7 настоя­
щей книги. Здесь даны постановки задач о точечном взрыве для уравне­
ний магнитной гидродинамики при различных конфигурациях магнит­
ных полей как для бесконечной, так и для конечной проводимости
1
1 Обзор основных результатов дан
Fluid Mech., 1971, 3 .
8
в статье
V.
P .
Korobeinikov.
Ann. Rev. of
газа. В предположении бесконечной проводимости (§ 2) дано численное
решение задачи о цилиндрическом и плоском взрывах при приложенном
магнитном поле, параллельном оси или плоскости взрыва. Обнаружено,
что вблизи центра взрыва существуют градиенты давления, скорости
ударных волн возрастают по сравнению со случаем отсутствия поля.
Исследована автомодельная задача о сильном цилиндрическом взрыве
при кольцевом начальном поле и дано ее обобщение на случай уравнений
МГД разреженной плазмы. В § 3 найдены приближенные зависимости
для параметров плоских ударных волн при начальном поле, наклон­
ном к фронту плоской волны.
В § 4, 5 этой главы рассмотрены двумерные и пространственные неста­
ционарные задачи. Для случая взрыва в точке при постоянном начальном
поле разработан метод линеаризации при учете влияния магнитных полей
на движение газа и форму волны. Оказалось, что ударная волна будет
вытягиваться в направлениях, перпендикулярных к начальному полю.
Магнитные поля падают до нуля в узком слое газа за фронтом сильной
ударной волны, и имеется своеобразный токовый слой. Дано точное реше­
ние ЗТВ для произвольных слабых полей.
Исследование задач для случая конечной проводимости дано в § 6.
Здесь мы рассматриваем отдельно случай слабого магнитного поля и лю­
бых магнитных чисел Рейнольдса R и случай произвольных полей,
но малых чисел R . Для слабых полей определена структура магнитного
поля при прохождении фронта сильной ударной волны. Учтено возмущение
магнитного поля впереди фронта волны. Для малых чисел R найден
и исследован класс автомодельных решений.
В последних разделах главы 7 описаны задачи, связанные с определе­
нием электромагнитных волн, возбуждаемых МГД ударными волнами
при наличии скачка проводимости. Для плоских волн удается построить
точные решения с учетом излученных электромагнитных волн. Рассмот­
рены некоторые решения и для пространственного случая.
Последняя глава книги посвящена приложению изложенной выше
теории к проблеме распространения возмущений от солнечных вспышек.
В настоящее время принято считать, что возмущение от вспышки распро­
страняется, как ударная волна. Мы исходим из предположения, что для
ряда вспышек можно использовать гидродинамическую модель течения,
вызванного точечным взрывом в газе либо локальным подводом энергии
и массы при переменной начальной плотности, давлении и скорости.
Проанализированы теоретические и экспериментальные данные по закону
движения волны и по замедлению ее скорости. Оказалось, что некоторые
теоретические результаты хорошо соответствуют данным наблюдений.
Автор глубоко благодарен Л. И. Седову за постановку ряда задач,
неоднократное обсуждение результатов, постоянное внимание и поддержку.
Хотелось бы поблагодарить также сотрудников Отдела механики Мате­
матического института им. В. А. Стеклова АН СССР, особенно Н. С.
Мельникову и А. Г. Куликовского за повседневную помощь и поддержку
в работе.
Автор также с благодарностью отмечает своих коллег и товарищей
по работе, в особенности В. П. Карликова, П. И. Чушкина, Е. В. Рязанова,
В. А. Левина, за участие в разработке изложенной здесь теории.
m
m
m
Г Л А В А
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1
И ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ
§ 1. Уравнения газовой динамики
1.1. Уравнения в интегральной форме. В изложении известных ре­
зультатов, касающихся основных уравнений газовой динамики, будем
следовать работам [1—4]. При исследовании вопросов движения сжимаемой
жидкости или газа мы будем рассматривать газ как сплошную среду, и
для описания движения изучаемой материальной среды будут использо­
ваться гидродинамические модели.
При изучении движения сжимаемой сплошной среды необходимо ввести
скалярные, векторные и тензорные величины: температуру Г, скорость v,
тензор напряжений Р и др. Это движение можно рассматривать в разных
системах координат. Если наше внимание концентрируется на изучении
явления в точках пространства, связанных с системой отсчета наблюда­
теля, то мы принимаем точку зрения Эйлера на изучение движения сплош­
ной среды. Таким образом, с точки зрения Эйлера, мы интересуемся изме­
нением скорости, плотности, температуры и других величин в данном
месте пространства. Если же мы следим за изменением параметров инди­
видуальных точек среды, то мы стоим на точке зрения Лагранжа. Введем
некоторую фиксированную в пространстве прямоугольную декартову
систему координат наблюдателя х , х , х . Тройку координат х , х , х
будем отождествлять с точкой пространства и обозначать вектором т.
Математическим понятием, соответствующим физическому представлению
о движении жидкости, является понятие непрерывного преобразования
трехмерного евклидова пространства & в себя. Параметр t, описывающий
это преобразование, отождествляется со временем. Значение 2 = 0 можно
принять за начальный момент, а за область изменения t — всю действи­
тельную ось.
1
2
2
1
2
3
3
1
2
3
Введем лагранжеву, или сопутствующую, систему координат Ê , I , £ .
Обозначим через £ лагранжеву точку. Пусть в момент £ = 0 частица движущей­
ся жидкости находилась в точке Е=(Е\ £ , Е ), а в момент t— в точке
v (х , х , X ). Тогда мы можем считать, что величина v определена как
функция \ и £, и сточки зрения кинематики течение среды можно рассмат­
ривать как преобразование
2
1
2
=
10
3
s
t).
(1.1)
Если I фиксировано, a t изменяется, то уравнение (1.1) определяет
траекторию частицы Af, первоначально находившейся в точке!. С другой
стороны, при фиксированном t соотношение (1.1) определяет преобразова­
ние области, занимаемой жидкостью в начальный момент, в область, зани­
маемую жидкостью в момент времени t.
Если первоначально разные точки остаются различными во все время
движения, то можно ввести обратное преобразование
J
(1,2)
J
l = Q> (r,t).
Будем предполагать, что функции ср* и
обладают непрерывными про­
изводными до третьего порядка по всем переменным, исключая некоторые
особые поверхности, кривые или точки.
В дальнейшем мы будем в основном использовать переменные Эйлера,
хотя ряд вопросов будет изучаться с помощью переменных Лагранжа.
Уравнения газовой динамики выражают основные физические законы
механики сплошной среды. Если пренебречь эффектами неравновесности,
теплопроводностью и вязкостью, то интегральная форма этих уравнений
для некоторого жидкого объема Q * имеет вид
i
\
9äQ=0
(1.3)
— закон сохранения массы,
~
J pvdQ=
a*(0
J Fpdü—
Q*{t)
(1.4)
j> pnd^
s(*)
— уравнение количеств движения,
p
Tt S (
e +
— § P^ndS+ jp(Fv)dQ
(1.5)
— уравнение сохранения энергии.
Здесь Q* (t) — индивидуальный объем жидкости, ограниченный по­
верхностью 2 , р — давление, е— внутренняя энергия, F — массовая
сила (вектор поля внешних сил, отнесенных к единице массы), п — внеш­
няя нормаль к поверхности 2 .
Если учесть теплопроводность с вектором притока тепла q , заданным
законом теплопроводности Фурье
q = —х grad T,
где х — коэффициент теплопроводности, то к правой части уравнения (1. 5)
следует добавить слагаемое вида
— I (xgradr)nd2.
(1-6)
Уравнения (1.3)—(1.5) можно применить к произвольным объемам, в част­
ности, и в том случае, когда внутри Q* имеется поверхность 2 , на кото­
рой терпят разрыв гидродинамические функции.
Газ как сплошную среду будем характеризовать в переменных Эйлера
следующими основными величинами: вектором скорости v (г, t), плот0
11
ностью р (г, t) и давлением р (г, t). Внутреннюю энергию, как правило,,
будем считать заданной
в=е(Г,
термодинамической
функцией е=е(р р)
г
или
Р).
.1.2. Дифференциальные уравнения газовой динамики и их свойства.
Введем четырехмерное -евклидово пространство координат и времени <£*
О п р е д е л е н и е . Движение газа назовем непрерывным в области
^ С (?4, если функции v, р, р непрерывны вместе с первыми производными
всюду в Q.
Непрерывные движения удовлетворяют системе дифференциальных
уравнений, равносильной системе уравнений в интегральной форме
(1. 3)—(1. 5). Для движения газа без учета массовых сил и диссипативных
процессов эта система уравнений может быть записана в виде
4
g + div » = 0,
(1.7)
P
^
д_
+ divP = 0,
(pe+Ç)
+
(1.8)
div»(pa + p + Ç ) = 0,
(1.9)
dt
где е = е (р, р ) , Р — тензор с компонентами P =pb -\pvW, b —еди­
ничный тензор. Системы уравнений (1. 3)—(1. 5) и (1. 7)—(1. 9) будут
служить основой для дальнейших исследований. Вид функции е (р, р)
зависит от свойств газа. Для непрерывных движений мы считаем ее непре­
рывно дифференцируемой функцией аргументов р, р. Простым и вместе
с тем важным примером идеальной сжимаемой среды является совершен­
ный газ с постоянным отношением удельных теплоемкостей
y=c /c ^
Для совершенного газа функция е (р, р) имеет вид
i1e
i1c
ik
p
£
=7^if- +
c o n s t
'
v
(1.10)
а связь между плотностью, давлением и температурой дается термическим
уравнением состояния
p = RpT,
(1.11)
где R — газовая постоянная.
Для адиабатических: обратимых движений газа последнее уравнение
системы (1. 9) с помощью уравнений (1. 7), (1. 8) может быть преобразо­
вано к виду
d
i-Vi
= °>
t
1Л2
< >
где ~ = ~ - f - t ? grad есть субстанциальная, или полная, производная. Введя
энтропию S и используя соотношение
имеем
первого закона термодинамики,
TdS = de + pdj.
(1.13)
Отсюда, учитывая (1. 12), получаем
dS_
d
4 = 0.
dt
12
(1.14)
Таким образом, для адиабатических непрерывных движений невязкой
среды уравнение энергии можно брать в виде (1. 14). Энтропия S явля­
ется функцией термодинамических параметров среды, скажем р, р или
р, Т. Для совершенного газа имеем
S = c In
+ const,
v
(1.15)
где c — теплоемкость газа при постоянном объеме. Если S—const всюду
в области движения газа, то такое движение называют изэнтропичеv
€КИМ.
Отметим некоторые важные случаи движения газа, которые характери­
зуются специальным геометрическим видом траекторий в пространстве
<§з, а также геометрическим видом поверхностей уровня основных ве­
личин.
О п р е д е л е н и е . Движение называется двумерным, если основные
величины могут быть выражены через функции, которые зависят, кроме
времени t, еще только от двух пространственных переменных.
Одним из видов двумерных движений является плоскопараллельное
или плоское течение. Движение (или течение) называется плоскопарал­
лельным, если траектории частиц в £ представляют собой плоские кривые,
плоскости которых параллельны фиксированной плоскости П, причем
в перпендикулярных к П направлениях основные величины не меняются
и могут зависеть только от t. Если выбрать декартову систему координат
так, чтобы плоскость П была координатной плоскостью Ох х , получим,
что в плоскопараллельном движении вектор скорости v имеет две отличные
от нуля составляющие v (v , v , 0), причем величины v , v будут функци­
ями только переменных х , х , t. Дифференциальные уравнения плоско­
параллельного движения в скалярной записи легко получить из системы
<1. 7 ) - ( 1 .9).
3
г
1
2
1
1
2
2
2
Другим важным примером двумерных движений являются осесимметричные течения. Движение (или течение) называется осесимметричным,
если траектории частиц в & представляют собой плоские кривые, плос­
кости которых проходят через некоторую фиксированную прямую —
ось симметрии, причем основные искомые функции могут зависеть только
от t на каждой окружности, расположенной в плоскости, перпендику­
лярной к оси симметрии, 6 центром на этой оси.
3
Для анализа осесимметричного движения удобно использовать цилин­
дрические или сферические (полярные) координаты. Если выбрать систему
цилиндрических координат так, чтобы ее ось совпала с осью симметрии
(пусть это будет ось Ох ), то основные величины можно считать завися­
щими от координаты х и радиуса г. Обозначим через и проекцию скорости
на ось Ох , через v — модуль проекции скорости на плоскость, перпендику­
лярную оси симметрии. Для декартовых составляющих скорости, плот­
ности р, давления р имеем и =и (х, г, t), v =v (х, г, t) cos <р, v =u (х, г, t)
sin ср, р=р(ж, г, t),p=p
(х, г, t), х=х ,
где <р — полярный угол. Для выбран­
ной системы координат дифференциальны^ уравнения осесимметричного
движения будут отличаться от уравнений плоскопараллельного движения
тем, что составляющие v , v заменяются на и, v, вместо переменной х участ1
1
г
2
3
х
1
2
2
13
вует переменная г, и для членов, возникающих из дивергенции, добавятся
слагаемые члены с множителем 1/г, ибо
div«*=^ + ^ . + Ç ,
(1.16)
где ф — некоторая скалярная функция.
В ряде случаев осесимметричные движения удобно изучать в полярной
сферической системе координат г, 9, ср с центром, расположенным на оси
симметрии. Причем за угол 0 принимается угол между осью симметрии
и радиус-вектором точки пространства. Если ввести как искомые функции
проекцию v скорости на радиус-вектор рассматриваемой точки и проекцию
v на направление, касательное к окружности с центром в начале коорди­
нат системы, проходящей через ось симметрии и данную точку простран­
ства, то искомые основные величины не будут зависеть от угла ср. Урав­
нения газовой динамики здесь могут быть записаны так:
r
2
dv
и
r
It
, 1 др
л
T~~T~~i~àr~
в
д
^e__^i I j_ _Р_
dt
d
rp д Ь ~
г
д
,
Vr
dS
~dt~
/*ч
'
(1.17)
о
'
, Vf) д
д
9
dF~di^~ d?~^T'dQ
О п р е д е л е н и е . Движение называется одномерным, если основные
величины могут быть выражены через функции, которые зависят, кроме
времени t, еще только от одной пространственной переменной.
Будем различать одномерные движения с плоской, цилиндрической
и сферической симметрией.
Одномерное движение с плоской симметрией (или с плоскими волнами)
есть такое движение, в котором траектории частиц в пространстве S3
образуют семейство прямых линий, перпендикулярных некоторой фикси­
рованной плоскости П, причем вдоль любой плоскости, параллельной П,
основные величины могут зависеть лишь от времени t и не зависят от точки
плоскости. Если мы выберем ось декартовой системы координат Ох
или в других обозначениях Or, перпендикулярно плоскости П, то вектор
скорости v будет иметь лишь одну отличную от нуля компоненту
v =v,
причем v=v (г, t), р=р (г, t), р= р (г, t). Дифференциальные уравнения
для этого случая получаются весьма просто из основной системы (1. 7) —
(1. 9).
1
x
Одномерное движение с цилиндрической симметрией есть такое осесимметричное движение, в котором траектории частиц в S3 образуют
семейство прямых, ортогонально пересекающих ось симметрии, причем
вдоль поверхностей круговых цилиндров, оси которых совпадают с осью
симметрии, основные искомые величины не меняются и зависят только
от времени.
14
Здесь удобно использовать цилиндрические координаты х, г, ср и за
основные величины принять радиальную составляющую скорости v =
=v, плотность р и давление р, причем будем иметь
r
г
и = 0,
2
v — v (г, t) cos <р,
3
и = у (г, £) sin ср,
p = p(r t),
p=
9
p(r,t).
Систему дифференциальных уравнений можно получить из основной
системы (1. 7)—(1. 9), используя замечания, сделанные выше для осе­
симметричного случая.
Одномерное движение со сферической симметрией (или со сфериче­
скими волнами) есть такое движение, в котором траектории частиц в &
образуют семейство прямых, направленных по лучам, выходящим из фик­
сированной точки О, причем основные величины не меняются вдоль каж­
дой сферы с центром в точке О и могут зависеть лишь от времени t. Для ана­
литического описания этих течений удобно воспользоваться сферической
системой координат г, б, ср с началом в точке О. Обозначим через v радиаль­
ную составляющую скорости v (v —v), так что для этого течения будем
иметь v=v (г, t), р=р (г, t), р=р(г, t).
Система дифференциальных уравнений здесь может быть легко полу­
чена из системы (1. 17), где следует лишь положить i> =.0, u =v и считать
все функции не зависящими от е. В дальнейшем для нас часто будет удобно
рассматривать все три типа одномерных движений вместе. С этой целью
введем параметр симметрии v, так что v = l для плоской симметрии, v=2
для цилиндрической симметрии, v = 3 для сферической симметрии. Пара­
метр v указывает нам размерность того подпространства из <£ , которое
достаточно использовать для описания зависимостей гидродинамических
функций от координат.
Учитывая введенные обозначения, объединенную систему дифферен­
циальных уравнений газовой динамики для одномерных течений запишем
так:
3
r
e
r
3
^ ( r - ^ + l V - ^ ^ O ,
£И+.|<Р + И
(1.18)
+ *
^
^ = 0,
(1.19)
e
é^('+î)+i[^( +f+T)]=°Рассмотренные одномерные движения с плоской, цилиндрической и сфе­
рической симметрией являются примерами движений, точно допусти­
мых системой уравнений (1. 7)—(1. 9).
В приложениях иногда используется другой вид одномерных движе­
ний, который соответствует квазиодномерным течениям сжимаемой среды.
Примером таких движений могут служить течения в трубах переменного
поперечного сечения, описываемые в одномерном гидравлическом при­
ближении. Мы не будем здесь детально останавливаться на этой прибли­
женной модели одномерных движений. Вывод дифференциальных урав­
нений одномерных движений гидравлического приближения дан, напри­
мер, в [2]. Рассмотренные дифференциальные уравнения были записаны
в переменных Эйлера.
15
В переменных Лагранжа уравнения газовой динамики имеют вид
(1-21)
р / = Ро.
Vr,
S+7
Vp
=
0 ,
( 1
f =0,
-
2 2 )
(1.23)
t
где р = Ро (?) — начальное распределение плотности, / — якобиан пре­
образования (1. 1)
0
_ д ( х \
т
х \
Ж
3)
_
л
^ ( д х * \
градиент берется в пространстве лагранжевых координат
ной форме уравнение (1. 22) примет вид
i
dx
В координат­
_1_ др
d*x\
7^7'
dip dt* ~~~
где по i подразумевается суммирование.
Для случая одномерных движений система (1. 21)—(1. 23) может быть
записана в таком виде:
дг
дг
r
*
£E— _
^
—
А
ô t
dv
Po v-!^.
r
d
JL
d
(1.24)
—
o
t ~
Здесь l есть начальная координата частицы, т. е. расстояние, на которое
была удалена частица от нулевой плоскости, оси симметрии или точки
начала координат соответственно в плоском, цилиндрическом и сфери­
ческом случаях.
Отметим некоторые свойства уравнений газовой динамики. Пусть ср,
ф, и, / , v, Ф — некоторые непрерывно дифференцируемые функции. Урав­
нение вида
(в, / , г , t)
dt
- div
ф
(и, /, г, t) v = Ф (a,
г, £)
будем называть уравнением в форме закона сохранения или в дивергент­
ном виде.
С в о й с т в о 1. Системы уравнений газовой динамики (1. 7)—(1. 9),
(1. 18)—(1. 20) записаны в дивергентном виде. К дивергентному виду
можно привести и систему уравнений (1. 24) в лагранжевых переменных.
Заметим, что уравнения в дивергентном виде (1. 18)—(1. 20) были при­
ведены в [ 4 ] .
С в о й с т в о 2. Системы (1. 7)—(1. 9), (1. 18)—(1. 20), (1. 21)—(1. 22)
и (1. 24) являются гиперболическими системами уравнений в частных
производных в евклидовых пространствах координаты — время.
С в о й с т в о 3. Система уравнений (1. 7)—(1. 9) инвариантна от­
носительно преобразований Галилея—Ньютона р*=р,
р*=р, ^ = £ + >
*—r+at+VQ,
v =v-\-a, где а, т — постоянные векторы, т — постоянный
скаляр, величины со звездочками соответствуют состоянию движения после
преобразования. В истинности свойства 3 можно убедиться непосредствен­
ной проверкой.
т
r
¥
16
0
При рассмотрении многих задач газовой динамики за основные величины,
или основные газодинамические функции, принимаются скорость v, дав­
ление р и плотность р. В ряде случаев (особенно при численном решении)
в качестве основных величин принимается р, v и внутренняя энергия е,
давление же находится по калорическому уравнению состояния
Р = Р(9, в ) .
(1.25)
Иногда бывает удобно использовать в качестве основных функций ско­
рость
плотность р и полную энергию единицы объема Е, которая для слу­
чая газовой динамики дается выражением
2? = p (
Ç).
e +
(1.26)
Система (1. 7)—(1. 9) в этих переменных принимает вид
g
+
d
i
v p
_ о,
v
! g + div (PV-V + b )
ikP
= О,
(1.27)
~ + div Ev + div (pv) = 0,
2
где p в соответствии с (1. 25) и (1. 26) есть заданная функция Е, р, и .
Отметим также следующее простое свойство системы (1. 7)—(1. 9) или
(1.27).
С в о й с т в о 4. Система уравнений газовой динамики (1. 7)—(1. 9)
имеет простейшее решение
v = 0,
р = Ро(г),
р = р = const,
(1.28)
0
Решение (1. 28) будем называть состоянием равновесия, или состоянием
покоя.
1.3. Некоторые упрощенные и частные виды уравнений движения
жидкости. Остановимся на некоторых случаях упрощения уравнений
газовой динамики, которые будут давать приближенные решения задач
о движении газа. Одним из общих приемов получения упрощенных урав­
нений является их линеаризация. Смысл линеаризации заключается в сле­
дующем. Цусть известно некоторое основное движение, т. е. точное реше­
ние нелинейных уравнений газовой динамики. Если уравнения газовой
динамики взяты в виде (1. 7), (1. 8), (1. 14), то это решение имеет вид
v (г, t),
0
Р о
(г, t),
Ро (г, t),
S (г, t).
(1.29)
0
Будем искать другое решение, вида v=v -\-ov',
р= р + ° р \ Р = р +
+ °/>\ S = S +aS'i
где штрихами обозначены новые неизвестные функции
nr, t, т. е. добавки к основному решению или возмущения, а — некоторый
малый параметр.
Если подставить это решение в систему (1. 7), (1. 8), (1. 14), то, сократив
на а, получим с учетом того, что величины v , р , р , S есть решение этой
системы,
0
0
0
0
0
f
0
0
0
!
+ div (p v + v p + ov'p') = 0,
0
0
!
!
-§f {PQV + v p + ov'p') + div (p v v' + p'v v
0
+
2
1
GP'VQV
Q
!
r
+ op v'v
0
Тр. Математ. ин-та, т. C X I X
+ ep v v'
0
0
0
2
f
r
f
+ ° vvp)
0
+ pvv
0
+
0
^'
f
+ grad p = 0,
17
*g- + (v V)S' + (v'V)S + o(v'V)S' = 0,
0
0
4b(Po +
P' =
°P'.
S+
oS')-p ].
0
Из этой системы следует, что новые искомые функции v', р,' и т. д. будут
зависеть не только от г , t, но и от параметра а. Пусть функции v', р ' , S\
р' как решения точных уравнений (1. 30), а также их производные, вхо­
дящие в эти уравнения, имеют конечный предел при а -^-0. Тогда, пере­
ходя к пределу в уравнениях (1. 30), получим линеаризированную си­
стему исходных уравнений
^+div
( t,' + ty>')=0,
Po
~§f (Po"' + V ) + div (v'p v + p'v v + W ' ) + g
0
dS'
ât
• + (v V) S'
где al=(dp/dp)
0
8
( » ' V ) S0
+
0
0
= 0,
— адиабатическая
r a d
0
p' = ay
скорость
+ (ff)
o
,=
P =°>
(!•
31
)
S>,
звука.
Процесс получения уравнений типа (1. 31) называется линеаризацией
около известного решения v
р , р . Система уравнений (1. 31) является
линеаризированной системой уравнений газовой динамики. Метод лине­
аризации будет широко использоваться нами в дальнейшем.
Если основное решение имеет вид
0J
0
0
v = 0, р = const, S —- const, p = const,
0
0
Q
Q
то из (1. 31) получаем известные уравнения акустики
d
-Ç + div v'=0,
Ро
± (t>') + VP' = 0,
Po
(1.32)
d S
'
d t
:0,
>
p* =
v —
ay.
~or
Предположим, что *S"=const. Из (1. 32) получаем классическое волно­
вое уравнение для давления
г
д*р
(1.33)
•agA// = 0.
В теории распространения звука вводится плотность энергии возму­
щения [5]
£/
2
=
W'
;
; о i\
(1.34)
?
Эта энергия соответствует разности между полной энергией в единице
объема движущейся жидкости и суммой начальной энергии покоящегося
газа с частью, обусловленной изменением количества вещества, а именно
Е> = Е -
2
Ро
е - ( s + -gl) р' + о (аУ ).
0
0
Из системы (1. 27) для изменения Е' может быть получено уравнение
â
-§-
+ divp>v'=0,
которое выражает закон сохранения энергии возмущения.
18
(1.35)
Для одномерных движений система уравнений акустики примет вид
Волновое уравнение (1. 33) для этих случаев примет вид
д
д
^-а* — -(г^ -А
(1 36)
Для плоского случая уравнение (1. 36) имеет решение
• > = A r + Aj + f
p
1
1
( t - $
+ f (t
t
L37
+ $-
( >
В случае сферической симметрии получим:
г
Для случая цилиндрической волны решение может быть представлено ,
в интегральной форме
от
/
0
R \
0
/
JR\
i=[l^É-dR+\^±Ë-dR.
J
v#2 —
J
V^Ä2 — 2
( 1 3v9- ^);
p
1
Г
В решениях (1. 37)—(1. 39) / / — произвольные функции своих аргу­
ментов, i?=r -f-£ , где z — координата вдоль оси цилиндрической симмет­
рии, А , А — произвольные постоянные.
Рассмотрим теперь другой случай упрощенных уравнений газовой
динамики, когда вообще считается, что плотность р постоянна (случай
несжимаемой жидкости). Тогда вид уравнения (1. 8) не изменится, а урав­
нение (1. 7) примет вид
1 ?
2
±
2
2
2
divt> =
0.
(1.40)
Уравнение энергии с учетом теплопроводности [5] будет иметь вид
* . (ре) +
d i v (p.) v -
d i v xVr
+
1 ( Ç ) +
div[* (p +
Ç ) ] =
0.
Если учесть уравнение неразрывности и уравнение количества движения,
то получим
•
^ ( p e ) + tfV(pe) — d i v x V r = Ö .
(1.41)
При x^const, p^const, v=0, 6 = ^ Г - f c o n s t из (1. 41) следует класси­
ческое уравнение теплопроводности
5T = Z A 7 ,
—коэффициент
х = х ( е ) . Из (1.41) получим
где/=х/с р,
д а
теплопроводности.
х
dt
=
(1.42)
d
i
v
7 ©
V
e
-
Пусть теперь
t?=0,
( 1
-
4 3 )
19
Если учесть, что c = de/dT, то уравнение (1. 43) можно переписать так:
v
Сравнение (1. 43) дает пример уравнения нелинейной теплопровод­
ности. Для случаев одномерного процесса распространения тепла это
уравнение примет вид
Кроме отмеченных уравнений газовой динамики и некоторых из уп­
рощенных видов этих уравнений, при изучении задач о движении газа
часто приходится применять более сложные уравнения и учитывать хи­
мические реакции в газе, сопровождающиеся выделением или поглоще­
нием тепла. Мы не будем здесь выписывать более сложные уравнения
движения газа для этих случаев, а укажем их в разделах, посвященных
исследованию соответствующих задач.
§ 2. Условия на сильных разрывах
2 . 1 . Вывод соотношений на сильных разрывах. В дальнейшем мы
будем рассматривать более общие движения газа, которые не являются
непрерывными движениями. Если газодинамические функции не непре­
рывно гладкие, а лишь кусочно-гладкие или кусочно-непрерывные, то
они уже не могут всюду удовлетворять системе дифференциальных урав­
нений газовой динамики. Однако для этих движений будут верны уравне­
ния гидродинамики в, интегральной форме. В этом смысле кусочно-непре­
рывные решения иногда называют разрывными либо обобщенными реше­
ниями или же обобщенными движениями. Мы будем рассматривать раз­
рывные решения для движений газа без учета вязкости. Детальный ана­
лиз различных типов разрывов дан в [ 6 ] .
Если в области определения обобщенного движения существует ги­
перповерхность s (г, t), на которой величины и, р, р, в имеют разрыв
первого рода и вне которой это движение непрерывно, то такое движе­
ние называется движением с сильным разрывом. Поверхность s при
фиксированных t называется поверхностью сильного разрыва. Если же
газодинамические функции непрерывны, а разрывны только их некото­
рые производные по координатам и времени, то такое движение будет
иметь слабый разрыв, а соответствующая поверхность называться поверхностью слабого разрыва.
Введем теперь понятие скорости перемещения поверхности разрыва
в пространстве S3* Возьмем на поверхности s (t) в момент t некоторую точку
M и предположим, что в точке M существует определенная нормаль к s.
Найдем далее точку N пересечения нормали, проведенной к s через точку
М , с поверхностью s (t-{-At). Пусть H (At) есть длина вектора MN, взя­
тая со знаком «плюс», если направления MN и единичного вектора нор­
мали п к поверхности s в точке M совпадают, и со знаком «минус», если
эти направления различны.
20
Определение.
Скоростью перемещения в пространстве & по­
верхности s в точке M называется вектор D, нормальный к s и опреде­
ляемый как предел
3
v
D = п hm
.
А*-И)
А
'
'
*
Если уравнение поверхности s (t) задано в виде s (г, t)=0 и эта поверхность
гладкая, то для вычисления D имеет место формула
D=-|f-n/|grad |.
(1.45)
e
При преобразованиях координат с переходом к различно движущимся
системам вектор скорости D зависит от выбора системы координат.
В силу законов сохранения гидродинамики на поверхности сильного
разрыва должны выполняться специальные соотношения между V, р, р,
s. Эти условия легко вывести, применяя законы сохранения непосредст­
венно к элементам движущейся или покоящейся среды, по которой распро­
страняется ударная волна, либо используя уравнения газовой динамики
в интегральной форме (1. 3)—(1. 5). Дадим краткий вывод условий на
поверхностях сильного разрыва, используя (1. 3)—(1. 5). Как уже от­
мечалось, эти уравнения можно применять к произвольным объемам Q,
в частности, и в том случае, когда внутри индивидуального объема Q*
имеется поверхность 2о>
которой терпят разрыв гидродинамические
величины. Наряду с подвижным лагранжевым объемом Q* введем подвиж­
ный объем ß , совпадающий в рассматриваемый момент t с объемом Й*,
но движущийся со скоростью D на границе (D — нормальная скорость
движения поверхности 2 , ограничивающей объем Q). В общем случае
скорость D не равна нормальной скорости движения частиц газа и .
Из математического анализа известна (см., например, [7, 8]) формула
дифференцирования интеграла по параметру
н
а
п
4
£ \ QdQ = \ § dQ + § <fcy*2,
4 6
(1- )
где Ф (г, t) — ограниченная, интегрируемая но координатам и дифферен­
цируемая по времени функция, и — нормальная составляющая скорости
частиц поверхности 2> 2 = 2-(£) — переменный объем. Если записать
теперь формулу (1.46) для введенных ранее подвижных объемов Q* и Q,
то, вычитая соответствующие части равенств, имеем
п
и
ffi*
dQ
= S
7?
-
dQ
SW
+ §
Ф
(Я - "»>
d
2-
(1 • 47)
Для момента t по условию выбора объема 2* (t) имеем Q (t) = S* (/);
следовательно,
S
'
S*'
Отсюда следует, что формула (1.47) переходит в равенство
*- \<bdQ=±\QdQ
+ §<I>(D-v )
t
n
d%.
(1. 48)
S*
21
Очевидно, что формула (1.48) будет верна и для векторной функ­
ции Ф.
Из системы уравнений (1.3) — (1.5) с помощью (1.48) получаем
интегральную форму уравнений газовой динамики для произвольного
подвижного объема 2 (t)
ji\pdQ
dt
=
(1.49)
$ (D-vJd2,
?
(1.50)
j pvdQ = j pFdQ — j> pnd^ + § v (D — v ) d%,
2
' 2 *
S
E
P
n
d_ f . / y2
S
P
(1.51)
+ f ( T - + ) (° - «> 2 - § ff™*2p
d
S
s
В (1.51) g — вектор потока тепла. Для случая одномерных движений
получим уравнения
p r
-idr = | y - 4 ( £ - * )
o, = 2 ( v - l ) « + ( v - 2 ) ( v - 3 ) ,
'2
ШM
9
Г
2
( T +
e
)
г
г
" ^
a
=
v
SP
r^dr
+
+ < - , - „ + p ( ï + s ) ( § - , ) r - ] | ; ; .
(1.52)
Предположим теперь, что существует изолированная поверхность силь­
ного разрыва и некоторая произвольная часть ее 2 о Д
объем 2 (t)
на два объема: Q (t) и 2 (t), а поверхность 2 (*) —
поверхности 2 i (0
S2CO соответственно. Пусть объем 2 ограничен поверхностью s = 2oi~f*
+ 2i> а объем 2 ограничен s = So2 + 22>
Soi» S02— внешние к
объемам 2 и 2 стороны поверхности 2о- Обозначим индексами 1, 2
предельные значения газодинамических функций при стремлении простран­
ственной точки к поверхности 2 о
стороны объемов 2 и 2 соответ­
ственно.
Тогда, вычитая из (1.49) аналогичные уравнения, записанные для
объемов 2 и 2 , получим
е л и т
н
x
а
2
и
Х
1
г
2
2
д
е
2
2
с
о
Х
2
2
2
\P(D- jd2-\ (D-Vjd2-] (D- )d2
V
P
P
Vi
= 0.
Отсюда, учитывая обратные направления нормалей на сторонах 2 o r 2о2>
имеем
J [р (В
2
s
°
-
v)
2
— р
х
(D — v,)] nd% = 0,
• •
где n — единичный вектор внешней нормали к поверхности 2о«
22
В силу произвольного выбора части поверхности разрыва 2 получаем
закон сохранения массы при переходе через поверхность разрыва
0
P , ( ß - 0 =
Pi(*>-».i)-
(
L
5
3
)
Предположим далее для общности, что в окрестности поверхности раз­
рыва 2 со стороны объема Q подводится или отводится энергия Ç, рас­
считанная на единицу массы. Энергию Q можно рассматривать как энер­
гию, выделяющуюся мгновенно при сгорании горючей смеси газов или
поглощающуюся при испарении частичек жидкости в газовом потоке.
Тогда для полной энергии единицы объема Е на стороне 2
поверхности
2 о можно принять
0
2
0 2
Е. = ?.,{^- +
Н±0),
2
где знак «плюс» соответствует отводу энергии, а знак «минус» — подводу
энергии к поверхности разрыва, е — внутренняя энергия среды в состоя­
нии 2.
Если применим теперь изложенные рассуждения при получении закона
сохранения масс к уравнению количеств движения (1. 50), уравнению энер­
гии (1. 51), то получим остальные условия на поверхностях сильного раз­
рыва:
Р ^2 (О — Vj —
(D — V ) = (p — ) П,
2
2
D
nl
v
P2 ( — nè ( y + 4 + (?) — ?„2 —
=
P
P l
=
(D
l
2
-
v
n l
) ( 4
+
h)
-
Я*
- P i V v
(1 •
54)
2.2. Виды поверхностей разрыва и их свойства при Q =0. Если обозна­
чить разности или скачки величин квадратными скобками, например [ р ] =
= р —Ри то соотношения (1. 53)—(1. 54) примут вид
2
.[Р ( Л - * , ) ] = 0,
р(^-о(т
[ 9 V { D - v J - p n ]
=
0,
(1.5о)
+
е ) - ?
я
-
pv
= 0.
Скорости D—и
и D—v
можно рассматривать как скорости поверхности
разрыва относительно частиц на различных сторонах разрыва.
Если D — У = 0 , D—v =0
то частицы среды не переходят с одной
«стороны разрыва на другую, a v =v^
В этом случае возможен разрыв
касательной составляющей скорости на различных сторонах разрыва и
произвольный разрыв плотностей р г т ^ р . Такой разрыв называется тан­
генциальным или контактным. Для тангенциального разрыва
п1
n2
я 1
n2
y
nl
2
[Р] = 0,
Ш = 0,
[р]^0,
[v } = 0.
n
(1.56)
Если [v ]=^=0, то частицы жидкости переходят с одной стороны поверх­
ности 2 на другую, изменяя свои характеристики состояния и движения
скачком.
Примем теперь, что частицы переходят со стороны 1 на сторону 2 по­
верхности разрыва, так что [и ] > 0, и дадим следующее
n
0
п
23
Определение.
Поверхности сильного разрыва, для которых
f J > 0> f j P ] > 0 , [ р ] > 0 , называются ударными волнами или скач­
ками уплотнения.
Если же частицы переходят со стороны 1 на сторону 2 поверхности 2
но [vj < 0 , [р] < 0 , [р] < 0 , то такие разрывы называются скачками
разрежения.
При распространении сильного разрыва по покоящейся среде
{v =
= 0 ) для ударной волны газ за скачком 2 набегает на покоящуюся среду
и получается уплотнение. Если же и < 0, то скорость жидкости за скач­
ком направлена в сторону, обратную скорости распространения разрыва
в неподвижной среде.
Пусть теперь [ о ] = 0 , a D—и ^0.
Тогда из уравнений (1. 55) следует,
что
y
0 >
nl
0
п2
п1
[р] = 0,
[vj = 0,
D-v
n
l
= ^ -
(1.57)
r
Разрывы, для которых [ р ] = 0 , D—v =^=0 и выполнено условие (1. 57)
называются фронтами фазовых изменений или фазовыми фронтами. Фа­
зовые фронты имеют место тогда, когда q =f^O. Если q =0, то из (1. 57)
следует, что [ е ] = 0 и все величины не терпят скачок при переходе через
2 , т. е. сильного разрыва не существует.
Мы будем изучать течения с сильными разрывами, типа обычных удар­
ных волн, и течения с выделением энергии на поверхности разрыва (Q=T^0).
Рассмотрим теперь более подробно случай поверхностей разрыва без
тепловыделения и подвода тепла путем теплопроводности ((?=0, # = 0 ) .
В соответствии с условием роста энтропии ([S] > 0) в газе возможны лишь
скачки уплотнения или ударные волны. Ниже мы сформулируем это свой­
ство более детально.
Ту сторону поверхности 2 , с которой газ натекает на нее, будем на­
зывать передней стороной или стороной перед фронтом, противополож­
ную же сторону — задней стороной или стороной за фронтом ударной
волны, причем под фронтом ударной волны будем понимать поверхность
разрыва 2 .
В дальнейшем будем считать, что нормаль направлена в сторону пе­
ред фронтом ударной волны. Параметры газа перед ударной волной
будем обозначать индексом 1 или оо (иногда 0), параметры газа непосред­
ственно за фронтом ударной волны индексом 2 или п (иногда 1).
Выбор индексов будет зависеть от удобства при исследовании конкрет­
ных задач. Если из уравнений (1. 55) исключить скорости v,
D—v
D—v ,
то придем к соотношению вида
nl
т
n
n
0
0
0
nlr
n2
s
2
_
8
l
=
i - ( p
2
+
P
l
( l _ i ) .
)
(1.58)
Соотношение (1. 58) дает связь между термодинамическими парамет­
рами р р перед ударной волной и р , р — за ударной волной и называ­
ется адиабатой Гюгонио, или ударной адиабатой. Для совершенного газа
с постоянными теплоемкостями из (1. 58) имеем уравнение ударной адиа­
баты
1?
г
2
Р2 _ _ ' ( 7 +
1)
— (т — 1)
2
T r
1
\
(л
Отметим основные свойства ударных волн. Назовем интенсивностью
ударной волны величину [р] (или [р]) и определим, как обычно, адиаба­
тическую скорость звука по соотношению a =
(dp/dp)s.
С в о й с т в о 1. Вдоль адиабаты Гюгонио для сред, у которых выпол­
няется неравенство d V/dp
^> 0, энтропия возрастает монотонно вместе
с давлением р. Отсюда в соответствии со вторым законом термодинамики
следует, что ударная волна является скачком уплотнения и для нее р >
^ > Р п ?2 > Pi- Этот вывод -v один из фундаментальных в теории сильных
разрывов.
С в о й с т в о 2. Скачок энтропии в ударной волне есть величина
третьего порядка малости по отношению к интенсивности разрыва, т. е.
2
2
2
2
С в о й с т в о 3. Абсолютная величина нормальной составляющей
скорости движения газа относительно ударной волны больше скорости
звука перед фронтом и меньше скорости звука за фронтом, т. е. \и —
— D \ > a \v —D\
<С <V Этот вывод носит название теоремы Цемплена
и он тесно связан с условием роста энтропии в ударной волне.
С в о й с т в о 4. Касательная составляющая скорости v не терпит
разрыва при переходе через ударную волну.
О п р е д е л е н и е . Назовем ударную волну сильной, если [р]/р ^>
^>1, и слабой, если [рУр < 1.
С в о й с т в о 5. Для слабой ударной волны имеют место равенства
п1
v
n2
г
г
lim
Р2
— Pl
?2 — ?1
Свойство 5 показывает, что когда интенсивность разрыва стремится
к нулю, то относительная скорость газа по нормали к поверхности ударной
волны стремится к скорости звука.
Здесь не рассматриваются свойства поверхностей разрыва при Q=^0..
На этом случае мы остановимся в главе 6 при изучении конкретных
задач.
2.3. Ударные волны при одномерных течениях. При одномерных
течениях газа возможны лишь плоские, цилиндрические или сферические
ударные волны в соответствии с теми типами одномерных течений, которые
мы рассматривали выше. Условия на ударных волнах можно получить
либо из уравнений в интегральной форме (1. 52) для одномерных движе­
ний, лдбо из общих условий на ударной волне (1. 55).
Пусть приток тепла отсутствует*(д=0). В случае одномерных движений
вектор скорости всегда направлен по нормали к поверхности разрыва,
т. е. v=v . Условия на скачке уплотнения для одномерных движений без
подвода тепла можно записать так:
n
(1.60)
'2>
25
где, как и прежде, индексом 1 отмечены величины по одну сторону от по­
верхности разрыва, а индексом 2 — по другую.
Если считать, что среда перед ударной волной покоится, т. е. ^ = 0 ,
то условия (1. 60) упрощаются:
p D = p (D — v ), p = p v (D — v ) + р
1
2
e
2
D
Pl# l =
2
V
?2 (
— 2) \-f
2
£
+
2
2
2j —
1У
;
/V 2
В случае совершенного газа, вводя величину скорости звука в покоя­
щемся газе #i=(lPi/Pi)
и заменяя s согласно (1.10), условия (1.61)
можно преобразовать к виду
l/2
2
_
Т
/4
(1 - g) П
D,
^
2
П9
р _- Т1 +± 1±
2
P l
[l + ^ J
1
,
(1. 62)
7 - 1
2
1
^2 —
.
Т
2
где q=a\lD \ v , р , /? — скорость, плотность и давление непосредственно
за ударной волной, распространяющейся по покоящемуся газу со ско­
ростью D.
Заменяя в равенствах (1. 62) D через g, получим
2
2
2
=——г—^-а,,
р ~
' ,
9
pi,
0
р = -Ц—тЧт—— Р\ •
2
(l.bo)
Из последнего соотношения (1. 63) можем получить
2
(7 +
Т
1 ) ^ + 7 - 1
Отсюда следует, что для больших величин р 1р , т. е. очень интенсивных
ударных волн, величина q, а следовательно, и aJD малы.
Из (1. 62) видно, что для малых q величины в квадратных скобках мало
отличаются от единицы. Так, для у = 1 , 4 уже при q < 0,01 эти величины
отличаются от единицы менее чем на 0,05. Если в соотношениях (1. 62)
положить q=0 (это равносильно тому, что р =0),
то при q < 0,01 будет
допущена ошибка в значениях и , р , р менее 5%.
При # = 0 условия на ударной волне (1. 62) примут простую форму:
2
г
±
2
y
2
2
P*=Y^ïPl.
2=YTÏ^
2
P2 = - p i P r ö -
(1-64)
Условия на ударной волне вида (1. 63), (1. 64) будут нами часто исполь­
зоваться в дальнейшем. Условия (1. 60), (1. 61) записаны в предположе­
нии отсутствия передачи тепла в потоке посредством теплопроводности.
Если учесть теплопроводность, то к последнему уравнению системы (1. 60),
выражающему закон сохранения энергии, следует добавить справа член
х (dT/dr)\ ,
а слева — х (дТ/дг)\
дающие приток тепла к ударной волне
( х — коэффициент теплопроводности).
Заметим, что условия вида (1. 64) имеют место и для неодномерных
движений при распространении ударной волны по покоящемуся газу,
только здесь следует принять, что v =v .
Это вытекает из того, что каса2
2
х
19
2
26
n2
дельная составляющая скорости непрерывна, а так как она равна нулю
перед волной, то она будет равна нулю и за ударной волной, т. е.
§ 3. Уравнения магнитной гидродинамики
3 . 1 . Система дифференциальных уравнений магнитной гидродина­
мики. При движении электропроводной жидкости или газа в электро­
магнитных полях на картину течения газа будут оказывать влияние как
электромагнитные силы, так и обмен энергией между движущимся газом
и электромагнитным полем. С другой стороны, движение жидкости может
оказать существенное влияние на параметры электромагнитного поля.
При описании движения электропроводного газа с учетом взаимодей­
ствия с электромагнитным полем можно, как и в обычной газовой динамике,
применять переменные Эйлера и переменные Лагранжа. По существу
здесь изменится лишь число искомых функций и к уравнениям газовой
динамики добавится еще система уравнений Максвелла для изменения
магнитных и электрических полей в движущихся проводниках.
Уравнения магнитной гидродинамики состоят из системы уравнений
Максвелла и уравнений движения жидкости (уравнения неразрывности,
количества движения и энергии) с учетом взаимодействия между электро­
магнитным полем и движущейся средой.
При описании движения электропроводных газов мы будем пользо­
ваться гауссовской системой электромагнитных единиц. Уравнения Мак­
свелла для проводников возьмем в виде
,
rot 13=
—
div В = О,
(1.65)
С
rotff = ^ j + j ^ ,
divA, =
4 ^ ,
где JE — вектор напряженности электрического поля, II — вектор напря­
женности магнитного поля, j — плотность тока, В — вектор магнитной
индукции, D — вектор электрической индукции, р — макроскопиче­
ская плотность электрического заряда, с — скорость света в пустоте.
Поясним некоторые из введенных понятий. Электрический ток, воз­
никший в проводниках, в частности в ионизованном газе (плазме), пред­
ставляет собой движение заряженных частиц. Обозначим через v микро­
скопические скорости электронов и ионов, а их заряды через е .
Плотность тока j вводится как среднее по малому объему среды Q из
-суммы произведений зарядов на скорости электронов и ионов в объеме Q:
u
е
k
к
Вектор j часто представляют в виде суммы двух слагаемых:
J=f'+PeV>
где,?* — обычный ток как в подвижных, так и в неподвижных проводниках,
возникающий под действием электромагнитного поля и называемый током
проводимости, а часть p v представляет собой ток, связанный с переносом
макроскопического заряда. Так как для большинства проводников p v <^
e
e
27
< 0 * » мы будем, как правило, пренебрегать конвективной частью тока и
считать j=j*.
Определение.
Назовем законом Ома векторное соотношение*
между плотностью тока j, характеристиками магнитного поля и движу­
щейся среды.
В простейшем виде закон Ома для подвижных проводников записы­
вается как
f=o(E ±(vXH)).
(1.66)
+
Здесь скалярный коэффициент а носит название проводимости среды и
будет предполагаться функцией от термодинамических параметров среды.
Связь между векторами индукций D В и векторами поля JEJ, H обус­
ловлена свойствами поляризации и намагниченности среды. Для движе­
ний сред типа диэлектриков и ферромагнетиков эти связи могут быть до­
статочно сложными и нелинейными. Во многих случаях для изотропных
сред эти связи записываются просто как В= fx£T, D =e E,
где ^ — коэф­
фициент магнитной проницаемости, е — диэлектрическая проницаемость
(диэлектрическая постоянная). В магнитной гидродинамике обычно не
учитываются свойства поляризации и намагничивания и считается (з.=
=const, e =const [9, 10] (в принятой нами системе единиц j j i = e = l ) .
Заметим, что для распространения электромагнитных волн в пустоте
B—H, D =E,
т. е. fi = l, е = 1. Вторая группа уравнений магнитнойтидродинамики является по существу обобщением приведенных выше урав­
нений газовой динамики и без учета вязкости и массовых неэлектромаг­
нитных сил может быть записана так:
u1
u
e
е
e
e
U
в
iL
+
divp^ = 0
(1.67)
— уравнение неразрывности,
(1.67а)
— уравнение количества движения,
s
( +4)+р*> + « ] = ^
б?б
)
— уравнение энергии.
В системе уравнений (1. 67)—(1. 676)
— сила Лоренца или массо­
вая пондеромоторная сила воздействия электромагнитного поля на среду
F =
L
E+\{jxH),
?e
Р —- тензор с компонентами P = — b p-{-pv v , q — вектор потока тепла,
произведение JE в уравнении (1. 676) характеризует изменение энергии
в жидкости, обусловленное наличием электромагнитного поля.
Систему уравнений (1. 67) можно привести к дивергентному виду.
Уравнения (1. 67) с учетом уравнений Максвелла могут быть приведены
к виду [10]
ik
28
ik
{
k
I + div
И
= О,
(1. 68)
=L
+ p
V +
-
4
+ а д
p'«(e + Ç ) ] = 0,
<
Я
2
+
8
« -
Уравнения (1. 68) совместно с уравнениями (1. 65), (1. 66) составляют
полную систему уравнений движения сжимаемой электропроводной жид­
кости.
Мы не будем останавливаться здесь на вопросе о пределах применимости
этих уравнений при описании движения ионизованных газов. Скажем
лишь, что эти уравнения движения электропроводной жидкости очень
часто применяются для рассмотрения нерелятивистских явлений в кос­
мической физике, таких как движение ионизованных газов в атмосфере
Солнца.
Рассмотрим теперь упрощенную систему уравнений, которую часто и
называют системой уравнений МГД или, точнее, —- уравнений магнитной
газодинамики.
Пренебрегаем токами смещения в уравнениях Максвелла, т. е. числом
dJEJ/dt, и конвективным током p v, что оправданно для случаев заметных то­
ков проводимости j* и при отсутствии колебаний очень высоких частот
[10]. Проведенные оценки [9—11] показывают, что для проводящих сред
отношение электрической энергии единицы объема к соответствующей маг­
нитной энергии имеет порядок и /с , что является весьма малой величиной,
так как для большинства явлений (v/c) <^ 1.
Уравнения магнитной гидродинамики при указанных условиях примут
вид
e
2
2
- J - d i v p ^ = 0,
+
(1.69)
i(Ç + p 4 - f - ) = - * v { c ( 4 + ' + f)+sI»x(.xi4l}. ( 1 - Я )
d
-§
= Tot[vXH-, TotHl
m
d i v l T = 0,
где v =c /4tno
2
m
(1.72)
(1.73)
— магнитная вязкость.
В системе (1. 69)—(1. 72) уравнение (1. 72) является следствием урав­
нений Максвелла и закона Ома. Уравнение (1. 72) носит название урав­
нения индукции (как и в системе уравнений Максвелла). В системе
(1 69)—(1. 73) особое место занимает уравнение (1. 73). Действительно,
в
29
если мы применим операцию дивергенции к уравнению индукции, то по­
лучим, что в магнитной гидродинамике
-£-divff =
0.
at
Поэтому в нестационарных задачах для удовлетворения решением ВС
уравнения (1. 73) достаточно потребовать, чтобы этому уравнению удов­
летворяли начальные условия. Таким образом, равенство div Н=0 вы­
полняется в силу уравнения индукции и начальных условий. Однако при
решении задач это уравнение удобно использовать вместо одной из проек­
ций уравнения индукции.
Определение.
Будем называть газ идеально (или бесконечно^
проводящим, если выполняется условие v = 0 . Из определения магнитной
вязкости следует, что это выполняется тогда, когда а - > о о . Уравнения маг­
нитной гидродинамики для идеально проводящего газа легко получить
из системы (1. 69)—(1. 73), в которой следует считать v = 0 .
Заметим, что для идеально проводящего газа закон Ома принимает
простой вид:
w
m
Е =
(1. 7 4 )
_1(гхЯ).
Пусть L — характерный линейный размер области, в которой проис­
ходит течение электропроводного газа,
— характерная скорость дви­
жения газа. По аналогии с обычным числом Рейнольдса введем безраз­
мерное число
К
= ¥~.
(1-75)
Число R называется магнитным числом Рейнольдса. Если R <^ 1, то
говорят о движении с малыми магнитными числами Рейнольдса, течение
при R ^> 1 будем называть движениями с большими числами Рейнольдса.
Если R <^ 1, то можно не учитывать влияние движения газа на электро­
магнитное поле [12]. При R ^> 1 за уравнения движения можно принять
уравнения МГД в приближении идеально проводящего газа. Действи­
тельно, если в уравнении индукции и законе Ома перейти к безразмерным
величинам и затем устремить R к бесконечности, то в предположении ко­
нечности других величин мы получаем соответствующие уравнения иде­
ально проводящего газа. Если числа R конечные, но достаточно большие,
то в качестве приближенной модели явления используется модель бес­
конечно проводящего газа.
m
m
m
m
m
m
m
Если магнитные числа Рейнольдса невелики и имеют порядок единицы
(что очень часто бывает в реальных процессах), тогда при теоретическом
решении задач нужно использовать полную систему уравнений (1. 69) —
(1. 73).
2
Назовем магнитным давлением величину Н /8к. Если при движении
газа имеет место зависимость (# /8тс) <^ р ((Н /8к) <^ pu ), то магнитное
поле будем считать слабым. Если числа R не малы, то для слабых полей
можно пренебречь силой Лоренца и электромагнитной энергией, но учесть
влияние движения газа на изменение параметров электромагнитного поля.
Указанное выше приближенное описание движений будем называть
приближением слабых полей.
2
2
m
20
2
Остановимся теперь кратко на свойствах симметрии течений газа
в магнитном поле. Уравнения магнитной гидродинамики не допускают при
Н=уе=0 сферически-симметричных одномерных движений, для которых имеет
место взаимодействие среды и поля. Однако одномерные движения с плос­
кой и цилиндрической симметрией вполне возможны и будут рассматри­
ваться нами в дальнейшем. Естественно, что плоские движения и движения
с осевой симметрией встречаются весьма часто в задачах магнитной гидро­
динамики.
В заключение этого раздела отметим некоторые важные свойства урав­
нений движения идеально проводящей жидкости. Как уже отмечалось,
уравнение индукции в рассматриваемом случае имеет вид
?£=T t(vXH).
(1.76)
0
Это уравнение тождественно уравнению для вихря скорости в гидродина­
мике невязкой жидкости; как известно, оно означает, что линии вихря
движутся вместе с жидкостью.
Таким образом, из уравнения (1. 76) следует, что магнитное поле ме­
няется так, как будто магнитные силовые линии жестко связаны с веще­
ством. Можно показать (см., например, [9]), что уравнение (1. 76) приво­
дит к постоянству магнитного потока, пронизывающего контур, каждая
точка которого движется с локальной скоростью v. Движение вдоль си­
ловых линий не сказывается на поле; при движении же в поперечном на­
правлении силовые линии перемещаются вместе с веществом. Указанное
свойство движения идеально проводящей жидкости называется свойством
вмороженности силовых линий магнитного поля. Следуя [9, 13], приведем
теперь некоторые общие результаты, связанные со свойством вморожен­
ности. Используя (1. 69), (1. 73), уравнение (1. 76), определяющее изме­
нение поля, можно преобразовать к виду
L
dt
( f h ( f
s
r
a
d
)
v
(1.77)
>
где dl dt — субстанциальная производная.
Пусть радиус-вектор г какой-либо частицы по истечении некоторого
времени стал т , a H и р приняли соответственно значения JÏ, р.
Из уравнения (1. 77) следует соотношение между т , Н , р и г, 2Т,р.
называемое интегралом вмороженности [9, 13],
0
Q
0
0
0
0
grad
(fr )
(1.78)
r
или в координатном виде
Н,
H
0J
Po
1
i
дх
dx
öxi
dxl
H
(1.79)
г
ох
dxi
дх*
где через
дх{
%
обозначен определитель матрицы
дх
— гL
dxi
Рассмотрим один важный частный вид соотношения (1.79). Пусть
движение плоское, а вектор H перпендикулярен к плоскости движения.
31
Тогда из (1. 77) или (1. 78) следует
H
щ
Р
(1.80)
Ро
так как в этом случае длина элемента магнитной силовой линии не ме­
няется.
Формально в этом легко убедиться, если преобразовать (1. 77) с уче­
том условия div Н=0 в
d
H
V H v
p
dt
P
*
Отсюда следует отмеченный выше интеграл, так как H v=0. При изу­
чении плоских движений идеально проводящего газа в магнитном поле,
перпендикулярном плоскости движения, соотношение (1.80) позволяет
исключить H из уравнений МГД. Кроме того, если вместо давления
и внутренней энергии ввести функции р*=р-{-(Н /8к),
е* = г-\-(Н /8к),
то уравнения МГД будут совпадать по форме с уравнениями обычной газо­
вой динамики. Отсюда следует, что решения задач МГД в этом случае мо­
гут быть получены путем пересчета соответствующих задач обычной газо­
вой динамики. Необходимо лишь сделать изменения в граничных и на­
чальных условиях задач.
Отметим здесь также следующее важное свойство для совершенного
газа при у = 2 : все термодинамические формулы останутся без изменения,
если в них вместо р принять р*.
3.2. Уравнения магнитогидродинамического приближения для движе­
ния разреженной плазмы. Уравнения, аналогичные гидродинамическим,
могут быть написаны и для движения сильно разреженной плазмы в маг­
нитном поле. Из кинетического уравнения Больцмана—Власова и урав­
нений Максвелла [14, 15] можно получить следующие уравнения гидро­
динамического приближения:
2
2
i L + d i v » = 0,
(1.81)
^ - + d i v f = 0,
(1.82)
P
e
£ ( + -Tr).+
д
dt
d B
d t
d i v
O = °«
(1-83)
(pJB) + div (pj>lВ) = 0,
(1.84)
+ rot (J3 X ») = 0, à\vB = 0.
(1.85)
Здесь t — тензор потока импульса с составляющими
т = №
а
+ РА* +
B
Bi
k
- i
(B B
t
k
- 1
вч ),
а
Q — вектор потока энергии
+ s + I f ) + - ^ = ^ В (vB) + ± (В X (v X В)),
О = PV
в = (1/р) (р + р ) имеет смысл внутренней энергии плазмы, величины
р и р„, входящие в тензор напряжений, в вектор потока энергии
±
±
32
й
и в выражение для е, носят названия поперечных и продольных давлений.
При рассмотрении вопросов движения разреженной плазмы для характери­
стики магнитного поля мы будем использовать вектор магнитной индук­
ции В, как наиболее часто употребляемый в соответствующей литера­
туре.
Система (1. 81)—(1. 85) грубо описывает поведение разреженной
плазмы. Однако она часто используется для качественного исследова­
ния движения плазмы весьма низкой плотности при наличии магнитного
поля. Обсуждение вопросов применяемости этих уравнений к физическим
задачам имеется в работе [16]. Не останавливаясь на этом, заметим, что
система (1. 81)—(1. 85) может применяться лишь для описания движений
разреженной плазмы при наличии магнитного поля и не может приме­
няться к описанию движения разреженного неэлектропроводного газа.
Отметим далее, что уравнение энергии (1. 84) может быть преобразовано
с помощью других уравнений системы (1. 81)—(1. 85) к виду
(1.86)
Уравнение (1. 86) можно использовать в системе (1. 81)—(1. 85) вместо
уравнения энергии.
Систему уравнений (1. 81)—(1.85) или ей эквивалентную будем в даль­
нейшем называть системой МГД уравнений разреженной плазмы.
Приведенные системы являются основными для исследования многих
задач магнитной гидродинамики и динамики плазмы, В этих уравнениях
ионизованный газ рассматривается как единая электропроводная жид­
кость, поэтому уравнения рассмотренного типа называют уравнениями
в одножидкостном приближении,
Возможно введение двухжидкостной или двухкомпонентной модели
движения полностью ионизованных газов, т. е. введение электронной
жидкости для потока электронов и ионной жидкости для движения ионов
и сил, учитывающих их взаимодействие, а также взаимодействие с электро­
магнитными полями,
Если газ не полностью ионизован, то применяется трехжидкостное,
или трехкомпонентное, описание движения газа, состоящего из электро­
нов, ионов (одного сорта) и нейтральных частиц.
Мы не будем здесь рассматривать уравнения двух- или многокомпонент­
ной МГД. Для достаточно плотных газов эти уравнения выводятся в ра­
ботах [17, 18]. Для сильно разреженной плазмы они приведены, напри­
мер, в [16, 19].
Помимо уравнений в форме законов сохранения, в физике плазмы ис­
пользуется рассмотрение поведения траекторий отдельных частиц в элект­
ромагнитных полях и на основании суммарных данных об этом движении
находят токи и заряды, которые используются в уравнениях Максвелла,
описывающих изменение параметров электромагнитного поля. Здесь раз­
вита специальная техника осреднения движений и учета изменения элект­
ромагнитных полей, обусловленного движением частиц [20—25]. Приведем
некоторые сведения из теории движения заряженной частицы в электро­
магнитных полях.
3
Тр. Математ. ин-та, т. C X I X
33
Движение частицы во внешнем электромагнитном поле описывается
уравнениями
dr
d (mv)
I^L
=e ^ + l v X B ) ,
(1.87)
=
v,
dt
где r — радиус-вектор частицы, e — заряд, m — масса частицы. При ре­
лятивистских скоростях масса m должна рассматриваться как величина
переменная
т =
- ,
(1.88)
Vi —
—
| i;2/ 2
где т — масса покоя.
c
0
Если JE7=0, то сила, действующая на частицу F=(e/c)(vxB),не
имеет
компоненты, параллельной В, поэтому импульс p =mv
имеет постоянную
составляющую, параллельную В. Далее, если умножить уравнение (1. 87)
скалярно "на
то получим p (dpjdt) = О, р = const.
Отсюда и из (1. 88) следует, что m=const, длина вектора v постоянна.
Пусть магнитное поле постоянно и однородно. Разложим полную ско­
рость v на скорость v вдоль вектора В ж ^перпендикулярно В. В системе
координат, движущейся со скоростью v , траектория частицы представ­
ляет собой окружность. Движение частицы, перпендикулярное к магнит­
ному полю, есть равномерное вращение по окружности с угловой скоро­
стью
(0 = — — ,
(1.89)
e
2
e
е
l{
]}
тс
v
'
. '
которую называют ларморовой или циклотронной частотой. Радиус окруж­
ности и сама окружность носят название ларморовых. Для радиуса лар­
моровой окружности г% имеют место формулы
тси
О)
L
(1.90)
еВ
Для положительно заряженной частицы вектор угловой скорости (*>
направлен против JB, а для отрицательно заряженной частицы — по В^
Дадим теперь следующее
О п р е д е л е н и е : Назовем магнитным моментом частицы векторную
величину
а = _ ^ В
91
(*- >
Магнитный момент (л имеет смысл произведения среднего тока, созда­
ваемого вращающейся частицей, на векторную площадь ларморова
кружка: JA = Isle = ( 1 / C ) J * Ö > / | < Ö | .
Отсюда можно получить (1. 91), если принять
2тс
'
В постоянном и однородном магнитном поле частица движется по ци­
линдрической винтовой линии (спирали). Ось винтовой линии парал­
лельна вектору В. Магнитный момент частицы [А остается постоянным
при таком движении. Картина движения частицы усложняется, если Е=^=0
Ву^О, причем JE ж В переменны.
Мы не будем подробно останавливаться на вопросах движения частицы
в переменных 'электромагнитных полях. Заметим, однако, что величина
Г
34
mil для релятивистских скоростей и величина | i для нерелятивистских
скоростей изменяются весьма мало в процессе движения при слабых
электрических полях и медленности пространственных и временных из­
менений В. Иначе говоря, эти величины являются приближенными инте­
гралами уравнений движения частицы или адиабатическими инвариан­
тами.
Возвращаясь к уравнениям МГД разреженной плазмы, поясним физи­
ческий смысл уравнений (1. 81)—(1.86). Заметим, во-первых, что вывод
системы этих уравнений осуществляется из уравнения Больцмана—Вла­
сова при предположении, что характерный ларморовский радиус движе­
ния частиц значительно меньше характерной длины неоднородностей
плазмы, а соответствующие ларморовские частоты больше характерных
временнйх частот рассматриваемых процессов.
• Далее, величина р 1 рВ имеет смысл среднего магнитного момента
частиц, рассчитанного на единицу массы. Скорость v, входящая в систему
уравнений, имеет смысл средней скорости единицы объема ансамбля
невзаимодействующих (в смысле отсутствия близких взаимодействий или
столкновений) частиц. Поэтому, если мы назовем условно индивидуаль­
ным (или жидким) объемом элемент объема, движущийся со скоростью v,
то уравнение (1. 84) означает, что средний магнитный момент pJpB сох­
раняется в индивидуальном объеме. При сжатии плазмы в направлении
магнитного поля величины В и р не меняются, а величины р„ и р связаны
адиабатической зависимостью с показателем у = 3 . Таким образом, урав­
нение (1. 86) играет роль условия адиабатичности в индивидуальном объеме
при движении среды вдоль магнитных силовых линий. Заметим также, что
если формально положить р„ = 0 , то система (1. 81)— (1. 85) переходит
в систему уравнений идеальной МГД для совершенного газа с т=2, при­
чем pi играет роль обычного давления.
3.3. Линеаризированная система уравнений магнитной гидродина­
мики. С помощью рассмотренной процедуры линеаризации уравнений
гидродинамики можно провести линеаризацию системы МГД уравнений
около состояний, когда г? =0, p=const, lT =const (однородное поле). Пусть
вектор Н направлен по оси z , проводимость бесконечна. Тогда из системы
уравнений (1. 69) путем преобразований найдем
±
±
0
0
0
(1.92)
(1.94)
где дифференциальные операторы L и Lu таковы:
(1.95)
—JL _
„1
ü
aï— обычная скорость звука, л — - = = •—альвеновская скорость.
А
(1.96)
2
2
2
Заметим, что если а =0, то вместо (1.92) имеем (d /dt —a L\) р=0,
т. е. обычное волновое уравнение.
Если же а —0, то из (1. 92) получим также волновое уравнение, где
вместо al будет стоять а\.
В частном случае несжимаемой жидкости (p=const) из (1. 93) получим
А
0
0
L H=0.
(1.97)
H
Уравнение (1. 97) дает нам уравнение распространения магнитогидроди­
намических или альвеновских волн. Как видно из (1. 97), эти волны
связаны с распространением возмущений вдоль силовых линий вморожен­
ного в несжимаемую среду поля.
Анализ уравнений распространения малых возмущений вдоль оси z
показывает [9, 10], что имеются три характерные скорости распростра­
нения ал, а , а_, причем для последних имеет место формула
+
(1.98)
где а — скорость быстрой магнитозвуковой волны, а_ — скорость мед­
ленной магнитозвуковой волны.
+
§ 4. Условия
на магнитогидродинамических ударных волнах
4.1. Магнитогидродинамические разрывы. Условия на магнитогидро­
динамических ударных волнах могут быть получены стандартными при­
емами из интегральных законов сохранения, написанных как для дви­
жущейся жидкости, так и для электромагнитного поля. Мы не будем здесь
останавливаться подробно на выводе этих условий для обычной МГД,
ибо он может быть выполнен по аналогии с тем, как это было описано
в § 2 для газодинамических ударных волн. Вывод этих условий дан, на­
пример, в [6, 9, 10, 21].
Для параметров электромагнитного поля имеют место условия [6,
9, 26]
nX[H]-^DlD ]
= i
(1.99)
— Z)[J3) = 0, •
(1.100)
u
пХ[Щ
:
п Х [ Б ] = 0,
y
(1.101)
где через D обозначена скорость ударной волны, п — единичная нормаль,
г — поверхностный ток. Если токами смещения пренебречь и считать
B—H, D =JEJ, то в соответствии с уравнениями Максвелла и законом Ома
(1. 66) имеем
U
2!=±(v TobH—vXH).
m
(1.102)
Если предположить, что по поверхности ударной волны не течет кон­
центрированный ток, то (1. 99) вместе с (1. 101) приводит к непрерывности
магнитного поля, ибо в дополнение к (1. 101) разность тангенциальных
36
компонент поля U также равна нулю [9 ]. Таким образом, в случае конечной
проводимости (1. 100), (1. 102) дают
w x ( v r o t l T —1>ХЯГ) = 0.
(1.103)
w
Так как магнитное поле непрерывно в случае конечной проводимости,
то гидродинамические условия на поверхности разрыва сведутся к рас­
смотренным условиям (1. 55). Однако дополнительное условие (1. 103)
должно быть учтено при решении задач о движении электропроводного
газа конечной проводимости. Для бесконечной проводимости условия на
разрывах просто получаются из уравнений МГД в интегральной форме для
произвольного движущегося объема Q'(t). Эти уравнения имеют вид
£]pd<2+§ (v -D)d2
s
s
9
±\GdQ
+ $(tn)
(v -D)d2
(1.105)
= 0,
n
S
2
dt
(1.104)
= 0,
n
j
(1.106)
WdQ+[S (v -D)d2-=0.
n
n
Уравнения (1. 104)—(1. 106) следуют из аналогичных соотношений
для постоянного объема, полученных в работе [ 9 ] , и из формулы (1. 46)
дифференцирования интегралов. В этих уравнениях Т — тензор плот­
ности полного потока импульса с компонентами
н
н
Е
Е
8
т* = Р»Л + Au - é ( < * + < *)~ш № + ^ «'
W — плотность полной энергии,
s
2
2
W — p(^ + y + § ^ ( # + ^ ))>
S — плот­
ность полного потока энергии,
S = p(e + ^-)v
n
n
+ q -(Tv)n
n
+
{-JExn:)n,
D —скорость границы 2 ,
S =S-n.
Из уравнений (1. 104)—(1. 106) легко получаются условия на разрывах
для идеально проводящих сред.
Если учесть, что JEJ=—(Не) (vxH),
и принять во внимание электро­
динамические соотношения (1. 99)—(1. 102), то при # = 0 полная система
условий на поверхности разрыва примет вид [9, 1 1 ] .
n
=
[HJ
0,
(1.107)
[(v ~D)H-H v}=0,
(1.108)
UP -D)P]
(1.109)
n
n
H
= 0,
(1.110)
(^-^)(С+р
г
+
^+^(р +-£)-&(ж.,)
в
= 0.
(1.111)
Здесь первое соотношение есть следствие отсутствия магнитных зарядов,
второе следует из уравнений для поля (1. 100) и формулы для IS. Соотно­
шение (1. 108) по существу есть выражение закона вмороженности. Ос37
тальные соотношения являются соответственно следствиями законов сох­
ранения массы, импульса и энергии. Соотношения (1. 107)—-(1. 111) су­
щественно сложнее аналогичных соотношений для обычной гидродинамики
и дают большее разнообразие возможных разрывов. Подробная класси­
фикация МГД разрывов дана в работа [9, 10, 27, 28].
Если через поверхность разрыва нет потока вещества, т. е. т—р '( iii—D)
?2 ( n2—D)= 0, то имеет место либо тангенциальный разрыв
(Н =0),
либо контактный разрыв (Н =^0), [р]=0,
[v ]^Q,
[ Я ] = 0 . При
т=т^0 имеют место вращательные разрывы и ударные волны. Вращатель­
ным называется разрыв, для которого выполнено условие [ г ^ ] = [ р ] = 0 .
Для этого разрыва из соотношений (1. 107)—(1. 111) получаем
1
v
=
v
п
п
n
На вращательном разрыве непрерывны все термодинамические пара­
метры. Более того, имеем [Я ]—0, т. е, модуль вектора H непрерывен.
Вектор H меняет свое направление при переходе через разрыв, причем
[JET] = km iß (Н + Н ) X п, где к — некоторая постоянная.
Поверхности разрыва, для которых т=^0, [ р ] ^ 0 , называются ударными
волнами. Имеются следующие виды ударных волн: быстрая ударная
волна, медленная ударная волна, ударная волна включения, ударная
волна выключения. Последние являются предельными случаями двух
первых.
Быстрая ударная волна — аналог обычной газодинамической волны,
причем напряженность магнитного поля увеличивается при переходе че­
рез разрыв. В медленной волне магнитное поле уменьшается. Отметим
основные свойства быстрых и медленных ударных волн.
С в о й с т в о 1. Ударные волны являются скачками уплотнения.
Скачки разрежения невозможны, так как им соответствуют переходы
с уменьшением энтропии [29, 30].
С в о й с т в о 2. Изменение энтропии является величиной третьего
порядка по интенсивности ударной волны, причем имеет место формула
2
х
2
8
î
y(5.-5 ) = i Q > , - P ) - J Q (
1
1
ï
;
e
A
-Pi)№-^.) . (Li«)
Здесь Т — температура,
S — энтропия,
V— II р — удельный объем,
Н — величина касательной составляющей поля Н.
С в о й с т в о 3. Для медленных и быстрых волн соответственно имеют
место неравенства
х
a
-, 1<
D
v
a
— ni < Ai,
D — v
n2
<;a_
t
2
,
a
+)
a 2<D
A
г
< D — v
— v
n
2
n
V
^ a
+
f
2
.
(1.114)
Условия (1. 114) следуют из условий эволюционности ударной волны.
В (1. 114) знаки равенства соответствуют ударным волнам бесконечно
малой интенсивности. Дадим теперь
О п р е д е л е н и е . Назовем уравнением ударной адиабаты равенство
Ч- h+
38
Е
^
<У -VJ+J^iVi2
V,) (H*
-
Н^Г =
0. (1.115)
Отметим еще один важный вид ударных волн, для которых Н —0,
т. е. магнитное поле параллельно фронту волны. Для таких ударных
волн из условий (1. 108), (1. 109) находим [HIр]—0.
Ударными волнами включения принято называть ударные волны,
для которых Н —0, но Н у^0.
После прохождения такой волны возни­
кает (включается) касательная составляющая магнитного поля, отсутст­
вовавшая перед волной. Ударная волна включения является по существу
быстрой ударной волной, интенсивность которой должна быть ниже неко­
торой критической величины и впереди которой скорость волны Альвена
сверхзвуковая.
Заметим, что в волне включения вместе с касательной составляющей
поля возникает и касательная составляющая скорости газа. Ударная волна
включения может осуществиться, если выполнено неравенство [21 ]
п
х1
х2
<
1
Л
1
6
>
Ударные волны выключения характеризуются тем, что для них Н —0,
J T ^ = 0 , Т . е. при распространении этой волны после ее прохождения
^исчезает (выключается) касательная составляющая магнитного поля,
•существовавшая впереди нее. Волна выключения является медленной вол­
ной, интенсивность которой достигает некоторого характерного значения,
причем скорость волны Альвена за ударной волной сверхзвуковая.
Вопросы влияния конечной проводимости на распространение ударных
волн рассмотрены в ряде работ (см., например, [31]).
В МГД возможны также так называемые ударные волны со скачком
проводимости. Эти ударные волны возникают и средах, для которых про­
водимость впереди ударной волны можно считать нулем, а за фронтом
ударной волны — отличной от нуля и даже бесконечной [32, 33]. Ударные
волны со скачком проводимости могут иметь место в газах при условии
распространения сильной ударной волны, ионизующей газ. Условия на
ударных волнах этого типа могут быть достаточно разнообразны в зави­
симости от соотношений между диссипативными коэффициентами (т. е.
коэффициентами вязкости, теплопроводности, электропроводности) и их
поведением при переходе через разрыв. Отметим, что если определяющим
диссипативным коэффициентом является коэффициент магнитной вяз­
кости, то в качестве дополнительного условия на быстрых ионизующих
ударных волнах следует принять [33, 34]
х2
t1
[Н] = 0.
Мы будем рассматривать и этот тип волн при решении задач теории
взрыва.
4.2. Условия на ударных волнах для гидродинамической модели
разреженной плазмы. Изучение структуры ударных волн в обычной
гидродинамике с точки зрения кинетической теории газов или применения
полных уравнений движения вязкой теплопроводной жидкости показы­
вает, что ширина ударных волн (т. е. зон с резкими градиентами скоростей
ж термодинамических параметров) имеет порядок нескольких длин сво­
бодного пробега молекул. Аналогичная ситуация имеет место в плотной
нлазме с относительно малой длиной свободного пробега молекул. В плазме
39
весьма низкой плотности длина свободного пробега молекул весьма ве­
лика (больше характерных размеров, на которых меняются средние пара­
метры плазмы), и с молекулярно-кинетической точки зрения в образовании
зон с достаточно большими градиентами средних параметров плазмы важ­
ную роль играют коллективные свойства плазмы, при которых осуществ­
ляются взаимодействия частиц через электромагнитные поля и механизмы
неустойчивости движущегося ансамбля частиц.
Проведенные здесь исследования (см. [35, 36]) показывают, что воз­
можно существование ударных волн с шириной много меньше длины сво­
бодного пробега частиц. Общепринятых соотношений на ударных волнах,
аналогичных классическим условиям Рэнкина—Гюгонио, сейчас нет.
При рассмотрении задач разреженной плазмы примем за основу мак­
роскопические уравнения МГД разреженной плазмы (1. 81)—(1. 85).
В силу их нелинейности возможности возникновения разрывов здесь сле­
дуют из результатов общей теории уравнений в частных производных
[37—39] и были предсказаны для уравнений гидродинамики еще Риманом.
Так как вывод условий на ударных волнах этого типа слабо освещен в ли­
тературе, проведем его кратко здесь. Будем исходить из уравнений МГД
разреженной плазмы в интегральной форме.
Заметим, что электродинамическая часть условий будет иметь вид
(1. 107), (1. 108), ибо мы здесь также исходим из уравнений Максвелла
и условия бесконечной проводимости. Гидродинамическая часть уравне­
ний в интегральной форме будет состоять из уравнения сохранения массы
(1. 104), уравнения количеств движения (1. 105) (где следует взять вместо
тензора t тензор Г, входящий в уравнение (1. 82)) и уравнения энергии
вида (1. 106) (где следует учесть зависимость энергии е от р , р и принять
вместо вектора S вектор потока энергии Q, входящий в уравнение (1. 83)).
Кроме того, к уравнениям вида (1. 104)—(1. 106) добавится новое урав­
нение
±
{1
(1. 117>
соответствующее закону сохранения среднего адиабатического инварианта pJB. Применяя теперь к указанным выше интегральным законам
сохранения стандартную процедуру, описанную в § 2, и используя для
электромагнитного поля условия (1. 107), (1. 108), находим
(1.118)
[(v -D)B-B v]
n
= 0,
n
(1.119>
[("„-Я)р] = 0,
(1.120)
Pu — Pj_
В*
0,
(1.121)
(1.122)
В
40
(v -D)
n
=0.
(1.123)
Условия (1. 118)—(1. 123) дают возможность проанализировать изме­
нение основных величин при переходе через разрыв. При выводе этих
условий было сделано существенное предположение о том, что в ударной
волне сохраняется средний магнитный момент pJB р. Это условие было
предложено Р. В. Половиным [40]. В пользу этого предположения гово­
рит выполнение условий эволюционности в волне сжатия [40], а также
тот факт, что адиабатический инвариант частицы сохраняется с большой
точностью при движении ее в электромагнитных полях при пересечении
поверхности, где параметры поля имеют разрыв первого рода [41—43].
Условия (1. 118)—(1. 123) будем называть условиями на магнитогидродинамической ударной волне в разреженной плазме. Отметим некоторые
свойства ударных волн в разреженной плазме, следующие из этих усло­
вий. Заметим, что эти условия также допускают разрывы типа тангенци­
альных, контактных и вращательных, аналогичных таковым для случая
идеальной МГД.
Здесь могут быть как быстрые, так и медленные ударные волны, а
также волны включения. Причем все волны, для которых В =^=0,
В =0
являются волнами включения (за ними B =^0) [43]. Если для энтропии
принять формулу [40] S=(k/2) In (р„ р * / р ) , где к — постоянная Больцмана, то в ударной волне будет иметься рост энтропии.
Движение газа при наличии ударных переходов будет наиболее устой­
чивым при условии р„—Pi. > 0 [14, 43].
Свойства магнитогидродинамических ударных волн в разреженной
плазме изучены значительно слабее свойств аналогичных разрывов в обыч­
ной МГД.
пХ
х1
г
z
5
§ 5. Элементы теории размерности
и понятие об автомодельных движениях среды
При исследовании задач теории точечного взрыва мы будем широко
использовать выводы и методы теории подобия и размерностей. Ниже при­
водятся необходимые для дальнейшего сведения из теории размерности
и вводится понятие автомодельных движений [46].
Единицы измерения физических величин делятся на основные и про­
изводные. Различные физические величины могут быть связаны между
собой определенными соотношениями, выражающими физические законы.
Если часть из этих величин принять за основные и установить для них
какие-либо единицы измерения, то единицы измерения для всех осталь­
ных величин будут выражаться через единицы измерения этих основных
величин, т. е. будут производными единицами измерения. Выражение про­
изводной единицы измерения через основные называется размерностью.
При изучении механических, тепловых[и некоторых других физических
явлений достаточно ввести только три независимые основные единицы из­
мерения: для длины, массы и времени. Этой системой основных единиц
измерения мы будем в основном пользоваться при изучении явлений
взрыва.
Размерность величин записывается символически в виде формулы,
в которой символ единицы длины обозначается буквой L, символ единицы
41
массы — б у к в о й . ЛГ, единицы времени — буквой Г. Для обозначения раз­
мерности какой-либо величины а принят символ [а].
Размерность всех физических величин, которые мы будем в дальнейшем
использовать, может быть выражена формулой вида [а] = M ^L ^T \
Говорят, что некоторая размерная величина имеет независимую раз­
мерность от остальных величин, входящих в задачу, если формула, выра­
жающая ее размерность, не может быть представлена как комбинация в виде
степенного одночлена из формул размерности для других величин. Так,
например, размерности плотности [ p]=ML~
и энергии [E]=--ML T~
независимы, размерности длины L, скорости LT'
и ускорения LT'
зависимы.
При изучении задач физики и механики мы часто сталкиваемся со слу­
чаем, когда какая-либо размерная величина есть функция других размер­
ных величин. Пусть мы имеем некоторую размерную величину а, которая
является функцией размерных величин а а ,. . ., а ,
n
n
n
3
2
1
ъ
a = <?(a a
v
2t
2
2
2
п
. . . , а ).
(1. 124)
я
Будем считать, что зависимость (1. 124) выражает собой некоторый физи­
ческий закон, фиксированное физическое соотношение, не зависимое от
выбора системы единиц измерения.
Пусть среди размерных величин только первые к величин к ^ п имеют
независимые размерности. Так как в интересующих нас задачах число основ­
ных единиц измерения равно трем, то в нашем случае к
3. Всякое фи­
зическое соотношение вида (1. 124) можно рассматривать как соотношение
между безразмерными величинами. Если известно, что эта безразмерная
величина является функцией ряда размерных величин, то эта функция
может зависеть только от безразмерных комбинаций, составленных из
определяющих размерных величин.
