Иррациональные неравенства Неравенство называется иррациональным, если в него входит функция под знаком корня. Решение иррациональных неравенств стараются свести к решению рациональных неравенств, используя основные свойства числовых неравенств и корня n-ой степени. При этом необходимо следить за тем, чтобы преобразования неравенства были равносильными, то есть исходное заменялось таким, которое имеет то же множество решений, поскольку проверка полученных решений подстановкой, в случае решения неравенств, весьма затруднительна. Два неравенства называются равносильными, если множества их решений равны. Свойство 1. Если обе части неравенства возвести в нечётную степень, то получим неравенство, равносильное данному. 5 Пример 1. √2𝑥 − 7 > −1 Решение: Возведем обе части уравнения в пятую степень 5 5 (√2𝑥 − 7) > (−1)5 2𝑥 − 7 > −1 2𝑥 > 6 𝑥>3 Определение Неравенство является следствием данного неравенства, если его множество решений содержит в себе множество решений данного неравенства. Свойство 2. Если обе части неравенства возвести в чётную степень, то получим неравенство, являющееся следствием данного. 4 Пример 2. √15 − 2𝑥 < 2 Так как обе части данного неравенства неотрицательны при всех значениях x, 4 для которых выражение √15 − 2𝑥 определено, то, возведя обе части неравенства в четвёртую степень, необходимо написать условие 15 − 2𝑥 ≥ 0, тогда преобразование будет равносильным. Таким образом, получаем: 4 √15 − 2𝑥 < 2 ⇔ {15 − 2𝑥 < 2 15 − 2𝑥 ≥ 0 4 Решим полученную систему неравенств: 𝑥 > −0,5 15 − 2𝑥 < 16 ⇔{ ⇔ 𝑥𝜖(−0,5; 7,5] { 𝑥 ≤ 7,5 15 − 2𝑥 ≥ 0 К простейшим иррациональным неравенствам относятся неравенства вида: √𝑓(𝑥) ∨ 𝑔(𝑥), √𝑓(𝑥) ∨ √𝑔(𝑥), где знак ∨ означает один из знаков >, <, ≤, ≥ Среди простейших рациональных неравенств можно выделить несколько видов, каждый из которых будет решаться путем определенных утверждений о равносильности. Далее для упрощения записи будем большими буквами A,B,C и т.д. обозначать целые выражения, содержащие переменную. 1. Неравенства вида √𝐴 ≥ √𝐵 𝐴≥𝐵 √𝐴 ≥ √𝐵 ⟺ { 𝐵≥0 Или 𝐴>𝐵 √𝐴 > √𝐵 ⟺ { 𝐵≥0 2 Пример 3. √𝑥 − 𝑥 + 2 > √𝑥 + 1 Поскольку первое выражение больше второго, достаточно потребовать неотрицательности только второго: 2 √𝑥 2 − 𝑥 + 2 > √𝑥 + 1 ⇔ {𝑥 − 𝑥 + 2 > 𝑥 + 1 𝑥+1≥0 2 2 𝑥≠1 (𝑥 − 1)2 > 0 ⇔{ {𝑥 − 𝑥 + 2 > 𝑥 + 1 ⟺ {𝑥 − 2𝑥 + 1 > 0 ⇔ { 𝑥 ≥ −1 𝑥+1≥0 𝑥 ≥ −1 𝑥 ≥ −1 𝑥 ∈ [−1; 1) ∪ (1; +∞) 2. Неравенство вида √𝐴 ≤ √𝐵 𝐴≤𝐵 √𝐴 ≤ √𝐵 ⇔ { 𝐴≥0 или 𝐴<𝐵 √𝐴 < √𝐵 ⇔ { 𝐴≥0 2 Пример 4. √𝑥 − 4𝑥 + 4 ≤ √𝑥 + 10 Запишем систему, эквивалентную заданному неравенству 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 ≤ 𝑥 + 10 ⟺ 𝑥 2 − 5𝑥 − 6 ≤ 0 ⇔ (𝑥 + 1)(𝑥 − 6) ≤ 0 { { { (𝑥 − 2)2 ≥ 0 (𝑥 − 2)2 ≥ 0 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 ≥ 0 Первое неравенство системы справедливо для всех действительных значений x, а второе решим методом интервалов -1 6 Таким образом, решение системы будет числовой промежуток [−1; 6]. 