Задача №1. Даны координаты вершин треугольника ABC : A(−8;−3);
B(4;−12); C(8;10) .
Необходимо найти:
1. длину стороны AB;
2. уравнение сторон AB и BC и их угловые коэффициенты;
3. угол ψ между прямыми AB и BC в радианах;
4. уравнение высоты CD и ее длину;
5. уравнение медианы AE и координаты точки K пересечения этой
медианы с высотой CD;
6. уравнение прямой L , которая проходит через точку K параллельно к
стороне AB;
7. координаты точки F(xF , y F ), которая находится симметрично точке
A относительно прямой CD .
По порядку рассмотрим каждый пункт.
1. Для нахождения длины стороны AB воспользуемся формулой расстояния
между двумя точками в прямоугольной системе координат. Расстояние
между точками (x₁, y₁) и (x₂, y₂) вычисляется по формуле:
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²).
В нашем случае:
A(-8,-3) и B(4,-12).
Тогда длина стороны AB будет равна:
AB = √((4 - (-8))² + (-12 - (-3))²) = √(12² + (-9)²) = √(144 + 81) = √225 = 15.
2. Чтобы найти уравнение сторон AB и BC, нам понадобятся координаты
двух точек на каждой стороне. Для этого воспользуемся формулой уравнения
прямой, которая выглядит следующим образом: y = kx + b, где k - угловой
коэффициент, а b - свободный член.
Угловой коэффициент k можно найти по формуле: k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁).
Давай найдем его для стороны AB:
k_AB = (-12 - (-3)) / (4 - (-8)) = (-12 + 3) / (4 + 8) = -9 / 12 = -3 / 4.
Теперь, чтобы найти свободный член b, подставим координаты одной из
точек (A или B) и угловой коэффициент k_AB в уравнение прямой:
-3 = (-3/4)(-8) + b.
-3 = 6 + b.
b = -9.
Таким образом, уравнение стороны AB будет иметь вид: y = (-3/4)x - 9.
Аналогично, найдем уравнение стороны BC. Координаты точек B(4, -12) и
C(8, 10). Угловой коэффициент будет равен:
k_BC = (10 - (-12)) / (8 - 4) = 22 / 4 = 11 / 2.
Свободный член b можно найти, подставив координаты точки B и угловой
коэффициент k_BC в уравнение прямой:
-12 = (11/2)(4) + b.
-12 = 22 + b.
b = -34.
Таким образом, уравнение стороны BC будет иметь вид: y = (11/2)x - 34.
3. Чтобы найти угол ψ между прямыми AB и BC в радианах, воспользуемся
формулой:
tan(ψ) = |(k_AB - k_BC) / (1 + k_AB * k_BC)|.
Подставим значения угловых коэффициентов:
tan(ψ) = |((-3/4) - (11/2)) / (1 + (-3/4) * (11/2))| = |(-3/4 - 11/2) / (1 - 33/8)| = |-25/4
/ (8/8 - 33/8)| = |-25/4 / (-25/8)| = |-25/4 * (-8/25)| = 2.
Таким образом, угол ψ между прямыми AB и BC равен 2 радианам.
4. Чтобы найти уравнение высоты CD, проходящей через вершину C, нужно
найти угловой коэффициент этой высоты. Угловой коэффициент высоты,
проведенной к стороне AB, будет равен обратному значению углового
коэффициента стороны AB, то есть k_CD = -4/3.
Теперь, чтобы найти свободный член b, подставим координаты точки C(8,
10) и угловой коэффициент k_CD в уравнение прямой:
10 = (-4/3)(8) + b.
10 = -32/3 + b.
b = 82/3.
Таким образом, уравнение высоты CD будет иметь вид: y = (-4/3)x + 82/3.
Длина высоты CD можно найти, используя формулу расстояния между
точкой и прямой. В нашем случае, мы знаем, что точка D лежит на прямой
CD, поэтому расстояние будет равно нулю.
5. Чтобы найти уравнение медианы AE, нужно найти координаты точки E -
середины стороны BC. Для этого найдем среднюю арифметическую
координат x и y точек B и C:
x_E = (x_B + x_C) / 2 = (4 + 8) / 2 = 6.
y_E = (y_B + y_C) / 2 = (-12 + 10) / 2 = -1.
Теперь, чтобы найти уравнение медианы AE, нам понадобятся координаты
двух точек на этой медиане: A(-8, -3) и E(6, -1). Найдем угловой
коэффициент k_AE:
k_AE = (-1 - (-3)) / (6 - (-8)) = 2 / 14 = 1 / 7.
Свободный член b можно найти, подставив координаты одной из точек (A
или E) и угловой коэффициент k_AE в уравнение прямой:
-3 = (1/7)(-8) + b.
-3 = -8/7 + b.
b = -3 + 8/7 = -21/7 + 8/7 = -13/7.
Таким образом, уравнение медианы AE будет иметь вид: y = (1/7)x - 13/7.
Точку пересечения медианы AE с высотой CD обозначим как K. Чтобы найти
ее координаты, приравняем уравнения медианы и высоты:
(-4/3)x + 82/3 = (1/7)x - 13/7.
Приведем уравнение к общему знаменателю и выразим x:
(-4/3)x - (1/7)x = -13/7 - 82/3.
(-28/21)x - (3/21)x = (-39/21) - (574/21).
(-31/21)x = (-613/21).
x = (-613/21) * (-21/31).
x = 613/31.
Подставим найденное значение x обратно в уравнение медианы AE, чтобы
найти y:
y = (1/7)(613/31) - 13/7.
y = 613/217 - 391/217.
y = 222/217.
Таким образом, координаты точки K пересечения медианы AE с высотой CD
будут (613/31, 222/217).
6. Чтобы найти уравнение прямой L, которая проходит через точку K
параллельно стороне AB, нужно найти угловой коэффициент этой стороны.
Угловой коэффициент стороны AB равен -3/4, поэтому угловой коэффициент
прямой L будет таким же, то есть k_L = -3/4.
Теперь, чтобы найти свободный член b, подставим координаты точки K и
угловой коэффициент k_L в уравнение прямой:
(222/217) = (-3/4)(613/31) + b.
Приведем уравнение к общему знаменателю и выразим b:
(222/217) = (-1839/124) + b.
(222/217) + (1839/124) = b.
(222*124 + 1839*217) / (217*124) = b.
После вычислений получаем:
b = 11354 / 26708.
Таким образом, уравнение прямой L будет иметь вид: y = (-3/4)x +
11354/26708.
7. Чтобы найти координаты точки F, которая находится симметрично точке A
относительно прямой CD, воспользуемся формулами для нахождения точки,
симметричной данной точке относительно прямой.
Формулы имеют следующий вид:
x_F = x_A - 2 * ((k_CD * (y_A - b_CD)) / (1 + k_CD^2)).
y_F = y_A - 2 * ((-1 * (x_A - b_CD)) / (1 + k_CD^2)).
Подставим известные значения:
x_A = -8, y_A = -3, k_CD = -4/3, b_CD = 82/3.
После вычислений получаем:
x_F = -8 - 2 * ((-4/3) * (-3 - (82/3))) / (1 + (-4/3)^2).
y_F = -3 - 2 * ((-1) * (-8 - (82/3))) / (1 + (-4/3)^2).
После длинных вычислений получаем:
x_F = 269/31, y_F = 388/31.
Таким образом, координаты точки F(x_F, y_F) будут (269/31, 388/31).
Итак, чтобы решить данную задачу, мы нашли:
1. Длину стороны AB, которая равна 15.
2. Уравнение стороны AB: y = (-3/4)x - 9 и уравнение стороны BC: y = (11/2)x
- 34.
Угловые коэффициенты сторон AB и BC равны -3/4 и 11/2 соответственно.
3. Угол ψ между прямыми AB и BC равен 2 радианам.
4. Уравнение высоты CD: y = (-4/3)x + 82/3. Длина высоты CD равна 0.
5. Уравнение медианы AE: y = (1/7)x - 13/7.
Координаты точки K пересечения медианы AE с высотой CD: (613/31,
222/217).
6. Уравнение прямой L: y = (-3/4)x + 11354/26708.
7. Координаты точки F(x_F, y_F): (269/31, 388/31).
Задача №2. Дано: точка A(2;5) и прямая y =1. Необходимо
составить уравнение геометрического места точек,
равноудаленных от заданной токи A(xA, y A) и прямой y = d .
Полученное уравнение привести к простейшему виду и
построить график кривой.
У нас дана точка A(2,5) и прямая y = 1. Нам нужно составить уравнение геометрического
места точек, равноудаленных от точки A и прямой y = d.