Согласно тс-теореме теории размерности функциональная связь между
п-j-1 -размерными величинами, не зависимая от системы единиц измерения,
принимает вид соотношения между п-\-1—/^-безразмерными величинами,
представляющими собой безразмерные комбинации из тг+1-размерных
величин.
Естественно, что чем меньше число параметров, определяющих изу­
чаемую величину, тем больше ограничена функциональная зависимость
типа (1. 124) и тем легче ее изучить. Так, если число основных единиц из­
мерения равно числу определяющих параметров с независимыми размер­
ностями, то эта зависимость определяется с точностью до постоянного мно­
жителя. Действительно, если п=к, то из величин а а , . . ., а нельзя
образовать безразмерной комбинации. Для размерности же величины а
имеем соотношение [a]=[a ] i[a ] *
. . Ла ] ,
которое выполняется при
условии а~с а т * . . . а %, где с — . . . безразмерная постоянная, а по­
казатели к , к ,. . . , к легко найдутся из сравнения размерностей пра­
вой и левой частей написанного равенства.
Приступая к решению какой-либо физической или механической
задачи, мы начинаем с выделения основных факторов, существенных пере­
менных и постоянных параметров, которые определяют интересующие
нас величины. Одним из первых шагов исследования функциональных
ъ
k
1
к
к
к
±
42
k
кп
2
п
к
к
2
п
2
п
зависимостей размерных величин является этап составления таблицы ос­
новных параметров, определяющих рассматриваемое явление.
Теория размерности предъявляет к системе определяющих параметров
требование наличия среди определяющих параметров размерных величин,
через которые могут выражаться размерности всех зависимых величин.
Так, например, нельзя утверждать, что статическое состояние совершен­
ного газа определяется только двумя размерными величинами — темпера­
турой Т (1Т]=С°)
и плотностью р, так как размерность давления не мо­
жет быть выражена через [Т] и [ р ] . К этим величинам необходимо доба­
вить еще одну размерную постоянную R (R — газовая постоянная).
Перейдем к использованию отмеченных выше выводов теории размер­
ности в задачах о движении сплошных сред. Для решения задач о про­
странственных движениях сжимаемой жидкости требуется определить
давление р, плотность р и компоненты скорости г/по осям х* как функции
от времени, координат и постоянных параметров, входящих в условия
задачи. В общем случае пространственных движений система определяю­
щих параметров может быть всегда приведена к виду
х\
t,
а,
6, с,
а
а,
1э
а ,
2
(1.125)
я
где а, Ь, с — постоянные с независимыми размерностями, а , а , . . а —
некоторые безразмерные постоянные.
Некоторая величина
определяющая какую-либо характеристику
движения среды, будет являться функцией параметров (1. 125), не завися­
щей от системы единиц измерения. Применим тс-теорему к этой функции.
Имеем гг=7, к=3. Образуя безразмерную комбинацию из (1. 125) и ^,
можем ввести безразмерную функцию %ч которая согласно тс-теореме мо­
жет зависеть в рассматриваемом случае от четырех безразмерных пере­
менных. Это следует и непосредственно из того, что из параметров (1. 125)
можно образовать четыре независимые безразмерные переменные комбина­
ции. Таким образом, в общем случае имеем
А
Х=
ф(£',
2
я
а ),
?, « 1 , а ,
п
2
где х\ t — безразмерные координаты и безразмерное время. Число неза­
висимых переменных не уменьшается и равно четырем.
Пусть теперь с=0 и мы имеем в системе определяющих параметров
(1. 125) две константы а и & с независимыми размерностями
к
в
Ь
[а] = МЬ Т ,
[Ь] = ЬТ~
(8=^0).
(1.126)
При этом 7 г = 6 , к=3, п—к=3, т. е. безразмерная функция % будет зависеть
только от трех безразмерных переменных комбинаций. Эти безразмерные
комбинации имеют вид х 1Ы , x /bt , x /bt , никаких других независимых
безразмерных комбинаций образовать нельзя. Таким образом,
г
ь
2
b
s
b
k
8
В случае § = 0 имеем [b] = L, тогда либо а имеет размерность L T , либо
имеется еще одна размерная постоянная с размерностью, не зависимой
от [а], [Ь]. Вторая возможность приводит к общему случаю. Это следует
из того, что мы должны образовать безразмерную комбинацию с време43
k
8
i;
нем Z, от которой зависит х- Если [a]=L T , то в системе параметров x ,
а, 6, а . . ., a независимую размерность имеют только две величины а
и 6, и мы имеем четыре безразмерные комбинации, от которых будет за­
висеть %•
Дадим
О п р е д е л е н и е . Неустановившиеся движения сплошной среды,
в которых все безразмерные характеристики зависят от переменных ком­
бинаций х 1Ы , х 1Ы , x /bt ,
[b]=LT~ ,
называются автомодельными.
В частном случае одномерных автомодельных движений безразмерные
характеристики зависят от одной безразмерной переменной комбинации
rlbt\
Из предыдущих рассуждений следует, что для автомодельное™ задачи
достаточно, чтобы система размерных определяющих параметров, задавае­
мая уравнениями и дополнительными условиями, в частности краевыми
или начальными условиями, содержала не более двух постоянных с неза­
висимыми размерностями, отличными от длины (и времени), т. е. система
определяющих параметров имела бы вид х , х , х , t, а, ft, а а , . . ., а
где а , а , . .
а — безразмерные комбинации, а для [а] и [Ь] верны фор­
мулы (1. 126), где к и s — произвольные постоянные. Вместо а можно
взять постоянную а, причем [ä]=ML °~ , где со — произвольное число.
Для одномерных автомодельных движений система определяющих
параметров должна иметь вид г, £, а, ft, а а ,. . ., а . Заметим, что в на­
чальной постановке задачи размерных определяющих постоянных пара­
метров может быть и много, но только два из них, которые мы принимаем
за а и ft, должны иметь независимые размерности. Все остальные размер­
ные постоянные с помощью а и ft мы можем привести к безразмерному
виду и включить их в число параметров сы, . . ., - Так как одномерные
автомодельные движения зависят только от одной безразмерной перемен­
ной 1=г/Ы , то для одномерных автомодельных движений система урав­
нений в частных производных после преобразования к безразмерному
виду заменится эквивалентной системой обыкновенных дифференциаль­
ных уравнений, что значительно облегчает решение поставленных задач.
1 ?
w
г
ъ
2
ь
s
b
b
1
2
3
ь
г
2
2
пГ
п
(
3
ь
2
я
а
й
ь
Рассмотрим примеры автомодельных одномерных движений совершен­
ного газа.
1) Распространение фронта пламени или детонации при нулевой тол­
щине зоны горения.
Однородная горючая смесь, заполняющая пространство с постоянным
давлением р и постоянной плотностью р поджигается в момент £ = 0
в точке (сферическая симметрия), вдоль линии (цилиндрическая симмет­
рия) или вдоль плоскости (плоская симметрия). По смеси будет распро­
страняться фронт пламени или детонации. Пусть условия распростра­
нения пламени или детонации таковы, что можно пренебречь энергией
инициирования процесса горения и считать, что вещество мгновенно сго­
рает на фронте пламени или детонации с выделением энергии.
Определяющими параметрами будут г, £, р р , у, количество теплоты
Ç, выделяющееся при сгорании единицы массы газа, и в случае горения —
известная скорость фронта пламени С7 . Размерность Q в механических
единицах может быть выражена через размерности р и p . Таким образом,
ь
х
ъ
г
2
х
а
L
число констант с независимыми размерностями равно двум, т. е. задача
автомодельна. Решение этой задачи известно [46, 47]. Другие примеры
автомодельных задач о распространении волн в горючей смеси газов рас­
смотрены в главе 6.
2) Задача об обратном пинч-эффекте. Пусть в бесконечно проводящей
среде вдоль прямой пропускается ток / , меняющийся со временем
I=o t
{o^const). Начальная плотность газа р и начальное давление р посто­
янны. Начальная скорость 1 ^ = 0 . В среду вморожено начальное поле
ff =const,
направленное параллельно прямой, по которой течет ток.
В силу вмороженности магнитное давление поля линейного тока
x
х
г
x
8тс
2сг2
о
(г — расстояние от оси симметрии до рассматриваемой точки) будет «вы­
талкивать» газ из области, примыкающей к оси, и играть роль расширяю­
щегося с постоянной скоростью поршня радиуса r (t) [44]. Возникающий
при этом процесс сжатия газа вдоль прямой получил название обратного
пинч-эффекта. Так как размерность магнитного поля Н выражается
через размерность давления р ([Щ]=[р ]),
то задача автомодельна. Ре­
шение этой задачи рассмотрено нами в работе [48].
Другим важным примером автомодельных задач газовой динамики
и МГД является задача о сильном точечном взрыве, которую мы рассмот­
рим подробно в дальнейшем.
0
0
г
г
1
§ 6. Инвариантные и автомодельные решения уравнений
одномерных движений
6.1. О связи между анализом размерности и теорией групп преобразо­
ваний. С математической точки зрения анализ размерности тесным обра­
зом связан с выводами теории непрерывных групп преобразований. При­
ведем ряд известных сведений из теории групп Ли [49—51].
О п р е д е л е н и е . Группа G называется группой Ли, если в G есть
подмножество G , удовлетворяющее условиям:
1. G содержит единичный элемент е группы G.
2. Произведения * элементов G порождают G.
3. Элементы G можно поставить во взаимно-однозначное соответствие
<s точками а открытого r-мерного шара Q евклидова пространства, причем
центру шара О соответствует е. Этим условием в G вводятся координаты.
Элемент g £ G , соответствующий a Ç <?, будем обозначать g .
4. Произведение g <gp £ G>
некоторый элемент g соответствую­
щий точке Т Р ( 9 ß)> причем запись у = с р (а, ß) означает ? р (а ,
. . ., a ; ß \ . , . , рГ), * = 1 , 2, . . , , г .
5. В области Q функция ср (а, ß), определенная в некоторой окрест­
ности точек а, ß, является трижды непрерывно дифференцируемой.
Подмножество G называется групповым ядром или докальной груп­
пой Ли. Размерность г шара Q называется порядком локальной группы
Ли G . Свойство ассоциативности для группы Ли имеет вид <р [ср (а, ß), у] =
= с р [а, ср (ß, у)]. Изучение свойств локальной группы Ли сводится к изучеr
r
r
r
r
r
a
е с т ь
a
=С
а
v
Х==с
Х
1
r
r
r
r
45
х
нию не зависящих от системы координат свойств функций ср (а, ß), задаю­
щих закон перемножения.
Введем понятие изоморфизма: две группы G ж H называются изоморф­
ными, если каждому элементу А, В, С,. . . первой можно взаимно-одно­
значно сопоставить элемент а, Ь, с,. . . второй так, что каждый раз, когда
имеет место равенство АВ=С,
будет иметь место также равенство аЬ=с
Определение.
Взаимно-однозначное отображение некоторого
множества S на себя называется преобразованием множества <§.
Если Т , Т — два преобразования множества <§, то их произведение
T T —T
определяется соотношением
г
X
2
2
Z
(1.127).
Г (М)=Г (Г (М))
3
1
2
при произвольном M ç g. Роль единицы играет тождественное преобра­
зование е (М)=М, M ç <§, причем еТ=Те=Т.
Можно показать [49, 50],
что определенное выше произведение преобразований обладает свойствами
ассоциативности. Преобразование Г" , обратное преобразованию Г, опре­
деляется тем, что переводит всякий элемент Т(М) £ S в элемент М..
Таким образом, совокупность G преобразований множества <§*, со­
держащая наряду с каждыми двумя преобразованиями их произведение
и наряду с преобразованием ему обратное, есть группа в силу установлен­
ного закона умножения (1. 127). Всякая такая группа называется группой
преобразований.
Имеет место принцип Вейля: любая группа может быть представлена
при помощи некоторой группы преобразований, т. е. найдется группа
преобразований, изоморфная с данной группой.
Рассмотрим представление отвлеченной группы Ли с помощью групп
преобразований. Например, множество G всех невырожденных квадрат­
ных матриц порядка п есть группа относительно обычного матричного
умножения. Роль единицы играет матрица е=||8*.||, где 8*'=1, 8 / = 0 ,
j=j4=i. Группе матриц || а) || соответствуют преобразования x ~\\ а*. || х, при­
чем умножению матриц соответствует последовательность преобразований.
Таким образом, группа матриц представлена линейными преобразованиями.
Пусть теперь в общем случае имеем локальную группу Ли G и имеем
множество S (х , х ,. . ., х ). В этом множестве выделим подмножество —
ядро. Пусть мы построили преобразования с помощью элементов группы G
которые «сдвигают» ядро множества &. Это означает, что в формулы
преобразований заданного множества войдут координаты элементов
группы G , т. е. каждой точке а будет соответствовать преобразование
1
f
r
1
2
п
ry
r
я'* = / * > \
(1. 128)
г
of, а\
а ).
Под множеством <§ будем в дальнейшем пониматьга-мерноеевклидово
пространство £ точек х с координатами х , . . ., я*. Если в (1. 128)
/* — трижды непрерывно дифференцируема и преобразование обратимо,
а / (х, 0)=х и имеет место свойство / (/ (х, а), ß ) = / (х, ср (а, ß)), то мно­
жество преобразований (1. 128) образует локальную группу Ли точечных
преобразований <£ . Эта группа дает представление группы G . Будем
обозначать группу преобразований так:
1
п
w
46
r
n
Тогда для Т , Tß 6 G формуле
а
Т^Т = T
r
а
f
(а>
ß )
соответствует формула
Г (f(x, a), ? ) = / ' ( * , <р(а, р)).
Под действием преобразования Г некоторая функция F (#), определен­
ная на & , преобразуется в новую: F' (x) = T F (x)—F (Т х).
О п р е д е л е н и е. Функция F (^)^const называется инвариантом
группы G , если она не меняется под действием любого преобразования
Т е G;, т. е. Tf {x)=F (х) или F (T x)=F
(х).
Введем в рассмотрение вспомогательные функции
а
п
a
а
r
а
a
и матрицу Л=|]?*.[| (а —а соответствует единице группы).
Пусть общий ранг матрицы А есть R. Имеет место
Т е о р е м а [51]. Группа G™ имеет инварианты тогда и только тогда
когда R<Cn. Если это неравенство выполнено, то существует t — n — R
функционально независимых инвариантов I (х) (k = 1, 2, . . . , t) группы G
таких, что любой ее инвариант есть функция от них.
Это означает, что если F (х) — инвариант, то
0
у
k
n
r
1
F(x) = F(I (x),
Р(х),
1'{х)).
Отсюда можно сделать вывод (обобщенная тс-теорема [52]).
г
Пусть уравнение F (х ) — 0 инвариантно относительно группы Gjf, кото­
рая переводит в себя многообразие размерности Z, являющееся ^-мерным
подпространством пространства § . Тогда уравнение F = 0 эквивалентно
уравнению
'
п
Ф{1\ 1\ . . ., /»-') = 0
2
(1.130)
п
между п — I функциями ( l ^ Z . ^ . r ) . / \ / , . . 1 ~ \
каждая из которых
инвариантна относительно G . Заметим, что размерность I совпадает с ран­
гом матрицы А.
Отметим, что обобщение этих результатов на тензорные функции и
приложения групп Ли к теории кристаллов даны в работе [53].
В анализе размерности постулируется, что некоторые основные еди­
ницы ( f t , . . . , q могут изменяться в любых положительных отношениях
преобразованиями вида
r
r
ТаЫ=9'<
= *&-
К>0-
* = 1,
. . - Г ) ,
(1.131)
•
называемыми изменениями масштабов. Рассматриваются также однород­
ные величины (>!,. . ., Q , которые преобразуются уравнениями (1. 131)
так:
n
TAQj) = Q'j =
г
(1-132)
Таким образом, каждая из Qj имеет размерность q[ß . . . qp'r. Заметим, что
формула (1, 131) является частным случаем (1, 132), когда b = 8*, г=п.
Преобразованиям
Т. взаимно-однозначно соответствуют векторы
а = ( а , . . ., а ) с положительными компонентами. Кроме того, если ввести
следующие действия:
ik
а
х
г
aß = К ß
lt
. . ., a р ),
r
г
a-i = (а \ . . '., а?).
Г
(1. 133)
47
то, очевидно, выполняются равенства
7 . (Г, (Qj)) =
(Г. (<?,)) - ^ (<?у),
?V> ( Т (О,)) = С,а
Отсюда следует, что равенства (1. 132) дают представление группы поло­
жительных r-векторов, определенной по (1. 133), причем равенства (1. 132)
задают группу линейных преобразований пространства векторов Q .
Если мы составим матрицу Л по (1. 128), то ее ранг будет равен рангу
матрицы II b II, т. е. равен числу величин с независимыми размерностями.
Используя отмеченную выше обобщенную тс-теорему теории групп, мы
приходим к сформулированной в предыдущем параграфе ^-теореме теории
подобия и размерности. Группу (1. 132) будем называть группой подо­
бия.
При рассмотрении конкретных задач газовой динамики существенную
пользу дают приложения теории размерности, и это обстоятельство будет
широко использоваться в дальнейшем. Однако большая общность теоре­
тико-групповых методов позволяет распространить результаты и методы
теории размерности на более широкие классы задач и получить новые
частные решения уравнений газовой динамики.
6.2. Инвариантные решения и их связь с автомодельными реше­
ниями. Пусть система уравнений гидродинамики инвариантна относи­
тельно группы Gf преобразования в пространстве и*, р, р, х , £, т. е. система
уравнений гидродинамики есть дифференциальный инвариант Gji. В этом
случае говорят, что система уравнений гидродинамики допускает группу
ik
{
GlВ теории инвариантных решений можно выделить два направления:
1) использование известных групп (например, группы подобия) для
построения инвариантных решений [45. 46];
2) отыскание наиболее широкой группы Ли преобразований допускае­
мой системы уравнений гидродинамики и построение полного набора су­
щественно различных инвариантных решений [51].
Мы не будем здесь детально рассматривать эти вопросы, а лишь дока­
жем, что инвариантные решения уравнений одномерной гидродинамики
могут быть получены из автомодельных элементарными преобразованиями
и предельными переходами.
В работе [51] показано, что для произвольных значений отношения
удельных теплоемкостей у система уравнений (1. 118)—(1. 120) для одно­
мерных движений с цилиндрической и сферической симметрией имеет лишь
следующие инвариантные решения:
и = и (г),
р = <?'Ц (г),
t
(
2)/
v = r + e u(k)
р = е 0- #(Х),
.17 = 1 и (г),
р= ^ Л(г),
v = ^u(l),
p = rP «- R(\),
1
+ 2
+2
2
р = е^Р (г),
р = вРф(Х),
(1.134)
\ = ге'*.
p = t*P(r).
ß
p = r P(X),
(1.135)
(1.136)
\ = tr~\
(1.137)
Инвариантные решения вида (1. 135) (1. 137) изучались К. П. Станюкови­
чем [45].
#
48
Для случая движений с плоскими волнами к этим решениям добав­
ляются
v = и (t),
p = PR (t),
р = &р (t),
v = r + u(k),
р = еР'Д(Х),
р = еЭф(Х),
v = \u(k),.
р = **«Д(Х),
р = 2?P(X),
р = -1 + в'(Х),
P=
t R(\),
=
eWR(t),
v = Y + u(t),
9
:E
?
(1.138)
(1.139)
.X = i —
X=
(1.140)
T
te~ ,
р =
(1.141)
р = : 0*1* P (t).
(1.142)
р - постоянные.
Используя методы анализа размерностей, Л. И. Седов указал класс
автомодельных решений уравнений одномерной газодинамики вида
В решениях (1. 134) — (1. 142)
V
»=T W'
Р ^ 7 ^
Л
(
Х
)
p
p
X
=7^ V>
'
( 1 Л 4 3 )
=Ù-
Здесь a, b — размерные постоянные, a к, s, S — некоторые числа.
Установим связь между решениями (1.143) и инвариантными реше­
ниями. Назовем решениями, предельными к автомодельным [46, 54],
такие решения, которые получаются из автомодельных путем применения
преобразования сдвига по времени (или по координате) и предельных
переходов по параметрам, входящим в автомодельное решение (1. 143).
Имеет место\ следующая теорема [55].
Т е о р е м а 1. Все инвариантные решения уравнений газовой дина­
мики при сферической и цилиндрической симметрии являются либо реше­
ниями автомодельными, либо предельными к автомодельным.
Доказательство.
Решения (1. 137) являются по существу
автомодельными решениями, ибо если в (1. 143) ввести Х = ~
, пре­
образовать и переобозначить функции R (A), P (А), V (>) и стоящие перед
ними множители, то мы придем к решению вида (1. 137).
Далее, если сделать замену t -> t + t , t = 8т, b = r (frc)~ , V = 8F,
R = b R, Р — Ь Р и перейти к пределу при 8-* о о , то получим [46, 54]
решения вида
1
/
8
5
0
8
Q
Q
8+г
Зти решения легко сводятся к виду (1. 135).
Если в (1. 143) положить 8 = 0 , s=— 2ß—2, a=b=l
и переобозначить
функции V, P , R , то придем к решениям вида (1. 136). Остается получить
решения вида (1. 134). Для этого снова в решении (1. 143) заменим t
на t+t
и положим t =sт, а=а (TS)\
P=(TS) P,
V=SV,
R = R .
Тогда
найдем
2
0
0
v= -
,
p = j±
0
-Л(Х),
p=
0
-P(X)
и, переходя к пределу при s -> œ , 8 --> 0, получим решения вида (1. 134).
Теорема доказана.
4
Тр. Математ. ин-та, т. C X I X
49
Эта теорема верна также и для решений уравнений одномерных ци­
линдрически-симметричных движений идеальной МГД. Соответствующие
инвариантные решения рассмотрены в работе автора [55].
Для случая плоской симметрии решения вида (1. 138), (1. 140) могут
быть получены как пределы автомодельных с использованием преобразо­
вания переноса по. координате г [46, 5 4 ] . Для получения других инвариант­
ных решений нужно было бы еще воспользоваться группой Галилея. Мы
не будем рассматривать подробно эти предельные переходы и анализиро­
вать получение всех инвариантных решений для случая плоской симмет­
рии.
6.3. Интегралы адиабатических движений и интеграл энергии. Рас­
смотрим одномерные движения газа, когда диссипативные процессы не
учитываются. Будем считать, что движение автомодельно.
Пусть имеет место интегральный закон сохранения вида (1.48)
так что
2*
Для одномерных движений имеем
(1.144)
г'
Пусть a, b — существенные размерные постоянные, входящие в задачу,
k
8
[а] = ML T ,
[b] =
LT-*.
Для функции Ф можем написать
Ф =
а ^ С ( \ ) ,
Х=
^
.
Для интеграла
J =
J Ф г"-Чг,
г' = ЬЛ',
9
г" = 6*V
(1.145)
г'
пусть имеем
<? = a*WPK(k', X").
Для функций v, p, р введем безразмерные переменные F, P, R со­
гласно (1.143).
Если функция Ф такова, что [х = 0, то из (1.144) следует адиабатиче­
ский интеграл [56]
v
(
G (X) R (X) [V — Ц X - *
+1)
= const,
(1.146)
Для адиабатического движения совершенного газа за функцию Ф возьмем
(^^j
где z— некоторое число. Из (1. 145) путем сравнения
—ex])(~-z^
9
размерностей получаем систему уравнений для выбора z
(1 — ï ) s
50
+ l =
av
(З —
т
i)z
=
kx
+
y +
3 —
v,
—2z
=
sx —
by.
Интеграл (1.146) принимает вид
,B
(£>fR(-b
+ V)\ ' = x ,
1
Ш1
= , - (к+ l)[l + z (!-•()]
+
+ 1 — (А + 1) [1 + (1 — ) z].
(1.147)
Т
Этот интеграл был получен М. Л. Лидовым [57]. Перейдем
ниям МГД при v = l , 2. Пусть
(k+1)
h = -^ =
(8+2)
ar- r G ,
2
2
h = ^=ar-^4-^G^
Н=(Н ,
9
h = 0
(v =
9
к уравне­
Я,),
?
(1.148)
l).
Тогда в случае бесконечной проводимости из (1. 146) получаем интегралы
вмороженности, найденные впервые в нашей работе [58],
2 М
Qrn ( Х Л ) "
Q
m
=
=
Х [R (V —
=
Х [ J î (Р^
2
=
s
8)
-|2-^(Ä 3) (/ 5)
+
2
3
8)] ~*~
+ b(k +
S — v)
r
8 ( Ä + 5 )
e+
A~
(v
(v-fc 3)[2- (fc 3)]
Wl+
+
( 2 + V ) e
'~
2 ( Ä + 3
e
~
= l, 2).
+
^
)
V )
'
(1.150)
Рассмотрим теперь уравнения МГД разрешенной плазмы для случая
одномерных цилиндрических движений. Естественно, что интегралы
(1. 149), (1. 150) здесь имеют место. Добавится еще два интеграла адиаба­
тических инвариантов.
Пусть система безразмерных переменных имеет вид (1. 143), (1. 148),
причем вместо формулы для р здесь будут аналогичные соотношения
для р и р„. Интегралы адиабатической инвариантности имеют вид
±
pm -mQR
_
mß
iy
ч
_
8 ^ / [ . + 2 + 8 ( Ä + . ) ] \-№+D
1
m
(P,R-*G) = x [R (V — g)]*-'-**™ x -
(68+4ft+
5
^,
(1.
f
G= G + Ù.
9
151)
(1.152)
g
Если 5 + 2 — S ( v — 1 — & ) = 0 , то системы автомодельных уравнений допу­
скают интеграл энергии.
Для уравнений МГД этот интеграл имеет вид [58]
\p
+
G
)
V
+
(V-b)(^RV*
+ P
^
+ G)] = K .
(1.153)
Q
Для разреженной плазмы интеграл (1. 153) ( v = 2 ) примет вид
X* [ ( Р + G) V + (V - 8) ( 1 R V * + Р + 1 P + G)] = х .
х
±
t
7
(1.154)
Здесь всюду через x (i = l, 2,. . ., 7) обозначены произвольные постоян­
ные.
Для уравнений газовой динамики интеграл энергии впервые найден
Л. И. Седовым (см. [46]).
Пусть 8=2/(2+v—о)), ,v=0, к~ ш—3. Запишем интегралы адиабатичности и энергии для этого случая. Для интеграла адиабатичности имеем
i
a>Y
со
4*
51
Здесь мы выбрали произвольную постоянную х так, чтобы удовлетворя­
лись условия на сильной ударной волне (1. 64).
Интеграл энергии (1. 153) можно преобразовать к виду
±
2
Х - [(P + M*) (х _ ^ Г ) - - ^ VP] = * ,
е
r =bt\
D = ±f-,
2
(1.156)
p — величина с размерностью плотности. Заметим, что р , v , р — функ­
ции, соответствующие условиям на сильной ударной волне, если г —
координата ударной волны.
В случае 5с =0 интеграл (1. 156) удовлетворяет условиям на сильной
ударной волне и примет вид
x
2
2
2
2
6
1
Ат-Чг^ЧЧ -^-
<«•'«>
Заметим здесь также, что адиабатические интегралы и интеграл энергии
будут иметь место [46] и для движений, предельных к автомодельным,
т. е. для других инвариантных решений уравнений газовой динамики и
МГД они могут быть получены, в частности, из (1. 146), (1. 153) предель­
ными переходами аналогично тому, как это делалось выше при исследо­
вании связи между автомодельными и инвариантными решениями.
§ 7. Постановки задач о точечном взрыве
7.1. Некоторые задачи для линейных уравнений математической
физики.
А. Задача для волнового уравнения о распространении мгновенного
точечного возмущения. Изменение давления (или [плотности) в газе,
обладающем слабой сжимаемостью, в соответствии с (1. 32), (1. 33) будет
описываться волновым уравнением, которое для случая одномерных те­
чений можно записать в виде (1. 36)
v
r ~i
дг \
дг )
~ а%
dt* *
Пусть для простоты внутренняя энергия среды будет пропорциональ­
ной давлению, т. е. s=pf (p)-j-const. Тогда, принимая, что е' = е—p f{?o)>
получаем
0
т. е. для возмущенной внутренней энергии s' имеет место уравнение
1
д ( v - ! дг'Х__
1
дЧ'
,
Пусть в среде с начальным состоянием р , р , е (р , р ) конечная энер­
гия Е выделилась в момент времени £ = + 0 (мгновенно) в точке, вдоль
линии или вдоль плоскости, причем в последних двух случаях ^рассчи­
тана на единицу длины или площади соответственно. Примем, что точка,
0
0
52
0
0
0
0
прямая или плоскость выделения энергии имеют координату г—0. Возни­
кающее возмущенное состояние будет обладать сферической (v=3), ци­
линдрической ( v = 2 ) или плоской ( v = l ) симметрией соответственно выде­
ленной энергии. Будем считать, что выделившаяся энергия Е полностью
пошла на изменение внутренней энергии s, и не будем учитывать часть
энергии, идущую на макроскопическое движение среды, т. е. на увеличе­
ние ее кинетической энергии. Возникающее в среде возмущение s' пусть
подчиняется уравнению (1. 158). Предполагая выполненным закон сохра­
нения энергии, имеем равенство
0
4~со
Е=
\
0
Po
e'd2,
(1.159)
— 00
где dQ — элемент объема, а интегрирование распространено на все про­
странство.
Это равенство верно для любого t ^ 0. Таким образом, мы приходим
к задаче о нахождении функции при начальных данных е ' = 0 (г > О,
£~-}-0) и дополнительном интегральном условии (1. 159). Рассмотрим
сначала трехмерный случай ( v = 3 , dQ=dx dx dx ). В терминах обобщенных
функций можно сказать, что для этой задачи начальные данные заданы
в виде сингулярной обобщенной функции, а именно, 8-функции Дирака
(об определении и свойствах 8-функции см., например, [59—61])
1
2
s
•'U=y-^»M.
(
1 Л 6
°)
где 8 (г) — трехмерная В-функция.
Обобщенное решение поставленной задачи легко записывается через
обобщенные функции фундаментального решения для волнового оператора
в трехмерном случае и имеет вид [60]
dt
4тсро
и
e(t)
r
™
_
(1.161)
где е (t) — единичная функция (е=0 t < О, е=1,
0).
Решение (1. 161) показывает, что возмущение е' будет распростра­
няться в виде сферической волны с радиусом r=a t, Движущейся со ско­
ростью а по состоянию s ' = 0 , причем после прохождения этой волны опять
наступает невозмущенное состояние.
В случае цилиндрической симметрии (v=2) решение будет иметь вид
у
0
0
'л
à Е
е(а^ — г)
M Р о 2%а s/alt* — г* '
^
0
2
0
Из этого решения следует, что возмущение е' от точечного мгновенно
действующего источника 1/2 (Е /р)Ь (х , х )Ь (t) к моменту времени t > О
займет цилиндрическую область радиуса r=-a t. Возникающее возмущение,
в отличие от пространственного случая, не исчезает за фронтом волны,
а сохраняется в некоторой точке пространства после ее прохождения.
Для плоского одномерного случая ( v = l ) решение задачи примет, вид
1
2
0
0
6
8
' = -|^ (во*-|^1)
1
(r = * )-
(1-103)
53
Из этого решения вытекает, что к моменту времени t > 0 возмущение
от источника (E /p ) b (д: )§(/) распространяется в виде плоской волны
l^ ! ^ о*1 передний фронт которой \x \ =--a t движется со скоростью а в
направлении, перпендикулярном плоскости я = 0 . Здесь передний фронт со­
стоит из двух плоскостей x =a t,
х ^—at, движущихся со скоростью а
соответственно направо и налево относительно начальной плоскости.
Из (1. 163) следует, что возмущение s' в момент времени t будет нахо­
диться только в двух точках х— ±a t так, что после прохождения фронта
волны снова наступает иевозмущенное состояние. Учитывая уравнение
связи между давлением и скоростью, а именно р (du/dt)~\-(др/дг)~0,
можно получить решение задачи о мгновенном выделении энергии и для
полной системы уравнений акустики с учетом сохранения полной акусти­
ческой энергии, определяемой через квадратичную энергию Е (фор­
мула (1. 34)).
Б. Задача о мгновенном источнике тепла. Как было показано в § 1,
распространение тепла в неподвижной среде описывается уравнением
теплопроводности (1. 44). которое для случая
const примет вид
f
Q
1
1
0
а
l
0
0
1
1
1
0
0
Q
0
$=-г-к^£).
(1.164)
Пусть теперь в момент t=0 некоторое конечное количество тепла Е
выделилось мгновенно в точке, вдоль прямой или вдоль плоскости, при­
чем, как и в задаче предыдущего раздела, в последующих случаях за Е
принимается удельное количество тепла. Если нет других источников тепла
и s = 0 при £ = + 0 , г > 0, то в силу закона сохранения энергии будем иметь,
что
0
0
+ 0 0
Е = р \ sdQ.
о
0
0
(1.165)
Таким образом, мы снова приходим к задаче о мгновенном точечном возму­
щении типа 8-функции
• « 1 ^ = ^ - 8 (г).
(1.166)
Решение рассматриваемой задачи широко известно и (при t > 0) дается
формулой
•=^<'>ет
м р
(-£)-
( 1
'
1 в 7 )
Из решения (1. 167) и свойств о-функции [60] следует, что s
-г+Е Ъ(г) Iр при t-> -fO, т. е. выполнено начальное условие (1. 166).
Выполнено также и соотношение (1. 165). Далее, так как е (г, t) > О
для всех г и t > 0, то в рассматриваемой модели тепло распространяется
с бесконечной скоростью. Заметим, что решение (1. 167) является авто­
модельным.
Дадим теперь определение точечного взрыва.
О п р е д е л е н и е . Назовем точечным взрывом процесс мгновенного
выделения конечной энергии в точке, конечной удельной энергии вдоль
некоторой линии или вдоль некоторой поверхности трехмерного про­
странства <£ .
0
0
3
54
Задачу о нахождении возмущений, вызванных точечным взрывом,
будем называть задачей о точечном взрыве (ЗТВ). Приведенные примеры
говорят о том, что ЗТВ может быть сформулирована для различных
уравнений и является специальной задачей Коши. Далее мы приведем
формулировки ЗТВ для уравнений газовой динамики и магнитной гидро­
динамики.
•
j
Задачу о точечном взрыве в точке ( v = 3 ) , вдоль прямой (v—2) или вдоль
плоскости ( v = l ) назовем основной задачей. Мы не будем в дальнейшем,
как правило, прибегать к формализму 8-функций и единичных функций
для записи начальных и граничных условий и решений рассматриваемых
задач.
7.2. Точечный взрыв в несжимаемой жидкости. Простейшим примером
среды, для которой достаточно просто решается основная задача о точеч­
ном взрыве, является несжимаемая жидкость. Рассмотрим случай сфери­
ческой симметрии ( v = 3 ) и будем считать, что начальное давление и началь­
ная плотность постоянны, причем р ^ о . Постановка этой задачи и путь ее
решения были впервые предложены Л. И. Седовым [46]. Ниже излагается
способ решения этой задачи, использованный в [4].
Если считать, что р= р =-const, v = 3 , то систему уравнений (1. 18)—
(1. 20) можно записать так:
г
х
Эта система полностью интегрируется, ее решение будет зависеть от двух
произвольных функций времени, которые мы обозначим <j> (t) и Ф (0:
x
v = bjp.
t
p
=
t
l
W
__|
P
l
D
.
+
û . ^ .
2
(1.169)
Решение (1. 169) можно использовать в задаче о точечном взрыве
в несжимаемой жидкости. В несжимаемой жидкости возмущения распро­
страняются с бесконечно большой скоростью, поэтому в этом случае воз­
можны решения задач о взрыве без ударной волны. Если в начальный мо­
мент времени давление в жидкости было р и жидкость находилась в покое,
то в последующие моменты времени давление, равное p сохранится при
г ~ со.
Так как в задаче имеем три определяющих размерных параметра р ,
Е , р , то при /? —0 она будет автомодельной. Рассмотрим этот частный
случай. При р —0 энергия взрыва Е целиком расходуется на увеличение
кинетической энергии жидкости. Учитывая это, имеем равенство
1
v
х
0
±
х
х
0
где
— некоторый радиус, определяющий область возмущенного движе­
ния (заметим, что величина v в начальный момент времени есть трех­
мерная B-функция). Подставив сюда и иг (1.169), получим
2
(1.170)
Е = 2 &.
0
Щ1
1
«
55
Из соображений размерности следует, что
r
Будем считать, что
жидкости. Тогда
,/,
-=4ir) '
v
(1Л71)
определяет сферу, движущуюся со скоростью частиц
% = ^ = - * ^ .
(1.172)
Из (1.171) и (1.172) находим
т-2
dt
5
t
Пользуясь (1.170), можно найти зависимость
р
Подставив сюда
8
_ _ ^Pi
о — 25
г*
*2 •
из формулы (1.171), найдем постоянную
Окончательно для г будем иметь формулу
#
<
1
л
?
з
>
Учитывая граничное условие на бесконечности р ( о о , £ ) = 0 , из (1. 169)
находим ty =0.
Распределение давлений дается зависимостью
2
£=М[»-(тУ]-
(••««>
При г = г имеем р ^ О . Это означает, что в центре симметрии образуется
пустая сфера— каверна радиуса .г , которая расширяется с течением
времени по закону (1. 174). .Максимальное давление р в пространстве
достигается при r=r ~4 l*r .
Зависимость р от времени определяется
по формуле
#
¥
2
l
2
¥
2
Таким образом, мы получили точное решение задачи о сильном взрыве в не­
сжимаемой жидкости.
Имея общее решение (1. 169) системы (1. 168), можно получить реше­
ние автомодельной ЗТВ при Руу^О. Для решения этой задачи имеем началь­
ные и граничные условия: при £—0 p^^Pi—const, v=v =Q,
0 и в центре
взрыва выделилась энергия Е ;
x
0
при r = r
р — р* = 0,
*
при r.==œ
*
р= p = p
œ
dr
у = у —• -—ï
*
у= у
0.
d t
v
(1. 176)
оо =
Из (1. 169) и (1. 172) с учетом (1. 176) найдем
p - p i _
56
1 rj(r;)2
( ;г;)
Г
/
м
1
7
7
V
Штрих означает дифференцирование по времени. При г=г^ будем иметь
(1.178)
Из уравнения (1. 178) находится закон движения r^(t) границы ка­
верны, образующейся при взрыве. Если ввести новую переменную
у—г', то уравнение (1. 178) допускает понижение порядка, так как время i
в него явно не входит. В результате интегрирования получим
2
У = К г ? - ^ .
(1.179)
Постоянную к определим из условия, что при р^-О мы должны получить
автомодельное решение. Оказывается, что
2
Назовем максимальным радиусом каверны г
тором y=drJdt—0. Из (1. 179) получаем
W
шах
то значение
при ко­
J •
PPii
Если ввести безразмерные переменные
V3
9
Гтьх
Pi/
Г
9
ш а х
*
Г
то уравнение (1. 179) примет вид
dl
dl ~
(1.180)
x
—
3
7/
2
Отсюда зависимость т (IJ определится квадратурой
Формулы (1. 180) и (1. 181) показывают, что I ^ 1, а так как т растет,
то каверна после достижения максимального радиуса начнет двигаться
к центру; таким образом возникают своеобразные колебательные движе­
ния. При этом величина dljdx переходит через нуль и делается отрица­
тельной, т. е. в формуле (1. 181) знак «плюс» соответствует движению
от центра, знак «минус» — движению к центру. После нахождения закона
движения границы каверны давление и скорость находятся по формулам
Наконец, можно определить период колебания каверны %
т = 2т(1) = 2 f
.
57
Аохоящаясл
cpeâa
Доижшаяся
cpeâa
Плоскость
симметрии
Центр симметрии (Озрыоа)
(аерь/аа)
Ломящаяся среда
Фронт уаарноа
долны
Фронт i/âapHoû Оояны
Доижищаяся
cpeâa
ÛCÔ симметрии
t*r*^ (âjjjbiâap
Рис. 1. Схема движения сжимаемой
среды при взрыве сферического за­
ряда
Рис. 2 . Схема движения при взрыве
цилиндрического заряда
Рис 3 . Схема движения при взрыве
плоского заряда
ч
С помощью замены переменных 1^=--х * этот интеграл преобразуется в ин­
теграл Эйлера вида В (p, g), который выражается через f-функцию Эй­
лера:
Если перейти к размерным переменным, то получим следующую фор­
мулу для периода колебания:
,
r = l,14p/.fiv.p'/..
î
7.3. Точечный взрыв в газе. Пусть в безграничном газе в точке, вдоль
прямой или вдоль плоскости выделилась энергия Е , рассчитанная на еди­
ницу длины или единицу площади для линейного или поверхностного
источников энергии соответственно. В результате этого исходное состоя­
ние газа получит сильное локальное возмущение. Пусть невозмущенное
состояние газа не зависит от времени, и v —v (г), р ^-р
(^*),ро~Ро ( )
при 2 = 0 . Если через Е обозначим полную энергию единицы объема газа,
0
г
0
0
0
то в силу закона сохранения энергии при t^O
v
0
имеем Е =
0
^ AEdQ, где
е
АЕ = Е — Е°, Е° = (?o lß) + Роо — начальная энергия газа, а интегрирова­
ние распространено на все пространство. Таким образом, как и в приве­
денных примерах, придем к сингулярной задаче Коши:
I*-о =
38
P Lo = Pv
PI/-0 = Ро>
A
E
L o = 8 И+
(1.183)
Опыт и теория показывают, что при взрыве в газе образуется ударная
волна, распространяющаяся по газу от места взрыва. С точки зрения
опыта известно, что если энергия взрыва Е достаточно велика (скажем,
при v = 3 больше начальной внутренней энергии в единице объема газа),
а объем, где она выделяется, значительно меньше объема, для которого Е
становится сравнимо по величине с его начальной энергией, то по газу
распространяется ударная волна вследствие резкого повышения давления
и температуры в месте взрыва.
С точки зрения теории, во-первых, известно, что даже для задачи Коши
с гладкими начальными данными могут возникнуть разрывы в реше­
ниях [37—39], тем более они возникнут в задаче, где начальные данные
заданы в виде ^-функции для источника энергии. Во-вторых, Л. И. Седо­
вым показано [62] (см. также гл. 2), что решение задачи о сильном взрыве
в газе (т. е. в газе с нулевым начальным давлением) не может быть по­
строено в классе непрерывных решений. Таким образом, искомое решение
фактически будет обобщенным решением, в котором области непрерыв­
ности будут разделены поверхностями разрыва.
Пусть уравнение фронта ударной волны, соответствующего переднему
фронту возмущений в газе, есть F ( г , £ ) = 0 . Тогда при переходе через эту
поверхность должны быть выполнены условия (1. 53), (1. 54). Представлен­
ная выше задача может быть сформулирована как граничная задача с усло­
виями (1.53), (1.54) на поверхности F—0, причем поверхность F=0 стя­
гивается в точку, в прямую или стремится к плоскости взрыва при t —• 0.
Кроме этих условий, имеет место интегральный закон сохранения энергии,
который запишем теперь как
0
0
j AEdQ,
E=
Q
(1.184)
где Q (t) — объем, занятый возмущенным вследствие взрыва газом внутри
фронта ударной волны.
Рассмотрим более подробно постановку основной задачи для случая
взрыва в покоящемся совершенном газе, когда p =const, р = р (г) и для
движения газа за ударной волной выполняется условие адиабатичности.
В этом случае двия^ение будет одномерным и соотношение (1. 184) примет
вид
1
E, = o,\(%+Eß%)r~Vr,
(1.185)
О
где o " 2 ( v — 1 ) T C + ( V — 2 ) (v—3), г — радиус ударной волны, а на удар­
ной волне, т. е. при г=г ,
имеют место условия (1. 63).
В начальный момент времени t=0 имеем при r > 0
р=р\=const,
р= о (г), и ==0 и, кроме того, следующие условия: г (0)=^0, в центре сим­
метрии выделилась энергия Е . Для определения искомых функций сле­
дует проинтегрировать систему уравнений в частных производных
(1, 18)—(1. 20) с указанными начальными условиями и условиями на
фронте ударной волны. Если нет источника массы в центре симметрии
(т. е. при г—0), то из условий задачи в силу симметрии вытекает
(см. [4, 46])
у (0, *) = 0.
(1.186)
v
2
2
х
х
2
0
59
Аналогично формулируется задача при описании ее в переменных Лагранжа. Схема движения газа при точечном взрыве показана на рис. 1—3.
ЗТВ в газе была впервые сформулирована и исследована Л. И. Седо­
вым и Дж. Тейлором [63, 64], К одним из первых работ по исследованию
этой задачи относятся также работы К. П. Станюковича [65] и Дж. Ней­
мана [66]. Сформулированная ЗТВ в газе может быть естественным обра­
зом обобщена на случай движения газа с химическими реакциями и для
различных видов неадиабатических движений. Если среда, где происходит
взрыв, электропроводна и, кроме того, имеется внешнее приложенное
электромагнитное поле, то при точечном взрыве в такой среде будет проис­
ходить взаимодействие магнитного поля и движения. Общая формули­
ровка основной задачи здесь остается аналогичной таковой для случая
взрыва в газе без учета электромагнитных эффектов. Однако картина дви­
жения газа значительно усложняется. Главная цель следующего ниже
анализа состоит в исследовании упомянутых в настоящем разделе задач
газовой динамики и некоторых приложений результатов этих исследова­
ний к физическим явлениям. В дальнейшем мы остановимся также на не­
которых обобщениях основной задачи для случаев несимметричного выде­
ления энергии при взрыве.
Г Л А В А
2
СИЛЬНЫЙ ВЗРЫВ
В ГАЗЕ
§ 1. Точное решение Л . И. Седова автомодельной задачи
о сильном взрыве в совершенном газе
при постоянной и переменной начальной плотности
При точечном взрыве в газе образуется сильная ударная волна, причем
давление за ее фронтом р много больше начального давления р . Если
пренебречь начальным давлением газа р и считать начальную плотность
изменяющейся по закону
= Лг-%
(2.1)
2
г
г
Р 1
где А —постоянная с размерностью [А]--МЬ ~ ,
со — отвлеченная по­
стоянная, то ЗТВ в совершенном газе будет автомодельной [1, 2 ] . Дей­
ствительно, среди определяющих параметров задачи имеются лишь две
постоянные E
([EQI^ML^' ! - )
И
А
с независимыми размерностями.
В силу автомодельности система уравнений газовой динамики, описы­
вающая возмущенные движения газа за ударной волной, преобразуется
в систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Если ввести
безразмерные переменные
Ш
1
1
3
2
Q
то для новых искомых функций / (X), g (X), h (X) из уравнений газодинамики
(1. 18)—(1. 20) получим систему трех обыкновенных уравнений
* ( / - * ) / ' + Ä ' + ^ / g = 0,
(/-*)*'+(/
/
+ ^/-<'>)*=0,
(/ _ X) h' +-т (/' +
f
h
) -
v h
(2.3)
= °-
Траничные условия на фронте сильной ударной волны примут вид
Л. И. Седовым был найден [1, 2] интеграл энергии (1. 57) для системы
(2. 3), позволивший получить точное решение основной задачи при нуле61
вом противодавлении. В переменных Эйлера это решение с учетом усло­
вий (2. 4) может быть записано в виде [2—4]
г
x (
r
=
t
,
-
.
[
^
(
,
_
l
+
i
)
J
-
x
^2
Г
2(v -v
2)
Г
+ 1
\3v — 2 - т (у - 2) - « (7 + 1) Le (n - v + 2)
T
Л
£ = ф /
+
11-?.
?JJ '
т
= Х,,
п
°>
(2.6)
2
v Г - - ( ï ± l - «AT** [
LT — 1V
( 2
2
2 И - . + 2)
\ 3 v - 2 - 7 ( v - 2 ) - » ( i + 7)
x[ ^±W-,]r.
Л
(2.7)
ä l
Р2
f
2 ( v - v + 2)
Г
T
X 1 3v — 2 — 7 (v — 2) — ш (т + 1) L»
^
Б
т+ 1
v + 2)
11
П/
(VÏ —
,„ .
' ^• ^
я
( , ) = ^ ^ [ ^ ( , - 1 ^ ) ] — X
Lï — 1 \
2
*7 l 3 v - 2 - ( v - 2 ) - < o (
T
+ l)
T
Л
где
о
P4
2(v-*>)ft
5
_
ß
P
(2v^-v7~co) '
2v~a)(7 +
5
l)
2v — v ? — a>
•
Значения плотности, давления и температуры непосредственно за фронтом
ударной волны, т. е. при \—1—0,
находятся по формулам
_
25 (Е \%-Г_
25
0
fE \Wjï£Z
0
2-й)
A
r
2
=
£ s
=
2 i 2 ^
8
2 ^ ^
=
2 i 2 ^ i )
Z
)
ï
f
8
=
•>
Для скорости ударной волны и ее кординаты имеем зависимости
(О—V
D
62
r8
8
/2r
8
- % = -i= (S)' ~= (âf ^ •
2 12
<->
Решение (2. 1)—(2. 5) описывает поведение газодинамических функций
за фронтом ударной волны, распространяющейся в покоящейся среде
с переменной плотностью. Из структуры этого решения следует, что оно
записано через параметрическую переменную и, причем X (1) = 1. Пара­
метр .а, входящий в решение задачи, зависит от у, о>, v и определяется
из интегрального закона сохранения энергии
о
Учитывая (2. 1)—(2. 13) из интегрального закона сохранения
(2. 14), получаем формулу для определения a (v, у, ш):
энергии
1
О
Из формулы (2. 15) следует, что а является функционалом от решения.
Если примем за лагранжеву координату начальную координату ча­
стицы £, то, учитывая, что на фронте ударной волны г = Î, из условий
на сильной ударной волне и формул (2. 11)—(2. 12) находим для величины
р/р , которая сохраняется в частице,
2
г
Р_
4*(Т-1)тДо
(2.16}
Решение (2. 5)—(2. 10) и соотношение (2. 16) позволяют найти связь
между лагранжевой координатой I, временем t и параметрической пере­
менной fi:
V
* \
f
2 ( v
3
v
_ _ 2 -
T
T
- v +
2)
( v - 2 ) - o > (
Г
T
+
l)
Т+
Lî(vT«v
1
_
+ 2)
Jl*
/о
Hi '
! ч
7
1
'
где
ße =
2
Т
-
2 + v-
Ü>7 »
T
2v -v-f-co
Pi'
ßs =
V
T
_
2v +
w •
(
2
-
1
8
>
После того как точное аналитическое решение найдено, возникает за­
дача об исследовании его свойств в зависимости от входящих в него пара­
метров и определения значений а.
Отметим здесь лишь некоторые известные важные свойства реше­
ния [2, 3] при постоянной начальной плотности р ~ const и при у ~ 1 , 4 .
Для случая постоянной плотности параметр fi меняется от 1 до (у+1)/2у,.
если решение продолжимо до центра, причем значение (у+1)/2у соот­
ветствует центру симметрии.
Исследование распределения скоростей, плотностей, давлений и темпе­
ратур приводит к следующим выводам.
1) Так как y/i? =fiX, а параметр р., принимая значения на отрезке
[(у+1)/2у, 1] для 7 = 1,4, не сильно отличается от единицы, то вследствие
этого скорость частиц воздуха в фиксированный момент времени примерно
пропорциональна их расстояниям г от центра симметрии.
А
2
63
2) Плотность р очень быстро убывает по направлению от ударной
волны к центру симметрии. Так как на поверхности ударной волны
р2 (Т+1)/(т—1) Pi» - - Р Т 1 А плотность за фронтом в 6 раз больше
начальной, то отсюда вытекает, что основная масса движущегося газа кон­
центрируется в довольно узком слое позади фронта ударной волны.
3) При t > 0 давление в центре симметрии всегда конечно и составляет
некоторую долю от его значения на ударной волне. Характерно также то,
что до довольно больших расстояний (около 0,5 г ) от центра симметрии
давление постоянно по r: p(r, t)œp (0, t), r ^ 0,5 r . Эту область, где для
фиксированного t давление постоянно, иногда называют «плато давле­
ний».
4) Температура стремится к бесконечности при приближении к центру
симметрии. Этот факт объясняется пренебрежением теплопроводностью,
которая оказывает существенное влияние на распределение температур
в окрестности центра.
Отмеченные для случая у = 1 , 4 особенности в распределении скорости,
давления и плотности по пространству следуют из решения (2. 2)—(2. 10)
и графиков основных функций, приведенных на рис. 4—7 (см. § 2 наст,
главы).
===
т
е
П
И
=
2
2
§ 2. Зависимость точного решения
от параметров
у, v
2.1. Зависимость решения для постоянной начальной плотности
от параметров у и v. При исследовании зависимости решения (2.2)—(2.10)
от у и v в случае ш = 0 ранее были установлены следующие важные факты [2].
Для сферической симметрии ( v = 3 ) при у = 7 давление и плотность обра­
щаются в нуль в центре симметрии. При у ^ 7 вблизи центра образуется
сферическая каверна, где р = 0 , р = 0 , причем с ростом у решение стремится
к решению для несжимаемой жидкости, рассмотренному в предыдущей
главе. В случае v = l , 2 вблизи центра давление не равно нулю при любых
конечных у. Однако оставались не решенными до конца следующие во­
просы: детальное поведение основных функций при изменении у в диапа­
зоне 1 < у ^ 7 для всех v и детальное поведение решения при у > 7.
Нами было проведено детальное исследование зависимости решения
от у, когда 1 < у ^ 7. Ниже следуют результаты этого исследования.
Во-первых, была установлена непрерывная зависимость решения (2.2)—
{2. 10) от у. Анализ этого решения показывает, что входящие в него функ­
ции непрерывны по у всюду, кроме точки у = 2 . В точке у = 2 функции g
и h не определены. Если существует конечный предел для решения при
у —> 2, то мы можем доопределить функции g и А, положив их равными
в точке у = 2 своим предельным значениям.
Далее, можно определить решение задачи при у-~2 непосредственно
из дифференциальных уравнений и граничных данных. Если найденное
решение совпадает с функциями, полученными предельным переходом,
то это будет означать непрерывную зависимость решения в точке у — 2 .
Так как непрерывная зависимость решения от у имеет место для всех дру­
гих значений у £ (1,7], то решение будет непрерывно зависеть от у.
64
Рассмотрим предельный переход по у для зависимости g (jx). И З фор­
мулы (2. 7) следует при ш = 0
т+ 1
X
1 - 1
f
2 ( v
T
- v +
2)
Г
Т+
1
_
v + 2)
llß«
,
2
1
9
,
После простых преобразований эту формулу можно привести к виду
= У=\
2Т
2т
8Ь)
(.,
/
Т+
1МЧ
l\lßsr
2Т "Л
2 ((vf
2
v f—
- vv +
2)
2)
^
Ä
L 3 v - 2 - i ( - 2 )
(v +
X
T +
( T - l ) ( v T ~ v +
l
2)
.5 ( v T - v +
3v —
2)
2 ( v
2 — 7 (v — 2)
2) (т +
1)
- v +
2)
T
7 + 1
Последний сомножитель может быть преобразован к следующему виду:
\ + i_ Г
J
2v(T+l) 1—^
[(T+l)/2]-lx^
v + 2
х
где
ж
1
- ^) ( + ) К v
= (т
2
v (т +1) (2 - Y)!" -
1
Таким образом, мы ищем предел следующего выражения:
x ^ {
a
^ : ; + ü
2
)
( ^ ±v +i f2) - , r } x
2V(Y+1)
ХНт(1+1У"^~
[(т+1)/2]
х->со
у-»2
-
|1
<
Переходя к пределу, находим
,(
r t
(v-2)/(v+2)
= 3[4(^4)-"-[2(i-,)
6v
exp
v +
1 — jx
2 3
.
(2.20)
Аналогично можно получить предельные зависимости и для А(^), ^ (р),
причем предельный перевод в À (jx) совсем тривиален. Для (fx) мы будем
иметь выражение типа (2. 20).
Если же мы подставим значение у = 2 в условия на ударной волне (2. 4)
и проинтегрируем систему (2. 3) с условиями (2. 4), то получим решение
X = ^ ) [ 2 ( 4 - p ) ^
/ г =
|^^
+ 2
)[2(|—,)]
2 (
-
J
[ 4 ^ - | ) f -
2 ) / (
'
+ 2 )
е
Х р
4
6v
"v +
,
1
— [X '
(2. 21)
2 3
где выражение для g (fx) совпадает с формулой (2. 20). Из сравнения реше­
ния (2. 21) и решения, полученного предельным переходом при у - > 2,
5
Тр. Математ. ин-та, т. G X I X
65
следует, что эти два решения совпадают. Аналогично будут совпадать
предельные значения функционала a (v, у) с соответствующим значением,
полученным для функций (2. 21). Отсюда следует, что решение (2. 5)—
(2. 13) непрерывно зависит от у.
Таким образом, доказана следующая теорема.
Т е о р е м а 2. Решение основной задачи о сильном взрыве в газе посто­
янной начальной плотности непрерывно зависит от показателя адиабаты у
при изменении у в интервале (1, 7).
Этот результат был впервые опубликован в работе [5].
Отметим еще в случае у = 2 формулу для безразмерного давления в цен­
тре взрыва, т. е. при ^ =
^о
= 3
/4
:
h (JJL) = |-34(v-l)/(v+2)4(2-3,)/(v+2)^2v/(v+2)
0
^ . 22)
#
Из этой формулы следует, что давление в центре конечно при любых
значениях v и отлично от нуля. Проведенный анализ устраняет всякие
сомнения в поведении решения, записанного в форме (2. 5)—(2. 13) при
у - > 2, и дает полное решение задачи при у = 2 , которое будет использо­
вано при исследовании задач МГД.
Было проведено исследование влияния у на функции / (X), g (X), h (X),
a (v, у). Ввиду того, что точное аналитическое решение задачи о силь­
ном взрыве дается достаточно сложными аналитическими формулами,
была выполнена работа по составлению таблиц автомодельных функций [6].
В этих таблицах даны значения искомых функций для следующих вели­
чин у: 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; / ; 2, 3. Был проведен также расчет автомодель­
ных функций для значений у = 4 , 5, 6.
5
3
На рис. 4—7 указаны графики функций р/р , v/v , Т/Т , р / р от X
при v = 3 , характеризующие поведение решения для широкого диапазона
значений у. Здесь удается проследить весьма тонкий эффект изменения
знака кривизны функции р / р при изменении X от нуля до единицы для
4 < у < 7.
Как уже упоминалось, в решение входит энергетический параметр
a ( v , у), являющийся функционалом от решения (2. 5)—(2. 10) при о)=0.
Знание численных значений а необходимо при приложениях теории к фи­
зическим задачам. Численные значения а наиболее точно были ранее
найдены для у = 1 , 4 [2, 3 ] . Нами была предпринята работа по вычислению
с большой степенью точности параметра а для широкого диапазона зна­
чений у и v = l , 2, 3.
Чтобы представить величину численного значения, дадим нижнюю
и верхнюю оценки этого параметра. С этой целью формулу для а запишем
так:
2
2
2
2
2
1
a ( V
'
T
)
+
~ ( V + 2)2( 2-1) \\L.Р2
V
T
О
L
?2
и
\ 2
Так как р/р <J 1, р / р ^ 1, vlv ^ 1, то, заменив эти величины едини­
цами, получаем верхнюю оценку параметра:
2
2
2
^
a
66
<
16a
\
a
i —
v(v +
v
2)2( 2 — 1) •
T
Рис. 4 . Распределения относительных давлений для различных
2
— т=1,
у
1; 2 — 1 , 2 ; 3 — 1, 3; 4 — 1, 4; 5 — 5/3; 6 — 2; 7 — 3; 8 — 4; 9 — 5; 10 —
6
Рис. 5 . Распределения относительных скоростей для различных у
Обозначения см. на рис.
4
0,8
?,0
r/r
z
Р и с 6 . Распределения относительных температур для различных у
Обозначения см. на рис. 4
Рис. 7 . Распределение относительных плотностей для различных у
Обозначения см. на рис. 4
Если же примем р/р ? р/Р2» v/v равными их минимальным значениям
при А=0, то получим нижнюю оценку интеграла:
2
2
8о,Д (0)
_
а
>
а
2 —
( _ i _ 2 ) 2 2 v (у — 1 )
V
для у ^ 7. Таким образом, имеем
Здесь учтено, что v (0, t)=p (0, t)=0
4a fr (0)
v
v (
Т
_
1) (v -f-
'
^
^
2)2 ^
" ^
16<у,
v ( 7 * — 1 ) (v +
/о
2)2 '
2
5 \
V*'
5*
67
1
Для получения достаточно точных значений а интеграл, входящий
в выражение для а, вычислялся численно. Заметим, что расчетом a (v, у)
занимался также американский ученый Джонс [8], но приведенные
в этой работе значения а даны для узкого диапазона значений у и оказа­
лись ошибочными (исправления даны в работе [8]).
При приближенном вычислении интеграла, входящего в формулу
для а, при а < 7 наиболее простой путь заключается в следующем. Преобра­
зуем подынтегральное выражение, воспользовавшись интегралом энергии
а
a * L ( * ^
=
A
(2.24)
f
о
где
Интеграл, входящий в (2. 24), вычисляется по правилу трапеций
с неравномерным делением отрезка интегрирования по X. При использо­
вании ЭВМ для вычисления интеграла точки деления по X выбирались
следующим образом. Отрезок интегрирования по ti, [ ( у + 1 ) / 2 у , 1 ] делился
на п частей, затем в соответствии с формулами ( 2 . 5)—(2. 8) в этих точках
вычислялось подынтегральное выражение и находились точки деления
отрезка [0, 1 ] по X. После чего интеграл вычислялся по правилу трапеций.
Затем число п удваивалось и процесс повторялся. Если при увеличении
числа точек деления а не изменяется с заданной точностью, то за значение
а принимается то, которое получено при вычислении интеграла с наиболь­
шим п. При расчетах для значений у в диапазоне 1 < у < 7 число п, для
которого достигалась хорошая точность, было порядка 500. Вычисленные
с высокой точностью (четыре верные значащие цифры) значения а при
у <С 4 и разных v опубликованы в таблицах [ 6 ] . Заметим, что непосред­
ственный расчет интеграла (2. 24) по переменной \х возможен, но здесь
следует применять специальные квадратурные формулы, ибо подынте­
гральное выражение будет иметь (интегрируемую) особенность при р =
= ( у + 1 ) / 2 у . Из дальнейшего будет следовать, что при у = 7 , v = 3 интеграл
в (2. 24) вычисляется точно.
При расчете а для значений v = 3 , у > 7 интеграл целесообразно пре­
образовать к переменной
ибо в этих случаях решение не доходит до центра
и подынтегральное выражение не будет иметь особенности. В этом слу­
чае формула для вычисления а приводится к следующему виду:
(Т+1)/2
* =
^ (
7
- 1 ) 2 * (
Т
^ 7 )
2
S
1
( '
где
« = ^ - 5 ^ - 1 ,
в 68
Т
-
1
6= 3ß -l,
В —В I
с= ^ -
8
7 +
1
2
2
,
2 4 а
>
Интеграл, входящий в формулу (2. 24а), можно вычислять по любому
стандартному методу.
Некоторые результаты расчета а по формулам (2. 24), (2. 24а) для зна­
чений v = 3 и j > 3 приводятся ниже.
Y
а
Y
а
4
0,076625
7,3
0,025956
5
0,050894
8
0,022161
6
0,036676
9
0,018122
7
0,027925
10
0,015155
7,1
0,027248
11
0,012899
Так как в приложениях могут встретиться значения, у, отличные от
приведенных в [6] и выше, то нами была проведена работа по аппрокси­
мации табличных величин аналитическими формулами вида
ä
а=
(у — 1) »+*.H?(Y-I)
a= Ä *
(
Т
2),
(ï>2).
l T
В результате вычисления й к , & и х по методу «средних величин» и ме­
тоду наименьших квадратов [9] получены следующие значения:
1?
2
3
v= l
1,1<Т<
3
A„=l,52<>/ ,
0
= 0,36011,
к — —1,2700,
к = —0,017912,
2
3
1,2< <2,
т
Л = 0,46<>/ ,
а
0
к, = 0,36011,
к = —1,2537,
к = —0,18471;
2
3
v=
2
1,1<Т<3.
Д = 1,55о/ ,
0
в
к, =
0,34649,
6 = —1,19796,
6 - —0,14134,
2
3
1,2< <2,
т
Д. = 0,34%,
=
0,56235,
А = 1,1768,
= —0,13945;
к
3
т<з
v = 3,
1,1<Т<3,
^ = 1,38%-
=
0,30774,
/с = —1,1598,
/с = —0,11917,
2
3
1,2< <2,
т
Д = 0,30<>/ ,
а
0
=
:—1,1409,
0,49210,
& =:—0,11735;
3
v = 3,
Т>2
2,5 < у < 11,5, Д = 0,50%,
а
& = 1,238,
х = —2,1448 + 0,2325 l g у.
1=
Здесь через Л обозначена максимальная относительная погрешность,
даваемая соответствующей формулой в точках табличных данных для
указанного диапазона изменения показателя адиабаты у. Эти формулы
могут быть использованы для расчетов, в которых не требуется знать а
с высокой точностью.
2.2. Об аналитических свойствах решения в окрестности центра
симметрии для случая постоянной начальной плотности. Для решения
линеаризированной задачи о точечном взрыве с учетом противодавления,
которая будет изложена в главе 3, и для изучения поведения решения
общей неавтомодельной задачи (с учетом противодавления) вблизи центра
а
69
симметрии необходимо знать представление решения автомодельной
задачи с помощью рядов по степеням X. Такого рода представление также
может быть полезным при вычислении функций / , g, h для малых значе­
ний X.
В § 1 этой главы указано, что зависимость X от параметра \х имеет
вид (2. 5), (2. 10):
2
1_,Г^Г
[
( y y - v + 2)
У - 2 -
3
/ (v + 2 ) ( + l)
V 2 ( У - У + 2)
\>ß+ 2 /
7 + l\~f>
Lï^V^ ~2ГЛ1 '
Т
T
( У - 2 )
7
Т
~^)]
-
Будем рассматривать решение при у <С 7, т. е, случай, когда решение
доходит до центра симметрии. В центре симметрии имеем X = 0, jx =
— | х = ( у + 1)/2у. Преобразуем формулу для X, возведя ее левую и пра­
вую части в степень l/ß :
0
2
-
t i l - a-2/(v 2)ß /
+
_
2
2 И - v + 2)
— T - l ^
2
Так как зависимость ß
то получим
2
T
2=
1/i3
s
s
2
Введем обозначение X * = X " = х.
записать так:
Ф (X,
f.) =
S -
A
T
\ W
- v + 2)
*VJ
•
2
, +1
7— 1
2
V 2 ( v
от у и v имеет вид ß = (y — 1)/[2(у — l) + v],
v
J - =
ß
/ ( v + 2) (т + 1) _
; L 3 V - 2 - T ( V - 2 )
рг*/С*«>Ь
( [ i
_
^
+ 2,
1
$=—
y —I
e
Тогда соотношение для
МОЖНО
х
X
Уравнение (2.25)
определяет fx как
неявную функцию от
причем
ф(о, ig=o,g(o, )^o.
b
Из вида функции Ф
fx) следует, что Ф
fx) разлагается в ряд по
степеням
—р. . Из теории неявных функций известно, что в этом слу­
чае функция р(х) также будет разлагаться в сходящийся (в окрестности х=0)
ряд по степеням х. Используя теорию рядов, можно найти явную зависи­
мость коэффициентов разложения функции fx по степеням х от величин у и v.
Уравнение (2, 25) можно записать таким образом:
0
а—а
1 г с Т - У г ^ Г
f * - P o +
*
2
т
f*
A
;
Р
2
2 ( У Т - У + 2)
[ З У - 2 -
Т
( У - 2 ) Л
/ ( у + 2)(у +
2 ( У
Т
1)
- У + 2)
Vf
~
*7 J
Ж
'
(
'
В теории рядов доказывается [ 1 0 ] , что если функция у (х) определя­
ется уравнением у=а+х$ (/у), где функция ф (у) разлагается в ряд по
степеням у—а, то разложение функции у (х) в окрестности х=0 имеет
вид
у
«
а+
(а) +
(а)] +
. .. +
£
^
Этот ряд является частным случаем ряда Лагранжа.
70
[ф«
(а)].
Применяя эту формулу к неявной функции р. (х), определяемой урав­
нением (2. 25а), находим разложение \х по степеням х в окрестности х=0:
а - ц
р._ц
I д Т - ^ ^ а - Г
0
+ Х ^
fV
2
2 И - v + 2)
L
3 v
_2_-
/ ( у + 2) (т + 1)
„VfЛ
( v _ 2 ) l 2(v-f-v + 2)
f
f/Tf-iy
,
+
NJ
2 (n - v + 2)
p
3v — 2
—-y(v — 2 ) X
По указанному выше правилу можно с помощью дифференцирования
найти любой член этого ряда. Так как / = 2 [ х Х / ( у + 1 ) , а # = X , то полу­
ченная формула для fx дает возможность получить разложение функции
/ (X) в ряд по степеням X. Используя соотношение (2. 256) и формулы
(2. 5)—(2. 9), можно найти также разложения g (X), h (X) и 9 (X) в ряды
по X. Эти разложения имеют вид
S + 2
a
/ № =
Ч° + i
x s + 2
0
x
+ ^
2 < s + 2 )
s+2
^() = ^^(s + ^ + ^
* W = т+ч ( o + i
8
x s + 2
9
x m
x
8
7
( )=
C»lo + î i
8
+ ^
+ ^
2 ( s + 2 )
2 ( 8 + 2 )
+ • • • ).
2(s+2,
+ ..-),
+ •••)•
+
•••)•
Зависимости коэффициентов o , a , § , o , 8 a от величин у и v даны
в [3] и здесь не воспроизводятся. Используя приведенные формулы, можно
определить зависимости о., а„ 8
от у и v. Вид разложений (2. 26)
и зависимость коэффициентов от у и v были указаны в книге Л . И. Седова
[2]. Проведенный анализ можно рассматривать как обоснование разло­
жений (2. 26) и новый подход к вопросу об определении коэффициентов.
2.3. Зависимость решения от со, v, у в случае переменной плотности.
В общем случае переменной плотности решение содержит три параметра:
<о, v, у. Рассмотрим изменение свойств решений в зависимости от измене­
ния этих параметров. Пусть, выполняется условие конечности начальной
массы в любом конечном объеме, содержащем точку г=0. Рассмотрим
массу, заключенную внутри объема между началом координат и коорди­
натой г = £:
0
0
0
x
1?
x
Л
о
КЛ1п
r\\
(<D=v),
где a = 2 (v—1) TC-f(v—2) (v—3). Очевидно, что требование конечности
массы внутри этого объема мояшо удовлетворить лишь при условии
о) < v. Из формул (2. 11), (2. 13) следует, что при ш < vc ростом времени
убывают v , р
Ударная волна замедляется. Так как р/р пропорциональна
e v, то из соотношения (2. 16) следует, что по мере распространения
ударной волны энтропия частиц за фронтом ударной волны убывает,
если о) < v/y, возрастает при о> > v/y и остается постоянной при o)=v/y
[2]. Интересно заметить, что при значениях о), лежащих в диапазоне
v/y <С <о <С Î ударная волна, удаляясь от места взрыва, замедляется,
давление за ее фронтом падает, но, несмотря на это, энтропия растет [2, 3 ] .
Этот эффект объясняется сильным убыванием плотности [2, 3 ] .
v
и
2
х
2
sjc
v
71
Из решения (2. 5)—(2. 10) следует, что параметрическая переменная ^
может измениться на отрезке
т+ 1
Т+ 1
2Т
Значение ^ = f x = l , соответствующее ударной волне (А=1), лежит
в этом отрезке, центру симметрии соответствует значение |л =(у+1)/2у.
Если CD < v, то при
2
0
ЗУ
Ü)<-
—2+
7 (2 — v)
1
Т+
решение продолжается до центра симметрии и переменная ^ принимает
значения из отрезка
т + 1< | х < 1 .
2Т
00
Если v=3 и (7—у)/(т+1) <С <С 6/(т+1)? то вокруг центра взрыва обра­
зуется расширяющаяся с течением времени сферическая полость, на гра­
нице которой. ц= ^=(т+4)/2,
\ ( ï , )» плотность, давление и тем­
пература равны нулю. Параметр р. изменяется в пределах 1 ^ ^ <С
^ (Т+1)/2. Асимптотические формулы для нахождения основных функ­
ций вблизи центра симметрии и в окрестности сферической полости при­
ведены в [2, 3 ] .
Е. В. Рязановым и автором [5] проведено исследование поведения ре­
шения в окрестности особых значений со, у, т. е. при тех значениях со и у,
для которых обращаются в бесконечность либо коэффициенты правых
частей формул (2. 5)—(2. 10), либо показатели ßy (у—1, 2, . . ., 5).
Оказалось, что существуют следующие три особых значения:
(i)
ЗУ
—
2 + т (2
— У)
а
2 ( 7 - 1 ) + *
:v(2- ).
T
—
(2.27)
т+ 1
Решение задачи для первого особого случая, когда о)=(о
вано Л. И. Седовым [2]. Оно имеет простой вид:
J
Ô
7+ 1 '
W
Т+ 1
7—1
'
было исследо­
1э
(2. 28)
7 +
Вид решения в двух других случаях, т. е. при со=о) , ш=а) , и непрерыв­
ная зависимость решения от параметров у и со в окрестности кривых
ш (у) И (Dg (у) устанавливается так же, как это делалось для случая Ü> —0,
у = 2 . Мы приведем здесь лишь вид решения для случая со=о) . Это реше­
ние будет иметь вид
2
3
3
2
2
27
vy-v+2
7 + 1>
LT
7-1
vY-v+2 e x p
7+ 1
V7—.V + 2
Т+ 1
2
.
T
, v
Т+1
2(V-2+2Y)
V7-V+2
v-2(7+l)
VÏ
~
V+2
X
(2. 2 9 )
' 4-V-27
2 (Т + 1)
X
V
'
72
1 -
T —
У+
2
7+ 1
2Т J
»
I
\
,
2vY
_
vY-v+2 Г
7(v-2)
2
/т
+
1
vy
Y
2\
В третьем особом случае, т. е. при Ü ) — v ( y — 2 ) , вид решения будет
аналогичен случаю у = 2 , рассмотренному выше, и здесь не воспроизво­
дится. Отметим, что для особого случая ( D = O ) энергетический параметр
3
1
(230)
2а, (7 + 1) _ _
• ( 7 - 1 ) ( V 7 _ V + 2)2 •
V
Для произвольных у, CD параметр а может быть определен численно.
Заметим также, что на основании теоремы 1 из решения (2. 5)—(2. 10)
можно получить путем предельных переходов по 8 и преобразований
сдвига по времени (или координате для v ~ l ) вид решений в случае дви­
жений, предельных к автомодельным. Непосредственным интегрированием
соответствующих инвариантных уравнений газовой динамики эти реше­
ния получены H. Н. Кочиной [ И ] .
§ 3. Задача о сильном взрыве в газе
при нулевом градиенте температуры
3.1. Задача о точечном взрыве для уравнения нелинейной теплопро­
водности. Решение задачи о.сильном взрыве (2.5)—(2.10) для случая
адиабатических возмущенных движений, описываемых уравнениями (2. 3),
характеризуется большими градиентами температуры. При 1=0 (<D=0) тем­
пература в центре взрыва бесконечна и растет при приближении к центру
пропорционально r"
. Это распределение температур не соответ­
ствует реальному распределению, ибо при существенных градиентах
температур и высоких температурах большую роль играют процессы
теплопроводности, в первую очередь, лучистой теплопроводности [12].
Поэтому представляет интерес рассмотреть другие модели распростра­
нения возмущений при точечном взрыве, простейшей из которых является
модель нелинейно теплопроводного тела. Задача о распространении тепло­
вой волны для среды, коэффициент теплопроводности которой зависит
от температуры по степенному закону, подробно рассмотрена в [12]. Поста­
новка задачи аналогична рассмотренной в § 7 главы 1 для обычного урав­
нения теплопроводности. Требуется найти решение уравнения (1. 44)
с начальным условием (1. 152). Решение этой задачи для произвольной
зависимости ^ (Т) и отличной от нуля начальной энергии и (и=р е) доста­
точно подробно не исследовано. Пусть теперь ^ = у. и , u\ =0
(г}>0),
где х — постоянная с размерностью [х ] = L
Т М~ .
v/(T_1)
0
п
0
N + 1
0
2п
t==0
п
0
Уравнение (1. 44) примет вид
dt — * r
i
0
dr
V
дг)'
В задаче имеется всего две размерные постоянные х и Е , т. е. она авто­
модельна.
0
0
73
Заметим, что мы должны учесть интегральный закон сохранения энер­
гии (1. 165) и условие на бесконечности u\
= 0. Решение будет зависеть
от одной безразмерной переменной
r=œ
(2. 31)
M* £go
1 / ( v w + 2 )
'
0
Это решение для случая v = l и v = 3 исследовано в [ 1 2 ] . Оно имеет вид
и
=
е
(1
2
X) и (1 - А )*/*,
0
(2. 32)
где е ( 1 - Х ) —- единичная функция, и =и (О, t) — значение энергии и
в центре.
Передний фронт волны возмущения, или фронт тепловой волны, рас­
пространяется по закону
0
где Х — известная постоянная, определяемая по интегральному закону
сохранения энергии. При п > 1 из решения (2. 32) следует, что энергия
и слабо меняется в области, близкой к центру, и лишь вблизи Х = 1 , т. е.
г = г , резко убывает, обращаясь в нуль. Если считать, что и~Т', то ана­
логично будет вести себя и температура.
В приближении нелинейной теплопроводности мы не учитываем дви­
жение газа. Для сильного взрыва в газе это справедливо лишь в самой
начальной стадии процесса [ 1 2 ] .
Если коэффициент х весьма велик, то уравнение (1. 44) можно прибли­
женно заменить на ди/дг=0 или (так как и=и (Т)) на
дТ/дг=0.
Таким образом, приходим к условию нулевого градиента температуры
или внутренней энергии. Решение здесь будет даваться выражением
0
2
и = и (0, t) ~и
0
(г<^г ).
2
(2.33)
Итак, в средах, где имеется сильный теплообмен между частицами среды,
в качестве приближенного условия можно принять условие нулевого
градиента температуры.
Определение.
Процессы, для которых выполнено условие
дТ/дг=0
(Т=Т (t)), будем называть гомотермическими. Заметим, что
если r = c o n s t , то гомотермический процесс совпадает с изотермическим.
3.2. Сильный взрыв при нулевом градиенте температуры. Рассмотрим
теперь задачу о сильном точечном взрыве, когда вместо условия адиабатичности течения за фронтом ударной волны предполагается наличие
интенсивного теплообмена. Вследствие этого примем, что в области дви­
жения газа отсутствует градиент температуры, т. е. дТ/дг=0.
Это предпо­
ложение о характере течения соответствует начальной стадии развития
взрыва большой мощности (например, атомного взрыва), когда в области
течения газ имеет высокую температуру, и вследствие излучения и тепло­
проводности происходит сильный теплообмен между частицами газа.
В атомном взрыве это будет соответствовать, примерно, той стадии раз­
вития взрыва, когда фронт ударной волны еще не оторвался от огненного
шара. В силу указанных предположений температура в области течения
зависит только от времени и не зависит от расстояния до центра взрыва,
т. е. Т=Т (t), и течение будет гомотермическим.
74
Будем считать, что начальная плотность р покоящегося газа постоянна.
Постановка основной задачи о сильном взрыве для гомотермических дви­
жений и ее решение в случае v = 3 было впервые опубликовано в нашей
работе [13]. Подробный анализ для всех v опубликован в [3]. Случай
сферической симметрии был независимо рассмотрен в работе О. С. Рыжова
и Г. И. Таганова [14].
Система уравнений в частных производных, описывающая рассматри­
ваемые одномерные неустановившиеся движения, имеет вид
х
d
v
.
d
v
v
.
i
d
p
dT
n
0
Tt+ Tr
+ JTr = '
А
dF = °>
(2. 34)
= 0.
Из первого уравнения этой системы с помощью уравнения состояния
совершенного газа
p = RT
(2.35)
9
исключим давление, тогда система (2. 34) примет вид
dv
.
dv
.
dp
R T
v
=
Tt + Tr+T^
dT
п
0
>
^
n
=
0
'
,
2
3
6
= 0.
A.- + "5F + P
Если начальным давлением p пренебречь, то система определяющих
параметров в этой задаче будет иметь вид г, £, /? > Pi> Y» причем постоянная
7 оказывается существенной лишь при подсчете баланса энергии.
Это движение газа является автомодельным. Все безразмерные харак­
теристики течения можно рассматривать как функции следующих пара­
метров:
±
0
2
где Е — постоянная с размерностью энергии [Е] = МЬ^Т' ,
связанная
«с энергией взрыва Е формулой Е — аЕ, а — некоторая постоянная.
0
0
Так как для ударной
мени t, то r — X ( £ / p )
2
2
волны координата г
1/(v+2)
1
^
2 / ( v + 2 )
2
является функцией вре­
. Постоянную а определим из условия,
что Х = 1 на ударной волне. Тогда для X имеет место формула Х = г/г .
2
2
Для скорости распространения ударной волны получим
2
ли
—
v +
II—
t—
2
2
Ш r-v/2 _
v + 2VpJ
2
2
/iv
+2)
r^
/(vf2)
~v+2Vpi/
Введем вместо переменной X новую независимую переменную Л по формуле
Л = фх,
(2.37)
1
где 0 — некоторая постоянная. На ударной волне Л = I/O /«, так как Х == 1.
2
2
2
Для скорости, плотности и температуры можно написать формулы
У
= 6£Д/(Х)-р =
Р1в
г(М,
T= ^ D \
(2.38)
где /(X) и g (к) — безразмерные скорость и плотность.
75
Используя связь (2. 38) между размерными и безразмерными перемен­
ными и формулы д/дг = ( 1 / \ Д ) r {didA),
d/dt = — (DA/r )
(3/ЗЛ), си­
стему (2. 36) можно преобразовать в эквивалентную ей систему обыкно­
венных уравнений
2
.£.•=: ( Л - / ) / ' + у / ,
2
/* = ( A - / ) - Ç + (v_2)£.
(2.39)
Штрих означает дифференцирование по Л. Если ввести безразмерно дав­
ление h по формуле р = р (r /£ ) h (Л), то из (2.35) и (2.38) получим
2
2
2
Л
2
Л
2
^( ) = ( т т 2 ) ^ ( ) -
4 0
( - >
Это уравнение дает возх\южность найти давление Л (Л), если известна
функция g (А) и постоянная 6 .
Заметим, что из (2. 39) путем исключения g /g можно получить урав­
нение для нахождения / ( Л ) :
2
f
y A / ( A - / ) - ( v - l ) /
/' =
А - [ 1 - ( А - / )
2
-
Ч
< '
4 1
>
Из первого уравнения (2. 39) находим
Интегрируя это уравнение от некоторого Л до Л , получаем
2
А
1 п
(Я - ^ +
Т = Т
Л
/ - 2/ + ^
J
Л
2
/dA,
(2. 42)
где д ж / — значения gr и / на ударной волне.
При v = 2 соотношение (2. 42) дает первый интеграл * системы (2. 39):
2
2
) + Л / - Л
2
1 п ^ = | ( / 1 - /
2
/
2
.
