сборник сложных задач Физика-7

7 класс
Сборник задач по физике
повышенной сложности
Сборник задач повышенной сложности адресован
учащимся 7-х классов, проявляющим интерес к изучению
физики. Приводятся решения аналогичных задач и
методические указания. Дается анализ ошибок, допускаемых
учащимися при решении задач, связанных с недостаточно
глубоким знанием предмета. На решенных примерах ученику
будет легче самостоятельно анализировать ход решения задач.
Последовательность расположения заданий соответствует
содержанию учебного материала. В основе сборника - задачи,
предлагавшиеся на олимпиадах по физике различного уровня.
Предисловие
Изучение школьного курса физики предполагает
обучение одаренных школьников решению задач. При этом
решение задачи рассматривается, как умение применять на
практике, в каждом конкретном случае, общие положения
физической науки. Именно поэтому умение решать задачи
часто является определяющим критерием в оценке полноты и
глубины усвоения теоретических знаний. Настоящее пособие
написано с целью оказания помощи одаренным учащимся 7 - 8
классов и учителям школ при подготовке к олимпиадам по
2
физике. Пособие представляет собой сборник задач по всем
разделам школьного курса физики 7 класса, в который
включены вопросы и задания различной степени сложности.
Даются ответы и решения, раскрываются методы решения
типовых задач.
Сборник задач можно использовать в факультативной и
кружковой работе. Задачи, рассмотренные в пособии, взяты из
сборников и составлены авторами.
Участие в олимпиадном движении играет большую роль в деле
воспитания молодых людей. Ответственность за начатое дело,
целеустремленность, трудолюбие, патриотизм. Учащиеся
являются первыми помощниками учителя во всех делах. Это
опора учителя, проводники его идей.
Олимпиадные задачи можно разделить на:
- поучительные и простые в решении с красивыми
парадоксальными ответами. Они совершенствуют, а подчас
вносят и серьёзные коррективы в мировоззрение ученика и,
нередко,
учителя.
Иногда
такая
задача
кажется
внепрограммной, но решается и в пределах программы;
- элегантные, с казалось бы ограниченным набором данных
или с избыточным числом переменных. Их назначение –
шлифовка техники решения и анализа;
- внепрограммные – таких практически не бывает, встречаются
только на международных олимпиадах. Связано это не только с
желанием «срезать» участников, сколько с необходимостью
уменьшить влияние разницы в программах различных стран и
школ преподавания. С одной стороны, условия таких задач
всегда сопровождаются подробным введением, с другой –
содержат несколько вопросов разной степени сложности;
- громоздкие и достаточно сложные вычислительные задачи.
Они малоинтересны после предварительного обсуждения,
требуют много времени для решения, но важны для
тренировки выносливости «олимпиадников», если таковые
появились у преподавателя;
действительно
сложные,
рассчитанные
на
самых
продвинутых
учеников
и
учителей.
Допустимы
на
дополнительных занятиях в подготовленной аудитории, если
не скучны;
3
Как правило, в решении олимпиадных задач можно выделить
несколько привлекательных для анализа стадий:
- поначалу бывает непонятным условие (либо вообще неясно, о
чём идёт речь, либо ситуация кажется настолько простой, что
неясно, в чем же проблема);
- затем проводится анализ ситуации и после этого (или вместе с
этим) построение модели явления – перевод каждой из
словесных фраз в объяснении наблюдаемого явления на язык
математики, запись уравнений, формул, условий;
- собственно решение и его анализ;
- выводы, обобщения и аналогии, снятие различного рода
недоумении. Анализ необходимости сделанных при решении
допущений. Чёткое фиксирование окончания решения.
ТЕМА I: СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ.
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ПРИМЕРЫ
№ 1.1
Автомобиль двигался первую половину пути со скоростью 60
км/ч, а вторую со скоростью 40 км/ч. Определить среднюю
скорость движения автомобиля на всем пути.
Возможное решение
4
s s1  s2
 ср  
t t1  t 2
(1)
s1
s2
1
2
так как t1=  , t2=  то, подставляя в
уравнение (1) получим:
ср 
2 s1
s1

s2

1 2
21 2
км
 48
1   2
ч
км
Ответ: 48 ч
№ 1.2
Мальчик два часа ехал на велосипеде, а потом шесть часов
шел пешком. Какой была его средняя скорость, если ехал он
втрое быстрее, чем шел, а шел со скоростью 4 км/ч?
Возможное решение
s s  s  t  t
км
ср   1 2  1 1 2 2  6
t t1  t2
t1  t2
ч
км
Ответ: 6 ч
№ 1.3
Путешественник одну треть времени своего движения шел со
скоростью 6 км/ч. Оставшееся время – со скоростью 3 км/ч.
Определите среднюю скорость путешественника.
Возможное решение
s s  s  t  t
км
ср   1 2  1 1 2 2  4
t t1  t 2
t1  t 2
ч
5
км
Ответ: 4 ч
№ 1.4
Мальчик проехал половину пути со скоростью 60 км/ч на
автомобиле, оставшуюся часть пути он половину времени
ехал со скоростью 45 км/ч, а последний участок – шел со
скоростью 15 км/ч. Найти среднюю скорость перемещения
мальчика на всем пути.
Возможное решение
На участке дороги, где мальчик половину времени ехал со
скоростью 45 км/ч, а вторую часть шел со скоростью 15 км/ч,
среднюю скорость  ср1 найдем как среднюю арифметическую:
ср1 
  3
\
2
2

15
км
км
 45
ч
ч  30 км
2
ч
Средняя скорость мальчика на всем пути равна:
s s s
 ср   1 2 . (См решение задачи № 1.1)
t t1  t 2
ср 
2 s1
s1

s2
 1  ср1

21 ср1
1   ср1
 40
км
ч
км
Ответ: 40 ч
№ 1.5
Мальчик половину времени всего движения ехал на
велосипеде со скоростью 20 км/ч, половину оставшегося пути
со скоростью 15 км/ч, а последний участок – шел со
скоростью 6 км/ч. Какова средняя скорость на всем пути?
Возможное решение
6
Найдем среднюю скорость на участках пути S2 и S3 (по
условию задачи S2 = S3):
 ср 
s s2  s3

t t 2  t3
 ср 
2s2
s2

s3

 2 3
Тогда средняя скорость на всем участке пути:
ср1 
1  ср
2

20
2 2 3
км
 8,6
 2  3
ч
км
км
 8,6
ч
ч  14,3 км
2
ч
км
Ответ: 14,3 ч
№ 1.6
Мальчик ехал сначала на автомобиле, а потом на велосипеде.
Какую часть пути, и какую часть всего времени движения он
ехал на автомобиле, если средняя скорость мальчика
оказалась равной 24 км/ч, скорость езды на автомобиле
60 км/ч, а на велосипеде = 12 км/ч.
Возможное решение
Запишем формулу для нахождения средней скорости:
s s1  s2 1t1   2t 2


(1)
t t1  t 2
t
где t1=t - t2 (2) подставим в (1) получим:
 ср 
 ср t  1t  1t 2   2 t 2
находим подобные: ср t  1t  1t 2   2t 2
t ( ср  1 )  t 2 ( 2  1 ) подставляем значения и находим:
t ( ср  1 ) 3
t2 
 t подставляем в (2)
 2  1
4
7
3
1
t1= t - 4 t= 4 t (3) (время движения мальчика на автомобиле)
Теперь найдем путь, который проехал мальчик на
автомобиле:
s
t
ср  
s
s

t1  t 2 s1  s2 (4) где S2 = S - S1 (5)
1  2
подставим (5) в (4):
s11 2


получим: ср s   s  s 
1 2
1
1 1
ср s1 2  ср s1  ср s11  s12
s(1 2   ср1 )
s

Отсюда: 1  (   )  0,625s
ср
2
1
1
Ответ: t1= 4 t ; s1  0,625s
№ 1.7
Средняя скорость автобуса на всем пути 60 км/ч, скорость
между двумя пунктами 80 км/ч, причем остановки занимают
1 час. Найти расстояние между этими пунктами.
Возможное решение
s
s
ср  
(1) - средняя скорость автобуса на всем
t t1  t
пути
t1 
s

(2) - время движения между двумя пунктами.
(2) подставляем в (1)
 ср 
s
s


t
s 
s    t (3)
 cр    t
s

 240км
Из формулы (3) находим
   ср
8
Ответ: 240 км
№ 1.8
Средняя скорость мотоциклиста на всем пути 20 км /ч. На
второй половине пути мотоциклист двигался в 4 раза больше
на чем на первой. Определите скорость мотоциклиста на
обеих половинах пути.
Возможное решение
1
s

s

s
1
2
Так как
2 , то формула для расчета средней
скорости:
2 
2 1  41 81
 ср  1 2 

1   2 1  41
5 (1)
5cр
км



12
,
5
Из уравнения (1) найдем 1 8
ч
км
км

50
Тогда
ч
ч
км
км


12
,
5


50
1
2
Ответ:
ч
ч ;
 2  41  4 12,5
№ 1.9
Мотоциклист проехал половину пути со скоростью 90 км/ч,
оставшуюся часть пути он половину времени двигался со
скоростью 60 км/ч, а последний участок пути со скоростью
30 км/ч. Найти среднюю скорость мотоциклиста на всем
пути.
Возможное решение
s1  s2 
1
s
2
так как пути одинаковые, то
9
t1 
s1
1
км/ч;
s
2 1 - время движения на участке со скоростью 90

t 2  t3 
s2
 ср1

s
s

2( 2   3 )  2   3
2
- время движения на втором и
третьем участках пути;
Найдем среднюю скорость мотоциклиста на всем пути:
2 (   3 )
s
s
s
км


 1 2
 60
s
s
t t1  t 2
 2   3  21
ч

21  2  3
км
Ответ:  ср  60 ч
 ср 
№ 1.10
Мальчик на мопеде первую половину пути двигался со
скоростью в 1,5 раза большей, чем вторую половину пути.
Средняя скорость мальчика на всем пути 15км/ч. Каковы
скорости мальчика на первой и второй половинах пути?
Возможное решение
Так как мальчик проехал одинаковые пути, то среднюю
скорость можно найти по формуле:
212 2  1,52  2 32


1  2 1,52  12 2,5 (1) из этого уравнения находим
2,5ср
км


 12,5
 2 - скорость на второй половине пути: 2
3
ч
ср 
км
км
тогда 1  1,5  2  1,5 12,5 ч  18,75 ч
Ответ: 
1
 18,75
км
ч
№ 1.11
10
Первую половину пути мотоциклист двигался со скоростью
72 км/ч. Далее половину оставшегося времени он ехал со
скоростью 60 км/ч, а затем шел пешком со скоростью 4 км/ч.
Определить среднюю скорость движения на всем участке
пути.
Возможное решение
s1  s2 
t1 
s1
1

1
s
2
так как пути одинаковые, то
s
2 1 - время движения на участке со скоростью
72 км/ч;
t 2  t3 
s2
 ср1

s
s

2( 2  3 )  2  3 - время движения на втором и
2
третьем участках пути;
Найдем среднюю скорость мотоциклиста на всем пути:
 ср 
2 (  3 )
s
s
s
км


 1 2
 44,3
s
s
t t1  t 2
 2  3  21
ч

21  2  3
км
Ответ: 1  44,3 ч
№ 1.12
Первую половину времени тело движется со скоростью 18 м/с
под углом 300 к заданному направлению, а второй 1200 к тому
же направлению со скоростью 10м/с. Найти среднюю
скорость перемещения.
Возможное решение:
s1  1x sin 1t1 (1) - первая половина пути
s2  2 x sin  2t1 (2)
- вторая половина пути
11
 ср 
s1  s2 1x sin 1t1   2 x sin  2t1
км

 8,8
t1  t 2
2t1
ч
Ответ: ср  8,8
км
ч
№ 1.13 Автомобиль проехал половину пути со скоростью
υ1=60 км/ч, оставшуюся часть пути он половину времени шел
со скоростью υ2 = 15 км/ч, а последний участок со скоростью
υ3 = 45 км/ч. Найти среднюю скорость автомобиля на всем
пути.
Возможное решение:
Определим среднюю скорость: cр 
 2  3
2
Найдем время на каждом участке пути:
s
s
s2
s
s
t1  1 
t



2
 cр 2( 2  3 )  2  3
1 21 ;
2
υср =
cр 
2 ( 21   3 )
s
s
s
s




s
s
( 2   3 ) s  21 s  2   3  21
t t1  t 2

21 (1   3 )
21 ( 2   3 )
2  60(15  45) 7200
км

 40
15  45  2  60 180
ч
Ответ: 40 км/ч
№ 1.14 Поезд первую половину пути шел со скоростью в n =
1,5 раза большей, чем вторую половину. Средняя скорость
поезда на всем пути υср=43,2км/ч.
Каковы скорости поезда на первой (υ1) и второй (υ2)
половинах пути.
Возможное решение:
Найдем время на каждом участке пути:
s
s1
s
t

t1  
2
2 2 (1)
1 21 ;
12
Определим среднюю скорость:
s
υср = t

21 2
s
s


s
s
t1  t 2
1   2

21 2 2
;
(2)
так как υ1=nυ2
2  n  2  2
2  n  22
2  n  2
υср = n      (n  1)  n  1 (3).
2
2
2
Из (3) уравнения выразим  2   ch
 ср
2 1
2 12
2 12
21
n
n 
n 
n