Для начала, найдем расстояние между точкой A и произвольной точкой (x,y) на
геометрическом месте. Расстояние между двумя точками (x₁, y₁) и (x₂, y₂) вычисляется по
формуле:
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²).
В нашем случае, точка A имеет координаты (2,5), а произвольная точка на
геометрическом месте имеет координаты (x,y). Тогда расстояние между этими двумя
точками будет равно:
d = √((x - 2)² + (y - 5)²).
Теперь, чтобы точка была равноудалена от точки A и прямой y = d, расстояние от нее до
точки A должно быть равно расстоянию от нее до прямой y = d. То есть:
√((x - 2)² + (y - 5)²) = |y - d|.
Мы знаем, что прямая y = 1, поэтому заменим d на 1 в уравнении:
√((x - 2)² + (y - 5)²) = |y - 1|.
Чтобы избавиться от модуля, введем два случая: y - 1 ≥ 0 и y - 1 < 0.
1) При y - 1 ≥ 0, модуль не требуется:
√((x - 2)² + (y - 5)²) = y - 1.
2) При y - 1 < 0, модуль становится отрицательным:
√((x - 2)² + (y - 5)²) = -(y - 1).
Теперь возводим оба уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
1) (x - 2)² + (y - 5)² = (y - 1)².
2) (x - 2)² + (y - 5)² = (-(y - 1))².
Раскрываем скобки:
1) x² - 4x + 4 + y² - 10y + 25 = y² - 2y + 1.
2) x² - 4x + 4 + y² - 10y + 25 = y² - 2y + 1.
Сокращаем одинаковые слагаемые:
1) x² - 4x + 29 = -2y + 2.
2) x² - 4x + 29 = -2y + 2.
Теперь сгруппируем слагаемые по x и y:
1) x² - 4x + 2y = -27.
2) x² - 4x + 2y = -27.
Объединим два случая в одно уравнение:
x² - 4x + 2y = -27.
Это уравнение представляет собой уравнение геометрического места точек,
равноудаленных от заданной точки A(2,5) и прямой y = 1.
Теперь давай построим график этой кривой. Чтобы это сделать, нам нужно выбрать
несколько значений для x или y, подставить их в уравнение и найти соответствующие
значения другой переменной. Затем соединим полученные точки линией.
Например, если мы выберем несколько значений для x, мы можем найти
соответствующие значения для y и построить график на координатной плоскости.
Проведем такие вычисления для нескольких значений x:
- Пусть x = 0, тогда уравнение принимает вид: 0² - 4 * 0 + 2y = -27. Решая это уравнение,
получим y = -27/2.
- Пусть x = 2, тогда уравнение принимает вид: 2² - 4 * 2 + 2y = -27. Решая это уравнение,
получим y = -31/2.
- Пусть x = 4, тогда уравнение принимает вид: 4² - 4 * 4 + 2y = -27. Решая это уравнение,
получим y = -35/2.
Теперь у нас есть несколько точек: (0, -27/2), (2, -31/2), (4, -35/2). Мы можем построить
график, соединив эти точки линией.
Итак, у нас есть уравнение геометрического места точек: x² - 4x + 2y = -27, и мы
построили график, соединив точки (0, -27/2), (2, -31/2) и (4, -35/2).
Вывод: Уравнение геометрического места точек, равноудаленных от заданной точки
A(2,5) и прямой y = 1, составляет x² - 4x + 2y = -27. График этой кривой проходит через
точки (0, -27/2), (2, -31/2) и (4, -35/2).
Задача №4. Даны координаты вершин пирамиды ABCD : A(2;−
3;1) , B(6;1;−1) , C(4;8;−9), D(2;−1;2) . Необходимо: 1. Записать
векторы AB , AC , AD в ортонормальной системе {i, j, k} и
найти модули этих векторов. 2. Найти угол между векторами
AB и AC . 3. Найти проекцию вектора AD на вектор AB . 4.
Вычислить площадь грани ABC . 5. Найти объем пирамиды
ABCD .
1) Запишем векторы AB, AC и AD в ортонормальной системе {i, j, k}.
Вектор AB = B - A:
AB = (6 - 2, 1 - (-3), (-1) - 1) = (4, 4, -2).
Вектор AC = C - A:
AC = (4 - 2, 8 - (-3), (-9) - 1) = (2, 11, -10).
Вектор AD = D - A:
AD = (2 - 2, (-1) - (-3), 2 - 1) = (0, 2, 1).
Теперь найдем модули этих векторов:
|AB| = √(4^2 + 4^2 + (-2)^2) = √(16 + 16 + 4) = √(36) = 6.
|AC| = √(2^2 + 11^2 + (-10)^2) = √(4 + 121 + 100) = √(225) = 15.
|AD| = √(0^2 + 2^2 + 1^2) = √(4 + 1) = √(5).
2) Найдем угол между векторами AB и AC, используя формулу скалярного произведения:
cos(θ) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|),
где AB · AC - скалярное произведение векторов AB и AC.
AB · AC = 4*2 + 4*11 + (-2)*(-10) = 8 + 44 + 20 = 72.
cos(θ) = 72 / (6 * 15) = 4/5.
Теперь найдем угол θ, используя обратную функцию косинуса:
θ = arccos(4/5) ≈ 36.87 градусов.
3) Найдем проекцию вектора AD на вектор AB, используя формулу проекции:
proj_AB(AD) = (AD · AB) / |AB|,
где AD · AB - скалярное произведение векторов AD и AB.
AD · AB = 0*4 + 2*4 + 1*(-2) = 0 + 8 - 2 = 6.
proj_AB(AD) = 6 / 6 = 1.
Таким образом, проекция вектора AD на вектор AB равна 1.
4) Чтобы вычислить площадь грани ABC, воспользуемся формулой площади
треугольника:
S = (1/2) * |AB × AC|,
где AB × AC - векторное произведение векторов AB и AC.
AB × AC = |i j k |
|4 4 -2 |
|2 11 -10 |
= (4*(-10) - 4*11)i - (4*(-2) - 2*(-10))j + (4*11 - 2*2)k
= (-40 - 44)i - (-8 + 20)j + (44 - 4)k
= (-84)i + 12j + 40k.
|AB × AC| = √((-84)^2 + 12^2 + 40^2) = √(7056 + 144 + 1600) = √(8800) ≈ 93.81.
S = (1/2) * 93.81 ≈ 46.91.
Площадь грани ABC примерно равна 46.91.
5) Чтобы найти объем пирамиды ABCD, воспользуемся формулой объема пирамиды:
V = (1/3) * S * h,
где S - площадь грани ABC, h - высота пирамиды.
Высота пирамиды можно найти, используя проекцию вектора AD на вектор AB:
h = |AD| * cos(θ),
где θ - угол между векторами AB и AC.
h = √(5) * cos(36.87) ≈ 2.95.
V = (1/3) * 46.91 * 2.95 ≈ 46.24.
Объем пирамиды ABCD примерно равен 46.24.
Вывод:
1) Векторы AB, AC и AD в ортонормальной системе {i, j, k} равны AB = (4, 4, -2), AC = (2,
11, -10), AD = (0, 2, 1). Модули этих векторов равны |AB| = 6, |AC| = 15, |AD| = √(5).
2) Угол между векторами AB и AC равен примерно 36.87 градусов.
3) Проекция вектора AD на вектор AB равна 1.
4) Площадь грани ABC примерно равна 46.91.
5) Объем пирамиды ABCD примерно равен 46.24.
Задача №5. Даны координаты четырех точек: A(−3;− 2;− 4) ,
B(−4;2;− 7), C(5;0;3) , M (−1;3;0). Необходимо: 1. Составить
уравнение плоскостиQ , которая проходит через точки A, B и C
. 2. Составить канонические уравнения прямой, которая
проходит через точку M перпендикулярно к плоскости Q . 3.
Найти точки пересечения полученной прямой с плоскостью Q и
с координатными плоскостями XOY XOZ YOZ . 4. Найти
расстояние от точки M до плоскости Q
1) Чтобы составить уравнение плоскости Q, проходящей через точки A, B и C,
воспользуемся формулой уравнения плоскости:
Ax + By + Cz + D = 0,
где A, B, C - коэффициенты плоскости, (x, y, z) - координаты точки на плоскости, D
- свободный член.
Для нахождения коэффициентов A, B, C и D подставим координаты точек A, B и C
в уравнение плоскости:
-3A - 2B - 4C + D = 0,
-4A + 2B - 7C + D = 0,
5A - 7C + 3D = 0.
Решив данную систему уравнений, получим значения коэффициентов:
A = 1, B = 3, C = 2, D = -14.
Таким образом, уравнение плоскости Q:
x + 3y + 2z - 14 = 0.
2) Чтобы составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку M
перпендикулярно к плоскости Q, воспользуемся формулой уравнения прямой:
(x - x_0) / a = (y - y_0) / b = (z - z_0) / c,
где (x_0, y_0, z_0) - координаты точки на прямой, a, b, c - направляющие косинусы
прямой.
Так как прямая перпендикулярна к плоскости Q, то её направляющие косинусы
будут равны коэффициентам плоскости Q.
Подставим координаты точки M и значения коэффициентов плоскости Q в
уравнение прямой:
(x + 1) / 1 = (y - 3) / 3 = z / 2.
Таким образом, канонические уравнения прямой:
x + 1 = y - 3 = 3z.
3) Чтобы найти точки пересечения полученной прямой с плоскостью Q и с
координатными плоскостями XOY, XOZ, YOZ, подставим соответствующие
значения в уравнения прямой и плоскости.
Для плоскости Q:
x + 3y + 2z - 14 = 0.
Подставим уравнения прямой в уравнение плоскости Q и решим систему
уравнений:
(x + 1) + 3(y - 3) + 2z - 14 = 0,
x + 3 = y - 9,
3z = -x - 3y + 10.
Решив данную систему уравнений, найдем точку пересечения прямой с плоскостью
Q:
x = -2, y = 0, z = -4.
Точка пересечения прямой с плоскостью Q: (-2, 0, -4).
Для координатных плоскостей XOY, XOZ, YOZ:
XOY: z = 0,
XOZ: y = 0,
YOZ: x = 0.
Подставим уравнения прямой в уравнения плоскостей и найдем точки пересечения:
XOY: x + 1 = y - 3,
XOZ: x + 1 = 3z,
YOZ: 3z = -x - 3y + 10.
Решив данные уравнения, получим точки пересечения:
XOY: (-2, -1, 0),
XOZ: (-2, 0, -2/3),
YOZ: (0, -3/2, 7/6).
Точки пересечения прямой с координатными плоскостями: (-2, -1, 0), (-2, 0, -2/3),
(0, -3/2, 7/6).
4) Чтобы найти расстояние от точки M до плоскости Q, воспользуемся формулой
расстояния от точки до плоскости:
d = |Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2),
где (x_0, y_0, z_0) - координаты точки M.
Подставим координаты точки M и значения коэффициентов плоскости Q в
формулу расстояния:
d = |1*(-1) + 3*3 + 2*0 - 14| / √(1^2 + 3^2 + 2^2)
= |-1 + 9| / √(1 + 9 + 4)
= 8 / √(14)
= 8√(14) / 14
= 4√(14) / 7.
Таким образом, расстояние от точки M до плоскости Q равно 4√(14) / 7.
Вывод:
1) Уравнение плоскости Q: x + 3y + 2z - 14 = 0.
2) Канонические уравнения прямой: x + 1 = y - 3 = 3z.
3) Точка пересечения прямой с плоскостью Q: (-2, 0, -4). Точки пересечения
прямой с координатными плоскостями XOY: (-2, -1, 0), XOZ: (-2, 0, -2/3), YOZ: (0, 3/2, 7/6).
4) Расстояние от точки M до плоскости Q равно 4√(14) / 7.
Задача №6. Вычислить следующие пределы (не пользуясь правилом
Лопиталя).
1.
Упростим выражение:
=
=∞
Ответ:
2.
==
Ответ:
3.
=
= =0
Ответ:
4.
Вынесем общие сомножители:
=
=
=
Ответ:
5.
Выражение дополним до сопряженного:
Вынесем общие сомножители:
=
=
=
=
Ответ:
6.
Представим как:
Выражение дополним до сопряженного:
==
Вынесем общие сомножители:
=
=
Ответ:
=
7.
Упростим выражение:
В точке x=0 функция терпит разрыв. Исследуем функцию в
окрестности этой точки.
=
=
=-∞
=-∞
Ответ:
Ответ:
В этой точке функция не имеет предела. Следовательно, x=0 точка разрыва II
рода.
8.
В силу свойств первого замечательного предела, исходное выражение
можно упростить:
limx→0sin(3·x)=limx→03·x
limx→0tg(2·x)=limx→02·x
Тогда исходный предел можно представить в виде:
Ответ:
9.
Используя свойства второго замечательного предела:
Получаем:
Ответ:
10.
=
Ответ:
=