(2.43)
Из всего изложенного вытекает, что решение задачи о сильном взрыве
при нулевом градиенте температуры по существу сводится к нахождению
функции / (Л) из дифференциального уравнения (2. 41). Если функция
/ ( Л ) найдена, то зависимость g (А) определяется по формуле (2. 42) или
(2. 43). При этом функции/и g должны удовлетворять определенным гра­
ничным условиям. Выведем эти граничные условия.
Из закона сохранения количества движения и закона сохранения масс
при переходе через фронт ударной волны имеем
D*
Pl
=
р (и 2
Df
2
+
i?p r ,
2
-
2
P
i
D
=
р „
2(
2
_
д).
(2. 4 4 )
Переходя в (2.44) к безразмерным переменным по формулам (2. 37), (2. 38),
получим граничные условия для / (Л) и g (Л) при Л = Л :
2
/
2
( А
О Г
2
2
) - 4 ( Л
( Л
2
2
+ \/Л|*=Г4),
) = ^ .
(2.45)
(2.46)
* Этот интеграл другим способом был впервые найден M . Л . Лидовым и сообщен автору.
76
Кроме того, из условия равенства нулю скорости в центре симметрии
имеем еще одно граничное условие для / (Л):
/ ( 0 ) = 0.
(2.47)
Из граничных условий на ударной волне следует, что решение уравне­
ния (2.41), удовлетворяющее условию (2. 45), параметрически зависит
от величины А =1/Щк
Величину Л следует выбрать таким образом,
чтобы интегральная кривая / ( Л ) удовлетворяла граничному условию
{2. 47). Кроме того, из (2. 45) следует, что для Л должно выполняться
условие Л ^ 2.
Нужно отметить, что в рассматриваемой задаче безразмерные функции
/, g не зависят от у, что следует из системы уравнений (2. 39) и граничных
условий (2. 45)—(2. 47). Влияние величины у скажется только при подсчете
баланса энергии.
Выразим постоянную Е, входящую в формулы для характеристик
движения, через энергию взрыва Е (равную в принятой постановке
полной энергии возмущенного газа). Для полной энергии имеем формулу
2
2
2
2
0
-Чг.
Здесь первый член соответствует кинетической, а второй — тепловой
энергии газа. Переходя к безразмерным переменным, получим
Л.
А,
2
(2.48)
Для вычисления вторых членов в квадратных скобках можно восполь­
зоваться соотношениями, вытекающими из условия сохранения массы
приведенного в движение газа,
a j r^'idr^r^rl
(2.49)
v
о
В безразмерных переменных формула (2. 49) примет вид
(
°-v_
Л
дА-ЧА
= ^-.
(2.50)
V
J
2
0
Учитывая (2. 50), формулу (2. 48) можно записать так:
Е
/
Е
Vv +
0
2
\ 2
2/
q
v
Л 2
Г <
|[ A
УJ
1
1
(2.51)
v(7 — 1 )
где
e
v
=
j
vÇLtf-idA.
*
(2.52)
о
Формулы (2.51), (2. 52) дают выражение постоянной Е через энергию
взрыва Е и величину у.
0
77
Перейдем к рассмотрению конкретных частных случаев этой задачи.
Исследуем решения уравнения (2.41), которое запишем как
T
y S . - / ) A - ( v - l )
f'=
f
1 - ( А - / ) .
2
Х -
( "
5 3
>
Для исследования поведения решения уравнения (2. 53) рассмотрим поло
интегральных кривых этого уравнения при различных значениях v. Это
даст нам возможность из множества интегральных кривых найти един­
ственную интегральную кривую, которая удовлетворяет граничным
условиям (2. 45) и (2. 46).
а) Случай сферической симметрии. При v = 3 уравнение (2. 53) в инте­
ресующей нас области плоскости Л, / имеет следующие особые точки:
О(0, 0),
А{\,
0),
В = (±,
1).
Особая точка О является седлом. В нее входят две интегральные кривые:
прямая Л = 0 и прямая / = 0 . Особая точка А — узел, причем в точку А
входит интегральная кривая f=0. В особой точке В имеем седло, в нее
входят две интегральные кривые с наклоном касательных: ^ = 1,3624,
iVa=0,4624. Граничное условие на ударной волне
/ (Л^ = 1(Л + ^Л1=4)
2
2
дает в плоскости Л, / кривую, которую должна пересекать искомая инте­
гральная кривая.
Полная картина поля интегральных кривых представлена на рис. 8.
Из рассмотрения поля интегральных кривых следует, что единственной
кривой, которая может удовлетворять всем граничным условиям, будет
кривая ОАВС, начинающаяся в точке О (0, 0), проходящая через особые
точки А и В и пересекающая кривую / (Л ) в точке С.
б) Случай цилиндрической симметрии. При v = 2 из уравнения (2. 53)
имеем
2
/
/
—
А
2
А ( А - / ) - 1
1 ~ ( Д - / )
2
2
'
(
5
,
}
Для конечных значений Л это уравнение имеет две особые точки О (0, 0)
и Л (1, 0). Особая точка О — седло. В эту точку входят прямые Л = 0 ,
Рис. 9. Поле интегральных кривых при v = 2
Обозначения см. на рис. 8
Рис. 10. Поле интегральных кривых при v = l
Обозначения см. на рис. 8
/ = 0 . Точка А есть особая точка рационального характера [15]. Крити­
ческими направлениями, т. е. направлениями, вдоль которых кривые
входят в особую точку, являются i V \ = 0 , i V = l . Вдоль каждого из этих
критических направлений в особую точку входит по одной интегральной
кривой. Поле интегральных кривых уравнения (2. 54) изобрая^ено на
рис. 9.
Решению задачи соответствует интегральная кривая ОАС. Эта кривая
выходит из точки А с наклоном N =l
и пересекает граничную кривую
/ (Л ) в точке С.
Расположение интегральных кривых в плоскости / , Л для цилиндри­
ческого случая отличается от сферического тем, что особая точка В (рис. 8)
для задачи с цилиндрической симметрией отсутствует. Как будет показано
ниже, это же обстоятельство имеет место и при v = l .
в) Случай плоской симметрии. В случае плоской симметрии имеем
2
2
2
2
2
2[1 ~ (/-A2)J •
/
5 5
( * )
A
Картина интегральных кривых уравнения (2. 55) дана на рис. 10. Для
конечных Л и / уравнение (2. 55) имеет единственную особую точку
А (1, 0) — седло. В нее входят две интегральные кривые с наклоном каса­
тельных Л = / , N =0.
Кроме того, уравнение (2. 55) имеет тривиальное
решение f=0. Интегральная к р и в а я / = 0 входит в особую точку А. Таким
образом, от центра симметрии до кривой / (Л ) можно пройти так: отточки
О до точки А — по интегральной кривой / = 0 , от точки А до точки С —
по интегральной кривой, выходящей из особой точки А с наклоном
г
5
1
4
2
2
2
5
^i= / .
4
Проведенное исследование полей интегральных кривых показывает,
что для полного решения задачи следует найти зависимость / (Л), соответ­
ствующую искомой интегральной кривой, проходящей через особые точки,
и определить точку пересечения ее с кривой / ( Л ) . Эта задача была ре2
2
79
Рис. 11. Зависимость безразмерного давления и плотности от X
1 — v=3; 2 — v=2; 3 — v = l
Рис. 12. Зависимость безразмерной скорости от X
1 _
v=3; -2 — v=2; 5 — v = l
шена с помощью численного интегрирования уравнения (2. 53). В резуль­
тате расчетов были получены следующие значения констант А и 0 :
2
Л
2
=
2,024,
%=
0,244
(v =
3),
Л
2
=
2,040,
6 =
0,240
(v =
2),
= 2,076,
е =
0,232
(v =
l).
А
2
2
2
2
В соответствии с уравнением (2. 42) была найдена также зависимость
9 (А).
Результаты решения задачи для всех трех симметрии представлены
на графиках — (X), — (X), — (К) (рис. 1 1 и 12). Полученное решение харакР2
Р2
и
2
теризуется, во-первых, тем, что вблизи центра до значения г*=9!/т
существует область покоящегося газа. Эта область расширяется с течением
времени. В плоскости / , Л этой области соответствует интегральная кри­
вая / = 0 . Для г > г скорость газа направлена от центра и меняется с рос­
том г по закону, близкому к линейному. В центральной покоящейся об­
ласти плотность газа постоянна, давление и температура изменяются
с течением времени пропорционально
д
значений г > Щ*г
плотность и давление с увеличением г растут, достигая максимальной
величины на фронте ударной волны. При подходе к ударной волне возрас­
тают градиенты плотности и давления. Значения параметра
лежат в ин­
тервале 1 < e < 2,5, так при v = 3 было найдено ' e = 1,088. Если
считать плотность переменной, меняющейся по закону (2.1), то рас­
сматриваемая задача остается автомодельной. Поведение решения этой
задачи для разных со исследовано Е. В. Рязановым [3]. К] оме ЗТВ,
для гомотермической модели изучались и другие задачи (см., напри­
мер, [16]).
2
#
л
v
80
я
2
v
§ 4. Об учете высокотемпературных эффектов
в задаче о сильном взрыве
4.1. Термодинамические свойства газов при высоких температурах.
При распространении сильных ударных волн в газе образуются высокие
давления и температуры. При высоких температурах на движение газа
оказывают влияние эффекты диссоциации молекул и ионизации атомов,
а также эффекты, связанные с процессами излучения.
Будем считать- процессы диссоциации и ионизации равновесными и из­
лучение пока не учитывать. Рассмотрим как пример случай однократной
ионизации двухатомного газа, т. е. когда перед фронтом ударной волны
можно принять 7 = 1 , 4 . Для термического уравнения состояния смеси
частиц газа можем написать
p = 2/cnjT,
(2.56)
где / = 1 , 2, 3, 4; щ—щ — числовые плотности нейтральных атомов,
молекул, положительных ионов и электронов соответственно, причем
в силу квазинейтральнЬсти щ=п ; к — постоянная Больцмана.
Для химически равновесного процесса А ^
п А -\-п А -{-п А +щА^
имеют место соотношения закона действующих масс [17]
3
2
1
1
2
2
3
3
т., "2
JtL dJ^-kTY
=
«2
\
m
г
i
I
1
^
_
exp (- lkT)
4j
3
Г
=î
'2
=!
(—W jkT)
С - е у / А Г ) " exp
exv(-BoJkT)]exp(-WJkT)
"%exp
ГУ
(2.57)
,
2
- j
exp
4?
(—B lkT)
3J
exp (—WJkT)
и
/ 2 * * ™ .
5
8
J
где rrij — массы частиц, W — энергия ионизации, т. е. энергия, необхо­
димая для ионизации атома А при Г = 0 ° К , W — энергия диссоциации,
т. е. энергия, необходимая для диссоциации молекулы при Т=0° К ,
h — постоянная Планка, е .. — энергия частицы А. в различных состояниях.
Для массовой плотности газа имеем
x
1
2
#
Р = 2ту»у.
j
2
( -
5 9
)
причем mjm
<^ 1, m œ m .
При известных значениях p, р формулы (2. 56)—(2. 59) позволяют опре­
делить неизвестные величины п , п , щ и Т. В уравнении движения газа
термодинамические свойства газа входят через зависимость между внутрен­
ней энергией, плотностью и давлением. Для внутренней энергии е можно
написать соотношение [12, 17, 18]
3
2
3
г
2
ре = 4 пкТ + 2 Щ (щ + w<),
(2. 60)
i
где
2
и. -=kT -^r
^ = 2ехр^-,
In
z
4
= l ,
(2.61)
у
6
YV
2
,
^2
Тр. Математ. ин-та, т. G X I X
ш
2 81
Простым примером газа, для которого имеет смысл решение задачи
о взрыве с учетом эффектов при высоких температурах, является водород.
Для случая водорода формулы (2. 56)—(2. 61) дают термодинамические
функции вплоть до полной ионизации. Здесь, правда, не учитываются
кулоновское взаимодействие и факты появления отрицательных ионов
[19, 20], но этими эффектами можно в ряде случаев пренебречь.
Для более сложной смеси газов и многократной ионизации атомов
формулы для расчета термодинамических функций сильно усложняются
[12]. В настоящее время расчет термодинамических функций воздуха
в широком диапазоне температур и давлений выполнен Н . М . Кузнецовым
[21]. Для получения грубых оценок и приближенного учета влияния
процессов ионизации и диссоциации на изменения температуры и плот­
ности можно прибегнуть к следующим приемам.
1) Считаем газ совершенным с некоторым средним «эффективным»
показателем адиабаты у. Проведенные различными авторами оценки
показывают, что в стадии сильной ударной волны эффективный показатель
адиабаты газов лежит в пределах 1,2 ^ у ^ 1,3. При этом термодинами­
ческие функции газа сводятся к таковым для совершенного газа с постоян­
ными удельными теплоемкостями. Для грубых оценок температур можно
предположить, что изменение термодинамических свойств газа при высо­
ких температурах слабо влияет на распределение давлений и плотностей
в потоке газа. Тогда, решая задачу для эффективного у и считая р и р
известными, с учетом уравнений типа (2. 56)—(2. 61) или таблиц термо­
динамических функций можем определить Т и концентрации компонент
смеси газа. Такие оценки температур для однократно ионизованного воз­
духа проводились в работе [22].
2) Для более точного учета свойств газов можно провести аппрокси­
мацию зависимости внутренней энергии s от-_р и р или от р и Т аналити­
ческими формулами и затем применять приближенные методы решения
дифференциальных уравнений. Этот прием широко используется в раз­
личных задачах газовой динамики. В приложении к сильному взрыву
в воздухе этот подход применялся в работах [23, 24].
Примеры аппроксимации внутренней энергии простыми аналитиче­
скими зависимостями даны также в [12]. В качестве приближенной фор­
мулы здесь предлагается формула вида
б = в 7У,
0
(2. 62)
е = const.
0
_3
Так, если плотность воздуха меняется в диапазоне 10р —Ю р (р —
нормальная плотность), а температуры — в диапазоне 10 °К — 2,5 X
Х 1 0 °К, то формула (2. 62) может быть взята в виде
0
0
0
4
5
(2. 63)
4
где е — значение внутренней энергии при Г = 1 0 °К, р—р .
0
0
Нами проводилась работа по аппроксимации соотношений на сильной
*' ударной волне и внутренней энергии воздуха. За основные данные о термо­
динамических функциях были приняты таблицы [21]. Аппроксимация
-82
табличных данных для соотношений на ударной волне проводилась двумя*
способами. В первом способе аппроксимировалась зависимость энтальпии
от скорости ударной волны D, во втором — зависимость давления за удар­
ной волной р от скорости за ударной волной v .
Рассмотрим сначала первый способ аппроксимации. Как отмечено
в [12], соотношение между энтальпией i и D слабо зависит от термодина­
мических свойств воздуха при высоких температурах. Действительно,
из условий на скачке следует, что
2
2
2
2
и при сильном сжатии отношение i /D
ные переменные
меняется слабо. Введем безразмер­
2
Pi
и будем приближенно
формуле
yl i
Pl ?1
аппроксимировать зависимость G7 (D) согласно
2
G
7 = ^23 + / 7 ,
Q
(2.64)
7= 0,1.
0
Формулу (2. 64) будем использовать как в случае более грубой аппро^
ксимации 7 = 0 , так и более точной, когда / = 1 . Конкретные вычисления
проводились лишь для случая начальных параметров стандартной атмог
сферы на уровне моря: /? =1,01325-10 дин/см , р =1,224«10~ г/смК
При у = 0 аппроксимация таблиц дает значение & =0,992, т. е.
6
2
3
1
1
0
(2.65)
2
^ = 0,4959/) .
Сравнение с табличными данными показало, что в диапазоне температур
за фронтом волны от 1300° К до 2«10 °К ошибки по определению i по фор­
муле (2. 65) не превышают 3%. Естественно, что для температур ниже
1000 °К ошибки будут сильно возрастать. Более точные результаты дает
аппроксимация по формуле (2. 64), где 7"=1. Здесь были получены зна­
чения /^=2-0,49446, о7 =0,32, т. е. формула (2. 64) имеет вид
6
0
7 = 0,49446£ + 0 , 3 2 .
(2.66)
2
G
Зависимость (2. 66) обладает более высокой точностью, чем формула
(2. 65). При изменении Т от 1 • 10 °К до 3-10 °К погрешность формулы
(2. 66) не превышает 3%.
Таким образом, эти формулы совместно с динамическими условиями
на ударной волне вполне могут заменить таблицы [21 ] для определения
р , р . При этом формулы (2. 64) следует принять вместо закона сохране­
ния энергии при переходе через скачок. Температуры же Т следует нахо­
дить по таблицам, зная р , i или р , р из приближенных формул.
Второй способ аппроксимации данных относится к нахождению при­
ближенной зависимости между P =p /pi
и v la = V . Для нормальной
начальной плотности и давления на уровне моря имеем
3
2
6
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Тэ ф= - 0 , 3 8 7 5 (Т • Ю-з)
Ф
2
+
2
x
1 > 4 1 5
5
. . .
6*
83
(Г
2
— температура в °К),
(2. 67)
Р = ( 1 , 6 5 7 1 + 1) — [ 0 , 0 2 4 3 (In F ) '
0
2
791
2
Р =
2
Р =
2
] (88,47 < Р <
2
77410),
(2. 6 8 )
1,65 7 | + 1 ( 7 7 4 1 0 < Р < 5 6 7 4 0 0 ) ,
(2. 69)
2
1,6571 +
1
+ 2 2 2 , 5 6 7 — 137750 (567400 < Р <
2
2
936600).
(2. 7 0 )
6
Формулы (2. 67)—(2. 70) соответствуют диапазону Т от 288,16 до 3.10 ° К
и имеют погрешность, не превышающую 3% по отношению к табличным
данным.
Для зависимостей термодинамических функций от плотности и давле­
ния или от плотности и температуры не удалось получить простые аппро­
ксимирующие формулы, обладающие высокой точностью. Отметим здесь
лишь один результат.
Будем искать аппроксимацию внутренней энергии s в виде
2
( 2 Л 1 )
•=М*т)-
Функцию <р следует подобрать из таблиц. Если ср зависит только от р ,
то в этом случае мы можем получить лишь весьма грубую аппроксимацию
е (р, р ) . Более точная аппроксимация может быть осуществлена, например,
формулами вида
T
= 6cth(i±*L),
(2.72)
где Ь, а , 8 зависят от отношения pip и мало изменяются при изменении
р/р>'Ро — характерная плотность ( р ^ р ) , давление отнесено к р . Так*
неплохую аппроксимацию дают зависимости
0
0
0
b
х
к
m87
= MjY' >
«= 2 , 8 9 9 6 ( ^ \
V =
5,606(1)-^.
(2.73)
Естественно, что (2. 72), (2. 73) допускают уточнения и обобщения.
При высоких температурах иногда бывает важно учитывать кинетику
химических реакций между различными компонентами газа и в процес­
сах диссоциации и ионизации, т. е. не ограничиваться лишь равновесными
приближениями. Влияние неравновесностей и скоростей химических
реакций на состав газа при сильном взрыве в воздухе описано в [12].
Мы не будем здесь останавливаться на этих вопросах. Вопросы, близкие
к этим, будут обсуждаться в главе 6 при изучении химических реакций
быстрого горения.
4.2. О влиянии теплового излучения на движение газа. При темпе­
ратурах порядка нескольких тысяч градусов и выше на движение газа
существенную роль будет оказывать тепловое излучение. Не останавли­
ваясь здесь на общих вопросах теории переноса тепла излучением, мы
ограничимся лишь весьма упрощенной моделью теории переноса тепла
излучением, а именно будем предполагать: 1) наличие локального термо­
динамического равновесия вещества и фотонного газа — излучения;
84
2) процесс переноса тепла излучением происходит путем лучистой тепло­
проводности, т. е. используется приближение лучистой теплопроводности.
В приближении лучистой теплопроводности поток энергии излучения
в условиях локального равновесия пропорционален градиенту темпера­
туры, т. е. перенос излучения носит характер теплопроводности, причем
коэффициент теплопроводности зависит от температуры (и плотности).
Для модели лучистой теплопроводности уравнения гидродинамики сохра­
нят свой вид, если под давлением р в уравнении импульсов понимать сумму
P* Pr-\~P i
Д Рг ~ давление газа, р = /
(а/с) Г — давление излуче­
ния (о — постоянная Стефана—Больцмана, с — скорость света), к внут­
ренней энергии ре добавить плотность энергии излучения е = 4 а Г / с ,
a для вектора потока тепла принять
=
Г
Е
4
a
я
4
3
4
и
где
—коэффициент молекулярной теплопроводности, х — коэффициент
лучистой теплопроводности
х = ^-ос/ Г>,
(2.74)
в
IR — средний свободный пробег излучения для всех частот.
В газах при высоких температурах (Т > 2000° К)
для оценки l М О Ж Н О применить формулу [12]
х, причем
R
l
R
=
AJ*m-«*,
(2.75)
где A — постоянная, п — числовая плотность, а , а — некоторые посто­
янные. Для воздуха а имеет значение около 2, а сс — около 1,7 [12].
Значения IR Д Л Я воздуха приведены в таблицах [ 1 2 ] .
Уравнения одномерных движений газа для модели лучистой теплопро­
водности имеют вид
R
х
2
х
2
(2.76)
1^
в
+
р
т
+
е
я
)
+
_ г
^ ^ а +
в
и
+
р
т
+
/
, ) _ -
г
' 1 х -
=
0.
Вопросы влияния излучения на движение газа при сильном взрыве рас­
смотрены в работах [12, 25].
4.3. Постановки задач о точечном взрыве в газе с учетом высоко­
температурных эффектов. Из приведенных сведений о процессах в газах
цри высоких температурах следует, что для их детального учета нужно
существенным образом усложнить исходную систему уравнений газовой
динамики. Отметим некоторые возможные постановки задач, вытекающие
из сделанных выводов. Мы рассмотрим здесь лишь одномерные движения.
Пусть излучением пренебрегается полностью. Тогда в предположении
термодинамического равновесия совместно с исходной системой (1. 18) —
(1. 20) следует решать уравнения типа (2. 56)—(2. 61) для определения
состава смеси газов и внутренней энергии. Соответственно следует взять
более общие, чем для обычного совершенного газа, граничные условия
на ударной волне.
85
Простейшим случаем задачи такого вида является задача о сильном
взрыве в атомарном водороде или при учете лишь однократной иониза­
ции более сложных атомов. Действительно, в этом случае зависимость
внутренней энергии от температуры и давления дается выражением
типа (2.60)
.
e = =
l(l
+
a)
i? r
o
(2™«)>*
+ a^l-,
(2.77)
y
(kT
где a — степень ионизации, т — масса электрона, т — масса атома,
W — энергия ионизации, R — газовая постоянная на единицу массы
go и g — статистические веса основного уровня нейтрального атома и иона.,
Термическое уравнение состояния примет вид
в
1
0
0
x
. Р= (1+а)Я Г.
Р
0
(2.79)
В систему определяющих параметров задачи добавляются две размерные
постоянные W ^ M Q И множитель перед экспонентой в уравнении (2. 78).
Отсюда следует, что задача перестает быть автомодельной. В книге Л. И. Се­
дова [2] рассмотрены классы калорических уравнений состояний газа, для
Которых задача о сильном взрыве в среде с постоянной плотностью остается
автомодельной. Для автомодельности зависимость внутренней энергии
от p, р должна иметь вид
2
8
< - °>
где р — некоторая постоянная с размерностью плотности. Если началь­
ная плотность переменная, то функция (2. 80) сведется просто к виду со­
вершенного газа
0
*= ßf,
(2-81)
где ß — отвлеченная постоянная.
Таким образом, решение задачи о сильном взрыве для уравнения
состояния вида (2. 77) неГсводится к интегрированию обыкновенных диф­
ференциальных уравнений и требует применения численных методов.
Если же рассматривать эту задачу в приближении эффективного
показателя адиабаты у, то она сведется к рассмотренному ранее решению
. (2.5)—(2. 13). Приведенные соображения по поводу аппроксимации таблиц
термодинамических функций воздуха показывают, что задача о сильном
взрыве будет автомодельной лишь при грубой аппроксимации этих таблиц.
Заметим, что неавтомодельные задачи о сильном взрыве с учетом диссо­
циации и ионизации в настоящее время изучены довольно слабо.
Задача еще более усложняется, если учесть излучение хотя бы в при­
ближении локального термодинамического равновесия. Конечно, влияние
излучения было нами косвенно учтено, когда рассматривалась задача о гомотермическом сильном взрыве, но это приближение верно лишь в началь­
ной стадии сильного взрыва. Если принять модель лучистой теплопровод­
ности, то для этой модели следует исследовать решение системы уравне­
ний (2. 76) с учетом обычных начальных условий и условий на ударной
86
волне для теплопроводной смеси газ—излучение. Эти условия на ударной
волне для одномерных движений можно записать так:
\ (D-v)]
P
= 0,
[ v(D-v)-p}
= 0,
p
(2. 82)
~ (D-v)(£.+
s)-p*v
P
+ *(p, Т)^г]
= 0,
[Г] = 0,
где
e
*= '
+
' * = T-
^ î t '
(2-83)
Так как впереди ударной волны может распространяться тепловая
волна, то следует задать условия на бесконечности:
Г ( о о , t) = v(œ,
t)~p(œ,
t) — 0,
p(œ,t)
—p
(2.84)
v
При полном решении поставленной задачи мы должны учесть зависимости
(2. 74), (2. 75) и влияние диссоциации и ионизации на вид функции е (р, р).
Сформулированная задача, вообще говоря, не является автомодельной и
требует для ее решения применения численных методов.
Мы остановимся лишь на некоторых частных случаях этой сложной
задачи. Во-первых, будем считать газ совершенным, с постоянным (эффек­
тивным) показателем адиабаты у. Во-вторых, рассмотрим отдельно два слу­
чая: 1) х = 0 , р фО; 2) х = х (р, Г ) ^ 0 ,
=0.
В первом случае ЗТВ можно решить точно, используя метод, предложен­
ный Э. Ларишем, И. Шехтманом [26] (см. также [3]). Здесь задача ре­
шается для совершенного газа, где р=р*, е=е*, а затем температуры на­
ходятся из термического уравнения состояния для смеси газ—излучение.
Мы не будем на этом останавливаться подробно, а лишь укажем, что для
этой модели температуры в центре взрыва получаются конечными и изме­
няются со временем как
л
7W0 rt —Г
Рй
3
8 p i
Р (0)14
Е
* \
1 / 2 ( v + 2 )
v / 2 ( v + 2 )
(2 85ï
r
В окрестности центра взрыва температура слабо зависит от координаты.
При малых временах процесса это решение задачи качественно близко
к решению, когда предполагается нулевой градиент температуры.
Во втором случае, когда давление равновесного излучения (и его энер­
гия) не учитывается, можно рассматривать задачи в автомодельной по­
становке. Пусть начальная плотность постоянна, а коэффициент теплопро­
водности зависит от плотности и температуры так:
T
' x = x «i7 *.
i
(2.86)
lP
Тогда, как и в случае а = 0, рассмотренном Бам-Зеликовичем [28], задача
будет автомодельна при любом а если a =(v—2)/2v и газ совершенный.
Нами были получены [3, 27] условия автомодельности для случая
взрыва в среде с переменной плотностью р —Аг~ , когда а = 0 . Здесь ана­
лиз размерности входящих в задачу постоянных показывает, что задача
о сильном взрыве автомодельна, если между параметрами^, а , оо имеет
место следующая зависимость:
г
ъ
2
ш
х
х
2
<о +
v
— 2 — 2a (v —Ü)) = 0.
2
(2.87)
87
Для случая
v = 3 и постоянной плотности автомодельная задача
о сильном взрыве изучалась авторами [27, 29, 30].
Остановимся кратко на результатах исследования этой задачи. Автором
эта задача рассматривалась [27, 29] в приближенной постановке, когда
не учитывалась тепловая волна, распространяющаяся по холодному газу
впереди ударной волны. Были получены следующие выводы. Газ, приве­
денный в движение ударной волной, движется в направлении от центра и
заключен внутри сферы, радиус которой увеличивается с течением вре­
мени по закону
г
ы
(2 88)
>=(%У '
-
Температура в центре взрыва конечна и монотонно убывает с ростом г,
имея максимум в центре. Скорости частиц вблизи центра малы. При г <С
<0,5г
частицы газа близки к состоянию покоя. Распределение
давлений качественно остается таким же, как и в случае адиабатической
и гомотермической модели течения. Вблизи центра взрыва имеют место
асимптотические формулы
2
v =
т- h
3
if) r + о И ,
p = р(0, t) + ±b
(t) r* + о (r*),
2
+о(т*).
(2.89)
1
Если теплопроводность мала, то она будет оказывать существенное влия­
ние лишь на температуру в некоторой малой окрестности центра. Анализ
решения задачи показал, что с ростом х зона слабого изменения темпера­
туры расширяется, т. е. течение приближается к гомотермическому.
В. Е. Неуважаевым [30] были проведены детальные расчеты задачи
с учетом тепловой волны и обусловленного ею течения газа впереди удар­
ной волны. Заметим, что при малых х автором был предложен [29] при­
ближенный метод решения задачи, основанный на «сшивании» решения
теплопроводной задачи вблизи г=0 с решением адиабатической задачи.
Впоследствии аналогичный подход развивался в работе [31].
Случай сильного цилиндрического взрыва, когда x=const, был ис­
следован И. О. Бежаевым [32]. При изучении гомотермической модели
полученные изменения плотности в ударной волне существенно ниже,
чем в адиабатической теории, а именно плотность меняется немногим более
чем в два раза. Это же обстоятельство имеет место при больших, но конеч­
ных значениях х.
Рассмотрим теперь грубую схему учета тепловой волны впереди удар­
ной волны при гомотермическом движении внутри нее. Предположим,
что взрыв сферический, плотность постоянна и имеет место автомодельность. Тогда задача имеет интеграл энергии [2, 3, 28]
Т = Т (0,
0
t)+
1
1
"[(i7-)('T
<*•«»
+ P ï ^ ) - ^ + T ^ ] - C
Здесь С — произвольная постоянная, T=RT.
Считая, что при достаточно
больших rv=T=K
( Г ) = 0 , положим постоянную С равной нулю. Переходя
к безразмерным переменным f=v/D,
g=p/pi,
Q=T/D ,
Х=г/г ,
найдем
2
2
88
где В — безразмерная постоянная, пропорциональная коэффициенту
*! [3].
Предположим, что температура не терпит скачка при переходе через
разрыв (что выполняется при учете теплопроводности), тогда для (2.91)
имеем граничное условие
6 (1) =
(2.92)
Пренебрежем теперь изменениями скорости и плотности, обусловленными
тепловой волной, т. е. будем считать g=const=g" , / = 0 при А > 1. Уравне­
ние (2. 91) при этом элементарно интегрируется. С учетом граничного усло­
вия (2. 92) находим
0
9=
/
[e;' + g-(l-X«)] .
e
(2.93)
ï
Пусть 0 обращается в нуль при А=Ау, тогда для координаты переднего
фронта тепловой волны 1 находим
Т
\
Т
= У1
+ ^ 6 h
•
(2.94)
где значения б даются формулой (2.37), g ~l.
Ay велико для больших
В (В > 1). При В -> 0 граница тепловой волны подходит близко к фронту
ударной волны. Если эффективное значение х невелико, то В < 1 ж
Ау близко к единице. В этом случае температура резко падает до нуля
в узкой зоне перед волной, причем при А— 1т обращается в нуль вместе
со своими пятью производными по А. Пренебрежение скоростями и и из­
менением плотности р при А > 1 будет здесь оправданно.
Для размерной температуры Т имеем следующее распределение в про­
странстве: T=T (t) при г ^ г ; при г > г температура убывает с ростом г,
обращаясь в нуль при 7*—Ауг . Кроме того, так как 9 ^ 0 в области
1 <С А ^ 1 , то здесь . будет содержаться некоторая доля энергии Е *
Тогда из условия выполнения интегрального закона сохранения энергии
вида (1. 184) следует, что введенная выше постоянная а=Е /Е получит
некоторое приращение А а по сравнению со значением а — а , вычислен­
ным по (2. 48). Обозначив через а* новое значение Е /Е, имеем а* =
= а у+Да. Для Да можем написать в рассматриваемом приближении
2
0
1
2
2
2
2
Т
0
0
тТ
0
г
1
где величины g , 6 известны из решения гомотермической задачи (см. § 3).
2
2
§ 5. Некоторые приложения теории сильного взрыва
5.1. Начальная стадия движения газа при атомном взрыве. Большим
стимулом в развитии теории сильного взрыва явилось приложение к атом­
ному взрыву. Мы не будем здесь подробно останавливаться на этом во­
просе, так как он изложен в работах [2, 3, 12, 33—36 и др.].
Отметим лишь следующее:
8$
1) Опытные данные по зависимости радиуса ударной волны от времени
хорошо аппроксимируются формулой вида
5
(2. 95)
Y S r — \gt = C
l
2
где С — постоянная.
1
Согласно данным, полученным при взрыве атомной бомбы в Нью-Мек­
сико в 1945 г. и опубликованным Д. Тейлором [33], за постоянную С сле­
дует принять значение С =11,915.
Теоретическая формула г =(Е / ар^Ы ^ совпадает с (2. 95), если
принять
г
1
2
2
0
0,51g в, о =
(2. 96)
11,915.
Если значение р и а известно, то эта формула дает возможность оценить
долю энергии Е , которая пошла на движение газа.
Численное значение а (а значит, и теоретическая оценка Е ) зависит
от принятой модели течения.
Так, для адиабатической модели совершенного газа с постоянным у при
v=3 имеем (см. § 2)
А
0
0
а
а д
= 0,4921 ( Т
1)-(1.^о од178б ig ( Y - D )
+
(
1 > 2
^
У
^
2
).
Для гомотермической модели течения при v = 3 имеем а т=0,0643 +
+(0,163/у—1). При одинаковых у имеет место неравенство а > а . От­
сюда следует, что оценки энергии Е которые расходуются на движение
газа (полученные по а ), будут завышены, если процессы теплопровод­
ности не учитываются. Так как энергия диссоциации и ионизации учиты­
вается выбором эффективного у весьма приближенно, то точный учет
отих процессов также может изменить величину Е [37].
2) Распределение температур в области между центром и передним
фронтом возмущения более близко к реальному при учете эффектов тепло­
проводности. В первые моменты после взрыва (тогда, когда температуры
выше 3 - 1 0 ° К ) скорость тепловой волны больше скорости ударной
волны [12] и распределение температур близко к тем, которые даются
формулой (2.32). Далее, примерно до момента отрыва огненного шара [14]
можно использовать решение гомотермической задачи. В этой модели по
существу считается, что х = о о за фронтом ударной волны и х = 0 впереди
фронта ударной волны. Излученная вперед энергия взрыва не учитывается.
Для более поздних моментов времени при плотности, близкой к нормаль­
ной вблизи земной поверхности, можно применять модель лучистой
теплопроводности. При дальнейшем падении температур в стадии сильной
волны течение будет достаточно хорошо описываться адиабатической
моделью.
3) Как уже отмечалось, эффекты теплопроводности оказывают сущест­
венное влияние не только на распределение температур, но и скоростей,
плотностей, давлений. Для иллюстрации на рис. 13—15 показано сравне­
ние распределений скоростей, плотностей и давлений для адиабатической
кривые 1) и гомотермической (кривой 2) моделей течения.
г
а д
01
ад
0
5
тТ
Р/Рг
H
1
Jl
о,з
--
-
1
1
0,2
0,4
0,6
0,0
r/h
J.fâ
1,0X
0Л
/
I
1
0Л
0,1
0,5
1
0,3
1
!,0Л
I
0,8
0,0
-
0,U
-
0,2
-
Рис. 13. Сравнение распределений
безразмерных скоростей
UО
!,0S
//
p
/
/
_ Л
v
-У
1
10
0
0,2
1
0,4
0,6
J 1l\
Рис. 14. Сравнение распределений
безразмерных давлений
>
0,0
Рис. 15. Сравнение распределений
безразмерных плотностей и темпера­
тур (Т/Т =1
для случая 2)
1
2
1,0 Л
5.2. Электрический взрыв проводников и разряды в газе. Выводы
теории сильного взрыва могут быть использованы также при рассмотрении
процессов возмущения газа, вызванного электрическими разрядами вдоль
проводников: тонких металлических проволочек и пластин [38—45]. Ввиду
относительно малых температур здесь часто можно использовать адиабати­
ческую модель с однократной ионизацией.
Проведенные эксперименты позволяют сделать следующие выводы.
Для тонких прямолинейных проводников (толщина проволочки меньше
1 мм) энергии взрыва порядка 3 -10 эре/см, зависимость координаты основ­
ной ударной волны (как правило, в потоке образуются вторичные ударные
волны) близка к автомодельной г =(Е /а
р^ / ^ , если г > 10г , где
г — радиус проводника, t — время после окончания разряда. Это под­
тверждается также расчетами Роуза [43] теоретической модели взрываю­
щейся проволочки в воздухе при учете диссоциации и ионизации. В част­
ности, здесь показано, что отношение энергетических параметров для воз­
духа а с учетом равновесной ионизации и диссоциации для случая совер­
шенного газа при х=1,4 примерно равно 2,18, т. е. а =2,18а (у). Это со­
ответствует эффективному показателю у для воздуха у ф, близкому к 1,2.
Вторичные ударные волны, возникающие при взрыве проволочек,
обусловлены расширением паров металла. Это явление не может быть опи­
сано в рамках обычной теории точечного взрыва без подвода массы. Ана­
логичные заключения можно сделать и для случая взрыва тонких металли8
1
2
2
2
0
2
0
0
в
в
эф
91
ческих пластинок, если сравнивать этот процесс с явлением плоского силь­
ного точечного взрыва.
Кроме взрыва проволочек и пластин, для получения высоких темпе­
ратур проводятся разряды в газе между плоскими или цилиндрическими
электродами. Рассмотрим искровой разряд в воздухе между двумя электро­
дами. Общая качественная картина процесса здесь такова. В воздушном
разрядном промежутке в результате ионизации электрическим полем обра­
зуется тонкий токопроводящий канал. В этом канале за счет выделения
джоулева тепла воздух нагревается до температур порядка нескольких де­
сятков тысяч градусов и ионизуется. В результате быстрого повышения
температур резко повышается давление и по газу распространяется сильная
цилиндрическая ударная волна. Явления искрового разряда изучались
С. Л. Мандельштамом и его сотрудниками (см. библиографию в книге [12]).
Не останавливаясь подробно на этом явлении, укажем лишь, что измере­
ния распределения плотности за фронтом ударной волны [46] показали,
что процесс движения газа близок к цилиндрическому сильному взрыву,
причем средняя плотность в области канала искры составляет примерно
10~ от начальной плотности воздуха. Аналогичные явления происходят
в атмосфере при грозе.
Процессы, близкие к плоскому взрыву, наблюдаются при электри­
ческих разрядах вдоль плоских токопроводящих каналов [47] или при
сильноточных разрядах в Т-образных трубках [48, 49]. Здесь разряд
производится в короткой части Т-образной трубки. В результате резкого
повышения температуры по части Т-образной трубки, перпендикулярно
направленной к разрядной трубке, начинает распространяться плоская
сильная ударная волна.
В опытах Кэша [48] теория сильного плоского взрыва не используется
для обработки результатов при разрядах в воздухе. Однако здесь указано,
что зависимость между временем прихода ударной волны от ее положения
хорошо аппроксимируется формулой t^=ax ^ где х — расстояние от раз­
ряда, а — постоянная.
Для плоского сильного взрыва имеем
3
ij
l
t=(«p lE ) *rb
1
8
(2.97)
0
3
г
Так как показатель / отличается от / лишь на / , то ясно, что обра­
ботка результатов опытов по формуле (2. 97) дала бы также хорошее совпа­
дение с опытом. В опытах Кольба [49] по разрядам в водороде и дейтерии
показано, что в некотором диапазоне расстояний от места разряда наблю­
дается удовлетворительное согласие теории сильного взрыва и опытов
по измерению скоростей ударных волн вдоль длины трубки. Используя
данные Кольба, можно определить удельную энергию Е
расходуемую
на движение газа за фронтом волны.
Действительно, в работе [49] приведена таблица, согласно которой
Z> — 5,6-10 см/сек при г = 9 см. Так как вся энергия идет в одну сторону
от места взрыва, то 2Е = а р ( / D) r . Приняв за у значение 1,3, а за началь­
ную плотность р = 1,8 -10~ г/см (начальное давление было 0,7 мм рт. ст.),
находим Е — 10 эрг/см . Заметим также, что из приведенных в упомя­
нутой таблице данных следует, что произведение D r меняется слабо
5
2
1 0
01
6
2
3
0
1
7
2
2
2
3
х
8
2
0
2
2
92
в диапазоне расстояний от 3 до 11 см по длине трубки (полная длина трубки
12 см).
Приведенный анализ позволяет сделать вывод о приложимости теории
сильного взрыва и к этому кругу практически важных задач.
5.3. Локальный нагрев газа лазерным лучом. За последние годы
теория точечного взрыва нашла новое важное приложение к процессам,
связанным с нагревом газа путем фокусировки импульсного лазерного
луча. Луч лазера дает возможность получить в районе фокусировки весьма
высокие температуры газа (около миллиона градусов) в объеме порядка
10~ см . Это вызывает возникновение сильной ударной волны, которая
ионизует газ и распространяется со скоростью около 1 0 см/сек. Время
подвода энергии весьма мало и имеет порядок 10 " сек. (Здесь имеется
в виду не время подвода
энергии
лазером, которое порядка
5 - 1 0 " сек, а время формирования ударной волны.) Лазер за импульс
может излучить энергию порядка 100 дж и более. Для получения высоких
температур в газах используются два основных метода: пробой (или
«искра») в газе, вызванный лазером, или фокусировка на мишень, поме­
щенную в достаточно разреженный газ. В первом методе выделение энергии
в газе, как правило, не является изотропным в окрестности места фоку­
сировки (см., например, [50, 51 ]). Здесь может даже образоваться длинная
искра длиной около 1 м и более [52, 53] с переменной удельной энергией,
вводимой в газ, т. е. мы здесь имеем случай выделения энергии вдоль пря­
мой, когда Е =Е (z), где z — координата вдоль этой прямой. Если от­
влечься от концевых эффектов, то для времен, больших времени формиро­
вания ударной волны, будет иметь место цилиндрический взрыв вдоль
прямой, когда Е =Е (z). На задачах этого типа мы остановимся также
в главе 5.
3
3
8
7
9
0
0
При использовании мишени в месте фокусировки образуется, как пра­
вило, сильная сферическая ударная волна [53, 55]. Дадим оценку доли
энергии, которая пошла на удар«ую волну и газодинамическое движение
в стадии взрыва. Из работы .[54] следует, что при пробое в воздухе (при
атмосферном давлении) для момента времени 2 — 1,5 « Ю сек после пробоя
измеренная в опыте координата ударной волны в направлении оси лазер­
ного луча равна примерно 1 см. Используя формулу (2. 13), имеем
-6
Е =
0
2
ap^l/t .
Взяв приближенное значение а равным 1,5, что соответствует у = 1 , 2 5 ,
P i = l ,25 - 1 0 г/см , найдем из этой формулы, что E œ7 дж. Полученная
оценка хорошо согласуется с экспериментальным значением энергии им­
пульса 10 дж. Если учесть, что энергия взрыва пошла не на полный
телесный угол 4тг, а на меньшую часть пространства (это следует из рисун­
ков формы волны), то получим несколько меньшее значение Е , т. е. на
образование ударной волны идет примерно 7 0 % . Остальная энергия рас­
ходуется на организацию процесса пробоя и уходит в виде светового излу­
чения, а также на другие потери.
Приведенные данные свидетельствуют о возникновении новых прило­
жений теории точечного взрыва и необходимости новых постановок задач
в этой теории. Остановимся лишь на постановке одной задачи. Пусть имеем
- 3
3
0
0
сферический объем радиуса г , заполненный покоящейся плазмой с пара­
метрами р р
Т а вне его газ имеет параметры р , р , Т (р < pj).
В момент времени £ = 0 в узком сферическом слое толщиной Ar (Дг=
—г —г <^ г ) выделяется энергия Е 4rcrj*. Требуется определить возни­
кающее движение. Эта задача может возникнуть при сферической фокуси­
ровке лазерного луча на плазменную мишень, если длина поглощения лазер­
ного света мала, а время выделения энергии значительно меньше, чем
величина roiPJlPi)^ - При Ar - > 0 имеем задачу о поверхностном взрыве
на границе раздела двух сред с удельной энергией Е (см. об этом также
гл. 5). Здесь вначале возникнут контактная поверхность и ударные волны,
идущие к центру и от центра, а в процессе движения плазмы возможно обра­
зование зон с весьма высокими плотностями и температурами.
0
1?
0
г
ъ
ъ
0
0
0
2
0
0
0
0
Г Л А В А
3
ЛИНЕАРИЗИРОВАННЫЕ
НЕАВТОМОДЕЛЬНЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ
§ 1. Линеаризация уравнений газовой динамики
В предыдущей главе было рассмотрено точное решение автомодельной
задачи о сильном точечном взрыве в покоящемся газе. При этом предпола­
галось, что противодавлением р можно пренебречь. Это предположение
верно лишь в начальной стадии взрыва, т. е. для малых моментов времени.
По мере распространения ударной волны влияние начального давления
становится существенным. Поэтому в начальных условиях задачи появ­
ляется дополнительный размерный параметр. р в силу чего задача пере­
стает быть автомодельной и все безразмерные характеристики течения бу­
дут зависеть уже не от одной, а от двух переменных. Неавтомодельную за­
дачу можно решать путем численного интегрирования системы уравнений
газовой динамики. Эти вопросы будут рассмотрены в главе 4. Однако можно
предложить более простой путь [1—4] решения задачи для значений
(p —Pi)/Pi <С1 который основан на линеаризации исходных уравнений
около атомодельного решения. Для большей общности будем считать [5, 6 ] ,
что начальное давление р переменно, причем
г
1у
2
7
±
9 l
p
=Ar-\
1 =
(3.Î.)
(3.2)
Cr<V
Мы откажемся также от условия равенства нулю начальной скорости газа
г\ и будем предполагать [5,6]
(3.3)
H
v =Br"- +K
x
В дальнейшем (гл. 6) мы остановимся на случае учета тепловыделения
на фронте ударной волны.
Вопрос об осуществлении начальных состояний (3. 1)—(3. 3) здесь
не обсуждается. Заметим лишь, что плотность р и скорость и удовлетво­
ряют стационарному уравнению неразрывности. Распределениями (3. 1),
(3. 2) могут быть аппроксимированы (при ш = со ) давления и плотности
в изотермических атмосферах звезд. Если состояние (3. 1)—(3. 3) не
является строго равновесным, то мы будем пренебрегать нестацио­
нарным течением, которое может возникнуть впереди взрывной волны.
Естественно, что при В=0, о)^=0 начальное состояние можно считать равх
г
ч
95.
яовесным. Так как при произвольных о>,
размерности постоянных С и
В не выражаются через размерности Е и А, то ЗТВ в газе с начальным со­
стоянием (3.1)—(3.3) не является автомодельной, причем автомодельность теряется, если хотя бы одна из постоянных, С или В, отлична от
нуля. Общая постановка задачи о линеаризации уравнений газовой дина­
мики рассматривалась в § 1 главы 1. Остановимся на этом вопросе более по­
дробно для случая, когда основное движение соответствует точному реше­
нию (2. 5 ) - ( 2 . 12).
Обозначим индексом 0 функции, соответствующие этому решению.
Будем искать решение в виде
0
v = v (r,
t) + ev (r,
p = p (r,
*) + ep (r, t)
0
0
P=
t)
{1)
y
(1)
Po(r> *) +
(3.4)
y
r
eP(i)( >
0>
где s — малый параметр, за который можно принять постоянные С или В,
а индексом (1) обозначены новые неизвестные функции (добавки к основ­
ному решению или возмущения). Проведя стандартную процедуру линеари­
зации в соответствии с тем, как это было указано в § 1 гл. 1, мы придем
к системе линейных уравнений в частных производных, коэффициенты ко­
торой будут зависеть от у , р , р . При этом при получении линеаризован­
ных уравнений из системы вида (1. 31) мы предполагаем, что функции
Ра)
производные имеют конечные предельные значения при
€ - > 0. Если это предположение выполняется, то линеаризация оправдана.
Поэтому мы будем стремиться находить такие условия для решений
линеаризованной системы, при которых условия конечности
р р
выполняются. В некоторых задачах эти условия не выполняются и, как
правило, локально (например, в окрестности некоторых особых точек).
В этих случаях, строго говоря, линеаризация теряет смысл, но в ряде
задач вне окрестностей некоторых особых точек решение линеаризирован­
ных уравнений может давать правильное качественное и количественное
описание рассматриваемого движения. С этой точки зрения неограниченные
в отдельных точках решения могут оказаться полезными. В дальнейшем
будем использовать формализм приведения уравнений к безразмерному
виду и введения малых безразмерных параметров, пропорциональных по­
стоянным С или В.
0
и
и
0
0
х
(1и
( 1 )
Исходную систему уравнений газовой динамики для адиабатически
возмущенных движений совершенного газа возьмем в виде
dv
,
dv
-—Y-V-—
dt
1
ôr
,
г
\
р
dp
дг
= Ü,
г
л
'
(3.5)
ï
+ » £+ w ( £+ <'-4f) = o
Обозначим через r (/) передний фронт возмущения газа, который
будем считать обычной ударной волной. Тогда, кроме начальных условий
(3. 1)—(3. 3), имеем, как и прежде, условие г ( 0 ) = 0 и условие выделения
2
2
96
энергии Е при г=Ю. В соответствии с (1. 60) условия на ударной волне при
0
г=г
имеют вид
2
p (D — v ) = p (D — vJ,
1
1
P v {D
1
1
2
— v ) — p = p u (D
1
1
2
2
— v )~-p ,
2
(3.6)
2
PI!№ - »i) (4+тг T=t) - =
№
P 2 (Z)
-
+
ff мтЬу)
№
-
'
Кроме (3. 6), можно записать условия в центре симметрии течения.
Так, если в центре нет. постоянно действующего источника масс, то
у(0, *) = 0.
(3.7)
Будем раздельно рассматривать два случая: а) В=^=0, С=0; б) С^О, 5—0.
Введем систему безразмерных переменных
f=i>
h
*= Ь
8
= ^m-
(з- )
Аналогичные переменные мы использовали в главе 2. В силу отсутствия
автомодельное™ функции (3. 8) будут теперь зависеть от двух безразмер­
ных переменных.
Введем две новые безразмерные переменные:
"Hb
3
'=ïjz^
9
<->
Для случая о) ^ v—1 параметр у мал при конечных В и малых t. В силу
свойства 3 для ударных волн (§ 2, гл. 1) имеем D—и ^ а , D ^
т. е. всегда D^> и или г/ <С 1. Параметр g есть отношение квадрата скорости
звука в невозмущенной, среде к квадрату ударной волны. Этот параметр
также мал в начальной стадии развития взрыва.
Можно рассматривать отдельно задачи об учете скорости и давления р
при распространении взрывной волны. Вместо r, t в случае задачи а) вве­
дем новые независимые переменные
г
х
г
х
X = .f,
у
(3.10)
и будем считать, что / = / (X, у), h=h (X, у), g=g (X, у). При учете лишь
одного противодавления (задача (б)), введем независимые переменные
X = f,
д,
(3.11)
причем / = /(Х, q), h = h(l, q), g = g(l, q). Чтобы записать безразмерные
уравнения сразу для системы переменных (3.8), (3.10) и (3.8), (3.11),
введем обозначения z = y, z = q.
1
2
Для простоты пока предположим, что со = со^. Система уравнений газо­
вой динамики (3.5) с учетом соотношений для производных - ~ = у —=—
^r -j-2~
2
—
— X-^-j в новых переменных запишется так:
V<-V%
+ *{-%
</, - X)
- «*, + г % +
(/, - X) ^
7
+ %) + V* + №
и
+ х
Л
g i
( § - + (v -
= b
(3.12)
1) ff) = 0,
(3. 13)
+ 1 , ( £ ~ ^ ) + ï * , ( ï + (v -
Тр. Математ. ин-та, т. G X I X
D
¥) = 0.
(3- 14)
97
где
Ъ = г ^±,
в = с о — v + 1, 9 = 0 , х = и ) — 2 v + 2, х = — со, î =
2
1 =
2
1 =
Чтобы исследовать влияние скорости и или давления р ,
решение систем ( 3 . 12)—(3. 15) в виде
г
0
i
il
Л ( > * , ) = £о W + z
•
i
Х
(X) + о ( ),
i g i l
(3.15)
будем искать
г
/ , ( Х , z ) = f (k) + z f (k)+.o(z ),
i
l,2.
2
(3. 1 6 )
Zi
^) = Ao(X) + z A i W + o ( z ) ,
4
/Я 17\
^ -
d z
* —
dlnr — 1+4
2
2 , + о(*,)
Л
*
Здесь / , g , A — известные автомодельные функции, & = ( v + со—4)/2,
— ^ через о fa) обозначены величины более высокого порядка малости
по сравнению с z при z - > 0 , А — постоянные, подлежащие определе­
нию. Если мы подставим решение ( 3 . 16), ( 3 . 17) в систему ( 3 . 12)—(3. 14)
и пренебрежем всеми величинами порядка выше чем z , то получим сле­
дующую систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений
для функций / , g , h :
0
0
0
1
v
{
i
а
t
а
a
a
+ s.AM
go [mf'ii + (Го + b ) f
a
2
mg'a + go(fa
m h
^ +
t
A
o
a
+ ^~f*)
a
+ m, A h
a
-
bjf)
g
= 0,
a
+ (m + / i + (v -
a
41
(3.18)
= °>
+ Ma + (*« + Л + Ц ^ ) ^
+ (v _ 1) ' f ) + A i /
(f
iQ
+ ha + (mjo
1) T у ) n +
h
T
(3.20)
= 0,
0
(3. 19)
где
m
=
f
Q
m
l l
—
X,
й
= b —y
1 1
1
J
=
(
b
0
21
— v
+
1,
= — со,
6
2 1
=
^
,
s
i — ^ f
m = ^h
iQ
z
'
A
<
=
/i = ^ ,
i
" со,
&
-
fa =
^
и т. д.
При рассмотрении линеаризированных решений мы должны подверг­
нуть линеаризации также и граничные условия задачи.
Запишем условия на ударной волне (при Х = 1 — 0 ) в безразмерном виде
(1 - у) = £ (1 - Л), г/ (1 - У) -f=£ / (1 - / ) - А*
2
<1
2 2
-,)(С+^)-Я
= (
1
-
/
) ( ,
2
3
|
2
i ) _ ^2
+
Проведя линеаризацию по параметру у (при д = 0 ) или по параметру q
(при у=0), получим условия для функций / , g , h \
а
/ii(l) = ^ T t
1
/21C) = —
«Tii(l) = 0
g
2
i =
a
(3.22)
h (l)=
f
—
a
n
2
(^i)L
3 23
h
2 i
= — T(T+V ^ ' ^
Условие симметрии примет вид
/ « ( 0 ) = 0.
98
(3.24)
Таким образом, вопрос о нахождении добавок к автомодельному реше­
нию сводится к решению систем (3. 18)—(3. 20) с граничными условиями
(3. 22), (3. 24) для i=l или (3. 23), (3. 24) при î = 2 .
В общем случае произвольных у, со, v система (3. 18)— 3. 20) не имеет
точного аналитического решения и для исследования линеаризированной
задачи следует использовать численные методы. Так как эта система
содержит неизвестную постоянную А , то задача не является задачей Коши
и условие (3. 24) или ему эквивалентные нужны для определения постоян­
ной А . Итак, эту задачу можно рассматривать как двухточечную крае­
вую задачу для системы (3. 18)—(3. 20). Вместо условия (3. 21) для опреде­
ления постоянной можно использовать законы сохранения:
п
а
о
о
— интегральный закон сохранения энергии и
J( P
P l
)r^dr=
(3.26)
о
о
— интегральный закон сохранения массы.
Записав эти законы в безразмерном виде и проведя их линеаризацию,
получим некоторые интегральные соотношения, в которые войдут функции
fui en-, ha постоянная А . Если метод определения постоянных А осно­
ван на использовании условия (3. 24), то интегральные соотношения для
энергии и массы могут быть использованы для контроля точности вычис­
лений или для приближенных методов построения решений.
Мы рассмотрим более подробно численные методы решения линеари­
зированных задач на примере задачи о взрыве с учетом противодавления
при постоянной плотности, т. е. для случая со—0, и =0 (см. § 5). В случае
переменной плотности нас будет в основном интересовать случай сферической
симметрии ( v = 3 ) . Вместо безразмерных переменных (3. 8) иногда исполь­
зуются функции
и
а
а
г
/ = - , '
g=
H
9
-,
Й= А
Р2
Р2
(3.27)
V
'
где о , р , р — значения соответствующих функций ( ^ = 0 ) на ударной
волне. Укажем связь между / , g , h и / , g , й , а также / , g h и Д, g ,
1г , т. е. при учете только противодавления. Простые вычисления дают
7 — 1 + 1 /
/ _ 1+1'(f
-4-2/ )
irïZli
? — ^ I ~ r
/0
2 •' '
2 V0 T /21/> b0 — &0 y i »
5 1 — y+ 1
-|-1 ^
T+
A =
h
Ao +
.
(3. 28)
2
2
2
0
0
0
0
0
0
2 1
211
21
х
г
7
2
0
J
l
Л
0
1
21>
=4^
4.
Примем следующую систему безразмерных переменных при исследо­
вании линейных задач: при г^^О, р =0 возьмем переменные X, г/, / , g, h;
при и =0, р^Сг' ,
р^Аг^ примем переменные X, q, /, g, h. Если же
г^^О, /? =const, р =Аг~ ,
то воспользуемся переменными \ q, g, h.
Соответствующие системы линейных уравнений могут быть получены
из (3. 18)—(3.20) с учетом (3. 28) либо непосредственно из уравнений газо­
вой динамики. Отметим некоторые общие свойства системы (3.18)—(3. 20).
х
10
х
ш
г
г
7*
99
1) Эта система (и эквивалентные ей при c o ^ c o j имеет интеграл адиабатичности, существование которого было доказано М. Л. Лидовым [7].
2) Для особого автомодельного решения (2. 28) при
=
=
-
^+1
jF
X
o=Yqpr »
'
^O=7^Ï^
^ = ^ ^ . ( 3 . 2 9 )
Система (3. 18)—(3. 20) и ей эквивалентные имеют точное аналитическое
решение.
3) Для отыскания связи между координатой ударной волны и временем
следует использовать выражение для т\. и формулу dr ldt=D.
Перейдем к более подробному рассмотрению конкретных частных слу­
чаев.
2
§ 2. Взрыв с учетом постоянного противодавления
при переменной начальной плотности
2,1. Система линеаризированных уравнений. Из системы определяю­
щих параметров этой задачи у, со, А, Е , p r, t вытекает, что искомые
безразмерные функции / , g , h будут зависеть от двух безразмерных пере­
менных параметров X=r/r , q=a\ID и постоянных у, со. Далее мы будем
опускать черточки в обозначениях безразмерной плотности и давления.
Рассмотрим подробно ход решения, когда р предполагается отличным
от нуля, но малым по сравнению с р [4, 8 ] . Требуется найти решение си­
стемы (3. 5) с граничными условиями (3.6) при г ; = 0 . Переходя к введенным
безразмерным переменным, систему (3. 5) можно преобразовать к виду [4]
0
l9
2
2
г
2
Х
(
, (т —
^ à f
i
/ ,
à In
-i\
g
.
1 +
df
,
2g) [ 2
Т
— (
,
v—-1
T
— 1)
g] 1
f d l n q
dh
(df
. 2
co/_
f\
\
0
n
(3. 30)
l
V- )-w+Ti+-T/
x
,
x
d l n h
.
(df
,
f
+ \-T — -1
g
v —
1
Д
.
1
(à
In
+
д
) ^ -
h
q
ш
=
0
'
2f
(/-^)—+T(- +—f)+(— —|
X
2
2 T
-
( T
ii
\
) g J g
n
h=°>
dq
Безразмерный радиус R ударной волны определим формулами
2
где г° — динамическая характерная длина.
Чтобы получить полное решение задачи в принятых переменных, нужно
определить зависимости / (X, q), g (X, q), h (X, q), a также R (q). Для этого
необходимо найти такое решение системы (3. 30) в плоскости X, q внутри
квадрата O ^ X ^ l и O ^ g ^ l , которое удовлетворяет краевым усло­
виям на скачке и в центре симметрии
2
/(L
?) = + ï ( l - < 7 ) .
g(l,
q)=h(l,
q) = l,
/(0,ç) = 0
(3.31)
и начальным условиям
f(l,
где/ , g ,h
0
100
0
0
0) = / ( Х ) ,
0
g (К 0) = g (k),
0
h(l, 0) = Ä(X),
(3.32)
— известные функции, соответствующие автомодельной задаче.
Они удовлетворяют системе
v
m^+/é +
+ /
- u ) = 0,
0
(3.33)
оО
*£ + т(Л+^/о)->=0.
причем
/о(1) =
^ . ft(l)
=
1
Ao(l)= .
/о(0) = 0.
(3.34)
Здесь, как и всюду в дальнейшем, штрихами обозначены производные
по X. Заметим, что систему (3. 34) можно получить из (3. 30) предельным
переходом при q -> О. При малых значениях g, т. е. для моментов времени,
когда взрыв еще достаточно сильный, решение поставленной задачи
можно искать в виде (3. 16), (3. 17), считая fe =v.
Так как будет решаться линеаризированная задача, то из (3. 30), при­
нимая во внимание систему (3. 33) и пренебрегая членами порядка выше q,
получим для определения функций Д (X), g (X), \ (X) и постоянной А си­
стему линейных уравнений (аналог системы (3. 18)—(3. 20))
2
x
m
ëJi
h
+
х
m
'i + (fо + Hf^) gJi + [ fo +
g/i + mgi +
Ç-^go +
gty
fo\ Si +
ÉTï^o = 0 (m = f -\),
0
(3.35)
2v
ibJi + nhl + fa + i ? ^
= 0.
Из условий (3. 31), учитывая (3. 34), получим краевые условия для
искомых функций Д (X), g (X), h (X):
t
t
1
/i(!)= - + Î '
1
3
^ i ( ) = ^ ( ) = / i ( ° ) = °-
3 6
С - )
Систему (3. 35) можно преобразовать к виду, более удобному для даль­
нейших исследований. С этой целью введем новые искомые функции
F (X), G (X) и H (X) связанные с функциями Д (X), g (X), h (X) соотноше­
ниями
F
±
h(k) = mF,
(k) = g G,
gl
0
x
А (Х) = А Я.
1
(3.37)
0
После преобразований система (3. 35) запишется так:
+
+
m G
;
+
[
mfo
+ — ]с + *JL^'& +
/о
(/; _ i) F
(1=A £)
+
+
mF
(3. 38)
+
+ ( - ^ / o + /o + v - » ) G + m | G V
0,
=
i
f
^
T
= 0,
(3.39)
101
nF< + mW + ( / ; -
1 ) F + m (g +
T
V
+ m ^tf +
T
^ i )
T
(/i +
/
o
+
) H -
v
A) = 0.
-
(3. 4 0 )
Из двух последних уравнений этой системы можно получить первый
интеграл. Покажем это.
2.2. Интеграл системы (3.35) и закон движения ударной волны.
Если исключить из уравнений (3.39) и (3. 40) величины go/g
^o/V
будем иметь
и
т
о
Q
1
m (F + G') + (со — v) F + v G — у ^ Г Т = °>
m
,
П7\
F ' +1 H')
-
/ „ H f
( T
v. . (Л , T
4 \ P
,,Z7
1)
F +I ,H
-
vч . А( X ^ J^— A , ) = 0 .
1
Сделав замену независимой переменной по формуле <р = ^ ~ , получим
£(F + G)+
( « , - ^ ^ 0 - ^ = 0 ,
^( F + F ) - v (
T
T
- l ) F + v E ~ v ( l ^ i _ ^ ) = 0.
1
Умножая теперь первое уравнение на v ( 2 у — 1)/(со — 2v), прибавляя
к полученному второе уравнение и интегрируя результат, находим
г* ( 2 7 - 1 )
со — 2v
: г, , v (2т -— 1) ^ ,
F +
G + Я =
.
„
,
.
С ехр (—vcp)^
т т
1
1
'
1
ч
;
0
2v
л
1
1
г
2т —- 1 , т — 1
——S- + -4
I V
.
А,.
со —• 2v F (1) = 2 / ( — 1 ) , G
<( /1 )J=Т —
Из граничных условий
0 , 1Яw( 1—) 2v
= 0 , 2т
<р(1) = 0
найдем постоянную интегрирования
1
1
1
т
с
с
1 —
(Зт — 1) (Т Ч- 1)
2т (Т — 1)
Если воспользоваться уравнением
движений
,
^
л
V
адиабатичности
для автомодельных
m№ — r ^ + со — v = 0
v*o
его/
Т
1
1
и учесть, что ср — 0 , £ = 1, /г = 1 при Х = 1, то получим
0
0
U
щий
Таким образом, найден первый интеграл системы (3. 35), удовлетворяю­
граничным условиям на ударной волне,
Г* ( 2 7 - 1 )
L со — 2v + Т
F
+
Г(3т
=
L"
l£L^H
—1)
2
G
(Т +
1)
+ H =
л -\(hoyHro-»
т ( т - " 1 ) ' " ' " " ^ ^
,
r
2v
2т-1
, 7-1
.
i ^ i ^ b ^ ~ ^
При помощи полученного интеграла (3. 4 1 ) задача сводится к решению
системы двух линейных уравнений, которое для произвольных значений
со, Y может быть найдено численным интегрированием.
102
После нахождения величины А можно найти зависимости i ? (q) и
(g), где R =r Ir°,
т = £ / £ ° , при этом г° — динамическая длина, введенная
ранее, a t° — динамическое время, определенное формулой
г
т
2
2
2
Для нахождения автомодельного решения имеют место зависимости
г
*('> = (аГ'''
D* = Vr\t-\
Ъ = %-^,
(3.42)
7Т
где а (у, СО) — известная величина (см. гл. 2).
Если преобразовать (3. 42) к введенным безразмерным переменным, то
можно найти зависимости В (q) и т (q) в автомодельной задаче
2
ВД = £ *
^ )= ® ^ < V T W * .
(3.43)
Для линеаризированной задачи из (3. 17) путем интегрирования и с уче­
том (3. 43) получим
Да(?)
= ^?ехр(Л ).
(3.44)
1 ?
Найдем теперь т ((7). Используя определения g, т, Д , легко показать,
2
что
d z — \ g )
r
Так как d zJdq=(dR /dq)(di/dR ),
?
2
^ © ' ^ W d
•
то, учитывая (3.44), найдем
+ Ая)
в
С — > / * ехр
Для малых значений g можно записать
(1 + ^ g ) exp
2
Л ) = 1 + -ï+lz^
1 ?
Таким образом, для определения
уравнение
A
+
xq
0
(g).
т (q) получим дифференциальное
Интегрируя это уравнение и определяя постоянную интегрирования
из условия т ( 0 ) = 0 , находим
=
(, v,)-. v..[
T
5
v8
+ ^ Л
1
<
г
] .
(3. 45)
Соотношения (3.44), (3.45) в параметрическом виде дают закон движе­
ния ударной волны, т. е. зависимость R (т). Пользуясь (3.44), (3.45) и
условиями на ударной волне, можно определить зависимость всех харак­
теристик фронта ударной волны от ее радиуса и времени.
2.3. Точное решение задачи при to=(!>!• Выше было сказано, что ре­
шение линеаризированной задачи о взрыве в среде с переменной плот­
ностью можно получить путем численного интегрирования. Однако в слу­
чае, когда со= о)!, решение этой задачи можно дать в виде конечных фор2
103
мул. Это объясняется тем, что при этом значении автомодельное решение
имеет простой вид (см. решение (2.28)):
2
/о
Подставив foil), g (fy, h (\) из этого решения в коэффициенты урав­
нений (3.38)—(3.40), получим систему трех обыкновенных неоднородных
уравнений с коэффициентами, зависящими от параметров у и X,
0
0
(т-
Xf/ + XG' + 2 ( v - l ) ^ +
1
X ^
т
+
1
«
V
1
/
(3. 46)
?^ï±^_l(ïill)G 0,
=
(-у — 1)2
т —
1
'
xЯ' + v ( + l ) ^ - ^ ± i i я + I ^ v ( ^ l l - Л
ï
1
) = 0.
Эта система есть система уравнений с постоянными коэффициентами,
если за независимую переменную принять Z=lnX.
При решении системы (3.46) можно было бы воспользоваться интег­
ралом (3.4) при ш=о) . Но так как полная система (3.46) легко интегри­
руется, то этим интегралом можно не пользоваться. Однако он может
оказаться полезным при вычислении зависимости искомых функций
от X, а также для контроля расчета.
Найдем общее решение однородной системы уравнений (3.46). Харак­
теристическое уравнение этой системы записывается так:
1
2(v + l )
2v
т—1
: Î ( »
т-
(T + l ) v
„ + 2 (v — 1)
+
V)
0
= 0.
(3. 47)
7 - 1
0
Т/га+ \> (Т + 1)
v(7 +
п
l)
7 - 1
Каждому корню п уравнения (3.47) соответствует решение exp п 1= Х * однородной системы. Первый корень уравнения (3.47) равен
{
{
Я
«
(3.48)
= V(T+1)/(T —I ,.
-
1
Второй и третий корни уравнения (3.47) удовлетворяют квадратному
уравнению
2v ( у +
1)(3-7)
п + 5n -f З У + 2
(3.49)
=0
1
7
2
7 +
2
7 -
1
и равны
14=
-f-|/|+& ,
-k+V4+ »
b
2
-
__5v7 +
3v +
2
г
2v(v7 +
l ) ( 3 - 7 )
Из (3.50) видно, что п = 0 при у = 3. Зависимость
от v и у дана в табл. 1.
2
104
корней п
(3. 50)
1У
п, п
2
3
Общее решение однородной системы, соответствующей системе (3.46),
представляется в виде
П2
F(k) = С \
W
1
77 Л \ _
^ W -
т
~
—
1
п
+
2
С\\
3
~
(
7 +
Г
4»i
v
1)
— ( ? —1)п
2
(7 +
2
I (7^2 +
7 + v)(7 — 1 )
+ ( T + l ) v — ( T - 1) "
V
4
<7"з + * 7 + У ) ( Т — 1)
( 7+ l ) v - ( 7 - l ) ^ 3
,
Г
2
1)»з
1 ) * — (7 —
+
2
Г
Ü
3
^
•
Частное решение неоднородной системы уравнений (3. 46) таково:
F = a, G = a, H = а,
1
причем a
2
а , а выражаются через Л
v
2
3
_
""1
=
V
+
2 («у —
1)
v и у по формулам
1?
„
(v7
+
А
1) »
(3.52)
3
_ ( V - 1 ) 4
2
—
П
+
1
1
_
"
Г
7 ~
1'
«,=4[^-^4
(3.53)
Используя (3.51) и (3.52), получим решение системы (3.35) для <о— ш
в следующем виде:
г
/ i (
x
x
) = ^
(
a
K
i +
B
c x ' +
c x 0,
2
3
{
(3 54)
+§X%z% it№\ '
^
7 - Г
+I —С^
h ^ АX \J —- X Г Г/т
A
,
1
) ,
п
1
+1
I ( 7 * з + 7 + v) ( 7 — 1)
"^(ТГ + 1 ) - ( т - 1 ) л з
(Т 2 +
га
V ( T
V
г
+
П
1 )
. _+
_
-
6 X_ я ,
^ ) ( Т — 1 )
( 7
1 ) A Z 2
г
2
>
+I
л п "|
J'
8
3
Постоянные Ci, С , С и
определим так, чтобы функции Д (X), gi (X),
h (X) удовлетворяли краевым условиям (3.36). Так, из последнего
условия (3.36) (скорость в центре равна нулю), учитывая, что щ при лю­
бых у является отрицательной величиной и по модулю больше единицы,
найдем С = 0 ; из других условий (3.36) получим систему неоднородных
линейных уравнений с коэффициентами, зависящими от у и v,
2
3
x
3
3 55
*i+Cs+Y=Â=°• , +
g , + ^ , = f
<- >
(
I
3
l 7 , ' ^ . = ° -
< -
5 6
>
Если в уравнение (3.57) подставить С из (3.56) и воспользоваться
затем уравнениями (3.55) и (3.53), то получим соотношение для опреде­
ления А . Величина А будет зависеть от у и v. Определив А из системы
уравнений (3.53), (3,55), (3,56), найдем зависимость от у и v величин а
х
г
г
±
17
а
2?
а
з?
^1»
^2*
105
Рис. 17. Графики безразмерного давления для у = 1 , 4 и 7
Результаты расчетов для v—3 приведены в табл. 1.
Используя вычисленные константы и формулы (3.54) (при
С =0),
были построены зависимости / (X), g (X), h (X) (рис. 16, а, б, в соответст­
венно) для разных величин у. При помощи функций Д (X),
(X), й (X),
зная постоянную Л , можно рассчитать характеристики движения для
малых q.
3
х
±
x
g
l
х
х
Таблица
1
Значения постоянных для различных у
1
03
1,2
1,4
5/3
3,0
7,0
2,6364
2,3333
2,0000
1,0000
0,0000
—тг
п
2
33
18
12
6
4
5,9131
3,1540
1,7684
0,0000
—0,8031
с
3
19,095
16,487
15,268
14,000
13,697
А
2
11,923
6,5665
4,2717
1,6667
0,6098
2,9058
1,7540
1,1789
0,4667
1,1699
1
1,9778
1,8755
1,8211
1,7778
1,7979
Зависимость R (q) и т (q) находится из соотношений (3.44) и (3.45), в ко­
торых нужно положить Ь= о\, где
2
Т+ 1
7 - 7
На рис. 17 дано распределение безразмерного давления h=h -\-qh
в сферическом случае при у = 1 , 4 и у = 7 значений д = 0 и q=0,2. Эти гра­
фики показывают влияние противодавления на развитие взрыва в началь­
ной стадии.
Проведенный анализ позволяет сделать вывод о том, что для и>= IÛ
T ^ 3 функции Д, g , g и их производные по X ограничены всюду на
отрезке [0, 1]. Таким образом, приходим к заключению, что ограничен­
ное решение линеаризированной задачи существует и является единствен­
ным.
Так как функции Д, g h можно принять за значения производных
по q при д = 0 , то можно заключить, что решение ЗТВ для среды с пере­
менной плотностью имеет при о > = а>, у ^ 7 ограниченные производные
по g от функций vi С, plp ,
р/р . Аналогичные выводы можно сделать
и для случая цилиндрической симметрии, рассмотренного Е. В. Рязано­
вым [4,8] (при v = 2 графики h (X, q) приведены для сравнения на рис. 17, а).
Из табл. 1 следует, что дифференциальные свойства решения ухуд­
шаются при у > 3, так как показатель степени п становится отрицатель­
ным.
0
11
±
ж
±
±
ly
x
х
2
2
2
§ 3. Учет противодавления
для случая изотермической атмосферы
переменной плотности
Примем, как это было сделано в § 1, за безразмерные переменные ве­
личины X, q, / , g, h и будем считать v = 3 . Будем искать решение в виде
(3.16), (3.18) при î = 2 (задача б), §1). Проведем исследование этой задачи
аналогично схеме предыдущего случая [5,6].
107
-so-
450-
Рис.
/21 W
18.
Д
Графики функций
разных у
л я
Рис. 19. Графики функций h
разных у
g
(X),
21
(X) для
2 1
Рис. 2 0 . Распределения безразмерных
давлений,
плотностей и
скоростей
(0=0,05,
=1.2)
Т
Штриховые кривые соответствуют автомодель­
ному решению
Система линеаризированных уравнений (3.18)—(3.20) при 1 = 2 имеет
интеграл адиабатичности, который с учетом граничных условий на удар­
ной волне (3.23) можно записать в виде
х
# 2, + AG
(
( 2 )
- ( ï + A)F
= -^
(2)
2
1
+ Cexp(co-v)
? I
1
к—-
+
v
Y — 1'
Tv-
(* - /о) ^с2) = /2 M ,
С = АН
21
£<А - g
2)
(1) - k G
(2)
2l
(X),
А Я
0
( 2 )
(2)
(1) _ ( + k)F
Т
= /* (X).
21
i2)
(1),
(3. 58)
Причем функция ср явно выражается через £ , А , X, как и в аналогичном
интеграле, рассмотренном в § 2.
Граничная задача для системы (3.18)—(3.20) при i = 2 может быть ре­
шена численно. При (о— (о можно получить аналитическое решение.
Это решение, удовлетворяющее условию / ( 0 ) = 0 , будет иметь вид
0
0
х
2 1
7 +
7 +
:
11
С^
+
п
— 3
2
-f-
03}
(3. 59)
тг -f- 3 — <х>2
2
h
108
—
——isï—r
) 4
I
7"2 — 3 (7 — 1)
Г
I-K^CÏ+D/CT-D]
,ffl
1Рис. 2 1 . Зависимости безраз­
мерного
радиуса
ударной ^
волны от безразмерного вре- ^
мени
К р у ж к и соответствуют автомодельному решению
где F , G , Н
0
0
I
даются формулами
0
G
4
/
-F , Я = ^ [ ( 3 - «
= -
0
0
0
5
в 1
)Л
+ 3(
а
Т
(3. 60)
щ— наименьший корень квадратного уравнения
7 - 1
ni
(7
+
& < » т - з > - 0 3 У ( ^ ) = ° -
Постоянные С С , А находятся из граничных условий (3.23). Для
решения (3.59) был проведен расчет функций / , g , h для различных
у и (o=(û - Значения постоянных Л , Ci, С , .F , /У , п даны в табл. 2.
На рис. 18, 19 приведены графики функций / , g , h при разных у,
на рис. 20 — графики / , g, h для значения # = 0 , 0 5 при у=1,2.
ъ
2
21
2 1
le
2 1
2
21
0
2 1
21
0
2
21
21
Таблица
2
Значения постоянных в (3.59)
т
^21
1,2
1,4
5/3
7,8750
4,5411
3,2711
Ci
с
—19,863
— 9,7302
— 5,7455
-0,73533
-1,2158
-1,0374
^0
2
п
Но
2
0,037482
0,083213
0,13981
7,412
2,271
0,654
-9,2647
—3,7842
--1.9626
1
3
ü,
Если ввести безразмерный радиус i?=r /r°, r°=(i? /c) /( ~~ > и без­
размерное время т =£/£ , t =r°(A/Cy/ ,
то для нахождения закона движе­
ния ударной волны R (т ) можно получить следующие зависимости:
2
0
2
0
0
0
0
Rз -
ш
—
• qe^ 2 1 ?
ay
J
52\1/(3-<D)
Т^^+Ш'+г+У^}'
(3 61)
-
Заметим, что для автомодельного взрыва имеем
b
R^^ lq
t
ay
Зависимость /?(т ) согласно (3.61) для у = 1 , 2 ; (о=
дана на рис. 21.
Дифференциальные свойства решения ухудшаются в окрестности 1=0
по сравнению со случаем p^const. Функции / (X), g (X), являясь огра­
ниченными на отрезке [0,1], имеют неограниченные производные в точке
Х=0.
0
2 1
21
109
§ 4. Сильный взрыв в движущемся газе
В ряде случаев может оказаться интересным исследование вопроса
о взрыве в движущемся совершенном газе при истечении его из сосуда
с высоким давлением р в окружающее пространство с низким давлением
р . Этот вопрос встречается также при учете начального движения газа
в проблеме распространения возмущений по межпланетной среде во время
солнечных вспышек (см. гл. 8 ) . Постановки одномерных ЗТВ в движу­
щейся среде с учетом начальной скорости даны автором [ 5 , 6 ] .
Остановимся здесь кратко на случае истечения газа из сосуда. Если
воспользоваться гидравлическим приближением [ 9 ] , то для плотности
газа, истекающего через коническую ( v = 3 ) или клиновидную ( v = 2 )
РУбу, будем иметь p = M / y r , где через M обозначен расход газа.
Когда р мало, то на достаточно большом расстоянии от места истечения
скорость и близка к максимальной и мы имеем случай начального со­
стояния, когда плотность р переменна (для рассматриваемой формы трубы
( o = v — 1 ) и начальная скорость отлична от нуля. Для случая взрыва
в узком конце этой трубы мы приходим к сформулированной выше за­
даче в среде с переменной плотностью, когда v =const,
р = const, о> =
= v—1. Рассмотрим теперь в линеаризированной постановке решение этой
задачи, когда и
р задано формулами ( 3 . 1 ) , ( 3 . 3 ) , а начальное давле­
ние равно нулю (Pi=0).
г
v _ 1
т
1
1
г
г
г
±
11
±
1
Как уже отмечалось в § 1 , проведя линеаризацию системы ( 3 . 1 2 ) —
( 3 . 1 5 ) , мы придем к системе линейных обыкновенных дифференциальных
уравнений ( 3 . 1 8 ) — ( 3 . 2 0 ) при i = l. Граничные условия для этой системы
на ударной волне имеют вид ( 3 . 2 2 ) . В центре взрыва можно либо потре­
бовать равенства нулю скорости при любых со, либо постулировать усло­
вие восстановления источника со скоростью, пропорциональной или
равной v . Конечно, движение может быть таковым, что это последнее
условие начнет выполняться лишь при достаточно больших t.
x
Пусть мы требуем, чтобы выполнялось условие v ( 0 , t)=0. Из формулы
для v следует, что v ( 0 ) = 0 , если о> > 2 . При ш = 2 имеем случай постоян­
ной начальной скорости i7 =const, случай ш <С 2 соответствует беско­
нечной скорости и в центре и здесь не рассматривается. Заметим также,
что начальная кинетическая энергия газа внутри некоторого объема
с радиусом г
x
x
x
г
** 2
Е
1к
=
4тг J ^
гЧг
= W
0
£
2
j r -4r
w
(3. 62)
о
будет неограниченной при а> < 1 . Все это указывает на появление новых
особенностей в решении, которые могут принести ухудшение его диф­
ференциальных свойств при уменьшении ш. Кроме того, для конечности
массы мы должны потребовать, чтобы о> < 3 . Таким образом, наиболее
интересный диапазон о> лежит в пределах
2 < ш < 3 .
(3.63)
Будем предполагать условие ( 3 . 6 3 ) выполненным. Система линеаризи­
рованных уравнений ( 3 . 1 8 ) — ( 3 . 2 0 ) , как и в предшествующих случаях,
НО
имеет интеграл адиабатичности (т.е. интеграл двух последних уравнений
этой системы). Для интегрального контроля вычислений можно исполь­
зовать закон сохранения массы (3.26). Проведя линеаризацию, из (3.26)
находим
г
2
5
(3.64)
—
В частном случае ш= ш для системы (3.18)—(3.20) при г = 1 можно
указать точное решение. Следуя пути, намеченному в § 2, запишем это
решение так:
г
л —Ч
„ _ з —Ï
г?\
1
(3. 65)
Решение (3.65) содержит лишь два частных решения системы (3.18) —
(3.20). Третье решение соответствует наибольшему по модулю отрицатель^
ному характеристическому корню тг , полученному из уравнения
3
1
п
Из условия наименьшего роста функции /
вблизи 1=0 мы положили
в решениях (3.65) постоянную С равной нулю и, таким образом, не учи­
тывали этого частного решения.
Для постоянных F , 6? , Н имеем
п
3
0
G o =
2
0
F
- ^ ? o>
0
Н = 0
F = 0,5(12_I±1К
0
_
1 }
(3 - 3)
F -
Т
)[ _
т
0
!
2А ,
п
.
ni-
OA
Ù/?
OJ
о
\
о,г
1
о^^0,0
0,8
1,0
Я
-0,1 Рис. 2 2 . Графики ф у н к ц и й /
Р и с 2 3 . Графики функций g
xl
п
(X) для разных у
(X) для разных у
111
Постоянные А , С С определяются из граничных условий (3.22).
Результаты вычислений даны в табл. 3.
Графики функций / , g , h для разных у показаны на рис. 22—24.
На рис. 25 даны функции / , g, h при у = 0 , 1 ; у = 1 , 2 .
п
ъ
2
п
n
n
Таблица
3
Значения постоянных в (3.65)
Ci
7
1,2
4/3
1,4
5/3
0,58341
0,68072
0,69335
0,56286
с
п
2
2
—1,6254
1,46413
1,6933
1,4221
0,63825
0,39647
0,35282
0,50591
—0,80980
—0,90401
—0,94495
-1,0779
t
Проведенные расчеты показывают, что при у > 1,2 имеется заметная
область вблизи А=0, где полученное решение теряет смысл, ибо кривая
плотности и давления переходит через нуль и становится отрицательной.
Это объясняется особым характером исходного решения / , g , h при а>=
= (о поведением решения и недостатками метода линеаризации. Здесь
можно также рассмотреть вариант решения с введением сферической
полости с нулевым давлением в окрестности точки А=0. Можно, однако,
надеяться, что такие, по существу интегральные, характеристики движе­
ния, как константа А
в поправке к закону движения ударной волны
будут давать правильные значения и не сильно зависят от локальных
свойств решения вблизи центра симметрии.
0
0
0
1?
1Ъ
А.
0
Рис. 2 4 . Графики функций h
Рис. 2 5 . Распределения
Y=l,2)
n
0,4
0,6
0,8
10À
(X) для разных у
безразмерных
давлений, плотностей и скоростей
Штриховые кривые соответствуют автомодельному решению
112
0,2
(#—0,1,
Рис. 2 6 . Зависимости r /r* ра­
диуса ударной волны от вре­
мени для у = 1 , 3 3 и у = 1 , 2
2
Кружки соответствуют точкам ав­
томодельного решения
Введем безразмерный радиус х =г -/г* и безразмерное время z=t/t*
r*=(EJAB ) i ' ~ ,
f=(r*) ~ /B.
Тогда для отыскания зависимости между
х и т находим
2
2
1 ( Ui
v
3
2
9
V)
2
х = (Sa-V )2/(<-i)i/2/(^-i) exp 1 ^ г/,
2
2
(3. 66)
Х=
1
Ъ (8а- / )2(3-со)/(оз-1) (5-ш)/(«)-1)
2
г/
1
+
4(а>-1)
Л
п2/
В автомодельном случае имеем
4
Зависимость (3.66) "для случаев ш= o) у = 1 , 2 и у = /
представлена
на рис. 26. Здесь крестиками отмечены значения, соответствующие (3.67).
l5
3
§ 5. Учет противодавления
в начальной стадии плоского,
цилиндрического или сферического взрывов
в газах постоянной начальной плотности
5.1. Основные уравнения и некоторые их свойства. Как уже отмеча­
лось, решение автомодельной задачи о сильном взрыве в покоящемся
газе без учета противодавления описывает поведение взрыва в началь­
ные моменты времени, когда давление р за фронтом ударной волны зна­
чительно больше начального давления газа р . Решение линеаризирован­
ной задачи дает возможность находить искомые функции для более позд­
них моментов времени. Так, для взрыва в воздухе (у=1,4) это решение
можно использовать до момента "времени, когда давление р примерно
в 8 раз превышает давление p
В ряде приложений теории точечного
взрыва необходимо иметь решение задачи для сред с* различными пока­
зателями адиабаты у. Результаты линеаризированного решения можно
использовать при расчете полной задачи приближенными аналитиче­
скими или численными методами (см. гл. 4).
2
г
2
v
Линеаризированные решения для произвольных у не выражаются
через элементарные функции и могут быть получены лишь численными
методами. В линеаризированной постановке задача о взрыве с противо­
давлением при постоянной начальной плотности и показателем адиабаты
у=1,4 была впервые рассмотрена Н. С. Мельниковой [1] (см. также [2])
и независимо А. Сакураем [3]. Расчет цилиндрического и плоского взрывов
при Y = 1 , 4 выполнен в работе [10].
8
Тр. Математ. ин-та, т. G X I X
11 3
Рассмотрим численные методы решения линеаризированной задачи
о взрыве с учетом противодавления для широкого диапазона значений
у в случаях плоских, цилиндрических и сферических волн. Результаты
проведенных расчетов опубликованы в виде специальных таблиц [И],,
содержащих как автомодельные, так и линеаризированные функции.
Метод расчета разработан автором при участии П. И. Чушкина [12].
Определяющими параметрами задачи являются начальные плотность
и давление газа р и р энергия 2? , показатель адиабаты у, геометриче­
ская координата г и время t. Эти параметры показывают, что при задан­
ной симметрии решение будет зависеть от, у и двух безразмерных пере­
менных, за которые примем X, q. Эти переменные изменяются соответст­
венно в интервалах O ^ X ^ l ,
O ^ g ^ l .
В качестве искомых функций будем рассматривать безразмерныескорость / , плотность g и давление h:
г
ъ
0
g
=
=
l \
к
=
Ж
•
9
(3.68)
Кроме того, искомыми функциями являются еще i ? ~ г / г ° и
z=t/t°
где г° и t° — соответственно динамические длина и время, определяемые
формулами
2
г»=(^)
1 ,
\
2
r
(3.69)
0
* = г»(£)\
Система дифференциальных уравнений, описывающих одномерные не­
установившиеся движения совершенного газа, в принятых безразмерных
переменных имеет вид (3.12)—(3.14) при i = 2 , о>=0. Эта система служит
для определения зависимостей / (X, q), g (X, g), А (X, q). Для нее имеют
место следующие краевые условия. На ударной волне (при Х=1)
gfl.'g^ï^rpS.
/(1. e)=7^î(i--e).
fe(1 g)=2T
1>g
' 7c!+~i) -
( 3
-
7 0
>
В центре симметрии (при Х=0)
/ ( О , д) = 0.
(3.71)
Начальные условия (при q=0) выражаются так:
0) = / (Х),
Î(K
* ( Х , 0) =
0
?0
(b),
Ä(X, 0) = А (Х),
0
где / (X), g (X), h (X) — функции, отвечающие автомодельному решению.
Четвертое краевое условие (3.71) позволяет определить радиус удар­
ной волны i ? (q). Эти функцию можно найти также по интегральному
закону сохранения энергии (3.25). После этого зависимость т (q) вычис­
ляется квадратурой по уравнению
0
0
0
2
dz __/ q VA dR
äq Vif / dq *
2
Для начальной стадии взрывах противодавлением (т. е. для малых q)
решение можно искать в форме (3.16)—(3.17) при i=2,
f =
/о
+ Qfi + o (q)t
g = g + qgi + o(q)
B dq
7 d Ä
()
где А
114
Г
1
h = h + qh + o (q),
2
" l + ^
Q
1
(3.72)
v
2
0)=0:
+ o(g)'
— постоянная, подлежащая определению.
Если функции (3.72) подставить в систему уравнений (3.12)—(3.14)
и в краевые условия (1.5), (1.6), пренебречь членами порядка g и выше,
а затем приравнять нулю члены при одинаковых степенях g, то получим
системы обыкновенных дифференциальных уравнений и краевые условия
для автомодельной и для линеаризированной задач.
В работе [13] был проведен учет членов порядка g (см. также [14,
15]). По этому поводу надо заметить следующее. Решение (3.72) можно
было бы представить в виде f=f +qfi+q f +
. . . (аналогично для
h)
т. е. считать их рядами по д. Область сходимости представлений (3.72),
рассматриваемых как ряды по g, еще не выяснена. Во всяком случае
можно определенно сказать, что решение в виде такого ряда будет рас­
ходиться при g ^ (у—1)/2. Последнее следует из того, что разложение
для функции g (1, g) из (3.70) сходится лишь при g < (у—1)/2. Таким
образом, при у < 2 такие представления для функций можно исполь­
зовать только при малых д. Но при малых значениях g учет членов порядка
g вряд ли позволит существенно улучшить линеаризированное решение.
Здесь, правда, имеется возможность использовать функцию 1/g вместо
g при изучении решений с помощью рядов по д. Эта функция при Х = 1
линейно зависит от g и для нее приведенные возражения не имеют столь
существенного значения.
Введем вместо X новую независимую переменную р. такую, что
2
2
2
0
2
y
2
Х
[
=
хЛ^"Ч
(3.73)
причем Х = 0 соответствует ^л= ^. =(у-т-1)/2у, а Х=1 соответствует f i = l .
Как было указано в главе 2, для у^2 решение автомодельной задачи
для сильного взрыва можно с помощью параметрической переменной ^
записать в такой форме:
0
/о=7^Т^.
So = ^ { ^ " №
4i^«S »r*.
Hft
*o =
(3.74)
Случай Y = 2 является специальным, и здесь для g и h имеем
0
g =
Q
,
0
2
A =-|V w^'- >.
3xu\44i\l*-*№,
0
(3.75).
/
В формулах (3.73)—(3.75) приняты обозначения
u
i —
ßx = ß
—
2-г )>
+
2
v
T
^ r 2 -
8
3v_2- (v-2)L
T
P.=2S^iTÎ.
'
v-f-v + 2
Рз =
«"J*
1-2Р ,
2
Величины же R (g) и т (g) в автомодельной задаче находятся по выраже­
ниям Rl =
0
2
a
S g/ï >
т
(0)
= (?/т)
1/а
8 j R
2o»
г
е
Д постоянная а определяется по фор­
муле (2.25).
Система линейных дифференциальных уравнений для определения
функций Д (X), g ('X) /^(Х) и постоянной А в линеаризированной задаче
имеет вид (3.18)—(3.20) при £ = 2 , œr=0, А = А
(см. § 1).
1
x
Х
2
1
1
К*
115
Краевые условия для этой системы будут
— h
1
( i )
,(l) = _*ll±*l.
= - j ^ ,
Л(0) = 0.
(3.76)
Можно считать, что последнее из этих условий служит для нахождения
постоянной А
Для функций R (q) и -т (q) в линеаризированной задаче получим
1
;
2
"
Щ = Rh exp (A, q),
^J+i]
т = т , [l +
(0
3
v]•
(-
77
>
Эти соотношения дают в параметрической форме закон движения удар­
ной волны, т. е. функцию R (т). Пользуясь уравнениями (3.77) и соот­
ношениями на ударной волне (3.76), можно определить зависимость всех
характеристик на фронте ударной волны от радиуса или времени. Напри­
мер, для отношения давлений р 1р в функций от R имеем
2
2
г
2
5.2. Численное решение задачи. Решение линеаризированной задачи
сводится к численному интегрированию системы (3.18)—(3.20) при &=2,
'(0=0 и условиях (3.76). Мы будем рассматривать лишь случаи, когда
у находится в пределах 1 <С f <С 7. Заметим, что при у = 7 (v—3) эта
задача имеет точное аналитическое решение (см. § 2).
Чтобы придать линеаризированной системе вид, удобный для числен­
ных расчетов, введем новые искомые функции ^ ( À ) , G(À) и Я ( А ) , связан­
ные с f (Л), gi (X), h (X) соотношениями
t
x
fi = —mF,
g = gG
1
0
\ = g H,
1
77i =
Q
/ — X.
0
После преобразований система (3.18)—(3.20) примет вид
^ ' - è ' + ( ô + ^ ) - ^ - i i) ( - " > - y % A=o,
я
2/
F
f
G
m (F — G') — v ( F + G) = 0,
1
7 9
(3- )
•m fr* — # ' ) — v [( — 1) F + H +
= 0.
7
T
Условия же (3.77) запишутся так:
Я(1) = - 1 ^ 1 ,
/f.(l) = — 6 ( 1 ) = - ^ ,
F(0) = F ,
0
(3.80)
где постоянная F зависит только от у и v (см. ниже формулы (3.83)).
Как и в предыдущих задачах, система (3.79) имеет интеграл, который
с учетом (3.80) можно представить в такой форме:
0
F _ 2 Н + (2 Т
1) G - 2 А = - ( 2 А
Х
где
г
3
+
2
-^~
^|)о7,
V
/7—1
(3.81)
Перейдем теперь в системе (3.79) к новой независимой переменной р.,
определенной -равенством (3.73). Полученная в результате система урав­
нений может быть приведена к следующему виду:
dF
;
{
T
- b - ^ ^ ^ ^ ç ^ ,
_ i ) , * „ + ( i
(3. 82)
dF
^ т с
не
,
v<Ê> ,
9/r
,
^
ч
+ тгР + Ъ
dH
dF
.
УФ
2
Г /
.
.
Ч
„
.
R R
.
. ,
д г = т ^ + ^ [ ( т - 1 ) ^ + я + Л1-
Здесь введены такие обозначения:
ф,
•
т
~ 1*1*8
— 1) — РаЧ-Ра
В окрестности центра взрыва для искомого решения системы (3.82)
могут быть указаны асимптотические формулы
F = F ,+
B
+ « „ ) . » ) + О (X»),
(3. 8 3 )
fl
+
2
2fc
"~ ^4*)l
+ 0(X ),
к
к
Я = . ^ + 5 ( 1 +Ь \ )
+ 0(Ъ? ),
п
где Р G ,
не зависят от X и представляют собой частное решение сис­
темы (3.82), В - произвольная постоянная, A = l / ß , под G7 понимается
главный член разложения Q7 (X) в окрестности Х = 0 . При^ 1 < Y <С7 (ис­
ключая случай Y = 2 ) постоянные, входящие в асимптотику (3.83), имеют
вид
ъ
x
1
2
1
7 — 1'
*oi-
,
=
ß
2
а
r (
2
(7-1)
+
I ^
ö =^[« Wf*
0
( H )
2
f != - G
1 =
T
+
0
(7 + » ) '
_ i _
(
l
+
_ X .
|
? i
[«3(^o)r rf
M !
)
]
(
.
1
[2 +
T - (T - 2) ( l + 2 . - L ) ] " ^ ,
^ i - - ^ i - ( ï ~ l ) ^ i -
При Y = 2 изменится лишь формула для D , т. е.
0
Для численного интегрирования системы дифференциальных уравне­
ний (3.82) применялся следующий метод. Задавалось некоторое началь­
ное значение постоянной А (практически это значение принималось
близким к 2). Далее дифференциальные уравнения (3.82) интегрировались
численно методом Рунге—Кутта с переменным шагом от ( л = 1 до некото­
рого f A = f A i (jj. <С Pi <С-1). Это значение р выбиралось как граница при­
менимости асимптотических формул (3 83). Условием для выбора вели­
чины £г служило постоянство (с нужной точностью) констант, входящих
в асимптотические формулы (3.83), при уменьшении
При значении
^ = | х которому соответствует Х ^ Х ^ вычислялась постоянная В из асимпг
0
х
х
1?
117
тотической формулы для F. Если эту величину обозначить через 2? то
тогда из (3.83) имеем
1?
Одновременно при IL=I*> вычислялась постоянная В
ской формуле для H, а именно
1
по асимптотиче­
H — H1
1
*~1 + ЬпЧЗатем определялась разность величин В —В и производилось исправле­
ние принятого начального значения А таким образом, чтобы удовлетво­
рялось условие
2
х
г
IВ
2
— В
х
в,
тде Д — заданное малое число. Процесс подбора величины А легко авто­
матизируется при машинных расчетах и происходит очень быстро. В рас­
чете с окончательно подобранным значением А определялись наряду
с функциями F, G, H также функции Д, g h и все другие характеристики
течения. Кроме того, во всех расчетах проводился контроль точности вы­
числений по выполнению интеграла (3.81).
Описанный численный метод решения линеаризированной задачи
о взрыве с противодавлением отличается от методов, применявшихся
в работах [1—3, 10], и довольно удобен при машинных расчетах.
5.3. Результаты расчетов. По изложенному методу К. В. Шароватовой
была составлена программа для электронной вычислительной машины
БЭСМ-2, позволяющая рассчитывать решение линеаризированной задачи
о взрыве с противодавлением в газах при различных значениях показа­
теля адиабаты у в плоском, цилиндрическом и сферическом случаях.
По этой программе была проведена большая серия расчетов для v = l ,
2, 3 и значений у = 1 , 1 ; 1,2; 1,3; 1,4; 5/3; 2; 3. В этих расчетах, помимо
функций / , g , h и постоянных А , определялись еще автомодельные
функции / , g , h а также следующие функции:
х
±
±1
х
x
0
Q
e
0=Y
ft
x
_7*о
0
г
0l
/о#0
g
x
*"t"
ft
>
е
1 ~
— ifti —
^°
ö
Qgi
ï/oêo/l +
„
у
foSl +
„
7*0
gl
»
_
7
(&i — 6 gi)
0
gl
Последние функции служат для вычисления полной энергии, темпера­
туры и энтропии газа в линеаризированном приближении. Кроме того,
рассчитанные данные позволяют определить импульс давления и другие
интегральные характеристики, а также найти связь между эйлеровой
и лагранжевой координатами (с помощью а и о ) . Все указанные функ­
ции рассчитывались с точностью до пяти значащих цифр. Полученные
в этих расчетах таблицы всех перечисленных функций и констант, входя­
щих в асимптотические формулы для определения этих функций вблизи
центра взрыва (в окрестности Х=0), опубликованы в [11].
В настоящей работе приводится для иллюстрации лишь несколько
графиков, содержащих отдельные результаты. На рис. 27 дан график
0
118'
х
Рис. 2 7 . Кривые Д (X) для разных у в случае сферической симметрии
Р и с . 2 8 . Графики кривых y h
нию давлений при разных у
±
(X), характеризующие линейные поправки к распределе­
функции / (X) для различных значений у в сферическом случае, а на рис. 2 8 —
соответствующий график для yh (X). Изменение функций ф (X) при у =
= / в зависимости от v представлено на рис. 29. На рис. 30 построены
кривые относительного давления р1р при д=0,1 для различных у и v =
= 3 . В табл. 4 приводятся значения постоянной А найденные для ряда
показателей адиабаты у и v = l , 2, 3.
х
x
г
5
3
г
ъ
4
Таблица
Значения постоянной
^
7
V
1
2
3
1,1
1,2
1,3
1,4
5/3
2
3
2,3257
2,0866
2,0010
2,2437
2,0424
1,9666
2,1862
2,0092
1,9396
2,1433
1,9836
1,9182
2,0683
1,9374
1,8785
2,0143
1,9043
1,8496
1,9407
1,8632
1,8141
Представленные здесь и в [11] результаты указывают на существен­
ную зависимость решения от величины у. Они также говорят о том, что
функции линейных добавок/ (X), g (X), h (X) ограничены и> следовательно,
линеаризация имеет смысл всюду при 0 ^ X <С 1.
5.4. Вариант метода прогонки для решения линеаризированной си­
стемы. Рассмотренный метод численного решения линеаризированной
системы обладает тем недостатком, что при подборе коэффициента А
приходится несколько раз решать численно систему (3J32). Имеется воз­
можность избежать этого недостатка, используя специальный метод,
аналогичный методам прогонки [16], рассмотрению которого и посвящен
настоящий раздел.
х
x
x
г
119
Запишем систему (3.79) в матричном виде
(3.84)
а
F
х =
G >
H
п
<?i =
а
12
а
13
а
21
а
22
а
23
а
31
а
32
а
зз
а,
>
Q,=
а
(3. 85)
2
а
3
_g<>™
л
F'(Ä+TS)-
12-
^21 •
л
«12 =
a
T i i — ^ - ( Т —1).
31 "
А
т
1 = 8о\^.I—ы
Ч'
*=T[£+*»(Ä-T&)].
«
W
"
Я
«32 =
4
=
а
Т 12.
ö
l
'
а
а
Т 1з—
зз =
а
з = Т
1
—
m
Х
= fo — -
Пусть теперь для искомых функций выполняется интегральное соотношение
1
J МХХ*~ а\ =
1
+ Л 7 ,
1Q
(3. 86)
2
о
где
G 7 — некоторые (известные) числа, M — матрица-строка
2
М = \\М
Ж , М \\.
1У
2
(3.87)
3
Введем новый вектор-столбец Y с неизвестными компонентами F, G, Н,
умножим слева уравнение (3. 84) на матрицу-строку F*, полученную транс*
понированием Y. Полученное соотношение проинтегрируем по X:
1
1
1
j Y*X d\ = j Y*Q XdX + Л J Г(? ЙХ.
!
x
Р и с 2 9 . Сравнение распределений
h (X) Для разных симметрии
x
Рис. 3 0 . Распределения относитель­
ных давлений по пространству (слу­
чай v = 3 , q= 0,1) l i ^ - ^ ^ Ä . ^ \
х
2
Интегрируя по частям, получаем
1
1
] (Y*' + Y*Qd Xd\ = [Y*X] - А j r<? dX,
г
о
(3. 88>
2
0
Выберем Y так, чтобы выполнялось уравнение
1
Y*' + Y*Qi = Mr- .
(3.89>
Соотношение (3.88) с учетом (3.86), (3.89) можно записать так:
1
^
+
1
А7
1<
=
а
—
[ТГХ]^
А
1
\
Y*<? dX.
(3.90>
2
О
Выберем теперь Y так, чтобы при Х = 0 выполнялось условие
[ГХ]|
х = 0
= 0
ИЛИ
(FF,+
GG + ffH)\^
= 0.
0
•
(3.91)
Если F, G, H конечны при Х = 0 , то можно считать, что
^(0) = б(0) = Я(0) = 0
(3.92)
и условие (3.91) будет выполнено.
Уравнение (3.89) не содержит постоянной А и может быть проинтегри­
ровано от Х = 0 до Х=1 (например, численным интегрированием). По най­
денным значениям У определим [ У Х ] |
и вычислим интегралы, входя­
щие в (3.90), затем найдем А по формуле
г
х = 1
г
U
Если значение А найдено, то, интегрируя систему (3.84) с началь­
ными данными при Х = 1 , получаем решение задачи.
В качестве простейшего интегрального соотношения вида (3.86) возьмем
линеаризированный закон сохранения массы. При отсутствии источника
массы в центре имеем
1
\gV~4X=\.
(3.93)
о
х
1
Отсюда для
линеаризированного
v_1
решения
находим J g X dX = 0 или
о
— O. Для элементов* матрицы M и чисел <$ , сз7 имеем М — 0,
x
J gfiV^dk
о
^ 2 £ ( ь М%=0, / = / = 0 . Другими интегральными соотношениями типа
(3.86) могут служить линеаризированное соотношение для интеграла
энергии
1
х
2
х
=
1
T \ (-tejnF
2
+ - ^ Н + Щ ь - 0 ) А
-
-A 7
lQ
0
1
^ O - T S ^
•
1
+ ^ T ) ^ ,
(3.94)
121
м соотношение, полученное умножением интеграла адиабатичности (3.81)
на X и интегрированием от 0 до 1. В случае использования (3.93) или
(3.94) интеграл адиабатичности (3,81) может быть использован для про­
верки точности вычислений.
Таким образом, зная некоторые интегральные и локальные (вблизи
1=0) свойства решения, удается найти постоянную А путем использова­
ния интегрирования вспомогательного уравнения в направлении от центра
до ударной волны, а затем интегрированием основной системы уравне­
ний от ударной волны до центра определить все искомые функции. В этом
смысле рассмотренный метод можно считать специальным вариантом
метода прогонки, применяемого для решения краевых задач [16]. Для
случая системы двух уравнений вида (3.84) и частного случая использова­
ния интегрального закона сохранения энергии метод, близкий к разви­
тому выше, был рассмотрен в работе [14].
Заметим, что развитый нами метод допускает видоизменение для слу­
чая использования других независимых переменных (например,
ОН
может применяться для решения других линеаризированных задач.
Среди них назовем задачу о сильном взрыве в детонирующей среде (см.
гл. 6), задачу о движении поршня с учетом противодавления (в интеграль­
ном соотношении метода здесь следует интегрировать не от 0 до 1, а в пре­
делах, соответствующих координатам поршня и ударной волны), задачу
об учете влияния магнитного поля на течение газа при взрыве.
v_1
г
§ 6. Об использовании принципа
суперпозиции линейных поправок
Как уже отмечалось, при формулировании основной ЗТВ в совершен­
ном газе мы пренебрегаем такими эффектами, как возможные изменения
начальной скорости, давления, уравнения состояния, переменности энер­
гии Е и т. п. Причем влияние тех или иных параметров на течение не равно­
ценно, что было показано на примерах. Может возникнуть потребность
одновременного учета многих малых параметров сразу. В этом случае
имеет смысл воспользоваться принципом суперпозиции решений линей­
ных уравнений для различных поправок к сильному взрыву.
Рассмотрим этот вопрос подробнее для одномерных движений газа.
Пусть мы ищем решение в виде
0
v =
v
Р =
Ро +
Р =
Ро + НРг +
Q
+
е
£
Л
+
lPl +
ви
2
е
2
+
. . . +
2р2 +
• •• +
4P* +
е
£
. . . +
А
,
А>
(3-
9 5
)
e P ,
w
w
где е е ,. . ., г — независимые малые параметры. Подставим решение
(3.95) в систему (3.5) и учтем, ?что и , р , р есть решение этой системы.
В результате получим, например, из уравнения импульсов
1?
2
п
0
д
TÜ
»+
0
"ЙЗ&ЗД Ф + ктт,
0
й
£•=»•
"=
s-*
Так как параметры г. независимы, то, полагая их все равными нулю,
кроме одного e , приходим к системе уравнений типа (1.31) для возмущеÄ
122
лий р , v , р . Это же будет верно и для граничных и начальных условий.
Таким образом, мы получаем линеаризированную систему и приходим
с необходимостью к выводу, что линейные поправки должны удовлетворять
системам линейных уравнений, соответствующих одному возмущению
со своим параметром e , при своих граничных и начальных условиях.
С другой стороны, если все линейные системы, соответствующие отдель­
ным параметрам e , удовлетворены некоторыми решениями и , р , р ,
то с точностью до членов e ., Sj (i, / = 1 , . . ., п) мы удовлетворяем и ис­
ходной системе. Естественно, что ограниченность всех поправок должна
иметь место для обоснованности применения линеаризации. На основе
сказанного можно сформулировать правило одновременного учета несколь­
ких поправок. Решение задачи записываем в виде
к
k
к
Ä
Ä
к
к
к
t
е
г
v — v (r,-*) + 2 А ( > *) + о(1),
0
t) + 2 е , А (г, t) + о (Z),
Р = Ро
(3. 96)
р = (г, t) + 2 в Л (r, t) + о (Z),
I =*
+ el + . . - + e».
Решаем частные линеаризированные задачи для параметров е.. Под­
ставляя эти частные решения в (3.96), получаем путем суммирования пол­
ное решение, учитывающее линейные поправки к стандартной ЗТВ. Как
это было показано в предыдущих параграфах, технически бывает проще
проводить линеаризацию по некоторому переменному параметру q (t),
зависящему от времени. Так как это почти всегда означает, что мы ищем
частную добавку в виде s f (r, t) = e ^ (t)(p (\)
то отсюда и следует
способ суммирования добавок, основанный на использовании постоянных
параметров е .
Р о
k
k
k
lk
2k
9
к
В качестве примера рассмотрим учет параметров В и С в ЗТВ при
переменном противодавлении р и начальной скорости v (§ 1, 3, 4).
Учет независимых поправок здесь может быть задан решением
г
x
/ = /oM + ^ i i W + 4/2iW + °0/> <?),
g = g ^)
0
x
+ ygn( )
h = h (X) + yh
0
l
+ Qg2i( ) + o(y, q),
(X) + qh21 (X) + о (y, q),
n
x = ( S a - V ^ ^ y / C - U exp ( i d l l j , + - d a . ç).
Причем при заданных A, В ж С для расчета решения при одних и тех же
значениях времени следует учесть связь между параметрами q и у:
4(о)-2)
g = (Sa-V )- ^- >a--3^ - i
2
T
2
2
,
где a =r°/r* — отношение характерных длин.
Другие примеры суперпозиции решений будут рассмотрены в после­
дующих разделах. В заключение заметим, что принцип суперпозиции
линейных решений классический и в общем смысле не является новым.
Использование его для линеаризированных решений ЗТВ отмечалось
в работах [ И , 12]. Возможности использования этого принципа повышают
значение решения отдельных задач, полученных методом линеаризации
около точного автомодельного решения.
Проблема построения таких решений была сформулирована Л. И. Седо­
вым более пятнадцати лет тому назад и нашла сейчас развитие в ряде
работ, часть из которых была процитирована в этой главе.
3
Г Л А В А
И
4
СФЕРИЧЕСКИЙ, ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ
ПЛОСКИЙ ВЗРЫВЫ С УЧЕТОМ ПРОТИВОДАВЛЕНИЯ
ПРИ ПОСТОЯННОЙ НАЧАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ
§ 1. Об асимптотическом поведении решейия
вблизи центра симметрии
В настоящей главе будут приведены результаты решения нелиней­
ной задачи о точечном взрыве с учетом противодавления. Прежде чем
излагать эти результаты, в первых двух параграфах этой главы остано­
вимся на теоретических вопросах, знание которых весьма полезно при изу­
чении ЗТВ.
Сначала рассмотрим вопрос о поведении решения ЗТВ вблизи центра
взрыва. В следующем параграфе будут даны асимптотические законы
затухания ударных волн.
Качественное исследование и асимптотическое представление решения
вблизи центра симметрии могут привести к ряду теоретических выводов;
они также необходимы при решении нелинейной задачи с учетом противо­
давления численными методами, так как в центре симметрии уравнения
(3.5) имеют особенность.
Вопрос о поведении решений системы (3.5) в окрестности центра сим­
метрии впервые рассмотрен Л. И. Седовым в работе [1]. В главе 2 было
показано, что в случае автомодельной задачи искомые функции вблизи
центра представимы рядами (2.26), которые в размерных переменных
можно записать так:
^ о - ^ К о ( 0 + Тю(Ог
8
+
Po = r ( (t)+<ü (t)r° z+
%0
8 + 2
+ ...),
...),
10
Ро = Ф-ю + г
в + 2
(Фоо (t) + Фю W г *
2
(4.1)
+ . - . ) .
где s=v/(y—1).
Предполагая, что изменение граничных условий на фронте ударной
волны при учете противодавления не меняет вида представления функ­
ции p=(r, t) по степеням г, указанного в (4.1), будем считать, что для не­
автомодельной задачи вблизи центра симметрии верно следующее асимп­
тотическое представление плотности газа:
p
124
=
r*
К
)
{t
+
Ш
1
{ t
) s+2
r
+
Ш
2
(*) 2С*+2) + , . . ) . г
(4. 2}
Для получения асимптотических представлений других функций преоб­
разуем систему (3.5). Уравнение импульсов с помощью уравнения нераз­
рывности можно привести к виду (1.19)
Уравнение неразрывности и последнее уравнение системы (3.5) возьмем
в виде
£ ( l ^ ) + £ < p r V M = 0,
1/
v
1
,/
v
^(p ^ - )+^(p v -^) = o.
Предполагая, что v (0, £)=^=0, из приведенных уравнений получаем сле­
дующую систему интегро-дифференциальных соотношений, эквивалент­
ных (3.5):
(P,t)-^-(y-l)\^dr-l ^dr
d
p
=
p
(4.3)
t
0
0
о
J
r V
- i n " ï
J
(4. 5)
àt
Из системы (4.3)—(4.5) следует, что если асимптотическое представление
для p (г, t) имеет вид (4.2), то для функций p (r, t) и и (r, t) верны разложе­
ния, указанные в (4.1). Это впервые было отмечено в работах [1, 2 ] . В этом
можно убедиться, если подставить (4.2) в (4.3) и (4.4) и проинтегрировать
по г.
Таким образом, учитывая предположение, сделанное нами относительно
представления p (r, t) вблизи центра, получаем, что вблизи центра верно
следующее асимптотическое представление решения
v= г(
?0
(t) + (t)r»*
+•••)>
9l
4
p=r'K(l)-«o (f)r»« + -...). '
р=
(*) +
(% (t) + ^(t)r^
6
( - )
1
+...).
Заметим, что представление решения в виде (4.6) было использовано
в работах [3, 4) при расчете течения газа в окрестности центра взрыва
для случая v=3, у=1,4.
В разложении и (г, ^согласно (4.6) первый член является линейным
по г. Если считать, что р (0, t)=^0, (dp/dt) =o=^=0, то независимо от сделанных
предположений о характере разложения p (г, t) этот факт вытекает из урав­
нения (4.5).
Учитывая (4.6), можно получить асимптотическую формулу, дающую
связь между эйлеровой и лагранжевой координатами вблизи центра.
Согласно (1.24) уравнение количества движения в лагранжевых коорди­
натах имеет вид
r
Pl
д£~~" r*~i dt*
'
125
Из (4.6) и (4.7) имеем
(
,
+
2) г — i | _ r - i
t
=
P l
( ; + Зй>) + . •.,
т
отсюда находим
где Ci (£), £ (0 —некоторые функции времени. Так как г (0, t) =0, то
С (Z)—0. Таким образом, связь между эйлеровой и лагранжевой коорди­
натами выражается формулой
2
2
i-G>'
г = 6 %(*) + , . . .
(4.8)
Из формул (4.6)—(4.8) можно сделать некоторые качественные выводы
о поведении решения. Так, например, из этих формул следует, что темпе­
ратура T=p/Rp (R — газовая постоянная) имеет по г порядок г~ . Если
функция (ÛQ (t) ограничена во все время движения, то температура в центре
взрыва всегда бесконечна. Можно также получить асимптотическую фор­
мулу для расчета плотности в окрестности центра при больших t. По­
лагая, что значение энтропии вблизи центра, вычисленное по автомодель­
ному решению, слабо отличается от истинного значения энтропии, имеем
Po?o~ P~ > Пользуясь (4.1) и (4.6), можем написать
8
r=z
r
>=-«>№'Для больших значений времени давление вблизи центра становится
близким к атмосферному, поэтому можно положить ф _ = р . Для значе­
ний плотности вблизи центра при больших t получаем асимптотическую
формулу [3,5]
1
1
{4
р^^С^мГ-
-
9)
Так как % и ф _ известны из автомодельного решения, то, пользуясь
формулой (4.9), можно вычислить приближенные значения плотности
вблизи центра для больших t.
Сделаем еще несколько замечаний о зависимости решения вблизи
центра взрыва от величины у. Из определения s ясно, что с уменьшением
T (T > 1) функция s (у) возрастает. Так, для v = 3 при у = 1 , 4 имеем s=
= 7 , 5 , а при ч=1,2 найдем 5 = 1 5 . Таким образом, при у = 1 , 2 плотность
вблизи центра имеет по г порядок г , давление практически не зависит
от г на значительно большем расстоянии от центра, чем при у = 1 , 4 . По­
рядок по 5 эйлеровой координаты зависит только от у и не зависит от v.
0
10
15
§ 2. Законы затухания ударных волн
на больших расстояниях от места взрыва
В силу диссипации энергии на фронте ударной волны (и увеличения
площади ее поверхности в случае сферической и цилиндрической сим­
метрии) ударная волна затухает по мере ее распространения от центра
взрыва в покоящейся среде с начальным давлением р . Законы затухания
ударной волны точечного взрыва и величины всех параметров течения
газа будут подробно описаны в последующих параграфах этой главы,
г
126
Решение задачи о затухании ударной волны во всем диапазоне времени
(от начала взрыва до почти полного ее затухания и превращения в волну
малой амплитуды — акустическую волну) может быть выполнено численно
и требует применения современной вычислительной техники. Для качест­
венного исследования поведения ударных волн и количественных оценок
параметров фронта ударной волны на больших расстояниях весьма по­
лезны асимптотические формулы, которые дают предельные законы затуха­
ния ударных волн. Законы вырождения плоских ударных волн были
установлены в 1913 г. Крюссаром (см. об этом, например, в книге
[6]). Законы затухания сферических и цилиндрических ударных волн
впервые были опубликованы Л. Д. Ландау [7]. При установлении этих
законов предполагалось, что движение газа за фронтом ударной волны,
ослабляясь, стремится к бегущей волне с треугольным профилем, кото­
рая отличается от акустической только уточненным значением скорости
звука. Л. И. Седовым [2] предложен метод получения асимптотических
законов ударных волн, основанный на использовании условий на удар­
ной волне, для основных функций и их производных по координате г.
Мы приведем здесь лишь некоторые результаты этих исследований.
В случае плоских волн ( v = l ) и цилиндрических волн (v=2) для ос­
новных функций и закона движения ударной волны r (t) в первом при­
ближении верны следующие асимптотические формулы:
2
и =
2
Pl
Р2
*
(,+trb^
~
p
i
+
V ( +i)V
i ) / 4
( 4
] •
T
*
1 0 >
= P l
Здесь C — произвольные постоянные, f — некоторые постоянные с раз­
мерностью времени, а — скорость звука.
Для сферических ударных волн были получены следующие асимпто­
тические законы:
v
г
2
1^
?2=?1
(T + l ) r Vin ( /г*)
?>
(7+ l)r
Р2 = Р
1
1,
2С
(4.12}
Г2
2
Vin ( r / r * ) J '
2
+
( + l)r Vln(r /0
T
2
г = a, (t - f) - С V'ln(r /r*).
2
2
3
(4. 13)
2
В предположении гладкости решения в некоторой окрестности фронта
ударной волны метод Л. И. Седова был развит Ю. Л. Якимовым [8] и
Г. М. Шефтером [9], которые нашли новые асимптотические решения
уравнений одномерной газодинамики для больших значений г. Эти реше­
ния позволили получить более точные асимптотические формулы при
v = 2 , 3 , чем формулы вида (4. 10), (4. 12). В частности, в этих работах
показано, что при подходящем определении постоянных C и г* уточ­
ненные формулы для давления р на фронте ударной волны имеют вид
v
2
.£2 = 1
Hl
1
+
+^(£$ Щ +
+
_2тУ
fi"
+
(v = 2),
0(г?1')
(4.14)
+ О ( V In f - f V )
72
.^z*
а
(v = 3).
(4. 15)
Pl
If +
1
U
^In
(Г /Г*) •
2
М
1
*
1
^
))
2
1
V
2
\r*J
J
V
;
V
'
127
Здесь C — новые постоянные, величины которых зависят от первона­
чальной формы волны. Символом Q ( / ( г ) ) обозначены величины, стремя­
щиеся к нулю при возрастании г, порядок стремления к нулю равен / (г).
Приведенные асимптотические формулы мы будем использовать в даль­
нейшем при описании законов затухания ударных волн, возникающих
при точечном взрыве в однородном газе. В главе 7 мы рассмотрим обобще­
ние этих формул на случай уравнений МГД.
v 2
§ 3. Численное решение задачи
3 . 1 . Краткий обзор методов и результатов. Для расчета параметров
взрывных волн и нестационарных течений, возникающих при взрыве,
применяются различные численные и приближенные методы. В настоящем
параграфе будут подробно рассмотрены вопросы расчета точечного взрыва
в совершенном безграничном газе для постоянной начальной плотности
р =
при наличии противодавления в сферическом, цилиндрическом и
плоском случаях. Газ предполагается невязким, нетеплопроводным и
имеющим постоянный показатель адиабаты у. Постановка рассматривае­
мой основной ЗТВ была дана в предыдущих главах. Полное ее решение
для различных v и у имеет существенное значение как для самой теории,
так и для различных ее приложений.
Среди применяемых численных методов следует отметить метод конеч­
ных разностей и различные его модификации в применении к расчету
ударных волн. Примеры численного решения ЗТВ с противодавлением
методом конечных разностей были даны в работах [3, 4, 10, 11]. Здесь
рассматривался лишь частный случай сферического взрыва при у = 1 , 4 .
Для рассмотрения диапазона расчета задачи по времени введем безразмер­
ное время т, определив его, как и в главе 3, по формулам
х
где Е° — энергия взрыва, p — начальное давление (вообще величинами
с индексом оо здесь будут обозначаться параметры невозмущенного газа,
параметры газа непосредственно за фронтом ударной волны нам будет
удобно обозначить через индекс п). Авторы указанных работ задавали
начальные данные из автомодельного решения при разных значениях т
и соответственно разных отношениях давлений p /p
при переходе через
фронт сферической ударной волны.
В работе Д. Е. Охоцимского и др. [3] бралось. т = 0 , 0 0 0 3 9
(p /p ~
= 1743); в работе Г. Гольдстайна и Д. Неймана [4] т =0,00425
(p /p =
= 100); у Г. Броуда [10] т = 0 , 0 0 0 4 2
1601). Из этих данных
следует, что самое меньшее т
было взято в работе [3]. Расчет прово­
дился до следующих значений t = t
и соответствующих pjp :
т =18,8
(pJ =î№)
[31; т , = 9 , 5 2 6 (р /ро =1,017)[4]; т , = 2 , 9 0 5 0л/р«,=1,06)[10].
Заметим также, что расчет для значений т > 18,8 дан в работе [11].
Приведенные данные показывают, что в этих работах расчет был прове­
ден до стадии, близкой к вырождению ударной волны в звуковую. Отме­
тим, что наиболее полные и наиболее точные результаты были получены
œ
n
œ
ям
n
œ
нач
n
œ
нач
на5
k
Pœ
128
я
О
œ
А
в работах [3, 11]. Анализ результатов, отмеченных работ [3, 4—1.0]
приведен в [2, 5] (см. также [28]) и здесь полностью не воспроизво­
дится.
Кроме конечно-разностных методов, к расчету точечного взрыва при­
менялся также метод характеристик [3, 12] (общие вопросы метода харак­
теристик рассмотрены в работах [13—15]).
Для расчета нестационарных течений газа возможно применение при­
ближенных методов [1, 2, 16, 17], основанных на введении специальных
интерполяционных формул для одной или нескольких искомых функций.
Неизвестные параметры, входящие в эти интерполяционные формулы,
определяются из интегральных законов сохранения и уравнений газовой
динамики.
Приближенные методы расчета, предложенные Л. И. Седовым [1, 2]
и основанные на введении интерполяционных формул и использовании
интегральных законов сохранения массы и энергии, в применении к то­
чечному взрыву развивались в работах [18—22]. Близкие к этим методы
применялись также в [23—25]. Они характеризуются простотой исполь­
зования, но не обеспечивают достаточно высокой точности. Разработан­
ный нами метод решения ЗТВ близок к этим приближенным способам, но
основан на использовании схемы численного метода интегральных соот­
ношений, предложенного А. А. Дородницыным [26] и широко применяе­
мого для расчета стационарных течений в работах О. М. Белоцерковского,
П. И. Чушкина и других авторов (см. обзоры [27, 28]). Разработка мето­
дов решения задач теории взрыва с использованием схемы интегральных
соотношений была начата автором в 1960 г. Предварительные результаты
первого этапа работ опубликованы в статье автора [19], относящейся
к 1962 г., и в работе [29], выполненной совместно с В. П. Карликовым и
Е. В. Рязановым. Второй этап работ, относящийся к 1962—1967 гг., про­
водился совместно с П. И. Чушкиным и характеризовался использованием
более высоких приближений в схеме интегральных соотношений. Автором
было дано распространение этого метода на задачи о взрыве при учете
влияния магнитного поля и при взрыве в детонирующем газе, о чем будет
идти речь в последующих главах.
Предварительные результаты расчета ЗТВ разработанным методом
опубликованы в работе [30] и изложены в докладах [31, 32]. Более пол­
ное изложение метода и результатов дано в работе [33].
3.2. Основные уравнения и условия задачи. Уравнения неустановив­
шегося одномерного движения газа в переменных Эйлера возьмем в виде
(4.17)
(4.18)
(4.19)
v
9
dt
+ 4(u//>"r) = 0,
Тр. Математ. ин-та, т. G X I X
(4.20)
129
v
где C = r , u=v/r, p — плотность, p — давление, v — скорость, E — пол­
ная энергия единицы объема газа, которая в рассматриваемом случае
записывается так:
_ ру2
р
л
Т
- 1 -
В системе (4. 17)—(4. 20) первое уравнение является уравнением
импульсов, второе — уравнением неразрывности, третье уравнение выра­
жает закон сохранения энергии и последнее уравнение дает условие адиа­
батичности течения. В этой системе независимы только три уравнения.
Одно из четырех уравнений системы (4. 17)—(4. 20) можно считать след­
ствием других.
Краевыми условиями задачи являются условие в центре взрыва
v(0, t) = 0
(4.21)
и условие на ударной волне
.
2 T - ( - l ) g
P„ — Pœ
(f_|_l)g
'
T
_. 2« 1 - g
« — 7 + 1 v/g '
ю
v
2
Р я
~~
P o o
7+ 1
7 — 1+2?'
2
Здесь a — скорость звука, q=a /D ,
D — скорость ударной
индексом п отмечены параметры фронта ударной волны.
Имеют место также следующие интегральные соотношения:
œ
P » r ; = v [pr^dr,
волны,
(4.23)
0
Ео^о^Ег-Чг-^Е^,
(4.24)
Эти соотношения могут быть получены или из дифференциальных уравне­
ний и граничных условий (см. [5]), или путем применения к массе газа,
заключенного внутри ударной волны, интегральных законов сохранения
массы и энергии.
При решении задачи удобно ввести систему безразмерных переменных.
Решение задачи в безразмерных переменных пригодно для любых значе­
ний Е°, p , poo. При образовании безразмерных переменных можно отно­
сить искомые функции и независимые переменные как к соответствующим
размерным постоянным, так и к некоторым размерным функциям. Примем
за новые безразмерные независимые переменные и безразмерные функции
следующие величины:
œ
*,6=£,
ь
, =
g = > .
,
и
J
Poo
E
e= f
Poo
*= (f)
1 / T
.
(4.25)
\Роо/
Из кинематического условия D = dr /dt следует связь между безраз­
мерным временем т=г/£° и q:
n
* И У + У ) -
( 4
-
2 6 )
Здесь и всюду в дальнейшем штрих означает производную по q. Кроме
того, введены обозначения Л = г/г°, Ъ = o^Rl/vq.
130
В новых переменных (4. 25) система (4. 17)—(4. 20) примет вид
(4. 27)
(4. 28)
(4.29)
е
- ê (*> + к
% - f+* [ à w
+ ]=°>
(4. 30)
где
Связь между функциями g, ср, ф, е дается соотношением
(4.31)
(4.22)
(4.33)
2Т
Г (ï-g)
2
•
1_]
1
Очевидно, что из четырех искомых функций g, е, ср, ф, определенных
формулами (4. 25), для решения задачи достаточно получить из системы
(4. 27)—(4. 30) лишь три. Четвертая неизвестная функция может быть
найдена из алгебраического соотношения (4. 31).
Для решения рассматриваемой задачи следует проинтегрировать си­
стему уравнений газовой динамики (4. 27)—(4. 30) в области 0 ^ q ^ 1,
0 ^ £ < J 1 с граничными условиями (4. 32), (4. 33). Заметим, что значению
qz=0 соответствует известное решение задачи о сильном взрыве, а для
малых q верно решение линеаризированной задачи.
При исследовании задачи в переменных Лагранжа исходная система
уравнений газовой динамики (см. § 1, гл. 1) может быть взята в таком
виде:
(4.34)
v
llT
где 7]=rJ/r° , F=v/a ,
P=p/p ,
Q=g/P ,
X (Щ — энтропийная функция,
г — начальная координата частицы. В переменных Лагранжа, кроме
условий (4. 21) и (4. 22), имеем
œ
œ
0
Я ( 0 , т) = 0,
(4.35)
Д(г) , х ) = . ^ .
в
Из первого уравнения системы (4. 34) находим соотношение
9*
131
которое дает связь между лагранжевой координатой YJ И относительной
эйлеровой координатой £.
3.3. Схема расчета в переменных Эйлера. Из результатов главы 2 и
§ 1 главы 2 и § 1 главы 4 следует, что для искомых функций g, е, Ф, ср
имеют место асимптотические формулы
* =
ï=ï
1
(Щ® '™
+
О ®
M
l
' -
h
),
ф=
е = е + О (И),
0
% +
О
й
(I ),
? = ?o + 0(î%
(4.37)
причем
, _ JîL
ф-±(!_ф-'фЛ
Л _ У
+
2(Т-1)
a v ( v + 2)2(
4-1)2
T
где a — постоянная, определяемая по интегральному закону сохранения
энергии в автомодельном случае (см. гл. 2).
В области интегрирования 0 ^ Ê ^ 1, O ^ g ^ l выделим ограни­
ченный линиями М и
£ (я) центральный интервал, в котором при­
менимы асимптотические формулы (4. 37). Для выбора величины £ за­
фиксируем лагранжеву координату частицы т\ — г \ = (r /r°) так, чтобы
в начальной стадии взрыва соответствующая асимптотическая формула
в (4. 37) давала ф с заданной точностью. Тогда, используя уравнение
неразрывности системы (4. 34) и формулы (4. 37), получим для £ выра­
жение
0
0
v
0
00
0
0
1
7<^Ао
(4.38)
v
L 2(7 + 1).
Заметим, что возможны и другие способы выбора центрального интервала.
Решение в области, находящейся между границей центрального интер­
вала 1=£0(я)
ударной волной £ = £ „ = 1 , будем определять методом
интегральных соотношений. В п-м приближении разобьем эту область
на п полос, проводя п — 1 промежуточных линий (рис. 31):
и
Если каждое уравнение системы (4. 27)—(4. 30) проинтегрировать
по î от значения % (q) (1=0, 1, . . ., п — 1) до ударной волны 1 „ = 1 ,
то из этой системы с учетом граничных условий получим An интегральных
соотношений
t
J'u
+
m
fi'i
m
<?и + £i
—%<?U+V-[T
— S if] +
+ |(г-Ф1)]+ = ^о/ =
1
^2, +
ft6;-ti[l+ft5 (T -l)-<7 ]
J
+ *& -jJu-V-
<?»' + - 4
132
l
[-Jzi
-
0,
= 0,
8l
+
(Ti -
(4.39)
(4.40)
+ efi, («P, - 1) + Ш,
^[-^«i
1
1
) +
Й
+ тег]
=
°-
- °.
4
( - 41)
4
( -
4
2
>
Рис. 3 1 . Схема разбиения об­
ласти интегрирования на по­
лосы
О
0,2 OA 0,6
0,0 î,Oi
В уравнениях (4. 39)—(4. 42) приняты следующие обозначения:
01
2
^/ Х-
J
= \md%,
u
J =\gdî,
2l
1
G7
1
= J ld%,
3 /
Обозначим в общем виде искомые функции через Q
s
J
u
= ^ Щ.
и примем
Q^m,
Кроме того, значения всех искомых функций на каждой границе рас­
сматриваемых полос будем отмечать соответствующим индексом. Тогда
система интегральных соотношений (4. 39)—(4. 42) с учетом выражений
(4. 33) для функций на ударной волне и асимптотических формул (4. 37)
может быть приведена к виду
Jso + kaQsoK + Wso
д '
н
Х
+ *^; + ™
0
+ Q& -
г
= Я~ У8,
(4. 43)
= (ИЪ, + №в<) <Г\
e
(4. 44)
где
Y
Л
_
1
7
^
i — "7" ^ ю
^2
£(^0
^
4
|
V
г ^
^ o o + - ^ [ l + ( v - D f o l ,
1+2^20'
•^3
y
б
0^0
^3
4" ^ 3 0 '
A
i = T (<^io + i™<&) ~
A
'i>
7 — 1 '
Z
W
3i
= e (
t
?i
_ 1) È, + y _ J
8
& Oi
3 1
m
Z~—*i i>
+ < | ^ ,
133
В соотношении (4. 43), (4. 44) входят величины m
которыми имеют место зависимости
h
?
=
<
I/V
7T ~
2)/V
g
h
cpj, e ,
t
между
( 4
'
* = ^ .
-
4 5 )
4
4 6
< - >
Уравнения (4. 43)—(4. 44) являются основными в дальнейшем по­
строении метода расчета задачи. Из изложенного следует, что в системе
(4. 43), (4. 44) имеется лишь Зп независимых интегральных соотношений.
Для получения их (4. 43), (4. 44) приближенной системы обыкновенных
дифференциальных уравнений будем аппроксимировать подынтегральные
выражения интерполяционными полиномами Лагранжа с узлами интер­
поляции на линиях £ = î (к=0, 1, . , ., п). Можно применять как «сквоз­
ные» аппроксимации, в которых степень полиномов равна числу полос тг,
так и «кусочные» (при п > 1), в которых степець полиномов ниже п.
Если степень интерполяционных полиномов равна тг, то имеем
k
где z = (l — £ W ( 1 — ê ). Для интегралов G 7
0
0
S /
получим выражение
где коэффициенты А для любых w введены в [30] и названы обобщенными
коэффициентами Котеса:
1к
Численные значения коэффициентов А
для некоторых п приводятся
в Приложении.
Если аппроксимации проводятся набором интерполяционных полино­
мов, имеющих степень ниже п, то выражениям для приближенного пред­
ставления интегралов по-прежнему можно придать вид (4. 48). Отметим,
что применение интерполяционных полиномов такого типа (например,
полиномов второго порядка) целесообразно в расчетных схемах с прибли­
жениями высокого порядка (га^> 4), когда нужную точность можно
получить за счет большого числа полос. Такие «кусочные» приближения
упрощают структуру аппроксимирующей системы и могут оказаться
надежнее «сквозных» аппроксимаций в областях, где имеет место резкое
1к
134
изменение представляемых функций. Вопросы оптимального выбора
аппроксимаций могут быть решены в процессе экспериментальных рас­
четов.
Отметим также, что в ряде случаев можно пользоваться перекрываю­
щими аппроксимациями. Это означает, что при вычислении интегралов c 7
берутся значения соответствующих подынтегральных функций не только
на границах полос с номерами £,
. . ., /г, но также и на грани­
цах i — 1, i — 2, . . .
Подставляя квадратурные формулы (4. 48) в систему интегральных
соотношений (4. 43), 4. 44), придем к аппроксимирующей системе An
обыкновенных дифференциальных уравнений по q для An искомых функ­
ций. Однако g будем находить не из этой системы, а по соответствующей
асимптотической формуле (4. 37), отбрасывая при этом одно из уравнений
аппроксимирующей системы.
Тогда для определения An — 1 неизвестных функций нг , <р, 8, m ,
g., e ,
получим систему дифференциальных уравнений, которая может
быть записана так:
s i
0
0
0
t
t
n—i
\
-(1 - у ( A « - J > A - « ) ^ь,
1=1
(4. 50)
(X = l , 3 , 4 ) ,
(s= 1,2, 3 , 4 ) ,
(/ = 1, 2,
n-1).
(4.51)
Здесь введены обозначения
# х — (*х — Л о )
Q
xo — А А «
+
2
»AI»
1=1
z
= AQ
si
i0
+ AQ
8o
in
^si = z Ao a
m
—
^sî,
(1 - У И A
+ Л - Ä ) + Ц- J
si
+
vW*
n-1
0) .
Л
1
ал
7=1
Д.у — алгебраические дополнения элементов A j определителя А . Про­
изводная t , входящая в уравнения (4. 50), (4. 51), исключается с помощью
выражения (4, 38).
К системе (4. 50)—(4. 51) добавим еще одно уравнение, вытекающее из
асимптотических формул (4. 37),
4
t
и
0
1
m (1 + в*"*') - 1 + 1яГо% = о.
(4.52)
Это уравнение можно брать вместо одного из уравнений (4. 50), (4. 51).
Тогда система (4. 50)—(4. 51) даст возможность строить различные ва135
рианты расчетных схем. Во всех этих схемах зависимость
ляется по дифференциальному уравнению (4. 26).
Общий контроль точности решения осуществляется по
условия адиабатичности в частице с координатой ^ и по
интегральных законов сохранения масс и энергии (4. 23), (4.
в принятых обозначениях могут быть записаны так:
7 = 0,
2
т (q) опреде­
выполнению
выполнению
24), которые
Х -4 = 0.
3
Эти равенства выполняются соответственно с ошибками е , е , которые
определяются формулами
1и
2я
Отметим, что некоторые расчетные схемы позволяют ввести и другие
способы контроля точности.
Мы проанализировали следующие варианты расчетных схем.
В а р и а н т I. Берется система уравнений: уравнение (4. 52), пер­
вое и второе уравнения системы (4. 50), т. е. уравнения с индексами Х = 1
Х = 3 , и система (4. 51). Интегрированием определяются величины т, 8,
п Ф/? Su i- Величины<р находятся по формуле (4. 45). Формулы (4. 46)
служат для проведения дополнительного контроля точности расчета.
В а р и а н т II. Берется система уравнений: уравнение (4. 52), пер­
вое и третье уравнения системы (4. 50), т. е. уравнения с индексами Х = 1 ,
Х=4, и система (4. 51). Интегрированием определяются величины т, 8,
1-> Ф/» Sit i- Величины cp находятся по формуле (4. 45). Величины e
определяются также по формуле (4. 46), что дает возможность проводить
дополнительный контроль точности.
В а р и а н т III. Берется система уравнений: второе и третье урав­
нения системы (4. 50), т. е. уравнения с индексами Х = 3 , Х = 4 , и уравне­
ния системы (4. 51) с индексами S=2, 3, 4. Интегрированием определяются
величины т , 8, ф , g \ , е . Относительные безразмерные скорости у
на­
ходятся по алгебраическому равенству, вытекающему из (4. 46):
?
т
e
;
ш
e
z
г
{
i
4
(4. 53)
Величина <р вычисляется по уравнению (4. 52).
0
Следует отметить, что схема расчета, соответствующая варианту III,
была рассмотрена в заметке [30].
Для всех указанных вариантов расчетной схемы аппроксимирующая
система обыкновенных дифференциальных уравнений интегрируется ка­
ким-либо численным методом на ЭВМ. Для этой системы имеет место
задача Коши, причем начальные данные при некотором достаточно малом
значении q=q
берутся из линеаризированного решения задачи о взрыве,
приведенного в главе 3. Интегрирование аппроксимирующей системы про­
водится до значения q, близкого к единице.
В рассматриваемом методе решение задачи определяется при различ­
ном числе полос п. Сравнение полученных результатов служит внутрен­
ним контролем метода и характеризует точность рассчитанного решения.
0
136
Расчеты показывают, что практически удовлетворительная точность по­
лучается при п=А.
Для более точного описания поведения параметров фронта ударной
волны при ее вырождении в звуковую волну целесообразно учитывать
асимптотические законы затухания ударных волн (4. 10)—(4. 13), рас­
смотренные в предыдущем параграфе. Используя эти законы затухания,
можно получить следующие формулы для 8 (g) при g, близких к единице:
2VR„
(v = l),
л
1*
8
*'
Ь> _
Ь —
3
п
7? /
6(1пД
2(lni?
(v = 2),
1
4
7 г
w
r
+
а
3 у
)--3
1
ba J(l-g)
g
3
/
v
(4.54)
_ . 0 4
* ~
°
h
где a — постоянные, определяемые при достаточно больших q из усло­
вия плавного перехода функции 8(g), найденной из системы (4. 50) —
(4. 52), и по асимптотическим формулам (4. 54).
Специальный анализ устойчивости расчетной схемы не проводился.
Выборочная проверка условия устойчивости Куранта показала, что
в расчетах это условие выполнялось, правда, без большого запаса. Вместе
с тем следует отметить, что при значениях g, близких к начальному значе­
нию д , в некоторых случаях наблюдалась «раскачка» решения аппрок­
симирующей системы около известного линеаризированного решения за­
дачи. Это явление обострялось при рассмотрении аппроксимирующих
систем с более высоким номером гг. Однако во всех рассчитанных случаях
указанные колебания затухали с ростом д. Оказалось, что надлежащим
выбором величин д , £ (д ) и выбором типа аппроксимации интегралов
можно было существенно уменьшить начальную раскачку решения,
связанную, вероятно^ с недостаточно точной стыковкой начальных дан­
ных.
vy
0
0
0
0
Рассмотрим способ расчета полей течений и основных параметров
взрывных волн. В результате численного решения дифференциальных
уравнений находятся искомые функции на линиях
(g). После чего
значения всех искомых функций для i > £ при фиксированных т или g
можно рассчитать по принятым интерполяционным полиномам (4. 47)
или используя при больших п интерполяцию более низкого по­
рядка.
Для расчета изменения параметров течения в фиксированных точках
пространства можно применить следующую методику. В некоторый мо­
мент времени фиксируется величина R =R* и по ней — величина R =
=r/r°, а именно принимается, что R=R*.
Учитывая, что i = (R/R Y,
для фиксированного R=R* определяются в любой другой момент вре­
мени Ё*=(Д7Д )\ По этим значениям Г вычисляются z=п{1* — | )/
1(1 — £ ), и по значениям искомых функций на границах полос по фор­
муле (4. 47) или при больших п интерполяцией более низкого порядка
находятся изменения функций с течением времени в фиксированных точ­
ках пространства.
0
n
n
Я
0
0
137
В частности, большой интерес представляет определение величин без­
размерного давления P=(p/p )=ty /q.
По значениям P (i?*, z)=P* (т)
можно рассчитать полные импульсы избыточных давлений
r
œ
т
*
J =\
p
(P*-l)dx,
а также положительные импульсы
где т — время прихода ударной волны в данную точку, т — конечное
рассчитанное время.
Безразмерный импульс J связан с размерным импульсом 1 форму­
лами
#
А
р
р
Кроме того, можно рассчитать безразмерные импульсы скоростного на­
пора J по формуле
v
причем
Величину I
v
иногда называют импульсом переноса массы.
Время действия положительной фазы давления т* находится из соот­
ношения т*=т —
где х — время перехода избыточного давления
через нуль,
С помощью соотношения (4. 46) можно определить связь между лагранжевой координатой У\ И переменными £ и т. Приведенные в настоящем
разделе формулы позволяют определить основные искомые величины.
При построении метода расчета в переменных Эйлера мы использовали
систему безразмерных переменных (4. 25). Естественно, что аналогичный
метод можно построить и для других видов безразмерных переменных.
Например, можно ввести независимые переменные i?, т и искомые функ­
ции v/a , p/p , p/p<»» E/E . В этом случае аппроксимация будет прово­
диться по Д , а аппроксимирующая система будет содержать дифферен­
циальные уравнения, где за независимую переменную можно взять т
(или q). Схема расчета в переменных Лагранжа приведена в [33].
Заметим, что при рассмотрении задачи как в переменных Эйлера, так
и в лагранжевых переменных возможно использование интерполяций
не по пространственной координате, а по времени.
3.4, Результаты расчетов. Для решения задачи по предложенному
методу Е. Бишимовым и К. В. Шароватовой были составлены программы
œ
138
œ
œ
численного интегрирования аппроксимирующей системы дифференциаль­
ных уравнений для вычислительных машин БЭСМ-2 и БЭСМ-ЗМ Вычис­
лительного центра АН СССР. Эти программы позволяли вести расчет
основных функций cp , g , е , ty при / г = 1 , 2, 3, 4, 8 по указанным выше
трем вариантам расчетных схем. Расчеты проводились при сквозной
аппроксимации подынтегральных выражений полиномами Лагранжа,
а при п=8 рассматривались также кусочно-линейные и параболические
аппроксимации.
На первоначальном этапе работы расчеты проводились по схеме ва­
рианта III. Однако в этой схеме наблюдалась потеря точности при вы­
числении ср,. в области нуля подкоренного выражения в формуле (4. 53).
Позднее в качестве основного был выбран вариант I. Отдельные вычис­
ления проводились и по варианту II. Результаты расчетов по различным
вариантам совпадают друг с другом тем лучше, чем больше п.
Начальные данные задавались следующим образом. Величины q и
£ (q ) выбирались так, чтобы в области справедливости линеаризирован­
ного решения, т. е. при q <С (т — 1)/2 (см. § 5, гл. 3), удовлетворялись
условия
Ä
k
к
k
0
0
0
Q
1Ф(6о. Я о ) - Ф ( 0 , в о ) . 1 « Ф ( 0 . ïo).
где е? , ер>, е§ — заданные числа, которые могут выбираться в зависи­
мости от требуемой точности и номера приближения /г. Кроме того,
проверялось условие близости производной у' (q ), вычисленной по
аппроксимирующей системе, к ее точному значению при д = 0 , известному
из решения линеаризированной задачи.
Если предположить, что начальное значение центрального интервала
î (q )=t
в автомодельной задаче и в линеаризированной задаче совпа­
дает, то с учетом формул (3. 72) для вычисления искомых функций при
q=q имеем
я
и
я
0
0
Q
0
00
0
ft = ftw + ?o£*i
Ф* = Ф*о + ?оФ*1.
Величины QSJCO и Q i берут в точках î o=(n — к)/п% +к/п из таб­
лицы [34], используя интерполяцию. Величины g и е вычисляются по
асимптотическим формулам (4. 37). Начальные данные для т, R , § нахо­
дятся с помощью формул (3. 78) предыдущей главы.
Расчеты проводились в основном для случаев / г = 4 и гг=8. В расчетах
при п=4 для у = 1 , 4 и всех v принималось ej =0,015, е£ =0,01, е° =0,01.
Кроме того, был проведен еще расчет для v = l при 8 ^ = 0 , 0 4 . Этот расчет
показал, что принятие менее точных начальных данных не отражается
существенно на величинах основных функций при q > 0,4.
Систематические расчеты задачи для п=8 проводились при значении
# = 0 , 0 5 . Величины начальных ошибок е , е , е
для рассчитанных
случаев (гг=8) указаны в табл. 5.
Численное интегрирование аппроксимирующей системы обыкновен­
ных дифференциальных уравнений проводилось, как правило, методом
Рунге—Кутта с переменным шагом и методом Эйлера с пересчетом.
8
k
k
00
0
0
n
4
0
1я
4
2я
4
3я
139
Таблица
5
Начальные ошибки
7
V
Ошибки
Нп
Нп
Чп
= 1
v
= 3
1,4
5/3
1,3
1,4
5/3
1,3
1,4
5/3
0,043
0,021
0,078
0,007
—0,002
0,028
0,014
-0,001
0,023
0,009
-0,002
0,025
0,003
0,006
0,013
0,016
0,004
0,032
0,008
-0,002
0,026
0,009
0,003
0,076
В основном были рассчитаны случаи взрыва для значений у = 1 , 3 ;
1,4; 5/3; 2 и при различных v.
Влияние числа полос п на изменение давления в центре взрыва pjp
представлено на рис. 32 для v = 3 , у=1,4. Эти данные получены при q =
= 0 , 0 5 , а С (q ) =0,206 для гг=2, 3, 4 и É (q ) = 0 , 3 5 0 для гг=8. На этом
графике кривая для л г = 1 не приводится из-за ее низкой точности, а точ­
ками нанесены данные, рассчитанные методом конечных разностей [3].
Отметим, что для закона движения ударной волны сходимость решения
происходит гораздо быстрее. Здесь уже первое приближение практически
дает приемлемую точность, слабо отличаясь от результатов для боль­
ших гг.
На рис. 33 построено изменение давления р /р ,
полученное для слу­
чая v—3, у = 1 , 4 , гг=8 при различных видах интерполяционных полино­
мов. Сплошной линией показаны результаты для линейной интерполяции
поперек каждой полосы, а кружками — для кусочной интерполяции
двумя стыкующимися полиномами четвертого порядка. Дальнейшие ре­
зультаты по п=8 относятся к случаю интерполяции подынтегральных
выражений двумя полиномами четвертого порядка.
График изменения интегральной ошибки е в зависимости от q при­
веден на рис. 34 для различных п при v = 3 , у = 1 , 4 . Здесь видно уменьше­
ние ошибки при увеличении
степени полинома гг. Наи­
лучшая точность, определя­
емая по выполнению интег­
рального закона сохранения
масс, имеет место при сред­
них значениях g, а при боль­
ших q ошибка е возрастает.
Последнее обусловлено слож­
ным немонотонным измене­
нием функций при больших
q и уменьшением централь­
ного интервала £ , т. е. уве­
личением области аппрокси­
мации решения полиномами
n
0
0
0
0
6
0
п
1п
1я
0
Рис. 3 2 . Изменение относительного давления
в центре взрыва для разных п ( v = 3 , у=14)
140
п
о
L
В
о
случаях
в
с
е
х
Рассчитанных
и v—2 по-
для v = l
0
Рис.
0,1
0Л
0,6
0,8
1,0 Ц
u
lu
>
0,25
0,5
0,75
3 3 . Изменение давления в центре взрыва при разных аппроксимациях
!,0ç
(n—S)
Рис. 3 4 . Изменение интегральной ошибки по распределению плотности при разных
значениях п
ведение ошибок е имело примерно тот же характер, что и для v = 3 .
Графики зависимостей е от q для п=8, q =0,05 при разных у и v = l
(сплошная линия), v = 2 (точки) и v = 3 (кружки) представлены на
рис. 35. Видно, что интегральная ошибка е в большей части интер­
вала изменения q мала и меняется в пределах от 0,002 до 0,02. Абсолют­
ная величина ошибки е во всех рассчитанных случаях падала от наи­
большего значения при q=q до значений, близких к нулю, при стрем­
лении q к единице.
Дополнительный контроль точности по «лишнему» уравнению для
показал, что при у = 1 , 4 и разных v величины
определяются по диф­
ференциальным уравнениям и алгебраическим соотношениям, следую­
щим из формулы (4. 46), с расхождением меньше 1%.
Остановимся на некоторых результатах расчетов при тг=4. На рис. 36
„даны зависимости R (т) при v = l , 2, 3 и у = 1 , 4 . Так как кривые R ( т )
почти сливаются при больших т, то они построены со сдвигом по оси
абсцисс. На рис. 37 представлены графики безразмерных давлений р /р
в функции т для v = l , 2, 3 и у = 1 , 4 . Здесь и на рис. 36 точками отмечены
данные работы [3] для v = 3 . Изменения р /р с ростом т при v = 2 , 3 и раз­
личных у показаны на рис. 38, а, б. Зависимости q (т) при разных v для
у = 1 , 4 построены на рис. 39 (точки — данные работы [3]). Расчеты по­
казали, что эта функция слабо зависит от у в интервале 1,4 ^ у ^ 2.
На рис. 40 приведены распределения относительных давлений по про­
странству для значений д=0,33 и q=0ß при у = 1 , 4 и разных v.
На рис. 41—44 более детально отражены некоторые результаты расче­
тов цилиндрического взрыва в воздухе ( v = 2 , у=1,4)„ Распределение дав­
ления p/p
по £ для ряда значений т дано на рис. 41. На рис. 42—44
показаны изменения p/p с ростом т для нескольких фиксированных точек
пространства, а также зависимости t, т , / + , / от R. Заметим, что кри1п
1я
0
18
2п
0
n
n
0
0
п
п
œ
œ
+
141
вая £ (g), построенная на рис. 31, также соответствует случаю v=2>
Т=1,4.
Приведенные результаты расчета цилиндрического взрыва и сравни­
тельный анализ ряда других параметров течения газа показывают, что
в выбранных нами безразмерных переменных картина течения при v = 2
в основном близка к картине течения в соответствующем случае сфери­
чески-симметричного движения, подробно исследованного в [3, 5 ] . Случай
плоского взрыва был изучен нами менее подробно. Из анализа некоторых
данных для этого течения следует, что здесь общая качественная картина
движения ближе к цилиндрическому взрыву. Это течение имеет также
много общего и со сферическим взрывом. Естественно, что количественные
характеристики движения с изменением v меняются более существенно.
0
Для иллюстрации приведем еще более подробно решение для сфериче­
ского точечного взрыва в одноатомном газе. При расчете этого случая
течения принималось ej =0,005, е° =0,005, е£ =0,01. Абсолютная вели­
чина максимальной интегральной ошибки по закону сохранения масс е
здесь не превышала 0,086. Зависимости от т относительных величин р 1р
4
4
4
14
г
Рис. 3 5 . Изменение интегральной ошибки е
1я
пГ
при п~8 и различных у
Рис. 3 6 . Закон движения ударной волны для разных v при у = 1 , 4
Рис. 3 7 . Изменение относительного давления в центре взрыва для разных v при у = 1 , 4
142
Рис. 3 8 . Изменение относительного давления в центре взрыва при разных у
а — цилиндрический случай ( v = 2 ) ; б — сферический случай ( v = 3 )
Рис. 3 9 . Зависимость q (т) для разных v при у = 1 , 4
Рис. 4 0 . Распределение относительных давлений по пространству для фиксированных q
при разных v ( у = 1 , 4 и гс=4)
vJD, р 1 р , Т 1Т , т. е. значений этих величин на границах полос % (1=
= 0 , 1, 2, 3), при v = 3 , у = / даны на рис. 45, 46. Здесь через Г , Т обо­
значена температура, причем (T /T )=(p p /p Pi).
Связи между коорди­
натой фронта ударной волны i ? , безразмерным временем т и величиной g
представлены на рис. 47. Здесь же построен график изменения величины
центрального интервала £ с ростом q.
Отметим еще некоторые результаты расчетов при п=8. Расчет задачи
при п=8 выполнен для значений у, равных 1,3; 1,4 и / (для у = 1 , 3
подробно рассчитаны только цилиндрический и сферический случаи).
Основные результаты расчета опубликованы в виде специальных таблиц,
где содержатся функции т (g), R (g), qpjp ,
pjp , vJD, v ID,
pjp ,
p// p„, qTJT , Т 1Т , qEJE , E /E для значений g в диапазоне 0,1 < g <
<C 0,9 [35]. На рис. 48—50 даны сравнения распределения относительных
г
я
г
п
t
5
3
0
î
n
l
n
г
n
w
0
5
3
n
œ
г
п
œ
l
œ
n
t
œ
n
143
+
Рис. 43. Время действия положительной фазы т и время перехода избыточного давле­
ния в отрицательную фазу t ( v = 2 , у = 1 , 4 )
Рис. 44. Положительный импульс давлений / + и импульс скоростного напора
(v=2,
==
г 1,4)
/
v
Pi/Pn
i/c
o,sY
Рис. 4 5 . Изменения относительных давлений (а) и скоростей (б) на границах полос
(v=3, =в/з)
т
Рис. 4 6 . Изменения относительных плотностей (а) и температур (б) на границах полос
(v=3, т= /з)
5
10
Тр. Математ. ин-та, т. СХГХ
0
Рис. 47. Зависимости координаты ударной волны
ного интервала £ от q ( v = 3 , т / з )
0,S
I.ÛX
времени х и величины централь­
= б
0
Рис. 48. Распределение относительного давления по пространству для фиксирован­
ных q и разных v ( Y = 1 , 4 , п=8)
Рис. 49. Распределение относительной плотности по пространству ( у = 1 , 4 )
Рис. 50. Распределение по пространству относительной скорости для значения
и <7=0,75 (т=1,4)
q—0,3
давлений, скоростей и плотностей для сферического, цилиндрического и
плоского взрывов при у = 1 , 4 и двух значениях q (q=0,3 и 0,75).
В Приложении мы приводим также таблицы изменения давлений р/роу
и pv /p D
в фиксированных точках пространства ( v = 2 , у = 1 , 4 ) .
Проведенные расчеты показали, что наиболее просто предложенным
методом рассчитывается задача о сферическом взрыве. Наихудшие резуль­
таты как в смысле точности, так и в смысле затраты машинного времени
относятся к плоскому случаю. Здесь происходят более резкие изменения
функций, что снижает точность расчета. Кроме того, точность асимптоти­
ческих формул (4. 37) падает с уменьшением v. Для повышения точности
можно взять асимптотические формулы для расчета давления в зоне цен­
трального интервала в виде
2
2
œ
Р=Ро.Ю+Ри(*У
146
+ 0{Л d = V/(T - 1 ) + 2.
§ 4. Параметры фронта ударной волны
и сравнение с другими расчетами
и данными экспериментов
Обозначим снова параметры фронта индексом 2, параметры невозму­
щенной среды — индексом 1.
Как уже отмечалось, зависимости R (т) при v = l , 2, 3 и у = 1 , 4 , полу­
ченные в результате расчетов, приведены на рис. 36.
На рис. 51 дано сравнение [5] законов движения сферической ударной
волны (у=1,4), найденных по различным теориям. Здесь также отмечена
прямая с тангенсом угла наклона (равным скорости звука), проходящая
через точку т=9,527, i? =12,04, лежащую на кривой R (т).
Зависимость q (т) для разных v при у=1,4 дана на рис. 40. Изменение
избыточных давлений с ростом R показано на рис. 52, 53 (сплошные
линии) соответственно для v = 2 , 3.
Для сравнения результатов теории точечного взрыва воспользуемся
экспериментальными данными М. А. Садовского [36], М. А. Цикулина
[37], Г. Шардина [38] по взрывам химических ВВ и экспериментальнотеоретическими данными Лос-Аламосской лаборатории по атомным взры­
вам, опубликованным в [39]. Сравнение по другим экспериментальным
данным приведено в [5]. Предварительно экспериментальные данные были
обработаны и переведены в наши безразмерные переменные. Из экспери­
ментов М. А. Садовского, М. А. Цикулина мы воспользовались зависи­
мостями p /Pi — 1 от i? .
Для случая цилиндрического взрыва формула, соответствующая дан­
ным экспериментов, приведена в работе [37]:
2
2
2
2
2
2
A _ i
=
û ^ + ^ .
(4.55)
Если обработать в наших переменных формулу Садовского для сфери­
ческого взрыва заряда тротила [40], то она примет вид
A _
1
=
^ L
+
« L
+
^ .
(4.56)
10*
147
Pl
1
zo
/s
w
Z,0R
Z,OR
2
z
Рис. 5 2 . Теоретическая и экспериментальная зависимости максимальных избыточных
давлений от безразмерного радиуса ударной волны для цилиндрического случая
Рис. 5 3 . Теоретическая и экспериментальная зависимости максимальных
давлений для сферического случая
избыточных
Заметим, что в работе [37] формула Садовского (4.56) приведена с не­
сколько большими коэффициентами, отличающимися примерно на множи­
тель 1,1 от коэффициентов формулы (4.56). Это различие, по-видимому,
можно объяснить другими коэффициентами в исходной (размерной) фор­
муле от взятой нами для тротила из работы [40] (см. также [41]).
Графики pJPi — 1, соответствующие формулам (4. 55), (4. 56), приве­
дены на рис. 52, 53 (штриховые линии).
Экспериментальные данные по закону движения сферических волн
взяты из работы [38]. Из экспериментов Г. Шардина [38] мы воспользо­
вались результатами определения
закона движения ударной волны г (t)
при взрыве азида свинца. При этом
мы приняли калорийность азида
свинца равной 400 шал/кг (более
точно
принято
считать
360—
380 ккал/кг). Исходя из веса заряда
была вычислена энергия взрыва Е
и затем был совершен переход от
размерных переменных г и t к без­
размерным i ? и т. Эти данные пред­
ставлены на рис. 54. Здесь же нане­
сены данные Лос-Аламосской лабо2
0
2
2
Рис. 5 4 . Зависимость Л
2
от т
1 — расчеты; 2 — эксперименты Шардина,
3 — эксперименты Лос-Аламосской лаборатории
148
ратории. При приведении этих данных к безразмерному виду считалось,
что Е =8,5-10
кГм, р =1
атм. Экспериментальные данные по r (f)
для цилиндрической волны [37] хорошо согласуются с расчетом (при оди­
наковых т опытные значения R превышают теоретические на 3—4%).
Приведенное выше (и в [5]) сравнение результатов ТТВ с эксперимен­
том позволяет сделать следующие выводы.
1. Сравнение с экспериментальными данными по взрывам химиче­
ских ВВ показывает, что экспериментальные избыточные давления выше
теоретических и сильно отличаются от них вблизи центра взрыва. На
больших расстояниях от места взрыва экспериментальные данные лучше
согласуются с теоретическими. Значения избыточных давлений, найден­
ные по приближенным формулам (4. 55), (4. 56), совпадут с результа­
тами ТТВ, если значения R увеличить на множитель 1,1—1,15, что экви­
валентно уменьшению заряда ВВ.
2. Экспериментальные зависимости R (т) хорошо согласуются с тео­
ретическими.
3. Данные по атомным взрывам дают хорошее согласие с результа­
тами ТТВ для случая у = 1 , 4 , если принять энергию взрыва Е равной
8,5-10 кГм (эта величина энергии близка к энергии взрыва так назы­
ваемой номинальной атомной бомбы).
В работе А. С. Фонарева и С. Ю. Чернявского [42] проводилось сравне­
ние данных ТТВ с расчетом взрыва зарядов тротила в воздухе при учете
движения продуктов взрыва. Результаты этой работы показывают, что
примерно с Лр/pi <С 20 результаты ТТВ хорошо согласуются с расчетом
взрыва тротила. При увеличении удельной энергии ВВ совпадение с ре­
зультатами ТТВ улучшается, что следует и из простых физических сообра­
жений (концентрация энергии в заданном объеме увеличивается). На ос­
новании расчетов в работе [42] был сделан вывод, что на больших рас­
стояниях параметры ударной волны определяются в основном полной
энергией взрыва и начальным давлением в воздухе.
Приведенные данные позволяют сделать заключение, что результаты
ТТВ по параметрам фронта волны можно успешно применять для опре­
деления характеристик взрывных волн плоских, цилиндрических и сфе­
рических зарядов независимо от их природы начиная с некоторых рас­
стояний.
12
0
г
2
2
n
2
0
12
§ 5. Приближенные формулы для определения параметров
фронта ударной волны
5.1. Приближенные асимптотические формулы для больших расстоя­
ний. Как в теоретических исследованиях, так и в практических прило­
жениях важное значение имеют аналитические зависимости для пара­
метров фронта ударной волны. Так как точное значение этих зависимостей
получить не удается, то возникает задача о нахождении эффективных
приближенных формул. Этот вопрос рассматривается в настоящем па­
раграфе.
В соответствии с результатами § 2 для определения параметров фронта
ударных волн на больших расстояниях можно воспользоваться асимпто149
тическими формулами (4. 10)—(4. 13) или более точными формулами
(4. 14), (4. 15).
Постоянные C , г*, входящие в эти формулы, следует находить из
v
данных по расчету задачи для времен, когда (Ар/р ) — 0,1 — 0,3 ( А р =
г
=Р2 — PÙКак пример рассмотрим подробно случай v = 3 , у = 1 , 4 . Для
при v = 3 имеем формулу
1
Рлi ~
P
5( (т
Т + 1)
) fr
5
1
a
р 1р
2
х
7« Pï Pl i r V i n ( r / r * ) "
2
2
В безразмерных переменных эта формула запишется так:
Р2
Pi
4
_ I !
т
%з
^ b ^ + i) ^ ^ l n ( f l / Ä V
2
(4 57)
*
v
Постоянные Ä и Д* находились из условий совпадения pJPi с расчет­
ными значениями, взятыми из [ 4 ] , в некоторых выбранных точках при
Л а > 2. В формулах для р / р I ^ / Ö ^ эти постоянные считались уже из­
вестными. В результате вычислений для т=1»4 были получены асимпто­
тические формулы
3
2
1?
Q
Z l ^ l J
Pi
2
Pi
w
2
. °'
# 2 V/lg Д
(4.58)
0,158
1 6 3
2
,
+ 0,158
(4.59)
V
'
0,163
v
2
2 2 7
# Vlg Л +
-й- = 1 +
v
'
~~ R
2
V^lg Я
2
(4- 6 ° )
+0,158 "
Эти формулы впервые получены нами и опубликованы в [2, 5 ] . Они
дают достаточно точные значения параметров фронта для значений R >
> 1,5 (подробно см. [5]).
Выяснение точности формул типа (4. 58)—(4. 60) и дальнейшее разви­
тие предложенного нами метода дано в работе Майлса [43]. Так, здесь для
положительного импульса давлений предложена формула
2
/+ = 4 т ( т + 1 ) ^ я ^ ,
я
P l
ro
где постоянная А пропорциональна к и дает наилучшие результаты при
значении А = 0 , 2 3 .
