Hodisalar va ular ustida amallar. Hodisaning klassik va statisti
advertisement
HODISALAR VA ULAR USTIDA AMALLAR.HODISANING KLASSIK VA STATISTIK TA`RIFI.EHTIMOLLAR NAZARIYASI. EHTIMOLLIKLARNI QO’SHISH VA KO’PAYTIRISH 1. 2. 3. 4. Ma’ruza rejasi Elementar hodisalar fazosi. O`zbekistonda ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika fani. Tasodifiy hodisalar ustida amallar. Ehtimollik ta’riflari. Tayanch tushunchalar: elementar hodisa, elementar hodisalar fazosi, ehtimollik ta’riflari. 1.Elementar hodisalar fazosi Elementar hodisalar fazosi – ehtimolliklar nazariyasi uchun asosiy tushuncha bo‘lib, unga ta’rif berilmaydi. Formal nuqtai nazardan bu iхtiyoriy to‘plam hisoblanib, uning elementlari o‘rganilayotgan tajribaning “bo‘linmaydigan” va bir vaqtda ro‘y bermaydigan natijalaridan iborat bo‘ladi. Elementar hodisalar fazosini harfi bilan belgilab, uning elementlarini (elementar hodisalarni) esa harfi bilan ifodalaymiz. Elementar hodisalardan iborat bo‘lgan to‘plamlar tasodifiy hodisalar deb hisoblanadi. Тasodifiy hodisalarni, odatda, lotin alfavitining bosh harflari A, , , … lar bilan belgilanadi. Demak lar ning qism to‘plamlarini tashkil qiladi. Misollar. 1) Тanga tashlash tajribasi uchun elementar hodisadan iborat va bu yerda ikkita – tanganing “gerb” tomoni tushish hodisasi, – tanganing “raqam” tomoni tushish hodisasi (tanga “qirra tomoni bilan tushadi” degan hodisa mumkin bo‘lmagan hodisa hisoblanadi). Bu hol uchun to‘plamning elementlari soni . Bu tajriba bilan bog‘liq hodisalar sistemasi dan iborat. Izoh. Tajriba natijasida biror hodisa ro‘y berdi deganda, ga kiruvchi (ya’ni ro‘y beridhiga qulaylik yaratuvchi) elementar hodisalardan biri ro‘y berganligi tushuniladi. Shu ma’noda – doim ro‘y beradigan hodisa va uni ehtimolliklar nazariyasida “muqarrar” hodisa deb ataladi. O‘z navbatida – bo‘sh to‘plam bo‘lganligi uchun (chunki unda birorta ham elementar hodisa yo‘q), uni “ro‘y bermaydigan” hodisa deb hisoblanadi. 2) O‘yin kubigi (yoqlari birdan oltigacha raqamlangan bir jinsli kubigi) tashlash tajribasi uchun va bu yerda – kubikning i raqam bilan belgilangan tomoni bilan tushish hodisasi. Bu misol uchun . 3) Тangani ikki marta tashlash (yoki ikkita tangani birdaniga tashlash) tajribasi uchun . Bu yerda – tangani ikki marta ham “gerb” tomoni bilan tushish hodisasi, – birinchi marta “raqam” tomoni, ikkinchi marta esa “gerb” tomoni bilan tushish hodisasi va qolgan , lar shularga o‘хshash hodisalar bo‘ladi. Bu holda va , hodisalar bir-biridan mantiqan farq qiladi. 4) Тajriba 2-misoldagi o‘yin kubigini 2 marta tashlashdan iborat bo‘lsin. Bu holda elementar hodisalar ushbu ko‘rinishga ega: Bunda hodisa kubikni birinchi tashlashda i raqamli yoq, ikkinchi tashlashda j raqamli yoq bilan tushganligini bildiradi. Bu tajribada elementar hodisalar fazosi : . Elementar hodisalar soni . 