=

1
n 1  1
n n1  1 1  (n  1) n  1
1 (1  )
1  1
n
n
n
2 1 
1
(n  1)
(1,5  1)
км
 43,2
 36
2n
2 1,5
ч
2
(4)
12
Из (5) уравнения находим 1 
 ср (n  1)
2
(5)
= 54 км/ч.
Ответ: 36 км/ч, 54 км/ч.
1.15 Когда спортсмен-любитель, совершая пробежку вдоль
трамвайной линии, поравнялся с остановкой, от нее
одновременно отошли два трамвая (в противоположных
направлениях). Через 4 мин. 10 с после этого он встретил
идущий ему навстречу трамвай, а еще через 2 мин. 5 с его
обогнал трамвай. Определите скорость и интервал движения
трамваев, если скорость спортсмена 8 км/ч. Время, которое
трамвай стоит на остановке, очень мало.
Возможное решение
О
А
В
Пусть остановка находится в точке O (рис.), первый трамвай
встретился спортсмену точке A через время t1, а второй – в
точке B через время t2 .
Тогда для этих времен можно записать:
13
OA
 t ;
u
OB
t 2  t 
, где Δt – интервал движения трамваев, а u –
u
t1 
скорость их движения. Тогда, обозначив скорость спортсмена
за v, с помощью элементарных формул можно записать


(t1  t 2 )
t  t1 (1  )  t 2 (1  )
 t 2  t1
u
u
u
 (t  t )
u 1 2 .
t 2  t1
Теперь можно найти и интервал движения
t 
2  t1  t 2
t 2  t1
Ответ: Δt=5 минут; u=40 км/ч
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.
№ 1.1
Автомобиль двигался первую половину пути со скоростью 70
км/ч, а вторую со скоростью 50 км/ч. Определить среднюю
скорость движения автомобиля на всем пути.
(Ответ: 58,3 км/ч)
№ 1.2
14
Велосипедист двигался первую половину пути со скоростью
20 км/ч, а вторую со скоростью 15 км/ч. Определить среднюю
скорость движения велосипедиста на всем пути.
(Ответ: 17,14 км/ч)
№ 1.3
Пешеход шел первую половину пути со скоростью 15 км/ч, а
вторую со скоростью 10 км/ч. Определить среднюю скорость
движения пешехода на всем пути. (Ответ: 12 км/ч)
№ 1.4
Мальчик двигался первую половину пути на велосипеде со
скоростью 18 км/ч, а вторую шел пешком со скоростью 6
км/ч. Определить среднюю скорость движения мальчика на
всем пути. (Ответ: 9 км/ч)
№ 1.5
Мальчик три часа ехал на велосипеде, а потом пять часов
шел пешком. Какой была его средняя скорость, если ехал он
вдвое быстрее, чем шел, а шел со скоростью 3 км/ч?
(Ответ: 33,75 км/ч)
№ 1.6
Пешеход две трети времени своего движения шел со
скоростью 5 км/ч. Оставшееся время – со скоростью 2 км/ч.
Определите среднюю скорость путешественника.
(Ответ: 4 км/ч)
№ 1.7
Путешественник четыре пятых времени своего движения шел
со скоростью 5 км/ч. Оставшееся время – со скоростью 2
км/ч. Определите среднюю скорость путешественника.
(Ответ: 4,4 км/ч)
№ 1.8
15
Велосипедист одну треть времени своего движения ехал со
скоростью 4 км/ч. Оставшееся время – со скоростью 7 км/ч.
Определите среднюю скорость путешественника.
(Ответ: 6 км/ч)
№ 1.9
Турист проехал половину пути со скоростью 50 км/ч на
автомобиле, оставшуюся часть пути он половину времени
ехал со скоростью 35 км/ч, а последний участок – шел со
скоростью 10 км/ч. Найти среднюю скорость перемещения
туриста на всем пути. (Ответ: 31 км/ч)
№ 1.10
Мальчик половину времени всего движения ехал на
велосипеде со скоростью 25 км/ч, половину оставшегося пути
со скоростью 12 км/ч, а последний участок – шел со
скоростью 5 км/ч. Какова средняя скорость на всем пути?
(Ответ: 16 км/ч)
№ 1.11
Средняя скорость поезда на всем пути 90 км/ч, скорость
между двумя пунктами 70 км/ч, причем остановки занимают
2 часа. Найти расстояние между этими пунктами.
(Ответ: 630 км)
1.12
Средняя скорость пешехода на всем пути 10 км /ч. На второй
половине пути пешеход шел в 1,3 раза быстрее, на чем на
первой. Определите скорость пешехода на обеих половинах
пути. (Ответ: 8,85 км/ч; 11,5 км/ч)
1.13
Средняя скорость автомобилиста на всем пути 72 км /ч. На
первой половине пути автомобилист ехал в 3 раза быстрее, на
16
чем на второй. Определите скорость автомобилиста на обеих
половинах пути. (Ответ: 48 км/ч; 144 км/ч)
1.14
На первой половине пути путешественник шел в 1,5 раза
быстрее, на чем на второй. Средняя скорость
путешественника на всем пути 8 км/ч. Определите скорость
путешественника на обеих половинах пути.
(Ответ: 6,67 км/ч; 10 км/ч)
1.15
Мотоциклист проехал половину пути со скоростью 100 км/ч,
оставшуюся часть пути он половину времени двигался со
скоростью 70 км/ч, а последний участок пути со скоростью
40 км/ч. Найти среднюю скорость мотоциклиста на всем
пути. (Ответ: 71 км/ч)
1.16
Путешественник первую половину пути шел со скоростью в 2
раза большей, чем вторую половину пути. Средняя скорость
путешественника на всем пути 8 км/ч. Каковы скорости
путешественника на первой и второй половинах пути?
(Ответ: 6 км/ч; 12 км/ч)
1.17
Велосипедист первую половину пути ехал со скоростью в 1,6
раза большей, чем вторую половину пути. Средняя скорость
велосипедиста на всем пути 12 км/ч. Каковы скорости
велосипедиста на первой и второй половинах пути?
(Ответ: 9,75 км/ч; 15,6 км/ч)
1.18
Первую половину пути мальчик двигался со скоростью 4
км/ч. Далее половину оставшегося времени он ехал на
17
велосипеде со скоростью 36 км/ч, а затем шел пешком со
скоростью 3 км/ч. Определить среднюю скорость движения
на всем участке пути. (Ответ: 6,64 км/ч)
1.19
Пешеход две трети своего движения шел со скоростью 3 км/ч.
Оставшееся время – со скоростью 6 км/ч. Определите
среднюю скорость пешехода. (Ответ: 4 км/ч)
1.20
Автомобиль первую четверть пути проехал с постоянной
скоростью за половину всего времени движения. Следующую
треть пути, также двигаясь с постоянной скоростью, – за
четверть всего времени. Остаток пути был преодолен со
скоростью v3 = 100 км/час. Какова средняя скорость
автомобиля на всем пути? Чему равны скорости на первом и
втором участках? (Ответ: средняя скорость 60 км/ч, скорость
на первом участке 30 км/ч, а на втором 80 км/ч.)
ТЕМА 2: ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ МЕХАНИЧЕСКОГО
ДВИЖЕНИЯ.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.
№ 2.1
Из Астаны в Караганду с интервалом в 10 минут вышли два
электропоезда со скоростями 30 км/ч. С какой скоростью
18
двигался поезд, идущий в Астану, если он повстречал эти
электропоезда через 4 минуты один после другого?
Возможное решение:
Найдем путь, который прошел 1-й электропоезд за 10 минут:
км 1
S1  1  t1  30
 ч  5км (1)
ч 6
Скорость
приближения
встречных
электропоездов:

s1 5км
км

 75
1
t3
ч
ч
15
Тогда скорость скорость движения поезда идущего из Астаны
найдем:
км
3    1  45
ч
км


45
Ответ: 3
ч
№ 2.2
Катер идет по течению реки из пункта А в пункт В и
обратно. Время движения туда – 3 часа, а обратно – 6 часов.
Сколько времени потребуется для того, чтобы пройти
расстояние между пунктами А и В по течению при
выключенном моторе?
Возможное решение:
t1 
s
1   2 (1) время движения катера по течению
t11  t12  s
19
t2 
s
1   2
(2) время движения катера против течения
t11  t22  s
t3 
s
2
(3) время движения катера при выключенном
моторе по течению
t32  s
Подставим (3) в (1) и (2):
t11  t12  t32
1 
t3 2  t1  2
t1
(4)
t11  t22  t32
1 
t3 2  t 2 2
t2
(5)
Приравняем (4) и (5)
2 (t3  t1 )
t1
уравнения находим время
выключенном моторе:
2t  t
2  3ч  6ч
t3  1 2 
 12ч
t2  t1
6ч  3ч
Ответ: t3  12ч

по
2 (t3  t2 )
t2
течению
(6)
из этого
катера
при
№ 2.3
Мимо пристани по реке Иртыш проплывает плот. В этот
момент в Павлодар, находящийся на расстоянии 15 км от
пристани, вниз по реке отправляется катер. Он доплыл до
Павлодара за время 45 минут и, повернув обратно, встретил
плот на расстоянии 9 км от поселка. Каковы скорость течения
реки и скорость катера относительно воды?
Возможное решение
20
П
0
К
6
15
х, км
Систему отсчета свяжем с плотом (П). В этой системе
отсчета катер движется вниз и вверх по реке с одинаковой
скоростью. Это значит, что время удаления катера от плота
равно времени приближения к нему; таким образом, катер
также возвращался 45 минут.
Тогда за 1,5 часа плот прошел расстояние S= S1-S2 = 6 км.
Следовательно, скорость плота относительно берега:
теч 
кат 
S
6км
км

4
t1  t2 1,5ч
ч
S
15км
км
 теч 
 4ч  16
3
t1
ч
ч
4
Ответ:  теч  4
(скорость катера)
км
км


16
кат
ч
ч ;
№ 2.4
Теплоход проходит расстояние между двумя пунктами на
реке вниз по течению за 50 часов, а обратно – за 70 часов.
Сколько суток между этими пунктами плывут плоты?
Возможное решение:
t1 
s
 т   теч (1) время движения по течению реки
t2 
t3 
s
 теч
(2) время движения плота по реке
s
 т   теч (3) время движения против течения реки
Преобразуем (1) и (3) формулы:
21
 т   теч 
s
t1 (1)
 т   теч   т   теч 
2 т 
 т   теч 
s s

t1 t3
s s

t1 t3 (4)
s
t3 (3) Из (1) – (3):
преобразуем:
 теч 
s
t2
(2)
s s s
2
(2) подставим в (4) t  t  t / :s
2
1
3
2 1 1
отсюда следует: t  t  t ;
2
1
3
t3 
из этого уравнения выразим t3
t1t 2
50ч  70ч

 175ч  7,3сут
t 2  2t1
20ч
Ответ: t3  175ч  7,3сут
№ 2.5 Группа туристов, двигаясь цепочкой по обочине дороги
со скоростью 3,6 км/ч, растянулась на 200 м. Замыкающий
посылает велосипедиста к вожатому, который находится
впереди группы. Велосипедист едет со скоростью 7 м /с;
выполнив поручение, он тут же возвращается к замыкающему
группы с той же скоростью. Через сколько времени после
получения поручения велосипедист вернулся обратно?
Возможное решение:
Свяжем СО с группой туристов. Скорость велосипедиста в
системе отсчета, связанной с колонной, равна 2  1 , когда он
движется к головному отряду, и 2  1 , когда он
возвращается обратно.
22
2  200 м  7 м / с
l
l
2l 2
 58,3с
t  t1  t 2 

 2

2
2
2
м
м
 2  1  2  1  2  1
49 2  1 2
с
с
Ответ: 58,3 с.
№ 2.6 Путешественник, глядя в окно вагона, заметил, что два
встречных поезда прошли мимо него через 7 минут один
после другого. Через какой промежуток времени один после
другого отправились эти поезда со станции, если все три
поезда движутся с одинаковыми скоростями?
Возможное решение
Примем за точку отсчета поезд путешественника. Тогда
скорость сближения 2 – го поезда с путешественником равна:
υ = 2υ1. Путь, который пройдет 2-й поезд до встречи с
путешественником равен s=2υ1· 7 мин = 14 υ1 (м). Тогда
время, через которое отправятся поезда со станции один
после другого равно:
t = S  14  14 мин.


Ответ: через 14 мин.
№ 2.7 Из пунктов А и В, расстояние между которыми равно l,
одновременно навстречу друг другу начали двигаться два
тела: первое со скоростью  , второе со скоростью  .
1
2
Определите через сколько времени они встретятся и
расстояние от точки А до места их встречи.
Возможное решение:
За точку отсчета выберем пункт А:
О
А
1
2
l
В
23
х
Запишем для первого и второго тела уравнение движения:
х1= 0 +  t (1)
х2 = l – υ2t (2)
Во время встречи х1 = х2, тогда приравнивая правые части
уравнений (1) и (2) получим:  t = l – υ2t
из этого
1
1
l
уравнения найдем время встречи: t =   
(3)
1
2
Подставим(3) уравнение в (1) получим расстояние от точки
А до места их встречи:
хс = l .
1
1   2
l
l1
Ответ: t =    ; хс =    .
1
2
1
2
№ 2.8 Моторная лодка проходит расстояние между двумя
пунктами А и В по течению реки за время t1 = 3ч, а плот за
время t = 12 ч. Сколько времени t2 затратит моторная лодка на
обратный путь?
Возможное решение
За точку отсчета выберем пункт А:
О
х
А
В
Обозначим υ - скорость лодки относительно воды, а u скорость плота, можно записать:
s
t1 
  u - время, затрачиваемой лодкой по течению (1);
s
t 
u - время течения реки; (2)
24
t2 
s
  u - (3) время, затрачиваемой лодкой на обратный
путь. Для его определения удобно переписать уравнения (1) и
(2) следующим образом:
1  u
1 u
 

(5)
t1 s s (4)
t s
Вычтем из уравнения (4) удвоенное уравнения (5), получаем:
1 2  u 2u  u
   
 
t1 t s s s
s s (6)
1  u
 
Также перепишем уравнение (3): t
s s
2
(7); Если
правые части в уравнениях (6) и (7) равны, то приравниваем
1 2 1
левые части: t  t  t откуда
1
2
t2 =
t  t1
t  2  t1
12  3
36
Подставляем числовые значения: t 2  12  2  3  6  6ч
Ответ: 6 ч.
№ 2.9 Между двумя пунктами, расположенными на реке на
расстоянии S = 100 км один от другого, курсирует катер,
который, идя по течению, проходит это расстояние за время
t1 = 4 ч, а против течения – за время t2 =10 ч. Определить
скорость u течения реки и скорость υ катера относительно
воды.
Возможное решение:
За точку отсчета выберем пункт А:
О
100
х, км
А
В
25
s
  u - время, затрачиваемое катером по течению (1);
s
t2 
  u - (3) время, затрачиваемое катером против течения
t1 
(2).
Решая совместно два уравнения, находим:
u
2s
s

t1 2t 2 ;
u
100 100

 12,5  5  7,5 м / ч
2  4 2  10
s
100
из (1) уравнения находим   t  u ;   4  7,5  17,5км / ч
1
Ответ: u  7,5 м / ч ,   17,5км / ч
№ 2.10 На соревнованиях по плаванию два пловца стартуют
одновременно. Первый проплывает длину бассейна за 1,5
минуты, а второй - за 70 секунд. Достигнув
противоположного
края
бассейна,
каждый
пловец
разворачивается и плывет в другую сторону. Через какое
время после старта второй пловец поравняется с первым,
обойдя его на один "круг"?
Возможное решение
Скорости пловцов равны υ1 = L/t1, υ2 = L/t2 (t1 = 90 c, t2 = 70 c),
где L - длина бассейна
Чтобы обойти первого пловца на один «круг», второму нужно
«догнать» первого. Скорость их сближения υ= υ2 – υ1.
Можно считать что изначально первый пловец впереди
второго на 2L.
Тогда искомое время
t = 2L/ υ = 2L/(L/t2-L/t1) = 2/(1/t2-1/t1) = 630 c
Ответ: 630 с.
№ 2.11 На большой плоской поляне в лесу на расстоянии 20
м друг от друга находятся два муравейника. Ровно в полдень
из муравейников выбегают и сразу разбегаются равномерно
26
во все стороны с одинаковыми скоростями многочисленные
и злобные муравьи воины. Встретившись с врагом из другого
муравейника, воин вступает в бой. Силы практически равны.
Так что в кратковременном бою погибают два бойца. Через
какое время погибнет ровно четверть выбежавших
насекомых? Скорость муравья 0,02 м/с, все муравьи выбегают
из муравейника одновременно.
Возможное решение
Начертим рисунок:
Раньше всех встретятся друг с другом муравьи
1
a
S
b
2
450
с
бегущие вдоль прямой, соединяющие
муравейники. Проведем еще две прямые, проходящие через
любые из муравейников и составляющие углы 450 с первой
прямой – эти прямые отделяют четверть выбежавших
муравьев, именно тех, что раньше вступят в бой. Последний
из них должен пробежать по диагонали квадрата, сторона
которого равна а= 20  10 м, тогда длина диагонали
2
с=
а 2  в 2  102  102  14 м
c
14
t


 700c
На это потребуется время
 0,02
Ответ: 700 с.
№ 2.12 Эскалатор метро опускает идущего по нему человека
за 1 мин. Если человек будет идти вдвое быстрее, то он
спустится за 45 с. Сколько времени спускается человек,
стоящий на эскалаторе.
Возможное решение:
s1 = s2 = s3 = s
27
t1 
s
u 
( 1) - время движения эскалатора с движущимся по
нему человеком
s
u  2 (2) - во втором случае, когда человек идет вдвое
t2 
быстрее.
t3 
s
u
(3) - время движения эскалатора вниз с
неподвижным человеком
из (1) и (2) следует s = t1 (υ +u )
s = t2 (2υ +u )
t1 (υ +u )= t2 (2υ +u ),
t1 u+ t1υ = t2u + 2t2 υ,
(t1-t2)u = (2t2-t1)υ, (4) подставляя в
выражение (4) цифровые данные и найдём соотношение
между υ и u:
u=2υ (5)
из (1) следует s = 3υt1, (6) тогда
t3 
s 3t1 3t1


 90c  1,5 мин
u 2
2
Ответ: 1,5 мин.
№ 2.13 Велосипедист едет по дороге и через каждые 6 секунд
проезжает мимо столба линии электропередачи. Увеличив
скорость на некоторую величину ∆υ, велосипедист стал
проезжать мимо столбов через каждые 4 секунды. Через
какой промежуток времени он будет проезжать мимо
столбов, если увеличит скорость еще на такую же величину?
Возможное решение
t1 = s/ υ; t2 = S/( υ + υ); t3 = s/( υ +2 υ)
υ = s/t1; υ + υ = S/t2; υ +2 υ = s/t3
Получаем t3 = t1t2/(2t1-t2) = 3 с.
Ответ: через 3 с.
28
№ 2.14
Человек бежит по эскалатору. В первый раз он
насчитал n1 = 50 ступенек, во второй раз, двигаясь в ту же
сторону со скоростью втрое большей, он насчитал n2 = 75
ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы на неподвижном
эскалаторе?
Возможное решение
Если бы скорость человека была направлена противоположно
направлению движения эскалатора, то он насчитал бы тем
меньше ступенек, чем быстрее шел (но не меньше n). В
нашем же случае направления скоростей человека и
эскалатора совпадают.
Пусть υ – скорость движения эскалатора; l – его длина и n –
число ступенек на неподвижном эскалаторе. Число ступенек,
приходящихся на единицу длины эскалатора, равно n/l.
Поэтому, если человек идет со скоростью u ,
l
t

то время его пребывания на эскалаторе:
(1)
 u ,
ul
s

ut

а путь, пройденный по эскалатору:
(2)
u  .
При этом человек насчитывает число ступенек:
n

n

n
ul n

1

1 
n1  s 
n
u
n
u (3)
l  u l
1
n2  s
1
n
1
 1
n2
3u
n
3ul n
3un


l   3u l   3u
(4)
уравнение (3) подставляем в (4) исключая отношение  ,
u
находим:
n 1 n 2


n2 3 n1 3
n
1 n
 1  (  1) = 1  1 n  1
n2
3 n1
3 n1 3
n(3n1  n2 ) 2

3n1n2
3
29
n
6n1n2
2n1n2
2  50  75


 100ступенек
9n1  3n2 3n1  n2 3  50  75
Ответ: 100 ступенек.
№ 2.15
Два тела движутся навстречу друг другу так, что за каждые
15 секунд расстояние между ними уменьшается на 30 м. Если
эти тела будут двигаться в одном направлении с прежними по
величине скоростями, то за 10 с расстояние между ними
увеличится на 4 м. С какой скоростью движется каждое из
этих тел?
Возможное решение:
1   2 
S1
t1 (1)
1   2 
30 м
м
2
15с
с
1   2 
S2
t2 (2)
1   2 
4м
м
 0,4
10с
с
(движение
навстречу
(движение
в
одном
друг
другу)
направлении)
м
из (2) уравнения находим: 1  0,4 с  2 (3) подставляем в (1)
уравнение: 0,4  2 2  2
м
с
м
подставляем
с
м
м
м
1  0,4  0,8  1,2
с
с
с
2  0,8
Ответ: 1  1,2
м
м


0
,
8
2
с
с ;
30
в
уравнение
(3):
№ 2.16
Когда хвост ползущего Удава поравнялся с пальмой, под
которой сидела Мартышка, она, решив измерить длину
Удава, побежала вдоль него и положила банан рядом с его
головой. Затем Мартышка побежала обратно и положила
второй банан рядом с кончиком хвоста Удава. Потом пришел
Попугай и измерил расстояния от пальмы до каждого из
бананов, которые оказались равными 16 и 48 попугаев.
Найдите длину Удава в попугаях, а также определите, во
сколько раз быстрее бегает Мартышка, чем ползает Удав.
Возможное решение
Пусть L – длина Удава, υ – скорость бегущей Мартышки, u –
скорость ползущего Удава, t1 – время забега Мартышки до
головы Удава, t2 – время забега в обратном направлении.
Тогда в системе отсчета, связанной с ползущим Удавом, для
прямого и обратного забега Мартышки можно составить
следующие два уравнения:
L
L
(υ- u) = t , (υ+ u) = t ,
2
1
Аналогичные уравнения, записанные в системе отсчета,
связанной с пальмой, будут иметь вид:
х
х x
  1, 1 2
t1
t1
Здесь x1=48 и x2=16 – координаты первого и второго бананов,
выраженные в Попугаях. Решая эту систему четырех
уравнений, получим, что L=38,4 попугая,  =5.
u
Ответ: 38,4 попугая. В 5 раз.
31
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.
№ 2.1
Катер идет по течению реки из пункта А в пункт В и
обратно. Время движения туда – 4 часа, а обратно – 8 часов.
Сколько времени потребуется для того, чтобы пройти
расстояние между пунктами А и В по течению при
выключенном моторе?
(Ответ: 16 ч)
№ 2.2
Расстояние между двумя пристанями моторная лодка
проходит по течению за 15 мин, а против течения – за 45 мин.
За какое время это расстояние проплывет по течению
спасательный круг, упавший в воду? (Ответ: 45 минут)
№ 2.3
Моторная лодка проходит по течению реки за 30 минут, а
против течения – за 1 час между двумя пунктами. За какое
время это расстояние проплывет по течению плот?
(Ответ: 120 минут)
№ 2.4
Из Астаны в Костанай с интервалом в 20 минут вышли два
поезда со скоростями 60 км/ч. С какой скоростью двигался
поезд, идущий в Астану, если он повстречал эти
электропоезда через 8 минут один после другого?
(Ответ: 90 км/ч.)
№ 2.5
Два тела движутся навстречу друг другу так, что за каждые
10 секунд расстояние между ними уменьшается на 16 м. Если
эти тела будут двигаться в одном направлении с прежними по
32
величине скоростями, то за 5 с расстояние между ними
увеличится на 3 м. С какой скоростью движется каждое из
этих тел? (Ответ: 1,1м/с; 0,5 м/с)
№ 2.6
Скорость катера относительно воды 7 м/с, скорость течения
реки 3 м/с. Когда катер двигался против течения, с него
сбросили в воду поплавок. Затем катер прошел против
течения 4,2 км, повернул обратно и догнал поплавок. Сколько
времени двигался катер? (Ответ: 35 минут)
№ 2.7
Эскалатор метро опускает идущего по нему человека за 2
мин. Если человек будет идти втрое быстрее, то он спустится
за 90 с. Сколько времени спускается человек, стоящий на
эскалаторе. (Ответ: 6 мин)
№ 2.8
Человек, идущий вниз по опускающемуся эскалатору,
затрачивает на спуск 1,5 минуты. Если человек будет идти
вдвое быстрее, он затратит на 30 секунд меньше. Сколько
времени он будет спускаться, стоя на эскалаторе?
(Ответ: 120 с)
№ 2.9
Самолет летит из пункта А в пункт В и возвращается обратно.
Скорость самолета в безветренную погоду равна  . Найти
отношение средних скоростей всего перелета для двух
случаев, когда во время перелета дует: а) вдоль линии АВ; б)
перпендикулярно линии АВ. Скорость ветра равна u.
ср1
 2  u2
(Ответ:  
)

ср 2
33
№ 2.10
Теплоход проходит расстояние между двумя пунктами на
реке вниз по течению за 60 часов, а обратно – за 80 часов.
Сколько суток между этими пунктами плывут плоты?
(Ответ: 20 сут)
№ 2.11
Моторная лодка проходит расстояние между двумя пунктами
А и В по течению реки за 3 часа, а плот за 12 часов. Сколько
времени моторная лодка затратит на обратный путь?
(Ответ: 6 ч)
№ 2.12
Моторная лодка проходит по реке от пункта А до пункта В
расстояние за 4 часа, а обратно за 5 часов. Определите
скорость течения реки, если расстояние между пунктами 80
км. Скорость лодки относительно воды оставалась все время
одной и той же. (Ответ: 2 км/ч)
№ 2.13
Из двух пунктов, расстояние между которыми 100 м,
одновременно навстречу друг другу начали двигаться два
тела. Скорость одного из них 20 м/с. Какова скорость второго
тела, если они встретились через 4 с? (Ответ: 5 м/с)
№ 2.14
Путешественник шел вдоль железнодорожного полотна со
скоростью 4 км/ч. Он заметил, что по путям идут две
встречные электрички, одна из которых составлена из 9
вагонов, а другая из 10 вагонов. Путешественник обратил
внимание на то, что головные вагоны поравнялись друг с
другом как раз напротив него. Путешественник удивился,
когда увидел, что и последние вагоны разошлись тоже строго
напротив него. Путешественнику стало любопытно, с какой
34
скоростью идут электрички. Если считать их скорости
равными. (Ответ: 76 км/ч)
№ 2.15
На соревнованиях по плаванию два пловца стартуют
одновременно. Один из них проплывает длину бассейна за
1,5минуты, а другой – за 70 секунд. Достигнув
противоположного
края
бассейна,
каждый
пловец
разворачивается и плывет в другую сторону. Через какое
время после старта пловцы встретятся? (Ответ: 78,75с)
№ 2.16
Знайка живет в доме, стоящем около дороги между
остановками A и B на расстоянии 800 м от A. В направлении
от A к B по дороге каждый день проезжают автобус со
скоростью 40 км/ч и трамвай со скоростью 20 км/ч. На
остановку B они приезжают одновременно в 8 часов утра. В
какое самое позднее время должен выйти из дома Знайка,
чтобы успеть уехать на автобусе? на трамвае? Знайка ходит
со скоростью 4,8 км/ч, расстояние между остановками 2 км.
Время, которое транспорт стоит на остановке, очень мало.
(Ответ: чтобы успеть на автобус, Знайка должен выйти в 7.47,
а чтобы успеть на трамвай – в 7.45).
№ 2.17
Крокодил Гена ездит на работу в зоопарк на автобусе,
который всегда ходит точно по расписанию. Домик Гены
стоит около дороги между остановками A и B на расстоянии l
от остановки A. Автобус едет в направлении от A к B с
постоянной скоростью V. Найдите, за какой минимальный
промежуток времени до прибытия автобуса на остановку B
Гена должен выходить из дома, чтобы успеть на него, если
крокодил ходит со скоростью U, а время, в течение которого
35
автобус стоит на остановке, пренебрежимо мало. Расстояние
l L
t


между остановками равно L. (Ответ: за
U V
l
при L <
U
V
2
1
Ll
t

и за
U при
l
L >
U
V
2
1
ТЕМА 3: МАССА. ПЛОТНОСТЬ. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧ.
№ 3.1 Масса сплошного куба, сделанного из некоторого
вещества, равна 2,5 кг. Какую массу будет иметь куб, если
длину его ребра уменьшить в два раза?
Возможное решение
Объем куба с ребром, уменьшенным в два раза:
а3
V1= 8
а масса куба с ребром, уменьшенным в два раза:
m
8
;
m1= ρ
а3
8
=
, где m=ρа3.
2,5
m1= 8  0,3125кг
Ответ: 0,3125 кг
№ 3.2 Кусок сплава из свинца и олова массой 664 г имеет
плотность 8,3г/см3. Определите массу свинца в сплаве.
Принять объем сплава равным сумме объемов его составных
частей.
Возможное решение
Пусть V1, m1, ρ1 – объем, масса, плотность свинца.
V2, m2, ρ2 – объем, масса, плотность олова
36
Найдем объем сплава: V

m


664г
 80см 3 ;
8,3 г 3
см
Масса сплава равна: m=m1+m2, m2=m-m1 (1)
m
1
Плотность свинца и олова соответственно равны: 1  V , (2)
1
m
m  m1
2  2 =
V2 V  V1 ; (3)
 2V  m  m1
(4)
2
m
m
Подставим уравнение (4) в (2): 1  V1   V 1m2 m (5)
1
2
1
Решая уравнение (3) выразим
Найдем
m1 
V1 
из
уравнения
(5)
1  2V  m1 11,4  7,3  80  664  11,4

 222,4г (свинца)
 2  1
7,3  11,4
Ответ: 222,4 г свинца
№ 3.3 Сплав золота и серебра массой 400 г имеет плотность
14000 кг/м3. Полагая объем сплава равным сумме объемов его
составных частей, определить массу золота и его процентное
содержание в сплаве.
Возможное решение
Найдем объем сплава:
V 
m


400 г
 28,57см 3
;
г
14 3
см
Масса сплава равна: m=m1+m2, m2=m-m1 (1)
m
1
Плотность золота и серебра соответственно равны: 1  V ,(2)
1
2 
m2
V2
m  m1
= V  V ; (3)
1
Решая уравнение (3) выразим V1 
 2V  m  m1
2
m
Подставим уравнение (4) в (2): 1  V1
1
37

(4)
m1  2
 2V  m  m1
(5)
Найдем
m1 
из
уравнения
(5)
1 2V  m1 19,3  10,5  28,57  400  19,3

 219г (золота)
 2  1
10,5  19,3
m1 = 219·100%/400 = 54,75 %.
Ответ: 219 г (золота); 54,75%
№ 3.4 В куске кварца содержится небольшой самородок
золота. Масса куска 100 г, а его плотность 8 г /см3.
Определите массу золота, содержащегося в кварце. Принять,
что плотности кварца и золота соответственно равны 2,5 и
19,36г/см3.
Возможное решение:
m 100г
V


 12,5см3 .
Найдем объем куска
3
 8см
m
m
mm
m
Объем куска равен: V=V1+V2 = 1   2   2   2
1
2
1
2
Из уравнения (1) находим ρ1 ρ2 V=mρ2 – m2ρ2 + m2ρ1;
ρ1 ρ2V - mρ2 = m2 (ρ1 – ρ2)
m2 
(1)
1V  m21
2,5  19,36  12,5  100  19,36

 77,48г
1  2
2,5  19,36
Ответ: 77,48 г золота.
№ 3.5
Исследование историков показали, что Буратино был
изготовлен не из одного полена, а из двух поленьев. Его
голову папа Карло выточил из дуба, а остальные части тела
выстрогал из сосны, известно, что плотность дуба 690 кг/м3.
вес изготовленной из него части тела составляет треть от веса
Буратино, а объем только четверть. Найдите плотность
соснового полена.
Возможное решение
Пусть m1, V1 – масса и объем дуба
m2, V2 – масса и объем сосны
38
m, V,  - масса, объем и средняя плотность Буратино.
m
m1 3 4m 4


Тогда 1 V1  V  3V  3  (1)
4
2m
m
8m 8
2  2  3 
  (2)
V2 3V 9V 9
4
8
3
2
кг
Из (1) и (2) находим  2  9  4 1  3 1  460 м3
кг


460
Ответ: 2
м3
№ 3.6
Стакан, заполненный до краев водой, имеет массу 214,6 кг.
Когда в этот стакан с водой поместили небольшой камень
массой 29,8 г и часть воды вылилась наружу, масса стакана с
содержимым оказалась равной 232 г. Определить плотность
вещества камня.
Возможное решение
Пусть m1 – масса воды в стакане
m2 – масса камня
m3 – масса стакана с содержимым
∆m1=m2- m3 = 202,2 г (масса воды, которая осталась в стакане)
∆m2=m1- ∆m1= 12,4 г (масса воды, которая вылилась)
V1 
m2
1
 12,4
г
cм 3 (объем камня);
m2
г
 2,4 3 - плотность камня.
V1
см
г


2
,
4
Ответ:
см3

39
№ 3.7
Железная и алюминевая детали имеют одинаковые объемы.
Найдите массы этих деталей, если масса железной детали на
12,75 г больше больше массы алюминевой.
Возможное решение
m1
1

m2
2
m2  12,75г
так как объемы тел равны;
1

m2
 2 найдем
12,75  2
из этого выражения m2: m2      6,75г (алюминия)
1
2
m1  12,75г  6,75г  19,5г (железо)
Ответ: m1  19,5г
№ 3.8
Сплав состоит из олова массой 2,92 кг и свинца массой 1,13
кг. Какова плотность сплава, если считать, что объем сплава
равен сумме объемов его составных частей.
Возможное решение
V  V1  V2
- объем сплава;
отсюда
находим
m   2  1
г

 8,1 3
m2  1  m1   2
cм
г
Ответ:   8,1 cм 3
40
m

m1

m2
 1  2
плотность

m1  2   m2  1
1   2
сплава:
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.
№ 3.1
Какова плотность железного дерева, если она в 34 раза
больше, чем у эсхиномена щетинистоволосистого (самое
легкое дерево), и если изделие из него при массе 700 г имеет
объем 16 дм3? (Ответ: 1490 кг/м3)
№ 3.2
Самый большой сыр, изготовленный в США в 1988 г., имел
массу 18 171 кг. Какова плотность сыра, если для его
перевозки потребовался бы кубический контейнер с длиной
ребра 2,54 м? (Ответ: 1100 кг/м3)
№ 3.3
Самый большой медальон из золота в виде монеты,
изготовленный в Канаде в 1986 г., имеет диаметр 95,25 см и
толщину 19,05 мм. Плотность золота 19300 кг/м3. Какова его
масса? (Ответ: 263 кг)
№ 3.4
Самый большой шлюз в Бельгии имеет размеры 500м х 57м х
23 м. Сколько морской воды плотностью 1030 кг/м3 он
вмещает? (Ответ: 675 165 т.)
№ 3.5
Кусок сплава из свинца и олова массой 550 г имеет плотность
8,2 г/см3. определить массу свинца в сплаве. Принять объем
сплава равным сумме объемов его составных частей.
(ρ1 =11300 кг/м3–свинец; ρ2 =7300 кг/м3 - олово).
(Ответ: m1=172 г, m2=378 г)
№ 3.6
Пробирка, наполненная водой, имеет массу 44 г. Эта же
пробирка, но с кусочком стали массой 10 г, доверху залитая
41
водой, имеет массу 52,7 г. Определить плотность стали,
помещенной в пробирку. (Ответ: 7,7 г/см3).
№ 3.7
Золотая и серебрянная детали имеют одинаковые объемы.
Найдите массы этих деталей, если масса золотой детали на
15г больше больше массы сребрянной. Плотность золота –
19,3 г/см3, серебро – 10,5 г/см3. (Ответ: 32,9 г; 17,9 г)
№ 3.8
Сплав состоит из меди массой 3 кг и алюминия массой 1,3 кг.
Какова плотность сплава, если считать, что объем сплава
равен сумме объемов его составных частей. Плотность меди8,9 г/см3; алюминия - 2,7 г/см3. (Ответ: 5,25 г/см3)
№ 3.9
Сплав состоит из олова массой 2,92 кг и свинца массой
1,13кг. Какова плотность сплава, если считать, что объем
сплава равен сумме объемов его составных частей?
(Ответ: 8100 кг/м3).
№ 3.10
Прибор для измерения плотности жидкости – ареометр – в
простейшем случае представляет собой цилиндрическое тело,
внутри
нижней
части
которого
закреплен
груз,
обеспечивающий устойчивое плавание ареометра в
вертикальном положении, а на боковую поверхность
нанесена шкала плотностей так, что при плавании ареометра
в однородной жидкости он погружается точно до отметки,
соответствующей ее плотности. В широкий и глубокий сосуд
с водой поверх нее налит слой бензина толщиной h=10 см.
Какую плотность покажет ареометр массой M=10 грамм,
опущенный в этот сосуд? Как изменятся его показания, если
толщину слоя бензина увеличить вдвое? Считайте, что
диаметр ареометра намного меньше диаметра сосуда.
42
3
3
Плотность воды 1,0 г/см , бензина 0,75 г/см , площадь
2
поперечного сечения ареометра 1 см .
3
3
(Ответ: 0,8 г/см ; 0,75 г/см )
ТЕМА 4: СИЛЫ В МЕХАНИКЕ
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. СИЛЫ В ПРИРОДЕ
№ 4.1
К трем динамометрам, соединенным так, как
показано на рисунке, подвешен груз. Показания
верхнего и нижнего динамометров 90 Н и 30 Н
соответственно. Определите показания среднего
динамометра.
Возможное решение
Пусть m - масса динамометра, M - масса груза, а
T1, T2,
T3 - показания динамометров. Каждый динамометр
показывает вес груза, привешенного к нему снизу + его
собственный вес, т.к. вес корпуса динамометра при таком
способе подвешивания растягивает пружину динамометра.
T1 = 90 Н = 3mg + Mg (1)
T2 = 2mg + Mg
(2)
T3 = 30 Н = mg + Mg (3)
Из первого и третьего уравнения находим:
Mg =90 - 3 mg
90 – 3 mg = 30 – mg; mg = 30 Н (4)
Mg =30 - mg
Четвертое уравнение подставляем в первое: 90 =3*30 + Mg
=> M = 0 кг,
Из второго уравнения находим T2 = 2*30 + 0 =60 Н
Ответ: 60 Н.
43
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.
4.1. На горизонтальной поверхности стола лежит однородная
цепочка. Когда часть цепочки длиной 15 см свешивается со
стола, цепочка начинает скользить. Коэффициент трения
цепочки о поверхность стола 0,02. Какова длина цепочки?
(Ответ 0,9 м)
4.2. Чтобы удержать брусок массой 2 кг на наклонной
плоскости с углом наклона 30o, к нему приложили силу,
направленную вдоль наклонной плоскости. Коэффициент
трения между бруском и поверхностью плоскости 0,2. Чему
равна эта сила? (Ответ 6,54 Н)
4.3. Тележка длиной 2 м с покоящимся на ее краю грузом
движется со скоростью 3 м/с и резко останавливается.
Определить минимальный коэффициент трения между грузом
и поверхностью тележки, если в момент соскальзывания
груза с противоположного края тележки его скорость
оказалась в три раза меньше первоначальной.
ТЕМА 5: РАБОТА. ЭНЕРГИЯ. ПРОСТЫЕ
МЕХАНИЗМЫ.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.
№ 5.1
Из воды с глубины 5 м поднимают до поверхности камень
объемом 0,6 м3. Плотность камня 2500 кг/м3. Найти работу по
подъему камня.
Возможное решение
44
F
Fа
ф
mg
Запишем уравнение: mg = Fa + F
отсюда найдем F = mg - Fa = ρт· V·g – ρж ·V·g= V·g ·(ρт - ρж)
= 9 кН
А = F·h= 9 кН·5 м = 45 кДж
Ответ: 45 кДж
№ 5.2
При всплывании бревна с глубины 5 м сила Архимеда
совершила работу 4 кДж. Какова масса бревна? Плотность
древесины 700 кг/м3.
Возможное решение
Fа
mg
A = m1·g · h
А
m1= g  h  80кг
запишем уравнение: mg = Fa;
V
ρт· V·g = ρж · n ·g
n
ж
 1,42 раза
т
45
m1
m= n  56кг
Ответ: 56 кг
№ 5.3
Площадь поршней гидравлического пресса 2 см2 и 400 см2.
Oпределите силу давления на больший поршень и высоту его
поднятия, если при опускании малого поршня на 20 см
производится работа 10 Дж.
Возможное решение:
A = F1·S1,
A
F1= S (1)
1
F1·S2 = F2·S1
F2 =
F1  S 2 A  S 2
 2  107 H
S1
S1
сила давления на
больший поршень.
S 2 h1