Используя результаты расчетов плоского и цилиндрического взрывов,
изложенные в предыдущем параграфе, можно определить соответствую­
щие постоянные в асимптотических формулах (4. 10)—(4. 13) и получить
аналог приближенных формул (4. 58)—(4. 60).
5.2. Зависимость скорости частиц газа на фронте ударной волны
от координаты. Рассмотрим подробно зависимость скорости частиц на
фронте ударной волны от координаты ударной волны точечного взрыва.
В автомодельном случае, согласно (2. 12), имеем
3
D = -2— V — г - " '
2
(4.61)
n
0
150
v + 2 Г ctpj.
20
•
V
'
Из условия на ударной волне (1. 62) для функции v получим
2
4
6 2
"» = ^ Л о .
( - >
v , = ^ { i - q ) D .
(4.63)
Если г -> с о , то q - > 1 и, следовательно, и -> 0 при г - > о о . Из (4. 61)
и (4. 62) видим, что и г; -> 0 при г - > о о . Таким образом, предельные
значения и при г - > оо одинаковы как для сильного взрыва, так и для
взрыва с учетом противодавления. Для других характеристик движения
это предельное свойство не выполняется. Далее сравним зависимость v
от г для сильного взрыва и для случая вырождения ударной волны в зву­
ковую. Для сильного взрыва из (4. 61) и (4. 62) находим
2
2
20
2
20
2
2
2
1) ( v + 22))
(7 +
V
a
P l
При вырождении ударной волны в звуковую имеем асимптотические
формулы (см. (4. 10), (4. 12))
^ -
(
T
+
l
)
r
( v
+
l ) , 4
(4.65)
г
1/з
Используя выражение для скорости звука a^^pj р )
(4. 64) и вводя в (4. 65) вместо C константы & , получим
в формуле
1
v
** ~
(v 4 - 2 ) (
4a
г;,20 •
'5(
T
T
+
1) У
] / J Ë L
1)Г Г a
T
+
Г
a
T
P
l
3
r- /
Г
2
T P l
2
>
У
v
2ас =
(v +
4
2
>
f
l
r
—
^ a c — 5 ( 7 +
]
2) (f +
l /
1) Г
1) Г
^0
a
^3
а
*1г[
1Рл
г
T
P
l
r
r
/
,
(v+l)/4
\
2
r
2
V ~
V»
,
l
]
'
v
_ ox
—
%
причем постоянные к связаны с C соотношением
ч
v
2
TPi
Из приведенных формул видно, что функциональная зависимость v
от г меняется слабо при переходе от малых г (сильный взрыв) к боль­
шим г , а в случае плоских волн совершенно не меняется.
Так как качественный характер изменения v с ростом г остается
таким же, как и для v (из физических соображений ясно, что v убывает
с ростом r ), а асимптотические законы отличаются слабо от автомодель­
ных, то можно приближенно считать, что
2
2
2
2
2
20
2
2
2
2
(7 +
1) (v +
V—^r
2).
_
1
Г
1
#
2
.
(4.66)
и для довольно больших значений г . Заметим что мы здесь не учитываем
возможных взаимодействий основной ударной волны со вторичными (сла­
быми) волнами, которые могут возникнуть в потоке газа. Более точную
2
151
зависимость v ( г ) с правильным асимптотическим поведением на бес
конечности дадут формулы [44]
2
2
V
=
2
\
(4. 67)
(Т + 1) (^ + 2)
у
^ 2 < Г
2ас»
2
(4. 6.8)
< 0 0 .
Выбор величины г и констант & , г* будет сделан в дальнейшем. Отмечен­
ные свойства для зависимости и (г ) подтверждаются расчетом и иллю­
2
v
2
2
стрируются рис. 55 для v = 3 , Y=1,4.
Характер зависимости v (г ), выражаемой формулами (4. 66), (4. 67),
подтверждается также данными, взятыми из американской работы [391
(более подробно об этом см. [5], гл. 5).
5.3. Закон движения достаточно сильной ударной волны и ее пара­
метры. Используя (4.66), можно дать формулы для расчета всех пара­
метров фронта ударной волны. Из условия на ударной волне для v и
формулы (4. 66) получаем
2
2
2
(4.
Вводя безразмерный радиус R ,
69)
находим
2
(4. 7 0 )
(1 - g )
2
2
Так как q=a /D ,
то соотношение (4. 70) дает связь между радиусом
и скоростью ударной волны. Используя (4. 70) и условия на ударной
волне, можно найти зависимости р /р (Л ), р / р (R ). Можно также найти
закон движения ударной волны R ( т ) . Из формулы (4. 70) и соотношения
(dr /dt) = a q~ имеем
2
1
2
а
х
2
2
2
2
1
2
dR
dz
1
2
у -
2)
" ~ (v +
Va
v/2
Ш
[1 +
vCI,
0 = 1+
v
Для автомодельного движения зависимость R
20
T
2f R\.
a (v +
(4. 71)
( т ) известна и имеет вид
Ä (T)=:a-V(v+2) /2/(v 2)
20
T
+
(£.72)
e
Для случая v = l и v = 2 уравнение
(4. 71) интегрируется в элементарных
функциях. Рассмотрим эти случаи. Иэ
уравнения (4. 71) найдем
2
(v + 2)VaRl! dR
2
(4.73)
l + Vl + ^a (2 + v ) 2 Ä j
Отсюда т (R ) находится квадратурой.
После интегрирования получаем
2
T = - l = . № - l n ( l + V e D ] + C (v = 2),
2
4 ^ Va
0,1
0,1
ол
З7
Рис. 5 5 . Зависимость v /a
ударной волны R
2
2
152
1
от радиуса
1
ЗУ^т-
In
\/а
-2sjR +sjRA
+
2
+ V 9 a Ä ] ) + С (v = 1),
T
s
л
где С и С —• постоянные интегрирования. Постоянные С и С могут
быть выбраны из условия R ( т ) = Д , где R связано с т автомодельной
зависимостью (4. 72). При этом за т следует принять малую величину,
соответствующую той стадии взрыва, когда верно автомодельное ре­
шение.
Окончательные формулы, дающие связь между R и т, Можно запи­
сать так:
2
1
2
0
2
2 0
г
0
20
0
2
— \у/1 + 1 6 a i ? i — у/1 + 16 осЛ| — In T
4 7 Va [
V
^
1
Т
2
V
1
^
1 - j _ V^l 4 - 1 6 ? а Я |
,
0
+
1 + Vi 4-
2 0
(4.74)
ЩаЩ
0
(v = 2),
3ï
-
i _ | _ 2 у/Щ + 2 у й ^ + >/Ä (1 + 9 a / î )
2
-
lu ^ L ± g g g ! +
^
T
a
V Д „ (1 + 9 а Д ) 4 - VJТ
20
1
+
T
(v = l ) .
0
В случае сферической симметрии из (4. 71) получаем
di?
2
=
_[1
+
4-VI
25 а#з].
Т
(
4
<
7
5
)
Это уравнение можно интегрировать численно, задавая начальные дан­
ные из автомодельного решения. Можно также воспользоваться табли­
цами эллиптических интегралов.
Формулы (4. 70), (4. 74), (4. 75) и (4. 22) (или (1. 62)) позволяют с до­
статочной степенью точности определить все параметры ударной волны,
когда она еще довольно сильна (r ^ г ). Вопрос о построении более
точных формул, пригодных для расчета характеристик течения на любых
расстояниях от центра, следуя зависимости (4. 67) для и (г ), будет рас­
смотрен в дальнейшем.
Для значений r ^ г остаются в силе все зависимости, приведенные
выше. Для расчета характеристик течения при г ^> г следует выбрать
величину г\ и константы & и г*.
5.4. Формулы для всего диапазона расстояний в случае плоских и
цилиндрических волн. В случае плоских волн выберем v = l, так как
только при этом условии зависимость v (г ) для малых расстояний непре­
рывно перейдет в зависимость v (г ) для больших расстояний.
Таким образом, исходя из наших основных предположений, сделан­
ных в начале главы* для плоских волн нельзя получить других формул
расчета характеристик течения на больших расстояниях, отличных от
формул п. 5.3. Используя (4. 70) при v = l и условия на ударной волне,
для максимальных избыточных давлений получаем простую формулу:
2
2
2
2
2
2
2
2
v
2
2
—1 =
•Pi
2
2
4 т
(4. 76)
( т + 1)1-1 + ^1 4-9т«А2Г
Графики закона движения ударной волны и характеристик течения
на фронте ударной волны для у = 1 , 2 ; 1,4; 3 в случае плоской симметрии
изображены на рис. 56—59.
153-
w
56
58
fi/fi
10-
Г = /,2
y=3
bOS
1,1
59
57
Рис. 5 6 . Зависимость Я
г
от т для разных у при
v=l
Рис. 5 7 . Максимальные избыточные давления при
Рис. 5 8 . Зависимость безразмерной скорости от R
2
v=l
при
Рис. 5 9 . Изменение плотности на ударной волне при
v=l
v=l
Для цилиндрической симметрии согласно (4. 65) и (4. 67) можно напи­
сать в безразмерных переменных
(4.77)
где к =к
2
2
(E /pJ\
0
Требование непрерывности v la в точке R =R
приводит нас к сле­
дующему значению к : k =(R* )~ '*. Величину R* выберем так, чтобы
переход от формул, соответствующих зависимости (4. 67), к асимптоти­
ческим формулам затухания ударных волн происходил при значениях
%/Z), приблизительно равных 0,9. Этому значению aJD соответствует
избыточное давление р 1р — 1 = 0 , 2 7 , т. е. ударная волна является до­
вольно слабой, и использование асимптотических формул для расчета
параметров ударной волны не внесет больших погрешностей.
Из (1. 62) и зависимости и 1а для R <iR*
находим, что величина
•aJD œ 0,9 соответствует j?*=2. Итак, на основании только что прове­
денных рассуждений возьмем
Rt=2.
2
x
2
2
1
2
2
2
2
г
2
Ш
2
г
2
2
о
Oj
г
дЯ
Рис. 6 0 . Сравнение расчетных и приближенных
фронте ударной волны при у = 1 , 4
значений избыточных давледий
на
Рис. 6 1 . Сравнение расчетных и приближенных
при у = 1 , 4
законов движения ударной волны
Используя формулы (4. 77), условия (1. 62) и полученные значения к ,
R\, находим формулы для максимальных избыточных давлений
2
Р2
4Y
J
(ï-
Pl.
Р2
I
0<Д <2,
2
1) (—1 + Vl67ai?| + 1 ) '
(4. 7 8 )
4Y
_
oo>i? >2.
2
Pl
V2
+ 0 '
Далее приведем формулы для нахождения зависимости R (t), соот­
ветствующей закону (4. 77). Для R ^ 2 зависимость i ? ( ) дается фор­
мулой (4. 74). При R ^ 2 для движения ударной волны возьмем асимпто­
тический закон
(T + 1) ( - 1 + N/16
2
т
2
2
2
1
«1 (« - о = 4 - (itrf
+•••]•
Переходя к безразмерным переменным т, R и подставляя значение & ,
получаем
2
2
(4. 79)
1 - / ^ 2 * « * + . . . ] .
где т* — некоторая постоянная. Постоянную т* выберем из условия
совпадения значений т, найденных по формулам (4. 74) и (4. 79) при R =2.
В результате расчетов были получены следующие значения: т*=0,17
для т=1,2, т*=0,25 для т=1,4, т*=0,41 для у = 3 .
Соотношения (4. 74), (4. 76), (4. 77) и (1. 62) позволяют рассчитать все
параметры фронта ударной волны в цилиндрическом случае.
Графики зависимостей R ( т ) , [p lp-ù (R ) — 1, ( z ^ i ) № ) , ( р / Pi) ( # 2 )
для разных у при v = 2 представлены в [5] и здесь не воспроизводятся.
На рис. 60 даны зависимости àp/p от 7? , полученные расчетом по
рассмотренному в § 3 методу и по формулам (4. 78). Сравнение расчет­
ных и приближенных значений R (т) показано на рис. 61. Здесь данные,
взятые из численного решения, отмечены кружками. Сравнение показы­
вает хорошую точность приближенных формул.
2
2
2
2
t
2
2
2
155
5.5. Формулы для всего диапазона расстояний в случае сферических
волн. Сравнение давлений для v = l , 2 , 3 . В случае сферической ударной
волны согласно (4.67), (4.68) в безразмерных переменных имеем
1
5(
у
Vay
+ 1)
Т
3
#2 '\
0<i? <i?*,
2
(4. 80)
2
4
1
5 ( 7 + 1) V <z i ? \ / l n i ?
T
2
— InJ* '
2
Здесь k и Z* — некоторые безразмерные постоянные, связанные с к и
г* соотношениями к =к
(pJE^I*,
r*=Z* (EJp^) l\
Для зависимости
i; /#i от i ? потребуем непрерывности функции £> / i (R ) и ее первой про­
изводной при R =R* . Это требование приводит к следующим соотноше­
ниям: Ä = ( R 5 ) ~ V 2 lnZ"'=lni?2* — 1. Так же как и в цилиндрическом слу­
чае, за величину RI возьмем R* =2. Такой выбор R является естествен­
ным, так как для R ^ 2 значения и /а , найденные по асимптотической
формуле (4. 12), дают достаточно хорошее совпадение со значениями и /а
полученными в результате решения численными методами, что показано
на рис. 55. К выбору примерно такой же величины R* можно прийти
также путем рассуждений, аналогичных рассуждениям при выборе R
для случая v = 2 .
При выбранных значениях Л , к из (4. 80) и (4. 22) легко получить
формулы для избыточных давлений
3
3
l
3
3
a
2
2
2
2
3
J
2
2
J
2
2
2
2
г
2
1У
2
2
2
3
1
' + 1 _ l + Vi + 2ЪуаЩ
I ___
Р2
Pi
4
0</? <2,
2
'
1
оо >
7 + 1
- 1 +J/
l + 50 #i(ln-^ - +
2
R
2
> 2.
l)
T
Закон движения ударной волны для значений R ^ 2 определяется урав­
нением (4. 75). При R > 2 для определения зависимости R (т), как
и в случае цилиндрической симметрии, используем асимптотическую
формулу, верную для больших расстояний. В безразмерных переменных
эта формула имеет вид
2
2
2
*
,
i?9
у/ч
0,4
У
Va
Т
Äsy/lnW).
(4.81)
С помощью (4. 80) и условий (4. 22) на ударной волне можно также
найти зависимость р / р (R ) для разных значений показателя адиабаты у.
В работе [5] представлены графики безразмерного избыточного давления
для частиц непосредственно за фронтом ударной волны при у = 1 , 2 ; 1,4; 3
и v = 3 . Для этих значений у был найден закон движения ударной волны
i? (т). При этом уравнение (4. 75) интегрировалось с начальными усло­
виями т = 1 0 - , Д = от /. .«)-*.
При значении R —2 совершался переход от расчета по уравнению
(4. 75) к расчету по формуле (4. 81). Как и в цилиндрическом случае,,
постоянная т* определялась из условия совпадения значений т при
.# =2 и оказалась равной: для у = 1 , 2 т*=— 0,28, для у = 1 , 4 т*=—0,22,,
для у = 3 т*=—0,19.
2
х
2
2
1
5
0
а о
2
2
156
Для выяснения точности расчета по предложенным выше приближен­
ным формулам было проведено сравнение величин избыточных давлений
и закона i ? ( t ) , найденных по приближенным формулам, с расчетными
данными. В результате сравнения оказалось, что в сферическом случае
для величин p /Pi — 1 ^ 0,05 погрешность в определении гидродинами­
ческих характеристик фронта волны не превышает 5%, если принять
расчетные данные за «точные».
Для моментов времени, соответствующих p /Pi — 1 ^ 0 , 0 5 , погреш­
ность в определении R (т) не превышает 3% [5].
2
2
2
2
Для сравнения законов затухания ударных волн при различных симметриях на рис. 62 даны графики р 1р — 1 от i? для v = l ; 2; 3 и у = 1 , 4 ,
построенные по приближенным формулам. Из этих графиков видно, что
сферическая ударная волна затухает гораздо быстрее цилиндрической
и плоской.
Заметим, что формулы, полученные в этом параграфе, достаточно
простые и обладают высокой точностью (они могут быть уточнены при
использовании законов затухания (4. 14), (4. 15)). Эти формулы находят
различные приложения (см., например, [45, 46]). Приведенные в этом
параграфе формулы могут быть обобщены и на случай учета диссоциации
и ионизации. Постоянные в асимптотических зависимостях (4. 10) —
(4. 13) могут быть найдены на основании расчетов соответствующих задач.
Для случая взрыва в воздухе при сферической симметрии эти постоянные
приведены в [43],
Нами проводилась работа по получению приближенных формул,
основанных на аппроксимации зависимости v (г ), описанной для совер­
шенного газа. Здесь получаются хорошие результаты, если взять уточ­
ненное значение энергетического параметра а (например, с. учетом эффек­
тивного значения показателя адиабаты у ), а у считать переменным в за­
висимости от плотности и давления.
Согласно (4. 64) для сильного взрыва имеем
2
1
2
2
2
0
4
77
2 0
Л/
*~~ (Т + 1) (v + 2) У
Eç)
a(
T o
r"
)
Г
P l
2
v / 2
'
Подставив эту зависимость в усло­
вия на ударной волне и считая у =
= у(р, р), получим неявные зависи­
мости р ( г ) , р (r ), D (г ).
В упрощенном варианте можно
принять у = 1 , 4 и лишь уточнить зна­
чение а. Этот подход не приведет
к большим погрешностям (в особен­
ности для зависимости г (£)), ибо
(у+1) меняется слабо (от 2,1 до 2,4).
2
2
2
2
2
2
Рис. 6 2 . График избыточного давления в за­
висимости от радиуса при у = 1 , 4
-Сравнение для разных v по приближенной теории
157
Проведенные нами вычисления и сравнения с численным решением
Г. Броуда [47] показали, что имеется удовлетворительное согласие по
зависимости кр!р от R (естественно, что согласие по закону движения
ударной волны будет также хорошим). Заметим, что в случае аппрокси­
мации и (г ) для вычисления давлений р удобно использовать формулы
(2. 69)-—(2. 71), аппроксимирующие таблицы H. М. Кузнецова (см. гл. 2).
г
2
2
2
2
§ 6. О пересчете безразмерных величин^на размерные.
Закон подобия *
Как уже указывалось, численное решение задач о точечном взрыве
удобнее производить в безразмерных параметрах. Для простоты будем
считать газ совершенным с постоянным у. В результате расчета, прове­
денного для каких-нибудь фиксированных значений v и у, мы глэлучим
зависимости искомых безразмерных функций от безразмерных перемен­
ных г/г и т, что дает возможность легко найти все величины, характе­
ризующие течение (при тех же значениях v и у) для любых значений Е ,
Рь Pi- Д
ДРУ
значений v и у расчет необходимо проделать снова.
Рассмотрим вопрос о переходе от безразмерных величин к размерным.
Пусть имеем независимые переменные X = г/г , т = t/t , t° = r° (pjp^ =
2
0
л я
ГИХ
0
2
2
yl
= (Ejp^
yV#i> ° — динамический линейный размер, t° — динамиче­
ское время.
Энергию, выделяющуюся при взрыве, можно выражать в тепловых
или механических единицах (калориях, эргах, килограммометрах). Для
большей наглядности энергию можно характеризовать весом какоголибо определенного ВВ. В качестве такого ВВ часто берут тротил. (Из­
вестно, что при взрыве так называемой номинальной атомной бомбы выде­
ляется за короткий промежуток времени приблизительно такое же коли­
чество энергии, как и при взрыве 20 ООО m тротила.)
Учитывая, что
r = r l,
t = tb,
(4.82)
r
2
можно, зная из расчета зависимость R (т) и принимая определенные
значения для р р Е , пересчитать по формулам (4. 82) безразмерные
величины X и т на размерные г и t.
Аналогично можно перейти к размерным величинам давления, плот­
ности, скорости и т. д. В качестве примера рассмотрим такие безразмер­
ные переменные:
2
ъ
ъ
0
(4.83)
Я.(о, т ) = - £ ,
Д,(а, T ) = l £ .
t
где а —- безразмерная лагранжева координата, о = £/r°, z=t/t°.
к размерным переменным осуществляется по формулам
Р (6, t) =
Л
Р,
г (6, t) = r°R,
p (Ê,
t) =
P
L
G,
v (6, t) =
г (0=г°Д .
2
2в
Переход
7,
fll
È = r°o, * = *o .
(4. 84)
x
* Здесь мы Следуем § 6 главы I V книги [ 5 ] , написанному автором совместно с Е . В. Ря­
зановым и Н . С. Мельниковой.
158
Иногда может потребоваться переход от размерных величин, соответ­
ствующих конкретным значениям размерных начальных параметров Е
Pu Ръ безразмерным переменным (для тех же самых значений у и v).
Рассмотрим такой пример: расчет задачи произведен для некоторых зна­
чений у, v и определенных величин Е р
р . Требуется найти решение
соответствующее тем же значениям v и у, по другим начальным значениям
энергии, плотности и давления Е , р , p . В этом случае поступаем так:
используя формулы (4. 83) и известные значения Е
р
р , перейдем
сначала к безразмерным переменным, а затем по формулам (4. 84) и задан­
ным Е , р , р находим интересующие нас зависимости для новой си­
стемы размерных переменных. Так, для пересчета времени находим сна­
чала т, а затем t :
0г
к
01г
02
и
1Ъ
12
г
i2
ои
02
12
1Ъ
п
12
(2)
g
T
^
m
,o
—
— t ^
f
»
^(2)
h-f
.0 (1)'
V
где
Для пересчета расстояния (эйлеровой координаты частицы) имеем
Д= " ^ .
• *<
r*> = W = %ra>>-
= {jffî>
(< =
1,2),
где t
и г
— размерные время и эйлерова координата, известные израсчета, проведенного при параметрах Е , р
р ; t , г — размерные
время и эйлерова координата, пересчитанные на параметры.
Аналогичные формулы можно написать для пересчета скорости, плот­
ности и других величин. Здесь мы считаем, что все величины с индексами 1
и 2 заданы в одной и той же системе единиц измерения. Из этих формул
при Рц=р
и Р ц = Pi2 легко найти зависимости
(1)
(1)
01
и
1Ъ
i2)
(2)
12
Г(2)
'"(I).
=
(
£02 У/*
UoJ
*(2) _ ( ^02
'
*ц, ~ U o J
'
которые выражают собой так называемый закон подобия. Для случая
сферического взрыва этот закон записывают часто так:
Г)
(2
r
(l)
/
\
w
w
У
l
2
J
/ З
*(2)
t
9
/
w
( l ) ' ~ \ W
У
l
2
J
/З
'
где w — вес заряда (для атомных взрывов — тротиловый эквивалент).
При выбранных таким образом отношениях расстояний от центра
взрыва и времен величины давлений будут одинаковыми. Указанный
закон подобия верен для широкого класса сжимаемых сред.
Рассмотрим далее в качестве одного из конкретных примеров переход
от переменных, принятых в работе Гольдстайна и Неймана [4], к безраз­
мерным переменным (4. 83). В работе [4] расчет задачи о точечном сфери­
ческом взрыве ( v = 3 ) произведен при использовании следующих началь­
ных данных, взятых из решения автомодельной задачи *:
т ^ —0,0182575;
P =lO0;
G
= i ;
Д * = 0,5
(у = 1 , 4 ) , (4/85)
%N
1
N
2
* В дальнейшем индекс N будет указывать на то, что соответствующие вели­
чины взяты из работы [ 4 ] .
159*
где P
— давление на фронте ударной волны, GIN — плотность невозму­
щенной среды, R N — радиус ударной волны, тдг — время. Здесь все
величины будем считать безразмерными, связанными с размерными вели­
чинами по формулам (4. 83):
2
N
2
Р
р
г
—
1
<г
р
п
г
2
(4. 86)
г
где t% — постоянная величина с разномерностью времени, г%— постоян­
ная величина с размерностью длины, г — эйлерова координата, £ — лагранжева координата.
В автомодельной задаче о сильном взрыве на ударной волне верно
соотношение
4 87
(- >
в
*
=
25^)С?) .
Для радиуса автомодельной ударной волны верна зависимость
(4.88)
Wi/
Подставляя выражение для т по формуле (4. 88) в формулу (4. 87) и ис­
пользуя формулы (4. 86), получим
2
о _
N
/ Е
0
8
8
У / з /_Рт_У/ Г
2
~ \ * P i )
W
L
2 5
1
Т/в 1
p
('+ ) 2^
Для v = 3 и у = 1 , 4 имеем а=0,851. Следовательно,
о _ ( E у/, / p
Q
{
V/,
Г
2
f/e
1
/^
0
у/з
/
P l
у/,
Учитывая (4. 85), находим численное значение постоянной
к^=0,23229.
Итак, z =t/f =t/kNt°.
Сравнивая это выражение для безразмерного вре­
мени с формулой (4. 82), имеем &^т#=т. Далее, можно получить R =
= k R , R = k R ,o = kN<3N, P — PN, G — GN, V = (^)~ {dR ld'z ). Полученные
формулы дают зависимость между безразмерными переменными (4. 86),
принятыми в работе [4], и безразмерными переменными (4. 83).
N
N
2
l
N
2N
N
N
N
N
§ 7. Использование аналогии между взрывом
и обтеканием тонких затупленных тел
При движении в газе тонких тел типа снарядов и ракет с гиперзвуковой
скоростью, т. е. со скоростью, в несколько раз превышающей скорость
распространения звуковых волн в окружающей среде, тонкие заострен­
ные тела, подвергаясь воздействию среды, затупляются в своей головной
части. Движущиеся тела могут получить затупленную форму в головной
части также при конструировании.
Таким образом, при гиперзвуковых полетах движущиеся тела прак­
тически всегда имеют затупление и решение задач о движении затупленных
тонких тел имеет большое практическое и теоретическое значение. Движе­
ния затупленных тел со сверхзвуковой скоростью сопровождаются воз160
Рис. 64. Схема обтекания затупленной пластины (а) и аналогия с явлением взрыва
плоского заряда (б)
никновением перед телом так называемой отошедшей ударной волны, кото­
рая не касается поверхности тела (рис. 63, а, 64, а). Методы расчета тече­
ния за отошедшей ударной волной развиты О. М. Белоцерковским,
В. В. Луневым, Г. Ф. Телениным, П. И. Чушкиным и другими авто­
рами [27, 28, 48—51].
Между нестационарной задачей о взрыве и задачей стационарного
обтекания тел с гиперзвуковой скоростью существует известная аналогия,
сформулированная в работах Г. Г. Черного [48] и других авторов и
основанная на использовании принципа плоских сечений.
Основы этой аналогии изложены также и в работах [5, 49]. Проведен­
ные исследования показали, что в плоскостях, перпендикулярных к на­
правлению невозмущенного движения газа, картина движения газа при
обтекании пластины или цилиндра должна быть по существу такой же,
как и при распространении взрывной волны от точечного взрыва для
плоского и цилиндрического зарядов (рис. 63, б, 64, б). Сила сопротив­
ления X затупленного тела приближенно равна энергии Е , так как
энергия, приобретенная слоем газа единичной толщины, при преодолении
затупления есть Е =X
• 1.
0
0
Используя теорию взрыва, можно получить основные данные об обте­
кании затупленной тонкой пластины или затупленного тонкого цилиндра
(прямая аналогия). С другой стороны, если мы имеем решение задачи
о гиперзвуков ом обтекании затупленной пластины или цилиндра, то мы
можем определить приближенно параметры плоского и цилиндрического
взрывов (обратная аналогия). После того как был сформулирован отме­
ченный выше принцип аналогии, основное внимание авторов привлекло
использование теории сильного взрыва и линеаризированного решения
с учетом противодавления (см., например, [5, 48]). Это объясняется тем,
И
Тр. Математ. ин-та, т . С Х Г Х
161
что соответствующие неавтомодельные нелинейные задачи были исследо­
ваны слабо. В работах М. А. Цикулина принцип аналогии использовался
не для сильного взрыва, но с применением опытных данных для пара­
метров фронта по взрывам цилиндрических зарядов ВВ [37]. Более полное
исследование прямой аналогии стало возможно лишь после получения
решения задач о взрыве с помощью численных и приближенных методов.
Для использования прямой аналогии параметры нестационарной за­
дачи заменяются на стационарные, причем t и Е соответственно заме­
няются на хи£, / c PœU
(п/4у-Ч\
Здесь приняты обозначения: х — координата вдоль оси тела, изме­
ряемая от его передней точки; d — характерный поперечный размер за­
тупления; u — скорость набегающего потока газа, направленная вдоль
оси х; с — коэффициент сопротивления затупления, рассчитанный на
единицу площади поперечного сечения тела и отнесенный к скоростному
напору.
При таком переходе связь между безразмерными величинами x/d,
rid и т, R дается соотношениями
0
1
2
2
x
œ
œ
х
где M =u /a
— число Маха набегающего потока.
Полученные по прямой аналогии результаты кратко излагаются ниже.
Во-первых, приближенные формулы для параметров фронта ударной
волны, рассмотренные в § 5, дают возможность определить форму ударной
волны и написать ее аналитическое выражение. На это было указано в [5]
и рассмотрено в нашей работе [20], в которой был также получен сле­
дующий результат. Тангенс угла наклона ударной волны drldx для боль­
ших х в стационарном случае стремится к соответствующей величине для
наклона характеристик, т. е.
œ
œ
œ
^ ^ ( M ^ - l ) - V ,
Скорость же ударной волны в нестационарной задаче стремится к ско­
рости звука a . Осуществляя переход к переменным т ид , находим при
больших 1
œ
для случая обтекания и взрыва соответственно. Таким образом, при обте­
кании форма ударной волны на больших расстояниях будет тем ближе
к форме, полученной из теории взрыва, чем больше число М^. Это накла­
дывает ограничения для переноса данных нестационарной задачи на за­
дачу обтекания (и обратно).
В работе [20] было проведено сравнение распределений давлений на
цилиндре и форм головных ударных волн, полученных по приближенному
расчету цилиндрического взрыва и по расчету обтекания тел, выполнен­
ному методом характеристик [50]. Это сравнение показало удовлетвори­
тельное совпадение результатов перенесения данных о взрыве на обтека­
ние вне области затупления. Проведение расчетов с более высокой точ­
ностью, рассмотренных в § 3, позволило сделать более обоснованные
162
Ряс.
6 5 . Сравнение распре­
делений давления на затуплен­
ном цилиндре, рассчитанных
по теории взрыва и по методу
характеристик ( М о о = 1 0 , v = 2 )
выводы [34] о точности аналогии. Оказалось, что при Моо ~ 10 как для
v = 2 , так и для v = l газодинамические функции взрыва и обтекания близки
друг к другу (в смысле сформулированной аналогии) вне некоторой
окрестности затупления (x/d > 10).
На рис. 65 для иллюстрации дано распределение давления на цилиндре
со сферическим затуплением при M = 1 0 , полученное по результатам
расчета взрыва (кривая 2). Кривая 2 соответствует расчетам обтекания
по методу характеристик [50], а кривая 3 относится к линеаризированной
теории взрыва. Как видно из графиков, две первые кривые практически
совпадают при достаточном удалении от затупления.
За последние годы проблема расчета гиперзвуковых течений была
сильно продвинута вперед. В связи с этим встает вопрос об использовании
обратной аналогии. Действительно, как было показано в переменных / ? ,
х, безразмерные функции совпадают вне некоторой зоны затупления, т. е.
для достаточно больших т и для незначительных р /р . При v = 2 , M = 1 0 ,
PjPi ^ 3 совпадение достаточно хорошее. Поэтому для приближенных
оценок параметров взрыва можно воспользоваться результатами расчета
обтекания при Моо ^ 10. Для этой цели можно, например, использовать
недавно опубликованные таблицы [51 ] газодинамических функций гипер­
звукового обтекания затупленных цилиндров при больших числах M .
Приведенные там данные позволяют получить поля давлений и плот­
ностей при взрыве не только в совершенном газе, но и при учете эффектов
диссоциации и ионизации. Естественно, что ближнюю зону взрыва (для
малых t) нужно рассчитывать отдельно (например, по совершенному газу,
используя эффективное значение у).
œ
2
œ
х
œ
§ 8 . Взрыв в стационарном поступательном потоке газа
В приложениях могут встретиться случаи расчета точечного взрыва
в стационарном потоке газа, движущемся с постоянной скоростью Л.
Случай сильного сферического взрыва обсуждался в работе [52]. Если
рассматривать процесс развития взрыва в неподвижной системе коорди­
нат, то надо сделать пересчет решения, используя преобразование Гали­
лея—Ньютона (см. § 1, гл. 1). Так как уравнения газовой динамики
инвариантны относительно этого преобразования, то решение перейдет
в некоторое новое решение.
11*
163
Пусть выбрана некоторая неподвижная система декартовых прямо­
угольных координат х , ж , х с началом координат в центре взрыва при
2=0. Обозначим через U , / = 1 , 2, 3, проекции вектора начальной ско­
рости U на оси координат, а через û ' — соответствующие проекции век­
тора скорости газа после взрыва.
Тогда при рассмотрении течения газа в неподвижной системе коорди­
нат его параметры можно вычислять по формулам преобразования x '=
=x '-\-U4, v =v '-{-U \ р=р, р = р. Здесь через u \ р, робозначены значения
составляющих скорости, давления и плотности в системе координат x ,
связанной с поступательно движущимся газом. Решение задачи в этой
подвижной системе мы считаем известным. Оно может быть найдено чис­
ленным методом, рассмотренным выше, или взято из таблиц [35]. Таким
образом, задача сводится к простому пересчету известных данных. При
проведении такого пересчета в случае цилиндрического и сферического
взрывов следует учесть геометрические зависимости, вытекающие из
связи между декартовыми и цилиндрическими или декартовыми и сфери­
ческими координатами.
1
2
г
J
J
J
J
J
J
J
J
J
В сферическом случае имеем
1
х
1
v
=
=
г
sin 6 cos ср,
и
sin 6 cos ср,
1
х
v
2
—
sin б sin ср,
— v
sin 6 sin ср,
ъ
х
3
— г
и — v
cos 9,
cos б,
где г, б, ср — сферические координаты (движущейся системы). Из физи­
ческих соображений ясно, что мы имеем здесь явление простого сноса
потока «постоянным ветром». К сожалению, при взрыве в атмосфере ветер
редко бывает постоянным по величине и по направлению. Поэтому снос
зоны возмущения носит более сложный характер. Однако приведенные
формулы иногда могут быть полезными при определении времени прихода
ударной волны в заданную точку пространства, если вектор U меняется
медленно в пространстве и во времени. При больших значениях ско­
рости U снос зоны возмущенного движения сильно изменит (для непо­
движного наблюдателя) картину распространения ударной волны.
§ 9. Об отражении ударных волн точечного взрыва
9.1. Начальная стадия отражения плоской волны от параллельной
ей плоской стенки, цилиндрической и сферической волны от концентри­
ческой, цилиндрической или сферической стенок соответственно. Вопросы
отражения ударных волн точечного взрыва разработаны в настоящее
время слабо. Это объясняется в первую очередь достаточной сложностью
возникающих здесь задач. Естественно, что для успешного решения задач
об отражении необходимо изучить законы распространения ударных волн
в безграничном пространстве. Для построения более законченной ТТВ
решение вопросов отражения ударных волн представляется весьма суще­
ственным.
Рассмотрим вопрос об определении давления, плотности и скорости
газа за фронтом отраженной ударной волны для моментов времени, близ­
ких к моменту подхода волны к стенке, который обозначим через t .
В силу предполагаемой геометрии стенки отражение ударной волны от
¥
164
нее будет нормальным отражением, а течение за фронтом отраженной
волны — одномерным, с плоской, цилиндрической или сферической сим­
метрией. В этом случае давление
плотность р , температура Т в отра­
женной волне находятся по хорошо известным в газовой динамике фор­
мулам
#
El.
(4. 90)
Pi
__
P*
Pi
Pi
(4. 91)
*
Для величины начальной скорости отраженной волны имеем выра­
жение
f
[
(
T
72
— i ] [ ( T
+ l)-ff + (T— l ) ] " .
(4.92)
Поскольку стенка неподвижна, то в силу граничного условия на ней
скорость за фронтом отраженной ударной волны
будет мала для мо­
ментов времени, близких к t .
Если задано расстояние г от места взрыва до стенки и значение харак­
терной длины г°, то, зная безразмерную координату R ^ найдем по вели­
чине R =R^
с помощью таблиц [35] или приближенные формул безраз­
мерное время подхода волны к стенке т и через него — время t , а также
соответствующие значения q, pjpx и р / р . Далее по формулам (4. 90),
(4. 91) вычисляются основные параметры отраженной ударной волны для
моментов времени, близких к t .
.
Заметим, что формулы (4. 90), (4. 91) для рассматриваемой задачи,
строго говоря, верны лишь в момент непосредственного отражения удар­
ной волны от стенки, так как они получены для однородного потока за
падающей волной. Однако эти соотношения будут приближенно выпол­
няться для тех моментов времени, когда переменностью параметров тече­
ния за падающей волной можно пренебречь.
Приведем некоторые соображения по поводу характера последующего
течения. В случае отражения волны сильного взрыва с физической точки
зрения мы имеем фактически процесс соударения узкого слоя газа с не­
подвижной преградой и последующий распад произвольного разрыва.
Здесь возможно построить различные приближенные модели возникаю­
щего течения. Заметим, что некоторые вопросы отражения сильного
взрыва (в его начальной стадии) рассматривались в работах [53, 54].
Для решения вопроса об отражении волн умеренной интенсивности нужно
использовать численные методы. Течение газа при рассматриваемом отра­
жении будет одномерным, но к центру взрыва по движущемуся газу будет
распространяться отраженная ударная волна. Для решения этой задачи
можно применить метод интегральных соотношений, проводя интерполя­
цию по пространственной координате и ведя расчет аппроксимирующей
системы дифференциальных уравнений по времени. Полученное решение
для моментов времени, близких к ^ , можно использовать для задания
начальных данных. Отметим, что с точки зрения приложений (взрывы
в воздушных полостях в грунте, цилиндрические взрывы в ксеноновых
трубках для получения импульсов света и др.) наибольший интерес
¥
¥
n
¥
¥
2
х
¥
165
представляет знание параметров течения в непосредственной близости
у стенки. Это следует учитывать при построении приближенных теорий.
9.2. Начальная стадия регулярного отражения плоской, цилиндриче­
ской или сферической взрывных волн от плоской поверхности. Рассмот­
рим сначала плоский случай. Пусть плоская взрывная волна падает на
абсолютно жесткую плоскую стенку так, что угол между плоскостью
ударной волны и стенкой отличен от нуля и равен а. Тогда для моментов
времени, близких к столкновению волны со стенкой, из соотношений на
ударной волне и граничного условия на стенке для скорости газа можно
получить асимптотические зависимости между параметрами падающей и
отраженной волны (см. [55]).
Обозначим через а^,
р^ соответственно угол отражения, давление
и плотность за отраженной волной в момент времени непосредственно после
отражения и введем следующие параметры:
тс, = —-,
тс = — ,
со = to* а,
со = t g а .
Если задан угол а и параметр тс в момент встречи волны с плоскостью
отражения, то для определения
имеем квадратное уравнение
х
m [(1 - V)*- (со - со,)* - (р. + coco/] +
+
|fc2(l_p)2(<0 —<DJ +
<D, — œ =
(4.93)
0 ,
где
7—1
г
.. — Jт
+
(i—%,)b>
1'
т
—
l + ^v- H n1/+
T i i ) обо­
значение относительного давления ^ за отраженной волной находится
так:
И1 + и4) + .
:
(
4
9
4
)
Отношение плотностей р ^ / р и температур TJT можно найти с помощью
формул (4. 91).
Так как точка пересечения падающей и отраженной волн движется
вдоль плоскости, то для определения скорости отраженной ударной
волны D в точке отражения имеем соотношение
2
2
¥
ö-fl^,
(4.95)
*
sin a
'
Используя найденные величины Z)^, р ^ / р и закон сохранения массы при
переходе через поверхность разрыва, можно определить нормальную
составляющую скорости газа за отраженной волной и^. Касательная
составляющая находится по условию ее непрерывности при переходе
через разрыв. Заметим, что условие отсутствия вещественных корней
уравнения (4. 93) дает значения углов, для которых наступает нерегуляр­
ное (маховское) отражение.
Рассмотрим теперь случай отражения цилиндрической или сфериче­
ской волны. Пусть взрыв произошел на расстоянии h от плоскости отра­
жения П (в цилиндрическом случае для простоты считаем, что линия
взрыва параллельна плоскости П). Обозначим через a угол, под которым
подходит к плоскости П цилиндрическая или сферическая волна в некоv
а
J66
торый момент времени ^ после взрыва. Из геометрических соображений
очевидно, что угол а будет равен углу между перпендикуляром к пло­
скости П и радиус-вектором, проведенным из центра взрыва О в точку
отражения волны О в рассматриваемый момент времени f (рис. 66).
Течение газа при отражении ударной волны будет обладать осевой сим­
метрией с осью, проходящей через точку взрыва перпендикулярно к пло­
скости П. Решение будет зависеть от параметров А, Е , р , р у и для
безразмерных функций р/р будем иметь
1
0
г
ь
1
J L - p ( ±
1
i
в
rV
где 6 — угловая координата. Для различных отношений h/r° задачу
нужно решать заново (значения у считаем одинаковыми). Полученный
Рис. 6 6 . Схема регулярного
отражения ударной волны
в § 6 закон подобия здесь, строго говоря, не выполняется. Если мы из­
меним г°, например, меняя энергию Е то для пересчета данных на дру­
гое h мы должны так изменить г°, чтобы отношение {hlr )=H\ оставалось
постоянным, другими словами, пересчет задачи возможен, если
01
Q
h
Е
(
Для произвольных Е пересчет по обычному подобию может при­
вести к ошибкам. Это следует всегда учитывать. Здесь можно заметить,
что в работе [57] эти факты не всегда учитываются и оговариваются при
рассмотрении сферического взрыва, что может привести к недоразумению.
Естественно, что приближенно закон подобия может быть применен
и для величин энергий, несильно отклоняющихся от зависимости (4.96).
Как уже упоминалось, отражение взрывной волны для некоторых зна­
чений угла падения а имеет нерегулярный характер [39, 40, 41, 50—54,
57]. При заданной величине Ар имеет место нерегулярное (маховское)
отражение, если угол падения а больше некоторого предельного угла а .
При нерегулярном отражении имеет место существенное увеличение
давления (на плоскости) по сравнению с давлением, которое следовало бы
ожидать по схеме регулярного отражения. Вообще говоря, значение
предельного угла а возрастает с уменьшением Ар. Отсутствие одно­
мерности задачи, ограниченное действие закона подобия и возникнове­
ние маховского отражения сильно усложняют теоретическое решение
задачи. Рассмотрение этой задачи в целом есть предмет специального
исследования. Мы рассмотрим лишь некоторые отдельные вопросы этой
задачи, касающиеся в основном стадии регулярного отражения.
0
0
0
167
Применяя результаты решения задачи об отражении плоской волны
к отражению элемента цилиндрической или сферической волны, можно
определить параметры газа непосредственно в момент отражения эле­
мента волны от плоскости. Обозначив через
безразмерную величину
h/r°, имеем равенство
cosa=A iK
(4.97)
=
Пусть нас интересуют параметры отраженной волны в точке О'
плоскости П на расстоянии
от центра взрыва. Если параметр г° из­
вестен, то, зная R^rjr^
можно вычислить угол а по формуле (4. 97).
С помощью таблиц [35] или по формулам § 5 по значению R =R
найдем
величины
\ и отношения р /рц p /Pi- Если при полученном р /р
угол а соответствует режиму регулярного отражения, то, используя
введенные обозначения, по формулам (4. 91) и (4.93)—(4.95) вычислим
параметры отраженной волны в моменты времени, близкие к t .
Далее, пусть известна зависимость между р /р± и предельным углом
регулярного отражения. На основании теоретического анализа такие
данные следуют из формул (4.93)—(4.95); они приведены, например,
в [55]. Тогда для заданной величины h можно найти границу зоны регу­
лярного отражения на плоскости П. Заметим, что для сферического взрыва
при 7 = 1 , 4 задача о начальной стадии регулярного отражения решена
M. М. Васильевым [56]. Цилиндрический взрыв, по-видимому, здесь
рассматривается впервые (экспериментальные данные приведены в [37]).
Качественные особенности нерегулярного отражения описаны во многих
работах [39, 41, 55, 57—60].
Вопрос об определении давления на плоскости в моменты времени,
близкие к моменту отражения для стадии нерегулярного отражения,
можно было бы решить, если бы были известны формулы, связывающие
величины давлений за падающими и отраженными волнами при тройной
маховской конфигурации. К сожалению, этот вопрос пока еще не нашел
достаточно точного решения. Поэтому наши соображения могут иметь
пока лишь качественный и приближенный количественный смысл.
Так как давление на плоскости меняется (даже в стадии регулярного
отражения) не монотонно с ростом а, то возникает известная задача
о наивыгоднейшем (для данной величины Е ) выборе высоты взрыва h
для получения давлений р^р\
на некоторой площади 2 , где р% — за­
данное давление. Пусть взрыв сферический. Здесь мы можем указать
еще такую задачу: найти значение А, для которого суммарная сила
2
2
¥
2
2
г
¥
2
0
\p,d2
F =
*о
была бы максимальной (для всех t) при заданном значении £ . Вопросы опти­
мального выбора высоты сферического взрыва рассмотрены в ряде работ
(см. [39, 40, 57]). Полное теоретическое решение этой задачи как для
сферической, так и для цилиндрической волны нам неизвестно.
0
Г Л А В А
5
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ТОЧЕЧНОГО ВЗРЫВА
В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ
ПРИ НЕСИММЕТРИЧНОМ ВЫДЕЛЕНИИ ЭНЕРГИИ
И
§ 1. Точное решение при специальной зависимости р (г)
Рассмотрим ЗТВ, когда начальное давление р постоянно, начальная
плотность газа переменна и меняется с изменением расстояния от центра
взрыва по закону
х
г
=f
- «с (ч^ултш+^т
(т
ftW
•
5
<- ч
где у — отношение удельных теплоемкостей; а — положительная произ­
вольная постоянная; ш= [v(3—у)+2у—2]/[у+1], ß = ГЗvy-j-4— v]/[v(y-f-l)],
r°=(E /p ) ^—
динамическая длина; v=3, 2, 1. Из (5.1) видно, что р
параметрически зависит от величины у и динамической длины г°.
Одномерные адиабатические движения газа за волной описываются
системой уравнений (1.18)—(1.20) или (3.5). Требуется определить зави­
симость скорости, давления и плотности газа от линейной координаты г
и времени t, а также зависимость радиуса ударной волны г от времени.
Задача сводится к нахождению решения системы (3.5) с указанными
выше начальными условиями, а также при граничном условии в центре
симметрии у(0, t)=0 и условиями на фронте взрывной волны, которые
могут быть записаны в виде (1.62). Непосредственной проверкой можно
убедиться, что решение поставленной задачи дается формулами [1]
i
0
1
1
2
y
_L
=
2p
^ Л ^ 1 ± 1 ,
к
k
P - :t^r
I
{й^гту V
( 5
Ю Г ™ ' - (т - ' M И
Р=А|^{ ^[/(*)Г ^-(т-1)[/(*)Г }.
<
г
Т
1
k
где x=r[kt\- '! ,
2
2
1
1
b= b p /(o r°) a] /^' \
1
4t
.
.2)
(5-3)
(5-4)
/(#)J>0 — функция, не принимаю­
щая отрицательных значений. Зависимость f{x) определяется из уравнения
169
Изменение давления непосредственно
дается формулой
за
фронтом ударной волны
Указанное решение было получено нами из точного решения Л. И. Се­
дова [2]. Способ построения разрывных решений для этого точного ре­
шения был разработан в [3].
Из найденного нами решения в частном случае при
Ь~Л->0
получаем известное решение автомодельной ЗТВ, когда начальная плот­
ность распределена по закону $ =Аг~^ (см. формулы (2.28)).
х
§ 2. Взрыв на границе раздела двух сред
2.1. Задача о плоском, цилиндрическом или сферическом сильных
взрывах на поверхности раздела двух идеальных сжимаемых сред. Пусть
имеются два полупространства, занятых идеальными сжимаемыми сре­
дами, внутренняя энергия которых зависит от р и р в соответствии с фор­
мулой
(5. 7)
const.
Если на границе этих полупространств произошел точечный взрыв,
то в плоском случае течение будет одномерным, а в цилиндрическом и
сферическом случаях задача будет зависеть от двух пространственных
координат и времени. Если противодавление считать равным нулю в обоих
полупространствах, то система определяющих параметров будет такова:
^о> Ро? Pi-? Pi+> ? ty Д через р _, р обозначены постоянные плотности
в различных полупространствах. Будем считать их нижним и верхним.
Так как уравнения газовой динамики и функции /_(р/р ), /+(р/Ро)
~
держат размерных постоянных, то сформулированная задача для силь­
ного взрыва является автомодельной и в общем случае будет зависеть
от двух безразмерных переменных вида х*1Ы
или l=r/bt ,
6 , где б —
полярный угол. Выбор системы координат зависит от метода решения
рассматриваемых задач.
г
г
е
х
1+
н
е
с о
0
ь
b
Граничными условиями здесь служат условия на ударных волнах
в верхнем и нижнем полупространствах, условие равенства давления
на границе раздела двух сред и равенства нормальных скоростей газа
на границе раздела. Все необходимые уравнения могут быть легко полу­
чены из уравнений и условий на поверхностях сильных разрывов, при­
веденных в главе 1,. и подробно не рассматриваются.
Для случая плоского взрыва на границе раздела двух совершенных
газов автомодельная задача имеет точное аналитическое решение [4, 5 ] .
Решение задачи по существу связано с нахождением распределения энер­
гии Е между двумя полупространствами из условия равенства давле­
ний на границах полупространств.
Для цилиндрического и сферического взрывов задача детально пока
не решена. Простейшими вариантами этой задачи является случай двух
совершенных газов и случай, когда одно из полупространств несжимае­
мое. На примере сферического взрыва рассмотрим приближенное решение
0
170
вопроса о распределении энергии между двумя полупространствами, за­
нятыми различными совершенными газами.
Будем следовать работе
[6], выполненной автором совместно
с Г. А, Остроумовым. Для радиуса фронта ударной волны r (t) в одно­
мерном случае имеем зависимость
2
Для силы F, действующей на границу полупространства, для сфери­
чески-симметричного течения имеем при любом у
Подставив в эту формулу
получим
F
= ^ T h ^ T ^
h
(5
-
8)
-
В (5.8) введены обозначения
sIP2
r
Предположим теперь, что суммарные силы, действующие на верхнее
и нижнее полупространства, приближенно равны силам, вычисленным
для
соответствующих сферически-симметричных течений [7]. Тогда
из этой гипотезы о постоянном равенстве сил F_, F , действующих на обе
среды, получаем соотношение
+
59
1=(ЙГё&Ш''-
<->
Пусть, например, у _ = 7 , р _ = 1 , у + = 4 , р = 2 , 6 5 , тогда, используя ре­
зультаты главы 2, получим К_= / ,
ЛГ =0,195, а_=0,0279, а =0,0766,
JS2. — энергия для верхнего полупространства, Е®_ — энергия для ниж­
него полупространства (заметим,, что выбранные параметры приближенно
соответствуют воде и кварцу). Для этих сред находим JE'^=1,24Ë^,
Е1~0,55Е ,
Е =Е1-\-Е^
т. е. энергия распределена примерно поровну
между полупространствами. Оценка распределения энергии между такими
средами, как вода и воздух, показывает, что основная часть энергии Е
уходит в воздух, что соответствует физической картине явления. Заметим
далее, что в плоском случае ( v = l ) формула типа (5.9) является точной.
Вычисления показали, что величина К меняется слабо с ростом у. Для
значений v = 3 , 3 ^ у ^ 7 величина К близка к 0,2.
Приближенные решения задачи о сильном сферическом и цилиндри­
ческом взрывах при других предположениях и в некоторых специаль­
ных случаях рассмотрены Ю. П. Райзером [8] и Б. Н. Румянцевым [9, 10],
а также Л. В. Шуршаловым [11]. Близкие к этим задачам вопросы удара
и входа тел в несжимаемое и сжимаемое полупространства рассмотрена
х
1+
1
5
0
+
+
0
0
171
в работах Л. И. Седова [12], Л. А. Галина [13], H. Н. Моисеева [14]
А. Я . Сагомоняна [15], их учеников и других авторов. Взрыв на поверх­
ности раздела вода—воздух экспериментально изучался А. А. Дери­
басом [16] и В. Ф. Мининым [17]. Расчет сильного взрыва на поверхно­
сти мягкого грунта выполнен в работе С. С. Григоряна и M. М, Марти­
росяна [18].
2.2. Об определении параметров течения при взрыве на плоской по­
верхности раздела между газом и твердой или жидкой средой. Предполо­
жим, что верхнее полупространство занято газом, а нижнее — некоторой
другой средой. Рассмотрим сначала идеализированный случай, когда
нижнее полупространство занято абсолютно твердым телом. Для опре­
деления, например, с помощью таблиц [19, 20] параметров течения при
взрыве заряда на границе газа с абсолютно твердой плоскостью следует
всюду вместо величины Е взять величину
1Е.
Аналогично решается задача о сферическом взрыве в вершине абсо­
лютно твердого конуса с телесным углом раствора ср. Здесь лишь нужно
учесть, что энергия идет не на телесный угол 4тс,а на угол 4 тс—ср. Можно
рассмотреть также и случай взрыва в конической полости в абсолютно
твердом теле. Для цилиндрического заряда следует брать соответствую­
щие клиновидные области.
Пусть теперь нижнее полупространство занято деформируемой средой,
но течение имеет такой характер, что процессы, происходящие в нижнем
полупространстве, весьма слабо влияют на течение газа в верхнем полу­
пространстве. Кроме того, предположим, что известно время прихода
ударной волны в некоторую фиксированную точку верхнего полупро­
странства (например, это время измерено в эксперименте). За такую
точку удобно принять какую-либо точку, расположенную на прямой^
перпендикулярной плоскости раздела и проходящей через центр взрыва
в цилиндрическом и сферическом случаях.
Тогда можно приближенно рассчитать те части полной энергии взрыва
Е , которые пошли в верхнее и нижнее полупространства, и найти пара­
метры течения газа в верхнем полупространстве. Действительно, по коор­
динате фиксированной точки
и времени прихода ударной волны t ,
имея в виду формулы r^=R r°,
t^= it и используя из таблиц зависимость
i? от
можно определить энергию Е% которая выделилась в верхнее
полупространство. Очевидно, что оставшаяся часть энергии E _ пойдет
в нижнее полупространство, ибо
г
г
0
2
0
0
M
0
2
2
Q
Е1 + Е»_ = Е .
0
(5.10)
Зная энергию Е%, по таблицам можно получить все интересующие
газодинамические параметры и приближенно описать процесс взрыва
в верхнем полупространстве.
Заметим, что аналогичный, но чисто экспериментальный подход
к нахождению распределения энергии между двумя полупространствами
рассматривался в работе [21].
2.3. Плоский взрыв на границе раздела двух одинаковых газов, имею­
щих равные начальные давления, но различные начальные плотности.
Обсудим вопрос об использовании результатов расчета точечного взрыва
172
для решения задачи об определении газодинамических параметров при
плоском взрыве на границе раздела газов с начальными цараметрами у,
A»
Pi+
и
T. A »
Pi--
Допустим, что лагранжева координата контактной поверхности есть
71*=0. - Из условия равенства давлений на этой поверхности имеем
Л (0, т) = Р ( 0 , т ) ,
-
2
(5.11)
где Pj_ и Р — безразмерные давления (Р=р/р )
в первом и втором полу­
пространствах соответственно. Возьмем теперь в качестве функций Р
и Р зависимости, полученные для однородной среды. Тогда равенство
(5.11) будет удовлетворяться, если т = т для любых £. Отсюда с учетом
формулы z=t/t° получим связь между долей энергии Е%, которая ушла
в первое полупространство, и долей Е®_, выделившейся во второе полу­
пространство, а именно
2
1
±
2
1=
2
#o=^j/"£l=.
(5.12)
При этом, естественно, имеет место формула (5.10).
Таким образом, если на границе раздела одинаковых газов произо­
шел плоский взрыв с энергией E , то определение физических характе­
ристик течения в обоих полупространствах можно выполнить по табли­
цам [13] с учетом соотношений (5.10)—(5.12). Заметим, что в случае
плоского взрыва на границе раздела при произвольных р , р и разных
у задача может быть решена численно с помощью обобщения метода,
изложенного в § 3 предыдущей главы,
Q
х
±
§ 3. Приближенные способы определения параметров
ударных волн
при взрыве в слоисто-неоднородной атмосфере
3.1 Формулировка задачи и выводы, вытекающие из анализа размер­
ности. Представляет большой интерес исследование ЗТВ в покоящемся
газе, начальное распределение плотности которого носит слоистый ха­
рактер. Такой характер распределения плотности имеет место в атмо­
сфере Земли и других планет, причем плотность воздуха убывает с вы­
сотой. Изменение плотности с высотой влияет на движение газа за фрон­
том ударной волны и усложняет картину течения. Температура и давле­
ние в атмосфере Земли также меняются с высотой.
Предположим, что начальная плотность и давление газа меняются
по закону
p = Q (i),
P o
1
^(O^l,
p = p Q (j),
0
s
2 (0)
а
= 1,
(5.13)
где z — координата, вдоль которой меняются плотность и давление,
р — плотность при z = 0 , р — давление при 2 = 0 , H — постоянная
с размерностью длины. Для сферического точечного взрыва движение
газа будет двумерным, обладающим осевой симметрией. Решение этой
ЗТВ возможно лишь численно и сопряжено со значительными математи­
ческими трудностями. Для случая неоднородной атмосферы примеры
численного решения были даны в работах К. И. Бабенко, В. В. Русанова,
0
0
A. M. Молчанова [22—24]. Расчет сильной стадии взрыва рассмотрен
в работе [25]. В дальнейшем мы дадим некоторые подходы к решению
этой задачи.
Для цилиндрического взрыва движение будет двумерным нестацио­
нарным, если линия взрыва параллельна оси z или перпендикулярна ей.
При других конфигурациях движение будет трехмерным и основные
функции зависят от x и t. В плоском случае движение будет одномерным,
если плоскость взрыва перпендикулярна оси z. При других конфигура­
циях течение будет двумерным или трехмерным.
Рассмотрим случай сферического взрыва. Система уравнений газовой
динамики для осевой С и м м е т р и и в сферических координатах приведена
в главе 1 (см. (1.17)). Условия на ударной волне могут быть записаны
так:
ù
Pl
ö
D
V
V
т
Р2 ( — Ù = >
=
s _ e
2
1
=
! ( p +
2
m
2 = Р2
P
l
Pv
—
) ( l - l ) .
(5.14)
Если обозначить через r =r (t,
6 ) закон изменения фронта ударной
волны, то в соответствии с определением скорости D (см. гл. 1, § 2)
по (1.45) имеем
2
D
~ ö
2
t
В этой задаче неизвестны величины v , У , р, р, они зависят от г, в, t*
Для случая совершенного газа определяющими параметрами задачи
являются
ту 0, г, Е , р , Ро? В, у,
(5.16)
r
0
9
0
где г — длина радиус-вектора, 9 — угол, отсчитываемый от оси z. Из
параметров (5.16) можно образовать следующие безразмерные комбина­
ции:
Я = -£.
6,
r = -i-,
А = £,
т,
(5.17)
3
где г°=(Е /р У''
— локальная динамическая длина, t°—r°(p /p y^ — локаль­
ное динамическое время. На основании тг-теоремы заключаем, что иско­
мые безразмерные величины, например давление р/р , будет зависеть
от указанных в (5.17) безразмерных комбинацией [26, 27]:
0
0
0
o
0
т
j - = P(R, > б, /г, у).
(5.18)
0
Из (5.18) следует, что расчет, сделанный для одной энергии Е и фикси­
рованных r°, t°, h, у, нельзя использовать для других высот взрыва,
если не изменить Н, р , р так, чтобы величина h оставалась постоянной.
Если менять энергию взрыва при фиксированных р и р , то для того,
чтобы воспользоваться расчетом, сделанным для некоторого фиксиро­
ванного Е , мы должны изменить параметр H так, чтобы величина h
не изменилась. Из приведенных рассуждений следует, что решение задач
о взрыве в неоднородной среде сильно усложняется, так как необходимо
проводить вычисления для серии параметров у и А, причем каждое ре­
шение двумерно. Решение задач еще более усложняется, если среда
0
0
0
0
0
174
0
не является совершенным газом с постоянными теплоемкостями (напри­
мер, воздух при учете диссоциации и ионизации).
Если иметь в виду численное решение задачи, то ясно, что даже рас­
чет одного варианта задачи — достаточно трудоемкое дело [23—25]. По­
тому возникает необходимость отыскания различных приближенных
методов решения задачи в целом и приближенных способов определения
параметров взрывных волн. Этими способами могут быть: способ линеари­
зации, способ аппроксимации величин на фронте волны и способ исполь­
зования точных решений и уравнений гидродинамики с приближенным
удовлетворением условий на ударной волне (здесь можно воспользо­
ваться решением Л. В. Овсянникова [28]). Для этой задачи мы рассмот­
рим подробно лишь второй способ.
Заметим еще, что, как было указано Л. И. Седовым, в случае силь­
ного взрыва сферически-симметричного точечного заряда 0 ^ = 0 ) задача
будет автомодельна, если для распределения начальной плотности имеет
место формула
где х зависит только от полярного угла 6, А — постоянная с размерностью
[A ]=ML ~ .
Автомодельные решения могут быть и в случаях цилиндри­
ческого и плоского взрывов для двумерных задач с переменной началь­
ной плотностью.
3.2. Определение формы и параметров фронта ударной волны при
взрыве в точке. Пусть Pi=p e~* и рассматривается случай взрыва сфери­
ческого точечного заряда. Для сильного взрыва приближенные методы
учета переменности плотности предложены в ряде работ (см. [29—35]).
Для достаточно слабых ударных волн были развиты асимптотические
методы нелинейной геометрической акустики [36—39] и получены асимп­
тотические законы затухания ударных волн, более общие, чем те, которые
были рассмотрены в § 2 главы 4.
0
3
W
0
/fi
0
Практический интерес представляет изучение вопроса о развитии
взрыва от его сильной начальной стадии до стадии, близкой к вырожде­
нию в звуковые волны. Отметим, что в работе К. Е. Губкина [37] дан
один из приближенных способов определения давления на больших
расстояниях при взрыве в неоднородной атмосфере, основанный на ис­
пользовании асимптотических законов затухания ударных волн и опыт­
ных данных. Ниже будут даны [26, 27] приближенные способы опреде­
ления параметров взрывных волн, основанные на результатах решения
уравнений и задач газовой динамики для сильных и слабых ударных
волн.
Прежде всего заметим, что если задать для фиксированной среды
одну из величин р , р , v D как функцию г , 6, то все остальные из этих
величин найдутся из соотношений (5.15). Пусть нас интересует вопрос
об определении формы волны и закон ее изменения с течением времени.
Введем безразмерную величину W^D/a^ где а — скорость звука в по­
коящейся среде. Переходя в (5.16) к безразмерным переменным, находим
2
2
21
2
г
(5.19)
175
Если из теоретических соображений (или из эксперимента) известна
зависимость W(l, 6), то соотношение (5.19) можно рассматривать как
уравнение для определения Z(T, 6).
Уравнение (5.19) является нелинейным уравнением в частных произ­
водных первого порядка. Если в некоторый момент t = t ( т = т ) задана
зависимость
0
0
Z = Z (9),
0
то, решая задачу Коши для уравнения (5.19), найдем закон изменения
/ = /(т,
6).
Рассмотрим вопрос о теоретическом определении параметров фронта
волны по данным о сильной стадии взрывной волны и асимптотическим
законам затухания волн на больших расстояниях, следуя в основном
работам [26, 2 7 ] , выполненным автором совместно с В. П. Карликовым.
Будем считать взрыв точечным, а газ — совершенным с у=1,4. В этом
случае из (5.15) можно найти v (q), p (q)> где g=a*AD . Эти зависимости
даются формулами (1.63). Пусть
2
2
1
2
= 2 ,= e x p ( - i )
(5.20)
f
т. е. рассматривается случай изотермической атмосферы. Для малых
значений z/H имеем
g
i
l _ J L c o s 6.
=
(5.21)
Для сильной ударной волны ЗТВ с учетом изменения плотности
по (5.13), (5.21) решена В. П. Карликовым методом линеаризации
(см. [29, 30]). В соответствии с результатами этих работ закон изменения
ударной волны дается формулой
I = a - V / . (1 + x o r V / . ) ,
х=
cos ô,
а = 0,851,
Для скорости частиц газа за фронтом
место зависимость
у
2* =
T У
т
г
>"
4
< +
Ы
)
v (r ,
2
2
1
+
(
6)
х/
т
= 1,4,
(5. 22)
при малых х имеет
/
(
)' *-
5
'
2
3
)
Вместо (5.23) в том же приближении (при малых х) можно написать
Из предыдущего следует, что формулы (5.23), (5.24) дают зависимость
) Д
небольших значений г при взрыве в атмосфере с законом
изменения плотности, соответствующим формуле (5.20).
Как следует из результатов работы [38], для больших расстояний
от места взрыва верна асимптотическая формула
е
у
л я
г
2( 2?
[
: e
w/
3
а
Г2
/ р
\
-7
fr cos 0\ dr \
2
cos ö
/ R
о с ; ч
г
Р0 1 2
где С и г* — некоторые постоянные, зависящие от формы волны. Обоб­
щая метод, рассмотренный в главе 4, предположим, что для приближен­
±
но
ного определения зависимости v (r , 0) вплоть до значительных расстоя­
ний можно использовать следующую аппроксимацию. Считаем, что до
некоторого г (9) верна формула (5. 24) (или (5. 23) при А > 1 ) , а при г > г
имеет место формула (5. 25). Величины С , г и
будем подбирать из
условий сопряжения формул (5. 24) и (5. 25). В главе 4 было показано,
что аналогичная аппроксимация в одномерном случае дает хорошие
результаты. Так как достаточно точные численные или аналитические
решения задачи с учетом противодавления для изотермической атмо­
сферы нам пока неизвестны, то не удалось установить точность пред­
ложенной аппроксимации путем соответствующих сравнений. Заметим,
что для малых m из (5. 25) имеем
2
2
#
#
4
г
1+ml
у
2го
что указывает на близость качественного поведения функций (5. 24)
и (5. 25) при малых ml. Это также подтверждает возможность грубой
аппроксимации u (r , Ö) соотношениями (5.24), (5.25).
В безразмерных переменных равенства (5. 24), (5. 25) примут вид
2
2
7, = « 1 - * ( 1 + З Д
V
M
=
^4-4-^
( 7 = Ь),
( « = ^ ) ,
(5.26)
(5-27)
I
1 = \е™^
i*
= Е.(т1) — Е.(т1*),
(5.28)
где E (x) — интегральная показательная функция, Z*=r*/r°. Величину
/До) можно выбрать из условия близости q к единице (0,5<С#<3). Будем
считать, что переход к асимптотическим формулам осуществляется при
g=q^ Так как F = 2 ( l — g)/(y+l) \Az> ° о известному q легко находится V
и затем по формуле (5. 26) определяется /*(0).
t
т
п
По аналогии с одномерным случаем (гл. 4) величины о и Г будем
искать из условия сопряжения функций F, определенных формулами
(5. 26), (5. 27), и их производных по I при 1=1 . Для определения I*
и а находим формулы
¥
а
=
/^'</»(1+{,г ),
где 1^=Е (т1 )—Е (тГ).
(
¥
(
W
= l±lv
(5.29)
(
Укажем также связь между W и V:
+ Y&^llîV*
+ i.
(5.30)
Для указанной аппроксимации функции V(l, 0), а следовательно,
и W(l, 0) был проведен расчет параметров и формы взрывных волн в изо­
термической атмосфере.
12
Тр. Математ. ин-та, т. C X I X
177
Величины давления и плотности находились по условиям на ударной
волне через известную из аппроксимации функцию V(l, 9). Изменениеформы ударной волны определялось по уравнению (5. 19) путем чис­
ленного решения задачи Коши методом характеристик. Начальные дан­
ные для Z задавались по соотношению (5. 22) при т = 0 , 0 0 4 . Отдельные
расчеты до небольших т проводились и при аппроксимации V форму­
лой (5. 23). Причем для / г > 1 и Z < 2 рассчитанные формы ударных волн
мало отличаются друг от друга при использовании аппроксимации (5. 23)
или (5. 24). Это указывает на своеобразную корректность этих аппрокси­
маций.
По описанному методу расчеты проводились для различных значений
h—H/r (h=0,5; 1; 5; 8). Как пример укажем, что для земной атмосферы
( Я = 8 км), когда А = 1 , р=0,1 атм (давление на высоте около 16 км)
энергия взрыва Е -^5-10
эрг. Расчеты показали, что переменность
плотности существенна лишь для значений параметра / г < 1 0 . Резуль­
таты расчетов для h=8, h=l отражены на рис. 67—69, где представлены
графики F(Z, 9), p /p (Z, 6), Pa/p^Z, 0), р /р {1,
Ь),р 1р (1, 9) и форма удар­
ной волны. На рис. 69 дана форма ударной волны для различных т при
h=l (при А = 8 форма волны близка к сфере). Штриховой линией также
отмечены окружности с радиусом, равным расстоянию от центра до точки
пересечения с ударной волной траектории элемента волны (луча) при
начальном угле 9 =тс/2. Для значения т = 5 здесь (штрих-пунктирнан
линия) приведена форма волны при /г=0,5. По графикам можно просле­
дить за отличием формы волны от сферы.
На рис. 68, г также отмечена кружками зависимость р /р
от I по^
линеаризированной теории с учетом переменности плотности и постоян­
ного противодавления. В методе линеаризации формулы для р /р
и Z(T, 9)
можно получить, используя принцип суперпозиции линейных поправок
(см. гл. 3). Они имеют вид
0
0
у
22
0
2
0
2
0
2
г
0
2
0
2
0
(5. 31)
=
const = 1,92
(т = 1,4).
Из исследования задачи и приведенных результатов следуют выводы.
1. Для h<Ji форма ударной волны отличается от сферы и имеет «яйце­
образный» вид: несколько вытянута сверху (9=0) и сплюснута снизу
( 0 = тс). Это объясняется эффектами убывания плотности с ростом z. При
h^>5 изменение формы ударной волны несущественно. Этот вывод со­
гласуется с данными полного расчета взрыва для начальных параметров,
соответствующих стандартной атмосфере [23, 24].
2. Относительное давление р/р довольно слабо зависит от 9, тогда
как безразмерное давление р/р
сильно меняется при изменении поляр­
ного угла 9. Отсюда следует правило приближенного определения да­
вления р , которое можно использовать для практики: чтобы определить
давление в слоистой атмосфере, нужно воспользоваться кривой Р{1)~
—pJPiil) Д
одномерного случая и затем, приняв ее за график р 1р
г
0
2
л я
2
178
ъ
плотности p среды; г — относительное
давление;
д. — отношение давления
за ударной волной р к местному значению давления p
t
.
г
Q
j
2
j
I
Л
2
t
в случае переменной плотности и давления, найти искомое давление
по формуле p P(ï)Pi(r
9). Это правило не противоречит выводам, вы­
текающим из анализа системы уравнений газовой динамики (1. 17).
Аналогично могут быть изучены случаи цилиндрического и плоского
взрывов*. Причем если среда слабо неоднородна (например, расстояние
Н, на котором существенно меняется плотность среды, существенно меньше
характерной динамической длины г°), то для приближенного расчета
=
2
f
* П р и м е ч а н и е п р и к о р р е к т у р е . Приближенные методы определения
параметров сферических и цилиндрических ударных волн развивались в недавно
опубликованных работах: X. С. Кестенбойм,
Г, Г. Росляков.
Численное решение
одномерных задач о взрыве. Изд-во М Г У , 1971; В. А. Бронштэн.
Ж . прикл. мех.
техн. физ., № 3 , 1972.
12*
17^
20\
II
Рис. 6 8 . Изменение парамет­
ров взрывной волны для трех
значений 6 (/&=1)
Обозначения те же, что и на рис. 6 7 .
Кружками отмечена зависимость
Рг/Ро от I, вычисленная по линеа­
ризированной
теории.
Точками
отмечены величины I, начиная с ко­
торых использовались асимптоти­
ческие формулы затухания слабых
ударных волн
8^90°
Р и с 6 9 . Форма ударной волны
Z (6) в изотермической атмо­
сфере для некоторых значений
времени т, равных 0 , 5 — 5 (слу­
чай Л=1; 0,5)
Д л я сравнения здесь проведены
окружности, соответствующие од­
номерному распространению волны
8^180
параметров ударных волн можно воспользоваться гипотезой локально
одномерных течений (аналог известной гипотезы «плоских сечений»),
пренебрегая локальным изменением формы волны вдоль оси или пло­
скости взрыва.
§ 4. Несимметричное выделение энергии
В главе 2 было отмечено, что при изучении воздействия лазерного
луча на среду мы сталкиваемся с вопросами взрыва, когда энергия вы­
деляется вдоль некоторой прямой, причем удельная энергия Е пере­
менна EQ=E (S),
если s есть координата вдоль линии взрыва. Если
распределение E (s) таково, что dEJds мало, то, воспользовавшись гипо­
тезой плоских сечений, можно рассчитать течение газа по локально-одно­
мерной теории. Явную поправку к решению можно было бы найти мето­
дом линеаризации, если Е =E$+iif(s),
где /л — малый параметр. Ана­
логичное замечание верно и для плоского взрыва, если вдоль плоскости
удельная энергия Е меняется, Е =Е (х ,
X ) (плоскость взрыва пер­
пендикулярна оси х ). Классическим примером несимметричного выде­
ления служит взрыв полубесконечной прямой или взрыв полубесконеч­
ной плоскости. Для совершенного газа при р±=0 соответствующие за­
дачи автомодельны. Постановка задачи о полубесконечной прямой дана
Л. И. Седовым [40], один из возможных методов ее решения рассмотрен
в работе [41]. Другим случаем несимметричного выделения энергии слу­
жит случай взрыва вдоль некоторой кривой или вдоль некоторой глад­
кой поверхности. Рассмотрим случай взрыва вдоль некоторой кривой.
Пусть кривизна кривой мала, удельная энергия Е постоянна, тогда
для расстояний г « Д , где R — радиус кривизны линии взрыва, можно
применять (приближенно) теорию взрыва вдоль прямой. Возможны
также комбинированные варианты рассмотренных несимметричных слу­
чаев. Так, полубесконечная прямая может иметь переменную удельную
энергию E (s). Эти случаи реализуются на практике (лазерный луч,
космические тела в атмосфере Земли, например взрыв Тунгусского кос­
мического тела)*.
Для линейных уравнений типа теплопроводности или волнового
упомянутые задачи можно решить, используя принцип суперпозиции
элементарных решений, рассмотренных в главе 1. Для нелинейного
случая точное решение этих задач нам неизвестно.
0
0
0
0
2
0
0
S
0
1
0
0
* Примечание
полубесконечного
L .
У.
Shurshalov.
при
заряда
корректуре.
дано
в
статье:
Численное решение задачи о взрыве
V.
P.
Astronautica Acta, 17, № 6, 1972.
Korobeinikov,
P .
I.
Chushkin,
Г Л А В А
ВЗРЫВ
6
В ГОРЮЧЕЙ СМЕСИ ГАЗОВ
§ 1. Постановка задачи
Настоящая глава посвящена рассмотрению основной задачи для поко­
ящегося газа, в котором возможны экзотермические химические реакции.
Вследствие взрыва по газу начнет распространяться сильная ударная волна,
которая нагреет его до состояния, при котором возможны реакции горе­
ния. Такие задачи возникают при возбуждении детонации в горючих
смесях газов и термоядерной детонации, и их изучение имеет как теоре­
тический, так и практический интерес. Широкое исследование этих но­
вых задач началось в последние годы в работах автора, Р. И. Солоухина,
Г. Г. Черного, В. А. Левина, Дж. Ли, А. Оппенгейма, Е. Бишимова.
Движение газа будем считать одномерным. Рассмотрим общую кар­
тину течения среды. Из физических соображений следует, что в первые
моменты после взрыва газ будет двигаться по законам обычного точеч­
ного взрыва [1,2], ибо вклад энергии горения в общий баланс энергии
будет еще невелик. Можно сделать оценку тех расстояний, до которых
целесообразно не учитывать влияние энергии детонации на движение
среды. Пусть Q — теплотворная способность единицы массы горючей
смеси. Рассмотрим для примера случай постоянной начальной плотности
р и постоянной энергии Q. Если считать ширину зоны горения пренебре­
жимо малой по сравнению с радиусом волщл г , то энергия, выделившаяся
при сгорании газа, будет иметь величину
А
2
e
U = v .Pi^'
° , = 2 (v -
1) * + (v -
2) (v _
3).
Предполагая, что E ^>U, находим условие слабого влияния энергии
детонации на течение:
0
Условие (6. 1) будет выполняться и в случае учета ширины зоны реакции
или неполного сгорания горючей смеси, ибо в этих случаях энергия го­
рения будет меньше U.
Если заряд имеет конечный радиус г , то при применении обычной
ТТВ к описанию движения следует пользоваться оценкой
0
r <r<r .
0
182
f
(6.2)
Условия (6.1) и (6.2)' сильно ограничивают сферу применимости
законов точечного взрыва в инертном газе к течениям детонирующей
•среды. Однако если энергия Е велика и выделяется в малом объеме,
то при r 2 Ov течение будет происходить в основном, как при обычном
точечном взрыве. С другой стороны, для моментов времени, когда E <CU,
главную роль будут играть процессы горения и течение газа будет иметь
основные черты детонационного горения [1,3].
При значениях г , близких к г , течение газа будет принимать более
сложный промежуточный характер.
0
0
2
#
Отличительные черты рассматриваемого течения заключаются в том,
что к фронту ударной волны будет примыкать зона, где протекают хими­
ческие реакции, а в окрестности центра взрыва будет иметься некоторая
область, в которой (как и при обычном взрыве) частицы газа будут обла­
дать высокой энтропией.
С математической точки зрения решение рассматриваемой задачи
«сводится к интегрированию системы уравнений газовой динамики и хими­
ческой кинетики с учетом граничных условий на поверхностях сильного
разрыва и в окрестности центра взрыва. Кроме того, следует учесть, что
в начальный момент £ = 0 в центре симметрии выделяется конечная энер­
гия Е и заданы начальные значения скорости, плотности, давления и
другие параметры среды. Для полного описания движения газа следует
учесть кинетику всех основных химических реакций горения, а также
процессы ионизации и диссоциации в зонах высоких температур.
0
При учете кинетики химических реакций решение сформулированной
выше задачи представляет значительные математические трудности даже
в случае пренебрежения эффектами вязкости и теплопроводности. Урав­
нения газовой динамики будут содержать, кроме величины (?, еще ряд
дополнительных параметров (энергия активации, коэффициенты в выра­
жениях для скоростей реакций и др.). Наличие значительного числа
постоянных параметров и больших градиентов функций в зоне химиче­
ских реакций сильно затрудняет аналитическое и численное решение
задач. В ряде случаев возможны достаточно простые подходы к исследо­
ванию рассматриваемой задачи. Можно ввести следующие модели те­
чения газа.
1. Модель детонационной волны, когда предполагается, что вещество
сгорает в непосредственной окрестности фронта ударной волны и удар­
ная волна вместе с зоной химических реакций за ней считается за одну
поверхность сильного разрыва.
2. Простая модель с кинетикой, т. е. модель течения газа с хими­
ческими реакциями, когда процесс протекания реакции описывается
одной переменной величиной — массовой концентрацией несгоревшего
вещества [3, 8 ] .
3. Модель течения с двумя фронтами, когда по невозмущенному газу
распространяется ударная волна, за которой на некотором расстоянии
имеется волна горения, где происходит полное тепловыделение, т. е. вво­
дится зона индукции или зона задержки воспламенения (см., например,
Н-7,9]).
183
4. Модель включения химической реакции с выделением тепла в по­
токе за фронтом ударной волны после прохождения периода индукции.
Процесс протекания реакции также описывается одной переменной вели­
чиной — массовой концентрацией несгоревшего вещества, причем здесь
может быть учтена и обратная реакция «рекомбинации».
5. Полный учет основных химических реакций за фронтом ударной
волны.
Проведенные нами исследования касались в основном лишь моде­
лей 1—-4.
В случае модели детонационной волны рассматриваемая задача была
подробно исследована для совершенного газа с постоянными теплоем­
костями. Здесь следует отметить, что решение задачи для этой модели
в некоторых специальных случаях было дано впервые И. С. Шикиным
[10]. Параметры фронта сильной детонационной волны приближенно
определялись в работе В. А. Левина [11]. В этой работе было также сфор­
мулировано условие, аналогичное (6. 1).
§ 2 . Решение задачи
для модели детонационной волны
В силу отмеченных особенностей течения в начальной стадии взрыва
детонация не будет следовать правилу Чепмена—Жуге (Ч—Ж). Рас­
смотрим этот вопрос несколько подробнее для случая совершенного газа
с постоянным отношением удельных теплоемкостей. Обозначим через D
скорость ударной волны, v — скорость газа за ее фронтом, а — соот­
ветствующая скорость звука. Тогда из условий на ударной волне для
сильного взрыва имеем
2
2
^ 2 + «2 = ^ ( 2 +
^1(1-1))-
Из этого выражения следует, что при f > 1 имеем v -\-a ^>D, т. е. в на­
чальной стадии процесса будет иметь место случай пересжатой детонации.
Для волны Ч—Ж, как известно, u -\-a ^D.
При распространении удар­
ной волны (в детонирующем газе) величина и +а
убывает, и здесь воз­
можен выход на режим детонации Ч—Ж. При взрыве в химическом
инертном газе условие типа Ч—Ж фактически выполняется лишь асимпто­
тически: при t - > оо, v -> 0, а
'а , D -> а .
2
2
2
2
2
2
2
х
2
г
Рассмотрим математическую постановку задачи для модели детона­
ционной волны. Исходную систему уравнений газовой динамики для
одномерных адиабатических движений газа возьмем в виде (1. 18)—(1. 20).
Для решения ЗТВ в покоящейся детонирующей среде требуется найти ре­
шение системы (1. 18)—(1. 20) с граничными условиями на фронте удар­
ной волны, т. е. при г=г
(см. § 2, гл. 1):
2
? (D
2
— v) =
2
pD
1
9
Р =
2
Pi + PiDv ,
2
(6.3)
Кроме того, имеем граничное условие в центре симметрии
v (0, t) = 0.
184
(6. 4)
В момент времени £ = 0 в центре симметрии выделяется конечная энергия Е ,
и заданы условия
0
v (г, 0) = 0,
р (г, 0) = р = const,
р (г, 0) = р (г)
1
(г>0),
г
г (0) = 0.
(6.5)
8
Рассмотрим решение этой задачи для случая совершенного газа и
предположим, что начальная плотность переменна: р =Аг~ .
Система
определяющих параметров задачи содержит постоянные Q, А, р 2? , си, у, v,
и, кроме того, решение будет зависеть от координаты г и времени t. Для
простоты будем считать детонационную волну сильной и пренебрегать
начальным давлением газа р . Введем эффективное давление детонации
по формуле
ш
г
ъ
0
г
г
е
Д Рю — постоянная с размерностью плотности, которую можно записать
так: р =А
(г°)" , r°={EJp^ .