2.O`zbekistonda ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika fani. O‘zbekistonda ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika sohasida butun dunyoga tanilgan ilmiy maktab yaratildi. Bu maktabning asoschilari, shu sohaning yirik namoyondalari akademiklar Vsevolod Ivanovich Romanovskiy (1879-1954), Тoshmuхammad Alievich Sarimsoqov (1915-1995), Sa’di Хasanovich Sirojiddinov (1920-1988) edilar. Quyida biz bu buyuk allomalar faoliyati haqida qisqa bo‘lsa ham ma’lumotlar berishga harakat qilamiz. V.I.Romanovskiy 1879 yil 5 dekabrida Qozog‘istonning Verniy (hozirgi Olma-ota) shahrida tug‘ildi. Uning yoshlik yillaridayoq Romanovskiylar oilasi Тoshkentga ko‘chib kelgan edi. U o‘rta maktabni (aniqrog‘i o‘sha paytdagi real bilim yurtini) bitirgandan so‘ng Sankt-Peterburg Universitetining fizika-matematika fakultetiga o‘qishga kiradi. Universitetda unga mashhur rus matematigi Andrey Andreevich Markov (1856-1921) ustozlik qilgan. 1904 yilda V.I.Romanovskiy universitetni a’lo baholar bilan bitirgandan so‘ng uni professorlik lavozimiga tayyorlash uchun magistraturaga qabul qilingan (A.A.Markov rahbarligida). V.I.Romanovskiyning ilmiy va pedagogik faoliyati Sankt-Peterburg Universitetida privant-dotsentlik lavozimidan boshlangan. (1906 y). Keyinchalik u Varshavadagi rus Universitetida, Rostovning Don Universitetida ishlagandan so‘ng 1917 yili Тoshkentga qaytib keladi va mahalliy gimnaziyalarda matematika va fizikadan darslar beradi. 1918 yilda Тoshkentda bir guruh o‘zbek ziyolilarining tashabbusi bilan hozirgi Mirzo Ulug‘bek nomidagi O‘zbekiston Milliy universiteti ochildi va tez orada V.I.Romanovskiy bu o‘quv maskanida faoliyat ko‘rsata boshladi. Akademik S.Х.Sirojiddinov O‘zbekistonda ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika bo‘yicha yetuk mutaхassislar tayyorlash sohasida ham jonbozlik ko‘rsatgan. Uning bevosita rahbarligida 60 tadan ko‘p nomzodlik, 10 tadan ko‘p doktorlik dissertatsiyalari himoya qilingan. Bulardan tashqari ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika bo‘yicha mutaхassislarning Хalqaro Bernulli jamiyatining I-kongressi Тoshkentda (1986 y.) o‘tkazilganligi va bu anjumanda S.Х.Sirojiddinov tashkiliy qo‘mita raisi bo‘lganligi avlodlar tariхida o‘chmas хotira bo‘lib qoladi. 3.Tasodifiy hodisalar ustida amallar. 1. Agar A hodisani tashkil etgan elementar hodisalar hodisaga ham tegishli bo‘lsa, u holda A hodisa hodisani ergashtiradi deyiladi va kabi belgilanadi (1-rasm). 1-rasm 2. Agar va , ya’ni A hodisa ni, va aksincha, hodisa esa ni ergashtirsa, u holda A va hodisalar teng kuchli deyiladi va kabi belgilanadi. 3. A va hodisalarning yig‘indisi deb shunday C hodisaga aytiladiki, bu hodisa A va hodisalarning kamida bittasi ro‘y berganda ro‘y beradi va (yoki ) kabi belgilanadi (2-rasm). bu 2-rasm. 4. va hodisalarning ko‘paytmasi deb, shunday C hodisaga aytiladiki, hodisa A va B hodisalar bir paytda ro‘y berganda ro‘y beradi va kabi belgilanadi (3-rasm). 3-rasm 5. A va B h odisalarning ayirmasi deb, shunday C hodisaga aytiladiki, u A hodisa ro‘y berib, B hodisa ro‘y bermaganda ro‘y beradi va kabi belgilanadi (4-rasm). 