S1 h2 ,
h 2=
h1
 0,1см
200
высота поднятия малого поршня
7
Ответ: F2 = 10 H , h2= 0,1см
№ 5.4
Высота плотины гидроэлектростанции 12 м, мощность
водяного потока 3 МВт. Найдите объем воды, падающей с
плотины за 1 минуту.
Возможное решение:
A F  h m  g  h  V  g  h
N 


t
t
t
t
N t
3
V


1500м
выражаем и вычисляем объем воды:
 g h
3
Ответ: V  1500м
46
№ 5.5
Сила тяги тепловоза равна 245 кН. Мощность двигателей
3000 кВт. За какое время поезд при равномерном движении
пройдет путь, равный 15 км?
Возможное решение:
A F s
N 
находим время движения поезда:
t
t ,
t
F s
 20,4 мин
N
№ 5.6
Какую мощность необходимо развить, чтобы сжать пружину
на 4 см в течение 5с, если для сжатия её на 1 см требуется
сила 24,5 кН?
Возможное решение:
При сжатии пружины возникает сила упругости: Fупр  kx ,
Fупр
Н
5
найдем жескость пружины: k = x 24,5 10 м
A Eр k  x2
N 

 392 Вт
t
t
2t
Ответ: N  392Вт
№ 5.7
Левое плечо легкого рычага имеет длину
L1 = 8 см, а правое - L2 = 4 см. К левому плечу
подвешен алюминиевый куб, а к правому - гиря
массой m2 = 300 г. Когда куб погрузили в воду на 2/3 его
объема, оказалось, что рычаг уравновешен. Найдите объем
куба. Плотность алюминия ρ1 = 2,7 г/см3, плотность воды
Fа
ρВ = 1 г/см3, g = 10 Н/ кг.
Возможное решение
Условие равновесия: М1=М2 ;F1L1=F2L2;
F1= m1g - Fа= m1g – ρВgV1; F2=m2g;
m2 g
m1 g
47
2
L1 (m1 g   B g V )  m2 L2 g
3
2
L1 ( 1V   B V )  m2 L2 ;
3
V 
m2 L2
2
L1 ( 1   B )
3
 75cм 3
Ответ: 75 см3
№ 5.8
К левому плечу легкого разноплечного рычага
подвешен стальной куб объемом V = 150 см3, а
к правому - гиря массой m1 = 300 г. Правое
плечо имеет длину L1 = 4 см. Когда куб
погрузили в воду на 2/3 объема, оказалось, что рычаг
уравновешен. Найдите длину левого плеча рычага. Плотность
стали ρст = 7,8 г/см3, плотность воды ρВ = 1 г/см3, g = 10 Н/ кг.
Возможное решение
Условие равновесия: М1=М2 ;F1L1=F2L2;
L2(m2g - ρвg
2
3
Fа
V) = m1L1g
L2(ρстV - ρв 2 V) = m1L1;
3
L2 
m1L1
2
( cmV   B V )
3
m1 g
 1,12cм
m2 g
Ответ: 1,12 см.
№ 5.9
На рисунке представлена система из трех
блоков и грузов. Крайние грузы сделаны из
алюминия и имеют плотность ρ1 = 2700 кг/м3.
Масса левого груза m = 2 кг. Средний груз
представляет собой кусок пластилина с
48
плотностью ρ2 = 1100 кг/м3. Система находится в равновесии.
Какой объем пластилина следует прилепить к среднему грузу,
чтобы система находилась в равновесии, когда все грузы
опущены в воду? Плотность воды ρ0 = 1000 кг/м3.
Возможное решение
ρ0 = 1000 кг/м3 - плотность воды, V - начальный объем
пластилина, V' - требуемый объем пластилина в воде.
Трение отсутствует, натяжение нити постоянно вдоль её
длины, грузы неподвижны, поэтому масса правого крайнего
груза так же равна m. Так как плотности крайних грузов
равны, то равны и их объемы.
Вес среднего груза равен двум силам натяжения нити,
следовательно, его масса равна 2m.
Пусть теперь равновесие установлено в воде.
Результирующая сил Архимеда и тяжести, действующих на
каждый из крайних грузов, mg=ρsgV; mg = ρsg m
1
которая уравновешивается силой натяжения нити, равна
m
(m- ρж  ) g и направлена вниз.
1
Аналогичная результирующая для куска пластилина равна
(ρ2-ρ0)V'g
Сила натяжения нити, на которой висит пластилин, вдвое
больше силы натяжения нити, на которой висят крайние
грузы. Поэтому
ΔV = V' - V = V' -
2т
2
≈ (25.2-3.6) дм3 = +21,6 дм3.
Ответ: нужно прилепить ≈ 21,6 дм3 пластилина.
49
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.
№ 5.1
Почему, спускаясь по канату "на руках", можно обжечься?
Какое количество теплоты может выделиться, если высота
каната h = 5 м, а масса человека m = 70 кг?
(Ответ: Q ≈ mgh ≈3,5 кДж).
№ 5.2 Перекидывая легкую нить с привязанными к ее концам
грузами через блок, ученик заметил, что она находится в
равновесии, если массы грузов различаются не более чем в 2
раза, и соскальзывает в противном случае. Определите
коэффициент трения нити по блоку. (Ответ: μ = 0,22)
№ 5.3
Первый российский паровоз братьев Черепановых мог
протащить вагонетку с углем массой 3,2 т на расстояние 3,5
км со скоростью 16 км/ч. Сколько времени он был в
движении и какая работа совершалась по перемещению
вагонетки, если принять коэффициент трения равным 0,1?
(Ответ: 11 МДж; 13 мин).
№ 5.4
В 1990 г. во Франции рекордсмен передвинул два
железнодорожных вагона общей массой 46 200 кг на 1,5 м.
Какую силу тяги он развил и какую работу совершил, если
принять коэффициент трения равным 0,01?
(Ответ: 13,6 кДж; 4,5кН).
№ 5.5
В 1987 г. в Лондоне рекордсмен совершил буксировку
самолета «Конкорд» массой 13 т на расстояние 12,19 м.
Какова его сила тяги и какая работа была совершена, если
коэффициент трения принять равным 0,02?
(Ответ: 2 кН; 31,1кДж)
50
№ 5.6
В 1988 г. в США один бультерьер передвигал груз массой
2578,5 кг в течение 20,05 с, а второй - 1404 кг в течение 1,64с.
Какая из собак развивала большую мощность и во сколько
раз? (Ответ: вторая; больше в 6,4 раза).
№ 5.7
В 1978 г. в США собака передвинула груз массой 2905 кг на
4,57 м, а спустя 10 дней - груз массой 2993 кг на 4,5 м за это
же время. Когда была развита большая мощность?
№ 5.8
Один из самых скоростных серийных автомобилей имел
мощность 494 л. с. и развивал скорость 325 км/ч при
коэффициенте сопротивления 0,31. Каковы его масса и сила
тяги (1 л. с. = 735 Вт)? (Ответ: 1319 кг; 4 кН)
№ 5.9
Самый тяжелый серийный автомобиль имеет массу 3335 кг и
при мощности 315 л. с. способен развить скорость 200 км/ч.
Каков коэффициент трения и сила тяги автомобиля?
(Ответ: 0,13; 4,2 кН).
№ 5.10
Самая крупная операция по подъему воды из цельного
стального бурильного комплекса была осуществлена в 1987 г.
в связи с опусканием дна Северного Ледовитого океана.
Какая работа была совершена, если масса комплекса 400000
т, а глубина погружения составляла 6,5 м?
(Ответ: 25,66 МДж).
№ 5.11
Крупнейший в мире 13000-тонный роторный ковшовый
экскаватор смонтирован на открытой разработке бурого угля
51
в Гамбахе, ФРГ. Его производительность 200000 м3 угля за
20-часовой рабочий день, Сколько угля достанет ковш за 20
рабочих дней? (Ответ: 4800000 м3)
№ 5.12
В Японии построен 240-метровый небоскреб "Саншайн-60"
со скоростными пассажирскими лифтами, поднимающими
пассажиров до 60-го этажа. Лифты работают со скоростью
36,56 км/ч. Какой кинетической энергией обладают лифты
при подъеме? Как изменяется потенциальная энергия
пассажира массой 100 кг?
№ 5.13
Летающий лыжник Андреас Голлдбергер (Австрия) совершил
рекордный прыжок с трамплина на 204 м, 9 марта 1996 года,
на соревнованиях на Кубок мира в Харачове, Чехия. Как
изменилась потенциальная энергия лыжника, если его масса
80кг? (Ответ: на 163,2 кДж)
№ 5.14
Левое плечо легкого рычага имеет длину L1 = 8 см,
а правое - L2 = 4 см. К левому плечу подвешен
алюминиевый куб, а к правому - гиря массой m2 =
300 г. Когда куб погрузили в воду на 2/3 его объема,
оказалось, что рычаг уравновешен. Найдите объем куба.
Плотность алюминия ρ1 = 2,7 г/см3, плотность воды ρВ = 1
г/см3, g = 10 м/ с2.
№ 5.15
На концах рычага действуют силы 2 Н и 18 Н. Длина рычага
1м. Где находятся точка опоры, если рычаг в равновесии?
52
№ 5.16
Балка массой 1200 кг и длиной 3 м лежит на опорах,
равноудаленных от ее концов. Расстояние между опорами 2
м. Какую силу, перпендикулярную балке и направленную
вертикально вверх, нужно приложить, чтобы приподнять
балку за один из её краев? (Ответ: 4,8 кН )
№ 5.17
При помощи подвижного блока поднимают груз, прилагая
силу 100 Н. Определите силу трения, если вес блока равен
20Н, а вес груза 165 Н. (Ответ: 7,5Н)
№ 5.18
Стержень, на одном конце которого подвешен груз весом 120
Н, находится в равновесии в горизонтальном положении,
если его подпереть на расстоянии 1/5 длины стержня от груза.
Чему равен вес стержня? (Ответ: 80 Н)
№ 5.19
Пользуясь системой подвижных и неподвижных блоков,
необходимо поднять груз весом 600 Н. Из скольких
подвижных блоков должна состоять система, чтобы этот груз
мог поднять один человек, прикладывая силу в 65 Н?
(Ответ: 2,3 кН; 92 Н)
№ 5.20
На коротком плече рычага подвешен груз массой 100 кг. Для
его подъема к длинному плечу приложили силу 250 Н. Груз
подняли на высоту 8 см, при этом точка приложения
движущейся силы опустилась на высоту 40 см. Найти КПД
рычага. (Ответ: 80 %)
53
№ 5.21
При помощи подвижного блока равномерно поднимают груз,
прилагая к концу веревки силу 100 Н. Определите силу
трения, если масса самого блока равна 2 кг, а масса груза 16,5
кг. Какова будет полезная и затраченная работа и КПД
установки, если высота подъема груза 4 м?
(Ответ: 7,5 Н; 82,5 %)
ТЕМА 7:
АРХИМЕДОВА
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.
СИЛА.
ПРИМЕРЫ
1. Плавание однородного тела в однородной жидкости.
№ 7.1.1: Какую силу надо приложить к пробковому кубу с
ребром 0,5 м, чтобы удержать его под водой? ρ = 240 кг/м3.
Возможное решение
F
mg
Необходимо приложить силу, равную весу тела в жидкости:
Рв воде= Р - Fа,
Где Р – вес тела в воздухе;
Р= mg=ρтgVт=ρтg а3=240 кг/м3* 10 м/с2 · (0,5 м)3=300Н.
54
Fа= ρжgVт= 1000 кг/м3 · 10 м/с2 · (0,5 м)3= 1,25 ·10 3 Н.
Рв воде= 1250 Н – 300 Н= 950 Н.
Ответ: 950 Н.
7.1.2: Кусок металла в воздухе весит 7,8 Н, а в воде – 6,8 Н, в
жидкости А
- 7 Н, а в жидкости В – 7,1 Н. Определите
плотность жидкостей А и В.
Возможное решение
Fа= Р - Рв воде= 7,8 Н- 6,8Н= 1 Н. (Сила Архимеда,
действующая на кусок металла со стороны воды).
Fа= ρж··gVт;
Отсюда находим объём куска металла:
Vт 
Fa
 1 * 10 4 м 3 ;
ж g
Fа1= Р – Р Ав воде= 7,8 Н - 7Н= 0,8 Н. (Сила Архимеда,
действующая на кусок металла со стороны жидкости А).
Fа1= ρжАgVт;
Отсюда находим плотность жидкости А:
 Аж 
Fa1
0,8Н
кг

 800 3
Vт g 10 м 10 4 м 3
м ;
с2
Fа2= Р – РВ в воде= 7,8 Н - 7,1 Н= 0,7 Н. (Сила Архимеда,
действующая на кусок металла со стороны жидкости В).
Fа2=ρжВ·gVт;
Отсюда находим плотность жидкости В:
 Вж 
Fa 2
0,7 Н
кг

 700 3
Vт g 10 м  10 4 м 3
м ;
с2
Ответ: 800кг/м3; 7000 кг/м3.
7.1.3: Медный шарик в воздухе весит 5,34 Н, а в пресной воде
4,34 Н. Определить объём полости внутри шарика.
55
Возможное решение
Fа=Р - Рв воде= 5,34 Н- 4,34Н= 1 Н. (Сила Архимеда,
действующая на медный шарик со стороны воды).
Fа=ρжgVт;
Отсюда находим объём медного шарика и
Fa
4
3
V

полости: т  g  1 10 м ;
ж
Р=mg – вес медного шарика в воздухе;
P 5,34 H
m 
 0,534 кг (масса медного шарика).
g 10 H
кг
V1 
m
 меди

0,534кг
 6 10 5 м 3 ( объём медного шарика).
кг
8900 3
м
Vполости= V - V1 =10·10-5 м3- 6·10-5м3=4·10-5 м3.
Ответ: 4·10-5 м3.
7.1.4: Сплошное однородное тело, будучи погружено в
жидкость плотностью ρ1, весит Р1, а в жидкости плотностью
ρ2 весит Р2. Определите плотность вещества тела.
Возможное решение
Fа1=Р-Р1,
отсюда
Р=Р1+Fа1;
ρтgVт=ρж1gVт+Р1 (1)
Fа2=Р-Р2,
отсюда Р=Р2+Fа2;
ρтgVт=ρж2gVт+Р2 (2);
Отсюда
ρж1gVт+Р1= ρж2gVт+Р2; отсюда следует
gVт(ρж1- ρж2) = Р2 – Р1 выразим
P  P1
gVт  2
1   2
Р
1
(3)Из уравнения (1) находим:  т  1  V g (4).
т
Уравнение (3)
Р  Р
т  2 1 1 2 .
Р2 _ Р1
подставляем
56
в
(4)
и
получаем:
Ответ: т 
Р2 1  Р1 2
Р2 _ Р1
Fа
7.1.5: Льдина плавает в воде. Объём её
надводной части 20 м3. Каков объём
подводной части?
mg
Возможное решение
Запишем условие плавания тел:
m·g=ρж ·g·V1;
ρтVт = ρжV1; (1) где V1- объём подводной части льдины.
Vт=V1+V2; V1=Vт-V2; (2) где V2 – объём надводной части
льдины.
Подставляем (2) в (1): ρтVт = ρж(Vт-V2); после небольших
преобразований имеем:
Vт 
 жV2
ж  т ;
Подставляем
числовые
значения:
кг
 20 м 3
3
м
Vт 
 200 м 3
кг
(1000  900) 3
м
1000
Найдем
объём
подводной
3
3
3
V1  Vт  V2  200 м  20 м  180 м .
Ответ: 180 м3
части:
Fа
7.1.6: Кусок льда объёмом 5 дм3 плавает на
поверхности воды. Определите объём
mg
подводной и надводной части
Возможное решение
Запишем условие плавания тел:
mg=ρжgV1;
ρтVт = ρжV1; (1) где V1- объём подводной части льдины
57
V1 
 тVт

ж
900
кг
 5 10 3 м 3
3
м
 4,5 10 3 м 3
кг
1000 3
м
Vт=V1+V2; V2=Vт-V1; (2) где V2 – объём надводной части
льдины.
V2= (5-4,5)·10-3м3=0,5·10-3м3.
Ответ: 0,5·10-3м3, 4,5·10-3м3.
7.1.7: Вес однородного тела в воде в n раз меньше, чем в
воздухе. Чему равна плотность материала тела? Плотность
воды ρ.
Возможное решение:
Р
Р
Рвводе  раз ;
Fа=Р-Рв воде= Р  ;
nFа=Р(n-1);
п
п
nρgV=ρТgv(n-1); nρ=ρТ (n-1);  т 
Ответ:  т 
п
п 1
п
п 1
7.1.8: Плотность жидкости в n раз больше плотности
материала тела. Какая часть объёма тела будет выступать над
поверхностью, если тело поместить в жидкость?
Возможное решение
Запишем условие плавания тел:
mg=ρж1gV1; ρтVт = ρжV1; где V=V1+V2; V1=V - V2
ρтVт = ρж(Vт-V2); ρтVт = ρжVт - ρжV2; Отсюда находим V2:
V2 
V (  ж   т )  V (n т   т )  V т (п  1)  п  1V
;
ж
nт
пт
п 1
V
Ответ: V2=
п
58
п
7.1.9: Сосуд объемом V = 1 л заполнен на три четверти водой.
Когда в него погрузили кусок меди, уровень воды поднялся и
часть ее, объемом V0 = 100 мл, вылилась через край. Найдите
массу куска меди. Плотность меди ρ = 8,9 г/см3.
Возможное решение
Объем Vм куска меди равен объему вытесненной им воды,
которая складывается из объема V0 вылившейся воды и
объема V1 воды, заполнившей 1 часть сосуда:
4
V1 = 1 V= 1 1000мл=250мл
4
4
Vм = V0+V1 = 100мл +250мл = 350мл = 350см3
m = ρ·Vм = 8.9г/см3·350см3 = 3115 г;
Ответ: 3115 г.
7.1.10: В сосуд объемом V = 1 л, частично заполненный
водой, погрузили кусок меди массой m = 3,56 кг, при этом
часть воды вылилась через край сосуда. Когда кусок меди
вытащили из сосуда, то воды в сосуде осталось 3/4 от
исходного объема. Найдите начальный объем воды в сосуде.
Плотность меди ρ= 8,9 г/см3.
Возможное решение
Объем сосуда V складывается из объема Vм куска меди и
объема V1 оставшейся в сосуде воды. Пусть V0 - начальный
объем воды. Тогда:
Vм = т = 3560гг = 400 см3

8,9
см 3
V1 = V - Vм = 1000 см3 - 400 см3 =600 см3
V0 = 4 V1 = 4 ·600 см3= 800 см3;
3
3
Ответ: 800 см3;
59
7.1.11: В прямой цилиндрический сосуд, площадь основания
которого S=100 см2, наливают 1 л соленой воды плотности
3
 =1,15 г/см , и опускают льдинку из пресной воды. Масса
льдинки m=1 кг. Определите как изменится уровень воды в
сосуде, если половинка льдинки растает. Считайте, что при
растворении соли в воде объем жидкости не изменяется.
Возможное решение
Вначале лед, масса которого m, вытесняет объем воды
m
V1 =  , где  = начальная плотность воды. После того, как
1
1
1
m
лед массы 2 растаял, вытесняется объем воды
m
V2= 2  , где  2 - конечная плотность воды. Объем
2
добавившейся воды V/=
m
2
, где

- плотность пресной воды.
Изменение уровня воды в сосуде равно
V2  V /  V1 m  1
1
1
h 
 

 .
S
S  2  2 2  1 
Конечная плотность воды
равна отношению полной массы воды
V
1
m
2
2
к полному
m
объему V+ 2  , т.е.
m
2 1
 2  1
m
V
2
V
, где V= 1 л – начальный объем воды,
Подставляя числовые значения, получим  2  1,1г / см и
h  0,85 см.
Ответ: таким образом, уровень воды в сосуде повысится.
3
60
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.
№ 7.1.1
Деревянный куб с ребром 0,5 м плавает в озере, на 2/3
погруженный в воду. Какую минимальную работу нужно
совершить, чтобы утопить куб? (Ответ: 32,5 Дж)
№ 7.1.2
Кусок железа весит в воде 1 H. Определите его объем.
Плотность железа 7,8 г/см3. (Ответ: 147 см3)
№ 7.1.3
Тело в воде весит в три раза меньше, чем в воздухе. Чему
равна плотность тела? (Ответ: 1,5 г/см3)
№ 7.1.4
Вес однородного тела в воде в n раз меньше, чем в воздухе.
Чему равна плотность материала тела? Плотность воды ρ.
n
(Ответ: ρ1= n  1 ).
№ 7.1.5
Плотность жидкости в n раз больше плотности материала
тела. Какая часть объема тела будет выступать над
поверхностью, если тело поместить в жидкость?
(Ответ: Vх =
n 1
V ).
n
№ 7.1.6
Деревянный шарик плавает на поверхности
воды, как показано на рисунке. Определите
плотность шарика.
61
№ 7.1.7
Некоторое тело, изготовленное в форме
цилиндра, плавает в жидкости как
показано
на
рисунке.
Определите
плотность жидкости, если плотность
плавающего тела 600 кг/м3.
№ 7.1.8
Сосуд объемом V = 1 л заполнен на три четверти водой. Когда
в него погрузили кусок меди, уровень воды поднялся и часть
ее, объемом V0 = 100 мл, вылилась через край. Найдите массу
куска меди. Плотность меди 8,9 г/см3. (Ответ: 3115 г.)
№ 7.1.9
Во время экспедиции на дрейфующей льдине в ней
пробурили скважину для отбора проб воды. Какую толщину
имеет эта льдина, если глубина до поверхности воды в
скважине оказалась равной 1,5 м? Плотности льда и воды
3
3
равны 900 кг/м и 1000 кг/м соответственно. (Ответ: 15 м)
№ 7.1.10
Ко дну цилиндрического стакана с диаметром основания 7 см
приморожен ледяной кубик с длиной ребра 4 см. Стакан
заливают теплой водой так, что она полностью покрывает
кубик. Как и на сколько изменится уровень воды в стакане
после того, как кубик полностью растает?
3
3
Плотность воды 1,0 г/см , плотность льда 0,9 г/см .
(Ответ: уровень воды опустится на 0,17 см).
62
2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. ПЛАВАНИЕ
НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ В ОДНОРОДНОЙ ЖИДКОСТИ.
7.2.1. «Вечерело. Уставший за нелегкий день бедный рыбак
Абдулла присел на берегу реки отдохнуть. Вдруг видит –
плывет по волнам какой – то предмет, почти полностью
погруженный в воду, только самый краешек виден на
поверхности воды. Абдулла бросился в реку и вытащил его.
Смотрит, а это старинный глиняный кувшин, с горлышком,
плотно закрытый пробкой и залитый сургучной печатью.
Распечатал Абдулла кувшин и обомлел: из кувшина
высыпалось 147 одинаковых золотых монет. Монеты
Абдулла спрятал, а кувшин закрыл, залил горлышко сургучом
и бросил кувшин обратно в реку. И поплыл кувшин дальше,
примерно на треть, выступая над водой» - так говорится в
одной из восточных сказок.
Полагая, что кувшин был двухлитровым, оцените массу
одной золотой монеты.
Возможное решение
Сделаем рисунок, покажем все силы,
действующие на тело:
Fа
mg
Запишем условие плавания тел 1: mg = ρжgVт, отсюда
m = ρжVт → (mк+147mм)= ρжVт; (1)
Запишем условие плавания тел 2 : mкg=2/3 ρжgVт, отсюда
mк=2/3ρжVт; → в (1):
m
 жVт  mk
147
Ответ: 4,5 г.

2
3
147
 жVт   жVт
1
 жVт
3

 4,5г .
147
63
7.2.2: В кастрюле плавает пористый кусок льда. Ровна
половина по объёму этого « айсберга» находится над водой.
Лёд вынули из воды, при этом её уровень понизился на Δh =
6см. Найдите суммарный объём воздушных полостей в куске
льда, если поперечное сечение кастрюли S = 200 см2, а
плотность льда ρл = 917 кг/м3.
Возможное решение:
Используем закон Архимеда:
mлg=ρвgVвыт; mл= ρвVвыт; mл= ρ л(Vайс-Vпол);
Vвыт=SΔh,
1
Vайсб  Vв ыт по условию задачи;
2
ρл(Vайсб- Vпол) = ρвSΔh, отсюда
отсюда
Vпол 
2  л Sh   в Sh
л

Sh(2  л   )
л
ρл(2Vвыт- Vпол) = ρвSΔh,
, Vпол= 1091 см3
Ответ: 1091 см3.
7.2.3: Каков был бы объём короны царя Гиерона, если бы
50% её массы приходилось на серебро, а масса короны
составляла бы 4 кг? Каков был бы её объём, если бы она была
сделана из чистого золота?
Возможное решение:
V1 
m


m1  m2

1   2
2кг  2кг
 0,29 *10 3 ( м 3 )
кг
кг
19300 3  10500 3
м
м
-
короны из серебра и золота.
V2 
m


4кг
19300
кг
м3
 0,2110 3 ( м 3 )
- объём короны из золота.
Ответ: 0,29 10 –3кг/м3, 0, 21·10 –3 кг/м3.
64
объём
7.2.4: Предположим, что Архимед взвесил корону царя
Гиерона в воздухе и в воде. Определите отношение веса
короны в воздухе к её весу в воде для 2 –х случаев, указанных
в предыдущей задаче.
Возможное решение
Рвозд= mg; Рв воде= Рвозд- Fа= mg-ρжgVт
Р
40 Н
1
 1,078 раз
1) Р 
кг
м

3
3
2
40 Н  1000 3  10 2  0,29  10 м
м
2)
с
Р1
40 Н

 1,055 раз
кг
м
Р2
40 Н  1000 3 10 2  0,2110 3 м 3
м
с
Ответ: 1,078 раз; 1,055 раз.
7.2.5: Слиток золота и серебра имеет массу 300 г. При
погружении в воду его вес равен 2,75 Н. Определите массу
серебра и массу золота в этом слитке.
Возможное решение
Р = mg = 0,3 кг·10 Н/кг= 3 Н ( вес тела в воздухе).
Fа= Р - Рв воде= 3 Н- 2,75 Н=0,25 Н (сила Архимеда,
действующая на слиток со стороны воды).
Fа=ρжgVт;
Отсюда
находим
объём
тела:
F
Vт  a  0,25  10 4 м3 ;
ж g
Где объём слитка складывается из объёмов золота и серебра:
m2 1
кг
2 
 240 3 ; (1)
где m=m1+m2;
V1  m1
м
m  m2 m2
V


т
Решая уравнение (1) выразим m2:
1
2 ;
Vт 1  2  m 2  m2  2  m2 1
65
m 2  V1  2
 0,082 кг (золота);
 2  1
m1=m-m2= 0,3 кг-0,082 кг = 0,22 кг. (серебра).
Ответ: 0,082 кг золота; 0,22 кг серебра.
m2 
7.2.6: Цинковый шар весит 3,6 Н, а при погружении в воду –
2,8 Н. Сплошной ли этот шар или имеет полость? Если не
сплошной, то определите объём полости.
Возможное решение:
Fа= Р - Рв воде= 3,6 Н- 2,8 Н=0,8 Н (сила Архимеда,
действующая на шар со стороны воды).
Fа= ρжgVт; Отсюда находим объём шара ( цинк + полость):
Vт 
Fa
ж g
 0,8 10 4 м 3 ;
P
3,6 H
Р = mg ( Вес шарав воздухе). Отсюда m  g  H  0,36кг ;
10
кг

m
0,36кг
кг


4500
  ц значит в шаре есть полость.
V 0,8 10 4 м 3
м3
V1 
m
ц

0,36кг
 50 10 4 м 3  50см 3 (объём цинка).
кг
7100 3
м
Vпол=V-V1=0,8 10-4м3 – 0,5 10
полости).
Ответ: полый; 30см3.
–4
м3= 0,3·10-4м3=30 см3 (объём
7.2.7: Кусок сплава из меди и цинка массой 5,16 кг в воде
весит 45,6 Н. Сколько меди содержится в этом сплаве?
Возможное решение
Р = mg = 5,16 кг·10 м/с2= 51,6 Н ( вес тела в воздухе).
Fа= Р - Рв воде= 51,6 Н- 45,6 Н=6 Н (сила Архимеда,
действующая на слиток со стороны воды).
66
Fа=
ρжgVт;
Отсюда находим объём тела:
F
Vт  a  6  10 4 м 3 ;
ж g
Где объём слитка складывается из объёмов меди и цинка:
m m m m  m1
V  V1  V2  1  2  1 
; (1)
где m=m1+m2;
1 2 1
2
m1 m  m1
Решая уравнение (1) выразим m1: V  
;
1
2
V   m1
m1  1 2
 4,45кг (меди);
 2  1
Ответ: 4,45 кг меди.
7.2.8: «Газированный айсберг» представляет собой плоскую
ледяную пластинку толщиной Н= 40 см, плотность которой
из – за неравномерного распределения пузырьков газа
линейно меняется от ρ1= 0,5 до ρ2=0,9 г/см3. Найдите высоту
надводной части айсберга. Плотность воды ρ = 1 г/см3.
Возможное решение:
Начертим
график
зависимости
плотности айсберга от высоты:
Пусть площадь льдины S, тогда её
масса:
h
Н
( 1   2 )
Мл  S
H , плотность найдем как среднее
2
арифметическое значение
согласно графика:
Масса вытесненной воды:
М B  S B ( H  h) ,
где h – высота надводной части.
Условие плавания: Мл= МВ:
67
ρ, г/см3
ρ2=0,9
ρ1=0,5
0
0,4
Н,м
S
( 1   2 )
H=
2
( 1   2 )
H =  B ( H  h) ;
2
S B ( H  h) ;
Следовательно
  2
h  H (1  1
)  12cм
2B
Ответ: 12 см
7.2.9: Полый цинковый шар, наружный объём которого 200
см3, плавает в воде так, что половина его погружена в воду.
Найти объём полости шара Vпол, плотность цинка
ρц= 9000 кг/м3
Возможное решение:
Условие плавания тел: mg = ρжgV1, где V1 –объём шара,
находящегося в воде.
ρц (V - Vпол) = ρж 1 V; 2ρц V - 2ρц Vпол = ρж V;
2
Vпол 
V (2 ц   ж )

2 ц
г
г

1
)
см 3
см 3  188,9см 3
г
2*9 3
см
200 см 3 (2 * 9
Ответ: 188,9 см3
68
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
7.2.1
Из чистого ли золота изготовлена царская корона, если её вес
в воздухе равен 28,2 Н, а в воде – 26,4 Н? Плотность золота 19,3 г/см3, воды – 1 г/см3. (Ответ: нет)
7.2.2
Какая архимедова сила действует на полностью погруженный
в воду полый медный шар массой 890 г, если объем полости
40 см3. (Ответ: 1,4 Н)
7.2.3
Цинковый шар весит 3,6 Н, а при погружении в воду – 2,8 Н.
Сплошной ли этот шар или имеет полость? Если не
сплошной, то определите объем полости. (Ответ: шар имеет
полость 30 см3).
7.2.4
Кусок сплава из меди и цинка массой 5,16 кг в воде весит
45,6Н. Сколько меди содержится в этом сплаве? (Ответ: 4,45
кг).
ТЕМА 3: Плавание однородного тела в двух
несмешивающихся жидкостях.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.
7.3.1. В прямой цилиндрический сосуд, площадь основания
которого S = 100 см2, наливают 1 л солёной воды плотности
ρ1 = 1,15 г/см3, и опускают льдинку из пресной воды. Масса
льдинки m = 1 кг. Определите, как изменится уровень воды в
69
сосуде, если половина льдинки растает. Считайте, что при
растворении соли в воде объём жидкости не изменяется.
Возможное решение
V1 
m
1 - объём воды, который вытесняет лед вначале.
m
2  2 - объём воды, который вытесняет лёд массой m/2
(m/2 – лед растаял),
ρ2 – конечная плотность воды.
m
V 
- объём добавившейся воды.
2
V2 
h 
V2  V   V1 m 1
1
1
 (

 ) - изменение уровня воды в
S
S 2  2 2  1
сосуде.
Конечная плотность равна по отношению полной массы воды
к полному объему:
m
m
1V 
M
2 
2  1,1 г
2 

m
V3 V  V 
см 3 , рассчитаем Δh = 0,8 см.
V
2
m1 
Ответ: т.о. уровень воды в сосуде повысится.
7.3.2:
Поверх
жидкости
плотностью
ρ1
налита
жидкость плотностью ρ2<ρ1,
причем
жидкости
не
смешиваются. Очевидно, что
тело плотностью ρ (ρ1 >ρ >ρ2)
будет плавать у границы
раздела этих жидкостей.
Fa
2
Fa
ρ2
1
ρ1
mg
70
Какая часть объёма тела будет погружена в более плотную
жидкость?
Возможное решение
F=Fа1+Fа2=ρ1gV1+ ρ2g(Vт-V1);
Запишем условие плавания тел: mg=F,
ρтgVт= ρ1gV1+ ρ2g(Vт-V1),
ρтVт= ρ1V1+ ρ2Vт- ρ2V1,
V1 
V (   2 )
1   2
Ответ: V1 
V (   2 )
1   2
7.3.3: Тело плавает в одной жидкости, погружаясь в неё на 1/4
своего объёма, а в другой жидкости – погружаясь на 2/3
своего объёма. На какую часть объёма погрузится тело в
жидкости, плотность которой равна средней арифметической
плотностей первых двух жидкостей?
Возможное решение:
Fа1=ρж1gV1 в первой жидкости.  ж1 
Fa1
(1)
gV1
Fа2=ρж2gV2 – во второй жидкости.
ж 2 
Fа3=ρж3gV3=
1  2
2
Fa 2
gV2
Fa 3
V

gV3 , откуда 3   
1
2
g
2
Подставим уравнения (1) и (2) в (3):
71
(2)
(3)
1 2
2 V V
2 Fa 3
2V V
4
V3 
 1 2  4 3  V
F
F
1
2
( a1  a 2 ) g V1  V2
V  V 11
gV1 gV2
4
3
4
Ответ: V
11
7.3.4: Цилиндр, изготовленный из неизвестного материала,
плавает на границе двух несмешивающихся между собой
жидкостей. Плотность одной жидкости 800 кг/м3, а другой –
1000 кг/м3. Определите плотность вещества цилиндра, если
известно, что в нижнюю жидкость он погружен на 2/3 своего
объёма.
Возможное решение
Запишем условие плавания тел:
mg=ρж1gV1+ ρж2gV2; где V=V1+V2; V1=V - V2
ρтVт= ρж1V1+ ρж2V2; ρтVт= ρж1(V- V2)+ ρж2V2;
Выразим плотность тела:
1
2
 ж1V   ж 2V 1
2
кг
3
т  3
  ж1   ж 2  900 3 ;
V
3
3
м
Ответ: 900 кг/м3
7.3.5: Прямой деревянный цилиндр плавает в воде так, что в
неё погружено 0,9 объёма цилиндра. Какая часть цилиндра
будет погружена в воду, если на воду налить слой масла,
полностью закрывающий цилиндр? Плотность мала 800
кг/м3.
Возможное решение:
Fа2
1) Из первого условия определим плотность
тела:
ρж2
Fа1
ρж1
h1
72
mg
mg=ρж1gV1; ρтVт = ρжV1 ; ρтVт = 0,9 ρжVт;
ρт = 0,9·1000 кг/м3=900 кг/м3
2) Запишем условие плавания для второго случая:
mg=ρж1gV1+ ρж2gV2; где Vт=V1+V2; V2=Vт – V1
ρтVт= ρж1V1+ ρж2V2; ρтVт= ρж1 V1+ ρж2(Vт- V1);
ρтVт= ρж1V1+ ρж2Vт - ρж2V1; ρтVт - ρж2Vт = ρж1V1 - ρж2V1;
V1 
V (т  2 )
 0,5V
1   2
Ответ: V1  0,5V
7.3.6: Доска толщиной 5 см плавает в воде, погрузившись на
70 %. Поверх воды разливается слой нефти толщиной 1 см.
На сколько будет выступать доска над поверхностью нефти?
Возможное решение
Запишем условие плавания тел: mg=ρж1gV1+ ρж2gV2;
ρтh=ρж1h1 + ρж2h2; (1) h1 – толщина доски в воде, h2 –
толщина доски в нефти; h3 – толщина доски выступающей
над нефтью; h= h1+ h2+ h3, отсюда h1=4см- h3 – подставим
в первое уравнение: ρтh=ρж1 (4см- h3 )+ ρж2h2; выразим h3:
4cм ж1   ж 2 h2   m h
h3 
 1,3см
 ж1
Ответ: 1,3 см.
бензин
7.3.7: В ванну, заполненную водой, опустили
кольцо из парафина. Площадь поперечного
сечения отверстия кольца S =300 см2, а его
парафин
высота Н=5 см. Какую массу бензина можно
влить внутрь кольца так, чтобы он не попал наружу?
Известны: ρВ =1000кг/м3 – плотность воды; ρп = 900 кг/м3 –
плотность парафина;
73
ρб =700 кг/м3 – плотность бензина;
Возможное решение
Пусть S – площадь горизонтального сечения парафинового
кольца. Вес кольца уравновешивает сила гидростатического
давления: mg=pS , где
m = ρпSH, р = ρВSh, а h- глубина погружения кольца.
Отсюда
ρп gH = ρВ gh (1)
При заполнении внутренней части кольца бензином
гидростатическое давление на уровне нижнего края кольца
останется постоянным. Поскольку плотность бензина меньше
плотности воды, общая высота слоя бензина и воды внутри
кольца будет больше высоты h воды снаружи кольца. Так как
парафин в бензине тонет, бензин, в конечном счете, станет
переливаться через верхний край кольца. Пусть х –
максимальная толщина слоя бензина, влитого внутрь кольца,
тогда (Н – х ) – толщина слоя воды внутри кольца. Запишем в
аналитическом виде равенство гидростатических давлений:
ρбgx + ρВ g(H-х) = ρВ gh ; (2)
Решая совместно уравнения (1) и (2) получим:
  n 5
xH B
 см  1,67см .
 B  б 3
Объём налитого бензина V=Sx =500 см3, его масса
mб=ρбV= 0,35 кг.
Ответ: 0,35 кг.
бензин
7.3.8: Известно, что бензин растекается
по поверхности воды, а брусок из липы в
липа
бензине не тонет. В ванну, заполненную
водой, опустили кольцо из липы. Площадь поперечного
сечения отверстия кольца S=300 см3, а его высота Н = 5 см.
74
Какую массу бензина можно влить внутрь кольца так, чтобы
он не попал наружу? Плотность липы ρл =500 кг/м3.
Возможное решение
Пусть S – площадь горизонтального сечения липового
кольца. Вес кольца уравновешивает сила гидростатического
давления: mg=pS , где
m = ρлSH, р = ρВSh, а h- глубина погружения кольца.
Отсюда
ρл gH = ρВ gh (1)
При заполнении внутренней части кольца бензином
гидростатическое давление на уровне нижнего края кольца
останется постоянным. Поскольку плотность бензина меньше
плотности воды, общая высота слоя бензина и воды внутри
кольца будет больше высоты h воды снаружи кольца. Так как
липа в бензине не тонет, бензин, в конечном счете, начнет
подтекать под кольцо снизу. Пусть х – максимальная
толщина слоя бензина, налитого внутрь кольца. Запишем
равенство гидростатических давлений:
S
ρбgx = ρВ gh ; (2)
Решая совместно уравнения (1) и (2) получим:
xH
л
б

л
Поскольку объём бензина внутри кольца V = Sx = SH  ,
б
то его масса mб=ρбV= SH = 0,75 кг.
Ответ: 0,75 кг
л
7.3.9: Плавая в первой жидкости, куб погружается на 40 мм, а
плавая во второй жидкости – на 60 мм. На сколько
миллиметров он погрузится в третьей жидкости, плотность
которой равна среднему арифметическому плотностей двух
первых жидкостей.
75
Возможное решение
F
a1


ж
1
Fа1=ρж1gV1 в первой жидкости.
gSh1 (1)
Fa 2


ж2
Fа2=ρж2gV2 – во второй жидкости.
gSh2
Fа3=ρж3gV3=
1  2
2
gV3 , откуда h3 
Fa 3
1   2
gS
2
(2)
(3)
Подставим уравнения (1) и (2) в (3):
h3 
2 Fa 3
2h h
2  60 мм  40 мм
 1 2 
 48 мм
Fa1
Fa 2
.
h1  h2
60 мм  40 мм
(

) gS
gSh1 gSh2
Ответ: 48 мм
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
7.3.1
Кусок металла в воздухе весит 7,8 Н, в воде – 68 Н, в
жидкости А - 7 Н, а в жидкости В – 7,1 Н. Определите
плотности жидкостей А и В. (Ответ: 0,8 г/см3, 0,7 г/см3)
7.3.2
Стальной кубик с ребром 10 см плавает в ртути. Поверх ртути
наливают воду вровень с верхней гранью кубика. Какова
высота слоя воды? (Ответ: 4,6 см).
76
7.3.3
Тело плотностью ρ плавает на границе раздела двух
жидкостей с плотностями ρ1 и ρ2 . Какая часть объема тела
  2
погружена в нижнюю жидкость? (Ответ:    )
1
2
7.3.4
Цилиндр, изготовленный из неизвестного материала, плавает
на границе двух несмешивающихся между собой жидкостей.
Плотность одной жидкости 800 кг/м3, а другой 1000 кг/м3.
Определите плотность вещества цилиндра, если известно, что
в нижнюю жидкость он погружен на 2/3 своего объема.
(Ответ: 900 кг/м3).
7.3.5
На границе раздела двух жидкостей плотностей ρ1 и ρ2
плавает шайба плотности ρ (ρ1 < ρ < ρ2). Высота шайбы h.
Определите глубину ее погружения во вторую жидкость.
h(    )
1
(Ответ: х     )
2
ТЕМА 4: Плавание двух и более тел в однородной
жидкости.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.
№ 7.4.1. Для участия в Технической олимпиаде по
подводному плаванию в Баренцевом море Чебурашка
изготовил модель крокодила Гены. Однако модель оказалась
слишком тяжелой и тонула в воде. Чебурашка прикрепил к
ней несколько герметичных полиэтиленовых пакетов с
воздухом. Оказалось, что в Баренцевом море, где плотность
воды ρс=1050 кг/м3, при погружении на глубину , не
превышающуюю критической величины hс= 7 м, модель
всплывает, а при погружении на большую глубину тонет. В
устье реки Печоры, где плотность воды равна ρп =1000 кг/м3,
77
критическая глубина погружения модели крокодила
составила всего hп = 1 м. Найдите плотность модели
крокодила Гены.
Примечание: Для воздуха применим закон Бойля – Мариотта.
Для постоянного количества газа при неизменной
температуре произведение давления р газа на занимаемый им
объём V постоянно:
рV = соnst
Возможное решение
Обозначим через: М, ρм, Vм – массу, плотность, объём модели
крокодила;
V0, Vс, Vп – объёмы воздуха в полиэтиленовых пакетах
соответственно над водой, и при погружении на критическую
глубину в морской и речной воде;
р0 – атмосферное давление.
Из условия плавания тел:
Мg= ρс(Vм+ Vс)g , отсюда ρмVм= ρсVм + ρсVс ,
отсюда ρсVс= Vм(ρм - ρс) – в морской воде. (1).
Мg= ρп(Vм+ Vп)g , отсюда ρмVм= ρпVм + ρпVп ,
отсюда ρпVп= Vм(ρм – ρп) – в речной воде. (2).
Уравнение (1) делим на уравнение (2):
 сVc VM (  M   c ) (  M   c )


 пVп VM (  M   п ) (  M   п )
(3)
При погружении объём воздуха в полиэтиленовых пакетах
уменьшается, причем согласно закону Бойля – Мариотта:
p0V0
V

р0V0=(р0+ ρсghс)Vс , c
(4)
p0   c ghc
р0V0=(р0+ ρпghп)Vп , Vп 
 с  р0   п ghп
 п  р0   с ghс
 

 
М
М
p 0V0
(5)
p 0   п ghп
 с

 п
78
Решая уравнение получим:
М 
 п  с  п ghп   с ghс 
 с  р0   п ghп    р0   с ghс

 1149,6
кг
м3
Ответ: 1149, 6 кг/м3.
№ 7.4.2: На двух полых кубиках,
плавающих в воде, покоится невесомая
палочка. Размер рёбер кубиков
составляет: а1=0,1м и а2= 0,2м.
Сколько воды нужны налить в один из
кубиков, чтобы палочка лежала горизонтально? Массы
кубиков m1=0,05кг и m2=0,1 кг. Толщиной стенок пренебречь.
Плотность воды 1000 кг/м3.
Возможное решение
Запишем условия плавания кубиков:
ρga21h1=m1g
ρga22h2=m2g
где h1 и h2 – глубина погружения первого и второго кубиков.
Длина ребер кубиков, выступающих из воды, можно записать
в виде:
m
m
а1  h1  a1  2 1 ; а 2  h2  a 2  2 2 ;
a1 
a2 
Подстановка чисел приводит к заключению, что
а1-h1< а2-h2, (0,1 –0,005)м < (0,2-0,025)м;
т.е. воду необходимо наливать во второй кубик. Массу воды,
которую нужно налить можно вычислить по формуле:
m=ρV= ρa22Δh., где Δh – разность длин ребер, выступающих
из воды. Следовательно,
m=ρa22(а2-h2-а1+h1)=ρa22(а2-а1)-а22(
Ответ: 4,1 кг.
79
m2 m 1

)  4,1кг.
a 22 a12
7.4. 3: К куску железа массой 11,7 г привязан кусок пробки
массой 1,2 г. При полном погружении этих тел в воду их вес
равен 64 мН. Определить плотность пробки.
Возможное решение
Вес пробки и куска железа в воздухе:
Р=(m1+m2)g= (11,7 +1,2)·10-3 кг·10Н/кг=12,9·10-2 Н.
Fа= Р - Рв воде=12,9·10-2 Н- 6,4·10-2Н= 6,5·10-2 Н (сила
Архимеда, действующая на пробку и кусок железа со стороны
воды).
Fа=ρжgVт;
Отсюда
находим
объём
тела:
Vт 
Fa
 6,5  10 6 м 3 ;
ж g
Где объём тела складывается из объёмов куска железа
пробки:
m m
V  V1  V2  1  2 ; (ρ2 – плотность пробки).
1  2
m2 V1  m1
m2 1
кг




240
.
2
1 ; отсюда 2 V1  m1
м3
и
Ответ: 240 кг/м3.
№ 7.4.4: Деревянная доска плавает в воде таким образом, что
под водой находится ¾ её объёма. Какой минимальной
величины груз нужно закрепить сверху на доске, чтобы она
полностью погрузилась в воду?
Возможное решение
1)V1 =3/4 V- объём доски, который находится под водой;
запишем условие плавания тел: m1g=ρжgV1;
m1=3/4ρжV;
2) запишем условие плавания тел, для доски и груза:
(m1 + m2) g=ρжgV; (m1 + m2) =ρжV; m2 =ρжV - m1 =
= ρжV-3/4 ρжV=1/4 ρж=250 кг/м3
Ответ: 250 кг/м3
80
Список литературы
1. А.И. Буздин, А.Р. Зильберман, С.С. Кротов. « Раз
задача, два задача…». М.: «Наука», 1990. – 240с.
2. Л.А. Кирик. «Самостоятельные и контрольные работы
по физике» 8 класс.. Моква – Харьков. «Илекса»,
«Гимназия», 1999. – 128 с.
3. М.С. Цедрик. Сборник задач по курсу общей физики.
М.: «Просвещение», 1989. – 271 с
4. Н.И. Гольдфарб. Задачник. М.: «Дрофа», 1996. – 368
с.
5. С.М. Козел, В.П. Слободянин. «Всероссийские
олимпиады по физике». 1992-2001., М.: «Вербум - М»,
2002. – 392с.
81
Содержание
1. Предисловие …………………………………………………. 3
2. Средняя скорость …………………………………………… 7
3. Относительность движения …………………………… 16
4. Масса. Плотность ………………………………………….. 27
5. Сила в природе …………………………………………….. 32
6. Работа. Мощность. Простые механизмы …………33
7. Архимедова сила. Плавание тел ….. ………………..39
8. Список литературы ……………………………………….. 57
82
Скачано с www.znanio.ru
83