Величину р можно записать в более
явном виде:
ш
lh
10
щ
Р.=(^Г^->. .
Параметр р можно включить в систему определяющих параметров
вместо Q.
Простейшие соображения теории размерности позволяют убедиться
в том, что для рассматриваемой задачи в случае сильной детонационной
волны имеет место закон подобия, аналогичный закону подобия при обыч­
ном взрыве (см. § 6, гл. 4). Роль начального давления газа здесь будет
играть величина р^.
Из системы определяющих параметров задачи следует, что если ввести
безразмерные функции
¥
s
6 6
'-=*• =t
<'>
то они будут зависеть от некоторых постоянных параметров и двух без­
размерных переменных, за которые примем
<
6
-
7
>
Введем также безразмерный радиус ударной волны R (q)=r /r . Преобра­
зовав уравнение (1. 20) исходной системы с учетом условия адиабатич­
ности течения и переходя к безразмерным переменным (6. 6), (6. 7), полу­
чим систему
2
2
0
(6.8>
W +l
h
Ж-
v
1
"* - * (т - 1 < - > f) = °'
18S
Из (6. 3), полагая р =0,
находим
г
(/ -l)if2 = - i ,
Ä = T/ ,
2
8
2
y + ^ T ^ I ^
8
+ T^-l) -
(6-9)
Заметим, что при q=0 рассматриваемая задача переходит в автомодельную
задачу о сильном взрыве (см. гл. 2). При Е =0
получаем автомодельную
задачу о распространении детонационной волны [1, 3 ] , которую также
целесообразно относить к классу ЗТВ. При полном решении задачи мы
должны проследить за переходом от одного автомодельного режима тече­
ния (сильный точечный взрыв в инертном газе) к другому автомодельному
режиму (детонационная волна или точечный взрыв в детонирующем газе
при пренебрежимо малой энергии взрыва). Заметим также, что если в урав­
нении энергии условий (6 .3) и (6. 9) поставить перед Q знак «минус»
(предполагая Q > 0), то будем иметь ЗТВ с поглощением энергии на фронте
волны (например, при испарении). Здесь будет иметь место дополнитель­
ное затухание волны. Развитые ниже методы решения будут применимы
и в этом случае. Задачу о взрыве с учетом влияния энергии детонации
можно решать, применяя численные методы.
Для начальной стадии взрыва, когда
0
(
£
)
- ^ >l,
q < q
J
г <г„
2
t
можно предложить более простой путь, основанный на линеаризации
исходных уравнений около автомодельного решения для сильного взрыва.
Здесь через q^ обозначено значение q для волны Ч—Ж. Решение линеари­
зированной задачи в принятых переменных может быть построено по анало­
гии со случаем учета противодавления, рассмотренным в главе 3. Иско­
мые функции представляем в виде
/ ( X , ç ) = / ( X ) + g/ (X)+O(g8)
0
1
>
Ä (X, g) = Ä (I) + qh, (I) + О {q%
i ? dq
fv — CD
(6- Щ
0
3
Т а Щ ~
l + A
i
q
+
0(q2)>
2
2
где через О (q ) обозначены члены порядка q при малых q. Решение (6. 10)
следует подставить в систему уравнений (6. 8). Тогда, пренебрегая чле­
нами порядка q и выше, для линейных добавок / g , h получим систему
линейных обыкновенных уравнений, коэффициенты этой системы будут
зависеть от автомодельного решения / , g , h . Из этой системы следует
определить функции / , g , h . Кроме того, нужно найти постоянную А ,
определяющую неавтомодельную поправку к закону движения ударной
волны.
2
ь
0
х
x
0
x
x
0
x
г
Из условий (6. 4), (6. 9) находим граничные значения для функций / ,
х
8ъ К'-
/i(i) = - ( ï - i ) .
i
8i( )
lj
1
= - j=T >
М1) = -т(т-1).
/ х ( 0 ) = 0.
(6.11)
Пусть теперь и*=0. Остановимся на этом случае более подробно, сле­
дуя § 3 главы 3, где рассматривалась линеаризированная задача с учетом
186
противодавления. Легко видеть, что в силу введенных безразмерных пере­
менных система линейных уравнений для Д, g , h совпадает с соответ­
ствующей системой в § 5 главы 3. Эту систему следует решать с учетом
граничных условий (6. И ) . В случае произвольных v i y задача может быть
решена с помощью численного интегрирования. По методике, разработан­
ной в главе 3, проведен расчет для ряда значений у при v = l , 2, 3.
В табл. 6 приведены полученные значения постоянной А .
±
x
х
Таблица
Значения постоянной
6
А
х
Т
у
1
2
3
8/7
1,2
1,3
1,4
5/3
2
3
0,5091
0,4695
0,4551
0,7246
0,6694
0,6489
1,121
1,037
1,005
1,545
1,428
1,383
2,811
2,592
2,502
4,685
4,296
4,132
12,28
11,10
10,59
На рис. 70 построены (при v = 3) кривые p/Qp% для случая у = 1,2,
^ = 0 , 1 5 , 6 = 1 и кривые p/Qpx для случая у = 3 , д=0,04, 0 = 5 , причем
штриховые линии соответствуют взрыву без учета детонации (h—h ).
0
/
Рис. 7 0 . Распределение от­
носительных давлений по про­
странству для двух значений у
Штриховые линии
случаю д = 0 , 1
...ix.fi
-
соответствуют
„..
,.,,'!.
Î ., . . . , , „ Л - , .
•M"
1
r/r
z
Приведем также формулы, дающие в параметрическом виде закон
движения ударной волны Д (т) (см. (3. 77)):
2
-qexp(A
t
q),
8= 7 + 2 ,
v5 +
2
-A
R
lQ
20 '
(6.12)
t
На рис. 71, a даны зависимости R (т) для разных v при у = 1 , 4 . Заме­
тим, что в случае v = 3 , Y=7 линеаризированная задача имеет точное анали­
тическое решение по аналогии с тем, как это имеет место при учете противо­
давления (здесь ^ = 6 0 ) . Аналогично можно исследовать линеаризирован­
ную задачу и для случая переменной начальной плотности <о^О.
2
187
о
o os
t
а/о о
г
as
1,0
г
Рис. 7 1 . Зависимость закона движения пересжатой детонационной волны от времени
а — по линеаризированному решению (кружками отмечены результаты численного решения нели­
нейной задачи); б — по численному решению (в случаях v=2, 3 конечные точки кривых соответствуют
переходу на режим Чепмена—Жуге)
Так как пределы применимости линейного решения ограничены малыми
значениями g, то для расчета задачи при больших q (и соответственно
больших моментах времени t), когда осуществляется переход волны к ре­
жиму Ч—Ж, следует применить численные методы. С этой целью можно
воспользоваться методом расчета задач о взрыве, разработанном в § 3
главы 4 [12]. При использовании этого метода расчетная схема меняется
лишь в местах, соответствующих расчету параметров фронта ударной
волны. Начальные данные можно задавать при некотором значении т или
q <Cqj, используя результаты решения линеаризированной задачи, рас­
смотренной выше. Таким путем было выполнено численное решение для
случая постоянной начальной плотности. Расчеты проводились в основном
до моментов времени, когда параметры ударной волны становятся близ­
кими к параметрам волны Ч—Ж (q^/q—1 <С 0,01). При использовании
метода расчета, развитого в главе 4 и основанного на схеме численного ме­
тода интегральных соотношений, область интегрирования между детона­
ционной волной и центром взрыва разбивалась по пространству на четное
число полос п. Расчеты были проведены для случаев п—2 и гг=4. Приве­
денные ниже результаты относятся к случаю п=4, т. е. искомые функции
аппроксимировались полиномами четвертой степени (программирование
задачи выполнено Е. Бишимовым).
В результате расчетов было найдено, что в случае взрыва в совершен­
ном газе с постоянным значением у сферическая и цилиндрическая удар­
ные волны достаточно быстро приближаются к параметрам волны Ч—Ж.
В плоском случае приближение к режиму Ч—Ж осуществляется за гораздо
большие промежутки времени (теоретически выход на режим Ч—Ж осу­
ществляется за бесконечно большое время [13]). Используя результаты
расчетов плоского взрыва, можно определить константы в асимптоти­
ческих формулах затухания пересжатых детонационных волн, полученных
Г. Г. Черным [13], и найти аналитические зависимости для параметров
фронта детонационной волны при выходе ее на режим Ч—Ж. Так, при
188
7 = 1 , 4 для зависимости координаты сильной плоской детонационной волны
ют времени имеем
ч= т + ^(1
0
т = -0,0835,
Ä = l,64,
0
m = O,0741,
t = E pf!^S
Q
(6.13)
R = ^r .
2
2
Сравнение значений т, найденных по этой формуле и при численном реше­
нии задачи, показывает, что она обладает хорошей точностью даже для
достаточно малых значений R (R — 0,5).
На рис. 71, б показана зависимость R (т) для v=l, 2, 3 по численному
решению.
В случае v = 2 , 3 кривые заканчиваются при значениях, близких к мо­
ментам выхода на режим Ч— Ж. Кривая R (т) для плоского случая может
быть продолжена для больших моментов по формуле (6. 13).
Если обозначить через Rj расстояние до выхода сильной волны на ре­
жим Ч—Ж, то в сферическом и цилиндрическом случаях имеем формулу
2
2
2
2
В, = *$у,
=
(6.14)
где коэффициент х зависит от Y и v (при у = 1 , 4 коэффициент х близок
к единице).
Из формулы (6. 13) следует, что при проведении взрывов в горючей
смеси с одинаковой невысокой начальной температурой и равных E
но разных давлениях величина Rj будет расти с уменьшением давления,
а следовательно, и начальной плотности р Этот вывод качественно согла­
суется с экспериментальными результатами работы [14], где рассматри­
вался вопрос о распространении взрывных волн в смесях водорода с кисло­
родом. Заметим, что в формуле (6. 14) находит отражение упомянутый за­
кон подобия.
Qf
1#
fi/Pi
Рис. 7 2 . Сравнение профилей
давлений для волны Ч — Ж и
слегка
пересжатой
ударной
волны
(т—1)
На рис. 72 дано распределение относительного давления р/р по про­
странству для случая плоского взрыва в газе (у=1,4) при больших зна­
чениях т (т=0,65). Здесь же приведена кривая (штриховая линия), по­
строенная на основании известного точного решения задачи о распростра­
нении сильной автомодельной плоской детонационной волны Ч—Ж
(в предположении пренебрежения начальной энергией взрыва Е ). Здесь
видно, что в окрестности фронта волны течение газа достаточно близко
к режиму течения при детонации Ч—Ж.
2
0
189
Заметим, что расчет задачи для больших моментов времени в случае
сферической и цилиндрической волны сильно усложняется ввиду нали­
чия особенностей в условиях на фронте ударной* волны при подходе к точке
Ч-Ж.
Решение рассмотренной задачи при учете противодавления выполнено
Е. Бишимовым. Он изучил также случай переменного тепловыделения
Q = Q (£ )» Д £о — начальная координата частицы газа [15, 16]. Приве­
денные результаты, а также данные исследований асимптотического пове­
дения ударных волн [13, 18] позволяют сделать вывод, что для модели
детонационной волны пересжатая волна в случае сферического и цилиндри­
ческого взрывов выходит на режим Ч—Ж на конечном расстоянии от
центра взрыва, а для плоского взрыва лишь на значительных расстояниях
приближается к волне Ч—Ж.
Таким образом, для взрывчатых смесей газов (или жидких и твердых
ВВ в приближении совершенного газа), к которым применима модель 1,
можно пренебречь на некоторых расстояниях энергией инициирования де­
тонационных цилиндрических и сферических волн. Для плоских волн эти
расстояния существенно больше.
В заключение этого раздела заметим, что полученные нами результаты
опубликованы в работе [17] и докладе автора [18].
г
е
0
§ 3. О некоторых свойствах течения газа
при учете кинетики химических реакций
Учет кинетики химических реакций в ряде случаев может сильно
повлиять на картину течения газа при точечном взрыве [18—20].
1. Рассмотрим простейшую модель таких течений (модель 2). Будем
пренебрегать влиянием вязкости и теплопроводности на течение газа и
считать, что ход химической реакции можно описать с помощью одной
химической переменной ß—массовой концентрацией непрореагировавших
молекул. Тогда в единице массы горючей смеси заключена химическая
энергия ß(?. В системе уравнений (1.18)—(1.20) изменится уравнение
энергии [3], правую часть которого теперь следует приравнять не нулю,
а величине
,
Для совершенного газа с постоянным у уравнение энергии можно пре­
образовать к виду [8]
^ - f g
d
+ ( ï - l ) p - F = 0.
,
(6.15)
Уравнение химической кинетики возьмем в виде [8, 18, 19]
g=_z^tfexp(-a-£).
6
16
(- >
Здесь щ — энергия активации, fx — средний молекулярный вес, m —
порядок реакции, п, I — постоянные, L — положительная постоянная
величина, ß = l — в начале реакции, ß = 0 — в конце реакции.
Таким образом, полная система уравнений содержит уравнения (1. 18),.
(1. 19) и уравнения (6. 15), (6. 16). Граничными условиями здесь служат
обычные условия на ударной волне и условие (6.4).
190
В рассматриваемой задаче можно считать ß = l непосредственно за
фронтом ударной волны. Из (6. 16) следует, что ß может лишь убывать
в частице газа.
Запишем также интегральный закон сохранения энергии, который
примет вид
Е
+ ер - Q (1 - ß) p) Г-Чг + ^ p r J .
a
о = v
(6.17)
A
О
Это соотношение бывает весьма полезным при рассмотрении ряда вопросов.
При ß = 0 , е = 0 из (6. 17) получаем интегральный закон сохранения энер­
гии в случае сильной детонационной волны ( § 2 ) .
Решение ЗТВ для введенной модели течения с химическими реакциями
может быть получено в общем случае лишь приближенными или числен­
ными методами. Можно попытаться найти класс автомодельных решений
уравнений газовой динамики и химической кинетики. Будем считать, что
1
5° = Вр«> \
9
P l
= Ar-*.
(6.18)
Если пренебречь энергией Е , т. е. рассмотреть задачу о распространении
самоподдерживающейся за счет химической энергии сильной ударной
волны, то система определяющих параметров задачи такова: Q, L, В, А,
m Z, тг, w, а а , у, v.- Из соображений размерности легко показать, что
при а ! = а = 0 задача будет автомодельна, если выполнено условие
0
i
ъ
2
2
1-\-П =
1/(о.
Таким образом, мы получаем вывод, что для сильной ударной волны
задача о распространении детонации будет обладать автомодельностью,
если начальная плотность меняется по закону р =Лг~ '^ ^. Если Е ^0,
то задача о взрыве в химически активном газе будет автомодельной лишь
при условии, что Q зависит от параметров газа (или от параметров газа,
координат и времени).
Так, если при условии (6.18) имеем зависимость Q=Q p* p , то задача
о сильном точечном взрыве автомодельна при выполнении условий
2(1 — а )(8 — 1) + 8со(а + а ) = 0,
2 = 8(v + 2 — со),
1
+й
1
0
l
ai
0
1
1
2
§[3Z + 7z + (v — l)(Z + n ) ] _ 1— 21 = 0.
(6.19)
Можно также указать классы автомодельных решений [19], если предпола­
гать L, В, Q зависящими от некоторых степеней г и t. Для автомодельных
движений рассматриваемая система уравнений газовой динамики и хими­
ческой кинетики сводится в специальных (безразмерных) переменных
к системе четырех обыкновенных дифференциальных уравнений:
0
> d l ^ 1 +
[2Lzl +
l
ë
^
(1 +
1)1
и
'
(6. 20)
.( -l)]A +
T
= -°. g [2
2
<p (>.)
ё
d l
?
(X)g{_Ög)
Ц1 pfrg- +
g = -oJi'gT
exp ( - о
1 П
= a
<? (к) ^ (ßA*g-)].
«н^1),
19t
где
.<р Х
f = JL,
X = -L,
Г'
2i
?2 — значения скорости, плотности и давления за сильной ударной
волной. Для автомодельного случая сильного взрыва зависимость r (t)
имеет вид
(
-Л
) =
2/ _ Х ,
Т + 1
*>2
Ä= i
y= i ,
e
5
Р2
Р2
2
u
2
2
+
V-
Здесь а — величина, зависящая от безразмерных параметров задачи,
определяемая (как и в главе 2) по закону сохранения энергии:
¥
1
Нужно найти решение системы (6. 20) с граничными условиями на ударной
волне / (l)=g (i)=h (1) = 1 и учетом условия (6. 21) или условия в центре
взрыва / (0)=0.
В отличие от обычных автомодельных задач газовой динамики [1]
учет химических реакций сильно усложняет решение. Так, система авто­
модельных уравнений для рассмотренных случаев не имеет классического
интеграла адиабатичности и не сводятся к исследованию одного обыкновен­
ного дифференциального уравнения первого порядка. В окрестности центра
здесь могут возникнуть сложные особенности. Поэтому и для исследова­
ния автомодельных задач о распространении ударных волн в горючей смеси
с учетом кинетики реакций необходимо применять приближенные и чи­
сленные методы.
Для контроля точности вычислений можно использовать интегральный
закон сохранения масс, который в принятых безразмерных переменных
будет иметь вид
7 + 1 v—w•
о
Если а —0, то из условий автомодельности при (о=0 имеем ra=(v-|-2)/2v.
Другим интересным случаем будет случай, когда <o=v—-1. Как было
отмечено в главе 3, этот случай соответствует точечному взрыву или рас­
пространению детонационной волны в потоке газа, происходящем в клино­
видном (v=2) или коническом (v=3) сопле. В случае взрыва имеется связь
<oa =v—ш—va Примеры решений для самоподдерживающейся волны
( * 0 ) при со=1, а =а =0
даны в работе [19]*.
2. Для дальнейшего описания явлений взрыва в химически активной
газовой смеси иногда можно воспользоваться моделью течения, вводя
поверхность разрыва — волну горения за фронтом распространяющейся
ударной волны (модель 3).
2
2
а
lf
=
г
2
* В этой работе также рассматривался случай ш = 0 , Е0Ф0, а = 1 , а = 0 . Однако,
проведенная здесь экстраполяция решения на область \ < 0,2 не является точ­
ной.
х
192
2
В указанной модели предполагается, что после прохождения части­
цей газа фронта ударной волны в ней через некоторое время t
происходит мгновенное сгорание вещества с выделением энергии Q на
фронте волны горения. Время t
обычно называют временем задержки
воспламенения или временем индукции. Как известно [4—7, 9 ] , время ин­
дукции зависит от термодинамических параметров газа. Пусть для t
имеет место формула
inà
ind
ind
(6. 22)
где п , /
х
ь
К, L — некоторые постоянные (К > О, L > 0).
Так, для стехиометрической смеси водорода с воздухом можно принять [21, 22]
(6. 23)
где t
выражено в секундах,
ратура (°К).
M
давление р—в
атмосферах, Т — темпе­
Отвлекаясь пока от детальных характеристик потока газа за фронтом
ударной волны, проследим за грубой качественной картиной изменения
t
за фронтом ударной волны. Из формул (6. 22), (6. 23) следует, что при
больших p, Т мало t . С затуханием ударной волны и убыванием p, Т
в частице газа величина /
растет, а следовательно, будет расти и расстоя­
ние между фронтом ударной волны и волной горения, произойдет отрыв
фронта горения от фронта ударной волны. Таким образом, начиная с неко­
торых моментов времени ударную волну и зону реакции горения нельзя
принимать за одну поверхность разрыва —детонационную волну. При
достаточно больших t реакция горения может интенсивно протекать лишь
вне некоторой окрестности точек фронта ударной волны (в зоне достаточно
высоких температур) и горение практически не будет возникать в окрест­
ности фронта ударной волны при сильном ее затухании. Такая картина,
возможно, имела место в опытах, описанных в работе [14], при взрыве
заряда ВВ в смесях водорода с кислородом в достаточно длинной широкой
трубе.
ind
intl
l n d
Приведенный вывод о возможности расщепления детонационной волны
в явлении точечного взрыва был впервые сделан нами в 1967 г. [18].
В качестве косвенного подтверждения описанной картины течения служили
также опытные и теоретические данные по обтеканию тел гиперзвуковым
потоком горючей смесью [22, 23]. По обратной аналогии между гиперзву­
ковым обтеканием затупленных тел и явлением цилиндрического взрыва
(см. гл. 4) можно качественно описать явление цилиндрического взрыва,
используя картину стационарного обтекания. Если воспользоваться этой
аналогией и перенести данные об обтекании затупленного цилиндра,
то в случае цилиндрического взрыва в смеси водорода с воздухом (или
кислородом) естественно ожидать появления картины течения с двумя
фронтами — фронтом ударной волны и следующим за ним в соответствии
с формулой (6. 23) фронтом горения. Одновременно с нами к аналогич­
ному выводу пришли Р. Солоухин, Дж. Ли и А. Оппенгейм [24] на осно13
Тр. Математ. ин-та, т. C X I X
193
вании экспериментов с лазерным лучом
в горючей смеси. Явление распада детона­
ционной волны также наблюдалось при ди­
фракции детонационных волн [25].
В последнее время [20] проводилась ра­
бота по теоретическому обоснованию эффекта
расщепления ударных волн в начальной
стадии точечного взрыва. Некоторые резуль­
таты этого исследования излагаются ниже.
Лама
На рис. 73 показана схема течения газа
горения
Д г-зона
в модели двух фронтов. В области 1 газ по­
коится, в области 2 имеет место движение
Рис. 7 3 . Схема течения газа
в модели двух фронтов
газа за обычной ударной волной. Газ сгорает
при прохождении волны горения, и область
3 занята продуктами горения. Если пренебречь изменением показателя
адиабаты при переходе через разрыв и не учитывать явления теплопро­
водности, то уравнения движения газа в областях непрерывности сво­
дятся к (1. 18)—(1. 20). Условия на ударной волне имеют обычный вид.
Условия на фронте горения можно записать так:
' . - р .
#1
Рз
N:
"т + i '
; T +
a
+
( 7 + 1 ) 2
Т+ 1
TN
Q = TP*
P* (D,-v,)i
/ a_i)s_2( *-i)<?(i).-iO-*,
(
T
i
T
+
Q
A
+
(
T
+
2
.
(6.24)
N),
'
где
P*> P*. "*>
Рз, Рз.
v
3
— давления, плотности и скорости перед и за фронтом волны горения соот­
ветственно. Соотношения (6. 24) следуют из общих условий на сильных
разрывах, полученных в § 2 главы 1.
Введем теперь долю времени индукции de в соответствии с формулой [7]:
de-dt/t, nd* Отсюда и с учетом (6. 22) имеем
de
dt
(6. 25)
Будем считать, что с=1 на фронте ударной волны. Тогда момент времени t,
когда с = 0 , даст нам окончание периода индукции для частицы газа при
переменном поле давлений и плотностей. Если t — момент пересечения
частицей ударной волны, тогда
t =i—1 .
Таким образом, для решения задачи мы должны проинтегрировать
систему (1. 18)—(1. 20), (6. 25) в области 2 и систему (1. 18)—(1. 20)
в области 3 с соответствующими начальными условиями и упомянутыми
граничными условиями. В уравнении (6. 25) справа стоит полная производ­
ная. С вычислительной точки зрения может оказаться более выгодно
использовать уравнения в лагранжевых переменных. Для начальных
моментов времени, когда имеет место оценка (6. 1), можно пренебречь влия­
нием волны горения на газовую динамику. Тогда уравнение (6. 25) даст
нам возможность определить путем квадратуры момент £, так как p, р
¥
ind
194
¥
можно считать известными функциями от лагранжевых координат и вре­
мени из решения газодинамической задачи. Если взрыв сильный, то это
решение приведено в главе 2. Проведенные таким способом (см. также ниже
случай более сложной модели реакций) расчеты в переменных Лагранжа
полностью подтвердили высказанные качественные доводы в пользу рас­
щепления фронта пересжатой детонационной волны (рис. 74).
На рис. 75 приведены графики линий с=1, R ( т ) = г / г ° (ударная волна)
и с=0 (фронт горения), R =r /r°
для случая v = 2 , у = 1 , 3 , Е =10
эрг/см ,
р =\0
-дин/см , р = 1 0 г/см при константах 1/5Е к близких к тако­
вым для водородо-кислородной смеси ( Ç ^ 7 - 1 0
эрг/г).
Из приведенных на рис. 75, 76 графиков следует, что фронт горения и
ударная волна практически совпадали при малых т (^=t/t°), причем г° и
t° — динамическая длина и время, составленные по Е , р р . С ростом т
происходит распад детонационной волны на ударную волну и фронт пла­
мени. Это обстоятельство имеет место и в случае других симметрии. Расчеты
показали, что с ростом Е моменты времени t, начиная с которых наб­
людается существенный рост расстояний между г и r , увеличи­
ваются.
2
2
10
f
6
2
f
_ 3
г
2
0
2
х
и
ъ
10
0
1?
г
0
2
г/г
f
0
Рис. 7 4 . Схема расщепления пересжатой детонационной волны
Рис. 7 5 . Графики закона движения ударной волны и фронта воспламенения для мо­
дельной смеси
Рис. 7 6 . Рост ширины зоны индукции с течением времени (модельная реакция, у = 1 , 4 ,
10
v = 2 , JÊ0=ia эрг см,
** = 1 0 - сек)
9
7
а — для частицы газа за фронтом волны в зависимости от времени окончания периода индукции;
б — по пространству
13*
195
При выполнении расчетов принималось, что /г = 1, 1 =0, т. е. предэкспоненциальный множитель в (6. 25) зависел лишь от давления. Р. И. Соло­
ухиным было указано автору, что для водородо-кислородной смеси лучше
брать этот множитель зависящим от плотности р. Проведенные впослед­
ствии В. В. Марковым расчеты для случая я = 0 , Z = 1 показали, что ка­
чественная картина расщепления волны сохраняется и для таких значе­
ний n l Изменяются лишь численные значения для зависимостей с ( т ) и
R ( т ) . Пример расчета зон индукции для v = l , 2, 3 показан на рис. 77
(стехиометрическая смесь ацетилена с кислородом, р =0,5-10~ г/см ,
р =10
дин/см
Т=1,4,. 2? =3'-10 эрг/см ~\
Z = l ) . Возможность
возникновения горения в окрестности центра, где плотность мала, здесь
не учитывалась.
х
х
v
г
x
v
f
3
3
х
6
2
±
6
г
3
0
x
Рис. 7 7 . Изменение ширины
зоны индукции за сильной вол­
ной для смеси ацетилена с кис­
лородом ( # 0 — 3 - 1 0
эрг/см '^,
Т=М)
е
3
Грубую количественную оценку времени индукции можно получить,
используя аппроксимацию автомодельного решения, предложенную в [26].
Действительно, примем, что
1
1
,
a
t
j
(6. 2 6 )
p
где 7^, p^, p — температура, плотность и давление в частице, прошед­
шей через ударную волну в момент t , a, b — постоянные, определяемые
из условия аппроксимации газодинамических функций сильного взрыва
(время t можно принять за лагранжеву координату). Тогда из уравнения
(6. 25) при п =1, 1 =0 (с учетом условий с—1 для t—t^ находим:
¥
¥
¥
г
г
e
to ma = Т7Г~
2
*"oin/
Q = 2b
'
r
+
1.
Отсюда для момента времени окончания периода индукции t получаем
1
Oind
-1/2
(6. 2 7 )
Используя для времени индукции соотношение & = £ — и з
имеем
ind
4nd
:
t
1
^Oind
(6. 27)
"-1/2
2
t..
(6. 28)
В сферическом случае для у = 1 , 3 в [26] было найдено: а = 0 , 4 4 , 6 = 0 , 7 5 .
Проведенные Т. Байтелиевым по нашей просьбе расчеты с постоянными
для кислородо-водородной смеси показывают, что формула (6. 28) пра­
вильно описывает явление расщепления детонационной волны, хотя при
196
малых t она дает большие погрешности в определении t . Отметим, что
приближенные способы оценки t
развивались также в работах [27, 28].
Проведенный анализ касался лишь стадии сильной ударной волны. Для
больших времен газодинамические функции будут отличны от таковых
для сильного взрыва и решение задачи может быть получено либо прибли­
женным методом аппроксимации плотности в переменных Лагранжа, либо
численно методом характеристик, методом интегральных соотношений или
методом сквозного счета [31]. Заметим также, что модель двух фронтов может
иметь ограниченное применение из-за возникновения неустойчивостей.
3. Рассмотрим некоторые особенности решения задачи для модели
включения химической реакции с выделением тепла в поток за фронтом
ударной волны после прохождения периода индукции (модель 4). Остано­
вимся лишь на случае сильного взрыва в покоящемся газе.
Уравнения, описывающие протекание химических реакций, возьмем
в виде аррениусовских зависимостей
i n d
i J i ä
•аг—i^- —
-g-=
1
—k&^py *
в
х
р
(—^) •
е х р ( — + к (1 —
3
pVaexp
( 6
-
6
3
(-
2 9 )
0
)
До начала реакции (6. 30) считается, что ß = l , а с—1 на фронте ударной
волны. Обращение с в нуль означает окончание периода индукции и начало
реакции с выделением тепла. При этом реакция (6. 29) идет без выделения
тепла.
Систему уравнений, описывающих одномерные движения газа, запишем
в виде
d
v
п
Р
dt
д
Р
I
1~
ар
___ p
U
дг ~
'
, дри
ж
(у — 1)
dt "Г" дг "
p t
г
7
п
—
и
'
^ =
L
r
î
i + pç.
(6.31)
Здесь H — энтальпия, ß — доля непрореагировавших молекул, Q —
полное тепловыделение в единице массы газа.
При исследовании задачи мы, как и раньше, должны учесть условия
на ударной волне, условие выделения энергии Е и начальные условия.
Для принятых моделей условия автомодельности задачи при различ­
ных 1 , т., п и зависимостях E и тепловыделения Q от давления и плот­
ности (а также от координат и времени) фактически будут совпадать с рас­
смотренными для модели 2. При распространении сильной взрывной
волны в покоящемся газе постоянной плотности в автомодельном случае
абсолютная ширина зоны индукции растет пропорционально £ A > .
Однако относительная толщина этой зоны, равная отношению разности
координат ударной волны и волны горения к координате ударной волны,
будет оставаться постоянной. Заметим, что для этого автомодельного дви­
жения величины Е и Q пропорциональны давлению. Учет конечной ско­
рости химической реакции здесь также приводит к существенному измене­
нию качественной картины течения газа.
Если величины £^ и Q постоянны, то ЗТВ не является автомодельной.
Рассмотрим взрыв в однородной покоящейся среде. В моменты времени,
0
4
4
i
2
v + 2
4
197
близкие к начальному, величина полной энергии, выделившейся при горе­
нии в объеме, ограниченном ударной волной, значительно меньше энер­
гии взрыва, т. е.
Е ->и, =
0
^\С(1-^ г^Чг,
o, = 2 ( v - l ) « + ( v _ 2 ) ( v _ 3 ) ,
Р
(6.32)
О
и поэтому влияние горения на газодинамическое течение мало.
Для начальной стадии взрыва, когда справедливо неравенство (6. 32),
можно искать решение, используя метод линеаризации по малому пара­
метру
пропорциональному отношению QpJE . Тогда для любой иско­
мой функции / имеем
Q
/ = /(o, + tf(i> + °-(M.
(6-33)
После подстановки функций вида (6. 33) в уравнения (6. 29)—(6. 31)
(и их линеаризации) для / и / получим системы дифференциальных урав­
нений в частных производных, одна из которых, являясь нелинейной, со­
держит только главные члены разложения, т. е. величины у , р , р
а другая, линейная — величины
р , р .
При этом система для
главных членов сама распадается на две. Решением газодинамических
уравнений будут автомодельные функции, описывающие течение от
сильного точечного взрыва, рассмотренного в главе 2 (влияние химических
реакций пренебрежимо мало). Химические реакции в этом случае проте­
кают на заданном поле течения и описываются уравнениями (6. 29)—(6. 30),
в которых каждой функции следует приписать индекс (0). Будем считать,
0
х
( 0 )
( 1 )
( 0 )
(0)1
{1)
что т =т =2, fy—1, п —2.
1
2
2
Введем безразмерные величины
Р<о>
п
V
v
р
m
т
г
г
а-
характерное время.
Тогда в переменных Эйлера уравнения для определения с, ß примут вид
&
+
v
ï
+
V
W
=-^«РН4).
"f = - ^ ß
2
{ Р ( - з т) ЕХ
§
6 34
. (- >
a ЕХ
(1 - ß) Р
[-
§
(з + !).£]} •
(6- 3 5 )
Система (6. 34)—(6. 35) является моделью для кинетики суммарных
химических реакций второго порядка (т=2). Так как в рассматриваемом
приближении функции V, G, Р считаются заданными, то эта система со­
стоит из двух независимых уравнений в частных производных первого
порядка. Начальные данные для них задаются при r=r , t=t ( с = 1 , ß = l )
и при r=r , t=t (с=0, ß = i ) , причем в области между г и r имеем ß^coüst.
Таким образом, для уравнений (6. 34), (6. 35) имеет место задача Коши,
решение которой можно находить стандартным методом характеристик.
Заметим, что если время индукции уже найдено, например, при решении
в переменных Лагранжа, описанных для модели 3, то остается определить
лишь ß. Для контроля точности определения t
уравнение для с интегри2
f
2
inà
198
9
f
ровалось заново. Обыкновенные дифференциальные уравнения, определяю­
щие изменение функций вдоль характеристик, решались численно методом
Рунге—Кутта. Мы не будем останавливаться на деталях этих вычислений.
По разработанному способу Е. Бишимовым была составлена программа
для машины БЭСМ-3 и приведены расчеты для значений параметров
t*=10~ с е к , & = Ю , 8 = 5 , 1 , § = 2 0 . Эти постоянные были выбраны так,
чтобы уравнения кинетики соответствовали временам индукции и резуль­
тирующей реакции для смесей типа водород—кислород. Значения величин
(?> Р ъ Pi совпадают с теми, что были указаны выше. Полученные данные
по времени индукции и ширине зоны индукции совпали с соответствую­
щими величинами для модели 3 (см. рис. 75, 76). Заметим, что на рис. 76, а
7
3
0
1
2
1
fi\
Рис. 7 8 . Изменение концентрации ß за сильной ударной вол­
ной
(модельная
реакция,
Y=l,4, v=2, Я =10
эрг/см)
П
Û,S
1 0
0
O.S
О
/
г/г2
дано изменение относительной разности (г —rß!Q'^f=Ay вдоль траекто­
рии частиц в зависимости от относительного времени окончания периода
индукции II f. Эти расчеты также показали, что учет конечности скоростей
химических реакций приводит к качественно новой картине развития те­
чения по сравнению с моделью бесконечно тонкой детонационной волны.
Из-за существования у температуры, давления и плотности газа за вол­
ной больших отрицательных градиентов в области резкого расширения
потока зона воспламенения отделяется от ударного фронта. Время за­
держки воспламенения сильно возрастает при распространении волны,
несмотря на то, что взрывная волна еще достаточно сильная: р ^>
50p
Это приводит к распаду детонационной волны на обычный скачок уплот­
нения и фронт пламени. Расчеты показали, что для принятой модели пря­
мой и обратной реакции (6. 30) велика роль обратной реакции, которой
часто пренебрегают при модельном описании движений газа за детона­
ционными волнами. Распределение концентрации ß по пространству дано
на рис. 78. Из-за высокой температуры в окрестности центра взрыва
смесь сгорает не до конца и тепловая энергия выделяется лишь частично.
Отношение выделившейся энергии в модели 4 к той, которая выдели­
лась бы по модели 3 при полном сгорании, будет для t = 1 0 равно при­
мерно половине. К этому времени зона воспламенения уже отделилась
от взрывной волны, а величина выделившейся при горении во всей возму­
щенной области энергии еще ничтожно мала по сравнению с энергией
взрыва (UJE ~ 0,02). (Это обстоятельство говорит о достаточно высо­
кой точности принятого приближения.)
2
2
v
0
199
В этом приближении нет принципиальных трудностей для решения
задачи с учетом полной кинетики химических реакций. Вопросы кинетики
химических реакций горения и взрыва в настоящее время глубоко разрабо­
таны в трудах ученых школы H. Н. Семенова (обзор этих работ см. в [29])
и других авторов. Воспользовавшись этими результатами, можно рассчи­
тать процессы химических реакций при сильном взрыве в газе*.
В заключение отметим, что аналогичный анализ можно было бы про­
вести и для реакций термоядерной детонации. С принципиальной точки
зрения здесь нет отличий в смысле роли кинетики реакций [29, 30]. Но,
как было замечено в работе [30], при исследовании структуры термоядер­
ной детонационной волны существенную роль будут играть эффекты
излучения, так как термоядерные реакции проходят при весьма высоких
температурах (см. также недавно опубликованную работу [32]). Заметим,
что в окрестности ударной волны могут возникнуть неустойчивости,
нарушающие одномерность течения и ведущие к восстановлению детона­
ционного горения (это часто наблюдается в экспериментах).
* П р и м е ч а н и е п р и к о р р е к т у р е . Для цилиндрического случая чис­
ленное решение полной задачи с кинетикой (6.29)—(6.30) дано в работе В . П . К о робейникова, В . А . Левина, В. В . Маркова и др. (Astronautica A c t a , 17, N 5,
1972).
Г Л А В А
7
ТОЧЕЧНЫЙ ВЗРЫВ
В ЭЛЕКТРОПРОВОДНОМ ГАЗЕ
С УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
§ 1. Введение
Рассмотренные в предыдущих главах задачи можно распространить
на случай, когда среда является электропроводным газом, способным
взаимодействовать с приложенными магнитными полями. Это обобщение
ЗТВ представляет интерес для астрофизических приложений, для рас­
пространения взрывных волн в ионосфере, для задач, возникающих
при фокусировке лазерного луча, при взрыве ВВ или проведении электри­
ческих разрядов в высокотемпературной плазме в лабораторных условиях,
для исследования устройств, создающих импульсные источники тока для
взрывных магнитогидродинамических генераторов, и т. п. Рассмотрим
постановки задач и основные уравнения, описывающие движение газа.
Пусть в покоящемся электропроводном газе с начальным магнитным
полем Н в точке, вдоль прямой или вдоль плоскости произошло мгновен­
ное выделение энергии, т. е. произошел взрыв. По газу начнет распростра­
няться ударная волна, которая будет возмущать начальное магнитное
поле, начальное давление р
начальную плотность р .
Обозначим через Е энергию, выделившуюся при взрыве. Если считать,
что возникающее движение описывается системой уравнений МГД, то мы
приходим к задаче интегрирования системы МГД с граничными условиями
в центре взрыва, на фронте ударной волны и в бесконечности.
Так как магнитное поле вносит анизотропию в движение, то, в отличие
от соответствующей задачи для уравнений газовой динамики, даже при
постоянных р и Pi В сферическом случае задача в точной постановке
не сводится к одномерной, а в плоском и цилиндрическом случаях может
быть сведена к одномерной только при специальных конфигурациях маг­
нитного поля. Система уравнений МГД для движений невязкого и нетепло­
проводного совершенного газа имеет вид (1.69)—(1. 73). Электрическое
поле JE и плотность тока j вычисляются по формулам
г
ъ
х
0
х
E = i-±:VXH,
j = ^votH,
(7.1)
где о — проводимость, с — скорость света.
Если магнитные числа Рейнольдса велики (R ^> 1), то в системе урав­
нений МГД можно пренебречь диссипативными членами; для малых магm
201
нитных чисел Рейнольдса (R < 1) при движении газа можно пренебречь
изменением начального электромагнитнго поля. При движениях газа с ко­
нечной электропроводимостью будем считать, что проводимость газа за­
висит от давления и плотности так:
m
°=
(7.2)
где а п,т — постоянные. Таким оборазом, при решении задач с конечной
электропроводностью появятся три дополнительных параметра: а п,
т. Это также усложняет исследование.
Мы рассмотрим случай бесконечной проводимости и движение газа
с конечными числами R . Излагаемая ниже теория создана в основном
автором, причем нами были даны как постановки основных задач, так и
методы их решения. Ряд вопросов разрабатывался совместно с В. П. Карли­
ковым и Е. В. Рязановым.
ь
1 ?
m
§ 2. Одномерные задачи
для движений идеально проводящего газа,
в которых скорость перпендикулярна вектору поля
2.1. Постановка задач. Рассмотрим постановку задач для одномерных
течений бесконечно проводящего газа. В этом случае имеет смысл исследо­
вать лишь цилиндрический и плоский точечные взрывы. Считаем, что век­
тор Н направлен перпендикулярно траекториям частиц газа. В цилиндри­
ческом случае вектор поля H может быть, в частности, направлен вдоль
оси симметрии, по касательным к концентрическим окружностям с цент­
ром на оси симметрии или, в общем случае, создает винтовое поле с ком­
понентами Н и H
(магнитные силовые линии — винтовые линии;
см. схему движения газа на рис. 79). В случае плоского взрыва течения
могут быть одномерными и при наклонном направлении вектора поля
по отношению к плоскости взрыва. Этот случай
мы рассмотрим в следующем параграфе.
Из системы уравнений МГД можно получить
уравнения одномерных течений в виде
?
z
dv
дг
dp
~dt
(
'
à
,
dt
II
8n >
Рис. 7 9 . Схема распро­
странения
цилиндриче­
ской ударной волны при
винтовом поле
202
V
•)•
7 3
-£(£)=»•
(£)=<>•
d
1)
dv
4lF
d
dt
2 ( v - l )
(p + h)-
д
<->
h=h +(+-l)h ,
M
9
h — —?
l
\ —
Su-
Будем рассматривать два типа ударных волн:
магнитогидродинамические и ударные волны со
скачком проводимости, ионизирующие газ. Для
магнитогидродинамических ударных волн в среде
с бесконечной проводимостью из (1. 107)—(1. 110) имеем
[ (v-D)]
= 0,
P
[(v~D)(^-
+ ^
i
[ (v-D)
+ p + h] = 0,
pv
+ h) + (p +
h)v]=0,
(7.4)
Для ударных волн со скачком проводимости будем предполагать, что ЛГ
при переходе через поверхность разрыва остается непрерывным. Это озна­
чает, что магнитная вязкость в ударном слое считается больше других
диссипативных коэффициентов [1]. Разрывы остальных величин подчи­
няются газодинамическим условиям
[ Р ( у - Л ) ] = 0,
[ v(v-D)
+ p] = 0,
P
(7.5)
Из системы (7. 3) можно получить уравнение закона сохранения энер­
гии в виде
dt
\
2
г
-у —
1 ^
8 к ) ^
дг
г
1
и
\ 2
4и J]
•
к
>
где Ф ( £) — произвольная функция лагранжевой координаты £. Отсюда
следует, что если известно решение системы (7. 3) при Y=2, h = 0 , то легко
найти решение этой системы и для случая т = 2 , h =^=0. В частности, зная
решение обычных газодинамических уравнений при у = 2 , получаем ре­
шение уравнений (7. 3) при / ^ = 0 , содержащее дополнительно одну про­
извольную функцию от £.
В случае магнитогидродинамических ударных волн и у—2 замена вида
Р*~р-\~К
приводит (7. 4) к виду условий при h =0, если не обращать
внимания на условие вмороженности для h .
С в о й с т в о 2. Так как система (7. 3) не содержит никаких размер­
ных констант, то для тех задач, в дополнительные условия которых вой­
дет не более одной постоянной с не зависящими от Е размерностями, бу­
дет выполнено условие автомодельности движения. В этом случае воз­
можно исследование задачи путем сведения ее уравнений к системе обык­
новенных дифференциальных уравнений.
С в о й с т в о 3. При Н =0 система уравнений (7. 3) и условия (7. 4)
приводятся к газодинамическим условиям для движения газа со специаль­
ными термодинамическими свойствами (см, также гл/ 1). Действительно,
из системы (7. 3) и условий (7. 4) следует интеграл вмороженности H =
=Н р/р .
Если ввести новые термодинамические величины р*, е* для
«смеси» газа и поля, то будем иметь зависимости
г
z
z
s
0
?
z
г1
г
- S, )
p
{
?
= p + h = f(S)?
e
р(
Т
—1)"Т"
+±fifff,
Г
Р(Т — 1 ) " Т —14
(7.8)
P i J 8u>
(7.9)
где S — энтропия, / (S) — произвольная функция энтропии.
203
Формулы (7. 8), (7. 9) определяют термодинамические функции газа,
течение которого можно рассматривать при исследовании задач МГД.
Из свойства 3 следует также, что при у = 2 задача сводится к газодинами­
ческой с уравнениями состояния для идеального газа в соответствии со
свойством 1. Приведенные свойства уравнений и граничных условий
дают основание для внесения изменений в формулировки ЗТВ по срав­
нению со случаем газовой динамики. Перейдем к конкретным за­
дачам для уравнений (7. 3)—(7. 6).
2 . 2 . Постоянное начальное магнитное поле, параллельное фронту
ударной волны. Рассмотрим ЗТВ при H =H
для случая плоского и
цилиндрического взрывов. Из соотношения (7. 9) следует, что в этом слу­
чае даже для сильного взрыва ( р = 0 ) задача не является автомодельной.
Если магнитное поле слабое, т. е. Щ <С8тгр , то начальное распределе­
ние поля H может быть найдено по интегралу вмороженности E —
= P#,i/PiДля расчета задачи о взрыве при больших временах с учетом влияния
поля H и противодавления необходимо использовать численные методы,
аналогичные методам, развитым для задач газовой динамики.
Мы здесь рассмотрим опубликованный нами в работе [2 ] метод расчета
задачи, основанный на применении схемы метода интегральных соотно­
шений. Исходные уравнения возьмем в дивергентном виде
x
zX
1
х
1
z
z
z
I I + Ж
i ^ L + { W ' r ) = 0,
Hz
е
v w + ж ^ < + ™ = °-
= °'
^. £L.
7
тт
Р
+
^.
v
тт
(
p
P^
e
=
=
ü
2
2
p.)
+
P
I
J
H^=ÏZ'
'
^ =
*1«
l - + r ^
Введем новые независимые переменные
P
œ
=
Pœ
P
l
n
я
zco
я
С
t 9
k„
ur„
D
u
IPœ
q — Pœ *
Poo#
u
9
g=
P
Poo
œ'
2
+
^Li
+
I
#
,
( M
o,
a =
r
2
C
^ '
=
\Pœ
=
(7.10)
v
r
'
V
и==
У
I
Pœ
Индексом n будем обозначать в этом разделе величины непосредственно
за фронтом волны, а индексом оо — начальные параметры.
Используя новые переменные, систему (7. 10) можно записать в виде
f + f [ - £ < « ? 9 — 4 <«е>+ *]=<>,
•£+!.[•!•
+ ^-(*v>+«] - f=о,
^ + F [ 4 < W ) - ^ ( « + t ] - ^ = ».
Из кинематического условия D~drjdt
мерным временем t=t/t° и g:
204
< 7 1 2 )
следует связь между безраз­
Здесь и всюду в этом параграфе в дальнейшем штрих означает производ­
ную по д. Кроме того, введены обозначения
^ = ^ . +1,
m = gtw,
h* = (fy,
?
r
f-.
D '
r» '
«, =
2(v-l)ic +
t0= r
• °=X-tT'
il^T>
(v-2)(v_3).
Заметим, что в системах (7. 10), (7. 12) не все уравнения независимы.
Одно из уравнений этих систем можно считать следствием других, учиты­
вая связи между s, и, p, Н. «Лишние» соотношения между искомыми функ­
циями можно использовать для дополнительного контроля точности ре­
шения. Так как имеет место интеграл вмороженности G=g, то для решения
задачи достаточно найти лишь три функции: g, ф, ср.
Условия на ударной волне в новых переменных примут вид
*„(?„-i) = - i .
e = G„
n
"U?«-i) + ^ = 4 ? ( i +
4
P = •
- >« • + =
q
lß)>
(Нл+т Р) •
7
13
( - )
Таким образом, мы должны найти решение системы (7. 12) с граничными
условиями (7. 13) и условием симметрии в центре взрыва.
Проинтегрировав систему (7. 12) по £ от некоторого % = ^ (q) до £ = 1 ,
учитывая соотношения (7.13), получим систему интегральных соотно­
шений
п
<?и +
п
s£ - [ i + g t, (?, - 1 ) - <ЛЛ = ' 0 ,
t
+ e j ; — j» etffij
^'з! +
—
— G7 , + q ( ^ j + y ß) — - j ^
— e,t, +
2
<I>|É, ( ? i — 1) — </зг + hl
gn J
• — Q7•—-
= 0,
(7. 14)
0,
j
+f(+ip):
причем имеют место зависимости
« 1 = 2
+ А
+ ?4
gf,
А =
K = V, +
2
w\g
(7. 14а)
В системе (7. 14) введены обозначения
r
<3 u = \ë&,
J. =\ed$,
2l
31 •
Система (7. 14) совместно с (7. 14а) могут служить основой для построе­
ния расчетных схем численного решения задачи. Если ß < 1, то расчет
задачи для любых у аналогичен газодинамическому. При малых q влияние
поля мало и за начальные данные можно принимать газодинамические
функции, полученные численно в главе 3. Аналогично результатам главы 4
205
в области интегрирования 0 < ^ £ ^ 1 введем центральный интервал £ (g),
зафиксировав лагранжеву координату по начальным данным. Будем,
как и в соответствующей газодинамической задаче (см. гл. 4 ) , внутри цент­
рального интервала вести расчет по специальным асимптотическим фор­
мулам.
Решение в области, находящейся между границей центрального ин­
тервала £= £ (g) и ударной волной £= £ = 1 , будем определять методом
интегральных соотношений. В п-ж приближении разобьем эту область на
п полос, проводя n—1 промежуточных линий:
0
0
Я
Ш
N U
= ^ % > + ^
Если аппроксимировать подынтегральные выражения интерполя­
ционными полиномами Лагранжа с узлами интерполяции на линиях
Е= £ (к=0, 1 , . . ., /г), то можно получить аппроксимирующую систему
обыкновенных дифференциальных уравнений. Эта аппроксимирующая
система будет отличаться от аналогичной системы § 3 главы 4 лишь коэф­
фициентами уравнений, полученных из второго и последнего интегральных
соотношений ( 7 . 1 4 ) . Для аппроксимирующей системы уравнений будет
иметь место задача Коши, численное решение которой позволит определить
все искомые функции. Общий контроль точности можно проводить по вы­
полнению интегральных законов сохранения энергии и массы. В качестве
примеров были проведены расчеты задачи для случаев т г = 4 , v = 2 ,
у—
— 1 , 4 , у = / и различных ß < l - Для плоского случая проводился расчет
при Y = 1 , 4 , ß = 0 , 2 . На рис. 8 0 представлена рассчитанная зависимость
R (т), V—2. Для сравнения здесь же приведена соответствующая зависи­
мость при ß = 0 . На рис. 8 1 указано изменение функции р /р
от -с (р ~
=р ( 0 , t)) для у = 1 , 4 ; v = 2 , ß = 0 , ß = 0 , 2 . Зависимости P ( î)=p/p
для g =
= 0 , 4 3 ,
ß = 0 , 2 ,
ß = 0 представлены на фиг. 8 2 . Схему метода интегральных
соотношений можно использовать и при значениях ß > 1 . В этом случае,
однако, желательно решить точно линеаризированную задачу о взрыве
с учетом противодавления и магнитного поля. Приближенное ее решение
рассмотрено в [ 3 ] .
Так как при у = 2 задача сводится к соответствующей газодинамической,
то при произвольных ß для получения решения в этом случае достаточно,
воспользоваться результатами расчета газодинамической ЗТВ по методу,
рассмотренному в главе 4 .
Если обозначить через g , Р , / (P=p/p )
искомые функции задачи
газовой динамики, а через P, g, f — соответствующие функции магнитогидродинамической задачи, то имеем равенства
Ä
5
3
n
0
п
0
œ
2
P* = -l£- = P
v
g = G= g,
2
2
/= / ,
2
2
œ
2
P = i> (l+ß)-ß* ,
А, = Ф(5) *.
2
Р
"со
Остановимся специально на случае сильной волны.
Пренебрегая P* в условиях на ударной волне ( 7 . 4 ) , получим
œ
V
n = Y А •
206
2
Pl = | " Pcoö ,
h = %
zn
œ
.
Будем считать /^ =const. Решение для p' (r, t), p (r, t), v (г, t) известно
гл. 2 ) .
œ
(см.
3
Рп = Рсо,
Рис.
80.
Закон движения
цилиндрической ударной вол­
ны в параллельном поле
Рис. 8 1 . Изменение относи­
тельного давления в центре
взрыва ( v = 2 , Y = l , 4 )
Рис. 8 2 . Распределение дав­
лений по £ для двух значе­
ний у
0,2
о,ь
о,е
0,8 1,0$
Найдем произвольную функцию Ф ( £), входящую в h (r, t). Из усло­
вий на скачке получаем
g
'2<Х>
<"><*> =
р
2
га
Отсюда следует, что можно удовлетворить уравнениям МГД и усло­
виям на ударной волне (7. 4), если примем
Poo
Принимая во внимание вид решения аналогичной задачи в обычной га­
зовой динамике, имеем
г= г
2
^[ (4 — ^)]~ [ (^^T)T '
8V/2 4
/2
(v-2)/(v+2)
4Ч'-т)ПЧ4-")'
v
=
v
n
x
^
/
e x p / —ovo
1—
(7.15)
P=PnP
3
Poo
.
Здесь r — координата ударной волны. Зависимость r (t) совпадает с га­
зодинамической.
n
n
207
Рис. 8 3 . Распределение давления для разных параметров ß при фиксированном вре­
мени 7 =
2
'
Для сильного взрыва в непроводящей среде со скачком проводимости
c =0, а = оо из граничного условия h(r , t)=h
аналогично предыдущему
находим
œ
п
n
z(X>
Решение задачи в этом случае дается формулами (7. 15), если считать
К^Коо? ^?^Из (7. 15) следует, что при сохранении высоких температур
в центре давление в окрестности фронта ударной волны ниже соответст­
вующего давления при взрыве без магнитного поля.
Из формул для h следует также, что магнитное давление при взрыве
в бесконечно проводящей среде в 9 раз больше магнитного давления при
взрыве в непроводящей среде. Отметим, что для взрыва со скачком про­
водимости на ударной волне не учитывался эффект изменения начального
поля Лоз, излученной электромагнитной волной [1]. Этот эффект может
оказаться существенным, если характерные скорости движения частиц
газа велики, a H
не мало.
Решение (7. 15) было впервые опубликовано нами в работах [4, 5 ] .
Впоследствии это решение было получено А. Сакураем [6].
Для учета противодавления и магнитного поля при у = 2 воспользуемся
численным решением задачи, рассмотренным в главе 4. Графики давления
даны на рис. 82, 83. Из этих графиков видно, что при g > 0,5 распределе­
ние давления сильно отличается от газодинамического, особенно вблизи
центра. Это отличие носит не только количественный, но и качественный
характер: имеются существенные градиенты давления в окрестности центра
взрыва.
Вычисления показали, что точность расчета рассмотренной задачи
падает с ростом д. Как и в задачах газовой динамики, для расчета пара­
метров взрывных волн на больших расстояниях от оси взрыва (при q ~>
2
z
zœ
208
( 7 c o = l / ( l + ß)) Д
улучшения точности целесообразно использовать
асимптотические законы затухания ударных волн [2, 7 ] . Мы не останав­
ливаемся здесь на этом вопросе подробно.
2. 3. Автомодельная задача для кольцевого начального поля. Если
магнитное поле имеет только компоненту
причем h =Br~ ,
р-^—Аг- *,
то задача о цилиндрическом сильном взрыве в бесконечно проводящем
газе будет автомодельна (здесь мы снова используем индекс 1). Действи­
тельно, так как размерность постоянной В совпадает с размерностью энер­
гии Е' , то в задаче имеется лишь одна дополнительная постоянная А с не
зависящей от Е' размерностью. Отсюда в соответствии со свойством 2
имеет место автомодельность. Закон изменения поля h =Вг~ показывает,
что начальное поле образуется при протекании постоянного линейного
тока, для которого возвратной цепью служит концентрический цилиндри­
ческий проводник очень большого радиуса. Эта задача для системы урав­
нений (7. 3) впервые была исследована в работах [5, 8, 9 ] . Остановимся
на методе ее решения и результатах для случая и>=0.
Введем безразмерные переменные по формулам
л я
2
0
9l
0
0
2
г
где Е=аЕ' , а—постоянная, подлежащая определению, Е' — конечная
часть энергии, Е , г (t) — закон движения ударной волны. Соответствую­
щая система четырех обыкновенных уравнений для автомодельных дви­
жений имеет вид
0
0
0
m {V — 0,5) V
2
\G + \P = R (V — V ) — 2 (P + G) — 2G,
f
+
f
2
x[(F-8)^+7'l=-27,
-*
L
>J
( F
_S)^
+ T
(7.16)
H = 2.-2(1+ )F,
T
(F_S)_^L
/
+
2F ] = 2 —4F.
Граничные условия задачи вытекают из необходимости удовлетворения
законам сохранения на фронте ударной волны (7. 4) и условию симметрии
на оси взрыва г; (0, t)=0. Система дифференциальных уравнений имеет
три первых алгебраических интеграла [5, 8 ] : адиабатичности, энергии
и вмороженности (см. § 6, гл. 1):
p = R*-! (V — 0,5)-! Х - \ ,
2
G = (V — 8)"
(p + G) V + (V — 0,5) (o,5RV
2
+•
>г*х ,
2
д + с)
=
Произвольные постоянные, входящие в асимптотическое выражение ин­
тегралов, находятся из граничных условий на фронте ударной волны
х = 0 , 2 5 С?!, х = — 0,56? . С помощью этих интегралов задача сводится
к исследованию одного обыкновенного дифференциального уравнения,
которое может быть получено из (7. 16) и записано следующим образом:
2
4
2
dm у
dv
14
х
v
« ~ *> [*i
—
Тр. Математ. ин-та, т. G X I X
+^ (V-0,b)^
2
у ( V
Q
~ -
5 ) 2
] +*~
! )
/у 17)
"
209
где
= (V -
0,5) ^ [ 1 ( 2 7 - ^ ) -
0,5*/^],
ф =Г(7-1)(7-0,5)у + 1-2Г
T
2
у =
в
7
Основная трудность задачи заключается в интегрировании (7. 17), так как
по известной функции у (V) все искомые функции найдутся с помощью
первых интегралов и квадратур. Если обозначить индексом 1 величины,
характеризующие невозмущенное состояние газа, а индексом 2 — вели­
чины непосредственно за фронтом ударной волны, то, используя условия
на ударной волне, можно найти зависимость у от V и у:
2
У ? = ï (Т -
1) [ 0 , 5 7 ! + ( l + - ^ 0,5 V [(0,5 -
_
2
1
1
T
2
2
2
1 )
+ 2F ) G j ,
- 0,5Г ]
2
7èï(y»-0,5)+ ; ~
Из условия D ^ Я | / 4 т т р
0 > 5
У )^1
2
4
2
F 2
lo,5 +
F
2 + 0,5'
и уравнения у (v ) следует, что
2
2
Отметим, что в автомодельной газодинамической ЗТВ связь между и
у при фиксированном у изображалась на плоскости V, у точкой, тогда как
в рассматриваемой задаче присутствие магнитного поля приводит к за­
висимости у (У ), даваемой соотношениями на ударной волне. Для урав­
нения (7. 17) был выполнен качественный анализ поведения интегральных
кривых. Исследование уравнения (7. 17) показывает, что центру симмет­
рии течения (оси взрыва) соответствует точка у=0, V=0. Качественный
анализ поведения решений уравнения (7. 17) показал также, что решению
задачи о сильном взрыве в плоскости V, у соответствуют интегральные кри­
вые, начинающиеся с точек кривой у (V ) и входящие в особую точку (0,0),
касаясь оси абсцисс. (Наличие множества кривых, входящих в точку (0, 0)
вдоль оси абсцисс, может быть доказано на основании критерия Перрона
'[10].) Уравнение (7. 17) для малых значений V имеет асимптотическое ре­
шение [5]
2г
2
2
2
2
у = cj-z
(Ï-2)/(T-D
2
[V - 0,5]-<3-2ï)/<ï-i) [1 _ 2 F]-ï'(ï-i> exp ( ^ y v )
• (7- 18}
Y
где с — произвольная постоянная. Примеры интегральных кривых у (V)
найденных численно, даны на рис. 84. Система автомодельных уравнений
задачи была проинтегрирована численно для широкого диапазона значе­
ний Gx и ряда значений у. Расчет в окрестности центра взрыва проводился
по специальным асимптотическим формулам, вытекающим из (7. 18).
Прзднее соответствующие расчеты для значений у = 1,4 и у— / были
проведены в работе [11]. Некоторые результаты расчетов для
у— /
и у=2 представлены на рис. 85 для значения У ^=0,3. Отметим следующие
отличия найденного решения от соответствующего решения газодинами­
ческой задачи, рассмотренного в главе 2.
г
r
5
3
ь
г
2
10
40
y (V )
z
z
JO
20
w
0,15
о
:
0,5
О
0,50
ЮЛ
Рис. 8 4 . Примеры интегральных кривых в плоскости у, v
Рис. 8 5 . Распределения относительных плотностей, скоростей и температур и магнит­
ных полей при сильном цилиндрическом взрыве в кольцевом поле
1) Интенсивность ударной волны меньше, чем в газодинамическом слу­
чае.
2) # =т^0, вблизи центра Н ~ 1/г, т. е. по оси симметрии течет посто­
янный сосредоточенный ток.
3) Температура в области течения уменьшается при учете влияния
магнитного поля.
4) Формула для интегрального баланса энергии имеет более сложный
?
?
вид.
Остановимся более подробно на интегральном законе сохранения энер­
гии. Анализ решения задачи показывает, что полная энергия движущегося
газа остается бесконечной, если из нее вычесть начальную (бесконечную
энергию), причем соответствующий интеграл расходится при X - > 0 , как
In I InX |. Это указывает на то, что для осуществления рассматриваемого ре­
шения мы должны допустить выделение бесконечной энергии в начальный
момент времени на оси г = 0 . Возможный путь определения этой энергии
дан в работе [11].
Баланс энергии возьмем в виде
о
Здесь А — дополнительная (бесконечная) часть энергии, выделившейся
при t=0. Величину А можно определить как электромагнитную энергию,
подводимую в начальный момент. Для нее можно написать [11]
в
е
А = Адф
в
с
где АФ — разность потока индукции поля, рассчитанного на единицу
длины, в начальный момент и в любой момент, t, 1 — концентрированный
ток, текущий по оси г=0.
е
0
14*
211
Учитывая зависимость Д Ф
мулам, найдем
е
от H
и переходя к безразмерным фор­
1
О
Можно показать, что величина а, определяемая по (7. 19), будет конечной.
Конкретные ее значения для различных у и (? (или V ) были получены
численно. Так, при F = 0 , 3 имеем а=0,07 (т= /з)> а=0,05 (т=2).
При у = 2 задача легко обобщается на случай винтового поля с Н =
= const. Для этого достаточно взять
х
2
5
2
л
v =
v ,
p =
9
p^-J%-,
p=
p
H =
r
H
Н, =
R
Н -*-,
Л
где величины с индексом <р соответствуют, рассмотренной задаче сН
=
= 0 , у = 2 . Это следует из приведенных свойств дифференциальных уравнений
МГД и граничных условий при предположении, что p +(£T| /8^)^> p +
+(#! /8тг),
2.4. Автомодельная задача для уравнений магнитной гидродинамики
разреженной плазмы. Рассмотренную в предыдущем разделе задачу
о сильном цилиндрическом взрыве в покоящейся среде можно исследовать
и для уравнений МГД разреженной плазмы (уравнения Чью—Гольдбергера—Лоу), приведенных в § 3 главы 1. В области вне зоны возмущен­
ного движения пренебрегаем компонентами тензора напряжений р ,
р . Начальную плотность для простоты считаем постоянной, В ~ 1/г,
В =0.
Из системы (1. 81)—(1. 85) для случая цилиндрической симметрии
имеем
0
J
2
2
j
1
1
±1
|(1
г
г1
du
д
,
,7ч,
Р\\ ~~Р±
/ du . v\
dp
""Ч"^'
~dt~
± P j _ _
n
d
P l
d h
9
~r)
h
^
8u '
'
Ttr*^~'
_
(7.20)
v
f
Если
предполагать,
что
течение сопровождается возникновением
ударной волны, то на ударной волне должны выполняться условия
р (и — D) = —Piö,
p v (v — D) + p + h = h
JJ-TT—
dt
°>
2h
£ - ^ = 0.
dt
д/гр
2
рз
2
2
2
2
X 2
(u — D) (p± + 0,5p + - i p t;| + A ) + ( p
2
2
ll2
h {v -Df
2
2
2
2
= h D\
l
P
±
2
± 2
2
v
+ h ) v = —Z?A ,
2
2
X
= 0.
Эти условия вытекаютиз (1. 119)—(1.123). Рассматриваемая задача автомо­
дельна. В безразмерных переменных X, V, Р , Р , R, G из (7. 20) получаем
автомодельную систему из пяти уравнений:
m (F — 0,5) V + X P ' + X G '
— F ) — 3P — 4G + P ,
(!
±
r
2
±
±
x[(pr_8)4-+7']=-2F, X
8
212
)
+
F |
= 2 — QV,
H
( F - S ) ^ + 2 F = 2 — 57,
1 7
X [ ( F
_L.
—8)-|l +
2 F ' ] = 2 —4F.
(7.21)
Система (7. 21) имеет четыре алгебраических интеграла (см. § 4, гл. 1):
интеграл энергии (1. 154), интеграл вмороженности (1. 149), который за­
пишем в виде
G=z(V — 0,5)- Х" х ,
(7.22)
2
4
2
интегралы адиабатических инвариантов (1. 151), (1. 152), которые при­
нимают вид
Р
=
±
0,5)-VA-^
(у _
_1
7
( -
3 >
2
P = G i? (F — S)~ X-%.
2
3
)
(7. 24)
t
Наличие этих интегралов позволяет свести систему (7. 21) при любых
стоянных х , х , х , х к одному дифференциальному уравнению в перемен­
ных R, V вида
2
3
4
7
= /(Д, F, х , х , х , х ).
7
х
4
3
Однако более целесообразно свести систему (7. 21) к одному уравнению
другого вида, в плоскости F, X. Из граничного условия Р =0
и интеграла
(7. 23) следует, что х = 0 , т. е. р =0 всюду в потоке. Условия на ударной
волне в безразмерных переменных примут вид
±2
3
B (V,-0,5)
2
= -0,5,
±
Я (7 -0,5) 7
2
2
а
+
=
( 7 .
GV +
t
2
5
R
- °- ) (т №
+ 0,5Р„ + G ) =
2 5 )
-0,50,,
2
G (F -.0,5)*=G (0,5)*,
8
где
2
1
е' — удельная энергия.
Из условий (7. 25) находим х =—
0,5 G , x =(0,5) G , постоянная х
находится из (7. 24) и (7. 25). Используя алгебраические интегралы из
системы (7. 21), получим уравнение
0
2
±
7
*v
+
vt(v-V*
2
-
0,5) + 0,5
4
^lri)
——/
У2 ( V
1
;
7
v
(у* +
26
(- )
X-4J
Если уравнение (7. 26) проинтегрировано, то зависимость R (X) нахо­
дится из уравнения неразрывности, a G (X) и Р„ (X) — из интегралов
(7. 22), (7. 24). Вблизи центра симметрии, т. е. при малых X, пренебрегая
в правой части уравнения (7. 26) членами порядка X F и выше, найдем
асимптотическую формулу
V=— c/lnX
(с=const). Соответствующие
асимптотические формулы могут быть получены и для других функций.
Энергетический параметр а, входящий в зависимость r
(t)=(ae' /рх) ^ ,
находится из интегрального закона сохранения энергии
4
2
1
2
2
0
1
а = 2TZ j (0,5fiF + 0,5P + G — G X" ) Хз^Х — Л ,
2
4
Ü
X
0
о
где, как и ранее, А — (безразмерная) работа над полем токов, поддер­
живающих в центре взрыва ток 1 (см. предыдущий раздел). Заметим, что
если вместо условия непрерывности р мы приняли бы условие [р ] = 0,
то пришли бы к заключению, что р „ = 0 всюду ' и задача сводится
к соответствующей для уравнений МГД при у = 2.
0
0
±
ц
213
При отличных от нуля начальных р и р задача перестает быть авто­
модельной. Приближенный учет противодавлений р ,
р
может быть
выполнен методом линеаризации, рассмотренным в главе 3 для уравнений
газодинамики.
п
±
п
±1
§ 3. Плоский взрыв при наклонном магнитном поле
Пусть в безграничном идеально проводящем газе произошло мгновен­
ное выделение энергии вдоль плоскости, т. е. произошел плоский взрыв.
Энергию, выделившуюся на единице площади, обозначим через Е . Счи­
таем, что в начальном состоянии газ покоился; давление p и начальная
плотность p постоянны. Начальное магнитное поле
постоянно по ве­
личине и направлено под некоторым углом а к плоскости взрыва. Не ог­
раничивая общности, можно считать, что поле имеет компоненты Н , Н
где ось у параллельна плоскости взрыва, а ось х перпендикулярна ей.
Из симметрии задачи следует, что она будет одномерной и все исходные
характеристики течения будут зависеть лишь от времени t и координаты х.
Возникающая плоская ударная волна распространяется в направлении
оси х. За фронтом ударной волны возникнет нестационарное течение,
для описания которого будем использовать уравнения для невязкого не­
теплопроводного совершенного газа. Для рассматриваемых течений имеем
систему уравнений
0
œ
œ
0
х
=-к w + л
д Н
у
д
Ы -•&*.)•
-
-ir —Tx( * y- * y^
=
V
уУ
H
H
V
=
COllSt.
Здесь i;^, ^ — компоненты скорости газа, р*=р-\-Щ/8ъ.
Из (7. 27) и термодинамических соотношений можно получить уравне­
ние энергии в виде
Условия на ударной волне (1. 107)—(1. 111) примут вид
(v -D)H -H v =-DH ,
xn
yn
x
yn
-D v -±H H =
yœ
(v*„ -D)P„ = -Dp
m
9œ
-D v
Pœ
xn
yn
x
-±H H ,
ytt
x
+ p* = p* ,
tt
yœ
(7. 28)
œ
Здесь индексом n отмечены параметры фронта ударной волны, D — ско­
рость ударной волны. Кроме условий (7. 28), имеем условие в центре
симметрии течения
М О , *) = 0.
(7.29)
Для решения задачи нужно найти функции v , v ,p, p, Н , х (t), удов­
летворяющие системе (7.27) и граничным условиям (7. 28), (7. 29).
x
214
y
у
п
При H =0
магнитное поле параллельно фронту волны. Соответствую­
щая этому случаю задача рассмотрена в § 2. Решение задачи при Н =?^0
усложняется наличием новой неизвестной функции v и увеличением числа
дифференциальных уравнений. Для полного ее решения необходимо при­
менять численные и специальные приближенные методы.
Отметим некоторые общие свойства решения задачи [1 ]. Система (7. 27)
и условия (7. 28) инвариантны относительно преобразования v' = —v ,
у
"
v' =—v , х' = — х. Это означает, в частности, что функция^ нечетна по
и при условии непрерывности решения в окрестности х=0 имеем равен­
ство v (О, t)=0. Таким образом, при х=0 скорость газа равна нулю.
Рассмотрим далее вопрос о законе затухания ударной волны на больших
расстояниях от места взрыва. По мере распространения ударной волны
от центра взрыва она будет затухать, а общая зона возмущенного движения
будет увеличиваться. Между центром взрыва и передним фронтом волны
будет происходить течение газа, сопровождающееся сложной картиной
взаимодействия магнитогидродинамических волн сжатия и разрежения.
На больших расстояниях ударная волна становится слабой. Так как эн­
тропия при переходе через слабую ударную волну меняется мало, то в не­
которой окрестности фронта волны течение можно считать изэнтропическим. По аналогии с газодинамикой можно предположить, что в некоторой
окрестности за фронтом магнитогидродинамической ударной волны те­
чение является изэнтропической волной Римана [ 1 3 ] . Тогда, применяя,
например, методы получения асимптотических законов затухания удар­
ных волн, рассмотренные в [7, 1 4 ] , можно найти асимптотический закон
изменения v в зависимости от х . Аналогично газодинамике или случаю
Л=0
имеем [7]
^ = Сх-\
(7.30)
где С — некоторая постоянная.
Используя соотношения (7. 28), можно установить соответствующие
асимптотические формулы и для остальных искомых функций.
Рассмотрим некоторые методы решения задачи. Для численного ре­
шения можно использовать метод характеристик. Этот метод позволил бы
достаточно точно описать систему магнитогидродинамических волн в об­
ласти течения, во всяком случае до момента образования Ё потоке вторич­
ных ударных волн. Однако этот метод достаточно трудоемок и неудобен
для расчета на вычислительных машинах. Ниже мы укажем более простые
способы расчета.
При Н
<^H , т. е. когда угол а мал, пренебрегая в (7. 27), (7. 28)
членами порядка v H по сравнению cH v , найдем, что задача об опре­
делении v , p, р отделяется от задачи об определении и . Если задача
о плоском взрыве для случая Н =0,
Оо=0 решена, то, используя резуль­
таты ее решения, v можно найти путем интегрирования второго урав­
нения системы (7. 27). В § 2 для расчета Н , и , p, р применен метод
интегральных соотношений. Если использовать результаты расчета,
полученные этим методом, то целесообразно применить его и ко второму
уравнению системы (7. 27) для определения v в случае малых о^.
Для расчета задачи при произвольном а представляется целесообраз­
ным использовать либо метод прямых, либо метод интегральных соотz
х
y
x
x
y
xn
п
п
хОЭ
yœ
0
y
x
y
x
x
у
х
y
у
х
y
0
215
Рис. 8 6 . Зависимости безраз­
мерного времени т и давления
на фронте плоской ударной
волны от координаты фронта
1 — соответствует
значению
ß=l;
2 — ß=0,5;i3 — ß=0
Рис.
8 7 / Зависимость
G
от
2 _
ß = i f 2 — 0,5; 5 — 0
n
V
и
yn
R
n
Рис. 8 8 . Изменение отноше­
ния тангенциальной
и нор­
мальной
составляющих
ско­
ростей за фронтом ударной
волны с ростом R ( G = G = 0 , 5 )
1
œ
S Л*
ношений, аналогичный методам, развитым выше. Здесь под методом пря­
мых понимается тот вариант метода интегральных соотношений, в кото­
ром между точками разбиения пространственной координаты на полосы
подынтегральные выражения, содержащие искомые функции, аппрокси­
мируются линейными функциями, т. е. интегралы по пространству факти­
чески вычисляются по методу трапеций. Преимущество применения ме­
тода прямых состоит в том, что система аппроксимирующих обыкновен­
ных дифференциальных уравнений имеет простую структуру.
Важными характеристиками течения являются величины v , р , р
Н и закон движения ударной волны х (£). Рассмотрим приближенный
метод определения этих величин независимо от расчета всего поля течения.
Так как в начальные моменты времени конечное магнитное поле слабо
влияет на течение газа, то зависимость v (х ) для малых х близка к газо­
динамической и имеет вид
т
n
уп
n
4
где V
x
216
п
пГ
п
:V
a
xJ *»
iï
n
=
X
E
nPœl 0'
<4
=
1
п
п
1
TPoo/poo, « =
(7.31)
a (у).
Зависимость (7. 31) аналогична формуле (7.30), и естественно пред­
положить (см. гл. 4), что V (R ) можно аппроксимировать формулой (7. 31)
для произвольного диапазона величин х . Используя (7. 28), (7. 31),
можно определить все искомые безразмерные величины на фронте волны
в зависимости от R или безразмерного времени т = Е~ сг^*р*Ч. Заметим,
что исследование этого метода в применении к задаче с Н —0 (и к задаче
газовой динамики (см. гл. 4)) показало его достаточно высокую точность.
Результаты расчетов приведены на рис. 86—88. В рассматриваемой
задаче, кроме у, имеются два безразмерных независимых параметра:
xn
n
п
1
n
х
П
И
На рис. 86 даны графики x(i?J и PjPœ{R )
Р
Т = 1Д, G = 0,5 и
различных ß. На рис. 87 приведены зависимости V
от R и G от R
при тех же значениях G , ß, причем V = uja , G = HH^nyp .
На рис. 88
представленоютношение составляющих скоростей v /и в зависимости от R .
Из приведенных результатов следует, что составляющая и за фрон­
том ударной волны ведет себя не монотонно, возрастая по абсолютной
величине от нуля до некоторого максимума в начале взрыва и падая до
нуля в поздней стадии взрыва. Это означает, что частицы газа, находя­
щиеся вблизи от центра взрыва, будут приобретать скорости, направлен­
ные почти по оси х. Для частиц же, лежащих вне некоторой окрестности
центра, начальные скорости будут направлены под некоторым углом
к оси х. Газодинамические параметры р ,
р и компонента скорости
v качественно ведут себя так же, как и соответствующие величины в за­
даче о взрыве без учета влияния магнитного поля.
n
œ
уп
n
n
n
2
œ
f/
œ
œ
n
п
пх
n
п
xn
§ 4. Сферический точечный взрыв
в постоянном поле
4.1. Общие замечания. Рассмотрим случай взрыва сферического то­
чечного заряда в покоящейся электропроводной среде. Будем предпола­
гать, что Н = |Д" | =const. Начальная плотность газа и начальное давле­
ние пусть пока также постоянны. Примем сферическую систему коорди­
нат г, 6, ср с центром в точке взрыва. Имеем следующую систему опреде­
ляющих параметров задачи:
х
Х
г,
6,
*, у, p
v
р , #!,
х
a
n, т,
v
Е.
0
(7.32)
Так как течение газа будет обладать осевой симметрией, то решение за­
дачи от другого координатного угла ср не зависит. Из определяющих па­
раметров (7. 32) можно образовать следующие безразмерные комбинации:
s
a
i = P?Pr i/*°.
(r» =
(0'*,
Y»
t° = г»
n,
m
(ff,
et? > r»).
(7. 33)
Из (7. 33) следует, что уже в этой упрощенной постановке задачи
о взрыве имеется четыре дополнительных безразмерных параметра ß,
Oj, n, m по сравнению с задачей газовой динамики для однородной среды.
217
Это значительно усложняет общее решение задачи, так как решение, по­
лученное для конкретной системы параметров X, а ß, n, m, не может быть
пересчитано на другие значения этих параметров.
При бесконечной проводимости o = œ по сравнению с аналогичной за­
дачей газовой динамики остается дополнительный безразмерный пара­
метр ß. Кроме того, течение остается осесимметричным и решение будет
зависеть от угла 0.
Перейдем к более подробному рассмотрению задачи для случая бес­
конечной проводимости газа [15, 16]. Система уравнений МГД в сфери­
ческой системе координат возьмем в виде
1?
2
~ § - (r pv
sin ö) = r sin 6 (it + « ) —
™ = ^
+ P*-|f-,
r
rT
*
s i n
6
^ 9 _ —тс^
^fHLi= - A
( r 2 p
c
гг
- 0 9 = P ^ + P* —-gf-,
= P* = P + -f^-.
w
2
(r sin 6ти ) — - J - (r sin 6 ^ ) ,
eQ
n = py i; — -^H H
rï
o
,;
Q
s
s i n
+
r
JL. ( 2
Г
e
s
r
i
n
=
s
K^ ,
R
бц^) 4- .А. (r3 in 0тг ),
S
9г
6) - 4 ( r p , 9 sin 6),
•i-(r sin 6Я ) = -^-[sin Ô ( ^ Я _
Г
в
(7. 34)
v H )l
b
r
_д_
dt
_д_
± (r* sin № ) + ( r H , sin 0) = O,
r
ôr
v
ы
х
1
"
db
где г — радиус, 6 — широта, отсчитываемая от направления вектора Н
{см. схему на рис. 89), S , S — составляющие вектора потока энергии,
Я , Я — радиальная и трансверсальная составляющие магнитного поля,
v , и — составляющие скорости.
Условия на ударной волне имеют вид
г
r
г
r
B
е
в
[p (u - D)] = О,
N
[p (v - D ) v
N
L
x
- ± H H ] = О,
N
X
J
IS] = [p {v -D)(^
N
f Я ^ - iT
T
+
- D)] = О,
+ JL
(7.35)
2
- Z>) Я _ H (vH)\}
N
= 0,
[Я*] = 0.
Здесь JET — касательная составляющая магнитного поля,
— нормаль­
ная составляющая магнитного поля, квадратными скобками обозначена
разность величин по разные стороны от поверхности разрыва, D — ско­
рость ударной волны. Величины за фронтом волны будем обозначать ин­
дексом 2.
t
218
Если r (6, t) — длина радиус-вектора ударной волны, то имеет место
соотношение
2
В рассматриваемом случае Н^ , #
2
H
N2
= Н
В2
sin ф + Я
•
!
sm ф =
т
т 2
т 2
cos ф,
И
г
2
7
связаны с H , Н
r2
Я
т 2
(fro
= #
9 2
I
В2
cos ф — #
зависимостями
т 2
sin ф,
Т Т /
cos ф = Рг.
ттг-,
7
дЬ '
Аналогичные соотношения имеют место и для
компонент скорости v.
Из требования симметрии движения имеем условие для v :
d
v (r, 0, t) = v,(r, ix, *) = 0.
(7.36)
B
Из системы (7. 34), начальных и граничных условий следуют интеграль­
ные законы сохранения энергии и массы
О
о
+
(0,
Чг(т=г -ё-)И *)
sin6d6
'
7 37
(- )
о
2
j j рг sin 6drd6 = i
0 0
P l
J r| (0, t) sin 6d0.
(7. 38)
0
Решение задачи сводится к интегрированию системы (7. 34) с условиями
(7. 35), (7. 36). Ее решение для большого диапазона времени может быть
дано численными методами и применением асимптотических законов за­
тухания ударных волн на больших расстояниях. Для численного реше­
ния этой задачи можно схематично наметить следующие методы.
1. Уравнения МГД берутся в дивергентном виде (7. 34). Все искомые
функции представляются тригонометрическими полиномами степени п
с учетом их симметрии. Коэффициенты этих полиномов будут некоторыми
неизвестными функциями r, t. Выбирая s лучей в октанте 0 ^ 6 ^ тс/2,
требуем удовлетворения уравнений системы (7. 34) на этих лучах.
Эти условия дают нужное число дополнительных аппроксимирующих
уравнений в частных производных по t и г. Полученная аппроксимирующая
система решается каким-нибудь из известных численных методов (метод
219
конечных разностей, метод характеристик, метод интегральных соотно­
шений) с учетом соответствующих граничных условий задачи. Отметим,
что аналогичные методы развивались для некоторых задач газовой дина­
мики.
2. Применяем последовательно метод интегральных соотношений.
Вводя интерполяционные полиномы по г и 6, придем к аппроксимирующей
системе обыкновенных уравнений по времени, которую следует интегри­
ровать численно на ЭВМ.
3. Используем конечно-разностные методы с введением искусственной
вязкости или разностных схем с размазыванием ударных волн аналогично
тем, которые широко используются в обычной газодинамике.
При расчете задачи одним из упомянутых методов начальные данные
можно задавать, используя результаты решения задачи при малых t
на котором остановимся подробнее ниже.
4.2. Определение магнитных полей в начальной стадии течения. Для
достаточно малых t ударная волна будет достаточно сильной, и при уме­
ренных магнитных полях в начальной стадии взрыва можно не учитывать
влияние поля на движение газа и определять лишь возмущение магнит­
ного поля ударной волной. Для грубой оценки пределов применимости
этого подхода воспользуемся тем фактом, что магнитное поле будет слабо
влиять на движение, если полная магнитная энергия, заключенная в воз­
мущенном газе, мала по сравнению с энергией взрыва.