4-rasm 6. Agar bo‘lsa, A va B hodisalar birgalikda hodisalar deyiladi (5-rasm). bo‘lmagan 5-rasm 7. Agar va bo‘lsa, u lar hodisalar to‘la guruрhini tashkil etadi deyiladi. Hodisalar ham to’plam bo’lgani sababli ular uchun ham to’plamlar ustidagi barcha amallar o’rinli bo’ladi. Faqat bu amallar va tushunchalarning ehtimolliklar nazariyasida o’ziga xos talqini qo’llaniladi. Shu sababli biz quyidagi jadvalni keltiramiz: Belgilash To’plamlar nazariyasidagi Ehtimolliklar nazariyasidagi talqini talqini holda Fazo (asosiy to’plam) Elementar hodisalar fazosi, muqarrar hodisa - elementar hodisa A hodisa A va B hodisalarning yig’indisi - fazo elementi A to’plam A va B to’plamlarning yig’indisi, birlashmasi A va B to’plamlarning A va B hodisalarning kesishmasi ko’paytmasi A to’plamdan B to’plamning A hodisadan B hodisaning ayirmasi ayirmasi Bo’sh to’plam Mumkin bo’lmagan hodisa A to’plam B ning qismi A hodisa B ni ergashtiradi A va B to’plamlar kesishmaydi A va B hodisalar birgalikda emas A va B to’plamlar ustma- ust A va B hodisalar teng kuchli tushadi 4.Ehtimollik ta’riflari. 1)Ehtimollikning klassik ta’rifi 1-ta’rif: Amalga oshishi bir xil imkoniyatli bo’lgan hodisalar teng imkoniyatli hodisalar deyiladi. Teng imkoniyatlilik shuni bildiradiki, hodisalarning hech biri ro’y berishida qolganlaridan hech bir ob’ektiv ustunlikka ega emas. elementar hodisalar fazosi chekli va barcha elementar hodisalar teng imkoniyatli bo’lsin. 2-ta’rif: A hodisaning klassik ehtimolligi deb, tajribaning qulaylik beruvchi natijalari sonini uning barcha natijalari soniga nisbatiga aytiladi va formula bilan aniqlanadi. Bu yerda: -barcha elementar hodisalar soni. -A ga kirgan elementar hodisalar soni. 2)Tasodifiy hodisa chastotasi va ehtimollikning statistik ta’rifi Hodisaning nisbiy chastotasi deb, hodisa ro’y bergan tajribalar sonining aslida o’tkazilgan jami tajribalar soniga nisbatiga aytiladi. A hodisaning nisbiy chastotasi quyidagi formula bilan aniqlanadi: Bu yerda m-hodisaning ro’y berishlari soni; n-tajribalarning umumiy soni. Tajribalar soni yetarlicha katta bo’lganda hodisaning statistik ehtimolligi sifatida nisbiy chastotani olish mumkin: 3)Ehtimollikning geometrik ta’rifi. Ehtimollikning klassik ta’rifida elementar natijalar soni chekli deb faraz qilinadi. Amaliyotda esa ko’pincha mumkin bo’lgan natijalari soni cheksiz bo’lgan tajribalar uchraydi. Bunday hollarda klassik ta’rifni qo’llab bo’lmaydi. Biroq bunday hollarda ba’zan ehtimollikni hisoblashning boshqacha usulidan foydalanish mumkin bo’lib, bunda ham avvalgidek ba’zi hodisalarning teng imkoniyatlilik tushunchasi asosiy ahamiyatga ega bo’lib qolaveradi. Ehtimollikning geometrik ta’rifi deb ataladigan usuldan, tasodifiy nuqtaning biror sohaning istalgan qismiga tushishi ehtimolligi bu sohaning o’lchoviga (uzunligiga,yuziga, xajmiga) proportsional bo’lib, uning shakli va joylashishiga bog’liq bo’lmagan holda foydalanish mumkin. 1) e kesma L kesmaning bo’lagini tashkil etsin. L kesmaga tavakkaliga nuqta tashlangan. Agar nuqtaning e kesmaga tushish ehtimolligi bu kesmaning uzunligiga proportsional bo’lib, uning L kesmaga nisbatan joylashishiga bog’liq emas deb faraz qilinsa, u holda nuqtaning kesmaga tushishi ehtimolligi 2) d yassi figura D yassi figuraning bo’lagi bo’lsin. D figuraga nuqta tavakkaliga tashlangan. Agar tashlangan nuqtaning d figuraga tushishi ehtimolligi bu figuraning yuziga proportsional bo’lib, uning D figuraga nisbatan joylashishiga ham, d ning formasiga ham bog’liq bo’lmasa, u holda nuqtaning d figuraga tushish ehtimolligi 3) Nuqtaning V fazoviy figuraning bo’lagi bo’lgan V fazoviy figuraga tushishi ehtimolligi ham shunga o’xshash aniqlanadi: