Разбор заданий окружного этапа всероссийской олимпиады школьников по математике

Разбор заданий окружного этапа
всероссийской олимпиады
школьников по математике
11 класс
1. Найдите все такие двузначные натуральные числа
n, что куб суммы цифр числа n равен числу n2.
Если а и b цифры чиcла n, то по условию
?
2
3
n =(a+b)
n – точный куб
Ответ: 27
2. Дано два соседних натуральных числа. Может ли
сумма цифр одного из них быть в 10 раз больше
суммы цифр другого?
n меньшее натуральное число, n+1 следующее за ним
S(n)
S(n+1)
1) S(n) < S(n+1), то S(n) +1= S(n+1).
Если S(n+1)=10S(n), то S(n) +1= 10S(n), 9S(n)=1
2) S(n) > S(n+1)
S(n+1) = S(n)-9+1, S(n)=S(n+1)+9-1
S(n+1) = S(n)-2*9+1, S(n)=S(n+1)+2*9-1
S(n+1) = S(n)-к*9+1, S(n)=S(n+1)+к*9-1
Если S(n)=10S(n+1), то 9S(n+1)= к*9-1
Ответ: нет
3. Стегозаврик Миша полагает, что рёбра любой
треугольной пирамиды можно разбить на три пары
так, что найдётся треугольник, длины сторон
которого равны суммам длин рёбер пирамиды в
каждой паре. Прав ли стегозаврик Миша?
AB, BC, AC, DA, DC, DB
Условие существования треугольника: a+b>c
AB + AC > BC, BD + CD> BC
AC + CD> AD, AB + BD > AD
Складывая все неравенства и деля
пополам, получаем, что AC + CD + BD + AВ > AD + BC,
Сумма длин любой пары противоположных рёбер меньше
суммы двух других аналогичных сумм
Ответ: да
4. Рассмотрим квадратные трёхчлены вида
f(x) = ax2 + bx + c, где a, b, c - различные
действительные числа, отличные от нуля.
Сколько существует таких трёхчленов, что
f(a) = b, f(b) = c, f(c) = a?
Из (3) -(2b + 1)2 + b(2b + 1) + 2b + 1 = -1, b = -1 или b = 1/2.
Но b = -1 не подходит, т. к. a и b должны быть различны.
Существует всего один такой квадратный трёхчлен:
f(x) = -x 2 +1/2 x + 2. (Проверка показывает, что он
удовлетворяет условию задачи.)
Ответ: 1
5. Кучку из n ≥2 спичек произвольным образом
разбили на две кучки (в каждой из которых есть
хотя бы по одной спичке), посчитали количество
спичек в каждой кучке и записали их произведение.
Затем одну из кучек опять разбили на две, опять
посчитали количество спичек в каждой из
полученных двух кучек и записали их произведение.
Этот процесс продолжали до тех пор, пока в
каждой кучке не стало по одной спичке. После
этого все полученные произведения сложили и
получили число S. Найдите S.
База индукции n = 2 : эту кучку можно разбить лишь на
две кучки по одной спичке в каждой, тогда
Предположим, что для всех чисел, меньших n, эта
формула верна. Возьмём кучку из n спичек и разобьём её
на кучки по a и b спичек (пусть, скажем, a ≤ b).
Если a = 1, то b = n — 1 и дальше мы будем разбивать на
две только кучку из b спичек и какие-то полученные из
неё кучки, поэтому, с учётом предположения индукции,
Если же a > 1, то, по определению нашей процедуры
разбиения и с учётом предположения индукции