Если г* — допустимый радиус ударной волны, то для равенства энер­
гий должно выполняться условие
r
Е
гЧг
7
о = ^\Ш
39
(- >
или
Яо =
(7.40)
4Ч
6
Отсюда имеем условие малого влияния поля
r<r,,
r . ^ f .
(7.41)
Из аналогичных рассуждений имеем оценку для пренебрежения про­
тиводавлением p :
t
r < ^ = ( A ^ ) V
(7.42)
Если r->> r , г > r , то необходимо учитывать как противодавление, так
и влияние поля Н на движение газа. При r < г <
следует учитывать
противодавление, -но можно не учитывать влияние поля на движение.
При г << r , г < r можно не учитывать противодавление и влияние поля
на движение. Будем считать выполненными оба неравенства (7. 41),
(7.42).
Для сильной волны в условиях на ударной волне можно пре­
небречь величиной р по сравнению с р у| и пренебречь Н в условиях,
вытекающих из закона сохранения импульса и энергии. При этом для
2>
Р2 будем иметь обычные газодинамические условия, а скачок поля
¥
w
1
¥
¥¥
w
±
г;
220
2
х
определится из соотношения {Н (v —D)}=0.
Так как в рассматриваемом
случае v не зависит от б, Н и является известной функцией из решения
газодинамической задачи, то уравнения индукции системы (7. 34) инте­
грируются и зависимость компонент магнитного поля от г, б, t определяется
формулами
х
2
х
^з
^ = ^ » . [ ^ ( 1 - 4 ^ ^ ( 4 ^ - 1 ) 7
X
4
X
[
^
(
.
н, = - 1±|я, -.[1*1(1 + $у)Г№&т
1
ÎL
-
^
F
)
}
\
- ОТ х
llF
3
x[W( - i )T'
<«>
Г
20
2Т
7+1
' 2f — 1 '
5 '
3f — 1
'3(7-2)'
« — 27 + 1 '
о
2
3
5
(7-2)
где
a = const,
2Ô= ( - )
R
57
5 (7
*
(7.44)
Формулы (7. 43) непосредственно применимы для вычисления распре­
деления Н , Н при условии *р7^=2. Случай у = 2 является особым
{см. гл. 2), и его нужно рассматривать отдельно.
Так как по предположению поле не влияет на движение, то вид решения
для искомых функций v , p, р совпадет с газодинамическим решением
(2. 5 ) - ( 2 . 10).
Выписанное выше решение (7. 43) было
получено впервые в работе [15]. Обобщение
решения (7. 43) на случай взрыва с перемен­
ной начальной плотностью р =Аг"
было про­
ведено Е. В. Рязановым [16]. Он нашел,
в частности, что при о)=(7—т)/(т+1) решение
для поля приобретает простой вид:
г
в
r
ш
±
H ^ H ^ - V
На
:
_
соз б,
1+4^X^-1)
7—1
s
i
n
6.
(7.45)
1
Из формул (7. 41), (7. 43) следует, что ком­
поненты 7 , / равны нулю, а компонента /
Пропорциональна sin б. Зависимость Н/Н от
Х=г/г
для 6 = 0 , 45, 90, 180° при = 1 , 4 по­
казана на рис. 90.
Г
9
?
г
20
Т
Рис. 9 0 . Распределение интенсивноствГполя за фронтом волны в начальной стадии сферического взрыва
Jv
'
'
^^^а^^^пя—**~fm
'°
'^
221
Используя формулы (7. 43) и дифференциальные уравнения силовых
линий, можно определить деформацию силовых линий потоком газа.
Для рассматриваемого случая дифференциальное уравнение силовых ли­
ний имеет вид
dr rdb_
н
Н *
г
ь
Используя формулы для Я , Н из (7. 43), находим
г
Ь
(7.46)
Уравнение (7. 46) можно проинтегрировать, учитывая зависимость X (F).
В результате получим в параметрическом виде V (6) уравнение силовых
линий. Так как это выражение достаточно громоздко, то рассмотрим про­
стой путь приближенного решения уравнения (7. 46).
Из неравенства (7. 44) следует, что параметр V меняется слабо в об­
ласти изменения X от 0 до 1. Полагая в уравнении (7. 46) V=V^ находим
r = r„C(smb)-,
(7.47)
где С — постоянная интегрирования,
a=l—5/2V^ > 0. Уравнение
(7. 47) дает приближенно форму силовых линий магнитного поля за фрон­
том ударной волны. Качественная картина изменения силовых линий по­
казана на рис. 89.
4.3. Учет влияния магнитного поля на движение газа. Для учета влия­
ния поля на рассматриваемое течение можно применить метод линеариза­
ции. В работе [16] отмечалось, что влияние магнитного поля можно найти
путем линеаризации, используя малый параметр p>=(a/E yt*r $H ,. где
2о — радиус ударной волны в соответствующей задаче без магнитного
поля, а=const. Предварительные исследования задачи этим способом
были проведены Е. В. Рязановым [16].
Рассмотрим детально идею линеаризации, применяя, на наш взгляд,
более подходящую систему безразмерных переменных и взяв за параметр
линеаризации величину q=H /4v:Dlp ,
где D — скорость ударной волны
сильного взрыва без поля, p =ar~™ (ü>=const). Будем считать противо­
давление, равным нулю (Pi=0), а начальную плотность переменной:
р^аг'™.
Заметим, что противодавление можно учесть, используя прин­
цип суперпозиции линейных добавок.
Введем следующие безразмерные переменные:
:
o
2
1
г
2
10
0
10
V
r =
D
l
Jr( >
Я,
6),
p = P D*P(\,q,b),
10
V ==
t
H
r
х
б
А ) / е ( > Ъ 6)
= Hfi (k,
P=;Pio£(V Ъ )>
q, 6),
r
H, = Hfi,(\
8
№ •
=^-
g, 6),
е-«>
После преобразований система уравнений МГД (7. 34) примет вид
„г
222
/л
SÛ_
дР
ге„
дО
г
1
д
„
2
-i
%
( 2 -
w
- l ) p
L (P)
+
+ r a l r ^
x
s
i
n
e
f
+
) ] =
0
^
r
f
+
±
^
,p[^(m+
+
(7.49>
'
см/A - ад=о-
м^е)+! i
Здесь Z( и L j — операторы:
X9
£
хе = * + x + / г - J f + х Ж »
L
£
> = -4
+ 4{-
6 = 2 + 8(«,_2).
Кроме того, из уравнения div H = 0 имеем
Х
: Ж^
2
) +
етж(^п8)
= 0.
(7.50>
Далее введем обозначения
r
• R = -*ÏLJL
# =
9
(7.51)
Условия на ударных волнах (7. 35) в безразмерных
(7. 51) запишутся так:
P
i
- U f
w
R- Uf
x2
#2 ( /
№
7=Tï + ^
-
U) =
K
I T '
i
+
+ ^ \ G ^ - ( P
q ( G
- U R - ° ,
(1 -
G
m
G
m
f
T
x
2
+ T (1 -
- G
2
-
m
G
z%
x
) =
l
переменных (7.48),
0,
G J
=
0,
(/
-
U) =
G U,
= 0,
G
N2
(G ~
T2
(
zl
m
=
•
'
G.
m
Заметим, что предпоследнее условие в (7. 52) есть ударная адиабата.
Мы используем ее вместо уравнения энергии. В рассматриваемом при­
ближении форма ударной волны будет отлична от сферы (см. схему на
рис. 89). С помощью приведенных кинематических и геометрических соот­
ношений для фронта ударной волны находим
(Л+4^
и
—
д
R'Q
/т2
=
Л
/г2"д
У
J
N2 —
' г2
R
Н/ег'д"»
щ
„
д
/ 82
R
Д »
Щ
^ N * = G ~д
^е»~д">
H
^7 5 3 ^
Представим любую из искомых функций
(X, g, Ö) в виде .F (X, g, ö)—
=F (l)+qF
(X, 9)+o (?) и обозначим f ( X ) = / (X).
0
1
r0
0
223.
Проведя линеаризацию системы МГД (7. 49), (7. 50), по параметру q
получим уравнения для функций F :
x
go
£
[<* +
х)
U -
Ь
Ж + /о
Щ
+ ft fa - * 4 Г + /о I )
=
0
2
d G
/пг
A.
~
' °
.
m
(?Х
6> GQ
0
~
Чо"^—1
1
d
XsinÖ
—X
. д Р
1
21
h •
т~.
0
dG
f)6
/7
e o
'
-
IT*"^ »
(/.оо;
-(go/eiSine) = 0,
(7.56)
дЬ
1
Г д
• (/„ sin 6)1 + тЛ ^-А
- X ^ L + AG -
±-[sin 6 ( / С + / G
rl
_X.!^S1 +
ï
0
k G
^
n
=
И
- 1 ^ [ X (/ G - /
0
91
r l
r l
G
9 0
9 0
(Х*/ ) = О,
(7. 57)
G / )],
(7. 58)
0
-
r0
G J
n
91
(7. 59)
) ] ,
+ i j ^ s i n ^ O .
(7.60)
Последнее уравнение получено из (7. 50) и может быть использовано
вместо одного из уравнений (7. 58) или (7. 59) (см. об этом замечание
в § 3, гл. 1).
Эта система МГД обладает замечательным свойством, а именно, урав­
нения, определяющие газодинамические функции / , / , Р g , отделяются
от уравнений для 6? , G . Причем для функций с индексом 0 решение га­
зодинамической системы известно и приведено в главе 2, а для G , G
имеют место уравнения
г 1
rl
е 1
ъ
L
ei
r0
Q0
Решение уравнений (7. 61) было найдено в предыдущем разделе (см. фор­
мулы (7. 43)), где мы исследовали задачу для слабых полей. Можно фор­
мально убедиться в том, что функции (7. 43) удовлетворяют уравнениям
(7. 61).
Если газодинамические функции / , / известны, то уравнения (7. 58) —
(7. 60) дадут возможность определить поправки к полю G , G . Таким об­
разом, основная задача состоит в определении газодинамических добавок
/ri» /ei» #ь -Pi
системы неоднородных линейных уравнений (7. 54)—
(7.57).
Для координаты ударной волны и ее скорости U примем
г 1
е 1
r0
и
з
R = l+qR
v
224
eo
ü =
l + q ü
v
(7.62)
тогда из (7. 53) между U и R следует связь:
x
x
U = (\+k)R .
1
(7.63)
1
Так как ударная волна отлична от сферы, то в линейном приближении для
любой функции F (X, g, 6) имеем
^ = F (l) + ^ ( l ,
0
в) + ( ^ - )
a
Л
1
?
(F
= F\
2
R = R 2
(7.64)
).
Х=1
Линеаризация условий на ударной волне с учетом (7. 62)—(7. 64) дает
следующие соотношения:
G ^
=
Pi,
G
M
=
cos Ь,
G
9
0
(/
2
- l )
0 2
=
- . G
m e
S
=
G
(G?o2- sin
Wo)* - «/oJ Ri - Вл/оя + i
((*ö)s—
л
?
9
0
2
(7.65)
,
9) - 0,
+ sin G] = 0,
eo2
{(/;) #20 + №0)2
1) +
2
=o,x=i)'
/о2 -jf- + /ей + cos 6 [G
r
_ l ± l
,
1
l
- /,12 + Wo)* -
gW12 + gll (/02 -
9
+ «tfoJ (/02 -
2
1 ) - «>} Rl +
+ (1-^02)^1 = 0,
cos
02
G o2 ^
+
r
H
2
™
e [/
^ 1 2 -
G
L
+
+
m
у (*;)
/
2
( G
9
9
1
O
2
)
]
2
_
G
яЛ
9
(/
0
[/
2
-
02
+
R L 2
1)
(7. 66)
( / ; )
=
2
R ,
-sin
rl2 +
G
G
( ro)2
— 802
S
=
i
n
u j
W,
P02 ~ <* ^ «Г02] *1 +
G
-
+
(G
6
-
cos
9
Ä
,
+ Sin 6}» = 0,
802
4Jjf- -
Линеаризация интегральных законов сохранения энергии и массы дает
зависимости
i f i (
M
i
^
a
+ ^ r + i G
S
) X 4 X
+
о Lo
+
lu
г
( А + - ^
г
) 1 sin 6d9 = j ,
1
(7. 67)
sin 6й9 = 0.
îli
о Lo
Задача заключается в решении системы линейных уравнений в частных
производных (7. 54)—(7. 57) с граничными условиями (7. 66) на ударной
волне (при Х=1). Кроме того, мы имеем условие симметрии / (X, тс) =
/ei
0 ) = 0 . С помощью этого условия (и интегральных соотношений)
можно определить форму ударной волны в рассматриваемом приближении.
Анализ уравнений и граничных условий показал, что решение задачи
следует искать в виде
0 1
==
2
g l
= М (X) + sin Ш (X),
0
г
Р = ти (X) + sin в
2
х
0
a
/ri = ?H)W + ?riWsiii e,
hi = *п M sm 26,
15
Тр. Математ. ин-та, т. G X I X
(X),
(7.68)
R = R
x
%
1Q
+ R
2
n
sin 0.
225
Заметим также, что мы имеем в соответствии с ( 7 . 4 3 )
Gro = t M cos 6,
G = —ф (X) sin 6.
B
(7.
в
69)
Если подставить решение (7. 68) с учетом (7. 69) в уравнения (7. 54)—
(7. 57), то переменные разделяются и мы получаем для семи неизвестных
функций, входящих в (7. 68), системы обыкновенных дифференциальных
уравнений и соответствующих граничных условий при Х = 1 . Решение этих
линейных систем можно получить численно, используя методы, развитые
в главе 3 при рассмотрении одномерных задач. При решении линейных
систем следует использовать интегральные законы (7. 67) как для конт­
роля точности вычислений, так и для определения постоянных i ? , Ä .
Отметим, что для особого решения (2. 28) при а>= ш линейные системы
являются системами с постоянными коэффициентами. В этом случае
(как и для одномерных задач) задача отыскания решения сводится к чисто
алгебраической в смысле отыскания собственных значений и произволь­
ных постоянных, входящих в решение.
10
u
х
Таким образом, приведенный анализ позволяет сделать вывод, что
решение рассматриваемой задачи при малых g имеет вид
2
р = аг£Щ [Р (X) + g (* (X) + к, (X) sin 6) + о (q)],
0
0
2
Р = or* [g (X) + q (М (X) + М (X) sin 0) + о (д)],
0
0
v = D [/о (X) + q (
r
0
? r 0
г
(X) +
2
? r l
(X) sin 0) + о (g)],
D
^8 = o [9<Pei M sin 26 + 0 (g)],
H r
H [t (X) cos 6 + qG
1
(X, 6) + о (g)],
rl
Я = H [ - ф (X) sin 6 + gG (X, 6) + о (g)],
9
1
0
61
2
r = r (t) [1 + g (Д + R
2
20
n
sin 8) + о (g)],
н\
=
q
10
D
^ ï?lQ
'
Заметим, что в рассматриваемом решении есть аналогия со случаем пере­
менной плотности по высоте (без магнитного поля), когда распределение
плотности по z симметрично относительно положения z=0 (см. работу
[17]). Заметим также, что случай движения поршня в бесконечно проводя­
щем газе с магнитным полем (как автомодельное, так неавтомодельное ли­
неаризованное решение) рассматривался в работах американских авторов
(см., например, [18]).
Для расчета параметров фронта волны на больших расстояниях от
точки взрыва можно использовать асимптотические законы затухания
слабых волн, изученные нами в работе [7]. В этой работе приведены
асимптотические формулы, дающие возможность построить приближенную
теорию формы ударной волны, основываясь на способе, аналогичном тем,
которые были изложены в главах 4, 5 и § 3 настоящей главы. Мы не будем
здесь останавливаться на этом подробно.
226
§ 5. О возмущении произвольного
слабого магнитного поля
Рассмотренная задача о возмущении постоянного слабого магнитного
поля Н при распространении сильной ударной волны сферического точеч­
ного взрыва в бесконечно проводящем покоящемся газе может быть обоб­
щена на случай любого слабого поля Н как при сферическом, так и при
плоском и цилиндрическом взрывах [19]. Будем также считать ударную
волну достаточно сильной и предполагать p v\ > Щ/8п, г < г , , где г
вычислен по некоторой средней величине для поля Н . В первом прибли­
жении пренебрегаем влиянием поля Н на возмущенное движение газа.
Будем следовать нашей работе [ 1 9 ] .
г
1
2
¥
г
г
В случае сферической ударной волны (v=3) задачу рассматриваем
в сферических координатах г, 0, ср, в случае цилиндрической волны (v=2)
примем цилиндрические координаты г, ср, z, а в случае плоской волны
(v=l) — декартовы координаты г, г/, z.
Для определения возмущенного поля H можно воспользоваться урав­
нением индукции (1. 76). Однако здесь удобно идти более простым путем.
Если учесть уравнение неразрывности и перейти к переменным Лаг­
ранжа (за лагранжеву координату примем начальную координату частицы),
то уравнение индукции преобразуется к виду (1. 78) (более подробно
см. § 3, гл. 1)
=
T
( l t
g
r
a
d
« )
r
>
'
здесь принято Н =Ш
р = р г — радиус-вектор частицы. Так как газо­
динамические переменные можно считать зависящими лишь от лагранжевой координаты г и t, то из уравнения (1. 78) с учетом газодинамического
уравнения неразрывности находим [19] следующие формулы для компо­
нент магнитного поля в зоне возмущенного движения:
0
Ъ
0
ь
0
Я, =
Я „ ф " .
Ы
^
)
-
Ш ±(0™™
Ш, =
,
Ж
,7.70)
Здесь 0)^=1 при v = 2 , 3, %=0 при v = l , Н — компоненты вектора маг­
нитного поля соответственно в сферической, цилиндрической и декарто­
вой системах координат. Из (7. 70) следует, что соответствующие условия
на ударной волне для поля выполнены.
В дальнейшем для простоты будем считать начальную плотность р
постоянной. В этом случае для г/г имеем зависимость (см. гл. 2)
4
0
0
/ту _
_р_ / Р У
(1У
Т
Здесь г — координата ударной волны, р — давление за фронтом волны,
зависимости р/р , р / р , р/ Ро
^ 2 известны из аналитического решения
задачи о сильном взрыве (см. гл. 2).
Рассмотрим частный случай постоянного начального магнитного
поля Н . Пусть в сферическом случае начальное поле направлено по оси z,
в цилиндрическом составляет угол а с осью z, а в плоском имеет компо­
ненты Н , Н , Н . Для сферического и цилиндрического случаев имеем
2
2
о
2
т
г
г
2
г
г1
Н
п
Н
п
у1
г1
= Е cos 6,
Н
= Н sin
Н
х
х
а,
21
21
=
sin 0,
Н
Г
= Н sin
г
а
Я
sin
ср,
= 0
31
— Н sin
Н
3 1
(v = 3);
г
а
cos
ср
15*
(v =
2).
227
В рассматриваемом случае из (7. 70) получаем
2
я^я.созе^) ,
H = H,
v
sin a sin
=
Ф —
sin e-JL,
Н = Е
,
т
Г о
л
sin a
P i r
1 С
(v=3),
9
cos ср
T
Я, = Я
я = о
ова±.
°
(v = 2),
(7.71)
Как уже было отмечено выше, частный случай постоянного началь­
ного магнитного поля был рассмотрен впервые в работе [15]. В этой
работе для отыскания компонент магнитного поля был применен метод
непосредственного интегрирования уравнения индукции. При
=3,
Я = с о п 8 1 из (7. 71) можно получить решение (7. 43)—(7. 44). Слу­
чай цилиндрического взрыва, когда поле имеет лишь одну компоненту
H , рассматривался в § 2. Вопросы взаимодействия плоской ударной
волны со слабым магнитным полем, не связанные с задачами теории
взрыва, изучались в работе [20]. Заметим также, что в случае v = 3 может
быть найдено возмущение поля при взрыве в несжимаемой жидкости.
В этом случае в формулах (7. 70) следует считать р= р . Из уравнения не­
разрывности в переменных Лагранжа найдем
v
1
z
х
^
=
9%
(2 =
1 - £ ) .
Здесь I — радиус каверны, зависимость которого от t известна (см. § 7,
гл. 1).
ls
В этом случае из (7.70) находим H = H Q ,
r
rl
lä
H =
H Q~ ,
b
n
8
Н = üT^S^ . К сожалению, это решение теряет смысл вблизи границы
?
каверны, так как Н и
обращаются в бесконечность при
в
г=1.
§ 6. Распространение ударных волн
при конечной электропроводности среды
6.1 Деформация слабого поля. Предположение о бесконечной проводи­
мости среды часто не может быть оправдано. Так, при движении воздуха
за фронтом сильной ударной волны (М=20) при характерных размерах
около 1 м магнитные числа Рейнольдса имеют порядок единицы.
Приведем некоторые известные значения проводимостей для воздуха за
фронтом ударной волны, для воздуха с добавкой цезия, для ионосферы
на высоте 350 км, для морской воды и для ртути.
Среда
1
а (сек- )
Воздух
М=20
2-10
12
Воздух
М=12
10
1 1
Воздух
+0,01%Cs
М=12
2-10
1 3
Ионосфера
(350 м)
10
1 1
Вода
(морск.)
2 -10
10
Ртуть
10
1в
Для воздуха здесь даны значения a за фронтом ударной волны, M — число
Маха. При больших характерных масштабах явления, например при мощ­
ных взрывах в ионосфере, числа R могут быть больше 10, и здесь при­
менение приближения бесконечной проводимости может быть вполне
оправданным.
m
228
Предполагая значения а конечными, возьмем случай слабых магнит­
ных полей. Пусть начальное магнитное поле однородно. Рассмотрим лишь
случай цилиндрического взрыва, изученный нами в 1960 г. и опубликован­
ный впервые в работе [9]. Позднее аналогичные исследования проводи­
лись А. Сакураем [21].
Уравнения движения возьмем в виде
dv __
dp*
2(v — l) h
,
!
d
p
d
v —1
v
n
no\
7 73
т^=*(£+^)-^4(^-^).
<- >
1
T /
df ~
4 d r ^~
r
)•
Я
A = A. + ( , - l ) A .
p* = p + A,
f
Пусть / ^ = 0 , h y^0.
z
— —i
r —
2
/72
А, = - £ .
Введем безразмерные переменные
P _
7 7
л_
x
r
p_
P
Если искать решение системы (7. 72)—(7. 73) в виде
/ = / о M + ?Л (*) + *(?).
g = *„(*) + «*! (*) + <>(?),
^ = Po (*) + ? Л W + « (<7)>
G = G (I) + çGj (X) + о (g),
0
то, повторяя рассуждения предыдущего параграфа, получим, что в пер­
вом приближении величины / , g , Р будут удовлетворять уравнениям
и соотношениям для сильного взрыва в газе, а для функции G из уравне­
ния (7. 73) находим
0
0
0
0
^ = i(^f)=
const
-
(7.76)
Из условий на ударной волне (1=1) для случая конечной проводи­
мости (см. гл. 1) получаем (перед волной газ покоится)
G
G
02 = 0V
G
f 02 0 2 — &02 {ж) 2
0
=
&01
~
(ir)ol
#
Газодинамические функции будут удовлетворять обычным условиям на
сильной волне. Мы предполагаем, что к =^к
в общем случае. В силу не­
прерывности магнитного поля впереди ударной волны (область 1) возни­
кает течение. В первом приближении, однако, скорость / впереди ударной
02
01
0
229
волны равна нулю, поэтому уравнение индукции (7. 76) в области 1 при­
мет простой вид:
*oi
•4№) + > - & = оà
d G
0
\
^
d G
0
(7.77)
В области 2 (за фронтом ударной волны) имеет место уравнение (7. 76)
при к =к . Уравнение (7. 77) интегрируется, и его решение с учетом усло­
вия G - > 1 при X - > оо имеет вид
0
02
00
G
=
ul
\ - A
x
dx
\ e - * > l * » ^ ,
A — произвольная постоянная.
L
Для области 2 из (7. 76) получим систему уравнений
Go=G /X,
0
Q = ^ - [ ( / _ X ) Q + XG (/o + ^ ) ]
0
0
0
0
(7.78)
>
где / (X) — функция, известная из решения газодинамической задачи.
Исследование системы (7. 78) показало, что она допускает ограниченное ре­
шение вблизи Х = 0 , причем для этого решения верно разложение
0
G = c [ l + a P + O(X%
0
1
1
где с — произвольная постоянная,
а ^=И^к .
г
г
ог
Если ввести новую переменную G =G /c
то в центре симметрии будем
иметь условия
ö(0) = 1,
Й(0) = 0.
(7.79)
0
0
u
Система уравнений для G, 2 в области 2 интегрировалась численно от
центра до ударной волны. Далее из условий на ударной волне для функ­
ции G определялись произвольные постоянные с и А а следовательно,
и функция G В областях 2, 2. Интеграл в формуле для G находился по
таблицам.
Полученное решение позволяет в первом приближении определить
структуру магнитного поля при прохождении ударной волны. Вычисле­
ния проводились для различных
значений параметров k и у. Ре­
5
зультаты расчетов для т= /3 от­
ражены на рис. 91. Проведенные
исследования показали, что с
уменьшением параметров к (к ^
^ к ) максимум H/H нарастает
и стремится к идеальному значе­
нию, равному (Т+1)/(т—1) Р
Ki ~* О* причем распределение
±
ъ
0
01
0i
01
01
02
œ
П
И
Рис. 9 1 .
Распределение магнитного
поля по пространству для различных
значений k
(7= / ,
v=2)
б
oi
IS
3
1 — fe =
ft =0,01;
2 — 0,02;
Л 4 — fcoi=0,l, ft =0,2
of
02
02
3 — 0.1;
H/H стремится к зависимости HIH = р/ p (это вытекает из интеграла
вмороженности при бесконечной проводимости).
Таким образом, получено решение, характеризующее структуру из­
менения поля. Нахождение последующих приближений позволит опреде­
лить взаимодействие движения и поля и уточнить структуру изменения
поля при прохождении ударной волны в электропроводном газе. Анало­
гичные исследования можно было бы провести для плоского и сфериче­
ского взрывов, причем в случае взрыва сферического заряда следует оп­
ределить две компоненты поля Н и Н , которые будут зависеть как от X,
так и от угла в.
œ
œ
г
œ
в
6.2. Течения при малых и конечных числах R .
В теории ударных
трубок и в опытах с разрядами вдоль проводников может возникнуть не­
обходимость изучения распространения плоских и цилиндрических удар­
ных волн при малых магнитных числах R . Эти вопросы возникают также
в теории взрывных магнитогидродинамических генераторов. Задача о ци­
линдрическом и плоском взрывах может быть использована также при изу­
чении вопросов обтекания тонких затупленных тел гиперзвуковым пото­
ком при наличии магнитного поля.
m
m
Излагаемые ниже результаты в основном опубликованы в 1962 г. [22].
Позднее течения при малых R изучались американским ученым П. Ликодисом [23].
m
Будем считать проводимость газа а конечной и предполагать, что имеет
место зависимость
(7. 80)
a = o y»,
l P
где а
и
72, m — постоянные, р — давление, р — плотность газа.
Пусть магнитные числа Рейнольдса малы
(7.81)
Здесь и — характерная скорость, v — магнитная вязкость, I — харак­
терный размер, за который следует взять или высоту ударной трубки,
или средний радиус ударной волны. При малых R можно пренебречь
обратным влиянием течения газа на величину электрического и магнит­
ного полей.
m
m
При больших числах R следует учитывать влияние течения газа на
изменение магнитного поля. Будем считать газ совершенным с постоянным
отношением удельных теплоемкостей.
Обозначим через е величину энергии взрыва, рассчитанную на еди­
ницу длины в цилиндрическом случае и на единицу площади — в плос­
ком случае. Предположим также, что вектор напряженности магнит­
ного поля H перпендикулярен вектору скорости течения v. В цилиндри­
ческом случае H может иметь как осевую Н , так и азимутальную Н ком­
поненту. В плоском случае магнитное поле считаем направленным по оси
z перпендикулярно направлению движения газа. Вектор напряженности
электрического поля JE перпендикулярен Н.
m
0
г
?
231
Решение рассматриваемой задачи сводится к интегрированию системы
уравнений МГД, которую возьмем в виде
• i f + pdivt> = 0,
^
+
T
pdivt>=( -l)£
T
rotlî=—J,
с"
/ Ц / Х Я ,
;
j = a(E + ±vXH)
f
(7.82)
%
rotJEJ = — d i v J T = 0 .
dt
с
(7.83)
1
4
7
При этом следует учесть, что вектор v направлен перпендикулярно JE и H
и все искомые функции зависят лишь от времени и одной координаты
г — расстояния от оси симметрии или от плоскости взрыва. Из системы
(7. 82)—(7. 83) для данного случая имеем уравнение энергии
J
éHS+ ^}+ï{'-4 ?+îïï)} ='"^ï
7 84
<->
При взрыве по газу начнет распространяться ударная волна. Условия на
ударной волне имеют вид
[p(v-D)]
= 0,
№ -
д
[ v(v-D)
+ p] = 0,
?
( 7
) ( ? + 7 ^ ) + ^ ] = °.
[ Н ] = 0,
[ Щ = 0,
'
8 5 )
(7.86)
где квадратными скобками обозначены разности значений величин на сто­
ронах поверхности разрыва, D —скорость ударной волны, Е — касатель­
ная составляющая электрического поля. Если считать ударную волну
сильной, то можно пренебречь величиной начального давления газа
по сравнению с давлением за фронтом ударной волны.
Рассмотрим задачу о сильном цилиндрическом и плоском взрывах в газе
в предположении, что R малы, начальная плотность газа р постоянна,
начальное электрическое поле отсутствует, а начальное магнитное поле
зависит от координаты следующим образом:
т
m
±
2
ш
Н = *г
( х = const),
х
(о=0,
если Н=Н ,
(7.87)
1 =
ш=— 2, если v = 2 ,
2
Н=Н .
р
2
Выражения для у и f — проекции силы / на направление г — будут
r
/ » = ^ { я | + ^-1)Я»} «,
У
+
и =
(7.88)
В этом случае система уравнений движения газа, полученная из (7. 82),
будет содержать размерную постоянную
2
х = х а с" ,
1
1
[х] =
1
m
nr
m
1
M ^^L ** *- T**- .
Решение задачи будет зависеть от следующих определяющих размер­
ных параметров: r, t, е , р х. Из теории размерностей следует, что задача
о взрыве будет автомодельна, если выполнено условие v (2т—1)—2 (<*>+
+1)=0.
0
232'
ъ
Введем безразмерные переменные V, Л, Р и X по формулам
v = jV(X),
p = p Ä(X),
' p = £p(k),
1
X=.i-
Pl
(7.89)
где г — радиус ударной волны.
2
В силу автомодельности для г имеем
2
r =(i-)
1 / v + 2
i^;
2
g o =
(7.90)
a s >
где е — некоторая постоянная, имеющая размерность е , а — величина,
Способ вычислений которой будет объяснен ниже.
Учитывая (7. 80), (7. 87)—(7. 90), из системы (7. 82) получим следую­
щие дифференциальные уравнения для автомодельных функций У, Л и Р:
0
2
X {(V — В) RV! + P) = R (V — F ) — 2Р —
X { ( F — 8)Д' + Л F ' } =
a
n
m
k\ VR P ,
(
— vi?F,
X { ( F — 8) P + P F ' } = 2P — (2 + v ) PV + ( .—
f
T
T
a
2
n
7
'
m
l)k\ V R P .
T
Здесь
8
= 7^2,
W
a = (v + 2) ( m - 0 , 5 ) ,
Ä = x -+-i(I)"- .
P l
В рассматриваемом случае (2£=0) из уравнения (7. 84) следует, что
система (7. 91) имеет интеграл энергии
+ ^ -
K*{ yr-b)(Sp.
i
+ PV)} = c .
ï
(7.92)
1
Обозначим индексом 2 величины за фронтом ударной волны. Так как
D=dr /dt, а газ перед ударной волной покоится, то, переходя к безразмер­
ным переменным, из (7. 85) найдем
2
Л , ( 7 - 8 ) + 8 = 0,
i ? F ( F - § ) + P = 0,
я
2
2
2
2
(/.Уо)
(V - 8) ( M i + ^ ) + P F = 0.
2
2
2
Следовательно, искомые функции F (X), Л (X) и P (X) должны удов­
летворять на ударной волне (при Х=1) условиям (7. 93). Кроме того,
должно выполняться условие постоянства полной энергии в области, за­
нятой движущимся газом, т. е.
2
1 ) _ (v - 2))
{(v -
я
j
+ J l j )
Г-Чг
=
е.
0
о
Переходя к безразмерным переменным, найдем формулу
a(v, , m, n, Ä)
т
=
i
2 { ( V _ 1 ) _ ( V _ 2)} J (Ep + -£-.y^dk.
0
(7.94)
w
Из последнего уравнения (7. 93) следует, что постоянная с в интеграле
энергии (7. 92) равна нулю. Введем новые переменные
х
;
= ш ?
,
* = м , =,t±0^i
?
( m
+>_i^o).
233
Система (7. 91) в новых переменных примет вид
2
m
X {(V - S) yV + z'} = y(V — F ) + (ß - 2) z —
7
* (О - § ) * / ' + yV'} = {(ß -
kVy»z ,
v ) F - ß8) у,
(7.95)
X {(F — 8) z' + *[zV'} = (ß — 2 — v ) Fz + (2 — ß8) z + ( — 1) kV*y z .
n
T
m
T
Интеграл энергии (7. 92) может быть записан так:
Используя (7. 96), решение системы (7. 95) всегда можно свести к ин­
тегрированию уравнения первого порядка. Так, исключая z из первого
и третьего уравнений (7. 95) и вводя новую переменную p.=ln X, найдем
1
ÈL—y(u
dV
~-*Uf»
V) —
к
yz-(a-y)2y
/ — (2 — 2ô — 7 v K ) z + (1 —
V)
(Ь
—
V)
?
Vy
+
k
{4V— Ь)
V y
n
z
m
%
9
7
)
1
v'' "'
Из второго уравнения (7. 95) с учетом (7. 97) получим
W=ï=v
4
v
< + (( - ß)
F
S
+ ß ) У- (if.
F
»•
7
9 8
( - )
При этом функция z (г/, F) определяется уравнением (7. 96). Если урав­
нение (7.98) проинтегрировано, т. е. найдена зависимость у (F), то из (7.96)
можно определить z (F), а из (7. 97) при помощи квадратуры получить
\х (У); следовательно, может быть найдено полное решение задачи.
Выше предполагалось, что т-\-п—1=^0. Можно показать, что и в слу­
чае т-\-п—1=0 решение системы (7. 91) может быть сведено к интегриро­
ванию одного дифференциального уравнения первого порядка вида
dllaV=F
(X, F) и одной квадратуре.
Анализ решения уравнения (7. 98) и системы (7. 91) показал, что при
п=т=0
(o=const) вблизи центра верны асимптотические формулы
2
P= [
Cl
— ± In (jfcX)J X " ,
R=
e x
2
" -
1
.
При 7 7 1 = 1 , тг=1 и v = 2 решение обладает сильной неинтегрируемой осо­
бенностью для функции Р и теряет смысл. Случай тг=0, т=0 исследован
подробно численно. Для численного решения использовалась непосред­
ственно система (7. 91). Она была разрешена относительно производных
и интегрировалась на ЭВМ, причем решалась задача Коши с начальными
данными при Х = 1 . В окрестности центра взрыва расчет проводился по асим­
птотическим формулам типа (7. 99). Интеграл энергии использовался для
общего контроля точности расчета задачи. В процессе расчета системы
(7. 91) интегрированием определялась постоянная а. Максимальная от­
носительная погрешность по определению Р из системы (7. 91) и интеграла
(7.96) не превышала 0,01%. Некоторые результаты расчета для v = l
и v = 2 представлены на рис. 92, 93. В цилиндрическом случае при у = 1 , 4
было найдено а=0,998 (А=0,01), а = 1 , 1 3 (&=0,1), а = 1 , 5 6 ( Ä = 1 ) , а = 1 5 , 2
(к=
—
^— параметр, характеризующий взаимодействие между
газом и* магнитным полем.
234
Р/Рг
Рис. 9 2 . Распределение скоростей, плотностей (а) и давлений (б) за плоской волной
при малых значениях R
(Y=1,4; V = 1 , n = Q ,
m=0)
m
Рис. 9 3 . Распределение скоростей, плотностей (а) и давлений (б) за цилиндрической
волной при малых значениях R при разных к
m
у
Из (7. 88) следует, что электромагнитная сила / и скорость v имеют
противоположные направления. Это приводит к замедлению скорости
потока по сравнению со скоростью газа при взрыве, когда магнитного поля
нет. В потоке происходит также джоулева диссипация, в результате
которой к частицам подводится тепло.
По газу течет ток, плотность которого задается первым соотношением
(7. 88). Если от системы отводить ток, то ее можно рассматривать как не­
стационарный магнитогидродинамический генератор. Отметим, что неко­
торые системы, использующие энергию ВВ для генерирования электри­
ческого тока, рассмотрены в [24]. Отметим также, что в работе [25] пока­
зано, что результаты теории удовлетворительно соответствуют опытам
по цилиндрическим взрывам в магнитном поле при малых числах R .
Рассмотренные решения могут быть найдены и для случая анизотропной
проводимости (уч^т токов Холла).
m
235
В случае конечных чисел R для решения задачи о сильном взрыве
следует учитывать изменение магнитного поля и использовать полную
систему уравнений (7. 82), (7. 83) МГД.
Возьмем случай цилиндрической симметрии при условии, что Н =О
т=0, я-— 0, т. е. задачу о сильном цилиндрическом точечном взрыве, когда
проводимость газа постоянна в области непрерывности гидродинамических
параметров, а начальное магнитное поле переменно, причем Н =Щ —
= х г~ . В этом случае можно принять систему уравнений (7. 72), (7. 74)
(7. 75) и учесть соотношения j = (cl/4nr) [d/dr/(rH )], E =(j
h)—(vlc)H
Если ввести безразмерные переменные Н°, Е° и сз7 по формулам
M
0
Г
2
2
1
г
z
9
z
г
r
и воспользоваться формулами (7. 89), то эту систему можно записать так:
X {(V — A ) RV + Р' + Я ° ' } + R V (V — 1) + 2 (Р + Н°) = О,
1
1
х{(> — ^}R
+ RV } + 2RV = 0;
(7.100)
2
x { ( F - i ) p i + P F i } - 2 P + 2( + l ) P F _ ^ ï ^ 4 { A ( ^ V ^ ) } = = 0 ,
T
T
0
1
X { ( > _ А) Я ' + 2H°V } — 2Я° + 4Я°7 —
2
- т ^ ^ 1 { ^ С ^ ) } = о.
Для Е° и о7 имеем
Е
Х2
°=ТЖ(
№)-VV№,
J =
Щх* у/^)(л = v (^y/2).
(7.101)
m
Здесь А — безразмерный постоянный параметр. Отметим, что система
автомодельных уравнений, эквивалентная (7. 100), была указана в [27].
Система (7. 100) имеет следующие интегралы:
50
2Я
Р
27
f тег + - (Т+^ + °) +
2
+ ^ V # ° ^
0
X* (F - 0,5)V# ' - А 4^
2
V # ° ) = c,
2
(
7
Л
0
2
>
2
(X v/Яо) = с .
3
Последний интеграл был указан Гринспаном [26] при рассмотрении ана­
логичной задачи для движений со скачком проводимости. Постоянные с
и с находятся из граничных условий. Используя этот интеграл, можно
понизить порядок системы (7. 100).
Будем рассматривать случай, когда движение газа сопровождается
возникновением ударной волны. Из (7.85), (7. 86) найдем граничные
условия на фронте ударной волны (при Х = 1 ) для безразмерных функций
У, Л, Р и Н°:
2
3
[R(V-h)]=0,
[RV(V-b)
[(7- )(^4 4l)
3
7
0
0,
+ ^ ] = 0,
[А (4Я° + Я ') — 27Я°] = 0,
236
+ P] =
[H°] = 0.
(7.103)
Кроме того, должны выполняться условия на бесконечности V^^O,
R о о = 1 , P 0 0 = 0 , H° =0 при X = o o и условие равенства нулю скорости на
оси симметрии. Обозначим, как и ранее, индексом 1 величины перед фрон­
том ударной волны (область 1), а индексом 2 — за волной (область 2).
Радиус ударной волны определяется формулой (7. 90). Из интегрального
закона сохранения энергии найдем формулу для а.
Для полного решения задачи следует проинтегрировать систему (7. 100)
в областях 1 и 2 с учетом интеграла энергии (7. 102). При этом нужно удов­
летворить граничным условиям (7. 103), условиям на бесконечности, ус­
ловию в центре симметрии и вычислить постоянную а. Плотность тока
и электрическое поле находятся по формулам (7. 101).
Отметим работу [28], где была рассмотрена задача о цилиндрическом
разлете газа при конечных R .
œ
m
§ 7. О возбуждении электромагнитных волн
сильными ударными волнами
со скачком проводимости
При распространении сильных ударных волн в газе резко меняются
ого свойства после прохождения фронта ударной волны: сильно возрастают
давление, температура, плотность, электропроводность. Наличие взаимо­
действия между сильной ударной волной и электромагнитным полем свя­
зано с резким увеличением электропроводности газа за фронтом скачка.
Для ядерных взрывов большой мощности увеличение электропроводности
может быть обусловлено термической ионизацией газа и другими причи­
нами. Значительное увеличение электропроводности газа отмечено также
для взрывных волн, возникающих при детонации химических ВВ [29].
Если ударная волна распространяется в пространстве, в котором име­
ются магнитное и электрическое поля, то изменение свойств среды при пе­
реходе через фронт ударной волны вызовет возмущения магнитного и элек­
трического полей, которые будут распространяться в виде электромаг­
нитных волн. Вопросы, связанные с излучением электромагнитных волн
ударными волнами, исследовались в ряде работ [1, 15, 30—32].
Ниже будут рассмотрены задачи излучения электромагнитных волн
сферическими и плоскими ударными волнами при их распространении
в слабом магнитном и электрическом полях. При этом будет предполагать­
ся, что механизм возбуждения электромагнитных волн связан с возник­
новением нестационарных токов и скачка проводимости при прохождении
ударной волны через газ. Далее мы будем следовать нашим работам
[15, 30].
Пусть сильная ударная волна распространяется со скоростью D (t),
где t — время, в газе, занимающем неограниченно большой объем. Так как
электрическое и магнитное поля впереди фронта ударной волны предпо­
лагаются слабыми, будем пренебрегать их влиянием на движение газа
за фронтом волны. Это означает, что параметры фронта волны будут такими,
какими они получаются из решения газодинамической задачи. Будем пред­
полагать газодинамическую задачу полностью решенной и, следовательно,
скорость D (t) заданной.
237
Рассмотрим начальные и граничные условия. Пусть в начальный мо­
мент времени £ = 0 векторы напряженности магнитного поля H и электри­
ческого поля Е постоянны. Будем считать, что проводимость газа перед
фронтом ударной волны равна нулю, а за ним равна бесконечности.
В силу отсутствия магнитных зарядов на фронте ударной волны для нор­
мальной составляющей магнитного поля Н имеем условие непрерывности
(магнитную проницаемость считаем равной единице). Из уравнений Макс­
велла следует, что касательная составляющая вектора электрического
поля Е также непрерывна. Заметим, что условия непрерывности Н
и Е совпадают с аналогичными условиями на ударных волнах, распро­
страняющихся в среде с бесконечной проводимостью. Будем считать [1,
32], что касательная составляющая магнитного пля Н непрерывна. В со­
ответствии с результатами работ [1, 32] предполагается, что коэффициент
магнитной вязкости v в ударном слое больше других диссипативных
коэффициентов. Обозначая индексом 1 величины перед фронтом ударной
волны, а индексом 2 — величины непосредственно за ним, можем написать
п
х
п
х
х
m
Н = Н,
г
2
Е
х1
= Е .
(7.104)
х2
В силу бесконечной проводимости газа за фронтом ударной волны
в системе координат, связанной с волной, между НяЕ
имеет место зави­
симость
E
2
= - \ v
X H
2
(7.105)
2
(с — скорость света).
С учетом (7. 104) в неподвижной системе координат имеем
^
l
= -j[(v -D)XH ] .
2
1
' (7.106)
z
Граничные условия (7. 104), (7. 106) на фронте ударной волны должны
учитываться при решении рассматриваемых задач об излучении электро­
магнитных волн. Так как решение газодинамической задачи предполага­
ется известным, то величины v и D в соотношении (7. 106) считаются за­
данными.
Распространение электромагнитных волн в среде с нулевой прово­
димостью и значениями ^д.=е=1 описывается системой уравнений Мак­
свелла
2
I^L^rotJT,
с
9
dt
i ^
с
dt
=
_rot^,
div i f ™ 0,
1
d\vE
= 0.
(7.107)
4
'
Система (7. 107) с граничными условиями (7. 106) и заданными началь­
ными условиями позволяет определить законы распространения электро­
магнитных волн.
Для отыскания же электрического и магнитного полей и распределе­
ния токов в области движения за фронтом ударной волны следует исполь­
зовать условия (7. 104) и уравнения МГД.
7.1. Сферические ударные волны. Пусть начальное магнитное поле
есть Н , начальное электрическое поле — Е . Введем сферическую систему
координат r, G, ср, причем угол 9 будем отсчитывать от направления век0
238
0
тора JET. Если учесть, что v и D направлены по радиусу, то граничные ус­
ловия (7. 105), (7. 106) в компонентах запишутся следующим образом:
0
Hi = Н
Н
r
г9У
9l
= {(v,-D)H
E
Н1
= Н ,
= Н,
62
E
?19
(7.108)
?2
= -±(v -D)H .
9l
2
(7.109)
n
Так как для сильных ударных волн в совершенном газе с отношением
теплоемкостей у верно соотношение z; =2Z)/(y+l), то условия (7. 108)
и (7. 109) могут быть записаны так:
2
E
= -±DH ,
n
(«=ffr).
E =±DH
vl
9l
n
;
(
7Л1
°)
Рассмотрим примеры решения задач о распространении электромагнит­
ных волн. Пусть # 0 = 0 , Н =у^0. Предположим, что закон движения ударной
волны задан соотношениями
0
°
= ^
Щ
^
>
^ c t - r .
г,(0) = 0 ,
m
Ч>&. r ) = 6 2 ^ * [ 6
8
8
8
+ (Ä + 2)rJ,-
0<m<co,
(7-
1 1 1
)
k=Q
m
Ф
M = Л-
E2
2
**8
& + (Ä + 2) r + %W{k +
2
ЗП.
k=0
Здесь
— постоянные величины.
В этом случае решение задачи дается формулами
Е =,Е
г
= 0
в
#
у
?
= 0,
Е = Н sin e l 2 ftE* [6 + (* + 2) r ] ,
?
в
(7.112)
Я =
г
2
-^1 со е2хСз^[^ +
8
(А + 3)г] + Я с о 0 ,
0
3
k=0
Отметим, что значение £ = 0 соответствует фронту электромагнитной
волны. Из решения (7.112) следует, что при£=0 компоненты векторов JE
и H принимают свои начальные значения.
Пусть Z>=.D =const, jEf =7^0, Е =^=0
для простоты предположим, что
векторы Н и Е взаимно перпендикулярны. Сильная ударная волна с по­
стоянной скоростью может быть, например, вызвана сферическим порш­
нем, расширяющимся в газе из некоторой точки (принятой за начало
координат) с постоянной скоростью. В этом случае задача является ав­
томодельной и ее точное решение может быть найдено путем введения
автомодельной независимой переменной X=r/Z) £, разделения переменных
в системе (7. 107) и решения системы линейных обыкновенных дифферени
0
0
0
0
0
0
239
циалышх уравнений с последующим выбором произвольных постоянных
из граничных условий. Решение имеет вид
В г = # o / i M cos 6,
Н = Я / (X) sin 9 + E f (X) cos <p,
#
E = E U (X) sin cp sin9,
#8
ç
= —Я /
0
-
#0/5
3
в
(X) sin ср cos ср,
0
0
3
(7.113)
Q
r
M sin cp cos 6,
2
# = Я / (X) sin 9 + f (X) cos cp,
?
0
3
5
где Д. (X) ( J = l , . . ., 5) есть известные функции; они приведены в нашей
работе [30].
Отметим, что решение (7. 113) для случая Е =0 может быть получено
из (7. 112) при т=0.
Решение уравнения Максвелла, записанное формулами (7. 112), мо­
жет быть использовано для приближенного отыскания параметров элект­
ромагнитных волн при законах D (t), отличных от (7. 111) и моделирую­
щих зависимости при взрыве. Для этого следует поставить в (7. 112) по­
стоянные g , найденные из условия аппроксимации заданной зависимости
D (t) или D (г ) при помощи выражения (7. 111). В частности, это решение
может быть использовано тогда, когда D (t) и г (t) заданы в виде таблиц.
При этом следует отметить, что если начальное положение электромагнит­
ной волны характеризуется величиной г=г ,
то в решении (7. 112) пере­
менную £ следует взять в виде £=r—r —ct.
7 . 2 . Случай плоских волн. Воспользуемся декартовой системой ко­
ординат, приняв, что ось Oy направлена параллельно вектору JE, а ось
Oz — параллельно вектору U , причем Е и H в невозмущенной области
считаем постоянными, равными Е , H . Тогда условие (7. 106) примет вид
0
k
2
2
0
Q
0
Е
у1
zQ
= -^{и,-о)Н .
(7.114)
л
Из уравнений (7. 107) имеем
д Е
у
дх
1
д Н
с
dt
д Н
г
'
2
дх
1
д Е
с
dt
у
(7.115)
'
Из (7. 115) следует, что Е и Н удовлетворяют волновым уравнениям;
кроме того,
# , + Я , = Ф(е),
Е — H = F (TJ),
(7.116)
2
у
Z
где %=х—et, f\=x-\-ct, Ф (I) и F (?]) — произвольные функции.
Рассмотрим конкретные задачи.
А. Распространение плоской ударной волны. Пусть в начальный мо­
мент t=0 по газу начинает распространяться сильная ударная волна,
причем давление на ее фронте меняется по закону
Р2= Ро{^)\
(7.117)
где р , ß — положительные постоянные, х — начальное положение удар­
ной волны, х (t) — координата ударной волны. Случай ß = 0 в формуле
(7. 117) был рассмотрен ранее в работе [1]. Газодинамические условия
на сильной волне имеют вид
0
0
2
d
у
240
2
= y^pj А
& = Ц±^ (p = -ff).
(7.118)
Из (7. 117), (7. 118) получаем закон движения ударной волны
l±i)4]
+ (0,5ß +
1 / 1 + W
.
(7.119)
Электромагнитная волна, бегущая перед ударной волной в положитель­
ном направлении оси Ох, изменяет начальное поле Е^ , Н , причем
0
Е^-Н
г0
= Е^-Н .
а
(7.120)
л
На фронте ударной волны Е , Н
которое с учетом (7. 118) примет вид
уХ
связаны соотношением (7. 106),
г1
7 121
**=тттт*-
<-. >
Используя (7. 116), (7. 119)—(7. 121), найдем
Т
H
Е„,п
^
JIO
1
*
=
—
Н,
Л
а
p
1
/ Р О Т + 1У/'Л-1\Г « « Г
\
2 ) Vj + 1/L/(5)J
9 l
1'
с
~
ff
I P
тт
9 1
1
9 0
где / ( £) находится из соотношения
, .
fc
2 \7'i7/\
/
1 + 0 , 5 ( 3
,1
1
Предполагая решение газодинамической задачи полностью известным
и используя условие вмороженности для движения газа за фронтом удар­
ной волны H=ty .(s) р, где ф (s) — произвольная функция лагранжевой
координаты 5, можно найти также зависимость Н (х, t) или H (s, t) в области
течения газа. Эта зависимость имеет вид
г
T — 1 Яуо — Н
p (s,
л
Т +
1
g
t)
(РО т + iy/'/т - l y * у 1
Vpi 2 ) VT + I A V
2
Pi
л'
С
Б. Сильный взрыв вдоль плоскости. При t=0 происходит взрыв заряда
в форме плоскости. Решение газодинамической задачи известно, причем
законом движения ударной волны является
где Ё — константа, связанная с энергией взрыва (см. гл. 2).
Будем различать два случая решения задачи.
а) Е =0;
H =0
при 0 < х < х ; Н у^0
при х > х , где х >
^Ël c\
б) В момент времени t > El pjC на ударную волну, возникающую
при взрыве, падает плоская электромагнитная волна.
С л у ч а й а). Повторяя рассуждения, аналогичные случаю А, на
ходим при х <С х
Я = 0,
Я = 0;
у0
g0
0
г0
0
0
9l
3
0
0
л
при
X
й
^ х
0
H
zl
Iß
=
1 — -—т—г——
Тр. Математ. ин-та» т G X I X
4
—»
Е
йА
— Н„ — Н
л
м
241
где т (£) определяется из уравнения
Л
(
-=Ш" - ]
С л у ч а й б). Решение задачи об отражении электромагнитной волны
от поверхности ударной волны можно найти, используя предыдущие вы­
воды. Следует лишь учесть, что величины 2? и Н будут в этом случае
не произвольны, а связаны соотношением E =H .
Это вытекает из то­
го, что до столкновения ударной и электромагнитной волн электрическое
немагнитное поля перед фронтом ударной волны отсутствовали.
В заключение заметим, что результаты, полученные в этом параграфе^
могут быть использованы для определения параметров газодинамической
ударной волны, если известны параметры излученной электромагнитной
волны.
0
y0
г0
z0
Г Л А В А
О
8
РАСПРОСТРАНЕНИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
ОТ СОЛНЕЧНЫХ ВСПЫШЕК
§ 1. Некоторые данные об основных параметрах
солнечных вспышек и межпланетной среды
Вопросы возникновения хромосферных солнечных вспышек и рас­
пространения возникающих возмущений по межпланетной среде рас­
сматривались в ряде работ. Ниже будут изучаться лишь вопросы распро­
странения возмущений, вызванных вспышкой, по газу солнечной короны
и межпланетной среде.
Как известно (см., например, [1—4]), солнечные хромосферные
вспышки возникают и происходят в сравнительно малом объеме (площадь
вспышки занимает около 0,1% от площади солнечного диска, высота
слоя вспышки порядка 10 с м ) . Время развития процессов в очаге вспышки,
как правило, имеет величину 3 • 10 —4 *10 с е к .
При развитии вспышки в хромосфере выделяется значительная энер­
гия. Пусть El — полная энергия, выделившаяся при вспышке. Энергия El
различна для разных вспышек и по порядку величины изменяется в диа­
пазоне 10 —10 эрг. Заметцая часть этой энергии рассеивается в окру­
жающем пространстве посредством светового и рентгеновского излучений,
а также быстрыми частицами (солнечные космические лучи). Однако
основная часть энергии расходуется на движение газа в солнечной короне
и в межпланетной среде, т. е. на создание так называемых корпускуляр­
ных потоков. Обозначим эту часть энергии через Е . В дальнейшем мы
будем интересоваться лишь энергией Е и будем рассматривать процессы
движения среды вне очага вспышки, где детали процесса возникновения
и развития вспышки уже не имеют существенного значения.
9
2
29
3
34
0
0
Распространение возмущений от солнечной вспышки происходит
в солнечной короне и межпланетной среде, причем передний фронт воз­
мущения достигает расстояний порядка астрономической единицы ( а . е . ) ,
как правило, за время 20—50 час после начала вспышки. Как известно,
через эти промежутки времени на Земле наступает магнитная буря. Неко­
торые конкретные данные наблюдений будут приведены в § 6.
Рассмотрим основные характеристики спокойной межпланетной среды,
т. е. в период до начала развития мощной вспышки.
От Солнца непрерывно уходит поток частиц, называемый солнечным
ветром [1]. На орбите Земли плотность частиц порядка 1—100 1/см , Скод
16*
243
рость частиц солнечного ветра и не убывает с расстоянием от Солнца. Так.
по измерениям, основанным на радиолокации солнечной короны [4],
было найдено, что скорость солнечного ветра на высоте 3,5 «10 см над
фотосферой в момент измерения была примерно равна 1,6 »10 см/сек,
тогда как на орбите Земли эта скорость превышала 3-10 см/сек. Вообще
данные многих ракетных измерений показывают, что на расстоянии 1 а. е.
скорость v имеет величину 330—700 км/сек. Плотность межпланетной
плазмы падает с ростом расстояния от Солнца [1,6].
Введем сферическую полярную систему координат г, 6, ср с центром
на Солнце, для которой ось вращения Солнца будет полярной осью.
По отношению к этой системе координат плотность газа p скорость сол­
нечного ветра v давление газа р , магнитное поле Н и другие параметры
исходной межпланетной среды в общем случае зависят не только от ради­
альной координаты г, но и от углов 0, ср, а также и от времени t. Это обсто­
ятельство, а также наличие большого числа неизвестных функций и до­
полнительных параметров приводят к существенным математическим
трудностям при теоретическом решении задачи о движении газа, вызван­
ного солнечной вспышкой. Для дальнейшего сделаем некоторые упрощаю­
щие предположения. Во-первых, будем считать, что скорость спокойного
солнечного ветра v направлена по радиусу. Во-вторых, на основании
результатов работ [1, 4—8], посвященных теоретическим и эксперимен­
тальным вопросам определения параметров межпланетного газа, можно
сделать вывод, что для начальной плотности газа р и скорости спокойного
солнечного ветра v внутри некоторого исходящего из Солнца телесного
угла х < 2тси в области между Солнцем и орбитой Земли можно принять
следующие приближенные зависимости:
±
10
6
7
1
v
l9
г
1
1
1
1
Ш
Р 1
= ЛГ ,
v
1 =
Br°-*.
(8.1)
Здесь А, В и CD — величины, которые будем считать постоянными, не зави­
сящими от углов Ö, ср и от времени t. Конкретные значения величин А, В
и со могут быть, например, найдены на основании данных ракетных изме­
рений и радиолокационных измерений (см. [1, 4, 5, 8]). Для описания
движения газа можно привлекать следующие теоретические модели:
1) Кинетическое описание процессов в замагниченной высокотемпера­
турной трехкомпонентной плазме, состоящей из электронов, ионов и ней­
тральных частиц.
2) Использование магнитогидродинамических уравнений двух- или
трехкомпонентной плазмы.
3) Применение гидродинамических приближений плазмы с анизо­
тропным «давлением» [9, 10] (см. гл. 1).
4) Гидродинамическая модель. В этой модели используется гидроди­
намическое приближение к описанию движения среды и применяются
уравнения обычной газовой динамики или одножидкостной МГД.
Ввиду крайней сложности рассматриваемого явления мы ограничимся
изучением лишь гидродинамической модели.
244
§ 2. Использование анализа размерности
и простейшие законы подобия
Будем использовать одножидкостное гидродинамическое приближение
к описанию движения среды и считать среду совершенным газом. Если
пренебречь временем выделения энергии, влиянием начального давления
газа р , электромагнитными силами, а также вязкостью и теплопровод­
ностью, то система основных характерных параметров при движении
газа имеет вид
г
г, 0, <р, *, Е ,
А,
0
со, ,
В,
т
£ , Д ,
0
0
I, 2 ,
(8.2)
где f — эффективный показатель адиабаты газа, Q — средняя угловая
скорость вращения Солнца, g — ускорение силы тяжести на поверх­
ности Солнца, i ? — радиус Солнца, I — характерный линейный размер
очага вспышки.
Величины А, В и со могут принимать различные значения в зависимо­
сти от времени года и от состояния межпланетной среды, а энергия Е
различна для разных вспышек. Поэтому имеет смысл выяснить те
основные безразмерные параметры, которые характеризуют изучаемое
явление и рассмотреть вопросы пересчета функций, характеризующих
движение газа при изменении параметров среды и энергии Е [25].
Так как гравитация и собственное вращение Солнца слабо влияют
на распространение возмущений при вспышках, то параметры Q и g©
можно не учитывать при грубых оценках характеристик движущегося
газа. Из размерных параметров Е , А, В можно образовать следующие
величины с размерностями длины и времени: r =(E /AB ) / - —
кине­
тическая характерная длина, t*=(r*) ~ /B — кинетическое характерное
время. Тогда для любой безразмерной характеристики течения (например,
плотности g=p/pi) на основании тг-теоремы теории размерности можем
написать
0
0
0
0
0
e
2
ï iw
v
0
3
(ü
где a =i? /r*, a =Z/r*, а <^ а . Из формулы (8. 3) следует, что при фик­
сированных у, а , а безразмерные функции вида (8. 3) будут описывать
класс течений при различных параметрах Е , А и В. При характерных
размерах области движения, много больших j ? , можно не учитывать
влияние конечности радиуса Солнца на движение газа в некоторой окрест­
ности переднего фронта возмущений, т. е. влиянием параметра а a сле­
довательно, и а можно пренебречь.
Если внутри некоторого телесного угла считать скорость солнечного
ветра направленной по радиусу, а условия выделения энергии соответ­
ствующими сферической симметрии течения, то течение газа внутри
рассматриваемого телесного угла х можно считать сферически-симметрич­
ным.
Введем обозначения #=r/r*, %=t/t*. Для сферически-симметричной
модели течения функции вида (8. 3) будут зависеть лишь от двух пере­
менных параметров х, т, т. е»
1
0
2
3
г
х
2
0
0
1?
2
g = g(x,
т,
т
, со).
(8.4)
245
Для времени прихода переднего фронта возмущения типа ударной
волны в точку г=г буДем иметь t =t*t(x ,
у, со), x =rjr*,
где зависи­
мость т (х , А, со) определяется при решении задачи.
Естественно, что при глобальном рассмотрении процесса распростра­
нения возмущений при вспышках следует учитывать зависимость началь­
ной плотности и компонент скорости солнечного ветра от углов 6 и ср и,
возможно, от времени t. В этом случае искомое решение гидродинамиче­
ской задачи будет зависеть от большого числа переменных и функции,
входящие в это решение, будут иметь вид (8. 3).
В дальнейшем мы будем рассматривать лишь сферически-симметрич­
ную модель движения среды. Если движение спокойного солнечного
ветра считать изометрическим и поставить вопрос об учете начального
давления р , то для одномерной модели будем иметь
а
a
a
a
а
г
=Cr-\
(8.5)
Pl
В этом случае имеем новую размерную постоянную С, которая позволяет
образовать новую характерную длину г°=(Е /С) - .
В формулы вида
1!3
ш
0
i
(3
i_
ш)
113
ш
(8. 4) войдет еще один безразмерный параметр а — г°/г* =Е ~
^С~ ~ X
X (ЛВ )
. Проведенные нами оценки полной начальной энергии солнеч­
ного ветра в объеме внутри некоторого телесного угла (см. § 4) показывают,
что на расстояниях порядка астрономической единицы наиболее важное
значение имеет кинетическая энергия спокойного солнечного ветра,
и она примерно на порядок больше полной начальной тепловой энергии
газа (и больше начальной энергии магнитного поля). Поэтому параметром
а можно пренебречь при грубом качественном анализе рассматриваемого
явления.
Чтобы представить порядок величины кинетической характерной
длины г*, отнесем г* к некоторому радиусу г и на основании формул
для р! и v исключим А В из выражения для г*. Тогда получим
3
2
1/ш_1
3
а
2
±
Для
а можно написать формулу
3
а =
3
£ 1 / ( 5 - 0 ) £-1/ -ш)^1/(со-1)^
к =
(3
р (г )
г
rl
в
На рис. 94 при различных со даны зависимости r*lr от Е для случая,
когда г = 1 , 5 ' 1 0
см (астрономическая единица),
= (1,5) -10 г-см /
/сек (штриховые линии), 5 •(1,5) »10 г'сж /^к (сплошные линии), а энер­
гия вспышки Е изменяется от 1 0 до 1 0 эрг. Проведенные расчеты пока­
зывают, что для больших значений Е величина г* может быть больше
астрономической единицы. На рис. 95 даны кривые а (к) при /с^=(1,5) /
/10 г-см /сек , £ ' = 1 0 эрг, и>=2,5 (диапазон изменения к, приведенный
на этом графике, соответствует изменению давления от Ю до Ю
дин/см ).
Зависимости искомых функций от безразмерных параметров могут
быть определены теоретическим или экспериментальным путем при изме­
рениях на космических ракетах во время солнечных вспышек. При тео­
ретическом и экспериментальном определении параметров газа зависи­
мости от координат и времени для плотности, давления и скорости газа
a
13
0
3
31
2
я
2
3
32
2
28
2
35
0
0
3
3
32
2
2
33
0
- 8
246
- 1 1
2
J
28
30
32Цк
Рис. 9 4 . Зависимость характерной длины г* от энергии вспышки Е
ний к*
0
1 — ( D = 2 ; 2 — 2,5; 3 — 2,9 (величина Е
0
для двух значе­
отнесена к 1 эрг, а г* к 1 а. е.)
Рис. 9 5 . Зависимость-отношения характерных длин от величины параметра средней
тепловой энергии к
и времени прихода возмущения в заданную точку могут быть найдены
лишь для некоторых фиксированных Е=Е ,
А=А
В=В .
Поэтому рассмотрим вопрос о пересчете полученных данных на слу­
чай других значений этих постоянных Е , А ,В .
Можно поступить сле­
дующим образом. Найдем безразмерное время т и безразмерную коорди­
нату х для состояния Е
A B а затем по формулам r=r*#,
t=fi
найдем значения координаты и времени для состояния 2?оа, А , В .
Для пересчета времени находим
01
02
011
v
19
2
1
2
v
2
2
8
ß
( -' )
где
,;
=
(
|
^
/
Д
, ,
*=
1,2.
Для пересчета расстояний (эйлеровой или лагранжевой координаты
частицы газа) имеем
*=-lf.
",2, = ^
= ^r
( 1 J
.
(8.7)
Здесь t
r , î = l , 2 — размерные значения времени и координаты,
соответствующие вспышке при параметрах E , А , В^
Аналогичные формулы можно также написать для пересчета скорости,
плотности, давления газа и других величин. Так, для плотности р имеем
( i v
(f)
0i
' *=
fr
4
P«., = P r f = g p , .
M
(8.8)
Формулы (8. 6)—(8. 8) дают (в принятой модели течения) законы подо­
бия для процессов движения газа, вызванного вспышкой. Для более слож­
ной модели течения газа формулы вида (8. 6)—(8. 8) будут иметь место
лишь при фиксированных значениях дополнительных безразмерных пос­
тоянных параметров, например а^, 7 = 1 , 2, 3.
Аналогичный размерный анализ задачи можно провести и для случая,
когда принимается более сложная модель среды, например двухкомпо247
нентная модель плазмы. Если на движение существенно влияет магнитное
поле, то течение не будет сферически-симметричным. Кроме того, при
учете сильных магнитных полей в систему определяющих параметров
задачи войдут еще величины, характеризующие состояние начального
магнитного поля. Учет гравитации также приведет к появлению новых
безразмерных параметров и к усложнению задачи.
Сделанные выводы следует учитывать при теоретическом и экспери­
ментальном определении параметров течения газа при солнечных вспышках.
§ 3 . Задача о^точечном взрыве
в неоднородной движущейся среде
Указанные особенности развития процесса вспышки в начальной стадии
позволяют сделать вывод о том, что в ряде случаев это явление можно
моделировать точечным взрывом в газе, начальные параметры которого
обусловлены состоянием солнечной короны и межпланетной плазмы.
Рассмотрим постановку задачи в простейшем случае сферической симме­
трии. Предположим, что газ является совершенным, с постоянным зна­
чением у. Вязкость и теплопроводность газа не учитываем. Влиянием
магнитных полей и гравитации на движение газа пренебрегаем. Тогда
мы приходим к следующей задаче (см. также § 1, гл. 3) [26].
Пусть при £ = 0 в газе с начальными состояниями v (г), р (г), р (г)
выделилась энергия Е в точке г = 0 . Требуется определить возникающее
движение газа.
Если для простоты считать начальное состояние газа изотермическим,
то в соответствии с указанными выше приближенными соотношениями
(8. 1) будем иметь следующие начальные данные для v р р (при г > 0):
x
1
1
0
v
v^Br»-*,
h
1?
г
ш
= Ar-°,
Р г
= Сг- .
(8.9)
Для решения задачи об определении возникающего течения газа нужно
проинтегрировать систему уравнений газовой динамики (3. 5) для ади­
абатического возмущенного движения. Обозначим через r (t) передний
фронт возмущения газа, который будем считать обычной ударной волной.
Тогда, кроме начальных условий (8. 9), имеем условие
2
г (0) = 0
(8.10)
2
и условие выделения в точке г = 0 конечной энергии Е .
0
Граничные условия на ударной волне при г=г
имеют вид (3. 6) (см.
гл. 3). Кроме условий на ударной волне, имеем условие в центре симметрии.
Так, если нет в центре постоянно действующего источника масс, то и (0, £) =
= 0 . Здесь следует еще раз заметить, что, строго говоря, начальные функ­
ции Vj, (г), р! (г), р (г) сами должны являться решением стационарных
уравнений газовой динамики с учетом гравитационных и других сил.
В противном случае впереди фронта основного возмущения начнется
движение. При грубом качественном анализе мы будем предполагать, что
в случае приближенных заданий v р , р можно пренебречь эффектами
движения газа впереди фронта ударной волны. Общая картина течения
газа представлена на рис. 96.
2
2
v
248
х
х
\ üptfama
Земли
4
Рис. 9 6 . Схема распростране­
ния ударной волны
Вспышка
Ударная
дама
При ^ = 0 , р =0
(или В=С=0)
имеем случай хорошо изученной авто­
модельной задачи о сильном взрыве в газе с переменной начальной плот­
ностью. Точное решение этой задачи исследовано в работах [11—13}
и главе 2.
Рассмотрим некоторые вопросы, относящиеся к решению этой задачи.
Если со= со =(7—у)/(у+1), Т О , как уже было указано в главе 2, автомо­
дельная задача о сильном взрыве имеет аналитическое решение [11 h
г
г
25?
ri
Pl
T+r н
(il
2
2Ь
г
8
. =
(8.11)
(8.12)
5 2* (7 + 1)
a =
3
(T -
(8.13)
1) ( 3 T
1)2
Если Y = / , то o ) = 2 . Для других значений y и со=2 решение подробно
исследовалось в работе [13], где были вычислены значения a и приведены
графики автомодельных функций.
При цроизвольных у и со < 3 мы имеем аналогично (8. 13) формулу
для закона движения ударной волны
6
3
1
'-\аА
)
8=
(8.14)
где a (у, со) — постоянная, введенная ранее в главе 2 и определяемая
из интегрального закона сохранения энергии.
Если В =7^= 0 или С =^ О, то задача не является автомодельной и для
полного ее решения целесообразно использовать численные или прибли­
женные методы.
Приведенный анализ размерности полностью применим к рассматри­
ваемой задаче. Мы здесь отметим лишь следующее. Если считать, что
в центре взрыва имеется тяжелая точка массы M, которая взаимодействует
с газом по закону Ньютона, то в правую часть первого уравнения системы
(3. 5) следует добавить гравитационное ускорение
Mf
Г2
(8.15)
249
В этом случае в системе определяющих параметров появится еще одна
размерная постоянная С = М / и новая характерная длина
(8.16)
Если ( 0 = 2 , то г^есть отвлеченный параметр, так как в этом случае СЛ
имеет размерность энергии. Заметим, что при С=В=0
задача будет
автомодельна и с учетом сил тяготения. Такие задачи исследовались под­
робно М. Л. Лидовым [14].
Проведенный размерный анализ показывает, что даже для случая
простейшей сферически-симметричной гидродинамической модели течения
в общем случае решение существенно зависит от постоянных параметров
у, сои а . Это вносит дополнительные трудности в решение задачи. Чтобы
выяснить характер влияния параметров В и С на решение, можно восполь­
зоваться методом линеаризации около автомодельного решения, подробно
изученным в главе 3. Можно рассмотреть отдельно два случая: В ф О,
<?=0 и 5 = 0 , С = 7 ^ 0 .
Первый случай соответствует учету скорости движения невозмущенной
среды, второй случай — учету переменного противодавления. Решение
задачи для этих двух случаев позволяет учесть (в линейной постановке) оба
эти параметра одновременно, используя принцип суперпозиции линейных
решений. Мы не останавливаемся здесь на этом подробно, так как все необ­
ходимые данные были приведены в главе 3.
3
; § 4. О приложении решений задач
к явлениям распространения возмущений
при солнечных вспышках
Имеются три основных ограничения на применимость рассмотренных
выше решений к явлениям распространения возмущений при солнечных
вспышках.
Первое — правомочность гидродинамического описания межпланет­
ной среды. Как известно, длина свободного пробега частиц плазмы, рас­
считанная по кулоновским столкновениям, много больше 1 а. е., и поэтому
возникает вопрос о возможностях использования модели сплошной среды
и теории ударных волн. Однако проведенные недавно исследования пока­
зывают [1, 15, 16], что в замагниченной плазме, каковой является межпла­
нетная среда, существенную роль как характерный физический параметр
играет ларморовский радиус r и могут осуществляться так называемые
бесстолкновительные ударные волны (r для межпланетной плазмы много
меньше 1 а. е.). С другой стороны, следует отметить, что в начальной стадии
развития вспышки плазма обладает достаточно высокой плотностью
(плотность хромосферы 10 11см ), и применение гидродинамического
описания здесь вполне обоснованно. Кроме того, начиная с 1964 г. публи­
куются результаты по обнаружению магнитогидродинамических ударных
волн и других разрывов в межпланетной среде ([4, 17, 18]). Здесь следует
также отметить, что приход переднего фронта основного возмущения
на орбиту Земли примерно через сутки трудно объяснить без привлечения
теории ударных волн.
•,
L
L
12
250
3
С точки зрения теоретических исследований Голдом еще более 10 лет
тому назад была высказана гипотеза о том, что геомагнитные возмущения,
вызванные вспышкой, обусловлены приходом ударной волны [19].
Перечисленные аргументы в пользу применения гидродинамической
модели позволяют надеяться на успех теории ударных волн в вопросах
изучения явлений солнечных вспышек.
Второе ограничение на предложенные выше модели явлений при
вспышке заключается в том, что процесс движения газа не одномерный,
ибо как начальные характеристики, так и возникающее движение являются
существенно трехмерными. Однако использование одномерных сферическисимметричных решений может оказаться полезным для рассмотрения
течений внутри некоторого телесного угла, исходящего из центра вспышки
или из центра Солнца.
Третье существенное ограничение связано с предположением о мгно­
венности выделения энергии при вспышке. В действительности процесс
выделения энергии в ряде случаев занимает время порядка /
от времени
распространения ударной волны на расстояние 1 а. е. Поэтому для опи­
сания процессов в одномерной постановке следовало бы считать, что
Е есть функция времени. Простейшие случаи таких задач рассматри­
вались в [1, 11]. Приближенная постановка задачи с мгновенным выделе­
нием энергии может применяться лишь для оценки параметров течения
газа в тех случаях, когда время выделения энергии не превышает /
времени прихода волны в некоторую точку. Если предположить, "что энер­
гия вспышки выделяется в течение некоторого периода времени E =E
(£),
то процесс вспышки можно моделировать расширением поршня в газе,
предполагая, что скорость поршня зависит от времени. Можно изучать
и более общую модель, когда после точечного взрыва с энергией Е в газе
начинает двигаться поршень с переменной скоростью, моделируя процесс
расширения газов из очага вспышки. Аналогичная задача уже изучалась
в обычной газодинамике [35].
В отмеченных моделях пренебрегал ось подводом массы в поток газа.
В действительности, однако, выброс массы из солнечной хромосферы
в движущийся поток может иметь определенное влияние на характер
течения. Для учета этого обстоятельства следует еще более усложнить
модель вспышки. Можно предложить следующую постановку задачи.
Пусть в начальный момент ^ = 0 в точке г=0 выделилась мгновенно энер­
гия Е , рассчитанная на телесный угол х. Кроме того, в той же самой точке
осуществляется подвод энергии N (t) и подвод массы Q (t), которые играют
роль в установлении процесса движения внутри телесного угла х. Если
JV и Q зависят от t степенным образом, а Е=0, р =0, ^ = 0 , то здесь можно
выделить класс автомодельных решений. Для случая постоянной началь­
ной плотности автомодельная задача исследована в статье [35]. Качест­
венный анализ автомодельной задачи показывает, что течение здесь будет
иметь сложный характер. В потоке возникают контактная поверхность
и вторая ударная волна. Заметим также, что зависимости начальных
параметров р , p v от углов 6, <р можно было бы учесть в секторном при­
ближении, используя грубую схему, аналогичную предложенной в работе
[36].
1
2 0
0
1
2 5
0
Q
0
0
г
г
±i
x
251
Представляет интерес дать оценку начальной энергии спокойного сол­
нечного ветра в единичном телесном угле (*=1) на расстоянии i а. е.
Принимая аппроксимацию (8. 9), будем считать, что
А=а.10г**т%,
0,01 < а < 1 ,
В = и (r ) г»-*,
г
a
и (О = 1 , 5 * . 1 0 7 см/сек,
г
1В
1,5<Л<4,
С = РЛ.10 ,
0,l<ß<15,
г = 1 а. е., постоянные А, В, С выражены в единицах: г, см, сек. Для на­
чальной энергии в единице телесного угла при условии пренебрежения
радиусом Солнца имеем
а
* = ? " № + тЗД*-
<8.17>
о
Учитывая соотношения (8. 9), можем найти
гЯГ
1
#
•1
2
,
2 -~
га-»
С
(7 — 1 ) ( 3 —со)
Л_
(8.18)
В формулах (8. 17) и (8. 18) первый член соответствует начальной кине­
тической энергии E , второй член — тепловой энергии Е т, другие виды
энергий не учитываются. При а>=2, а = 0 , 1 , Ь = 5 , А = 1 , 5 находим: Е
~
— 5-10 ,
Е ~10 .
Таким образом, основная доля энергии содержится в Е . Тепловая
и электромагнитная энергии существенно меньше начальной кинетиче­
ской энергии. С другой стороны, величина Е
на расстояниях порядка
1 а. е. и больше сравнима с полной энергией вспышки, и ее желательно
учитывать при рассмотрении теоретических моделей движения газа. При­
мер такого учета был дан в § 3 настоящей главы и в главе 3. Для мощных,
сильно локализованных в пространстве и быстро развивающихся вспышек
можно применять выводы теории сильного точечного взрыва. Простейшее
решение (8. 11)—(8. 13) в частном случае у = / , со =2 было использо­
вано Паркером [1] для описания движения газа при вспышках (он совсем
не учитывал влияние солнечного ветра).
lk
г
1к
м
30
1Т
1к
1к
5
3
х
Если воспользоваться результатами исследования тех простейших
задач, о которых уже говорилось, то можно попытаться более детально
исследовать вопросы, связанные с приложением теории взрыва к солнеч­
ным вспышкам. Применительно к явлениям солнечных вспышек можно
отметить следующие выводы, которые вытекают из предыдущего иссле­
дования.
1. По теории сильного взрыва можно определить время прихода
ударной волны на орбиту Земли или в другую точку, зная энергию
вспышки. Действительно, из (8. 14) имеем
\1/2
(8.19)
Из (8. 19) при одинаковых значениях со для различных вспышек находим
/ Л
h
252
2
EoiVP
U i ££о
02 /
2
Если А =А ,
2
Х
то
"
Т
О
*
(8.20)
Так как а и А можно считать известными для различных у и со, то по фор­
муле ( 8 . 19) можно приближенно определить время прибытия переднего
фронта возмущения на Землю. Формула ( 8 . 20) показывает, что отношение
квадратов времен прибытия возмущения в некоторую точку обратно про­
порционально отношению энергий вспышек.
2. Можно определить энергию вспышек, зная время прибытия t воз­
мущения в заданную точку:
a
а
#о =
- % - ^ .
(8.21)
b
5
33
Если t =lO
сек, г =1 а. е., то при со=2 имеем Е ~ а а (1,5) -10 эрг.
Л р и а ] ~ 1 , а —0,1 имеем Е ~ 10 эрг. Более точные оценки для конкретных
вспышек будут приведены в § 6.
3. Аналогичные выводы и оценки можно сделать и для случая учета
начальной скорости v (см. далее § 6) и начального давления p Заметим
здесь, что анализ решений с учетом противодавления, полученных в главе 3>
показывает, что в некоторой зоне за фронтом ударной волны плотность
растет с убыванием г, т. е. имеется отрицательный градиент плотности.
Этот эффект отсутствует, если p =const, p =const.
4. Для обработки экспериментальных результатов измерения парамет­
ров ударных волн следует использовать выводы теории размерности
и законы подобия.
5. Можно учесть влияние течения на магнитные поля и влияние гра­
витации на течение газа.
На вопросе определения деформации магнитного поля, вызванной
течением газа при вспышке, мы остановимся более подробно в следующем
разделе.
a
а
0
33
0
x
v
1
x
§ 5. Об изменении магнитного поля
при движении газа
Для описания магнитных полей примем сферическую систему коор­
динат, введенную в § 1. Пусть Q — вектор, направленный по оси вращения
Солнца, которая принята за полярную ось. Компоненты магнитного
поля H в точке г, 6, ср есть Н , Н , Н , причем составляющая Н направ­
лена радиально от Солнца, Я — по вектору Q X г и Н в южном направлелении (здесь предполагается обычная правая система координат). Пар­
кером [1] была предложена модель невозмущенного магнитного поля,
в которой предполагалось, что вне некоторого расстояния г = г солнечный
ветер имеет радиальное направление и постоянную скорость и =const
{случай со=2 в формуле ( 8 . 1)). Газ считался идеально проводящей средой.
Рассмотрим аналогичную модель для случая переменной скорости i; = Br " .
Уравнение магнитных силовых линий в плоскости г, ср имеет вид
г
в
9
?
г
в
0
±
u)
1
^ = . ^ в Ю в .
2
J
(8.22)
253
По аналогии с [1, 20] для компонент начального магнитного поля можем
написать
H Л =#н)(т)
2
.
Н
9
1
=
Н
0,
=
П
Я
2
? 1
= _яД^) [^(г-г ) тб].(8.23)
0
8
Здесь через H , Н , Н^ обозначены составляющие поля H в некоторой
точке (г , ö , ср ), где образуется силовая линия, проходящая через точку
rQ
0
0
ьо
0
0
Интегрируя (8. 22) с учетом (8. 23), находим уравнение силовых линий
L
1
1
(8.24)
Здесь Q — средняя
угловая скорость вращения Солнца, Q=2,9*
• 1 0 рад/сек.
Формулы (8. 24) дают в плоскости г, ср семейство спиралей, зависящих
от параметров ср , г , щ, Q и В.
Соотношения (8. 23), (8. 24) дают более общую (по сравнению с мо­
делью Паркера [1]) модель спокойного межпланетного поля. Так как
полная энергия магнитного поля существенно меньше энергии вспышки
Е , а величина р у | много больше начального давления Щ/8 тс, то в первом
приближении можно не учитывать влияние магнитных полей на движение
межпланетной плазмы. Тогда для сферически-симметричных течений газа,
обусловленного сильным взрывом в среде с переменной плотностью р =
=Аг~ *, можно вычислить возмущенные параметры магнитного поля. В при­
ближении одножидкостной МГД на основании формул, приведенных в гла­
вах 2,7 (см. также [И, 12, 22]), будем иметь
_ 6
0
0
2
0
х
<
P l
=
К-т.
ц),
^ = Ф
Я
К
P l
т, [x),
(8.25)
ï + i < ^ < i .