3. Неравенство вида √𝐴 ≥ 𝐵 𝐵≤0 𝐴≥0 √𝐴 ≥ 𝐵 ⇔ [ 𝐵>0 { 𝐴 ≥ 𝐵2 { или 𝐵<0 √𝐴 > 𝐵 ⇔ [ 𝐴 ≥ 0 𝐵≥0 { 𝐴 > 𝐵2 { Пример 5. √10 − 𝑥 2 > 3𝑥 Тут возможны два варианта. Если 𝑥 ≤ 0, неравенство выполнится при всех допустимых 𝑥, ведь корень неотрицателен, значит, он автоматически больше (или равен) неположительного числа. Если же правая часть положительна (𝒙 > 0), имеем право возводить в квадрат. Важно, что прежде чем возводить в квадрат, нужно убедиться, что обе части неравенства неотрицательны. 3𝑥 < 0 𝑥<0 { { 2 √10 − 𝑥 2 > 3𝑥 ⇔ [ 10 − 𝑥 ≥ 0 ⇔ [ −√10 ≤ 𝑥 ≤ √10 ⇔ 3𝑥 ≥ 0 𝑥≥0 { { 10 − 𝑥 2 ≥ (3𝑥)2 −1 < 𝑥 < 1 ⇔ [−√10 ≤ 𝑥 < 0 ⇔ [−√10; 1) 0≤𝑥<1 4. Неравенство вида √𝐴 ≤ 𝐵 𝐴≥0 √𝐴 ≤ 𝐵 ⇔ { 𝐵 ≥ 0 𝐴 ≤ 𝐵2 Или 𝐴≥0 √𝐴 < 𝐵 ⇔ { 𝐵 > 0 𝐴 < 𝐵2 Пример 6. √5𝑥 − 𝑥 2 < 𝑥 − 2 Поскольку корень неотрицателен, то и правая часть этого неравенства должна быть неотрицательной: 5𝑥 − 𝑥 2 ≥ 0 𝑥(𝑥 − 5) ≤ 0 √5𝑥 − 𝑥 2 < 𝑥 − 2 ⇔ { ⇔{ ⇔ 𝑥−2>0 𝑥>2 2 2 2 5𝑥 − 𝑥 < (𝑥 − 2) 2𝑥 − 9𝑥 + 4 > 0 0≤𝑥≤5 𝑥>2 ⇔{ 2(𝑥 − 0,5)(𝑥 − 4) > 0 0≤𝑥≤5 0≤𝑥≤5 𝑥>2 𝑥>2 ⇔{ ⇔{ ⇔ (2𝑥 − 1)(𝑥 − 4) > 0 𝑥 ∈ (−∞; 0,5) ∪ (4; +∞) ⇔ 𝑥 ∈ (4; 5] 5. Неравенства вида 𝐴√𝐵 > 0 или 𝐴√𝐵 < 0 𝐵>0 𝐴√𝐵 > 0 ⇔ { 𝐴>0 Или 𝐵>0 𝐴√𝐵 < 0 ⇔ { 𝐴<0 Пример 7. 𝑥√𝑥 + 5 > 0 Корень всегда принимает неотрицательные значения, поэтому он влияет на это неравенство, только если равен нулю. То есть нужно ограничить корень, чтобы он не был равен нулю, а в остальном – дело за выражением A, в нашем примере - 𝑥. И не забываем про ОДЗ, подкоренное выражение неотрицательно. А если оно неотрицательно, и при этом не должно быть равно нулю, то оно строго больше нуля: 𝑥+5>0 𝑥 > −5 𝑥√𝑥 + 5 > 0 ⇔ { ⇔{ ⇔𝑥>0 𝑥>0 𝑥>0 6. Неравенства вида 𝐴√𝐵 ≥ 0 или 𝐴√𝐵 ≤ 0 𝐵=0 𝐴√𝐵 ≥ 0 ⇔ [ 𝐴 ≥ 0 { 𝐵≥0 Или 𝐵=0 𝐴√𝐵 ≤ 0 ⇔ [ 𝐴 ≤ 0 { 𝐵≥0 Пример 8. 𝑥√𝑥 − 1 ≥ 0 В случае нестрогого неравенства условие, что подкоренное выражение не равно нулю теперь лишнее. Но при этом выражение A может быть любым. Значит, надо отдельно рассмотреть случай, когда корень равен нулю: 𝑥−1=0 𝑥=1 𝑥√𝑥 − 1 ≥ 0 ⇔ [ 𝑥 ≥ 0 ⇔ [ ⇔𝑥≥1 { 𝑥≥1 𝑥−1≥0 Корни степени больше 2 Если же корень в неравенстве не квадратный, важна четность его степени. Корни чётной степени Корни 2, 4, 6 и т.д. степеней очень похожи друг на друга, и принцип решения уравнений с ними абсолютно одинаковый. Дело в том, что корень четной степени можно всегда привести к квадратному. 𝟐𝒌 𝒌 √𝒙 = √ √𝒙 𝐴≥0 √𝐴 ≤ 𝐵 ⇔ { 𝐵 ≥ 0 𝐴 ≤ 𝐵4 4 Корни нечётной степени С нечетными степенями (3, 5, …) все намного проще, ведь дело в том, что корень нечетной степени можно извлекать из любого числа. Теперь никаких дополнительных условий, никаких ограничений – просто возводим все в нужную степень и решаем. Например, 3 √𝐴 > 𝐵 ⇔ 𝐴 > 𝐵3 5 √2 − 𝑥 > −2 ⇔ 2 − 𝑥 > (−2)5 ⇔ 2 − 𝑥 > −32 ⇔ 𝑥 < 34