Здесь через ë обозначена лагранжева координата частицы, fi — параметр,
функции Ф х С с о , у, it), Ф ( с о , Т» I ) даются формулами (2.5), (2.17).
Соотношения (8. 22)—(8. 25) позволяют написать дифференциальное
уравнение для силовых линий в области возмущенного движения газа
х
2
dy
dr
(г — r) Q г2 р
0
v
x
(5)
¥н •
Обозначим через и угол между направлением радиуса вектора и магнит­
ного поля, для которого имеет место зависимость
tg" = r g .
(8.26)
dr
В общем случае сильной ударной волны для разности,между tg и в про­
извольной точке потока и начальным значением tg и имеем
г
254
Из (8. 27) легко находится выражение для скачка tg и при переходе через
ударную волну
tg щ'
2
— t
g
U
l
=
-\-
—
1
II
г
Л
(8. 28}
sin 0 *
Приведенные в этом разделе результаты по определению конфигураций
магнитных полей могут оказаться полезными для обработки результатов
наблюдений межпланетной среды. Вычисленные конфигурации магнитных
полей позволяют решить задачу о движении частиц высоких энергий
при пересечении скачка магнитных полей. Индукционное электрическое
поле за фронтом 2£=—(1/с)их2Г может ускорять эти частицы. Расчеты
уравнений движения частиц (см. § 3, гл. 1) показали [3, 4 ] , что возможно
двукратное ускорение электронов при пересечении фронта ударной волны
(при однородном начальном магнитном поле). Мы не рассматриваем здесь
этот вопрос подробно.
§ 6. Сравнение выводов теории
с некоторыми данными наблюдений
В настоящее время накоплены данные по наблюдению хромосферных
солнечных вспышек и измерениям параметров ударных волн, возникаю­
щих при этих вспышках и распространяющихся в межпланетном про­
странстве. Анализ оптических и радиоастрономических измерений, дан­
ных наблюдений по возникновению магнитных бурь на Земле и измерений
на спутниках, космических ракетах и автоматических межпланетных стан­
циях параметров ударных волн и интенсивностей космических лучей,
опубликованных за последние 5 лет [1, 4, 8, 17, 18, 20, 27—33], позволяет
сделать следующие общие выводы, часть которых уже была отмечена выше:
1) время прихода возмущения на орбиту
70
Земли меняется от 16 до
час;
2) при прохождении ударной волны вблизи орбиты Земли плотность
плазмы увеличивается в 2—3 раза;
3) оптические измерения дают оценку энергии вспышки порядка
4) осредненная скорость ударных волн на орбите Земли имеет порядок
500—800
км/сек;
5) средние скорости ударных волн на орбите Земли, как правило,
не более чем в 2—3 раза превышают скорость движения спокойного сол­
нечного ветра.
Упомянутые выше экспериментальные данные были нами обрабо­
таны [37], и необходимые для дальнейшего сведения приведены в табл. 7.
В этой таблице даны даты и время вспышек (всемирное время UT), коор­
динаты на Солнце и балл. Примем рассмотренную модель взрывной волны
для описания процесса распространения возмущений. В соответствии
с указанным способом определения энергии вспышки по известным зна­
чениям а, А и времени t прихода возмущения в заданную точку г по фор­
муле сильного взрыва (8. 21) имеем
a
а
(о) = 2),
(8. 29)
255
Таблица
'
7
Данные наблюдений по вспышкам
Время распространения
Параметры среды Оценка энергии Е • 10~ эрг
и расстояние
31
0
t чал г
Характеристика
вспышки
2
• 10~
0027 UT
sis
5
Р<
s
т= з
Q
учет ветра v
t
EQ
х
г
38,5
ПО
(т)
26
150
170
6
350
620
55
128
147
9
380
480
28,0
5,42
14,0
44,52 152
152,02
4
400
710
21,0
4,00
11,6
16
27
116
150
20
450
860
28
46
117
150
20
450
510
4 X 1965 г . 0937 UT 17,1
S24W31, 2 +
18 1 1966 г . 2254 UT 44
N20E07, 2В
7 V I I 1966 г .
44,5
2
модель силь­
ного взрыва
км
Г(2)
и
1
в
201
165
ч
Е по
MV)
0
17
9,9
14
N34W48,
2В
18 I X 1967 г .
4
1918 UT
210
40,5
168
55
N18W84,
2 В
17 I X 1967 г .
2314 UT
71,8
14,0
41,0
13,2
N16W61 ,
2В
где п — плотность на орбите Земли или в другой точке измерения,
ш — масса протона.
Будем предполагать, что энергия вспышки пошла на движение газа
внутри телесного угла х=2тс. Эффективный показатель адиабаты у может
меняться в зависимости от состояния межпланетной среды. Для одно­
5
атомного газа при достаточно частых столкновениях т= /3. При учете
эффектов ионизации и излучения этот показатель будет близок к 1,3.
Для разреженной плазмы при весьма редких столкновениях есть смысл
взять у=3. Действительно, как отмечалось в главе 1 при рассмотрении
уравнений МГД для разреженной плазмы, для р„ > р и при слабом
магнитном поле из гидродинамических уравнений и условий на ударной
волне будет следовать, что у=3. Отметим, что в случае х=2тс имеем зна­
5
чения: « = 1,047 (т= /3) и а ~ 0 , 2 (у=3). Величины энергий, оцененные
по формуле (8. 29), указаны в табл. 7. Приведя формулу (8. 16) к безраз­
мерному виду, можно проверить закон подобия [25] для вспышек по зави­
симости r (t). Здесь за Е принимались значения, вычисленные при i f = /
но ближайшей к Солнцу координате измерения. В тех случаях, когда
измерения времени прихода были проведены детекторами в двух точках
пространства, безразмерные параметры х =г /г*,
т=£/£* вычислялись
для обеих точек. Проверка расположения на графике х (т) точек, соот­
ветствующих
t , показала хорошее выполнение закона подобия
(табл. 7).
1а
р
±
5
2
0
3
2
2
2
2
Для случая измерения в двух точках пространства определялись
также средние скорости распространения £> . Теоретическая формула
для скорости ударной волны D без учета ветра имеет вид
ср
D_dx _
v
dt
2
1
256
г
у
_ у/а
—
х^У\
(8.30)
При учете сноса солнечным ветром и в соответствии с результатами § 4,
главы 3 имеем
- Ш « ^ , й р ^ ,
(8.31)
г
±
\V
aJ
а> — 1
х
2
(8.
32)
5
Пусть ш = 2 , т= / 3 , тогда ^4 =0,563. Была проведена оценка энергийвспышек по зависимости х (т), следующей из (8. 31), (8. 32). Соответ­
ствующие значения Е оказались ниже вычисленных по теории сильного
взрыва без учета ветра (см. табл. 7).
Теоретическая кривая х (т) с учетом ветра дана на рис. 97 (сплошная
линия), штрих-пунктирная линия здесь сооответствует автомодельной
зависимости х (т). Теоретические зависимости D l v = D от х , полученные
по (8. 30) и (8. 31), даны на рис. 98. Здесь же отмечены данные, получен­
ные по расчету осредненных скоростей D
= ( r ^ — — ^ i ) . За коор­
динату точки для D p принималось значение (г^-\-г ^)/2.
Кроме того,
по значениям D , v и формуле (8. 31) были определены значения х и энер­
гия вспышек Е , а затем полученные данные были использованы для отыс­
кания по времени t =(t +t )/2
соответствующих значений т
(^ =t /f).
Эти данные по связи между х и т отмечены на рис. 97 кружками. Верти­
кальные линии на рис. 98 соответствуют ожидаемым ошибкам по резульИ
2
0
2
2
x
c
2
v
2
C
2
±
2
0
cv
1
2
cv
C9
2
Рис.
97.
Зависимость
коорди­
наты ударной волны от времени
Кружками отмечены данные, получен­
ные из обработки результатов изме­
рений
Рис.
98.
График
зависимости
Dlv
от х для сильной ударной
волны без учета ветра (а) и с уче­
том ветра (б)
x
2
Кружками отмечены данные, полу­
ченные из обработки результатов из­
мерений
Г, О О
i/g 17
Тр. Математ. ин-та, т. C X I X
0,5
1,0
я
г
257
татам определения величин D [30, 32]. Номера точек соответствуют
номерам вспышек, указанным в табл. 7.
Другой возможный способ определения Е состоит в использовании
данных измерения отношения плотностей р / р вычислении по ним у
из условий на ударной волне и определении Е из зависимости х (у) по
формуле (8. 31). Естественно, что мы могли бы учесть и противодавление.
Приведенные результаты указывают на удовлетворительное согласие
данных наблюдений и теоретических значений.
Заметим также, что оценки эффективных у по условиям на ударной
волне и значениям p /pi, приведенным в работе [32], и величинам ß
показали [34], что значения у лежат между 2 и 3, причем чем меньше п
и больше D p, тем ближе у к значению 3.
Проведенное здесь сравнение данных теории взрыва и наблюдений
позволяет сделать вывод о возможности приложения этой теории для
качественного и грубого количественного анализа процесса распростра­
нения возмущений от сильных солнечных вспышек.
В этой главе изложены результаты автора, полученные в течение
1961—1969 гг. Предварительные результаты по приложению ТТВ к явле­
нию солнечных вспышек сообщались автором при чтении лекций студентам
механико-математического факультета Московского государственного уни­
верситета (1961/62 уч. г.) и в докладе на Совещании по магнитной гидро­
динамике (Рига, 1962 г.) [23]. Основные результаты § 1—5 докладывались
автором на 3-м Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной меха­
нике (Москва, 1968 г.) [24] и опубликованы в статьях автора [25, 26, 3 8 ] .
Результаты § 6 этой главы получены совместно с Ю. М. Николаевым [37 ] \
c p
0
2
ь
0
2
2
c p
х
C
1
П р и м е ч а н и е при корректуре.
в недавно опубликованной работе [ 3 9 ] .
Ряд наших результатов содержится
П Р И Л О Ж Е Н И Е
1. Обобщенные коэффициенты Котеса
Рассмотрим численные значения обобщенных коэффициентов Котеса
введенных в § 3 главы 4.
A
lk9
А. Пусть мы используем сквозную интерполяцию полиномами тг-го
порядка. Тогда по формулам (4. 49) получим следующие значения A :
при гг=1 Л = Л = / ,
при п=2 А =А = / ,
А =— / ,
Au^/s,
Л = / .
Для случаев тг=3, п=4 и & = 0 , 1 , 2, 3, 4 значения A указаны в табл. 8.
lk
1
0 0
0 1
2
1
00
02
1
е
10
5
а4
1 2
2 4
lk
Таблица
8
Коэффициенты Котеса
п = 3;
п -= 4; 2880 A
12A
lk
ï
k
1
1
2
3
0
9
0
1.
27
8
- 5
27
32
19
9
8
9
—
—
—
—
224
—27
— 8
-19
0
0
1
2
3
1
1024
378
32
106
2
3
4
384
648
192
—264
1024
918
992
646
224
243
232
251
Б. Для кусочной интерполяции полиномами степени меньше п мы
рассмотрим случаи кусочно-линейной интерполяции для любого п и слу­
чай интерполяции двумя стыкующимися полиномами четвертого порядка
При 72 = 8.
Для случая кусочно-линейной интерполяции вычисление интегралов
( 4 . 4 8 ) дает значения A =0,
I > к, А = / п=А ,
А =1/п
(к-ф I).
Заметим, что в случае кусочно-линейной аппроксимации целесообразно
переразрешить аппроксимирующую систему так, чтобы она не содержала
определителя Д и его миноров. Это всегда возможно (соответствующую
систему аппроксимирующих уравнений часто называют системой метода
прямых), что хотя бы следует из того, что матрица, соответствующая опре­
делителю Д , является треугольной.
При интерполяции двумя стыкующимися полиномами четвертого
порядка непосредственные вычисления интегралов J
при Л=1 - 7 - 8
дают значения табл. 9.
Здесь числовой множитель о*=2,2880.
1
lk
п
2
1п
1к
8l
17*
259
Таблица
9
Приведенные коэффициенты Котеса
ЧТс
Ç>0A
0k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
7/2
—27
— 8
—19
0
0
0
0
16
378
32
106
0
0
0
0
6
648
192
—264
0
0
0
0
16
918
992
646
0
0
0
0
7
467
456
475
224
-27
— 8
—19
16
1024
1024
1024
1024
378
32
106
6
384
384
384
384
648
192
—264
16
1024
1024
1024
1024
918
992
646
3,5
224
224
224
224
243
232
251
Значения давлений и
R*
U
U
0,0209
0,0340
0,0500
0,0690
0,0905
0,1167
0,1483
0,1864
0,2343
0,2964
0,3773
0,4856
0,6377
0,8622
1,211
1,863
3,167
6,400
11,500
3,488
2,160
1,613
1,314
1,142
1,025
0,9342
0,8792
0,8518
0,8492
0,8706
0,9067
0,9441
0,9725
0,9895
0,9963
0,9991
0,2382
0,1929
0,1490
2,250
0,2096
0,0445
0,0118
0,0038
0,0015
0,0006
0,0002
0
0
О
О
О
О
О
О
О
О
7,611
2,919
1,849
1,419
1,188
1,047
0,9538
0,8887
0,8520
0,8441
0,8669
0,9076
0,9439
0,9718
0,9909
0,9961
0,9995
U
1,720
0,2689
0,0716
0,0241
0,0090
0,0033
0,0012
0,0003
О
О
О
О
О
О
О
О
О
1,333
0,2384
0,0802
0,0306
0,0107
0,0036
0,0009
0,0001
5,667
2,573
1,699
1,304
1,096
0,9773
0,9063
0,8635
0,8474
0,8656
0,9077
0,9434
0,9709
0,9926
0,9958
1,000
О
0,0001
О
О
О
О
О
О
Л*
я
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
0,6008
т
0,2343
0,2964
0,3773
0,4856
0,6377
0,8622
1,211
1,863
3,167
6,400
0,8282
0,7020
Р
и
Р
и
Р
и
2,167
1,468
1,125
0,9569
0,9059
0,9262
0,9646
1,001
0,9926
1,007
0,2976
0,0742
0,0125
0,0003
0,0005
0,0005
0,0001
0
0
0
1,9545
1,349
1,065
0,9298
0,9206
0,9620
0,9995
0,9918
1,010
0,2250
0,0470
0,0046
0,0001
0,0007
0,0001
0
0
0
1,778
1,247
0,9933
0,9214
0,9561
0,9945
0,9913
1,014
0,1667
0,0271
0,0006
0,0007
0,0003
0
0
0
2. Таблица давлений и скоростного напора в фиксированных точках
пространства
По методу, рассмотренному в § 3 главы 4 для v = 2 , у = 1 , 4 , были най­
дены значения P=p/p
и функции U=gf,
пропорциональной скорост­
ному напору. Они представлены в табл. 10. Следует заметить, что
в последнее время детальный анализ цилиндрического случая при у = 1,4
*(— /з был выполнен Н. А. Архангельским (см. [61] к гл. 4).
œ
5
и
Таблица
10
скоростного напора
0,3885
0,3342
1,042
0,2787
0,0880
0,0301
0,0096
0,0024
0,0003
0
0,0002
0,0001
0
0
0
0
0
и
и
U
0,8167
0,2361
0,0722
6,0233
0,0059
0,0008
0
0,0003
0,0002
0,0001
0
0
0
0
3,722
2,129
1,470
1,169
1,001
0,9157
0,8772
0,8724
0,9045
0,9413
0,9690
0,9963
0,9950
1,003
3,167
1,935
1,382
1,110
0,9640
0,8997
0,8807
0,9014
0,9392
0,9680
0,9982
0,9945
1,002
0,5186
0,4495
0,6402
0,1928
0,0570
0,0153
0,0024
0,0001
0,0002
0,0004
0,0001
О
0
0
0
и
2,750
1,772
1,294
1,052
0,9335
0,8929
0,8986
0,9361
0,9670
1,000
0,9940
1,004
0,5000
0,1520
0,0405
0,0079
0,0005
0,0001
0,0005
0,0002
0,0001
0
О
О
и
2,426
1,612
1,294
0,9988
0,9134
0,8986
0,9318
0,9660
1,001
0,9933
1,005
Таблица
10 (окончание)
1,989
1,521
1,209
0,9901
0,3878
0,1103
0,0246
0,0027
О
0,0006
0,0004
0,0001
О
О
О
Р
и
Р
и
Р
и
Р
и
1,623
1,153
0,9500
0,9447
0,9865
0,9913
1,029
0,1200
0,0125
0,0001
0,0005
0
0
0
1,500
1,068
0,9365
0,9790
0,9925
1,0245
0,0833
0,0035
0,0008
0,0001
0
0
0,389
0,9994
0,9725
0,9949
1,020
0,0548
0,0002
0,0002
0
0
1,292
0,9506
0,9951
1,035
0,0333
0,0007
0
0
Л И Т Е Р А Т У Р А
Глава
1.
Л .
И .
Седов.
2.
Л .
В .
Овсянников.
отд.,
3.
4.
1
Лекции по механике сплошной среды, ч. I. Изд-во М Г У , 1966.
Лекции по основам газовой динамики. М . , изд-во «Наука», Сиб.
1967.
Математические основы классической механики жидкости. И Л , 1963.
Н .
С.
Мельникова,
Е .
В .
Рязанов.
Теория точечного взрыва,
М . , Физматгиз, 1961.
Д ж .
Серрин.
В .
П .
Коробейников,
5.
6.
Л .
Д .
Л а н д а у ,
Л .
И .
7.
П .
10.
Л .
Седов.
Е .
М .
Лифшиц.
Механика сплошных сред. М . , Гостехиздат, 1953.
Механика сплошной среды, т. 1—2. М . , изд-во «Наука», 1970.
Е .
Кочин.
Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. Изд. 8. М . ,
Изд-во А Н СССР, 1961.
8. С. Л . Соболев.
Уравнения математической физики. М . — Л . , Гостехиздат, 1950.
9. А . Г . Куликовский,
Г.
А . Любимов.
Магнитная гидродинамика. М . , Физматгиз,
1962.
Д . Ландау,
Е . М .
Лифшиц.
Электродинамика сплошных сред. М . , Гостехиздат,
1957.
11. Б а й Ш и - и . Магнитная газодинамика и динамика плазмы. М . , изд-во «Мир», 1964.
12.
С.
И .
Брагинский.
К магнитной гидродинамике слабопроводящих жидкостей. —
Ж Э Т Ф , 1959, 37, вып. 5, 1417.
13. Т. Каулинг.
Магнитная гидродинамика. И Л , 1959.
14. G. F . Chew,
M .
L . Goldberger,
F.
E . Low.
The Boltzmann equation and the one-fluid
hydromagnetic equations in the absence of particle collisions. — Proc. Roy. S o c ,
1956, A236, 112.
15.
Л .
Д . Пичахчи.
Разрывы в разреженной плазме в приближении Ч у , Гольдбергера
и Лоу. — У к р . физ. ж . , 1960, 5, № 4, 450.
16. Т. Ф . Волков.
Гидродинамическое описание сильно разреженной плазмы. — В сб.
«Вопросы теории плазмы», вып. 4. М . , Атомиздат, 1964.
17. С. Чепмен,
Т.
Каулинг.
Математическая теория неоднородных газов. И Л , 1960.
18. С. И . Брагинский.
Явления переноса в плазме. — В сб. «Вопросы теории плазмы»,
вып. 1. М . , Атомиздат, 1963.
19.
J a g g i .
W a v e motion in a plasma with anisotropic pressure. — Phys. Fluids,
5, N 8, 949.
Л .
Спитцер.
Физика полностью ионизованного газа. И Л , 1957.
К.
Лонгмайр.
Физика плазмы. М . , Атомиздат, 1966.
Д .
А . Франк-Каменецкий.
Лекции по физике плазмы. М . , Атомиздат, 1964.
Магнитная гидродинамика (материалы симпозиума). М . , Атомиздат, 1958.
И .
Е .
Тамм
и др. Теория магнитного термоядерного реактора. — В сб. «Физика
плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций», т. I — I I I . M . , Издво А Н СССР, 1958.
Д .
В .
Сивухин.
Дрейфовая теория движения заряженной частицы в электромаг­
нитных полях. — В сб. «Вопросы теории плазмы», вып. 1. М . , Атомиздат, 1963.
И .
Е .
Тамм.
Основы теории электричества. М . , Гостехиздат, 1956.
М .
П .
Коган.
Ударные волны в магнитной газодинамике. — Прикл. матем. и мех.,
1959, 2 3 , вып. 3.
R .
К.
1962,
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
262
28. Р. В . Половин.
Ударные волны в магнитной гидродинамике. — У с п . физ. наук,
1960, 72, № 1.
29. С. В . Иорданский.
Теорема Цемплена в магнитной гидродинамике. — Д А Н СССР,
1958, 121, 4.
30. Р . В . Половин,
Г . Я . Любарский.
Невозможность ударных волн разрежения в маг­
нитной гидродинамике. — Ж Э Т Ф , 1958, 35, № 2.
31. Ф . А . Б а у м , С. А . К а п л а н , К. П . Станюкович.
Введение в космическую газодина­
мику. М . , Физматгиз, 1958.
32.
А . Г . Куликовский,
Г . А . Любимов.
О магнитогидродинамических ударных волнах,
ионизующих газ. — Д А Н СССР, 1959, 129, № 1.
33.
В .
36.
В .
П .
Карликов,
В . П .
Коробейников.
О возмущении электромагнитного поля удар­
ными волнами при наличии скачка проводимости. — Прикл. матем. и мех., 1961,
25, вып. 3 .
34. A . A . Б а р м и н , А . Г . Куликовский.
Об ударных волнах, ионизующих газ при нали­
чии произвольно ориентированного магнитного поля. — В сб. «Проблемы гидро­
динамики и механики сплошной среды». М . , изд-во «Наука», 1969.
35. Р . 3. Сагдеев.
Коллективные процессы и ударные волны в разреженной плазме. —
В сб. «Вопросы теории плазмы», вып. 4. М . , Атомиздат, 1964.
И .
К а р п м а н .
Гидромагнитные ударные волны. — В сб. «Проблемы магнитной
гидродинамики и космической газодинамики». М . , изд-во «Наука», 1964.
37. Р . Курант,
Д . Гильберт.
Методы математической физики, т. П . М . , изд-во «Мир»,
1964.
38.
Б .
Л .
Рождественский,
Н .
П .
Яненко.
Системы квазилинейных уравнений. М . ,
изд-во «Наука», 1968.
39.
40.
A .
Jeffrey,
P .
В .
Nonlinear wave propagation. N. Y . , Acad. Press, 1964.
Выступление на 2-м совещании по теорет. и прикл. магнитной
гидродинамике. — В сб. «Вопросы магнитной гидродинамики и динамики плазмы».
Рига, Изд-во А Н Латв. ССР, 1962.
41.
В .
42.
43.
В .
Т.
T a n i u t i .
Половин.
П .
Коробейников,
С.
П .
Ломнев.
О движении заряженных частиц в плазме при
наличии магнитогидродинамической ударной волны. — Ж . прикл. мех. и техн.
физ., 1964, № 6.
Y.
П .
М .
Шабанский.
L y n n .
— Геомагнетизм и аэрономия, 1965, № 5.
Discontinuities in an anisotropic plasma. — Phys. Fluids, 1967, 10,
N 10.
44.
С.
С. Григорян.
Задача Коши и задача о поршне для одномерных неустановившихся
движений. — Прикл. матем. и мех., 1958, 2 2 , вып. 2.
45. К.
П .
Станюкович.
Неустановившиеся движения сплошной среды. М . , Гостех­
издат, 1955.
ч
46.
Л .
47.
Я .
48.
В .
И .
Седов.
Методы подобия и размерности в механике. Изд. 4. М . , Гостехиздат,
1957.
Б .
Зельдович,
А .
С.
Компанеец.
Теория детонации. М . , Гостехиздат, 1955.
Об одномерных движениях газа в магнитном поле, сопрово­
ждающихся ударными волнами. -— Ж . прикл. мех. и техн. физ., 1960, № 2.
49. Л . С. Понтрягин.
Непрерывные группы. М.—-Л., Г И Т Т Л , 1954.
50.
П .
51.
Л .
52.
53.
54.
55.
56.
П .
Г.
Коробейников.
Чеботарев.
Теория групп Ли. М . — Л . , Г И Т Т Л , 1940.
Групповые свойства дифференциальных уравнений. Новосибирск,
Изд. сиб. отд. А Н СССР, 1962.
G. Birkhoff.
Dimensional analysis and partial differential equations. — Electr. Eng.,
1948, 67.
Л .
И .
Седов,
В . В . Л о х и н .
Нелинейные тензорные функции от нескольких тензор­
ных аргументов. — Прикл. матем. и мех., 1963, 27, вып. 3 .
Г.
И .
Баренблатт.
О предельных автомодельных движениях в теории нестацио­
нарной фильтрации газа в пористой среде и теории пограничного слоя. — Прикл.
матем. и мех., 1954, 18, вып. 4.
В .
П .
Коробейников.
Об инвариантных решениях уравнений магнитной гидро­
динамики. — Магнитная гидродинамика, 1967, № 3.
В . П .
Коробейников.
Об интегралах уравнений неустановившихся адиабатических
движений газа. — Д А Н СССР, 1955, 104, № 4.
В .
Овсянников.
263
57.
M .
Л .
Лидов.
Конечный интеграл уравнений одномерных автомодельных адиаба­
тических движений газа. — Д А Н СССР, 1955, 103, № 1.
58. В . П . Коробейников.
Одномерные автомодельные движения проводящего газа в маг­
нитном поле. — Д А Н СССР, 1958, 121, № 4.
59. Г . Е . Шилов.
Математический анализ. Второй специальный курс. М . , изд-во
«Наука», 1965.
60.
В .
С.
Владимиров.
61.
Г.
Н .
Положий.
62.
Л .
Уравнения математической физики. М . , изд-во «Наука», 1967.
Уравнения математической физики. М . , изд-во «Высшая школа»,
1964.
И .
1946,
Седов.
Распространение сильных взрывных волн. — Прикл. матем. и мех.,
10, вып. 2 .
63.
64.
Л .
И .
Седов.
G.
I.
Taylor.
Движение воздуха при сильном взрыве. — Д А Н СССР, 1946, 52, № 1.
The formation of a blast by a very intense explosion. — Proc. Roy.
S o c , 1950, A 2 0 1 , N 1065.
65. К. П . Станюкович.
Применение частных решений уравнений газовой динамики
к изучению детонационных и ударных волн. — Д А Н СССР, 1946, 5 2 , № 7.
66.
H .
Goldstine,
J .
von
Blast wave calculation. — Communs Pure and Appl.
Neumann.
Math., 1955, 8, N 2.
Глава
1.
2.
Л .
И .
Седов.
Л .
И .
Седов.
3.
В .
2
Движение воздуха при сильном взрыве. — Д А Н СССР, 1946, 52, № 1.
Методы подобия и размерности в механике. Изд. 6. М . , изд-во «Наука»,
1967.
П .
Коробейников,
Н .
С.
Мельникова,
Е .
В .
Рязанов.
Теория точечного взрыва.
М . , Физматгиз, 1961.
4.
Н .
С.
Бурнова
(Н.
С.
Мельникова).
Исследование задачи о точечном взрыве. Канд.
дисс. М Г У , 1953.
5.
В .
6.
П .
Коробейников,
П .
И .
Чушкин,
К.
В .
Шароватова.
Таблицы газодинамиче­
ских функций начальной стадии точечного взрыва. М . , изд. ВЦ А Н СССР, 1963.
D .
L . Jones.
Strong blast waves in spherical cylindrical and plane shocke. — Phys.
Fluids, 1961, 4, N 9.
D .
L . Jones.
The energy parameter В for strong blast waves. — N B S Techn. Note,
1962, N 152.
К.
А .
Семендяев.
Эмпирические формулы. M . — Л . , Г Т Т Й , 1933.
Г.
M .
Фихтенгольц.
Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2.
М . , Гостехиздат, 1948.
7.
8.
9.
10.
П .
Коробейников,
Е .
В .
Рязанов.
Представление решения задачи о точечном
взрыве в газе в особых случаях. — Прикл. матем. и мех., 1959, 2 3 , вып. 2.
В .
11.
H . H .
Кочина.
Некоторые точные решения уравнений одномерного неустановивше­
гося движения совершенного газа. — Прикл. матем. и мех., 1957, 2 1 , вып. 4 .
12. Я . Б . Зельдович,
Ю .
П .
Райзер.
Физика ударных волн и высокотемпературных
гидродинамических явлений. М . , изд-во «Наука», 1966.
13. В . П . Коробейников.
Задача о сильном точечном взрыве при нулевом градиенте тем­
пературы. — Д А Н СССР, 1956, 109, № 2.
14.
15.
16.
17.
18.
264
С. Рыжов,
Г. И .
Таганов.
Второй предельный случай задачи о сильном взрыве. —
Прикл. матем. и мех., 1956, 20, вып. 4 .
М .
Фроммер.
Интегральные кривые обыкновенного дифференциального уравнения
первого порядка в окрестности особой точки, имеющей рациональный характер. —
Усп.' матем. наук, 1941, вып. 9.
Н .
С.
Мельникова.
О неустановившемся движении газа, вытесняемого поршнем
при нулевом градиенте температуры. — Бюлл. Политехи, ин-та, 1964, 19, № 10,
вып. 3-4.
Г.
Людвиг,
М .
Хейлъ.
Теория пограничного слоя с диссоциацией и ионизацией.
Проблемы механики, вып. I V . Сборник статей. Под ред. X . Драйдена и Т. Кар­
мана. И Л , 1963.
Ф.
А . Б а у м ,
С.
А . К а п л а н ,
К.
П .
Станюкович.
Введение в космическую газодина­
мику. М . , Физматгиз, 1958.
О.
19.
R .
A . Gross,
С.
L . Eisen.
Some properties of a hydrogen plasma. Dynamics of conduct­
ing gases. Evanston. Northwestern Univ. Press, 1960.
20.
C
21.
H .
24.
H .
M .
Harris.
Equilibrium properties and equation of state of a hydrogen plasma. —
Phys. Rev., Ser. 2, 1964, 133, N 2A.
M .
Кузнецов.
Термодинамические функции и ударные адиабаты воздуха при
высоких температурах. М . , изд-во «Машиностроение», 1965.
2 2 . R . A . Gross.
Continuum radiation behind a blast wave. — Phys. Fluids, 1964, 7, N 7,
23. Th. Ginsburg.
Ausbreitung und reflexion von starken Explosions-Wellen. — «Sympos.
Numeric. Treatment Partial Differential equation with real Characteristics. Rome,
1959». Rome, 1960.
L .
Blast wave from a spherical charge. — Phys. Fluids, 1959, 2 , N 2,
Brode.
25. Effects of atomic weapons. N. Y . , Los Alamos Scientific Laboratory, 1950.
26. Э . Л а р и ш , И . Шехтман.
О введении излучения в задачи газовой динамики. — Д А Н
СССР, 1957, И З , № 5.
27. В . П . Коробейников.
Исследование некоторых задач неустановившихся одномер­
ных движений газа. Канд. дисс. М . , М И А Н СССР, 1956.
28. Г . М . Бам-Зеликович.
Распространение сильных взрывных волн.— В сб. «Теоре­
тическая гидромеханика», № 4. М . , Оборонгиз, 1949.
29. В . П . Коробейников.
О распространении сильной сферической взрывной волны
в теплопроводном газе. — Д А Н СССР, 1957, И З , № 5 .
30.
В .
Е . Неуважаев.
Распространение сферической взрывной волны в теплопроводном
газе. — Прикл. матем. и мех., 1962, 26, вып. 6.
31.
В .
34.
35.
36.
О.
В .
Сычев.
К теории сильного взрыва в теплопроводном газе. — Прикл. матем.
и мех., 1965, 29, вып. 6.
32. И . О. Бежаев.
О влиянии вязкости и теплопроводности газа на распространение
взрыва. — В сб. «Теоретическая гидродинамика», № И . М . , Оборонгиз, 1953.
33. G. Т. Taylor.
The formation of a blast wave by a very intense explosion. — Proc.
Roy. S o c , 1950, A 2 0 1 , N 1065.
И .
П .
В .
А .
Н .
Гамма-излучения атомного взрыва. M . , Атомиздат, 1959.
Нейтроны атомного взрыва. М . , Атомиздат, 1961.
Глобальное выпадение продуктов ядерных взрывов. М . , Госатом-
Лейпунский.
Ямпольский.
Лавренчик.
издат, 1965.
37.
В .
Лунев.
Метод эффективной энергии в задаче о сильном взрыве в реальном
газе. — Ж . прикл. мех. и техн. физ., 1968, № 5.
38. H . Н .
Соболев.
Исследование электрического взрыва тонких проволочек. —
Ж Э Т Ф , 1947, 17, № И .
39. С. В . Лебедев.
Взрыв металла под действием электрического тока. — Ж Э Т Ф ,
1957, 32.
40. М . N . Plooster.
Shock waves from line sources. . . — Phys. Fluids, v. 13, N 11,
p. 2665, 1970.
В .
41.
И .
Ф.
42.
И .
Ф.
Кварцхава,
В .
Кварцхава,
А .
В .
А .
Бондаренко,
Плютто,
Р .
А .
А .
Д .
Чернов
Меладзе
и др. — Ж Э Т Ф ,
1956, 3 1 .
и др. — Ж Э Т Ф , 1956, 30.
43. Взрывающиеся проволочки. Сборник статей. Под ред. Чейса и Мура. И Л , 1963.
44. Электрический взрыв проводников. Сборник статей. Под ред. Чейса и Мура.
М . , изд-во «Мир», 1965.
45. Exploding wires, Ш . W . G. Chace and H . К . Moore (Eds). N . Y . , Plenum Press, 1964.
46.
Г.
Г.
Долнев,
ряде. 47.
С.
ЖЭТФ,
Л .
Мандельштам.
Плотность и температура газа в искровом раз­
1953, 2 4 .
Е . Войтенко,
И .
Ш .
Модель.
Получение сильных ударных волн при электриче­
ских разрядах в щелях. — Ж Э Т Ф , 1963, 44, № 6.
48. Магнитная гидродинамика. Сборник статей. Под ред. К . Ландсхоффа. М . , Атом­
издат, 1958.
49. А . С. K o l b . Production of high-energy plasmas by magnetically driven shock waves. —
Phys. Rev., 1957, 107, N 2.
50.
А .
В .
В .
Коробкин,
С.
Л .
Мандельштам,
П .
П .
П а ш и н и н
ж
др. Исследование искры
в воздухе, возникающей при фокусировании излучения лазера. — Ж Э Т Ф , 1967,
53, вып. 1.
18
Тр. Математ. ин-та, т. C X I X
265
51.
E .
P a n a r e l l a ,
P .
Sauic.
Blast waves from laser-induced spark in air. — Ganad. J.
Phys., 1967, 4 6 , N 3 .
52.
ff.
Г.
Басов,
В . А . Бойко,
О.
Н .
Крохин
и др. Образование длинной искры в воз­
духе под действием слабо сфокусированного излучения лазера. — Д А Н СССР,
1967, 137, № 3 .
53. Н . Г . Басов.
Лазеры в физических исследованиях. — Природа, 1967, № 10.
54. / . W. Daiber,
H .
M .
Thompson.
Laser-driven detonation waves in gases. — Phys.
Fluids, 1967, 16, N 8.
55. Действие лазерного излучения. Сборник статей. M . , изд-во «Мир», 1968.
Глава
3
1.
Н .
С.
Буркова
(Л.
С.
Мельникова).
Исследование задачи о точечном взрыве. Канд.
дисс. М Г У , 1953.
2. Л . И . Седов.
Методы подобия и размерности в механике. Изд. 3 . М . , Гостехиздат,
1954.
3.
A .
4.
В .
5.
П .
Коробейников.
О приложении теории взрыва к вопросам распространения
ударных волн при солнечных вспышках. III Всес. съезд по теоретической и при­
кладной механике. Аннотации докл. М . , изд-во «Наука», 1968.
V.
P .
Korobeinikov.
On the gas flow due to solar flares. — Solar Phys., 1969, 7, N 3.
M . Л . Лидов.
К теории линеаризированных решений около одномерных автомодель­
ных движений газа. — Д А Н СССР, 1955, 102, № 6.
В .
П .
Коробейников,
Н .
С.
Мельникова,
Е . В .
Рязанов.
Теория точечного взрыва.
М . , Физматгиз, 1961.
H .
M i r e l s ,
J .
F.
M u l l e n .
Aerodynamic blast simulation in hypersonic tunnels. —
A I A A Journal, 1 9 6 5 / 3 , N 11.
6.
7.
8.
9.
S a k u r a i .
On propagation and structure of the blast wave. — J. Phys. Soc. Japan,
1953, 8, N 5; 1954, 9, N 2.
П . Коробейников,
E . В . Рязанов.
К теории линеаризированных задач о взрыве. —
Прикл. матем. и мех., 1959, 23, вып. 4.
В .
10.
Д
II.
Брушлинский,
Г.
С.
Соломахова.
Исследование задачи о сильном взрыве
с учетом противодавления. — В сб. «Теоретическая гидромеханика», № 19, вып. 7.
М . , Оборонгиз, 1956.
11. В . П . Коробейников,
П .
И .
Чушкин,
К.
В .
Шароватова.
Таблицы газодинамиче­
ских функций начальной стадии точечного взрыва. Сообщ. по вычисл. матем.,
вып. 2. М . , изд. ВЦ А Н СССР. 1963.
12. В . П . Коробейников,
II.
И .
Чушкин.
Расчет начальной стадии точечного взрыва
в различных газах. — Ж . прикл. мех. и техн. физ., 1963, № 4.
13.
R .
16.
И .
т
J.
Swigart.
Third-order blast theory and its application to hypersonic flow-past
blunt-nosed cylinders. — J. Fluid Mech., 1960, 9.
14. A . S a k u r a i . Blast wave theory. Basic Developments in Fluid Dynamics, v. 1. M . Holt
(Ed.), N. Y . , 1965.
15. G. G. Bach,
J. H .
Lee.
Higher order perturbation solutions for blast waves. — A I A A
Journal, 1969, 7, N 4.
С.
Березин,
H .
П .
Жидков.
Методы вычислений, т. I I . M . , Физматгиз, 1960.
Глава
1.
Л .
И .
Седов.
4
К общей теории одномерных движений газа. — Д А Н СССР, 1952, 85,
№ 4.
2.
Л .
И .
Седов.
Методы подобия и размерности в механике. Изд. 6. М . , изд-во «Наука»,
1967.
3.
Е .
Охоцимский,
И . Л . Кондрашова,
3 . П . Власова
и др. Расчет точечного взрыва
с учетом противодавления. — Труды М И А Н СССР, 1957, 50.
4. H . Goldstine,
J .
von
Neumann.
Blast wave calculation. — Communs Pure and Appl.
Math., 1955, 8, N 2.
266
Д .
5.
В .
Я . Коробейников,
Я . С. Мельникова,
Е .
В .
Рязанов.
Теория точечного взрыва.
М . , Физматгиз, 1961.
6. Я . Б . Зельдович.
Теория ударных волн и введение в газодинамику. М . , Изд-во А Н
СССР, 1946.
!..
Л . Д . Л а н д а у . Об ударных волнах на далеких расстояниях от места их возникнове­
ния. — Прикл. матем. и мех.. 1945, 9, вып. 4.
8. Ю . Л . Якимов.
Об асимптотических решениях. . . — Прикл. матем и мех., 1955,
19, вып. 6.
9.
Г.
М .
Шефтер.
Асимптотическое решение уравнений одномерного неустановив­
шегося движения идеального газа с цилиндрической симметрией. — Д А Н СССР,
1954, 116, № 4.
10. Я . L . Brode.
Numerical solutions of spherical blast waves. — J. Appl. Phys., 1955,
26, N 6.
И . Д . E . Охоцимский,
3. П .
Власова.
О поведении ударных волн на большом расстоя­
нии от места взрыва. — Ж . вычисл. матем. и матем. физ., 1962, 2 , № 1.
12.
Чжоу
Б е й - ч ж и ,
К а р п п ,
Хуанъ
Ш и - л и .
Численный расчет ударных волн методом
характеристик. — Ракетная техника и космонавтика, 1967, 5, № 4 .
13.
А .
Я . Жуков.
Применение метода характеристик к численному решению одномер­
ных задач газовой динамики. — Труды М И А Н СССР, 1960, 58.
14. Я . Я . Чушкин.
Метод характеристик для пространственных сверхзвуковых тече­
ний. - Труды ВЦ А Н СССР. М . , 1968.
15. В . В . Русанов.
Характеристики общих уравнений газовой динамики. — Ж . вы­
числ. матем. и матем. физ., 1963, 3, № 3 .
16.
17.
Г.
Задача о точечном взрыве. — Д А Н СССР, 1957, 112, № 2.
Применение интегральных соотношений в задачах о распростра­
нении сильных ударных волн. — Прикл. матем. и мех., 1960, 24, вып. 1.
18. Я . С. Бурнова
( Я . С. Мельникова).
Исследование задачи о точечном взрыве. Канд.
дисс. М Г У , 1953.
19.
В .
Г.
Г.
Г.
Черный.
Черный.
Я . Коробейников.
Об аналогии между цилиндрическим взрывом и обтеканием
тел гиперзвуковым потоком газа. — Ж . прикл. мех. и техн. физ., 1962, № 6.
20. Я . С. Мельникова,
Т.
М .
Саламахин.
О расчете точечного взрыва в различных сре­
дах. — Ж . прикл. мех. и техн. физ., 1964, № 4 .
21. Я . С. Мельникова.
О точечном взрыве в среде с переменной начальной плотностью.—
Труды М И А Н СССР, 1966, 87.
22. Т. Я . Lee, Я . Knystautas,
G.
G.
Bach.
Theory of explosions. M E R L Report 69-10,
McGill Univ., Montreal, 1969.
23.
А .
Сакурай.
О распространении цилиндрических ударных волн. — В сб. «Взры­
вающиеся проволочки». И Л , 1963.
24.
В .
26.
А .
27.
О.
М .
Белоцерковский,
П .
И .
Чушкин.
Численный метод интегральных соотноше­
ний. — Ж . вычисл. матем. и матем. физ., 1962, 2, № 5.
О.
M .
Вelozerkovsky,
P .
I.
Chushkin.
In: «Basic Developments in Fluid Dynamics»,
v. 1. M . Holt (Ed.). N . Y . , Acad. Press, 1965.
В . П .
Карликов,
В . П .
Коробейников,
Е . В .
Рязанов.
Приближенный метод реше­
ния задачи о взрыве в некоторых идеальных сжимаемых средах. — Ж . прикл.
мех. и техн. физ., 1963, № 2 .
В .
П .
Коробейников,
П .
И .
Чушкин.
Метод расчета точечного взрыва в газах. —
Д А Н СССР, 1964, 154, № 3 .
В .
П .
Коробейников,
Я . И . Чушкин.
Об одном методе расчета точечного взрыва
в газе с учетом противодавления. — Труды V сессии Ученого совета по взрыву.
Фрунзе, изд-во «Илим», 1965.
В . А д у ш к и н ,
И .
В .
Немчинов.
Приближенное определение параметров газа за
фронтом ударной волны по закону движения фронта. — Ж . прикл. мех. и техн.
физ., 1963, № 4.
25. В . Я . Андреев.
Приближенный способ расчета одномерных течений с ударными
волнами. — Изв. А Н СССР, механика жидкости и газа, 1967, № 6.
28.
29.
30.
31.
А . Дородницын.
Об одном методе численного решения некоторых нелинейных
задач аэрогидродинамики. — Труды III Всес. матем. съезда, т. I I I . M . , Изд-во
А Н СССР, 1958.
18*
267
32.
В .
П .
Карликов,
В . П .
Коробейников,
П .
И .
Чушкин.
О расчете взрыва в сжимае­
мых средах. II Всес. съезд по теоретич. и прикл. механ. Аннотации докл. М . ,
изд-во «Наука», 1964.
33.
В .
П . Коробейников,
П . И .
Чушкин.
Плоский, цилиндрический и сферический взрыв
в газе с противодавлением. — Труды М И А Н СССР, 87. М . , изд-во «Наука», 1966.
£4.
В . П .
Коробейников,
П . И .
Чушкин,
К.
В . Шароватова.
Таблицы газодинамических
функций начальной стадии точечного взрыва. Сообщ. по вычисл. матем., вып. 2.
М . , изд. В Ц А Н СССР, 1963.
35. В . П . Коробейников,
П . И .
Чушкин,
К.
В . Шароватова.
Газодинамические функции
точечного взрыва. — Труды В Ц А Н СССР. М . , 1969.
36.
37.
М .
А .
Садовский.
Механическое действие воздушных ударных волн по данным
экспериментальных исследований. — В сб. «Физика взрыва», № 1. М . , Изд-во
А Н СССР, 1952.
Цикулин.
Ударные волны при движении в атмосфере крупных метеоритных
М . , изд-во «Наука», 1969.
3 8 . Н . Shardin.
Measurement of spherical shock waves. — Communs Pure and Appl.
Math., 1954, 7, N 1.
М .
А .
тел.
39. Effect of atomic weapons. N. Y . , Los Alamos Scientific Laboratory, 1950.
40.
41.
42.
Гидродинамика взрыва. Л . , Судпромгиз, 1961.
и др. Взрывное дело. М . , изд-во «Недра», 1966.
А . С.
Фонарев,
С Ю .
Чернявский.
Расчет ударных волн при взрыве сферических
зарядов взрывчатых веществ в воздухе. — Изв. А Н СССР, механика жидкости и
газа, 1968, № 5.
Ю .
С.
43. / .
С.
Яковлев.
А .
Ловля
W.
Decay of spherical blast weves. — Phys. Fluids, 1967, 10, N 12.
M i l e s .
44.
В .
П .
Коробейников.
Приближенные формулы для расчета характеристик фронта
ударной волны при точечном взрыве в газе. — Д А Н С С С Р , 1956, 111, № 3.
45. Я . F . Fletcher,
D .
Cerneth,
С.
Goodman.
Explosion of propel lants. — A I A A Journal,
1966, 4, N 4.
46.
A . B . Золотое,
47.
48.
49.
H .
Brode.
Г.
Г.
У.
Д .
50.
П .
51.
В .
а) К вопросу о возможности «теплового» взрыва и структуре Тунгус­
ского космического тела; б) Оценка параметров тунгусского космического тела по
новым данным. — Д А Н СССР, 1967, 172, № 4, № 5.
Blast waves from a spherical charge. — Phys. Fluids, 1959, 2, N 2 .
Течение газа с большой сверхзвуковой скоростью. М . , 1959.
Р .
Ф.
Пробстин.
Теория гиперзвуковых течений. И Л , 1962.
Черный.
Хейз,
Чушкин,
Н .
П .
Шулишнина.
Таблицы сверхзвукового течения около зату­
пленных конусов. М . , изд. В Ц А Н СССР, 1961.
И .
В .
Лунев,
К.
М .
Магомедов,
В .
Г.
Павлов.
Гиперзвуковое обтекание приту­
плённых конусов с учетом разновесных физико-химических превращений. М . ,
изд. ВЦ А Н СССР, 1968.
52.
Э. И .
А н д р и а н к и н .
Метод возмущений для задачи о сильном взрыве. — Изв. А Н
СССР, механика, 1958, № 12.
53. Т. S . Chang,
О.
Laporte.
Reflection of strong blast waves. — Phys. Fl., 1964, 7 ,
N 8.
54. F . Demming.
Reflection of shock wave. . . — Ann. Phys., 1967, N 3 .
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
268
Сверхзвуковое течение и ударные волны. И Л , 1 9 5 0 .
Об отражении сферической ударной волны от плоскости. —
В сб. «Вычислительная математика», № 6. М . , Изд-во А Н СССР, 1960.
Действие ядерного оружия. Перев. с англ., М . , Воениздат, 1960.
К.
Е .
Губкин.
Исследование отражения ударных волн с помощью полутеневых
фотографий. — В сб. «Физика взрыва», № 3 . М . , Изд-во А Н СССР, 1955.
О.
С.
Рыжов,
С.
А .
Христианович.
О нелинейном отражении слабых ударных
волн. — Прикл. матем. и мех., 1958, 22, вып. 5.
Th.
Ginsburg.
Ausbreitung und Reflexion von starken Explosions- Wellen. — «Sympos. Numeric. Treatment Partial Differential Equation with Real Characteristics,
Rome, 1959». Rome, I960.
H .
А . Архангельский.
Алгоритм численного решения задачи о цилиндриче­
ском взрыве. . . — Ж . вычисл. матем. и матем. физ., 1971, И , № 1.
P .
Курант,
M .
М .
К.
Васильев.
Фридрихе.
Глава
1.
В .
2.
Л .
5
Я . Коробейников.
Точное решение нелинейной задачи о взрыве в газе при пере­
менной начальной плотности. — Д А Н СССР, 1957, 117, № 6.
И .
Седов.
Об интегрировании уравнений одномерного движения газа. — Д А Н
СССР, 1953, 90, № 5.
3. В . П . Коробейников,
Е . В . Рязанов.
Построение точных разрывных решений уравне­
ний одномерной газодинамики и их приложения. — Прикл. матем. и мех., 1958,
22, вып. 2 .
4 . Я . Б . Зельдович.
Акуст. ж., 1956, 2, вып. 1.
5. Р . И . Нигматуллин.
Плоский взрыв на границе двух идеальных калорически со­
вершенных газов. — Вестник М Г У , матем., мех., 1965, № 1.
6. В . Я . Коробейников,
Г.
А .
Остроумов.
Еще о кавитационном разрушении. —
Акуст. ж., 1965, 12, вып. 4.
7.
Г.
А .
Остроумов.
О механизме кавитационного разрушения. — Акуст. ж., 1963, 9,
вып. 2.
8.
9.
П .
Райзер.
Удар по поверхности. . . — Ж . прикл. мех. и техн. физ., 1963, № 1.
Я . Румянцев.
Об одном предельном случае распространения сильных взрывных
волн в неоднородной среде. — Ж . прикл. мех. и техн. физ., 1963, № 1.
Ю .
Б .
10.
Б .
Я . Румянцев.
К теории взрыва в неоднородной среде. . . — Ж . прикл. мех.
и техн. физ., 1963, № 4.
.11. Л . В . Шуршалов.
К задаче о сильном взрыве на границе полупространства, за­
полненного совершенным газом. — Прикл. матем. и мех., 1969, 33, № 2.
12. Л . И . Седов.
Плоские задачи гидродинамики. М . — Л . , Г И Т Т Л , 1950.
13. Л . А . Галин.
Удар тела о поверхность сжимаемой жидкости. I Всес. съезд по теор.
и прикл. мех. Аннотации докл. М . , Изд-во А Н СССР, 1960.
14.
Э.
15.
А . Я .
11.
В .
П .
Борисова,
П .
Я . Корявое,
Я . Я . Моисеев.
Плоские и осесимметричные авто­
модельные задачи погружения и соударения струй. — Прикл. матем. и мех., 1959,
23, вып. 2.
Сагомонян.
Пространственные задачи по неустановившемуся движению сжи­
маемой жидкости. М . , Изд-во М Г У , 1962.
16. А . А . Дерибас,
С.
Я . Похожаев.
Постановка задачи о сильном взрыве на поверх­
ности жидкости. — Д А Н СССР, 1962, 144, № 3 .
Ф.
1964,
18.
S.
S.
М и н и н .
№
О взрыве на поверхности жидкости. — Ж . прикл. мех. и техн. физ.,
з.
Grigoryan,
M .
M .
Martirosyan.
Ground waves stimulated by surface blast. —
Astronautica Acta, 1970, 15, N. 5.
19.
В .
20.
В .
21.
Д .
Алексеенко.
Экспериментальное исследование распределения энергии при
контактном взрыве. — Изв. А Н СССР, физика горения и взрыва, 1967, 3, № 1.
К.
И .
Бабенко
и др. Методы решения некоторых двумерных задач. Доклад на
I Всес. конф. по вычисл. технике. М . , 1959. В сб. «Вопросы вычислительной мате­
матики и вычислительной техники». М . , Машгиз, 1963.
В . В . Русанов,
Э . Э . Шноль.
Разностные методы в пространственных задачах газо­
вой динамики. Доклад на I V всес. матем. съезде. Л . , 1961. — Труды IV Всес.
матем. съезда. Л . , 1963.
В . В . Русанов.
Расчет и исследование многомерных течений газа методом конечных
разностей. Докт. дисс. М . , Ин-т проблем механики А Н СССР, 1968.
X .
С.
Кестенбойм,
Ф. Д .
Турецкая,
Л .
А . Чудов.
Точечный взрыв в неоднородной
атмосфере. — Ж . прикл. мех. и техн. физ., 1969, № 5.
В .
П .
Коробейников,
В .
Я . Карликов.
Определение формы и параметров фронта
ударной волны при взрыве в неоднородной среде. — Д А Н СССР, 1963, 148, № 6.
V.
P .
Korobeinikov.
Gas dynamics
of explosion. — Annual Review of Fluid
mechanics, v. 3 , Annual Reviews Inc. U S A , 1 9 7 1 .
22.
23.
24.
25.
26.
27.
П .
Коробейников,
П .
И .
Чушкин,
К.
В .
Шароватова.
Таблицы газодинамиче­
ских функций начальной стадии точечного взрыва. Сообщ. по вычисл. матем.,
вып. 2. М . , изд. ВЦ А Н СССР, 1963.
Я . Коробейников,
П . И .
Чушкин,
К.
В . Шароватова.
точечного взрыва. М . , изд. ВЦ А Н СССР, 1969.
Газодинамические функции
В .
269
28.
Л .
В .
Новое решение уравнений гидродинамики. — Д А Н СССР, 1956>
Овсянников.
111, № 1.
29.
В .
П .
Карликов.
Решение линеаризированной осесимметричной задачи о точечном
взрыве в среде с переменной плотностью. — Д А Н СССР, 1955, 101, № 6.
30. В .
П .
Карликов.
Линеаризированная задача о распространении сильного
взрыва.
— Вестник М Г У , серия матем., механ., астрон., физ., хим., 1959, № 4.
31. В . П . Дарликов.
Линеаризированное решение задачи о сильном взрыве в среде
с линейным распределением плотности. — Вестник М Г У , серия матем., механ.,
1960, № 1.
32. Э . И . А н д р и а н к и н . Метод возмущений для задачи о сильном взрыве. — Изв. А Н
СССР, О Т Н , 1958, № 12.
33.
А .
С.
130,
Точечный взрыв в неоднородной атмосфере. — Д А Н СССР, 1960,
Компанеец.
№ 5.
34.
Э.
И .
А н д р и а н к и н ,
А . С.
Компанеец,
В .
П .
Крайнов.
Распространение сильного
взрыва в неоднородной атмосфере. — Прикл. матем. и техн. физ., 1962, № 6.
35.
D .
D .
Laumbach,
R .
F.
Probstein.
A point explosion in a cold exponential atmo­
sphere. — J. Fluid Mech., 1969, 35, pt 1.
36.
К.
E .
Губкин.
Распространение разрывов в звуковых волнах. — Прикл. матем.
и мех., 1958, 22, вып. 4.
37. К. Е . Губкин.
Нелинейная геометрическая акустика и ее приложения. — В сб.
«Некоторые проблемы математики и механики». Новосибирск, изд. Сиб. отд.
А Н СССР, 1961.
38. О. С. Рыжов.
Затухание ударных волн в неоднородных средах. — Ж . прикл. мех.
и техн. физ., 1961, № 2.
39.
О.
С.
Рыжов,
Г.
М .
Шефтпер.
Об энергии звуковых волн, распространяющихся
в движущихся средах. — Прикл. матем. и мех., 1962 26, № 5.
40. Л . И . Седов.
Методы подобия в нелинейной механике сплошной среды. — Труды
III Всес. матем. съезда, т. I I I . M . , Изд-во А Н СССР, 1958.
41. В . П . Коробейников,
П . И .
Чушкин.
Плоский, цилиндрический и сферический взрыв
в газе с противодавлением. — Труды М И А Н СССР, 1966, 87.
%
Глава
1.
Л .
И .
Седов.
6
Методы подобия и размерности в механике. Изд. 4. М . , Гостехиздат,
1957.
2.
В .
П .
Коробейников,
Н .
С.
Мельникова,
Е .
В .
Рязанов.
Теория точечного взрыва.
М . , Физматгиз, 1961.
3.
4.
5.
А . С.
Компанеец.
Теория детонации. М . , Гостехиздат, 1955.
Два случая неустойчивого горения. — Ж Э Т Ф , 1959, 36, № 2.
Р .
М .
Зейдель,
Я .
Б .
Зельдович.
Одномерная неустойчивость и затухание детона­
ции. — Ж . прикл. мех. и техн. физ., 1963, № 6.
Я .
Б .
Зельдович,
К.
И .
Щелкин.
6.
Р . И .
Солоухин.
О детонации в газе, нагретом ударной волной. — Ж . прикл. мех.
и техн. физ., 1964, № 4.
7. R . В . Gilbert,
R .
A . Strelow.
Theory of detonation initiation behind reflected shock
waves. — A I A A Journal, 1966, 4, N 10.
8.
В .
9.
Р .
И .
Солоухин.
Зона экзотермической реакции в одномерной ударной волне
в газе. — Физика горения и взрыва, 1966, № 3 .
10.
В .
Пухначев.
Об устойчивости детонации Чепмена—Жуге. — Ж . прикл. мех.
и техн. физ., 1963, № 6.
С. Ш и к и н . О точных решениях уравнений одномерной газодинамики с ударными
и детонационными волнами. — Д А Н СССР, 1958, 122, № 1.
1 1 . В . А . Левин.
Приближенное решение задачи о сильном точечном взрыве в горю­
чей смеси. — Изв. А Н СССР, механика жидкости и газа, 1967, № 1.
12. В . П . Коробейников,
П .
И .
Чушкин.
Плоский, цилиндрический и сферический
взрыв в газе с противодавлением. — Труды М И А Н СССР, 1966, 37.
13. Г . Г . Черный.
Асимптотический закон распространения плоской детонационной
волны. — Д А Н СССР, 1967, 172, № 3.
270
И .
14.
A .
J .
Laderman.
Detonability of hydrogen-oxygen mixtures in large vessels at low
initial pressures. — A I A A Journal, 1966, 4, N 10.
15. E . Бишимов.
Численное решение задачи о сильном точечном взрыве в детонирую­
щем газе. — В сб. «Дифференциальные уравнения и их применение». Алма-Ата,
изд-во «Наука», 1969.
16. Е . Бишимов.
Плоский, цилиндрический и сферический взрыв с противодавлением
в детонирующем газе. — Изв. А Н Каз. ССР, серия физ.-матем., 1969, № 1.
17.
В .
П .
177,
18.
В .
21.
A .
22.
M .
23.
Г.
Коробейников.
Точечный взрыв в детонирующем газе. — Д А Н СССР, 1967,
№ 2.
П .
Коробейников:
Задача о точечном взрыве в детонирующем газе. Международ­
ный коллоквиум по газодинамике взрывов. Брюссель, 1967 (Astronautica Acta.
1969).
19. Е . Бишимов,
В . П .
Коробейников,
В . А . Левин
и др. Одномерные нестационарные
течения горючей смеси газов с учетом конечной скорости химических реакций. —
Изв. А Н СССР, механика жидкости и газа, 1968, № 6.
20. В . П . Коробейников,
В . А . Левин.
Сильный взрыв в горючей смеси газов. — Изв.
А Н СССР, механика жидкости и газа, 1969, № 6.
Ferry,
P .
Libby,
V.
Zakkay.
Theoretical and experimental investigation of super­
sonic combustion. Politechn. Inst, of Brooklyn and General Applied Science L a b . ,
Inc., 1962.
П .
Самозванцев.
О стабилизации детонационных волн при помощи плохообтекаемых тел. — Ж . прикл. мех. и техн. физ., 1964, № 4.
Г.
Черный.
Сверхзвуковое обтекание тел с образованием фронтов детонации и
горения. — В сб. «Проблемы гидродинамики и механики сплошной среды». М . ,
изд-во «Наука», 1969.
24. Р . Солоухин,
Д ж .
Л и , А . Оппенгейм.
Вопросы детонации в газах. Международный
коллоквиум по газодинамике взрывов. Брюссель, 1967 (Astronautica Acta, 1969).
25. Л . Г . Гвоздева.
Экспериментальное исследование дифракции детонационных волн
в стехиометрической смеси метана с кислородом. — Ж . прикл. мех. и техн. физ.,
1961, № 5.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
Б .
Зельдович,
Ю .
П .
Райзер.
Физика ударных волн и высокотемпературных
гидродинамических явлений. М . , изд-во «Наука», 1966.
Я .
Р .
И .
Солоухин.
Нестационарные явления в газовой детонации. 12-й Междунар.
симпозиум по горению. Пуатье, 1968.
E . A . Lundstrom,
А . К.
Oppenheim.
On the influence of non-steadiness on the thick­
ness of the detonation wave. — Proc. X I I . Internat. Sympos. on Combustion. Poi­
tiers, 1968.
H .
H .
Семенов.
Развитие теории цепных реакций и теплового воспламенения. М . ,
изд-во «Знание», 1969.
A . L . F u l l e r , R . A . Gross.
Thermonuclear detonation wave structure. — Phys. Fluids,
1968, 11, N 3.
Л .
H .
Бусурина,
В .
Я .
Гольдин,
H .
H .
Калиткин
и др. Численный расчет дето­
нации. — Ж . вычисл. матем. и матем. физ., 1970, 10, № 1.
-Ж. S. C h u . Thermonuclear Reaction Waves at High Densities. Phys. Fluids,
1972, 15, № 3.
Глава
7
1.
А . Г.
Куликовский,
Г . А . Любимов.
О магнитогидродинамических ударных волнах,
ионизующих газ. — Д А Н СССР, 1959, 129, № 1.
2.
В .
3.
J.
П .
Коробейников.
О расчете одномерных течений при цилиндрическом и пло­
ском взрыве в идеально проводящем газе с учетом противодавления и магнитного
поля. - Д А Н СССР, 1965, 165, № 5.
D .
Murrey.
Strong cylindrical shock waves in magnetogasdynamics. — Mathematika, 1961, 8, pt 2.
4. В . П . Коробейников,
E .
В .
Рязанов.
Некоторые решения уравнений одномерной
магнитной гидродинамики, . - я Прикл. матем. и мех., 1960, 24, вып. 1.
271
5.
В .
П .
Коробейников.
Об одномерных движениях газа в магнитном поле, сопрово­
ждающихся ударными волнами. — Ж . прикл. мех. и техн. физ., 1960, № 2»
6.
A .
7.
В .
8.
В .
12.
В .
13.
А .
S a k u r a i .
Interaction of cylindrical shock waves with magnetic field parallel to
the axis. — J. Phys. Soc. Japan, 1962, 17, N 10.
П .
Коробейников.
Затухание слабых магнитогидродинамических
волн. — Магнитная гидродинамика, 1967, № 2.
ударных
П .
Коробейников.
Одномерные автомодельные движения проводящего газа в маг­
нитном поле. — Д А Н СССР, 1958, 121, № 4.
9. В . П . Коробейников.
О цилиндрическом взрыве и прямолинейном разряде в электро­
проводной среде с учетом магнитного поля. — Сб. «Вопросы магнитной гидродина­
мики и динамики плазмы». Рига, Изд-во А Н Латв. ССР, 1962.
10. Э . К а м к е . Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М . ,
Физматгиз, 1961.
И . С. Greifinger,
J .
D .
Cole.
Similarity solution for cylindrical magnetohydrodynamic
blast waves. — Phys. Fluids, 1962, 5, N 12.
П .
Коробейников.
Плоский взрыв в электропроводном газе при наклонном маг­
нитном поле. — Д А Н СССР, 1966, 171, № 3.
Г.
Куликовский,
Г.
А .
Магнитная гидродинамика. М . , Физматгиз,
Любимов.
1962.
14.
15.
Л .
Д .
Л а н д а у ,
В .
П .
Коробейников,
Механика сплошных сред. М . , Гостехиздат, 1953.
О взаимодействии сильных взрывных волн
с электромагнитным полем. — Д А Н СССР, 1960, 133, № 4.
16. В . П . Коробейников,
Е . В . Рязанов.
О распространении магнитогидродинамических
ударных волн, возникающих при взрывах. — В сб. «Вопросы магнитной гидро­
динамики». Рига, Изд-во А Н Латв. ССР, 1964.
17.
В .
E .
М .
Лифшиц.
В .
П .
Карликов.
Линеаризированная задача о распространении сильного взрыва
атмосфере. Канд. д и с с , М Г У , 1958.18. N . Ness,
I.
В . Fanucci,
L . J . Kijewski.
Nonuniform expansion of a piston into an ioniz­
ed medium with a weak magnetic field. — Phys. Fluids, 1963, 6, N 9.
19. В . П . Коробейников.
О взаимодействии ударных волн в идеально проводящем газе
со слабыми магнитными полями. — Ж . прикл. мех. и техн. физ., 1964, № 4.
Л ,
Карликов.
в неоднородной
20.
Ж .
М .
Бюргере.
Проникание ударной волны в магнитное поле. — В сб. «Магнит­
ная гидродинамика». М . , Атомиздат, 1958.
21. A . S a k u r a i . Blast wave theory. — In: Basic Developments in Fluid Dynamic, v. 1.
M . Holt (Ed.), N. Y . , Acad. Press, 1965.
22. В . П . Коробейников,
E . B . Рязанов.
О влиянии магнитного поля на распростране­
ние плоских и цилиндрических ударных волн. — П М Т Ф , 1962, № 4.
23.
P . S . Lykoudis.
Magnetofluidmechanic Blast Waves in a Medium with Finite Electri­
cal Conductivity, — Phys. Fluids, 1964, 7, N 8, 1372.
24.
25.
L .
G.
L i n h a r t .
G.
C.
Vlases,
26.
H .
Plasma physics. 2 ed. Amsterdam, North Holland Publ., Co., 1961.
L . Jones.
Experimental study of cylindrical magnetohydrodynamic
blast waves. — Phys. Fluids, 1968, 11, N 5.
P .
D .
Similarity solution for cylindrical shock. —- Phys. Fluids,
Greenspon.
1962
r
5, N 3.
27.
Ф.
А .
Б а у м ,
С.
А .
К а п л а н ,
К.
П .
Станюкович.
Введение в космическую газодина­
мику. М . , Физматгиз, 1958.
28.
П .
П . Волосевич,
В . С.
Соколов.
Автомодельная задача о разлете электропроводного
газа в среду с заданным осевым магнитным полем. — Магнитная гидродинамика,
1967, № 1.
29.
30.
В .
— Ж Э Т Ф , 1959, 37, вып. 6.
О возмущении электромагнитного поля удар­
ными волнами при наличии скачка проводимости. — Прикл. матем. и мех., 1961,
25, № 3.
31. R . Gallet.
Propagation and production of electromagnetic waves in a plasma. — Nuovo
cimento, Suppl. ser. 10, 1959, 13, N 1.
32.
A
272
А .
А .
П .
Б р и ш ,
Карликов,
М .
С.
В .
Тарасов,
П .
В .
А .
Цукерман.
Коробейников.
. A . Б а р м и н ,
А . Г.
Куликовский.
Об ударных волнах, ионизующих
щийся в электромагнитном поле. — Д А Н СССР, 1968, 178, № 1.
газ, находя­
Г
1.
2.
3.
4.
Е .
л
а
в
а
8
Динамические процессы в межпланетной среде. М . , изд-во «Мир», 1965.
Курс общей астрофизики. М . , изд-во «Наука», 1966.
Э . Смит.
Солнечные вспышки. М . , изд-во «Мир», 1966.
Colburn,
С.
Р .
Sonett.
Discontinuities in the solar wind. — Space Sei. Revs,
П а р к е р .
Д .
Я .
Мартынов.
Г.
Смит,
D .
S.
1966, 5.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
M a x w e l l ,
R .
J . Defouw
and P . Cummings.
Radio evidence for solar corpuscular
emission. — Planet. Space Sei., 1964, 12; N 5, 435—49.
R .
С.
Whang,
С.
K .
L i n , С.
C.
Chang.
A viscous model of solar wind. — Astrophys.
J., 1966, 145, N 1.
Г . С. Бисноватый-Коган.
Течение идеального газа в сферически-симметричном поле
тяжести с учетом лучистой теплопроводности и лучистого давления. — Прикл.
матем. и мех., 1967, 31, вып. 4.
В .
В .
Виткевич,
В .
И .
Власов.
Радиоастрономические исследования движения и
размеров мелкомасштабных неоднородностей межпланетной плазмы. — Д А Н
СССР, 1968, 181, № 3.
G. F .
Chew,
M .
L . Goldberger,
F.
E . Low.
The Boltzmann equation and the one-fluid
hydromagnetic equations in the absence of particle collisions. — Proc. Roy. S o c ,
1956, A236.
A .
R .
K .
W a v e motion in a plasma with anisotropic pressure. — Phys. Fluids,
J a g g i .
1962,
5, N 8.
Л .
Седов.
И .
Методы подобия и размерности в механике. Изд. 6. М . , изд-во «Наука»,
1967.
12.
В .
П .
Коробейников,
Н .
С.
Мельникова,
Е .
В .
Рязанов.
Теория точечного взрыва.
М . , Физматгиз, 1961.
13.
J .
F.
M u l l e n .
Aerodynamic blast simulation in hypersonic tunnels. —
Journal, 1965, 3, N 11.
14. M . Л . Лидов.
Автомодельные движения газа со сферической симметрией в поле
гравитирующего центра. — Астрон. ж., 1957, 34, № 4.
П .
M i r e l s ,
AIAA
15.
16.
Р . 3.
Сагдеев.
Коллективные процессы и ударные волны в разреженной плазме. —
В сб. «Вопросы теории плазмы», т. I V . М . , Атомиздат, 1964.
Ю .
А .
Березин,
P .
X .
Куртмуллаев,
Ю .
Е .
Бесстолкновительные
А Н СССР, физика горения и
Пестерихин.
ударные волны в разреженной плазме. — Изв.
взрыва, 1966, 2, № 1.
17. / . Т. Costing
et al. Measurement of the interplanetary solar with during the large
geomagnetic storm of April 17—18 1965. — J. Geophys. Res., 1967, 72, N 7.
18. / . T. Costing
et al. Sattellite observations of interplanetary shock waves. — J. Geo­
phys. Res., 1968, 73, N 1.
19.
T.
Gold.
Discussion of shock waves and rarefied gases. — In: Gas Dynamics of Cosmic
clouds, H . C. vlan Hülst and J. M . Burgers (Eds), Amsterdam, North Holland Publ.
Co., 1955.
20.
P .
21.
Res.,
Jr. Variations in.the interplanetary magnetic field, 1. — J. Geophys.
1966, 71, N 23.
А .
Куликовский,
S.
Г.
Coleman
Г.
А .
Любимов.
Магнитная гидродинамика. M . , Физматгиз,
1962.
22.
В .
П .
Коробейников.
О взаимодействии ударных волн в идеально проводящем газе
со слабыми магнитными полями. — Ж . прикл. мех. и техн. физ., 1964, № 4.
23.
В .
24.
В .
26.
V.
П .
Коробейников,
Е .
В .
Рязанов.
О распространении магнитогидродинамиче­
ских ударных волн, возникающих при взрывах. — В сб. «Вопросы магнитной
гидродинамики». Рига, Изд-во А Н Латв. ССР, 1964.
П .
Коробейников.
О приложении теории взрыва к вопросам распространения
ударных волн при солнечных вспышках. III Всес. съезд по теоретич. и прикл. мех.
Аннотации докл. М . , изд-во «Наука», 1968.
25. В . П . Коробейников.
О приложении анализа размерностей к вопросам движения
межпланетного газа при солнечных вспышках. — Д А Н СССР, 1969, 185/ № 6.
P .
Korobeinikov.
On the gas flow due to solar flares. — Solar Phys., 1969, 7, N 3.
273
27. Солнечный ветер. Сборник статей. Под ред. Р. Макнина, М . Негейбауэра. М . ,
изд-во «Мир», 1968.
28. К. Н . Грингауз,
В . В . Безруких,
Л . И .
Мусатов.
Наблюдения солнечного ветра на
межпланетной станции «Венера-3». Докл. на симпозиуме по солнечной земной
физике. Белград, 1966.
29. С. Н . Верное
и др. Исследование космических лучей при полетах автоматических
станций. — Труды V Всес. зимней школы по космофизике. Апатиты, 1968.
30. Г . П . Любимов.
Замедление ударных волн от солнечных вспышек в космическом
пространстве. — Астрон. цирк., 1968, № 488.
31. S . J . Вате,
I.
R .
Asbridge,
A . J .
Hunhausen
et al. Solar wind and magnetosheeth
observations during the January 13—14 1967, geomagnetic storm. — J. Geophys.
Res., 1968, 73, N 17.
32. M . Dryer,
D .
L . Jones.
Energy deposition in the solar wind by flare-generated shock
waves. — J. Geophys. Res., 1968, 73, N 15.
33. В . Г . Горбацкий.
Космические взрывы. M . , изд-во «Наука», 1967.
34. Г . Г . Черный.
Течение газа с большой сверхзвуковой скоростью. М . , Физматгиз,
1959.
35.
С.
С.
Григорян,
Г . В . Марченко,
Ю . Л . Якимов.
О нестационарных движениях газа
в ударных трубах переменного сечения. — Ж . прикл. мех. и техн. физ., 1961, № 4 .
36. D . D . Laumbach,
R .
F.
Probstein.
A point explosion in a cold exponential atmo­
sphere. — J. Fluid Mech., 1969, 35, pt 1.
37.
П .
Коробейников,
Ю . M .
Николаев.
О распространении возмущений в солнечном
ветре от хромосферных вспышек. — Космические исследования, 1969, № 6.
38. В . П . Коробейников.
О движении межпланетного газа, вызванном солнечной
вспышкой. — Сб. «Проблемы прикл. матем. и мех.». М . , «Наука», 1971.
39. В . П . Коробейников,
Ю .
М .
Николаев.
Ударные волны и конфигурации маг­
нитных полей в межпланетном пространстве. — Cosmic Electrodynamics, 1972,
3, № 1.
В .
О Г Л А В Л Е Н И Е
Введение
3
Глава 1. Основные уравнения и постановки задач
10
§ 1. Уравнения газовой динамики
1.1, Уравнения в интегральной форме (стр. 10). 1.2. Дифференциальные
уравнения газовой динамики и их свойства (стр. 12). 1.3. Некоторые упро­
щенные и частные виды уравнений движения жидкости (стр. 17).
10
§ 2. Условия на сильных разрывах
20
2.1. Вывод соотношений на сильных разрывах (стр. 20) 2 . 2 . Виды
поверхностей разрыва и их свойства при Q = 0 (стр. 23). 2.3. Ударные волны
при одномерных течениях (стр. 25).
§ 3. Уравнения магнитной гидродинамики
27
3.1. Система дифференциальных уравнений магнитной гидродинамики
(стр. 27). 3.2. Уравнения магнитогидродинамического приближения для
движения разреженной плазмы (стр. 32). 3.3. Линеаризированная система
уравнений магнитной гидродинамики (стр. 35).
§ 4. Условия на магнитогидродинамических ударных волнах
4 . 1 . Магнитогидродинамические разрывы (стр. 36). 4.2. Условия на удар­
ных волнах для гидродинамической модели разнеженной плазмы (стр. 39).
36
§ 5. Элементы теории размерности и понятие об автомодельных движениях
среды
§ 6. Инвариантные и автомодельные решения уравнений одномерных движе­
ний
41
45
6.1. О связи между анализом размерности и теорией групп преобразований
(стр. 45). 6.2. Инвариантные решения и их связь с автомодельными
решениями (стр. 48). 6.3. Интегралы адиабатических движений и интеграл
энергии (стр. 50).
§ 7. Постановки задач о точечном взрыве
7.1. Некоторые задачи для линейных уравнений математической физики
(стр. 52). 7.2. Точечный взрыв в несжимаемой жидкости (стр. 55). 7.3. То­
чечный взрыв в газе (стр. 58).
52
Глава 2. Сильный взрыв в газе
61
§ 1. Точное решение Л . И . Седова автомодельной задачи о сильном взрыве
в совершенном газе при постоянной и переменной начальной плотности
61
§ 2. Зависимость точного решения от параметров со, у, v .
2.1. Зависимость решения для постоянной начальной плотности от пара­
метров у и v (стр. 64). 2.2. Об аналитических свойствах решения в окрест­
ности центра симметрии для случая постоянной начальной плотности
(стр. 69). 2.3. Зависимость решения от со, v, 7 в случае переменной плот­
ности (стр. 71).
64
275
§ 3 . Задача о сильном взрыве в газе при нулевом градиенте температуры
. .
3 . 1 . Задача о точечном взрыве для уравнения нелинейной теплопровод­
ности (стр. 73). 3.2. Сильный взрыв при нулевом градиенте температуры
(стр. 74).
73
§ 4. Об учете высокотемпературных эффектов в задаче о сильном взрыве
4 . 1 . Термодинамические свойства газов
при
высоких
температурах
(стр. 81). 4.2. О влиянии теплового излучения на движение газа (стр. 84).
4 . 3 . Постановки задач о точечном взрыве в газе с учетом высокотемпера­
турных эффектов (стр. 85).
81
§ 5. Некоторые приложения теории сильного взрыва
5 . 1 . Начальная стадия движения газа при атомном взрыве
5.2. Электрический взрыв проводников и разряды в газе
5.3. Локальный нагрев газа лазерным лучом (стр. 93).
89
Глава 3 . Линеаризированные
неавтомодельные
одномерные
(стр. 89).
(стр. 91).
задачи
95
§ 1. Линеаризация уравнений газовой динамики
95
§ 2. Взрыв с учетом постоянного противодавления при переменной начальной
плотности
100
2 . 1 . Система линеаризированных уравнений (стр. 100). 2.2. Интеграл си­
стемы (3.35) и закон движения ударной волны (стр. 102). 2.3. Точное реше­
ние при ш = <!>! (стр. 103).
§ 3. Учет противодавления для случая изотермической атмосферы переменной
плотности
107
§ 4. Сильный взрыв в движущемся газе
НО
§ 5. Учет противодавления в начальной стадии плоского, цилиндрического
или сферического взрывов в газах при постоянной начальной плотности
5 . 1 . Основные уравнения
и
некоторые
их
свойства
(стр. И З ) .
5.2. Численное решение задачи (стр. 116). 5.3. Результаты расчетов
(стр. 118). 5.4. Вариант метода прогонки для решения линеаризированной
системы (стр. 119).
§ 6. Об использовании
принципа
суперпозиции
линейных
поправок . . . .
113
122
Глава 4 . Сферический, цилиндрический и плоский взрывы с учетом противо­
давления при постоянной начальной плотности
124
§ 1. Об асимптотическом поведении решения вблизи центра симметрии . . .
124
§ 2. Законы затухания ударных волн на больших расстояниях от места взрыва
126
§ 3. Численное решение задачи
128-
.
3 . 1 . Краткий обзор методов и результатов (стр. 128) 3.2. Основные урав­
нения и условия задачи (стр. 129). 3.3. Схема расчета в переменных Эйлера
(стр. 132). 3.4. Результаты расчетов (стр. 138).
§ 4. Параметры фронта ударной волны и сравнение с другими расчетами и дан­
ными экспериментов
147
§ 5. Приближенные формулы для определения
волны
149
параметров
фронта
ударной
5.1. Приближенные асимптотические формулы для больших расстояний
(стр. 149). 5.2. Зависимость скорости частиц газа на фронте ударной волны
от координаты (стр. 150). 5.3. Закон движения достаточно сильной ударной
волны и ее параметры (стр. 152). 5.4. Формулы для всего диапазона рас­
стояний в случае плоских и цилиндрических волн (стр. 153). 5.5. Формулы
для всего диапазона расстояний в случае сферических волн. Сравнение
давлений для v = 1,2,3 (стр. 156).
§ 6. О пересчете безразмерных величин на размерные. Закон подобия . . . .
158
§ 7. Использование аналогии между взрывом и обтеканием тонких затуплен­
ных тел
160
§ 8. Взрыв в стационарном
163
276
поступательном потоке газа
§ 9. Об отражении ударных волн точечного взрыва
164
9.1. Начальная стадия отражения плоской волны от параллельной ей пло­
ской стенки, цилиндрической и сферической волны от концентрической,
цилиндрической или сферической стенок соответственно (стр. 164).
9.2. Начальная стадия регулярного отражения плоской, цилиндрической
или сферической взрывных волн от плоской поверхности (стр. 166).
Глава 5. Задачи теории точечного взрыва в неоднородных средах и при несим­
метричном выделении энергии
169
§ 1. Точное решение при специальной зависимости
p (г)
169
t
§ 2. Взрыв на границе раздела двух сред
2 . 1 . Задача о плоском, цилиндрическом или сферическом сильных взры­
вах на поверхности раздела двух идеальных сжимаемых сред (стр. 170).
2.2. Об определении параметров течения при взрыве на плоской поверх­
ности раздела между газом и твердой или жидкой средой (стр. 172).
170
2.3. Плоский взрыв на границе раздела двух одинаковых газов, имеющих
равные начальные давления, но различные начальные плотности (стр. 172).
§ 3. Приближенные способы определения параметров ударных волн при взрыве
в слоисто-неоднородной атмосфере
3.1. Формулировка задачи и выводы, вытекающие из анализа размерности
(стр. 173). 3.2. Определение формы и параметров фронта ударной волны
при взрыве в точке (стр. 175).
173
§ 4. Несимметричное выделение энергии
181
Глава 6. Взрыв, в горючей смеси газов
182
§ 1. Постановка задачи
182
§ 2. Решение задачи для модели детонационной волны
184
§ 3. О некоторых свойствах течения газа
при учете
кинетики
химических
реакций
190
Глава 7. Точечный взрыв в электропроводном газе с учетом влияния магнитного
поля
.
201
§ 1. Введение
201
§ 2. Одномерные задачи для движений идеально проводящего газа, в которых
скорость перпендикулярна вектору поля
202
2. 1. Постановка задач (стр. 202). 2.2. Постоянное начальное магнитное
поле, параллельное фронту ударной волны (стр. 204). 2 . 3 . Автомодельная
задача для кольцевого начального поля (стр. 209.) 2.4. Автомодельная
задача для уравнений магнитной гидродинамики разреженной плазмы
(стр. 212).
§ 3. Плоский взрыв при наклонном магнитном поле
214
§ 4. Сферический точечный взрыв в постоянном поле
4.1. Общие замечания (стр. 217). 4.2. Определение магнитных полей в на­
чальной стадии течения (стр. 220). 4.3. Учет влияния магнитного поля
на движение
газа (стр. 222).
217
§ 5. О возмущении произвольного слабого магнитного поля
227
§ 6. Распространение
228
ударных волн при конечной электропроводности среды
6.1. Деформация слабого поля (стр. 228). 6.2. Течения при малых и конеч­
ных числах R
§ 7. О возбуждении
m
(стр. 231).
электромагнитных волн
сильными
ударными
волнами
со скачком проводимости
237
7. 1. Сферические ударные волны (стр. 238). 7.2. Случай плоских волн
(стр. 240).
277
Глава 8. О распространении
возмущенна от солнечных вспышек
243
§ 1. Некоторые данные об основных параметрах солнечных вспышек и меж­
планетной среды
§ 2. Использование анализа размерности и простейшие законы подобия . . .
243
245
§ 3 . Задача о точечном взрыве в неоднородной
248
движущейся среде
§ 4. О приложении решений задач к явлениям распространения
при
солнечных
возмущений
вспышках
250
§ 5. Об изменении магнитного поля при движении газа »
253
§ 6. Сравнение выводов теории с некоторыми данными наблюдений . . . .
255
Приложение
259
Литература
262